1

1) Probabilités conditionnelles

Activité 1 A l’épreuve pratique du permis de conduire, on a observé les résultats suivants sur un échantillon de 503 candidats se présentant pour la première fois. On choisit au hasard un candidat dans cet échantillon. On considère les évènements : C : « il a pratiqué la conduite accompagnée » et R : « il a eu son permis du 1er coup. »

𝑪 𝑪" Total

𝑹 68 205 273

𝑪" 19 211 230

Total 87 416 503

1) Calculer les probabilités 𝑝(𝐶),𝑝(𝑅) et 𝑝(𝐶 ∩ 𝑅). 2) On veut calculer la probabilité qu’un candidat, choisi au hasard, ait obtenu son permis de conduire du

premier coup sachant qu’il a pratiqué la conduite accompagnée. Vocabulaire Cette probabilité est appelée la probabilité conditionnelle de l’évènement 𝑅sachant que l’évènement 𝐶 est réalisé. Elle se note 𝑝!(𝑅) et se lit « probabilité de 𝑅 sachant 𝐶 ». a) Sur quelle partie des données travaille-t-on lorsque l’on sait que 𝐶 est réalisé ? b) Calculer 𝑝!(𝑅) .

3) Calculer "($∩&)"($)

et comparer avec 𝑝!(𝑅).

Première Spécialité Maths Probabilités conditionnelles 2021-2022

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Exemple 1 On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On considère les événements 𝑅 : « la carte tirée est rouge » et 𝑉 : « la carte tirée est un valet ». Calculer :

𝑝(𝑅) =

𝑝(𝑅 ∩ 𝑉) =

𝑝&(𝑉) =

Exemple 2 A la montagne, 80 % des vacanciers pratiquent le ski et 40 % des skieurs sont des femmes. On choisit un vacancier au hasard et on note les événements : 𝑆 : « Le vacancier pratique le ski » et 𝐹 : « Le vacancier est une femme ». 1) Traduire les données en termes de probabilités.

2) Quelle est la probabilité que le vacancier choisi soit une femme et qu’il pratique le ski ?

3) On sait que le vacancier pratique le ski. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ?

Exercices 1,2,3

2) Arbres de probabilité

Définition Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements, avec 𝑝(𝐴) ≠ 0. La probabilité que 𝐵 se réalise, sachant que 𝐴 est réalisé, est notée 𝑝((𝐵) et est définie par : 𝑃((𝐵) =

"((∩))"(()

.

Propriété Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements de probabilités non nulles. On a : 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴) × 𝑝((𝐵) = 𝑝(𝐵) × 𝑃)(𝐴) et 𝑝((𝐵6) = 1 − 𝑝((𝐵).

On peut modéliser une expérience aléatoire à l’aide d’un arbre pondéré. Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches et un chemin est une suite de branches. Une feuille est l’extrémité d’un chemin c’est l’intersection des événements rencontrés sur ce chemin. La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est toujours égale à 1. La probabilité d’une feuille est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches du chemin.

3

Exemple 3 A l’issue d’une compétition, des cyclistes passent un contrôle anti-dopage. On estime que 25 % des cyclistes sont dopés. On sait aussi, avec le test utilisé, qu’un cycliste dopé est contrôlé positif dans 90 % des cas, alors qu’un cycliste non dopé est contrôlé positif dans 8 % des cas. On choisit un cycliste au hasard et on note les événements : 𝐷 : « Le cycliste est dopé » et 𝑇 : « Le test est positif ». Traduire l’énoncé par un arbre pondéré et calculer les probabilités de toutes les feuilles.

Exercice 4

3) Formule des probabilités totales

Exemple 4 Dans un sac de bonbons, 30 % des bonbons sont jaunes, 50 % sont orange et le reste des bonbons sont verts. De plus, 25 % des bonbons jaunes, 40 % des bonbons orange et 50 % des bonbons verts sont ronds. On choisit un bonbon au hasard dans le paquet. On considère les événements : 𝐽 : « le bonbon choisi est jaune » 𝑂 : « le bonbon choisi est orange » 𝑉 : « le bonbon choisi est vert » 𝑅 : « le bonbon choisi est rond » 1) Traduire l’énoncé par un arbre pondéré. 2) Calculer la probabilité que le bonbon soit rond.

On dit que des événements 𝐴*, 𝐴+, … , 𝐴, forment une partition de l’univers s’ils sont deux à deux incompatibles et si Ω = 𝐴* ∪ 𝐴+ ∪…∪𝐴,. Dans ce cas, pour tout événement 𝐵, on a : 𝑝(𝐵) = 𝑝(𝐴* ∩ 𝐵) + 𝑝(𝐴+ ∩ 𝐵) +⋯+ 𝑝(𝐴, ∩ 𝐵).

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Exemple 5 On reprend l’Exemple 3. 1) Calculer la probabilité que le test soit positif. 2) On sait que le test est positif.

Quelle est la probabilité que le cycliste soit dopé. Exercices 5, 6, 7, 8

4) Indépendance

Exemple 6 A chaque cours de mathématiques, les élèves de Première doivent apporter chacun leur cours et leur calculatrice. Notant la négligence de quelques-uns, le professeur fait, lors d’une séance, les constatations suivantes : ü 15 élèves ont apporté les deux. ü 10 élèves n’ont apporté que leur calculatrice. ü 3 élèves n’ont apporté que leur cours. ü 2 élèves n’ont apporté ni l’un ni l’autre. On choisit au hasard un élève de la classe. On considère les évènements : L : « l’élève a apporté son cours (leçon) » et C : « l’élève a apporté sa calculatrice » 1) Récapituler ces effectifs dans le tableau ci-dessous :

𝑳 𝑳6 Total

𝑪

𝑪"

Total

2) Les évènements L et C sont-ils indépendants ?

Cas particulier Pour tout évènement 𝐴, 𝐴 et �̅� forment une partition de l’univers. Donc pour tout événement 𝐵, on a : 𝑝(𝐵) = 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑝(�̅� ∩ 𝐵)

Définition Deux évènements 𝐴 et 𝐵 de probabilités non nulles sont indépendants lorsque la réalisation de l’un n’a pas d’influence sur la réalisation de l’autre, c’est-à-dire : 𝑝((𝐵) = 𝑝(𝐵) ⟺ 𝑝)(𝐴) = 𝑝(𝐴) ⟺ 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑝(𝐴) × 𝑝(𝐵).

5

Exemple 7 Pour atteindre le dernier étage d’une tour, il est nécessaire d’utiliser l’un des deux ascenseurs qui fonctionnent indépendamment l’un de l’autre. Chaque jour, les probabilités qu’ils tombent en panne sont respectivement de 1 % pour le premier ascenseur et de 0,6 % pour le second. Déterminer la probabilité que les deux ascenseurs tombent en panne le même jour. Exercices 9, 10, 11, 12, 13

5) Succession de deux épreuves indépendantes

Dans le cas d’une succession de deux épreuves indépendantes, on peut déterminer la probabilité des différentes issues à l’aide d’un arbre ou d’un tableau.

Exemple 8 On tire un jeton dans un sac qui contient deux jetons rouges (R) et trois jetons verts (V), puis on lance un dé cubique dont les faces portent les numéros : 1, 2, 2, 3, 3, 3. Représenter la situation à l’aide de : Arbre Tableau

Dé Jeton 1 2 3 Total

R

V

Total Exercice 14

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Exercices d’application du cours Leçon 2

Exercice 1 Tous les élèves de Première d’un lycée ont passé un test de certification en anglais.

Ø 80 % ont réussi le test. Ø Parmi ceux ayant réussi le test, 95 % n’ont jamais redoublé. Ø Parmi ceux ayant échoué au test, 2 % n’ont jamais redoublé.

On considère les évènements T : « l’élève a réussi le test » et 𝑅 : « l’élève a déjà redoublé ». Traduire les pourcentages donnés en termes de probabilités. Exercice 2 On donne ci-contre la répartition des groupes sanguins (A, B, O ou AB) et Rhésus (Rh+ ou Rh-) en France. Une personne se présente pour donner son sanguin jour de collecte. Quelle est la probabilité qu’elle soit : 1) du groupe A sachant que son Rhésus est positif (Rh+) ? 2) de Rhésus positif sachant qu’elle est du groupe A ? 3) du groupe O ou AB sachant que son Rhésus est négatif ?

Exercice 3 1) Soient 𝐸 et 𝐹 deux événements tels que 𝑝(𝐸) = 0,5 et 𝑝-(𝐹) = 0,8. Déterminer 𝑝(𝐸 ∩ 𝐹). 2) Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements tels que 𝑝(𝐴) = 0,3, 𝑝((𝐵) = 0,2 et𝑝(𝐵) = 0,48.

Déterminer 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) et 𝑝)(𝐴). Exercice 4 On a représenté une expérience aléatoire par l’arbre pondéré ci-contre. Déterminer les probabilités suivantes : 𝑝(𝑇), 𝑝.(𝑆̅), 𝑝./(𝑆), 𝑝(𝑇 ∩ 𝑆̅) et 𝑝(𝑇6 ∩ 𝑆) Exercice 5 Un jeu consiste à lancer un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Si on obtient 1 ou 2, on tire au hasard une boule dans une urne 𝐴 qui contient trois boules jaunes et deux bleues. Sinon, on tire au hasard une boule dans une urne 𝐵qui contient une boule jaune et deux bleues. Pour une partie de ce jeu, on considère les événements : 𝐴: « la boule est tirée dans l’urne 𝐴 » et 𝐽: « la boule tirée est jaune ». 1) Construire un arbre pondéré modélisant la situation. 2) Calculer la probabilité que la boule tirée soit jaune et ait été tirée dans l’urne 𝐵. 3) Calculer 𝑝(𝐽)et 𝑝0(𝐴).

Exercice 6 On sait que 1 % d’une population est atteint d’une certaine maladie orpheline. On dispose de tests de dépistage de cette maladie ainsi que des données suivantes : ü Si la personne est atteinte de cette maladie, alors le test est positif dans 90 % des cas ü Si la personne n’est pas atteinte de cette maladie, alors le test est néanmoins positif dans 5 % des cas. On considère les événements : : « La personne est atteinte par la maladie » et : « Le test est positif ». 1) Représenter la situation par un arbre pondéré 2) Quelle est la probabilité que le test soit positif ? 3) Quelle est la probabilité qu’une personne soit réellement atteinte par la maladie si son test est positif ?

M T

Groupe A B AB O Total Rh + 37 9 3 36 Rh – 7 1 1 6 Total 100

7

Exercice 7 Une entreprise achète des composants auprès de trois fournisseurs A, B et C pour monter des ordinateurs. Une étude a mis en évidence que les pourcentages de composants défectueux étaient : 5 % de ceux achetés à A, 3 % de ceux achetés à B et 1 % de ceux achetés à C. De plus cette entreprise achète 25 % des composants au fournisseur A, 35 % au fournisseur B et les autres au fournisseur C. On choisit au hasard un des composants achetés. 1) Représenter la situation par un arbre pondéré. 2) Calculer la probabilité que ce composant soit défectueux et acheté à A 3) Prouver que la probabilité que ce composant soit défectueux est égale à 0,027 4) Si le composant est défectueux, quelle est, à 10-2 près, la probabilité qu’il provienne de B ?

Exercice 8 Une population de lapins comporte trois fois plus de femelles que de mâles. Des études statistiques fiables ont montré que 6 % des mâles et 0,4 % des femelles sont albinos. 1) Représenter la situation par un arbre pondéré. 2) Quelle est la probabilité qu’un lapin pris au hasard soit albinos ? 3) Un lapin choisi au hasard est albinos.

Quelle est la probabilité que ce soit un mâle ? Exercice 9 Une association de consommateurs a réalisé une étude de satisfaction auprès des clients de trois fournisseurs internet : Orange, Bouygues et Free. ü 70 % des clients sont abonnés à Orange et, parmi eux, 80 % sont satisfaits. ü 20 % des clients sont abonnés à Bouygues et, parmi eux, 90 % sont satisfaits. ü Les autres clients sont abonnés à Free et, parmi eux, 60 % sont satisfaits. On choisit un client au hasard. On considère les événements 𝑂 : « le client est abonné à Orange », 𝐵 : « le client est abonné à Bouygues», 𝐹 : « le client est abonné à Free » et 𝑆 : « le client est satisfait ». 1) Représenter la situation par un arbre de probabilités. 2) Calculer 𝑝(𝑆). 3) Sachant qu’un client n’est pas satisfait, quelle est la probabilité qu’il soit abonné à Orange ? 4) Les événements suivants sont-ils indépendants ?

a) 𝑂 et 𝑆 d) 𝑂 et 𝐵 Exercice 10 Au lycée Rosa Parks, il y a 45 % de filles et 55% de garçons en première. Chaque élève de Première choisit trois spécialités. Voici la répartition au lycée RosaParks des spécialités Maths, Physique et SVT.

Étudier l’indépendance des différentes spécialités avec le sexe des élèves.

M SP SVT

Fille 36 12 42

Garçon 44 38 28

Total 80 50 70

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Exercice 11 Jeanne prend son parapluie pour se rendre au travail un jour sur dix. Elle a remarqué que lorsqu’elle avait son parapluie, il pleuvait dans 80 % des cas et, lorsqu’elle ne l’avait pas, il pleuvait dans 15 % des cas. Les événements A : « Jeanne prend son parapluie » et B : « Il pleut » sont-ils indépendants ? Exercice 12 A un carrefour jugé dangereux, chaque jour, la probabilité que la gendarmerie effectue un contrôle est égale à 0,3 et ces contrôles sont indépendants les uns des autres. Quelle est la probabilité que la gendarmerie n’effectue aucun contrôle deux jours consécutifs ? Exercice 13 Un réparateur a identifié deux causes de panne sur les ordinateurs portables. 20 % des ordinateurs ont des problèmes de batterie et 17 % des problèmes d’écran. On choisit au hasard un ordinateur et on considère les événements 𝐵 : « L’ordinateur a un problème de batterie » et 𝐸 : « L’ordinateur a un problème d’écran ». On suppose que les événements 𝐵 et 𝐸 sont indépendants. Calculer la probabilité que l’ordinateur choisi ait au moins l’un des deux problèmes. Exemple 14 En France, 49 % des enfants nés sont des filles. On choisit au hasard une famille de deux enfants, et on suppose que les naissances de ces deux enfants sont indépendantes. 1) Représenter la situation à l’aide de :

Arbre Tableau

2ème enfant 1er enfant F G Total

F

G

Total

2) Quelle est la probabilité que, dans cette famille, il y ait un enfant de chaque sexe ?

9

Pour aller plus loin Exercice 26 :

et désignent deux événements de l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire tels que : ; et .

Déterminer 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵), puis 𝑝)(𝐴) et. 𝑝((𝐵). Exercice 27 : René souffre de troubles de concentration qui interviennent plus fréquemment quand il n’a pas bien dormi. En général, quand il est reposé, ces troubles se manifestent une fois par semaine, mais lorsqu’il passe une mauvaise nuit, deux fois sur trois, il est dérangé par ces troubles le lendemain. Par contre, René a plutôt un bon sommeil : il dort bien neuf fois sur dix. Pour un jour donné, choisi au hasard, on note respectivement et les événements : « René a bien dormi la nuit précédente » et « René souffre de troubles de la concentration aujourd’hui ». a) Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités. b) Construire l’arbre pondéré correspondant à la situation. c) Calculer et . d) Déterminer la probabilité que René n’ait pas bien dormi la nuit précédente sachant qu’il souffre de troubles de

concentration aujourd’hui. Exercice 28 : Romane se déplace à vélo ou en transports en commun. Lorsque la journée est ensoleillée, elle se déplace en vélo 9 fois sur 10. Sinon, elle ne se déplace en vélo que 6 fois sur 10. La probabilité qu’une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée . Pour une journée donnée, on note l’événement « la journée est ensoleillée » et l’événement « Romane se déplace en vélo ». a) Construire l’arbre pondéré correspondant à la situation. b) Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d’une journée donnée est . c) On constate que dans 67,5 % des cas, c’est en vélo que Romane se déplace entre son domicile et son lieu de

travail. Calculer la valeur de . d) Sachant que Romane s’est déplacée en vélo, montrer que la probabilité que la journée soit ensoleillée est *

1 .

Exercice 29 : Dans un club sportif, chaque membre ne pratique qu’un sport. Leur répartition est donnée dans le tableau ci-contre. On choisit au hasard un membre du club sportif, et on considère les événements :

: « la personne choisie est une femme » et : « la personne choisie fait du VTT ». 1) a) Calculer les probabilités des événements et .

b) Calculer les probabilités et . c) Calculer les probabilités et .

2) Les événements et sont-ils indépendants ? 3) a) Quelle est la probabilité que la personne choisie soit un homme pratiquant le VTT ?

b) Sachant que la personne choisie joue au volley-ball, quelle est la probabilité que ce soit un homme ? Exercice 30 : Une entreprise conditionne du sucre blanc provenant de deux exploitations U et V en paquets de différentes qualités. Le sucre extra fin est conditionné dans des paquets portant le label « extra fin ». On admet que 3 %du sucre provenant de l’exploitation U et 5 % du sucre provenant de l’exploitation V est extra fin. On prélève au hasard un paquet d sucre dans la production de l’entreprise et, dans un souci de traçabilité, on s’intéresse à la provenance de ce paquet. On considère les événements suivants : : « le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation U » ; : « le paquet contient du sucre provenant de l’exploitation V » et : « le paquet porte le label ‘’extra fin’’ ».

A B( ) 0,72P A = ( ) 0,47P B = ( ) 0,88P A BÈ =

B T

( )P B TÇ ( )P T

pE V

( ) 0,3 0,6P V p= +

p

A BA B

( )P A BÇ ( )P A BÈ( )AP B ( )BP A

A B

U VE

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1) Dans cette question, on admet que l’entreprise fabrique 30 % de ses paquets avec du sucre provenant de l’exploitation U, et les autres avec du sucre provenant de l’exploitation V. a) Quelle est la probabilité que le paquet prélevé porte le label ‘’extra fin’’ ? b) Sachant qu’un paquet porte le label ‘’extra fin’’, quelle est la probabilité que le sucre qu’il contient

provienne de l’exploitation U ? 2) L’entreprise souhaite modifier son approvisionnement auprès des deux exploitations afin que, parmi les

paquets portant le label ‘’extra fin’’, 30 % d’entre eux contiennent du sucre provenant de l’exploitation U. Comment doit-elle s’approvisionner auprès des exploitations U et V ?