4 Le formuLaire mpsi, mp... 6493233 isBn 978-2-10-051941-5 lionel porcheron ingenieur de l’enseeiht à toulouse. • Toutes les formules et définitions du pro-gramme de mpsi et

^{jrsquointegravegre}

^{matheacutematiques}

^physique

^chimie

^{sciences de lrsquoingeacutenieur}

^informatique

^{wwwdunodcom6493233isBn 978-2-10-051941-5}

^{lionel porcheron}

^{ingenieur de lrsquoenseeiht agrave toulouse}

^{bull Toutes les formules et deacutefinitions du pro-gramme de mpsi et mp en matheacutematiques physique et chimie}

^{bull pour chaque formule la signification des termes les uniteacutes les limites drsquousage}

^{bull de tregraves nombreux scheacutemas des exemples et des conseils}

^{bull un index fourni pour trouver rapidement lrsquoinformation rechercheacutee}

^{Lrsquooutil indispensable pour reacuteviser}

^{Le formuLairempsi mp}

^{lionel porcheron4e eacutedition}

^{Lionel Porcheron}

^{4e eacutedition}

^{1 500 formulesde matheacutematiquesphysique et chimie}

^{Le for}

^{e mpsi pm}

^{1 500 formules de m}

^{atheacutematiques physique et chim}

^{ieL po}

^{Porcheron 13x18indd 1 40808 145659}

^{LE FORMULAIREMPSI MP}

^{9782100519415_lim_P01-04 Page I Mardi 5 aoucirct 2008 314 15}

^{9782100519415_lim_P01-04 Page II Mardi 5 aoucirct 2008 314 15}

^{1 500 formules de matheacutematiquesphysique et chimie}

^{4e eacutedition}

^{Lionel PorcheronIngeacutenieur de lrsquoENSEEIHT agrave Toulouse}

^{9782100519415_lim_P01-04 Page III Mardi 5 aoucirct 2008 314 15}

^{copy Dunod Paris 2000 2003 2004 2008}

^{9782100519415_lim_P01-04 Page IV Mardi 5 aoucirct 2008 314 15}

^{ISBN 978-2-10-053787-7}

^{Chapitre 0 mformulairetex 2772008 2251Page V}

^{Table des matiegraveres}

^{Avant-propos IX}

^{Chapitre 1 Matheacutematiques 11 Algegravebre 1}

^{11 Relations 112 Structures algeacutebriques 213 Nombres entiers nombres rationnels 514 Arithmeacutetique dans Z 715 Polynocircmes et fractions rationnelles 816 Geacuteneacuteraliteacutes sur les applications 1117 Applications lineacuteaires ndash Espaces vectoriels 1218 Matrices ndash Deacuteterminants ndash Systegravemes lineacuteaires 1719 Espaces vectoriels euclidiens 22110 Reacuteduction des endomorphismes 26}

^{2 Analyse 2721 Espaces vectoriels normeacutes 2722 Nombres reacuteels 3123 Nombres complexes 3224 Suites 3425 Fonctions reacuteelles de la variable reacuteelle 3526 Deacuterivation 3827 Inteacutegration 4128 Eacutequations diffeacuterentielles 4429 Seacuteries 47210 Seacuteries entiegraveres 51211 Suites et seacuteries drsquoapplications 52}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Chapitre 0 mformulairetex 2772008 2251Page VI}

^{VI Table des matiegraveres}

^{212 Seacuteries de Fourier 57213 Fonctions de plusieurs variables 58}

^{3 Geacuteomeacutetrie 5931 Courbes du plan 5932 Proprieacuteteacutes meacutetriques des courbes 64}

^{Chapitre 2 Physique 65}

^{0 Eacuteleacutements de matheacutematiques 6501 Diffeacuterentielles 6502 Eacutequations diffeacuterentielles 6603 Coniques 68}

^{1 Eacutelectronique 6911 Lois geacuteneacuterales 6912 Reacutegime variable 7013 Montages avec amplificateur opeacuterationnel 73}

^{2 Thermodynamique 7621 Gaz parfait 7622 Premier et second principes de la thermodynamique 7723 Changements de phase drsquoun corps pur 8124 Machines thermiques 8325 Diffusion thermique 8526 Rayonnement thermique 86}

^{3 Meacutecanique du point 8831 Cineacutematique 8832 Changement de reacutefeacuterentiel 9033 Lois geacuteneacuterales de la meacutecanique 9134 Oscillateurs 9535 Mouvement drsquoune particule chargeacutee 9836 Systegravemes de deux points mateacuteriels 99}

^{4 Meacutecanique du solide 10141 Cineacutematique du solide 10142 Theacuteoregravemes geacuteneacuteraux de la dynamique 10343 Contacts entre les solides 104}

^{5 Optique 10551 Geacuteneacuteraliteacutes 10552 Optique geacuteomeacutetrique 10653 Interfeacuterences lumineuses 10954 Interfeacuteromegravetre de Michelson 11255 Autres dispositifs drsquointerfeacuterences 11556 Diffraction des ondes lumineuses 116}

^{Chapitre 0 mformulairetex 2772008 2251Page VII}

^{Table des matiegraveres VII}

^{6 Eacutelectromagneacutetisme 11861 Eacutelectrostatique 11862 Magneacutetostatique 12163 Eacutequations de Maxwell dans le vide 12364 Conduction meacutetallique 12565 Induction dans un circuit fixe avec BBB variable 12666 Induction dans un circuit mobile soumis agrave BBB stationnaire 12867 Mateacuteriaux magneacutetiques 129}

^{7 Ondes 13171 Oscillateurs coupleacutes 13172 Eacutequation de drsquoAlembert - Ondes stationnaires 13273 Ondes eacutelectromagneacutetiques dans le vide 13474 Dispersion ndash Absorption 13775 Ondes eacutelectromagneacutetiques dans les milieux mateacuteriels 138}

^{Chapitre 3 Chimie 1411 Atomistique 141}

^{11 Spectroscopie 14112 Modegravele ondulatoire 14213 Atome polyeacutelectronique 14314 Architecture moleacuteculaire 14515 Orbitales moleacuteculaires 147}

^{2 Cineacutetique 148}

^{3 Cristallographie 15031 Geacuteneacuteraliteacutes 15032 Mailles et sites dans les cristaux meacutetalliques 15033 Cristaux ioniques 152}

^{4 Thermodynamique 15341 Fonctions drsquoeacutetat 15342 Potentiel chimique 15443 Grandeurs standards de reacuteaction 15544 Eacutequilibres chimiques 15745 Eacutequilibres liquidendashvapeur 16046 Reacuteactions drsquooxydoreacuteduction 163}

^{5 Mateacuteriaux meacutetalliques 16551 Diagrammes drsquoEllingham 16552 Diagrammes potentiel-pH 16653 Courbes intensiteacutendashpotentiel 16854 Corrosion 170}

^{Annexe A Primitives usuelles 173}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Chapitre 0 mformulairetex 2772008 2251Page VIII}

^{VIII Table des matiegraveres}

^{Annexe B Deacuteveloppements limiteacutes 175}

^{Annexe C Formules trigonomeacutetriques 1771 Angles remarquables 177}

^{2 Relations trigonomeacutetriques 178}

^{Annexe D Opeacuterateurs vectoriels 1811 Notations 181}

^{2 Gradient 182}

^{3 Divergence 183}

^{4 Rotationnel 183}

^{5 Laplacien 184}

^{6 Relations entre les opeacuterateurs 185}

^{7 Theacuteoregravemes geacuteomeacutetriques 186}

^{Annexe E Uniteacutes et constantes fondamentales 1871 Uniteacutes du Systegraveme International 187}

^{11 Uniteacutes principales du systegraveme international 18712 Uniteacutes secondaires du systegraveme international 18813 Uniteacutes courantes du systegraveme international 18814 Multiples deacutecimaux pour les uniteacutes 188}

^{2 Constantes fondamentales 189}

^{3 Ordres de grandeurs 189}

^{Annexe F Constantes chimiques 191}

^{Annexe G Tableau peacuteriodique 193}

^{Index 197}

^{Chapitre 0 mformulairetex 2772008 2251Page IX}

^Avant-propos

^{La quatriegraveme eacutedition de ce formulaire rassemble les principaux reacutesultats descours de matheacutematiques de physique et de chimie eacutetablis tout au long desdeux anneacutees de classes preacuteparatoires dans la filiegravere MP Cette nouvelle eacutedi-tion srsquoameacuteliore encore un peu avec lrsquoapparition de la couleur Ce formulairesrsquoaveacuterera fort utile aussi bien pendant votre laquo preacutepa raquo que lorsque la peacuteriodefatidique des concours approchera}

^{Il a eacuteteacute scindeacute en trois parties les parties relatives aux matheacutematiques agravela physique et agrave la chimie chacune drsquoentre elles rassemblant les principauxreacutesultats eacutetablis en cours pour chacune des filiegraveres auxquelles srsquoadresse cetouvrage Agrave la fin de lrsquoouvrage figurent en annexes les donneacutees qui ne sontpas neacutecessairement agrave connaicirctre mais qui sont neacuteanmoins fort utiles au quo-tidien}

^{Un effort tout particulier a eacuteteacute fait pour rendre ces formules les plus laquo li-sibles raquo possible en deacutetaillant la signification de chaque symbole et en preacute-cisant bien agrave chaque fois les conditions drsquoapplication de ces formules Sou-lignons tout de mecircme que lrsquoapprentissage de ces formules ne se substituepas agrave lrsquoapprentissage du cours}

^{Merci agrave tous ceux qui ont accepteacute de collaborer agrave cet ouvrage et en particu-lier agrave Pascal OLIVE et Jean-Marie MONIER pour leur consciencieuse relec-ture respective des parties physique et matheacutematiques agrave Bruno COURTETpour avoir parfaitement assureacute le suivi de ce nouveau venu dans la collec-tion laquo Jrsquointegravegre raquo}

^{Lionel PORCHERONlionelporcheronfreefr}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Chapitre 0 mformulairetex 2772008 2251Page X}

^{Chapitre 1 mformulairetex 2772008 2251Page 1}

^{Chapitre 1Matheacutematiques}

^{1 Algegravebre}

^{11 Relations}

^{Proprieacuteteacutes drsquoune relation binaireSoitR une relation binaire dans E elle est dite reacuteflexive si et seulement si forallx isin E xRx}

^{symeacutetrique si et seulement si forall(x y) isin E2 xRy =rArr yRx}

^{antisymeacutetrique si et seulement si forall(x y) isin E2 xRyyRx}

^{=rArr x = y}

^{transitive si et seulement si forall(x y z) isin E3 xRyyRz}

^{=rArr xRz}

^{Relation drsquoordre}

^{Une relation binaireR de E est dite relation drsquoordre si et seulement siR est reacuteflexive antisymeacutetrique et transitive}

^{Relation drsquoeacutequivalence}

^{Une relation binaireR de E est une relation drsquoeacutequivalence si et seule-ment siR est reacuteflexive symeacutetrique et transitive}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 [1] Matheacutematiques}

^{Classe drsquoeacutequivalence}

^{SoitR une relation drsquoeacutequivalence dans E pour x isin E on appelle classedrsquoeacutequivalence de x (moduloR) lrsquoensemble deacutefini par}

^{clR(x) = y isin E xRy}

^{Ensemble-quotient}

^{On appelle ensemble-quotient de E parR et on note ER lrsquoensembledes classes drsquoeacutequivalence moduloR}

^{ER = clR x isin E}

^{12 Structures algeacutebriques}

^{Lois de compositions}

^{On appelle loi interne toute application de Etimes Erarr E}

^{Un loi lowast est dite associative si et seulement si forall(x y z) isin E3 x lowast (y lowast z) = (x lowast y) lowast z}

^{Une loi lowast interne est dite commutative si et seulement si}

^{forall(x y) isin E2 x lowast y = y lowast xOn dit que e est un eacuteleacutement neutre pour lowast si et seulement si}

^{forallx isin E x lowast e = e lowast x = xOn appelle symeacutetrique de x isin E un eacutelement de E noteacute xminus1 veacuterifiant}

^{xminus1 lowast x = x lowast xminus1 = eOn dit que rHE est stable par lowast si et seulement si}

^{forall(x y) isin H2 x lowast y isin H}

^Groupe

^{Un ensemble muni drsquoune loi interne (G middot) est un groupe si et seule-ment si ndash middot est associative ndash middot admet un eacuteleacutement neutre e ndash tout eacuteleacutement de G admet un symeacutetrique pour la loi middotSi la loi middot est commutative on dit que le groupe G est abeacutelien ou com-mutatif}

^{1 Algegravebre 3}

^Sous-groupe

^{Soit (G middot) un groupe Une partie H de G est un sous groupe de G si etseulement si ndash H est stable par la loi middot ndash H contient lrsquoeacuteleacutement neutre ndash forallx isin H xminus1 isin H}

^{Groupe commutatif}

^{ndash (ZnZ+) est un groupe commutatifndash lrsquoapplication pn Zrarr (ZnZ)}

^{x 7rarr x mod n appeleacutee surjection canonique est}

^{un morphisme surjectif de groupes}

^{Geacuteneacuterateurs du groupe}

^{Les geacuteneacuterateurs du groupe (ZnZ+) sont les k avec k isin Z et k and n =1}

^{Groupe monogegravene ndash Groupe cyclique}

^{ndash Un groupe G est dit monogegravene si et seulement srsquoil admet un geacuteneacutera-teur crsquoest-agrave-dire si et seulement srsquoil existe a isin G tel que G =lt a gtndash Un groupe G est dit cyclique si et seulement si G est monogegravene etfini}

^Anneau

^{Un ensemble A muni de deux lois internes noteacutees + et middot est un anneausi et seulement si ndash (A+) est un groupe commutatif drsquoeacuteleacutement neutre 0A ndash middot est associative et admet un eacuteleacutement neutre 1A ndash middot est distributive par rapport agrave + crsquoest-agrave-dire}

^{forall(x y z) isin A3 x middot (y + z) = (x middot y) + (x middot z) (x + y) middot z = (x middot z) + (y middot z)}

^{Si middot est commutative on dit que lrsquoanneau A est commutatifc copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Anneau integravegre}

^{On dit qursquoun anneau (A+ middot) est integravegre si et seulement si A est com-mutatif et}

^{forall(x y) isin A2 (x middot y = 0A)rArr (x = 0A ou y = 0A)}

^Sous-anneau

^{Soit (A+ middot) un anneau B une partie de A est un sous-anneau si etseulement si ndash (B+) est un sous groupe de (A+) ndash B est stable par middot ndash 1A isin B}

^{Ideacuteal drsquoun anneau commutatif}

^{I est dit un ideacuteal de A anneau commutatif avec I sub A si et seulementsrsquoil veacuterifie les proprieacuteteacutes}

^{I 6= emptyforall(x y) isin I2 x + y isin Iforalla isin A forallx isin I ax isin I}

^Corps

^{Un ensemble (K+middot)muni de deux lois internes est un corps si et seule-ment si ndash (K+ middot) est un anneau commutatif ndash Tout eacuteleacutement de K0K est inversible par la loi middot}

^{1 Algegravebre 5}

^{Espace vectorielUn ensemble E est dit un K-espace vectoriel si E est non vide et sion dispose de deux lois une loi interne noteacutee + et drsquoune loi externe(Ktimes Erarr E) veacuterifiant (E+) est un groupe abeacutelien1 forall(λmicro) isin K2 forallx isin E (λ + micro)x = λx + microx}

^{2 forallλ isin K forall(x y) isin E2 λ(x + y) = λx + λy}

^{3 forall(λmicro) isin K2 forallx isin E λ(microx) = (λmicro)x4 forallx isin E 1x = x}

^{AlgegravebreOn appelle K-algegravebre tout ensemble A muni drsquoune loi interne noteacutee +drsquoune loi externe Ktimes Ararr A et drsquoune loi interne noteacutee lowast veacuterifiant 1 (A+ middot) est un K-espace vectoriel2 lowast est distributive par rapport agrave +3 forallλ isin K forall(x y) isin A2 λ(x lowast y) = (λx) lowast y = x lowast (λy)Cette algegravebre est associative si et seulement si lowast est associative com-mutiative si et seulement si lowast est commutative unitaire si et seulementsi A admet un eacutelement neutre pour lowast}

^{13 Nombres entiers nombres rationnels}

^{Factorielle ndash Deacutefinition}

^{n =n}

^prodk=1

^{k n factorielle nPar convention 0 = 1}

^Permutations

^{cardS(n) = nn factorielle n nombre de per-mutations drsquoun ensemble agrave n eacuteleacute-ments}

^Arrangements

^{Apn =}

^{n(nminus p)}

^{(n p) isin N2 avec p 6 n}

^{On note Apn le nombre drsquoarrange-}

^{ments de p eacuteleacutements agrave partir drsquounensemble de n eacuteleacutements (crsquoest-agrave-dire le nombre de p-uplets com-poseacutes drsquoeacuteleacutements deux agrave deux dis-tincts)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Combinaisons

^{Cpn =}

^{np(nminus p)}

^{(n p) isin N2 avec p 6 nOn appelle combinaison (noteacuteeCpn) toute partie de cardinal p drsquoun}

^{ensemble agrave n eacuteleacutements}

^{Combinaisons ndash Proprieacuteteacutes}

^{Cpn = C}

^{nminuspn forall(n p) isin NtimesN}

^{Cpn + C}

^{p+1n = C}

^{p+1n+1 forall(n p) isin NtimesZ}

^{Binocircme de Newton}

^{(x + y)n =n}

^sumk=0

^{kynminuskn isin N(x y) isin A2 et xy = yx avec A unanneau commutatif}

^{Divisibiliteacute}

^{Soit (a b) isin Z2 on dit que a divise b si et seulement si il existe c isin Ztel que b = ac}

^{Division euclidienne}

^{forall(a b) isin ZtimesNlowast exist(q r) isin Z2 tel que a = bq + r et 0 6 r lt b}

^{Q est archimeacutedien}

^{forallε isin Qlowast+ forallA isin Qlowast+ existN isin Nlowast Nε gt A}

^{Q est dense}

^{x lt y =rArr (existz isin Qx lt z lt y) forall(x y) isin Q2}

^{1 Algegravebre 7}

^{14 Arithmeacutetique dans Z}

^{Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)Soit (x1 xn) isin Zn une famille drsquoentiers relatifs non tous nuls la fa-mille des diviseurs communs agrave tous les (xi)iisin[1n] admet un plus grandeacuteleacutement appeleacute plus grand commun diviseur}

^{Plus Petit Commun Multiple (PPCM)Soit (x1 xn) isin Nn la famille des multiples communs non nulsaux (xi)iisin[1n] admet un plus petit eacuteleacutement appeleacute plus petit communmultiple}

^{Nombres premiers entre euxSoient (x1 xn) isin (Zlowast)n ces nombres sont premiers entre eux si etseulement si ils veacuterifient la proprieacuteteacute pgcd(x1 xn) = 1}

^{Theacuteoregraveme de BezoutSoient (x1 xn) isin (Zlowast)n pour que tous ces entiers soient premiersentre eux il faut et il suffit qursquoil existe (u1 un) isin Zn tel quen}

^sumi=1

^{xiui = 1}

^{Theacuteoregraveme de Gauss}

^{a|bcpgcd(a b) = 1 =rArr a|c forall(a b c) isin (Zlowast)3}

^{Produit du PGCD par le PPCM}

^{pgcd(a b) middot ppcm(a b) = |a middot b| forall(a b) isin (Zlowast)2}

^{Nombres premiersOn dit qursquoun entier p isin N est premier si et seulement si p gt 2 et srsquoilveacuterifie}

^{foralla isin Nlowast (a|p =rArr (a = 1 ou a = p))}

^{Deacutecomposition en nombres premiersTout entier n isin N 0 1 admet une deacutecomposition unique en un pro-duit de nombres premiers agrave lrsquoordre pregraves des facteurs}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{15 Polynocircmes et fractions rationnelles}

^{Support drsquoune suite ndash Deacutefinition drsquoun polynocircme}

^{Pour toute suite (an)nisinN de KN on apelle support lrsquoensemble des n isinN tels que an 6= 0}

^{On appelle polynocircme agrave une indeacutetermineacutee agrave coefficients constantstoute suite de KN agrave support fini}

^{Polynocircme agrave une indeacutetermineacutee}

^{On note K[X] le corps des polynocircmes agrave une indeacutetermineacutee X agrave valeursdans K Tout eacuteleacutement P de K[X] peut srsquoeacutecrire sur la base canonique(Xn)nisinN sous la forme P = sum}

^{Degreacute drsquoun polynocircme ndash Deacutefinition}

^{deg P = max n isin Nan 6= 0 deg P degreacute du polynocircme P}

^{Degreacute drsquoun polynocircme ndash Proprieacuteteacutes}

^{deg(P + Q) 6 max(deg P degQ)}

^{(PQ) isin K[X]}

^{Lorsque deg P 6= degQ alors deg(P+Q)=max(deg P+degQ)}

^{deg(PQ) = deg P + degQ}

^Produit

^{PQ = sumncnX}

^{cn =n}

^sump=0

^apbnminusp

^{P = sumnanX}

^{n isin K[X]}

^{Q = sumnbnX}

^{n isin K[X]}

^{1 Algegravebre 9}

^Composition

^{P Q = P(Q) = sumnanQ}

^{nP Q polynocircme composeacuteP = sum}

^{n isin K[X]}

^{Q isin K[X]}

^{Deacuterivation}

^{Pprime = sumngt1}

^{nanXnminus1 P = sum}

^{n isin K[X]}

^{Pprime polynocircme deacuteriveacute de P}

^{forall(A B) isin (K[X])2 exist(Q R) isin (K[X])2A = BQ + R avec deg R ltdeg BQ quotient de la division euclidienne de A par BR reste de la division euclidienne de A par B}

^{Divisibiliteacute dans K[X]}

^{On dit que A divise P deux polynocircmes de K[X] si et seulement srsquoilexiste Q isin K[X] tel que P = AQOn appelle plus grand commun diviseur de (Pk)kisin[1n] isin (K[X] 0)le polynocircme de plus haut degreacute parmi les diviseurs des PkSoient (PQ) isin (K[X])2 ils sont dits premiers entre eux si et seulementsi leur plus grand commun diviseur est 1}

^{Proprieacuteteacute de Gauss Soient A B et C trois polynocircmes non nuls deK[X] si A divise BC et si A et B sont premiers entre eux alors A diviseCSi A est premier avec B et avec C alors A est premier avec BC}

^{Eacutegaliteacute de Bezout pour deux polynocircmesSoient A et B deux polynocircmes non nuls de K[X] Ces deux polynocircmessont premiers entre eux si et seulement si il existe un unique couple(UV) de polynocircmes de K[X] tels que}

^{AU + BV = 1}

^{Polynocircme irreacuteductibleUn polynocircme P isin K[X] est dit irreacuteductible si et seulement si deg P gt 1et si P nrsquoadmet comme diviseurs que les eacuteleacutements non nuls du corps Ket les multiples de lui-mecircmec copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Fonction polynomiale}

^{Agrave tout polynocircme P = sumnanX}

^{n on associe la fonction polynomiale}

^{P ξ 7rarrsumnanξ}

^{Racine drsquoun polynocircme}

^{P(α) = 0α est appeleacutee racine du polynocircmeP isin K[X] si elle veacuterifie la proprieacuteteacuteci-contre}

^{Soit (α)iisinI famille des racines deux agrave deux distinctes du polynocircme PCe polynocircme peut alors srsquoexprimer sous la forme P = Qprod}

^{iisinI(xminus αi)}

^{ougrave mi est la multipliciteacute de la racine αi et Q un polynocircme nrsquoayant pasde zeacutero dans K}

^{Multipliciteacute drsquoune racine drsquoun polynocircme}

^{P(mminus1)(α) = 0}

^{P(m)(α) 6= 0}

^{α est une racine P de multipli-citeacute m si elle veacuterifie la proprieacuteteacute ci-contre}

^{Polynocircme scindeacuteUn polynocircme P isin K[X] est dit scindeacute sur K si et seulement si il existeλ isin K 0 et une famille drsquoeacuteleacutements non neacutecessairement distincts(xi)iisin[1n] tels que}

^{P = λn}

^prodi=1

^{(Xminus xi)}

^{Theacuteoregraveme de drsquoAlembert amp ConseacutequenceLe corps C est algeacutebriquement clos tout polynocircme non constant deK[X] admet au moins un zeacutero dans CConseacutequence Tout polynocircme non constant est scindeacute sur C}

^{Fraction rationnelle ndash Deacutefinition}

^{R =sumnanX}

^sumnbnX

^{R isin K(X) fraction rationnelleK(X) corps des fractions ration-nelles(an bn) isin K2 coefficients}

^{1 Algegravebre 11}

^{Zeacuteros et pocircles drsquoune fraction rationnelle}

^{Soit R =P}

^{Qisin K(X) avec (PQ) isin K[X]2 une fraction rationnelle}

^{Si P et Q sont deux polynocircmes premiers entre eux - on appelle zeacuteros de R les zeacuteros de P- on appelle pocircles de R les zeacuteros de Q}

^{Deacutecomposition en eacuteleacutements simples}

^{R =P}

^{Sα11 times middot middot middot times Sαn}

^{R = E +n}

^sumi=1

^sumj=1

^{Cαi j}

^{R isin K(X) une fraction ration-nelleSαi}

^{i isin K[X] polynocircme irreacuteduc-tibles premiers deux agrave deux entreeuxforalliαi isin NlowastE isin K[X] partie entiegravere de R}

^{16 Geacuteneacuteraliteacutes sur les applications}

^{Application injective}

^{forall(x y) isin E2}

^{( f (x) = f (y) =rArr x = y)}

^{Une application f est dite injec-tive si et seulement si elle veacuterifiela proprieacuteteacute ci-contre}

^{Application surjective}

^{forally isin F existx isin E f (x) = y}

^{Une application lineacuteaire f de Edans F est dite surjective si etseulement si elle veacuterifie la pro-prieacuteteacute ci-contre}

^{Composition de fonctions injectives de fonctions surjectives}

^{g f injective rArr f injectiveg f surjective rArr g surjective f et g deux applicationsc copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{17 Applications lineacuteaires ndash Espaces vectoriels}

^{Espace vectoriel ndash DeacutefinitionSoit E un ensemble muni drsquoune loi interne noteacutee + drsquoune loi externeKtimes Erarr E noteacutee middot telles que (E+) est un groupe abeacutelienforallλ isin K forall(x y) isin E2 λ(x + y) = λx + λyforall(λmicro) isin K2 forallx isin E (λ + micro)x = λx + microxforall(λmicro) isin K2 forallx isin E λ(microx) = (λmicro)xforallx isin E 1x = xUn tel ensemble est appeleacute K-espace vectoriel}

^{Sous-espace vectorielSoit E un K-espace vectoriel et F sub E F est dit sous-espace vectorielde E si et seulement si il veacuterifie les proprieacuteteacutes suivantes (1) F 6= empty(2) forall(x y) isin F2 x + y isin F(3) forallλ isin K forallx isin F λx isin F}

^{Sous-espace engendreacute par une partie}

^{Vect(A) =⋂}

^FsubEFsupA

^{E K-espace vectorielA sub EVect(A) sous-espace vectorielengendreacute par AAutrement dit Vect(A)est le pluspetit sous-espace vectoriel de Econtenant A ou si A 6= empty lrsquoen-semble des combinaisons lineacuteairesdes eacuteleacutements de E}

^{Somme directe de sous-espaces vectoriels}

^{E = sumiisinI}

^{forall(i j) isin I2 Ei capsumj 6=i}

^{E j = 0}

^{(Ei)iisinI famille de sous-espacesvectoriels drsquoun espace vectoriel ESi la somme des Ei veacuterifie les deuxproprieacuteteacutes ci-contre elle est ditedirecteDans ce cas forallx isin E il existe uneunique deacutecomposition x = sum}

^iisinIxi

^{avec xi isin Ei}

^{Sous-espaces vectoriels suppleacutementaires}

^{E =oplus}

^iisinIEi

^{(Ei)iisinI famille de sous-espacesvectoriels drsquoun espace vectoriel EIls sont dits suppleacutementaires si etseulement srsquoils sont en somme di-recte et que leur somme est eacutegale agraveE}

^{Famille geacuteneacuteratriceSoit (xi)iisinI une famille de vecteurs drsquoun espace vectoriel de E sur KOn dit que cette famille est geacuteneacuteratrice si et seulement si tout eacuteleacutementx de E peut srsquoexprimer comme combinaison lineacuteaire des xi crsquoest-agrave-direqursquoil existe une famille (λi)iisinI telle que x = sum}

^iisinIλixi

^{Famille libre}

^sumiisinI

^{λixi = 0 =rArr foralli isin I λi = 0(xi)iisinI famille de vecteurs de E(λi)iisinI famille de scalaires de KUne famille est libre si elle veacuterifiela proprieacuteteacute ci-contre}

^{Proprieacuteteacutes fondamentales des famillesndash Toute sur-famille drsquoune famille geacuteneacuteratrice drsquoune famille geacuteneacuteratriceest geacuteneacuteratricendash Toute sous famille drsquoune famille libre est une famille libre}

^{ndash Si (x1 xn) libre et (x1 xn xn+1) lieacutee alors xn+1 =n}

^sumi=1

^λixi

^{ndash Une famille comportant le vecteur nul est lieacutee}

^{Base drsquoun espace vectoriel ndash DeacutefinitionUne base de E est une famille de vecteurs (xi)iisinI de E libre et geacuteneacutera-triceAutres formulations une base est une famille libre maximale ou en-core une famille geacuteneacuteratrice minimale}

^{Theacuteorie de la dimensionUn K-espace vectoriel est dit de dimension finie si et seulement si Eadmet au moins une famille geacuteneacuteratrice de dimension finieSoit E un K-espace vectoriel de dimension finie alors 1 E admet au moins une base de dimension finie2 Toutes les bases de E sont finies et ont le mecircme cardinal appeleacute di-mension de E et noteacute dim E}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Theacuteoregraveme de la base incomplegraveteSoit E un K-espace vectoriel de dimension n et F = (x1 xr)unefamille libre de E Il y a au moins une faccedilon de compleacuteter F par nminus rvecteurs drsquoune base de E pour obtenir une base de E}

^{Base duale deacutefinition}

^{elowasti (e j) = δi j =}

^{1 si i = j0 si i 6= j}

^{E K-espace-vectorielElowast dual de EB = (e1 en) une base de EBlowast = (elowast1 e}

^{lowastn) base de Elowast}

^{Blowast est appeleacute base duale de BProprieacuteteacutes des familles libres et des familles geacuteneacuteratrices}

^{Soient E un K-espace vectoriel de dimension nndash Toute famille libre de E comporte au plus n eacuteleacutementsndash Toute famille geacuteneacuteratrice de E comporte au moins n eacuteleacutements}

^{Droite vectorielle ndash HyperplanOn appelle droit vectorielle tout sous-espace vectoriel de dimension 1On appelle hyperplan tout sous-espace vectoriel de dimension nminus 1drsquoun espace vectoriel de dimension n}

^{CodimensionSoit F un sous-espace vectoriel de E il est dit de codimension finiesi et seulement si F admet au moins un suppleacutementaire de dimensionfinie dans E}

^{Application lineacuteaire ndash Deacutefinition}

^{forall(x y) isin E2 forallλ isin K}

^{f (x + λy) = f (x) + λ f (y)}

^{On dit que f est une application li-neacuteaire de E dans F si et seulementsi elle veacuterifie la proprieacuteteacute ci-contre}

^{Forme lineacuteaire ndash DeacutefinitionOn appelle forme lineacuteaire une application lineacuteaire qui va de E dans lecorps de reacutefeacuterence K}

^{Applications lineacuteaires et famille de vecteursforall f isin L(E F) et pour toute famille finie F drsquoeacuteleacutements de E ndash f (Vect(F )) = Vect( f (F ))ndash si F est lieacutee alors f (F ) est lieacutee}

^{ndash si f (F ) est libre alors F est librendash si f est bijective pour toute base B de E f (B) est une base de F}

^{Image et noyau drsquoune application lineacuteaire ndash Deacutefinition}

^{Im f = y isin Fexistx isin E f (x) = yOn appelle image de f le sous-espace vectoriel de F noteacute Im f deacute-fini ci-contre}

^{Ker f = x isin E f (x) = 0On appelle noyau de f le sous-espace vectoriel de E noteacute Ker fdeacutefini ci-contre}

^{Noyau drsquoune forme lineacuteaire}

^{Le noyau drsquoune forme lineacuteaire autre que la forme nulle est un hyper-plan}

^{Rang drsquoune application lineacuteaire ndash Deacutefinition}

^{Soient E et F deux espaces vectoriels sur K et f une application lineacuteairede E dans F Si Im f est de dimension finie dim Im f srsquoappelle rangde f et se note rg f}

^{Formule du rang}

^{dim E = rg f + dim(Ker f )}

^{E espace vectoriel de dimensionfinief application lineacuteairerg f rang de fKer f noyau de f}

^{Isomorphisme ndash Endomorphisme ndash Automorphisme}

^{ndash Un isomorphisme drsquoespaces vectoriels est une application lineacuteairede E dans F bijective}

^{ndash Un endomorphisme de E est une application lineacuteaire de E dans E}

^{ndash Un automorphisme est un endomorphisme bijectif On note GL(E)lrsquoensemble des automorphismes de E}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Endomorphisme nilpotentOn dit qursquoun endomorphisme f drsquoun K-espace-vectoriel E est nil-potent si et seulement si existp isin Nlowast tel que f p = 0 Lrsquoordre de nilpotenceest alors le plus petit p isin Nlowast tel que f p = 0}

^{Applications lineacuteaires ndash Cas de la dimension finie}

^{(1) f isomorphisme(2) f injective(3) f surjective(4) rg f = n}

^{E et F deux espaces vectoriels demecircme dimension n sur Kf isin L(E F)Les propositions ci-contre sontdeux agrave deux eacutequivalentes}

^{(1) f automorphisme(2) f injective(3) f surjective(4) rg f = n}

^{E espace vectoriel de dimensionn sur Kf isin L(E)Les propositions ci-contre sontdeux agrave deux eacutequivalentes}

^{Image et noyau drsquoune application lineacuteaire ndash Proprieacuteteacutes}

^{f surjective lArrrArr Im f = Ff injective lArrrArr Ker f = 0 f application lineacuteaire de E dans F}

^{Projecteur ndash Deacutefinition}

^{p2 = p (1)}

^{Un projecteur est une applicationlineacuteaire veacuterifiant la relation (1)p est alors le projecteur sur Im pparallegravelement agrave Ker p}

^{Symeacutetrie ndash Deacutefinition}

^{s2 = IdE}

^{Une symeacutetrie est une applicationlineacuteaire veacuterifiant la relation ci-contre}

^{p = 12 (s + IdE) est un projecteur}

^{s est la symeacutetrie par rapportagrave Ker(s minus IdE) parallegravelement agraveKer(s + IdE)}

^{Une symeacutetrie est une applicationlineacuteaire veacuterifiant les proprieacuteteacutes ci-contre}

^{Formule de Grassman}

^{dim(A + B) = dim A + dim B minus dim(A cap B) ougrave A et B sont deuxsous-espaces vectoriels de E de dimensions finies}

^{18 Matrices ndash Deacuteterminants ndash Systegravemes lineacuteaires}

^{Ensemble des matrices}

^{On noteMmn(K) lrsquoensemble des matrices agrave m lignes et n colonnes}

^{Matrices et applications lineacuteaires}

^{f (e j) =m}

^sumi=1

^{ai j fi}

^{f application lineacuteaire de E dans Fdeux espaces vectoriels de dimen-sion finieM = (ai j)iisin[1m] jisin[1n] matrice as-socieacutee agrave lrsquoapplication lineacuteaire fB = (e j) jisin[1n] base de E}

^{Bprime = ( fi)iisin[1m] base de F}

^{Somme de deux matrices}

^{γi j = αi j + βi j}

^{M = (αi j) isin Mmn(K)}

^{N = (βi j) isin Mmn(K)}

^{M + N = (γi j) isin Mmn(K)}

^{Produit drsquoune matrice par un scalaire}

^{M = λN}

^{(γi j) = (λ middot αi j)}

^{λ isin KM = (αi j) isin Mmn(K)}

^{N = (γi j) isin Mmn(K)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Produit de matrices}

^{β1 jβ2 j}

^{βk j}

^{βp j}

^{αi1αi2 middot middot middotαik middot middot middotαip}

^{γi j}

^{M = (αik) isin Mmp(K)N = (βk j) isin Mpn(K)}

^{MN = (γi j) isin Mmn(K)}

^{γi j =p}

^sumk=1

^{αik middot βk j}

^{Proprieacuteteacutes des opeacuterations sur les matrices}

^{(M + N)P = MP + NP (MN) isin (Mmp(K))2 P isinMpn(K)}

^{(microM)(λN) = microλ(MN)}

^{M isin Mmp(K)N isin Mpn(K)}

^{(λmicro)2 isin K2}

^{(MN)P = M(NP)}

^{M isin Mmp(K)N isin Mpn(K)N isin Mnq(K)}

^{Attention En geacuteneacuteral MN 6= NM}

^{Transposeacutee drsquoune matrice}

^{A = (ai j) iisin[1n]}

^jisin[1p]

^{tA = (a ji) jisin[1p]iisin[1n]}

^{A isin Mnp(K)tA isin Mpn(K) matrice transpo-seacutee de A}

^{Changement de base}

^{Aprime = Qminus1AP}

^{Aprime matrice drsquoune application li-neacuteaire de E (dans la base base Bprime)vers F (dans la base base C prime)A matrice de la mecircme applicationlineacuteaire de E (dans la base base B)vers F (dans la base base C)P matrice de passage de B agrave BprimeQ matrice de passage de C agrave C primeDans le cas drsquoun endomorphismeQ = P (seulement deux bases sontneacutecessaires)}

^{Exponentielle de matrice}

^{exp(A) =+infin}

^sumk=0

^{A isin Mn(K)exp(A) exponentielle de la ma-trice A}

^{Deacuteterminant ndash DeacutefinitionUn deacuteterminant est une forme multilineacuteaire alterneacuteeMultilineacuteariteacute (det(α1V1 αnVn) = α1 middot middot middot middot αn det(V1 Vn))Alterneacutee Vi = Vj avec i 6= j =rArr det(V1 Vn) = 0Dans une base B = (e1 en) de E on note detB lrsquoapplication}

^{detB(V1 Vn) = sumσisinSn}

^{ε(σ)aσ(1)1 middot middot middot aσ(n)n}

^{Avec Vj =n}

^{sumi j=1}

^{ai j jei j j}

^{Deacuteterminant drsquoun produit de matrices}

^{det(M middot N) = detM middot detN M isin Mn(K)N isin Mn(K)}

^{Deacuteterminant et matrice inversible}

^{M inversible lArrrArr detM 6= 0c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{det(Mminus1) = (detM)minus1 M isin Mn(K) inversible}

^{Deacuteterminant de Vandermonde∣∣∣∣∣∣∣}

^{1 x1 x21 middot middot middot xnminus11}

^{1 xn x2n xnminus1n}

^{∣∣∣∣∣∣∣= prod}

^{16 jlti6n}

^{(xi minus x j) (x1 xn) isin Kn}

^{Matrice inversible ndash DeacutefinitionUne matrice M isin Mn(K) est dite inversible srsquoil existe une matrice Ntelle que}

^{M middot N = N middotM = InLa matrice N est alors appeleacutee inverse de M et se note Mminus1}

^{Matrices inversiblesSoit A isin Mn(K) et f un endomorphisme repreacutesenteacute par A dans unebase Les proprieacuteteacutes ci-dessous sont deux agrave deux eacutequivalentes (1) f est bijective(2) A est inversible agrave gauche(3) A est inversible agrave droite(4) A est inversible(5) A est reacuteguliegravere agrave gauche(6) A est reacuteguliegravere agrave droite(7) A est reacuteguliegravere}

^{Matrice des cofacteurs ndash Comatrice}

^{comM = (detMi j)iisin[1n]jisin[1n]}

^{comM comatrice de M (ou ma-trice des cofacteurs)Mi j matrice M laquo priveacutee raquo de sa ie}

^{ligne et de sa je colonne}

^{Matrice inverse}

^{Mminus1 =1}

^com(M)

^{M isin Mn(K) matrice inversiblecom(M) matrice des cofacteursde M}

^{Systegraveme lineacuteaire ndash Deacutefinition}

^{a11x1 + middot middot middot+ a1pxp = b1}

^{an1x1 + middot middot middot+ anpxp = bn}

^{On peut interpreacuteter ce systegravemecomme le produit de la matriceA = (ai j)iisin[1n] jisin[1p] par le vecteurX = (xi)iisin[1p] (vecteur inconnu)Ce produit est eacutegal au vecteur se-cond membre B = (bi)iisin[1n]}

^{Systegraveme de Cramer}

^{forall j isin [1 p] x j =det A j(b)}

^{det A}

^{Dans le cas drsquoun systegraveme de Cra-mer n = p = rg ALe systegraveme admet alors une so-lution unique donneacutee par les for-mules de Cramer ci-contreA j(b) est obtenue agrave partir de A enremplaccedilant le vecteur colonne c jpar b}

^{Cas ougrave rg A = n lt p}

^{Apregraves permutation des inconnues on peut supposer que la matriceAprime = (ai j)iisin[1n]}

^jisin[1n]

^{extraite de A est inversible On eacutetablit alors le systegraveme}

^suivant

^{a11x1 + middot middot middot+ a1nxn = b1 minus (a1n+1xn+1 + middot middot middot+ a1pxp)}

^{an1x1 + middot middot middot+ annxn = bn minus (ann+1xn+1 + middot middot middot+ anpxp)}

^{Ce systegraveme est de Cramer et admet donc une solution unique Cetensemble est un sous-espace affine de dimension pminus n}

^{Cas ougrave rg A lt n}

^{Soit on peut se ramener au cas preacuteceacutedent par combinaison lineacuteaire deseacutequations soit le systegraveme nrsquoadmet pas de solutionc copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{19 Espaces vectoriels euclidiens}

^{Produit scalaire ndash Deacutefinition}

^{Un produit scalaire euclidien surE est une application ϕ de E2 dansR veacuterifiant (1) ϕ est bilineacuteaire(2) ϕ est symeacutetrique(3) forallx isin E ϕ(x x) gt 0(4) forallx isin E ϕ(x x) = 0rArr x = 0}

^{ϕ veacuterifiant (3) est dite positiveϕ veacuterifiant (4) est dite deacutefinieϕ veacuterifiant (3) et (4) est ditedeacutefinie-positiveOn note ce produit scalaire (middot|middot)}

^{Forme quadratique}

^{forallx isin E q(x) = ϕ(x x)ϕ une forme bilineacuteaire symeacutetriquesur Etimes Eq E rarr R forme quadratique as-socieacutee agrave ϕ}

^{Matrice associeacutee}

^{MatB(ϕ) = (ϕ(ei e j))iisin[1n]jisin[1n]}

^{MatB(ϕ) matrice de ϕ dans BB base de Eϕ E times E rarr R forme bilineacuteairesymeacutetrique}

^{Expression matricielle}

^{ϕ(x y) =t XAY}

^{ϕ E times E rarr R forme bilineacuteairesymeacutetrique(x y) isin E2}

^{X = MatB(x)Y = MatB(y)}

^{Norme euclidienne ndash Deacutefinition}

^{x2 =radic}

^{(x|x) middot 2 norme euclidienne sur Ex isin E}

^{Ineacutegaliteacute de Cauchy-Schwarz}

^{|(x|y)| 6 x middot y forall(x y) isin E2}

^{Il y a eacutegaliteacute si et seulement si les vecteurs x et y sont lieacutes}

^{Ineacutegaliteacute triangulaire ou de Minkowski}

^{x + y 6 x+ y forall(x y) isin E2}

^{Il y a eacutegaliteacute si et seulement si les vecteurs x et y sont positivement lieacutesou si x = 0}

^{Relations entre produit scalaire et norme}

^{forall(x y) isin E2 1 x + y2 = x2 + 2(x|y) + y22 xminus y2 = x2 minus 2(x|y) + y2}

^{3 (x|y) =12}

^{(x + y2 minus x2 minus y2}

^{4 (x|y) =14}

^{(x + y2 minus xminus y2}

^{Vecteurs orthogonaux}

^{Soit (x y) isin E2 on dit que ces deux vecteurs sont orthogonaux si etseulement si (x|y) = 0}

^{Parties orthogonales ndash Orthogonal drsquoune partie}

^{forall(x y) isin Atimes B (x|y) = 0}

^{Aperp = x isin Eforally isin A (x|y) = 0}

^{x y deux vecteurs respective-ment de A et de BA B deux parties orthogonalesde EAperp orthogonal de la partie A}

^{Ineacutegaliteacute de Bessel}

^{sumj=1|(e j|x)|2 6 x2}

^{E espace vectoriel preacutehilbertienx vecteur de E(e j) jisin[1n] famille orthonormalede E}

^{Projecteur orthogonal}

^{Ker p = (Im p)perp}

^{Im p = (Ker p)perpp projecteur orthogonal sur Im pparallegravelement agrave Ker p}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Attention un projecteur orthogonal nrsquoest pas une application ortho-gonale}

^{Diagonalisation drsquoune matrice symeacutetrique}

^{forallS isin Sn(R) exist(ΩD) isin On(R)timesDn(R) S = ΩDΩminus1}

^{Sn(R) ensemble des matrices symeacutetriques de R}

^{On(R) groupe orthogonal}

^{Dn(R) ensemble des matrices diagonales de R}

^{Valeurs propres de matrices symeacutetriques}

^{Les valeurs propres drsquoune matrice S isin Sn(R) sont reacuteelles}

^{Endomorphisme adjoint ndash Deacutefinition}

^{forall f isin L(E) exist f lowast isin L(E) tel que}

^{forall(x y) isin E2 ( f (x)|y) = (x| f lowast(y))}

^{E espace vectoriel euclidienL(E) ensemble des endomor-phismes de Ef endomorphisme de Ef lowast lrsquoadjoint de fx y deux vecteurs de E}

^{Automorphismes orthogonaux symeacutetriques antisymeacutetriques}

^{(1) f lowast = fminus1(2) f lowast = f(3) f lowast = minus f}

^{Un automorphisme f veacuterifiant ndash (1) est dit orthogonalndash (2) est dit symeacutetrique ou auto-adjointndash (3) est dit antisymeacutetrique}

^{Proprieacuteteacutes des adjoints}

^{Ker f lowast = (Im f )perp Im f lowast = (Ker f )perp}

^{(λ f + g)lowast = λ f lowast + glowast}

^{(g f )lowast = f lowast glowast}

^{(IdE)lowast = IdE}

^{( f lowast)lowast = f}

^{( fminus1)lowast = ( f lowast)minus1}

^{Mat f lowast =t Mat f}

^{( f g) isin L(E)2 endomorphismesde E admettant des adjointsf lowast endomorphisme adjoint de E}

^{Aperp orthogonal de A A eacutetant unepartie de E}

^{Deacutefinition et proprieacuteteacutes des automorphismes orthogonaux}

^{(1) forall(x y) isin E2 ( f (x)| f (y)) = (x|y)(2) forallx isin E f (x) = x(3) f isin O(E)}

^{Les proprieacuteteacutes (1) (2) et (3) sonteacutequivalentes(1) traduit la conservation du pro-duit scalaire(2) traduit la conservation de lanorme}

^{O(E) ensemble des automor-phismes orthogonaux de Ef isin L(E)}

^{Caracteacuterisation des automorphismes orthogonaux}

^{tM middotM = In ou M middott M = In}

^{f lowast f = f f lowast = IdE}

^{M matrice orthogonale deMn(K)f automorphisme orthogonal deEIdE application identiteacute de EIn matrice identiteacute deMn(K)c copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{110 Reacuteduction des endomorphismes}

^{Valeur propre ndash Deacutefinition}

^{existx isin E x 6= 0 tel que}

^{f (x) = λx}

^{f isin L(E)λ isin K valeur propre de fAutre formulation f minus λ IdE estnon injectif}

^{Spectre drsquoun endomorphismeSoit f isin L(E) on appelle spectre de f noteacute Sp( f ) lrsquoensemble}

^{Sp( f ) = λ isin K existx isin E 0 f (x) = λxVecteur propre ndash Deacutefinition}

^{x 6= 0 et existλ isin K}

^{f (x) = λx}

^{x isin E vecteur propre de ff isin L(E)(alors λ isinSp( f ))}

^{Sous-espace propre ndash Deacutefinition}

^{SEP( f λ) = Ker( f minus λ IdE)}

^{SEP( f λ) sous-espace propre as-socieacute agrave λf isin L(E)λ isin Sp( f )}

^{Polynocircme caracteacuteristique ndash Deacutefinition}

^{χA(λ) = det(Aminus λIn)}

^{χ f (λ) = det( f minus λIdE)}

^{χA(λ) polynocircme caracteacuteristiquede Aχ f (λ) polynocircme caracteacuteristiquede ff isin L(E)A matrice drsquoordre n associeacutee agrave f}

^{Polynocircme caracteacuteristique ndash Proprieacuteteacutes}

^{ndash Le coefficient dominant est(minus1)nndash Le coefficient de λnminus1 est(minus1)nminus1 tr Andash Le terme constant est det A}

^{A isin Mn(K)χA(λ) polynocircme caracteacuteristiquede Aλ indeacutetermineacutee du polynocircme}

^{2 Analyse 27}

^{Diagonalisabiliteacute}

^{1 f est diagonalisable2 Il existe une base de E formeacutee devecteurs propres de f 3 La somme des sous-espacespropres pour f est eacutegale agrave E4 La somme des dimensions dessous-espaces propres pour f esteacutegale agrave dim E}

^{Les proprieacuteteacutes ci-contre sont deuxagrave deux eacutequivalentesE espace vectoriel de dimensionfinief isin L(E)}

^{TrigonalisationSoit f isin L(E) les deux proprieacuteteacutes suivantes sont eacutequivalentes 1 f est trigonalisable2 χ f est scindeacute sur K}

^Drapeau

^{foralli isin 1 n dim(Ei) = iforalli isin 1 nminus 1 Ei sub Ei+1}

^{E un K-espace-vectoriel(E1 En) famille de sous-espaces vectoriels de En = dim E}

^{Theacuteoregraveme de Cayley - Hamilton}

^{Le polynocircme caracteacuteristique de f annule f crsquoest-agrave-dire forall f isinL(E) χ f = 0}

^{2 Analyse}

^{21 Espaces vectoriels normeacutes}

^{Norme ndash Deacutefinition}

^{On appelle norme sur un K-espace vectoriel E toute application N Erarr R veacuterifiant les trois points suivants 1 forallλ isin K forallx isin EN(λx) = |λ|N(x)2 forallx isin E N(x) = 0 =rArr x = 03 forall(x y) isin E2 N(x + y) 6 N(x) + N(y)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Normes eacutequivalentesDeux normes N1 et N2 sont dites eacutequivalentes si et seulement si il existe(αβ) isin Rlowast+}

^{2 tels que}

^{αN1 6 N2 6 βN1}

^{Distance ndash DeacutefinitionSoit (E middot ) un espace vectoriel normeacute on appelle distance associeacutee agravela norme middot lrsquoapplication d E2 rarr R deacutefinie par d(x y) = xminus yLa distance possegravede les proprieacuteteacutes suivantes 1 forall(x y) isin E2 d(x y) = d(y x)2 forall(x y) isin E2 d(x y) = 0 =rArr x = y3 forall(x y z) isin E3 d(x z) 6 d(x y) + d(y z)4 forall(x y) isin E2 forallλ isin K d(λx λy) = |λ|d(x y)5 forall(x y z) isin E3 d(x + z y + z) = d(x y)}

^{Distance drsquoun point agrave une partieOn appelle distance de x isin E agrave A une partie non vide de E R espacevectoriel le reacuteel deacutefini par}

^{d(x A) = infaisinA}

^{d(x a)}

^{Boule ouverte ndash Deacutefinition}

^{B(a r) = x isin Eaminus x lt r}

^{Boule fermeacutee ndash Deacutefinition}

^{B(a r) = x isin Eaminus x 6 r}

^{Partie ouverte de E}

^{On appelle ouvert de E toute partie X de E veacuterifiant la proprieacuteteacute}

^{forallx isin X existr isin Rlowast+ B(x r) sub X}

^{Partie fermeacutee de E}

^{On appelle fermeacute de E toute partie de E dont le compleacutementaire dansE est un ouvert de E}

^{2 Analyse 29}

^{Partie borneacutee ndash DeacutefinitionSoit (E middot ) un K-espace vectoriel une partie A de E est dite borneacuteesi et seulement si}

^{existM isin R+ forall(x y) isin A2 d(x y) 6 M}

^{VoisinageSoit a isin E un K-espace vectoriel on dit que V est un voisinage de a siet seulement srsquoil existe r gt 0 tel que B(a r) sub V}

^{Inteacuterieur ndash Frontiegravere ndash AdheacuterenceOn appelle inteacuterieur drsquoune partie A sub E avec E unK-espace vectoriel A=}

^{Ω ouvert de EΩsubA}

^{On appelle adheacuterence de A (noteacutee A) la partie A =⋂}

^{F fermeacute de EFsupA}

^{On appelle frontiegravere de A la partie de A noteacutee partA la partie deacutefinie par}

^{A AValeur drsquoadheacuterence}

^{On dit que a est valeur drsquoadheacuterence de la suite de E (un)nisinN si et seule-ment srsquoil existe une suite extraite de (un)nisinN telle que uσ(n) minusminusminusminusrarrararr+infin}

^{Caracteacuterisation de la continuiteacute pour une application lineacuteaireSoit f isin L(E F) ougrave E et F sont deux K-espaces vectoriels alors lesdeux propositions suivantes sont eacutequivalentes (1) f est continue(2) existM isin R+ forallx isin E f (x)F 6 MxE}

^{Partie compacteOn dit que X sub E E eacutetant un K-espace vectoriel est une partie com-pacte de E si et seulement toute suite drsquoeacuteleacutements de X admet au moinsune valeur drsquoadheacuterence dans X}

^{Partie compacte en dimension finieLes parties compactes drsquoun K-espace vectoriel de dimension finie sontles parties fermeacutees borneacutees}

^{Normes en dimension finieToutes les normes sur un K-espace vectoriel de dimension finie sonteacutequivalentes}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Applications lineacuteaires en dimension finieSoient E et F deux K-espaces vectoriels normeacutes si E est de dimensionfinie alors toute application lineacuteaire Erarr F est continue}

^{Suites de CauchyOn appelle suite de Cauchy dans un K-espace vectoriel normeacute toutesuite veacuterifiant}

^{forallε gt 0 existN isin N forall(p q) isin NtimesNlowast p gt N =rArr up minus up+q 6 ε}

^{Toute suite convergente dans un K-espace vectoriel normeacute est de Cau-chy}

^{Partie complegravete ndash DeacutefinitionUne partie A drsquoun K-espace vectoriel normeacute est dite complegravete si etseulement si toute suite de Cauchy drsquoeacuteleacutements de A converge dans A}

^{Partie complegravete ndash ProprieacuteteacutesToute partie X drsquoun K-espace vectoriel normeacute complet veacuterifie}

^{X fermeacuteelArrrArr X complegraveteToute partie compacte drsquoun K-espace vectoriel normeacute est complegravete}

^{Connexiteacute par arcsUne partie A drsquoun K-espace vectoriel normeacute de dimension finie est diteconnexe par arcs si et seulement si forall(x y) isin A2 existγ isin C0([a b] E) telque}

^{γ(a) = x γ(b) = yforallt isin [a b]γ(t) isin A}

^{Espace preacutehilbertien ndash Espace euclidienOn appelle espace preacutehilbertien tout couple (Eϕ) ougrave E est un K-espace vectoriel et ϕ un produit scalaire sur EOn appelle espace euclidien tout espace preacutehilbertien de dimensionfinie}

^{Theacuteoregraveme de PythagorePour toute famille orthogonale finie (xi)iisinI drsquoun espace preacutehilbertien(E (middot|middot)) on a ∥∥∥∥∥sum}

^iisinIxi

^{∥∥∥∥∥}

^{= sumiisinIxi2}

^{2 Analyse 31}

^{22 Nombres reacuteels}

^{Preacutesentation}

^{(R+ middot) est un corps commutatif}

^{6 est une relation drsquoordre total dans R}

^{forall(a b c) isin R3}

^{a 6 b =rArr a + c 6 b + ca 6 b0 6 c}

^{=rArr ac 6 bc}

^{Toute partie non vide majoreacutee de R admet une borne supeacuterieure dansR}

^{Distance usuelle dans R}

^{d RtimesRrarr R(x y) 7rarr |xminus y|}

^{Le nombre reacuteel d(x y) est la dis-tance usuelle dans R}

^{R corps archimeacutedien}

^{forallε isin Rlowast+ forallA isin Rlowast+ existn isin Nlowast nε gt A}

^{Partie entiegravere ndash Deacutefinition}

^{forallx isin R}

^{E(x) 6 x 6 E(x) + 1}

^{x isin RE(x) partie entiegravere de xE(x) est lrsquounique entier relatif veacute-rifiant la proprieacuteteacute ci-contre}

^Densiteacute

^{forall(x y) isin R2}

^{(x lt y =rArr (existd isin D x lt d lt y))}

^{D sub RCette partie D est dite dense dansR si et seulement si elle veacuterifie laproprieacuteteacute ci-contreTheacuteoregraveme Q est dense dans Rc copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{23 Nombres complexes}

^{Forme carteacutesienne Forme polaire drsquoun nombre complexe}

^{z = a + ib}

^{z = ρeiθ}

^{z nombre complexe (z isin C)a partie reacuteelle de z (a isin R) on lanote aussi Re(z)b partie imaginaire de z (b isin R)on la note aussi Im(z)ρ module de z (ρ isin R+)θ argument de z (θ isin R)}

^{Nombre complexe conjugueacute ndash Deacutefinition}

^{z = a + ib}

^{z = aminus ib}

^{z isin C nombre complexez isin C nombre complexe conju-gueacute de za partie reacuteelle de z et de zb partie imaginaire de z}

^{Nombre complexe conjugueacute ndash Proprieacuteteacutes}

^{z + z = 2Re(z)}

^{zminus z = 2i Im(z)}

^{z nombre complexez nombre complexe conjugueacute dez}

^{z = z si z est reacuteel}

^{z = minusz si z est imaginaire pur}

^{Module drsquoun nombre complexe}

^{|z|2 = z middot z |z| module de z}

^{Module drsquoun produit ndash Module drsquoun quotient}

^{|zzprime| = |z| middot |zprime|}

^{zprime 6= 0∣∣∣z}

^{zprime∣∣∣ =|z||zprime|}

^{z isin C nombre complexezprime isin C nombre complexe}

^{2 Analyse 33}

^{Ineacutegaliteacute triangulaire}

^{|z + zprime| 6 |z|+ |zprime| z isin C nombre complexezprime isin C nombre complexe}

^{Condition de cocycliciteacute ou drsquoalignement de quatre points}

^{z4 minus z1z3 minus z1}

^{isin R}

^{Mi point du plan drsquoaffixe zizi isin CLes points M1 M2 M3 et M4 sontcocyliques ou aligneacutes si et seule-ment si leurs affixes veacuterifient laproprieacuteteacute ci-contre}

^{Formule de Moivre}

^{(cos θ+ i sin θ)n = cos nθ+ i sin nθ θ isin Rn isin Z}

^{Formule drsquoEuler}

^{cos x =eix + eminusix}

^{sin x =eix minus eminusix}

^{x isin R}

^{Racines niegravemes drsquoun complexe}

^{zk = nradicr(ei}

^ϕ+2kπn

^{Les zk sont les solutions de lrsquoeacutequa-tion zn = reiϕ(k n) isin N2 avec 0 6 k 6 nminus 1z isin Cr isin R+En particulier les racines niegravemes}

^{de lrsquouniteacute zk = ei2kπn}

^{Groupe des racines niegravemes de lrsquouniteacuteU = z isin C |z| = 1 est un groupe pour la multiplication}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{24 Suites}

^{Convergence ndash DeacutefinitionOn dit qursquoune suite numeacuterique (un)nisinN converge vers une limite l isin Ksi et seulement si}

^{forallε gt 0 existN isin N foralln gt N isin N n =rArr |un minus l| 6 ε}

^{On dit qursquoune suite numeacuterique (un)nisinN converge si et seulement si existl isin K forallε gt 0 existN isin N foralln isin N n gt N =rArr |un minus l| 6 ε}

^{Suite borneacuteeUne suite complexe (un)nisinN est dite borneacutee si et seulement si}

^{existM isin R+ foralln isin N |un| 6 M}

^{Theacuteoregraveme drsquoencadrementSoient (un)nisinN (vn)nisinN (wn)nisinN trois suites reacuteelles telles que}

^{existN isin N foralln isin N n gt N =rArr un 6 vn 6 wn}

^{(un)n et (wn)n convergent vers une mecircme limite lAlors (vn)n converge aussi vers l}

^{Suite arithmeacutetique}

^{un = unminus1 + r}

^{Sn =(u1 + un)n}

^{un ne terme de la suiter raisonu1 premier terme de la suiteSn somme des n premiers termesde la suite un}

^{Suite geacuteomeacutetrique}

^{un = q middot unminus1}

^{Sn =u1(q}

^{n minus 1)qminus 1}

^{q 6= 1}

^{un ne terme de la suiteq raison de la suiteu1 premier terme de la suiteSn somme des n premiers termesde la suite un}

^{Suites reacuteelles monotonesOn dit que (un)nisinN est croissante si et seulement si}

^{foralln isin N un 6 un+1On dit que (un)nisinN est deacutecroissante si et seulement si}

^{foralln isin N un gt un+1On dit que (un)nisinN est strictement croissante si et seulement si}

^{foralln isin N un lt un+1On dit que (un)nisinN est strictement deacutecroissante si et seulement si}

^{2 Analyse 35}

^{foralln isin N un gt un+1On dit que (un)nisinN est (strictement) monotone si et seulement si(un)nisinN est (strictement) croissante ou (strictement) deacutecroissanteToute suite reacuteelle croissante (respectivement deacutecroissante) et majoreacutee(respectivement minoreacutee) est convergente}

^{Suites adjacentes}

^{(un)nisinN est croissante(vn)nisinN est deacutecroissante(vn minus un) minusminusminusminusrarr}

^nrarr+infin

^{Si deux suites reacuteelles veacuterifient lesproprieacuteteacutes ci-contre ces suites sontdites adjacentesSi deux suites sont adjacenteselles convergent vers la mecircme li-mite}

^{Suites extraitesOn appelle suite extraite de (un)nisinN toute suite (uσ(n))nisinN ougrave σ NrarrN est une application strictement croissanteSi une suite (un)nisinN converge vers l isin K alors toute suite extraite de(un)nisinN converge aussi vers l}

^{Valeur drsquoadheacuterenceOn dira que a est une valeur drsquoadheacuterence drsquoune suite (un)nisinN si etseulement srsquoil existe une suite extraite telle que uσ(n) minusminusminusminusrarrnrarr+infin}

^{Theacuteoregraveme de Bolzano-WeiertrassDe toute suite borneacutee de R on peut extraire une suite convergente}

^{25 Fonctions reacuteelles de la variable reacuteelle}

^{PariteacuteSoit X sub R veacuterifiant x isin X =rArr minusx isin X}

^{forallx isin X f (minusx) = f (x)Une fonction f est paire si et seule-ment si elle veacuterifie la relation ci-contre}

^{forallx isin X f (minusx) = minus f (x)Une fonction f est impaire si etseulement si elle veacuterifie la relationci-contre}

^{PeacuteriodiciteacuteSoit f X rarr K avec X sub R on dit que f est T-peacuteriodique si et seule-ment si elle veacuterifie}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{forallx isin X}

^{x + T isin Xf (x + T) = f (x)}

^{Application en escalierOn dit qursquoune fonction f [a b] rarr R est en escalier si et seulementsrsquoil existe une famille (ai)iisin[0n] telle que (a0 an) isin [a b]n+1 avecn isin Nlowast et une famille (λ0 λnminus1) isin Rn tels que}

^{a = a0 lt a1 lt middot middot middot lt anminus1 lt an = bforalli isin 0 nminus 1 forallx isin]ai ai+1[ f (x) = λi}

^{Application majoreacutee ndash minoreacutee ndash borneacuteeUne fonction f X rarr R est dite ndashmajoreacutee si et seulement srsquoil existe A isin R tel que forallx isin X f (x) 6 Andashminoreacutee si et seulement srsquoil existe B isin R tel que forallx isin X f (x) gt Bndash borneacutee si et seulement srsquoil existe (A B) isin R2 tel que forallx isin XB 6 f (x) 6 A}

^{LimitesSoit f I rarr R une applicationOn dit que f admet une limite l en a isin I si et seulement si}

^{forallε gt 0 existη gt 0 forallx isin I |xminus a| 6 η =rArr | f (x)minus l| 6 ε}

^{On dit que f admet une limite l en +infin si et seulement si forallε gt 0 existA isin R forallx isin I x gt A =rArr | f (x)minus l| 6 ε}

^{On dit que f admet comme limite +infin en a isin I si et seulement si forallA gt 0 existη gt 0 forallx isin I |xminus a| 6 η =rArr f (x) gt A}

^{On dit que f admet comme limite +infin en +infin si et seulement si forallA gt 0 existB gt 0 forallx isin I x gt B =rArr f (x) gt A}

^{On dit que f admet comme limite minusinfin en minusinfin si et seulement si forallA lt 0 existB lt 0 forallx isin I x 6 B =rArr f (x) 6 A}

^{Continuiteacutesoit f I rarr K a isin I on dit que cette fonction est continue en a si etseulement si}

^{forallε gt 0 existη gt 0 forallx isin I |xminus a| 6 η =rArr | f (x)minus f (a)| 6 ε}

^{DiscontinuiteacuteSoit f I rarr K on dit que ndash f est discontinue en a si et seulement si elle nrsquoest pas continue en andash f admet une discontinuiteacute de premiegravere espegravece en a si et seulementsi f nrsquoest pas continue en a mais admet une limite finie agrave droite et unelimite finie agrave gauche en a}

^{2 Analyse 37}

^{Si f nrsquoest pas continue et ne preacutesente pas de continuiteacute de premiegravereespegravece en a on dit que f admet une discontinuiteacute de seconde espegraveceen a}

^{Composition et continuiteacute}

^{Soient f I rarr R et g J rarr K ougrave I et J sont deux intervalles de R telsque f (I) sub J si f et g sont respectivement continues en a et f (a) alorsg f est continue en a}

^{Continuiteacute sur un segment}

^{Soient (a b) isin R2 tel que a 6 b et une fonction f [a b] rarr R Si f estcontinue alors f est borneacutee et atteint ses bornes}

^{Continuiteacute uniforme}

^{Soit f I rarr K on dit que cette fonction est uniformeacutement continuesur I si et seulement si}

^{forallε gt 0 existη gt 0 forall(x1 x2) isin I2 |x1 minus x2| 6 η =rArr | f (x1)minus f (x2)| 6 ε}

^{Lrsquouniforme continuiteacute implique la continuiteacute}

^{Theacuteoregraveme de Heine}

^{Soient (a b) isin R2 tels que a 6 b et une fonction f [a b]rarr R Si f estcontinue sur [a b] alors f est uniformeacutement continue sur [a b]}

^{Applications lipschitziennes}

^{Soient f I rarr R et k isin Rlowast+ on dit que la fonction f est k-lipschitzienne si et seulement si}

^{forall(x1 x2) isin I2 | f (x1)minus f (x2)| 6 k|x1 minus x2|Si k isin [0 1[ lrsquoapplication f est dite contractanteUne application lipschitzienne est uniformeacutement continue}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Fonctions trigonomeacutetriques circulaires reacuteciproques}

^{Arcsin [minus1 1]rarr[minusπ}

^{forallx isin]minus 1 1[}

^{Arcsinprime(x) =1radic}

^{1minus x2}

^{Arccos [minus1 1]rarr [0π]forallx isin]minus 1 1[}

^{Arccosprime(x) =minus1radic1minus x2}

^{Arctan Rrarr]minusπ}

^{forallx isin R}

^{Arctanprime(x) =1}

^{1 + x2}

^{-1 1}

^Arcsin

^Arccos

^Arctan

^{Fonctions hyperboliques}

^{chprime x = sh x shprime x = ch x}

^{thprime x =1}

^{ch2 x= 1minus th2 x}

^{26 Deacuterivation}

^{Deacuteriveacutee en un pointSoient un point a isin I ougrave I est un intervalle et une fonction f I rarr K}

^{On dit que f est deacuterivable en a si et seulement si limhrarr0}

^{f (a + h)minus f (a)}

^{hexiste et est finie Dans ce cas cette limite est appeleacutee deacuteriveacutee de f en aet est noteacutee f prime(a)}

^{Deacuterivation et continuiteacuteSoient un point a isin I et une fonction f I rarr K si f est deacuterivable en aalors f est continue en a}

^{Proprieacuteteacutes des deacuteriveacuteesSoient f et g deux fonctions de I dans K deacuterivables en a alors ( f + g)prime(a) = f prime(a) + gprime(a)}

^{(λ f )prime(a) = λ f prime(a)}

^{( f g)prime(a) = f prime(a)g(a) + f (a)gprime(a)}

^{2 Analyse 39}

^{g(a) 6= 0(1g}

^{)prime(a) = minus gprime(a)}

^g2(a)

^{g(a) 6= 0(}

^{)prime(a) =}

^{f prime(a)g(a)minus f (a)gprime(a)g2(a)}

^{(g f )prime(a) = gprime( f (a)) f prime(a)}

^{Deacuterivabiliteacute drsquoune fonction sur un intervalle}

^{f I rarr K ougrave I est un intervalle est dite deacuterivable sur un intervalleJ sub I si et seulement si foralla isin J f est deacuterivable en a}

^{Formule de Leibniz}

^{f I rarr K et g I rarr E on suppose que λ et f sont deacuterivables sur I}

^{Alors f middot g est n fois deacuterivable sur I et ( f middot g)(n) =n}

^sumk=0

^{Ckn f}

^{(k) middot g(nminusk)}

^{Classe drsquoune fonction}

^{Soient f I rarr K et k isin N on dit que f est de classe Ck sur I si etseulement si f est k fois deacuterivable sur I et f (k) est continue sur ISoient f [a b] rarr K avec a 6 b et k isin N on dit que f est de classe Ckpar morceaux sur [a b] si et seulement si ndash il existe une famille (a0 ap) isin Rp+1 telle que a = a0 lt a1 lt middot middot middot lt apminus1 lt ap = b}

^{ndash Chaque restriction de f sur ]ai ai+1[ admet un prolongement declasse Ck sur [ai ai+1] foralli isin [0 pminus 1]}

^{Theacuteoregraveme de Rollef [a b] rarr R continue sur [a b] et deacuterivable sur ]a b[ f (a) = f (b) alors il existe c isin]a b[ tel que}

^{f prime(c) = 0}

^{Theacuteoregraveme des accroissements finis}

^{f [a b] rarr R avec (a b) isin R2 et a lt b continue sur [a b] et deacuterivablesur ]a b[ Il existe c isin]a b[}

^{f (b)minus f (a) = (bminus a) f prime(c)c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Ineacutegaliteacute de Taylor-Lagrangef [a b]rarr (E ) et f de classe Cn sur [a b] (n+ 1) fois deacuterivable sur]a b[ et telle que forallt isin]a b[ f (n+1)(t) 6 M alors}

^{∥∥∥∥∥ f (b)minusn}

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(bminus a)k}

^{∥∥∥∥∥ 6 M(bminus a)n+1}

^{(n + 1)}

^{Reste inteacutegral}

^{f [a b]rarr (E ) de classe Cn+1 sur [a b] alors}

^{f (b) =n}

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(bminus a)k +}

^{int b}

^{a(bminus t)n f (n+1)(t) dt}

^{︸︷︷︸Reste de Laplace}

^{Formule de Taylor-Young}

^{f I rarr E I un intervalle de R ougrave f (n)(a) existe}

^{f (x) =n}

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(xminus a)k + o}

^{xrarra((xminus a)n)}

^{Diffeacuteomorphisme ndash DeacutefinitionSoient f I rarr J avec I J deux intervalles de R n isin Nlowast cup +infin on ditque f est un Ck-diffeacuteomorphisme de I sur J si et seulement si ndash f est de classe Ck sur Indash f est bijectivendash fminus1 est de classe Ck sur J}

^{Convexiteacute ndash DeacutefinitionsSoit f I rarr K on dit que cette fonction est convexe si et seulement si forallθ isin [0 1] forall(x y) isin I2 f (θx + (1minus θ)y) 6 α f (x) + (1minus θ) f (y)}

^{Ineacutegaliteacute de convexiteacute}

^{Si f est convexe soit λ j gt 0 tel quen}

^sumj=1

^{λ j = 1 alors}

⁽ⁿ

^sumj=1

^{λ ja j}

⁾⁶

^sumj=1

^{λ j f (a j)}

^{Fonction convexe ndash Fonction concaveUne fonction f est concave si et seulement si minus f est convexe}

^{2 Analyse 41}

^{27 Inteacutegration}

^{Lineacuteariteacute de lrsquointeacutegrale}

^{int b}

^{a(λ f + g) = λ}

^{int b}

^{af +}

^{int b}

^{f et g deux fonctions continuespar morceaux}

^{Ineacutegaliteacute de la moyenne}

^{∣∣∣∣int}

^{[ab]f g}

^{∣∣∣∣ 6 Sup[ab] | f |int}

^[ab]|g|

^{∣∣∣∣int}

^[ab]f

^{∣∣∣∣ 6 (bminus a) Sup[ab] | f |}

^{f g deux fonctions continues parmorceaux sur [a b][a b] intervalle de R}

^{(int b}

^{af g}

^{(int b}

^{af 2)(int b}

^{f g deux applications continuespar morceaux [a b]rarr R on a lrsquoin-eacutegaliteacute ci-contreSi exist(λmicro) isin R2(0 0) tel que λ f + microg = 0 il y a eacutegaliteacute}

^{Sommes de Riemann}

^{Sn =bminus a}

^{nminus1sumk=0}

^{(a + k}

^{bminus a}

^{limnrarr+infin}

^{Sn =int b}

^{f [a b] rarr E une fonction conti-nue}

^{Inteacutegration par parties}

^{int b}

^{auvprime = [uv]ba minus}

^{int b}

^auprimev

^{u v [a b] rarr E fonctions conti-nues C1 par morceaux sur [a b]c copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Inteacutegrabiliteacute ndash Deacutefinition}

^{Jf 6 M}

^{f [a b] rarr R fonction positivecontinue par morceauxf est dite inteacutegrable sur [a b] si etseulement srsquoil existe un M isin R+pour tout segment J inclus dans[a b] veacuterifiant lrsquoineacutegaliteacute ci-contre}

^{Inteacutegrabiliteacute sur un segmentSoit f une fonction positive continue par morceaux de I dans R Lesproprieacuteteacutes suivantes sont deux agrave deux eacutequivalentes (i) f est inteacutegrable sur I(ii) Il existe M isin R+ tel que pour toute suite croissante de segments}

^{(Jn)nisinNlowast dont la reacuteunion est eacutegale agrave I foralln isin Nlowastint}

^{Jnf 6 M}

^{Theacuteoregraveme de domination}

^{0 6 f 6 g (1)}

^{0 6}

^{If 6}

^{Ig (2)}

^{Soient f et g deux fonctions conti-nues par morceaux de I dans R veacute-rifiant (1) et si g inteacutegrable alors fest inteacutegrable sur I et on a lrsquoineacutega-liteacute (2)}

^{Exemple de Riemann}

^{Fonctions de Riemann}

^{f (x) =1xα}

^{Une fonction de Riemann est inteacute-grable sur [1+infin[ si et seulementsi α gt 1Une fonction de Riemann est inteacute-grable sur ]0 1] si et seulement siα lt 1}

^{Theacuteoregraveme drsquoeacutequivalence}

^{Soient (a b) isin Rtimes R tels que a lt b f et g deux fonctions positivescontinues par morceaux de [a b[ dans R veacuterifiant en b f sim}

^{bg alors f}

^{est inteacutegrable sur [a b[ si et seulement si g lrsquoest}

^{Regravegle xα f (x)}

^{Inteacutegrabiliteacute en +infin ndash Srsquoil existe α isin]1+infin[ veacuterifiant lim}

^xrarr+infin

^{xα f (x) = 0 alors f est inteacute-}

^{grable sur [a+infin[ avec a gt 0}

^{2 Analyse 43}

^{ndash Srsquoil existe α isin] minusinfin 1] veacuterifiant limxrarr+infin}

^{xα f (x) = +infin alors f nrsquoest}

^{pas inteacutegrable sur [a+infin[ avec a gt 0Inteacutegrabiliteacute en 0 ndash Srsquoil existe α isin]minusinfin 1[ veacuterifiant lim}

^{xrarr0xα f (x) = 0 alors f est inteacutegrable}

^{sur ]0 a] avec a gt 0ndash Srsquoil existe α isin [1+infin[ veacuterifiant lim}

^{xrarr0xα f (x) = +infin alors f nrsquoest pas}

^{inteacutegrable sur ]0 a] avec a gt 0}

^{Relation de Chasles}

^{int c}

^{af =}

^{int b}

^{af +}

^{int c}

^{f une fonction continue par mor-ceaux inteacutegrable sur un intervalleI contennant les intervalles ou-verts ]a b[ ]b c[ et ]a c[}

^{(a b c) isin R3}

^{Croissance de lrsquointeacutegration}

^{f 6 g =rArrint}

^{If 6}

^{f g deux fonctions continues etinteacutegrables sur I}

^{Fonctions continues agrave valeurs complexesSoit f I rarr C une fonction continue On dira que f est inteacutegrable surI si et seulement si | f | lrsquoest}

^{Inteacutegrale impropre}

^{(a b) isin Rtimes (Rcup +infin)}

^{int X}

^{f fonction continue par morceauxsur [a b[On dit que cette inteacutegrale im-propre converge si et seulement sielle admet une limite finie lorsqueX tend vers b On note alors cette}

^{inteacutegraleint b}

^{Inteacutegrale deacutependant drsquoun paramegravetre ndash Deacutefinition}

^{f (x) =int}

^{IF(x t) dt}

^{x paramegravetret variable drsquointeacutegrationI intervalle de R}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Continuiteacute drsquoune inteacutegrale agrave paramegravetre}

^{forallx isin A F(x middot) inteacutegrable sur I}

^{f Ararr K est continue sur A}

^{x 7rarrint}

^{IF(x t) dt}

^{F fonction continue sur Atimes I veacute-rifiant lrsquohypothegravese de domination Soient f g I rarr R continues}

^{Si0 6 f 6 gg est inteacutegrable sur I alors}

^{f est inteacutegrable sur I etint}

^{If 6}

^{Sous ces hypothegraveses F veacuterifie lesrelations ci-contre}

^{Deacuterivation drsquoune inteacutegrale agrave paramegravetre}

^{forallx isin A}

^{F(x middot) et partFpartx}

^{(x middot)inteacutegrables sur If}

^{Ararr K est de classe C1 sur Ax 7rarr}

^{IF(x t) dt}

^{forallx isin A f prime(x) =intI}

^{partFpartx (x t) dt}

^{F fonction continue sur Atimes I veacute-rifiant une hypothegravese de domina-tion sur Atimes I Soient F g I rarr R continues}

^{Si0 6 F 6 gg est inteacutegrable sur I alors}

^{F est inteacutegrable sur I etint}

^{IF 6}

^partFpartx

^{existe et est continue sur Atimes I}

^partFpartx

^{veacuterifie une hypothegravese de domi-}

^{nation sur Atimes ISous ces hypothegraveses on a les rela-tions ci-contre}

^{28 Eacutequations diffeacuterentielles}

^{Eacutequations diffeacuterentielles lineacuteaires du premier ordre}

^{αyprime + βy = γ (E)}

^{αβγ I rarr K des applicationscontinuesy est une solution de cette eacutequa-tion sur J sub I si et seulement si yest deacuterivable sur J et si forallx isin J yveacuterifie (E)}

^{Eacutequation reacutesolueUne eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire du premier ordre est dite normali-seacutee ou reacutesolue en yprime si et seulement si α = 1}

^{2 Analyse 45}

^{Solution drsquoune eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire du premier ordre}

^{S = λeminusA + BeminusA λ isin K}

^{La solution ci-contre est la solutionde lrsquoeacutequation reacutesolue avec α = 1A primitive de β}

^{B primitive de γeA}

^{La solution de (E) est la somme dela solution geacuteneacuterale de lrsquoeacutequationhomogegravene associeacutee agrave (E) et drsquounesolution particuliegravere de (E)}

^{Meacutethode de reacutesolution de E}

^{1 Reacutesolution de lrsquoeacutequation homogegravene associeacutee solution de la formeλy0(x)2 Reacuteinjecter la solution trouveacutee dans lrsquoeacutequation complegravete avec la meacute-thode de variation de la constante qui permet de trouver la fonctionqui veacuterifie lrsquoeacutequation complegravete}

^{Nature de la solutionLrsquoensemble des solutions drsquoune eacutequation diffeacuterentielle lineacuteaire du pre-mier ordre est une droite affine dont la direction est donneacutee par lrsquoen-semble des solutions de lrsquoeacutequation homogegravene}

^{Theacuteoregraveme de Cauchy-LipschitzSoient U un ouvert de Rtimes R f U rarr E une application localementlipschitzienne par rapport agrave sa seconde variable et continue un couple(t0 y0) isin USous ces conditions il existe une unique solution maximale au pro-blegraveme de Cauchy crsquoest-agrave-dire veacuterifiant}

^{yprime = f (t y)y(t0) = y0}

^{(problegraveme de Cauchy)}

^{Et posseacutedant en plus les proprieacuteteacutes suivantes (solution maximale) ndash lrsquointervalle de deacutefinition est un ouvertndash toute solution du problegraveme de Cauchy est une restriction de cettesolution}

^{Eacutequation diffeacuterentielle du second ordre homogegravene}

^{αyprimeprime + βyprime + γy = 0αβγ fonctions continues I rarr Ky fonction de J sub I dans K solu-tion de cette eacutequation}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Eacutequation diffeacuterentielle du second ordre agrave coefficients constants}

^{yprimeprime + βyprime + γy = 0}

^{(Ec) r2 + βr + γ}

^{(βγ) isin R2 coefficients delrsquoeacutequation diffeacuterentielle}

^{Soit (Ec) lrsquoeacutequation caracteacuteristiqueassocieacutee agrave lrsquoeacutequation diffeacuterentielleSi cette eacutequation caracteacuteristiqueadmet ndash deux racines distinctes r1 et r2les solutions de lrsquoeacutequation sont dela forme λ1er1x + λ2er2xndash une racine double r les solutionssont de la forme (λx + micro)erxndash deux racines complexes conju-gueacutees r = aplusmn ib les solutions sontde la forme(λ cos bx + micro sin bx)eax}

^{Eacutequation du second ordre avec second membre eγxR(x)}

^{yprimeprime + βyprime + γy = emxP(x)}

^{(βγm) isin K3 coefficientsconstants de lrsquoeacutequation diffeacuteren-tielleP isin K[X]Lrsquoeacutequation diffeacuterentielle admetune solution de la forme emxS(x)avec S isin K[X] ndash deg S = deg P si m nrsquoest pas ra-cine de (Ec)ndash deg S = 1+ deg P si m est racinesimple de (Ec)ndash deg S = 2+ deg P si m est racinedouble de (Ec)}

^{Reacutesolution gracircce aux seacuteries entiegraveresLorsque les coefficients et le second membre de lrsquoeacutequation diffeacuteren-tielle sont constitueacutes par des polynocircmes on peut chercher les solutionssous la forme de seacuteries entiegraveres on obtient ainsi une relation de reacutecur-rence sur les coefficients Une fois ces coefficients calculeacutes le rayon deconvergence deacutetermineacutes et si possible la somme calculeacutee on a unesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle}

^{2 Analyse 47}

^{Systegraveme drsquoeacutequations diffeacuterentielles du premier ordreSoit I un intervalle de R B = (bi)iisin[1n] un vecteur de E etA = (ai j)iisin[1n]}

^jisin[1n]

^{I rarr E une application continue On appelle systegraveme}

^{drsquoeacutequations diffeacuterentielles du premier ordre le systegraveme}

^yprime1(t)

^yprimen(t)

^{a11(t) middot middot middot a1n(t)}

^{an1(t) middot middot middot ann(t)}

^y1(t)

^yn(t)

^b1(t)

^bn(t)

^{Reacutesolution dans le cas ougrave A est diagonalisableDans le cas ougrave A isin Mn(K) si A est diagonalisable le systegraveme homo-gegravene admet une solution du type}

^{Y =n}

^sumi=1

^cieλitVi

^{λi valeur propre de Aci constante lieacutee aux conditions initialesVi colonne de la matrice de passage de A agrave la matrice diagonale asso-cieacutee}

^{29 Seacuteries}

^{Deacutefinition}

^{SN =N}

^sumn=0

^{On appelle seacuterie le couple((un) (Sn))SN somme partielle drsquoordre Nun terme geacuteneacuteral de la seacuterie}

^{Condition neacutecessaire de convergenceUne condition neacutecessaire mais non suffisante de convergence drsquouneseacuterie est que lim}

^nrarr+infin

^{un = 0 Si le terme geacuteneacuteral de la seacuterie ne tend pas}

^{vers zeacutero la seacuterie est dite grossiegraverement divergente}

^{Changement drsquoindice de deacutepart}

^{Soit sumngt0}

^{un une seacuterie de E et n0 isin N les seacuteries sumngt0}

^{un et sumngtn0}

^{un sont de}

^{mecircme nature}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Seacuterie geacuteomeacutetrique}

^{S =+infin}

^sumn=0

^{un =1}

^{1minus u0(1)}

^{u0 terme geacuteneacuteral de la suite derang 0un terme geacuteneacuteral de la suiteun = (u0)}

^{Une condition neacutecessaire et suf-fisante de convergence drsquoune telleseacuterie est |u0| lt 1 Dans ce cas laseacuterie veacuterifie (1)}

^{Seacuterie agrave termes positifsUne seacuterie agrave termes positifs converge si et seulement sila suite dessommes partielles est majoreacutee}

^{Seacuterie de Riemann}

^sumngt1

⁽¹⁾

^{Une seacuterie veacuterifiant (1) est dite deRiemann Une telle seacuterie convergesi et seulement si}

^{α gt 1}

^{Valeur remarquable +infin}

^sumn=1

¹ⁿ²

^{Seacuterie de Bertrand}

^+infin

^sumn=2

^{1nα(ln n)β}

^{On appelle seacuterie de Bertrand la seacute-rie deacutefinie ci-contreCette seacuterie converge si et seule-ment si α gt 1α = 1 et β gt 1}

^{Comparaison de deux seacuteries agrave termes positifs}

^{foralln isin N}

^{0 6 un 6 vn (1)}

^{un terme geacuteneacuteral de la seacuterie Svn terme geacuteneacuteral de la seacuterie SprimeSi (1) est veacuterifieacutee et si Sprime convergealors S convergeRemarque Si S diverge et (1) estveacuterifieacutee la seacuterie Sprime diverge}

^{2 Analyse 49}

^{Regravegle de drsquoAlembert}

^{Soit une seacuterie de terme geacuteneacuteral un telle que∣∣∣∣un+1}

^{∣∣∣∣ minusminusminusminusrarrnrarr+infin}

^{ndash Si β lt 1 la seacuterie de terme geacuteneacuteral un converge ndash Si β gt 1 la seacuterie de terme geacuteneacuteral un diverge grossiegraverement ndash Si β = 1 on ne peut rien dire de la nature de la seacuterie}

^{Regravegle de CauchySoit une seacuterie de terme geacuteneacuteral un reacuteel positif telle que n}

^{radicun minusminusminusminusrarr}

^nrarr+infin

^{Seacuteries de mecircme natureSoit sum un et sum vn deux seacuteries reacuteelles agrave termes positifs telles que au voi-sinage de +infin vn gt 0 et un sim vn Alors on a eacutegalement un gt 0 au voi-sinage de +infin et les deux seacuteries sont de mecircme nature (elles convergentou divergent en mecircme temps)}

^{Seacuterie alterneacutee}

^{∣∣∣∣∣+infin}

^sumn=p+1

^{∣∣∣∣∣ 6 |up+1|}

^{Une seacuterie de terme geacuteneacuteral unest dite alterneacutee si et seulementsi la suite (minus1)nun est de signeconstantUne telle seacuterie converge si 1 lim}

^nrarr+infin

^{un = 0}

^{2 la suite (|un|)nisinN est deacutecrois-santeSous ces hypothegraveses la seacuterie veacuteri-fie la relation ci-contre}

^{Critegravere de Cauchy}

^{forallε gt 0 existN isin N forall(p q) isin N2}

^{N 6 p lt q =rArr∥∥∥∥∥}

^sumn=p+1

^{∥∥∥∥∥ 6 ε}

^{Le critegravere ci-contre est une condi-tion neacutecessaire et suffisante deconvergence pour une seacuterie dansun espace de Banach (K-espacevectoriel normeacute complet)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Formule de Stirling}

^{n sim(ne}

^)nradic2πn

^{n isin NLa formule de Stirling fournit uneacutequivalent simple de n en +infin}

^{Convergence absolue ndash Semi convergenceUne seacuterie est dite absolument convergente si et seulement si la seacuteriede terme geacuteneacuteral |un| convergeUne seacuterie alterneacutee est dite semi-convergente si et seulement la seacuteriede terme geacuteneacuteral un converge alors que celle de terme geacuteneacuteral |un| di-verge}

^{Seacuteries doubles ndash Interversion des sommationsSoit une suite double drsquoeacuteleacutements de K (upq)(pq)isinN2 que lrsquoon supposesommable (crsquoest-agrave-dire existM isin R+forallJ sub N sum}

^pisinJqisinJ

^{upq 6 M) alors}

^{1 forallq isin N sumpgt0}

^{upq est convergente et la seacuterie sumqgt0}

^(+infin

^sump=0

^{)est conver-}

^gente

^{2 forallp isin N sumqgt0}

^{upq est convergente et la seacuterie sumpgt0}

^(+infin

^sumq=0

^convergente

^{3 sum(pq)isinN2}

^{upq =+infin}

^sump=0

^(+infin

^sumq=0

⁾⁼

^+infin

^sumq=0

^(+infin

^sump=0

^{Produit de Cauchy}

^{wn =n}

^sumk=0

^{uk middot vnminusk (1)}

^+infin

^sumn=0

^{wn =}

^(+infin

^sumn=0

^)(+infin

^sumn=0

⁾⁽²⁾

^{On appelle produit de Cauchy desdeux seacuteries de terme geacuteneacuteral un etvn la seacuterie dont le terme geacuteneacuteralveacuterifie (1)Si les deux seacuteries de terme geacuteneacuteralun et vn sont absolument conver-gentes alors la seacuterie wn est elleaussi absolument convergente etveacuterifie (2)}

^{2 Analyse 51}

^{210 Seacuteries entiegraveres}

^{Seacuterie entiegravere}

^{S(z) =+infin}

^sumn=0

^{S(z) somme de la seacuterie entiegraverean coefficient de la seacuterie entiegraverez variable de la seacuterie entiegravere}

^{Rayon de convergence ndash Deacutefinition}

^{I = r isin R++infin}

^{sumn=0|an|rn converge}

^{La borne supeacuterieure de lrsquointervalleI dans R est appeleacutee rayon deconvergence de la seacuterie sum anz}

^{n onle note R = Sup I}

^{Seacuterie entiegravere somme}

^{Soient deux seacuteries entiegraveres sumngt0}

^{anzn et sum}

^ngt0bnz

^{n on appelle seacuterie entiegravere}

^{somme la seacuterie sumngt0}

^{(an + bn)zn}

^{Soit Ra et Rb les deux rayons de convergence respectifs de ces deuxseacuteries on a Ra+b gt min(Ra Rb) (avec eacutegaliteacute si Ra 6= Rb)}

^{Lemme drsquoAbel}

^{Soit r0 gt 0 si la suite (|an|rn0)nisinN est majoreacutee alors forallr isin [0 r0[ la seacuteriesum |an|rn est convergente}

^{Deacuterivation drsquoune seacuterie entiegravere}

^{Sprime(x) =+infin}

^sumn=0

^{(n + 1)an+1xn}

^{S seacuterie de terme geacuteneacuteral anxn}

^{Sprime deacuteriveacutee de la seacuterie SLa seacuterie deacuteriveacutee a le mecircme rayonde convergence que la seacuterie agrave deacuteri-ver}

^{Inteacutegration drsquoune seacuterie entiegravere}

^{int x}

^(+infin

^sumn=0

^{)dz =}

^+infin

^sumn=0

^{ann + 1}

^{xn+1La seacuterie des inteacutegrales a le mecircmerayon de convergence que la seacuterieinteacutegreacuteec copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Deacuteveloppement en seacuterie entiegravere drsquoune fonctionUne fonction f Rrarr R est dite deacuteveloppable en seacuterie entiegravere autourdrsquoun point x0 isin R si et srsquoil existe une seacuterie entiegravere sum}

^ngt0anx

^{n de rayon de}

^{convergence R gt 0 telle que}

^{forallx isin]x0 minus R x0 + R[ f (x) =+infin}

^sumn=0

^{an(xminus x0)n}

^{Le deacuteveloppement en seacuterie entiegravere est unique}

^{Deacuteveloppement en seacuterie entiegravere drsquoune fraction rationnelleUne fraction rationnelle R est deacuteveloppable en seacuterie entiegravere autour de0 si et seulement si 0 nrsquoest pas un pocircle de cette fraction rationnelle Lerayon de convergence du deacuteveloppement en seacuterie entiegravere est alors eacutegalau plus petit module des pocircles complexes de la fraction rationnelle}

^{211 Suites et seacuteries drsquoapplications}

^{Convergence simple ndash Deacutefinition}

^{forallε gt 0 forallx isin D existn0 isin N foralln gt n0}

^{| fn(x)minus f (x)| 6 ε}

^{( fn X rarr E)nisinN suite drsquoapplica-tionsE un K-espace vectoriel normeacutef limite de la suite drsquoapplicationsdans D (domaine de convergence)D domaine de convergence}

^{Convergence uniforme ndash Deacutefinition}

^{forallε gt 0 existn0 isin N forallx isin D foralln gt n0}

^{( fn X rarr E)nisinN suite drsquoapplica-tionsE un K-espace vectoriel normeacutef limite de la suite drsquoapplicationsdans D (domaine de convergence)}

^{Convergence uniforme et convergence simpleSi ( fn)nisinN converge uniformeacutement vers f sur X il y a eacutegalementconvergence simple de ( fn)nisinN vers f dans ce mecircme domaine}

^{2 Analyse 53}

^{Proprieacuteteacute de la convergence uniforme}

^{Si les fonctions fn sont continues (respectivement admettent une li-mite en a) alors la limite uniforme (si elle existe) de ces fonctions f estcontinue (respectivement admet une limite en a)}

^{Convergence uniforme et inteacutegration sur un segment}

^{f est continue sur [a b]}

^{(int b}

^nisinN

^{converge dans E}

^{int b}

^{af = lim}

^nrarr+infin

^{int b}

^{( fn X rarr E)nisinN suite drsquoapplica-tions continues convergeant uni-formeacutement vers f sur XE un K-espace vectoriel normeacutef limite de la suite drsquoapplicationsSous ces hypothegraveses f veacuterifie lesproprieacuteteacutes eacutenonceacutees ci-contre}

^{Convergence uniforme et deacuterivation}

^{( fn)nisinN converge uniformeacutementsur tout segment de I vers f}

^{f est de classe C1 sur If prime = g}

^{( fn X rarr E)nisinN suite drsquoapplica-tions C1 convergeant simplementvers f sur X( f primen)nisinN converge uniformeacutementvers une application noteacutee gSous ces hypothegraveses f veacuterifie lesproprieacuteteacutes eacutenonceacutees ci-contre}

^{Soit ( fn X rarr E)nisinN une suite drsquoapplications C1 surX convergeantsimplement vers f sur X}

^{Soit ( f primen)nisinN une suite de fonctions qui converge uniformeacutement surtout segment de X vers une application g}

^{Soit f la limite de la suite drsquoapplications veacuterifiant les hypothegraveses preacute-ceacutedentes Sous ces hypothegraveses on a f de classe C1 sur X et f prime = g}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Theacuteoregraveme de convergence monotone}

^{If = SupnisinN}

^{Ifn = lim}

^nrarr+infin

^{foralln isin N fn est continue par mor-ceaux et inteacutegrable sur I( fn)nisinN veacuterifie une hypothegravese demonotonie foralln isin N fn 6 fn+1( fn)nisinN converge simplement surI vers une application noteacutee fcontinue par morceaux sur ISous ces hypothegraveses f est inteacute-grable si et seulement si la suite(int}

^nisinN

^{et veacuterifie alors les pro-}

^{prieacuteteacutes ci-contre}

^{Theacuteoregraveme de convergence domineacutee}

^{If = lim}

^nrarr+infin

^{foralln isin N fn est continue par mor-ceaux sur I( fn)nisinN converge simplement surI vers une application noteacutee fcontinue par morceaux sur I( fn)nisinN veacuterifie une hypothegravese dedomination foralln isin N | fn| 6}

^{ϕ ougrave ϕ est une fonction conti-nue par morceaux positive et inteacute-grable sur ISous ces hypothegraveses f veacuterifie laproprieacuteteacute ci-contre}

^{Premier theacuteoregraveme de WeierstrassPour toute application continue f [a b] rarr K il existe une suite (Pn [a b] rarr K)nisinN de polynocircmes convergeant uniformeacutement vers f sur[a b]}

^{Deuxiegraveme theacuteoregraveme de WeierstrassPour toute application continue f R rarr K et T-peacuteriodique il existeune suite (Tn [a b]rarr K)nisinN de polynocircmes trigonomeacutetriques conver-geant uniformeacutement vers f sur R}

^{2 Analyse 55}

^{Seacuteries drsquoapplications convergence simple ndash Deacutefinition}

^{On dit qursquoune seacuterie drsquoapplications converge simplement si etseulement si la suite des sommes partielles (Sn(x))nisinN avec}

^{Sn(x) =n}

^sumk=0

^{fk(x) converge simplement}

^{Seacuteries drsquoapplications convergence absolue ndash Deacutefinition}

^{On dit qursquoune seacuterie drsquoapplications converge absolument si etseulement si la suite des sommes partielles (Sn(x))nisinN avec}

^{Sn(x) =n}

^{sumk=0 fk(x) converge absolument}

^{Seacuteries drsquoapplications convergence uniforme ndash Deacutefinition}

^{On dit qursquoune seacuterie drsquoapplications converge uniformeacutement si et seule-ment si la suite des sommes partielles (Sn(x))nisinN avec Sn(x) =n}

^sumk=0

^{fk(x) converge uniformeacutement}

^{Seacuteries drsquoapplications convergence normale ndash Deacutefinition}

^{existn0 isin N}

^sumngtn0

^{fninfin converge}

^{On dit que sumn}

^{fn converge norma-}

^{lement et seulement si elle veacuterifiela proprieacuteteacute ci-contre}

^{Convergences normale uniforme et simple}

^{La convergence normale entraicircne la convergence uniforme qui elle-mecircme entraicircne la convergence simple}

^{Convergence uniforme ndash Limite et continuiteacute}

^{Si sumngt0}

^{fn converge uniformeacutement sur X et si foralln isin N fn est continue en}

^{a (respectivement admet une limite en a) alors sumngt0}

^{fn est continue en}

^{a (respectivement admet une limite en a)c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^+infin

^sumn=0

^{fn est continue sur [a b]}

^sumngt0

^{(int b}

^{afn(x) dx}

^{)converge dans E}

^{int b}

^(+infin

^sumn=0

^fn(x)

^{)dx =}

^+infin

^sumn=0

^{int b}

^{afn(x) dx}

^{( fn)nisinN seacuterie drsquoapplications avecfn continue sur [a b]+infin}

^sumn=0

^{fn converge uniformeacutement sur}

^{[a b]Sous ces hypothegraveses la seacuterie defonctions veacuterifie les proprieacuteteacutes ci-contre}

^sumngt0

^{fn converge uniformeacutement}

^{sur tout segment I}

^+infin

^sumn=0

^{fn est de classe C1 sur I}

^(+infin

^sumn=0

^)prime=

^+infin

^sumn=0

^{f primen}

^sumngt0

^{fn seacuterie drsquoapplications}

^{convergeant simplement sur Ifn I rarr E de classe C1sumngt0}

^{f primen converge uniformeacutement sur}

^{tout segment de ISous ces hypothegraveses fn et f primen veacuteri-fient les proprieacuteteacutes ci-contre}

^{Inteacutegration sur un intervalle quelconque des fonctions}

^+infin

^sumn=0

^{fn est inteacutegrable sur I}

^{∣∣∣∣∣+infin}

^sumn=0

^{∣∣∣∣∣ 6+infin}

^sumn=

^{I| fn|}

^+infin

^sumn=0

^{fn =+infin}

^sumn=0

^sumngt0

^{( fn) seacuterie drsquoapplications}

^{convergeant simplement sur Ifn I rarr E fonction continue parmorceaux sur I}

^sumngt0

^{I| fn| converge}

^{Sous ces hypothegraveses fn veacuterifie lesproprieacuteteacutes ci-contre}

^{2 Analyse 57}

^{212 Seacuteries de Fourier}

^{Coefficients de Fourier exponentiels}

^{cn( f ) =12π}

^{int 2π}

^{0f (x)eminusinx dx}

^{cn coefficient de Fourier exponen-tielf fonction 2π-peacuteriodique conti-nue par morceaux agrave valeurs com-plexesn isin Z}

^{Coefficients de Fourier trigonomeacutetriques}

^{an( f ) =1π}

^{int 2π}

^{0f (x) cos(nx) dx}

^{bn( f ) =1π}

^{int 2π}

^{0f (x) sin(nx) dx}

^{an coefficient de Fourier trigono-meacutetrique en cosinusbn coefficient de Fourier trigono-meacutetrique en sinusf fonction dont on souhaite obte-nir les coefficients de FourierLorsque la fonction f est paire(respectivement impaire) les co-efficients bn (respectivements an)sont nuls}

^{Theacuteoregraveme de Dirichlet}

^{Si f est de classe C1 par morceaux et 2π-peacuteriodique pour tout reacuteel xon a lrsquoeacutegaliteacute suivante}

^{S(x) =+infin}

^{sumn=minusinfin}

^{cneinx =a02}

^++infin

^sumn=1

^{an cos nx ++infin}

^sumn=1

^{bn sin nx}

^{S(x) =12}

^{(f (xminus) + f (x+)}

^{Dans ce cas il y a convergence simple de la seacuterie vers S(x)}

^{Eacutegaliteacute de ParsevalSi f est continue par morceaux on a lrsquoeacutegaliteacute suivante}

^{int 2π}

^{0| f (x)|2 dx =}

^|a0|24

^++infin

^sumn=1

^{|an|2 + |bn|22}

^=+infin

^{sumn=minusinfin}

^|cn|2

^{Convergence normale}

^{Si f est continue et de classe C1 par morceaux sur R la seacuterie de Fourierde f est normalement convergente sur R et a pour somme f}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{213 Fonctions de plusieurs variables}

^{Deacuteriveacutee partielle}

^{D j f (a) =part fpartx j}

^{(a) = limtrarr0t 6=0}

^{f (a1 a j + t an)minus f (a1 an)}

^{f une fonction de plusieurs variablesOn deacutefinit ci-dessus la deacuteriveacutee partielle par rapport agrave la variable x j (saje variable) de la fonction f en un point a = (a1 an)}

^{Deacuteriveacutee selon un vecteurOn dit que f admet une deacuteriveacutee en a selon un vecteur v que lrsquoon notedv f (a) si et seulement si la limite suivante existe}

^limtrarr0

^{( f (a + tv)minus f (a))}

^{Si elle existe cette limite est dv f (a)}

^{Theacuteoregraveme fondamental}

^{Soit U un ouvert de Rp si f U rarr Rn est de classe C1 sur Rp alorsf admet en tout point a de Rp une deacuteriveacutee selon tout vecteur h et}

^{Dh f (a) =p}

^sumj=1

^{h jD j f (a)}

^Gradient

^{grad f =}

^{(part fpartx}

^{(x y)part fparty}

^{(x y))}

^{f U rarr R fonction de classe C1sur UU ouvert de R2}

^{grad f gradient de fAlors Dv f (a) = (grad f (a)) middot v}

^{Diffeacuterentielle drsquoune fonction de deux variables}

^{d f =part fpartx}

^{dx +part fparty}

^{dyf U rarr R fonction de classe C1sur UU ouvert de R2}

^{Applications de classe CkOn dit que f est de classe Ck avec k isin Nlowast sur U si et seulement si fadmet des deacuteriveacutees partielles successives sur U jusqursquoagrave lrsquoordre k et cequel que soit lrsquoordre de deacuterivation et chacune de ces deacuteriveacutees partiellesest continue sur U}

^{3 Geacuteomeacutetrie 59}

^{Theacuteoregraveme de Schwarz}

^{part2 fpartx jpartxi}

^{=part2 f}

^{partxipartx jf fonction C2 sur Rp}

^{Point critique}

^{Soit U un ouvert de R2 a isin U et f U rarr R une fonction de classe CnOn dira que a est un point critique pour f si et seulement si toutes lesdeacuteriveacutees partielles de f existent et srsquoannulent en a}

^{Extremum local}

^{On dira que f U rarr R2 admet un extremum local sur X sub U en unpoint a isin X si et seulement si forallx isin X f (x) 6 f (a) ( f admettant alorsun maximum en a) ou forallx isin X f (x) gt f (a) ( f admettant alors unminimum en a)}

^{Theacuteoregraveme des fonctions implicites}

^{Soient x = (x1 x2) isin U ougrave U est un ouvert de R2 f U rarr R une}

^{fonction de classe Ck sur U telle que f (x) = 0 etpart fpartx2}

^{(x) 6= 0 alors il}

^{existe deux intervalles ouverts J et K respectivement centreacutes en x1 et x2tels qursquoil existe une unique fonction de classe C1 ϕ J rarr K telle que}

^{forall(x y) isin J times K ( f (x y) = 0lArrrArr y = ϕ(x))}

^{3 Geacuteomeacutetrie}

^{31 Courbes du plan}

^{Point reacutegulier ndash Point bireacutegulier}

^{Un point M(t) est dit reacutegulier si et seulement srsquoil veacuterifie f prime(t) 6= 0 ilest dit bireacutegulier si et seulement si la famille ( f prime(t) f primeprime(t)) est libre}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Tangente ndash Deacutefinition}

^{M0PM0PM0P = λfffprime(t0)}

^{Si fprimefprimefprime(t0) 6= 0 la tangente en unpoint M de coordonneacutees t0 estlrsquoensemble des points P veacuterifiant laproprieacuteteacute ci-contre avec λ isin RSi cette limite nrsquoexiste qursquoent+0 (respectivement en tminus0 ) ondira que la courbe admet unedemi-tangente en M(t+0 ) (res-pectivement en M(tminus0 )) Si leslimites en t+0 ) et en tminus0 sont dif-feacuterentes la courbe admet deuxdemi-tangentes en M}

^{Position drsquoun arc par rapport agrave la tangente}

^{Dans les figures ci-dessous f (p)(t0) et f (q)(t0) repreacutesentent les deuxpremiers vecteurs deacuteriveacutes non nuls}

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{M(t) f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{p impair q pair allure geacuteneacuterale p impair q impair point drsquoin-flexion}

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{p pair q pair point de rebrousse-ment de seconde espegravece}

^{p pair q impair point de rebrous-sement de premiegravere espegravece}

^{Branche infinie ndash DeacutefinitionOn dit que la courbe Γ admet une branche infinie en t0 si et seulementsi lim}

^{trarrt0 f (t) = +infin}

^{Direction asymtotique ndash AsymptoteSi la branche infinie forme un angle θ0 par rapport agrave lrsquoaxe des abscissespour savoir srsquoil srsquoagit drsquoune asymptote ou drsquoune direction asympto-tique on eacutetudie la limite}

^{Y = limθrarrθ0}

^{ρ sin(θminus θ0)}

^{Si cette limite vaut +infin il srsquoagit drsquoune direction asymptotique si lalimite vaut 0 il srsquoagit drsquoune asymptote si la limite vaut b avec b isin Rla droite drsquoeacutequation y = θ0x + b est asymptote agrave la courbe}

^{Branche paraboliqueO dira que la courbe Γ admet une branche parabolique quand t tendvers t0 si cette mecircme courbe admet une direction asymptotique quandt tend vers t0 mais pas drsquoasymptote}

^{SymeacutetriesSoit ϕ t 7rarr ϕ(t) une fonction de changement de parameacutetrage Ondonne ci-dessous les symeacutetries classiques qui permettent de limiterlrsquointervalle drsquoeacutetude de la courbe}

^{x(ϕ(t) = x(t)y(ϕ(t) = y(t)}

^{Identiteacute}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{x(ϕ(t) = minusx(t)y(ϕ(t) = minusy(t) Symeacutetrie par rapport agrave lrsquoorigine}

^{x(ϕ(t) = y(t)y(ϕ(t) = x(t)}

^{Symeacutetrie par rapport agrave la premiegraverebissectrice}

^{x(ϕ(t) = minusx(t)y(ϕ(t) = y(t)}

^{Symeacutetrie par rapport agrave lrsquoaxe desordonneacutees}

^{x(ϕ(t) = x(t)y(ϕ(t) = minusy(t)}

^{Symeacutetrie par raport agrave lrsquoaxe desabscisses}

^{Coordonneacutees polaires}

^{ρ =radic}

^{x2 + y2}

^{x = ρ cos θ}

^{y = ρ sin θ}

^{Eacutequations en coordonneacutees polairesLa droite}

^{ρ =1}

^{λ cos θ + micro sin θ}

^{(λmicro) isin R2}

^{Cette eacutequation repreacutesente ladroite drsquoeacutequation carteacutesienneλx + microyminus 1 = 0}

^{Le cercle}

^{ρ = λ cos θ + micro sin θ}

^{Cette eacutequation repreacutesente le cerclecentreacute enO drsquoeacutequation carteacutesiennex2 + y2 minus λxminus microy = 0}

^{Conique dont le foyer est agrave lrsquoori-gine}

^{ρ =p}

^{1 + e cos(θminusϕ)}

^{p paramegravetre de la coniquee excentriciteacute de la coniqueθ angle polaireϕ phase}

^{Branches infinies ndash DeacutefinitionsSi lim}

^{θrarrplusmninfin}

^{ρ = 0 on dit que O est un point-asymptote de la courbe}

^{Si limθrarrplusmninfin}

^{ρ = a on dit que le cercle de centre O et de rayon |a| est uncercle-asymptote agrave la courbeSi lim}

^{ρ = plusmninfin on dit que la courbe admet une branche-spirale}

^{Si la branche infinie forme un angle θ0 par rapport agrave lrsquoaxe des abscissespour savoir srsquoil srsquoagit drsquoune asymptote ou drsquoune direction asympto-tique on eacutetudie la limite}

^{Y = limθrarrθ0}

^{Symeacutetries}

^{Soit T la peacuteriode de ρ (crsquoest-agrave-dire ρ(θ + T) = ρ(θ)) Srsquoil existe Tprime telque ρ(θ + Tprime) = minusρ(θ) Tprime est appeleacute antipeacuteriode de ρ}

^{ρ(minusθ) = ρ(θ)}

^{Symeacutetrie par rapport agrave lrsquoaxe desabscisses On fait varier θ dans[0+infin[ avant drsquoeffectuer la symeacute-trie}

^{ρ(αminus θ) = ρ(α)}

^{On fait varier θ dans[α}

^2+infin

^{puis on effectue la symeacutetrie parrapport agrave la droite passant par Oet drsquoangle polaire α2}

^{ρ(minusθ) = minusρ(θ)}

^{Symeacutetrie par rapport agrave lrsquoaxe desordonneacutees On fait varier θ dans[0+infin[ avant drsquoeffectuer la symeacute-trie}

^{ρ(αminus θ) = minusρ(α)}

^2+infin

^{puis on effectue la symeacutetrie parrapport agrave la droite passant par O}

^{et drsquoangle polaireα}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{32 Proprieacuteteacutes meacutetriques des courbes}

^{Abscisse curviligne}

^{forallt isin I s(t) =int t}

^{t0 f prime(u) du}

^{f t 7rarr M(t)s t 7rarr s(t)}

^{Longueur drsquoun arc}

^{l(AB) =int b}

^{a f prime(t) dt l(AB) longueur de lrsquoarc AB}

^{Rayon de courbure ndash Courbure}

^{R =dsdα}

^{γ =1R}

^{R rayon de courbures abscisse curviligneα = (iii TTT) ougrave TTT est le vecteur tan-gentγ courbure au point M(t)}

^{Chapitre 2Physique}

^{0 Eacuteleacutements de matheacutematiques}

^{01 Diffeacuterentielles}

^{Deacuteveloppements limiteacutes}

^{Soit f x 7rarr f (x) alors f (x + δx) = f (x) + δx f prime(x) +(δx)2}

^{2f primeprime(x) +}

^{middot middot middotDiffeacuterentielle drsquoune fonction de plusieurs variables}

^{Soit f une fonction des variables x et y alors}

^{d f =}

^{(part fpartx}

^{dx +}

^{(part fparty}

^{On peut eacutetendre cette deacutefinition de d f pour une fonction de n va-riablesOn a par deacutefinition du gradient}

^{d f = (grad f ) middot dMMMc copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{66 [2] Physique}

^{part2 f (x y)partxparty}

^{=part2 f (x y)}

^partypartx

^{(les deacuteriveacutees croiseacutees drsquoune fonction C2 sont eacutegales)}

^{Eacutequation de relaxation}

^{yprime(t) +y(t)}

^{τ= γ (ougrave γ est}

^{une constante) Sa solution esty(t) = γτ + (y(0)minus γτeminustτ}

^{y t( )}

^{Eacutequation de lrsquooscillateur harmonique}

^{yprimeprime(t) + ω20y(t) = 0 Sa solution est}

^{y(t) = λ cos(ω0t) + micro sin(ω0t) ouy(t) = δ cos(ω0t + ϕ)}

^{y t( )}

^{Eacutequation drsquoun systegraveme explosif}

^{yprimeprime(t) minus ω20y(t) = 0 Sa solution est}

^{y(t) = λ ch(ω0t) + micro sh(ω0t)}

^{y t( )}

^{0 Eacuteleacutements de matheacutematiques 67}

^{Eacutequation de diffusionpartypartt}

^{= D∆y Les solutions deacutependent des conditions aux limites et des}

^{conditions initiales On la reacutesoud geacuteneacuteralement en reacutegime permanentougrave la solution est sinusoiumldale}

^{Eacutequation de preacutecession}

^partuuupartt

^{= ωωω and uuu uuu est en rotation autour duvecteurωωω}

^{Eacutequation du second ordre}

^{ayprimeprime(t) + byprime(t) + cy(t) = g(t)}

^{Le discriminant de son eacutequation caracteacuteristique ((Ec) ar2 + br + c = 0)est ∆ = b2 minus 4ac Soient r1 et r2 les deux racines de cette eacutequation ca-racteacuteristiqueDans un premier temps inteacuteressons nous au cas ougrave g(t) = γ uneconstante}

^{Si ∆ gt 0 les deux racines r1 et r2 sontreacuteelles la solution est du type apeacuteriodique}

^{y(t) = λer1t + microer2 t +γ}

^{y t( )}

^{tSi ∆ lt 0 les deux racines de lrsquoeacutequationcaracteacuteristique sont complexes conjugueacuteesla solution est alors pseudo-peacuteriodique}

^{y(t) = (λ cos(βt) + micro sin(βt))eαt +γ}

^{cavec α et β respectivement partie reacuteelle etpartie imaginaire de r1}

^{y t( )}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{68 [2] Physique}

^{Si ∆ = 0 le reacutegime est critique lrsquoeacutequationcaracteacuteristique admet une racine double}

^{La solution est y(t) = (λt + micro)er1t +γ}

^{y t( )}

^{tSi g(t) est une excitation sinusoiumldale on reacutesout en complexes en posanty(t) = Ye jωt pour obtenir une solution particuliegravere}

^{03 Coniques}

^{Eacutequation polaire drsquoune conique avec origine au foyer}

^{r(θ) =p}

^{1 + e cos θ}

^{r distance du point courant agravelrsquoorigineθ angle polairep paramegravetree excentriciteacute}

^{Nature de la conique}

^{ndash une ellipse si 0 lt e =a}

^{blt 1 ab}

^{ndash une parabole si e = 1}

^{ndash une hyperbole si e gt 1}

^{Aire drsquoune ellipse}

^{S = πabS surface de la coniquea demi grand axeb demi petit axe}

^{1 Eacutelectronique 69}

^{1 Eacutelectronique}

^{11 Lois geacuteneacuterales}

^{Loi de Pouillet}

^{i =E}

^{i intensiteacute du courant dans lecircuitE tension deacutelivreacutee par le geacuteneacute-rateurRk reacutesistance k du circuit}

^{Loi des nœuds}

^{La loi des nœuds en N srsquoeacutecrit n}

^sumk=1

^{ik = 0}

ⁱⁿ

ⁱ⁴

ⁱ²ⁱ³

^{Loi des mailles}

^{La loi des mailles sur la maille ci-}

^{contre srsquoeacutecrit n}

^sumk=1

^{uk = 0 u1}

^{Theacuteoregraveme de Millman}

^{Le theacuteoregraveme de Millman appliqueacuteen N donne}

^{u =}

^sumk=1

^{Gk middot uk +p}

^sumj=1

^{i j}

^sumk=1

^{Gk u1 unu2 uk}

^{uG1 GnG2 Gk}

^{i2 ijip}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{70 [2] Physique}

^{Theacuteoregraveme de superposition (Helmholtz)Dans un reacuteseau de dipocircles lineacuteaires comportant n sources la tensionaux bornes de chaque dipocircle est la somme algeacutebrique des tensions qursquoily aurait aux bornes de ce dipocircle si une seule source autonome fonction-nait De mecircme lrsquointensiteacute dans une branche drsquoun circuit est la sommedes intensiteacutes qui regravegneraient dans la branche si une seule source au-tonome fonctionnait}

^{12 Reacutegime variable}

^{Puissance reccedilue par un dipocircle}

^{p(t) = u(t)i(t)}

^{lt pgt=1T}

^{int T}

^{0p(t) dt}

^{lt pgtsinusoiumldal= Ueff Ieff cosϕ}

^{On se place en convention reacutecep-teurp(t) puissance instantaneacutee reccediluepar le dipocirclelt p gt puissance moyenne reccediluepar le dipocircleu(t) tension aux bornes de ce di-pocirclei(t) intensiteacute traversant le dipocircleUeff tension efficace aux bornesdu dipocircleIeff intensiteacute efficace traversant ledipocircleϕ deacutephasage entre la tension etlrsquointensiteacute ϕ = arg Z ougrave Z est lrsquoim-peacutedance complexe}

^{Impeacutedance complexe et phase des composants usuels}

^{Reacutesistance}

^{Z = R}

^{ϕ = 0}

^Bobine

^{Z = jLω}

^{ϕ = +π}

^Condensateur

^{Z =1}

^{ϕ = minusπ}

^{Z impeacutedanceR valeur de la reacutesistanceC capaciteacute du condensateurL inductance de la bobineω pulsationϕ deacutephasage de u par rapport agrave i}

^{Fonction de transfert}

^{H( jω) =s}

^{H( jω) fonction de transferts signal de sortiee signal drsquoentreacutee}

^{Gain en deacutecibels ndash Phase}

^{H(ω) = |H( jω)|}

^{GdB = 20 log |H( jω)|}

^{ϕ = argH}

^{H(ω) gainGdB gain en deacutecibelsH( jω) fonction de transfertϕ phase (avance de la sortie surlrsquoentreacutee)}

^{Diagramme de BodeLe diagramme de Bode en gain (respectivement en phase) consiste agraverepreacutesenter le gain en deacutecibel (respectivement la phase) en fonction de}

^logω

^{ω0ou de logω}

^{Filtre passe-bas du premier ordre}

^{log(w)log(w )0}

^{G (dB)}

^{log(w )0 log(w)}

^{H(ω) =H0}

^{1 + jω}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{72 [2] Physique}

^{Filtre passe-haut du premier ordre}

^{log(w )0}

^log(w)

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^log(w)

^{H(ω) =H0 j}

^{1 + jω}

^{Filtre passe-bas du deuxiegraveme ordre}

^{log(w )0}

^log(w)

^{Q gt Q1 2 Q gt Q2 3}

^{G (dB) log(w )0 log(w)Q gt Q1 2}

^{Q =1 gt Q2 3Ouml2}

^{H(ω) =H0}

^{1 +}

^{)2+ j}

^{Filtre passe-haut du deuxiegraveme ordre}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{Q gt Q2 3}

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^{log(w )0 log(w)}

^{Q gt Q1 2}

^{H(ω) =}

^{1 +}

^{)2+ j}

^{Filtre passe bande du deuxiegraveme ordre}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{Q gt Q2 3}

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{H(ω) =H0}

^{1 + jQ}

^{ω0minus ω0}

^{13 Montages avec amplificateur opeacuterationnel}

^{GeacuteneacuteraliteacutesPour un amplificateur opeacuterationnel ideacuteal en reacutegime lineacuteaire ndash ε = V+ minusVminus = 0lArrrArr |uS| 6 Vsatndash Si ε lt 0 uS = minusVsat si ε gt 0 uS = Vsat on est en reacutegime satureacutendash Lrsquointensiteacute entrant par les bornes + et minus est nulle}

^{Suiveur de tension}

^+yen-e

^{uS = uE}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{74 [2] Physique}

^{Amplificateur inverseur}

^{iER1 e}

^{uS = minusR2}

^{Amplificateur non inverseur}

^+yen-

^{R1 e}

^{uS =}

^{(1 +}

^{Convertisseur courant-tension}

^+yen-

^{iE iSe}

^{uS = minusR middot iE}

^{Comparateur simple}

^+yen-

^{uSu2 u1}

^{Si u1 gt u2 uS = +VsatSi u1 lt u2 uS = minusVsat}

^{Inteacutegrateur theacuteorique}

^+yen-R

^{e uS =}

^{minus 1RC}

^{int t}

^{t0uE(t) dt + us(t0)}

^{Deacuterivateur theacuteorique}

^+yen-

^{C e}

^{uS = minusRCduEdt}

^{Comparateur agrave hysteacutereacutesis}

^{ε =R1}

^{R1 + R2uS minus uE}

^{ndash Si uS = +Vsat rArr ε gt 0rArr uE ltR1}

^{R1 + R2Vsat}

^{ndash Si uS = minusVsat rArr ε lt 0rArr uE gt minus R1}

^{R1 + R2Vsat}

^{ndash Si uE isin]minus R1}

^{R1 + R2Vsat}

^{[alors le montage est bistable}

^{(uS = plusmnVsat)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{76 [2] Physique}

^{Sommateur inverseur}

^+yen-

^{uE1 uE2 uE3}

^{R1 2}

^{R1 3}

^{ik =uEk}

^{R1kuS = minusR2 sum}

^{2 Thermodynamique}

^{21 Gaz parfait}

^{Eacutequation drsquoeacutetat}

^{pV = nRT}

^{p pression du gazV volume du gazR = N middot k constante des gaz par-faitsT tempeacuteraturen quantiteacute de matiegravere}

^{Vitesse quadratique moyenne}

^{12mu2 =}

^{m masse atomique du gazu vitesse quadratique moyennek constante de BoltzmannT tempeacuterature}

^{2 Thermodynamique 77}

^{Coefficients thermoeacutelastiques}

^{α =1V}

^(partVpartT

^{β =1p}

^(partppartT

^{χT = minus 1V}

^(partVpartp

^{α coefficient de dilatation isobareβ coefficient drsquoaugmentation depression agrave volume constantχT coefficient de compressibiliteacuteisothermep pressionT tempeacuteratureV volume}

^{Relation entre les coefficients thermoeacutelastiquesα = pβχT}

^{Modegravele de Van der Waals}

^{(p +}

^{)(V minus nb) = nRT}

^{a b constantes positivesn quantiteacute de matiegraverep pressionT tempeacuteratureV volumenb covolumeR constante des gaz parfaits}

^{22 Premier et second principes de la thermodynamique}

^{Premier principe}

^{∆U = W + Q}

^{∆U variation drsquoeacutenergie interneW transfert meacutecaniques reccedilus parle systegravemeQ transferts thermiques vers lesystegravemec copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{78 [2] Physique}

^{Travail reacuteversible des forces de pression}

^{W = minusint V f}

^{p dV}

^{W travail des forces de pressionVi volume initialV f volume finalp pressionSi la transformation est isobarealors W = minusp∆V}

^Enthalpie

^{H = U + pV}

^{H enthalpieU eacutenergie internep pressionV volume du systegravemeLrsquoenthalpie est une fonction drsquoeacutetat}

^{Premiegravere loi de Joule pour un gaz parfait}

^{dU = CV dT}

^{dU variation drsquoeacutenergie interneCV capaciteacute thermique agrave volumeconstantdT variation de tempeacuterature}

^{CV =}

^(partUpartT

^{Autre formulation U ne deacutependque de T}

^{Seconde loi de Joule pour un gaz parfait}

^{dH = Cp dT}

^{dH variation drsquoenthalpieCp capaciteacute thermique agrave pressionconstantedT variation de tempeacuterature}

^{Cp =}

^(partHpartT

^{Autre formulation H ne deacutependque de T}

^{Gaz parfait monoatomique}

^{U =32nRT}

^{H =52nRT}

^{U eacutenergie interneH enthalpien quantiteacute de matiegravereR constante des gaz parfaitsT tempeacuterature}

^{Bilan sur les eacutecoulements permanents}

^{(h2 + ek2+ ρgz2)minus (h1 + ek1}

^{+ ρgz1) = wm + qm}

^{Cette relation est aussi appeleacuteerelation de ZeunerOn indexe par 1 et 2 les grandeursrelatives au fluide respectivementen amont et en aval de la machine}

^{hi enthalpie massiqueeki}

^{eacutenergie cineacutetique massiqueρgzi eacutenergie potentielle de pesan-teur massiquewm travail reccedilu par lrsquouniteacute demasse de fluide qui traverse la ma-chineqm transfert thermique reccedilu parlrsquouniteacute de masse de fluide qui tra-verse la machine}

^{Deacutetente de Joule Gay-Lussac}

^{eacutetat initial}

^{eacutetat final}

^{∆U = 0}

^{U eacutenergie interne}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{80 [2] Physique}

^{Deacutetente de JoulendashKelvin}

^{h1 + ek1= h2 + ek2}

^{En eacutecoulemement lent (eki≪ hi)}

^{la deacutetente est isenthalpique (h2 =h1)}

^{Rapport des capaciteacutes thermiques}

^{γ =Cp}

^{CVgt 1}

^{Cp =γR}

^{γminus 1}

^{CV =R}

^{γminus 1R constante des gaz parfaitsγ rapport des capaciteacutes ther-miques}

^{Second principe ndash Entropie}

^{dS =δQ}

^{+ δSirrev}

^{S entropieQ transferts thermiques vers lesystegravemeTΣ tempeacuterature de surface dusystegravemeδSirrev gt 0 creacuteation drsquoentropieLrsquoentropie est une mesure statis-tique du deacutesordre}

^{Identiteacutes thermodynamiques}

^{dU = T dSminus p dV}

^{dH = T dS +V dp}

^{dU variation drsquoeacutenergie internedH variation drsquoenthalpiedS variation drsquoentropiep pression du gazV volume du systegravemeT tempeacuterature}

^{Lois de Laplace}

^{p Vγ = cste1}

^{T Vγminus1 = cste2}

^{Tγp1minusγ = cste3}

^{Ces lois deacutecrivent lrsquoeacutevolution desparamegravetres thermodynamiquespour une transformation isentro-pique (adiabatique reacuteversible) degaz parfaitp pression du gazV volume du systegravemeT tempeacuteratureγ rapport isentropique}

^{23 Changements de phase drsquoun corps pur}

^{Diagramme drsquoeacutetat}

^vapeur

^{liquidesolide}

^{Le point C est le point critique au delagraveduquel on ne fait plus la diffeacuterence entrela phase liquide et la phase vapeur (eacutetatfluide)Le point T est le point triple ougrave toutes lesphases coexistentp pressionT tempeacuterature}

^{Nomenclature des changements de phase}

^{vapeurliquidesolidefusion}

^sublimation

^condensation

^{solidification liqueacutefaction}

^vaporisation

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{82 [2] Physique}

^{Diagramme drsquoeacutequilibre liquidendashvapeur}

^vapeur

^{T T= C}

^{T gt TC}

^{T lt TC}

^liquide+

^vapeur

^liquide

^{courbe drsquoeacutebullition}

^{courbe de roseacutee}

^vapeur

^{p = pC}

^{p gt pC}

^{p lt pC}

^liquide+

^vapeur

^{ssl s}

^liquide

^{Titre de vapeur ndash Titre de liquide}

^{xv =mv}

^{xl =mlm}

^{xl titre massique de liquidexv titre massique de vapeurml mv masse de liquide et de vapeurLM LVMV distance LM LVMVmesureacutees sur un des deux diagrammesdrsquoeacutetat preacuteceacutedent}

^{On a eacutegalement la relation xl + xv = 1}

^{Expression des fonctions drsquoeacutetat}

^{u = x1u1 + x2u2}

^{h = x1h1 + x2h2}

^{s = x1s1 + x2s2}

^{xi le titre massique du corps pur dansla phase iui hi si lrsquoeacutenergie interne massiquelrsquoenthalpie massique et lrsquoentropie mas-sique du corps dans la phase iu h s lrsquoeacutenergie interne massique lrsquoen-thalpie massique et lrsquoentropie massiquedu corps}

^{Chaleur latente}

^{l1rarr2 = h2 minus h1 = T(s2 minus s1)}

^{l1rarr2 chaleur latente massique de pas-sage de la phase 1 agrave la phase 2hi enthalpie massique du corps dans laphase isi entropie massique du corps dans laphase iT tempeacuterature de cœxistance desphases}

^{Relation de Clapeyron}

^{l1rarr2 = T(v2 minus v1)partppartT}

^{l1rarr2 chaleur latente massique de pas-sage de la phase 1 agrave la phase 2vi volume massique du corps dans laphase ip pressionT tempeacuterature de changement drsquoeacutetat}

^{24 Machines thermiques}

^{Machines dithermes}

^machine

^{TC TF}

^{TC tempeacuterature de la source chaudeQC transfert thermique algeacutebrique dela source chaude vers la machineTF tempeacuterature de la source froideQF transfert thermique algeacutebrique de lasource froide vers la machineW transfert meacutecanique reccedilu par la ma-chine}

^{Premier et second principes appliqueacutes sur un cycle}

^{∆U = 0}

^{∆S = 0}

^{Sur un cycle la variation drsquoeacutenergie in-terne (U) et drsquoentropie (S) est nulle(fonctions drsquoeacutetat)c copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{84 [2] Physique}

^{Ineacutegaliteacute de Clausius}

^{TF6 0}

^{(Second principe appliqueacute agrave la machine)TC tempeacuterature de la source chaudeQC transfert thermique algeacutebrique dela source chaude vers la machineTF tempeacuterature de la source froideQF transfert thermique algeacutebrique de lasource froide vers la machine}

^{Efficaciteacute de Carnot du moteur ditherme}

^{eC = 1minus TFTC}

^{e 6 eC}

^{eC efficaciteacute de Carnot (machine reacutever-sible)TC tempeacuterature de la source chaudeTF tempeacuterature de la source froidee efficaciteacute reacuteelle}

^{Efficaciteacute de Carnot du reacutefrigeacuterateur ditherme}

^{eC =TF}

^{TC minus TFe 6 eC}

^{Efficaciteacute de Carnot de la pompe agrave chaleur}

^{eC =TC}

^{Repreacutesentation du cycle}

^{Le transfert meacutecanique reccedilu par la ma-chine correspond agrave lrsquoaire inteacuterieure de lacourbe dans le diagramme de Clapey-ron (pV) Cette aire doit donc ecirctre neacute-gative (parcourue dans le sens horaire)pour obtenir un moteur (w lt 0)}

^{Le transfert thermique reccedilu correspondagrave lrsquoaire inteacuterieure agrave la courbe dans le dia-gramme (S T)}

^{25 Diffusion thermique}

^{Flux thermique}

^{Φth =intint}

^{Sjjjth middotnnn dS}

^{Φth flux thermiquejjjth vecteur courant de diffusionthermiquennn normale agrave la surface dS}

^{Loi de Fourier}

^{jjjth = minusλgradT}

^{jjjth vecteur courant de diffusionthermiqueT tempeacuteratureλ conductiviteacute thermique}

^{Eacutequation de la chaleur}

^partTpartt

^{= κ∆T}

^{κ =λ}

^{κ diffusiviteacute thermiqueT tempeacuterature∆ laplacien scalaireλ conductiviteacute thermiqueρ masse volumiqueC capaciteacute thermique}

^Convection

^{jc = minush(Tint minus Text)}

^{jc courant de convection algeacutebriqueh coefficient de convectionTint tempeacuterature inteacuterieureText tempeacuterature exteacuterieure}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{86 [2] Physique}

^{Conductance thermique}

^{Φ = G(Tint minus Text)}

^{G = heqS}

^{heq =}

^{+ sumj}

^{e j}

^{λ j}

^)minus1

^{En reacutegime permanent on deacutefinitainsi la conductance thermiqueΦ flux thermique totalG conductance thermiqueTint tempeacuterature inteacuterieureText tempeacuterature exteacuterieureh coefficient de convectionλ conductiviteacute thermiquee j epaisseur de la paroi de conduc-tiviteacute λ j}

^{26 Rayonnement thermique}

^{Flux thermique}

^{ϕi︸︷︷︸incident}

^{= ϕr︸︷︷︸reacutefleacutechi}

^{+ ϕa︸︷︷︸absorbeacute}

^{ϕp︸︷︷︸partant}

^{= ϕe︸︷︷︸eacutemis}

^{+ ϕr︸︷︷︸reacutefleacutechi}

^{+ ϕt︸︷︷︸transmis}

^{Fr Fd}

^{Loi de Planck}

^{Fλ(λ T) =2πhc2}

^kλTminus1

^{Fλ(λ T) eacutemittanceλ longueur drsquoondeT tempeacuteratureh constante de Planckc vitesse de la lumiegravere dans levidek constante de Boltzmann}

^{Repreacutesentation graphique de la loi de Planck}

^{F ( T)l l}

^{lieu des maximums}

^{T T1 2gt}

^{T T2 3gt}

^{T T3 4gt}

^{Loi du deacuteplacement de Wien}

^{λmT = 2 897 8 microm middotKλm longueur drsquoonde ougrave lrsquoeacutemis-sion est maximaleT tempeacuterature}

^{Loi de StefanCette loi est valable pour tout corps agrave lrsquoeacutequilibre thermodynamique etagrave lrsquoeacutequilibre thermique pour ϕp}

^{ϕe =int +infin}

^{0Fλ(λ T) dλ}

^{ϕe = σT4}

^{ϕe flux eacutemisFλ(λ T) luminance (deacutecrite parla loi de Planck)σ constante de Stefanλ longueur drsquoondeT tempeacuterature}

^{Corps noir}

^{Un corps noir absorbe le flux incident pour toute longueur drsquoonde etquelque soit son incidence Il est en eacutequilibre radiatif (ϕp = ϕi etϕe = ϕa ougrave ϕp est le flux partant ϕi le flux incident ϕe le flux eacutemiset ϕa le flux absorbeacute) et thermique}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{88 [2] Physique}

^{3 Meacutecanique du point}

^{31 Cineacutematique}

^{Coordonneacutees carteacutesiennes}

^{OMOMOM = xiii + yjjj + zkkk}

^{x abscissey ordonneacuteez cote}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^{aaa =d2OMOMOMdt2}

^{Coordonneacutees cylindriques}

^{OMOMOM = ruuur + zuuuz}

^{r rayon polaireθ angle polairez cote}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^rrθz

^uuuθ

^{aaa =d2OMOMOMdt2}

^{rminus rθ2}

^{2rθ + rθz}

^uuuθ

^{yM y}

^{3 Meacutecanique du point 89}

^{Coordonneacutees spheacuteriques}

^{OMOMOM = ruuur}

^{r rayonθ colatitude variant dans [0π]ϕ longitude variant dans [0 2π]}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^{r sin θϕ}

^uuuθ

^uuuϕ

^{yM yO}

^{Mouvement circulaire uniforme}

^{OMOMOM = ruuur}

^{r rayon polaireθ angle polaireωωω vitesse angulaire uniforme(ωωω = ωuuuz)}

^a(M)ur

^{uq q x}

^{vvv = ωuuuz andOMOMOM = ωruuuθ aaa = minusω2ruuur = minus v2}

^ruuur

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{90 [2] Physique}

^{32 Changement de reacutefeacuterentiel}

^xrsquo

^{z zrsquo}

^yrsquo

^{O Orsquo}

^{Composition des vitesses}

^{vvv(M)R = vvv(M)Rprime︸︷︷︸vitesse relative}

^{+vvv(Oprime)R + ΩΩΩ andOprimeMOprimeMOprimeM︸︷︷︸vitesse drsquoentraicircnement}

^{ΩΩΩ vecteur de rotation instantanneacutee de Rprime par rapport agrave R}

^{Composition drsquoacceacuteleacuteration}

^{aaa(M)R = aaa(M)Rprime+ 2ΩΩΩ and vvv(M)Rprime︸︷︷︸acceacuteleacuteration de Coriolis (ac)}

^{+aaa(Oprime)R + ΩΩΩ and(ΩΩΩ andOprimeMOprimeMOprimeM}

⁾⁺

^dΩΩΩ

^{dtandOprimeMOprimeMOprimeM}

^{︸︷︷︸acceacuteleacuteration drsquoentraicircnement (ae)}

^{Forces associeacutees}

^{fffe = minusmaaae}

^{fffc = minusmaaac}

^{fffe force drsquoentraicircnementfffc force de Coriolisaaae acceacuteleacuteration drsquoentraicircnementaaac acceacuteleacuteration de Coriolis}

^{Reacutefeacuterentiel en rotation uniforme autour drsquoun axe fixe}

^{fffe = mΩ2ruuur}

^{(force centrifuge)}

^{fffc = minus2mΩΩΩ and vvv(M)Rprime}

^{W t}

^{z = zrsquo}

^yrsquo

^xrsquo

^{Reacutefeacuterentiel galileacuteenDans un reacutefeacuterentiel galileacuteen un point mateacuteriel isoleacute est soit au repossoit animeacute drsquoun mouvement rectiligne uniforme}

^{33 Lois geacuteneacuterales de la meacutecanique}

^{Principe des actions reacuteciproques}

^{FFF1rarr2 = minusFFF2rarr1}

^{M1M2M1M2M1M2 and FFF1rarr2 = 000}

^{FFFirarr j force de i sur jMi point drsquoapplication de la forceFirarr j}

^{Principe fondamental de la dynamique}

^dpppdt

^{= sumi}

^{ppp = mvvv quantiteacute de mouvementdu systegravemefffi force appliqueacutee au systegravemesumi}

^{fffi reacutesultante des forces}

^{Quantiteacute de mouvement drsquoun systegraveme fermeacute}

^{ppp = sumi}

^{mivvv(Pi) = Mvvv(G)}

^{ppp quantiteacute de mouvement du sys-tegravememi masse associeacutee au point mateacute-riel PiM masse du systegravemeG centre de masse du systegraveme}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{92 [2] Physique}

^{Theacuteoregraveme du moment cineacutetique en un point fixe}

^dLLLO

^dt=MMMO

^{)LLLO moment cineacutetique au point dereacuteduction O}

^{) moment de la reacutesul-}

^{tante des forces en O}

^{Moment cineacutetique ndash Moment cineacutetique barycentrique}

^{LLLB = LLLA +BABABA andmvvv(M)}

^{LLLlowastsystegraveme = LLLG}

^{LLLP moment cineacutetique en Pm masse du systegravemevvv(M) vitesse du point MLLLlowastsystegraveme moment cineacutetique bary-centrique du systegraveme}

^{Theacuteoregraveme de Kœnig du moment cineacutetique}

^{LLLA = LLLlowast +AGAGAG andMvvv(G)}

^{LLL(P) moment cineacutetique en PLLLlowast moment cineacutetique barycen-triqueM masse du systegravemevvv(G) vitesse du centre de graviteacutedu systegraveme}

^{Moment de forces}

^{MMMB(fff) =MMMA(fff) +BABABA and fff MMMP moment de force en Pfff force appliqueacutee au systegraveme}

^{Theacuteoregraveme du moment cineacutetique en un point mobile}

^{dLLLAdt = MMMA (sumi fffi)}

^{minusvvv(A) andmvvv(P)}

^{LLL moment cineacutetique}

^{tante des forcesm masse du systegravemevvv(P) vitesse de P}

^{Puissance drsquoune force}

^{P = fff middot vvvP puissance de la force ffffff forcevvv(G) vitesse du point mateacuteriel}

^{Eacutenergie cineacutetique drsquoun point et drsquoun systegraveme de points}

^{Ek =12mv2}

^{Ek = sumi}

^{Ek eacutenergie cineacutetiquem masse du systegravememi masse du point mateacuteriel Piv vitesse du systegravemevi vitesse du point mateacuteriel Pi}

^{Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie cineacutetique}

^dEkdt

^{= PEk eacutenergie cineacutetiqueP puissance des forces appli-queacutees au systegraveme}

^{Theacuteoregraveme de Kœnig de lrsquoeacutenergie cineacutetique}

^{Ek = Elowastk +12mv2(G)}

^{Ek eacutenergie cineacutetiqueElowastk eacutenergie cineacutetique barycen-triquem masse du systegravemev(G) vitesse du centre de graviteacutedu systegraveme}

^{Eacutenergie meacutecanique}

^{Em = Ek + Ep}

^{Em eacutenergie meacutecaniqueEk eacutenergie cineacutetiqueEp eacutenergie potentiellec copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{94 [2] Physique}

^{Eacutenergies potentielles}

^{ndash eacutenergie potentielle de pesanteur}

^{Eppes = MgzG}

^{Eppes eacutenergie potentielle de pe-santeurm masse du systegravemeg acceacuteleacuteration de la pesanteurzG cote du centre de graviteacute dusystegraveme}

^{ndash eacutenergie potentielle eacutelastique}

^Epelas=

^12k(∆l)2

^{Epelas eacutenergie potentielle eacutelastique}

^{k constante de raideur du ressort∆l allongement du ressort}

^{ndash eacutenergie potentielle de gravitation}

^{Epgrav = minusGm1m2}

^{Epgrav eacutenergie potentielle de gra-vitationG constante universelle de gravi-tationm1 m2 masses en interactionr distance seacuteparant les deuxmasses}

^{ndash eacutenergie potentielle eacutelectrique}

^{Epel= qV}

^{Epel eacutenergie potentielle eacutelectrique}

^{q charge ponctuelleV potentiel au point ougrave se trouvela charge}

^{Eacutequilibre}

^{dx(x0) = 0}

^{x0 position drsquoeacutequilibreEp eacutenergie potentielle}

^{Eacutequilibre stable ndash Eacutequilibre instable}

^{d2 Ep}

^{dx2(x0) gt 0}

^{Minimum drsquoeacutenergie potentielle eacutequilibre stable}

^{d2 Ep}

^{dx2(x0) 6 0}

^{Maximum drsquoeacutenergie potentielle eacutequilibre instable}

^{Forces conservatives}

^{FFFcons = minusgradEp Les forces conservatives deacuteriventdrsquoune eacutenergie potentielle}

^{Theacuteoregraveme de lrsquoeacutenergie meacutecanique}

^{dt= Pext non cons +Pint non cons}

^{Em eacutenergie meacutecaniquePext non cons puissance des forcesexteacuterieures au systegraveme nonconservativesPint non cons puissance des forcesinteacuterieures au systegraveme (dans lecas drsquoun systegraveme de points) nonconservatives}

^{34 OscillateursOn se reportera eacutegalement aux oscillateurs eacutelectriques dans la partie eacutelec-tronique de cet ouvrage}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{96 [2] Physique}

^{Oscillateur harmonique}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = 0}

^{A = α cosω0t + β sinω0t}

^{A = γ cos(ω0t + ϕ)}

^{Un oscillateur harmonique est reacute-git par lrsquoeacutequation ci-contre ougrave A grandeur physiqueω0 pulsation de lrsquooscillateurαβγϕ constantes deacutetermineacuteespar les conditions initiales}

^{Portrait de phase drsquoun oscillateur harmonique}

^{Le portrait de phase drsquoun oscilla-teur harmonique est constitueacute decercles concentriques}

^{Oscillateur harmonique amorti}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = 0}

^{A grandeur physiqueω0 pulsation de lrsquooscillateur har-moniqueQ facteur de qualiteacute de lrsquooscilla-teur}

^{Reacuteponses drsquoun oscillateur harmonique amorti}

^{Q gt 12 les deux racines delrsquoeacutequation caracteacuteristique r1 et r2sont reacuteelles la solution est du typeapeacuteriodique A(t) = λer1t + microer2t}

^{A( )t}

^{Q = 12 on est en reacutegimecritique lrsquoeacutequation caracteacuteristiqueadmet une racine double r La so-lution est A(t) = (λt + micro)ert}

^{A( )t}

^{Q lt 12 les deux racinesde lrsquoeacutequation caracteacuteristiques sontcomplexes conjugueacutees la solu-tion est alors pseudo-peacuteriodique A(t) = (λ cos(βt) + micro sin(βt))eαt}

^{avec α et β respectivement partiesreacuteelle et imaginaire de la solution}

^{A( )t}

^{Portrait de phase drsquoun oscillateur amorti}

^{Oscillations forceacutees}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = E(t)}

^{A grandeur physiqueω0 pulsation de lrsquooscillateur har-moniqueQ facteur de qualiteacute de lrsquooscilla-teurE(t) excitationSi lrsquoexcitation est sinusoiumldale onreacutesout une telle eacutequation en utili-sant la notation complexe et en po-sant A(t) = A0e}

^{jωtIl ne peut y avoir reacutesonance que siQ gt 1}

^radic2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{98 [2] Physique}

^{35 Mouvement drsquoune particule chargeacutee}

^{Force de Lorentz}

^{FFF = q(EEE + vvv andBBB)}

^{FFF force de Lorentzq charge de la particulevvv vitesse de la particuleBBB champ magneacutetiqueEEE champ eacutelectrique}

^{Mouvement dans un champ magneacutetique stationnaire uniforme}

^{R =}

^{∣∣∣∣mv0qB}

^∣∣∣∣

^{ω =}

^{∣∣∣∣qB}

^∣∣∣∣

^{Ces lois deacutecrivent la trajectoire cir-culaire drsquoune particule de masse met de charge q abandonneacutee dansun champ magneacutetique avec unevitesse vvv0 orthogonale au champmagneacutetique BBBR rayon de la trajectoireω vitesse angulaire de la parti-cule}

^{Un champ magneacutetique ne fait que deacutevier une particule il ne lrsquoacceacutelegraverepas}

^{Effet Hall}

^{EEEHall = minusvvv andBBB}

^{UHall =BI}

^nqℓ

^{EEEHall champ eacutelectrique creacuteeacute pareffet HallUHall diffeacuterence de potentiel quiapparaicirct aux bornes de la sondevvv vitesse des particulesBBB champ magneacutetiqueI intensiteacute du courant traversantla sonden densiteacute particulaireq charge de la particuleℓ largeur de la sonde}

^EHall

^{I l}

^+++++++

^{ndashndashndashndashndashndashndash}

^{36 Systegravemes de deux points mateacuteriels}

^{Systegraveme isoleacute de deux points mateacuterielsPour eacutetudier un systegraveme isoleacute de deux points mateacuteriels de masse m1 etm2 on eacutetudie le mouvement drsquoune particule eacutequivalente dans le reacutefeacute-}

^{rentiel barycentrique et de masse micro =m1m2}

^{m1 + m2situeacutee en un point M}

^{tel que GMGMGM = M1M2M1M2M1M2 = rrr}

^{GM1GM1GM1 =minusm2}

^{m1 + m2M1M2M1M2M1M2}

^{GM2GM2GM2 =m1}

^{m1 + m2M1M2M1M2M1M2}

^{(m1 + m2)vvv(G) = cstecstecste}

^{mi masse de la particule se trou-vant en Mimicro masse reacuteduiteG centre de graviteacute du systegravemevvv(G) vitesse de ce centre de gra-viteacutevvvi vitesse de la particule se trou-vant en Mi}

^{Conservation du moment cineacutetique}

^{LLLO = mCCC}

^{ppp = CsteCsteCste}

^{Dans le cas drsquoun systegraveme isoleacute dedeux particules il y a conserva-tion du moment cineacutetique et de laquantiteacute de mouvementLLL moment cineacutetiqueP point fictif (repreacutesentant le mo-bile eacutequivalent)vvv(P) vitesse de ce pointm masse du systegravemeCCC constante des aires}

^{Planeacuteiteacute de la trajectoire ndash Loi des aires}

^{La trajectoire est plane et la vitesseareacuteolaire est constante}

^{2laquo Pour des temps eacutegaux les airesbalayeacutees sont eacutegales raquo}

^{v( )M}

^{d aire balayeacuteependant dA}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{100 [2] Physique}

^{Eacutenergie potentielle efficace}

^{Elowastm =12micror2 + Epe f f = E0}

^{Epe f f =microC2}

^{2r2+ Epint (r)}

^{Pour un systegraveme isoleacute de deuxpoint mateacuteriels il y a conserva-tion de lrsquoeacutenergie meacutecanique bary-centriqueElowastm eacutenergie meacutecanique barycen-triqueEpe f f eacutenergie potentielle efficaceEpint (r) eacutenergie potentielle inteacute-rieure}

^{micro masse reacuteduite(}

^{micro =m1m2}

^{m1 + m2}

^{r = M1M2C constante des aires}

^{Formules de Binet}

^{vvv = minusCdudθ}

^{uuur + Cuuuuθ}

^{aaa = minusC2u2}

^{(d2 udθ2 + u}

^)uuur

^{u =1r}

^{vvv vitesseaaa acceacuteleacuterationC constante des airesθ angle polaireuuur vecteur radialuuuθ vecteur orthoradial}

^{Trajectoires newtonniennes en coordonneacutees polaires}

^{r(θ) =p}

^{1 + e cos(θminus θ0)}

^{p paramegravetre de la coniquee excentriciteacute de la coniquee et θ0 sont deacutetermineacutes par lesconditions initiales}

^{Lois de KeplerCes lois deacutecrivent les trajectoires des planegravetes en supposant le reacutefeacuteren-tiel de Kepler centreacute sur le soleil galileacuteen et les trajectoires des diffeacute-rentes planegravetes indeacutependantes1 Les orbites des planegravetes sont des ellipses ayant le soleil pour foyer2 La vitesse areacuteolaire est constante pour des temps eacutegaux les airesbalayeacutees sont eacutegales}

^{4 Meacutecanique du solide 101}

^{3 Le carreacute de la peacuteriode est proportionnelle au cube du grand axe}

^{T2 =4π2a3}

^GMsoleil

^{4 Meacutecanique du solide}

^{41 Cineacutematique du solide}

^{Champ de vitesse du solide}

^{vvv(A t) = vvv(B t) +ABABAB andΩΩΩ(t)}

^{vvv vitesse du point du solideconsideacutereacuteΩΩΩ vecteur instantaneacute de rotationdu solide}

^{Roulement sans glissement}

^{vvvg S1S2= vvv(IS1 )minus vvv(IS2 ) = 000}

^{vvv(ISk) vitesse du point appar-}

^{tenant au solide Sk et coiumlncidentavec le point I de contact entre lesdeux solidesvvvg S1S2}

^{vitesse de glissement deS1 par rapport agrave S2}

^{Eacutenergie cineacutetique du solide}

^{Ek =12mv2(G)︸︷︷︸translation}

^+12J∆Ω2

^{︸︷︷︸rotation propre}

^{Ek eacutenergie cineacutetiquem masse du solidev(G) vitesse du centre drsquoinertieJ∆ moment drsquoinertie par rapportagrave lrsquoaxe de rotation instantaneacute dusolide dans le reacutefeacuterentiel barycen-triqueΩΩΩ vecteur vitesse de rotation ins-tantaneacute}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{102 [2] Physique}

^{Moment drsquoinertie}

^{Moment drsquoinertie par rapport agravelrsquoaxe ∆}

^{J∆ =intintint}

^{solider2 dm}

^{Eacuteleacutements cineacutetiques L∆ = J∆Ω (Moment cineacutetique)Ek = 1}

^{2 J∆Ω2 (Eacutenergie cineacutetique)D}

^{Theacuteoregraveme drsquoHuygens}

^{J∆ = JG + ma2}

^{J∆ moment drsquoinertie par rapportagrave lrsquoaxe de rotationJG moment drsquoinertie par rapportagrave lrsquoaxe passant par G et parallegravele agrave∆}

^{Quelques moments drsquoinertie classiques}

^{l 2 l 2}

^{sphegravere pleinehomogegravene de masse}

^{cylindre pleinhomogegravene de masse}

^{tige mincehomogegravene de masse}

^{J∆ =25mR2 J∆ =}

^{12mR2 J∆ =}

¹¹²

^mℓ2

^{42 Theacuteoregravemes geacuteneacuteraux de la dynamique}

^{Theacuteoregraveme du centre drsquoinertie}

^mdvvvGdt

^{= sumi}

^{fffivvvG vitesse du centre drsquoinertie dusolidefffi force exteacuterieure appliqueacutee ausolide}

^{Theacuteoregraveme du moment cineacutetique}

^dLLLO

^{dt= sum}

^{OMOMOMi and fffi}

^{LLLO moment cineacutetique du solideen O point immobilefffi force exteacuterieure appliqueacutee ausolideMi point drsquoapplication de la forcefi}

^{LLLB = LLLA +BABABA andmvvv(P)}

^{LLL moment cineacutetiquem masse du solidevvv(P) vitesse du point PLLLlowastsystegraveme moment cineacutetique bary-centrique du solide}

^{LLLA = LLLlowast +AGAGAG andmvvv(G)}

^{LLL moment cineacutetiqueLLLlowast moment cineacutetique barycen-triquem masse du systegravemevvv(G) vitesse du centre de graviteacutedu solide}

^dEkdt

^{= PextEk eacutenergie cineacutetiquePext puissance des forces exteacute-rieures appliqueacutees au solide}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{104 [2] Physique}

^{Puissance des forces appliqueacutees agrave un solide}

^{P = FFF middot vvv(G) +MMMG middotΩΩΩ}

^{P puissance des forces appli-queacutees au solideFFF force reacutesultantevvv(G) vitesse du centre drsquoinertiedu solideMMM moment des forces exteacuterieuresen GΩΩΩ vecteur de rotation instantaneacuteedu solide}

^{Ek eacutenergie cineacutetiqueElowastk eacutenergie cineacutetique barycen-triquem masse du solidevvv(G) vitesse du centre drsquoinertiedu solide}

^{dt= Pext non cons}

^{Em eacutenergie meacutecaniquePext non cons puissance des forcesexteacuterieures non conservatives}

^{Liaison pivotPour une liaison pivot parfaiteM∆ = 0 ougraveM∆ est le moment desactions de contact}

^{43 Contacts entre les solides}

^{5 Optique 105}

^{vvvg de S1S2= vvv(IS1 )minus vvv(IS2 ) = 000}

^{tenant au solide Sk et coiumlncidentavec le point I de contact entre lesdeux solidesvvvg de S1S2}

^{vitesse de glissementdu solide S1 par rapport au solideS2}

^{T I}

^{Lois de Coulomb1 La reacuteaction normale NNN est dirigeacutee vers lrsquoexteacuterieur du support2 Condition de roulement sans glissement}

^{TTT lt fsNNNougrave TTT est la reacuteaction tangentielle ou force de frottement NNN la reacuteactionnormale et fs le coefficient de frottements statiques3 Srsquoil y a glissement TTT est dans la mecircme direction que la vitesse deglissement et de sens opposeacute Alors}

^{TTT = fdNNNougrave fd est le coefficient de frottement dynamique souvent confonduavec fs}

^{5 Optique}

^{51 Geacuteneacuteraliteacutes}

^{Propagation dans le vide drsquoune onde lumineuse}

^{λ = cT =c}

^{λ longueur drsquoonde du signalc vitesse de la lumiegravere dans levideν freacutequence du signalT peacuteriode du signal}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{106 [2] Physique}

^{Propagation dans un milieu transparent isotrope homogegravene}

^{v =c}

^{λ = vT =v}

^{v vitesse de la lumiegravere dans le mi-lieun indice du milieuT peacuteriode du signalν freacutequence du signal}

^Spectre

^{l (nm)}

^{l (m)}

^{f (Hz)}

^{infrarougemicro ondes}

^{ondes hertziennes}

^ultraviolet

^{rayons X}

^{violet indigo bleu vert jaune orange rouge}

^10ndash9

⁴⁰⁰

¹⁰¹⁷

¹⁰¹⁶

¹⁰¹⁵

¹⁰¹⁴

¹⁰¹³

¹⁰¹²

¹⁰¹¹

¹⁰¹⁰

^10ndash8

⁴⁵⁰

^10ndash7

⁴⁸⁰

^10ndash6

⁵³⁰

^10ndash5

⁵⁹⁰

^10ndash4

⁶²⁰

^10ndash3

⁷⁰⁰

^10ndash2

^{52 Optique geacuteomeacutetrique}

^{Loi de SnellndashDescartes}

^{i1 rn1}

^{n1 sin i1 = n2 sin i2}

^{r = i1}

^{5 Optique 107}

^Prisme

^{sin i1 = n sin r1}

^{r1 + r2 = Ai1}

^{Deacuteviation du prisme}

^{D = i1 + i2 minus A}

^{Dm = 2 arcsin(n sin}

^{)minus A}

^{D deacuteviationA angle au sommet du prismeDm minimum de deacuteviationi angle drsquoincidence au minimumde deacuteviation}

^{Approximation de GaussPour se placer dans lrsquoapproximation de Gauss il faut des faisceaux peuouverts et des angles drsquoincidence petits}

^{Dioptre spheacuteriquen1pprimeminus n2}

^{n1 minus n2r}

^{p abscisse du point objetpprime abscisse du point imageR = SC rayon algeacutebrique dudioptre}

^{n1 n2}

^{Miroirs spheacuteriques}

^{C S}

^{Miroir concave (R = SC lt 0) Miroir convexe (R = SC gt 0)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{108 [2] Physique}

^{Relation de conjugaison des miroirs spheacuteriques}

^1pprime

^{R rayon algeacutebrique du miroir(R lt 0 pour un miroir concave etR gt 0 pour un miroir divergent)pprime distance algeacutebrique de S aupoint imagep distance algeacutebrique de S aupoint objet}

^{Miroir plan}

^{pprime = minusp}

^{pprime distance algeacutebrique de S aupoint imagep distance algeacutebrique de S aupoint objet}

^{Lentilles minces}

^Brsquo

^{ArsquoA O FFrsquo}

^Brsquo

^Arsquo

^{A OF}

^Frsquo

^{Lentille divergente Lentille convergente}

^{Relation de conjugaison des lentilles minces}

^{1pprimeminus 1}

^{1f prime}

^{f prime distance focale de la lentille( f prime lt 0 pour une lentille diver-gente et f prime gt 0 pour une lentilleconvergente)pprime distance algeacutebrique du foyerau point imagep distance algeacutebrique du foyer aupoint objet}

^{Relation de Descartes ndash Relation de Newton}

^{f prime}

^pprime+

^{p= 1 f f prime = (pprime minus f prime)(pminus f )}

^{(relation de Descartes) (relation de Newton)}

^{5 Optique 109}

^{Grandissement}

^{γ =pprime}

^{γ grandissementpprime distance algeacutebrique de O aupoint imagep distance algeacutebrique de O aupoint objet}

^{53 Interfeacuterences lumineuses}

^{Obtention drsquointerfeacuterencesOn ne peut obtenir drsquointerfeacuterences qursquoavec des rayons lumineux is-sus de deux sources coheacuterentes secondaires obtenues avec une seulesource par division ou du front drsquoonde ou de lrsquoamplitude}

^{Chemin optique dans un milieu homogegravene isotrope}

^{[SM] = c middot τSM}

^{[SM] chemin optique de S agrave Mc vitesse de la lumiegravere dans levideτSM temps mis par le signal pourparcourir la distance SM}

^{Diffeacuterence de marche}

^{δ = [SP1M]minus [SP2M]δ diffeacuterence de marche[SPjM] chemin optique du rayonpassant par Pj}

^{Vibration lumineuse}

^{s(M) = s0 cos(ωtminusϕS minus 2π}

^{λ [SM])}

^{s(M) vibration lumineuse en MS0 amplitude de la vibrationω pulsation de la vibration lumi-neuseϕS phase de la vibration agrave lasourceλ longueur drsquoonde[SM] chemin optique de S agrave M}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{110 [2] Physique}

^{Vibration complexe}

^{s(M) = S0ei(ωtminusϕs)eminus}

^2iπλ

^{s(M) vibration lumineuse com-plexe en MS0 amplitude de la vibrationω pulsation de la vibration lumi-neuseϕS phase de la vibration agrave lasourceλ longueur drsquoonde[SM] chemin optique de S agrave M}

^{Plan drsquoondeOn appelle plan drsquoonde un plan ougrave tous les points sont dans le mecircmeeacutetat vibratoire}

^{Theacuteoregraveme de MalusLes rayons lumineux sont perpendiculaires en tout point aux surfacesdrsquoondes}

^{Eacuteclairement}

^{E(M) = αs2(M)}

^{E(M) =12αs(M)slowast(M)}

^{E(M) eacuteclairement au point Mα = cε0 une constante positive(E est en fait le vecteur de Poytingvoir cours drsquoeacutelectromagneacutetisme)s(M) vibration lumineuse en Ms(M) vibration lumineuse com-plexe en M}

^{Interfeacuterences}

^{E(M) = 2E0(1 + cos∆ϕ(M))}

^{E(M) eacuteclairementE0 eacuteclairement de la source∆ϕ(M) deacutephasage en MLrsquoeacutecran est brillant si ∆ϕ = 2kπk isin ZLrsquoeacutecran est noir si ∆ϕ = (2k + 1)}

^{2 k isin Z}

^{5 Optique 111}

^{Ordre drsquointerfeacuterence}

^{p =∆ϕ}

^{p ordre drsquointerfeacuterence∆ϕ deacutephasage en Mδ diffeacuterence de marcheλ longueur drsquoondeLrsquoeacutecran est brillant si p isin Z}

^{Lrsquoeacutecran est sombre si p isin Z +12}

^Contraste

^{C =Emax minus Emin}

^{Emax + Emin}

^{C contrasteEmax eacuteclairement maximumEmin eacuteclairement minimum}

^{Trous drsquoYoung}

^{M x( )}

^{δ(x) =ax}

^{D(diffeacuterence de marche)}

^{E(x) = 2E0}

^{(1 + cos}

^2πλ

^{i =λD}

^{a(interfrange)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{112 [2] Physique}

^{54 Interfeacuteromegravetre de Michelson}

^Scheacutema

^{miroir M2}

^{miroir M1seacuteparatrice SP}

^{source S}

^{Scheacutemas eacutequivalents avec une source ponctuelleCoin drsquoair Lame drsquoair}

^M1rsquo

^{M x y( )}

^M1rsquo

^{M x y( )}

^{S1 S2}

^{Source ponctuelle ndash Source eacutetendueDans la suite nous consideacutererons que lrsquointerfeacuteromegravetre est eacuteclaireacute avecune source eacutetendue les interfeacuterences sont localiseacutees agrave lrsquoinfini (ob-servables dans le plan focal image drsquoune lentille convergente) alorsqursquoelles sont deacutelocaliseacutees avec une source ponctuelle}

^{Lame drsquoair}

^{δ = 2e cos iδ diffeacuterence de marchei angle drsquoincidencee laquo eacutepaisseur raquo entre les miroirs}

^{5 Optique 113}

^{Figure drsquointerfeacuterence}

^{rn =}

^{radicλ f prime}

^radicn

^{Par symeacutetrie des anneauxrn rayon du ne anneauλ longueur drsquoondee laquo eacutepaisseur raquo entre les miroirsf prime distance focale de la lentille uti-liseacutee pour lrsquoobservation(valable si le centre de la figuredrsquointerfeacuterence est brillant)}

^{Coin drsquoair}

^{δ = 2αxδ diffeacuterence de marcheα angle entre les deux miroirs(quelques dixiegravemes de degreacutes)x abscisse du point du miroirconsideacutereacute}

^{i =λγ}

^{Par symeacutetrie des frangesi interfrangeλ longueur drsquoondeα angle entre les deux miroirsγ grandissement de la lentille uti-liseacutee pour lrsquoobservation}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{114 [2] Physique}

^{Source eacutemettant un doublet}

^{E(e) = 4E0}

^{(1 +V(e) cos}

^(4πeλ0

⁾⁾

^{V(e) = cos}

^λ20e

^{On observe des battements}

^Luminance

^{Entre les freacutequences ν et ν + dν lasource eacutemet}

^{dE = L(ν) dν}

^{L( )n}

ⁿ²ⁿ¹

^{Source agrave raie spectrale}

^{E(e) = 4E0}

^{(1 +V(e) cos}

^(4πeλ0

⁾⁾

^{V(e) = sinc}

^λ20e

^{5 Optique 115}

^{55 Autres dispositifs drsquointerfeacuterences}

^{Le FabrymdashPeacuterotS}

^{Le FabryndashPeacuterot permet de reacutealiser des interfeacuterences entre une infiniteacutedrsquoondes il est donc drsquoune tregraves grande preacutecision}

^{Expression de lrsquoeacuteclairement drsquoun FabryndashPeacuterot}

^{E(Φ) =E0}

^{1 + 4r2(1minus r2)2}

^sin2(

^{Φ =4πeλ0}

^{cos i}

^{F =4r2}

^{(1minus r2)2 finesse}

^{F2p 4p}

^{Miroirs de Fresnel}

^{miroir M2}

^{miroir M1}

^sourceS

^{zonedrsquointerfeacuterence}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{116 [2] Physique}

^{Expression de lrsquoeacuteclairement des miroirs de Fresnel}

^{E(x) =E0}

^{(1 + cos}

^(2πδ

⁾⁾

^{δ =2dαd + D}

^{α angle entre les miroirsx abscisse drsquoun point de lrsquoeacutecrand distance entre la source et lrsquoar-recircte des miroirsD distance entre lrsquoarrecircte des mi-roirs et lrsquoeacutecranλ longueur drsquoonde}

^{56 Diffraction des ondes lumineuses}

^{Principe drsquoHuygensndashFresnelQuand une onde lumineuse traverse une ouverture (Σ) qui la limite pour deacutecrire lrsquoonde diffracteacutee au delagrave de (Σ) on suppose que chaquesurface eacuteleacutementaire (dΣ) autour du point courant P de (Σ) reacuteemet verslrsquoavant une ondelette spheacuterique ndash de mecircme freacutequence que lrsquoonde incidente ndash en phase en P avec lrsquoonde incidente ndash drsquoamplitude proportionnelle agrave celle de lrsquoonde incidente et agrave (dΣ)Crsquoest la superposition de ces ondelettes qui deacutecrit lrsquoonde diffracteacutee}

^{Conditions de FraunhoferOn observe la diffraction agrave lrsquoinfini (crsquoest-agrave-dire agrave une distance tregravesgrande devant les dimensions de lrsquoobjet diffractant ou mieux au foyerobjet drsquoune lentille convergente)}

^{Montage de la diffraction agrave lrsquoinfini}

^{sourcedans le}

^{plan focalobjet de ( )}

^{lentille( )L0}

^{lentille( )L}

^{objetdiffractant}

^{eacutecran( ) dans le planfocal image de ( )E}

^{5 Optique 117}

^{Formulation pratique du principe drsquoHuygensndashFresnel}

^{s(M t) = kS0ei(ωtminus 2π}

^λ[SOM])

^intint

^{PisinΣt(P)ei}

^{λnOPOPOP(uuuminusuuu0) dΣ}

^{k constante de FraunhoherS0 amplitude de la vibration lumineuset(P) transparence de lrsquoobjet diffractantn indice du milieu (supposeacute homogegravene)λ longueur drsquoonde de la lumiegravere utiliseacutee}

^{Diffraction par une ouverture rectangulaire}

^{M XY( )}

^{( )L0 ( )L}

^{E(XY) = k2S20a2b2 sinc2}

^(πaX

^{λ f}

^)sinc2

^(πbY

^{λ f}

^{k constante de Fraunhofera longueur de la fenteb largeur de la fentef distance focale de la lentille utiliseacutee pour lrsquoobservationλ longueur drsquoonde de la lumiegravere utiliseacuteeOn suppose ici que t(P) = 1 en tout point de lrsquoouverture et que cettemecircme ouverture est plongeacutee dans un milieu drsquoindice uniforme 1}

^{tache centrale}

^{1 zeacuteroer}

^{2 zeacuteroe}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{118 [2] Physique}

^{Diffraction par un motif circulaire}

^{La majoriteacute de la lumiegravere est dans un disque de rayon angulaire}

^{θ = 0 61λ}

^{r(tache drsquoAiry) ougrave θ est le rayon angulaire du premier an-}

^{neau sombreCritegravere de seacuteparation de Rayleigh deux taches lumineuses sont seacutepa-reacutees si leur centres sont distincts de plus du rayon de la tache drsquoAiry}

^{Diffraction par un objet opaque}

^{On obtient la mecircme figure agrave lrsquoeacutecran que pour une ouverture de lamecircme forme si ce nrsquoest que le centre est tregraves brillant}

^{6 Eacutelectromagneacutetisme}

^{61 Eacutelectrostatique}

^{Symeacutetries du champ eacutelectriqueLe champ EEE est symeacutetrique par rapport aux plans de symeacutetrie descharges et antisymeacutetrique par rapport aux plans drsquoantisymeacutetrie descharges}

^{Champ et potentiel creacuteeacutes par une charge fixe}

^{V(M) =q}

^4πε0r

^{EEE(M) =q}

^4πε0r2uuu

^{EEE = minusgradV}

^{q charge ponctuelle fixeε0 permeacuteabiliteacute du vider distance entre le point M et lachargeEEE(M) champ eacutelectrique en MV(M) potentiel eacutelectrique en M}

^{6 Eacutelectromagneacutetisme 119}

^{Distribution discregravete ndash Distribution continueDistribution discregravete Distribution continue}

^{EEE(M) = sumi}

^14πε0

^{qir2iuuui EEE(M) =}

^{intintint 14πε0}

^{r2uuu dτ}

^{qi charge ponctuelle situeacutee en riε0 permittiviteacute du vide}

^{ρ densiteacute de chargeε0 permittiviteacute du vide}

^{Eacutequation de Poisson}

^{∆V +ρ}

^{ε0= 0}

^{Eacutequation veacuterifieacutee par le potentieleacutelectrique en reacutegime permanentV potentiel eacutelectriqueρ densiteacute de chargeε0 permittiviteacute du vide}

^intcopyint

^{EEE(M)nnn dS =Qint}

^{EEE(M) champ eacutelectrique au pointMnnn normale en M agrave la surfaceQint charges inteacuterieures agrave la sur-face fermeacuteeε0 permittiviteacute du vide}

^{Theacuteoregraveme de Gauss pour la gravitation}

^intcopyint

^{GGG(M)nnn dS = minus4πGMint}

^{GGG(M) champ de gravitation aupoint Mnnn normale en M agrave la surfaceMint masse inteacuterieure agrave la surfacefermeacuteeG constante universelle de gravi-tation}

^{Champ eacutelectrique creacuteeacutes par un plan infini}

^{EEE(M) = plusmn σ}

^2ε0uuuz

^{+ si z gt 0minus si z lt 0}

^{EEE(M) champ eacutelectrique creacuteeacute en Mpar le planσ charge surfaciqueε0 permittiviteacute du videuuuz vecteur normal agrave la surface}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{120 [2] Physique}

^{Condensateur plan}

^{EEE = 0 agrave lrsquoexteacuterieur}

^{EEE =σ}

^{ε0uuuz agrave lrsquointeacuterieur}

^{EEE champ eacutelectriqueσ charge surfaciqueε0 permittiviteacute du videOn deacutefinit la capaciteacute C ducondensateur}

^{C =ε0S}

^{S surface des armaturese distance entre les armatures}

^{Dipocircle eacutelectrostatique}

^{ppp = qNPNPNP}

^{V(M) =p cos θ}

^4πε0r2=

^{ppp middotOMOMOM}

^4πε0OM3

^{EEE = minusgradV}

^{q charge positiveN barycentre des charges neacutega-tivesP barycentre des charges posi-tivesppp moment dipolaireV(M) potentiel eacutelectrique du di-pocircleEEE champ eacutelectrique}

^{N O P}

^{lignes de champeacutequipotentielles}

^{Eacutenergie potentielle ndash Moment subi dans un champ exteacuterieur}

^{Ep = minusppp middotEEEext(M)}

^{M = ppp andEEEext(M)}

^{Ep Eacutenergie potentielleM moment reacutesultant des forceseacutelectriquesppp moment dipolaireEEEext champ eacutelectrique auquel estsoumis le dipocircle}

^{62 Magneacutetostatique}

^{Symeacutetries du champ magneacutetiqueLe champs BBB est symeacutetrique par rapport aux plans drsquoantisymeacutetrie descourants et symeacutetrique par rapport aux plans drsquoantisymeacutetrie des cou-rants}

^{Loi de Biot et Savart}

^{dBdBdB(M) =micro0dCdCdC(P)}

^{4πr2anduuuPM}

^{dCdCdC =}

^{I dl pour un circuit filiformeqvvv pour une charge ponctuellejjj dτ pour un courant volumiquejjjS dS pour un courant surfacique}

^{dBdBdB champ magneacutetique creacuteeacute parlrsquoeacuteleacutement de courant dCdCdCdCdCdC eacuteleacutement de courantmicro0 permeacuteabiliteacute du vider distance du point courant aupoint M}

^{q charge ponctuellejjjS vecteur courant surfaciquejjj vecteur courant}

^{Theacuteoregraveme drsquoAmpegravere}

^{∮BBB(M) middotdldldl = micro0 Ienlaceacutee}

^{BBB(M) champ magneacutetiquemicro0 permeacuteabiliteacute du videIenlaceacutee intensiteacute enlaceacutee par lacourbe fermeacutee drsquoAmpegraveredldldl choisi en accord avec lrsquoorienta-tion de lrsquointensiteacute}

^{Champ magneacutetique creacuteeacute par une spire circulaire}

^{BBB(M) =micro0 I}

^{2Rsin3 αeeez}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{122 [2] Physique}

^{Champ magneacutetique agrave lrsquointeacuterieur un soleacutenoiumlde infini}

^{BBB = micro0nIeeez}

^{BBB = micro0 jSeeez}

^{BBB champ agrave lrsquointeacuterieur du soleacute-noiumlden nombre de spires par uniteacute delongueurI intensiteacute du courantjS courant surfaciqueeeez vecteur directeur sur lrsquoaxe dusoleacutenoiumlde orienteacute par le sens ducourantmicro0 permeacuteabiliteacute du vide}

^{Moment magneacutetique drsquoune spire}

^{mmm = ISnnn}

^{mmm moment magneacutetique de laspireS surface de la spireI intensiteacute parcourant la spirennn normale agrave la spire dirigeacutee par lesens du courant}

^{Eacutenergie potentielle ndash Moment magneacutetique}

^{Ep = minusmmm middotBBB}

^{M = mmm andBBB}

^{Ep eacutenergie potentielle magneacute-tiquemmm moment de force exerceacute sur laspireBBB champ magneacutetique auquel estsoumis la spiremmm moment magneacutetique de laspire}

^{Force de Laplace}

^{dfdfdf = dCdCdC andBBBdfdfdf force eacuteleacutementairedCdCdC eacuteleacutement de courantBBB champ magneacutetique}

^{63 Eacutequations de Maxwell dans le vide}

^{Vecteur courant}

^{jjj = npqvvv = ρvvv}

^{jjjS = σ vvv}

^{jjj vecteur courantjjjS vecteur de courant surfaciquevvv vitesse des porteurs de chargenp densiteacute particulaire de porteursq charge drsquoun porteurρ densiteacute volumique de chargeσ densiteacute surfacique de charge}

^{Eacutequation de conservation de la charge}

^{div j +partρ}

^{partt= 0}

^{jjj vecteur courantρ charge volumique}

^{Eacutequations de Maxwell}

^{div E =ρ}

^{rot E = minus partBBBpartt}

^{div B = 000}

^{rot B = micro0jjj + micro0ε0partEEEpartt}

^{Ces eacutequations portent les noms res-pectifs de ndash MaxwellndashGaussndash MaxwellndashFaradayndash sans nomndash MaxwellndashAmpegravere}

^{Le terme ε0partEEEpartt}

^{est appeleacute courant}

^{de deacuteplacementEEEBBB champs eacutelectrique et magneacute-tiquejjj vecteur densiteacute de courantρ charge volumiqueε0 micro0 permittiviteacute et permeacuteabiliteacutedu vide}

^{SuperpositionLes eacutequations de Maxwell sont lineacuteaires toute combinaison lineacuteairede solutions est encore une solution}

^{Puissance des forces eacutelectromagneacutetiques}

^{dP = jjjEEE dτ}

^{dP puissance eacuteleacutementaire par uniteacutede volume dτjjj vecteur courantEEE champ eacutelectrique}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{124 [2] Physique}

^{Densiteacute drsquoeacutenergie eacutelectromagneacutetique}

^{Wem =ε0E}

^2micro0

^{Wem eacutenergie eacutelectromagneacutetiqueE champ eacutelectriqueB champ magneacutetiqueε0 permittiviteacute du videmicro0 permeacuteabiliteacute du vide}

^{Vecteur de Poynting}

^{ΠΠΠ =EEE andBBB}

^micro0

^{ΠΠΠ vecteur de PoyntingEEE champ eacutelectriqueBBB champ magneacutetiquemicro0 permeacuteabiliteacute du vide}

^{Theacuteoregraveme de Poynting forme locale}

^{minus partpartt}

^(ε0E

^2micro0

^{)= jjjEEE + div}

^{(EEE andBBB}

^micro0

^{La perte drsquoeacutenergie eacutelectromagneacutetique est due agrave lrsquoeffet Joule et au rayon-nement du vecteur de Poynting}

^{Potentiel vecteur}

^{BBB = rot A}

^{AAA(M) =micro0}

^circuit

^{i middotdldldlr}

^{AAA potentiel vecteurBBB champ magneacutetiquei intensiteacute dans le circuit filiformer distance du point M au point cou-rant du circuitmicro0 permeacuteabiliteacute du vide}

^{Expression geacuteneacuterale du champ eacutelectrique}

^{EEE = minusgradV minus partAAApartt}

^{EEE champ eacutelectriqueV potentiel eacutelectriqueAAA potentiel vecteur}

^{Jauge de Lorentz}

^{div A + micro0ε0partVpartt}

^{= 0}

^{AAA potentiel vecteurV potentiel eacutelectriqueε0 permittiviteacute du videmicro0 permeacuteabiliteacute du videCette jauge permet de fixer le poten-tiel V}

^{Relations de passage}

^{E2t = E1t}

^{EEE2n minusEEE1n =σ}

^ε0nnn1rarr2

^{BBB2t minusBBB1t = micro0jjjS andnnn1rarr2}

^{B2n = B1n}

^{EEEin composante normale duchamp EEEiBBBit composante tangentielle duchamp BBBiσ charge surfaciquejjjS vecteur densiteacute de courant surfa-ciquennn1rarr2 normale agrave la surfaceε0 permittiviteacute du videmicro0 permeacuteabiliteacute du vide}

^{64 Conduction meacutetallique}

^{Loi drsquoOhm locale}

^{jjj = γEEEjjj vecteur courantEEE champ eacutelectriqueγ conductiviteacute}

^{Loi drsquoOhm globale}

^{int B}

^{AEEE middotdldldl = RAB middot I}

^{EEE champ eacutelectriqueI intensiteacute circulant dans le circuit}

^{R =ℓ}

^{γS reacutesistance drsquoun circuit de}

^{longueur ℓ et de section S}

^{Proprieacuteteacutes locales des champs dans les meacutetaux1 ρ = 0 les charges sont surfaciques}

^{2 f ≪ 1017Hz =rArr∥∥∥∥ε0}

^partEEEpartt

^{∥∥∥∥≪ jjjconduction3 En haute freacutequence les courants sont surfaciques (sur une eacutepaisseur}

^{dite eacutepaisseur de peau δ =}

^radic2

^{micro0γω)c copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{126 [2] Physique}

^{65 Induction dans un circuit fixe avec BBB variable}

^{Force eacutelectromotrice}

^{eAB =int B}

^{(minus partAAA}

^{parttmiddotdldldl)}

^{eAB forceacute eacutelectromotriceAAA potentiel vecteur}

^{Diffeacuterence de potentiel}

^{V(B)minusV(A) = eAB minus RABi}

^{eAB force eacutelectromotriceV(B) minus V(A) diffeacuterence de po-tentiel entre les points A et BRAB reacutesistance du circuit ABi intensiteacute du courant circulantdans le circuit}

^{Flux de BBB agrave travers le circuit}

^{Φ =intint}

^{circuitBBB middotnnn dS}

^{Φ flux de BBB agrave travers le circuitBBB champ magneacutetiquennn normale nnn au circuit compatibleavec le sens du courant}

^{Loi de Faraday}

^{ecircuit = minus partΦ}

^partt

^{Φ le flux de BBB agrave travers le circuitecircuit la force eacutelectromotrice ducircuit}

^{Loi de LenzLes conseacutequences des pheacutenomegravenes drsquoinduction srsquoopposent toujoursaux causes qui leur ont donneacute naissance En terme de flux cela signifieque si le flux du champ magneacutetique varie lrsquoinduction va produire unchamp magneacutetique qui tendra agrave compenser cette variation de flux}

^{Auto inductance drsquoun circuit}

^{Φ = LiΦ flux de BBB agrave travers le circuitL coefficient drsquoauto inductancedu circuiti intensiteacute dans le circuit}

^{Mutuelle inductance drsquoun circuit}

^{Φ1rarr2 = Mi1}

^{Φ2rarr1 = Mi2}

^{Φirarr j flux du champ BBB induit parle circuit i agrave travers le circuit jik courant dans le circuit kM coefficient de mutuelle induc-tance}

^{Flux total}

^{Φ1 = Li1 + Mi2}

^{Φ1 flux de BBB agrave travers le circuit 1L coefficient drsquoauto inductanceM coefficient de mutuelle induc-tanceik intensiteacute dans le circuit k}

^{Eacutenergie magneacutetique}

^{Wem =Li212}

^{+ Mi1i2}

^{Wem eacutenergie eacutelectromagneacutetiquestockeacutee dans le circuitL coefficient drsquoauto inductanceM coefficient de mutuelle induc-tanceik intensiteacute dans le circuit k}

^{Proprieacuteteacutes du transformateur ideacuteal}

^1u2(t)

^u1(t)=

^{2 Si le secondaire est en court-circuit alors∣∣∣∣i2i1}

^{∣∣∣∣ =N1}

^{3 Le rapport de puissance du primaire au secondaire est de 100}

^{4 On a Rvue du primaire =}

^{)2Rchargec copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{128 [2] Physique}

^{66 Induction dans un circuit mobile soumis agrave BBB stationnaire}

^{Changement de reacutefeacuterentiel}

^{BBBprime = BBB}

^{EEEprime = EEE︸︷︷︸minusgradV}

^{+vvv andBBB}

^{jjjsol = jjjcond}

^{BBBprime champ magneacutetique dans le reacutefeacute-rentiel du conducteurBBB champ magneacutetique dans le reacutefeacute-rentiel du solEEEprime champ eacutelectrique dans le reacutefeacute-rentiel du conducteurEEE champ eacutelectrique dans le reacutefeacuteren-tiel du solvvv vitesse du conducteur par rap-port au soljjjsol vecteur densiteacute de courant dansle reacutefeacuterentiel lieacute au soljjjcond vecteur densiteacute de courantdans le reacutefeacuterentiel du conducteur}

^{Champ eacutelectromoteur}

^{EEEm = vvv andBBBEEEm champ eacutelectromoteurvvv vitesse du conducteurBBB champ magneacutetique}

^{eAB =int B}

^{A(vvv andBBB) middotdldldl}

^{eAB force eacutelectromotrice du circuitRAB reacutesistance du circuiti intensiteacute du circuitvvv vitesse du conducteurBBB champ magneacutetiqueV(M) potentiel au point M}

^{Loi de Faraday}

^{e = minusdΦ}

^{dte force eacutelectromotriceΦ flux de BBB agrave travers le circuit}

^{67 Mateacuteriaux magneacutetiques}

^Aimantation

^{dmmm = MMMdτMMM aimantationmmm moment magneacutetique}

^{Courants drsquoaimantation}

^{jjjaimantation = rot M}

^{jjjS aimantation = MMM andnnn}

^{jjjaimantation vecteur courant drsquoai-mantationjjjS aimantation vecteur courant surfa-cique drsquoaimantationMMM aimantationnnn normale agrave la surface}

^{Excitation magneacutetique}

^{HHH =BBBmicro0minusMMM}

^{BBB = micro0 (HHH +MMM)}

^{HHH excitation magneacutetiqueBBB champ magneacutetiqueMMM aimantationmicro0 permeacuteabiliteacute du vide}

^{Eacutequation de Maxwell ndash Ampegravere en ARQS}

^{rot H = jjjconductionHHH excitation magneacutetiquejjjconduction vecteur courant deconduction}

^{Aimantation des mateacuteriaux lineacuteaires}

^{MMM = χmHHHMMM aimantationHHH excitation magneacutetiqueχm susceptibiliteacute magneacutetique}

^{Diffeacuterentes cateacutegories de mateacuteriaux magneacutetiques}

^{ndash diamagneacutetiques χm sim minus10minus5 lt 0ndash paramagneacutetiques χm sim 10minus4 gt 0ndash ceux pour lesquels χm ≪ 1 qui ne sont pas lineacuteaires}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{130 [2] Physique}

^{Champ magneacutetique dans les mateacuteriaux lineacuteaires}

^{BBB = micro0microrHHH}

^{micror = 1 + χm}

^{BBB champ magneacutetiqueHHH excitation magneacutetiquemicro0 permeacuteabiliteacute du videmicror permeacuteabiliteacute relativeχm susceptibiliteacute magneacutetique}

^{Diamagneacutetiques}

^{χm = minusnmicro0Ze2}

^{6melt r2 gt}

^{χm susceptibiliteacute magneacutetiquemicro0 permeacuteabiliteacute du viden densiteacute particulaireZ charge du noyaue charge eacuteleacutementaireme masse de lrsquoeacutelectronlt r2 gt distance moyenne de lrsquoeacutelec-tron au noyau}

^{Paramagneacutetiques}

^{χm =nmicro0m}

^{χm susceptibiliteacute magneacutetiquen densiteacute particulairemicro0 permittiviteacute du videm moment magneacutetiquek constante de BoltzmannT tempeacuterature}

^{Aimantation cycle drsquohysteacuteresis}

^{M aimantationH excitation magneacutetiqueMr aimantation reacutemanenteHc champ coercitif}

^{Dispositif de mesure de HHH et de BBB}

^{e t( ) u2}

^{7 Ondes 131}

^{H(t) =N1}

^ℓRu1(t)

^{B(t) =RC}

^N2Su2(t)

^{H valeur de lrsquoexcitation magneacute-tiqueB valeur du champ magneacutetiqueN1 nombre de spires du primaireN2 nombre de spires du secondaireℓ longueur du toreS section du tore}

^{7 Ondes}

^{71 Oscillateurs coupleacutes}

^{Couplage par un ressort}

^{K km m}

^{x1 x2}

^{K mx1 = minusk(x1 minus x2)minus Kx1 (1)}

^{mx2 = minusk(x2 minus x1)minus Kx2 (2)}

^{ReacutesolutionDans ces cas simples on combine lineacuteairement les eacutequations (1) et (2)}

^{s = (1) + (2)}

^{d = (1)minus (2)}

^{s + ω2s s = 0}

^{d + ω2dd = 0}

^{Modes propres}

^{ωs =}

^radicK

^{mωd =}

^{radic2k + K}

^{Le systegraveme drsquooscillateurs coupleacutes vibre uniquement agraveωs si d = 0 crsquoest-agrave-dire si les oscillateurs sont lanceacutes en phaseLe systegraveme drsquooscillateurs coupleacutes vibre uniquement agraveωd si s = 0 crsquoest-agrave-dire si les oscillateurs sont lanceacutes en opposition de phase}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{132 [2] Physique}

^{BattementsSi le couplage est fort et que lrsquoon eacutecarte un seul oscillateur de lrsquoeacutequi-libre on observe un pheacutenomegravene de battements}

^{ReacutesonanceSi on force lrsquooscillateur agrave osciller on observera aux pulsations ωs et ωddes reacutesonances}

^{wws wd}

^{72 Eacutequation de drsquoAlembert - Ondes stationnaires}

^{Eacutequation de drsquoAlembert}

^{∆F =1c2}

^part2Fpartt2

^{F(rrr t) une grandeur physique quiveacuterifie lrsquoeacutequation de drsquoAlembertc vitesse de propagation de lrsquoonde∆ laplacien}

^{Solutions de lrsquoeacutequation de drsquoAlembert agrave une dimension}

^{F(x t) = f(tminus x}

^{)+ g}

^{(t +}

^{) f partie onde progressive de la so-lutiong partie onde reacutegressive de la solu-tion}

^{7 Ondes 133}

^{Onde stationnaire}

^{F(rrr t) = f (r)g(t)Dans le cas drsquoune onde stationnaireil y a deacutecouplage entre le temps et lerepeacuterage spatial}

^{Onde plane progressive harmonique (OPPH)}

^{F = F0 cos (ωtminus kkk middotOMOMOM)}

^{F = F0ei(ωtminuskkkmiddotOMOMOM)}

^{kkk =ω}

^{Ces notations sont intrinsegraveques agravelrsquoOPPHF la grandeur physique qui deacutecritlrsquoondekkk vecteur drsquoonde donnant la direc-tion de propagationOMOMOM vecteur positionuuu vecteur unitaire selon la direc-tion de propagationω pulsation de lrsquoondec vitesse de propagation de lrsquoonde}

^{Onde plane progressive harmonique notation complexe}

^{partmiddotpartt}

^{= iωmiddot}

^{nablamiddot = minusikmiddot}

^{Lorsqursquoon utilise la notationcomplexe les opeacuterateurs usuelsprennent des formes tregraves simples}

^{Onde sur une file drsquoatomes ndash Onde sur une corde}

^part2ξn

^partx2=

^part2ξn

^partt2

^{c =}

^radicka2

^part2ypartx2

^part2ypartt2

^{c =}

^radicT0ρl

^{ξn le deacuteplacement du ne atomek constante de raideur des res-sortsa distance au repos entre deuxatomesm masse drsquoun atome}

^{y ordonneacutee du pointT0 tension au repos de la cordeρl masse lineacuteique de la cordec copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{134 [2] Physique}

^{73 Ondes eacutelectromagneacutetiques dans le vide}

^{Eacutequations de propagation des champs}

^{∆EEE =1c2}

^{part2EEEpartt2}

^{∆BBB =1c2}

^{part2BBBpartt2}

^{c =1radic}

^ε0micro0

^{EEE champ eacutelectriqueBBB champ magneacutetiquemicro0 permeacuteabiliteacute du videε0 permittiviteacute du vide}

^{Vecteur drsquoonde drsquoune OPPH}

^{kkk = kuuu}

^{k =ω}

^2πλ

^{kkk vecteur drsquoondeuuu vecteur unitaire directeurω pulsation de lrsquoondeλ longueur drsquoonde de lrsquoondec vitesse de propagation delrsquoonde}

^{Champs transverses}

^{div E = 0 = minusikkkEEE}

^{div B = 0 = minusikkkBBB}

^{kkk vecteur drsquoondeEEE champ eacutelectriqueBBB champ magneacutetiqueEEE et BBB sont orthogonaux agrave la di-rection de propagation}

^{Relation de dispersion ndash Relation de structure}

^{k =ω}

^{cBBB =}

^kkkωandEEE

^{Repreacutesentation du champ eacutelectromagneacutetique dans le vide}

^{7 Ondes 135}

^Polarisation

^{ndash elliptique}

^{EEE(z = 0 t) =}

^{(E0x cosωtE0y cos(ωt + ϕ)}

^Egauch

^{droi te}

^{ndash circulaire}

^{EEE(z = 0 t) =}

^{(E0 cosωtE0 sinωt}

^{ndash rectiligne}

^{EEE(z = 0 t) =}

^{(E0x cosωtE0y cosωt}

^{Lames agrave retard}

^{Une lame 14 drsquoonde deacutephase deπ2ndash une onde polariseacutee rectilignementressort de ce type de lame polariseacuteeelliptiquementndash une onde polariseacutee elliptiquementressort de ce type de lame polariseacuteerectilignement}

^{Une lame 12 drsquoonde deacutephase deπndash une onde polariseacutee ellipti-quement droite ressort elliptiquegauche de ce type de lamendash une onde polariseacutee rectiligne-ment ressort symeacutetrique par rap-port agrave son axe lent de ce type delamec copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{136 [2] Physique}

^{ΠΠΠ = EEE and BBBmicro0}

^{micro0cuuu =}

^{ΠΠΠ = EEE and BBBlowast}

^micro0

^{Rayonnement dipolaire}

^{BBB =micro0 sin θ}

^{4πrcp(tminus r}

^)uuuϕ

^{EEE =micro0 sin θ}

^{4πrp(tminus r}

^)uuuθ

^{BBB champ magneacutetiqueEEE champ eacutelectriquep moment dipolairemicro0 permeacuteabiliteacute du videc vitesse de la lumiegravere dans levide}

^{Puissance rayonneacutee en reacutegime sinusoiumldal}

^{ltPgt=micro0p}

^12πc

^{p = p0 cos(ω0t + ϕ)}

^{lt P gt puissance moyennerayonneacuteep moment dipolairec vitesse de la lumiegravere dans levidemicro0 permeacuteabiliteacute du vide}

^{7 Ondes 137}

^{74 Dispersion ndash Absorption}

^{Relation de dispersion}

^{k(ω) = kprime(ω) + ikprimeprime(ω)}

^{k(ω) vecteur drsquoondekprime(ω) partie reacuteelle du vecteurdrsquoondekprimeprime(ω) partie imaginaire du vecteurdrsquoondeω pulsation de lrsquoonde}

^{Vitesse de phase ndash Vitesse de groupe}

^{vϕ =ω}

^kprime

^{vg =partω}

^partkprime

^{vϕ vitesse de phasevg vitesse de groupeω pulsation de lrsquoondekprime partie reacuteelle du vecteur drsquoondevϕ est la vitesse de propagation delrsquoamplitude et vg est en geacuteneacuteral lavitesse de propagation de lrsquoeacutener-gie}

^Absorption

^{δ =1|kprimeprime|}

^{δ profondeur caracteacuteristique delrsquoabsorptionkprimeprime partie imaginaire du vecteurdrsquoonde}

^{Repreacutesentation du champ eacutelectromagneacutetique dans les meacutetaux}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{138 [2] Physique}

^{75 Ondes eacutelectromagneacutetiques dans les milieux mateacuteriels}

^Polarisation

^{PPP =dpppdτ}

^{ρp = minusdiv P}

^{jjjp =partPPPpartt}

^{ppp moment dipolairePPP polarisationρp charges dues agrave la polarisationjjjp vecteur courant de polarisation}

^Aimantation

^{MMM =dmmmdτ}

^{jjja = rot M}

^{mmm moment magneacutetiqueMMM aimantationjjja vecteur courant drsquoaimantation}

^{Vecteurs HHH et DDD}

^{DDD = ε0EEE +PPP}

^{HHH vecteur excitation magneacutetiqueBBB champ magneacutetiqueDDD vecteur DEEE champ eacutelectriqueMMM aimantationPPP polarisationmicro0 permeacuteabiliteacute du videε0 permittiviteacute du vide}

^{7 Ondes 139}

^{Milieux lineacuteaires}

^{PPP = χeEEE}

^{DDD = εrε0EEE}

^{εr = 1 + χe}

^{MMM = χmHHH}

^{BBB = micrormicro0HHH}

^{micror = 1 + χm}

^{HHH vecteur excitation magneacutetiqueBBB champ magneacutetiqueDDD vecteur DMMM aimantationPPP polarisationEEE champ eacutelectriquemicro0 permeacuteabiliteacute du videmicror permeacuteabiliteacute relativeε0 permittiviteacute du videεr permittiviteacute relativeχe susceptibiliteacute eacutelectrique du mi-lieuχm susceptibiliteacute magneacutetique dumilieu}

^{Eacutequations de Maxwell dans les milieux}

^{div D = ρlibre}

^{div B = 0}

^{rot H = jjj +partDDDpartt}

^{DDD vecteur DEEE champ eacutelectriqueBBB champ magneacutetiquejjj vecteur courant vraiρlibre densiteacute de charges libres}

^{Relation de dispersion ndash Indice}

^{k2 = εrω2}

^{n =radic}

^{vϕ =c}

^{k vecteur drsquoondeεr permittiviteacute relativeω pulsation de lrsquoondec vitesse de la lumiegravere dans le viden indice du milieu(En utilisant ici comme dans les cascourants lrsquoapproximation micror sim 1)c copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{140 [2] Physique}

^{Reacuteflexion ndash Transmission}

^{r =n1 minus n2n1 + n2}

^{t =2n1}

^{n1 + n2}

^{R = r2 =}

^{(n1 minus n2n1 + n2}

^{T = t2 =}

⁽²ⁿ¹

^{n1 + n2}

^{R + T = 1}

^{r coefficient de reacuteflexion en ampli-tudet coefficient de transmission en am-plitudeR coefficient de reacuteflexion eacutenergeacute-tiqueT coefficient de transmission eacutener-geacutetiquen1 indice du milieu de lrsquoonde inci-denten2 indice du milieu de lrsquoondetransmiseR + T = 1 traduit la conservationeacutenergeacutetique}

^{Un changement de milieu donne naissance agrave ndash une onde progressive (onde transmise)ndash une onde reacutegressive (onde reacutefleacutechie)}

^{Relation de continuiteacute sur la seacuteparation de deux dieacutelectriques}

^{B2B2B2 = B1B1B1}

^{EEE2 t = EEE1 t}

^{εr 2EEE2 n = εr 1EEE1 n}

^{(loi de SnellndashDescartes)}

^{On indice par 1 les grandeurs dumilieu de lrsquoonde incidente et par 2les grandeurs du milieu de lrsquoondetransmiseLe champ magneacutetique comme lacomposante tangentielle du champeacutelectrique est continue agrave la surfacedrsquoun dieacutelectriqueLe comportement de la composantenormale du champ eacutelectrique estdeacutecrite par la loi de SnellndashDescartes}

^{Chapitre 3Chimie}

^{1 Atomistique}

^{11 Spectroscopie}

^{Spectroscopie}

^{Lors drsquoune transition eacutelectroniqueune particule eacutemet un rayonne-ment deacutecrit par}

^{∆E = hν}

^{Relation de De Broglie}

^{λ =hmv}

^{h constante de Planckν freacutequence du rayonnementeacutemis par la particuleλ longueur drsquoonde du rayonne-ment eacutemis par la particulem masse de la particulev vitesse de la particule}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{142 [3] Chimie}

^{La relation de Ritz eacutetablit que}

^{ν = RH middot c(}

^{1n2minus 1}

^{)(nm) isin N2}

^{ν freacutequence de rayonnementRH constante de Rydbergn nombre quantique principal duniveau eacutenergeacutetique final de la par-ticulem nombre quantique principaldu niveau eacutenergeacutetique initial de laparticulec vitesse de propagation de la lu-miegravere dans le videndash n = 1 correspond agrave la seacuterie deLyman (ultraviolet) ndash n = 2 corres-pond agrave la seacuterie de Balmer (visible)ndash n = 3 correspond agrave la seacuterie dePaschen (infrarouge)}

^{E (eV)}

^Lyman

^Balmer

^Paschen-151

^{n = yenn = 4}

^{n = 3}

^{n = 2}

^{n = 1}

^{12 Modegravele ondulatoire}

^{Principe drsquoincertitude de Heisenberg}

^{∆x middot∆px gth}

^{∆x incertitude sur la position∆px incertitude sur la quantiteacute demouvement selon lrsquoaxe des xm masse de lrsquoatome}

^{En meacutecanique quantique on ne peut pas connaicirctre preacuteciseacutement agrave lafois la position et la vitesse}

^{Eacutequation de Schroumldinger en reacutegime stationnaire}

^{H Ψ = E Ψ}

^intintint

^{espaceΨ2 dτ = 1}

^{Ψ(rrr) fonction drsquoonderrr vecteur positionE eacutenergie totale de lrsquoeacutelectronH opeacuterateur hamiltonien appli-queacute agrave Ψ}

^{|Ψ2| dτ repreacutesente la probabiliteacutede preacutesence de lrsquoeacutelectron dansun volume dτ autour drsquoun pointM(rrr)}

^{1 Atomistique 143}

^{Eacutenergie de lrsquoatome drsquohydrogegravene}

^{En =minus13 6n2}

^{Lrsquoeacutenergie de lrsquoatome drsquohydrogegraveneest quantifieacutee (n nombre quan-tique principal)}

^{En = minus13 6Z2}

^{Deacutecrit lrsquoeacutenergie de lrsquoatome hydro-geacutenoiumlde (qui ne comporte qursquounseul eacutelectron)}

^{Nombres quantiques}

^{Principal n isin Nlowast}

^{Deacutecrit le niveau eacutenergeacutetique delrsquoatome}

^{En = minus13 6Z2}

^{Secondaire 0 6 l 6 nminus 1l isin N}

^{Quantifie le module du momentcineacutetique LLL de lrsquoatome}

^{|σσσ| =radic}

^{l(l + 1)h}

^{(h = h2π hconstante de Planck)}

^{Magneacutetique minusl 6 m 6 lm isin Z}

^{Quantifie la projection dumomentcineacutetique LOz = mh}

^{Spin ms = plusmn 12}

^{13 Atome polyeacutelectronique}

^{Charge nucleacuteaire effective}

^{Zlowasti = Zminus σi}

^{Zlowasti charge nucleacuteaire effectiveZ numeacutero atomiqueσ constante drsquoeacutecran de Slaterc copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{144 [3] Chimie}

^{Position de lrsquoeacutelectronσi}

^{s et pσid}

^{mecircme couche 0 035couche gt n 0 0couche nminus 1 085 1couches lt nminus 1 1 1}

^Eacutenergie

^{Ei = minus13 6Zlowast2i}

^{Zlowasti charge nucleacuteaire effectiveEi eacutenergie de lrsquoeacutelectronn nombre quantique principal}

^{E = sumi}

^{Ei Eacutenergie totale de la moleacutecule}

^{Diagramme eacutenergeacutetique}

^{niveauxeacutenergeacutetiques}

^{Regravegles de remplissage des niveaux eacutelectroniques}

^{Principe de stabiliteacute on remplitles orbitales atomiques par ordredrsquoeacutenergie croissante (regravegle de Kle-chkowsky)Principe de Pauli sur une mecircmeorbitale atomique les deux eacutelec-trons sont de spin opposeacutesPrincipe de Hund lorsque plu-sieurs orbitales atomiques sontde mecircme niveau eacutenergeacutetique leseacutelectrons occupent le maximumdrsquoorbitales atomiques}

^{Regravegle de Klechkowsky}

^{1 s2 s p3 s p d4 s p d f}

^{Eacutenergie drsquoionisation}

^{Crsquoest lrsquoeacutenergie de la reacuteaction drsquoar-rachement drsquoun eacutelectron drsquounemoleacutecule sous forme gazeuse}

^{X(g) = X+(g) + eminus}

^{Affiniteacute eacutelectronique}

^{Crsquoest lrsquoeacutenergie libeacutereacutee par la reacuteac-tion de capture drsquoun eacutelectron parune moleacutecule sous forme gazeuse}

^{X(g) + eminus = Xminus(g)}

^{14 Architecture moleacuteculaire}

^{Regravegle de lrsquooctetLes eacuteleacutements de la deuxiegraveme peacuteriode du tableau peacuteriodique peuventsrsquoentourer au maximum de huit eacutelectrons}

^{Charge formelle}

^{n = ni minus nen charge formelle de lrsquoatomeni nombre drsquoeacutelectrons de valence dans lrsquoatome isoleacutene nombre drsquoeacutelectrons de valence dans lrsquoatome lieacute}

^{MeacutesomeacuterieCrsquoest lrsquoensemble des formules meacutesomegraveres qui modeacutelise la reacutealiteacute}

^{O S O O S O O S O+ +ndashndash}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{146 [3] Chimie}

^{Niveau de repreacutesentativiteacute des formules meacutesomegraveresLes formules meacutesomegraveres qui veacuterifient la regravegle de lrsquooctet qui sontneutres ou dont la charge neacutegative est porteacutee par lrsquoatome le plus eacutelec-troneacutegatif sont plus repreacutesentatives que les autres}

^VSEPR

^{On compte les doublets drsquoun atome A AXpEq ougrave p nombre drsquoatomes directement lieacutes agrave A (X)q nombre de doublets libres porteacutes par A (E)Ces n = p + q doublets tendent agrave srsquoeacuteloigner au maximum les uns desautres (Theacuteorie de Gillepsie)}

^{n = 2 moleacutecule lineacuteaire n = 3 moleacutecule trigonale}

^{n = 4 moleacutecule teacutetraeacutedrique n = 5 moleacutecule bipyramidale agravebase triangulaire}

^{n = 6 moleacutecule octaeacutedrique}

^{15 Orbitales moleacuteculaires}

^{Combinaison lineacuteaire des orbitales atomiques}

^{La combinaison lineacuteaire de deuxorbitales atomiques de mecircmeeacutenergie donne naissance agrave deuxorbitales moleacuteculaires lrsquouneliante et lrsquoautre antiliante}

^{Indice de liaison}

^{i =nminus nlowast}

^{n nombre drsquoeacutelectrons de lrsquoorbitalemoleacuteculaire liantenlowast nombre drsquoeacutelectrons de lrsquoorbi-tale moleacuteculaire antiliante}

^{Diagramme des orbitales moleacuteculaires}

^{Diagrammemoleacuteculaire des moleacute-cules A2 de la deuxiegraveme ligne dutableau peacuteriodique agrave partir de O2inclus Pour les autres moleacuteculesπx et πy sont plus stables que σp}

^{OM antiliante}

^{OA2 OA1}

^{OM liante}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{148 [3] Chimie}

^{2 Cineacutetique}

^{Avancement de la reacuteaction}

^{dξ =dniνi}

^{ξ avancement de la reacuteactionνi nombre stœchiomeacutetrique algeacute-brique (νi gt 0 pour un produit etνi lt 0 pour un reacuteactif)ni quantiteacute de matiegravere eacutechangeacutee}

^{Quantiteacute de matiegravere en cours de reacuteaction}

^{ni = ni0 + νiξ}

^{ni quantiteacute de matiegravere agrave la date tni0 quantiteacute de matiegravere initialeνi nombre stœchimeacutetrique algeacute-briqueξ avancement}

^{Vitesse de reacuteaction}

^{r =1νi}

^dcidt

^{r vitesse de la reacuteactionνi nombre stœchiomeacutetrique algeacute-briqueci concentrationξ avancementV volume du reacuteacteur}

^{Ordre drsquoune reacuteaction}

^{ν1A1 + ν2A2 rarr νprime1Aprime1 + νprime2A}

^prime2

^{v = k[A1]p1 [A2]}

^{k constante de vitesse de la reacuteac-tion[Ai] concentration de lrsquoespegravece Aipi ordre partiel en Ai}

^{pi = p ordre global de la reacuteac-}

^{Deacutegeacuteneacuterescence de lrsquoordre}

^{Si [A2]0 ≫ [A1]0 alors v =kprime[A1]}

^{kprime = k[A2]p20 constante de vitesse}

^{apparente de la reacuteactionp1 ordre apparent de la reacuteaction}

^{Loi de Vanrsquot HoffLorsque la reacuteaction est un processus eacuteleacutementaire les ordres partiels seconfondent avec les coefficients stœchiomeacutetriques et lrsquoordre total agrave lamoleacuteculariteacute}

^{Loi drsquoArrheacutenius}

^{dln k}

^{k constante de vitesseEa eacutenergie drsquoactivationR constante des gaz parfaitsT tempeacuterature}

^{Loi de vitesse drsquoune reacuteaction drsquoordre 1}

^{c = c0eminuskt c concentration de lrsquoespegravece}

^{c0 concentration initialek constante de vitesse}

^{t12 =ln 2αk}

^{Le temps de demi-reacuteaction estindeacutependant de c0 (α eacutetant lenombre stœchiomeacutetrique du reacuteac-tif limitant)}

^{AEQS theacuteoregraveme de Bodenstein}

^{dt= 0}

^{Conditions drsquoapplication de lrsquoAp-proximation des Eacutetats Quasi Sta-tionnaires ndash [A] tregraves faiblendash A espegravece tregraves reacuteactive (intermeacute-diaire reacuteactionnel)}

^{Longueur de chaicircne}

^{l =vitesse de disparition reacuteactif}

^{vitesse drsquoinitiation}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{150 [3] Chimie}

^{3 Cristallographie}

^{Deacutefinitions}

^{Reacuteseau disposition spatiale desnoeuds}

^{Motif description des entiteacutes quioccupent ces noeuds}

^{Compaciteacute Rapport entre le vo-lume de lamaille et le volume reacuteel-lement occupeacute par les entiteacutes de lamaille}

^{Coordinence nombre drsquoentiteacutes encontact avec une autre entiteacute}

^{Une maille est entiegraverement deacutecritepar son reacuteseau et son motif}

^{32 Mailles et sites dans les cristaux meacutetalliques}

^{Maille hexagonale compacte}

^{Coordinence 12Compaciteacute 0 742 atomes par maille}

^{Maille cubique agrave faces centreacutees}

^{3 Cristallographie 151}

^{Maille cubique centreacutee}

^{Sites octaeacutedriques}

^{Dimension rO = (radic2minus 1)r}

^{ndash Au centre et au milieu de chaquearrecircte du la maille cubique face cen-treacutee (4 sites par maille)}

^{ndash Agravec}

^{dans la maille hexago-}

^{nale compacte (2 sites par maille)}

^{Sites teacutetraeacutedriques}

^{Dimension rT = (}

^{radic32minus 1)r}

^{ndash Au centre de huit petits cubes}

^{drsquoarrecirctea}

^{2dans la maille cubique}

^{face centreacutee (8 sites par maille)}

^{ndash Agravec}

^{sur chaque cocircteacute vertical}

^{dans lrsquohexagonale compacte (4 sitespar maille)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{152 [3] Chimie}

^{33 Cristaux ioniques}

^{Chlorure de ceacutesium (CsCl)}

^{Les ions Clminus forment un reacuteseau cu-bique (1 atome par maille)Les ions Cs+ sont aux centres de cescubes (1 atome par maille)Coordination [8-8]Structure adopteacutee si radic}

^{3minus 1 6r+rminus}

^{lt 1}

^{Chlorure de sodium (NaCl)}

^{Les ions Clminus forment un reacuteseau cu-bique faces centreacutees (4 atomes parmaille)Les ions Na+ occupent les sites oc-taeacutedriques de ce reacuteseau (4 atomespar maille)Coordination [6-6]Structure adopteacutee si radic}

^{ltradic3minus 1}

^{Blende (ZnS)}

^{Les ions Zn2+ forment un reacuteseaucubique faces centreacutees (4 atomes parmaille)Les ions S2minus occupent un site teacutetra-eacutedrique sur deux dans le reacuteseau preacute-ceacutedent (4 atomes par maille)Coordination [4-4]Structure adopteacutee si}

^{0 6r+rminus}

^{ltradic2minus 1}

^{La thermodynamique a deacutejagrave eacuteteacute abordeacutee au cours du chapitre de physiqueIl est conseilleacute de se reporter agrave cette section les notions preacutealablement trai-teacutees nrsquoeacutetant pas agrave nouveau abordeacutees ici}

^{41 Fonctions drsquoeacutetat}

^{Deacutefinition}

^{Xi =}

^(partXpartni

^{Tpn j 6=ni}

^{X fonction drsquoeacutetat extensiveXi grandeur molaire partielle re-lative au composeacute Aini quantiteacute de matiegravere du consti-tuant Ai}

^{Relation de GibbsndashDuhem}

^{ni dXi Tp = 0}

^{ni quantiteacute de matiegravere du consti-tuant AidXi Tp grandeur standard de reacute-action concernant le constituant Aiagrave T et p constantes}

^{Grandeurs de reacuteaction associeacutees aux fonctions drsquoeacutetat}

^{∆rX = sumi}

^{νiXi =}

^(partXpartξ

^{∆rX grandeur de reacuteactionνi nombre stœchiomeacutetrique rela-tif au composeacute AiXi grandeur molaire partielle re-lative au corps Ai}

^{Relation de GibbsndashHelmoltz}

^partpartT

^(∆rG

^{)= minus∆rH}

^{∆rG enthalpie libre de reacuteaction∆rH enthalpie de reacuteactionT tempeacuterature}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{154 [3] Chimie}

^{42 Potentiel chimique}

^{Deacutefinition}

^{microi =}

^(partGpartni

^{Tpn j 6=ni}

^{microi =}

^(partUpartni

^{VSn j 6=ni}

^{microi =}

^(partHpartni

^{pSn j 6=ni}

^{microi =}

^(partFpartni

^{VTn j 6=ni}

^{microi potentiel chimique du com-poseacute AiUH FG eacutenergie interne enthal-pie eacutenergie libre enthalpie libreT pV tempeacuterature pression vo-lumeni quantiteacute de matiegravere du com-poseacute Ai}

^{Condition drsquoeacutequilibre physique}

^{microϕ1 = microϕ2}

^{Le potentiel chimique du corps purdans les deux phases est le mecircmemicroϕi potentiel chimique du corpspur dans la phase i}

^{Eacutevolution vers un eacutetat drsquoeacutequilibre}

^{Srsquoil nrsquoest pas agrave lrsquoeacutequilibre le corps pur passe irreacuteversiblement de laphase de plus haut potentiel chimique vers la phase de plus bas po-tentiel chimique et ce jusqursquoagrave lrsquoobtention de lrsquoeacutegaliteacute preacuteceacutedente}

^{Potentiel drsquoun gaz}

^{microi(g) = micro0i(g) + RT ln}

^{microi(g) potentiel chimique du gazAi}

^micro0i(g)

^{potentiel chimique standard}

^{du gaz Ai (agrave la pression p0)R constante des gaz parfaitsT tempeacuteraturepi pression partielle du gaz Ai}

^{p0 pression standard (1 bar = 105Pa)}

^{Potentiel drsquoun soluteacute}

^{microi(s) = micro0i(s) + RT ln}

^{R constante des gaz parfaitsT tempeacuteratureci concentration du composeacute Ai}

^{c0 concentration standard(1 mol middot Lminus1)}

^{43 Grandeurs standards de reacuteaction}

^{Enthalpie standard de reacuteaction}

^{∆rH0 = sum}

^νiH0i

^{∆rH0 enthalpie standard de reacuteac-}

^{tionνi nombre stœchiomeacutetrique ducomposeacute Ai}

^{H0i enthalpie standard molaire de}

^{Ai pris dans son eacutetat standard}

^{Entropie standard de reacuteaction}

^{∆rS0 = sum}

^νiS0i

^{∆rS0 entropie standard de reacuteac-}

^{S0i entropie standard molaire deAi pris dans son eacutetat standard}

^{Enthalpie libre standard de reacuteaction}

^{∆rG0 = sum}

^νiG0i

^{∆rG0 enthalpie libre standard de}

^{reacuteactionνi nombre stœchiomeacutetrique ducomposeacute Ai}

^{G0i enthalpie libre standard mo-}

^{laire de Ai pris dans son eacutetat stan-dard}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{156 [3] Chimie}

^{Relation entre grandeurs de reacuteaction}

^{∆rG0 = ∆rH}

^{0 minus T∆rS0}

^tion∆rH

^{0 enthalpie standard de reacuteac-tion∆rG}

^{0 enthalpie libre standard dereacuteactionT tempeacuterature}

^{Premiegravere loi de Kirchhoff}

^d∆rH0

^{dT= ∆rC}

^{0p = sum}

^νiC0pi

^{tionC0pi capaciteacute thermique mo-}

^{laire du constituant Ai agrave pressionconstanteνi nombre stœchimeacutetrique ducomposeacute AiT tempeacuterature}

^{Deuxiegraveme loi de Kirchhoff}

^d∆rS0

^∆rC0p

^{T= sum}

^νiC0pi

^{Relations de GibbsndashHelmoltz}

^{∆rS0 = minusd∆rG}

^{∆rH0 = minusT2 d}

^(∆rG

^tion∆rH

^{Relation de Hess}

^{∆rH0 = sum}

^{νi∆ fH0i}

^{∆rG0 = sum}

^{νi∆ fG0i}

^tion∆rG

^{0 enthalpie libre standard dereacuteaction∆fH}

^{0 enthalpie standard de for-mation du composeacute Ai (nulle pourles corps purs)∆fG}

^{0 enthalpie libre standard deformation du composeacute Ai}

^{Cycle de BornndashHaberCrsquoest un cycle thermodynamique qui permet de calculer avec la loide Hess lrsquoenthalpie de standard de reacuteaction en deacutecomposant les reacuteac-tifs en atomes et en recomposant ces mecircmes atomes pour former lesproduits}

^{44 Eacutequilibres chimiques}

^{Deacutefinition de lrsquoaffiniteacute chimique}

^{A = minussumi}

^{νimicroi = minus∆rG}

^{A affiniteacute chimique∆rG}

^{0 enthalpie libre standard dereacuteactionνi nombre stœchiomeacutetrique ducomposeacute Aimicroi potentiel chimique du com-poseacute Ai}

^{Expression de lrsquoaffiniteacute}

^{A = A0 minus RT ln}

^prodi

^{A affiniteacute chimiqueA0 affiniteacute chimique standardai activiteacute du composeacute Aiνi nombre stœchimeacutetrique ducomposeacute AiR constante des gaz parfaitsT tempeacuterature}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{158 [3] Chimie}

^{Condition drsquoeacutequilibre}

^{A = 0}

^{Dans ce cas}

^{A0 = RT lnK0 = RT ln}

^prodi

^{K0 est la constante drsquoeacutequilibre dela reacuteaction}

^{Sens drsquoeacutevolution}

^{A middot dξ gt 0}

^{Si A gt 0 dξ gt 0 il y a eacutevolution}

^{dans le sens 1minusrarrSi A lt 0 dξ lt 0 il y a eacutevolution}

^{dans le sens 2larrminusConstante drsquoeacutequilibre}

^{K0(T) = prodi}

^{i eacutequilibre}

^{K0(T) constante drsquoeacutequilibre de lareacuteaction qui ne deacutepend que de latempeacuteratureai eacutequilibre coefficient drsquoactiviteacute ducomposeacute Ai agrave lrsquoeacutequilibreνi nombre stœchiomeacutetrique ducomposeacute Ai}

^{Tempeacuterature drsquoinversion}

^{∆rG0(Ti) = 0}

^{K0(Ti) = 1}

^{Agrave cette tempeacuterature la reacuteaction}

^{preacutepondeacuterante passe du sens 1minusrarrau sens 2larrminus}

^{Effet de la tempeacuterature loi de Vanrsquot Hoff}

^dlnK0

^∆rH0

^{K0 constante drsquoeacutequilibre de la reacute-action∆rH}

^{0 enthalpie standard de la reacute-actionR constante des gaz parfaitsT tempeacuterature}

^{Une augmentation de la tempeacuterature deacuteplace la reacuteaction dans le sensendothermique}

^{Effet de la pression loi de Le ChacirctelierUne augmentation de la pression deacuteplace lrsquoeacutequilibre dans le sens dediminution de la quantiteacute de matiegravere de gaz (∆νgaz lt 0)}

^{Introduction drsquoun constituant actif}

^{dA = RT(}

^{∆νgaz minusνi}

^)dnin

^{dA variation de lrsquoaffiniteacuteνi nombre stœchimeacutetrique ducomposeacute Aixi titre molaire du composeacute Ain quantiteacute de matiegravere totaledni variation de quantiteacute de ma-tiegravere du composeacute Ai}

^{Ajout drsquoun constituant inactif}

^{dA = RT∆νgazdnn}

^{dA variation de lrsquoaffiniteacuten quantiteacute de matiegraveredn variation de quantiteacute de ma-tiegravere du constituant introduit}

^{Variance ndash Regravegle des phases de Gibbs}

^{v = c + 2minusϕ}

^{c = nminus kminus r}

^{v variancec nombre de constituants indeacute-pendantsϕ nombre de phasesn nombre de constituantsk nombre de relations entre lesconstituantsr relation particuliegraveres (imposeacuteespar le manipulateur)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{160 [3] Chimie}

^{45 Eacutequilibres liquidendashvapeur}

^{Loi de Raoult}

^{pi = plowasti xli}

^{pi pression partielle du composeacuteAiplowasti pression saturante du com-poseacute Ai}

^{xli titre molaire de Ai liquide}

^{Loi de Henry}

^{pi = kxli}

^{pi pression partielle du composeacuteAik 6= plowasti constante de Henryxli titre molaire de Ai liquide}

^{Solution ideacuteale deacutefinitionUne solution est dite ideacuteale si toutes les interactions entre les espegravecesqui la composent sont identiques interactions A1ndashA1A2ndashA2 et A1ndashA2}

^{Diagramme binaire drsquoune solution ideacuteale}

^vapeur

^liquide

^{courbe de roseacuteeliquide + vapeur}

^{Eacutequations des courbes}

^{Courbe drsquoeacutebullition}

^{p = plowast1 + (plowast2 minus plowast1)xl2}

^{Courbe de roseacutee}

^{p =plowast1plowast2}

^{plowast2 minus (plowast2 minus plowast1)xv2}

^{Diagrammes isothermes}

^vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^{Fuseau simple}

^{p1 vapeur}

^liquide

^{+ vap}

^{Azeacuteotrope positif}

^vapeur

^{liquideliquide + vapeur}

^{Azeacuteotrope neacutegatif}

^{Lrsquoazeacuteotrope est la manifestation delrsquoeacutecart de la solution par rapport agravela solution ideacuteale}

^{Diagrammes isobares}

^vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^{Fuseau simple}

^T1vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^{Azeacuteotrope positifc copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{162 [3] Chimie}

^vapeur

^liquide

^{+ vap}

^{Agrave pression constante unazeacuteotrope bout agrave tempeacuteratureconstante et donne une vapeur demecircme composition}

^{Analyse thermique}

^{Theacuteoregraveme des moments}

^liquide

^solide

^{sol i dus}

^{liquidusliquide + solide}

^x2x2x2

^{nlML + nvMV = 0}

^{nl quantiteacute de matiegravere de liquidenv quantiteacute de matiegravere de vapeurML distance algeacutebrique de M agrave lacourbe drsquoeacutebullitionMV distance algeacutebrique de M agravela courbe de roseacutee}

^{46 Reacuteactions drsquooxydoreacuteduction}

^{Couple redox}

^{α ox + n eminusreacuteduction}

^oxydation

^{β red}

^{Nombre drsquooxydation ndash DeacutefinitionCrsquoest le nombre drsquoeacutelectrons laquo perdus raquo par rapport agrave lrsquoatome neutre}

^{Nombre drsquooxydations ndash Regravegles de deacutetermination}

^{ndash atome isoleacute neutre no 0 ndash ion simple le nombre drsquooxyda-tions est la charge de lrsquoion ndash moleacutecule ou ion complexe}

^{ndash entre deux atomes du mecircmeeacuteleacutement on attribue agrave chacun lrsquoundes eacutelectrons du doublet de liai-son}

^{ndash entre deux atomes diffeacuterentson attribue les eacutelectrons de liaisonau plus eacutelectroneacutegatif}

^{Dans tous les cas sum no = q avecq la charge de lrsquoeacutedifice atomique}

^{Oxydant ndash Reacuteducteur}

^{Un oxydant est une espegravece dontle nombre drsquooxydation peut dimi-nuer}

^{Un reacuteducteur est une espegravece dontle nombre drsquooxydation peut aug-menter}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{164 [3] Chimie}

^{Eacutequilibrage drsquoune eacutequation redoxPour eacutequilibrer une eacutequation on procegravede en}

^{1 deacuteterminant le nombre drsquoeacutelectrons eacutechangeacutes avec le nombre drsquooxy-dations}

^{2 effectuant un bilan des charges et en assurant lrsquoeacutelectroneutraliteacute avecH+ et lrsquoeacutequilibre en atomes drsquooxygegravene avec H2O}

^{3 effectuant un bilan de matiegravere}

^{Eacutelectrode agrave hydrogegravene}

^{Crsquoest lrsquoeacutelectrode de reacutefeacuterencepour les mesures de poten-tiels redox (agrave toute tempeacuteratureE0(H+H2) = 0 000 V) Cetteeacutelectrode est fictive}

^{H sous 1 bar2}

^{pH = 0}

^{Formule de Nernst}

^{E = E0 +RTnF ln}

^aαox

^aβred

^{aox activiteacute de lrsquooxydantared activiteacute du reacuteducteurAvec ndash a = 1 pour tout solide ou un li-quide pur dans la phase}

^{ndash a =c}

^{c0pour un soluteacute}

^{ndash a =pip0}

^{la pression partielle pour}

^{un gaz (dans le cas des solutionsdilueacutees)E potentiel de lrsquoeacutelectrodeE0 potentiel standard du coupleredoxn nombre drsquoeacutelectrons eacutechangeacutesF = N middot e nombre de FaradayR constante des gaz parfaitsT tempeacuterature}

^{5 Mateacuteriaux meacutetalliques 165}

^{Formule de Nernst forme usuelle}

^{E = E0 +0 06n}

^logaαox

^aβred

^{Agrave 25˚CRTF ln 10}

^{= 0 06}

^{Reacuteactions aux eacutelectrodes drsquoune pile}

^{La reacuteduction se produit agrave la ca-thodeLrsquooxydation se produit agrave lrsquoanode}

^{On symbolise une pile par}

^{ox1 red1︸︷︷︸pocircle neacutegatif}

^{ox2 red2︸︷︷︸pocircle positif}

^{Force eacutelectromotrice drsquoune pile}

^{E = E2 minus E1}

^{E force eacutelectromotrice (feacutem) de lapileE1 potentiel du couple consti-tuant lrsquoanodeE2 potentiel du couple consti-tuant la cathode}

^{5 Mateacuteriaux meacutetalliques}

^{51 Diagrammes drsquoEllingham}

^{PrincipeOn eacutetudie la formation des oxydesrameneacutee agrave une mecircme quantiteacutede dioxygegravene reacuteaction qui srsquoeacutecritsous la forme geacuteneacuterale}

^{α red +12O2 β ox}

^{On trace la courbe}

^{∆rG0 = ∆rH}

^{0 minus T∆rS0}

^{Approximation drsquoEllingham}

^{Pour construire ces diagrammes on considegravere que ∆rG0 ∆rH}

^{0 et ∆rS0}

^{sont indeacutependants de la tempeacuterature Cette approximation est appeleacuteeapproximation drsquoEllingham}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{166 [3] Chimie}

^{Allure du diagramme}

^{DrG ( )0}

^{0 T}

^{TF TE}

^{changement de pente marquantun changement drsquoeacutetat}

^oxyde

^meacutetal

^{Affiniteacute du systegraveme}

^{A =12RT ln}

^{A affiniteacute chimiquep pression du reacuteacteurpe pression drsquoeacutequilibre agrave une tem-peacuterature donneacuteeT tempeacuteratureR constante des gaz parfaits}

^{Corrosion drsquoun meacutetalUn meacutetal est oxydeacute par un oxyde dont la droite drsquoEllingham se situeau-dessus de sa propre droite}

^{52 Diagrammes potentiel-pH}

^{ConventionsConvention 1 sur le domaine frontiegravere les concentrations des deuxespegraveces sont eacutegales agrave une concentration arbitrairement choisieConvention 2 on fixe la concentration totale en un eacuteleacutement donneacute Surle domaine frontiegravere les concentrations sont reacuteparties eacutequitablement}

^{Construction du diagramme potentielndashpH}

^{1 On deacutetermine le degreacute drsquooxydation des espegraveces mises en jeu2 On calcule le pH frontiegravere pour les espegraveces de mecircme degreacute drsquooxy-dation3 On calcule avec la formule de Nernst lrsquoeacutequation des droites seacuteparantles domaines des espegraveces de degreacute drsquooxydation distincts}

^{Les droites verticales marquent des reacuteactions acido-basiquesLes droites horizontales marquent des reacuteactions redox}

^{Deacutefinition du pH}

^{pH = minus log(}

^[H3O+]

^{)La relation ci-contre nrsquoest valableqursquoen milieux dilueacutes[H3O+] concentration en ionsH3O+ dans le milieuc0 concentration standard(1 mol middot Lminus1)}

^{Produit ionique de lrsquoeau}

^{Ke =[H3O+] middot [OHminus]}

^{(c0)2= 10minus14}

^{pKe = minus log Ke = 14}

^{Ke produit ionique de lrsquoeau[H3O+] concentration en ionsH3O+ dans le milieu[OHminus] concentration en ionsOHminus dans le milieuc0 concentration standard}

^{Constante drsquoaciditeacute drsquoun couple acidobasique}

^{HA + H2O Aminus + H3O+}

^{Ka =[H3O+] middot [Aminus]}

^{[HA] middot c0}

^{pKa = minus log Ka}

^{Ka constante drsquoaciditeacute du coupleacidobasique (ne deacutepend que de latempeacuterature)[H3O+] concentration en ionsH3O+ dans le milieu[HA] concentration de lrsquoespegraveceacide dans le milieu[Aminus] concentration de lrsquoespegravecebasique dans le milieuc0 concentration standard}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{168 [3] Chimie}

^{Principaux diagrammes potentiels ndash pH}

^{0 1}

^{Fe3 +}

^{Fe2 +}

^{Zn2 +}

^Zn(OH)s

^Zn(OH)4

^{2 -}

^Fe(OH)2

^Fe(OH)3

^{Cu O2}

^Cu(OH)2

^{Cu2 +}

^{Diagramme potentiel ndash pH de lrsquoeau}

^{Le couple H2 H2O est repreacutesenteacute par une droite de pente minus0 06 etdrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine 0 00 V}

^{Le couple H2O OHminus est repreacutesenteacute par une droite de pente minus0 06et drsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine 1 23 V}

^{53 Courbes intensiteacutendashpotentiel}

^{Tension minimale agrave appliquer}

^{U gt∆rG}

^{U tension appliqueacutee∆rG enthalpie libre de la reacuteactionF nombre de Faraday}

^{Intensiteacute du courant ndash Vitesse de reacuteaction}

^{i = nFdξ}

^{v =1V}

^{i intensiteacute du courantn nombre drsquoeacutelectrons eacutechangeacutesau cours de la reacuteactionF nombre de Faradayξ avancement de la reacuteactionV volume de solution eacutelectrolyteLa vitesse de reacuteaction et lrsquointen-siteacute sont proportionnelles}

^{Montage expeacuterimental}

^{Egeacuteneacuterateur}

^{microampegraveremegravetre(galvanomegravetre)}

^{eacutelectrodes de travail}

^{eacutelectrodede reacutefeacuterence}

^{millivoltmegravetre}

^{Systegraveme lent ndash Systegraveme rapide}

^{Systegraveme rapideSystegraveme lent (existence de surten-sions ηA et ηC respectivement ano-diques et cathodiques)}

^vhAhC

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{170 [3] Chimie}

^{Courant limite de diffusion}

^{i lim}

^{Le pheacutenomegravene de diffusion limitela vitesse de deacuteplacement des eacutelec-trons il existe donc un courant li-mite}

^{Tension agrave appliquer}

^{U = EA minus EC︸︷︷︸thermodynamique}

^{+ ηA minus ηC︸︷︷︸cineacutetique}

^{U tension agrave appliquerEA potentiel du couple delrsquoanodeEC potentiel du couple de la ca-thodeηA surtension anodiqueηC surtension cathodiquer reacutesistance interne de lrsquoeacutelectro-lytei intensiteacute du courant}

^{54 Corrosion}

^{Reacuteaction de corrosion}

^{M + ox minusrarr Mn+ + red}

^{M meacutetal qui va ecirctre corrodeacuteox un meilleur oxydant que lemeacutetalMn+ cation associeacute au meacutetal dansun couple redoxred reacuteducteur associeacute agrave lrsquooxydantox}

^{Corrosion avec des eacutelectrodes diffeacuterentes}

^{Quand les eacutelectrodes sont diffeacuterentes crsquoest le meacutetal qui a le plus petitpotentiel redox qui se corrode}

^{Corrosion avec des eacutelectrodes identiquesDans le cas drsquoune pile de concen-tration crsquoest le meacutetal qui plongedans la solution la plus dilueacutee quise corrode}

^{Crsquoest le meacutetal qui plonge dans lasolution la moins aeacutereacutee qui se cor-rode}

^{Domaines de corrosion drsquoimmuniteacute et de passivationndash On appelle domaine de corrosion le(s) domaine(s) drsquoun diagrammeEndashpH ougrave le meacutetal se retrouve sous forme drsquoionsndash On appelle domaine drsquoimmuniteacute le domaine drsquoun diagramme EndashpHougrave le meacutetal est stable (il nrsquoest pas corrodeacute)ndash On appelle domaine de passivation le domaine drsquoun diagramme EndashpH ougrave le meacutetal se retrouve sous forme de preacutecipiteacute qui est susceptiblede former une couche protectrice agrave la surface du meacutetal}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Annexe A mformulairetex 2772008 2251Page 173}

^{Annexe APrimitives usuelles}

^{Primitive Intervalleint dtt}

^{= ln |t|+ k Rlowastint}

^{cos t dt = sin t + k Rint dt}

^{cos2 t= tan t + k R}

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{int dtcos t}

^{= ln∣∣∣∣tan}

^{)∣∣∣∣+ k R π}

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{inttan t dt = minus ln | cos t|+ k R}

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{intch t dt = sh t + k R}

^{int dt}

^{ch2 t= th t + k R}

^{int dtch t}

^{= 2Arctan et + k R}

^{intth t dt = ln ch t + k R}

^{intemt dt =}

^{1memt + k (m isin Clowast) R}

^{inttα dt =}

^tα+1

^{α + 1+ k (α isin Rminus minus1) R}

^{intsin t dt = minus cos t + k R}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{174 [A] Primitives usuelles}

^{int dt}

^{sin2 t= minus cot t + k R kπ k isin Z}

^{int dtsin t}

^{= ln∣∣∣∣tan}

^{∣∣∣∣+ k R kπ k isin Z}

^{intcot t dt = ln | sin t|+ k R kπ k isin Z}

^{intsh t dt = ch t + k R}

^{int dt}

^{sh2 t= minus coth t + k Rlowast}

^{int dtsh t}

^{= ln∣∣∣∣th}

^{∣∣∣∣+ k Rlowast}

^{intcoth t dt = ln | sh t|+ k R}

^{intat dt =}

^{ln a+ k (a isin Rlowast+ minus 1) R}

^{Dans la suite on suppose a isin Rlowastint dt}

^{t2 + a2=}

^1aArctan

^{a+ k R}

^{int dtradica2 minus t2}

^{Arcsin t}

^{|a| + k}

^{minusArccos t|a| + k}

^{]minus a a[}

^{int dtradict2 + a2}

^{Argsh t}

^{|a| + k}

^{ln(t +radict2 + a2}

^{)+ k}

^{int dtradict2 minus a2}

^Argcht

^{|a| + k}

^{ln(t +radic}

^{t2 minus a2)}

^{+ k]|a|+infin[}

^{minusArgch∣∣∣∣t}

^{∣∣∣∣+ k}

^{ln∣∣∣t +}

^{radict2 minus a2}

^{∣∣∣+ k]minusinfin |a|[}

^{int dtradict2 + b}

^{= ln∣∣∣t +}

^{radict2 + b}

^{∣∣∣ + k (b isinRlowast)}

^{R [minusb b]}

^{int dtt2 minus a2}

^{Argth t + k ]minus 1 1[12a}

^{ln(tminus a}

^{t + a}

^{)+ k Rminus minusa a}

^{Annexe B mformulairetex 2772008 2251Page 175}

^{Annexe BDeacuteveloppements limiteacutes}

^{Principaux deacuteveloppements limiteacutes1}

^{1minus x= 1 + x + x2 + x3 + middot middot middot+ xn + o(xn)}

^{(1+x)α =1+αx+α(αminus1)}

^{2x2+middot middot middot+α(αminus1) middot middot middot (αminusn+1)}

^{nxn+ o}

^xrarra(xn)

^{radic1+x = 1+}

^{12xminus 1}

^{2 middot 4 x2+middot middot middot+(minus1)nminus1 1 middot 3 middot 5 middot middot middot (2nminus3)}

^{2 middot 4 middot 6 middot middot middot 2n xn+o(xn)}

^{1radic1 + x}

^{= 1 minus 12x +}

^{1 middot 32 middot 4 x}

^{2 + middot middot middot + (minus1)n 1 middot 3 middot 5 middot middot middot (2nminus 1)2 middot 4 middot 6 middot middot middot 2n xn +}

^o(xn)

^{ln(1 + x) = xminus x2}

^{3minus x4}

^{4+ middot middot middot+ (minus1)n+1 x}

^{n+ o(xn)}

^{ln(1minus x) = minusxminus x2}

^{2minus x3}

^{3minus x4}

^{4minus middot middot middot minus xn}

^{n+ o(xn)}

^{ln(a + x) = ln a +x}

^{aminus x2}

^{3a3+ middot middot middot+ (minus1)n+1 x}

^{an+ o(xn)}

^{ex = 1 + x +x2}

^{3+ middot middot middot+ xn}

^{n+ o(xn)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{176 [B] Deacuteveloppements limiteacutes}

^{cos x = 1minus x2}

^{4minus x6}

^{6+ middot middot middot+ (minus1)n x2n}

^{(2n)+ o(x2n+1)}

^{ch x = 1 +x2}

⁴⁺

^{6+ middot middot middot+ x2n}

^{(2n)+ o(x2n+1)}

^{sin x = xminus x3}

^{5minus x7}

^{7+ middot middot middot+ (minus1)n x2n+1}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{sh x = x +x3}

⁵⁺

^{7+ middot middot middot+ x2n+1}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{tan x = x +x3}

²¹⁵

^{x5 +17315}

^{x7 + o(x7)}

^{th x = xminus x3}

²¹⁵

^{x5 minus 17315}

^{x7 + o(x7)}

^{Arccos x =π}

^{2minus x minus 1}

^{3minus middot middot middot minus 1 middot 3 middot 5 middot middot middot (2nminus 1)}

^{2 middot 4 middot 6 middot middot middot 2nx2n+1}

^{2n + 1+}

^o(x2n+2)

^{Arcsin x = x +12x3}

^{3+ middot middot middot+ 1 middot 3 middot 5 middot middot middot (2nminus 1)}

^{2n + 1+ o(x2n+2)}

^{Arctan x = xminus x3}

^{5minus x7}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{Argch x nrsquoest pas deacutefini au voisinage de 0 et nrsquoadmet pas de deacutevelop-pement limiteacute au voisinage de 1 (tangente verticale)}

^{Argsh = xminus 12x3}

^{1 middot 32 middot 4}

^{5+ middot middot middot+(minus1)n 1 middot 3 middot 5 middot middot middot (2nminus1)}

²ⁿ⁺¹⁺

^o(x2n+2)

^{Argth x = x +x3}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{Annexe C mformulairetex 2772008 2251Page 177}

^{Annexe CFormulestrigonomeacutetriques}

^{1 Angles remarquables}

^{sin 012}

^radic22

^radic32

^{1 0}

^{cos 1}

^radic32

^radic22

^{0 minus1}

^{tan 0}

^radic33

^{1radic3 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{178 [C] Formules trigonomeacutetriques}

^{2 Relations trigonomeacutetriques}

^{Relations entre les rapports trigonomeacutetriques drsquoun mecircme arc}

^{cos2 a + sin2 a = 1}

^{tan a =sin a}

^{cos acot a =}

^{cos asin a}

^{1 + tan2 a =1}

^{cos2 a1 + cot2 a =}

^{sin2 a}

^{cos2 a =1}

^{1 + tan2 asin2 a =}

^{11 + cot2 a}

^{Formules drsquoadditioncos(a + b) = cos a cos bminus sin a sin bcos(aminus b) = cos a cos b + sin a sin bsin(a + b) = sin a cos b + cos a sin bsin(aminus b) = sin a cos bminus cos a sin b}

^{tan(a + b) =tan a + tan b}

^{1minus tan a tan b}

^{tan(aminus b) =tan aminus tan b}

^{1 + tan a tan b}

^{Formules de duplication}

^{cos(2a) =}

^{cos2 aminus sin2 a2 cos2 aminus 11minus 2 sin2 a}

^{sin(2a) = 2 sin a cos a}

^{tan(2a) =2 tan a}

^{1minus tan2 a}

^{Expression de cos a sin a tan a en fonction de tan a2}

^{cos a =1minus tan2 a}

^{21 + tan2 a}

^{sin a =2 tan a}

^{21 + tan2 a}

^{tan a =2 tan a}

^{21minus tan2 a}

^{Transformations de produits en sommes}

^{cos a cos b =12}

^{(cos(aminus b) + cos(a + b))}

^{sin a sin b =12}

^{(cos(aminus b)minus cos(a + b))}

^{sin a cos b =12}

^{(sin(a + b) + sin(aminus b))}

^{sin b cos a =12}

^{(sin(a + b)minus sin(aminus b))}

^{cos2 a =1 + cos(2a)}

^{2sin2 a =}

^{1minus cos(2a)2}

^{Transformation des sommes en produits}

^{cos p + cos q = 2 cosp + q}

^{pminus q}

^{cos pminus cos q = minus2 sin p + q}

^{pminus q}

^{sin p + sin q = 2 sinp + q}

^{pminus q}

^{sin pminus sin q = 2 sinpminus q}

^{p + q}

^{21 + cos a = 2 cos2}

^{21minus cos a = 2 sin2}

^{Arcs associeacutescos(minusa) = cos a sin(minusa) = minus sin acos(π + a) = minus cos a sin(π + a) = minus sin acos(πminus a) = minus cos a sin(πminus a) = sin a}

^cos(π

^{2minus a)}

^{= sin a sin(π}

^{2minus a)}

^{= cos a}

^cos(π

^{2+ a)}

^{= minus sin a sin(π}

^{2+ a)}

^{= cos a}

^{tan(π + a) = tan a cot(π + a) = cot a}

^tan(π

^{2minus a)}

^{= cot a cot(π}

^{2minus a)}

^{= tan a}

^tan(π

^{2+ a)}

^{= minus cot a cot(π}

^{2+ a)}

^{= minus tan a}

^{Fonctions circulaires reacuteciproques}

^{Arctan x + Arctan1x}

^2sgnx

^{forall(a b) isin R2}

^{Arctan a + Arctan b =}

^{Arctana + b}

^{1minus absi ab lt 1}

^{2sgn a si ab = 1}

^{Arctana + b}

^{1minus ab+ π sgn a si ab gt 1c copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2sgn x}

^{Trigonomeacutetrie hyperbolique}

^{sh x =ex minus eminusx}

^{2ch x =}

^{ex + eminusx}

^{2ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b sh(a + b) = sh a ch b + ch a sh bch(aminus b) = ch a ch bminus sh a sh b sh(aminus b) = sh a ch bminus ch a sh b}

^{th(a + b) =th a + th b}

^{1 + th a th bth(aminus b) =}

^{th a + th b}

^{1minus th a th b}

^{ch 2a =}

^{ch2 a + sh2 a2 ch2 aminus 11 + 2 sh2 a}

^{sh 2a = 2 sh a ch a}

^{ch2 xminus sh2 x = 1}

^{th 2a =2 th a}

^{1 + th2 ach p + ch q = 2 cosh}

^{p + q}

^{pminus q}

^{ch pminus ch q = 2 shp + q}

^{pminus q}

^{sh p + sh q = 2 shp + q}

^{pminus q}

^{sh pminus sh q = 2 coshp + q}

^{pminus q}

^{Annexe D mformulairetex 2772008 2251Page 181}

^{Annexe DOpeacuterateurs vectoriels}

^{Cette annexe sert essentiellement en physique mais elle peut trouver sonutiliteacute en chimie (par exemple lrsquoHamiltonien comporte un laplacien) ou enmaths (notamment dans le cadre du chapitre des fonctions de plusieurs va-riables)}

^{1 Notations}

^{Opeacuterateur Nabla}

^{On utilise tregraves souvent lrsquoopeacuterateur laquo Nabla raquo}

^{partpartxpart}

^{partypartpartz}

^{Champs utiliseacutes par la suiteDans la suite on considegravere un champ vectoriel}

^{AAA(M) =}

^{Ax(x y z)Ay(x y z)Az(x y z)}

^iiijjjkkk

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{182 [D] Opeacuterateurs vectoriels}

^{On consideacuterera eacutegalement un champs vectoriel BBB et le champs scalaireV(x y z)}

^{2 Gradient}

^{gradV =nablanablanablaV =}

^partVpartx

^{(x y z)}

^partVparty

^{(x y z)}

^partVpartz

^{(x y z)}

^partVpartr

^partVpartθ

^partVpartz

^uuuθ

^{gradV =}

^partVpartr

^partVpartθ

^{1r sin θ}

^partVpartϕ

^uuuθ

^uuuϕ

^{3 Divergence}

^{div A =partAx}

^partx+

^partAy

^party+

^partAz

^{partz=nablanablanablaAAA}

^{div A =1r}

^partpartr

^{(r middot Ar) +1r}

^partAθ

^partθ+

^partAz

^partz

^{div A =1r2}

^partpartr

^{(r2 middot Ar) +1}

^{r sin θ}

^partpartθ

^{(sin θAθ) +1}

^{r sin θ}

^partAϕ

^partϕ

^{4 Rotationnel}

^{rot A =nablanablanablaandAAA =}

^{partpartxpart}

^{partypartpartz}

^partAz

^{partyminus partAy}

^partzpartAx

^{partzminus partAz}

^partxpartAy

^{partxminus partAx}

^party

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{rot A =}

^partAz

^{partθminus partAθ}

^partzpartAr

^{partzminus partAx}

^partr1r

^partpartr

^{(r middot Aθ)minus 1r}

^partAr

^partθ

^{rot A =}

^{1r sin θ}

^(part

^{partθ(Aϕ sin θ)minus partAθ}

^partϕ

^{sin θ}

^partAr

^{partϕminus part}

^{partr(r middot Aϕ}

^(partpartr

^{(r middot Aθ)minus partAr}

^partθ

^{5 Laplacien}

^{Coordonneacutees carteacutesiennesLaplacien scalaire}

^{∆V = nabla2V =part2Vpartx2}

^{+part2Vparty2}

^{+part2Vpartz2}

^{= div (gradV)}

^{Laplacien vectoriel}

^{∆AAA =nablanablanabla2AAA =}

^{∆Ax =part2Ax}

^partx2+

^part2Ax

^party2+

^part2Ax

^partz2

^{∆Ay =part2Ay}

^partx2+

^part2Ay

^party2+

^part2Ay

^partz2

^{∆Az =part2Az}

^partx2+

^part2Az

^party2+

^part2Az

^partz2

^{Coordonneacutees cylindriquesLaplacien scalaire}

^{∆V =1r}

^partVpartr

^{+part2Vpartr2}

^{part2Vpartθ2 +}

^part2Vpartz2

^{∆V =1r}

^partpartr

^partVpartr

⁾⁺

^{part2Vpartθ2 +}

^part2Vpartz2

^{Le Laplacien vectoriel nrsquoa pas ici drsquoexpression simple}

^{Coordonneacutees spheacuteriquesLe Laplacien scalaire est}

^{∆V =1r}

^partpartr2

^{(rV) +1}

^{r2 sin2 θ}

^{part2Vpartϕ2 +}

^{r2 sin2 θ}

^partpartθ

^{(sin θ}

^partVpartθ

^{6 Relations entre les opeacuterateurs}

^{Opeacuterateur A middot grad}

^{(BBBgrad)AAA =}

^{(BBBnablanablanabla) Ax}

^{(BBBnablanablanabla) Ay}

^{(BBBnablanablanabla) Az}

^BxpartAx

^{partx+ By}

^partAx

^{party+ Bz}

^partAx

^partz

^BxpartAy

^{partx+ By}

^partAy

^{party+ Bz}

^partAy

^partz

^BxpartAz

^{partx+ By}

^partAz

^{party+ Bz}

^partAz

^partz

^{En coordonneacutees cylindriques et spheacuteriques lrsquoexpression nrsquoest plus li-siblec copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Autres relationsrotrotrot (gradU) = 0div (rot A) = 0∆AAA = grad(div A)minus rotrotrot (rot A)grad(U middotV) = U gradV +V gradUdiv (V middotAAA) = V div A +AAA middot gradVrotrotrot (V middotAAA) = V rot A + (gradV) andAAAdiv (AAA andBBB) = BBB middot rot AminusAAA middot rot B}

^{7 Theacuteoregravemes geacuteomeacutetriques}

^{Theacuteoregraveme drsquoOstrogradskiintcopyint}

^{Misin(S)AAA(M)nnnext dS =}

^intintint

^{Misin(V)div A(M) dV}

^{Theacuteoregraveme de Stokes∮}

^{Misin(C)AAA(M)dM =}

^intint

^{Misin(S)rot Annn(P) dS}

^{Theacuteoregraveme du gradientintcopyint}

^{Misin(S)U(M)nnnext dS =}

^intintint

^{Misin(V)gradA(M) dV}

^{Autre formulation (avec les notations adopteacutees pour le theacuteoregraveme deStokes) ∮}

^{Misin(C)U(M)dMdMdM =}

^intint

^{Misin(S)nnn(M) and gradU(M) dS}

^{Annexe E mformulairetex 2772008 2251Page 187}

^{Annexe EUniteacutes et constantesfondamentales}

^{1 Uniteacutes du Systegraveme International}

^{On distingue trois types drsquouniteacutes dans le Systegraveme International les uniteacutesde base les uniteacutes suppleacutementaires (ces deux premiegraveres cateacutegories eacutetant di-mensionnellement indeacutependante) et les uniteacutes suppleacutementaires et deacuteriveacuteesqui peuvent srsquoexprimer en fonction des premiegraveres}

^{11 Uniteacutes principales du systegraveme international}

^{Grandeur physique Uniteacute SymboleLongueur megravetre mMasse kilogramme kgTemps seconde sCourant eacutelectrique ampegravere ATempeacuterature kelvin KQuantiteacute de matiegravere mole molIntensiteacute lumineuse candela cdc copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{188 [E] Uniteacutes et constantes fondamentales}

^{12 Uniteacutes secondaires du systegraveme international}

^{Grandeur physique Uniteacute SymboleAngle radian radAngle solide steradian sr}

^{13 Uniteacutes courantes du systegraveme international}

^{Grandeur physique Uniteacute SymboleFreacutequence hertz Hzharr sminus1}

^{Force newton Nharr kg middotm middot sminus2Eacutenergie joule Jharr m middotNPuissance watt Wharr J middot sminus1Pression pascal Paharr N middotmminus2Charge eacutelectrique coulomb Charr A middot sDiffeacuterence de potentiel eacutelectrique volt Vharr Aminus1 middotm middotN middot sminus1Reacutesistance eacutelectrique ohm Ω harr Aminus1 middotm middotN middot sminus2Conductance eacutelectrique siemens Sharr A2 middotN middot sCapaciteacute eacutelectrique farad Fharr A2 middotmminus1 middotNminus1 middot s2Champ magneacutetique tesla Tharr Aminus1 middotmminus1 middotNInductance henry Hharr Aminus2 middotm middotNFlux magneacutetique weber Wbharr Aminus1 middotm middotNFlux lumineux lumen lmharr cd middot srIllumination lux lxharr cd middotmminus2 middot sr}

^{14 Multiples deacutecimaux pour les uniteacutes}

^{Facteur Preacutefixe Symbole Facteur Preacutefixe Symbole10 deacuteca- da 10minus1 deacuteci- d102 hecto- h 10minus2 centi- c103 kilo- k 10minus3 milli- m106 meacutega- M 10minus6 micro- micro}

^{109 giga- G 10minus9 nano- n1012 tera- T 10minus12 pico- p1015 peta- P 10minus15 femto f1018 exa- E 10minus18 atto- a}

^{2 Constantes fondamentales}

^{Constante ValeurConstante de gravitation G = 6 67259 middot 10minus11 m3 middot kgminus1 middot sminus2Ceacuteleacuteriteacute de la lumiegravere dans levide}

^{c = 299792458 m middot sminus1c asymp 3 middot 108 m middot sminus1}

^{Permeacuteabiliteacute du videmicro0 = 4π middot 10minus7 H middotmminus1micro0 asymp 1 25664 middot 10minus6 H middotmminus1}

^{Permittiviteacute du vide ε0 asymp 8 85419 middot 10minus12 F middotmminus1}

^{Constante de Planck h = 6 6260755 middot 10minus34 J middot sminus1h = 4 135669 middot 10minus15 eV middot s}

^{Constante des gaz parfaits R = 8 314 J middotKminus1 middotmolminus1}

^{Nombre drsquoAvogadro N = 6 0221367 middot 1023 molminus1}

^{Constante de Boltzmann k = 1 380658 middot 10minus23 J middotKminus1Charge eacuteleacutementaire e = 1 602217733 middot 10minus19 CConstante de Faraday F = 96485 309 C middotmolminus1}

^{Constante de Stefan-Boltzmann σ = 5 67051 middot 10minus8 W middotmminus2 middotKminus4}

^{3 Ordres de grandeurs}

^{Grandeur ValeurConductiviteacute du meacutetal σ asymp 108 Ωminus1 middotmminus1Tension de seuil pour une diode Vd asymp 0 6 VChamp de pesanteur agrave la surface de la Terre g = 9 8 m middot sminus2Rayon terrestre RT = 6400 kmMasse de la Terre MT asymp 6 middot 1024 kgAltitude drsquoun satellite geacuteostationnaire H asymp 36 000 kmDistance Terre-Soleil dTminusS asymp 1 5 middot 1011 mDistance Terre-Lune dTminusL asymp 3 8 middot 108 mMasse du soleil MS asymp 2 middot 1030 kgCoefficient de frottement acier-acier micro asymp 0 2Raideur drsquoun ressort k asymp 100 N middotmminus1Masse du proton mp = 1 673 middot 10minus27 kgMasse du neutron mn = 1 675 middot 10minus27 kgMasse de lrsquoeacutelectron me = 9 109 middot 10minus31 kg}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Annexe F mformulairetex 2772008 2251Page 191}

^{Annexe FConstantes chimiques}

^{Potentiels standards redox}

^{(Agrave 25˚C 1013 bar pH=0)}

^{Couples redox E0 en voltsMnOminus4 + 4H+ + 3eminus larrrarr MnO2 + 2H2O 1700MnOminus4 + 8H+ + 5eminus larrrarr Mn2+ + 4H2O 1490Cr2O}

^{2minus7 + 14H+ + 6eminus larrrarr 2Cr3+ + 7H2O 1330}

^{MnO2 + 4H+ + 2eminus larrrarr Mn2+ + 2H2O 1230Br2 + 2eminus larrrarr 2Brminus 1090Hg2+ + 2eminus larrrarr Hg 0850Ag+ + eminus larrrarr Ag 0798Hg+ + eminus larrrarr Hgminus 0790Fe3+ + eminus larrrarr Fe2+ 0780MnOminus4 + eminus larrrarr MnO2minus}

^{4 0560I2 + 2eminus larrrarr 2Iminus 0540Cu2+ + 2eminus larrrarr Cu 0340Cu2+ + eminus larrrarr Cu+ 01502H+ + 2eminus larrrarr H2 0000Fe3+ + 3eminus larrrarr Fe minus0040}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{192 [F] Constantes chimiques}

^{Couples redox E0 en voltsPb2+ + 2eminus larrrarr Pb minus0120Sn2+ + 2eminus larrrarr Sn minus0140Fe2+ + 2eminus larrrarr Fe minus0441Zn2+ + 2eminus larrrarr Zn minus0762Mn2+ + 2eminus larrrarr Mn minus1180Al3+ + 3eminus larrrarr Al minus1660Na+ + eminus larrrarr Na minus2715Ca2+ + 2eminus larrrarr Ca minus2763Ba2+ + 2eminus larrrarr Ba minus2900K+ + eminus larrrarr K minus2924}

^{Annexe G mformulairetex 2772008 2251Page 193}

^{Annexe GTableau peacuteriodique}

^{1re colonne alkalins meacutetalliques}

^{2e colonne alkalino terreux}

^{Colonnes 3ndash11 meacutetaux de transition}

^{Colonne 17 halogegravenes}

^{Colonnes 18 gaz rares}

^{Gaz noble Meacutetaux}

^{Meacutetaux de transition Alkalin meacutetaliques}

^{Halogegravene Espegravece rare}

^{Non meacutetaux Alkalino terreux}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{194 [G] Tableau peacuteriodique}

^{1 2 3 4 5 6 7 8 9}

^{1I H}

^{hydrogegravene}

^{10083 4 numeacutero atomique minusrarr 6}

^{II Li Be C larrminus symbolelithium beacuteryllium nom de lrsquoeacuteleacutement minusrarr carbone}

^{694 901 1201 larrminusmasse atomique11 12}

^{III Na Mgsodium magneacutesium}

^{2299 243119 20 21 22 23 24 25 26 27}

^{IV K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Copotassium calcium scandium titane vanadium chrome manganegravese fer cobalt}

^{3910 4008 4496 4788 5094 5200 5494 5585 589337 38 39 40 41 42 43 44 45}

^{V Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rhrubidium strontium yttrium zirconium niobium molybdegravene techneacutetium rutheacutenium rhodium}

^{8547 8762 8891 9122 9221 9594 9891 1011 102955 56 57 72 73 74 75 76 77}

^{VI Cs Ba La Hf Ta W Re Os Irceacutesium baryum lanthane hafnium tantale tungstegravene rheacutenium osmium iridium}

^{1329 1373 1389 1785 1809 1839 1862 1902 192287 88 89}

^{VII Fr Ra Acfrancium radium actinium}

^{2230 2260 2270}

^{58 59 60 61 62Ce Pr Nd Pm Smceacuterium praseacuteodyme neacuteodyme promeacutethium samarium}

^{1401 1409 1442 1449 150490 91 92 93 94Th Pa U Np Pu}

^{thorium protactinium uranium neptunium plutonium}

^{2320 2310 2380 2370 2441}

¹⁹⁵

^{10 11 12 13 14 15 16 17 18}

^{2Heheacutelium}

^{40035 6 7 8 9 10B C N O F Nebore carbone azote oxygegravene fluor neacuteon}

^{1081 1201 1401 1600 1900 201813 14 15 16 17 18Al Si P S Cl Ar}

^{aluminium silicium phosphore soufre chlore argon}

^{2698 2809 3097 3207 3545 399528 29 30 31 32 33 34 35 36Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Krnickel cuivre zinc gallium germanium arsenic seacuteleacutenium brome krypton}

^{5869 6355 6539 6972 7259 7492 7896 7990 838046 47 48 49 50 51 52 53 54Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe}

^{palladium argent cadmium indium eacutetain antimoine tellure iode xeacutenon}

^{1064 1079 1124 1148 1187 1218 1276 1269 131378 79 80 81 82 83 84 85 86Pt Au Hg Ti Pb Bi Po At Rn}

^{platine or mercure thallium plomb bismuth polonium astate radon}

^{1951 1970 2006 2044 2072 2090 2100 2100 2220}

^{63 64 65 66 67 68 69 70 71Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu}

^{europium gadolinium terbium dysprosium holmium erbium thulium ytterbium luteacutetium}

^{1520 1573 1589 1625 1649 1673 1689 1730 175095 96 97 98 99 100 101 102 103Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr}

^{ameacutericium curium berkeacutelium californium einstenium fermium mendeacutelevium nobeacutelium lawrencium}

^{2431 2471 2471 2521 2521 2571 2561 2591 2601}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Index

^{Abel (lemme drsquondash) 51absorption 137accroissements finis}

^{(theacuteoregraveme des) 39activiteacute 164adheacuterence 29adiabatique (transformation ndash) 81adjoint (drsquoun}

^{endormorphisme) 24affiniteacute 145Alembert}

^{eacutequation drsquondash 132regravegle de drsquondash 49theacuteoregraveme de drsquondash 10}

^{algegravebre 5Ampegravere (theacuteoregraveme drsquondash) 121amplificateur opeacuterationnel 73angles remarquables 177anneau 3application}

^{composition 11injective 11lipschitizienne 37surjective 11}

^{application lineacuteaire 12ndash17image 15 16noyau 15 16rang 15}

^{application lineaire}

^{spectre 26approximation des eacutetats quasi}

^{stationnaires (AEQS) 149arrangement 5Arrheacutenius (loi drsquondash) 149asymptote 61asymtote 63auto-induction 126automorphisme 15automorphismes}

^{orthogonaux 25avancement drsquoune reacuteaction 148}

^{base 13changement de ndash 19duale 14}

^{Bertrandseacuterie de ndash 48}

^{Bessel (ineacutegaliteacute de ndash) 23Bezout}

^{eacutegaliteacute de 9Bezout (theacuteoregraveme de ndash) 7binocircme (de Newton) 6Binet (formules de ndash) 100Biot et Savart (loi de ndash) 121Bolzano-Weiertrass}

^{(theacuteoregraveme de ndash) 35boule}

^{fermeacutee 28ouverte 28}

^{branche infinie 61}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{198 INDEX}

^{branche parabolique 61}

^{capaciteacutes thermiques 78Cauchy}

^{critegravere de ndash 49produit de ndash 50regravegle de ndash 49suite de ndash 30}

^{Cauchy-Lipschitz (theacuteoregravemede ndash) 45}

^{Cauchy-Schwarz (ineacutegaliteacute de ndash)22}

^{Cayley-Hamilton (theacuteoregraveme de ndash) 27}

^{centre drsquointertie (theacuteoregravemedu ndash) 91}

^{chaleur latente 83champ}

^{gravitationnel 119magneacutetostatique 121}

^{champeacutelectrostatique 118}

^{changement de reacutefeacuterentiel 90Chasles (relation de ndash) 43cineacutetique chimique 148Clapeyron (relation de ndash) 83classe (drsquoune fonction) 39classe drsquoeacutequivalence 2codimension 14coefficients}

^{thermoeacutelastiques 77combinaison 6compacte (partie) 29complegravete (partie ndash) 30complexe (nombre ndash) 32ndash33composition}

^{des acceacuteleacuterations 90des vitesses 90}

^{conduction de la chaleur 85coniques 68conjugueacute (drsquoun nombre complexe)}

^{32connexiteacute par arcs 30constante}

^{drsquoeacutecran 143drsquoaciditeacute 167}

^{de vitesse (drsquoune reacuteaction) 148continuiteacute 36continuiteacute uniforme 37convection 85convegence}

^{simple (seacuterie drsquoapplications)55}

^{convergenceabsolue (seacuterie drsquoapplications)}

^{55absolue (seacuterie) 50normale (seacuterie drsquoapplications)}

^{55normale (seacuterie de Fourier) 57semi-convergence (seacuterie) 50simple (suite drsquoapplications)}

^{52theacuteoregraveme de ndash domineacutee (suite}

^{drsquoapplications) 54theacuteoregraveme de ndashmonotone (suite}

^{drsquoapplications) 54uniforme (seacuterie drsquoapplications)}

^{55uniforme (suite drsquoapplications)}

^{52convexiteacute 40convexiteacute (ineacutegaliteacute de ndash) 40coordonneacutees}

^{carteacutesiennes 88cylindriques 88polaires 62spheacuteriques 89}

^{Coriolisacceacuteleacuteration de ndash 90force de ndash 90}

^{corps 4Coulomb (lois de ndash) 105couple}

^{redox 163courbure 64Cramer (systegraveme de ndash) 21}

^{deacuteriveacutee 38partielle 58selon un vecteur 58}

^{deacuterivabiliteacute 39deacuteterminant 19}

^{INDEX 199}

^{deacuteveloppements limiteacutes 175degreacute (drsquoun polynocircme) 8Descartes (loi de ndash) 106dieacutelectriques (milieux ndash) 138diagonalisabiliteacute 27diagramme}

^{binaires 160ndash163drsquoEllingham 165E-pH 166intensiteacute-potentiel 168}

^{diffeacuteomorphisme 40diffraction 116ndash118diffusion}

^{eacutequation de ndash 67de chaleur 85}

^{direction asymptotique 61 63Dirichlet (theacuteoregraveme de ndash) 57dispersion 137}

^{relation de 134divisibiliteacute}

^{dans N 6dans K[X] 9}

^{division euclidiennedrsquoun polynocircme 9dans N 6}

^{domination (theacuteoregraveme de ndash) 42}

^{eacutelectrostatique 118endomorphisme 15}

^{adjoint 24eacutenergie}

^{cineacutetique 93cineacutetique (du solide) 101interne 77meacutecanique 93magneacutetique 127potentielle 94}

^{enthalpie 78entropie 80eacutequation}

^{drsquoonde 132diffeacuterentielle 66redox 164}

^{eacutequation diffeacuterentielle 44lineacuteaire du premier ordre 44}

^{lineacuteaire du second ordre 45eacutequilibre 94}

^{stabiliteacute drsquoun ndash 95espace}

^{euclidien 30preacutehilbertien 30vectoriel 5 12ndash17vectoriel normeacute 27ndash31}

^{extremum local 59}

^{factorielle 5famille}

^{geacuteneacuteratrice 13libre 13}

^{Faraday (loi de ndash) 126 128fermeacute 28filtre 71ndash73flux}

^{du champ magneacutetique 126thermique 85}

^{fonctionde plusieurs variables 58de transfert 71reacuteelle de la variable}

^{reacuteelle 35ndash38trigonomeacutetrique}

^{reacuteciproque 38fonctions implicites (theacuteoregraveme}

^{des ndash) 59force}

^{centrale 99drsquoinertie 90de Lorentz 98}

^{formelineacuteaire 14quadratique 22}

^{forttements solide 105Fourier}

^{loi de ndash 85seacuteries de ndash 57}

^{fraction rationnelle 10ndash11Fresnel}

^{miroirs de ndash 115principe drsquoHuyghens ndash 116}

^{Gaussapproximation de ndash 107}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{200 INDEX}

^{theacuteoregraveme de ndash 7 119gaz parfait 76Gibbs}

^{regravegle des phases de ndash 159relation deGibbsndashDuhem 153relation de GibbsndashHelmoltz}

^{153gradient 58Grassman (formule de ndash) 17groupe 2}

^{cyclique 3geacuteneacuterateurs de ndash 3monogegravene 3}

^{Heine (theacuteoregraveme de ndash) 37Henry (loi de ndash) 160Hess (loi de ndash) 157Hund (principe de ndash) 145hysteacuteresis 130}

^{ideacuteal 4identiteacutes thermodynamiques 80ineacutegaliteacute de la moyenne 41induction}

^{de Lorentz 128de Neumann 126}

^{inertie (force drsquondash) 90injective 11inteacutegrale}

^{deacutependant drsquoun paramegravetre43}

^{de Riemann 42impropre 43}

^{inteacutegration 41ndash44inteacuterieur (drsquoune partie) 29interfeacuterences 109ndash116interfeacuteromegravetre}

^{de Fabry-Perot 115de Michelson 112}

^{intgreacuteationpar parties 41}

^{isomorphisme 15}

^{jauge de Lorentz 124}

^{Kœnig (theacuteoregravemes de ndash) 92 93103 104}

^{Kepler (lois de ndash) 100Klechkowsky (regravegle de ndash) 145}

^{lames agrave retard 135Laplace (force de ndash) 122Le Chacirctelier (loi de ndash) 159Leibniz (formule de ndash) 39lemme drsquoAbel 51lentille mince 108Lenz (loi de ndash) 126limite 36lipschitzienne (application ndash) 37loi}

^{drsquoArrheacutenius 149drsquoOhm 125de Biot et Savart 121de composition 2de Faraday 126 128de Fourier 85de Hess 157de Le Chacirctelier 159de Lenz 126de Planck 86de Pouillet 69de Raoult 160de SnellndashDescartes 106 140de Stefan 87de Vanrsquot Hoff 149des mailles 69des noeuds 69}

^{longueur (drsquoun arc) 64}

^{machinesthermiques 83}

^{magneacutetostatique 121Malus (theacuteoregraveme de ndash) 110mateacuteriaux magneacutetiques 129matrice 17ndash22}

^{exponentielle de ndash 19inverse 20opeacuterations 18produit 18}

^{Maxwelleacutequations de ndash dans le vide}

¹²³

^{INDEX 201}

^{eacutequations de ndash dans lesmilieux 139}

^{eacutequation de ndash en ARQS 129Minkowski (ineacutegaliteacute de ndash) 23miroirs}

^{de Fresnel 115spheacuteriques 107}

^{modes propres 131module (drsquoun nombre complexe)}

^{32Moivre (formule de ndash) 33moment cineacutetique 92}

^{theacuteoregraveme du ndash 92 103multipliciteacute (des racines) 10}

^{Nernst (formule de ndash) 164Newton}

^{binocircme de ndash 6nombre}

^{drsquooxydations 163entier 5ndash7premier 7quantique 143rationnel 5ndash7}

^{normeeacutequivalente 28euclidienne 22}

^{Ohm (loi drsquondash) 125onde}

^{eacutelectromagneacutetique 134ndash140eacutequation drsquondash 132lumineuse 109plane progressive 133stationnaire 133}

^{orbitaleatomique 144moleacuteculaire 147}

^{orthogonaliteacute 23oscillateurs 95}

^{coupleacutes 131ouvert 28oxydo-reacuteduction 163}

^{paramagneacutetisme 129Parseval (eacutegaliteacute de ndash) 57}

^{Pauli (principe de ndash) 145pgcd dans Z 7pKa 167Planck (loi de ndash) 86point}

^{bireacutegulier 59reacutegulier 59}

^{polarisationdrsquoun dieacutelectrique 138de la lumiegravere 135}

^{polynocircme 8ndash11caracteacuteristique 26scindeacute 10}

^{potentieleacutelectrique 118chimique 154redox 164}

^{Pouillet (loi de ndash) 69Poynting (vecteur de ndash) 124Poyting (vecteur de ndash) 136ppcm dans Z 7premier principe (thermodynamique)}

^{77primitives usuelles 173principe fondamental de la}

^{dynamique 91prisme 107produit scalaire 22projecteur 16puissance}

^{drsquoune force 93 104rayonneacutee 136}

^{puissance eacutelectromagneacutetique 123Pythagore (theacuteoregraveme de ndash) 30}

^{reacutefeacuterentielchangement de ndash 90galileacuteen 91}

^{reacuteflextion drsquoune onde 140reacutesultante cineacutetique (theacuteoregraveme de}

^{la ndash) 103regravegle}

^{de Klechkowsky 145regravegle des xα f (x) 42}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{202 INDEX}

^{racinedrsquoun polynocircme 10niegravemes drsquoun complexe 33niegravemes de lrsquouniteacute 33}

^{rangdrsquoune application lineacuteaire 15formule du ndash 15}

^{Raoult (loi de ndash) 160rayon de courbure 64relation}

^{binaire 1drsquoeacutequivalence 1drsquoordre 1de conjugaison 108de dispersion 134de structure 134}

^{Riemanninteacutegrale de ndash 42seacuterie de ndash 48somme de ndash 41}

^{Rolle (theacuteoregraveme de ndash) 39roulement sans glissement 101 105}

^{seacuterie 47ndash51alterneacutee 49de Bertrand 48de Fourier 57de Riemann 48geacuteomeacutetrique 48produit de Cauchy 50}

^{seacuterie entiegravere 51ndash52deacuterivation 51inteacutegration 51rayon de convergence 51}

^{Schwarz (theacuteoregraveme de ndash) 59SnellndashDescartes (loi de ndash) 140solide (meacutecanique du ndash) 101somme de Riemann 41somme directe 12sous-anneau 4sous-espace}

^{suppleacutementaire 13sous-espace propre 26sous-groupe 3spectroscopie 141Stefan (loi de ndash) 87}

^{Stirling (formule de ndash) 50suite 34ndash35}

^{adjacente 35arithmeacutetique 34extraite 35geacuteomeacutetrique 34}

^{suppleacutementaire (sous-espaces) 13surjective 11susceptibiliteacute}

^{eacutelectrique 139magneacutetique 129 130}

^{symeacutetrie 16drsquoune courbe parameacutetreacutee 61drsquoune courbe polaire 63}

^{systegraveme lineacuteaire 21de Cramer 21}

^{tangente (agrave une courbe) 60Taylor-Lagrange}

^{ineacutegaliteacute de ndash 40Taylor-Young (formule de ndash) 40tempeacuterature drsquoinversion 158Theacuteoregraveme}

^{de Dirichlet 57de Scharz 59}

^{theacuteoregravemedrsquoeacutequivalence 42de domination 42de Rolle 39des accroissements finis 39}

^{topologie 27torseur cineacutetique 101}

^{valeur drsquoadheacuterence 29valeur propre 26Van der Waals (gaz de ndash) 77Vanrsquot Hoff (loi de ndash) 149variance 159vecteur propre 26vitesse}

^{drsquoentraicircnement 90de groupe 137de phase 137de reacuteaction 148quadratique moyenne 76}

^{INDEX 203}

^{voisinage 29}

^{Weierstrassdeuxiegraveme theacuteoregraveme de ndash 54premier theacuteoregraveme de ndash 54}

^{Young (trous drsquondash) 111}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^physique

^chimie

^informatique

^wwwdunodcom

^{lionel porcheron}

^{Lionel Porcheron}

^{4e eacutedition}

^{Le for}

^{e mpsi pm}

^{ieL po}

^{Porcheron 13x18indd 1 40808 145659}

^{ISBN 978-2-10-053787-7}

^Avant-propos

^{Chapitre 1 Matheacutematiques}

^{1 Algegravebre}

^{11 Relations}










^{2 Analyse}




^{24 Suites}





^{29 Seacuteries}












^{03 Coniques}






^{21 Gaz parfait}










^{34 Oscillateurs}







^{5 Optique}












^{65 Induction dans un circuit fixe avec B variable}

^{66 Induction dans un circuit mobile soumis agrave B stationnaire}


^{7 Ondes}






^{Chapitre 3 Chimie}

^{1 Atomistique}

^{11 Spectroscopie}





^{2 Cineacutetique}
















^{54 Corrosion}

^{Annexe A13Primitives usuelles}

^{Annexe B13Deacuteveloppements limiteacutes}

^{Annexe C Formules13trigonomeacutetriques}



^{Annexe D13Opeacuterateurs vectoriels}

^{1 Notations}

^{2 Gradient}

^{3 Divergence}

^{4 Rotationnel}

^{5 Laplacien13}



^{Annexe E Uniteacutes et constantes13fondamentales}








^{Annexe F13Constantes chimiques}

^{Annexe G13Tableau peacuteriodique}

^Index

^{9782100519415_lim_P01-04 Page I Mardi 5 aoucirct 2008 314 15}

^{4e eacutedition}

^{copy Dunod Paris 2000 2003 2004 2008}

^{ISBN 978-2-10-053787-7}

^{Avant-propos IX}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 Gradient 182}

^{3 Divergence 183}

^{5 Laplacien 184}

^{Index 197}

^Avant-propos

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 Algegravebre}

^{11 Relations}

^{=rArr x = y}

^{=rArr xRz}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Groupe

^{1 Algegravebre 3}

^Sous-groupe

^Anneau

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Sous-anneau

^Corps

^{1 Algegravebre 5}

^{n =n}

^prodk=1

^Permutations

^Arrangements

^{Apn =}

^{n(nminus p)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Combinaisons

^{Cpn =}

^{np(nminus p)}

^{Cpn = C}

^{Cpn + C}

^{p+1n = C}

^{(x + y)n =n}

^sumk=0

^{Q est dense}

^{1 Algegravebre 7}

^sumi=1

^{xiui = 1}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{(PQ) isin K[X]}

^Produit

^{PQ = sumncnX}

^{cn =n}

^sump=0

^apbnminusp

^{P = sumnanX}

^{n isin K[X]}

^{Q = sumnbnX}

^{n isin K[X]}

^{1 Algegravebre 9}

^Composition

^{n isin K[X]}

^{Q isin K[X]}

^{Deacuterivation}

^{Pprime = sumngt1}

^{n isin K[X]}

^{AU + BV = 1}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{P(m)(α) 6= 0}

^{P = λn}

^prodi=1

^{(Xminus xi)}

^{R =sumnanX}

^sumnbnX

^{Soit R =P}

^{R =P}

^{R = E +n}

^sumi=1

^sumj=1

^{Cαi j}

^{( f (x) = f (y) =rArr x = y)}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Vect(A) =⋂}

^FsubEFsupA

^{E = sumiisinI}

^{E j = 0}

^iisinIxi

^{avec xi isin Ei}

^{E =oplus}

^iisinIEi

^iisinIλixi

^{Famille libre}

^sumiisinI

^sumi=1

^λixi

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 si i = j0 si i 6= j}

^{f (x + λy) = f (x) + λ f (y)}

^{Formule du rang}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{p2 = p (1)}

^{s2 = IdE}

^{f (e j) =m}

^sumi=1

^{ai j fi}

^{M = λN}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{β1 jβ2 j}

^{βk j}

^{βp j}

^{γi j}

^{γi j =p}

^sumk=1

^{(MN)P = M(NP)}

^jisin[1p]

^{exp(A) =+infin}

^sumk=0

^{Avec Vj =n}

^{sumi j=1}

^{ai j jei j j}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{∣∣∣∣∣∣∣= prod}

^{16 jlti6n}

^{Matrice inverse}

^{Mminus1 =1}

^com(M)

^{det A}

^jisin[1n]

^suivant

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{ϕ(x y) =t XAY}

^{x2 =radic}

^{3 (x|y) =12}

^{4 (x|y) =14}

^{sumj=1|(e j|x)|2 6 x2}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{f (x) = λx}

^{2 Analyse 27}

^Drapeau

^{2 Analyse}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 tels que}

^{αN1 6 N2 6 βN1}

^{d(x a)}

^{2 Analyse 29}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^iisinIxi

^{∥∥∥∥∥}

^{= sumiisinIxi2}

^{2 Analyse 31}

^{a 6 b =rArr a + c 6 b + ca 6 b0 6 c}

^{=rArr ac 6 bc}

^{forallx isin R}

^{E(x) 6 x 6 E(x) + 1}

^Densiteacute

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{z = a + ib}

^{z = ρeiθ}

^{z = a + ib}

^{z = aminus ib}

^{z + z = 2Re(z)}

^{zprime 6= 0∣∣∣z}

^{2 Analyse 33}

^{isin R}

^{x isin R}

^{zk = nradicr(ei}

^ϕ+2kπn

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{24 Suites}

^{Sn =(u1 + un)n}

^{Sn =u1(q}

^{q 6= 1}

^{2 Analyse 35}

^nrarr+infin

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{forallx isin X}

^{x + T isin Xf (x + T) = f (x)}

^{2 Analyse 37}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1minus x2}

^{forallx isin R}

^{1 + x2}

^{-1 1}

^Arcsin

^Arccos

^Arctan

^{thprime x =1}

^{2 Analyse 39}

^{g(a) 6= 0(1g}

^g2(a)

^{g(a) 6= 0(}

^{)prime(a) =}

^sumk=0

^{Ckn f}

^{f prime(c) = 0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(bminus a)k}

^{∥∥∥∥∥ 6 M(bminus a)n+1}

^{(n + 1)}

^{f (b) =n}

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(bminus a)k +}

^{int b}

^{f (x) =n}

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(xminus a)k + o}

^sumj=1

^{λ j = 1 alors}

⁽ⁿ

^sumj=1

^{λ ja j}

⁾⁶

^sumj=1

^{λ j f (a j)}

^{2 Analyse 41}

^{int b}

^{a(λ f + g) = λ}

^{int b}

^{af +}

^{int b}

^{∣∣∣∣int}

^{[ab]f g}

^{∣∣∣∣ 6 Sup[ab] | f |int}

^[ab]|g|

^{∣∣∣∣int}

^[ab]f

^{∣∣∣∣ 6 (bminus a) Sup[ab] | f |}

^{(int b}

^{af g}

^{(int b}

^{af 2)(int b}

^{Sn =bminus a}

^{nminus1sumk=0}

^{(a + k}

^{bminus a}

^{limnrarr+infin}

^{Sn =int b}

^{int b}

^auprimev

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Jf 6 M}

^{Jnf 6 M}

^{0 6 f 6 g (1)}

^{0 6}

^{If 6}

^{Ig (2)}

^{f (x) =1xα}

^{bg alors f}

^xrarr+infin

^{2 Analyse 43}

^{int c}

^{af =}

^{int b}

^{af +}

^{int c}

^{(a b c) isin R3}

^{f 6 g =rArrint}

^{If 6}

^{int X}

^{f (x) =int}

^{IF(x t) dt}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{x 7rarrint}

^{IF(x t) dt}

^{If 6}

^{forallx isin A}

^{IF(x t) dt}

^{IF 6}

^partFpartx

^{2 Analyse 45}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{(Ec) r2 + βr + γ}

^{2 Analyse 47}

^jisin[1n]

^yprime1(t)

^yprimen(t)

^y1(t)

^yn(t)

^b1(t)

^bn(t)

^{Y =n}

^sumi=1

^cieλitVi

^{29 Seacuteries}

^{Deacutefinition}

^{SN =N}

^sumn=0

^nrarr+infin

^{Soit sumngt0}

^{un et sumngtn0}

^{un sont de}

^{mecircme nature}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{S =+infin}

^sumn=0

^{un =1}

^{1minus u0(1)}

^sumngt1

⁽¹⁾

^{α gt 1}

^sumn=1

¹ⁿ²

^+infin

^sumn=2

^{1nα(ln n)β}

^{foralln isin N}

^{0 6 un 6 vn (1)}

^{2 Analyse 49}

^nrarr+infin

^{∣∣∣∣∣+infin}

^sumn=p+1

^{∣∣∣∣∣ 6 |up+1|}

^nrarr+infin

^{un = 0}

^{N 6 p lt q =rArr∥∥∥∥∥}

^sumn=p+1

^{∥∥∥∥∥ 6 ε}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{n sim(ne}

^)nradic2πn

^pisinJqisinJ

^{upq 6 M) alors}

^(+infin

^sump=0

^{)est conver-}

^gente

^(+infin

^sumq=0

^convergente

^{3 sum(pq)isinN2}

^{upq =+infin}

^sump=0

^(+infin

^sumq=0

⁾⁼

^+infin

^sumq=0

^(+infin

^sump=0

^{wn =n}

^sumk=0

^+infin

^sumn=0

^{wn =}

^(+infin

^sumn=0

^)(+infin

^sumn=0

⁾⁽²⁾

^{2 Analyse 51}

^{S(z) =+infin}

^sumn=0

^{anzn et sum}

^ngt0bnz

^{(an + bn)zn}

^{Lemme drsquoAbel}

^sumn=0

^{(n + 1)an+1xn}

^{int x}

^(+infin

^sumn=0

^{)dz =}

^+infin

^sumn=0

^{ann + 1}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^ngt0anx

^{n de rayon de}

^sumn=0

^{an(xminus x0)n}

^{2 Analyse 53}

^{(int b}

^nisinN

^{converge dans E}

^{int b}

^{af = lim}

^nrarr+infin

^{int b}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{If = SupnisinN}

^{Ifn = lim}

^nrarr+infin

^nisinN

^{If = lim}

^nrarr+infin

^{2 Analyse 55}

^{Sn(x) =n}

^sumk=0

^{Sn(x) =n}

^sumk=0

^{existn0 isin N}

^sumngtn0

^{fninfin converge}

^{On dit que sumn}

^{Si sumngt0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^+infin

^sumn=0

^sumngt0

^{(int b}

^{afn(x) dx}

^{)converge dans E}

^{int b}

^(+infin

^sumn=0

^fn(x)

^{)dx =}

^+infin

^sumn=0

^{int b}

^{afn(x) dx}

^sumn=0

^sumngt0

^+infin

^sumn=0

^(+infin

^sumn=0

^)prime=

^+infin

^sumn=0

^{f primen}

^sumngt0

^+infin

^sumn=0

^{∣∣∣∣∣+infin}

^sumn=0

^{∣∣∣∣∣ 6+infin}

^sumn=

^{I| fn|}

^+infin

^sumn=0

^{fn =+infin}

^sumn=0

^sumngt0

^{I| fn| converge}

^{2 Analyse 57}

^{cn( f ) =12π}

^{int 2π}

^{an( f ) =1π}

^{int 2π}

^{bn( f ) =1π}

^{int 2π}

^{S(x) =+infin}

^{sumn=minusinfin}

^{cneinx =a02}

^++infin

^sumn=1

^{bn sin nx}

^{S(x) =12}

^{(f (xminus) + f (x+)}

^{int 2π}

^{0| f (x)|2 dx =}

^|a0|24

^++infin

^sumn=1

^{|an|2 + |bn|22}

^=+infin

^{sumn=minusinfin}

^|cn|2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^limtrarr0

^{Dh f (a) =p}

^sumj=1

^{h jD j f (a)}

^Gradient

^{grad f =}

^{(part fpartx}

^{(x y)part fparty}

^{(x y))}

^{d f =part fpartx}

^{dx +part fparty}

^{=part2 f}

^{Point critique}

^{Extremum local}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{M(t) f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{Y = limθrarrθ0}

^{x(ϕ(t) = x(t)y(ϕ(t) = y(t)}

^{Identiteacute}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{x(ϕ(t) = y(t)y(ϕ(t) = x(t)}

^{ρ =radic}

^{x2 + y2}

^{x = ρ cos θ}

^{y = ρ sin θ}

^{ρ =1}

^{Le cercle}

^{ρ =p}

^{Y = limθrarrθ0}

^{Symeacutetries}

^2+infin

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{t0 f prime(u) du}

^{l(AB) =int b}

^{R =dsdα}

^{γ =1R}

^{d f =}

^{(part fpartx}

^{dx +}

^{(part fparty}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{66 [2] Physique}

^{=part2 f (x y)}

^partypartx

^{yprime(t) +y(t)}

^{y t( )}

^partuuupartt

^{y t( )}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{68 [2] Physique}

^{y t( )}

^{03 Coniques}

^{r(θ) =p}

^{1 + e cos θ}

^{blt 1 ab}

^{Loi de Pouillet}

^{i =E}

^{Loi des nœuds}

^sumk=1

^{ik = 0}

ⁱⁿ

ⁱ⁴

ⁱ²ⁱ³

^{Loi des mailles}

^sumk=1

^{uk = 0 u1}

^{u =}

^sumk=1

^{Gk middot uk +p}

^sumj=1

^{i j}

^sumk=1

^{Gk u1 unu2 uk}

^{uG1 GnG2 Gk}

^{i2 ijip}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{70 [2] Physique}

^{p(t) = u(t)i(t)}

^{lt pgt=1T}

^{int T}

^{0p(t) dt}

^{Reacutesistance}

^{Z = R}

^{ϕ = 0}

^Bobine

^{Z = jLω}

^{ϕ = +π}

^Condensateur

^{Z =1}

^{ϕ = minusπ}

^{H( jω) =s}

^{H(ω) = |H( jω)|}

^{GdB = 20 log |H( jω)|}

^{ϕ = argH}

^logω

^{ω0ou de logω}

^{log(w)log(w )0}

^{G (dB)}

^{log(w )0 log(w)}

^{H(ω) =H0}

^{1 + jω}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{72 [2] Physique}

^{log(w )0}

^log(w)

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^log(w)

^{H(ω) =H0 j}

^{1 + jω}

^{log(w )0}

^log(w)

^{Q gt Q1 2 Q gt Q2 3}

^{H(ω) =H0}

^{1 +}

^{)2+ j}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{Q gt Q2 3}

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^{log(w )0 log(w)}

^{Q gt Q1 2}

^{H(ω) =}

^{1 +}

^{)2+ j}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{Q gt Q2 3}

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{H(ω) =H0}

^{1 + jQ}

^{ω0minus ω0}

^+yen-e

^{uS = uE}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{74 [2] Physique}

^{iER1 e}

^{uS = minusR2}

^+yen-

^{R1 e}

^{uS =}

^{(1 +}

^+yen-

^{iE iSe}

^+yen-

^{uSu2 u1}

^+yen-R

^{e uS =}

^{minus 1RC}

^{int t}

^+yen-

^{C e}

^{ε =R1}

^{R1 + R2Vsat}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{76 [2] Physique}

^+yen-

^{uE1 uE2 uE3}

^{R1 2}

^{R1 3}

^{ik =uEk}

^{21 Gaz parfait}

^{pV = nRT}

^{12mu2 =}

^{α =1V}

^(partVpartT

^{β =1p}

^(partppartT

^{χT = minus 1V}

^(partVpartp

^{(p +}

^{Premier principe}

^{∆U = W + Q}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{78 [2] Physique}

^{W = minusint V f}

^{p dV}

^Enthalpie

^{H = U + pV}

^{dU = CV dT}

^{CV =}

^(partUpartT

^{dH = Cp dT}

^{Cp =}

^(partHpartT

^{U =32nRT}

^{H =52nRT}

^{+ ρgz1) = wm + qm}

^{eacutetat final}

^{∆U = 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{80 [2] Physique}

^{h1 + ek1= h2 + ek2}

^{γ =Cp}

^{CVgt 1}

^{Cp =γR}

^{γminus 1}

^{CV =R}

^{dS =δQ}

^{+ δSirrev}

^{dH = T dS +V dp}

^{Lois de Laplace}

^{p Vγ = cste1}

^vapeur

^{liquidesolide}

^sublimation

^condensation

^vaporisation

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{82 [2] Physique}

^vapeur

^{T T= C}

^{T gt TC}

^{T lt TC}

^liquide+

^vapeur

^liquide

^vapeur

^{p = pC}

^{p gt pC}

^{p lt pC}

^liquide+

^vapeur

^{ssl s}

^liquide

^{xv =mv}

^{xl =mlm}

^{u = x1u1 + x2u2}

^{h = x1h1 + x2h2}

^{s = x1s1 + x2s2}

^{Chaleur latente}

^machine

^{TC TF}

^{∆U = 0}

^{∆S = 0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{84 [2] Physique}

^{TF6 0}

^{eC = 1minus TFTC}

^{e 6 eC}

^{eC =TF}

^{eC =TC}

^{Flux thermique}

^{Φth =intint}

^{Loi de Fourier}

^partTpartt

^{= κ∆T}

^{κ =λ}

^Convection

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{86 [2] Physique}

^{G = heqS}

^{heq =}

^{+ sumj}

^{e j}

^{λ j}

^)minus1

^{Flux thermique}

^{Fr Fd}

^{Loi de Planck}

^kλTminus1

^{F ( T)l l}

^{T T1 2gt}

^{T T2 3gt}

^{T T3 4gt}

^{ϕe =int +infin}

^{0Fλ(λ T) dλ}

^{ϕe = σT4}

^{Corps noir}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{88 [2] Physique}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^{aaa =d2OMOMOMdt2}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^rrθz

^uuuθ

^{aaa =d2OMOMOMdt2}

^{rminus rθ2}

^{2rθ + rθz}

^uuuθ

^{yM y}

^{OMOMOM = ruuur}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^{r sin θϕ}

^uuuθ

^uuuϕ

^{yM yO}

^{OMOMOM = ruuur}

^a(M)ur

^{uq q x}

^ruuur

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{90 [2] Physique}

^xrsquo

^{z zrsquo}

^yrsquo

^{O Orsquo}

⁾⁺

^dΩΩΩ

^{fffe = mΩ2ruuur}

^{W t}

^{z = zrsquo}

^yrsquo

^xrsquo

^dpppdt

^{= sumi}

^{ppp = sumi}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{92 [2] Physique}

^dLLLO

^dt=MMMO

^{Moment de forces}

^{Ek =12mv2}

^{Ek = sumi}

^dEkdt

^{Em = Ek + Ep}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{94 [2] Physique}

^{Eppes = MgzG}

^Epelas=

^12k(∆l)2

^{Epel= qV}

^{Eacutequilibre}

^{dx(x0) = 0}

^{d2 Ep}

^{dx2(x0) gt 0}

^{d2 Ep}

^{dx2(x0) 6 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{96 [2] Physique}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = 0}

^{A = γ cos(ω0t + ϕ)}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = 0}

^{A( )t}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = E(t)}

^radic2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{98 [2] Physique}

^{Force de Lorentz}

^{R =}

^{∣∣∣∣mv0qB}

^∣∣∣∣

^{ω =}

^{∣∣∣∣qB}

^∣∣∣∣

^{Effet Hall}

^{UHall =BI}

^nqℓ

^EHall

^{I l}

^+++++++

^{m1 + m2M1M2M1M2M1M2}

^{GM2GM2GM2 =m1}

^{m1 + m2M1M2M1M2M1M2}

^{LLLO = mCCC}

^{v( )M}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{100 [2] Physique}

^{Epe f f =microC2}

^{2r2+ Epint (r)}

^{micro =m1m2}

^{m1 + m2}

^{uuur + Cuuuuθ}

^{aaa = minusC2u2}

^{(d2 udθ2 + u}

^)uuur

^{u =1r}

^{r(θ) =p}

^{T2 =4π2a3}

^GMsoleil

^+12J∆Ω2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{102 [2] Physique}

^{J∆ =intintint}

^{solider2 dm}

^{J∆ = JG + ma2}

^{l 2 l 2}

^{J∆ =25mR2 J∆ =}

^{12mR2 J∆ =}

¹¹²

^mℓ2

^mdvvvGdt

^{= sumi}

^dLLLO

^{dt= sum}

^{OMOMOMi and fffi}

^dEkdt

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{104 [2] Physique}

^{5 Optique 105}

^{T I}

^{5 Optique}

^{λ = cT =c}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{106 [2] Physique}

^{v =c}

^{λ = vT =v}

^Spectre

^{l (nm)}

^{l (m)}

^{f (Hz)}

^ultraviolet

^{rayons X}

^10ndash9

⁴⁰⁰

¹⁰¹⁷

¹⁰¹⁶

¹⁰¹⁵

¹⁰¹⁴

¹⁰¹³

¹⁰¹²

¹⁰¹¹

¹⁰¹⁰

^10ndash8

⁴⁵⁰

^10ndash7

⁴⁸⁰

^10ndash6

⁵³⁰

^10ndash5

⁵⁹⁰

^10ndash4

⁶²⁰

^10ndash3

⁷⁰⁰

^10ndash2

^{i1 rn1}

^{r = i1}

^{5 Optique 107}

^Prisme

^{r1 + r2 = Ai1}

^{)minus A}

^{n1 minus n2r}

^{n1 n2}

^{C S}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{108 [2] Physique}

^1pprime

^{Miroir plan}

^{pprime = minusp}

^{Lentilles minces}

^Brsquo

^Arsquo

^{A OF}

^Frsquo

^{1pprimeminus 1}

^{1f prime}

^{f prime}

^pprime+

^{5 Optique 109}

^{Grandissement}

^{γ =pprime}

^{λ [SM])}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{110 [2] Physique}

^2iπλ

^{Eacuteclairement}

^{E(M) = αs2(M)}

^{E(M) = 2E0(1 + cos∆ϕ(M))}

^{2 k isin Z}

^{5 Optique 111}

^{p =∆ϕ}

^Contraste

^{Emax + Emin}

^{M x( )}

^{δ(x) =ax}

^{E(x) = 2E0}

^{(1 + cos}

^2πλ

^{i =λD}

^{a(interfrange)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{112 [2] Physique}

^Scheacutema

^{miroir M2}

^{source S}

^M1rsquo

^{M x y( )}

^M1rsquo

^{M x y( )}

^{S1 S2}

^{Lame drsquoair}

^{5 Optique 113}

^{rn =}

^{radicλ f prime}

^radicn

^{Coin drsquoair}

^{i =λγ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{114 [2] Physique}

^{E(e) = 4E0}

^{(1 +V(e) cos}

^(4πeλ0

⁾⁾

^{V(e) = cos}

^λ20e

^Luminance

^{dE = L(ν) dν}

^{L( )n}

ⁿ²ⁿ¹

^{E(e) = 4E0}

^{(1 +V(e) cos}

^(4πeλ0

⁾⁾

^{V(e) = sinc}

^λ20e

^{5 Optique 115}

^{E(Φ) =E0}

^{1 + 4r2(1minus r2)2}

^sin2(

^{Φ =4πeλ0}

^{cos i}

^{F =4r2}

^{F2p 4p}

^{miroir M2}

^{miroir M1}

^sourceS

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{116 [2] Physique}

^{E(x) =E0}

^{(1 + cos}

^(2πδ

⁾⁾

^{δ =2dαd + D}

^{sourcedans le}

^{lentille( )L0}

^{lentille( )L}

^{objetdiffractant}

^{5 Optique 117}

^λ[SOM])

^intint

^{PisinΣt(P)ei}

^{M XY( )}

^{( )L0 ( )L}

^(πaX

^{λ f}

^)sinc2

^(πbY

^{λ f}

^{tache centrale}

^{1 zeacuteroer}

^{2 zeacuteroe}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{118 [2] Physique}

^{θ = 0 61λ}

^{V(M) =q}

^4πε0r

^{EEE(M) =q}

^4πε0r2uuu

^{EEE = minusgradV}

^{EEE(M) = sumi}

^14πε0

^{r2uuu dτ}

^{∆V +ρ}

^{ε0= 0}

^intcopyint

^2ε0uuuz

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{120 [2] Physique}

^{EEE =σ}

^{C =ε0S}

^{ppp = qNPNPNP}

^{V(M) =p cos θ}

^4πε0r2=

^{ppp middotOMOMOM}

^4πε0OM3

^{EEE = minusgradV}

^{N O P}

^{4πr2anduuuPM}

^{dCdCdC =}

^{BBB(M) =micro0 I}

^{2Rsin3 αeeez}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{122 [2] Physique}

^{mmm = ISnnn}

^{M = mmm andBBB}

^{Force de Laplace}

^{Vecteur courant}

^{jjjS = σ vvv}

^{div j +partρ}

^{partt= 0}

^{div E =ρ}

^{div B = 000}

^{dP = jjjEEE dτ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{124 [2] Physique}

^{Wem =ε0E}

^2micro0

^micro0

^{minus partpartt}

^(ε0E

^2micro0

^{)= jjjEEE + div}

^{(EEE andBBB}

^micro0

^{BBB = rot A}

^{AAA(M) =micro0}

^circuit

^{i middotdldldlr}

^{Jauge de Lorentz}

^{= 0}

^{E2t = E1t}

^ε0nnn1rarr2

^{B2n = B1n}

^{int B}

^{R =ℓ}

^{2 f ≪ 1017Hz =rArr∥∥∥∥ε0}

^partEEEpartt

^radic2

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{126 [2] Physique}

^{eAB =int B}

^{(minus partAAA}

^{Φ =intint}

^{Loi de Faraday}

^partt

^{Φ1rarr2 = Mi1}

^{Φ2rarr1 = Mi2}

^{Flux total}

^{Φ1 = Li1 + Mi2}

^{Wem =Li212}

^{+ Mi1i2}

^1u2(t)

^u1(t)=

^{∣∣∣∣ =N1}

^{)2Rchargec copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{128 [2] Physique}

^{BBBprime = BBB}

^{+vvv andBBB}

^{jjjsol = jjjcond}

^{eAB =int B}

^{Loi de Faraday}

^{e = minusdΦ}

^Aimantation

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{130 [2] Physique}

^{micror = 1 + χm}

^{6melt r2 gt}

^{χm =nmicro0m}

^{e t( ) u2}

^{7 Ondes 131}

^{H(t) =N1}

^ℓRu1(t)

^{B(t) =RC}

^N2Su2(t)

^{7 Ondes}

^{K km m}

^{x1 x2}

^{s = (1) + (2)}

^{d = (1)minus (2)}

^{s + ω2s s = 0}

^{d + ω2dd = 0}

^{Modes propres}

^{ωs =}

^radicK

^{mωd =}

^{radic2k + K}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{132 [2] Physique}

^{wws wd}

^{∆F =1c2}

^part2Fpartt2

^{)+ g}

^{(t +}

^{7 Ondes 133}

^{kkk =ω}

^{partmiddotpartt}

^{= iωmiddot}

^part2ξn

^partx2=

^part2ξn

^partt2

^{c =}

^radicka2

^part2ypartx2

^part2ypartt2

^{c =}

^radicT0ρl

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{134 [2] Physique}

^{∆EEE =1c2}

^{part2EEEpartt2}

^{∆BBB =1c2}

^{part2BBBpartt2}

^{c =1radic}

^ε0micro0

^{kkk = kuuu}

^{k =ω}

^2πλ

^{k =ω}

^{cBBB =}

^kkkωandEEE

^{7 Ondes 135}

^Polarisation

^{ndash elliptique}

^{EEE(z = 0 t) =}

^Egauch

^{droi te}

^{ndash circulaire}

^{EEE(z = 0 t) =}

^{ndash rectiligne}

^{EEE(z = 0 t) =}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{136 [2] Physique}

^{micro0cuuu =}

^micro0

^{4πrcp(tminus r}

^)uuuϕ

^{4πrp(tminus r}

^)uuuθ

^{ltPgt=micro0p}

^12πc

^{p = p0 cos(ω0t + ϕ)}

^{7 Ondes 137}

^{vϕ =ω}

^kprime

^{vg =partω}

^partkprime

^Absorption

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{138 [2] Physique}

^Polarisation

^{PPP =dpppdτ}

^{ρp = minusdiv P}

^Aimantation

^{MMM =dmmmdτ}

^{jjja = rot M}

^{7 Ondes 139}

^{PPP = χeEEE}

^{DDD = εrε0EEE}

^{εr = 1 + χe}

^{MMM = χmHHH}

^{micror = 1 + χm}

^{div D = ρlibre}

^{div B = 0}

^{k2 = εrω2}

^{n =radic}

^{vϕ =c}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{140 [2] Physique}

^{t =2n1}

^{n1 + n2}

^{R = r2 =}

^{T = t2 =}

⁽²ⁿ¹

^{n1 + n2}

^{R + T = 1}

^{B2B2B2 = B1B1B1}

^{EEE2 t = EEE1 t}

^{Chapitre 3Chimie}

^{1 Atomistique}

^{11 Spectroscopie}

^{Spectroscopie}

^{∆E = hν}

^{λ =hmv}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{142 [3] Chimie}

^{1n2minus 1}

^{)(nm) isin N2}

^{E (eV)}

^Lyman

^Balmer

^Paschen-151

^{n = yenn = 4}

^{n = 3}

^{n = 2}

^{n = 1}

^{H Ψ = E Ψ}

^intintint

^{En =minus13 6n2}

^{En = minus13 6Z2}

^{|σσσ| =radic}

^{l(l + 1)h}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{144 [3] Chimie}

^{s et pσid}

^Eacutenergie

^{E = sumi}

^{1 s2 s p3 s p d4 s p d f}

^{Charge formelle}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{146 [3] Chimie}

^VSEPR

^{OM antiliante}

^{OA2 OA1}

^{OM liante}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{148 [3] Chimie}

^{2 Cineacutetique}

^{dξ =dniνi}

^{ni = ni0 + νiξ}

^{r =1νi}

^dcidt

^prime2

^{v = k[A1]p1 [A2]}

^{dln k}

^{t12 =ln 2αk}

^{dt= 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{150 [3] Chimie}

^{Deacutefinitions}

^{ndash Agravec}

^{Dimension rT = (}

^{radic32minus 1)r}

^{ndash Agravec}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{152 [3] Chimie}

^{lt 1}

^{ltradic3minus 1}

^{Blende (ZnS)}

^{0 6r+rminus}

^{ltradic2minus 1}

^{Deacutefinition}

^{Xi =}

^(partXpartni

^{Tpn j 6=ni}

^{ni dXi Tp = 0}

^{∆rX = sumi}

^{νiXi =}

^(partXpartξ

^partpartT

^(∆rG

^{)= minus∆rH}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{154 [3] Chimie}

^{Deacutefinition}

^{microi =}

^(partGpartni

^{Tpn j 6=ni}

^{microi =}

^(partUpartni

^{VSn j 6=ni}

^{microi =}

^(partHpartni

^{pSn j 6=ni}

^{microi =}

^(partFpartni

^{VTn j 6=ni}

^micro0i(g)

^{∆rH0 = sum}

^νiH0i

^{∆rS0 = sum}

^νiS0i

^{∆rG0 = sum}

^νiG0i

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{156 [3] Chimie}

^{∆rG0 = ∆rH}

^{0 minus T∆rS0}

^tion∆rH

^d∆rH0

^{dT= ∆rC}

^{0p = sum}

^νiC0pi

^d∆rS0

^∆rC0p

^{T= sum}

^νiC0pi

^(∆rG

^tion∆rH

^{Relation de Hess}

^{∆rH0 = sum}

^{νi∆ fH0i}

^{∆rG0 = sum}

^{νi∆ fG0i}

^tion∆rG

^{A = minussumi}

^prodi

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{158 [3] Chimie}

^{A = 0}

^{Dans ce cas}

^prodi

^{K0(T) = prodi}

^{i eacutequilibre}

^{∆rG0(Ti) = 0}

^{K0(Ti) = 1}

^dlnK0

^∆rH0

^{dA = RT(}

^)dnin

^{v = c + 2minusϕ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{160 [3] Chimie}

^{Loi de Raoult}

^{Loi de Henry}

^{pi = kxli}

^vapeur

^liquide

^vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^{Fuseau simple}

^{p1 vapeur}

^liquide

^{+ vap}

^vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^{Fuseau simple}

^T1vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{162 [3] Chimie}

^vapeur

^liquide

^{+ vap}

^liquide

^solide

^{sol i dus}

^x2x2x2

^{nlML + nvMV = 0}

^{Couple redox}

^oxydation

^{β red}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{164 [3] Chimie}

^{H sous 1 bar2}

^{pH = 0}

^{E = E0 +RTnF ln}

^aαox

^aβred

^{ndash a =c}

^{ndash a =pip0}

^{E = E0 +0 06n}

^logaαox

^aβred

^{= 0 06}

^{E = E2 minus E1}

^{∆rG0 = ∆rH}

^{0 minus T∆rS0}

^{0 et ∆rS0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{166 [3] Chimie}

^{DrG ( )0}

^{0 T}

^{TF TE}

^oxyde

^meacutetal

^{A =12RT ln}

^{pH = minus log(}

^[H3O+]

^{(c0)2= 10minus14}

^{[HA] middot c0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{168 [3] Chimie}

^{0 1}

^{Fe3 +}

^{Fe2 +}

^{Zn2 +}

^Zn(OH)s

^Zn(OH)4

^{2 -}

^Fe(OH)2

^Fe(OH)3

^{Cu O2}

^Cu(OH)2

^{Cu2 +}

^{U gt∆rG}

^{i = nFdξ}

^{v =1V}

^vhAhC

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{170 [3] Chimie}

^{i lim}

^{54 Corrosion}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{int dtcos t}

^{= ln∣∣∣∣tan}

^{)∣∣∣∣+ k R π}

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{int dt}

^{int dtch t}

^{intemt dt =}

^{inttα dt =}

^tα+1

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{int dt}

^{int dtsin t}

^{= ln∣∣∣∣tan}

^{int dt}

^{int dtsh t}

^{= ln∣∣∣∣th}

^{intat dt =}

^{t2 + a2=}

^1aArctan

^{a+ k R}

^{Arcsin t}

^{|a| + k}

^{]minus a a[}

^{Argsh t}

^{|a| + k}

^{)+ k}

^Argcht

^{|a| + k}

^{ln(t +radic}

^{t2 minus a2)}

^{+ k]|a|+infin[}

^{∣∣∣∣+ k}

^{ln∣∣∣t +}

^{radict2 minus a2}

^{= ln∣∣∣t +}

^{radict2 + b}

^{R [minusb b]}

^{ln(tminus a}

^{t + a}

^{nxn+ o}

^xrarra(xn)

^{radic1+x = 1+}

^{12xminus 1}

^{1radic1 + x}

^{= 1 minus 12x +}

^o(xn)

^{3minus x4}

^{n+ o(xn)}

^{2minus x3}

^{3minus x4}

^{n+ o(xn)}

^{ln(a + x) = ln a +x}

^{aminus x2}

^{an+ o(xn)}

^{ex = 1 + x +x2}

^{n+ o(xn)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{4minus x6}

^{(2n)+ o(x2n+1)}

^{ch x = 1 +x2}

⁴⁺

^{(2n)+ o(x2n+1)}

^{5minus x7}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{sh x = x +x3}

⁵⁺

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{tan x = x +x3}

²¹⁵

^{x5 +17315}

^{x7 + o(x7)}

^{th x = xminus x3}

²¹⁵

^{x5 minus 17315}

^{x7 + o(x7)}

^{Arccos x =π}

^{2minus x minus 1}

^{2n + 1+}

^o(x2n+2)

^{2n + 1+ o(x2n+2)}

^{5minus x7}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

²ⁿ⁺¹⁺

^o(x2n+2)

^{Argth x = x +x3}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{sin 012}

^radic22

^radic32

^{1 0}

^{cos 1}

^radic32

^radic22

^{0 minus1}

^{tan 0}

^radic33

^{1radic3 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{cos2 a + sin2 a = 1}

^{tan a =sin a}

^{cos acot a =}

^{cos asin a}

^{1 + tan2 a =1}

^{cos2 a1 + cot2 a =}

^{sin2 a}

^{cos2 a =1}

^{1 + tan2 asin2 a =}

^{11 + cot2 a}

^{1 + tan a tan b}

^{cos(2a) =}

^{tan(2a) =2 tan a}

^{1minus tan2 a}

^{21 + tan2 a}

^{sin a =2 tan a}

^{21 + tan2 a}

^{tan a =2 tan a}

^{21minus tan2 a}

^{cos a cos b =12}

^{sin a sin b =12}

^{sin a cos b =12}

^{sin b cos a =12}

^{cos2 a =1 + cos(2a)}

^{2sin2 a =}

^{1minus cos(2a)2}

^{pminus q}

^{p + q}

^{21 + cos a = 2 cos2}

^cos(π

^{2minus a)}

^{= sin a sin(π}

^{2minus a)}

^{= cos a}

^cos(π

^{2+ a)}

^{= cos a}

^tan(π

^{2minus a)}

^{= cot a cot(π}

^{2minus a)}

^{= tan a}

^tan(π

^{2+ a)}

^{= minus tan a}

^2sgnx

^{Arctana + b}

^{2sgn a si ab = 1}

^{Arctana + b}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2sgn x}

^{2ch x =}

^{ex + eminusx}

^{th a + th b}

^{1minus th a th b}

^{ch 2a =}

^{th 2a =2 th a}

^{p + q}

^{pminus q}

^{sh p + sh q = 2 shp + q}

^{pminus q}

^{1 Notations}

^{partpartxpart}

^{partypartpartz}

^{AAA(M) =}

^iiijjjkkk

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 Gradient}

^partVpartx

^{(x y z)}

^partVparty

^{(x y z)}

^partVpartz

^{(x y z)}

^partVpartr

^partVpartθ

^partVpartz

^uuuθ

^{gradV =}

^partVpartr

^partVpartθ

^{1r sin θ}

^partVpartϕ

^uuuθ

^uuuϕ

^{3 Divergence}

^{div A =partAx}

^partx+

^partAy

^party+

^partAz

^{div A =1r}

^partpartr

^partAθ

^partθ+

^partAz

^partz

^{div A =1r2}

^partpartr

^{r sin θ}

^partpartθ

^{(sin θAθ) +1}

^{r sin θ}

^partAϕ

^partϕ

^{4 Rotationnel}

^{partpartxpart}

^{partypartpartz}

^partAz

^partzpartAx

^partxpartAy

^party

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{rot A =}

^partAz

^partzpartAr

^partr1r

^partpartr

^partAr

^partθ

^{rot A =}

^{1r sin θ}

^(part

^partϕ

^{sin θ}

^partAr

^{partϕminus part}

^(partpartr

^partθ

^{5 Laplacien}

^{+part2Vparty2}

^{+part2Vpartz2}

^{= div (gradV)}

^{∆Ax =part2Ax}

^partx2+

^part2Ax

^party2+

^part2Ax

^partz2

^{∆Ay =part2Ay}

^partx2+

^part2Ay

^party2+

^part2Ay

^partz2

^{∆Az =part2Az}

^partx2+

^part2Az

^party2+

^part2Az

^partz2

^{∆V =1r}

^partVpartr

^{+part2Vpartr2}

^{part2Vpartθ2 +}

^part2Vpartz2

^{∆V =1r}

^partpartr

^partVpartr

⁾⁺

^{part2Vpartθ2 +}

^part2Vpartz2

^{∆V =1r}

^partpartr2

^{(rV) +1}

^{r2 sin2 θ}

^{part2Vpartϕ2 +}

^{r2 sin2 θ}

^partpartθ

^{(sin θ}

^partVpartθ

^{(BBBgrad)AAA =}

^BxpartAx

^{partx+ By}

^partAx

^{party+ Bz}

^partAx

^partz

^BxpartAy

^{partx+ By}

^partAy

^{party+ Bz}

^partAy

^partz

^BxpartAz

^{partx+ By}

^partAz

^{party+ Bz}

^partAz

^partz

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^intintint

^intint

^intintint

^intint

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 2 3 4 5 6 7 8 9}

^{1I H}

^{hydrogegravene}

^{2299 243119 20 21 22 23 24 25 26 27}

^{3910 4008 4496 4788 5094 5200 5494 5585 589337 38 39 40 41 42 43 44 45}

^{8547 8762 8891 9122 9221 9594 9891 1011 102955 56 57 72 73 74 75 76 77}

^{1329 1373 1389 1785 1809 1839 1862 1902 192287 88 89}

^{2230 2260 2270}

^{1401 1409 1442 1449 150490 91 92 93 94Th Pa U Np Pu}

^{2320 2310 2380 2370 2441}

¹⁹⁵

^{10 11 12 13 14 15 16 17 18}

^{2Heheacutelium}

^{1081 1201 1401 1600 1900 201813 14 15 16 17 18Al Si P S Cl Ar}

^{1951 1970 2006 2044 2072 2090 2100 2100 2220}

^{2431 2471 2471 2521 2521 2571 2561 2591 2601}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Index

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{198 INDEX}

^{INDEX 199}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{200 INDEX}

^{isomorphisme 15}

¹²³

^{INDEX 201}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{202 INDEX}

^{INDEX 203}

^{voisinage 29}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^physique

^chimie

^informatique

^wwwdunodcom

^{lionel porcheron}

^{Lionel Porcheron}

^{4e eacutedition}

^{Le for}

^{e mpsi pm}

^{ieL po}

^{Porcheron 13x18indd 1 40808 145659}

^{ISBN 978-2-10-053787-7}

^Avant-propos


^{1 Algegravebre}

^{11 Relations}










^{2 Analyse}




^{24 Suites}





^{29 Seacuteries}












^{03 Coniques}






^{21 Gaz parfait}










^{34 Oscillateurs}







^{5 Optique}















^{7 Ondes}







^{1 Atomistique}

^{11 Spectroscopie}





^{2 Cineacutetique}
















^{54 Corrosion}







^{1 Notations}

^{2 Gradient}

^{3 Divergence}

^{4 Rotationnel}

^{5 Laplacien13}













^Index

^{4e eacutedition}

^{copy Dunod Paris 2000 2003 2004 2008}

^{ISBN 978-2-10-053787-7}

^{Avant-propos IX}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 Gradient 182}

^{3 Divergence 183}

^{5 Laplacien 184}

^{Index 197}

^Avant-propos

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 Algegravebre}

^{11 Relations}

^{=rArr x = y}

^{=rArr xRz}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Groupe

^{1 Algegravebre 3}

^Sous-groupe

^Anneau

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Sous-anneau

^Corps

^{1 Algegravebre 5}

^{n =n}

^prodk=1

^Permutations

^Arrangements

^{Apn =}

^{n(nminus p)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Combinaisons

^{Cpn =}

^{np(nminus p)}

^{Cpn = C}

^{Cpn + C}

^{p+1n = C}

^{(x + y)n =n}

^sumk=0

^{Q est dense}

^{1 Algegravebre 7}

^sumi=1

^{xiui = 1}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{(PQ) isin K[X]}

^Produit

^{PQ = sumncnX}

^{cn =n}

^sump=0

^apbnminusp

^{P = sumnanX}

^{n isin K[X]}

^{Q = sumnbnX}

^{n isin K[X]}

^{1 Algegravebre 9}

^Composition

^{n isin K[X]}

^{Q isin K[X]}

^{Deacuterivation}

^{Pprime = sumngt1}

^{n isin K[X]}

^{AU + BV = 1}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{P(m)(α) 6= 0}

^{P = λn}

^prodi=1

^{(Xminus xi)}

^{R =sumnanX}

^sumnbnX

^{Soit R =P}

^{R =P}

^{R = E +n}

^sumi=1

^sumj=1

^{Cαi j}

^{( f (x) = f (y) =rArr x = y)}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Vect(A) =⋂}

^FsubEFsupA

^{E = sumiisinI}

^{E j = 0}

^iisinIxi

^{avec xi isin Ei}

^{E =oplus}

^iisinIEi

^iisinIλixi

^{Famille libre}

^sumiisinI

^sumi=1

^λixi

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 si i = j0 si i 6= j}

^{f (x + λy) = f (x) + λ f (y)}

^{Formule du rang}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{p2 = p (1)}

^{s2 = IdE}

^{f (e j) =m}

^sumi=1

^{ai j fi}

^{M = λN}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{β1 jβ2 j}

^{βk j}

^{βp j}

^{γi j}

^{γi j =p}

^sumk=1

^{(MN)P = M(NP)}

^jisin[1p]

^{exp(A) =+infin}

^sumk=0

^{Avec Vj =n}

^{sumi j=1}

^{ai j jei j j}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{∣∣∣∣∣∣∣= prod}

^{16 jlti6n}

^{Matrice inverse}

^{Mminus1 =1}

^com(M)

^{det A}

^jisin[1n]

^suivant

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{ϕ(x y) =t XAY}

^{x2 =radic}

^{3 (x|y) =12}

^{4 (x|y) =14}

^{sumj=1|(e j|x)|2 6 x2}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{f (x) = λx}

^{2 Analyse 27}

^Drapeau

^{2 Analyse}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 tels que}

^{αN1 6 N2 6 βN1}

^{d(x a)}

^{2 Analyse 29}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^iisinIxi

^{∥∥∥∥∥}

^{= sumiisinIxi2}

^{2 Analyse 31}

^{a 6 b =rArr a + c 6 b + ca 6 b0 6 c}

^{=rArr ac 6 bc}

^{forallx isin R}

^{E(x) 6 x 6 E(x) + 1}

^Densiteacute

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{z = a + ib}

^{z = ρeiθ}

^{z = a + ib}

^{z = aminus ib}

^{z + z = 2Re(z)}

^{zprime 6= 0∣∣∣z}

^{2 Analyse 33}

^{isin R}

^{x isin R}

^{zk = nradicr(ei}

^ϕ+2kπn

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{24 Suites}

^{Sn =(u1 + un)n}

^{Sn =u1(q}

^{q 6= 1}

^{2 Analyse 35}

^nrarr+infin

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{forallx isin X}

^{x + T isin Xf (x + T) = f (x)}

^{2 Analyse 37}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1minus x2}

^{forallx isin R}

^{1 + x2}

^{-1 1}

^Arcsin

^Arccos

^Arctan

^{thprime x =1}

^{2 Analyse 39}

^{g(a) 6= 0(1g}

^g2(a)

^{g(a) 6= 0(}

^{)prime(a) =}

^sumk=0

^{Ckn f}

^{f prime(c) = 0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(bminus a)k}

^{∥∥∥∥∥ 6 M(bminus a)n+1}

^{(n + 1)}

^{f (b) =n}

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(bminus a)k +}

^{int b}

^{f (x) =n}

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(xminus a)k + o}

^sumj=1

^{λ j = 1 alors}

⁽ⁿ

^sumj=1

^{λ ja j}

⁾⁶

^sumj=1

^{λ j f (a j)}

^{2 Analyse 41}

^{int b}

^{a(λ f + g) = λ}

^{int b}

^{af +}

^{int b}

^{∣∣∣∣int}

^{[ab]f g}

^{∣∣∣∣ 6 Sup[ab] | f |int}

^[ab]|g|

^{∣∣∣∣int}

^[ab]f

^{∣∣∣∣ 6 (bminus a) Sup[ab] | f |}

^{(int b}

^{af g}

^{(int b}

^{af 2)(int b}

^{Sn =bminus a}

^{nminus1sumk=0}

^{(a + k}

^{bminus a}

^{limnrarr+infin}

^{Sn =int b}

^{int b}

^auprimev

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Jf 6 M}

^{Jnf 6 M}

^{0 6 f 6 g (1)}

^{0 6}

^{If 6}

^{Ig (2)}

^{f (x) =1xα}

^{bg alors f}

^xrarr+infin

^{2 Analyse 43}

^{int c}

^{af =}

^{int b}

^{af +}

^{int c}

^{(a b c) isin R3}

^{f 6 g =rArrint}

^{If 6}

^{int X}

^{f (x) =int}

^{IF(x t) dt}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{x 7rarrint}

^{IF(x t) dt}

^{If 6}

^{forallx isin A}

^{IF(x t) dt}

^{IF 6}

^partFpartx

^{2 Analyse 45}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{(Ec) r2 + βr + γ}

^{2 Analyse 47}

^jisin[1n]

^yprime1(t)

^yprimen(t)

^y1(t)

^yn(t)

^b1(t)

^bn(t)

^{Y =n}

^sumi=1

^cieλitVi

^{29 Seacuteries}

^{Deacutefinition}

^{SN =N}

^sumn=0

^nrarr+infin

^{Soit sumngt0}

^{un et sumngtn0}

^{un sont de}

^{mecircme nature}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{S =+infin}

^sumn=0

^{un =1}

^{1minus u0(1)}

^sumngt1

⁽¹⁾

^{α gt 1}

^sumn=1

¹ⁿ²

^+infin

^sumn=2

^{1nα(ln n)β}

^{foralln isin N}

^{0 6 un 6 vn (1)}

^{2 Analyse 49}

^nrarr+infin

^{∣∣∣∣∣+infin}

^sumn=p+1

^{∣∣∣∣∣ 6 |up+1|}

^nrarr+infin

^{un = 0}

^{N 6 p lt q =rArr∥∥∥∥∥}

^sumn=p+1

^{∥∥∥∥∥ 6 ε}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{n sim(ne}

^)nradic2πn

^pisinJqisinJ

^{upq 6 M) alors}

^(+infin

^sump=0

^{)est conver-}

^gente

^(+infin

^sumq=0

^convergente

^{3 sum(pq)isinN2}

^{upq =+infin}

^sump=0

^(+infin

^sumq=0

⁾⁼

^+infin

^sumq=0

^(+infin

^sump=0

^{wn =n}

^sumk=0

^+infin

^sumn=0

^{wn =}

^(+infin

^sumn=0

^)(+infin

^sumn=0

⁾⁽²⁾

^{2 Analyse 51}

^{S(z) =+infin}

^sumn=0

^{anzn et sum}

^ngt0bnz

^{(an + bn)zn}

^{Lemme drsquoAbel}

^sumn=0

^{(n + 1)an+1xn}

^{int x}

^(+infin

^sumn=0

^{)dz =}

^+infin

^sumn=0

^{ann + 1}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^ngt0anx

^{n de rayon de}

^sumn=0

^{an(xminus x0)n}

^{2 Analyse 53}

^{(int b}

^nisinN

^{converge dans E}

^{int b}

^{af = lim}

^nrarr+infin

^{int b}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{If = SupnisinN}

^{Ifn = lim}

^nrarr+infin

^nisinN

^{If = lim}

^nrarr+infin

^{2 Analyse 55}

^{Sn(x) =n}

^sumk=0

^{Sn(x) =n}

^sumk=0

^{existn0 isin N}

^sumngtn0

^{fninfin converge}

^{On dit que sumn}

^{Si sumngt0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^+infin

^sumn=0

^sumngt0

^{(int b}

^{afn(x) dx}

^{)converge dans E}

^{int b}

^(+infin

^sumn=0

^fn(x)

^{)dx =}

^+infin

^sumn=0

^{int b}

^{afn(x) dx}

^sumn=0

^sumngt0

^+infin

^sumn=0

^(+infin

^sumn=0

^)prime=

^+infin

^sumn=0

^{f primen}

^sumngt0

^+infin

^sumn=0

^{∣∣∣∣∣+infin}

^sumn=0

^{∣∣∣∣∣ 6+infin}

^sumn=

^{I| fn|}

^+infin

^sumn=0

^{fn =+infin}

^sumn=0

^sumngt0

^{I| fn| converge}

^{2 Analyse 57}

^{cn( f ) =12π}

^{int 2π}

^{an( f ) =1π}

^{int 2π}

^{bn( f ) =1π}

^{int 2π}

^{S(x) =+infin}

^{sumn=minusinfin}

^{cneinx =a02}

^++infin

^sumn=1

^{bn sin nx}

^{S(x) =12}

^{(f (xminus) + f (x+)}

^{int 2π}

^{0| f (x)|2 dx =}

^|a0|24

^++infin

^sumn=1

^{|an|2 + |bn|22}

^=+infin

^{sumn=minusinfin}

^|cn|2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^limtrarr0

^{Dh f (a) =p}

^sumj=1

^{h jD j f (a)}

^Gradient

^{grad f =}

^{(part fpartx}

^{(x y)part fparty}

^{(x y))}

^{d f =part fpartx}

^{dx +part fparty}

^{=part2 f}

^{Point critique}

^{Extremum local}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{M(t) f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{Y = limθrarrθ0}

^{x(ϕ(t) = x(t)y(ϕ(t) = y(t)}

^{Identiteacute}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{x(ϕ(t) = y(t)y(ϕ(t) = x(t)}

^{ρ =radic}

^{x2 + y2}

^{x = ρ cos θ}

^{y = ρ sin θ}

^{ρ =1}

^{Le cercle}

^{ρ =p}

^{Y = limθrarrθ0}

^{Symeacutetries}

^2+infin

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{t0 f prime(u) du}

^{l(AB) =int b}

^{R =dsdα}

^{γ =1R}

^{d f =}

^{(part fpartx}

^{dx +}

^{(part fparty}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{66 [2] Physique}

^{=part2 f (x y)}

^partypartx

^{yprime(t) +y(t)}

^{y t( )}

^partuuupartt

^{y t( )}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{68 [2] Physique}

^{y t( )}

^{03 Coniques}

^{r(θ) =p}

^{1 + e cos θ}

^{blt 1 ab}

^{Loi de Pouillet}

^{i =E}

^{Loi des nœuds}

^sumk=1

^{ik = 0}

ⁱⁿ

ⁱ⁴

ⁱ²ⁱ³

^{Loi des mailles}

^sumk=1

^{uk = 0 u1}

^{u =}

^sumk=1

^{Gk middot uk +p}

^sumj=1

^{i j}

^sumk=1

^{Gk u1 unu2 uk}

^{uG1 GnG2 Gk}

^{i2 ijip}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{70 [2] Physique}

^{p(t) = u(t)i(t)}

^{lt pgt=1T}

^{int T}

^{0p(t) dt}

^{Reacutesistance}

^{Z = R}

^{ϕ = 0}

^Bobine

^{Z = jLω}

^{ϕ = +π}

^Condensateur

^{Z =1}

^{ϕ = minusπ}

^{H( jω) =s}

^{H(ω) = |H( jω)|}

^{GdB = 20 log |H( jω)|}

^{ϕ = argH}

^logω

^{ω0ou de logω}

^{log(w)log(w )0}

^{G (dB)}

^{log(w )0 log(w)}

^{H(ω) =H0}

^{1 + jω}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{72 [2] Physique}

^{log(w )0}

^log(w)

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^log(w)

^{H(ω) =H0 j}

^{1 + jω}

^{log(w )0}

^log(w)

^{Q gt Q1 2 Q gt Q2 3}

^{H(ω) =H0}

^{1 +}

^{)2+ j}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{Q gt Q2 3}

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^{log(w )0 log(w)}

^{Q gt Q1 2}

^{H(ω) =}

^{1 +}

^{)2+ j}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{Q gt Q2 3}

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{H(ω) =H0}

^{1 + jQ}

^{ω0minus ω0}

^+yen-e

^{uS = uE}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{74 [2] Physique}

^{iER1 e}

^{uS = minusR2}

^+yen-

^{R1 e}

^{uS =}

^{(1 +}

^+yen-

^{iE iSe}

^+yen-

^{uSu2 u1}

^+yen-R

^{e uS =}

^{minus 1RC}

^{int t}

^+yen-

^{C e}

^{ε =R1}

^{R1 + R2Vsat}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{76 [2] Physique}

^+yen-

^{uE1 uE2 uE3}

^{R1 2}

^{R1 3}

^{ik =uEk}

^{21 Gaz parfait}

^{pV = nRT}

^{12mu2 =}

^{α =1V}

^(partVpartT

^{β =1p}

^(partppartT

^{χT = minus 1V}

^(partVpartp

^{(p +}

^{Premier principe}

^{∆U = W + Q}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{78 [2] Physique}

^{W = minusint V f}

^{p dV}

^Enthalpie

^{H = U + pV}

^{dU = CV dT}

^{CV =}

^(partUpartT

^{dH = Cp dT}

^{Cp =}

^(partHpartT

^{U =32nRT}

^{H =52nRT}

^{+ ρgz1) = wm + qm}

^{eacutetat final}

^{∆U = 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{80 [2] Physique}

^{h1 + ek1= h2 + ek2}

^{γ =Cp}

^{CVgt 1}

^{Cp =γR}

^{γminus 1}

^{CV =R}

^{dS =δQ}

^{+ δSirrev}

^{dH = T dS +V dp}

^{Lois de Laplace}

^{p Vγ = cste1}

^vapeur

^{liquidesolide}

^sublimation

^condensation

^vaporisation

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{82 [2] Physique}

^vapeur

^{T T= C}

^{T gt TC}

^{T lt TC}

^liquide+

^vapeur

^liquide

^vapeur

^{p = pC}

^{p gt pC}

^{p lt pC}

^liquide+

^vapeur

^{ssl s}

^liquide

^{xv =mv}

^{xl =mlm}

^{u = x1u1 + x2u2}

^{h = x1h1 + x2h2}

^{s = x1s1 + x2s2}

^{Chaleur latente}

^machine

^{TC TF}

^{∆U = 0}

^{∆S = 0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{84 [2] Physique}

^{TF6 0}

^{eC = 1minus TFTC}

^{e 6 eC}

^{eC =TF}

^{eC =TC}

^{Flux thermique}

^{Φth =intint}

^{Loi de Fourier}

^partTpartt

^{= κ∆T}

^{κ =λ}

^Convection

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{86 [2] Physique}

^{G = heqS}

^{heq =}

^{+ sumj}

^{e j}

^{λ j}

^)minus1

^{Flux thermique}

^{Fr Fd}

^{Loi de Planck}

^kλTminus1

^{F ( T)l l}

^{T T1 2gt}

^{T T2 3gt}

^{T T3 4gt}

^{ϕe =int +infin}

^{0Fλ(λ T) dλ}

^{ϕe = σT4}

^{Corps noir}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{88 [2] Physique}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^{aaa =d2OMOMOMdt2}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^rrθz

^uuuθ

^{aaa =d2OMOMOMdt2}

^{rminus rθ2}

^{2rθ + rθz}

^uuuθ

^{yM y}

^{OMOMOM = ruuur}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^{r sin θϕ}

^uuuθ

^uuuϕ

^{yM yO}

^{OMOMOM = ruuur}

^a(M)ur

^{uq q x}

^ruuur

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{90 [2] Physique}

^xrsquo

^{z zrsquo}

^yrsquo

^{O Orsquo}

⁾⁺

^dΩΩΩ

^{fffe = mΩ2ruuur}

^{W t}

^{z = zrsquo}

^yrsquo

^xrsquo

^dpppdt

^{= sumi}

^{ppp = sumi}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{92 [2] Physique}

^dLLLO

^dt=MMMO

^{Moment de forces}

^{Ek =12mv2}

^{Ek = sumi}

^dEkdt

^{Em = Ek + Ep}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{94 [2] Physique}

^{Eppes = MgzG}

^Epelas=

^12k(∆l)2

^{Epel= qV}

^{Eacutequilibre}

^{dx(x0) = 0}

^{d2 Ep}

^{dx2(x0) gt 0}

^{d2 Ep}

^{dx2(x0) 6 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{96 [2] Physique}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = 0}

^{A = γ cos(ω0t + ϕ)}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = 0}

^{A( )t}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = E(t)}

^radic2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{98 [2] Physique}

^{Force de Lorentz}

^{R =}

^{∣∣∣∣mv0qB}

^∣∣∣∣

^{ω =}

^{∣∣∣∣qB}

^∣∣∣∣

^{Effet Hall}

^{UHall =BI}

^nqℓ

^EHall

^{I l}

^+++++++

^{m1 + m2M1M2M1M2M1M2}

^{GM2GM2GM2 =m1}

^{m1 + m2M1M2M1M2M1M2}

^{LLLO = mCCC}

^{v( )M}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{100 [2] Physique}

^{Epe f f =microC2}

^{2r2+ Epint (r)}

^{micro =m1m2}

^{m1 + m2}

^{uuur + Cuuuuθ}

^{aaa = minusC2u2}

^{(d2 udθ2 + u}

^)uuur

^{u =1r}

^{r(θ) =p}

^{T2 =4π2a3}

^GMsoleil

^+12J∆Ω2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{102 [2] Physique}

^{J∆ =intintint}

^{solider2 dm}

^{J∆ = JG + ma2}

^{l 2 l 2}

^{J∆ =25mR2 J∆ =}

^{12mR2 J∆ =}

¹¹²

^mℓ2

^mdvvvGdt

^{= sumi}

^dLLLO

^{dt= sum}

^{OMOMOMi and fffi}

^dEkdt

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{104 [2] Physique}

^{5 Optique 105}

^{T I}

^{5 Optique}

^{λ = cT =c}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{106 [2] Physique}

^{v =c}

^{λ = vT =v}

^Spectre

^{l (nm)}

^{l (m)}

^{f (Hz)}

^ultraviolet

^{rayons X}

^10ndash9

⁴⁰⁰

¹⁰¹⁷

¹⁰¹⁶

¹⁰¹⁵

¹⁰¹⁴

¹⁰¹³

¹⁰¹²

¹⁰¹¹

¹⁰¹⁰

^10ndash8

⁴⁵⁰

^10ndash7

⁴⁸⁰

^10ndash6

⁵³⁰

^10ndash5

⁵⁹⁰

^10ndash4

⁶²⁰

^10ndash3

⁷⁰⁰

^10ndash2

^{i1 rn1}

^{r = i1}

^{5 Optique 107}

^Prisme

^{r1 + r2 = Ai1}

^{)minus A}

^{n1 minus n2r}

^{n1 n2}

^{C S}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{108 [2] Physique}

^1pprime

^{Miroir plan}

^{pprime = minusp}

^{Lentilles minces}

^Brsquo

^Arsquo

^{A OF}

^Frsquo

^{1pprimeminus 1}

^{1f prime}

^{f prime}

^pprime+

^{5 Optique 109}

^{Grandissement}

^{γ =pprime}

^{λ [SM])}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{110 [2] Physique}

^2iπλ

^{Eacuteclairement}

^{E(M) = αs2(M)}

^{E(M) = 2E0(1 + cos∆ϕ(M))}

^{2 k isin Z}

^{5 Optique 111}

^{p =∆ϕ}

^Contraste

^{Emax + Emin}

^{M x( )}

^{δ(x) =ax}

^{E(x) = 2E0}

^{(1 + cos}

^2πλ

^{i =λD}

^{a(interfrange)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{112 [2] Physique}

^Scheacutema

^{miroir M2}

^{source S}

^M1rsquo

^{M x y( )}

^M1rsquo

^{M x y( )}

^{S1 S2}

^{Lame drsquoair}

^{5 Optique 113}

^{rn =}

^{radicλ f prime}

^radicn

^{Coin drsquoair}

^{i =λγ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{114 [2] Physique}

^{E(e) = 4E0}

^{(1 +V(e) cos}

^(4πeλ0

⁾⁾

^{V(e) = cos}

^λ20e

^Luminance

^{dE = L(ν) dν}

^{L( )n}

ⁿ²ⁿ¹

^{E(e) = 4E0}

^{(1 +V(e) cos}

^(4πeλ0

⁾⁾

^{V(e) = sinc}

^λ20e

^{5 Optique 115}

^{E(Φ) =E0}

^{1 + 4r2(1minus r2)2}

^sin2(

^{Φ =4πeλ0}

^{cos i}

^{F =4r2}

^{F2p 4p}

^{miroir M2}

^{miroir M1}

^sourceS

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{116 [2] Physique}

^{E(x) =E0}

^{(1 + cos}

^(2πδ

⁾⁾

^{δ =2dαd + D}

^{sourcedans le}

^{lentille( )L0}

^{lentille( )L}

^{objetdiffractant}

^{5 Optique 117}

^λ[SOM])

^intint

^{PisinΣt(P)ei}

^{M XY( )}

^{( )L0 ( )L}

^(πaX

^{λ f}

^)sinc2

^(πbY

^{λ f}

^{tache centrale}

^{1 zeacuteroer}

^{2 zeacuteroe}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{118 [2] Physique}

^{θ = 0 61λ}

^{V(M) =q}

^4πε0r

^{EEE(M) =q}

^4πε0r2uuu

^{EEE = minusgradV}

^{EEE(M) = sumi}

^14πε0

^{r2uuu dτ}

^{∆V +ρ}

^{ε0= 0}

^intcopyint

^2ε0uuuz

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{120 [2] Physique}

^{EEE =σ}

^{C =ε0S}

^{ppp = qNPNPNP}

^{V(M) =p cos θ}

^4πε0r2=

^{ppp middotOMOMOM}

^4πε0OM3

^{EEE = minusgradV}

^{N O P}

^{4πr2anduuuPM}

^{dCdCdC =}

^{BBB(M) =micro0 I}

^{2Rsin3 αeeez}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{122 [2] Physique}

^{mmm = ISnnn}

^{M = mmm andBBB}

^{Force de Laplace}

^{Vecteur courant}

^{jjjS = σ vvv}

^{div j +partρ}

^{partt= 0}

^{div E =ρ}

^{div B = 000}

^{dP = jjjEEE dτ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{124 [2] Physique}

^{Wem =ε0E}

^2micro0

^micro0

^{minus partpartt}

^(ε0E

^2micro0

^{)= jjjEEE + div}

^{(EEE andBBB}

^micro0

^{BBB = rot A}

^{AAA(M) =micro0}

^circuit

^{i middotdldldlr}

^{Jauge de Lorentz}

^{= 0}

^{E2t = E1t}

^ε0nnn1rarr2

^{B2n = B1n}

^{int B}

^{R =ℓ}

^{2 f ≪ 1017Hz =rArr∥∥∥∥ε0}

^partEEEpartt

^radic2

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{126 [2] Physique}

^{eAB =int B}

^{(minus partAAA}

^{Φ =intint}

^{Loi de Faraday}

^partt

^{Φ1rarr2 = Mi1}

^{Φ2rarr1 = Mi2}

^{Flux total}

^{Φ1 = Li1 + Mi2}

^{Wem =Li212}

^{+ Mi1i2}

^1u2(t)

^u1(t)=

^{∣∣∣∣ =N1}

^{)2Rchargec copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{128 [2] Physique}

^{BBBprime = BBB}

^{+vvv andBBB}

^{jjjsol = jjjcond}

^{eAB =int B}

^{Loi de Faraday}

^{e = minusdΦ}

^Aimantation

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{130 [2] Physique}

^{micror = 1 + χm}

^{6melt r2 gt}

^{χm =nmicro0m}

^{e t( ) u2}

^{7 Ondes 131}

^{H(t) =N1}

^ℓRu1(t)

^{B(t) =RC}

^N2Su2(t)

^{7 Ondes}

^{K km m}

^{x1 x2}

^{s = (1) + (2)}

^{d = (1)minus (2)}

^{s + ω2s s = 0}

^{d + ω2dd = 0}

^{Modes propres}

^{ωs =}

^radicK

^{mωd =}

^{radic2k + K}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{132 [2] Physique}

^{wws wd}

^{∆F =1c2}

^part2Fpartt2

^{)+ g}

^{(t +}

^{7 Ondes 133}

^{kkk =ω}

^{partmiddotpartt}

^{= iωmiddot}

^part2ξn

^partx2=

^part2ξn

^partt2

^{c =}

^radicka2

^part2ypartx2

^part2ypartt2

^{c =}

^radicT0ρl

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{134 [2] Physique}

^{∆EEE =1c2}

^{part2EEEpartt2}

^{∆BBB =1c2}

^{part2BBBpartt2}

^{c =1radic}

^ε0micro0

^{kkk = kuuu}

^{k =ω}

^2πλ

^{k =ω}

^{cBBB =}

^kkkωandEEE

^{7 Ondes 135}

^Polarisation

^{ndash elliptique}

^{EEE(z = 0 t) =}

^Egauch

^{droi te}

^{ndash circulaire}

^{EEE(z = 0 t) =}

^{ndash rectiligne}

^{EEE(z = 0 t) =}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{136 [2] Physique}

^{micro0cuuu =}

^micro0

^{4πrcp(tminus r}

^)uuuϕ

^{4πrp(tminus r}

^)uuuθ

^{ltPgt=micro0p}

^12πc

^{p = p0 cos(ω0t + ϕ)}

^{7 Ondes 137}

^{vϕ =ω}

^kprime

^{vg =partω}

^partkprime

^Absorption

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{138 [2] Physique}

^Polarisation

^{PPP =dpppdτ}

^{ρp = minusdiv P}

^Aimantation

^{MMM =dmmmdτ}

^{jjja = rot M}

^{7 Ondes 139}

^{PPP = χeEEE}

^{DDD = εrε0EEE}

^{εr = 1 + χe}

^{MMM = χmHHH}

^{micror = 1 + χm}

^{div D = ρlibre}

^{div B = 0}

^{k2 = εrω2}

^{n =radic}

^{vϕ =c}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{140 [2] Physique}

^{t =2n1}

^{n1 + n2}

^{R = r2 =}

^{T = t2 =}

⁽²ⁿ¹

^{n1 + n2}

^{R + T = 1}

^{B2B2B2 = B1B1B1}

^{EEE2 t = EEE1 t}

^{Chapitre 3Chimie}

^{1 Atomistique}

^{11 Spectroscopie}

^{Spectroscopie}

^{∆E = hν}

^{λ =hmv}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{142 [3] Chimie}

^{1n2minus 1}

^{)(nm) isin N2}

^{E (eV)}

^Lyman

^Balmer

^Paschen-151

^{n = yenn = 4}

^{n = 3}

^{n = 2}

^{n = 1}

^{H Ψ = E Ψ}

^intintint

^{En =minus13 6n2}

^{En = minus13 6Z2}

^{|σσσ| =radic}

^{l(l + 1)h}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{144 [3] Chimie}

^{s et pσid}

^Eacutenergie

^{E = sumi}

^{1 s2 s p3 s p d4 s p d f}

^{Charge formelle}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{146 [3] Chimie}

^VSEPR

^{OM antiliante}

^{OA2 OA1}

^{OM liante}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{148 [3] Chimie}

^{2 Cineacutetique}

^{dξ =dniνi}

^{ni = ni0 + νiξ}

^{r =1νi}

^dcidt

^prime2

^{v = k[A1]p1 [A2]}

^{dln k}

^{t12 =ln 2αk}

^{dt= 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{150 [3] Chimie}

^{Deacutefinitions}

^{ndash Agravec}

^{Dimension rT = (}

^{radic32minus 1)r}

^{ndash Agravec}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{152 [3] Chimie}

^{lt 1}

^{ltradic3minus 1}

^{Blende (ZnS)}

^{0 6r+rminus}

^{ltradic2minus 1}

^{Deacutefinition}

^{Xi =}

^(partXpartni

^{Tpn j 6=ni}

^{ni dXi Tp = 0}

^{∆rX = sumi}

^{νiXi =}

^(partXpartξ

^partpartT

^(∆rG

^{)= minus∆rH}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{154 [3] Chimie}

^{Deacutefinition}

^{microi =}

^(partGpartni

^{Tpn j 6=ni}

^{microi =}

^(partUpartni

^{VSn j 6=ni}

^{microi =}

^(partHpartni

^{pSn j 6=ni}

^{microi =}

^(partFpartni

^{VTn j 6=ni}

^micro0i(g)

^{∆rH0 = sum}

^νiH0i

^{∆rS0 = sum}

^νiS0i

^{∆rG0 = sum}

^νiG0i

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{156 [3] Chimie}

^{∆rG0 = ∆rH}

^{0 minus T∆rS0}

^tion∆rH

^d∆rH0

^{dT= ∆rC}

^{0p = sum}

^νiC0pi

^d∆rS0

^∆rC0p

^{T= sum}

^νiC0pi

^(∆rG

^tion∆rH

^{Relation de Hess}

^{∆rH0 = sum}

^{νi∆ fH0i}

^{∆rG0 = sum}

^{νi∆ fG0i}

^tion∆rG

^{A = minussumi}

^prodi

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{158 [3] Chimie}

^{A = 0}

^{Dans ce cas}

^prodi

^{K0(T) = prodi}

^{i eacutequilibre}

^{∆rG0(Ti) = 0}

^{K0(Ti) = 1}

^dlnK0

^∆rH0

^{dA = RT(}

^)dnin

^{v = c + 2minusϕ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{160 [3] Chimie}

^{Loi de Raoult}

^{Loi de Henry}

^{pi = kxli}

^vapeur

^liquide

^vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^{Fuseau simple}

^{p1 vapeur}

^liquide

^{+ vap}

^vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^{Fuseau simple}

^T1vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{162 [3] Chimie}

^vapeur

^liquide

^{+ vap}

^liquide

^solide

^{sol i dus}

^x2x2x2

^{nlML + nvMV = 0}

^{Couple redox}

^oxydation

^{β red}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{164 [3] Chimie}

^{H sous 1 bar2}

^{pH = 0}

^{E = E0 +RTnF ln}

^aαox

^aβred

^{ndash a =c}

^{ndash a =pip0}

^{E = E0 +0 06n}

^logaαox

^aβred

^{= 0 06}

^{E = E2 minus E1}

^{∆rG0 = ∆rH}

^{0 minus T∆rS0}

^{0 et ∆rS0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{166 [3] Chimie}

^{DrG ( )0}

^{0 T}

^{TF TE}

^oxyde

^meacutetal

^{A =12RT ln}

^{pH = minus log(}

^[H3O+]

^{(c0)2= 10minus14}

^{[HA] middot c0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{168 [3] Chimie}

^{0 1}

^{Fe3 +}

^{Fe2 +}

^{Zn2 +}

^Zn(OH)s

^Zn(OH)4

^{2 -}

^Fe(OH)2

^Fe(OH)3

^{Cu O2}

^Cu(OH)2

^{Cu2 +}

^{U gt∆rG}

^{i = nFdξ}

^{v =1V}

^vhAhC

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{170 [3] Chimie}

^{i lim}

^{54 Corrosion}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{int dtcos t}

^{= ln∣∣∣∣tan}

^{)∣∣∣∣+ k R π}

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{int dt}

^{int dtch t}

^{intemt dt =}

^{inttα dt =}

^tα+1

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{int dt}

^{int dtsin t}

^{= ln∣∣∣∣tan}

^{int dt}

^{int dtsh t}

^{= ln∣∣∣∣th}

^{intat dt =}

^{t2 + a2=}

^1aArctan

^{a+ k R}

^{Arcsin t}

^{|a| + k}

^{]minus a a[}

^{Argsh t}

^{|a| + k}

^{)+ k}

^Argcht

^{|a| + k}

^{ln(t +radic}

^{t2 minus a2)}

^{+ k]|a|+infin[}

^{∣∣∣∣+ k}

^{ln∣∣∣t +}

^{radict2 minus a2}

^{= ln∣∣∣t +}

^{radict2 + b}

^{R [minusb b]}

^{ln(tminus a}

^{t + a}

^{nxn+ o}

^xrarra(xn)

^{radic1+x = 1+}

^{12xminus 1}

^{1radic1 + x}

^{= 1 minus 12x +}

^o(xn)

^{3minus x4}

^{n+ o(xn)}

^{2minus x3}

^{3minus x4}

^{n+ o(xn)}

^{ln(a + x) = ln a +x}

^{aminus x2}

^{an+ o(xn)}

^{ex = 1 + x +x2}

^{n+ o(xn)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{4minus x6}

^{(2n)+ o(x2n+1)}

^{ch x = 1 +x2}

⁴⁺

^{(2n)+ o(x2n+1)}

^{5minus x7}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{sh x = x +x3}

⁵⁺

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{tan x = x +x3}

²¹⁵

^{x5 +17315}

^{x7 + o(x7)}

^{th x = xminus x3}

²¹⁵

^{x5 minus 17315}

^{x7 + o(x7)}

^{Arccos x =π}

^{2minus x minus 1}

^{2n + 1+}

^o(x2n+2)

^{2n + 1+ o(x2n+2)}

^{5minus x7}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

²ⁿ⁺¹⁺

^o(x2n+2)

^{Argth x = x +x3}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{sin 012}

^radic22

^radic32

^{1 0}

^{cos 1}

^radic32

^radic22

^{0 minus1}

^{tan 0}

^radic33

^{1radic3 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{cos2 a + sin2 a = 1}

^{tan a =sin a}

^{cos acot a =}

^{cos asin a}

^{1 + tan2 a =1}

^{cos2 a1 + cot2 a =}

^{sin2 a}

^{cos2 a =1}

^{1 + tan2 asin2 a =}

^{11 + cot2 a}

^{1 + tan a tan b}

^{cos(2a) =}

^{tan(2a) =2 tan a}

^{1minus tan2 a}

^{21 + tan2 a}

^{sin a =2 tan a}

^{21 + tan2 a}

^{tan a =2 tan a}

^{21minus tan2 a}

^{cos a cos b =12}

^{sin a sin b =12}

^{sin a cos b =12}

^{sin b cos a =12}

^{cos2 a =1 + cos(2a)}

^{2sin2 a =}

^{1minus cos(2a)2}

^{pminus q}

^{p + q}

^{21 + cos a = 2 cos2}

^cos(π

^{2minus a)}

^{= sin a sin(π}

^{2minus a)}

^{= cos a}

^cos(π

^{2+ a)}

^{= cos a}

^tan(π

^{2minus a)}

^{= cot a cot(π}

^{2minus a)}

^{= tan a}

^tan(π

^{2+ a)}

^{= minus tan a}

^2sgnx

^{Arctana + b}

^{2sgn a si ab = 1}

^{Arctana + b}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2sgn x}

^{2ch x =}

^{ex + eminusx}

^{th a + th b}

^{1minus th a th b}

^{ch 2a =}

^{th 2a =2 th a}

^{p + q}

^{pminus q}

^{sh p + sh q = 2 shp + q}

^{pminus q}

^{1 Notations}

^{partpartxpart}

^{partypartpartz}

^{AAA(M) =}

^iiijjjkkk

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 Gradient}

^partVpartx

^{(x y z)}

^partVparty

^{(x y z)}

^partVpartz

^{(x y z)}

^partVpartr

^partVpartθ

^partVpartz

^uuuθ

^{gradV =}

^partVpartr

^partVpartθ

^{1r sin θ}

^partVpartϕ

^uuuθ

^uuuϕ

^{3 Divergence}

^{div A =partAx}

^partx+

^partAy

^party+

^partAz

^{div A =1r}

^partpartr

^partAθ

^partθ+

^partAz

^partz

^{div A =1r2}

^partpartr

^{r sin θ}

^partpartθ

^{(sin θAθ) +1}

^{r sin θ}

^partAϕ

^partϕ

^{4 Rotationnel}

^{partpartxpart}

^{partypartpartz}

^partAz

^partzpartAx

^partxpartAy

^party

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{rot A =}

^partAz

^partzpartAr

^partr1r

^partpartr

^partAr

^partθ

^{rot A =}

^{1r sin θ}

^(part

^partϕ

^{sin θ}

^partAr

^{partϕminus part}

^(partpartr

^partθ

^{5 Laplacien}

^{+part2Vparty2}

^{+part2Vpartz2}

^{= div (gradV)}

^{∆Ax =part2Ax}

^partx2+

^part2Ax

^party2+

^part2Ax

^partz2

^{∆Ay =part2Ay}

^partx2+

^part2Ay

^party2+

^part2Ay

^partz2

^{∆Az =part2Az}

^partx2+

^part2Az

^party2+

^part2Az

^partz2

^{∆V =1r}

^partVpartr

^{+part2Vpartr2}

^{part2Vpartθ2 +}

^part2Vpartz2

^{∆V =1r}

^partpartr

^partVpartr

⁾⁺

^{part2Vpartθ2 +}

^part2Vpartz2

^{∆V =1r}

^partpartr2

^{(rV) +1}

^{r2 sin2 θ}

^{part2Vpartϕ2 +}

^{r2 sin2 θ}

^partpartθ

^{(sin θ}

^partVpartθ

^{(BBBgrad)AAA =}

^BxpartAx

^{partx+ By}

^partAx

^{party+ Bz}

^partAx

^partz

^BxpartAy

^{partx+ By}

^partAy

^{party+ Bz}

^partAy

^partz

^BxpartAz

^{partx+ By}

^partAz

^{party+ Bz}

^partAz

^partz

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^intintint

^intint

^intintint

^intint

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 2 3 4 5 6 7 8 9}

^{1I H}

^{hydrogegravene}

^{2299 243119 20 21 22 23 24 25 26 27}

^{3910 4008 4496 4788 5094 5200 5494 5585 589337 38 39 40 41 42 43 44 45}

^{8547 8762 8891 9122 9221 9594 9891 1011 102955 56 57 72 73 74 75 76 77}

^{1329 1373 1389 1785 1809 1839 1862 1902 192287 88 89}

^{2230 2260 2270}

^{1401 1409 1442 1449 150490 91 92 93 94Th Pa U Np Pu}

^{2320 2310 2380 2370 2441}

¹⁹⁵

^{10 11 12 13 14 15 16 17 18}

^{2Heheacutelium}

^{1081 1201 1401 1600 1900 201813 14 15 16 17 18Al Si P S Cl Ar}

^{1951 1970 2006 2044 2072 2090 2100 2100 2220}

^{2431 2471 2471 2521 2521 2571 2561 2591 2601}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Index

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{198 INDEX}

^{INDEX 199}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{200 INDEX}

^{isomorphisme 15}

¹²³

^{INDEX 201}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{202 INDEX}

^{INDEX 203}

^{voisinage 29}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^physique

^chimie

^informatique

^wwwdunodcom

^{lionel porcheron}

^{Lionel Porcheron}

^{4e eacutedition}

^{Le for}

^{e mpsi pm}

^{ieL po}

^{Porcheron 13x18indd 1 40808 145659}

^{ISBN 978-2-10-053787-7}

^Avant-propos


^{1 Algegravebre}

^{11 Relations}










^{2 Analyse}




^{24 Suites}





^{29 Seacuteries}












^{03 Coniques}






^{21 Gaz parfait}










^{34 Oscillateurs}







^{5 Optique}















^{7 Ondes}







^{1 Atomistique}

^{11 Spectroscopie}





^{2 Cineacutetique}
















^{54 Corrosion}







^{1 Notations}

^{2 Gradient}

^{3 Divergence}

^{4 Rotationnel}

^{5 Laplacien13}













^Index

^{4e eacutedition}

^{copy Dunod Paris 2000 2003 2004 2008}

^{ISBN 978-2-10-053787-7}

^{Avant-propos IX}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 Gradient 182}

^{3 Divergence 183}

^{5 Laplacien 184}

^{Index 197}

^Avant-propos

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 Algegravebre}

^{11 Relations}

^{=rArr x = y}

^{=rArr xRz}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Groupe

^{1 Algegravebre 3}

^Sous-groupe

^Anneau

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Sous-anneau

^Corps

^{1 Algegravebre 5}

^{n =n}

^prodk=1

^Permutations

^Arrangements

^{Apn =}

^{n(nminus p)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Combinaisons

^{Cpn =}

^{np(nminus p)}

^{Cpn = C}

^{Cpn + C}

^{p+1n = C}

^{(x + y)n =n}

^sumk=0

^{Q est dense}

^{1 Algegravebre 7}

^sumi=1

^{xiui = 1}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{(PQ) isin K[X]}

^Produit

^{PQ = sumncnX}

^{cn =n}

^sump=0

^apbnminusp

^{P = sumnanX}

^{n isin K[X]}

^{Q = sumnbnX}

^{n isin K[X]}

^{1 Algegravebre 9}

^Composition

^{n isin K[X]}

^{Q isin K[X]}

^{Deacuterivation}

^{Pprime = sumngt1}

^{n isin K[X]}

^{AU + BV = 1}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{P(m)(α) 6= 0}

^{P = λn}

^prodi=1

^{(Xminus xi)}

^{R =sumnanX}

^sumnbnX

^{Soit R =P}

^{R =P}

^{R = E +n}

^sumi=1

^sumj=1

^{Cαi j}

^{( f (x) = f (y) =rArr x = y)}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Vect(A) =⋂}

^FsubEFsupA

^{E = sumiisinI}

^{E j = 0}

^iisinIxi

^{avec xi isin Ei}

^{E =oplus}

^iisinIEi

^iisinIλixi

^{Famille libre}

^sumiisinI

^sumi=1

^λixi

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 si i = j0 si i 6= j}

^{f (x + λy) = f (x) + λ f (y)}

^{Formule du rang}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{p2 = p (1)}

^{s2 = IdE}

^{f (e j) =m}

^sumi=1

^{ai j fi}

^{M = λN}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{β1 jβ2 j}

^{βk j}

^{βp j}

^{γi j}

^{γi j =p}

^sumk=1

^{(MN)P = M(NP)}

^jisin[1p]

^{exp(A) =+infin}

^sumk=0

^{Avec Vj =n}

^{sumi j=1}

^{ai j jei j j}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{∣∣∣∣∣∣∣= prod}

^{16 jlti6n}

^{Matrice inverse}

^{Mminus1 =1}

^com(M)

^{det A}

^jisin[1n]

^suivant

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{ϕ(x y) =t XAY}

^{x2 =radic}

^{3 (x|y) =12}

^{4 (x|y) =14}

^{sumj=1|(e j|x)|2 6 x2}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{f (x) = λx}

^{2 Analyse 27}

^Drapeau

^{2 Analyse}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 tels que}

^{αN1 6 N2 6 βN1}

^{d(x a)}

^{2 Analyse 29}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^iisinIxi

^{∥∥∥∥∥}

^{= sumiisinIxi2}

^{2 Analyse 31}

^{a 6 b =rArr a + c 6 b + ca 6 b0 6 c}

^{=rArr ac 6 bc}

^{forallx isin R}

^{E(x) 6 x 6 E(x) + 1}

^Densiteacute

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{z = a + ib}

^{z = ρeiθ}

^{z = a + ib}

^{z = aminus ib}

^{z + z = 2Re(z)}

^{zprime 6= 0∣∣∣z}

^{2 Analyse 33}

^{isin R}

^{x isin R}

^{zk = nradicr(ei}

^ϕ+2kπn

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{24 Suites}

^{Sn =(u1 + un)n}

^{Sn =u1(q}

^{q 6= 1}

^{2 Analyse 35}

^nrarr+infin

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{forallx isin X}

^{x + T isin Xf (x + T) = f (x)}

^{2 Analyse 37}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1minus x2}

^{forallx isin R}

^{1 + x2}

^{-1 1}

^Arcsin

^Arccos

^Arctan

^{thprime x =1}

^{2 Analyse 39}

^{g(a) 6= 0(1g}

^g2(a)

^{g(a) 6= 0(}

^{)prime(a) =}

^sumk=0

^{Ckn f}

^{f prime(c) = 0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(bminus a)k}

^{∥∥∥∥∥ 6 M(bminus a)n+1}

^{(n + 1)}

^{f (b) =n}

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(bminus a)k +}

^{int b}

^{f (x) =n}

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(xminus a)k + o}

^sumj=1

^{λ j = 1 alors}

⁽ⁿ

^sumj=1

^{λ ja j}

⁾⁶

^sumj=1

^{λ j f (a j)}

^{2 Analyse 41}

^{int b}

^{a(λ f + g) = λ}

^{int b}

^{af +}

^{int b}

^{∣∣∣∣int}

^{[ab]f g}

^{∣∣∣∣ 6 Sup[ab] | f |int}

^[ab]|g|

^{∣∣∣∣int}

^[ab]f

^{∣∣∣∣ 6 (bminus a) Sup[ab] | f |}

^{(int b}

^{af g}

^{(int b}

^{af 2)(int b}

^{Sn =bminus a}

^{nminus1sumk=0}

^{(a + k}

^{bminus a}

^{limnrarr+infin}

^{Sn =int b}

^{int b}

^auprimev

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Jf 6 M}

^{Jnf 6 M}

^{0 6 f 6 g (1)}

^{0 6}

^{If 6}

^{Ig (2)}

^{f (x) =1xα}

^{bg alors f}

^xrarr+infin

^{2 Analyse 43}

^{int c}

^{af =}

^{int b}

^{af +}

^{int c}

^{(a b c) isin R3}

^{f 6 g =rArrint}

^{If 6}

^{int X}

^{f (x) =int}

^{IF(x t) dt}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{x 7rarrint}

^{IF(x t) dt}

^{If 6}

^{forallx isin A}

^{IF(x t) dt}

^{IF 6}

^partFpartx

^{2 Analyse 45}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{(Ec) r2 + βr + γ}

^{2 Analyse 47}

^jisin[1n]

^yprime1(t)

^yprimen(t)

^y1(t)

^yn(t)

^b1(t)

^bn(t)

^{Y =n}

^sumi=1

^cieλitVi

^{29 Seacuteries}

^{Deacutefinition}

^{SN =N}

^sumn=0

^nrarr+infin

^{Soit sumngt0}

^{un et sumngtn0}

^{un sont de}

^{mecircme nature}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{S =+infin}

^sumn=0

^{un =1}

^{1minus u0(1)}

^sumngt1

⁽¹⁾

^{α gt 1}

^sumn=1

¹ⁿ²

^+infin

^sumn=2

^{1nα(ln n)β}

^{foralln isin N}

^{0 6 un 6 vn (1)}

^{2 Analyse 49}

^nrarr+infin

^{∣∣∣∣∣+infin}

^sumn=p+1

^{∣∣∣∣∣ 6 |up+1|}

^nrarr+infin

^{un = 0}

^{N 6 p lt q =rArr∥∥∥∥∥}

^sumn=p+1

^{∥∥∥∥∥ 6 ε}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{n sim(ne}

^)nradic2πn

^pisinJqisinJ

^{upq 6 M) alors}

^(+infin

^sump=0

^{)est conver-}

^gente

^(+infin

^sumq=0

^convergente

^{3 sum(pq)isinN2}

^{upq =+infin}

^sump=0

^(+infin

^sumq=0

⁾⁼

^+infin

^sumq=0

^(+infin

^sump=0

^{wn =n}

^sumk=0

^+infin

^sumn=0

^{wn =}

^(+infin

^sumn=0

^)(+infin

^sumn=0

⁾⁽²⁾

^{2 Analyse 51}

^{S(z) =+infin}

^sumn=0

^{anzn et sum}

^ngt0bnz

^{(an + bn)zn}

^{Lemme drsquoAbel}

^sumn=0

^{(n + 1)an+1xn}

^{int x}

^(+infin

^sumn=0

^{)dz =}

^+infin

^sumn=0

^{ann + 1}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^ngt0anx

^{n de rayon de}

^sumn=0

^{an(xminus x0)n}

^{2 Analyse 53}

^{(int b}

^nisinN

^{converge dans E}

^{int b}

^{af = lim}

^nrarr+infin

^{int b}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{If = SupnisinN}

^{Ifn = lim}

^nrarr+infin

^nisinN

^{If = lim}

^nrarr+infin

^{2 Analyse 55}

^{Sn(x) =n}

^sumk=0

^{Sn(x) =n}

^sumk=0

^{existn0 isin N}

^sumngtn0

^{fninfin converge}

^{On dit que sumn}

^{Si sumngt0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^+infin

^sumn=0

^sumngt0

^{(int b}

^{afn(x) dx}

^{)converge dans E}

^{int b}

^(+infin

^sumn=0

^fn(x)

^{)dx =}

^+infin

^sumn=0

^{int b}

^{afn(x) dx}

^sumn=0

^sumngt0

^+infin

^sumn=0

^(+infin

^sumn=0

^)prime=

^+infin

^sumn=0

^{f primen}

^sumngt0

^+infin

^sumn=0

^{∣∣∣∣∣+infin}

^sumn=0

^{∣∣∣∣∣ 6+infin}

^sumn=

^{I| fn|}

^+infin

^sumn=0

^{fn =+infin}

^sumn=0

^sumngt0

^{I| fn| converge}

^{2 Analyse 57}

^{cn( f ) =12π}

^{int 2π}

^{an( f ) =1π}

^{int 2π}

^{bn( f ) =1π}

^{int 2π}

^{S(x) =+infin}

^{sumn=minusinfin}

^{cneinx =a02}

^++infin

^sumn=1

^{bn sin nx}

^{S(x) =12}

^{(f (xminus) + f (x+)}

^{int 2π}

^{0| f (x)|2 dx =}

^|a0|24

^++infin

^sumn=1

^{|an|2 + |bn|22}

^=+infin

^{sumn=minusinfin}

^|cn|2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^limtrarr0

^{Dh f (a) =p}

^sumj=1

^{h jD j f (a)}

^Gradient

^{grad f =}

^{(part fpartx}

^{(x y)part fparty}

^{(x y))}

^{d f =part fpartx}

^{dx +part fparty}

^{=part2 f}

^{Point critique}

^{Extremum local}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{M(t) f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{Y = limθrarrθ0}

^{x(ϕ(t) = x(t)y(ϕ(t) = y(t)}

^{Identiteacute}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{x(ϕ(t) = y(t)y(ϕ(t) = x(t)}

^{ρ =radic}

^{x2 + y2}

^{x = ρ cos θ}

^{y = ρ sin θ}

^{ρ =1}

^{Le cercle}

^{ρ =p}

^{Y = limθrarrθ0}

^{Symeacutetries}

^2+infin

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{t0 f prime(u) du}

^{l(AB) =int b}

^{R =dsdα}

^{γ =1R}

^{d f =}

^{(part fpartx}

^{dx +}

^{(part fparty}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{66 [2] Physique}

^{=part2 f (x y)}

^partypartx

^{yprime(t) +y(t)}

^{y t( )}

^partuuupartt

^{y t( )}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{68 [2] Physique}

^{y t( )}

^{03 Coniques}

^{r(θ) =p}

^{1 + e cos θ}

^{blt 1 ab}

^{Loi de Pouillet}

^{i =E}

^{Loi des nœuds}

^sumk=1

^{ik = 0}

ⁱⁿ

ⁱ⁴

ⁱ²ⁱ³

^{Loi des mailles}

^sumk=1

^{uk = 0 u1}

^{u =}

^sumk=1

^{Gk middot uk +p}

^sumj=1

^{i j}

^sumk=1

^{Gk u1 unu2 uk}

^{uG1 GnG2 Gk}

^{i2 ijip}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{70 [2] Physique}

^{p(t) = u(t)i(t)}

^{lt pgt=1T}

^{int T}

^{0p(t) dt}

^{Reacutesistance}

^{Z = R}

^{ϕ = 0}

^Bobine

^{Z = jLω}

^{ϕ = +π}

^Condensateur

^{Z =1}

^{ϕ = minusπ}

^{H( jω) =s}

^{H(ω) = |H( jω)|}

^{GdB = 20 log |H( jω)|}

^{ϕ = argH}

^logω

^{ω0ou de logω}

^{log(w)log(w )0}

^{G (dB)}

^{log(w )0 log(w)}

^{H(ω) =H0}

^{1 + jω}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{72 [2] Physique}

^{log(w )0}

^log(w)

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^log(w)

^{H(ω) =H0 j}

^{1 + jω}

^{log(w )0}

^log(w)

^{Q gt Q1 2 Q gt Q2 3}

^{H(ω) =H0}

^{1 +}

^{)2+ j}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{Q gt Q2 3}

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^{log(w )0 log(w)}

^{Q gt Q1 2}

^{H(ω) =}

^{1 +}

^{)2+ j}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{Q gt Q2 3}

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{H(ω) =H0}

^{1 + jQ}

^{ω0minus ω0}

^+yen-e

^{uS = uE}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{74 [2] Physique}

^{iER1 e}

^{uS = minusR2}

^+yen-

^{R1 e}

^{uS =}

^{(1 +}

^+yen-

^{iE iSe}

^+yen-

^{uSu2 u1}

^+yen-R

^{e uS =}

^{minus 1RC}

^{int t}

^+yen-

^{C e}

^{ε =R1}

^{R1 + R2Vsat}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{76 [2] Physique}

^+yen-

^{uE1 uE2 uE3}

^{R1 2}

^{R1 3}

^{ik =uEk}

^{21 Gaz parfait}

^{pV = nRT}

^{12mu2 =}

^{α =1V}

^(partVpartT

^{β =1p}

^(partppartT

^{χT = minus 1V}

^(partVpartp

^{(p +}

^{Premier principe}

^{∆U = W + Q}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{78 [2] Physique}

^{W = minusint V f}

^{p dV}

^Enthalpie

^{H = U + pV}

^{dU = CV dT}

^{CV =}

^(partUpartT

^{dH = Cp dT}

^{Cp =}

^(partHpartT

^{U =32nRT}

^{H =52nRT}

^{+ ρgz1) = wm + qm}

^{eacutetat final}

^{∆U = 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{80 [2] Physique}

^{h1 + ek1= h2 + ek2}

^{γ =Cp}

^{CVgt 1}

^{Cp =γR}

^{γminus 1}

^{CV =R}

^{dS =δQ}

^{+ δSirrev}

^{dH = T dS +V dp}

^{Lois de Laplace}

^{p Vγ = cste1}

^vapeur

^{liquidesolide}

^sublimation

^condensation

^vaporisation

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{82 [2] Physique}

^vapeur

^{T T= C}

^{T gt TC}

^{T lt TC}

^liquide+

^vapeur

^liquide

^vapeur

^{p = pC}

^{p gt pC}

^{p lt pC}

^liquide+

^vapeur

^{ssl s}

^liquide

^{xv =mv}

^{xl =mlm}

^{u = x1u1 + x2u2}

^{h = x1h1 + x2h2}

^{s = x1s1 + x2s2}

^{Chaleur latente}

^machine

^{TC TF}

^{∆U = 0}

^{∆S = 0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{84 [2] Physique}

^{TF6 0}

^{eC = 1minus TFTC}

^{e 6 eC}

^{eC =TF}

^{eC =TC}

^{Flux thermique}

^{Φth =intint}

^{Loi de Fourier}

^partTpartt

^{= κ∆T}

^{κ =λ}

^Convection

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{86 [2] Physique}

^{G = heqS}

^{heq =}

^{+ sumj}

^{e j}

^{λ j}

^)minus1

^{Flux thermique}

^{Fr Fd}

^{Loi de Planck}

^kλTminus1

^{F ( T)l l}

^{T T1 2gt}

^{T T2 3gt}

^{T T3 4gt}

^{ϕe =int +infin}

^{0Fλ(λ T) dλ}

^{ϕe = σT4}

^{Corps noir}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{88 [2] Physique}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^{aaa =d2OMOMOMdt2}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^rrθz

^uuuθ

^{aaa =d2OMOMOMdt2}

^{rminus rθ2}

^{2rθ + rθz}

^uuuθ

^{yM y}

^{OMOMOM = ruuur}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^{r sin θϕ}

^uuuθ

^uuuϕ

^{yM yO}

^{OMOMOM = ruuur}

^a(M)ur

^{uq q x}

^ruuur

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{90 [2] Physique}

^xrsquo

^{z zrsquo}

^yrsquo

^{O Orsquo}

⁾⁺

^dΩΩΩ

^{fffe = mΩ2ruuur}

^{W t}

^{z = zrsquo}

^yrsquo

^xrsquo

^dpppdt

^{= sumi}

^{ppp = sumi}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{92 [2] Physique}

^dLLLO

^dt=MMMO

^{Moment de forces}

^{Ek =12mv2}

^{Ek = sumi}

^dEkdt

^{Em = Ek + Ep}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{94 [2] Physique}

^{Eppes = MgzG}

^Epelas=

^12k(∆l)2

^{Epel= qV}

^{Eacutequilibre}

^{dx(x0) = 0}

^{d2 Ep}

^{dx2(x0) gt 0}

^{d2 Ep}

^{dx2(x0) 6 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{96 [2] Physique}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = 0}

^{A = γ cos(ω0t + ϕ)}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = 0}

^{A( )t}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = E(t)}

^radic2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{98 [2] Physique}

^{Force de Lorentz}

^{R =}

^{∣∣∣∣mv0qB}

^∣∣∣∣

^{ω =}

^{∣∣∣∣qB}

^∣∣∣∣

^{Effet Hall}

^{UHall =BI}

^nqℓ

^EHall

^{I l}

^+++++++

^{m1 + m2M1M2M1M2M1M2}

^{GM2GM2GM2 =m1}

^{m1 + m2M1M2M1M2M1M2}

^{LLLO = mCCC}

^{v( )M}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{100 [2] Physique}

^{Epe f f =microC2}

^{2r2+ Epint (r)}

^{micro =m1m2}

^{m1 + m2}

^{uuur + Cuuuuθ}

^{aaa = minusC2u2}

^{(d2 udθ2 + u}

^)uuur

^{u =1r}

^{r(θ) =p}

^{T2 =4π2a3}

^GMsoleil

^+12J∆Ω2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{102 [2] Physique}

^{J∆ =intintint}

^{solider2 dm}

^{J∆ = JG + ma2}

^{l 2 l 2}

^{J∆ =25mR2 J∆ =}

^{12mR2 J∆ =}

¹¹²

^mℓ2

^mdvvvGdt

^{= sumi}

^dLLLO

^{dt= sum}

^{OMOMOMi and fffi}

^dEkdt

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{104 [2] Physique}

^{5 Optique 105}

^{T I}

^{5 Optique}

^{λ = cT =c}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{106 [2] Physique}

^{v =c}

^{λ = vT =v}

^Spectre

^{l (nm)}

^{l (m)}

^{f (Hz)}

^ultraviolet

^{rayons X}

^10ndash9

⁴⁰⁰

¹⁰¹⁷

¹⁰¹⁶

¹⁰¹⁵

¹⁰¹⁴

¹⁰¹³

¹⁰¹²

¹⁰¹¹

¹⁰¹⁰

^10ndash8

⁴⁵⁰

^10ndash7

⁴⁸⁰

^10ndash6

⁵³⁰

^10ndash5

⁵⁹⁰

^10ndash4

⁶²⁰

^10ndash3

⁷⁰⁰

^10ndash2

^{i1 rn1}

^{r = i1}

^{5 Optique 107}

^Prisme

^{r1 + r2 = Ai1}

^{)minus A}

^{n1 minus n2r}

^{n1 n2}

^{C S}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{108 [2] Physique}

^1pprime

^{Miroir plan}

^{pprime = minusp}

^{Lentilles minces}

^Brsquo

^Arsquo

^{A OF}

^Frsquo

^{1pprimeminus 1}

^{1f prime}

^{f prime}

^pprime+

^{5 Optique 109}

^{Grandissement}

^{γ =pprime}

^{λ [SM])}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{110 [2] Physique}

^2iπλ

^{Eacuteclairement}

^{E(M) = αs2(M)}

^{E(M) = 2E0(1 + cos∆ϕ(M))}

^{2 k isin Z}

^{5 Optique 111}

^{p =∆ϕ}

^Contraste

^{Emax + Emin}

^{M x( )}

^{δ(x) =ax}

^{E(x) = 2E0}

^{(1 + cos}

^2πλ

^{i =λD}

^{a(interfrange)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{112 [2] Physique}

^Scheacutema

^{miroir M2}

^{source S}

^M1rsquo

^{M x y( )}

^M1rsquo

^{M x y( )}

^{S1 S2}

^{Lame drsquoair}

^{5 Optique 113}

^{rn =}

^{radicλ f prime}

^radicn

^{Coin drsquoair}

^{i =λγ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{114 [2] Physique}

^{E(e) = 4E0}

^{(1 +V(e) cos}

^(4πeλ0

⁾⁾

^{V(e) = cos}

^λ20e

^Luminance

^{dE = L(ν) dν}

^{L( )n}

ⁿ²ⁿ¹

^{E(e) = 4E0}

^{(1 +V(e) cos}

^(4πeλ0

⁾⁾

^{V(e) = sinc}

^λ20e

^{5 Optique 115}

^{E(Φ) =E0}

^{1 + 4r2(1minus r2)2}

^sin2(

^{Φ =4πeλ0}

^{cos i}

^{F =4r2}

^{F2p 4p}

^{miroir M2}

^{miroir M1}

^sourceS

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{116 [2] Physique}

^{E(x) =E0}

^{(1 + cos}

^(2πδ

⁾⁾

^{δ =2dαd + D}

^{sourcedans le}

^{lentille( )L0}

^{lentille( )L}

^{objetdiffractant}

^{5 Optique 117}

^λ[SOM])

^intint

^{PisinΣt(P)ei}

^{M XY( )}

^{( )L0 ( )L}

^(πaX

^{λ f}

^)sinc2

^(πbY

^{λ f}

^{tache centrale}

^{1 zeacuteroer}

^{2 zeacuteroe}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{118 [2] Physique}

^{θ = 0 61λ}

^{V(M) =q}

^4πε0r

^{EEE(M) =q}

^4πε0r2uuu

^{EEE = minusgradV}

^{EEE(M) = sumi}

^14πε0

^{r2uuu dτ}

^{∆V +ρ}

^{ε0= 0}

^intcopyint

^2ε0uuuz

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{120 [2] Physique}

^{EEE =σ}

^{C =ε0S}

^{ppp = qNPNPNP}

^{V(M) =p cos θ}

^4πε0r2=

^{ppp middotOMOMOM}

^4πε0OM3

^{EEE = minusgradV}

^{N O P}

^{4πr2anduuuPM}

^{dCdCdC =}

^{BBB(M) =micro0 I}

^{2Rsin3 αeeez}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{122 [2] Physique}

^{mmm = ISnnn}

^{M = mmm andBBB}

^{Force de Laplace}

^{Vecteur courant}

^{jjjS = σ vvv}

^{div j +partρ}

^{partt= 0}

^{div E =ρ}

^{div B = 000}

^{dP = jjjEEE dτ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{124 [2] Physique}

^{Wem =ε0E}

^2micro0

^micro0

^{minus partpartt}

^(ε0E

^2micro0

^{)= jjjEEE + div}

^{(EEE andBBB}

^micro0

^{BBB = rot A}

^{AAA(M) =micro0}

^circuit

^{i middotdldldlr}

^{Jauge de Lorentz}

^{= 0}

^{E2t = E1t}

^ε0nnn1rarr2

^{B2n = B1n}

^{int B}

^{R =ℓ}

^{2 f ≪ 1017Hz =rArr∥∥∥∥ε0}

^partEEEpartt

^radic2

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{126 [2] Physique}

^{eAB =int B}

^{(minus partAAA}

^{Φ =intint}

^{Loi de Faraday}

^partt

^{Φ1rarr2 = Mi1}

^{Φ2rarr1 = Mi2}

^{Flux total}

^{Φ1 = Li1 + Mi2}

^{Wem =Li212}

^{+ Mi1i2}

^1u2(t)

^u1(t)=

^{∣∣∣∣ =N1}

^{)2Rchargec copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{128 [2] Physique}

^{BBBprime = BBB}

^{+vvv andBBB}

^{jjjsol = jjjcond}

^{eAB =int B}

^{Loi de Faraday}

^{e = minusdΦ}

^Aimantation

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{130 [2] Physique}

^{micror = 1 + χm}

^{6melt r2 gt}

^{χm =nmicro0m}

^{e t( ) u2}

^{7 Ondes 131}

^{H(t) =N1}

^ℓRu1(t)

^{B(t) =RC}

^N2Su2(t)

^{7 Ondes}

^{K km m}

^{x1 x2}

^{s = (1) + (2)}

^{d = (1)minus (2)}

^{s + ω2s s = 0}

^{d + ω2dd = 0}

^{Modes propres}

^{ωs =}

^radicK

^{mωd =}

^{radic2k + K}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{132 [2] Physique}

^{wws wd}

^{∆F =1c2}

^part2Fpartt2

^{)+ g}

^{(t +}

^{7 Ondes 133}

^{kkk =ω}

^{partmiddotpartt}

^{= iωmiddot}

^part2ξn

^partx2=

^part2ξn

^partt2

^{c =}

^radicka2

^part2ypartx2

^part2ypartt2

^{c =}

^radicT0ρl

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{134 [2] Physique}

^{∆EEE =1c2}

^{part2EEEpartt2}

^{∆BBB =1c2}

^{part2BBBpartt2}

^{c =1radic}

^ε0micro0

^{kkk = kuuu}

^{k =ω}

^2πλ

^{k =ω}

^{cBBB =}

^kkkωandEEE

^{7 Ondes 135}

^Polarisation

^{ndash elliptique}

^{EEE(z = 0 t) =}

^Egauch

^{droi te}

^{ndash circulaire}

^{EEE(z = 0 t) =}

^{ndash rectiligne}

^{EEE(z = 0 t) =}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{136 [2] Physique}

^{micro0cuuu =}

^micro0

^{4πrcp(tminus r}

^)uuuϕ

^{4πrp(tminus r}

^)uuuθ

^{ltPgt=micro0p}

^12πc

^{p = p0 cos(ω0t + ϕ)}

^{7 Ondes 137}

^{vϕ =ω}

^kprime

^{vg =partω}

^partkprime

^Absorption

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{138 [2] Physique}

^Polarisation

^{PPP =dpppdτ}

^{ρp = minusdiv P}

^Aimantation

^{MMM =dmmmdτ}

^{jjja = rot M}

^{7 Ondes 139}

^{PPP = χeEEE}

^{DDD = εrε0EEE}

^{εr = 1 + χe}

^{MMM = χmHHH}

^{micror = 1 + χm}

^{div D = ρlibre}

^{div B = 0}

^{k2 = εrω2}

^{n =radic}

^{vϕ =c}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{140 [2] Physique}

^{t =2n1}

^{n1 + n2}

^{R = r2 =}

^{T = t2 =}

⁽²ⁿ¹

^{n1 + n2}

^{R + T = 1}

^{B2B2B2 = B1B1B1}

^{EEE2 t = EEE1 t}

^{Chapitre 3Chimie}

^{1 Atomistique}

^{11 Spectroscopie}

^{Spectroscopie}

^{∆E = hν}

^{λ =hmv}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{142 [3] Chimie}

^{1n2minus 1}

^{)(nm) isin N2}

^{E (eV)}

^Lyman

^Balmer

^Paschen-151

^{n = yenn = 4}

^{n = 3}

^{n = 2}

^{n = 1}

^{H Ψ = E Ψ}

^intintint

^{En =minus13 6n2}

^{En = minus13 6Z2}

^{|σσσ| =radic}

^{l(l + 1)h}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{144 [3] Chimie}

^{s et pσid}

^Eacutenergie

^{E = sumi}

^{1 s2 s p3 s p d4 s p d f}

^{Charge formelle}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{146 [3] Chimie}

^VSEPR

^{OM antiliante}

^{OA2 OA1}

^{OM liante}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{148 [3] Chimie}

^{2 Cineacutetique}

^{dξ =dniνi}

^{ni = ni0 + νiξ}

^{r =1νi}

^dcidt

^prime2

^{v = k[A1]p1 [A2]}

^{dln k}

^{t12 =ln 2αk}

^{dt= 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{150 [3] Chimie}

^{Deacutefinitions}

^{ndash Agravec}

^{Dimension rT = (}

^{radic32minus 1)r}

^{ndash Agravec}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{152 [3] Chimie}

^{lt 1}

^{ltradic3minus 1}

^{Blende (ZnS)}

^{0 6r+rminus}

^{ltradic2minus 1}

^{Deacutefinition}

^{Xi =}

^(partXpartni

^{Tpn j 6=ni}

^{ni dXi Tp = 0}

^{∆rX = sumi}

^{νiXi =}

^(partXpartξ

^partpartT

^(∆rG

^{)= minus∆rH}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{154 [3] Chimie}

^{Deacutefinition}

^{microi =}

^(partGpartni

^{Tpn j 6=ni}

^{microi =}

^(partUpartni

^{VSn j 6=ni}

^{microi =}

^(partHpartni

^{pSn j 6=ni}

^{microi =}

^(partFpartni

^{VTn j 6=ni}

^micro0i(g)

^{∆rH0 = sum}

^νiH0i

^{∆rS0 = sum}

^νiS0i

^{∆rG0 = sum}

^νiG0i

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{156 [3] Chimie}

^{∆rG0 = ∆rH}

^{0 minus T∆rS0}

^tion∆rH

^d∆rH0

^{dT= ∆rC}

^{0p = sum}

^νiC0pi

^d∆rS0

^∆rC0p

^{T= sum}

^νiC0pi

^(∆rG

^tion∆rH

^{Relation de Hess}

^{∆rH0 = sum}

^{νi∆ fH0i}

^{∆rG0 = sum}

^{νi∆ fG0i}

^tion∆rG

^{A = minussumi}

^prodi

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{158 [3] Chimie}

^{A = 0}

^{Dans ce cas}

^prodi

^{K0(T) = prodi}

^{i eacutequilibre}

^{∆rG0(Ti) = 0}

^{K0(Ti) = 1}

^dlnK0

^∆rH0

^{dA = RT(}

^)dnin

^{v = c + 2minusϕ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{160 [3] Chimie}

^{Loi de Raoult}

^{Loi de Henry}

^{pi = kxli}

^vapeur

^liquide

^vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^{Fuseau simple}

^{p1 vapeur}

^liquide

^{+ vap}

^vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^{Fuseau simple}

^T1vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{162 [3] Chimie}

^vapeur

^liquide

^{+ vap}

^liquide

^solide

^{sol i dus}

^x2x2x2

^{nlML + nvMV = 0}

^{Couple redox}

^oxydation

^{β red}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{164 [3] Chimie}

^{H sous 1 bar2}

^{pH = 0}

^{E = E0 +RTnF ln}

^aαox

^aβred

^{ndash a =c}

^{ndash a =pip0}

^{E = E0 +0 06n}

^logaαox

^aβred

^{= 0 06}

^{E = E2 minus E1}

^{∆rG0 = ∆rH}

^{0 minus T∆rS0}

^{0 et ∆rS0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{166 [3] Chimie}

^{DrG ( )0}

^{0 T}

^{TF TE}

^oxyde

^meacutetal

^{A =12RT ln}

^{pH = minus log(}

^[H3O+]

^{(c0)2= 10minus14}

^{[HA] middot c0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{168 [3] Chimie}

^{0 1}

^{Fe3 +}

^{Fe2 +}

^{Zn2 +}

^Zn(OH)s

^Zn(OH)4

^{2 -}

^Fe(OH)2

^Fe(OH)3

^{Cu O2}

^Cu(OH)2

^{Cu2 +}

^{U gt∆rG}

^{i = nFdξ}

^{v =1V}

^vhAhC

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{170 [3] Chimie}

^{i lim}

^{54 Corrosion}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{int dtcos t}

^{= ln∣∣∣∣tan}

^{)∣∣∣∣+ k R π}

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{int dt}

^{int dtch t}

^{intemt dt =}

^{inttα dt =}

^tα+1

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{int dt}

^{int dtsin t}

^{= ln∣∣∣∣tan}

^{int dt}

^{int dtsh t}

^{= ln∣∣∣∣th}

^{intat dt =}

^{t2 + a2=}

^1aArctan

^{a+ k R}

^{Arcsin t}

^{|a| + k}

^{]minus a a[}

^{Argsh t}

^{|a| + k}

^{)+ k}

^Argcht

^{|a| + k}

^{ln(t +radic}

^{t2 minus a2)}

^{+ k]|a|+infin[}

^{∣∣∣∣+ k}

^{ln∣∣∣t +}

^{radict2 minus a2}

^{= ln∣∣∣t +}

^{radict2 + b}

^{R [minusb b]}

^{ln(tminus a}

^{t + a}

^{nxn+ o}

^xrarra(xn)

^{radic1+x = 1+}

^{12xminus 1}

^{1radic1 + x}

^{= 1 minus 12x +}

^o(xn)

^{3minus x4}

^{n+ o(xn)}

^{2minus x3}

^{3minus x4}

^{n+ o(xn)}

^{ln(a + x) = ln a +x}

^{aminus x2}

^{an+ o(xn)}

^{ex = 1 + x +x2}

^{n+ o(xn)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{4minus x6}

^{(2n)+ o(x2n+1)}

^{ch x = 1 +x2}

⁴⁺

^{(2n)+ o(x2n+1)}

^{5minus x7}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{sh x = x +x3}

⁵⁺

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{tan x = x +x3}

²¹⁵

^{x5 +17315}

^{x7 + o(x7)}

^{th x = xminus x3}

²¹⁵

^{x5 minus 17315}

^{x7 + o(x7)}

^{Arccos x =π}

^{2minus x minus 1}

^{2n + 1+}

^o(x2n+2)

^{2n + 1+ o(x2n+2)}

^{5minus x7}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

²ⁿ⁺¹⁺

^o(x2n+2)

^{Argth x = x +x3}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{sin 012}

^radic22

^radic32

^{1 0}

^{cos 1}

^radic32

^radic22

^{0 minus1}

^{tan 0}

^radic33

^{1radic3 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{cos2 a + sin2 a = 1}

^{tan a =sin a}

^{cos acot a =}

^{cos asin a}

^{1 + tan2 a =1}

^{cos2 a1 + cot2 a =}

^{sin2 a}

^{cos2 a =1}

^{1 + tan2 asin2 a =}

^{11 + cot2 a}

^{1 + tan a tan b}

^{cos(2a) =}

^{tan(2a) =2 tan a}

^{1minus tan2 a}

^{21 + tan2 a}

^{sin a =2 tan a}

^{21 + tan2 a}

^{tan a =2 tan a}

^{21minus tan2 a}

^{cos a cos b =12}

^{sin a sin b =12}

^{sin a cos b =12}

^{sin b cos a =12}

^{cos2 a =1 + cos(2a)}

^{2sin2 a =}

^{1minus cos(2a)2}

^{pminus q}

^{p + q}

^{21 + cos a = 2 cos2}

^cos(π

^{2minus a)}

^{= sin a sin(π}

^{2minus a)}

^{= cos a}

^cos(π

^{2+ a)}

^{= cos a}

^tan(π

^{2minus a)}

^{= cot a cot(π}

^{2minus a)}

^{= tan a}

^tan(π

^{2+ a)}

^{= minus tan a}

^2sgnx

^{Arctana + b}

^{2sgn a si ab = 1}

^{Arctana + b}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2sgn x}

^{2ch x =}

^{ex + eminusx}

^{th a + th b}

^{1minus th a th b}

^{ch 2a =}

^{th 2a =2 th a}

^{p + q}

^{pminus q}

^{sh p + sh q = 2 shp + q}

^{pminus q}

^{1 Notations}

^{partpartxpart}

^{partypartpartz}

^{AAA(M) =}

^iiijjjkkk

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 Gradient}

^partVpartx

^{(x y z)}

^partVparty

^{(x y z)}

^partVpartz

^{(x y z)}

^partVpartr

^partVpartθ

^partVpartz

^uuuθ

^{gradV =}

^partVpartr

^partVpartθ

^{1r sin θ}

^partVpartϕ

^uuuθ

^uuuϕ

^{3 Divergence}

^{div A =partAx}

^partx+

^partAy

^party+

^partAz

^{div A =1r}

^partpartr

^partAθ

^partθ+

^partAz

^partz

^{div A =1r2}

^partpartr

^{r sin θ}

^partpartθ

^{(sin θAθ) +1}

^{r sin θ}

^partAϕ

^partϕ

^{4 Rotationnel}

^{partpartxpart}

^{partypartpartz}

^partAz

^partzpartAx

^partxpartAy

^party

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{rot A =}

^partAz

^partzpartAr

^partr1r

^partpartr

^partAr

^partθ

^{rot A =}

^{1r sin θ}

^(part

^partϕ

^{sin θ}

^partAr

^{partϕminus part}

^(partpartr

^partθ

^{5 Laplacien}

^{+part2Vparty2}

^{+part2Vpartz2}

^{= div (gradV)}

^{∆Ax =part2Ax}

^partx2+

^part2Ax

^party2+

^part2Ax

^partz2

^{∆Ay =part2Ay}

^partx2+

^part2Ay

^party2+

^part2Ay

^partz2

^{∆Az =part2Az}

^partx2+

^part2Az

^party2+

^part2Az

^partz2

^{∆V =1r}

^partVpartr

^{+part2Vpartr2}

^{part2Vpartθ2 +}

^part2Vpartz2

^{∆V =1r}

^partpartr

^partVpartr

⁾⁺

^{part2Vpartθ2 +}

^part2Vpartz2

^{∆V =1r}

^partpartr2

^{(rV) +1}

^{r2 sin2 θ}

^{part2Vpartϕ2 +}

^{r2 sin2 θ}

^partpartθ

^{(sin θ}

^partVpartθ

^{(BBBgrad)AAA =}

^BxpartAx

^{partx+ By}

^partAx

^{party+ Bz}

^partAx

^partz

^BxpartAy

^{partx+ By}

^partAy

^{party+ Bz}

^partAy

^partz

^BxpartAz

^{partx+ By}

^partAz

^{party+ Bz}

^partAz

^partz

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^intintint

^intint

^intintint

^intint

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 2 3 4 5 6 7 8 9}

^{1I H}

^{hydrogegravene}

^{2299 243119 20 21 22 23 24 25 26 27}

^{3910 4008 4496 4788 5094 5200 5494 5585 589337 38 39 40 41 42 43 44 45}

^{8547 8762 8891 9122 9221 9594 9891 1011 102955 56 57 72 73 74 75 76 77}

^{1329 1373 1389 1785 1809 1839 1862 1902 192287 88 89}

^{2230 2260 2270}

^{1401 1409 1442 1449 150490 91 92 93 94Th Pa U Np Pu}

^{2320 2310 2380 2370 2441}

¹⁹⁵

^{10 11 12 13 14 15 16 17 18}

^{2Heheacutelium}

^{1081 1201 1401 1600 1900 201813 14 15 16 17 18Al Si P S Cl Ar}

^{1951 1970 2006 2044 2072 2090 2100 2100 2220}

^{2431 2471 2471 2521 2521 2571 2561 2591 2601}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Index

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{198 INDEX}

^{INDEX 199}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{200 INDEX}

^{isomorphisme 15}

¹²³

^{INDEX 201}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{202 INDEX}

^{INDEX 203}

^{voisinage 29}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^physique

^chimie

^informatique

^wwwdunodcom

^{lionel porcheron}

^{Lionel Porcheron}

^{4e eacutedition}

^{Le for}

^{e mpsi pm}

^{ieL po}

^{Porcheron 13x18indd 1 40808 145659}

^{ISBN 978-2-10-053787-7}

^Avant-propos


^{1 Algegravebre}

^{11 Relations}










^{2 Analyse}




^{24 Suites}





^{29 Seacuteries}












^{03 Coniques}






^{21 Gaz parfait}










^{34 Oscillateurs}







^{5 Optique}















^{7 Ondes}







^{1 Atomistique}

^{11 Spectroscopie}





^{2 Cineacutetique}
















^{54 Corrosion}







^{1 Notations}

^{2 Gradient}

^{3 Divergence}

^{4 Rotationnel}

^{5 Laplacien13}













^Index

^{copy Dunod Paris 2000 2003 2004 2008}

^{ISBN 978-2-10-053787-7}

^{Avant-propos IX}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 Gradient 182}

^{3 Divergence 183}

^{5 Laplacien 184}

^{Index 197}

^Avant-propos

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 Algegravebre}

^{11 Relations}

^{=rArr x = y}

^{=rArr xRz}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Groupe

^{1 Algegravebre 3}

^Sous-groupe

^Anneau

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Sous-anneau

^Corps

^{1 Algegravebre 5}

^{n =n}

^prodk=1

^Permutations

^Arrangements

^{Apn =}

^{n(nminus p)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Combinaisons

^{Cpn =}

^{np(nminus p)}

^{Cpn = C}

^{Cpn + C}

^{p+1n = C}

^{(x + y)n =n}

^sumk=0

^{Q est dense}

^{1 Algegravebre 7}

^sumi=1

^{xiui = 1}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{(PQ) isin K[X]}

^Produit

^{PQ = sumncnX}

^{cn =n}

^sump=0

^apbnminusp

^{P = sumnanX}

^{n isin K[X]}

^{Q = sumnbnX}

^{n isin K[X]}

^{1 Algegravebre 9}

^Composition

^{n isin K[X]}

^{Q isin K[X]}

^{Deacuterivation}

^{Pprime = sumngt1}

^{n isin K[X]}

^{AU + BV = 1}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{P(m)(α) 6= 0}

^{P = λn}

^prodi=1

^{(Xminus xi)}

^{R =sumnanX}

^sumnbnX

^{Soit R =P}

^{R =P}

^{R = E +n}

^sumi=1

^sumj=1

^{Cαi j}

^{( f (x) = f (y) =rArr x = y)}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Vect(A) =⋂}

^FsubEFsupA

^{E = sumiisinI}

^{E j = 0}

^iisinIxi

^{avec xi isin Ei}

^{E =oplus}

^iisinIEi

^iisinIλixi

^{Famille libre}

^sumiisinI

^sumi=1

^λixi

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 si i = j0 si i 6= j}

^{f (x + λy) = f (x) + λ f (y)}

^{Formule du rang}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{p2 = p (1)}

^{s2 = IdE}

^{f (e j) =m}

^sumi=1

^{ai j fi}

^{M = λN}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{β1 jβ2 j}

^{βk j}

^{βp j}

^{γi j}

^{γi j =p}

^sumk=1

^{(MN)P = M(NP)}

^jisin[1p]

^{exp(A) =+infin}

^sumk=0

^{Avec Vj =n}

^{sumi j=1}

^{ai j jei j j}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{∣∣∣∣∣∣∣= prod}

^{16 jlti6n}

^{Matrice inverse}

^{Mminus1 =1}

^com(M)

^{det A}

^jisin[1n]

^suivant

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{ϕ(x y) =t XAY}

^{x2 =radic}

^{3 (x|y) =12}

^{4 (x|y) =14}

^{sumj=1|(e j|x)|2 6 x2}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{f (x) = λx}

^{2 Analyse 27}

^Drapeau

^{2 Analyse}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 tels que}

^{αN1 6 N2 6 βN1}

^{d(x a)}

^{2 Analyse 29}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^iisinIxi

^{∥∥∥∥∥}

^{= sumiisinIxi2}

^{2 Analyse 31}

^{a 6 b =rArr a + c 6 b + ca 6 b0 6 c}

^{=rArr ac 6 bc}

^{forallx isin R}

^{E(x) 6 x 6 E(x) + 1}

^Densiteacute

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{z = a + ib}

^{z = ρeiθ}

^{z = a + ib}

^{z = aminus ib}

^{z + z = 2Re(z)}

^{zprime 6= 0∣∣∣z}

^{2 Analyse 33}

^{isin R}

^{x isin R}

^{zk = nradicr(ei}

^ϕ+2kπn

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{24 Suites}

^{Sn =(u1 + un)n}

^{Sn =u1(q}

^{q 6= 1}

^{2 Analyse 35}

^nrarr+infin

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{forallx isin X}

^{x + T isin Xf (x + T) = f (x)}

^{2 Analyse 37}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1minus x2}

^{forallx isin R}

^{1 + x2}

^{-1 1}

^Arcsin

^Arccos

^Arctan

^{thprime x =1}

^{2 Analyse 39}

^{g(a) 6= 0(1g}

^g2(a)

^{g(a) 6= 0(}

^{)prime(a) =}

^sumk=0

^{Ckn f}

^{f prime(c) = 0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(bminus a)k}

^{∥∥∥∥∥ 6 M(bminus a)n+1}

^{(n + 1)}

^{f (b) =n}

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(bminus a)k +}

^{int b}

^{f (x) =n}

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(xminus a)k + o}

^sumj=1

^{λ j = 1 alors}

⁽ⁿ

^sumj=1

^{λ ja j}

⁾⁶

^sumj=1

^{λ j f (a j)}

^{2 Analyse 41}

^{int b}

^{a(λ f + g) = λ}

^{int b}

^{af +}

^{int b}

^{∣∣∣∣int}

^{[ab]f g}

^{∣∣∣∣ 6 Sup[ab] | f |int}

^[ab]|g|

^{∣∣∣∣int}

^[ab]f

^{∣∣∣∣ 6 (bminus a) Sup[ab] | f |}

^{(int b}

^{af g}

^{(int b}

^{af 2)(int b}

^{Sn =bminus a}

^{nminus1sumk=0}

^{(a + k}

^{bminus a}

^{limnrarr+infin}

^{Sn =int b}

^{int b}

^auprimev

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Jf 6 M}

^{Jnf 6 M}

^{0 6 f 6 g (1)}

^{0 6}

^{If 6}

^{Ig (2)}

^{f (x) =1xα}

^{bg alors f}

^xrarr+infin

^{2 Analyse 43}

^{int c}

^{af =}

^{int b}

^{af +}

^{int c}

^{(a b c) isin R3}

^{f 6 g =rArrint}

^{If 6}

^{int X}

^{f (x) =int}

^{IF(x t) dt}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{x 7rarrint}

^{IF(x t) dt}

^{If 6}

^{forallx isin A}

^{IF(x t) dt}

^{IF 6}

^partFpartx

^{2 Analyse 45}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{(Ec) r2 + βr + γ}

^{2 Analyse 47}

^jisin[1n]

^yprime1(t)

^yprimen(t)

^y1(t)

^yn(t)

^b1(t)

^bn(t)

^{Y =n}

^sumi=1

^cieλitVi

^{29 Seacuteries}

^{Deacutefinition}

^{SN =N}

^sumn=0

^nrarr+infin

^{Soit sumngt0}

^{un et sumngtn0}

^{un sont de}

^{mecircme nature}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{S =+infin}

^sumn=0

^{un =1}

^{1minus u0(1)}

^sumngt1

⁽¹⁾

^{α gt 1}

^sumn=1

¹ⁿ²

^+infin

^sumn=2

^{1nα(ln n)β}

^{foralln isin N}

^{0 6 un 6 vn (1)}

^{2 Analyse 49}

^nrarr+infin

^{∣∣∣∣∣+infin}

^sumn=p+1

^{∣∣∣∣∣ 6 |up+1|}

^nrarr+infin

^{un = 0}

^{N 6 p lt q =rArr∥∥∥∥∥}

^sumn=p+1

^{∥∥∥∥∥ 6 ε}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{n sim(ne}

^)nradic2πn

^pisinJqisinJ

^{upq 6 M) alors}

^(+infin

^sump=0

^{)est conver-}

^gente

^(+infin

^sumq=0

^convergente

^{3 sum(pq)isinN2}

^{upq =+infin}

^sump=0

^(+infin

^sumq=0

⁾⁼

^+infin

^sumq=0

^(+infin

^sump=0

^{wn =n}

^sumk=0

^+infin

^sumn=0

^{wn =}

^(+infin

^sumn=0

^)(+infin

^sumn=0

⁾⁽²⁾

^{2 Analyse 51}

^{S(z) =+infin}

^sumn=0

^{anzn et sum}

^ngt0bnz

^{(an + bn)zn}

^{Lemme drsquoAbel}

^sumn=0

^{(n + 1)an+1xn}

^{int x}

^(+infin

^sumn=0

^{)dz =}

^+infin

^sumn=0

^{ann + 1}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^ngt0anx

^{n de rayon de}

^sumn=0

^{an(xminus x0)n}

^{2 Analyse 53}

^{(int b}

^nisinN

^{converge dans E}

^{int b}

^{af = lim}

^nrarr+infin

^{int b}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{If = SupnisinN}

^{Ifn = lim}

^nrarr+infin

^nisinN

^{If = lim}

^nrarr+infin

^{2 Analyse 55}

^{Sn(x) =n}

^sumk=0

^{Sn(x) =n}

^sumk=0

^{existn0 isin N}

^sumngtn0

^{fninfin converge}

^{On dit que sumn}

^{Si sumngt0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^+infin

^sumn=0

^sumngt0

^{(int b}

^{afn(x) dx}

^{)converge dans E}

^{int b}

^(+infin

^sumn=0

^fn(x)

^{)dx =}

^+infin

^sumn=0

^{int b}

^{afn(x) dx}

^sumn=0

^sumngt0

^+infin

^sumn=0

^(+infin

^sumn=0

^)prime=

^+infin

^sumn=0

^{f primen}

^sumngt0

^+infin

^sumn=0

^{∣∣∣∣∣+infin}

^sumn=0

^{∣∣∣∣∣ 6+infin}

^sumn=

^{I| fn|}

^+infin

^sumn=0

^{fn =+infin}

^sumn=0

^sumngt0

^{I| fn| converge}

^{2 Analyse 57}

^{cn( f ) =12π}

^{int 2π}

^{an( f ) =1π}

^{int 2π}

^{bn( f ) =1π}

^{int 2π}

^{S(x) =+infin}

^{sumn=minusinfin}

^{cneinx =a02}

^++infin

^sumn=1

^{bn sin nx}

^{S(x) =12}

^{(f (xminus) + f (x+)}

^{int 2π}

^{0| f (x)|2 dx =}

^|a0|24

^++infin

^sumn=1

^{|an|2 + |bn|22}

^=+infin

^{sumn=minusinfin}

^|cn|2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^limtrarr0

^{Dh f (a) =p}

^sumj=1

^{h jD j f (a)}

^Gradient

^{grad f =}

^{(part fpartx}

^{(x y)part fparty}

^{(x y))}

^{d f =part fpartx}

^{dx +part fparty}

^{=part2 f}

^{Point critique}

^{Extremum local}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{M(t) f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{Y = limθrarrθ0}

^{x(ϕ(t) = x(t)y(ϕ(t) = y(t)}

^{Identiteacute}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{x(ϕ(t) = y(t)y(ϕ(t) = x(t)}

^{ρ =radic}

^{x2 + y2}

^{x = ρ cos θ}

^{y = ρ sin θ}

^{ρ =1}

^{Le cercle}

^{ρ =p}

^{Y = limθrarrθ0}

^{Symeacutetries}

^2+infin

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{t0 f prime(u) du}

^{l(AB) =int b}

^{R =dsdα}

^{γ =1R}

^{d f =}

^{(part fpartx}

^{dx +}

^{(part fparty}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{66 [2] Physique}

^{=part2 f (x y)}

^partypartx

^{yprime(t) +y(t)}

^{y t( )}

^partuuupartt

^{y t( )}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{68 [2] Physique}

^{y t( )}

^{03 Coniques}

^{r(θ) =p}

^{1 + e cos θ}

^{blt 1 ab}

^{Loi de Pouillet}

^{i =E}

^{Loi des nœuds}

^sumk=1

^{ik = 0}

ⁱⁿ

ⁱ⁴

ⁱ²ⁱ³

^{Loi des mailles}

^sumk=1

^{uk = 0 u1}

^{u =}

^sumk=1

^{Gk middot uk +p}

^sumj=1

^{i j}

^sumk=1

^{Gk u1 unu2 uk}

^{uG1 GnG2 Gk}

^{i2 ijip}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{70 [2] Physique}

^{p(t) = u(t)i(t)}

^{lt pgt=1T}

^{int T}

^{0p(t) dt}

^{Reacutesistance}

^{Z = R}

^{ϕ = 0}

^Bobine

^{Z = jLω}

^{ϕ = +π}

^Condensateur

^{Z =1}

^{ϕ = minusπ}

^{H( jω) =s}

^{H(ω) = |H( jω)|}

^{GdB = 20 log |H( jω)|}

^{ϕ = argH}

^logω

^{ω0ou de logω}

^{log(w)log(w )0}

^{G (dB)}

^{log(w )0 log(w)}

^{H(ω) =H0}

^{1 + jω}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{72 [2] Physique}

^{log(w )0}

^log(w)

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^log(w)

^{H(ω) =H0 j}

^{1 + jω}

^{log(w )0}

^log(w)

^{Q gt Q1 2 Q gt Q2 3}

^{H(ω) =H0}

^{1 +}

^{)2+ j}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{Q gt Q2 3}

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^{log(w )0 log(w)}

^{Q gt Q1 2}

^{H(ω) =}

^{1 +}

^{)2+ j}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{Q gt Q2 3}

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{H(ω) =H0}

^{1 + jQ}

^{ω0minus ω0}

^+yen-e

^{uS = uE}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{74 [2] Physique}

^{iER1 e}

^{uS = minusR2}

^+yen-

^{R1 e}

^{uS =}

^{(1 +}

^+yen-

^{iE iSe}

^+yen-

^{uSu2 u1}

^+yen-R

^{e uS =}

^{minus 1RC}

^{int t}

^+yen-

^{C e}

^{ε =R1}

^{R1 + R2Vsat}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{76 [2] Physique}

^+yen-

^{uE1 uE2 uE3}

^{R1 2}

^{R1 3}

^{ik =uEk}

^{21 Gaz parfait}

^{pV = nRT}

^{12mu2 =}

^{α =1V}

^(partVpartT

^{β =1p}

^(partppartT

^{χT = minus 1V}

^(partVpartp

^{(p +}

^{Premier principe}

^{∆U = W + Q}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{78 [2] Physique}

^{W = minusint V f}

^{p dV}

^Enthalpie

^{H = U + pV}

^{dU = CV dT}

^{CV =}

^(partUpartT

^{dH = Cp dT}

^{Cp =}

^(partHpartT

^{U =32nRT}

^{H =52nRT}

^{+ ρgz1) = wm + qm}

^{eacutetat final}

^{∆U = 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{80 [2] Physique}

^{h1 + ek1= h2 + ek2}

^{γ =Cp}

^{CVgt 1}

^{Cp =γR}

^{γminus 1}

^{CV =R}

^{dS =δQ}

^{+ δSirrev}

^{dH = T dS +V dp}

^{Lois de Laplace}

^{p Vγ = cste1}

^vapeur

^{liquidesolide}

^sublimation

^condensation

^vaporisation

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{82 [2] Physique}

^vapeur

^{T T= C}

^{T gt TC}

^{T lt TC}

^liquide+

^vapeur

^liquide

^vapeur

^{p = pC}

^{p gt pC}

^{p lt pC}

^liquide+

^vapeur

^{ssl s}

^liquide

^{xv =mv}

^{xl =mlm}

^{u = x1u1 + x2u2}

^{h = x1h1 + x2h2}

^{s = x1s1 + x2s2}

^{Chaleur latente}

^machine

^{TC TF}

^{∆U = 0}

^{∆S = 0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{84 [2] Physique}

^{TF6 0}

^{eC = 1minus TFTC}

^{e 6 eC}

^{eC =TF}

^{eC =TC}

^{Flux thermique}

^{Φth =intint}

^{Loi de Fourier}

^partTpartt

^{= κ∆T}

^{κ =λ}

^Convection

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{86 [2] Physique}

^{G = heqS}

^{heq =}

^{+ sumj}

^{e j}

^{λ j}

^)minus1

^{Flux thermique}

^{Fr Fd}

^{Loi de Planck}

^kλTminus1

^{F ( T)l l}

^{T T1 2gt}

^{T T2 3gt}

^{T T3 4gt}

^{ϕe =int +infin}

^{0Fλ(λ T) dλ}

^{ϕe = σT4}

^{Corps noir}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{88 [2] Physique}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^{aaa =d2OMOMOMdt2}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^rrθz

^uuuθ

^{aaa =d2OMOMOMdt2}

^{rminus rθ2}

^{2rθ + rθz}

^uuuθ

^{yM y}

^{OMOMOM = ruuur}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^{r sin θϕ}

^uuuθ

^uuuϕ

^{yM yO}

^{OMOMOM = ruuur}

^a(M)ur

^{uq q x}

^ruuur

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{90 [2] Physique}

^xrsquo

^{z zrsquo}

^yrsquo

^{O Orsquo}

⁾⁺

^dΩΩΩ

^{fffe = mΩ2ruuur}

^{W t}

^{z = zrsquo}

^yrsquo

^xrsquo

^dpppdt

^{= sumi}

^{ppp = sumi}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{92 [2] Physique}

^dLLLO

^dt=MMMO

^{Moment de forces}

^{Ek =12mv2}

^{Ek = sumi}

^dEkdt

^{Em = Ek + Ep}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{94 [2] Physique}

^{Eppes = MgzG}

^Epelas=

^12k(∆l)2

^{Epel= qV}

^{Eacutequilibre}

^{dx(x0) = 0}

^{d2 Ep}

^{dx2(x0) gt 0}

^{d2 Ep}

^{dx2(x0) 6 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{96 [2] Physique}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = 0}

^{A = γ cos(ω0t + ϕ)}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = 0}

^{A( )t}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = E(t)}

^radic2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{98 [2] Physique}

^{Force de Lorentz}

^{R =}

^{∣∣∣∣mv0qB}

^∣∣∣∣

^{ω =}

^{∣∣∣∣qB}

^∣∣∣∣

^{Effet Hall}

^{UHall =BI}

^nqℓ

^EHall

^{I l}

^+++++++

^{m1 + m2M1M2M1M2M1M2}

^{GM2GM2GM2 =m1}

^{m1 + m2M1M2M1M2M1M2}

^{LLLO = mCCC}

^{v( )M}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{100 [2] Physique}

^{Epe f f =microC2}

^{2r2+ Epint (r)}

^{micro =m1m2}

^{m1 + m2}

^{uuur + Cuuuuθ}

^{aaa = minusC2u2}

^{(d2 udθ2 + u}

^)uuur

^{u =1r}

^{r(θ) =p}

^{T2 =4π2a3}

^GMsoleil

^+12J∆Ω2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{102 [2] Physique}

^{J∆ =intintint}

^{solider2 dm}

^{J∆ = JG + ma2}

^{l 2 l 2}

^{J∆ =25mR2 J∆ =}

^{12mR2 J∆ =}

¹¹²

^mℓ2

^mdvvvGdt

^{= sumi}

^dLLLO

^{dt= sum}

^{OMOMOMi and fffi}

^dEkdt

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{104 [2] Physique}

^{5 Optique 105}

^{T I}

^{5 Optique}

^{λ = cT =c}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{106 [2] Physique}

^{v =c}

^{λ = vT =v}

^Spectre

^{l (nm)}

^{l (m)}

^{f (Hz)}

^ultraviolet

^{rayons X}

^10ndash9

⁴⁰⁰

¹⁰¹⁷

¹⁰¹⁶

¹⁰¹⁵

¹⁰¹⁴

¹⁰¹³

¹⁰¹²

¹⁰¹¹

¹⁰¹⁰

^10ndash8

⁴⁵⁰

^10ndash7

⁴⁸⁰

^10ndash6

⁵³⁰

^10ndash5

⁵⁹⁰

^10ndash4

⁶²⁰

^10ndash3

⁷⁰⁰

^10ndash2

^{i1 rn1}

^{r = i1}

^{5 Optique 107}

^Prisme

^{r1 + r2 = Ai1}

^{)minus A}

^{n1 minus n2r}

^{n1 n2}

^{C S}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{108 [2] Physique}

^1pprime

^{Miroir plan}

^{pprime = minusp}

^{Lentilles minces}

^Brsquo

^Arsquo

^{A OF}

^Frsquo

^{1pprimeminus 1}

^{1f prime}

^{f prime}

^pprime+

^{5 Optique 109}

^{Grandissement}

^{γ =pprime}

^{λ [SM])}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{110 [2] Physique}

^2iπλ

^{Eacuteclairement}

^{E(M) = αs2(M)}

^{E(M) = 2E0(1 + cos∆ϕ(M))}

^{2 k isin Z}

^{5 Optique 111}

^{p =∆ϕ}

^Contraste

^{Emax + Emin}

^{M x( )}

^{δ(x) =ax}

^{E(x) = 2E0}

^{(1 + cos}

^2πλ

^{i =λD}

^{a(interfrange)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{112 [2] Physique}

^Scheacutema

^{miroir M2}

^{source S}

^M1rsquo

^{M x y( )}

^M1rsquo

^{M x y( )}

^{S1 S2}

^{Lame drsquoair}

^{5 Optique 113}

^{rn =}

^{radicλ f prime}

^radicn

^{Coin drsquoair}

^{i =λγ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{114 [2] Physique}

^{E(e) = 4E0}

^{(1 +V(e) cos}

^(4πeλ0

⁾⁾

^{V(e) = cos}

^λ20e

^Luminance

^{dE = L(ν) dν}

^{L( )n}

ⁿ²ⁿ¹

^{E(e) = 4E0}

^{(1 +V(e) cos}

^(4πeλ0

⁾⁾

^{V(e) = sinc}

^λ20e

^{5 Optique 115}

^{E(Φ) =E0}

^{1 + 4r2(1minus r2)2}

^sin2(

^{Φ =4πeλ0}

^{cos i}

^{F =4r2}

^{F2p 4p}

^{miroir M2}

^{miroir M1}

^sourceS

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{116 [2] Physique}

^{E(x) =E0}

^{(1 + cos}

^(2πδ

⁾⁾

^{δ =2dαd + D}

^{sourcedans le}

^{lentille( )L0}

^{lentille( )L}

^{objetdiffractant}

^{5 Optique 117}

^λ[SOM])

^intint

^{PisinΣt(P)ei}

^{M XY( )}

^{( )L0 ( )L}

^(πaX

^{λ f}

^)sinc2

^(πbY

^{λ f}

^{tache centrale}

^{1 zeacuteroer}

^{2 zeacuteroe}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{118 [2] Physique}

^{θ = 0 61λ}

^{V(M) =q}

^4πε0r

^{EEE(M) =q}

^4πε0r2uuu

^{EEE = minusgradV}

^{EEE(M) = sumi}

^14πε0

^{r2uuu dτ}

^{∆V +ρ}

^{ε0= 0}

^intcopyint

^2ε0uuuz

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{120 [2] Physique}

^{EEE =σ}

^{C =ε0S}

^{ppp = qNPNPNP}

^{V(M) =p cos θ}

^4πε0r2=

^{ppp middotOMOMOM}

^4πε0OM3

^{EEE = minusgradV}

^{N O P}

^{4πr2anduuuPM}

^{dCdCdC =}

^{BBB(M) =micro0 I}

^{2Rsin3 αeeez}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{122 [2] Physique}

^{mmm = ISnnn}

^{M = mmm andBBB}

^{Force de Laplace}

^{Vecteur courant}

^{jjjS = σ vvv}

^{div j +partρ}

^{partt= 0}

^{div E =ρ}

^{div B = 000}

^{dP = jjjEEE dτ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{124 [2] Physique}

^{Wem =ε0E}

^2micro0

^micro0

^{minus partpartt}

^(ε0E

^2micro0

^{)= jjjEEE + div}

^{(EEE andBBB}

^micro0

^{BBB = rot A}

^{AAA(M) =micro0}

^circuit

^{i middotdldldlr}

^{Jauge de Lorentz}

^{= 0}

^{E2t = E1t}

^ε0nnn1rarr2

^{B2n = B1n}

^{int B}

^{R =ℓ}

^{2 f ≪ 1017Hz =rArr∥∥∥∥ε0}

^partEEEpartt

^radic2

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{126 [2] Physique}

^{eAB =int B}

^{(minus partAAA}

^{Φ =intint}

^{Loi de Faraday}

^partt

^{Φ1rarr2 = Mi1}

^{Φ2rarr1 = Mi2}

^{Flux total}

^{Φ1 = Li1 + Mi2}

^{Wem =Li212}

^{+ Mi1i2}

^1u2(t)

^u1(t)=

^{∣∣∣∣ =N1}

^{)2Rchargec copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{128 [2] Physique}

^{BBBprime = BBB}

^{+vvv andBBB}

^{jjjsol = jjjcond}

^{eAB =int B}

^{Loi de Faraday}

^{e = minusdΦ}

^Aimantation

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{130 [2] Physique}

^{micror = 1 + χm}

^{6melt r2 gt}

^{χm =nmicro0m}

^{e t( ) u2}

^{7 Ondes 131}

^{H(t) =N1}

^ℓRu1(t)

^{B(t) =RC}

^N2Su2(t)

^{7 Ondes}

^{K km m}

^{x1 x2}

^{s = (1) + (2)}

^{d = (1)minus (2)}

^{s + ω2s s = 0}

^{d + ω2dd = 0}

^{Modes propres}

^{ωs =}

^radicK

^{mωd =}

^{radic2k + K}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{132 [2] Physique}

^{wws wd}

^{∆F =1c2}

^part2Fpartt2

^{)+ g}

^{(t +}

^{7 Ondes 133}

^{kkk =ω}

^{partmiddotpartt}

^{= iωmiddot}

^part2ξn

^partx2=

^part2ξn

^partt2

^{c =}

^radicka2

^part2ypartx2

^part2ypartt2

^{c =}

^radicT0ρl

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{134 [2] Physique}

^{∆EEE =1c2}

^{part2EEEpartt2}

^{∆BBB =1c2}

^{part2BBBpartt2}

^{c =1radic}

^ε0micro0

^{kkk = kuuu}

^{k =ω}

^2πλ

^{k =ω}

^{cBBB =}

^kkkωandEEE

^{7 Ondes 135}

^Polarisation

^{ndash elliptique}

^{EEE(z = 0 t) =}

^Egauch

^{droi te}

^{ndash circulaire}

^{EEE(z = 0 t) =}

^{ndash rectiligne}

^{EEE(z = 0 t) =}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{136 [2] Physique}

^{micro0cuuu =}

^micro0

^{4πrcp(tminus r}

^)uuuϕ

^{4πrp(tminus r}

^)uuuθ

^{ltPgt=micro0p}

^12πc

^{p = p0 cos(ω0t + ϕ)}

^{7 Ondes 137}

^{vϕ =ω}

^kprime

^{vg =partω}

^partkprime

^Absorption

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{138 [2] Physique}

^Polarisation

^{PPP =dpppdτ}

^{ρp = minusdiv P}

^Aimantation

^{MMM =dmmmdτ}

^{jjja = rot M}

^{7 Ondes 139}

^{PPP = χeEEE}

^{DDD = εrε0EEE}

^{εr = 1 + χe}

^{MMM = χmHHH}

^{micror = 1 + χm}

^{div D = ρlibre}

^{div B = 0}

^{k2 = εrω2}

^{n =radic}

^{vϕ =c}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{140 [2] Physique}

^{t =2n1}

^{n1 + n2}

^{R = r2 =}

^{T = t2 =}

⁽²ⁿ¹

^{n1 + n2}

^{R + T = 1}

^{B2B2B2 = B1B1B1}

^{EEE2 t = EEE1 t}

^{Chapitre 3Chimie}

^{1 Atomistique}

^{11 Spectroscopie}

^{Spectroscopie}

^{∆E = hν}

^{λ =hmv}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{142 [3] Chimie}

^{1n2minus 1}

^{)(nm) isin N2}

^{E (eV)}

^Lyman

^Balmer

^Paschen-151

^{n = yenn = 4}

^{n = 3}

^{n = 2}

^{n = 1}

^{H Ψ = E Ψ}

^intintint

^{En =minus13 6n2}

^{En = minus13 6Z2}

^{|σσσ| =radic}

^{l(l + 1)h}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{144 [3] Chimie}

^{s et pσid}

^Eacutenergie

^{E = sumi}

^{1 s2 s p3 s p d4 s p d f}

^{Charge formelle}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{146 [3] Chimie}

^VSEPR

^{OM antiliante}

^{OA2 OA1}

^{OM liante}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{148 [3] Chimie}

^{2 Cineacutetique}

^{dξ =dniνi}

^{ni = ni0 + νiξ}

^{r =1νi}

^dcidt

^prime2

^{v = k[A1]p1 [A2]}

^{dln k}

^{t12 =ln 2αk}

^{dt= 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{150 [3] Chimie}

^{Deacutefinitions}

^{ndash Agravec}

^{Dimension rT = (}

^{radic32minus 1)r}

^{ndash Agravec}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{152 [3] Chimie}

^{lt 1}

^{ltradic3minus 1}

^{Blende (ZnS)}

^{0 6r+rminus}

^{ltradic2minus 1}

^{Deacutefinition}

^{Xi =}

^(partXpartni

^{Tpn j 6=ni}

^{ni dXi Tp = 0}

^{∆rX = sumi}

^{νiXi =}

^(partXpartξ

^partpartT

^(∆rG

^{)= minus∆rH}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{154 [3] Chimie}

^{Deacutefinition}

^{microi =}

^(partGpartni

^{Tpn j 6=ni}

^{microi =}

^(partUpartni

^{VSn j 6=ni}

^{microi =}

^(partHpartni

^{pSn j 6=ni}

^{microi =}

^(partFpartni

^{VTn j 6=ni}

^micro0i(g)

^{∆rH0 = sum}

^νiH0i

^{∆rS0 = sum}

^νiS0i

^{∆rG0 = sum}

^νiG0i

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{156 [3] Chimie}

^{∆rG0 = ∆rH}

^{0 minus T∆rS0}

^tion∆rH

^d∆rH0

^{dT= ∆rC}

^{0p = sum}

^νiC0pi

^d∆rS0

^∆rC0p

^{T= sum}

^νiC0pi

^(∆rG

^tion∆rH

^{Relation de Hess}

^{∆rH0 = sum}

^{νi∆ fH0i}

^{∆rG0 = sum}

^{νi∆ fG0i}

^tion∆rG

^{A = minussumi}

^prodi

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{158 [3] Chimie}

^{A = 0}

^{Dans ce cas}

^prodi

^{K0(T) = prodi}

^{i eacutequilibre}

^{∆rG0(Ti) = 0}

^{K0(Ti) = 1}

^dlnK0

^∆rH0

^{dA = RT(}

^)dnin

^{v = c + 2minusϕ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{160 [3] Chimie}

^{Loi de Raoult}

^{Loi de Henry}

^{pi = kxli}

^vapeur

^liquide

^vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^{Fuseau simple}

^{p1 vapeur}

^liquide

^{+ vap}

^vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^{Fuseau simple}

^T1vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{162 [3] Chimie}

^vapeur

^liquide

^{+ vap}

^liquide

^solide

^{sol i dus}

^x2x2x2

^{nlML + nvMV = 0}

^{Couple redox}

^oxydation

^{β red}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{164 [3] Chimie}

^{H sous 1 bar2}

^{pH = 0}

^{E = E0 +RTnF ln}

^aαox

^aβred

^{ndash a =c}

^{ndash a =pip0}

^{E = E0 +0 06n}

^logaαox

^aβred

^{= 0 06}

^{E = E2 minus E1}

^{∆rG0 = ∆rH}

^{0 minus T∆rS0}

^{0 et ∆rS0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{166 [3] Chimie}

^{DrG ( )0}

^{0 T}

^{TF TE}

^oxyde

^meacutetal

^{A =12RT ln}

^{pH = minus log(}

^[H3O+]

^{(c0)2= 10minus14}

^{[HA] middot c0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{168 [3] Chimie}

^{0 1}

^{Fe3 +}

^{Fe2 +}

^{Zn2 +}

^Zn(OH)s

^Zn(OH)4

^{2 -}

^Fe(OH)2

^Fe(OH)3

^{Cu O2}

^Cu(OH)2

^{Cu2 +}

^{U gt∆rG}

^{i = nFdξ}

^{v =1V}

^vhAhC

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{170 [3] Chimie}

^{i lim}

^{54 Corrosion}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{int dtcos t}

^{= ln∣∣∣∣tan}

^{)∣∣∣∣+ k R π}

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{int dt}

^{int dtch t}

^{intemt dt =}

^{inttα dt =}

^tα+1

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{int dt}

^{int dtsin t}

^{= ln∣∣∣∣tan}

^{int dt}

^{int dtsh t}

^{= ln∣∣∣∣th}

^{intat dt =}

^{t2 + a2=}

^1aArctan

^{a+ k R}

^{Arcsin t}

^{|a| + k}

^{]minus a a[}

^{Argsh t}

^{|a| + k}

^{)+ k}

^Argcht

^{|a| + k}

^{ln(t +radic}

^{t2 minus a2)}

^{+ k]|a|+infin[}

^{∣∣∣∣+ k}

^{ln∣∣∣t +}

^{radict2 minus a2}

^{= ln∣∣∣t +}

^{radict2 + b}

^{R [minusb b]}

^{ln(tminus a}

^{t + a}

^{nxn+ o}

^xrarra(xn)

^{radic1+x = 1+}

^{12xminus 1}

^{1radic1 + x}

^{= 1 minus 12x +}

^o(xn)

^{3minus x4}

^{n+ o(xn)}

^{2minus x3}

^{3minus x4}

^{n+ o(xn)}

^{ln(a + x) = ln a +x}

^{aminus x2}

^{an+ o(xn)}

^{ex = 1 + x +x2}

^{n+ o(xn)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{4minus x6}

^{(2n)+ o(x2n+1)}

^{ch x = 1 +x2}

⁴⁺

^{(2n)+ o(x2n+1)}

^{5minus x7}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{sh x = x +x3}

⁵⁺

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{tan x = x +x3}

²¹⁵

^{x5 +17315}

^{x7 + o(x7)}

^{th x = xminus x3}

²¹⁵

^{x5 minus 17315}

^{x7 + o(x7)}

^{Arccos x =π}

^{2minus x minus 1}

^{2n + 1+}

^o(x2n+2)

^{2n + 1+ o(x2n+2)}

^{5minus x7}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

²ⁿ⁺¹⁺

^o(x2n+2)

^{Argth x = x +x3}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{sin 012}

^radic22

^radic32

^{1 0}

^{cos 1}

^radic32

^radic22

^{0 minus1}

^{tan 0}

^radic33

^{1radic3 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{cos2 a + sin2 a = 1}

^{tan a =sin a}

^{cos acot a =}

^{cos asin a}

^{1 + tan2 a =1}

^{cos2 a1 + cot2 a =}

^{sin2 a}

^{cos2 a =1}

^{1 + tan2 asin2 a =}

^{11 + cot2 a}

^{1 + tan a tan b}

^{cos(2a) =}

^{tan(2a) =2 tan a}

^{1minus tan2 a}

^{21 + tan2 a}

^{sin a =2 tan a}

^{21 + tan2 a}

^{tan a =2 tan a}

^{21minus tan2 a}

^{cos a cos b =12}

^{sin a sin b =12}

^{sin a cos b =12}

^{sin b cos a =12}

^{cos2 a =1 + cos(2a)}

^{2sin2 a =}

^{1minus cos(2a)2}

^{pminus q}

^{p + q}

^{21 + cos a = 2 cos2}

^cos(π

^{2minus a)}

^{= sin a sin(π}

^{2minus a)}

^{= cos a}

^cos(π

^{2+ a)}

^{= cos a}

^tan(π

^{2minus a)}

^{= cot a cot(π}

^{2minus a)}

^{= tan a}

^tan(π

^{2+ a)}

^{= minus tan a}

^2sgnx

^{Arctana + b}

^{2sgn a si ab = 1}

^{Arctana + b}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2sgn x}

^{2ch x =}

^{ex + eminusx}

^{th a + th b}

^{1minus th a th b}

^{ch 2a =}

^{th 2a =2 th a}

^{p + q}

^{pminus q}

^{sh p + sh q = 2 shp + q}

^{pminus q}

^{1 Notations}

^{partpartxpart}

^{partypartpartz}

^{AAA(M) =}

^iiijjjkkk

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 Gradient}

^partVpartx

^{(x y z)}

^partVparty

^{(x y z)}

^partVpartz

^{(x y z)}

^partVpartr

^partVpartθ

^partVpartz

^uuuθ

^{gradV =}

^partVpartr

^partVpartθ

^{1r sin θ}

^partVpartϕ

^uuuθ

^uuuϕ

^{3 Divergence}

^{div A =partAx}

^partx+

^partAy

^party+

^partAz

^{div A =1r}

^partpartr

^partAθ

^partθ+

^partAz

^partz

^{div A =1r2}

^partpartr

^{r sin θ}

^partpartθ

^{(sin θAθ) +1}

^{r sin θ}

^partAϕ

^partϕ

^{4 Rotationnel}

^{partpartxpart}

^{partypartpartz}

^partAz

^partzpartAx

^partxpartAy

^party

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{rot A =}

^partAz

^partzpartAr

^partr1r

^partpartr

^partAr

^partθ

^{rot A =}

^{1r sin θ}

^(part

^partϕ

^{sin θ}

^partAr

^{partϕminus part}

^(partpartr

^partθ

^{5 Laplacien}

^{+part2Vparty2}

^{+part2Vpartz2}

^{= div (gradV)}

^{∆Ax =part2Ax}

^partx2+

^part2Ax

^party2+

^part2Ax

^partz2

^{∆Ay =part2Ay}

^partx2+

^part2Ay

^party2+

^part2Ay

^partz2

^{∆Az =part2Az}

^partx2+

^part2Az

^party2+

^part2Az

^partz2

^{∆V =1r}

^partVpartr

^{+part2Vpartr2}

^{part2Vpartθ2 +}

^part2Vpartz2

^{∆V =1r}

^partpartr

^partVpartr

⁾⁺

^{part2Vpartθ2 +}

^part2Vpartz2

^{∆V =1r}

^partpartr2

^{(rV) +1}

^{r2 sin2 θ}

^{part2Vpartϕ2 +}

^{r2 sin2 θ}

^partpartθ

^{(sin θ}

^partVpartθ

^{(BBBgrad)AAA =}

^BxpartAx

^{partx+ By}

^partAx

^{party+ Bz}

^partAx

^partz

^BxpartAy

^{partx+ By}

^partAy

^{party+ Bz}

^partAy

^partz

^BxpartAz

^{partx+ By}

^partAz

^{party+ Bz}

^partAz

^partz

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^intintint

^intint

^intintint

^intint

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 2 3 4 5 6 7 8 9}

^{1I H}

^{hydrogegravene}

^{2299 243119 20 21 22 23 24 25 26 27}

^{3910 4008 4496 4788 5094 5200 5494 5585 589337 38 39 40 41 42 43 44 45}

^{8547 8762 8891 9122 9221 9594 9891 1011 102955 56 57 72 73 74 75 76 77}

^{1329 1373 1389 1785 1809 1839 1862 1902 192287 88 89}

^{2230 2260 2270}

^{1401 1409 1442 1449 150490 91 92 93 94Th Pa U Np Pu}

^{2320 2310 2380 2370 2441}

¹⁹⁵

^{10 11 12 13 14 15 16 17 18}

^{2Heheacutelium}

^{1081 1201 1401 1600 1900 201813 14 15 16 17 18Al Si P S Cl Ar}

^{1951 1970 2006 2044 2072 2090 2100 2100 2220}

^{2431 2471 2471 2521 2521 2571 2561 2591 2601}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Index

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{198 INDEX}

^{INDEX 199}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{200 INDEX}

^{isomorphisme 15}

¹²³

^{INDEX 201}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{202 INDEX}

^{INDEX 203}

^{voisinage 29}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^physique

^chimie

^informatique

^wwwdunodcom

^{lionel porcheron}

^{Lionel Porcheron}

^{4e eacutedition}

^{Le for}

^{e mpsi pm}

^{ieL po}

^{Porcheron 13x18indd 1 40808 145659}

^{ISBN 978-2-10-053787-7}

^Avant-propos


^{1 Algegravebre}

^{11 Relations}










^{2 Analyse}




^{24 Suites}





^{29 Seacuteries}












^{03 Coniques}






^{21 Gaz parfait}










^{34 Oscillateurs}







^{5 Optique}















^{7 Ondes}







^{1 Atomistique}

^{11 Spectroscopie}





^{2 Cineacutetique}
















^{54 Corrosion}







^{1 Notations}

^{2 Gradient}

^{3 Divergence}

^{4 Rotationnel}

^{5 Laplacien13}













^Index

^{Avant-propos IX}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 Gradient 182}

^{3 Divergence 183}

^{5 Laplacien 184}

^{Index 197}

^Avant-propos

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 Algegravebre}

^{11 Relations}

^{=rArr x = y}

^{=rArr xRz}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Groupe

^{1 Algegravebre 3}

^Sous-groupe

^Anneau

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Sous-anneau

^Corps

^{1 Algegravebre 5}

^{n =n}

^prodk=1

^Permutations

^Arrangements

^{Apn =}

^{n(nminus p)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Combinaisons

^{Cpn =}

^{np(nminus p)}

^{Cpn = C}

^{Cpn + C}

^{p+1n = C}

^{(x + y)n =n}

^sumk=0

^{Q est dense}

^{1 Algegravebre 7}

^sumi=1

^{xiui = 1}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{(PQ) isin K[X]}

^Produit

^{PQ = sumncnX}

^{cn =n}

^sump=0

^apbnminusp

^{P = sumnanX}

^{n isin K[X]}

^{Q = sumnbnX}

^{n isin K[X]}

^{1 Algegravebre 9}

^Composition

^{n isin K[X]}

^{Q isin K[X]}

^{Deacuterivation}

^{Pprime = sumngt1}

^{n isin K[X]}

^{AU + BV = 1}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{P(m)(α) 6= 0}

^{P = λn}

^prodi=1

^{(Xminus xi)}

^{R =sumnanX}

^sumnbnX

^{Soit R =P}

^{R =P}

^{R = E +n}

^sumi=1

^sumj=1

^{Cαi j}

^{( f (x) = f (y) =rArr x = y)}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Vect(A) =⋂}

^FsubEFsupA

^{E = sumiisinI}

^{E j = 0}

^iisinIxi

^{avec xi isin Ei}

^{E =oplus}

^iisinIEi

^iisinIλixi

^{Famille libre}

^sumiisinI

^sumi=1

^λixi

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 si i = j0 si i 6= j}

^{f (x + λy) = f (x) + λ f (y)}

^{Formule du rang}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{p2 = p (1)}

^{s2 = IdE}

^{f (e j) =m}

^sumi=1

^{ai j fi}

^{M = λN}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{β1 jβ2 j}

^{βk j}

^{βp j}

^{γi j}

^{γi j =p}

^sumk=1

^{(MN)P = M(NP)}

^jisin[1p]

^{exp(A) =+infin}

^sumk=0

^{Avec Vj =n}

^{sumi j=1}

^{ai j jei j j}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{∣∣∣∣∣∣∣= prod}

^{16 jlti6n}

^{Matrice inverse}

^{Mminus1 =1}

^com(M)

^{det A}

^jisin[1n]

^suivant

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{ϕ(x y) =t XAY}

^{x2 =radic}

^{3 (x|y) =12}

^{4 (x|y) =14}

^{sumj=1|(e j|x)|2 6 x2}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{f (x) = λx}

^{2 Analyse 27}

^Drapeau

^{2 Analyse}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 tels que}

^{αN1 6 N2 6 βN1}

^{d(x a)}

^{2 Analyse 29}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^iisinIxi

^{∥∥∥∥∥}

^{= sumiisinIxi2}

^{2 Analyse 31}

^{a 6 b =rArr a + c 6 b + ca 6 b0 6 c}

^{=rArr ac 6 bc}

^{forallx isin R}

^{E(x) 6 x 6 E(x) + 1}

^Densiteacute

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{z = a + ib}

^{z = ρeiθ}

^{z = a + ib}

^{z = aminus ib}

^{z + z = 2Re(z)}

^{zprime 6= 0∣∣∣z}

^{2 Analyse 33}

^{isin R}

^{x isin R}

^{zk = nradicr(ei}

^ϕ+2kπn

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{24 Suites}

^{Sn =(u1 + un)n}

^{Sn =u1(q}

^{q 6= 1}

^{2 Analyse 35}

^nrarr+infin

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{forallx isin X}

^{x + T isin Xf (x + T) = f (x)}

^{2 Analyse 37}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1minus x2}

^{forallx isin R}

^{1 + x2}

^{-1 1}

^Arcsin

^Arccos

^Arctan

^{thprime x =1}

^{2 Analyse 39}

^{g(a) 6= 0(1g}

^g2(a)

^{g(a) 6= 0(}

^{)prime(a) =}

^sumk=0

^{Ckn f}

^{f prime(c) = 0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(bminus a)k}

^{∥∥∥∥∥ 6 M(bminus a)n+1}

^{(n + 1)}

^{f (b) =n}

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(bminus a)k +}

^{int b}

^{f (x) =n}

^sumk=0

^{f (k)(a)}

^{k(xminus a)k + o}

^sumj=1

^{λ j = 1 alors}

⁽ⁿ

^sumj=1

^{λ ja j}

⁾⁶

^sumj=1

^{λ j f (a j)}

^{2 Analyse 41}

^{int b}

^{a(λ f + g) = λ}

^{int b}

^{af +}

^{int b}

^{∣∣∣∣int}

^{[ab]f g}

^{∣∣∣∣ 6 Sup[ab] | f |int}

^[ab]|g|

^{∣∣∣∣int}

^[ab]f

^{∣∣∣∣ 6 (bminus a) Sup[ab] | f |}

^{(int b}

^{af g}

^{(int b}

^{af 2)(int b}

^{Sn =bminus a}

^{nminus1sumk=0}

^{(a + k}

^{bminus a}

^{limnrarr+infin}

^{Sn =int b}

^{int b}

^auprimev

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{Jf 6 M}

^{Jnf 6 M}

^{0 6 f 6 g (1)}

^{0 6}

^{If 6}

^{Ig (2)}

^{f (x) =1xα}

^{bg alors f}

^xrarr+infin

^{2 Analyse 43}

^{int c}

^{af =}

^{int b}

^{af +}

^{int c}

^{(a b c) isin R3}

^{f 6 g =rArrint}

^{If 6}

^{int X}

^{f (x) =int}

^{IF(x t) dt}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{x 7rarrint}

^{IF(x t) dt}

^{If 6}

^{forallx isin A}

^{IF(x t) dt}

^{IF 6}

^partFpartx

^{2 Analyse 45}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{(Ec) r2 + βr + γ}

^{2 Analyse 47}

^jisin[1n]

^yprime1(t)

^yprimen(t)

^y1(t)

^yn(t)

^b1(t)

^bn(t)

^{Y =n}

^sumi=1

^cieλitVi

^{29 Seacuteries}

^{Deacutefinition}

^{SN =N}

^sumn=0

^nrarr+infin

^{Soit sumngt0}

^{un et sumngtn0}

^{un sont de}

^{mecircme nature}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{S =+infin}

^sumn=0

^{un =1}

^{1minus u0(1)}

^sumngt1

⁽¹⁾

^{α gt 1}

^sumn=1

¹ⁿ²

^+infin

^sumn=2

^{1nα(ln n)β}

^{foralln isin N}

^{0 6 un 6 vn (1)}

^{2 Analyse 49}

^nrarr+infin

^{∣∣∣∣∣+infin}

^sumn=p+1

^{∣∣∣∣∣ 6 |up+1|}

^nrarr+infin

^{un = 0}

^{N 6 p lt q =rArr∥∥∥∥∥}

^sumn=p+1

^{∥∥∥∥∥ 6 ε}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{n sim(ne}

^)nradic2πn

^pisinJqisinJ

^{upq 6 M) alors}

^(+infin

^sump=0

^{)est conver-}

^gente

^(+infin

^sumq=0

^convergente

^{3 sum(pq)isinN2}

^{upq =+infin}

^sump=0

^(+infin

^sumq=0

⁾⁼

^+infin

^sumq=0

^(+infin

^sump=0

^{wn =n}

^sumk=0

^+infin

^sumn=0

^{wn =}

^(+infin

^sumn=0

^)(+infin

^sumn=0

⁾⁽²⁾

^{2 Analyse 51}

^{S(z) =+infin}

^sumn=0

^{anzn et sum}

^ngt0bnz

^{(an + bn)zn}

^{Lemme drsquoAbel}

^sumn=0

^{(n + 1)an+1xn}

^{int x}

^(+infin

^sumn=0

^{)dz =}

^+infin

^sumn=0

^{ann + 1}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^ngt0anx

^{n de rayon de}

^sumn=0

^{an(xminus x0)n}

^{2 Analyse 53}

^{(int b}

^nisinN

^{converge dans E}

^{int b}

^{af = lim}

^nrarr+infin

^{int b}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{If = SupnisinN}

^{Ifn = lim}

^nrarr+infin

^nisinN

^{If = lim}

^nrarr+infin

^{2 Analyse 55}

^{Sn(x) =n}

^sumk=0

^{Sn(x) =n}

^sumk=0

^{existn0 isin N}

^sumngtn0

^{fninfin converge}

^{On dit que sumn}

^{Si sumngt0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^+infin

^sumn=0

^sumngt0

^{(int b}

^{afn(x) dx}

^{)converge dans E}

^{int b}

^(+infin

^sumn=0

^fn(x)

^{)dx =}

^+infin

^sumn=0

^{int b}

^{afn(x) dx}

^sumn=0

^sumngt0

^+infin

^sumn=0

^(+infin

^sumn=0

^)prime=

^+infin

^sumn=0

^{f primen}

^sumngt0

^+infin

^sumn=0

^{∣∣∣∣∣+infin}

^sumn=0

^{∣∣∣∣∣ 6+infin}

^sumn=

^{I| fn|}

^+infin

^sumn=0

^{fn =+infin}

^sumn=0

^sumngt0

^{I| fn| converge}

^{2 Analyse 57}

^{cn( f ) =12π}

^{int 2π}

^{an( f ) =1π}

^{int 2π}

^{bn( f ) =1π}

^{int 2π}

^{S(x) =+infin}

^{sumn=minusinfin}

^{cneinx =a02}

^++infin

^sumn=1

^{bn sin nx}

^{S(x) =12}

^{(f (xminus) + f (x+)}

^{int 2π}

^{0| f (x)|2 dx =}

^|a0|24

^++infin

^sumn=1

^{|an|2 + |bn|22}

^=+infin

^{sumn=minusinfin}

^|cn|2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^limtrarr0

^{Dh f (a) =p}

^sumj=1

^{h jD j f (a)}

^Gradient

^{grad f =}

^{(part fpartx}

^{(x y)part fparty}

^{(x y))}

^{d f =part fpartx}

^{dx +part fparty}

^{=part2 f}

^{Point critique}

^{Extremum local}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{M(t) f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{f (t)(p)}

^{f (t)(q)}

^{Y = limθrarrθ0}

^{x(ϕ(t) = x(t)y(ϕ(t) = y(t)}

^{Identiteacute}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{x(ϕ(t) = y(t)y(ϕ(t) = x(t)}

^{ρ =radic}

^{x2 + y2}

^{x = ρ cos θ}

^{y = ρ sin θ}

^{ρ =1}

^{Le cercle}

^{ρ =p}

^{Y = limθrarrθ0}

^{Symeacutetries}

^2+infin

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{t0 f prime(u) du}

^{l(AB) =int b}

^{R =dsdα}

^{γ =1R}

^{d f =}

^{(part fpartx}

^{dx +}

^{(part fparty}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{66 [2] Physique}

^{=part2 f (x y)}

^partypartx

^{yprime(t) +y(t)}

^{y t( )}

^partuuupartt

^{y t( )}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{68 [2] Physique}

^{y t( )}

^{03 Coniques}

^{r(θ) =p}

^{1 + e cos θ}

^{blt 1 ab}

^{Loi de Pouillet}

^{i =E}

^{Loi des nœuds}

^sumk=1

^{ik = 0}

ⁱⁿ

ⁱ⁴

ⁱ²ⁱ³

^{Loi des mailles}

^sumk=1

^{uk = 0 u1}

^{u =}

^sumk=1

^{Gk middot uk +p}

^sumj=1

^{i j}

^sumk=1

^{Gk u1 unu2 uk}

^{uG1 GnG2 Gk}

^{i2 ijip}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{70 [2] Physique}

^{p(t) = u(t)i(t)}

^{lt pgt=1T}

^{int T}

^{0p(t) dt}

^{Reacutesistance}

^{Z = R}

^{ϕ = 0}

^Bobine

^{Z = jLω}

^{ϕ = +π}

^Condensateur

^{Z =1}

^{ϕ = minusπ}

^{H( jω) =s}

^{H(ω) = |H( jω)|}

^{GdB = 20 log |H( jω)|}

^{ϕ = argH}

^logω

^{ω0ou de logω}

^{log(w)log(w )0}

^{G (dB)}

^{log(w )0 log(w)}

^{H(ω) =H0}

^{1 + jω}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{72 [2] Physique}

^{log(w )0}

^log(w)

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^log(w)

^{H(ω) =H0 j}

^{1 + jω}

^{log(w )0}

^log(w)

^{Q gt Q1 2 Q gt Q2 3}

^{H(ω) =H0}

^{1 +}

^{)2+ j}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{Q gt Q2 3}

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^{log(w )0 log(w)}

^{Q gt Q1 2}

^{H(ω) =}

^{1 +}

^{)2+ j}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{Q gt Q2 3}

^{G (dB)}

^{log(w )0}

^log(w)

^{Q gt Q1 2}

^{H(ω) =H0}

^{1 + jQ}

^{ω0minus ω0}

^+yen-e

^{uS = uE}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{74 [2] Physique}

^{iER1 e}

^{uS = minusR2}

^+yen-

^{R1 e}

^{uS =}

^{(1 +}

^+yen-

^{iE iSe}

^+yen-

^{uSu2 u1}

^+yen-R

^{e uS =}

^{minus 1RC}

^{int t}

^+yen-

^{C e}

^{ε =R1}

^{R1 + R2Vsat}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{76 [2] Physique}

^+yen-

^{uE1 uE2 uE3}

^{R1 2}

^{R1 3}

^{ik =uEk}

^{21 Gaz parfait}

^{pV = nRT}

^{12mu2 =}

^{α =1V}

^(partVpartT

^{β =1p}

^(partppartT

^{χT = minus 1V}

^(partVpartp

^{(p +}

^{Premier principe}

^{∆U = W + Q}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{78 [2] Physique}

^{W = minusint V f}

^{p dV}

^Enthalpie

^{H = U + pV}

^{dU = CV dT}

^{CV =}

^(partUpartT

^{dH = Cp dT}

^{Cp =}

^(partHpartT

^{U =32nRT}

^{H =52nRT}

^{+ ρgz1) = wm + qm}

^{eacutetat final}

^{∆U = 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{80 [2] Physique}

^{h1 + ek1= h2 + ek2}

^{γ =Cp}

^{CVgt 1}

^{Cp =γR}

^{γminus 1}

^{CV =R}

^{dS =δQ}

^{+ δSirrev}

^{dH = T dS +V dp}

^{Lois de Laplace}

^{p Vγ = cste1}

^vapeur

^{liquidesolide}

^sublimation

^condensation

^vaporisation

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{82 [2] Physique}

^vapeur

^{T T= C}

^{T gt TC}

^{T lt TC}

^liquide+

^vapeur

^liquide

^vapeur

^{p = pC}

^{p gt pC}

^{p lt pC}

^liquide+

^vapeur

^{ssl s}

^liquide

^{xv =mv}

^{xl =mlm}

^{u = x1u1 + x2u2}

^{h = x1h1 + x2h2}

^{s = x1s1 + x2s2}

^{Chaleur latente}

^machine

^{TC TF}

^{∆U = 0}

^{∆S = 0}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{84 [2] Physique}

^{TF6 0}

^{eC = 1minus TFTC}

^{e 6 eC}

^{eC =TF}

^{eC =TC}

^{Flux thermique}

^{Φth =intint}

^{Loi de Fourier}

^partTpartt

^{= κ∆T}

^{κ =λ}

^Convection

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{86 [2] Physique}

^{G = heqS}

^{heq =}

^{+ sumj}

^{e j}

^{λ j}

^)minus1

^{Flux thermique}

^{Fr Fd}

^{Loi de Planck}

^kλTminus1

^{F ( T)l l}

^{T T1 2gt}

^{T T2 3gt}

^{T T3 4gt}

^{ϕe =int +infin}

^{0Fλ(λ T) dλ}

^{ϕe = σT4}

^{Corps noir}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{88 [2] Physique}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^{aaa =d2OMOMOMdt2}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^rrθz

^uuuθ

^{aaa =d2OMOMOMdt2}

^{rminus rθ2}

^{2rθ + rθz}

^uuuθ

^{yM y}

^{OMOMOM = ruuur}

^{vvv =dOMOMOMdt}

^{r sin θϕ}

^uuuθ

^uuuϕ

^{yM yO}

^{OMOMOM = ruuur}

^a(M)ur

^{uq q x}

^ruuur

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{90 [2] Physique}

^xrsquo

^{z zrsquo}

^yrsquo

^{O Orsquo}

⁾⁺

^dΩΩΩ

^{fffe = mΩ2ruuur}

^{W t}

^{z = zrsquo}

^yrsquo

^xrsquo

^dpppdt

^{= sumi}

^{ppp = sumi}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{92 [2] Physique}

^dLLLO

^dt=MMMO

^{Moment de forces}

^{Ek =12mv2}

^{Ek = sumi}

^dEkdt

^{Em = Ek + Ep}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{94 [2] Physique}

^{Eppes = MgzG}

^Epelas=

^12k(∆l)2

^{Epel= qV}

^{Eacutequilibre}

^{dx(x0) = 0}

^{d2 Ep}

^{dx2(x0) gt 0}

^{d2 Ep}

^{dx2(x0) 6 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{96 [2] Physique}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = 0}

^{A = γ cos(ω0t + ϕ)}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = 0}

^{A( )t}

^{d2 Adt2}

^{+ ω20A = E(t)}

^radic2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{98 [2] Physique}

^{Force de Lorentz}

^{R =}

^{∣∣∣∣mv0qB}

^∣∣∣∣

^{ω =}

^{∣∣∣∣qB}

^∣∣∣∣

^{Effet Hall}

^{UHall =BI}

^nqℓ

^EHall

^{I l}

^+++++++

^{m1 + m2M1M2M1M2M1M2}

^{GM2GM2GM2 =m1}

^{m1 + m2M1M2M1M2M1M2}

^{LLLO = mCCC}

^{v( )M}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{100 [2] Physique}

^{Epe f f =microC2}

^{2r2+ Epint (r)}

^{micro =m1m2}

^{m1 + m2}

^{uuur + Cuuuuθ}

^{aaa = minusC2u2}

^{(d2 udθ2 + u}

^)uuur

^{u =1r}

^{r(θ) =p}

^{T2 =4π2a3}

^GMsoleil

^+12J∆Ω2

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{102 [2] Physique}

^{J∆ =intintint}

^{solider2 dm}

^{J∆ = JG + ma2}

^{l 2 l 2}

^{J∆ =25mR2 J∆ =}

^{12mR2 J∆ =}

¹¹²

^mℓ2

^mdvvvGdt

^{= sumi}

^dLLLO

^{dt= sum}

^{OMOMOMi and fffi}

^dEkdt

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{104 [2] Physique}

^{5 Optique 105}

^{T I}

^{5 Optique}

^{λ = cT =c}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{106 [2] Physique}

^{v =c}

^{λ = vT =v}

^Spectre

^{l (nm)}

^{l (m)}

^{f (Hz)}

^ultraviolet

^{rayons X}

^10ndash9

⁴⁰⁰

¹⁰¹⁷

¹⁰¹⁶

¹⁰¹⁵

¹⁰¹⁴

¹⁰¹³

¹⁰¹²

¹⁰¹¹

¹⁰¹⁰

^10ndash8

⁴⁵⁰

^10ndash7

⁴⁸⁰

^10ndash6

⁵³⁰

^10ndash5

⁵⁹⁰

^10ndash4

⁶²⁰

^10ndash3

⁷⁰⁰

^10ndash2

^{i1 rn1}

^{r = i1}

^{5 Optique 107}

^Prisme

^{r1 + r2 = Ai1}

^{)minus A}

^{n1 minus n2r}

^{n1 n2}

^{C S}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{108 [2] Physique}

^1pprime

^{Miroir plan}

^{pprime = minusp}

^{Lentilles minces}

^Brsquo

^Arsquo

^{A OF}

^Frsquo

^{1pprimeminus 1}

^{1f prime}

^{f prime}

^pprime+

^{5 Optique 109}

^{Grandissement}

^{γ =pprime}

^{λ [SM])}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{110 [2] Physique}

^2iπλ

^{Eacuteclairement}

^{E(M) = αs2(M)}

^{E(M) = 2E0(1 + cos∆ϕ(M))}

^{2 k isin Z}

^{5 Optique 111}

^{p =∆ϕ}

^Contraste

^{Emax + Emin}

^{M x( )}

^{δ(x) =ax}

^{E(x) = 2E0}

^{(1 + cos}

^2πλ

^{i =λD}

^{a(interfrange)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{112 [2] Physique}

^Scheacutema

^{miroir M2}

^{source S}

^M1rsquo

^{M x y( )}

^M1rsquo

^{M x y( )}

^{S1 S2}

^{Lame drsquoair}

^{5 Optique 113}

^{rn =}

^{radicλ f prime}

^radicn

^{Coin drsquoair}

^{i =λγ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{114 [2] Physique}

^{E(e) = 4E0}

^{(1 +V(e) cos}

^(4πeλ0

⁾⁾

^{V(e) = cos}

^λ20e

^Luminance

^{dE = L(ν) dν}

^{L( )n}

ⁿ²ⁿ¹

^{E(e) = 4E0}

^{(1 +V(e) cos}

^(4πeλ0

⁾⁾

^{V(e) = sinc}

^λ20e

^{5 Optique 115}

^{E(Φ) =E0}

^{1 + 4r2(1minus r2)2}

^sin2(

^{Φ =4πeλ0}

^{cos i}

^{F =4r2}

^{F2p 4p}

^{miroir M2}

^{miroir M1}

^sourceS

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{116 [2] Physique}

^{E(x) =E0}

^{(1 + cos}

^(2πδ

⁾⁾

^{δ =2dαd + D}

^{sourcedans le}

^{lentille( )L0}

^{lentille( )L}

^{objetdiffractant}

^{5 Optique 117}

^λ[SOM])

^intint

^{PisinΣt(P)ei}

^{M XY( )}

^{( )L0 ( )L}

^(πaX

^{λ f}

^)sinc2

^(πbY

^{λ f}

^{tache centrale}

^{1 zeacuteroer}

^{2 zeacuteroe}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{118 [2] Physique}

^{θ = 0 61λ}

^{V(M) =q}

^4πε0r

^{EEE(M) =q}

^4πε0r2uuu

^{EEE = minusgradV}

^{EEE(M) = sumi}

^14πε0

^{r2uuu dτ}

^{∆V +ρ}

^{ε0= 0}

^intcopyint

^2ε0uuuz

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{120 [2] Physique}

^{EEE =σ}

^{C =ε0S}

^{ppp = qNPNPNP}

^{V(M) =p cos θ}

^4πε0r2=

^{ppp middotOMOMOM}

^4πε0OM3

^{EEE = minusgradV}

^{N O P}

^{4πr2anduuuPM}

^{dCdCdC =}

^{BBB(M) =micro0 I}

^{2Rsin3 αeeez}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{122 [2] Physique}

^{mmm = ISnnn}

^{M = mmm andBBB}

^{Force de Laplace}

^{Vecteur courant}

^{jjjS = σ vvv}

^{div j +partρ}

^{partt= 0}

^{div E =ρ}

^{div B = 000}

^{dP = jjjEEE dτ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{124 [2] Physique}

^{Wem =ε0E}

^2micro0

^micro0

^{minus partpartt}

^(ε0E

^2micro0

^{)= jjjEEE + div}

^{(EEE andBBB}

^micro0

^{BBB = rot A}

^{AAA(M) =micro0}

^circuit

^{i middotdldldlr}

^{Jauge de Lorentz}

^{= 0}

^{E2t = E1t}

^ε0nnn1rarr2

^{B2n = B1n}

^{int B}

^{R =ℓ}

^{2 f ≪ 1017Hz =rArr∥∥∥∥ε0}

^partEEEpartt

^radic2

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{126 [2] Physique}

^{eAB =int B}

^{(minus partAAA}

^{Φ =intint}

^{Loi de Faraday}

^partt

^{Φ1rarr2 = Mi1}

^{Φ2rarr1 = Mi2}

^{Flux total}

^{Φ1 = Li1 + Mi2}

^{Wem =Li212}

^{+ Mi1i2}

^1u2(t)

^u1(t)=

^{∣∣∣∣ =N1}

^{)2Rchargec copy}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{128 [2] Physique}

^{BBBprime = BBB}

^{+vvv andBBB}

^{jjjsol = jjjcond}

^{eAB =int B}

^{Loi de Faraday}

^{e = minusdΦ}

^Aimantation

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{130 [2] Physique}

^{micror = 1 + χm}

^{6melt r2 gt}

^{χm =nmicro0m}

^{e t( ) u2}

^{7 Ondes 131}

^{H(t) =N1}

^ℓRu1(t)

^{B(t) =RC}

^N2Su2(t)

^{7 Ondes}

^{K km m}

^{x1 x2}

^{s = (1) + (2)}

^{d = (1)minus (2)}

^{s + ω2s s = 0}

^{d + ω2dd = 0}

^{Modes propres}

^{ωs =}

^radicK

^{mωd =}

^{radic2k + K}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{132 [2] Physique}

^{wws wd}

^{∆F =1c2}

^part2Fpartt2

^{)+ g}

^{(t +}

^{7 Ondes 133}

^{kkk =ω}

^{partmiddotpartt}

^{= iωmiddot}

^part2ξn

^partx2=

^part2ξn

^partt2

^{c =}

^radicka2

^part2ypartx2

^part2ypartt2

^{c =}

^radicT0ρl

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{134 [2] Physique}

^{∆EEE =1c2}

^{part2EEEpartt2}

^{∆BBB =1c2}

^{part2BBBpartt2}

^{c =1radic}

^ε0micro0

^{kkk = kuuu}

^{k =ω}

^2πλ

^{k =ω}

^{cBBB =}

^kkkωandEEE

^{7 Ondes 135}

^Polarisation

^{ndash elliptique}

^{EEE(z = 0 t) =}

^Egauch

^{droi te}

^{ndash circulaire}

^{EEE(z = 0 t) =}

^{ndash rectiligne}

^{EEE(z = 0 t) =}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{136 [2] Physique}

^{micro0cuuu =}

^micro0

^{4πrcp(tminus r}

^)uuuϕ

^{4πrp(tminus r}

^)uuuθ

^{ltPgt=micro0p}

^12πc

^{p = p0 cos(ω0t + ϕ)}

^{7 Ondes 137}

^{vϕ =ω}

^kprime

^{vg =partω}

^partkprime

^Absorption

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{138 [2] Physique}

^Polarisation

^{PPP =dpppdτ}

^{ρp = minusdiv P}

^Aimantation

^{MMM =dmmmdτ}

^{jjja = rot M}

^{7 Ondes 139}

^{PPP = χeEEE}

^{DDD = εrε0EEE}

^{εr = 1 + χe}

^{MMM = χmHHH}

^{micror = 1 + χm}

^{div D = ρlibre}

^{div B = 0}

^{k2 = εrω2}

^{n =radic}

^{vϕ =c}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{140 [2] Physique}

^{t =2n1}

^{n1 + n2}

^{R = r2 =}

^{T = t2 =}

⁽²ⁿ¹

^{n1 + n2}

^{R + T = 1}

^{B2B2B2 = B1B1B1}

^{EEE2 t = EEE1 t}

^{Chapitre 3Chimie}

^{1 Atomistique}

^{11 Spectroscopie}

^{Spectroscopie}

^{∆E = hν}

^{λ =hmv}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{142 [3] Chimie}

^{1n2minus 1}

^{)(nm) isin N2}

^{E (eV)}

^Lyman

^Balmer

^Paschen-151

^{n = yenn = 4}

^{n = 3}

^{n = 2}

^{n = 1}

^{H Ψ = E Ψ}

^intintint

^{En =minus13 6n2}

^{En = minus13 6Z2}

^{|σσσ| =radic}

^{l(l + 1)h}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{144 [3] Chimie}

^{s et pσid}

^Eacutenergie

^{E = sumi}

^{1 s2 s p3 s p d4 s p d f}

^{Charge formelle}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{146 [3] Chimie}

^VSEPR

^{OM antiliante}

^{OA2 OA1}

^{OM liante}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{148 [3] Chimie}

^{2 Cineacutetique}

^{dξ =dniνi}

^{ni = ni0 + νiξ}

^{r =1νi}

^dcidt

^prime2

^{v = k[A1]p1 [A2]}

^{dln k}

^{t12 =ln 2αk}

^{dt= 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{150 [3] Chimie}

^{Deacutefinitions}

^{ndash Agravec}

^{Dimension rT = (}

^{radic32minus 1)r}

^{ndash Agravec}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{152 [3] Chimie}

^{lt 1}

^{ltradic3minus 1}

^{Blende (ZnS)}

^{0 6r+rminus}

^{ltradic2minus 1}

^{Deacutefinition}

^{Xi =}

^(partXpartni

^{Tpn j 6=ni}

^{ni dXi Tp = 0}

^{∆rX = sumi}

^{νiXi =}

^(partXpartξ

^partpartT

^(∆rG

^{)= minus∆rH}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{154 [3] Chimie}

^{Deacutefinition}

^{microi =}

^(partGpartni

^{Tpn j 6=ni}

^{microi =}

^(partUpartni

^{VSn j 6=ni}

^{microi =}

^(partHpartni

^{pSn j 6=ni}

^{microi =}

^(partFpartni

^{VTn j 6=ni}

^micro0i(g)

^{∆rH0 = sum}

^νiH0i

^{∆rS0 = sum}

^νiS0i

^{∆rG0 = sum}

^νiG0i

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{156 [3] Chimie}

^{∆rG0 = ∆rH}

^{0 minus T∆rS0}

^tion∆rH

^d∆rH0

^{dT= ∆rC}

^{0p = sum}

^νiC0pi

^d∆rS0

^∆rC0p

^{T= sum}

^νiC0pi

^(∆rG

^tion∆rH

^{Relation de Hess}

^{∆rH0 = sum}

^{νi∆ fH0i}

^{∆rG0 = sum}

^{νi∆ fG0i}

^tion∆rG

^{A = minussumi}

^prodi

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{158 [3] Chimie}

^{A = 0}

^{Dans ce cas}

^prodi

^{K0(T) = prodi}

^{i eacutequilibre}

^{∆rG0(Ti) = 0}

^{K0(Ti) = 1}

^dlnK0

^∆rH0

^{dA = RT(}

^)dnin

^{v = c + 2minusϕ}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{160 [3] Chimie}

^{Loi de Raoult}

^{Loi de Henry}

^{pi = kxli}

^vapeur

^liquide

^vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^{Fuseau simple}

^{p1 vapeur}

^liquide

^{+ vap}

^vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^{Fuseau simple}

^T1vapeur

^liquide

^{liquide + vapeur}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{162 [3] Chimie}

^vapeur

^liquide

^{+ vap}

^liquide

^solide

^{sol i dus}

^x2x2x2

^{nlML + nvMV = 0}

^{Couple redox}

^oxydation

^{β red}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{164 [3] Chimie}

^{H sous 1 bar2}

^{pH = 0}

^{E = E0 +RTnF ln}

^aαox

^aβred

^{ndash a =c}

^{ndash a =pip0}

^{E = E0 +0 06n}

^logaαox

^aβred

^{= 0 06}

^{E = E2 minus E1}

^{∆rG0 = ∆rH}

^{0 minus T∆rS0}

^{0 et ∆rS0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{166 [3] Chimie}

^{DrG ( )0}

^{0 T}

^{TF TE}

^oxyde

^meacutetal

^{A =12RT ln}

^{pH = minus log(}

^[H3O+]

^{(c0)2= 10minus14}

^{[HA] middot c0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{168 [3] Chimie}

^{0 1}

^{Fe3 +}

^{Fe2 +}

^{Zn2 +}

^Zn(OH)s

^Zn(OH)4

^{2 -}

^Fe(OH)2

^Fe(OH)3

^{Cu O2}

^Cu(OH)2

^{Cu2 +}

^{U gt∆rG}

^{i = nFdξ}

^{v =1V}

^vhAhC

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{170 [3] Chimie}

^{i lim}

^{54 Corrosion}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{int dtcos t}

^{= ln∣∣∣∣tan}

^{)∣∣∣∣+ k R π}

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{2+ kπ}

^{k isin Z}

^{int dt}

^{int dtch t}

^{intemt dt =}

^{inttα dt =}

^tα+1

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{int dt}

^{int dtsin t}

^{= ln∣∣∣∣tan}

^{int dt}

^{int dtsh t}

^{= ln∣∣∣∣th}

^{intat dt =}

^{t2 + a2=}

^1aArctan

^{a+ k R}

^{Arcsin t}

^{|a| + k}

^{]minus a a[}

^{Argsh t}

^{|a| + k}

^{)+ k}

^Argcht

^{|a| + k}

^{ln(t +radic}

^{t2 minus a2)}

^{+ k]|a|+infin[}

^{∣∣∣∣+ k}

^{ln∣∣∣t +}

^{radict2 minus a2}

^{= ln∣∣∣t +}

^{radict2 + b}

^{R [minusb b]}

^{ln(tminus a}

^{t + a}

^{nxn+ o}

^xrarra(xn)

^{radic1+x = 1+}

^{12xminus 1}

^{1radic1 + x}

^{= 1 minus 12x +}

^o(xn)

^{3minus x4}

^{n+ o(xn)}

^{2minus x3}

^{3minus x4}

^{n+ o(xn)}

^{ln(a + x) = ln a +x}

^{aminus x2}

^{an+ o(xn)}

^{ex = 1 + x +x2}

^{n+ o(xn)}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{4minus x6}

^{(2n)+ o(x2n+1)}

^{ch x = 1 +x2}

⁴⁺

^{(2n)+ o(x2n+1)}

^{5minus x7}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{sh x = x +x3}

⁵⁺

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{tan x = x +x3}

²¹⁵

^{x5 +17315}

^{x7 + o(x7)}

^{th x = xminus x3}

²¹⁵

^{x5 minus 17315}

^{x7 + o(x7)}

^{Arccos x =π}

^{2minus x minus 1}

^{2n + 1+}

^o(x2n+2)

^{2n + 1+ o(x2n+2)}

^{5minus x7}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

²ⁿ⁺¹⁺

^o(x2n+2)

^{Argth x = x +x3}

^{(2n + 1)+ o(x2n+2)}

^{sin 012}

^radic22

^radic32

^{1 0}

^{cos 1}

^radic32

^radic22

^{0 minus1}

^{tan 0}

^radic33

^{1radic3 0}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{cos2 a + sin2 a = 1}

^{tan a =sin a}

^{cos acot a =}

^{cos asin a}

^{1 + tan2 a =1}

^{cos2 a1 + cot2 a =}

^{sin2 a}

^{cos2 a =1}

^{1 + tan2 asin2 a =}

^{11 + cot2 a}

^{1 + tan a tan b}

^{cos(2a) =}

^{tan(2a) =2 tan a}

^{1minus tan2 a}

^{21 + tan2 a}

^{sin a =2 tan a}

^{21 + tan2 a}

^{tan a =2 tan a}

^{21minus tan2 a}

^{cos a cos b =12}

^{sin a sin b =12}

^{sin a cos b =12}

^{sin b cos a =12}

^{cos2 a =1 + cos(2a)}

^{2sin2 a =}

^{1minus cos(2a)2}

^{pminus q}

^{p + q}

^{21 + cos a = 2 cos2}

^cos(π

^{2minus a)}

^{= sin a sin(π}

^{2minus a)}

^{= cos a}

^cos(π

^{2+ a)}

^{= cos a}

^tan(π

^{2minus a)}

^{= cot a cot(π}

^{2minus a)}

^{= tan a}

^tan(π

^{2+ a)}

^{= minus tan a}

^2sgnx

^{Arctana + b}

^{2sgn a si ab = 1}

^{Arctana + b}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2sgn x}

^{2ch x =}

^{ex + eminusx}

^{th a + th b}

^{1minus th a th b}

^{ch 2a =}

^{th 2a =2 th a}

^{p + q}

^{pminus q}

^{sh p + sh q = 2 shp + q}

^{pminus q}

^{1 Notations}

^{partpartxpart}

^{partypartpartz}

^{AAA(M) =}

^iiijjjkkk

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{2 Gradient}

^partVpartx

^{(x y z)}

^partVparty

^{(x y z)}

^partVpartz

^{(x y z)}

^partVpartr

^partVpartθ

^partVpartz

^uuuθ

^{gradV =}

^partVpartr

^partVpartθ

^{1r sin θ}

^partVpartϕ

^uuuθ

^uuuϕ

^{3 Divergence}

^{div A =partAx}

^partx+

^partAy

^party+

^partAz

^{div A =1r}

^partpartr

^partAθ

^partθ+

^partAz

^partz

^{div A =1r2}

^partpartr

^{r sin θ}

^partpartθ

^{(sin θAθ) +1}

^{r sin θ}

^partAϕ

^partϕ

^{4 Rotationnel}

^{partpartxpart}

^{partypartpartz}

^partAz

^partzpartAx

^partxpartAy

^party

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{rot A =}

^partAz

^partzpartAr

^partr1r

^partpartr

^partAr

^partθ

^{rot A =}

^{1r sin θ}

^(part

^partϕ

^{sin θ}

^partAr

^{partϕminus part}

^(partpartr

^partθ

^{5 Laplacien}

^{+part2Vparty2}

^{+part2Vpartz2}

^{= div (gradV)}

^{∆Ax =part2Ax}

^partx2+

^part2Ax

^party2+

^part2Ax

^partz2

^{∆Ay =part2Ay}

^partx2+

^part2Ay

^party2+

^part2Ay

^partz2

^{∆Az =part2Az}

^partx2+

^part2Az

^party2+

^part2Az

^partz2

^{∆V =1r}

^partVpartr

^{+part2Vpartr2}

^{part2Vpartθ2 +}

^part2Vpartz2

^{∆V =1r}

^partpartr

^partVpartr

⁾⁺

^{part2Vpartθ2 +}

^part2Vpartz2

^{∆V =1r}

^partpartr2

^{(rV) +1}

^{r2 sin2 θ}

^{part2Vpartϕ2 +}

^{r2 sin2 θ}

^partpartθ

^{(sin θ}

^partVpartθ

^{(BBBgrad)AAA =}

^BxpartAx

^{partx+ By}

^partAx

^{party+ Bz}

^partAx

^partz

^BxpartAy

^{partx+ By}

^partAy

^{party+ Bz}

^partAy

^partz

^BxpartAz

^{partx+ By}

^partAz

^{party+ Bz}

^partAz

^partz

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^intintint

^intint

^intintint

^intint

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{1 2 3 4 5 6 7 8 9}

^{1I H}

^{hydrogegravene}

^{2299 243119 20 21 22 23 24 25 26 27}

^{3910 4008 4496 4788 5094 5200 5494 5585 589337 38 39 40 41 42 43 44 45}

^{8547 8762 8891 9122 9221 9594 9891 1011 102955 56 57 72 73 74 75 76 77}

^{1329 1373 1389 1785 1809 1839 1862 1902 192287 88 89}

^{2230 2260 2270}

^{1401 1409 1442 1449 150490 91 92 93 94Th Pa U Np Pu}

^{2320 2310 2380 2370 2441}

¹⁹⁵

^{10 11 12 13 14 15 16 17 18}

^{2Heheacutelium}

^{1081 1201 1401 1600 1900 201813 14 15 16 17 18Al Si P S Cl Ar}

^{1951 1970 2006 2044 2072 2090 2100 2100 2220}

^{2431 2471 2471 2521 2521 2571 2561 2591 2601}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^Index

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{198 INDEX}

^{INDEX 199}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{200 INDEX}

^{isomorphisme 15}

¹²³

^{INDEX 201}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^{202 INDEX}

^{INDEX 203}

^{voisinage 29}

^{c copyDuno}

^tocopie

^nonau

^{toriseacuteeestu}

^ndeacutelit

^physique

^chimie

^informatique

^wwwdunodcom

^{lionel porcheron}

^{Lionel Porcheron}

^{4e eacutedition}

^{Le for}

^{e mpsi pm}

^{ieL po}

^{Porcheron 13x18indd 1 40808 145659}

^{ISBN 978-2-10-053787-7}

^Avant-propos


^{1 Algegravebre}

^{11 Relations}










^{2 Analyse}




^{24 Suites}





^{29 Seacuteries}












^{03 Coniques}






^{21 Gaz parfait}










^{34 Oscillateurs}







^{5 Optique}















^{7 Ondes}







^{1 Atomistique}

^{11 Spectroscopie}





^{2 Cineacutetique}
















^{54 Corrosion}







^{1 Notations}

^{2 Gradient}

^{3 Divergence}

^{4 Rotationnel}

^{5 Laplacien13}













^Index

Documents

4 Le formuLaire mpsi, mp... 6493233 isBn 978-2-10-051941-5 lionel porcheron ingenieur de l’enseeiht à toulouse. • Toutes les formules et définitions du pro-gramme de mpsi et