L-P-Bourguiba de Tunis Dure : 2 H Devoir de Mathmatiques n3 Prof : Ben Jedidia Chokri Date : 16/2/2015 Classe : 4M1

EXERCICE 1 : ( 3 points)

Rpondre par vrai ou faux en justifiant votre rponse 1.

le nombre de chiffre de 92015 est 2015 2. Le chiffre des units de 92015 est 9 3. 406 1(mod55)

EXERCICE 2 : (6 points) On donne dans le le plan orient P un triangle OAB tels que :

OA=OB et [ ](OA,OB) 22

pi pi .

On dsigne par I le milieu de [ ]AB et par

le cercle de centre O et passant par A. La demi droite [ )IO coupe en E (Voir feuille Annexe) 1. a. Justifier qu'il existe une rotation de centre E et tel que R(A)=B, Prouver quune mesure de son angle est

4pi

b. Construire C=R(O) c. Montrer que le quadrilatre EOBC est un losange 2. On dsigne par J le centre de EOBC On pose f=SOCoR Montrer que f est une symtrie glissante.

Et donner les lments caractristiques de f. 3. Soit S la similitude directe telle que S(B)=C et S(E)=O a. Dterminer le rapport et langle de S b. Montrer que S a pour centre J. 4. Soit g la similitude indirecte telle que g(C)=B et g(O)=E a. Montrer que g admet un unique point invariant b. Dterminer le centre de g et construire son axe

c. Caractriser goS. EXERCICE 3(3points)

Le plan P est rapport un ROND ( )v,u,o .On considre la fonction f

qui tout M daffixe z associe M daffixe z dfini par : z'=-2iz+1+2i 1.a. Montrer que f est une similitude indirecte b. Dterminer son centre I .Ecrire lquation de laxe de f

2. On pose g=S(o, j)of

Montrer que g est une similitude directe et dterminer les lments caractristiques de g

EXERCICE 4 : (8 points) Soit n un entier naturel non nul et fn la fonction dfinie sur [ ]1,1 par :

n 2n f (x) =x 1-x

On dsigne par Cfn la courbe reprsentative de fn dans le plan rapport repre orthonorm ( )o i j, , . 1. Dresser selon la parit de n le tableau de variation de fn. 2. Construire Cf1 et Cf2 3. Soit la fonction F dfinie sur ,

2 2

pi pi par : F( )= sin 20 f (x)dx

.

a .Montrer que F est drivable sur ,2 2

pi piet dterminer sa fonction drive

b. Montrer que pour tout rel de ,2 2

pi pi

1F( )= sin(4 )8 32

4. En dduire la valeur de A=1

21f (x)dx

.Que reprsente la valeur trouve ? 5. Calculer laire comprise entre les deux courbes Cf1 et Cf2

6. On pose 1

n n0

I f (x)dx= a.En utilisant une intgration par partie, montrer que pour tout n 2,

n 1 n 1nI I

n 3+ =

+

2n 2n 2(2n)!b.Montrer que I .

2 n!(n 1)!+= pi +

Annexe Nom : ..Prnom..Classe :..N :