Cours de béton armé8 : Comportement du béton en

cisaillement (avec étriers)

Dr Ir P. Boeraeve - Unité 9 Construction - 2007

BAC3 - HEMES -Gramme

Effort tranchant

Etat fissuré réel

Treillis équivalent deMörsch

� Poutre fictive en treillis

Treillis équivalent

Q/2 QQ Q

Poutre en Béton armé

Bielle en compression

Etrier en traction

Membrure inférieure tendue

Membrure supérieure compriméeq

Théorème statique

� "L'existence d'une distribution interne imaginaire de forces en équilibre avec les forces extérieures donne la certitude que la pièce considérée est capable de supporter des forces supérieures, ou au minimum égales aux forces extérieures considérées."

Analogie de Mörsch

Etriers inclinés

Treillis en V équivalent

Treillis en N équivalent

Etriers droits

Bielles d’inclinaison variable

z ≈ 0,9. d

26.56°≤ θ ≤ 63.43°45° ≤ α ≤ 90°

z cotg α

αθz cotg θ

z

A

B C

z.(cotg θ + cotg α).sin θ

Q Q

Equivalence des efforts verticaux : coupe CC’

sinEd

Scw

VF

ϑ=

αθ

FScw

MEd

VEd

FSc

FSt

C’

C

Effort de compression dans la bielle de béton :

�

………

Rupture de la bielle comprimée

1. .(cot cot ).sin . .Rcw w cdF b z fϑ α ϑν= +

1 0,6.(1 )250

ckfν = −

Capacité de résistance de la bielle :

(Coeff. Réducteur dû à la fissuration transversale)

1. .(cot cot ).sin . .sin

Edw cd

Vb z fϑ α ϑν

ϑ≤ +FScw ≤ FRcw ⇒

2,max 1. . . .(cot cot ).sinEd Rd w cdV V b z fν ϑ α ϑ≤ = +

z cotg α

αθz cotg θ

z

z.(cotg θ + cotg α).sin θ

Effort tranchant qui provoque une rupture des bielles compriméesz ≈ 0,9. d

Equivalence des efforts verticaux : coupe DD’

sinEd

Ssw

VF

α=Effort de traction dans l’ étrier :

αθ

FSsw

MSd

VEd

FSc

FSt D’

D

Cet effort de traction ne doit pas entraîner la plastification de l’étrier (Aw: section totale de l’étrier)

.Ssw w ydF A f≤

………

Traction dans les étriers

αθ

z

s

q(x)

z cotg αz cotg θ

Capacité de résistance des étriers de section A sw répartis

sur z(cot θθθθ + cot αααα) :

. . .(cot cot )sw ydRsw

A z fF

s

ϑ α+=

1 étrier théorique tous les z(cotθ + cotα) doit reprendre FSsw

Or, en pratique, les étriers, chacun de section Asw, sont distants de « s »

En pratique, on peut prendre

z ≈ 0,9. d

Traction dans les étriers

αθ

z

s

q(x)

z cotg αz cotg θ

Capacité de résistance des étriers de section A sw répartis

sur z(cot θθθθ + cot αααα) :

. . .(cot cot )sw ydRsw

A z fF

s

ϑ α+=

FSsw ≤ FRsw ⇒. . .(cot cot )

sinsw ydEd

A z fV

s

ϑ αα

+≤

En résumé : 2 conditions à respecter

αθ

z

s

q(x)

z cotg αz cotg θ

. . .(cot cot )sinsw ywd

Ed

A z fV

s

ϑ αα

+≤

21. . . .(cot cot ).sinEd w cdV b z fν ϑ α ϑ≤ +

z ≈ 0,9. d

(1)

(2)

2 conditions à respecter (α=90°)

. . .cotsw ydEd

A z fV

s

ϑ≤

21. . . .cot .sinEd w cdV b z fν ϑ ϑ≤

En pratique, αααα est pris égal à 90°, donc :

…………………………….

………………………..

(1)

(2)

Exercice 1

. . .cotsw ydEd

A z fV

s

ϑ≤

21. . . .cot .sinEd w cdV b z fν ϑ ϑ≤

Sans regarder les dias qui précèdent, quelle est la condition qui, si elle est respectée, évite une rupture de la bielle de béton comprimée?

(1)

(2)

�

Exercice 2

. . .cotsw ydEd

A z fV

s

ϑ≤

21. . . .cot .sinEd w cdV b z fν ϑ ϑ≤

L’EC2 impose une valeur de cot θ comprise entre 0.5 et 2 (26.56°≤ θ ≤63.43°).Quelle est la valeur de θ conduisant àune densité d’étriers (Asw/s) minimale?

(1)

(2)

�

Exercice 2 : conclusion

La solution la plus économique, pour les étriers, sera celle correspondant à un angle θ :

�

�le plus petit�le plus grand

Exercice 3

2,max 1

1

1

. . . .cot .sin

. . . .cos .sin

sin 2. . . .

2

RD w cd

w cd

w cd

V b z f

b z f

b z f

ν ϑ ϑν ϑ ϑ

ϑν

==

=

Commen évolue, en fonction de θ (si 27°≤ θ ≤ 45°), VRD,max, l’effort tranchant provoquant une rupture par excès de compression dans les bielles comprimées?

�

VRD,max …. quand θ …

…………………………….

…………………………….

……………………

Dimensionnement économique des étriers

Dimensionnement économique des étriers

� On calcule d'abord

� Il faut choisir θ tel que : 26,56°< θ < 63,43°� On calcule ensuite la section Asw et le pas

« s » des étriers par :

1

2.1 = arcsin( )

2 . . Ed

w cd

V

b z fθ

ν 1 0,6.(1 )250

ckfν = −

. .cotsw Ed

ywd

A V

s z f θ=

Exemple

� Calculer les armatures d’effort tranchant (C25/30)

Armatures minimales de cisaillement

�ρw : taux d’armatures d’effort tranchant

�Asw : aire de la section des armatures d’effort tranchant régnant sur la longueur s

�s : espacement des armatures d’effort tranchant, mesuré le long de l'axe longitudinal de l’élément

�bw : largeur de l’âme de l’élément

(fck et fyk en MPa),min = 0,08 .

cksww w

w yk

fA

s b fρ ρ= >

Répartition des étriers

Armatures cisaillement : dispositions constructives (EC2)

• L'espacement longitudinal s maximal entre les cours d’armatures d’effort tranchant ne peut être supérieur à sl,max= 0,75d

• L'espacement transversal des brins verticaux dans une série de cadres, étriers ou épingles d’effort tranchant ne peut être supérieur à st,max = 0,75d ≤600 mm.

Armatures cisaillement : dispositions constructives (EC2)

�Si st >st,max ajouter étriers ou épingles

Conséquences du fonctionnement en treillis

� Effort dans la membrure inférieure (=armatures de flexion) augmente

� Bielle d’about : vérification sur appui des efforts concentrés

Poutre en Béton armé

Bielle en compression

Etrier en traction

Membrure inférieure tendue

Membrure supérieure compriméeq

Traction dans les armatures : Ftd

AA

α

MEd

VEd

C’

C

Q

FSc

FScw

al

θ

Ftd

. .td Ed Ed lF z M V a= +

A

Supplément dû à l ’effort tranchantTraction due à la flexion

.Ed Ed Ed Edtd l

M V M MF a

z z z

+ ∆= + =

Traction dans les armatures : Fst

z/2. (cotgθ + cotgα)

αθ

αθ

A

FScw

C

A

B C

MEd

VEd

FSc

Ftd

z

z/2. (cotgθ + cotgα)QQ

Q Qal = z/2. (cotgθ - cotgα)

B

Coupe à mi-longueur de maille

Traction dans l’armature longitudinale

.Ed Ed Ed Edtd l

M V M MF a

z z z

+ ∆= + =

.Ed Ed lM V a∆ =

x

M

dx

dMV

∆∆==Or

Avec

(cot cot )2l

zx a ϑ α∆ = = −D’où

Règle de décalage de l ’enveloppe des moments

x

M1

M2

M3

∆M1

∆M2

∆M3

ν

ν

ν

Variable

constante

EC2

Effet à l’appui

z

R

q.z.cotg θ Q = qw

L

w = z.(cotg θ + cotg α)

q.z.cotg θ

R E

Equilibre nœud E

FScw

Ftd

θθ α

. .cot

sin sinScw

R q z RF

θθ θ

−= ≃

tantd

RF

θ=

q

Règle du décalage

Ftd

al

L

EdM

z

� Poutre sur 2 appuis (effort dans l’armature)

Règle du décalage

� Poutre sur 3 appuis (effort dans l’armature)

Ftd

al

LL L

EdM

z

Vérifications à effectuer au droit de l'appui

θ

Longueur d’ancrage

2 1.sin 2.( ).cosa a h dθ θ= + −

� la section des armatures inférieures

� la contrainte de compression sur appui σσσσRd,1

� la contrainte de compression dans la bielle d'about σσσσRd,2

Vérifications à effectuer au droit de l'appui

θ

� la section des armatures inférieures

,min, . tan

ED appuitds appui

yd yd

VFA

f f θ= =

Vérifications à effectuer au droit de l'appui� la section des

armatures inférieures

� la contrainte de compression sur appui σσσσRd,1

� la contrainte de compression dans la bielle d'about σσσσRd,2

θ

max(σRd,1,σRd,2) ≤ 0.85 ν ν ν ν ’ fcdavec

ν ν ν ν ’ = 1 - fck /250 (fck en MPa)

Si largeur appui insuffisante…

Si largeur appui insuffisante…

Exemple

� Vérifier la poutre aux appuis (C25/30)