2011 SGM Auteur : ESNOUF Claude CLYM Séminaire 11 Imagerie de haute résolution en MET

2011

SGM

Auteur : ESNOUF ClaudeCLYM

Séminaire 11

Imagerie de haute résolution en MET

Introduction

Vous êtes autorisé : • A reproduire, distribuer et communiquer, au public, ce document,• A modifier ce document, selon les conditions suivantes : Vous devez

indiquer la référence de ce document ainsi que celle de l’ouvrage de référence : ESNOUF Claude. Caractérisation microstructurale des matériaux : Analyse par les rayonnements X et électronique. Lausanne: Presses polytechniques et universitaires romandes, 2011, 596 p. (METIS Lyon Tech) ISBN : 978-2-88074-884-5.

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2

© [C.Esnouf], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés.

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Accès aux autres séminaires1 - Séminaire « Rappels cristallographie 1 »

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4 - Séminaire « Méthode des poudres en DRX »

5 - Séminaire « Méthodes X rasants et mesure des contraintes »

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7 - Séminaire « Diffraction électronique »

8 - Séminaire « Projection stéréographique »

9 - Séminaire « Imagerie CTEM »

10 - Séminaire « HAADF »

11 - Séminaire « HRTEM »

12 - Séminaire « Ptychographie »

13 - Séminaire « EELS » 3


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4

IIMAGERIE DE HAUTEMAGERIE DE HAUTE

RESOLUTION EN RESOLUTION EN METMET

Claude ESNOUFClaude ESNOUF -- CLYMCLYM

Cristal AlNiCo (Micrographie M. Aouine - IRCLyon)Cristal AlNiCo (Micrographie M. Aouine - IRCLyon)

[0001]

Séminaires du CLYMSéminaires du CLYM

4


a)

PLAN :PLAN :

1 - Finalité de l’imagerie HRTEM1 - Finalité de l’imagerie HRTEM2 - Diffusion électronique2 - Diffusion électronique

Analogie avec la diffusion lumineuseAnalogie avec la diffusion lumineuseExpression du retard de phaseExpression du retard de phaseAmplitude de la diffusion électronique - Facteurs de diffusionAmplitude de la diffusion électronique - Facteurs de diffusion

3 - Contraste de phase3 - Contraste de phaseComment le réaliser (aberration de sphéricité, défocalisation, excitation des ondes)Comment le réaliser (aberration de sphéricité, défocalisation, excitation des ondes)

4 - Fonction de transfert4 - Fonction de transfertEtude de la fonction - Défocalisation de ScherzerEtude de la fonction - Défocalisation de ScherzerFonction de transfert et cohérences partiellesFonction de transfert et cohérences partiellesRéglage de la défocalisationRéglage de la défocalisation

5 - 5 - Formation de l’image HRTEMFormation de l’image HRTEMUn exemple simpleUn exemple simpleDans le cas généralDans le cas général

6 - 6 - Simulation des images HRTEMSimulation des images HRTEMOndes de BlochOndes de BlochMultisliceMultislice

7 - 7 - Correcteurs de CCorrecteurs de CSS..

8 - 8 - Imagerie en mode incohérent : l’imagerie HAADFImagerie en mode incohérent : l’imagerie HAADFDiffusion incohérente - Effet de ZDiffusion incohérente - Effet de ZCaractéristiques du mode HAADFCaractéristiques du mode HAADFRéglage de la sonde par le test de RonchiRéglage de la sonde par le test de Ronchi

5


FINALITE de l’IMAGERIE HRTEMFINALITE de l’IMAGERIE HRTEM

Il s’agit de visualiser les colonnes d’atomes internes à un cristal mince dans le but ultime Il s’agit de visualiser les colonnes d’atomes internes à un cristal mince dans le but ultime de connaître sa représentation structurale.de connaître sa représentation structurale.

Questions qui se posentQuestions qui se posent : : - Arrive-t-on à visualiser toutes les colonnes (colonnes trop rapprochées ou - Arrive-t-on à visualiser toutes les colonnes (colonnes trop rapprochées ou

colonnes d’éléments légers) ? colonnes d’éléments légers) ?- Les colonnes visualisées sont-elles à leur vrai emplacement ?- Les colonnes visualisées sont-elles à leur vrai emplacement ?

Les précautions élémentaires à prendreLes précautions élémentaires à prendre : :- - Aligner les colonnes Aligner les colonnes sur la direction du faisceau, c’est à dire produire un faisceau sur la direction du faisceau, c’est à dire produire un faisceau

de trajectoires électroniques parallèles (de trajectoires électroniques parallèles (onde planeonde plane) et pouvoir ) et pouvoir orienter le cristal),orienter le cristal),

- Préparer un - Préparer un objet très mince objet très mince (typiquement quelques nm),(typiquement quelques nm),- Amener une - Amener une direction dense direction dense du matériau à être du matériau à être parallèle au faisceau parallèle au faisceau ((a prioria priori à faire si à faire si le problème à étudier le permet car les colonnes d’atomes sont alors les plus espacées). le problème à étudier le permet car les colonnes d’atomes sont alors les plus espacées).

Ce qui pose le Ce qui pose le problème de la problème de la convergence convergence du du

faisceau, de l’faisceau, de l’épaisseur épaisseur de l’objet et du de l’objet et du tilttilt de de

faisceau.faisceau.

6


DIFFUSION ELECTRONIQUEDIFFUSION ELECTRONIQUE

Un faisceau d’électrons traverse un cristal, quelle information draine-t-il avec lui ?

ee––

ii

AtomeAtome

VV ss

ee

LumièreLumièreii

Eau (brouillard)Eau (brouillard)

ss

lum.lum.

ee 0,0025 nm 0,0025 nm atome atome 0,1 nm 0,1 nm

llumum.. 0,5 µm 0,5 µmeau eau 20 µm 20 µm

diffuséediffusée

oo

< < oo

tt

nn = = oo//

VideVide

-1- La diffusion électronique-1- La diffusion électronique :: une analogie avec la diffusion lumineuse.

- Indice de l’eau : - Indice de l’eau : nn = = cc//v = v = oo// > 1, d’où un > 1, d’où un retard local retard local de l’onde sortante.de l’onde sortante.- Indice associé à un atome (vu pour l’instant - Indice associé à un atome (vu pour l’instant comme une région de potentiel comme une région de potentiel V V constant ) : constant ) : nn = = oo//> 1, d’où un > 1, d’où un retard local retard local de l’onde de l’onde sortante à l’aplomb des atomes par rapport à la sortante à l’aplomb des atomes par rapport à la phase de l’onde sortant entre les colonnes.phase de l’onde sortant entre les colonnes.

Relation de Louis De Relation de Louis De Broglie : Broglie : = = hh//mvmv

Le potentiel interne Le potentiel interne est globalement est globalement

positif, donc : positif, donc : v > vv > voo et et < < oo..

L. De Broglie (1892-1987)L. De Broglie (1892-1987)

Un différentiel de phase apparaît entre les colonnes d’atomes.

7


-2--2- Expression du retard de phase :Expression du retard de phase :

==(nn - - nnoo)..tt

= 2= 2//

nn nnoo

tt

nnoo 00 tt VV

vvoovvoo

vvvvoo

Energie Energie EEoo

Rappel d’optique physiqueRappel d’optique physique : Déphasage par un : Déphasage par un milieu d’épaisseur milieu d’épaisseur tt et d’indice et d’indice nn..

Transposition au cas des électrons rapides Transposition au cas des électrons rapides entrant dans une région de potentiel entrant dans une région de potentiel VV..

EEoo + + eVeV = = pp22/2/2mmeeEEoo = = ppoo22/2/2mmee

ppoo= = mmeevvoo et et pp = = mmeev, v, soit : soit : nn = =oo// = = pp//ppoo = (1+ = (1+ eVeV//EEoo))1/2 1/2 1+ 1+ eVeV/2/2EEoo

==(nn - - 11)..tt = = eVteVt/2/2EEoo d’où : d’où : = - = - V t V t

Retard si Retard si nn > > nnoo

En réalité, le potentiel n’est pas constant tout le long de la trajectoire de En réalité, le potentiel n’est pas constant tout le long de la trajectoire de l’électron dans le milieu. Le terme l’électron dans le milieu. Le terme VtVt est à remplacer par un est à remplacer par un potentiel potentiel projeté projeté VVpp qui est la somme du potentiel vu par l’électron : qui est la somme du potentiel vu par l’électron :

p0

dt

V = V(z) z = - = - V VppD’où l’écriture :

8


-3--3- Amplitude de la diffusion électroniqueAmplitude de la diffusion électronique ::

2

oe

[ ( )] ( ) ( )2

h- Δ+ eV r Ψ r = E Ψ r

m

( ) 1 ο exp(2 )/

f q πi k r r

2

o o oe

( ) ( ) ( )2

h- Δ Ψ r = E Ψ r

m

Equation de propagation (équation de Schrödinger) : Cas d’un atome.Equation de propagation (équation de Schrödinger) : Cas d’un atome.

E. Schrödinger E. Schrödinger (1887-1961)(1887-1961)

Propagation dans le vide :Propagation dans le vide : Propagation dans un champ de potentiel V(r)Propagation dans un champ de potentiel V(r)

2 2o e= 2E h k m

1 2o= + + + ...Ψ Ψ Ψ ΨSolution de la forme (formalisme de fonctions de Green) :Solution de la forme (formalisme de fonctions de Green) :

ο o i( ) exp(2 )

r = ψ i k r Onde Onde incidente incidente (vecteur d’onde k(vecteur d’onde ki i ) :) :

Onde Onde diffuséediffusée (vecteur d’onde k(vecteur d’onde k ) :) :

Approximation de Born :Approximation de Born :1o= +Ψ Ψ Ψ

Max Born Max Born (1882-1970)(1882-1970)

ff est le est le facteur de diffusion atomique facteur de diffusion atomique donné par la donné par la TF du potentiel TF du potentiel VV((rr)), soit :, soit :

e-

2

e2( ) = - ( )

πm ef q V q

h

En ce qui concerne l’amplitude diffusée par En ce qui concerne l’amplitude diffusée par tous les atomes d’une mailletous les atomes d’une maille élémentaire, élémentaire, f f ((qq) est à remplacer par : = ) est à remplacer par : = Facteur de Facteur de structure .structure .

= amplitude diffusée par un atome.= amplitude diffusée par un atome.

( ) j jj

( ) exp(2 )

F q f q πi q r

((Onde sphériqueOnde sphérique))

kik

qJoseph Fourier Joseph Fourier (1768-1830)(1768-1830)

= Energie de l ’électron= Energie de l ’électron

9


Amplitude de la diffusion électroniqueAmplitude de la diffusion électronique (suite) :(suite) :

Equivalence de point de vue Equivalence de point de vue entre déphasage et amplitude entre déphasage et amplitude diffusée.diffusée.

e- e-

Z1 > Z2

f1() > f2()

Expression de l’amplitude diffusée.Expression de l’amplitude diffusée.

e-

Noyau (+Noyau (+ZeZe))

Cortège (- Cortège (- ZeZe))

noyauo

1( )

4

ZeV r =

r

cortège0o

-1 ( )( ) d

4

r'V r =

r' - r

∞

2 2noyau o o-

exp( )) d

4 4(

+ 2πiq rZe Ze τ

πε r π ε qV q = - =

( ) ( ) exp(2 ) d

+

-

V q = V r πiq r τ

2

2 2 2 22e e

noyauoo

2 1

4 sin4 2

m e m e- Ze λf = - = ( ) Z

ε θh π ε q h

q = 2 k sin = 2 sin/

cortège cortège X= TF[ ] = = compliquéf V f

fe(q) = [Z – fX(q)]

fe(q) = 2,39 108 [Z – fX(Th)(q)] en m.

22

2

e

o

1( )

4 sin2

m e λ× ×

πε θh2( )

sin

λ

θ

kik

q

2Terme déjà vu lors de la diffusion des

RX

10


Amplitude de la diffusion électroniqueAmplitude de la diffusion électronique (suite) :(suite) :

Facteur de diffusion :Facteur de diffusion :

Tables internationales : valeurs calculées à partir des modèles Hartree-Fock relativiste ou non et Dirac-Slater (1967- 69).

Doyle et Turner (1968)

Smith et Burgers (1962 )

Weickenmeier-Kohl (1991)

Valeurs lissées sous la forme polynomiale :

4 2 2

o i ii=1

a + a exp(-b sin / )θ λ

e-

RX(x104)

n(x104)

SinSin//nmnm--

11))

ff(())

Diffusion d’autant plus élevée que les éléments sont lourds : Diffusion d’autant plus élevée que les éléments sont lourds : ff varie comme varie comme ZZ, donc l’intensité diffusée en , donc l’intensité diffusée en ZZ22..

11


CONTRASTE DE PHASECONTRASTE DE PHASEL’objet HRTEM n’est pas absorbant en principe (trop mince). Dès lors, comment créer un contraste ? En révélant la phaserévélant la phase par un artifice de contraste de phase (inventé par F. Zernike en 1930).

//ddhklhkl

PP

F F ( (//22))

ii

ss

ObjetObjet

ObjectifObjectif

Plan focalPlan focal FF FFhklhkl

ddhklhkl

= 0= 0Mise en contraste d’un objet de Mise en contraste d’un objet de phase : phase : Contraste Contraste CC Sans Sans /2 : /2 : CC = ( = (aaPP

22--aaOO22)/)/aaOO

22 = 0 = 0

Avec Avec /2 : /2 : CC = [( = [(aaoo--aa))22--aaoo22]/]/aaoo

22

CC = - 2 = - 2aa//aaoo= - 2= - 2

ii

PP

ss

OO

aaoo

aaoo

00

aaOO

aaPP aa

aaOO

aaoo

00

++

aa

Microscope Microscope optiqueoptique

Microscope Microscope électronique électronique

(cristal)(cristal)

La perturbation La perturbation est initiée par les est initiée par les

colonnes colonnes atomiques qui, atomiques qui,

arrangées arrangées périodiquement, périodiquement,

génèrent une génèrent une série d’ondes série d’ondes

diffractées sous diffractées sous les angles : les angles :

= 2 = 2hklhkl, soit :, soit :

== //ddhklhkl

Notion de fréquence spatialeNotion de fréquence spatiale : : ffhklhkl = 1/ = 1/ddhkl hkl , d’où : , d’où : hklhkl = = ffhklhkl

F. Zernike (1888-F. Zernike (1888-

1966)1966)

12


On peut relever plusieurs causes de déphasage (phase différente entre = 0 et 0) .-1- Imperfection de la lentille objectif (aberration de sphéricitéaberration de sphéricité),-2- Imperfection le mise au point (choisir une défocalisationdéfocalisation),-3- Défaut d’excitationDéfaut d’excitation (les ondes diffractées créées par l’objet sont-elles en phase ?).

Contraste de phase : Comment le réaliser ?Contraste de phase : Comment le réaliser ?

1Une lentille, qu'elle soit magnétique ou électrostatique, est Une lentille, qu'elle soit magnétique ou électrostatique, est toujours plus convergentetoujours plus convergente pour les pour les trajectoires périphériques que pour les trajectoires centrales. Le diamètre minimum de ce disque trajectoires périphériques que pour les trajectoires centrales. Le diamètre minimum de ce disque s’accroît en s’accroît en puissance impairpuissance impair (en commençant à l’ordre 3) de l’angle d’inclinaison (en commençant à l’ordre 3) de l’angle d’inclinaison des rayons sur des rayons sur l’axe optique et est proportionnel au coefficient d'aberration sphérique l’axe optique et est proportionnel au coefficient d'aberration sphérique CCS S ..

Aberration sphériqueAberration sphérique

CCSSet et ddS S = = CCss33 + + CCSS’’55 + …. + ….

C.F. Gauss (C.F. Gauss (1777-1855)1777-1855)

Disques de moindre Disques de moindre confusionconfusion

A

B

BB''

AA00 ''O (0)(0)

Plan de l’image Plan de l’image de Gde GAUSSAUSS

Surface Surface d’onde d’onde «« idéaleidéale»»

Surface Surface d’onde d’onde «« réelleréelle»»

(2)(2)AA22 ''(1)(1) AA11''

AA

BB

BB''

ObjectifObjectif

AA00 ''O (0)(0)

Plan de l’image Plan de l’image de Gde GAUSSAUSS

Différence Différence de marchede marche

Surface Surface d’onde d’onde «« »»


(2)(2)AA33 ''(1)(1) AA22''

d’d’SS CCSS33

(3)(3) SS(()) (avance)(avance)ddSS CCSS33

13



2

On montre que :On montre que :

Défocalisation (au choix de l’opérateur)Défocalisation (au choix de l’opérateur)

Quelle est l’expression du déphasage Quelle est l’expression du déphasage ? ?

d’def = z’ ’

1/p + 1/p’ = 1/p/p2 + p’/p’2 = 0

p’ = - p (p’/p)2

= p’/p = / ’

p’ = z’ et p = - z

z’ ’ = z ddef = d’def / = z

Ici, p’ donc p

c’est à dire z > 0

Avance si Avance si z > 0z > 0

A

B AAO (0)(0)

Surface Surface d’onde d’onde «« idéaleidéale»»

Surface Surface d’onde d’onde «« défocaliséedéfocalisée

(2)(2)AA ''(1)(1)

AA

BB

''BB''

Objectif (CObjectif (CSS= 0)= 0)

''O

Plan de l’image Plan de l’image de Gde G AUSSAUSS

Différence Différence de marchede marche



d’d’defdef = = z z defdef(()) z’z’

’ ’ z > 0

pp p ’p ’

dddefdef = = z z

Plan de Plan de viséevisée

séparateur2

( d )α

πΔ = d α

λ

4 2

S2

( )4 2

π α αΔ ( ) = C + Δz

λ soit :soit :

Avec : Avec : hklhkl/d/dhklhklffhklhkl

Voir annexe J, Publication METIS LyonTech,

C. Esnouf

14



3 L’objet en termes de défaut d’excitation des ondesL’objet en termes de défaut d’excitation des ondes

Avec : Avec : sshkl hkl gg22hklhkl//22//22dd22

hkl hkl 22/2/2((= = 22hklhkl)) ss2h2k2l 2h2k2l gg22

hklhkl//22 22/2/2((= = 22h2k2lh2k2l))

Phase des ondes :Phase des ondes : = 2 = 2((k k - - kkii))..rr = =

= 2= 2((g g + + ss))..rr = 2 = 2(entier + (entier + ss..rr ) )

s s = (= (ssxx, , ssyy,, s szz) ) (0, 0, (0, 0, sszz) )

s.r s.r sszzz = szz = sz r r = (= (xx, , yy,, z z))

La phase des ondes diffractées varie de 0 La phase des ondes diffractées varie de 0 ((zz = 0) à 2 = 0) à 2st st ((zz = = tt). On prendra : ). On prendra :

diffdiff = = stst = - = - sst = t = - - tt/2/2dd22

hklhkl

gghklhkl

kkiikk

CC

ii

ddhklhkl

sshklhkl

Plans Plans diffractants diffractants de la zônede la zône

OOGGhklhkl

hklhkl

GG2h2k2l2h2k2l

-g-ghklhkl

= - = - t t /2/2dd22

hklhkl

= - 2= - 2t t //dd22hklhkl z

s > 0

On peut s’affranchir de cet effet si On peut s’affranchir de cet effet si diffdiff << - << -/2, soit : /2, soit : tt << << dd22// 4/0,025 = 16 nm 4/0,025 = 16 nm

L’effet sera négligeable pour L’effet sera négligeable pour t t 1,6 nm ! 1,6 nm !

Joue le même rôle Joue le même rôle qu’une défocalisation qu’une défocalisation

(termes en (termes en 22).).

15


FONCTION DE TRANSFERTFONCTION DE TRANSFERT

En ne tenant compte que de l’instrument (échantillon d’épaisseur nulle), la phase En ne tenant compte que de l’instrument (échantillon d’épaisseur nulle), la phase instrumentale est régie par la fonction : instrumentale est régie par la fonction :

sin sin ((ff) =) =

Le but recherché est de donner à cette fonction la valeur Le but recherché est de donner à cette fonction la valeur +1 ou -1 +1 ou -1 sur le sur le domaine le plus domaine le plus large possible de fréquences.large possible de fréquences.

4 4 2 2

S2

sin[ ( )]4 2

π f f C + Δz

λ

Recherche d’un plateauRecherche d’un plateau (annulation des dérivées première et seconde) : (annulation des dérivées première et seconde) :

d(sind(sin )/d )/dff = 0 si : = 0 si : = = (2p+1)(2p+1)/2 et/ou : /2 et/ou : z = – Cz = – CS S 2 2 f f 22

dd22(sin(sin)/d)/df f 22 = 0 si : -sin= 0 si : -sin ((CCS S 4 4 f f 33++ z z 2 2 ff)) + + coscos (3(3CCS S 4 4 f f 2 2 + + 22 zz ) = 0 ) = 0

= = (2(2pp+1)+1)/2 et /2 et z = – Cz = – CS S 2 2 f f 22

4 4 2 2

S2

( ) = (2 +1)4 2 2

π f fC + Δz p

λ

4 4 2 2S( 2 ) = (2 +1)C f + Δz f p λ

2 2

S S

( 2 ) = (2 +1)Δz Δz

p λC C

S= (2 +1)Δz p C λ

z <z < 0 0

p <p < 0 0

,1 S=Δz C λ , 2 S= 3 etcΔz C λ

Défocalisation Défocalisation dite de Scherzer :dite de Scherzer :

S S=Δz λC

ExEx : : VVoo = 200 kV, = 200 kV, CCSS = 0,5 = 0,5 mm, mm, zzSS = - 35 nm = - 35 nm 16


0 1.732 3.465 5.197 6.931

0

0.999

Fréquence spatiale (nm-1)

FT

0 1.732 3.465 5.197 6.930.999

0

1


FT

0 1.732 3.465 5.197 6.931

0.001

0.998


FT

Microscope 200 kV - Microscope 200 kV - CCSS = 0,5 mm = 0,5 mm

zzSS = - 35 nm= - 35 nm z z = - 60 nm= - 60 nm z z = - 79 nm= - 79 nm

0 1.732 3.465 5.197 6.931

0.002

0.996


FT

zzSS’ ’ = - 43 nm= - 43 nm

Défocalisation de Défocalisation de Scherzer modifiée :Scherzer modifiée :

S S= 1,2Δz' λC

ffoo = fréquence de coupure = fréquence de coupure4 24 2

o oS

2( ) = 0

4 2

f fπ C + Δz

λ

22o

S = 02

f C + Δz

2 -1/2-3/2o S= 2 f C

1/43/4o S

o

10,7 d = C

f

1/43/4o S0,65 d' C

ExEx : : VVoo = 200 kV, = 200 kV, CCSS = 0,5 = 0,5 mm, mm, ddoo = = 0,208 nm 0,208 nm

d’d’oo = = 0,193 nm 0,193 nm

En réalité, il faut tenir compte des conditions En réalité, il faut tenir compte des conditions d’émission et de stabilité des alimentations (cf d’émission et de stabilité des alimentations (cf cours ‘ Emission électronique ’.cours ‘ Emission électronique ’.

17


5500

Sin (Sin ())

z = z = –– 43 nm 43 nm

ff (nm (nm–1–1))

Enveloppe Enveloppe SS(()·)·TT(())

ffll Limite Limite d’informationd’information

Fonction de transfert et cohérences partielles :Fonction de transfert et cohérences partielles :

Rappel Rappel : -1- Influence de la : -1- Influence de la taille de la source taille de la source (cohérence spatiale partielle) : se traite par la (cohérence spatiale partielle) : se traite par la prise en compte d’une prise en compte d’une convergence convergence ss du faisceau (mesurée par le diamètre des taches de du faisceau (mesurée par le diamètre des taches de diffraction). Le résultat est une diffraction). Le résultat est une enveloppe enveloppe SS((ff) ) de la fonction de transfert.de la fonction de transfert.

-2- Influence des fluctuations électriques (-2- Influence des fluctuations électriques (aberration chromatiqueaberration chromatique ou cohérence temporelle ou cohérence temporelle partielle) : se traite par la prise en compte d’une partielle) : se traite par la prise en compte d’une fluctuation fluctuation de la défocalisation. Le de la défocalisation. Le résultat est une résultat est une enveloppe enveloppe TT((ff) ) de la fonction de transfert.de la fonction de transfert.

sS( )

32παq = Δz α + C α

λSS(()) = 2 J1(q)/q ( = f ; )

pn 2p

n 2p

-1( ) ( )

2 2p=0

x ( )J x = x

p!(n + p)!Fonction de Bessel d’ordre Fonction de Bessel d’ordre nn : :

rrss

22ss

Focale f

2 2 4

2exp( )

2

π Δ α

λTT(() =) =

4 2 2 2 2 4

S1

2a2 ( )2

sin = sin + + sin(2 ) ×exp - ×4 2 4 2

Jπ α α α π αΔ ω

λ

qΔC Δz

qλC

Fonction de transfert complète :Fonction de transfert complète :

= CC f /f

Friedrich Bessel Friedrich Bessel (1784-1846)(1784-1846)

Terme d’astigmatismeTerme d’astigmatisme 18


Fonction de transfert et cohérences partielles (suite) :Fonction de transfert et cohérences partielles (suite) : (Voir séminaire ‘Emission électronique ’)(Voir séminaire ‘Emission électronique ’)

TT(())

– – 11

SS(())

SS(().).TT(())

55f f (nm(nm-1-1))

zz = - 43 nm = - 43 nm

Microscope :Microscope :

VVoo = 200 kV = 200 kV

CCSS = 0,5 mm = 0,5 mm

zz = - 43 nm = - 43 nm

= 7 nm= 7 nm

ss = 0,4 mrad = 0,4 mrad

= 0= 0

Atomes ‘noirs’Atomes ‘noirs’

Atomes ‘blancs’Atomes ‘blancs’

Couleur des atomes : Couleur des atomes : (Cf le diagramme de Fresnel)(Cf le diagramme de Fresnel)

ss

aaoo

aaoo

00aaoo

00

aaOO

aaPP

aa

++ aaOO

aa

Déphasage de Déphasage de --/2 sur /2 sur aa

Colonnes Colonnes en noiren noir

Les fréquences spatiales dans les Les fréquences spatiales dans les parties négatives parties négatives de la FT révèlent de la FT révèlent les colonnes d’atomes en les colonnes d’atomes en noir noir (et (et vice-versa).vice-versa).

N.B. : Problème si des fréquences se situent dans les 2 parties ?

19


La défocalisation de Scherzer est-elle à choisir systématiquement ? :La défocalisation de Scherzer est-elle à choisir systématiquement ? : RéponseRéponse : : NONNON

Pour un cristal donné, le choix de l’axe de zone détermine les fréquences spatiales à imager, via les ondes (hklhkl) qui naissent par diffraction. Elles suivent la relation :

[uvw]. g(hkl) = 0 soit : hu + kv + lw = 0

g100

g200

[001]De : = [uvw]

Liste des (hkl)Liste des dhkl

Valeurs des fhkl.

Exemples : Aluminium : cfc, a = 0,405 nm, (hkl) 200, 020, 220, 2-20, 420, …., hk0

dhkl = 0,202 nm ; 0,286 nm ; nm fhkl = 4,94 nm-1 ; 6,98 nm-1 ; nm-1

f200

f220

z = - 49 nm

f200

f220

z = - 43 nm

f200

f220

z = - 30 nm

Atomes noirsAtomes blancs

20


Exemple du YAG (AlExemple du YAG (Al55YY33OO1212) : Ia3d, ) : Ia3d, aa = 1,20089 nm) = 1,20089 nm)

ff(nm(nm-1-1))

Difficulté à produire une Difficulté à produire une image de structureimage de structure lorsque lorsque les informations sont trop les informations sont trop riches.riches.

YAG <111> pour 2 YAG <111> pour 2 défocalisations voisines.défocalisations voisines.

00 55 1010

z = - 43 nm

21


Réglage de la défocalisation Réglage de la défocalisation (c’est à dire comment repérer la défocalisation nulle ?) :(c’est à dire comment repérer la défocalisation nulle ?) : Utilisation d’un objet représentant un ‘ Utilisation d’un objet représentant un ‘ bruit blanc bruit blanc ’ comme un ’ comme un amorpheamorphe (en (en

général, le bord de l’objet à étudier à cause d’une contamination et/ou une général, le bord de l’objet à étudier à cause d’une contamination et/ou une amorphisation due à la préparation, ou encore le support en film de carbone, ….).amorphisation due à la préparation, ou encore le support en film de carbone, ….).

Aspect de l’image en ‘Aspect de l’image en ‘peau d’orangepeau d’orange’ aux détails ’ aux détails plus ou moins finsplus ou moins fins selon la selon la défocalisation défocalisation Chercher le contraste minimum, proche de Chercher le contraste minimum, proche de z = 0.z = 0.

Film de carbone à trousFilm de carbone à trous

Contamination ?Contamination ?

Franges de FresnelFranges de Fresnel ou ou de bord d’écran de bord d’écran

A. Fresnel A. Fresnel (1788-1827)(1788-1827)

22


zz + 43 nm + 43 nm

zz - 43 nm - 43 nm

zz 0 nm 0 nm

zz + 20 nm + 20 nm

zz - 20 nm - 20 nm

Contraste minimumContraste minimum

FTFT22

Réglage de la défocalisation (suite) : Recherche de la défocalisation nulle. Réglage de la défocalisation (suite) : Recherche de la défocalisation nulle.

z = - 43 µm

z = - 5 µm

z 0

z = + 6 µm

z = + 8 µm

Défocalisation = Défocalisation = Franges de FresnelFranges de Fresnel

Défocalisations Défocalisations élevéesélevées

23


Réglage de la défocalisation (suite) : Réglage de la défocalisation (suite) :

FTFT22

zz + 100 + 100 nmnm

FFT en FFT en ligneligne

Film de carboneFilm de carbone

La répartition des points sombres de l’image du film de carbone est distribuée selon des La répartition des points sombres de l’image du film de carbone est distribuée selon des fréquences spatiales qui s’observent sous forme d’anneaux noirs sur la FFT de l’image. fréquences spatiales qui s’observent sous forme d’anneaux noirs sur la FFT de l’image.

D’où un accessoire de D’où un accessoire de FFT ‘ in live ’FFT ‘ in live ’ à la disposition du microscopiste. à la disposition du microscopiste.

24


Sur-focus de 250 nmSur-focus de 250 nm

Sous-focus de 250 nmSous-focus de 250 nm

FocusFocus

25


FORMATION de l’IMAGE HRTEMFORMATION de l’IMAGE HRTEM

ssg g < 0< 0

ee––

ZOLZZOLZ

1/1/

ObjetObjettt

gg– – gg

aaoo, 0, 0aagg, , ggaagg, , gg

(( hklhk

l ))

22gg

InterférencesInterférences

Diaphragme Diaphragme d’objectifd’objectif

Objectif

Le plan focal de l’objectif est tapissé de taches de diffraction qui se comportent comme Le plan focal de l’objectif est tapissé de taches de diffraction qui se comportent comme une suite de une suite de sources cohérentessources cohérentes et donc susceptibles d’ et donc susceptibles d’interférer. interférer.

• • Cas d’une diffraction à 3 ondesCas d’une diffraction à 3 ondes 0, + 0, +gg, -, -g g ::

Soient : Soient : aaoo, , aagg, , aa-g-g = = aagg, les amplitudes des ondes (= , les amplitudes des ondes (= aa/2) et/2) et 00, , gg, , -g-g = = gg, les phases des ondes., les phases des ondes.

g /2 + sgt + g

diffdiff Instrument + opérateurInstrument + opérateurColonnes Colonnes d’atomesd’atomes

{{

ee––

ObjetObjett t 0 0

+ g+ g– – gg

(( hklhk

l ))

gg00

gg

ObjectifObjectif

Plan focalPlan focal

ii

gg

00gg

LentillesLentilles

EcranEcran

Voir séminaire ‘ Microscopie conventionnelle ’ : Zones de Fresnel.

{{ {{

26


MMxx

OOHH

(( hkhk ll ))

gg gg 00

22gg

aaoo

aagg

22gxgx

gg

)(xI

• • Formation de l’image sur l’écran : En un point M écarté de x depuis l’axe optique, la composition des ondes forment le réseau de franges, via une variation de la différence de marche HM.HM = x sin 2g 2x/2dg = xg, d’où la phase correspondante : x = 2gx

En résumé, en tout point x, il faut composer 3 ondes de phases En résumé, en tout point x, il faut composer 3 ondes de phases respectives : 0, respectives : 0, g + 2gx, g - 2gx, d’où le diagramme de Fresnel :

o g o g g2 2 2( ) 2 2 4I x = a + 2a + 4a a Vcos( πgx)+ a cos( πgx)

RésultatRésultat : :

VV est un facteur de visibilité valant : est un facteur de visibilité valant : V = cosg = cos (/2 + sgt + gsinsgt + gIl y a trois situations intéressantes : VV = = 1, 1, VV = + 1, = + 1, VV = 0 = 0.

• • VV = = 1 1,

• • VV = + 1 = + 1,

• • VV = 0 = 0,

o o g g o2( ) 4 cos(2 ) et = contraste 8 4 I x a a a πgx C a /a

o o g g o2( ) + 4 cos(2 ) et 8 I x a a a πgx C a /a

o g g o2 2 2( ) 2 [1 + cos(4 )] et 4 ( )I x a + a πgx C a /a

BonBon

BonBon

MauvaisMauvais

27


VV = = ––11 VV = +1 = +1 VV = 0 = 0

II((xx))

V V = = ––1 1 VV = 0 = 0 VV = +1 = +1

V V = = ++1 1 VV = 0 = 0 VV = = –– 1 1Micrographie J. Desseaux, CEA GrenobleMicrographie J. Desseaux, CEA Grenoble

Nota :

- 1 - La fonction capitale intervenant dans la contraste des images est la fonction sinussinus.

- 2 - A V = sinsgt + g-1, soit : /2 (objet très mince), les atomes sont vus noirs.

• • IllustrationIllustration : :

28


Formation de l’image HRTEM dans le cas généralFormation de l’image HRTEM dans le cas général ::

Entrée de l’objetEntrée de l’objet : : Eclairement uniforme et parallèle : Eclairement uniforme et parallèle : ttoo((xx,,yy) = 1) = 1

Sortie de l’objetSortie de l’objet : : Fonction transmission :Fonction transmission : t t ((xx,,yy) = exp[) = exp[ii((xx,,yy) + ) + iidiffdiff] ] avec : avec : ((xx,,yy) = ) = VVpp((xx,y),y)

Plan focal de l’objectifPlan focal de l’objectif : : Siège d’une transformée de Fourier (Espace de coordonnéesSiège d’une transformée de Fourier (Espace de coordonnées ( (uu,,vv))) ) tt((x,yx,y) donne ) donne TT((u,vu,v) et les aberrations se signent par une fonction : ) et les aberrations se signent par une fonction : AA((u,vu,v) = exp() = exp(ii((u,vu,v)), )), d’où d’où le résultat : le résultat : T T ((u,vu,v) ) . . AA((u,vu,v) )

Sur l’écranSur l’écran : : La composition des ondes par les lentilles sous l’objectif (supposées parfaites) La composition des ondes par les lentilles sous l’objectif (supposées parfaites) consiste à faire une transformée inverse, soit : consiste à faire une transformée inverse, soit : tt ’( ’(x,yx,y) = TF) = TF-1-1[[T T ((u,vu,v) ) . . AA((u,vu,v))].].

tt ’( ’(x,yx,y) = TF) = TF-1-1[[T T ((u,vu,v)])] TF TF-1-1[[AA((u,vu,v)] = )] = tt ( (x,yx,y) ) TF TF-1-1[exp([exp(ii((u,vu,v)] )] tt ’( ’(x,yx,y) = ) = tt ( (x,yx,y) ) TF TF-1-1[cos[cos+ + ii sin sin] = ] = tt ( (x,yx,y) ) [ [cc ( (x,yx,y) + ) + ii ss ( (x,yx,y)] )]

Intensité sur l’écranIntensité sur l’écran : : imim((xx,,yy) = ) = t t '('(xx,,yy))22

Approximation de l’objet de phase faible :Approximation de l’objet de phase faible : tt((xx,,yy) ) 1 + 1 + ii[[ ( (xx,,yy) + ) + diffdiff] = 1 + ] = 1 + ii(( x x,,yy).).

imim((xx,,yy) = ) = (1 + (1 + ii ( (cc + + isis))22 = = 1 + 1 + ii cc ss))2 2 en remarquanten remarquant que : que : cc 1 = 1 et 1 = 1 et ss 1 = 0 1 = 0imim((xx,,yy) = () = (1 + 1 + ii cc ss) (1 - ) (1 - ii cc ss)) = 1 = 1 2 2 ss + ( + ( ss))2 2 ++ (( cc))2 2

imim((xx,,yy) = (1 ) = (1 ss))22++ (( cc))2 2 En négligeant les termes du deuxième ordre, En négligeant les termes du deuxième ordre, imim((xx,,yy) ) 1 1 2 2 ss = 1 = 1 2 2TFTF11[sin[sin]]

Si l’échantillon était d’épaisseur nulle : Si l’échantillon était d’épaisseur nulle : imim((xx,,yy) ) 1 1 2 2 ss = 1 = 1 ++ 2 2VVpp TFTF11[sin[sin]]Nota : Si Si sinsin = -1 (Scherzer idéal), l’image est représentative du = -1 (Scherzer idéal), l’image est représentative du potentiel projeté changé de signepotentiel projeté changé de signe.. Avec échantillon réel : Avec échantillon réel : imim((xx,,yy) ) = 1 = 1 ++ (2 (2VVpp – – s ts t)) TFTF11[sin[sin]]d’où un d’où un décalage des détails de l’imagedécalage des détails de l’image par rapport aux positions des colonnes d’atomes. par rapport aux positions des colonnes d’atomes.

( ) ( ) ( ) ( )

c x = f x' g x - x' dx'c x = f g

Produit de convolution

Entreprendre une simulation 29


Effets de l’épaisseurEffets de l’épaisseur des objets : des objets :

Un objet, en général, n’est pas un objet de phase faible, ni même parfois un objet Un objet, en général, n’est pas un objet de phase faible, ni même parfois un objet de phase seule (il absorbe). Les interactions dynamiques sont à considérer.de phase seule (il absorbe). Les interactions dynamiques sont à considérer.

tt (nm) (nm)

11

0000 1010 2020 3030 4040

{000}{000}

{200}{200}{220}{220}

AmplitudeAmplitude

/2/2

00 1010 2020 3030 4040tt (nm) (nm)

{000}{000}

{200}{200}

{220}{220}PhasePhase

Potentiel projetéPotentiel projeté

Fonction d’ondeFonction d’onde

zz = + 17 nm = + 17 nm

zz = = ––16 nm16 nm

zz = = –– 32 nm 32 nm

zz = = –– 40 nm 40 nm

zz = = –– 49 nm 49 nm

tt = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nm = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nm

Microscope 200 kV, Microscope 200 kV, CCSS = 0,5 mm, = 0,5 mm, = 7 nm, = 7 nm, ss = 0,4 mrad) = 0,4 mrad)

Aluminium Aluminium <001><001>

Logiciel JEMSLogiciel JEMS

Atomes blancsAtomes blancs

Atomes noirsAtomes noirs

30


SIMILATION des IMAGES HRTEMSIMILATION des IMAGES HRTEMConsiste à reproduire la physique présente dans l ’objet et le microscope avec comme Consiste à reproduire la physique présente dans l ’objet et le microscope avec comme

données d’entrée : les paramètres de l’optique du microscope, la cristallographie, données d’entrée : les paramètres de l’optique du microscope, la cristallographie, l’orientation de l’objet et le mode de calcul des facteurs de diffusion. l’orientation de l’objet et le mode de calcul des facteurs de diffusion.

La similitude avec les images expérimentales obtenues dans les mêmes conditions, La similitude avec les images expérimentales obtenues dans les mêmes conditions, est excellente en principe.est excellente en principe.

2 approches possibles : 2 approches possibles : Ondes de Bloch Ondes de Bloch et et Multislice.Multislice.

Ondes de BlochOndes de Bloch : Fonctions d’onde qui décrivent les états quantiques des électrons soumis à un potentiel périodique (valable pour les cristaux parfaitscristaux parfaits). Thèorème de Bloch : Les ondes de Bloch ont la périodicité du potentiel.

Felix Bloch (1905-1983)

Onde de BlochOnde de Bloch j j : : (j)(j)((rr) = ) = bb((kk(j)(j),,rr) = ) = µµ((kk(j)(j),,rr))..exp(2exp(2i ki k(j)(j)rr))

où la fonction de BLOCH fonction de BLOCH µµ((kk(j)(j),,rr)) est une fonction périodique décomposable en série de Fourier : ggCCgg

(j)(j) exp(2 exp(2i g ri g r))

d'où : bb((kk(j)(j),,rr) ) = ggCCgg(j)(j) exp[2 exp[2i i (k(j)+g)r]

ExEx : : Cas à 2 ondes de BlochCas à 2 ondes de Bloch ( (kk11 et et kk22)) : Prise en compte de 4 vecteurs d’onde : kk11,, kk11+g,+g, kk22,, kk22+g +g et donc de 4 coefficients de Bloch et donc de 4 coefficients de Bloch CCoo

11, , CCoo22, , CCgg

11, , CCgg22..

Les coefficients Les coefficients CCggjj sont les vecteurs propres d’une matrice {A} où

interviennent les coefficients de Fourier du potentiel périodique, c’est à dire les facteurs de structure Fg.

Vecteurs d'onde des ondes de BLOCH (Cas so = 0)

k(1)

k(2)k(2)+g

k(1)+g

kz,o

O Ghkl

o(r) g(r) z

b1(r)

b2(r)

g

Passage au cas à Passage au cas à NN ondes aisé. ondes aisé. 31


MultisliceMultislice : L’idée est de découper le cristal en tranchestranches perpendiculaires à la direction d’observation, chaque tranche étant suffisamment mince pour la considérer comme un objet de phase (applicable au cas des cristaux imparfaitscristaux imparfaits).

La modification subie par une onde entrant sur la tranche n est traduite par une fonction de transmission ttnn((x,yx,y)). L’onde est alors propagée jusqu’à la tranche suivante sous forme d’un opérateur propagation, dit propagateur de Fresnel propagateur de Fresnel ppnn((x,yx,y)) (par application du (par application du principe d’Huyhens-Fresnel)principe d’Huyhens-Fresnel).

C. Huyghens (1629-1695)

Tranche Tranche n n – 1– 1

Tranche Tranche n n P(P(x',y'x',y'))

Q(Q(x,yx,y))ii

ttnn

Ondelettes sphériques depuis tous les points Q(x,y) qui participent à l’amplitude de l’onde en chaque point P(x’,y’). Chaque participation est de la forme : ttnn((xx,,yy) exp(2) exp(2i ki k∙∙rr) /) /r r où :où :

r r = QP donnée par := QP donnée par : rr22 = ( = (xx xx )′)′ 22 + ( + (yy yy )′)′ 22 + + ttnn22

Approximation de la colonne : (x - x’) 0 et (y - y’) 0rr ttn n + [(+ [(xx xx )′)′ 22 + ( + (yy yy )′)′ 22]/2]/2ttnn

te

n nn n

[( ) ( ) ]( ) exp(2 ) ( ) exp{ }

2 2C iπ x x' + y y'ψ x', y' = πikδt t x, y dxdy

δt λ δt

( ) ( ) ( ) c x = f x' g x - x' dx' Expression d’un produit de convolution :

te 2 2

nn

n n

( )( ) exp(2 exp{ }

δtC iπ x + yp x, y = πi )

δt λ λ δtn n( ) ( ) ( )ψ x', y' = t x, y p x, y

n+1 n 3 2 1 1 2 3 n( ) = (....( ( ( ) ) )....)ψ x, y t t t t p p p p n+1( ) [ ( ) ( )] ( )n n nψ x, y = ψ x, y p x, y t x, y32


La sommation est menée par un processus de transformée de Fourier :

n+1 n+1 n n n( ) TF{ ( )} [ ( ) ( )] ( )Ψ u,v = ψ x, y = Ψ u,v P u,v T u,v

n+1( ) [ ( ) ( )] ( )n n nψ x, y = ψ x, y p x, y t x, y

-1n+1 n n n( ) TF { ( ) ( )} ( )ψ x, y = Ψ u,v P u,v t x, y 1( ) ( )Ψ u,v = δ u,ven partant de si l’onde

incidente est plane et uniforme ((11((x,yx,y) = 1).) = 1).

MgMg22

OO

SiSi

MgMg11

<110><110>AlAl22OO33 //// <110> <110>MgMg22SiSi

1 nm1 nm

AlAl22OO33 MgMg22SiSi

Logiciel JEMS Modèle structural (corps rigide) donnant le meilleur ‘ fit ’

Motif structural à l’interface

Micrographie G. Thollet et R. Chassagnon -MATEIS

Exemple appliqué à la structure de l’interface AlExemple appliqué à la structure de l’interface Al22OO33/Mg/Mg22Si:Si:

33


CORRECTEUR DE CCORRECTEUR DE CSS

ff (nm (nm-1-1))

200 kV - 200 kV - CCSS = 0,05 mm - = 0,05 mm - = 7 nm - = 7 nm - SS = 0,4 mrad - = 0,4 mrad - zz = -11 nm = -11 nm

La correction est initiée par des bobinages additionnels à plusieurs pôles (quadripôles, La correction est initiée par des bobinages additionnels à plusieurs pôles (quadripôles, hexapôles, octopôles) (hexapôles, octopôles) (Voir séminaire ‘Emission électronique et résolution’).Voir séminaire ‘Emission électronique et résolution’).

ff (nm (nm-1-1))

200 kV - 200 kV - CCSS = 0,05 mm - = 0,05 mm - = 1 nm - = 1 nm - SS = 0,4 mrad - = 0,4 mrad - zz = -12 nm = -12 nm

Abaisser la valeur de Abaisser la valeur de CCSS est réellement profitable si l’émission est améliorée est réellement profitable si l’émission est améliorée (monochromateur).(monochromateur).Un record du monde a été obtenu en fin 2008 par une équipe pluri-disciplinaire Un record du monde a été obtenu en fin 2008 par une équipe pluri-disciplinaire [Kisielowski].[Kisielowski]. La La distance limite d’information d’un microscope de la société FEI (distance limite d’information d’un microscope de la société FEI (projet TEAMprojet TEAM : Transmission Electron : Transmission Electron Aberration-corrected Microscope), corrigé des aberrations optiques et doté d’un monochromateur de Aberration-corrected Microscope), corrigé des aberrations optiques et doté d’un monochromateur de type Wien ainsi que d’une nouvelle source ce type Schottky a été abaissée à type Wien ainsi que d’une nouvelle source ce type Schottky a été abaissée à 0,05 nm0,05 nm. Des images . Des images d’atomes individuels d’or avec un rapport signal sur bruit de 10, ont été obtenues.d’atomes individuels d’or avec un rapport signal sur bruit de 10, ont été obtenues.

34


Séminaire suivant : « Ptychographie »

Documents

2011 SGM Auteur : ESNOUF Claude CLYM Séminaire 11 Imagerie de haute résolution en MET