A. Objectifs de la séquence:à l'issue de la séquence, il faut être capable de:

•Identifier l’ordre et la nature d’un filtre

•Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode d’une fonction de transfert complexe.

B.)Rappel

B.1)Les nombres complexes

Soit un nombre complexe défini par N=a+jb

Le module de N est donné par: baN22

L’argument de N est donné par: )()(a

barctgNArg

C) Notion de filtre

V1 V2FiltreC.1) Définition

Soit un signal f(t) comprenant plusieurs composantes sinusoïdales.Soit un signal f(t) comprenant plusieurs composantes sinusoïdales.

Un Filtre est un dispositif dont la fonction de transfert permet d’isoler Un Filtre est un dispositif dont la fonction de transfert permet d’isoler

Certaines composantes de fréquences indésirables.Certaines composantes de fréquences indésirables.Suivant la valeur des fréquences transmises, on distingue essentiellement:

les filtres passe haut

les filtres passe bas

les filtres passe bande

Qui isolent les signaux hautes fréquencesQui isolent les signaux hautes fréquences

Qui isolent les signaux basses fréquencesQui isolent les signaux basses fréquences

Qui favorisent les signaux situés dans une bande Qui favorisent les signaux situés dans une bande de fréquencesde fréquences

C.2) Propriétés

L’étude d’un filtre consiste à:L’étude d’un filtre consiste à:

Définir sa fonction de transfert Ve

VsT

Etudier l’évolution de cette fonction de transfert en fonction de la fréquencedu signal d’entrée.

Représenter (diagrammes de Bode) les variations du gain et du déphasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée en fonction de la fréquence

L’ordre d’un filtre détermine son efficacité.

Un filtre peut être suivant sa structure :

PASSIF (il n’y a aucune amplification du signal d’entrée)

ACTIF (il peut y avoir amplification du signal d’entrée)

Remarque:

Une octave de fréquence est l'intervalle des fréquences comprises entre F et 2F

Une décade de fréquence est l'intervalle des fréquences comprises entre F et 10F

D) Rappel sur le diagramme asymptotique de BODE

T K

j j j

j j j

n

L

n

.

( )( )....( )

( . ) .('

)('

)...('

)

1 1 1

1 1 1

1 2

1 2

On appel forme de Bode, toute fonction de transfert qui peut se mettre sous la forme

0.1 ;

0.1

1 ;

).(

1 ;

jjj

KL

D.1) Courbe de Bode de fonctions de réponses fréquentielles simples

La constante K

Gai

n e

n dB

log10

Pha

se

log10

20.log10 KB

0°

-180°

KB>0

KB<0

GA

IN e

n d

BP

hase

0.1 0.2 0.3 1 2 3 105

0°

0.2 0.3 1 2 3 105

frequence

frequence

)1

(log.20 10 Lj

)1

(Lj

Arg

0

-10

-20

-30

-40

+10

+20

+30

+40

-90°

-180°

-270°

-360°

90°

180°

270°

360°

Le terme Lj1

a) Gain Si L>0

L=1L=1

L=2L=2

L=1

L=2

L=3

b) phase Si L>0

L=1L=2L=3

GA

IN e

n d

BP

hase

0.1 0.2 0.3 1 2 3 105

0°

0.2 0.3 1 2 3 105

frequence

frequence

)1

(log.20 10 Lj

)1

(Lj

Arg

0

-10

-20

-30

-40

+10

+20

+30

+40

-90°

-180°

-270°

-360°

90°

180°

270°

360°

Le terme Lj1

c) Gain Si L<0

L=-1L=-1

L=-2 L=-2

L=-1L=-2L=-3

d) phase Si L<0

L=-1L=-2L=-3

GA

IN e

n d

BP

hase

0.1 0.2 0.3 1 2 3 105

0°

0.2 0.3 1 2 3 105

frequence

frequence

)

01

1(

j

Arg

0

-10

-20

-30

-40

+10

+20

+30

+40

-90°

)

01

1log(.20

j

Le terme

0.1

1

j

0 G=0dB

0 G→-∞ avec une pentede -20dB/dec

Caractéristique du gain

Caractéristique de la phase

0

0

Les repères sont : 0)(5.et )5

0(

5

00.5

000)

01

1arg(

j

90900)

01

1arg(

j

45°

GA

IN e

n d

BP

hase

0.1 0.2 0.3 1 2 3 105

0°

0.2 0.3 1 2 3 105

frequence

frequence

)0

1(jArg

0

-10

-20

-30

-40

+10

+20

+30

+40

+90°

)0

1log(.20j

Le terme 0

1j

0 G=0dB

0 G→+∞ avec une pentede +20dB/dec

Caractéristique du gain

Caractéristique de la phase

0

0

Les repères sont : 0)(5.et )5

0(

5

00.5

0)0

1arg(j

90)0

1arg(j

45°

E)Exemples

E.1) Etude d'un filtre passif R-C Passe-bas du 1ere Ordre

Calculer la fonction de transfert de ce montage et la Calculer la fonction de transfert de ce montage et la mettre sous la forme de Bodemettre sous la forme de Bode

Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?

e s

R

C10K

F

E.2) Filtre actif passe bas du 1er ordre

Ve Vs

R1

R2

C2

-

+

10K

1K

1F

Calculer la fonction de transfert de ce montage et la Calculer la fonction de transfert de ce montage et la mettre sous la forme de Bodemettre sous la forme de Bode

Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?

E.3)Filtre passe-bande 2*1ER ordre

Ve Vs

-

+

R1 C1

C2

R2

10K 1uF

10K

1uF

Calculer la fonction de transfert de ce montage et la Calculer la fonction de transfert de ce montage et la mettre sous la forme de Bodemettre sous la forme de Bode

Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?

Remarque:

L'utilisation des filtres passifs est limitée à 10hz du côté des basses fréquence alors qu'il deviennent plus performant lorsque la fréquence d'utilisation dépasse 1 Mhz.

Les filtres actifs peuvent être utilisés à moindre coût lorsque la fréquence d'utilisation est inférieur à 100kHz (l'utilisation d'amplificateur courant , 081, 741 , limite cette fréquence à une dizaine de kilohertz.)

F) Exercice :

Soit la fonction de transfert suivante

)4

1)(5.0

1.(.

)²2

(2

1).(

jjj

jjF

Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?

Courbe de bode du gain

-60.0

-40.0

-20.0

0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

0.1 1.0 10.0 100.0

G(1/jw)

G(1/(1+jw/.5))

G(1/(1+jw/4))

G(1-(w/2)^2)

Somme

Courbe du dephasage

-150.0

-100.0

-50.0

0.0

50.0

100.0

150.0

200.0

0.1 1.0 10.0 100.0

φ(1/jw)

φ(1/(1+jw/.5))

φ(1/(1+jw/4))

φ(1-(w/2)^2)

Somme des φ

G.)Formes normalisées des filtres du 2eme ordre

Vs

Ve

H

j m j

0

1 20 0²

2. .²

Vs

Ve

j m H

j m j

. . .

. .²

20

0

1 20 0²

2

²0²

.0

.21

0²0²

².

2

jmj

Hj

Ve

Vs

Passe-bas

Passe-bande

Passe-haut

1. m=coefficient d’amortissement

• m<0.7 les caractéristiques passent par un maximum

2. ω0=pulsation propre du système

On peut remarquer que pour m=.707 , la pulsation propre est égale à la fréquence de coupure.

E.1.)Filtre passe bas du 2eme ordre

V e

-

+

VSC4

C3

R1 R2a

b

c

V+

•Calculer la fonction de transfert du filtre montrer qu'elle peut se mettre sous la forme passe-bas: Vs

Ve

H

j m j

0

1 20 0²

2. .²

•Exprimer H0,ω0,m

•Tracer le diagramme asymptotique de Bode du gain et de la phase ?.

GA

IN e

n d

BP

hase

0.1 0.2 0.3 1 2 3 105

0°

0.2 0.3 1 2 3 105

frequence

frequence

0

-10

-20

-30

-40

+10

+20

+30

+40

+90°

E.2.)filtre passe-bande du 2eme ordre

Vs

Ve

j m H

j m j

. . .

. .²

20

0

1 20 0²

2

ω<ω0

0.0

.2. HmjVe

Vs

0)20.log(2mHG alors 0 si

ω > ω0

Vs

Ve

mj H

j

mH

J

20

0

0²

2 0

0

.

² .²

.

0)20.log(2mHG alors 0 si

20.log(2mH0)

Les courbes réelles sont :

20log(H0)

ω1 ω2

On définit pour ces filtre un coefficient de qualité

Qf

f

0 0

2 1

Un coefficient Q élevé correspond à une bande passante étroite.