43 7 2 次元の微分方程式（Lotka-Volterra の競争モデル）次のような連立の微分方程式を考えよう。 dx(t) dt = f (x(t),y(t)), (7.1a) dy(t) dt = g(x(t),y(t)). (7.1b) 以前説明したように、(7.1) のような複数の微分方程式からなる系を連立微分方程式という。特に 2 つの微分方程式からなる系を 2 次元の微分方程式という。(7.1) において、x(t),y(t) が未知関数であり、複数の未知関数があることが特徴である。ここで f,g はそれぞれ R 2 → R の連続関数としておく。以後のために、ベクトル表記もしておこう。(7.1) はベクトル値関数 x(t)=(x(t),y(t)) と R 2 から R 2 への関数 f (x) := f (x) g(x) を用いると次のように表される。 (7.2) dx(t) dt = f (x(t)). (7.2) に対して、平衡点を定義しておく。平衡点は定常解とも呼ばれ時間と共に変化しない微分方程式の特別な解を表している。定義 7.1. 2 次元の微分方程式 (7.2) において、 (7.3) f (x * )= 0 を満たす点 x * ∈ R 2 を (7.2) の平衡点という。 x * は 2 次元のベクトルである。x * =(x * ,y * ) とおくと (7.3) は f (x * ,y * )=0, g(x * ,y * )=0 を表している。

7 2 次元の微分方程式（Lotka-Volterra の競争モデル）ynakata/class/2020/DEIII/DEIII6.pdfLotka-Volterra の競争モデル(7.4) のxy 平面におけるベクトル場（左：α

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x(t) = (x(t), y(t))
!
(7.2) 7.1. 2 (7.2) (7.3) f(x!) = 0
x! " R2 (7.2) x! 2x! = (x!, y!) (7.3)
f(x!, y!) = 0,
g(x!, y!) = 0
dy(t)
dt = ry (t) (1# x(t)# "y(t))(7.4b)
r 2r > 0 !, " ! > 0, " > 0
2 dx(t)
dt = 0,
0 = rx! (1# !x! # y!)(7.5a)
0 = ry! (1# x! # "y!)(7.5b)
(x!, y!) = (0, 0)
(7.4)2 x! = 0 y! = 0 7.1. (7.4) x! = 0 (7.4) y! = 0
(7.4)x! $= 0, y! $= 0(7.4)
0 = 1# !x! # y!(7.6a)
0 = 1# x! # "y!(7.6b)
" # 1
!" # 1 > 0,
0 = 1# !x# y
0 = 1# x# !y
Lotka-Volterra (7.4) (0, 0) - 2% 1
! , 0
46
7.1. Lotka-Volterra (7.4) xy ! > 1, " > 1 ! < 1, " < 12 2 x, y
7.1 2 (7.2)xyLotka-
Volterra (7.4) f(x, y) =
!
!
#
$
(x, y) (x!, y!) (x!, y!) xy (x(t), y(t)) (t " R) xx! < 1, " < 1 ! > 1, " > 1 7.3. 7.1
• • 1 (x", y") =
47
2 (7.2)1
2 (7.2)f C1 x! f
f(x) = f(x!) + f "(x!) (x# x!) + g(x).
g(x) = o (%x# x!%) (x ! x!)
x! (7.2) f(x!) = 0 f "(x!)
f "(x!) =
2 (7.2) dx(t)
x(t)# x! g (x(t))
dx(t)
(7.8)
dt = Av(t)
(7.8) x! (7.2) A x!
48
(7.9)
!
dt = #1w1(t),
!
" w1(t)
w2(t)
2w(t)
#1 > 0, #2 > 0 t > 0 w(t) (7.12)e1 ''w10e"1t
'' = |w10| e"1t t e2 ''w20e"2t
!
$ w1w2 7.2. w1w2 (#1w1,#2w2)w(t)
(1) #1 < 0, #2 < 0
(2) #1 > 0, #2 < 0 #1 < 0, #2 > 0
(3) #1 > 0, #2 > 0
A P (7.13) P#1AP = D =
!
$ (=)
50
7.2. (7.9) w1w2 (#1w1,#2w2) #1 < 0, #2 < 0 #1 > 0, #2 < 0 #1 > 0, #2 > 0w(t) = (w1(t), w2(t))
51
P (7.14) w(t) = P#1v(t) &' v(t) = Pw(t)
(7.15)
(7.8)(7.9) (7.9) (7.11)
(7.14) (7.16) w(t) = etDw0 &' v(t) = PetDP#1v0
v0 = Pw0 (7.12) w(t) =w10e
"1te1 + w20e "2te2
&' v(t) =P , w10e
"1te1 + w20e "2te2
7.3. # Ap (7.18) Ap = #p
(7.19) v(t) = e"tp
(7.8) (7.19) v"(t) = #e"tp(7.19)
Av = Ae"tp = e"tAp = e"t#p
(7.19) (7.8) 7.4. (7.13)A#1, #2Pe1, Pe2
(7.17) v(t) 2w10e"1tPe1
w20e"2tPe2Pe1, Pe2
w10e"1t w20e"2t A #1, #2
52
7.1. A#1 < 0, #2 < 02 (7.8) v = 0 A #1 > 0 #2 > 02 (7.8) v = 0 . #1 < 0, #2 < 0e"1t, e"2t t1 < t2
t1 > t2 =' %v(t1)% ( %v(t2)%
v = 0 #1 < 0, #2 < 0 lim
t$% v(t) = 0 v = 0
#1 > 0 #2 > 0#1 > 0 Pe1v(t) v = 0 (7.17) w10 = 1, w20 = 0 v = 0 !
A #1,#2#1,#2 (7.8) Lotka-Volterra 7.1. 2 A 2 (7.2) x! A (7.2) x!