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Droites parallles. Droites scantes
I) Droites parallles
1) Proprit
Les nombres m , m, p et p reprsentent des nombres rels :
Dans un repre : Les droites (d) et (d) dont les quations sont
respectivement : et sont parallles si, et seulement si,
Toutes les droites verticales, de la forme , c tant un nombre
rel , sont parallles entre elles .
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2) Exemples
Exemple 1:
Soit (d) la droite dquation: 7 et (d) la droite dquation 4 Les
droites (d) et (d) sont parallles car elles ont le mme coefficient
directeur
Exemple 2:
Soit (d) la droite dquation: 2 et (d) la droite dquation 1 Les
droites (d) et (d) ne sont pas parallles car elles nont pas le mme
coefficient directeur : 4 4 Exemple 3:
Soit (d) la droite dquation 2 et (d) la droite dquation 12. Les
droites (d) et (d) sont parallles car elles sont toutes les deux de
la forme , donc toutes les deux verticales.
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II) Droites scantes
1) Dfinition
Deux droites sont scantes si, et seulement si, elles ne sont pas
parallles.
Consquence : m , p et c dsignent des nombres rels :
Dans un repre, la droite (d) dquation et la droite (d) dquation
sont scantes si, et seulement si,
Dans un repre, la droite (d) dquation et la droite dquation sont
toujours scantes.
.
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Exemples :
Soit (d) la droite dquation: 2 et (d) la droite dquation 1 Les
droites (d) et (d) sont scantes car elles nont pas le mme
coefficient directeur :
La droite (d) dquation 8 et la droite (d) dquation 2 sont
scantes.
III) Alignement de trois points
1) Proprit
A, B et C sont trois points deux deux distincts. Les points A, B
et C sont aligns si, et seulement si, les droites (AB) et (AC) ont
le mme coefficient directeur ou bien si A, B et C ont la mme
abscisse
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2) Mthode
Exemple 1: Prouver que les points A(2 ; 2) ; B(1 ; -1) et C(4 ;
8) sont des points aligns.
On calcule le coefficient directeur de la droite (AB) :
m
On calcule le coefficient directeur de la droite (AC) :
m
On compare les rsultats et on conclut:
m m 3 .Les droites (AB) et (AC) ont le mme coefficient directeur
Les points A, B et C sont aligns. Exemple 2: Prouver que les points
A(2 ; 2) ; B(2 ; -1) et C(2 ; 8) sont des points aligns.
On remarque que les points A, B et C ont la mme abscisse 2,
alors les points A, B et C sont bien aligns. (ils appartiennent la
droite dquation 2). Exemple 3: Les points A(3 ; 2) ; B(5 ; 4) et
C(2 ; 0) sont-ils aligns ?
On calcule le coefficient directeur de la droite (AB) :
m
1
On calcule le coefficient directeur de la droite (AC) :
m
On compare les rsultats et on conclut:
m m.Les droites (AB) et (AC) nont pas le mme coefficient
directeur Les points A, B et C ne sont pas aligns.
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IV) Point dintersection de deux droites scantes
Exemple : Soit (d) la droite dquation 3 1 et (d) la droite
dquation 2 1 . Dterminer les coordonnes du point dintersection des
droites (d) et (d).
1) Mthode pour dterminer les coordonnes du point dintersection
de deux droites
a) On vrifie que les droites (d) et (d) soient scantes. Les deux
droites nont pas le mme coefficient directeur (3 2), donc elles
sont bien scantes. b) Appelons A le point dintersection de ces deux
droites. A (d) alors 3 1 A (d) alors 2 1 .
On a donc 3 1 2 1 .
Il suffit de rsoudre lquation pour trouver la valeur de . 3 2 1
1 2
Il suffit de remplacer par sa valeur dans lune des deux quations
de droites On prend par exemple la premire : 3 2 1 6 1 Le point
dintersection des deux droites est le point A de coordonnes (2 ;
5)
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2) Lecture graphique
On trace les deux droites (d) et (d).
On lit les coordonnes du point dintersection : A(2 ;5)
Cela nous permet de vrifier notre rsultat prcdent
