3ème - 2012/2013 - DNB Série généraleCorrection du sujet de polynésie (juin 2013)

Exercice 11) Réponse B 2) Réponse A 3) Réponse C 4) Réponse C

Explications (non demandées donc inutile de les écrire sur la copie) :1) On utilise la calculatrice en écrivant le numérateur et le dénominateur entre parenthèses :on obtient 0, 029982 ; la seule réponse qui puisse convenir est donc la réponse B(on vérifie que 0, 029982 = 29, 982 × 10−3).2) Une vitesse moyenne de 40 km/h signifie qu’une distance de 40 km est parcourue en une heure.On effectue les conversions : 40 km = 40 000 m ; 1 h = 3600 s puis on utilise un tableau de proportionnalité :

40000 3600800 x

x =3600 × 800

40000= 72 s

72 s = 1 min 12 s donc réponse A.3) Les longueurs sont multipliées par 3 donc le coefficient d’agrandissement est k = 3 ; les aires sont alorsmultipliées par k2 et le volume par k3 = 33 = 27 donc réponse C.4) Pour factoriser l’expression 25x2 − 16, on écrit : 25x2 − 16 = (5x)2 − 42 puis on utilise l’identitéremarquable a2 − b2 = (a + b)(a − b) avec a = 5x et b = 4 donc réponse C.Exercice 21) On calcule le PGCD de 405 et 315 par divisions euclidiennes successives (algorithme d’Euclide) :

405 = 315 × 1 + 90315 = 90 × 3 + 4590 = 45 × 2 + 0

donc le PGCD de 405 et 315 est 45 (c’est le dernier reste non nul).

Remarques :• on utilise la touche de la calculatrice qui permet d’effectuer une division euclidienne : : R− ou l .

1

−• on peut aussi effectuer des soustractions successives :

405 − 315 = 90315 − 90 = 225225 − 90 = 135135 − 90 = 4590 − 45 = 4545 − 45 = 0

donc PGCD(405 ; 315) = 45.

2) 9 × 35 = 315 donc il y a 315 bénitiers de 12,5 cm.15 × 27 = 405 donc il y a 405 bénitiers de 17,5 cm.Comme l’exploitant souhaite répartir la totalité des bénitiers en lots de même composition, le plus grandnombre de lots qu’il pourra réaliser est le PGCD de 315 et 405, c’est-à-dire 45.405 : 45 = 9 et 315 : 45 = 7.Chaque lot sera composé de 9 bénitiers de 17,5 cm et 7 bénitiers de 12,5 cm.

Exercice 31) 550 000 × 6 = 3 300 000. La superficie actuelle de cette poubelle géante est de 3 300 000 km2.2) Une augmentation de 10 % correspond à un coefficient de proportionnalité de 1,1.3 300 000 × 1, 1 = 3 630 000.La superficie de cette poubelle géante sera de 3 630 000 km2 dans un an.

Remarques :• On peut aussi calculer 10 % de 3 300 000, ce qui donne 330 000 puis effectuer 3 300 000 + 330 000• Une augmentation de 10% est modélisée par la fonction linéaire f : x −→ 1, 1x (car 1, 1x = x + 10

100x)

f(2)

antécédents de 5 par f

S

3) 3 300 000 × 1, 1 × 1, 1 × 1, 1 × 1, 1 = 3 300 000 × 1, 14 = 4 831 530.Comme 3 300 000 × 2 = 6 600 000, l’affirmation ”dans 4ans, la superficie de cette poubelle aura doublé”est fausse.

Remarques :• On peut aussi effectuer le calcul pour la deuxième année, puis pour la troisième année et enfin pour laquatrième année :10 % de 3 630 000 représentent 363 000 et 3 630 000 + 363 000 = 3 993 00010 % de 3 993 000 représentent 399 300 et 3 993 000 + 399 300 = 4 392 30010 % de 4 392 300 représentent 439 230 et 4 392 300 + 439 230 = 4 831 530• La valeur d’une augmentation de 10 % dépend du nombre auquel elle s’applique (plus le nombre estgrand et plus cette valeur est grande).

Exercice 41)

Remarque :Pour construire le triangle ABC, on construit le segment [AC]de longueur 8 cm à l’aide de la règle graduée.On construit ensuite la droite (d) perpendiculaireau segment [AC] passant par le point C. Enfin, on traceun arc de cercle de centre A et de rayon 10 cm ;

il coupe la droite (d) en B. On trace le segment [AB].

2

2) Le triangle ABC est rectangle en C donc on peutappliquer le théorème de Pythagore :

AC2 + BC2 = AB2

82 + BC2 = 102

64 + BC2 = 100

BC2 = 100 − 64BC2 = 36

BC =√

36

BC = 6

La longueur BC est de 6 cm.

3d) Pour prouver que le quadrilatère MFCE est un rectangle,on peut directement utiliser la proposition 3 :

”Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle.”

Remarques :• On vérifie que l’hypoténuse [AB] est le plus grand des trois côtésdu triangle ABC (donc BC < 10 cm)

• On doit recopier la proposition

Exercice 5a) Une valeur approchée de f(2) est 6,5.

b) Les antécédents de 5 par la fonction fsont 5 et 7,8.

d) Les coordonnées du point S sont (6,5 ; 4,8).

Remarques :• Pour lire l’image de 2 par la fonction f , on place 2 sur l’axe des abscisses ; la parallèle à l’axe desordonnées passant par ce point coupe la courbe en un point d’ordonnée 6,5 donc f(2) = 6, 5.• Pour lire les antécédents de 5 par la fonction f , on place 5 sur l’axe des ordonnées ; la parallèle à l’axedes abscisses passant par ce point coupe la courbe en deux points d’abscisses respectives 5 et 7,8 donc lesantécédents de 5 par la fonction f sont 5 et 7,8.• Le point S est le point de la courbe ayant la plus petite ordonnée ; on lit ses coordonnées et on les écritentre parenthèses : (abscisse du point S ; ordonnée du point S)• Il n’y a pas de question 2 ...Exercice 61a) On note VA et VB les volumes respectifs des conteneurs A et B.Le conteneur A est un pavé droit : VA = 1 × 1 × 2 = 2 m3

Le conteneur B est constitué d’une boule de rayon 0,58 m et d’un cylindre de révolution de hauteur 1,15met de rayon 0,58 m : VB =

4

3× π × 0, 583 + π × 0, 582 × 1, 15 ≈ 2, 033 m3

Les deux conteneurs ont donc pratiquement le même volume, soit 2 m3.1b) Le conteneur A peut être plus facile à empiler (et à transporter) et aussi plus facile à poser au sol.

2) On note AA et AB les aires totales respectives des conteneurs A et B.a) L’aire AA est égale à la somme des aires des six faces du pavé droit (2 carrés identiques et 4 rectanglesidentiques) : AA = 2 × 1 × 1 + 4 × 2 × 1 = 10 m2.

3

b) L’aire AB est égale à la somme de l’aire d’une sphère de rayon 0,58 m et de l’aire de la surface latéraled’un cylindre de rayon 0,58 m et de hauteur 1,15 m :

AB = 2π × 0, 58 × 1, 15 + 4π × 0, 582 ≈ 8, 418 m2.c) Le conteneur le plus économique à fabriquer est le conteneur B puisqu’il nécessite moins de matière quele conteneur A pour un volume identique.

Remarque :il y a un abus de langage dans le formulaire puisque l’on parle du volume d’une sphère alors qu’il s’agiten fait du volume d’une boule.

Exercice 7on réalise un schéma : Le point M indique la position de Moana ;

la longueur MB est donc de 1,8 m (taille de Moana).Le point C indique la position du cocotier ;la longueur AC est la hauteur du cocotier.La longueur OM est de 3 pas et la longueur OC est de 10 pas(les points M, O et C sont alignés).

Les droites (AC) et (MB) sont perpendiculaires à la droite (OC)donc elles sont parallèles entre elles.D’après le théorème de Thalès, le triangle OAC est un agrandissementdu triangle OBM ; le coefficient d’agrandissement est :

OC

OM=

10 pas

3 pas=

10

3.

Pour obtenir la longueur AC, il faut donc multiplier la longueur MB par ce coefficient d’agrandissement :

AC = BM × 103

= 1, 8 × 103

= 6 m.

La hauteur du cocotier est donc de 6 mètres.

Remarques :• Il est inutile d’utiliser le nombre de pas réalisés sur 100 m par Moana pour convertir ses pas en longueur

exprimée en mètres puisque le quotientOC

OMest un nombre sans unité lorsque OC et OM sont exprimées

dans la même unité de longueur (ici le pas de Moana)

• On peut aussi écrire les rapports de longueurs égaux :OM

OC=

OB

OA=

MB

CAet effectuer le produit en croix après avoir remplacé les longueurs connues par leurs valeurs numériques.

Exercice 81a) Expérience n◦3 : la boule noire numéro 2 et la boule blanche numéro 3 sont tirées ; la somme est 5.

1b) La formule écrite dans la case D5 est = B5 + C5 .1c) On ne peut pas obtenir la somme 2 car :• la plus petite valeur pour une boule noire est 1 ;• la plus petite valeur pour une boule blanche est 2.Donc la plus petite somme que l’on peut obtenir est 1 + 2 = 3.1d) Les tirages qui permettent d’obtenir la somme 4 sont :

4

• boule noire numéro 1 et boule blanche numéro 3 ;• boule noire numéro 2 et boule blanche numéro 2.1e) La plus grande somme possible est 9 car la plus plus grande valeur pour une boule noire est 4 et laplus grande valeur pour une boule blanche est 5.2a) La fréquence de la somme 9 au cours des 50 premières expériences est :

2

50= 0, 04

car il y a 2 tirages qui donnent la somme 9 sur un total de 50 tirages.

2b) Dans la case B7, la formule est = B6 : 1000 ou = B6 : I6 .

2c) D’après le tableau, la fréquence de la somme 3 est de 0,081 pour 5 000 expériences.Une estimation de la probabilité d’obtenir la somme 3 est donc 0,081.

On peut aussi construire l’arbre des possibles :

Comme il y a 12 issues ayant chacune la même probabilité (on dit que c’est une situation d’équiprobabilité)et que la seule possibilité d’obtenir une somme égale à 3 est de tirer N1 B2, la probabilité d’obtenir lasomme 3 est de

1

12≈ 0, 083.

Remarques :• Dans l’exercice, on parle d’expériences alors qu’il s’agit de tirages (l’expérience aléatoire étudiée consisteà tirer une boule blanche et une boule noire puis à noter la somme de leurs numéros)• Lorsque le nombre de tirages augmente, la fréquence de la somme 3 se rapproche de la valeur théoriquecorrespondant à une infinité de tirages : la probabilité d’obtenir la somme 3.

N1

N2

N3

N4

N1 B2 (S = 3)

N1 B3 (S = 4)

N1 B5 (S = 6)

N2 B2 (S = 4)

N2 B3 (S = 5)

N2 B5 (S = 7)

N3 B2 (S = 5)

N3 B3 (S = 6)

N3 B5 (S = 8)

N4 B2 (S = 6)

N4 B3 (S = 7)

N4 B5 (S = 9)

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