6 Effort Tranchant

Dr. Ir. P. Boeraeve

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Chapitre 6. Effort tranchant(source : Calcrete : the Concrete Centre)

6.1 Ruptures par effort tranchantNous avons vu jusqu prsent le comportement du bton en flexion pure. En pratique, les lments en bton arm doivent rsister, en plus de la flexion, dautres sollicitations comme leffort tranchant.

6.1.1 PoutreLa figure suivante montre une rupture de poutre par effort tranchant prs de lappui :

6.1.2 DalleDes efforts concentrs, comme prs des colonnes, peuvent provoquer une rupture de la dalle par poinonnement :

6.2 Effet des armatures deffort tranchant (triers) sur le type de ruineLa figure suivante montre deux poutres isostatiques semblables mais dont la premire ne comporte pas darmatures deffort tranchant. Ces deux poutres ont t soumises un chargement identique constitu de deux charges concentres aux 1/3 et 2/3 de la porte. On a remarqu, pendant lessai, que la premire poutre sest ruine prmaturment par fissuration diagonale et dcollement du bton situ au-dessus de larmature de flexion.

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Dans la deuxime poutre, on a install des armatures deffort tranchant (triers)et des armatures de construction en partie suprieure. On a constat que cette poutre sest bien ruine en flexion mi-porte comme prvu.

6.3 Rsistance du bton arm au cisaillement sans armatures d'effort tranchant (triers).6.3.1 IntroductionAvant d'envisager un calcul d'armatures deffort tranchant, il importe de dterminer l'effort tranchant que le bton est susceptible de supporter seul. En effet, pour un niveau de contraintes particulirement faible, ce qui est souvent le cas dans les dalles qui ont une "largeur d'me" importante , les expriences ont montr que le bton tait capable de reprendre sans armature spciale une certaine quantit d'effort tranchant.

6.3.2 Lecture : DOC5 (Source : Calcrete, The Concrete Centre)


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reinforcement ratio

reinforcement ratio

6.3.3 Rsistance dune section de bton arm sans armatures deffort tranchantOn retrouvera, dans les formules reprises dans le MC au 13.3.2, les 3 facteurs prcits.

6.4 Rsistance du bton arm au cisaillement avec armatures d'effort tranchant (triers).6.4.1 Analogie de MrschLorsque VEd > VRd,c, des armatures transversales deviennent ncessaires pour assurer la reprise des efforts de traction dus l'effort tranchant. Pour tablir les quations d'quilibre, on se base sur l'analogie de Mrsch qui consiste comparer le fonctionnement d'une poutre en bton arm celui d'une poutre fictive en treillis.


Dr. Ir. P. BoeraeveqBielle de compression

Cours de Bton ArmCompression de flexion

6-4Q Q Q

Q/2Etrier

Armature longitudinale

Poutre en Bton arm

Treillis quivalent

La membrure suprieure de la poutre fictive correspond la zone de compression dans le bton tandis que la membrure infrieure correspond l'armature tendue. Les diagonales comprimes du treillis correspondent aux "bielles" de compression dans l'me de la poutre en bton et les diagonales tendues correspondent aux armatures deffort tranchant, appeles triers . Cette modlisation partir d'un treillis simple isostatique est scuritaire pour l'valuation de la rsistance des lments de structure car elle se fonde sur le thorme statique de la thorie de la plasticit: "L'existence d'une distribution interne imaginaire de forces en quilibre avec les forces extrieures donne la certitude que la pice considre est capable de supporter des forces suprieures, ou au minimum gales aux forces extrieures considres." Partant de ce thorme, il n'existe pas un treillis unique auquel on doit se rfrer mais bien une infinit de modles dpendant de la dimension des diagonales de bton et d'acier, de leur inclinaison, de leur degr d'encastrement ... L'analogie de Mrsch se complte notamment par un modle de treillis en N dont la correspondance de disposition verticale des triers dans une poutre en bton est plus conventionnelle et tout aussi acceptable pour reprendre l'effort tranchant au vu du thorme statique.

Etriers inclins

Treillis en V quivalent

Treillis en N quivalent

Etriers droits

6.4.2 Utilisation de l'analogieLa norme propose la mthode dite des "bielles d'inclinaison variable" : elle est base sur le modle simplifi du treillis, mais, s'inspirant de constatations exprimentales, permet de faire varier l'angle de la bielle comprime dans des limites fixes entre 0,5 < cot < 2. Ce qui correspond des angles de 63 > > 27. Linclinaison des triers peut aussi varier entre 45 90 La norme n'autorise pas de prendre en compte, dans cette approche la composante VRd,c (qui est implicitement exploite par la variation possible de l'angle de la "bielle " de bton). Une limitation du pourcentage mcanique d'trier est galement ajoute. Sauf cas particulier, le bras de levier "z" entre les membrures peut tre pris, par simplification, gal 90% de la hauteur utile, soit: z = 0,9.d. La modlisation de la poutre relle en bton par un treillis, ne va pas sans poser quelques problmes de reprsentation. Ainsi, l'effort externe rparti sur la longueur de la poutre doit tre remplac, dans le treillis, par des charges nodales Q appliques aux nuds. En choisissant de charger les nuds de la membrure infrieure du treillis, on amplifie lgrement z l'effet de traction dans les diagonales tendues. Cette hypothse est plus scuritaire que celle qui consiste charger les nuds suprieurs. QDernire impression le 10/03/2008 16:11:00

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6.4.3 Equilibre des forcesLes formules de dimensionnement ou de contrle sont bases sur l'quilibre des efforts dans l'me. Nous tablirons ces formules dans le cas gnral dangles (inclinaison de la bielle de bton) et (inclinaison de ltrier) quelconques. 6.4.3.1 Vrification de la compression dans la bielle comprime Soit le treillis de la figure suivante, dans lequel nous ralisons une coupe mi-distance des nuds de la membrure infrieure.

z.(cot + cot ).sin A

z

z 0,9. d 45 90

B Q

z cot

z cot

C Q

26.56 63.43

FSc

C

MEd

FScw VEd FSt

C Lquilibre vertical nous donne leffort de compression dans la bielle de bton comprime :FScw = VEd sin

Cet effort de compression doit tre repris par la bielle de bton incline de . Cette bielle a comme dimensions transversales une largeur bw et une hauteur = z.(cot + cot ).sin (voir figure prcdente). La rsistance de calcul de la bielle comprime vaut alors: FRcw = bw .z.(cot + cot ).sin 1. f cd . On notera qu'un coefficient rducteur 1 corrige la rsistance du bton. Il rend compte d'une nette perte de la capacit de rsistance de l'me qui est fissure.Dernire impression le 10/03/2008 16:11:00

Dr. Ir. P. Boeraeve LEurocode propose : 1 = 0, 6.(1

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f ck ). 250

En exprimant que, pour ne pas avoir de rupture de la bielle, il faut toujours avoir FScw FRcw, on obtient: VEd bw .z.(cot + cot ).sin 1. f cd . sin d'o VEd < VRd,max exprimant la capacit de rsistance de la bielle comprime de bton. avec VRd ,max = bw .z. 1. f cd .(cot + cot ).sin 2

6.4.3.2 Vrification de la traction dans les triersFaisons prsent une coupe dans le treillis en veillant couper un trier. Lquilibre vertical nous donne leffort de traction dans ltrier : FSsw = VEd sin

FSc

D FSsw

MSd

VEd FSt

D

Si Asw reprsente la section coupe dans ltrier (c--d, si ltrier est de forme rectangulaire, la section de 2 brins) et que les triers sont carts d'un "pas" ou entredistance de "s" , la section rsistante par panneau, A .z.(cot + cot ) soit sur une longueur gale z.(cot + cot ) vaut: sw s La rsistance de calcul de la bielle tendue(trier) vaut donc, si fywd est sa limite lastique de calcul: Asw .z. f ywd .(cot + cot ) FRsw = s Asw .z. f ywd .(cot + cot ) V En exprimant que FSsw FRsw, on obtient: Ed sin s d'o

VEd VRd , s exprimant la capacit de rsistance de l'trier.avec VRd , s =

Asw .z. f ywd .(cot + cot ).sin s


Dr. Ir. P. Boeraeve Cours de Bton Arm 6-7 Pour assurer une rupture ductile (rupture des triers avant rupture des bielles de compression), lEC2 impose de ne pas dpasser un taux maximal darmatures deffort tranchant: Asw Asw, Max f = bw . 1. cd s s 2 f ywd

6.4.3.3 RsumEn rsum, il faut respecter deux conditions : 1. la premire condition veille viter la rupture de la bielle de bton en compression VEd bw .z. 1. f cd .(cot + cot ).sin 2 2. la seconde veille viter la rupture par plastification de ltrier : Asw .z. f ywd .(cot + cot ) VEd sin s En pratique, on dispose gnralement les triers verticalement, donc =90, et par consquent, les deux quations deviennent : cos sin 2 et VEd bw .z. 1. f cd .cot .sin 2 = bw .z. 1. f cd . .sin 2 = bw .z. 1. f cd . sin 2 Asw .z. f yd .cot VEd s

6.4.3.4 Calcul conomique des triers (mthode des bielles d'inclinaison variables) La solution la plus conomique est celle pour laquelle cot est maximale tout en respectant VEd VRd,max (rupture de la bielle de bton). Il faut que la solution vrifie que : VEd VRd,s (rupture des triers) et VEd VRd,max (rupture de la bielle de bton). 2.VEd 1 f On calcule d'abord = arcsin( ) avec 1 = 0, 6.(1 ck ) (fck en MPa) 2 bw .z. 1 f cd 250La valeur de retenue doit vrifier 26,56< < 63,43 (Document d'Application National Belge de l'EC2 : 0.5 < cot < 2) On se fixe ensuite Asw (on se limite en gnral des triers constitus de 8 ou 10) et le pas s des triers se dduit par : Asw .z. f ywd .cot s= VEd

6.4.4 Dispositions constructives des triers (voir MC 13.3.4) 6.4.5 Consquences du fonctionnement en treillisLe fonctionnement en treillis de la poutre a deux consquences : Leffort dans la membrure infrieure (c..d. les armatures principales) augmente La bielle dabout, demande une vrification des efforts concentrs sur appui

6.4.5.1 Effet de leffort tranchant sur leffort dans les armaturesReprenons la figure du 6.4.3.1. Ecrivons lquilibre moment par rapport A M V z FSt .z = M Ed VEd . .(cot cot ) d'o FSt = ( Ed + Ed .(cot cot )) 2 z 2Dernire impression le 10/03/2008 16:11:00

Dr. Ir. P. Boeraeve Cours de Bton Arm 6-8 On constate donc que, par rapport leffort d au moment seul, leffort dans larmature est augment de V la quantit Ed .(cot cot ) . 2

On peut montrer que cela quivaut dcaler vers lextrieur le diagramme des moments dune distance constante gale :M1

M1 M2 x M2 M3 M3

z x = al = (cot cot ) 2

Lorsquon ne garde pas la mme section darmatures sur toute la longueur dune poutre, ou dune dalle, il faudra tenir compte de ce diagramme dcal pour dterminer les endroits o ces armatures peuvent sarrter.

6.4.5.2 Vrifications au droit des appuis dextrmitAu droit dun appui dextrmit, il y a un quilibre de 3 forces : La force de compression dans la bielle : Fcd2, La force de traction dans larmature infrieure : Ftd La raction venant de lappui : Fcd1. Ces trois forces ne doivent pas crer des contraintes excessives dans le bton, ni dans lacier des armatures, il faut donc vrifier : la contrainte de compression sur appui (Rd,1). la contrainte de compression dans la bielle d'about (Rd,2) que les armatures sont suffisantes pour transmettre Ftd. Les armatures longitudinales infrieures doivent quilibrer l'effort tranchant VED et tre ancres au-del du bord de l'appui. V Ftd = ED tan VED ,appui F La section de ces armatures doit tre au moins gale : Asmin = td = , appui f yd f yd .tan De plus, (EC2 6.5.4)on doit vrifier que, dans le bton, ni la contrainte de compression de la bielle de compression ni la contrainte de compression sur lappui ne dpasse pas la valeur limite : max(Rd,1,Rd,2) 0.85 fcd avec = 1 - fck /250 (fck en MPa)


Dr. Ir. P. Boeraeve Cours de Bton Arm 6-9 Si la contrainte dans la bielle dabout tait trop importante, il faudrait largir la bielle, soit en largissant lappui, soit en plaant des armatures supplmentaires, en forme dpingles, comme indiqu dans les deux figures suivantes :


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