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16/10/2015

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Cours Commande Adaptative M. KSOURI 1

Estimation Paramétrique

Estimation paramétrique


Plan

Introduction

Estimation d’un paramètre

Cas de plusieurs paramètres

mise en équation, MC, MCR

Applications


1. Introduction la méthode des moindres carrés

Proposée par en 1821 par K. F. Gauss, cette méthode a permis de résoudre le problème de la détermination de paramètres d’orbites à partir d’observations entachées d’erreurs.

Elle a retrouvé un regain d’intérêt avec la formulation récursive proposée par R. L. Plackett en 1950 : les estimations peuvent être corrigées en temps réel, au fur et à mesure de l’acquisition de nouvelles données.


2. ExempleEstimation d’un paramètre

Enoncé du problème

Un mobile se déplace à une vitesse constante v sur une trajectoire linéaire, par la mesure de sa position y(t), on désire estimer sa vitesse v.

Donnéest ( s) 0 1 2 3 4 10 12 18

y ( m) 5.71 9 15 19 20 45 55 78

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Résolution

Pour résoudre ce problème on a besoin tout d’abord d’écrire un modèle mathématique représentatif.

Dans ce cas il s’agit simplement de l’équation :

y(t) = y(0) + v t

On se propose d’abord de répondre à la question par l’approche graphique, puis on développera une approche des moindres carrés


0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

10

20

30

40

50

60

70

80

Approche graphique

1. Porter les points

2. Tracer une droite

3. Calculer la pente

4. Déduire la vitesse


Le tracé de la droite est subjectif

Pour que le résultat soit le même quelque soit l’opérateur, il faut

un critère

par exemple

Min J = Si²

avec i l’erreur donnée par l’écart entre la valeur mesurée n°i et la valeur donnée par le modèle.


Les calculs

Modèle : yi = y(0) + v ti

Erreur : i = ymesurée(i) – yi

i = ymesurée(i) – [y(0) + v ti]

En écrivant le minimum de J par rapport à v, on

en déduit:

AN

N

iimesurée

tiN

iiv yyt

10

1

)(

1

2ˆ

m/s 02.4ˆv

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Forme récurrente

On cherche à exprimer la valeur estimée dès qu’une nouvelle mesure arrive.

Ce qui permet d’avoir une idée sur la valeur de celle-ci tout en observant sa convergence.

On doit donc écrire la valeur estimée à l’instant tk en fonction de celle à l’instant tk-1.


kkk bPv̂

La forme récurrente s’obtient facilement dans ce cas (une seule variable à estimer )

kkk tPK avec :

121

2211 1

kkkkkk tPtPPP kkkk tybb 1

k

1iimesurée0

1

kt )i(v̂ yyt

k

1i

2i

1

1

2

k

iik tP

k

iiik tyb

1

On pose : )(0

iymesuréeyiy

kkkkkk tvyKvv 11ˆˆˆ


L’algorithme récurrent se fait en 3 étapes répétitives en plus de l’étape initialisation

0v̂On se donne des valeurs initiales : P0 et

Etape initialisation

Etape 1

Etape 2

Etape 3

À chaque instant tk on effectue les 3 étapes:

121

2211 1

kkkkkk tPtPPPOn calcule Pk

kkk tPK On calcule Kk

kv̂ kkkkkk tvyKvv 11ˆˆˆ On calcule


Application Numérique

0ˆ0 vP0= 1;

0ˆ0 vP0= 100;

SIMULATION

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Conclusions à tirer de cet exemple1.D’après la forme

récurrente, l’estimateur peut être considéré comme une méthode de gradient, car l’estimé est corrigé par un terme qui mesure le gradient à un gain près.

kkkkkk tv̂yKv̂v̂ 11

Erreur d’estimation

Terme de correction

2.Le gain Kk est une fonction décroissante de K et décroît très rapidement.

3.Il est nécessaire de se donner des CI pour démarrer l’algorithme.


Soient n paramètres à estimer : 1, 2, …, n. Ils sont

supposés invariants dans le temps.

Modèle linéaire : y = 1 x1+ 2 x2 + … + n xn

On suppose x1, x2, …, xn connus exactement et

linéairement indépendants.

y est une mesure entachée d’erreur .

3. Cas de plusieurs paramètres


Mise en équations

On pose : nT 21

n

xxxhT 21

Thy

kTkk

T

T

hy

hy

hy

222

111

On pose :

ky

y

Y 1

Tk

T

h

h

H 1

k

1

Si on effectue k mesures entachées chacune d’une erreur, on obtient:


Critère quadratique

HYHYJTT

k

ii

1

2

Minimisation de J 0min

JJ

YHHH TTk

1ˆ

(HTH) est inversible si k n et xi linéairement indépendants

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Rappels sur la dérivation vectorielle

ff

ffT

T

2

HH

TT WW

2

02 HYHT


HHP Tk 1 YHb T

k 1. On pose :kkk bP̂

k

i

Tii

Tk

T

kT

k hh

h

h

hhHHP1

1

11

2. On a :

Tkkkk hhPP

1

11

3. Lemme d’inversion matriciel :

1111111 ABBABCBAABCBA TTT

kkTk

kTkkk

kkhPh

PhhPPP

1

111

1

4. On en déduit :

Recherche d’une forme récurrente


kk

kkTk

kkk hP

hPh

hPK

1

1

1 11 k

Tkkkkk

ˆhyKˆˆ

Recherche d’une forme récurrente ( suite)

kkk

k

iii

Tk yhbyhYHb

1

1

5. On a :

kkkk yhbb 1

1

1

11

ˆ1

ˆˆ

k

Tkk

kkTk

kkkk hy

hPh

hP

6. Finalement :


En résumé,l’algorithme récurrent se fait en 3 étapes répétitives

en plus de l’étape initialisation

0̂On se donne des valeurs initiales : P0 et

Etape initialisation

Etape 1

Etape 2

Etape 3

À chaque instant k on effectue les 3 étapes:

1

1

111 1

kTkkk

Tkkkkk PhhPhhPPPOn calcule Pk

kkk hPK On calcule Kk

k̂ 11 kTkkkkk

ˆhyKˆˆ On calcule

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Application 1

Reprendre le problème du mobile, sachant que la position initiale y0 est inconnue, il faut aussi l’estimer en même temps que la vitesse.

Ecrire l’algorithme récursif et en utilisant MATLAB, estimer les paramètres.

Etudier l’influence de l’initialisation sur la convergence.


Application 2

Soit un processus du premier ordre, proposer l’estimation en ligne de son gain statique et de sa constante de temps.

Simuler avec MATLAB.

Envisager le cas d’un gain statique qui varie brusquement d’une valeur à une autre. Observer et conclure.


Reprendre l’exercice du chapitre 1 et réaliser un estimateur du gain permettant la commande adaptative avec programmation du gain.

Comparer avec la mesure directe du gain.

Envisager le cas de la variation de la constante de temps.

Application 3

Documents

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