8/9/2019 8 Variable alatoire continue

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Variables alatoires continues

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1 Notations concernant les intgrales

fest une fonction dfinie sur , intgrable sur nimporte quel intervalle [x,y] ox ety sont

dans

.a tant un rel, par dfinition on a les notations suivantes :

+

+

+

==a

a a

xxax

dttfdttfdttfdttf )(lim)(et)(lim)(

+

+

=

y

xxy

dttfdttf )(lim)(

Par exemple, avec a et b rels,

+

=dttf )( +

a

dttf )( +

a

dttf )( et

=

b

dttf )( +

a

dttf )( b

a

dttf )(

2 Densit de probabilit et variable alatoire continue

On se donne une fonctionfdfinie sur , intgrable sur nimporte quel intervalle [x,y] ox et

y sont 2 rels telle que : 0f(x) pour tout relx et +

=dttf )( 1.

Xest une variable alatoire telle que Pr(Xx) =

x

dttf )( = Pr ( X

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4 Calculs dintgrales, daires et de probabilits

On a ici la reprsentation graphique (C) de la fonctionfdans un repre orthogonal

R= ),,( jiOrr

, lunit des aires tant celle du rectangle construit partir du point O et des

vecteurs ir

et jr

.

+

=dttf )( 1 signifie que laire du domaine limit par laxe des abscisses et (C) vaut 1.

Pourx rel ,

x

dttf )( est laire du domaine ombr ci-dessous, de frontires (C), laxe des

abscisses et la droite verticale passant par la graduationx de laxe des abscisses ; cest la

fois F(x), Pr(Xx) et Pr ( X

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5 Proprit de la fonction de rpartition

Fest continue sur , croissante sur , de limite 0 en et de limite 1 en +.

6 Esprance, variance et cart type

Ces caractristiques sont donnes par les galits :

E(X) = +

dxxxf )( , V(X) = +

dxxfXx )())(E( 2 donnant V(X) = +

dxxfx )(2 (E(X))2,

X= )V(X .