5 Le raisonnement BE CE géométrique · 2014. 6. 24. · B E H C K EH BC BE CE Exemple de production attendue Supriya a raison. Il est possible de déterminer la mesure de chaque

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 2 1

Le raisonnementgéométrique

Exemple de production attenduePour démontrer que la somme des mesures des anglesintérieurs d’un triangle est 180°, on peut partir des énoncéssuivants.

1) Par un point extérieur à une droite, on peut tracer uneet une seule parallèle à cette droite.

2) Si une sécante coupe deux droites parallèles, alorsles angles alternes-internes sont isométriques.

Soit un triangle quelconque ABC.

On trace la droite BC. Puis on trace la droite parallèle à BCqui passe par le point A. Cette droite existe par l’énoncé 1).∠ BAD � ∠ ABC et ∠ CAE � ∠ ACB, par l’énoncé 2).On a donc :m ∠ ABC � m ∠ BAC � m ∠ ACB � m ∠ BAD �m ∠ BAC � m ∠ CAE � 180°.Pour ce qui est des angles du grand triangle qui ont étémesurés au Québec, il ne faut pas oublier que la Terre estune sphère. Si la somme des mesures des angles de ce grandtriangle n’est pas 180°, c’est qu’au moins l’un des deuxénoncés ci-dessus est faux lorsqu’on travaille sur une surfacesphérique.

Exemple de production attendueRemarque : Il y existe plusieurs constructions possibles.Une fois la construction choisie, il y a également plusieursdémonstrations possibles, autant à cause de la diversitédes propriétés à démontrer qu’à cause de la façon de procéderdans chaque cas.

Construction de l’agroglypheLa construction peut être faite à partir des droites d1, d2 et d3,qui sont parallèles et équidistantes, en suivant les étapessuivantes.

SAÉ 14 : Des extraterrestres,vraiment?

AD E

B C

SAÉ 13 : J’ai un doute

51. Situer le point E sur la droite d1, puis les points B et C sur

la droite d2 de façon que m � m . La longueurdu segment BC sera considérée comme l’unité par la suite.

2. Déterminer le milieu du segment BC, puis tracerun segment du point E jusqu’à ce milieu. Prolongerce segment vers la droite d3. Situer le point Hà l’intersection de ce prolongement et de la droite d3.

3. Situer les points A et D sur la droite d2, de façon que m � m � 1 et que m � 2 � m � 2.

4. Situer les points F et G sur la droite d1, de façon que m � m � 1.

5. Situer les points I et J sur la droite d3, de façon que m � m � 1.

6. Tracer tous les autres segments de droite entre ces pointspermettant de compléter la figure.

Quelques démonstrationsRemarque : Dans chacune des démonstrations suivantes,les hypothèses dépendent de la construction choisie.Les hypothèses peuvent varier si la construction utiliséeest différente de celle ci-dessus.

d1

A d2

d3

B

E

H

C

F

I

G

J

D

d1

A d2

d3

B

E

H

C

F

I

1 1

1 1

G

J

D

1 212

12

IJHI

FGEF

BCCDBCAB

d1

d2

d3

B

E

H

C

d1

d2

d3

B

E

C

1

CEBE

Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 2 © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée2

Proposition 1 : Les triangles EBH et ECH sontisométriques.

Hypothèses : • �• passe par le milieu de .

Conclusion : Δ EBH � Δ ECH

Soit le point K, le point de rencontre des segments EH et BC.Par hypothèse, le segment EK est la médiane relative à la basedu triangle isocèle EBC. C’est donc aussi une bissectricede ce triangle. On a donc ∠ BEK � ∠ CEK. Le point H étantdans le prolongement de EK, on peut aussi affirmer que∠ BEH � ∠ CEH.Cela permet d’affirmer que les deux triangles EBH et ECH sontisométriques par la condition minimale d’isométrie CAC.En effet, � par hypothèse, est un côté communà ces deux triangles et ∠ BEH � ∠ CEH, comme on vientde le démontrer.

Proposition 2 : Le quadrilatère EBCF estun parallélogramme.

Hypothèses : • d1 �� d2• m � m � 1

Ce qu’il faut démontrer : ��

�� , car ces deux segments se trouvent respectivementsur les parallèles d1 et d2.Il reste à démontrer que �� .Pour ce faire, on montre d’abord que les deux triangles ECFet CEB sont isométriques par la condition minimaled’isométrie CAC.En effet : � par hypothèse ;

∠ CEF � ∠ ECB, car ce sont des angles alternes-internes relativement aux parallèles d1 et d2 ;

� , car il s’agit du même segment.On peut donc affirmer que ∠ ECF � ∠ CEB, car les angleshomologues de triangles isométriques sont isométriques.Il en découle que �� , car les angles alternes-internesECF et CEB relativement aux droites EB et FC sontisométriques.

FCEB

CEEC

BCEF

FCEB

BCEF

d1

d2

E

CB 1

F1

FCEBBCEF

BCEF

BHCEBE

d1

d2

d3

B

E

H

CK

BCEHCEBE

Exemple de production attendueSupriya a raison. Il est possible de déterminer la mesurede chaque segment du pylône à partir des mesures de troisdes segments.

Déterminer les trois mesures nécessaires.Si on observe la représentation du pylône ci-dessous, on peutsupposer que certaines mesures peuvent être déduites d’autresmesures. Par exemple, la mesure d’un segment à gauchede l’axe de symétrie peut être déduite de celle de l’imagede ce segment à droite de l’axe de symétrie. De même,en supposant que l’on esten présence de trianglessemblables (par exemple,les triangles JMI, INH,HOG et GPF paraissentsemblables), on peutdéduire des mesuresde celles relatives àun seul triangle.Ainsi, à partir desmesures de segmentsappartenant au triangleJMI, on peut déduireles mesures des segmentsdes autres triangles dela partie droite du pylôneet, par la suite, celles dessegments de la partie gauche du pylône.On pose, par supposition, les mesures suivantes :m � 1 m, m � 2,5 m et m � 3.

Déterminer les mesures relatives au triangle JMI.Par la relation de Pythagore, on peut, dans le trianglerectangle KLJ, déterminer la mesure du segment LJ :m � 1,658 m.Dans le triangle rectangle MKJ,on peut déterminer la mesuredu segment ML à l’aide de laproportion suivante :

�

d’où m � 3,77 m.

Par la relation de Pythagore, on peut, dans le trianglerectangle MKJ, déterminer la mesure du segment MK :m � 4,524 m.Finalement, à l’aide de la relation de Pythagore, on peut,dans le triangle rectangle MKI, déterminer la mesuredu segment MI : m � 4,633 m.MI

MK

J

L

K1 m

3 m2,5 m

I

M

ML

2,5m ML�

1,6582,5

LJ

KJKLIK

SAÉ 15 : J’observe ce qui m’entoure

2

sA J

L

K

IB

C H

GD

E F

M

N

O

P


Déterminer le rapport de similitudedes triangles semblables.On peut affirmer que les triangles JMI et INH sont semblablespar le cas AA de similitude des triangles. En effet, BJ étantparallèle à CI, les angles MJI et NIH sont isométriques, car ils’agit d’angles correspondants formés par une droite JF quicoupe deux droites parallèles.Pour la même raison, étant parallèle à , les anglescorrespondants JIM et IHN sont isométriques.

On peut également affirmer que le quadrilatère MINB estun losange, car ses côtés opposés sont parallèles, et l’axede symétrie permet de constater que m � m et quem � m . Comme le quadrilatère MINB est un losange,on peut affirmer que m � m � 4,633 m.Le rapport de similitude qui associe le triangle NIH au

triangle MJI est donc k � , soit � 0,85.

Ce rapport de similitude permet de trouver les mesures dessegments du triangle NIH à partir des mesures des segmentshomologues du triangle MJI : en multipliant chaque mesurerelative au triangle MJI par 0,85.Une fois les mesures relatives au triangle NIH obtenues,on peut trouver celles du triangle OHG et celles du trianglePGF avec un raisonnement analogue, en fonction d’un rapportk � 0,85 d’un triangle à l’autre.Une fois les mesures des segments à droite de l’axede symétrie trouvées, on détermine celles des segmentsà gauche de l’axe par symétrie.

4,6333,77 � 1,658

m NI�m MJ�

IMINIMBM

INBN

sA J

L

K

IB

C H

GD

E F

M

N

O

P

BHAI

Réactivation 1

a. 1) m ∠ DIE � 120°Justification : m ∠ CIF � 60° (le triangle CIF est

équilatéral ),m ∠ CID � m ∠ FIE � 90°(les triangles CID et FIE sont rectangles)et 360 � 60 � 2 � 90 � 120.

2) m ∠ IDE � 30°Justification : m � m (le triangle CID est isocèle),

m � m (le triangle CIF estéquilatéral ),m � m (le triangle FIE est isocèle),donc m � m et le triangle DIEest isocèle.Dans ce triangle, les angles intérieursopposés aux côtés isométriques sontisométriques ; on a donc :m ∠ IDE � m ∠ IEDPuisque la somme des mesures desangles intérieurs d’un triangle est 180°,on peut écrire :m ∠ IDE � (180° � m ∠ DIE) � 2 �(180° � 120°) � 2 � 30°

3) m ∠ DCI � 45°Justification : le triangle rectangle CID est isocèle, donc

isoangle, et (180 � 90) � 2 � 45.4) m ∠ BCF � 75°

Justification : ∠ BCF et ∠ DCF sont supplémentaires,car ils forment un angle plat.m ∠ DCF � m ∠ DCI � m ∠ ICF �45° � 60° � 105° et 180 � 105 � 75.

5) m ∠ GCF � 30°Justification : �� implique que les angles alternes-

internes GCI et DIC sont isométriques ; ona donc : m ∠ GCI � m ∠ DIC � 90° ;m ∠ GCF � m ∠ GCI � m ∠ ICF �90° � 60° � 30°

6) m ∠ CBF � 75°Justification : �� implique que les angles alternes-

internes BFI et EIF sont isométriques ; on adonc : ∠ BFI � m ∠ EIF � 90° ;m ∠ BFC � m ∠ BFI � m ∠ CFI �90° � 60° � 30°.Dans le triangle CBF, la somme desmesures des angles intérieurs est 180° ;on a donc :m ∠ CBF � 180° � m ∠ BFC �m ∠ BCF � 180° � 30° � 75° � 75°

IEBF

DICG

IEIDIEIF

IFICICID

Page 4

5RÉ


b. 1) Il s’agit d’un triangle isoangle, donc isocèle.2) Il s’agit d’un triangle scalène.

c. m ∠ A � 30° ; m ∠ B � m ∠ G � 105° ; m ∠ H � 120°

d. L’aire du triangle CIF est égale à 25 cm2.L’aire de chacun des triangles CID et FIE est de 50 cm2.

e. Les deux triangles sont équivalents. En effet, il est possiblede découper l’un des triangles pour former l’autre.

La mesure du segment DE est le double de la hauteurdu triangle équilatéral CFI. Ce segment mesure donc 10 cm.

f. Le rapport des aires est égal à 3, soit le carré du rapportde similitude, qui est .

g. L’aire du triangle ACF est égale à (50 � 25 ) cm2,soit environ 93,3 cm2.Démarche :Soit x, l’aire du triangle ACF (en cm2). Alors l’aire dutriangle ADE (en cm2) est de 3x.La différence entre ces deux surfaces correspondau quadrilatère CDEF.Aire du quadrilatère CDEF (en cm2) :2 � 50 � 2 � 25 � 100 � 50 .On a donc l’équation x � (100 � 50 ) � 3x.En la résolvant, on obtient x � 50 � 25 � 93,3.

h. L’aire totale de la mosaïque est de (300 � 150 ) cm2ou, environ, 559,8 cm2.

Réactivation 2

a. 1) Rotation.2) Translation.3) Réflexion.4) Réflexion.5) Rotation.

b. Ces situations sont impossibles.Plusieurs justifications possibles. Exemple :Les translations, les rotations et les réflexions préserventles mesures des angles.

Page 5

�3�3

�3�3�3

�3�3

�3

�3

Soit la figure ci-dessous, obtenue en appliquantles transformations décrites en a.

On peut en déduire la suite de relations suivantes.1. ∠ 4 � ∠ 1, car ∠ 4 est l’image de ∠ 1

par une rotation.2. ∠ 5 � ∠ 2, car ∠ 5 est l’image de ∠ 2

par une translation.3. ∠ 8 � ∠ 3, car ∠ 8 est l’image de ∠ 3

par une réflexion.4. ∠ 7 � ∠ 4, car ∠ 7 est l’image de ∠ 4 par

une réflexion ; de plus, puisque ∠ 4 � ∠ 1, on peutdonc affirmer que ∠ 7 � ∠ 1.

5. ∠ 6 � ∠ 9, car ∠ 6 est l’image de ∠ 9 parune rotation ; de plus, ∠ 9 � ∠ 10, car ∠ 9 est l’imagede ∠ 10 par une réflexion ; et, finalement,∠ 10 � ∠ 2, car ∠ 10 est l’image de ∠ 2 parune rotation ; on peut donc affirmer que ∠ 6 � ∠ 2.

À partir de ces relations, on obtient :m ∠ 3 � m ∠ 4 � m ∠ 5 � m ∠ 6 � m ∠ 7 � m ∠ 8

� m ∠ 3 � m ∠ 1 � m ∠ 2 � m ∠ 2 � m ∠ 1 �m ∠ 3

� 2 � (m ∠ 1 � m ∠ 2 � m ∠ 3)� 2 � 180°� 360°

c. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Il est possible de réaliser un dallage avec n’importe quelquadrilatère en appliquant successivement à ce quadrilatèreet à ses images des rotations de 180° dont les centres sontsitués au milieu des côtés du quadrilatère. Exemple :

1

45

678

9

102

3

4


Réactivation 3

a. Le centre d’homothétie est le point de rencontre des droitespassant par les points et leur image.

b. Le rapport d’homothétie est .

Explication : Si le point O est le centre d’homothétie, sile point A est un sommet correspondant à un coin dela petite photo et si le point A' est son image, le rapport

d’homothétie est .

c. Oui, les deux rectangles sont semblables.

Justification : Les angles homologues sont isométriques, ilsmesurent tous 90°, et les côtés homologues ont deslongueurs proportionnelles, les dimensions du petitrectangle sont de 6 cm sur 4 cm, celles du grand rectangle

sont de 15 cm sur 10 cm, et � ) .

d. Les angles homologues sont isométriques et les côtéshomologues ont des longueurs proportionnelles.

e. La photo agrandie mesurera 27,9 cm sur 18,6 cm.

Mise à jour

1. a)

m ∠ BDC � 128°Exemple de démarche :m ∠ ABC � m ∠ ACB � (180° � 76°) � 2 � 52°m ∠ DBC � m ∠ DCB � 52° � 2 � 26°m ∠ BDC � 180° � 2 � 26° � 128°

A

D

CB

76°

Page 10

104

156

m A'O�m AO�

52

Page 6 b)

m ∠ BDC � 128°Exemple de démarche :m ∠ ACB � 76°m ∠ ABC � 180° � 2 � 76° � 28°m ∠ DBC � 28° � 2 � 14°m ∠ DCB � 76° � 2 � 38°m ∠ BDC � 180° � 38° � 14° � 128°

c) La mesure de l’angle BDC est la même.d) Plusieurs formulations possibles pour la conjecture.

Exemple :Dans un triangle ABC, si et sont les bissectricesdes angles B et D et si a est la mesure de l’angle Aen degrés, alors la mesure de l’angle BDC en degrés

est de .

2. Plusieurs réponses possibles. Exemples :• Il faut que deux côtés adjacents du quadrilatère soient

isométriques et forment un angle droit.• Il faut que les deux diagonales du quadrilatère soient

isométriques et forment un angle droit.• Il faut que deux côtés adjacents du quadrilatère soient

perpendiculaires, tout comme les deux diagonales.

3. a) Un cerf-volant.

b) Un rectangle.

c) Un losange.

180 � a2

CDBD

A

D

CB

76°


d) Un trapèze.

e) Un parallélogramme.

4. a) Des rotations de 90° ou de 180°.

b) Le rapport d’homothétie est 2. La position du centre Oest indiquée dans la figure ci-dessous.

Mise à jour (suite)

5. a) Non, c’est impossible.

La mesure de chacun des angles intérieurs

d’un pentagone régulier est de 108°, soit .

En juxtaposant trois pentagones réguliers autourd’un même sommet, on couvre un angle de 324°. Il nereste plus qu’un angle de 36° à couvrir, angle insuffisantpour ajouter un quatrième pentagone.

b) Ce n’est encore possible qu’avec les hexagonesréguliers.

Justification : Les angles intérieurs d’un polygone régulier

à n côtés mesurent degrés chacun.

Pour qu’un dallage soit possible, il faut que ce nombresoit un diviseur de 360.

Ce qui sera le cas si est un entier, car

360 � � .

Les seuls cas possibles sont n � 3, n � 4 et n � 6.

2nn � 2

(n � 2) � 180n

2nn � 2

(n � 2) � 180n

Pas assez d’espace pour insérer un quatrième pentagone régulier.

3 � 1805

Page 11

O

6. m ∠ 1 � 120°, soit 360 � 3.m ∠ 2 � 120°, soit 360 � 3.m ∠ 3 � 60°, soit 180 � 60, car ∠ 2 et ∠ 3 sontsupplémentaires.m ∠ 4 � 300°, soit 360 � 60.

7. a) m ∠ BAD � 106°b) m ∠ BCD � 127°c) m �d) Le périmètre du triangle ACD est de unités.

e) L’aire du quadrilatère ABCD est de unités carrées.

8. a) x � 5,6b) x � 13,5 et y � 7,5.c) x � 6,5, y � 6,4 et z � 4.

La démonstrationgéométrique

ProblèmePlusieurs démonstrations possibles. Exemple :On considère le triangle ACJ. Comme dans tout triangle,la somme des mesures de ses angles intérieurs est 180°. On a donc :m ∠ 1 � m ∠ 3 � m ∠ 10 � 180°.Il est possible de mettrequatre autres trianglesen évidence de la mêmefaçon. Dans chacun deces triangles, la sommedes mesures des anglesintérieurs est 180°.

Δ BEI : m ∠ 2 � m ∠ 5 � m ∠ 9 � 180°Δ ADH : m ∠ 1 � m ∠ 4 � m ∠ 8 � 180°Δ CEG : m ∠ 3 � m ∠ 5 � m ∠ 7 � 180°Δ BDF : m ∠ 2 � m ∠ 4 � m ∠ 6 � 180°En faisant la somme de tous ces angles, on obtient :2 � (m ∠ 1 � m ∠ 2 � m ∠ 3 � m ∠ 4 � m ∠ 5) � (m∠ 6 � m ∠ 7 � m ∠ 8 � m ∠ 9 � m ∠ 10) � 5 � 180°La somme des mesures des angles intérieurs d’un pentagoneest 540°. Si S représente la somme des mesures des anglesnumérotés de 1 à 5 inclusivement, on a donc l’équationsuivante : 2S � 540 � 900.La résolution donne S � 180.

A

1

9

2 7 6

8 10

3 4

5

I

B EFG

H J

C D

Page 12

5.1section

683

403

253AD

6


Activité 1

a. L’argument de Renaud n’est pas convaincant, car il est basésur un exemple particulier. De plus, Renaud se fie à undessin. Celui de Morgane n’est pas convaincant non plus,car elle se fie aux mesures prises sur une illustration. Pource qui est de Valéria, elle croit à tort que de ne pas trouverde contre-exemple constitue un argument valable.L’argument de Manuel est également peu convaincant, carun consensus n’est pas une preuve en soi. Pour ce qui estde Patricia, l’argument est également peu convaincant. Ondoit toujours douter d’un énoncé mathématique, même s’ilest tiré d’une œuvre connue.

b. Plusieurs arguments possibles. Exemple :Hypothèse : et sont

des diamètres du cercle de centre O.

Conclusion : Le quadrilatère ABCD est un rectangle.

On sait que les diamètres d’un cercle, ainsi que leursrayons, sont isométriques. Les segments OA, OB, OC et ODsont donc isométriques.On en déduit alors que les triangles ODC et OCB sont tous deux isocèles, car � et � .Comme des triangles isocèles sont également isoangles,on sait que ces deux triangles ont des angles isométriques, comme le montre l’illustration ci-contre.Comme la somme des mesures des angles intérieurs dutriangle BCD est 180°, on peut affirmer que :a � a � b � b � 180°.D’où 2a � 2b � 180°

2(a � b) � 180°a � b � 90°

Donc, l’angle DCB est un angle droit.Avec un raisonnement semblable, on peut démontrer queles angles B, A et D du quadrilatère sont également droits,ce qui permet de conclure que le quadrilatère ABCD estun rectangle.

Activité 2

a. A

B E

DC

Page 14

a a b

bB

O

D C

OBOCODOC

A B

O

D C

BDAC

Page 13 b. � � � �∠ ABC � ∠ BCD � ∠ CDE � ∠ DEA � ∠ EAB

c. ∠ BAC � ∠ CAD � ∠ DAE

d. Réponses personnelles, selon les conjectures des élèves.

e. Plusieurs réponses possibles. Exemples :La définition du pentagone régulier, l’énoncé qui établit quela somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est180°, l’énoncé qui mentionne que la somme des mesuresdes angles intérieurs d’un pentagone régulier est 540°, etc.

f. Plusieurs réponses possibles. Exemple (démonstration endeux colonnes) :Hypothèses : • � � � �

• ∠ ABC � ∠ BCD � ∠ CDE � ∠ DEA �∠ EAB

Conclusion :∠ BAC � ∠ CAD � ∠ DAE

g. Réponses personnelles.

A

B E

DC

EADECDBCAB

EADECDBCAB

AFFIRMATION

1. � � ��

2. ∠ BAC � ∠ ACB3. m ∠ ABC � 108°

4. ∠ BAC � ∠ ACB � 36°

5. ∠ DAE � ∠ ADE6. m ∠ AED � 108°

7. m ∠ AED �m ∠ ADE� 36°

8. m ∠ BAE � 108°

9. m ∠ CAD � 36°10. m ∠ BAC �

m ∠ CAD �m ∠ DAE � 36°

EADECDBCAB

JUSTIFICATION

1. Par hypothèse.

2. Car Δ CBA est isocèle, donc isoangle.3. Car la somme des mesures des

angles intérieurs d’un pentagonerégulier est 540°, et les anglesd’un pentagone régulier étantisométriques, chacun d’eux mesure108°, car 540° � 5 � 108°.

4. Par les affirmations 2 et 3, et sachantque la somme des mesures des anglesintérieurs d’un triangle est 180°, car(180° � 108°) � 2 � 36°.

5. Car Δ AED est isocèle, donc isoangle.6. Car il s’agit d’un des angles

isométriques du pentagone régulier.

7. Par les affirmations 5 et 6, et sachantque la somme des mesures des anglesintérieurs d’un triangle est 180°, car(180° � 108°) � 2 � 36°.

8. Car il s’agit d’un des anglesisométriques du pentagone régulier.

9. Car m ∠ CAD � 108° � 2 � 36°.10. Par les affirmations 7 et 9.


Activité 3

a. Plusieurs réponses possibles. Exemple :

b. Réponses personnelles.

Technomath

a. 1) Une rotation de 79,5° permet d’appliquer la droite d1sur la droite d2, et une rotation de 99° permetd’appliquer la droite d2 sur la droite d3.

2) Une rotation de 178,5° permet d’appliquer la droite d1sur la droite d3.

3) Non. L’angle formé à leur point de rencontre mesure1,5°, car 180° � (99° � 79,5°) � 1,5°.

4) Les angles correspondants alternes-internes et alternes-externes ne sont pas isométriques entre eux.

b. 1) Une rotation de 79,5° permet d’appliquer la droite d1sur la droite d2, et une rotation de 100,5° permetd’appliquer la droite d2 sur la droite d3.

2) Une rotation de 180° permet d’appliquer la droite d1 surla droite d3.

3) Les droites d1 et d3 sont parallèles.4) Les angles correspondants sont isométriques entre eux,

de même que les angles alternes-internes entre eux etles angles alternes-externes entre eux.

c. 1) La somme des mesures des angles intérieursdu quadrilatère est 360°.

2) La somme des mesures des angles intérieursdu pentagone croisé est 180 °.

Page 16

Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles correspondants sont isométriques.

4. Les angles opposés par le sommet sont isométriques.

5.

Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internessont isométriques.

3.

La mesure d’un angle extérieur d’un triangle est égale à la somme des mesures des angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.

1. La somme des mesures des angles intérieursd’un triangle est 180°.

2.

La somme des mesures des angles intérieursd’un quadrilatère est 360°.

6.

Page 15 d. Plusieurs réponses possibles, selon les découvertes des élèves.

Mise au point 5.1

1. a) Vrai. Trois points sont alignés s’ils appartiennent àla même droite. Puisque le segment AB est inclus dansla droite AB, les points A, B et C appartiennent àla droite AB.

b) Faux. Contre-exemple :

c) Faux. Ce n’est pas vrai dans un quadrilatère non convexe.

d) Faux. Aucun cercle ne passe par trois points alignés.e) Vrai. En appliquant la relation de Pythagore, on peut

démontrer que tous les côtés du quadrilatère formé sontisométriques.

f) Faux. Contre-exemple : Dans le triangle isocèle AIB ci-dessous, m � m , mais I n’appartient pas ausegment AB.

2. a) 1re définition : Non valable, car la figure ci-dessous n’estpas un carré, même si ses diagonales sont isométriqueset perpendiculaires.

2e définition : Non valable, car tout losange possèdeces caractéristiques.3e définition : Non valable, car tout rectangle possèdeces caractéristiques.

b) Plusieurs réponses possibles. Exemples :1. Un carré est un quadrilatère dont les diagonales sont

isométriques, perpendiculaires et se coupent en leurmilieu.

2. Un carré est un losange qui possède au moinsun angle droit.

3. Un carré est un rectangle dont deux des côtésadjacents sont isométriques.

A B

I

IBAI

A

B

C

D

AB C

Page 20

8


3. L’angle BEC mesure 150°.Exemple de démarche possible avec justification :Chacun des angles intérieurs d’un carré mesure 90° etchacun des angles intérieurs d’un triangle isocèle mesure60°.On peut en déduire que :m ∠ BAE � m ∠ BAD � m ∠ EAD � 90° � 60° � 30°.Pour les mêmes raisons, on a : m ∠ CDE � 30°.Les côtés d’un carré sontisométriques et il en est demême des côtés d’un triangleéquilatéral. Le segment AD étantà la fois un côté du carré ABCDet un côté du triangle équilatéralADE, tous les segments AB, AE,DE et DC sont doncisométriques au segment AD.Dans les triangles isocèles BAE et CDE, les angles opposésaux côtés isométriques sont isométriques. Dans les deuxcas, les angles à la base mesurent donc 75°, soit(180 � 30) � 2.m ∠ BEC � 360° � 2 � 75° � 60° � 150°

Mise au point 5.1 (suite)

4. a) Une paire d’angles supplémentaires est constituéede deux angles dont les mesures donnent une sommede 180°.

b) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Hypothèse : ABCD est un trapèze ( �� ).Conclusion : m ∠ ABC � m ∠ BAD � 180°

m ∠ DCB � m ∠ CDA � 180°

c) Plusieurs réponses possibles. Exemples :Si une droite coupe deux droites parallèles, alorsles angles correspondants sont isométriques.Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs sonten ligne droite sont supplémentaires.

d) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple (preuveen deux colonnes) :Construction : On trace les droites qui passentpar chacun des côtés du trapèze.

A

E F

B

D

C

A

B

D

C

BCAD

Page 21

A

B

D

E

C

60°60°

60°

30°30°

On prouve de la même façon que m ∠ DCB � m ∠ CDA � 180°.

5. a) Dans les deux cas, les élèves tirent leur argumentd’une constatation résultant de l’observationd’une figure construite. De plus, dans le cas de la fille,on ne peut pas conclure que la proposition est vraie ense basant sur un exemple.

b) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple (preuveen deux colonnes) :Hypothèse : ABCD est un parallélogramme.Conclusion : ∠ ABC � ∠ CDA

∠ BAD � ∠ DCBConstruction : On trace les droites qui passent par

chacun des côtés du parallélogramme.

On prouve de la même façon que ∠ BAD � ∠ DCB.

6. a) 1) Tout parallélogramme est un losange.2) Faux. Les côtés d’un parallélogramme ne sont pas

nécessairement tous isométriques.

A

EB

D

C

AFFIRMATION

1. ��2. ∠ ABC � ∠ EAD

3. m ∠ EAD �m ∠ BAD � 180°

4. m ∠ABC � m BAD� 180°

BCAD

JUSTIFICATION

1. Par hypothèse.

2. La droite AB coupe les droitesparallèles AD et BC, et si une droitecoupe deux droites parallèles, alorsles angles correspondants sontisométriques.

3. Deux angles adjacents dont les côtésextérieurs sont en ligne droite sontsupplémentaires.

4. Par substitution à partirdes affirmations 2 et 3.

AFFIRMATION

1. ��2. ∠ ABC � ∠ DCE

3. ��4. ∠ DCE � ∠ CDA

5. ∠ ABC � ∠ CDA

ADBC

DCAB

JUSTIFICATION

1. Par hypothèse.

2. La droite BC coupe les droites parallèlesAB et DC, et si une droite coupe deuxdroites parallèles, alors les anglescorrespondants sont isométriques.

3. Par hypothèse.

4. La droite CD coupent les droitesparallèles BC et AD, et si une droitecoupe deux droites parallèles, alorsles angles alternes-internes sontisométriques.

5. Par les affirmations 2 et 4, et parla transitivité de l’isométrie.


b) 1) Si l’on double la longueur des diagonales d’un carré,les dimensions du carré seront doublées.

2) Vrai. La mesure des diagonales d’un carré est égale à c, où c est la mesure de chacun des côtés ducarré. Ces deux mesures sont donc proportionnelles.

c) 1) Un triangle qui a deux angles aigus complémentairesest un triangle rectangle.

2) Vrai. La somme des mesures des angles intérieursd’un triangle est 180°. Si deux de ces angles sontcomplémentaires, alors le troisième angle mesurenécessairement 90°.

d) 1) Un quadrilatère dont les diagonales sontperpendiculaires est un cerf-volant.

2) Faux. Contre-exemple :

e) 1) Un triangle isocèle qui possède un angle de 60° estun triangle équilatéral.

2) Vrai. Si le triangle est isocèle, alors il est isoangle.Soit a, la mesure, en degrés, de chacun des deuxangles isométriques, et b, la mesure, en degrés,de l’autre angle ; on a alors la relation suivante :2a � b � 180.Si a � 60, alors 120 � b � 180. Donc b � 60.Si b � 60, alors 2a � 60 � 180. Donc a � 60.

Dans les deux cas, les trois angles sont isométriques.Le triangle est donc équiangle et, par conséquent,équilatéral.


7. a) Énoncé 1

Hypothèse : d1 ⊥ d3 et d2 ⊥ d3Conclusion : d1 �� d2Énoncé 2

Hypothèse : ∠ 1 � ∠ 2Conclusion : d1 �� d2

d1 1 2

d2

d3

d1

d2

d3

Page 22

�2

Énoncé 3

Hypothèse : d1 �� d3 et d2 �� d3.Conclusion : d1 �� d2

b) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple (preuvepar l’absurde) :

Soit la droite AB, perpendiculaire aux droites d1 et d2.Si les droites d1 et d2 ne sont pas parallèles, alors ellesse croisent en un point C. L’angle formé par ces deuxdroites en C n’est pas nul. Dans le triangle ABC, onaurait donc trois angles intérieurs dont la somme desmesures serait supérieure à 180°, ce qui est impossible.On doit donc conclure que ce point C n’existe pas.Les droites d1 et d2 sont donc parallèles.

c) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :

Hypothèse : La droite AB coupe les droites d1 et d2de telle sorte que ∠ 1 � ∠ 2.

Ce qu’il faut démontrer : d1 �� d2À partir du point A, on abaisse une perpendiculaire à la droite d2qui coupe cette droite en C.

Dans le triangle rectangle ABC, les deux angles aigus,∠ 2 et ∠ 3, sont complémentaires. Puisque∠ 1 � ∠ 2, on peut donc affirmer que ∠ 3 est aussicomplémentaire à ∠ 1. Par conséquent, estperpendiculaire à d1. étant perpendiculaire à d1 età d2, on en déduit, en se basant sur l’énoncé 1, que d1est parallèle à d2.

d) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :

Hypothèse : d1 �� d3 et d2 �� d3.Conclusion : d1 �� d2Construction : On trace

la sécante d4.1 2

3d3

d4

d1

d2

ACAC

d11

2

3

d2

A

BC

d1

d2

A

B

C

d3

d1

d2

10


8. a) Le triangle est isocèle.b) Hypothèse : • est la bissectrice

de ∠ ABC.• ��

Conclusion : Le triangle BDE est isocèle ( ).

c) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Pour démontrer que le triangle BDE est isocèle, il suffitde démontrer que ce triangle est isoangle car, dans untriangle isoangle, les côtés opposés aux anglesisométriques sont isométriques.

La bissectrice DE sépare l’angle ABC en deux anglesisométriques ; donc ∠ EBC � ∠ EBA. De plus, parceque est parallèle à , on peut affirmer que les deuxangles alternes-internes BED et EBC sont égalementisométriques. Par transitivité, ∠ EBA � ∠ BED.Le triangle BDE est donc isoangle et, par conséquent,isocèle.

BCDE

A

D E

B

C

EDBD

BCDE

BE


9. a) Par symétrie, il suffit de montrer que l’un deces triangles est équilatéral.L’hexagone étant régulier, sescôtés sont isométriques. Il enest de même des côtés descarrés. Donc, tous lessegments marqués dans lafigure ci-contre sontisométriques, donc � .

Sachant que chacun des angles intérieursd’un hexagone régulier mesure 120° et que chacundes angles d’un carré mesure 90°, on en déduit quela mesure de ∠ BAC est de 60°, soit360 � 120 � 2 � 90.Puisque � , les angles ACB et ABC, qui sontopposés à ces côtés, sont isométriques et leur mesureest de 60°, soit (180 � 60) � 2.Le triangle ABC étant équiangle, il est donc équilatéral.

b) Le dodécagone est régulier, car ses côtés sontisométriques et ses angles intérieurs sont isométriques.Démonstration que les côtés sont isométriques :puisque ABC est un triangle équilatéral, le côté BC estisométrique aux côtés AB et AC et, par conséquent, cecôté est isométrique à tous les autres segmentsmarqués dans la figure ci-dessus. Il en est de mêmepour les autres triangles équilatéraux.Démonstration que les angles intérieurs sontisométriques : chacun des angles intérieurs dudodécagone est formé de deux angles adjacents :l’angle intérieur d’un carré et celui d’un triangleéquilatéral. Tous les angles intérieurs du dodécagonemesurent donc 150°, soit 90 � 60.

10. a) m ∠ 2 � m ∠ 1 � m ∠ 3, ou une autre relationéquivalente.

b) Plusieurs démonstrations possibles. Voici deuxexemples de démonstrations de formes différentes etreposant sur des propriétés différentes.Exemple 1 : Démonstration dans laquelle on trace une troisième parallèle.Hypothèse : d1 �� d2On veut démontrer que :m ∠ ABC � m ∠ 1 � m ∠ 3.On trace d’abord la droite d3 passant par le point B etparallèle à d1. Cette droite sépare l’angle ABC en deuxangles : ∠ 2a et ∠ 2b.On peut affirmer que la droite d3 est égalementparallèle à d2, car deux droites parallèles à unetroisième sont parallèles entre elles.

d1

d3

d2

B

A

C

1

32a

2b

ABAC

A

B

C

ABAC

Page 23AFFIRMATION

1. d1 �� d32. ∠ 1 � ∠ 3

3. d2 �� d34. ∠ 2 � ∠ 3

5. ∠ 1 � ∠ 26. d1 �� d2

JUSTIFICATION

1. Par hypothèse.

2. Si une droite coupe deux droites parallèles,alors les angles correspondants sontisométriques.

3. Par hypothèse.

4. Si une droite coupe deux droites parallèles,alors les angles alternes-externes sontisométriques.

5. Par la transitivité de la relation d’isométrie.

6. Par l’énoncé 2 et par le fait que ∠ 1 et ∠ 2sont des angles alternes-internesisométriques relativement à d1 et à d2.

AFFIRMATION

1. ∠ EBC � ∠ EBA

2. ∠ EBC � ∠ BED

3. ∠ BED � ∠ EBD

4. EDBD

JUSTIFICATION

1. La bissectrice BE de l’angle ABCsépare celui-ci en deux anglesisométriques.

2. Si une droite coupe deux droitesparallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques

3. Par la transitivité de la relationd’isométrie.

4. Dans un triangle isoangle,les côtés opposés aux anglesisométriques sont isométriques.


Puisque d1 �� d3, les angles alternes-internes 1 et 2asont isométriques.Puisque d2 �� d3, les angles alternes-internes 3 et 2bsont isométriques.On a donc :m ∠ ABC � m ∠ 2a � m ∠ 2b � m ∠ 1 � m ∠ 3Exemple 2 : Démonstration en deux colonnesdans laquelle on prolonge le côté AB.Hypothèse : d1 �� d2Conclusion :m ∠ 2 � m ∠ 1 � m ∠ 3Construction : On prolonge le côté AB jusqu’au point D sur la droite d2, formant ainsi ∠ 4.

c) La conjecture n’est plusvalable dans ce cas, mais onpeut énoncer la conjecturesuivante : La mesure del’angle 2 serait égale à ladifférence entre les mesuresdes angles 3 et 1.

11. a) La figure obtenue est un carré.b) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :

Il faut démontrer que les côtés du quadrilatère EFGHsont isométriques et que chacun de ses angles intérieurs mesure 90°.Tous les segments marqués dans lafigure ci-contre sont isométriquespuisque les points E, F, G et H sontles points milieux des côtés du carréABCD.Avec les côtés du quadrilatère EFGH, ces segmentsisométriques forment quatre triangles rectanglesisocèles dont les cathètes ont la même mesure. Par larelation de Pythagore, on peut donc conclure que leshypoténuses de ces triangles, soit les segments EF, FG,GH et EH, sont isométriques.

A DH

B C

E G

F

d1

d2

A

C

B

3

21

d1

d2

B

A

CD

1

34

2

D’autre part, chacun des angles aigus d’un trianglerectangle isocèle mesure 45°. Chacun des anglesintérieurs du quadrilatère EFGH mesurent donc 90°,soit 180 � 2 � 45.


12. a) 84°b) L’angle d’arrivée des rayons lumineux à l’oculaire est

toujours isométrique à l’angle que forment ces rayons,au départ, avec l’horizontale.

13. La conjecture est vraie.Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :On trace les segments BF et FE.Pour démontrer que les points B, F etE sont alignés, iI suffit de démontrerque l’angle BFE mesure 180°.On peut calculer la mesure del’angle BFE en suivant les étapessuivantes.1. Tous les segments de la figure initiale sont

isométriques, car ce sont les côtés d’un carré oules côtés de triangles équilatéraux ayant un côtécommun avec le carré. On peut alors affirmer queles triangles EDF et BCF sont isocèles, donc isoangles.

2. m ∠ EDF � m ∠ EDA � m ∠ ADF� m ∠ EDA � (m ∠ ADC � m ∠ FDC)� 60° � (90° � 60°)� 90°

3. Dans le triangle isoangle EDF, m ∠ DFE � m ∠ DEF.On a donc :m ∠ DFE � (180° � 90°) � 2 � 45°

4. m ∠ BCF � m ∠ BCD � m ∠ FCD� 90° � 60°� 30°

5. Dans le triangle isoangle BCF, m ∠ CFB � m ∠ CBF.On a donc :m ∠ DFE � (180° � 30°) � 2 � 75°

6. m ∠ BFE � m ∠ BFC � m ∠ CFD � m ∠ DFE� � �

� 180°

14. a) Le triangle est équilatéral.Justification : Les deux cercles ont le même rayon, soitla distance entre leur centre respectif. Les trois côtésdu triangle sont isométriques puisque leur mesure estégale à ce rayon.

75°60°45°

Page 24

12

AFFIRMATION

1. d1 �� d22. ∠ 1 � ∠ 4

3. m ∠ 2 � m ∠ 4 � m ∠ 3

4. m ∠ 2 � m ∠ 1 � m ∠ 3

JUSTIFICATION

1. Par hypothèse.

2. Si une droite coupe deuxdroites parallèles, alorsles angles alternes-internessont isométriques.

3. La mesure d’un angle extérieurd’un triangle est égale àla somme des mesures desangles intérieurs qui ne luisont pas adjacents.

4. Par les affirmations 2 et 3.

A D

B C

E

F


b) Le triangle est équilatéral.Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :On peut d’abord constater que le triangle ABC est isocèle car,par symétrie, � . Pour démontrer qu’il est équilatéral,il suffit de démontrer qu’il a un angle intérieur de 60°.Soit les points D et E, les centres des deux cercles.Par la conjecture émise en a), on sait que le triangleCDE est équilatéral.On peut donc affirmer que l’angle CDE mesure 60°.L’angle CDE est un angle extérieur du triangle ADC. Or,la mesure d’un angle extérieur d’un triangle est égaleà la somme des mesures des deux angles intérieurs quine lui sont pas adjacents.Donc m ∠ DAC � m ∠ DCA � 60°.De plus, le triangle ADC est isocèle, car les rayons AD etCD sont isométriques. Les angles opposés à ces côtés,soit les angles DAC et DCA, sont donc isométriques. Ilen résulte que m ∠ DAC � 60° � 2 � 30°.Par symétrie, on a aussi m ∠ DAB � 30°.m ∠ CAB � m ∠ DAC � m ∠ DAB � 30° � 30° �60°Le triangle est donc équilatéral.


15. a) L’argument de Brittany n’est pas valable, même si elle araison). Selon la conjecture de Brittany, la constructionest impossible, mais l’absence d’un contre-exemple àcette conjecture ne permet pas d’affirmer qu’elle estvraie. Elle ne peut donc pas conclure que c’estimpossible, car elle n’a pas démontré cette impossibilité.

b) La construction est réellement impossible. Voiciun argument valable le démontrant.Soit un trapèze quelconque ABCD représenté ci-contre dont les bases mesurent a et c unités et les deux autres côtés, bet d unités.On trace le segment DE parallèle à .Le quadrilatère ABED étant un parallélogramme,ses côtés opposés sont isométriques.Les mesures des côtés du triangle DEC sont alors b, d et(c � a) unités.Par la propriété de l’inégalité des triangles, la sommedes mesures de deux côtés d’un triangle est toujours

A

CE

D

B

a

b b d

a c � a

c

AB

A

C

D

B

a

b d

c

Page 25

A D

B

C

EABAC

supérieure à la mesure du troisième côté. Parconséquent, b � d > (c � a).Il est donc impossible que la somme de b � d soitinférieur à c � a.

16. Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :On trace le rayon OD. Les segments CD, OD et OAétant isométriques, les triangles formés sont isocèles, donc isoangles.On pose m ∠ OCD � x.On peut alors faire la suite de déductions suivante afin de démontrer que m ∠ AOB � 3x.1. m ∠ COD � x, car le triangle CDO est isoangle.2. m ∠ ODA � 2x, car c’est un angle extérieur du

triangle CDO et la mesure d’un angle extérieur d’untriangle est égale à la somme des mesures des deuxangles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents.

3. m ∠ OAD � 2x, car le triangle AOD est isoangle.4. m ∠ AOB � 3x, car c’est un angle extérieur du triangle

AOC et, pour la même raison qu’en 2, sa mesure est lasomme des mesures des deux angles intérieurs qui nelui sont pas adjacents, soit ∠ OCD et ∠ OAD.

On a donc m ∠ OCD � � m ∠ AOB.

Les trianglesisométriques

ProblèmeLes renseignements donnés sont suffisantes pour déterminer lepérimètre du terrain. Ce périmètre est de 488 m.Plusieurs démarches possibles. Exemple :Soit le point M, le point milieu de la maison qui est situé àégale distance des quatre côtés du quadrilatère. Soit a, cettedistance commune aux quatre côtés.En traçant les segments à partir du point M comme dans lafigure ci-dessous, on construit huit triangles rectangles dontl’une des cathètes mesure a unités et qui ont, deux par deux,la même hypoténuse.

A D

a

a

a

a

E

F

G

H

M

C

B

Page 26

5.2section

13

A

2x2x

3xxx

D

BC O

d1


Il en résulte, pour chaque paire de triangles partageant lamême hypoténuse, que leurs deuxièmes cathètes sontisométriques. Par exemple,m � (m )2 � a 2 � m .On représente les mesures de ces cathètes isométriques par b,c, d et e.

Périmètre du quadrilatère :m � m � m � m � (b � c) � (c � d) �

(d � e) � (b � e)� 2(b � c � d � e)� 2(b � e � c � d)� 2(138 � 106)� 488

Activité 1

a. Plusieurs réponses possibles. Exemple :La réponse semble la plus juste, mais elle n’est pas pourautant la plus efficace. La réponse pourrait être la plusefficace si l’on ne connaît pas les mesures des côtés et desangles des triangles.

b. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Triangle 1

c. Plusieurs réponses possibles. Exemple :La mesure du côté compris entre les deux angles connus(le côté AB dans la figure à la question b) serait suffisantepour qu’une autre personne puisse construire un triangleisométrique.

A

B

C

75°

45°

2

3

Page 27

ADCDBCAB

A D

a

a

a

a

b

b

c

c

d

d

e

e

E

F

G

H

138

95

106

M

C

B

AEAM�AH

d. Plusieurs réponses possibles. Exemples :Triangle 2

La mesure du deuxième côté adjacent à l’angle de 50°(le côté BC dans la figure ci-dessus) serait suffisante pourqu’une autre personne puisse construire un triangleisométrique.Triangle 3

La mesure du troisième côté du triangle (le côté AC dansla figure ci-dessus) serait suffisante pour qu’une autrepersonne puisse construire un triangle isométrique.

e. Plusieurs réponses possibles, selon la conjecture énoncéepar l’élève.(On doit viser ici à faire ressortir les conditions minimalesd’isométrie des triangles.)

Activité 2

a. Non, il n’est pas possible d’obtenir le résultat illustré dansle manuel. En effet, selon l’hypothèse, les segments AB etDE sont isométriques. Donc, si l’on place le point A sur lepoint D, ces segments ayant la même mesure, le point Bcoïncidera nécessairement avec le point E.

b. Comme les segments AB et DE coïncident et que, parhypothèse, les angles BAC et EDF sont isométriques,le point C se trouve nécessairement sur la droite DF.

c. Puisque le point C se trouve sur la droite DF, il coïncidenécessairement avec le point F car, par hypothèse,les segments AC et DF sont isométriques.

Activité 3

1re partie1. Il serait plus précis de dire qu’il existe une suite

d’isométries qui fait que le côté AB est appliqué surle côté DE et que l’image du point C est du même côté dela droite DE que le point F.En effet, on peut supposer qu’après qu’on a appliqué uneisométrie au triangle ABC, l’image du point C n’est pas dumême côté que le point F.

Page 29

Page 28

A B

C

10 cm

6 cm

A

B

C

50°8 cm

14


Dans ce cas, il suffirait d’appliquer au triangle C'DEune réflexion dont l’axe de réflexion serait la droite DE.L’image du point C' serait alors du même côté de la droiteDE que le point F.

2. C’est la transitivité de l’isométrie : deux figuresisométriques à une troisième sont isométriques entre elles.

3. ∠ DEC' � ∠ ABC, puisque l’un de ces angles est l’imagede l’autre par une isométrie.∠ ABC � ∠ DEF, par hypothèse.∠ DEC' � ∠ DEF, par transitivité de l’isométrie.On peut donc affirmer que le point C' se trouve surla droite EF.

2e partiePlusieurs démonstrations possibles. Exemple :Hypothèse : � , � et �Ce qu’il faut démontrer :Δ ABC � Δ DEFPuisque � , il existeune suite d’isométries quifait que le segment AB estappliqué sur le segment DEet que l’image C' du pointC est du même côté de ladroite DE que le point F.

Il s’agit de démontrer que le point C' coïncide avec le point F.� , car les isométries préservent les mesures

des segments.� , par hypothèse.� , par transitivité de l’isométrie.

Les points C' et F sont donc situés à égale distance du pointD. En d’autres mots, les points C' et F sont situés sur un mêmecercle de centre D.Pour les mêmes raisons, on peut établir les relationsd’isométrie suivantes : � � , ce qui démontre queles points C' et F sont situés sur un même cercle de centre E.

EFBCEC'

DFDC'DFAC

ACDC'

D

E

C'F

A

D

B

E

C

F

DEAB

EFBCDFACDEAB

D

E

C'

F

Or, de chaque côté de la droite DE, deux cercles de centre D etde centre E ne peuvent se rencontrer qu’en un seul point.Par conséquent, les points C' et F doivent coïncider.

Activité 4

a. 1) La barre verticale du T à droite est plus courte que lestrois autres segments.

2) Le segment le plus bas.3) Les deux parallélogrammes sont isométriques.

b. 1) C’est un losange, car tous ses côtés sont isométriques ;ce sont des rayons de cercles isométriques.

2) Les triangles ABD et CDB sont isométriques à cause dela condition minimale d’isométrie CCC.En effet :

� , par hypothèse ;� , par hypothèse ;� , car il s’agit

du même segment, et par réflexivité de l’isométrie.

3) Les angles ADB et CBD sont isométriques, car ce sontdes angles homologues des triangles isométriques ABDet CDB.On peut conclure que les droites AD et BC sontparallèles parce que les angles ADB et CBD, qui sontdes angles alternes-internes relativement à ces droites,sont isométriques.

c. Oui, c’est nécessairement un parallélogramme.Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :Voici une figure quel’on peut obtenir parcette construction.

D

O

A

B

C

D

A

B

C

DBBDCDABCBAD

Page 30

D

E


Hypothèses : • Les deux cercles ont le même centre O.• Les segments AC et BD sont des

diamètres de ces cercles.On doit démontrer que �� et �� .

Démonstration de //Δ ABO � Δ CDO par la condition minimale d’isométrieCAC. En effet :1. � , car ce sont deux rayons du grand cercle ;2. � , car ce sont deux rayons du petit cercle ;3. ∠ AOB � ∠ COD, car ce sont des angles opposés par

le sommet.∠ ABO � ∠ CDO, car les angles homologues detriangles isométriques sont isométriques.

�� , car les angles alternes-internes ABO et CDOassociés à ces deux droites sont isométriques.

Démonstration de //On procède exactement de la même façon pour démontrerl’isométrie des triangles ADO et CBO et en déduire que lesangles ADO et CBO sont isométriques.

Technomath

a. 1) Les triangles ACB et FED ont deux paires de côtésisométriques, les côtés CB et FE et les côtés AB et DE.

2) Les triangles ACB et GIH ont des angles isométrique :∠ A � ∠ G, ∠ C � ∠ I, ∠ B � ∠ H.

3) Les triangles ACB et LJK ont une paire d’anglesisométriques, ∠ B � ∠ K, et deux paires de côtésisométriques, les côtés AC et LJ et les côtés CB et LK.

b. Non, ces triangles ne sont pas isométriques.

c. 1) Non.2) Non.

d. 1) Construction personnelle.2) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

Les triangles MNO et PQR sont isométriques si leursangles isométriques sont compris entre leurs côtéshomologues isométriques.

Mise au point 5.2

1. Les triangles , et sont isométriques, car ils onttous un angle de 58° compris entre deux côtés de 2 cm.

2. a) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :Δ AFB � Δ DBF par la condition minimale d’isométrieCAC. En effet :1. m � 40 � m ;2. m ∠ AFB � 50° � m ∠ DBF ;3. m � m , puisqu’il s’agit du même segment.BFFB

DBAF

DCA

Page 34

Page 31

BCAD

CDAB

DOBOCOAO

CDAB

BCADCDAB

Ces deux triangles étant isométriques, on peut endéduire que m � m � 34.Δ DEF � Δ DBF par la condition minimale d’isométrieACA. En effet :1. m ∠ DEF � 180° � 70° � 60° � 50° �

m ∠ DBF ;2. m ∠ FDE � 70° � m ∠ FDB ;3. m � 40 � m .Ces deux triangles étant isométriques, on peuten déduire que m � m � 42.Δ AFB � Δ DBC par la condition minimale d’isométrieCCC. En effet :1. m � 40 � m ;2. m � 42 � m ;3. m � 34 � m .En se basant sur la transitivité de l’isométrie, on peutdonc affirmer que les quatre triangles sont isométriques.

b) L’isométrie des triangles démontrée en a) permet dedéterminer les mesures de tous les angles et lessegments de cette figure. Ces mesures manquantes sontindiquées en caractères gras dans la figure ci-dessous.

On en déduit, notamment, que la mesure de l’anglerentrant CDE est de 210°.

c) m ∠ ABC � 160°m ∠ AFE � 170°

d) Le quadrilatère ABDF est un parallélogramme. En effet,�� , car les angles alternes-internes AFB et DBF

sont isométriques ; �� , car les angles alternes-internes ABF et DFB sont isométriques.Les quadrilatères BDEF et BCDF sont des cerfs-volants,car ils ont chacun deux paires de côtés adjacentsisométriques.

3. a) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :Hypothèse : Le quadrilatère ABCD est un rectangle ; tous

ses angles intérieurs sont droits.Conclusion : Δ BAD � Δ DCB

DFABBDAF

60°

50°

50°

70°70°

42

42

42

40

40

40

A

B

C

D

E

F

34 34

34

DCABBCFBDBAF

EFBF

DBDE

ABDF

16


Construction : On trace les droites passant par les côtésdu rectangle.

b) Cette conjecture est fausse.Le contre-exemple ci-contre le démontre.

c) Deux réponses possibles.1. Deux triangles rectangles ayant deux côtés

homologues isométriques sont isométriques.2. Deux triangles rectangles ayant un angle aigu

homologue et un côté homologue isométriques sontisométriques.

4. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Il faut d’abord établir une correspondance entre les deuxtriangles qui associe les côtés isométriques de l’un auxcôtés isométriques de l’autre. Si, selon cettecorrespondance, les deux triangles ont un anglehomologue et un côté homologue isométriques, alorsils sont isométriques.Justification : Connaissant la mesure d’un angle d’untriangle isocèle et sa position par rapport aux deux côtésisométriques, on peut déterminer les mesures des deuxautres angles du triangle. On applique ensuite le casd’isométrie ACA.

b) Il suffit de vérifier que l’un des côtés d’un triangle estisométrique à l’un des côtés de l’autre triangle.Justification : Les trois côtés des triangles équilatérauxsont isométriques ; l’isométrie d’un des côtéshomologues entraîne l’isométrie des autres.

A D

B C


5. a) 1 triangle. b) 4 triangles. c) 3 triangles.d) Une infinité de triangles. e) 4 triangles.

6. a) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :Hypothèse : � et �Ce qu’il faut démontrer :la demi-droite AC est la bissectrice de l’angle BAD.

Les triangles ABC et ADC sont isométriques parla condition minimale d’isométrie CCC. En effet, le côtéAC est commun aux deux triangles, et les deux autrescôtés homologues sont isométriques par hypothèse.Ces triangles étant isométriques, leurs angleshomologues sont également isométriques. Ainsi,∠ BAC � ∠ DAC. La demi-droite AC sépare l’angleBAD en deux angles isométriques. C’est doncla bissectrice de cet angle.

b) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :On reprend la figure initiale en ajoutant un point E sur la bissectrice AC.Puisque les triangles ABC et ADC sont isométriques,les angles extérieurs BCE et CDE qui sont homologues sont isométriques.

Par conséquent, est aussi la bissectrice de l’angleBCD.On a donc :m ∠ BCE � � �m ∠ BAD � 2 � m ∠ BACDe plus, puisque la mesure d’un angle extérieurd’un triangle est égale à la somme des meures des deuxangles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents, on peutaffirmer que m ∠ BCE � m ∠ BAC � m ∠ ABC.En comparant cette dernière égalité avec les égalitésprécédentes, on conclut que m ∠ BAC � m ∠ ABC.Le triangle ABC, étant isoangle, est isocèle. Ce qui faitque m � m .De la même manière, on démontre que m � m .Le point C est donc situé à égale distance des troissommets A, B et D.

ACDCACBC

2 � m ∠ BAD2

m ∠ BCD2

AC

C

B DE

A

C

B D

ACDCBADAB

Page 35

AFFIRMATION

1. �� et��

2. ∠ ABD � ∠ CDB

3. ∠ ADB � ∠ CBD

4. �5. Δ BAD � Δ DCB

DBBD

BCAD

DCAB

JUSTIFICATION

1. Car deux droites perpendiculaires à unetroisième sont parallèles entre elles.

2. Car ce sont des angles alternes-internesrelativement aux droites parallèles ABet DC.

3. Car ce sont des angles alternes-internesrelativement aux droites parallèles ADet BC.

4. Par réflexivité de l’isométrie.

5. Par la condition minimale d’isométrieACA.


7. a) Les triangles ABD et ECB sont isométriques par le casd’isométrie ACA.En effet :1. ∠ ABD � ∠ ECB, par hypothèse ;2. � , par hypothèse ;3. ∠ ADB � ∠ EBC, car ce sont deux angles alternes-

internes relativement aux droites parallèles AD et BCqui passent par les bases du trapèze.

b) Le périmètre du triangle CDE est de 15,2 cm.Démarche : les triangles ABD et ECB étant isométriques,leurs côtés homologues sont isométriques. On a donc :m � m � 5,8m � m � 6,2m � m � 10Périmètre du triangle CDE � m � m � m

� 5,8 � (10 � 6,2) � 5,6� 15,2


8. On ne peut pas conclure que les triangles sont isométriques.En ce qui a trait à l’information que l’on doit ajouter, il y aplusieurs réponses possibles. Exemples :

1. Les deux triangles seront isométriques si la mesuredu segment EB est de 13 cm. En effet, dans ce cas,le segment AE mesurera 12 cm, soit 25 � 13. Puisqueles angles opposés par le sommet AEC et DEB sontisométriques, on peut appliquer la condition minimaled’isométrie CAC.

2. Les deux triangles seront isométriques si la mesure dusegment AE est de 12 cm. Après avoir déterminéla mesure de , on revient à la situation précédente.

3. Les deux triangles seront isométriques si l’angle Dest droit. Dans ce cas, en appliquant la relationde Pythagore au triangle rectangle BDE, on détermineque la mesure de est de 13 cm. On revient àla situation 1.

9. a) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple (preuveen deux colonnes) :Hypothèses : • �

• et sont des médianes.

Conclusion : Δ ABE � Δ ACD

A

D

CB

E

CDBEACAB

EB

EB

A D

C 13 cm

5 cm

B

E

12 cm

Page 36

DCEDCECBBDDABEBACE

CBBD

b. Les côtés homologues des triangles isométriques sontisométriques.

c. Plusieurs démonstrations possibles. Exemple (preuveen deux colonnes) :Hypothèses : • �

• et sont des bissectrices.

Conclusion : �

d. Les segments BF et CG sont isométriques.Plusieurs justifications possibles. Exemple :m � m � m , car le point F est situé surle segment AB.m � m � m , car le point G est situé surle segment AC.

� , par hypothèse.� , car ce sont des côtés homologues

des triangles ABG et ACF, qui sont isométriques(comme on l’a démontré en c).

AGAFACAB

AGACCG

AFABBF

A

F

CB

GCFBG

CFBGACAB

18

AFFIRMATION

1. m � (m ) � 2 et m � (m ) � 2

2. �3. �4. ∠ BAE � ∠ CAD5. Δ ABE � Δ ACD

ADAE

ACAB

ACAE

ABAD

JUSTIFICATION

1. Car et étant des médianesdu triangle ABC, les points E et Dsont situés au milieu dessegments AC et AB.

2. Par hypothèse.


4. Il s’agit du même angle.

5. Par la condition minimaled’isométrie CAC.

CDBE

AFFIRMATION

1. �2. ∠ ABC � ∠ ACB

3. m ∠ ABG � (m ∠ ABC) � 2etm ∠ ACF � (m ∠ ACB) � 2

4. ∠ ABG � ∠ ACF5. ∠ BAG � ∠ CAF6. Δ ABG � Δ ACF

7. � CFBG

ACAB

JUSTIFICATION

1. Par hypothèse.

2. Car les angles opposés à descôtés isométriques dans untriangle sont isométriques.

3. Car et sontdes bissectrices.


5. Car il s’agit du même angle.

6. Par les affirmations 1, 4 et 5,et par la condition minimaled’isométrie ACA.

7. Les côtés homologuesde triangles isométriquessont isométriques.

CFBG


10. Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :À partir du centre O du cercle, on trace deux rayons,OA et OB, puis le segment OC.

Le point A est le seul point de la planche qui touche aucercle ; c’est donc le point de la planche qui est situé leplus près du centre du cercle. Par conséquent, l’angle OACest un angle droit, car le plus court chemin entre un pointet une droite passe par la perpendiculaire à cette droiteissue de ce point.Le même raisonnement s’applique pour l’angle OBC.Les deux triangles OAC et OBC sont donc rectangles.Ces deux triangles rectangles sont isométriques, car ilsont deux côtés homologues isométriques, soit les côtésOA et OB, qui sont des rayons du cercle, et le côté OC estcommun aux deux triangles.On peut donc affirmer que a � b, car les côtés AC et BCsont des côtés homologues de triangles isométriques.


11. a) Par ACA.En effet, les côtés d’unhexagone régulier sontisométriques ainsi queleurs angles extérieurs.On peut donc affirmer,par exemple, que

� , ∠ 1 � ∠ 3et ∠ 2 � ∠ 4.

b) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :Hypothèse : L’hexagone ABCDEF est régulier.On veut démontrerque GHIJKL l’estégalement. Pour cefaire, on doitdémontrer que lescôtés et les anglesintérieurs de cethexagone sontisométriques.La démonstrationsuivante comprendtrois étapes.

A1 2

3 8

94 75

6

B

E D

CF

G

J

H

I

L

K

A 1 23

4

B

C

BCAB

Page 37

A

B

O

Ca

b

1re étape : Les triangles ABG, BCH, CDI, etc.,sont des triangles équilatéraux isométriques.L’isométrie a été démontrée en a). Il suffit donc deprouver que l’un de ces triangles, le triangle ABG, parexemple, est équilatéral.Chacun des angles intérieurs d’un hexagone réguliermesure 120°, soit 4 � 180 � 6.Il s’ensuit que les angles 1 et 2, qui sont des anglesextérieurs de l’hexagone régulier ABCDEF, mesurentchacun 60°.Par conséquent, l’angle 3 mesure également 60°,soit 180 � 2 � 60.Le triangle ABG est donc équilatéral, car il est équiangle.2e étape : Les triangles ALG, BGH, CHI, etc.,sont des triangles isocèles isométriques.Le fait que ces triangles soient isocèles découle dela 1re étape.On peut affirmer qu’ils sont isométriques parla condition minimale CAC.Par exemple, dans le cas des triangles ALG et BGH, on a :m ∠ 4 � m ∠ 7 � 120°, car ce sont des anglesopposés aux angles intérieurs de l’hexagone régulierABCDEF ;

� et � , par la 1re étape .3e étape : Les côtés et les angles intérieursde l’hexagone GHIJKL sont isométriques.Les segments LG, GH, HI, etc., sont isométriques, carce sont des côtés homologues des trianglesisométriques ALG, BGH, CHI, etc.Tous les angles intérieurs de l’hexagone GHIJKL sontisométriques, car ils mesurent tous 120°. On peut lemontrer en calculant, par exemple, la mesure del’angle LGH.Puisque les triangles ALG et BGH sont isocèles,les angles 6 et 8 mesurent 30° chacun, soit(180 � 120) � 2. Par conséquent, on a :m ∠ LGH � m ∠ 6 � m ∠ 3 � m ∠ 8 �30° � 60° � 30° � 120°.

c) 1) 12 cm 2) 6 cm

12. Plusieurs réponses possibles. Exemples :Il faut déplacer un des bâtonnets pour obtenirune des configurations suivantes.1. Déplacer le bâtonnet de façon à obtenir deux

bâtonnets parallèles qui feront que les segmentsmarqués ci-dessous seront isométriques.

�3

BHAGBGAL


2. Disposer le bâtonnet de façon à ce que les angles etles segments marqués ci-dessous soient isométriques.

Remarque : Il est possible d’obtenir chacune desconfigurations en déplaçant d’autres bâtonnets que celuiqui est indiqué dans ces exemples.

13. Plusieurs démonstrations possibles. Exemple (preuveen deux colonnes) :Hypothèses : • ��

• �Conclusion : Le quadrilatère ABCD est

un parallélogramme.Construction : On trace la diagonale AC

A

B

D

C

DCABDCAB


14. Oui, le point F est situé au milieu du segment CD.Plusieurs justifications possibles. Exemple :Puisque le triangle ABE est isocèle avec � ,les angles opposés à ces côtés sont isométriques.On a donc ∠ ABE � ∠ BAE.Ce qui permet d’affirmer que ∠ DAF � ∠ CBF, carm ∠ DAF � � m ∠ DAE � � (90° � m ∠ BAE)

m ∠ CBF � � m ∠ CBE � � (90° � m ∠ ABE).

D’autre part, � , car les côtés opposés d’unrectangle sont isométriques.Les triangles rectangles ADF et BCF sont doncisométriques, car ils ont un angle aigu homologue etun côté homologue isométriques.

� , car ce sont des côtés homologues de trianglesisométriques. Le point F est donc situé au milieu dusegment CD.

15. a) La conclusion de l’une des conjectures est l’hypothèsede l’autre, et vice versa (l’une est la réciproque del’autre).

b) Conjecture de l’élève 1 : CAC (les deux rayons etl’angle au centre ont les mêmes mesures dans chaquetriangle).Conjecture de l’élève 2 : CCC (les deux rayons et lacorde ont les mêmes mesures dans chaque triangle).

c) Les segments AC et BD sont isométriques.Plusieurs justifications possibles. Exemple :Soit le point O, le centre du cercle. On trace les rayonsOA, OB, OC et OD.Puisque � ,la démonstration de laconjecture de l’élève 2,en b) permet d’affirmer queles angles au centre AOB etCOD sont isométriques.

Par conséquent, les angles AOC et BOD sontégalement isométriques, car m ∠ AOC � m ∠ AOB �m ∠ BOC � m ∠ COD � m ∠ BOC � m ∠ BOD.La démonstration de la conjecturede l’élève 1, en b),permet alors d’affirmer que les cordes interceptées parces angles au centre, soit les segments AC et BD,sont isométriques.

A

BD

C

O

CDAB

CFDF

BCAD

12

12

12

12

BEAE

Page 38

20

AFFIRMATION

1. �2. ∠ BAC � ∠ DCA

3. �4. Δ ABC � Δ CDA

5. ∠ ACB � ∠ CAD

6. ��

7. Le quadrilatèreABCD est unparallélogramme.

BCAD

CAAC

DCAB

JUSTIFICATION

1. Par hypothèse.

2. Car ce sont deux angles alternes-internes relativement aux parallèles ABet DC.

3. Il s’agit du même côté.

4. Par la condition minimale d’isométrieCAC.

5. Les angles homologues de trianglesisométriques sont isométriques.

6. La sécante AC forme, avec les droitesAD et BC, deux angles alternes-internesisométriques selon l’affirmation 5, et siune sécante coupe deux droites enformant des angles alternes-internesisométriques, alors ces droites sontparallèles.

7. Car il a deux paires de côtés parallèles.



16. Plusieurs démonstrations possibles.On peut représenter la situationà l’aide de la figure ci-contre,sur la base des hypothèsessuivantes :• les segments DE et EF sont

deux cordes dans un mêmecercle qui sont interceptéespar des angles au centreisométriques ;

• les segments verticaux AF, BE et CD sont isométriques et parallèles.

On veut démontrer que les segments AB et BC sont isométriques.Démonstration1. � , car , dans un cercle, deux angles au centre

isométriques interceptent des cordes isométriques(voir le numéro 15 b)).

2. Les quadrilatères BCDE et ABEF sont desparallélogrammes, car ils ont deux côtés isométriqueset parallèles (voir le numéro 13).

3. � et � , car les côtés opposésd’un parallélogramme sont isométriques.

4. � , par la transitivité de l’isométrie appliquéeaux affirmations 1 et 3.

17. a) Construction 1

Construction 2

b) Construction 1 : Tout point de la médiatriced’un segment est situé à égaledistance des extrémitésdu segment.

Construction 2 : Tout point de la bissectrice d’unangle est situé à égale distance descôtés de l’angle.

A

C

B

P

A

M

B

P

BCAB

DEBCEFAB

EFDE

A

B

D

E

F

C

Page 39 c) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :

Démonstration de la 1re conjectureSoit P, un point quelconque de la médiatrice dusegment AB. Par hypothèse, M est le milieu dusegment AB et la droite MP est perpendiculaire àce segment.Les triangles rectangles AMP et BMP sontisométriques, car ils ont deux côtés homologuesisométriques, soit les côtés AM et BM, et le côté MPest commun aux deux rectangles.

� , car ce sont deux côtés homologuesde triangles isométriques.

Démonstration de la 2e conjectureSoit P, un point quelconque de la bissectrice de l’angleA. Par hypothèse, est perpendiculaire à et est perpendiculaire à . De plus, les angles BAP etCAP sont isométriques.Les triangles rectangles ABP et ACP sont doncisométriques, car ils ont un angle aigu homologueet un côté homologue isométriques.

� , car ce sont deux côtés homologuesde triangles isométriques.

Les trianglessemblables

ProblèmePlusieurs constructions sontpossibles. Exemple : Onpeut poursuivre le travailde Phyllis en construisantun triangle semblable àcelui qui se trouve à labase de l’édifice enconsidérant les mesuresdes trois côtés. Ainsi, untriangle dont les côtésmesurent 10 cm, 20 cm et18,2 cm représente bien letriangle de 33 m, 66 m et60 m de côtés (par unraisonnementproportionnel ).

Sur ce triangle, semblable au triangle à la base de l’édifice,on peut tracer une hauteur qui servira à déterminer ensuitela hauteur réelle du triangle à la base de l’édifice et,par conséquent, son aire.La hauteur de 9,1 cm sur le triangle ci-dessus mesure,en réalité, 30,03 m sur le triangle à la base de l’édifice (parun raisonnement proportionnel ).

10 cm

20 cm 18,2 cm

1 cm

Page 40

5.3section

PCPB

ACPCABPB

PBPA


A triangle à la base de l’édifice �

A triangle à la base de l’édifice �

A triangle à la base de l’édifice � 990,99 m2

Connaissant l’aire de la base de l’édifice, on peut déterminerson volume.V prisme à base triangulaire � Abase � hV prisme à base triangulaire � 990,99 � 87V prisme à base triangulaire � 86 216,13 m

3

Activité 1a. m ∠ AB'C' � m ∠ ABCb. Le rapport d’homothétie doit être égal au rapport suivant :

c. Le cas ACA.d. Oui. Comme les triangles DEF et AB'C' sont isométriques et

que le triangle AB'C' est semblable au triangle ABC, alorsles triangles DEF et ABC sont également semblables.

e. Proposition 1 : Deux triangles dont les côtés homologuesont des mesures proportionnelles sont semblables.

Hypothèse : � �

Conclusion : Δ ABC � Δ DEF

On peut construireun triangle AB'C'semblable autriangle ABC parune homothétiede centre A etde rapport

k � .

On sait que k � � � (par hypothèse),

ce qui permet de trouver :m � k � m � mm � k � m � mm � k � m � m DFACAC'

EFBCBC'DEABAB'

m DF�m AC�

m EF�m BC�

m DE�m AB�

A

B

B'

C' C

D

E

F

m DE�m AB�

A

B

C

D

E

F

m DF�m AC�

m EF�m BC�

m DE�m AB�

m DE�m AB�

Page 41

66 � 30,032

b � h2

Ainsi, les triangles AB'C' et DEF, qui ont des côtéshomologues isométriques, sont isométriques (par CCC).Et comme les triangles AB'C' et DEF sont isométriques etque le triangle AB'C' est semblable au triangle ABC, alorsles triangles DEF et ABC sont également semblables.

Proposition 2 : Deux triangles qui ont un angleisométrique compris entre des côtés homologues delongueurs proportionnelles sont semblables.

Hypothèses : • �

• ∠ A � ∠ DConclusion : Δ ABC � Δ DEF

On peut construireun triangle AB'C'semblable autriangle ABC parune homothétiede centre A etde rapport

k �

On sait que k � � (par hypothèse),

ce qui permet de trouver :m � k � m � mm � k � m � mAinsi, les triangles AB'C' et DEF, qui ont des angleshomologues isométriques compris entre des côtéshomologues isométriques, sont isométriques (par CAC).Et comme les triangles AB'C' et DEF sont isométriques etque le triangle AB'C' est semblable au triangle ABC, alorsles triangles DEF et ABC sont également semblables.

Activité 2a. Plusieurs réponses possibles, selon les conjectures des

élèves.Exemples :Objet : Les triangles AED et CEB paraissent semblables.Les côtés AD et BC sont homologues, les côtés DE et BEégalement, ainsi que les côtés AE et CE. Les sommets A etC sont homologues, de même que les sommets B et D.Le sommet E est commun aux deux triangles.

1

Page 42

DFACAC'DEABAB'

m DF�m AC�

m DE�m AB�

A

B

B'

C' C

D

E

F

m DE�m AB�

A

B

C

D

E

F

m DF�m AC�

m DE�m AB�

22


Objet : Les triangles CDA et BCA paraissentsemblables. Les côtés AC et AB sont homologues, les côtésCD et BC également, ainsi que les côtés AD et AC. Lessommets C et D sont homologues, de même que lessommets B et C. Le sommet A est commun aux deuxtriangles.Objet : Les triangles BAE et EDC paraissent semblables.Les côtés BA et ED sont homologues, les côtés EA et CDégalement, ainsi que les côtés EB et CE. Les sommets A etD sont homologues, tout comme les sommets B et E etles sommets E et C.

b. Objet : Δ AED � Δ CEB par le cas CAC. En effet,∠ AED � ∠ CEB (angles opposés par le sommet),

� � (côtés homologues de longueurs

proportionnelles).Objet : Δ CDA � Δ BCA par le cas AA. En effet,∠ CAD � ∠ BAC (angle commun aux deux triangles)et ∠ CDA � ∠ BCA (ces deux angles mesurent 95°,soit 180° – 85° et 40° � 55°).Objet : Δ BAE � Δ EDC � Δ CEB par le cas CCC.En effet, les côtés homologues de ces triangles sontde longueurs proportionnelles,

� � � et

� � � .

c. Objet : � �

x � 60 cm y � 35,7 cmz � 78,5 – 35,7 � 42,8 cm

�

Objet : �

m � 1,241 md. Comme on l’a démontré à la question c, Δ EDC � Δ CEB

par le cas CCC. Les angles homologues de ces trianglessont alors isométriques. Ainsi, ∠ BCE � ∠ CED. La sécanteCE coupe donc les droites AD et BC tout en formant desangles alternes-internes isométriques, ce qui démontre queces deux droites sont parallèles.

Technomath

a. 1) Les triangles ACB et FDE ont trois paires d’anglesisométriques.

2) Les triangles ACB et GIH n’ont aucun angle isométrique.3) Les triangles ACB et LJK ont une paire d’angles

isométriques : ∠ B � ∠ L.

Page 43

CD

2,42,9

m CD�1,5

2

m CA�m BA�

m CD�m BC�

43,652,3

y78,5 � y

43,652,3

50x

1

45

m EC�m CB�

m CD�m BE�

m ED�m CE�

34

m BE�m EC�

m EA�m CD�

m BA�m ED�

3

2

43,652,3

m DE�m BE�

m AE�m CE�

1

3

2 b. 1) En effet, tous ces rapports valent 2.2) Ces deux rapports valent 1,5.3) Ces deux rapports valent 2.

c. 1) Oui, les triangles ABC et FED sont semblables.

d. 1) Non.2) Non.

e. 1) Constructions personnelles.2) À la condition que l’angle isométrique des deux

triangles soit compris entre des côtés homologues delongueurs proportionnelles.

Mise au point 5.3

1. a) Δ ACB � Δ AED par le cas AA (∠ ACB � ∠ AED et∠ CAB � ∠ EAD).

b) Δ CAB � Δ EAD par le cas AA (∠ CBA � ∠ EDA et∠ CAB � ∠ EAD).

c) Δ ADC � Δ BAC par le cas CCC

� � � � .d) Δ CBA � Δ CAD par le cas CAC

�∠ BCA � ∠ ACD et � � .2. a) Δ ABC � Δ DAC par le cas CCC

� � � � .Ainsi, l’aire du triangle DAC est le quart de celle dutriangle ABC, soit environ 12 cm2, car le rapport desaires est k 2. Le quadrilatère ABCD a donc une aired’environ 60 cm2, soit 48 cm2 � 12 cm2.

b) Plusieurs réponses possibles, selon le triangle construit.Exemple :Si le triangle BCE, semblable au triangle ABC, ades côtés de 18 cm, de 24 cm et de 36 cm

� � � � , l’aire du triangle BCE sera d’environ 192 cm2, soit 4 � 48 cm2. Ainsi, l’airedu pentagone ABCDE est environ de 252 cm2, soit192 cm2 � 48 cm2 � 12 cm2.

3. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Ces deux triangles ont déjà des angleshomologues isométriques, formés parl’angle A ci-contre, qui est commun auxdeux triangles. Pour que les deuxtriangles soient semblables, il suffit quedeux autres angles homologues soientisométriques. Les deux triangles serontalors semblables par le cas de similitudeAA.

A

BE

CD

21

m CE�m CB�

m BE�m AB�

m BC�m AC�

21

m BC�m AC�

m AC�m DC�

m AB�m DA�

12

m CA�m CD�

m CB�m CA�

21

m AC�m BC�

m DC�m AC�

m AD�m BA�

Page 46



4. a) Constructions personnelles.b) Réponses personnelles. Exemple : Les triangles formés

paraissent semblables.c) Soit la figure ci-contre :

Hypothèse : ��Conclusion : Δ ABC � Δ DBE

5. Pour calculer le périmètre du quadrilatère BCDE, on doitdéterminer les mesures des côtés ED, BE et DC.Tout d’abord, on peut démontrer que Δ ABC � Δ AED (par

le cas CAC, car ∠ BAC � ∠ EAD et � � .

Les points E et D étant les points milieux des côtés AB et AC).Les triangles ABC et AED étant semblables, on peutdéterminer la mesure du côté ED du quadrilatère.

�

m � 13,5 cmLe périmètre du quadrilatère BCDE est donc de 61,3 cm,car 27 � 8 � 13,5 � 12,8 � 61,3.

6. La designer a tort.Pour que les deuxtriangles soientsemblables, il faudraitque leurs côtéshomologues soient delongueursproportionnelles.Autrement dit, onaurait l’équivalencesuivante :

�

x � 0

Ainsi, c’est lorsque x vaut 0 que les deux triangles sontsemblables, c’est-à-dire lorsque coïncide avecla diagonale AC du rectangle.

HG

A

B

D

E

H

G

50 � x

x

x40 � x

F C2020

25

25

2550 � x

2040 � x

ED

12

m ED�27

12

m AD�m AC�

m AE�m AB�

A

B

E C

DACDE

Page 47 7. Les deux triangles ainsi formés sont semblables par le casAA (ils ont chacun un angle droit et ils ont un anglecommun).

La partie verticale hors de l’eau de la nouvelle rampemesure alors 1,76 m.

�

x � 1,76La zone de glisse mesure donc 6,64 m (par la relationde Pythagore).


8. a) Conjecture : Le support ED est parallèle au côté BC dela charpente.

Hypothèses : • Le point E est le point milieu de .• Le point D est le point milieu de .

Conclusion : ��Les triangles AED et ABC sont semblables par le cas desimilitude des triangles CAC. En effet, les angles BAC etEAD sont isométriques et compris entre des côtés de

longueurs proportionnelles � � � .Ces triangles étant semblables, leurs angles homologuessont isométriques. Ainsi, ∠ AED � ∠ ABC et∠ ADE � ∠ ACB. Ces paires d’angles sont des anglescorrespondants, formés des sécantes AB et AC quicoupent les droites ED et BC. Comme ces anglescorrespondants sont isométriques, les droites ED et BCsont parallèles.

b) Conjecture : Le support ED mesure la moitié du côté BCde la charpente.Hypothèses : • Le point E est le point milieu de .

• Le point D est le point milieu de .

Conclusion : m �

Les triangles AED et ABC sont semblables par le casde similitude des triangles CAC, démontré en a).

m BC�2ED

ACAB

12

m AD�m AC�

m AE�m AB�

BCEDACAB

A

B C

DE

Page 48

x1,84

6,406,70

1,84 m

6,40 m

6,70 m

??

24

AFFIRMATION

1. ��2. ∠ BDE � ∠ BAC

3. ∠ ABC � ∠ DBE

4. Δ ABC � Δ DBE

ACDE

JUSTIFICATION

1. Par hypothèse.

2. Car les ∠ BDE et ∠ BAC sont desangles correspondants et que �� .

3. ∠ B est un angle commun aux deuxtriangles.

4. Par le cas de similitude des triangles AA.

ACDE


Comme des triangles semblables ont des côtésde longueurs proportionnelles, on peut dire que :

� � � ,

d’où �

m � � m

9. On peut supposer que les quatre triangles ainsi obtenussont semblables au triangle ABC.En effet, par le cas de similitude CAC, on peut démontrerque les triangles AED, BEF et CDF sont semblables autriangle ABC, ils ont tous un angle commun avec le triangleABC compris entre des côtés homologues de longueursproportionnelles. De ces triangles semblables, on peutdéduire que les côtés ED, DF et EF mesurent alorsrespectivement la moitié des côtés BC, AB et AC, toutcomme les autres côtés homologues de ces trianglessemblables.Par conséquent, le triangle formé des côtés ED, DF et EFest aussi semblable au triangle ABC par le cas de similitudeCCC.

10. a) Vcône �

�

� 15π� 47,124 m3

b) Les triangles rectangles ayantpour cathètes les hauteurs etles rayons du petit cône et dugrand cône sont semblablespar le cas de similitude destriangles AA. En effet, ils ontun angle commun et chacun aun angle droit. Les côtéshomologues de ces trianglessont ainsi de longueursproportionnelles.

Autrement dit, � � � car,

par hypothèse, m � � m .

Le rapport de similitude étant , le volume de grainsqui reste dans le silo sera 27 fois plus petit que lapartie conique du silo (car, dans des solidessemblables, le rapport entre les volumes est égal aucube du rapport de similitude).La quantité de grains qui reste est donc de 1,745 m3,soit 47,124 ÷ 27.

13

CB13CD

13

m DE�m BA�

m CE�m CA�

m CD�m CB�

AB

D E

C

5 m

3 m

m53

π � 32 � 53

Abase � h3

BC12ED

12

m ED�m BC�

12

m ED�m BC�

m AD�m AC�

m AE�m AB�


11. Les triangles ABC et DEF sont semblables par le cas desimilitude des triangles AA. En effet, les angles DEF etABC sont isométriques, ainsi que les angles DFE et ACB.Comme les droites d1, d2et d3 sont parallèles aux côtés AB, BC et AC du triangle ABC (par hypothèse), les angles ci-contre sont isométriques, car il s’agit d’angles correspondantsformés par une sécante qui coupe des droites parallèles.

12. Les triangles ABE et CDE sont semblables par le casde similitude des triangles CAC. En effet, les anglesopposés par le sommet CED et BEA sont isométriqueset compris entre des côtés homologues de longueurs

proportionnelles � � � 0,58.On calcule la mesure du tronçon de route représenté parle segment CD de la façon suivante :

� 0,58

m � 0,58 � 240m � 139,2 m

13. a) Plusieurs conjectures possibles. Exemple :Le quadrilatère EFGH qu’on a obtenu estun parallélogramme.

b) Hypothèse : Les points E, F, G et H sont les points milieux de leur côté respectif.

Conclusion : Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.

Construction :On trace la diagonale AC du quadrilatère ABCD.

A

B

F

G

H

E

D

C

CDCD

m CD�m AB�

m DE�m AE�

m CE�m BE�

d1

d2

Documents

5 Le raisonnement BE CE géométrique · 2014. 6. 24. · B E H C K EH BC BE CE Exemple de production attendue Supriya a raison. Il est possible de déterminer la mesure de chaque