3 — 15:46 — page 1 — #349 LES CAPTEURS …medias.dunod.com/document/9782100701674/... · la mesure de la résistivité de très bons conducteurs. On peut inversement utiliser

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LES CAPTEURSCORRIGÉS

Les capteurs, ouvrage écrit par Pascal Dassonvalle dont la deuxième édition est parueen 2013 aux éditions Dunod (www.dunod.com), 9782100701674.

EXERCICES 26 Capteur à courants de Foucault – Mesure de résistivité

27 Relation mesurande-signal de mesure – Dérive thermique

30 Résistance thermométrique en montage potentiométrique

31 Capteur de déplacement capacitif – Non-linéarité

37 Capteur de débit à tube Venturi – Tension de mode commun

PROBLÈMES 5 Capteur résistif non linéaire

7 Linéarisation aval

18 Interféromètre de Mach-Zender utilisé en capteur d’angle

19 Étude d’une thermistance en utilisation bolométrique pour la détermination àdistance de la température d’un corps

21 Capteur angulaire robuste

24 Photodiode à effet latéral unidirectionnelle

©DUNOD, Paris, 2013


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26 EXERCICE :Capteur à courantsde Foucault � Mesurede résistivité

Corrigé détaillé

26.1 Le champ alternatif hautes fréquences créé par la bobine induit dans la plaquemétallique des courants de Foucault. Ces courants produisent à leur tour un champmagnétique opposé au champ magnétique créé par la bobine. La superposition de cesdeux champs modifie l’impédance apparente de la bobine.

26.2 On a simplement e = (R1 + jL1ω) i1 + jMω i2.

26.3 Le secondaire (la cible métallique) du transformateur ainsi réalisé étant encourt-circuit, on a jMω i1 + (R2 + jL2ω) i2 = 0.

26.4 En éliminant i2 entre les deux dernières équations et en posante = (r + jLω)i1, il vient par identification :

r = R1 +R2M2ω2

R22 + L2

2ω2

et L = L1 − L2M2ω2

R22 + L2

2ω2

(26.1)

26.5 Dans le cas d’une cible constituée par un bon conducteur, soit pour R2 � L2ω

et avec M = k√

L1L2, (26.1) devient :

r = R1 + k2R2L1

L2et L = L1(1 − k2) (26.2)

26.6 Compte tenu de la présence de la contre réaction, on a :

H1(p) =V2(p)V1(p)

= −R′′

R′

26.7 En procédant comme demandé, il vient :

V4(p) =I2(p)Cp

et I2(p) =V(p)

Lp + r + 1/Cp=

V(p)Cp

1 + rCp + LCp2(26.3)

2 ©DUNOD, Paris, 2013


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Corrigé 26

Soit en éliminant I2(p) dans (26.3) :

V4(p) =V(p)

1 + rC p + LCp2

De même, on a :

V(p) =Zeq(p)

R + Zeq(p)V3(p) avec Zeq(p) =

1Cp‖(r + Lp +

1Cp

)Calcul fait, on obtient :

H2(p) =1

RLC2 p3 + (RrC + L)Cp2 + (r + 2R)Cp + 1

26.8 Les connections V4 = V1 et V3 = V2 doivent permettre la réalisation d’unoscillateur sinusoïdal et imposent donc la condition dite de Barkhausen, à savoir :

H1( jωoscil) = V2( jωoscil)/V1( jωoscil) = V3( jωoscil)/V4( jωoscil) = 1/H2( jωoscil)

Cette expression conduit donc à H( jωoscil) = 1.

Ceci peut se récrire sous forme de deux conditions :

|H( jωoscil)| = 1 et arg (H( jωoscil)) = 0

26.9 La condition arg(H2( jωoscil))=0 impose − jω3oscilRLC2+ j(r+2R)Cωoscil=0.

Ceci fournit la pulsation d’oscillation de l’oscillateur qui est donnée parω2

oscil = (r + 2R)/RLC et qui compte tenu de (26.2) s’écrit encore :

ωoscil =

√2R + R1 + k2R2L1/L2

RCL1(1 − k2)=

√2R + R1

RCL1(1 − k2)

(1 +

k2L1R2

L2(2R + R1)

)

= ω0

√1 +

k2L1

L2(2R + R1)R2 (26.4)

26.10 L’oscillateur fonctionnant, la transmittance H2( jωoscil) se réduit à :

H2( jωoscil) =(1 − (RrC + L)Cω2

oscil

)−1

Avec ω2oscil = (r + 2R)/RLC, il vient :

H2( jωoscil) =

(1 − r + 2R

RL(RrC + L)

)−1

= − RLRCr(r + 2R) + L(R + r)

(26.5)

Pour une cible parfaitement conductrice, on a r = R1 et L = L1(1 − k2). Dans ce cas(26.5) devient :

H2( jωoscil) = − RL1(1 − k2)

RCR1(R1 + 2R) + L1(1 − k2)(R + R1)

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3©DUNOD, Paris, 2013


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Les capteurs

La condition |H( jωoscil)| = |H1( jωoscil)H2( jωoscil)| = 1 impose alors :

R′′

R′=

RCR1(R1 + 2R) + L1(1 − k2)(R + R1)

RL1(1 − k2)

26.11 On a immédiatement :

R′′

R′=

3R21C + 2L1(1 − k2)

L1(1 − k2)= 2,1 et ω0 =

√3

CL1(1 − k2)= 2.106 rad.s−1

Ce qui amène une fréquence f0 � 318 kHz.

26.12 Si ωoscil reste proche de ω0, (26.4) peut s’écrire :

ωoscil = ω0

√1 +

k2L1

L2(2R + R1)R2 = ω0

√1 +

k2L1

3R1L2αρ � ω0

(1 +

k2L1α

6R1L2ρ

)

26.13 Le cuivre étant un bon conducteur, on peut estimer que ωoscil � ω0. La pro-fondeur de peau et donc l’épaisseur testée par cette méthode de mesure est de l’ordrede δ =

√2/γω0μ0 � 0,1 mm.

26.14 Compte tenu de l’hypothèse faite à la question 26.10, si le conducteurs’écarte trop du conducteur parfait, le rapport fixé R′′/R′ ne permet plus de vérifier lacondition de Barkhausen et l’oscillateur décroche. Il faut donc réserver ce capteur àla mesure de la résistivité de très bons conducteurs.

On peut inversement utiliser le capteur pour détecter des défauts structurels (cavités,concentrations d’impuretés, etc.) situés sous la surface qui, en augmentant de façonimportante la résistivité apparente du matériau, font alors décrocher l’oscillateur.



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EXERCICE :Relation

mesurande-signalde mesure

� Dérive thermique

27

Corrigé détaillé

En avant-propos : bien que ce ne soit pas l’usage habituellement dans l’écriture del’application numérique relative à l’expression analytique d’une grandeur physique,il est conseillé au débutant de faire figurer explicitement les unités dans l’expressionde l’application numérique. Ceci permet de vérifier que le résultat obtenu est bienhomogène et donc par-là, de repérer un oubli de conversion, une mauvaise compré-hension et utilisation des données fournies. . .

Les corrections des exercices suivants seront effectuées dans ce sens.

27.1 Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit :

Vmes(x,T ) = S r(T0) · Valim · (1 + αS (T − T0)) · x= 20 mV/μm/V · 10 V ·

(1 + 0,1 %◦C−1 · (25 − 20)◦C

)· 10 μm

= 2,01 V (27.1)


Vmes(x,T ) = S r(T0) · Valim · (1 + αS (T − T0)) · x (27.2)

On en déduit immédiatement :

x =Vmes(x,T )

S r(T0) · Valim · (1 + αS (T − T0))

=41 mV

1 mV/μm/V · 5 V ·(1 + 0,5 %◦C−1 · (25 − 20)◦C

) = 8 μm (27.3)

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Les capteurs

Si on ne tient pas compte de la dérive thermique, le déplacement apparent xapp estdonné par :

xapp =Vmes(x,T )

S r(T0) · Valim

=41 mV

1 mV/μm/V · 5 V= 8,2 μm (27.4)

L’erreur relative commise est donc

(xapp − x)/x = 2,5 %.


Vmes(p,T0) = S r(T0) · Valim · (p − p0) + Vmes(p0,T0)

= S r(T0) · Valim · (p − p0) + V0

= 100 mV/105 Pa/105 Pa/V · 5 V · (1,5 − 1) · 105 Pa + 1 V = 1,25 V(27.5)

À T = 30 ◦C, on a :

Vmes(p,T0) = S r(T0) · (1 + αS (T − T0)) · Valim · (p − p0) + V0

= 100 mV/105 Pa/V ·(1 + 1 %◦C−1 · (30 − 20) ◦C

)· 5 V · (1,5 − 1) · 105 Pa + 1 V

= 1,275 V (27.6)

27.4 Pour un débit D à la température de référence T0, la tension de mesure s’écrit :

Vmes(D,T0) = S (T0) · (D − D0) + Vmes(D0,T0)

= S (T0) · (D − D0) + V0

= 200 mV/L.s−1 · (20 − 50) L.s−1 + 1 V = −5 V (27.7)

Pour ce même débit, à T = 40 ◦C la tension de mesure s’écrit :

Vmes(D,T ) = S (T ) · (D − D0) + Vmes(D0,T )

= S (T0) · (1 + αS (T − T0)) · (D − D0) + V0(1 + αV0(T − T0)

)= 200 mV/L.s−1 ·

(1 − 0,1 %◦C−1 · (40 − 20) ◦C

)· (20 − 50) L.s−1

+ 1 V ·(1 − 0,2 %◦C−1 · (40 − 20) ◦C

)= −4,92 V (27.8)

27.5 a) On ne dispose que d’une seule valeur de la pression pour différentes va-leurs de la température en tant que grandeur d’influence. On ne peut donc pas estimer



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Corrigé 27

la sensibilité de ce capteur qui par définition relie ici les variations de la tension demesure aux variations de la pression.

b) Par régression au sens des moindres carrés, en considérant qu’à pression constantela tension de mesure s’écrit Vmes = aT + b, on obtient a = 0,275 mV/◦C etb = −2,850 mV.

c) Si on désire que Vmes(p0,T0) = 0 où T0 désigne la température de référence, latension de mesure doit s’écrire :

Vmes(p,T ) = S (T ) · (p − p0) +CDTZ · (T − T0) (27.9)

En p0, on a simplement Vmes(p0,T ) = CDTZ · (T − T0) que l’on doit identifier àVmes(p0,T ) = aT + b. On en déduit :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩CDTZ = a = 0,275 mV/◦C

T0 = −b/a = 10,38 ◦C(27.10)

27.6 a) L’étendue de mesure du capteur peut être adaptée à celle du courant en éloi-gnant plus ou moins le capteur du conducteur puisque le champ créé est inversementproportionnel à la distance pour un conducteur rectiligne.

b) Compte tenu des informations fournies, la tension de mesure s’écrit :

Vmes(B,T ) = S (T0) · (1 + αSΔT ) · B + αV0 · ΔT (27.11)

c) On a :

ΔVmes = S (T0) · B − [S (T0) · (1 + αS · ΔT ) · B + αV0 · ΔT

]= − (

S (T0) · αS · B + αV0

) · ΔT

= −(1,3 mV/G · 0,2 %◦C−1 · B − 1 mV/◦C

)· ΔT (27.12)

Cette dernière expression est extrémale pour B = −900 G et T = −20 ◦C soitΔT = −45 ◦C et vaut ΔVmes = 150,3 mV.

d) En terme de valeur de champ ceci conduit à une erreur ΔB de l’ordre de :

ΔB � ΔVmes

S (T0)= 116 G (27.13)

e) L’erreur relative commise est :

ΔBB=

116−900

� −13 % (27.14)

Ceci constitue une erreur bien trop importante pour une mesure de qualité. Il est doncnécessaire soit de mesurer la température et de corriger la réponse de la dérive ther-mique soit d’inclure le capteur de champ dans un montage ad hoc avec un capteur detempérature judicieusement dimensionné afin de compenser la dérive thermique.

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30 EXERCICE :Résistancethermométriqueen montagepotentiométrique

Corrigé détaillé

30.1 Sans avoir poussé plus loin l’étude, on choisit T0 au milieu de l’étendue demesure pour a priori minimiser les non-linéarités, soit T0 = +20 ◦C.

30.2 Avec T = T0 + ΔT , il vient :

Rc(T ) = Rc(0)(1 + AT + BT 2) (30.1)

= Rc(0)(1 + A(T0 + ΔT ) + B(T0 + ΔT )2

)= Rc(0)

(1 + AT0 + BT 2

0 + (A + 2BT0)ΔT + B(ΔT )2)

= Rc(0)(1 + AT0 + BT 2

0

) ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 +A + 2BT0

1 + AT0 + BT 20

ΔT +B

1 + AT0 + BT 20

(ΔT )2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠= R0

(1 + αΔT + β(ΔT )2

)L’application numérique donne :

R0 = 111,27 Ω, α = 5,18.10−3 ◦C−1 et β = 6,02.10−6 ◦C−2

30.3 On a immédiatement :

ΔRc = Rc(T ) − Rc(T0) = R0

(αΔT + β(ΔT )2

)(30.2)

Le fonctionnement du capteur est non-linéaire.

30.4 Au premier ordre en ΔT , ΔRc s’écrit ΔRc � αR0ΔT . On en déduit la sensibilitéS c du capteur :

S c =ΔRc

ΔT� αR0 = 0,577Ω/◦C (30.3)



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Corrigé 30

30.5 La tension de mesure Vmes(T ) est donnée par :

Vmes(T ) =Rc(T )

R + Rc(T )Vg =

R0 + ΔRc

R + R0 + ΔRcVg (30.4)

30.6 On en déduit :

ΔVmes = Vmes(T ) − Vmes(T0) =R0 + ΔRc

R + R0 + ΔRcVg − R0

R + R0Vg

=RΔRc

(R + R0)2

(1 +

ΔRc

R + R0

)Vg (30.5)

Le conditionneur du capteur est non-linéaire.

30.7 Au premier ordre en ΔRc, ΔVmes s’écrit :

ΔVmes(T ) � RΔRc

(R + R0)2Vg (30.6)

On en déduit une approximation de la sensibilité S cond du conditionneur.

S cond =ΔVmes

ΔRc� R

(R + R0)2Vg (30.7)

30.8 En utilisant (30.2) dans (30.6), on obtient :

ΔVmes =RR0

(αΔT + β(ΔT )2

)(R + R0)2

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 + R0

(1 + αΔT + β(ΔT )2

)R + R0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Vg (30.8)

La mesure est non linéaire.

30.9 Au premier ordre en ΔT de ΔVmes, on a :

ΔVmes � RR0

(R + R0)2αVgΔT (30.9)

On en déduit l’approximation de la sensibilité S mes de la mesure :

S mes =ΔVmes

ΔT� RR0

(R + R0)2αVg (30.10)

30.10 Il suffit de chercher la valeur de R annulant la dérivée de (30.10).

dS mes

dR=

R0(R + R0)2 − 2(R + R0)RR0

(R + R0)4αVg = 0 (30.11)

On en déduit R = R0.

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Les capteurs

30.11 (30.7) et (30.10) deviennent alors :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩S cond �

Vg4R0= 11,23 mV/Ω

S mes �αVg

4= 6,48 mV/◦C

(30.12)

30.12 Pour que la valeur de R maximalise la linéarité autour de la tempéra-ture T0, il suffit que Vmes(T ) présente alors un point d’inflexion en T0 soit à avoird2Vmes(T )/dT 2

∣∣∣T0= 0. On a :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Vmes(T ) =Rc(T )

R + Rc(T )Vg

dVmes(T )dT

=R

(R + Rc(T ))2Vg

dRc(T )dT

d2Vmes(T )

dT 2=

R

(R + Rc(T ))3Vg

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣(R + Rc(T ))d2Rc(T )

dT 2− 2

(dRc(T )

dT

)2⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦(30.13)

Il vient alors :

R =

2

(dRc(T )

dT

)2∣∣∣∣∣∣∣T0

d2Rc(T )

dT 2

∣∣∣∣∣∣T0

− Rc(T0) = R0

(α2

β− 1

)= 385,30 Ω (30.14)

30.13 On a alors :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩S cond =

ΔVmes

ΔRc� R

(R + R0)2Vg = (α2 − β)

β

α4

VgR0= 7,81 mV/Ω

S mes =ΔVmes

ΔT� RR0

(R + R0)2αVg = (α2 − β)

β

α3Vg = 4,51 mV/◦C

(30.15)

L’amélioration de la linéarité conduit à une baisse de 30 % de la sensibilité de lamesure S mes.

La figure 30.1 montre l’effet du choix de l’optimisation de la sensibilité ou de l’opti-misation de la linéarité.



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Corrigé 30

20− 0 20

0, 4−

0, 2−

0

0,2

0,4

(V)mesVΔ

( C)T °

Optimisation de la linéarité

Optimisation de la sensibilité

Figure 30.1� Variation de la tension de mesure

Dans ce type de montage et selon l’effet recherché, on privilégie via le choix de larésistance fixe R, d’optimiser soit la sensibilité soit la linéarité.

Le choix d’optimiser la linéarité n’est pas toujours possible car, selon la forme dela caractéristique du capteur, l’équation (30.14) peut conduire à une valeur négativede R.

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31 EXERCICE :Capteur de déplacementcapacitif � Non-linéarité

Corrigé détaillé

31.1 À partir du montage de la figure 31.1, on a :

Vmes(t) =

[Z1

Z1 + Z2− R4

R3 + R4

]Vg cosωgt =

R3Z1 − R4Z2

(Z1 + Z2)(R3 + R4)Vg cosωgt

L’amplitude Vmes de Vmes(t) est donc :

Vmes =R3Z1 − R4Z2

(Z1 + Z2)(R3 + R4)Vg (31.1)

31.2 Avec Z1(m0) = Z2(m0) = Z0 pour m = m0, l’équilibre du pont, i.e.Vmes(m0) = 0, conduit à R3 = R4. A priori, on choisit pour m0 le milieu de l’éten-due de mesure afin de minimiser les non-linéarités.

(31.1) devient alors :

Vmes =Z1 − Z2

Z1 + Z2

Vg2

(31.2)

Le conditionnement est non linéaire puisque les impédances des capteurs figurent audénominateur de l’expression (31.2).

31.3 Les deux capteurs sont des condensateurs plans, de surface en regard S /2 etd’entrefer e de permittivité ε. En négligeant les effets de bord leur capacité C0 dansla configuration de la figure 31.2 dite de repos est C0 = εS /2e. Ces condensateursétant alimentés en sinusoïdal à la pulsation ωg, leur impédance dans la configurationde repos est donnée par :

Z0 =1

jC0ωg=

2ejεSωg

(31.3)

31.4 L’armature mobile se déplaçant de Δx vers la droite, la surface en regard desarmatures de C1 devient S 1 = S (L/2 + Δx)/L. Pour C2, on a S 2 = S (L/2 − Δx)/L. Il



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Corrigé 31

vient donc :

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩C1 =

ε

eSL

(L2+ Δx

)= C0

(1 +

2ΔxL

)C2 =

ε

eSL

(L2− Δx

)= C0

(1 − 2Δx

L

) soit

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Z1 =Z0

1 +2Δx

LZ2 =

Z0

1 − 2ΔxL

(31.4)

On est en présence de deux capteurs non-linéaires fonctionnant en push-pull.

31.5 (31.4) reportée dans (31.2) conduit à :

Vmes =Z1 − Z2

Z1 + Z2

Vg2= −Δx

LVg

Grâce au fonctionnement push-pull des deux capteurs, la mesure est ici linéaire enΔx bien que le conditionnement ne soit pas linéaire.

31.6 La sensibilité S mes de la mesure est donnée par :

S mes =ΔVmes

Δx=

Vmes

Δx= −Vg

L= −1 V/mm

31.7 Le fonctionnement push-pull des capteurs fait que C2 s’écrit :

C2 = C0

(1 − k1(Δx

/L) + k2(Δx/L)2 − k3(Δx

/L)3

)31.8 À partir des expressions de la question 31.4, par identification on a immédia-tement k1 = 2.

31.9 Comme précédemment et en utilisant (31.3), on a maintenant :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩Z1 =

Z0(1 + k1(Δx

/L) + k2(Δx/L)2 + k3(Δx/L)3

) = Z0

D1

Z2 =Z0(

1 − k1(Δx/L) + k2(Δx/L)2 − k3(Δx/L)3

) = Z0

D2

(31.5)

On en déduit : ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩Z1 − Z2 =

−2Z0

D1D2

(k1(Δx/L) + k3(Δx/L)3

)Z1 + Z2 =

2Z0

D1D2

(1 + k2(Δx/L)2

) (31.6)

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Les capteurs

La variation de la tension de mesure devient alors :

ΔVmes = −k1(Δx/L) + k3(Δx/L)3

1 + k2(Δx/L)2

Vg2= −k1

ΔxL

Vg2

1 +k3

k1

(ΔxL

)2

1 + k2

(ΔxL

)2(31.7)

� −k1ΔxL

Vg2

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 + (k3

k1− k2

) (ΔxL

)2

− k2

(k3

k1− k2

) (ΔxL

)4

+ · · ·⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

31.10 La non linéarité de la mesure est d’ordre 3 alors que celle des capteurs étaitd’ordre 2.

31.11 Compte tenu du modèle utilisé pour les capteurs (polynôme d’ordre 3 enΔx/L), l’expression de la variation de la tension de mesure donnée par (31.7) de-vient linéaire en Δx/L si on réalise k3 = k1k2 soit encore en utilisant le résultat de laquestion 31.8, k3 = 2k2. ΔVmes s’écrit alors :

ΔVmes = −k1ΔxL

Vg2= −Δx

LVg

31.12 On a :

ΔVmes(t) = −Δx(t)L

Vg(t) = −ΔxL

cosωt · Vg cosωgt

= −Δx2L

Vg(cos(ωg − ω)t + cos(ωg + ω)t

)Le spectre de ΔVmes(t) est donc constitué des pulsations ωg − ω et ωg + ω. L’infor-mation est donc véhiculée sous forme d’une modulation d’amplitude sans porteuse.

31.13 D’après (31.7), avec k1 = 2 on a :

ΔVmes = −Vg cosωgt

LΔx(t) − Vg cosωgt

2(k3 − 2k2)

(Δx(t)

L

)3

= −Vg2LΔx

[2 cosωt cosωgt +2K(cos 3ωt − 3 cosωt) cosωgt

]= −Vg

2LΔx

[1 − 3K

(cos(ωg − ω)t + cos(ωg + ω)t

)+K

(cos(ωg − 3ω)t + cos(ωg + 3ω)t

)]14 ©DUNOD, Paris, 2013


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�

�

�

Corrigé 31

Dans cette dernière expression, on a posé :

K =k3 − 2k2

8

(ΔxL

)2

Le spectre de ΔVmes(t) est constitué des pulsations ωg−ω,ωg+ω,ωg−3ω etωg+3ω.L’information est toujours véhiculée sous forme d’une modulation d’amplitude sansporteuse.

31.14 Le développement limité effectué à la question 31.9 ne donnant que despuissances impaires de cosωt qui après linéarisation ne donnent jamais de termesconstants, l’apparition d’un terme en cosωgt après linéarisation est impossible. L’in-formation reste donc véhiculée sous forme d’une modulation d’amplitude sans por-teuse.

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37 EXERCICE :Capteur de débit à tubeVenturi � Tensionde mode commun

Corrigé détaillé

37.1 Le liquide étant parfait, la vitesse du liquide est identique en tout point d’unesection droite du tube. On appelle respectivement v1 et v2 les vitesses du liquide autravers des sections droites situées à l’endroit des deux capteurs, on a : QV1 = πr2

1 · v1

et QV2 = πr22 · v2. Le fluide étant incompressible, ces deux débits sont égaux et on

les notera QV . On obtient finalement, en notant S 1 = πr21 et S 2 = πr2

2 les aires dessections droites à l’endroit des capteurs :

v1 =QV

S 1et v2 =

QV

S 2(37.1)

37.2 Le théorème de Bernoulli s’écrit :

ρgh +12ρv2 + p = constante (37.2)

Dans cette expression g est l’accélération de la pesanteur, h la hauteur du point consi-déré par rapport à la référence et p la pression statique en ce point.

Appliquée au niveau des capteurs de pression et compte tenu des hypothèses, (37.2)donne ici :

ρgh0 +12ρv2

1 + p1 = ρgh0 +12ρv2

2 + p2 (37.3)

Les capteurs de pression étant situés à la même hauteur, le terme statique ρgh0 estidentique au niveau des deux capteurs et (37.3) peut encore s’écrire en utilisant (0.1) :

p1 − p2 =ρ

2

(v2

2 − v21

)=ρ

2

S 21 − S 2

2

S 21S 2

2

Q2V soit QV = S 1S 2

√2ρ

p1 − p2

S 21 − S 2

2

(37.4)

Connaissant la géométrie du Venturi, la mesure de la différence de pression p1 − p2

permet d’évaluer le débit volumique QV .



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�

Corrigé 37

II. AmpliÞcateur de différence � Tension de mode commun

37.3 Les tensions sur les entrées inverseuse et non-inverseuse sont respectivementdonnées par :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

e− = VA +R1

R1 + R2(Vs − VA) =

R2

R1 + R2VA +

R1

R1 + R2Vs

e+ =R2

R1 + R2VB

(37.5)

L’amplificateur étant parfait, la contre-réaction conduit à e+ = e−, soit :

Vs = −R2

R1(VA − VB) = −R2

R1Vmes = −1 V (37.6)

37.4 Le facteur de réjection du mode commun étant fini, la tension de sortie del’amplificateur s’écrit :

Vs = Ad(e+ − e−) + Amc(e+ − e−)

2(37.7)

En posant K1 = R1/(R1 + R2) et K2 = R2/(R1 + R2), (37.5) devient :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ e− = K2VA + K1Vs

e+ = K2VB

(37.8)

En reportant (37.8) dans (37.7), il vient :

Vs =

−K2Ad(VA − VB) + K2Amc(VA + VB)

2

1 + K1Ad − K1Amc

2

(37.9)

Avec τ = Ad/Amc et Vmes = VA − VB, en posant Vmc = (VA + VB)/2, (37.9) devient :

Vs =K2

K1

−Vmes +Vmc

τ

1 +1

K1Ad− 1

2τ

=R2

R1

−Vmes +Vmc

τR1(1 + Ad) + R2

R1Ad− 1

2τ

Compte tenu des valeurs numériques de R1, R2, τ et Ad, on a :

Vs � −R2

R1

(Vmes − Vmc

τ

)= −0,9 V (37.10)

Comparant (37.6) et (37.10), on constate qu’un facteur de réjection du mode com-mun fini fausse la valeur de la tension de sortie du montage puisque l’erreur relativecommise est de 10 %. La valeur Vs donnée par (37.10), interprétée pour en extrairep1 − p2 donnera finalement selon (0.4) une valeur fausse de la mesure du débit.

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Les capteurs

III. AmpliÞcateur d�instrumentation

37.5 En appliquant (37.7) à ce nouveau montage électronique, on a :

V ′A = Ad(e+ − e−) + Amc(e+ − e−)

2(37.11)

D’après le schéma de la figure 37.3, on a :⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ e− = VB + RGV ′A − VB

R + RG=

RG

R + RGV ′A +

RR + RG

VB = KGV ′A + KVB

e+ = VA

(37.12)

Reportant (37.12) dans (37.11), il vient :

V ′A =K

(Ad(VA − VB) +

Amc

2(VA + VB)

)+ KG

(Ad +

Amc

2

)VA[

1 + KG

(Ad − Amc

2

)] (37.13)

On obtient de même :

V ′B =K

(−Ad(VA − VB) +

Amc

2(VA + VB)

)+ KG

(Ad +

Amc

2

)VB[

1 + KG

(Ad − Amc

2

)] (37.14)

37.6 (37.13) et (37.14) conduisent à l’expression suivante de V ′A − V ′B :

V ′A − V ′B =2KAd + KG

(Ad +

Amc

2

)1 + KG

(Ad − Amc

2

) (VA − VB) =

2K + KG

(1 +

12τ

)1

Ad+ KG

(1 − 1

2τ

) (VA − VB)

� 2K + KG

KG(VA − VB) =

(1 +

2RRG

)(VA − VB)

Pour V ′A + V ′B, on obtient :

V ′A + V ′B =

Kτ+ KG

(1 +

12τ

)1

Ad+ KG

(1 − 1

2τ

) (VA + VB) � (VA + VB)



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�

Corrigé 37

V ′A et V ′B sont les tensions d’entrée du deuxième étage de l’amplificateur d’instru-mentation de la figure 37.3, étage étudié à la partie II. Par identification, on a donc :

Vs � −((V ′A − V ′B) − V ′A + V ′B

τ

)� −

(1 +

2RRG

)(VA − VB) +

(VA + VB)τ

= −(1 +

2RRG

) (Vmes − Vmc

τA

)Dans cette dernière expression, on a posé :

τA = τ

(1 +

2RRG

)On désire garder le même gain que précédemment, on doit donc avoir :

1 +2RRG=

R2

R1= 103 soit RG � 2R

103

Numériquement, on obtient τA = τ (1 + 2R/RG) = 107 = 140 dB.

L’amplificateur d’instrumentation permet donc d’augmenter très fortement le taux deréjection du mode commun par rapport au simple montage amplificateur. Comptetenu de cette valeur, on a Vs � −1 V et on retrouve pratiquement la valeur calculéedans le cas d’un amplificateur supposé parfait (voir (37.6)), l’erreur relative n’étantplus que de 0,01 %.

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5 PROBLÈME :Capteur résistifnon linéaire

Corrigé détaillé

I. Capteur résistif

5.1 L’écart à la linéarité est le plus grand écart sur l’étendue de mesure entre lacaractéristique réelle et son approximation linéaire, valeur ici obtenue pour m = 0 oum = 2 :

δRc = max(Rc − Rc,lin

)∣∣∣m∈[0;2] = 0,19Ω (5.1)

5.2 L’erreur de linéarité est l’écart de linéarité (5.1) normalisé à l’excursion de lagrandeur de sortie du capteur, ici sa résistance, soit :

ε = δRc/(max(Rc) −min(Rc)) = 0,19/(121,20 − 100) =0,9 %

5.3 Sous l’approximation linéaire, la sensibilité S c du capteur est donnée par :

S c =ΔRc

Δm= b′ = 10,6Ω/unité de m

5.4 Il vaut mieux choisir comme point de référence le milieu de l’étendue de me-sure, soit ici m0 = 1, afin de disposer de la même excursion de chaque côté etpar la suite, diminuer la non-linéarité. D’après les données du tableau 5.1, on aRc(m0) = Rc0 = 110,30Ω.

5.5 Il vient aisément :

ΔRc = Rc(m) − Rc0 = Rc(m0 + Δm) − Rc0

= a(m0 + Δm)2 + b(m0 + Δm) + c − (am20 + bm0 + c)

= aΔm2 + (b + 2am0)Δm = AΔm2 + BΔm

L’application numérique donne A = 0,3Ω/(unité de m)2 et B = 10,6Ω/unité de m.



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Corrigé 5

II. Montage potentiométrique � Alimentation en tension

5.6 La tension de mesure est donnée par :

Vmes =Rc

Rc + RVg =

Rc0 + ΔRc

Rc0 + ΔRc + RVg

5.7 On a simplement :

ΔVmes = Vmes − Vmes0 =Rc0 + ΔRc

Rc0 + ΔRc + RVg − Rc0

Rc0 + RVg

=RΔRc

(Rc0 + R)2

(1 +

ΔRc

Rc0 + R

)Vg (5.2)

5.8 On peut chercher la valeur de R qui rend maximale l’évolution de la tensionde mesure (5.2), c’est-à-dire la valeur donnant dΔVmes/dR = 0. Après dérivation, ilvient :

dΔVmes

dR=

Rc − Rc0

(Rc0 + R)2(Rc + R)2Vg

(RcRc0 − R2

)= 0

Rc évoluant autour de Rc0, on choisit donc R = Rc0 (il est simple de vérifier que cechoix conduit effectivement à un maximum de la variation de la tension de mesure).

La variation de la tension de mesure s’écrit alors :

ΔVmes =ΔRc

4Rc0

(1 +ΔRc

2Rc0

)Vg =AΔm2 + BΔm

4Rc0

(1 +

AΔm2 + BΔm2Rc0

)Vg

La non-linéarité provient de la combinaison de la non-linéarité du conditionneur po-tentiométrique et de la non-linéarité du capteur.

5.9 L’approximation linéaire ΔVmes,lin de ΔVmes est simplement donnée par le dé-veloppement au premier ordre de ΔVmes en Δm, soit :

ΔVmes,lin =BVg4Rc0Δm

5.10 Sous cette approximation, la sensibilité réduite de la mesure est donnée par :

S r =1

Vg

ΔVmes,lin

Δm=

B4Rc0

= 24 mV/unité de m/V

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Les capteurs

5.11 Le calcul de l’erreur s’effectue sans difficulté :

ε1 =

AΔm2 + BΔm

4Rc0

(1 +

AΔm2 + BΔm2Rc0

)Vg − BΔm4Rc0

Vg

AΔm2 + BΔm

4Rc0

(1 +

AΔm2 + BΔm2Rc0

)Vg

=

(AB− B

2Rc0

)Δm − A

2Rc0Δm2

1 +ABΔm

(5.3)

Le développement à l’ordre 2 en Δm de (5.3) donne :

ε1 �(

AB− B

2Rc0

)Δm − A2

B2Δm2 = −1,97.10−2Δm − 8,01.10−4Δm2

Cette expression est maximale pour Δm = 1 et donne ε1 = −2,10 %.

III. Montage potentionmétrique � Alimentation en courant

5.12 Dans le cas d’une alimentation en courant, l’expression de la tension de me-sure devient :

Vmes = RcIg = (Rc0 + ΔRc)Ig

Toujours avec la même référence que précédemment, ceci conduit à :

ΔVmes = IgΔRc = (AΔm2 + BΔm)Ig

Le conditionneur est ici linéaire et la non-linéarité de la mesure ne provient que de lanon-linéarité du capteur.

5.13 L’approximation linéaire est immédiate :

ΔVmes,lin = BΔmIg

5.14 La comparaison de ce résultat au cas d’une alimentation en courant doit êtrefaite toutes choses égales par ailleurs. Le courant circulant dans le capteur doit doncêtre identique dans les deux cas, ce qui conduit à Ig � Vg

/2Rc0. On a alors :

ΔVmes,lin = BΔmIg � BΔmVg/2Rc0

La sensibilité apparaît donc comme doublée par rapport à l’alimentation en tension.



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Corrigé 5

5.15 L’erreur de linéarité ε2 est donnée par :

ε2 =(AΔm2 + BΔm)Ig − BΔmIg

(AΔm2 + BΔm)Ig=

AΔm

B(1 + A

BΔm)

Évaluée à l’ordre 2 en Δm, cette expression devient :

ε2 � ABΔm

(1 − A

BΔm

)= 28,30.10−3Δm

(1 − 28,30.10−3Δm

)Cette erreur est maximale pour Δm = −1 et vaut alors ε2 = −2,91 %.

IV. Montage en quart de pont

5.16 L’expression s’établit simplement :

Vmes =

(Rc

Rc + R1− R3

R3 + R2

)Vg =

RcR2 − R1R3

(Rc + R1)(R3 + R2)Vg (5.4)

5.17 Équilibrer le pont pour la valeur m0 du mesurande équivaut àRc0R2 − R1R3 = 0. Il convient de choisir R1 = Rc0 pour avoir une meilleuresensibilité dans la branche potentiométrique contenant le capteur (voir question 5.8).Ceci entraîne R2 = R3. Enfin, pour avoir la même puissance dissipée par effet Joulesur chacune des résistances (capteur y compris) de façon à équilibrer les échauffe-ments, on choisit R1 = R2 = R3 = Rc0 = 110,30Ω. La tension de mesure (5.4) s’écritalors :

Vmes =Rc − Rc0

Rc + Rc0

Vg2

En m0, on a donc Vmes0 = 0 si bien que pour une évolution Δm de m à partir de m0,la variation de la tension de mesure n’est plus superposée à Vmes0 ce qui permet unebien meilleure précision de la mesure.

5.18 Conséquemment la tension de mesure s’écrit :

Vmes = ΔVmes =ΔRc

2Rc0

(1 +ΔRc

2Rc0

) Vg2=

BΔm(1 +

ABΔm

)(1 +

AΔm2 + BΔm2Rc0

) Vg4Rc0

5.19 L’approximation linéaire ΔVmes,lin de ΔVmes est donnée par le développementau premier ordre en Δm, soit :


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Les capteurs

5.20 La sensibilité réduite S r de la mesure s’en déduit immédiatement :

S r =1

Vg

ΔVmes,lin

Δm=

B4Rc0


5.21 L’erreur de linéarité se calcule comme dans le cas du montage potentiomé-trique alimenté en tension. On obtient :

ε3 =

(AB− B

2Rc0

)Δm − A

2Rc0Δm2

1 +ABΔm

(5.5)

Le développement à l’ordre 2 en Δm de (5.5) donne :

ε3 �(

AB− B

2Rc0

)Δm − A2

B2Δm2 = −1,97.10−2Δm − 8,01.10−4Δm2

Cette expression est maximale pour Δm = 1 et donne ε3 = −2,10 %.

V. Montage en demi-pont push-pull

5.22 Rc = Rc0 + ΔRc, R1 = Rc0 + ΔR1 et R2 = R3 = Rc0, la variation de la tensionde mesure autour de Vmes0 = 0 s’écrit :

Vmes =

(Rc0 + ΔRc

Rc0 + ΔRc + Rc0 + ΔR1− Rc0

Rc0 + Rc0

)Vg =

ΔRc − ΔR1

2Rc0 + ΔR1 + ΔR1

Vg2

5.23 Les deux capteurs étant identiques et le fonctionnement push-pull, on a :

ΔRc = Rc(m0 + Δm) − Rc(m0) = AΔm2 + BΔm

et ΔR1 = Rc(m0 − Δm) − Rc(m0) = AΔm2 − BΔm

5.24 ΔVmes s’écrit alors :

ΔVmes =BΔm

Rc0 + AΔm2

Vg2=

BVg

2Rc0

(1 +

AΔm2

Rc0

)Δm (5.6)

5.25 Par approximation linéaire de (5.6), on tire :


5.26 La sensibilité réduite S r de la mesure est donnée par :

S r =1

Vg

ΔVmes,lin

Δm=

B2Rc0




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Corrigé 5

5.27 L’erreur de linéarité est :

ε4 =

BVg

2Rc0

(1 +

AΔm2

Rc0

)Δm − BVg2Rc0Δm

BVg

2Rc0

(1 +

AΔm2

Rc0

)Δm= −AΔm2

Rc0

Cette expression est maximale aux extrémités de l’étendue de mesure donc pourΔm = ±1 et donne ε4 = −0,27 %.

VI. Linearisation amont � Montage en quart de pont actif

5.28 L’amplificateur opérationnel étant supposé idéal, on a :

VA = Vmes + RcVg − Vmes

Rc + Rc0=

Rc

Rc + Rc0Vg +

Rc0

Rc + Rc0Vmes et VB =

Vg2

5.29 La contre-réaction impose VA = VB, soit :

Vmes = ΔVmes =Rc0 − Rc

Rc0

Vg2= −ΔRc

Rc0

Vg2= − BVg

2Rc0Δm

(1 +

ABΔm

)Le conditionneur est parfaitement linéaire et la non-linéarité de la mesure ne provientque du capteur.

5.30 L’approximation linéaire ΔVmes,lin de ΔVmes est donnée par :

ΔVmes,lin = −BVg2Rc0Δm

5.31 La sensibilité réduite vaut ici :

S r =1

Vg

ΔVmes,lin

Δm= − B

2Rc0= −48 mV/unité de m/V

5.32 L’erreur de linéarité se calcule comme précédemment :

ε5 =

− BVg2Rc0Δm

(1 +

AΔmB

)+

BVg2Rc0Δm

− BVg2Rc0Δm

(1 +

AΔmB

) =AΔm

B + AΔm

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Les capteurs

À l’ordre 2 en Δm, on obtient :

ε5 � AΔmB

(1 − AΔm

B

)Cette expression est maximale sur l’étendue de mesure pour Δm = −1 et donneε5 = −2,91 %.

VII. Avantages et inconvénients des différentsconditionneurs

Le tableau 5.3 récapitule les différents résultats de l’étude. Ce tableau permet d’établirun certain nombre de critères de choix du conditionneur le mieux adapté au capteur.

Tableau 5.3� Récapitulatif des signaux de mesureet des erreurs de linéarité

ErreurMontage Signal de mesure de linéarité Origine

maximalePotentiomètre Variation autour Non-linéaritésalimenté de Vmes0 = Vg/2 : ε1 = −2,10 % du conditionneur

en tension ΔVmes,lin =BVg

4Rc0Δm et du capteur

Potentiomètre Variation autour Non-linéaritéalimenté de Vmes0 = Vg/2* : ε2 = −2,91 % du capteur

en courant ΔVmes,lin =BVg

2Rc0Δm*

Mesure différentielle, Non-linéaritésQuart de pont Vmes0 = 0 : ε3 = −2,10 % du conditionneur

ΔVmes,lin =BVg

4Rc0Δm et du capteur

Demi-pont Mesure différentielle, Non-linéaritépush-pull Vmes0 = 0 : ε4 = −0,27 % du capteur

ΔVmes,lin =BVg

2Rc0Δm

Quart de pont Mesure différentielle, Non-linéaritéactif Vmes0 = 0 : ε5 = −2,91 % du capteur

ΔVmes,lin = − BVg

2Rc0Δm

∗ Pour une alimentation en courant Ig = Vg/2Rc0.

Les deux conditionneurs potentiométriques présentent des variations de tension as-sociées aux variations du mesurande qui sont superposées à une valeur de référencenon nulle. Par la suite, la précision avec laquelle on en extrait l’évolution du mesu-rande est pratiquement imposée par la valeur de référence. Pour une bonne précision,



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Corrigé 5

les montages potentiométriques sont donc à éviter. On peut montrer de plus qu’ilssont particulièrement sensibles aux dérives de la source d’alimentation et au bruitélectromagnétique.

En ce qui concerne la sensibilité, toutes choses égales par ailleurs, elle est doubléepour une alimentation en courant par rapport à une alimentation en tension.

Bien que le montage avec l’alimentation en courant constitue un conditionneur li-néaire, on peut s’étonner que l’erreur de linéarité obtenue soit plus importante quecelle obtenue avec une alimentation en tension. Il se trouve qu’ici la non-linéarité duconditionneur potentiométrique alimenté en tension se combine avec la non-linéaritédu capteur pour donner au final une mesure de non-linéarité plus faible.

Le premier avantage des mesures en pont est la suppression de la composante deréférence puisque celle-ci est fixée à zéro par l’équilibrage du pont.

Le montage en quart de pont présente la même sensibilité et la même non-linéaritéque le montage potentiométrique alimenté en tension. Le passage au demi-pont push-pull augmente d’un facteur 2 la sensibilité et réduit très fortement la non-linéarité.Le conditionneur est linéaire et le mode push-pull réduit d’un ordre la non-linéaritépropre du capteur.

L’utilisation du quart de pont actif est ici peu intéressante. Bien qu’il permette den’utiliser qu’un capteur contrairement au demi-pont push-pull, bien qu’il possède lamême sensibilité au signe près que le demi-pont et qu’il constitue un conditionneur li-néaire, la non-linéarité du capteur n’est ici pas compensée par celle du conditionneuret au total la non-linéarité de la mesure est supérieure à celle du demi-pont.

De plus, ce conditionnement en quart de pont actif isole le capteur de la masse cequi peut éventuellement être problématique avec certains capteurs. En revanche, latension de mesure se trouve référencée à la masse ce qui est un avantage en cas denécessité d’une amplification (pas d’amplification de mode commun).

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Les capteurs

5.1

Ce problème présente deux types de non-linéarité qui sont d’origines différenteset qu’il ne faut pas confondre.La première est la non-linéarité résultant de l’écart entre la caractéristique réelleet la droite de régression par les moindres carrés. C’est le cas ici lorsque l’on cal-cule l’erreur de linéarité du capteur. Par définition, l’erreur de linéarité est égaleau plus grand écart entre la caractéristique réelle et la droite de régression ausens des moindres carrés, écart normalisé à l’excursion de la grandeur considé-rée sur l’étendue de mesure (ici la résistance du capteur). Pour la déterminer, ilest nécessaire que la grandeur soit étalonnée (ici, la résistance présentée par lecapteur).La deuxième est la non-linéarité provenant du fait que pour extraire l’ informationutile, on utilise l’approximation linéaire de la tension de mesure et non la valeurthéorique supposée exacte. Ici, il n’est pas besoin d’étalonner la mesure, il suffitseulement que le capteur ait été étalonné par le constructeur pour que l’on enait un modèle suffisamment fiable et utilisable dans l’expression théorique dusignal de mesure.

0 1 20,03

0,03

0

1 3 2 5

4

( )m USI

Figure 5.4� Évolution des erreurs calculées pour les quatre montagesen fonction de l�évolution du mesurande



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�

�

PROBLÈME :Linéarisation aval 7

Corrigé détaillé

I. Calculs préliminaires

7.1 La tension de mesure est donnée par :

Vmes =RcR2 − R1R3

(Rc + R1)(R2 + R3)︸��︷︷��︸mesure différentielle

(Rc + R1)(R2 + R3)Rc + R1 + R2 + R3︸��︷︷��︸

impédance du pont

Vg

Rg +(Rc + R1)(R2 + R3)Rc + R1 + R2 + R3︸��︷︷��︸

courant délivré par la source︸��︷︷��︸tension aux bornes du pont

=RcR2 − R1R3

(Rc + R1)(R2 + R3) + Rg(Rc + R1 + R2 + R3)Vg (7.7)

7.2 Le pont est équilibré pour la valeur m0 du mesurande, soit Rc0R2 = R1R3. Onchoisit R1 = Rc0 de façon à obtenir un maximum de sensibilité de la branche poten-tiométrique contenant le capteur. Il vient alors R2 = R3. On choisit R2 = R3 = Rc0 defaçon à ce qu’à l’équilibre, la puissance dissipée par effet joule soit la même pour cha-cune des résistances. On minimise ainsi le déséquilibre du pont lié à l’échauffementsi les caractéristiques thermiques des quatre résistances sont proches.

7.3 Avec ΔRc = Rc − Rc0, (7.7) devient :

Vmes = Vmes,0︸︷︷︸=0

+ΔVmes =Rc0ΔRc

2Rc0(2Rc0 + ΔRc0) + Rg(4Rc0 + ΔRc)Vg

=ΔRc

4(Rc0 + Rg)1

1 +2Rc0 + Rg

4Rc0(Rc0 + Rg)ΔRc

Vg (7.8)

=k1ΔRc

1 + k2ΔRcVg

Le conditionnement n’est pas linéaire et donc la mesure ne sera pas linéaire.

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Les capteurs

7.4 Sous une approximation linéaire comme pour un fonctionnement en faibles si-gnaux, on a ΔVmes = k1VgΔRc soit une sensibilité du conditionneur donnée par :

S cond =ΔVmes

ΔRc= k1Vg =

Vg4(Rc0 + Rg)

= 16,7 mV/Ω

7.5 En présence d’une variation de la source (qui passe de Vg à Vg + ΔVg), quecette variation corresponde à une dérive réelle ou à un parasite capté par un des filsalimentant le pont, ΔVmes devient :

ΔVmes =k1ΔRc

1 + k2ΔRcVg +

k1ΔRc

1 + k2ΔRcΔVg

En plus du terme précédent, il existe un terme croisé couplant variation du mesurande(via la variation de la résistance du capteur) et variation de la force électromotrice dela source. Ce terme lié à la variation de la source est bien évidemment gênant car ilsera interprété comme lié à une variation de la résistance du capteur donc du mesu-rande.

II. Linéarisation aval par multiplication et sommation

7.6 On a immédiatement V = VsΔVmes/V0 et Vs = V + ΔVmes, soit :

Vs =ΔVmes

1 − ΔVmes

V0

=k1ΔRcVg

1 + k2ΔRc −k1ΔRcVg

V0

(7.9)

7.7 Pour supprimer la non-linéarité du conditionnement liée aux termes en ΔRc dudénominateur de (7.9), il suffit d’ajuster V0 à valeur donnée par :

V0 =k1

k2Vg =

Rc0

2Rc0 + RgVg = 4 V

7.8 L’expression de la tension de sortie est alors :

Vs = k1VgΔRc (7.10)

Cette expression est parfaitement linéaire. La sensibilité du conditionneur est donnéepar S cond = Vs/ΔRc = k1Vg = 16,7 mV/Ω. Cette sensibilité a la même valeur quepour le fonctionnement en faibles signaux de la question 7.5.

7.9 Si on considère de nouveau une variation de la source qui passe de Vg àVg + ΔVg, un terme croisé persiste :

Vs = k1ΔRcVg + k1ΔRcΔVg



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�

�

Corrigé 7

III. Linéarisation par diviseur

7.10 L’amplificateur opérationnel étant idéal, la contre-réaction amène e− = e+ = 0soit :

V = −RI = −RΔVmes

R= −ΔVmes = − k1ΔRc

1 + k2ΔRcVg (7.11)

7.11 Les impédances d’entrée du diviseur pondéré étant considérées comme infi-nies, on a :

VN =KR

KR + RV =

KK + 1

V (7.12)

VD = V + (Vg − V)R

KR + R=

Vg + KV

K + 1

7.12 En combinant (7.11) et (7.12), il vient :

Vs = 10VN

VD= 10

KVKV + Vg

= 10KΔVmes

KΔVmes − Vg

= 10Kk1ΔRc

Kk1ΔRc − (1 + k2ΔRc)

7.13 Pour que le conditionnement soit linéaire, il faut fixer :

K =k2

k1=

2Rc0 + RgRc0

= 2,5

7.14 L’expression de la tension de sortie est alors :

Vs = −10Kk1ΔRc = − 2Rc0 + Rg4Rc0(2Rc0 + Rg)

10ΔRc (7.13)

Ce qui conduit à la sensibilité :

S cond = −102Rc0 + Rg

4Rc0(2Rc0 + Rg)= −41,7 mV/Ω

Le conditionnement est maintenant linéaire et la sensibilité est plus importante queprécédemment.

7.15 Si on considère de nouveau une variation de la source qui passe de Vg àVg + ΔVg, comme le résultat (7.13) est indépendant de la force électromotrice dela source, en plus de la linéarisation on obtient une tension de sortie indépendantedes variations de la source.

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Les capteurs

7.1

En toute rigueur, ces techniques de linéarisation peuvent très bien être utiliséessur des montages de type potentiométrique. Il suffit que le conditionnementdonne une variation de la tension de mesure de la forme de l’équation (7.8).Il faut être vigilant à ce que la correction des non-linéarités entraînées par leconditionneur peut parfois être un pis-aller. En effet, il se peut que dans le casd’un capteur non linéaire, non-linéarité du capteur et non-linéarité du condition-neur se compensent. La correction de la non-linéarité du conditionneur entraîneraalors une non-linéarité sur la mesure plus importante.Considérons un capteur dont l’évolution de la résistance en fonction de son me-surande m est donnée par ΔRc = aΔm2 + bΔm.D’après (7.8), la tension de mesure est donnée par Vmes = k1ΔRcVg/(1 + k2ΔRc). Endéveloppant ceci en Δm, on obtient Vmes � k1Vg

[bΔm + (a − k2b2)Δm2 + · · ·

].

La tension de mesure linéarisée par exemple par la méthode de multiplication-sommation est donnée par (7.10), soit Vs = k1VgΔRc = k1Vg(aΔm2 + bΔm).Il est clair que dans ce cas si a � k2b2, la non-linéarité du capteur compense celledu conditionneur et que vouloir linéariser le signal va augmenter au final la non-linéarité.C’est ce qu’illustre la figure 7.4 où, en utilisant les données numériques du pro-blème, sont tracés les écarts de Vmes et de son expression linéarisée Vs par rapportà la meilleure droite V approchant au sens des moindres carrés Vmes. On a prisb = 1Ω/unité de m et a = k2b2 = 4,167.10−3 Ω/(unité de m)2.

10 0 100,01

0

0,01

0,05

( )m USI

(V)

mesV V

sV V

Figure 7.4� Linéarisation par division



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PROBLÈME :Interféromètre

de Mach-Zender utiliséen capteur d�angle

18

Corrigé détaillé

18.1 Le chemin optique étant identique selon les deux trajets, il n’y a pas de dé-phasage entre les deux ondes arrivant sur la photodiode, Δφ = 0. L’éclairement sur laphotodiode est donc maximum et uniforme.

18.2 Les deux lames étant identiques, elles introduisent des variations identiquesdes deux chemins optiques de (n − 1)e. Le déphasage reste donc nul et l’éclairementmaximum.

18.3 Par rapport au cas de la question 1, l’introduction de la lame L1 entraîne unevariation (n − 1)e du chemin optique alors que l’introduction de la lame L2 entraîneune variation du chemin optique égale à nIJ − IH (voir figure 18.2).

r

I

J

H

1n

e

Figure 18.2� Calcul de la différence de marche ΔL

Comme IJ = e/cos r et IH = IJ cos(θ − r), la différence de chemin optique entre lesdeux ondes s’écrit :

ΔL =e

cos r[n − cos(θ − r)] − (n − 1)e (18.14)

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Les capteurs

18.4 La loi de la réfraction de Descartes (sin θ = n sin r) donne aux petits angles :θ = nr. Il vient :

1cos r

� 1 +r2

2� 1 +

θ2

2n2(18.15)

et cos(θ − r) � cos θ

(1 − 1

n

)� 1 +

θ2

2

(n − 1

n

)2

En utilisant (18.15) dans (18.14), on obtient au premier ordre non nul en θ :

ΔL � n − 12n

eθ2 (18.16)

La figure 18.3 montre que l’erreur relative engendrée par cette approximation resteinférieure à 1 % tant que l’angle θ reste inférieur à 0,2 rad.

0 0,1

1%

(en rad)

Figure 18.3� Erreur relative liée à l�approximation de ΔL

18.5 Le déphasage Δφ entre les deux ondes sur la photodiode est alors donné àpartir de (18.16) par :

Δφ =2πλΔL � 2π

λ

n − 12n

eθ2 (18.17)

18.6 L’éclairement de la photodiode est le résultat de l’interférence de deux ondescohérentes, isochrones, de même polarisation et de même amplitude si on consi-dère les lames séparatrices identiques. Le coefficient de transmission énergétique deslames étant de 50 %, l’intensité résultante sur la photodiode est de la forme :

I(θ) =I0

2[1 + cos(Δφ)

] � I0

2

[1 + cos

(π

λ

n − 1n

eθ2)]

(18.18)

18.7 Cette intensité est nulle pour :

θ =

√(2k + 1)

nn − 1

λ

eavec k ∈ N



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Corrigé 18

Elle est maximale pour :

θ =

√2k

nn − 1

λ

eavec k ∈ N

Numériquement les premières intensités maximales et nulles sont obtenues pour lesvaleurs de θ récapitulées dans le tableau 18.1. La figure 18.4 donne l’évolution del’intensité reçue par la photodiode en fonction de l’angle θ.

Tableau 18.1� Intensité sur le récepteur en fonction de l�angle θ

θ (10−2 rad) 0 4,36 6,16 7,55 8,72 9,74 10,67 11,53 12,33 13,07θ (◦) 0 2,50 3,53 4,32 4,99 5,58 6,12 6,61 7,06 7,49I(θ)/I0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Pour ces valeurs de θ, l’approximation (18.16) est bien justifiée.

0 0,1

10( )I I

(en rad)

Figure 18.4� Évolution de l�intensité sur la photodiode

18.8 L’angle θmax doit être tel qu’il n’entraîne qu’une différence de marcheΔL(θmax) faible devant la longueur de cohérence temporelle lc de la source laser.D’après (18.16), il vient :

ΔL(θmax) � n − 12n

eθ2max = 0,3μm � lc = 10μm

18.9 Compte tenu de la divergence de la diode laser, le diamètre du faisceau à lahauteur de la photodiode est donné par ∅ = ∅d + 2l tan d = 74μm. La puissance re-cueillie par la diode est maximale quand le transfert énergétique de l’interféromètre

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Les capteurs

est égal à l’unité (par exemple pour θ = 0). La puissance recueillie est donc égale àla puissance émise par la diode laser pondérée du rapport de la surface active de laphotodiode à la section du faisceau au niveau de cette photodiode, soit :

Pp, max =π∅2

p/4

π∅/4Pd =

(∅p

∅

)2

Pd = 1,97 mW

Avec une sensibilité S p = 0,85 A.W−1, ceci correspond à un courant maximum donnépar imax = S pPp, max = 1,68 mA.

18.10 Compte tenu de la linéarité entre courant et puissance reçue sur la photo-diode, on a :

i(θ) =imax

2

[1 + cos

(π

λ

n − 1n

eθ2)]

(18.19)

En différentiant l’expression (18.19), on obtient :

di(θ)imax

= −πλ

n − 1n

eθ2 sin

(π

λ

n − 1n

eθ2)

dθθ

En passant aux accroissements finis autour de θ = θmax/2, tous calculs faits il vient :

Δi(θmax/2)imax

=Δi

imax=π√

24Δθ

θmax

On en déduit la résolution angulaire Δθ du système au voisinage de θmax/2 :

Δθ =Δi

imax

4

π√

2θmax =

Δiimax

4

π√

2

√n

n − 1λ

e= 7,85.10−4 rad = 2′42′′

18.11 On peut améliorer la résolution de ce capteur de plusieurs façons.

Premièrement, en utilisant une diode laser de longueur d’onde plus faible mais donton sait que le coût est beaucoup plus élevé et la technique de mise au point plusdélicate pour une même puissance disponible.

On peut penser augmenter l’épaisseur des lames de verre mais tout en restant atten-tif à ce que la différence de marche reste très inférieure à la longueur de cohérencetemporelle de la diode laser. Cette augmentation de l’épaisseur des lames de verreaugmente l’encombrement du dispositif ce qui peut être gênant dans le cas d’un cap-teur intégré.

Il peut être plus intéressant de travailler non pas entre θ = 0 et l’angle donnant lepremier minimum nul, mais entre un maximum et le minimum suivant plus éloignés(voir courbe figure 18.4). Dans ce cas on améliore la résolution, la linéarité s’entrouve aussi améliorée mais on diminue alors l’étendue de mesure du capteur.



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Corrigé 18

18.1

Comme il est expliqué dans la présentation de ce problème, ce type de montagepeut être réalisé selon une technologie d’optique intégrée. On peut alors éven-tuellement remplacer les parcours des rayons dans le vide par des guides d’onde.Les miroirs et les séparatrices peuvent être alors intégrés au guide lui-même.L’avantage de cette technique et qu’elle s’adresse à tout mesurande (pression,température, champ électrique ou magnétique, etc.) susceptible de modifier lechemin optique (voire la polarisation de l’onde) le long d’un des bras de l’inter-féromètre (voir figure 18.5).

Zone d’action

du mesurande

P

1S

2SDL

1M

2M

Figure 18.5� Principe d�un interféromètre Mach-Zender intégré

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19 PROBLÈME :Étude d�une thermistanceen utilisation bolométriquepour la déterminationà distance de latempérature d�un corps

Corrigé détaillé

19.1 En effectuant le rapport des expressions de R(T ) prises pour T1 et T2 puis enprenant le logarithme népérien, on a immédiatement :

B =T1T2

T2 − T1ln

R(T1)R(T2)

= 3433,70 K

Le coefficient de température de cette thermistance est donné par :

α =1

R(T )dR(T )

dT= − B

T 2< 0

B étant possitive, α est négatif et la thermistance est donc du type CTN.

19.2 En combinant les expressions de R(T ) et R(T1) tirées de (19.1), on obtient :

R(T ) = R(T1) exp B

[1T− 1

T1

](19.20)

Les valeurs de R(T ) sur l’étendue de mesure 25 ◦C ≤ t ≤ 30 ◦C sont reportées dansle tableau 19.1.

Tableau 19.1� Valeurs de R(T ) sur l�étendue de mesure 25 ◦C � t � 30 ◦C

t en ◦C R(T) en Ω

25 5000,00

26 4811,17

27 4630,65

28 4458,05

29 4292,95

30 4135,00



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Corrigé 19

19.3 Le calcul est immédiat et donne :

Vmes =

(R(T )

R(T ) + R1− 1

2

)(R(T ) + R1) 2R1

R(T ) + 3R1Ig =

R(T ) − R1

R(T ) + 3R1R1Ig (19.21)

Soit en inversant (19.21) :

R(T ) =R1Ig + 3Vmes

R1Ig − VmesR1 (19.22)

19.4 De façon simpliste on peut penser que la thermistance se trouve à la tempéra-ture t = ta = t1 et comme R(T1) = R1, on obtient alors Vmes = 0.

19.5 La température de la thermistance n’est donc pas égale à t1 = 25 ◦C.D’après (19.21), Vmes étant négatif, on conclut que la thermistance est à une tempéra-ture plus élevée que t1. Le circuit électrique étant isolé et thermostaté, l’échauffementde la thermistance ne peut être qu’un auto-échauffement provenant de la puissancequ’elle dissipe par effet Joule.

(19.22) permet de calculer la résistance présentée par la thermistance, ce qui donneR(T ) = 4970,04Ω pour Vmes = −15 mV.

De (19.20), on tire :

T =

(1

T1+

1B

lnR(T )R(T1)

)−1

= 298,31 K

Ce qui donne t = 25,16 ◦C, d’où l’auto échauffement Δta = 0,16 ◦C.

19.6 Le bilan thermique sur une durée dτ donne :

PJdτ − Ka(T − Ta)dτ = MCdT (19.23)

En régime permanent, l’expression précédente devient :

PJ = Ka(T − Ta) = KaΔTa (19.24)

19.7 Pour ta = 25 ◦C, on a déterminé R(T ) = 4970,04Ω à la question 19.5. Enrevenant au circuit et en notant IR le courant circulant dans la thermistance, on a :

PJ = R(T )I2R = R(T )

(1

R(T ) + R1

2R1 (R(T ) + R1)R(T ) + 3R1

Ig

)2

(19.25)

= R(T )

(2R1

R(T ) + 3R1Ig

)2

= 4,98 mW

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Les capteurs

19.8 De (19.24), (19.25) et de la valeur de l’auto-échauffement déterminée à laquestion 19.5, on déduit la valeur du coefficient d’échange thermique de Ka :

Ka =PΔta= 0,032 W.K−1 (19.26)

19.9 Pour une température t sur l’étendue de mesure 25 ◦C ≤ t ≤ 30 ◦C, ondétermine la résistance R(T ) de la thermistance (équation (19.20)) puis la puis-sance PJ (équation (19.25)) dissipée par effet Joule. En considérant le coefficientd’échange thermique (équation (19.26)) constant, on déduit l’auto-échauffement(équation (19.24)). Les résultats numériques sont reportés dans le tableau 19.2.

Tableau 19.2� Évolution de la puissance dissipée par effet Jouleet de l�auto-échauffement

t en ◦C R(T) en Ω PJ (t) en mW Δta en ◦C25 5000,00 5,00 0,16

26 4811,17 4,90 0,15

27 4630,65 4,81 0,15

28 4458,05 4,71 0,15

29 4292,95 4,61 0,14

30 4135,00 4,52 0,14

On constate que la puissance dissipée et l’auto-échauffement sont pratiquementconstants. Pour la suite ils seront fixés à leurs valeurs moyennes soit PJ = 4,76 mWet Δta = 0,15 ◦C. Les erreurs introduites sont alors au maximum de 5 %.

19.10 Le bilan thermique sur une durée dτ s’écrit maintenant :

PJdτ + φadτ − Ka(T − Ta)dτ = MCdT (19.27)

Pendant l’intervalle de temps dτ, φadτ est l’énergie radiative absorbée, PJdτ l’éner-gie dissipée par effet Joule et Ka(T − Ta)dτ l’énergie cédée à l’enceinte ; ce bilanthermique provoquant une augmentation dT de la température de la thermistance.

En régime permanent, (19.27) devient :

T − Ta = ΔT =P + φa

Ka

Les calculs précédents ont montré que l’on pouvait considérer quePJ � PJ = 4,76 mW. Grâce à ceci, il est possible de découpler l’échauffementdû à l’absorption du rayonnement de l’auto-échauffement par effet Joule et on a



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Corrigé 19

PJ /Ka � PJ /Ka = ΔTa = 0,15 K. L’échauffement total de la thermistance s’écritalors :

ΔT = T − Ta =φa

Ka+ ΔTa (19.28)

19.11 La paroi, considérée comme un corps noir, émet une puissance de rayonne-ment par unité de surface φcn donnée par la loi de Stefan-Bolzmann : φcn = σ T 4

cn.Une fraction φa de φcn, ne dépendant que de la géométrie, est absorbée par la thermis-tance et provoque un déséquilibre Vmes = −250 mV du pont. De (19.22), on déduitimmédiatement la résistance présentée par la thermistance, soit R(T ) = 4512,20Ω etde (19.20), l’échauffement total Δt = 2,68 ◦C. Le résultat (19.28) permet d’en déduirela puissance absorbée à savoir φa = Ka(ΔT − ΔTa) = 81,12 mW.

19.12 La température de la paroi étant maintenant de t′cn, elle émet une puissancede rayonnement par unité de surface φ′cn = σ T ′4cn dont la fraction φ′a est absorbée parla thermistance provoquant la nouvelle déviation du pont V ′mes = −100 mV. Les cal-culs étant similaires à ceux de la question précédente, on trouve : R(T ′) = 4801,98Ω,Δt′ = 1,05 ◦C et φ′a = 28,86 mW.

19.13 Comme il n’y a pas modification de la géométrie du problème, les puissancesabsorbées sont dans le rapport des puissances émises, on a :

φ′aφa=φ′cn

φcn=σT ′4cn

σT 4cn

On en déduit que T ′cn = Tcn(φ′a/φa)1/4 = 751,60 K soit t′cn = 478,45 ◦C.

L’hypothèse faite sur le fait que la paroi peut être considérée comme un corps noirn’est pas une nécessité. Le résultat serait le même si on postulait simplement que sonémissivité est constante dans l’intervalle des températures considérées.

19.1

Le dispositif qui vient d’être décrit correspond à un pyromètre optique sanscontact à poste fixe. D’autres techniques peuvent être utilisées utilisant non plusune thermistance mais une photopile ou un détecteur optique classique Si ou Ge(pour les températures supérieures à 1000 ◦C) et plus récemment InGaAs pour destempératures inférieures. Cependant, ces matériaux ne peuvent travailler dans lagamme de rayonnement basses températures (inférieures à 200 ◦C) sans être eux-mêmes refroidis. Pour cette gamme de température, le bolomètre constitue unesolution de remplacement économique.Le principe du bolomètre a connu récemment un nouvel essor avec l’arrivée descaméras bolométriques où chaque pixel est en soi un microbolomètre commecelui précédemment décrit.

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Les capteurs

Il y a quarante ans, les caméras thermiques n’étaient accessibles qu’aux militaireset nécessitaient un refroidissement de leurs capteurs optiques à −200 ◦C. Les com-posants optoélectroniques (InSb, PtSi. . . ) et méthodes de refroidissement (effetPeltier, cycle Stirling. . . ) se sont améliorés mais les caméras thermiques restaientd’un coût élevé et parfois d’une utilisation délicate.L’arrivée des caméras bolométriques est en train de changer cet état de fait. Sontproposées actuellement sur le marché des caméras de 80 000 pixels pour desrésolutions meilleures que 0,1 ◦C.

Figure 19.5� Schéma et images en microscopie à balayage d�un pixel bolométrique(documentation Ulis∗)

Ces caméras commencent à être utilisées pour des mesurandes primaires quis’accompagnent de production de chaleur donc d’une évolution de la tempé-rature. Des expériences ont déjà abouti, permettant d’étudier les contraintesmécaniques subies par des structures. Par effet thermoélastique, le champ decontrainte dans la structure, lié à une excitation extérieure, s’accompagne d’unetrès faible augmentation de la température locale proportionnelle à la somme descontraintes principales. Comme ces variations de température sont très faibles,on cycle de façon périodique l’excitation sur la structure et on synchronise laprise d’images thermiques sur cette excitation. Un traitement des images permetde n’extraire que les variations locales de température en phase avec l’excitation

∗ D’après Uncooled amorphous silicon technology enhancement for 25 μm pixel pitch achievementE. Mottin, A. Bain, J.L. Martin, J.L. Ouvrier-Buffet, S. Bisotto, J.J. Yon (LETI/CEA-DOPT/LIR) et J.L.Tissot (ULIS).



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Corrigé 19

donc avec la contrainte. On mesure dans ce cas directement l’énergie associéeà contrainte et non la déformation comme c’est le cas lorsque l’on utilise desjauges de contrainte collées.

Figure 19.6� Mesure de contrainte (documentation Cedip)Concentration de contrainte autour de trou de rivet (industrie aéronautique) et

mesure de contrainte sur support de fusée (industrie automobile)

Figure 19.7� Mesure de contrainte (documentation Cedip)Mécanique de la rupture, ßexion 3 points sur éprouvette en titane

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©DUNOD, Paris, 2013


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PROBLÈME :Capteur angulaire

robuste21

Corrigé détaillé

21.1 À partir de l’étude des figures 21.4 et 21.5, les variations des forces électro-motrices s’écrivent aux premiers ordres en θ, x, y et z :

Δeb1 = −kθθ + kx − k′y − kzz Δeh1 = −kθθ + kx − k′y + kzz

Δeb2 = +kθθ + kx + k′y − kzz Δeh2 = +kθθ + kx + k′y + kzz

Δeb3 = −kθθ + k′x + ky − kzz Δeh3 = −kθθ + k′x + ky + kzz

Δeb4 = +kθθ − k′x + ky − kzz Δeh4 = +kθθ − k′x + ky + kzz

Δeb5 = −kθθ − kx + k′y − kzz Δeh5 = −kθθ − kx + k′y + kzz

Δeb6 = +kθθ − kx − k′y − kzz Δeh6 = +kθθ − kx − k′y + kzz

Δeb7 = −kθθ − k′x − ky − kzz Δeh7 = −kθθ − k′x − ky + kzz

Δeb8 = +kθθ + k′x − ky − kzz Δeh8 = +kθθ + k′x − ky + kzz

k, k′, kθ et kz représentent les dérivées partielles des forces électromotrices induites enfonction des variables de déplacement. Elles dépendent de la géométrie des bobines,de la différence des rayons du stator et du rotor, du nombre de spires des bobinages. . .

21.2 D’après la forme des variations des forces électromotrices, il est clair qu’ilsuffit de réaliser avec les bobines indicées h la même configuration que celle réaliséeavec les bobines indicées b puis de connecter ces deux ensembles en série pour quela variation ΔVmes de la tension de mesure aux bornes de l’ensemble soit indépen-dante de la variable z. On peut donc se limiter à l’étude du branchement des bobinesindicées b en éliminant provisoirement la variable z.

Sous forme matricielle on a alors (Δeb1, · · · ,Δeb8) = (θ,x,y) · K où la matrice K estdonnée par :

K =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣−kθ +kθ −kθ +kθ −kθ +kθ −kθ +kθ+k +k +k′ −k′ −k −k −k′ +k′−k′ +k′ +k +k +k′ −k′ −k −k

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (21.29)

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Les capteurs

On doit connecter entre elles les différentes bobines de telle façon que la tension Vaux bornes de cet ensemble subisse une variation ΔV maximale et uniquement fonc-tion de θ. Ceci revient à résoudre :

(a1, · · · ,a8)T · (Δeb1, · · · ,Δeb8) = (a1, · · · ,a8)T · (θ,x,y) · K (21.30)

= max (ΔV(θ))|(a1,··· ,a8)

Le symbole T tient ici pour la transposée.

(21.30) conduit à résoudre, quels que soient kθ, k, k′, x, y et θ, le système :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩(−a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + a6 − a7 + a8) kθθ = max (V(θ))|(a1,··· ,a8)

[(+a1 + a2 − a5 − a6) k + (+a3 − a4 − a7 + a8) k′] x = 0

[(+a3 + a4 − a7 − a8) k + (−a1 + a2 + a5 − a6) k′] y = 0

Les deuxième et troisième lignes de ce système amènent a1 = a5, a2 = a6, a3 = a7 eta4 = a8.

Selon la première équation du système, on doit alors avoir −a1+a2−a3+a4 maximum.

Les bobines ne pouvant être connectées en série que dans le même sens ou en opposi-tion, on a nécessairement ai = ±1. Pour avoir une solution maximale, on peut choisira1 = −1, a2 = +1, a3 = −1 et a4 = +1. On obtient alors ΔV(θ) = 8kθθ et en tenantcompte des bobines indicées h et connectées de la même façon, ΔVmes(θ) = 16kθθ.Comme à l’équilibre toutes les forces électromotrices sont égales, la tension de me-sure est alors nulle et on peut écrire Vmes(θ) = ΔVmes(θ) = 16kθθ ce qui conduit à uneexpression instantanée donnée par vmes(t) = Vmes cosωgt.

21.3 À la fréquence f du spectre utile de Vmes(t) correspond une composanteVmes, f cosωt de Vmes(t) et donc une composante v f (t) = Vmes, f cosωt cosωgt. Pourcelle-ci, on obtient en sortie du multiplieur, une composante de signal donnée par :

v f (t) =vmes, f (t)vg(t)

E=

RIgVmes, f cosωt cos2 ωgt

E

=RIgVmes, f cosωt

E

(1 + cos 2ωgt

2

)

=RIgVmes, f

2E

(cosωt +

cos(2ωg + ω)t

2+

cos(2ωg − ω)t

2

)En généralisant à tout le spectre utile de Vmes(t), le spectre du signal v(t) peut êtreschématisé comme à la figure 21.9.



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Corrigé 21

,

2

g mes fRI VE

,

4

g mes fRI VE

,

4

g mes fRI VE

2 g 2 g u2 g uu0

Amplitude

Figure 21.9� Spectre du signal de sortie du multiplieur

21.4 D’après le circuit de la figure 21.7, on a :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩V(p) =

i3Y3+

i1Y1

Vs(p) = − i5Y5= − i3

Y5=

i3Y3− i4

Y4=

i2Y2− i3

Y3− i3

Y5i1 = i2 + i3 + i4

(21.31)

La résolution de (21.31) conduit à :

H(p) =Vs(p)V(p)

= − Y1Y3

Y3Y4 + Y5(Y1 + Y2 + Y3 + Y4)(21.32)

21.5 Avec Y1 = Y3 = Y4 = 1/R, Y5 = C p et Y2 = kCp (21.32) devient :

H(p) = − 1

1 + 3RC p + kR2C2 p2=

H(0)

1 +2ξω0

p +p2

ω20

(21.33)

Par identification, on a immédiatement ω0 = 1/√

kRC et ξ = 3/2√

k.

21.6 Avec ξ = 1/√

2 on a immédiatement k = 4,5 et le gain G(ω) du filtre s’écrit àpartir de (21.33) :

G(ω) = |H( jω)| = |H(0)|∣∣∣∣∣∣∣1 + j2ξω

ω0− ω

2

ω20

∣∣∣∣∣∣∣=

|H(0)|∣∣∣∣∣∣∣1 + j√

2ω

ω0− ω

2

ω20

∣∣∣∣∣∣∣=

G0√√⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 − ω2

ω20

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠2

+ 2ω2

ω20

=G0√

1 +

(ω

ω0

)4

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Les capteurs

Ceci correspond bien à un filtre passe-bas du second ordre de pulsation de coupureà −3 dB obtenue en résolvant G(ωc) = G0/

√2 soit ωc = ω0. En dehors de la bande

passante, donc à hautes fréquences, le gain a pour asymptote G(ω) � G0ω20/ω

2. Si ωest multiplié par un facteur 10 le gain chute d’un facteur 100, ce qui correspond à unepente de −40 dB/décade.

21.7 Le filtre étant du second ordre, une perte de −80 dB correspond à 2 décades.On a donc en première approximation ωc/2ωg � 1/100 soit fc = 2 kHz. Avecfc = f0 = 1/2π

√kRC, il vient C = 37,5 nF.

21.8 Compte tenu de l’action du filtre sur v(t) on a :

vs(t) �RIg2E

Vmes(t) (21.34)

La détection synchrone effectuée a permis de démoduler le signal issu du capteur dusignal de l’alimentation.

21.9 La régression linéaire à partir des données du tableau 21.1 etde (21.1) amène une approximation linéaire Vmes,lin de Vmes donnée parVmes,lin � 2,95.10−3 · θ − 0,02.10−3 où Vmes,lin est exprimé en volt et θ en de-gré. Ceci permet de calculer les valeurs de Vmes,lin de θ. Ces valeurs sont reportéesdans le tableau 21.2.

Tableau 21.2� Approximation linéaire de la caractéristique

θ (◦) −40 −30 −20 −10 −0 +10 +20 +30 +40

Vmes,lin (mV) −118,19 −88,64 −59,10 −29,56 −0,02 +29,52 +59,07 +88,61 +118,15

Le plus grand écart Vmes,lin − Vmes est de 12,52 mV pour θ = +40◦. L’erreur de linéa-rité est donc de 12,52/((105,63) − (−105,74)) � 6 % de l’excursion de Vmes.

Le signal de sortie vs étant proportionnel à Vmes (facteur de proportionnalitéRIg/2E = 2, voir (21.34)), la sensibilité de la mesure est de 5,90 mV/◦ et l’erreurde linéarité de 6 % de l’étendue de mesure.

La figure 21.10 présente la caractéristique réelle du capteur et la droite des moindrescarrés.

21.10 De façon générale, la relation non linéaire vs(θ) peut s’écrire :

vs = a0 + a1θ + a2θ2 + · · · =

∞∑n=0

anθn



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Corrigé 21

Réciproquement, il est donc possible d’écrire :

θ = b0 + b1vs + b2v2s + · · · =

∞∑m=0

bnvms (21.35)

Linéariser, c’est réaliser un signal v′s = Kθ soit :

v′s = Kθ = K(b0 + b1vs + b2v

2s + · · ·

)= K

∞∑m=0

bnvms

30 0 30300

0

300

Caractéristique réelle

Droite des moindres carrés

(mV)

(°)

Figure 21.10� Signal de sortie vs et droite des moindres carrés

21.11 Compte tenu de l’excursion des valeurs de vs, on peut se contenterpour (21.35) d’une relation approximative de (21.2) donnée par :

θ = A · v3s + B · vs = 1,504.104 · v3

s + 202,823 · vs (21.36)

Le signal de sortie des multiplicateurs est en volt vm = v3s /V

2re f .

D’après le montage 21.8, l’amplificateur opérationnel étant idéal, on a :

e+ =R3R5vs + R3R4vm

R3R4 + R3R5 + R4R5et e− =

R1v′s

R1 + R2(21.37)

La contre-réaction amène compte tenu de R1 = R3 :

v′s =R1 + R2

R1

R3R4

R3R4 + R3R5 + R4R5vm +

R1 + R2

R1

R3R5

R3R4 + R3R5 + R4R5vs

=(R1 + R2)R4

R1R4 + R1R5 + R4R5

v3s

V2re f

+(R1 + R2)R5

R1R4 + R1R5 + R4R5vs (21.38)

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Les capteurs

En identifiant (21.38) et v′s = Kθ = K(Av3v + Bvs), il vient :

(R1 + R2)R4

R1R4 + R1R5 + R4R5= KAV2

re f = A′

(R1 + R2)R5

R1R4 + R1R5 + R4R5= KB = B′ (21.39)

K = 100 mV/◦, en résolvant (21.39), on obtient :

R4 =(R1 + R2) − R1(A′ + B′)

R1A′= 3,235 kΩ

R5 =(R1 + R2) − R1(A′ + B′)

R1B′= 4,350 kΩ

Le tableau 21.3 donne les valeurs de v′s calculer d’après (21.38) ainsi que son ap-proximation linéaire v′s,lin obtenue en utilisant (21.1) (voir figure 21.11).

Tableau 21.3� Tension de sortie du dispositif de mesure

θ (◦) −40 −30 −20 −10 −0 +10 +20 +30 +40

u′s (V) −3,928 −3,165 −1,973 −0,910 −0,023 +0,951 +2,031 +3,063 +3,921

u′s,lin

(V) −4,000 −3,001 −2,002 −1,003 −0,004 +0,995 +1,995 +2,994 +3,993

40 0 40

θ4

0

4

( )

(V)

,s linv

sv

Figure 21.11� Tension de sortie du système de mesure

La sensibilité de la mesure est de 99,91 mV/◦ et le plus grand écartv′s,lin − v′s est de −164 mV pour θ = −30◦. L’erreur de linéarité est donc de0,164/((3,921) − (−3,928)) � 2 % de l’étendue de mesure. On constate que la li-néarisation a permis de fortement diminuer la non-linéarité du signal de mesure.



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Corrigé 21

21.1

Le capteur angulaire inductif étudié ici fonctionne sur le même principe qu’unpotentiomètre inductif dont on aurait multiplié le nombre de primaires et de se-condaires de façon à le rendre insensible aux grandeurs d’influence que sontles déplacements parallèlement l’un à l’autre et l’un sur l’autre des axes desbobinages primaires (rotor) et secondaires (stator). Ces déplacements parasitesexistent à cause de l’absence volontaire de liaisons mécaniques entre le rotor etle stator.Pour résoudre le problème posé, une autre solution aurait consisté à utiliser unaimant permanent et une série de sondes à effet Hall à l’ image des capteursangulaires développés ces dernières années.

(a)

(c)

(b)

Figure 21.12� Principe decapteurs angulaires à sonde

à effet Hall (documentation TWK)

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24 PROBLÈME :Photodiode à effetlatéral unidirectionnelle

Corrigé détaillé

I. La photodiode � Sensibilité

24.1 L’éclairement E étant la densité surfacique de flux lumineux, la puissance re-çue φ0 est simplement le produit de l’éclairement E par la surface de réception S , soitφ0 = ES .

24.2 La puissance dφ(z) absorbée par une tranche élémentaire d’épaisseur dz àl’abscisse z dans la zone de déplétion s’obtient par différentiation de la puissanceà l’abscisse z, soit :

dφ(z) = −β(1 − R)φ0 exp(−αlP) exp(−βz)dz (24.40)

24.3 L’énergie d’un photon étant hν, le nombre dn de photons absorbés parla tranche d’épaisseur dz à l’abscisse z et par unité de temps est donné pardn = −dφ(z)/hν (comme d’après (24.40) dφ(z) est négatif, il convient de prendre lavaleur opposée de dφ(z)/hν de façon à obtenir un nombre dn positif).

24.4 Puisqu’il y a η photoélectrons créés par photon absorbé, le nombre dnphot dephotoélectrons libérés par unité de temps dans la tranche d’épaisseur dz à l’abscissez est dnphot = −ηdφ(z)/hν.

24.5 Le nombre total nphot de photoélectrons créés par unité de temps dans la zonede déplétion d’épaisseur totale lZD s’obtient en intégrant l’expression précédente. Ilvient :

nphot =ηφ0

hν(1 − R) exp(−αlP)

[1 − exp(−βlZD)

](24.41)

24.6 Si on considère que l’épaisseur de la zone de déplétion est importante, c’est-à-dire lZD � 1/β, (24.41) devient :

nphot � ηφ0

hν(1 − R) exp(−αlP)



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Corrigé 24

24.7 Puisque l’on néglige la recombinaison, le photocourant dû aux électrons estdonné par :

eηhcλφ0(1 − R) exp(−αlP)

Le courant dû aux trous étant égal au courant dû aux électrons, le photocourant totalIphot est donc :

Iphot =2eηhc

λφ0(1 − R) exp(−αlP)

24.8 Le courant inverse Ir de la diode est la somme du photocourant et du courantd’obscurité (approximativement Is), soit :

Ir = Iphot + Is =2eηhc

λφ0(1 − R) exp(−αlP) + AT 3 exp(−Eg/kT )

24.9 Pour T = Tmax = 330 K avec Eg = 1,12 eV soit Eg = 1,79.10−19 J, on obtientalors Is = 100 nA.

24.10 La sensibilité de la photodiode est donnée par :

S phot =ΔIr

Δφ0=

2eηhc

λ(1 − R) exp(−αlP) = 0,4 A/W (24.42)

Le courant inverse étant proportionnel à la puissance lumineuse, la photodiode consti-tue un capteur linéaire.

II. La photodiode � Puissance lumineuse maximaleet effet thermique

24.11 À l’équilibre thermique la puissance dissipée par effet Joule est entièrementévacuée vers le milieu extérieur. Pour une température maximale Tmax de fonction-nement, on a donc :

Pmax = K(Tmax − Text) = 7,2μW

24.12 On a dans ce cas Pmax = RI2max. On obtient alors Imax = 12μA.

24.13 En utilisant (24.42) et la valeur du courant d’obscurité déterminée à la ques-tion 24.10, il vient :

φmax =Imax − Is

S phot� Imax

S phot= 29,5μW

24.14 On a alors Emax = Emax/S = 9,84 W.m−2 � 1 mW.cm−2

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Les capteurs

III. Réponse spectrale

24.15 En première approximation et d’après (24.42), la sensibilité de la photodiodecroît linéairement avec la longueur d’onde. À λ = 1000 nm, on a donc :

S phot(1000 nm) =1000670

S phot(670 nm) � 0,6 A/W

24.16 Lorsque la longueur d’onde augmente, l’énergie des photons diminue et lalongueur d’onde maximale utilisable est celle pour laquelle l’énergie du photon estégale à la largeur de la bande interdite du semi-conducteur, soit Eg = 1,12 eV. Lalongueur d’onde maximale utilisable est donc λmax = hc/Eg = 1108 nm. Au-delàde cette longueur d’onde, l’énergie des photons est insuffisante pour créer une paireélectron-trou.

24.17 Schématiquement, la réponse spectrale de la photodiode a l’allure suivante.

en nm400 800 1200

en A WphotS

0,4

0,6

Figure 24.9� Allure de la réponse spectrale de la photodiode

IV. Principe de fonctionnement du détecteur de position(PSD)

24.18 Les résistances R1 et R2 étant en parallèle, R1I1 = R2I2. En considérant queles différents matériaux sont parfaitement homogènes, le rapport des résistances estégal au rapport des longueurs de ces résistances. On a donc I1l1 = I2l2.

24.19 Le faisceau étant centré, on a R1 = R2 = 100 kΩ. La constante de temps dela photodiode est donnée par τ = (R1//R2)C j = 62,5 ns et sa fréquence de coupurepar fc = 1/2πτ = 2,55 MHz.

24.20 On a Imax/Is = (Iphot + Is)/Is � 120, on peut donc négliger le courant d’obs-curité et écrire I1 + I2 � Iphot. En utilisant le résultat de la question 24.18 et en posant



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�

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�

�

�

Corrigé 24

l1 = l/2 − x et l2 = l/2 + x, il vient :⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩I1 =

l2l1 + l2

Iphot =

(1 +

2xl

)Iphot

2

I2 =l1

l1 + l2Iphot =

(1 − 2x

l

)Iphot

2

La tension de mesure Vmes = a(I1 − I2)/(I1 + I2) s’écrit alors :

Vmes = 2axl

24.21 La sensibilité S c du capteur réalisé s’en déduit immédiatement, on trouveS c = 2a/l.

Sous les hypothèses faites, on a réalisé un capteur linéaire de l’écart x de la positiondu faisceau lumineux par rapport au centre de la photodiode.

V. Électronique de conditionnement

24.22 Les amplificateurs opérationnels étant idéaux, position et puissance lumi-neuse étant constantes, on a simplement V1 = −RcI1 et V2 = −RcI2. L’étage d’entréedu conditionneur réalise donc une conversion courant-tension.

24.23 Les amplificateurs étant idéaux et munis d’une contre-réaction, on a e+ = e−.Comme l’entrée non-inverseuse est à la masse, il vient e− = 0. L’impédance d’entréede l’étage est donc nulle. La conversion courant-tension réalisée par le premier étagedu conditionneur ne perturbe donc pas l’étage en amont, c’est-à-dire ici le capteur.

24.24 Pour le calcul de VN, on peut écrire :

e+ =V2

2et e− =

VN − V1

2

L’amplificateur étant idéal et muni d’une contre-réaction (e+ = e−), on en déduit :

VN = V2 − V1 =I1 − I2

Rc

De même pour VD, il vient :

VD = −Rs

(V2

Rs+

V1

Rs

)= − (V1 + V2) =

I1 + I2

Rc

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Les capteurs

24.25 On en déduit l’expression de la tension de sortie de l’étage de conditionne-ment :

Vmes = VVN

VD= V

I1 − I2

I1 + I2= 2V

xl

Compte tenu des approximations faites, ce résultat est indépendant de Iphot et per-met donc d’affranchir la mesure d’éventuels effets de la variation de la puissance dufaisceau.

24.26 On en déduit la sensibilité de la PSD réalisée :

S c =2Vl= 6,667 V/mm = 6,667 mV/μm

VI. Principe de fonctionnement du détecteur de positionà triangulation

24.27 En utilisant que les triangles O′ΩB′ et O′ΩA′ sont respectivement sem-blables aux triangles OΩB et OΩA (voir figure 24.7), il vient :

xd= −X

D(24.43)

24.28 On en déduit l’expression de la sensibilité de la mesure :

S mes =Vmes

X=

Vmes

xxX= −S c

dD

24.29 Compte tenu de ce qui précède, il vient :

dD=

∣∣∣∣∣δVmes

S cδX

∣∣∣∣∣ = 0,15

24.30 On obtient alors :

S mes = −S cdD= −1 mV/μm

24.31 L’étendue de mesure du capteur à triangulation est reliée à celle de la PSDpar la relation (24.43), on obtient donc :

E.M.(X) =Dd

E.M.(x) = [−1 cm, + 1 cm] (24.44)

VII. Optimisation de la géométrie du capteur à triangulation

24.32 Compte tenu du résultat (24.43), il est clair que l’on peut augmenter la ré-solution de ce capteur en diminuant le rapport D/d. Cette diminution ne peut évi-demment s’effectuer qu’en respectant les contraintes mécaniques d’encombrement



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�

�

Corrigé 24

de la diode laser et de son condenseur, et, de la PSD et de sa lentille de focalisation.D’après le résultat (24.44), cette augmentation de la résolution et de la sensibilité ducapteur s’accompagne d’une diminution dans le rapport inverse de son étendue demesure.

De plus, si on suppose que la cible peut être assimilée à un réflecteur lambertien,l’intensité lumineuse réfléchie est maximale dans la direction de la normale à la sur-face et varie selon I = I0 cos θ où θ est l’angle entre la normale à la surface et ladirection d’observation. En augmentant la résolution par diminution du rapport D/d,on augmente le flux lumineux reçu par la PSD, facilitant ainsi la détection. En effet,plus le flux lumineux est important (évidemment sans aller jusqu’à engendrer desnon-linéarités), plus le photocourant est prédominant devant le courant d’obscurité etplus les approximations faites sont justifiées.

24.33 Graphiquement, l’effet de l’inclinaison est évident. La sensibilité de la me-sure est divisée par cos ϕ. On a donc intérêt à choisir ϕ suffisamment grand.

24.34 Les inclinaisons des directions O′X et Ox doivent être telles qu’elles res-pectent les lois de formation des images par la lentille de focalisation. En effet, bienque ceci n’ait pas été étudié en début de problème, il est intuitif de penser que la pré-cision sur la localisation du point d’impact du faisceau sur la PSD sera d’autant plusgrande que la section de ce dernier sera faible. En cas de défocalisation la précisionde la mesure sera donc dégradée.

La compréhension du problème nécessite de revenir à la construction géométrique dela formation des images du point cible sur la PSD.

On forme classiquement les points A, O et B images respectives des points objetsA′, O′ et B′ du plan objet incliné d’un angle α par rapport au plan de la lentille etdont la trace est l’axe O′X (voir figure 24.10). Ces points permettent de former l’axeOx, trace du plan image. La construction montre que la trace du plan image, la tracedu plan de la lentille et la trace du plan objet se croisent au même point S (règle deScheimpflug) et que la parallèle à la trace du plan objet passant par le centre optiquede la lentille, la trace du plan focal image et la trace du plan image se croisent aumême point H (règle de Hinge).

Cette construction géométrique permet de déterminer la relation entre la position X(point de réflexion du faisceau laser sur la surface cible) et la position x, point defocalisation sur la PSD de la lumière se réfléchissant sur la cible et collectée par lalentille de focalisation.

On pose do = O′Ω, di = ΩO et f la focale de la lentille.

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prod

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Les capteurs

Plan image Plan de la lentille

O

A

B

B

A

x

X

oFiF

Plan objet

S

H

O

Figure 24.10� Règles de Scheimpßug et de Hinge

On applique la formule de conjugaison des lentilles minces entre les points conjuguésO′ et O. Il vient :

1di+

1do=

1f

(24.45)

De même, on applique la formule de conjugaison aux projetés de X et x sur l’axeoptique, repérés par les mesures algébriques po = −do − X sinα et pi = di + x sin βpar rapport à Ω, on obtient :

1pi− 1

po=

1f

(24.46)

En résolvant (24.45) et (24.46) en x, il vient :

x =1

sin βf 2X sin α

( f − (do + X sinα)) (do − f )(24.47)

Selon la règle de Scheimpflug, on doit avoir di tan β = do tanα. Ceci permet de dé-duire l’expression de sin β :

sin β =(do − f ) tan α√

f 2 + (do − f )2 tan2 α

L’expression (24.47) de x en devient :

x = − f 2

(do − f )2

√f 2 cos2 α + (do − f )2 sin2 α

(do − f + X sinα)X (24.48)



�

�

�

�

�

�

�

�

Corrigé 24

24.35 Pour α = 35◦, on obtient β = 75,30◦. De (24.48), on déduit la nouvelleexpression de la sensibilité :

S mes =Vmes

X=

Vmes

xxX= −S c

f 2

(do − f )2

√f 2 cos2 α + (do − f )2 sin2 α

(do − f + X sinα)

La mesure est de façon évidente non-linéaire.

Cette non-linéarité entraîne une dissymétrie de l’étendue de mesure du capteur parrapport à la valeur de référence (X = 0 et Vmes = 0), soit :

E.M. = [−8,59 mm ; 10,75 mm] pour x ∈ [−1,5 mm ; + 1,5 mm]

La courbe de la figure 24.11 donne l’évolution de la tension de mesure en fonction del’excursion X de la surface cible pour les valeurs caractéristiques données du système.

0,6 0

0

10

1

(V)mesV

(cm)X

Figure 24.11� Évolution de la tension de mesure

24.36 On pratique sur les données précédentes une régression linéaire au sens desmoindres carrés. Sur l’étendue de mesure, l’approximation linéaire de Vmes est, pourVmes en volt et X en centimètre, Vmes,lin = −10,358X + 0,004.

L’écart à la linéarité, plus grand écart entre la caractéristique réelle et son approxi-mation linéaire au sens des moindres carrés, est donné pour X = 1,075 cm et vautε = 759,93 mV.

L’erreur de linéarité donnée par ε/(max(Vmes) −min(Vmes)) s’en déduit aisément, ellea pour valeur 3,80 %.

Cette erreur de linéarité n’est pas négligeable et il est intéressant dans ce cas de nu-mériser Vmes et de construire une table de conversion dont la sortie est le déplacementX corrigé des effets de non-linéarité.

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Les capteurs

24.1

Le faisceau réfléchi par la cible a une certaine extension latérale. En raison desdéfocalisations possibles au point de focalisation sur la PSD, l’ intensité lumi-neuse du faisceau est moyennée sur l’extension latérale de l’image par la PSD.Ceci entraîne des non-linéarités particulièrement sensibles lorsque l’on se trouveen limite de l’étendue de mesure. Une des résistances R1 ou R2 du problème estfaible, ce qui entraîne que les approximations faites dans le problème traité icine sont plus valables comme par exemple le fait de négliger les impédances decontact semiconducteur-électrode collectrice. De plus, à la limite une partie dufaisceau illuminant une électrode ne contribue plus au photocourant. Ces effetssont d’autant plus importants que l’extension latérale du faisceau est impor-tante. C’est pourquoi on obtient une bien meilleure résolution avec les capteursutilisant la réflexion spéculaire où par définition, le faisceau réfléchi a la mêmeextension que le faisceau incident.Pour corriger en partie cet effet, certains capteurs à triangulation utilisent main-tenant comme photodétecteur une CCD à la place de la PSD. Si on s’intéresse àla résolution, une PSD a communément une résolution de quelques micromètres.Une CCD a des pixels de surface de l’ordre de 7 μm × 7 μm, et donc une résolu-tion de 7 μm si on néglige l’espace isolant entre deux pixels. Le faisceau réfléchiayant une extension latérale, il est focalisé sur une surface supérieure à la tailledes pixels. Plusieurs pixels sont donc illuminés par le faisceau réfléchi. Par traite-ment mathématique de l’intensité lumineuse mesurée par chaque pixel, notam-ment en calculant simplement le centroïde de cette répartition, on peut atteindreune résolution de quelques dixièmes de micromètres.Cette amélioration de la résolution du capteur s’accompagne malheureusementd’une baisse de la rapidité du capteur. Si on peut atteindre une fréquence decoupure de l’ordre du mégahertz avec une PSD, l’utilisation d’une CCD ne per-met qu’une fréquence d’échantillonnage de quelques kilohertz.Pour conclure, citons que des PSD bidirectionnelles existent et qu’elles peuventdonc être utilisées pour la détermination des coordonnées en x et y du pointd’impact d’un faisceau lumineux.

Figure 24.12�Principe d�une PSDà deux dimensions(type duo-lateral)

2xI

1xI

1yI

2yI

Faisceau incident

1 2

1 2

x x

x x

I IxI I1 2

1 2

y y

y y

I Iy

I I


Documents

3 — 15:46 — page 1 — #349 LES CAPTEURS …medias.dunod.com/document/9782100701674/... · la mesure de la résistivité de très bons conducteurs. On peut inversement utiliser