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L2 - M33 - CC1 - Thme A - Novembre 2012

Exercice 1

Soit f une fonction de classe C1 et x0 Df. Soit le polynme dinterpolation de LAGR AN GE de f enx0et hle polynmedinterpolation dHERMITEenx0. Calculerh(x)(x).

CORRECTION. Le polynme dinterpolation de LAGR ANGEde f enx0est lunique polynme R0[x] qui vrifie (x0) =f(x0),donc (x) =f(x0). Le polynme dinterpolation dHERMITEde f enx0est lunique polynmehR1[x] qui vrifieh(x0) =f(x0)eth(x0) =f(x0). On cherche alorsa0eta1tels queh(x) = a0 + a1x:

h(x0) =f(x0),h(x0) =f(x0), a0

+a1x0

=f(x0),

a1 =f(x0), a0 =f(x0) x0f

(x0),a1 =f(x0),

donch(x) =f(x0)+ (x x0)f(x0) eth(x)(x) =f(x0)+ (x x0)f(x0)f(x0) = (x x0)f(x0).

Exercice 2

Soit f: R Rune fonction de classe C1(R) qui sannule au moins une fois et dont la drive ne sannule pas. Soit x0 Dfdonn. Pour iN construisons la suite (xi)icomme suit :xi+1 est la racine du polynme interpolateur dHERMITEde fenxi.Quelle mthode reconnait-on? Justifier la rponse.

CORRECTION. Le polynme dHERMITEdune fonction f enxia quation q(x) = f(xi) + (x xi)f(xi) : il sagit de la droitetangente au graphe de f enxi. On cherchexi+1tel que f(xi)+ (xxi)f(xi) = 0, doxi+1 = xi f(xi)f(xi) . On a alors la suite dfiniepar rcurrence

x0donne,xi+1 = xi f(xi)f(xi) ,

qui correspond la mthode de N EWTONpour lapproximation de la racine de f.

Exercice 3

On considre le problme du calcul de [0,] tel que = 1 14cos().1. Montrer quon peut utiliser la mthode de la dichotomie pour approcher . Que vaut lapproximation de aprs 3

itrations ? Quel est lerreur maximale quon obtient aprs 3 itrations?

k 0 1 2 3[ak, bk] [0,]

k

22. On considre la mthode de point fixe suivante :

x0 [0,],xk+1 = g(xk) pour toutk 0,

(1)

avecg: [0,] R la fonction dfinie parg(x) = 1 14cos(x).2.1. tudier graphiquement la convergence de cette mthode.

2.2. Montrer rigoureusement que la mthode converge pour toutx0 [0,].2.3. Montrer que lerreur satisfait lingalit |xk| Ck|x0 |. Donner une estimation de la constante Cet lutiliser

pour minorer le nombre ditrations ncessaires pour approcher 103 prs.

2.4. Montrer que si on utilise le critre darrt|xk+1 xk| alors|xk+1 |

1C. Quelle valeur de faut-il choisirpour approcher 103 prs?

CORRECTION.

1. Soit f: [0,] R la fonction dfinie par f(x) = 1 14cos(x) x. Elle est de classe C, f(0) = 3/4 > 0 et f() = 5/4 < 0,le thorme des valeurs intermdiaires permet de conclure quil existe au moins un [0,] tel que f() = 0. De plus,comme f(x) = 14cos(x)1 < 0, ce zro est unique. On peut alors utiliser la mthode de la dichotomie pour approcher etlon a

k 0 1 2 3[ak, bk] [0,]

0,2

4 ,

2

4 ,

38

k

2

4

38

516

2. On considre la mthode de point fixe de fonction ditrationg.

1

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L2 - M33 - CC1 - Thme A - Novembre 2012

2.1. tude graphique de la convergence :

gest de classe C, g(0) = 3/4,g() = 5/4,g(x) = 14sin(x) [0,1/4],gest croissante sur [0,].

La suite xnest monotone croissante si x0< et monotonedcroissante six0 > .

g

y

x

x0 x1x2 x0x1x2

5434

2.2. g([0,]) = [3/4,5/4] [0,] et |g(x)| 1/4 < 1 : la mthode de point fixe converge vers pour toutx0 [0,].2.3. Pour toutkN il existe kcompris entre etxktel que |xk| = |g(xk1)g()| |g(k)||xk1 | 14k |x0 |

4k

.

Donc, pour approcher 103 prs, il faut prendre le plus petitkN qui vrifiek log4(103) 5.9,i.e. k= 6.2.4. Pour toutkN on a |xk| |xk+1 xk| |xk+1 xk+ xk| = |xk+1 | C|xk| avec C= 1/4 do

|xk+1 | 1

1C|xk+1 xk|

1C.

Pour que lerreur soit infrieur 103 il faut alors choisir (1C)103.

Exercice 4

Pour calculer les racines de la fonction f(x) = x3 x2 + 8x 8 on utilise 4 mthodes de point fixe diffrentes dcrites par lesfonctions ditration suivantes :

1(x) = x3 + x2 7x+8 2(x) =8 x38 x 3(x) =

1

10x3 + 1

10x2 + 1

5x+ 4

5 4(x) =

2x3 x2 +83x2 2x+ 8

Dans le tableau suivant sont reportes les suites des itres obtenues par ces quatre mthodes.

Mthode A Mthode B Mthode C Mthode D

x0 0.5000000000000000 0.500000000000000 0.5000000000000000 0.5000000000000000x1 0.9125000000000001 1.032258064516129 4.625000000000000 1.050000000000000x2 0.9897857421875000 1.000235245684712 101.9160156250000 0.9845143884892086x3 0.9989578145726552 1.000000012299503 1.06969712377820210

6

1.004312677086027x4 0.9998955643403695 1.000000000000000 1.2240018612349151018 0.9987590594698483x5 0.9999895542527895 1.000000000000000 1.8337757893851611054 1.000353832012369x6 0.9999989554034564 1.000000000000000 6.16649954570005210162 0.9998988463640411

Montrer que = 1 est lunique racine relle de f. Associer chaque mthode sa fonction ditration (justifier chaque rponse).

CORRECTION. Les fonctionsisont de classe Cau voisinage de. De plus, on remarque que f(x) = (x 1)(x2 + 8), donclunique racine relle de f est = 1. On sait que si |

i()| < 1,alorsilexisteunintervalle[c; d] telquelasuite(xk)kconverge verspourtout x0 [c; d] ; plus prcisment,

si 0 < i() < 1 la suite converge de faon monotone, cest--dire, lerreur xkgarde un signe constant quand kvarie,

tandis que si

1

1 la suite diverge de faon monotone, tandis que pour i() < 1elle diverge en oscillant;

si |i()| = 1, on ne peut en gnral tirer aucune conclusion : selon le problme considr, il peut y avoir convergence ou

divergence.

Enfin, si(j)i

() = 0 pour 1 j pet (p+1)i

() = 0, alors la mthode de point fixe associe la fonction ditrationiestdordrep+1.

Calculons donc i() pouri= 1,2,3,4 :

1. 1(x) = 3x2 + 2x7 et 1(1) = 8 : la suite diverge en oscillant (colonne C) ;2. 2(x) =3x

3(8x)+(8x3)(8x)2 et

2(1) = 1449: la suite converge de faon oscillante (colonne D);

3. 3(x) = 310 x2 +1

5x+ 1

5et 3(1) = 410: la suite converge de faon monotone (colonne A ou B) ;

4. 4(x) = (6x2

2x)(3x2

2x+8)(2x3

x2

+8)(6x2)(3x22x+8)2 et 4(1) = 0 : la suite converge lordre au moins 2 (colonne B).

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L2 - M33 - CC1 - Thme B - Novembre 2012

Exercice 1

Vrifier que le polynme dinterpolation dHERMITE dune fonction fen un point concide avec le polynme de TAYLO Rdordre 1 de fen ce point.

CORRECTION. Le polynme dinterpolation dHERMITE en un point (x0,f(x0),f(x0)) est lunique polynme q R1[x] quivrifieq(x0) =f(x0) etq(x0) =f(x0). On cherche alorsa0eta1tels queq(x) = a0 + a1x:

q(x0) =f(x0),q(x0)

=f(x0),

a0 + a1x0 =f(x0),a1

=f(x0),

a0 =f(x0) x0f(x0),a1

=f(x0),

doncq(x) =f(x0)+ (x x0)f(x0).

Exercice 2

1. Calculer le polynme pde LAGR AN GE qui interpole la fonction f(x) = 4xaux points dabscisse x0= 1,x1= 2 et x2= 4.Esquisser les graphes de fet deppourx [1,4].

2. Vrifier que lerreur(x) f(x) p(x) prend sa valeur maximale en un unique point xdans lintervalle [2,4]. Calculerensuitex 101 prs (on pourra utiliser la mthode de dichotomie).

3. Comparer la fonction avec lestimation thorique de lerreur.

CORRECTION.

1. f est une hyperbole etpest la parabole qui passe par les points (1,4), (2, 2) et (4,1) : p(x) = 12 x2 72 x+7

fp

4

1

2

2

1

4

y

x

2. On a (x) f(x) p(x) = 4x 7 + 72 x 12 x2. Comme(x) = 72x 4x2 , il sagit de trouver xtel que (x) = 0. Une simple

comparaison des graphes des fonctions u: x 72 xet v: x 4x2 montre que (x) = 0 admet une solution dans lin-

tervalle [1,2] et une solution dans lintervalle [2,4] (en effet, (1)=

u(1)

v(1)=

2.5

40 et (4)=u(4) v(4) 101 1 > 101 0.5 > 101 0.25 > 101 0.125 > 101 0.0625 < 101Lerreur prend sa valeur maximale pour x 9932= 3.09375 et vaut (x) 0.01166653913.

3. Comparons ce rsultat avec lestimation thorique de lerreur.n= 2 et fest de classe C([1,4]), donc pour toutx [1,2]il existe x [1,4] tel que

(x)=

f(x)

3! (x

1)(x

2)(x

4)

= 3

4x(x3

7x2

+14x

8).

Comme (x) = 4x7+ 72 x 12 x2, on obtient x= 4

6x.

Exercice 3

On considre le problme du calcul de [0,] tel que = 1+ 12sin().1. Montrer quon peut utiliser la mthode de la dichotomie pour approcher . Que vaut lapproximation de aprs 3

itrations?

2. On considre la mthode de point fixe suivante :x0 [0,],xk+1 = g(xk) pour toutk 0,

(2)

avecg: [0,] R la fonction dfinie parg(x) = 1+ 12sin(x).

3

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L2 - M33 - CC1 - Thme B - Novembre 2012

2.1. tudier graphiquement la convergence de cette mthode.

2.2. Montrer rigoureusement que la mthode converge pour toutx0 [0,].2.3. Montrer que lerreur satisfait lingalit |xk| Ck|x0 |. Donner une estimation de la constante Cet lutiliser

pour minorer le nombre ditrations ncessaires pour approcher 103 prs.

2.4. Montrer que si on utilise le critre darrt|xk+1 xk| alors|xk+1 | 1C. Quelle valeur de faut-il choisirpour approcher 103 prs?(Rappel :|ac| |cb| |ab| |ac|+ |cb| pour tout a, b,cR)

CORRECTION.

1. Soit f: [0,] Rla fonction dfinie par f(x) = 1 +12sin(x) x. Elle est de classe C, f(0) = 1 > 0 et f() = 1 < 0,le thorme des valeurs intermdiaires permet de conclure quil existe au moins un [0,] tel que f() = 0. De plus,

comme f(x) = 12cos(x)1 < 0, ce zro est unique. On peut alors utiliser la mthode de la dichotomie pour approcher etlon a

k 0 1 2 3[ak, bk] [0,]

0, 2

4 ,

2

38 ,

2

k

2

4

38

716

2. On considre la mthode de point fixe de fonction ditrationg.

2.1. tude graphique de la convergence :

g est de classe C, g(0) = g() = 1, g(x) = 12cos(x) [1/2,1/2],gest croissante sur [0, 2 ], dcroissante sur [2 ,] etg(/2) = 3/2