A propos du lemme fondamental pondéré tordu

Math. Ann. (2009) 343:103–174DOI 10.1007/s00208-008-0267-7 Mathematische Annalen

A propos du lemme fondamental pondéré tordu

J.-L. Waldspurger

Received: 10 January 2008 / Published online: 14 August 2008© Springer-Verlag 2008

Abstract In order to use the trace formula of Arthur–Selberg in the twisted case,we need to prove the “twisted weighted fundamental lemma”, that is a sophisticatedversion of the fundamental lemma. Here, we prove that this twisted weighted funda-mental lemma follows from two others lemmas, where the torsion has disappeared:the weighted fundamental lemma for Lie algebras and a “non-standard weighted fun-damental lemma”, concerning Lie algebras too.

Mathematics Subject Classification (2000) 22E35 · 22E50 · 11F72

0 Introduction

La théorie de l’endoscopie, apparue dans un article fameux de Labesse et Langlands,utilise la comparaison des formules des traces d’Arthur–Selberg pour deux groupesdifférents. Elle a longtemps buté sur un obstacle: le lemme fondamental. Soient Get H deux groupes réductifs connexes, quasi-déployés et même non ramifiés sur uncorps p-adique F . On suppose que H est un groupe endoscopique de G. A un élémentγ ∈ H(F), semi-simple et suffisamment régulier, on associe une classe de conjugai-son stable dans G(F). D’autre part, il y a un homomorphisme b de l’algèbre de Heckesphérique de G(F) dans l’algèbre de Hecke sphérique de H(F). Pour un élément f dela première algèbre et pour un élément γ ∈ H(F) comme ci-dessus, le lemme fonda-mental affirme l’égalité entre une certaine combinaison linéaire d’intégrales orbitalesde b( f ), calculées en des points de H(F) stablement conjugués à γ , et une certainecombinaison linéaire d’intégrales orbitales de f , calculées en des points de la classede conjugaison stable dans G(F) qui correspond à γ . Clozel et Hales ont ramené ce

J.-L. Waldspurger (B)Institut de mathématiques de Jussieu, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, Francee-mail: [email protected]

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lemme au cas particulier où f est l’unité de l’algèbre de Hecke, c’est-à-dire la fonctioncaractéristique d’un sous-groupe compact hyperspécial de G(F). Grâce à Langlands etShelstad, on peut descendre ce cas particulier en un énoncé appelé lemme fondamentalpour les algèbres de Lie, concernant des intégrales orbitales de fonctions définies surg(F) et h(F), où g et h sont les algèbres de Lie de G et H . Sous cette forme, le lemmea été récemment démontré par Ngo Bao Chau. Ce résultat-clé résout pour l’essentielle problème. Néanmoins, pour nettoyer complètement la question, il reste un peu detravail à faire pour les épigones. En effet, la stabilisation de la formule des traces parArthur utilise non seulement le lemme fondamental, mais une variante appelée lemmefondamental pondéré. D’autre part, pour tirer de la théorie de l’endoscopie ses résultatsles plus riches, Arthur a besoin d’une formule des traces plus générale, la formule destraces tordue. L’utilisation de cette formule nécessite un lemme fondamental tordu etun lemme fondamental pondéré tordu. Dans [9], on a montré que le lemme fondamen-tal tordu, limité à l’unité de l’algèbre de Hecke, résultait de deux autres lemmes: lelemme fondamental pour les algèbres de Lie et un autre que nous avons appelé lemmefondamental non standard. Puisque Ngo Bao Chau a démontré ce second lemme enmême temps que le premier, cela résout le problème du lemme fondamental tordu pourles unités de l’algèbre de Hecke. Dans l’article présent, on se propose de démontrer unrésultat analogue à celui de [9], pour le lemme fondamental pondéré tordu. A savoirque ce lemme résulte de deux autres lemmes: le lemme fondamental pondéré pourles algèbres de Lie et un autre, que nous appelons lemme fondamental pondéré nonstandard. A notre connaissance, aucun de ces deux lemmes n’est démontré à l’heureoù nous écrivons. Néanmoins, on peut penser que les méthodes de Ngo Bao Chau,convenablement adaptées, permettrons d’en venir à bout.

Les énoncés précis seront donnés dans la Sect. 3, leur technicité ne nous permettantpas de les reproduire dans cette introduction. D’ailleurs, les lecteurs potentiels de cetarticle les connaissent mieux que nous. Indiquons très succintement la structure de ladémonstration. On considère un groupe réductif connexe G défini et non ramifié surun corps p-adique F , un automorphisme θ de G défini sur F et un caractère ω “nonramifié” de G(F). Soit P un sous-groupe parabolique de G défini sur F et invari-ant par θ et soit M une composante de Lévi de P définie sur F et invariante par θ .Notons θM et ωM les restrictions à M de θ et ω. On considère un groupe M ′, quiest un groupe endoscopique elliptique non ramifié de (M, θM ,ωM ). Soit γ ∈ M ′(F)un élément semi-simple et suffisamment régulier. On définit r G,ω

M ′ (γ ): c’est une com-binaison linéaire d’intégrales orbitales pondérées d’une certaine fonction sur G(F),tordues, en deux sens différents, à la fois par θ et par ω, évaluées en des points deM(F) appartenant à la classe de θM -conjugaison stable dans M(F) correspondant

à γ (si une telle classe existe; sinon r G,ωM ′ (γ ) = 0). Le lemme fondamental pondéré

tordu affirme que r G,ωM ′ (γ ) est égal à une combinaison linéaire de termes analogues

où M ′ reste le même, mais G est remplacé par d’autres groupes de rang inférieur ou

égal à celui de G. Il s’agit donc de calculer l’expression r G,ωM ′ (γ ), ou du moins de

la ramener à une expression où les torsions n’interviennent plus. Un raisonnementfamilier nous permet de fixer un élément ε ∈ M ′(F), d’ordre fini premier à la car-actéristique résiduelle p de F , et de supposer que γ est suffisamment voisin de ε.Il peut arriver que ne corresponde à ε aucune classe de θM -conjugaison stable dans

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M(F). Alors r G,ωM ′ (γ ) = 0 pour γ voisin de ε. Sinon, il correspond à ε une unique

classe de θM -conjugaison stable dans M(F). Dans ce cas, fixons un élément η de cetteclasse, notons Gη la composante neutre du θ -commutant de η dans G (celui-ci est legroupe des x ∈ G tels que xηθ(x)−1 = η) et notons Mη = Gη ∩ M . La méthode

de descente d’Harish-Chandra permet de calculer r G,ωM ′ (γ ) comme une combinaison

linéaire d’intégrales orbitales pondérées sur l’algèbre de Lie gη(F), évaluées en despoints de mη(F). Notons M ′

ε la composante neutre du commutant de ε dans M ′. Dansle cas où θ = 1, M ′

ε est un groupe endoscopique de Mη et le calcul ci-dessus ramène lelemme fondamental pondéré tordu au lemme fondamental pondéré pour les algèbresde Lie relatif à la situation où G, M, M ′ sont remplacés par Gη, Mη, et M ′

ε . Dans lecas général, M ′

ε n’est plus un groupe endoscopique de Mη, mais on peut introduireun groupe H qui est un groupe endoscopique de Mη et qui forme avec M ′

ε un coupleendoscopique “non standard” (le cas le plus frappant est celui où l’un des deux groupesest symplectique et l’autre spécial orthogonal impair de même rang). Alors le calculci-dessus ramène le lemme fondamental pondéré tordu à la combinaison du lemmefondamental pondéré pour les algèbres de Lie relatif à Gη, Mη et H et du lemmefondamental pondéré non standard relatif à H et M ′

ε . Le groupe H a été introduit dans[9]. Son existence avait déjà été remarquée par Hales et il intervient de façon plus oumoins explicite dans un article de Labesse et dans un passage de [6].

Les Sects. 4, 5 et 6 sont consacrées à la mise au point du schéma de démon-stration ci-dessus. L’un des problèmes à résoudre est que le groupe H , s’il est bienun groupe endoscopique de Mη, n’a aucune raison d’être elliptique. On récupèrel’hypothèse d’ellipticité en descendant encore à des composantes de Lévi de sous-groupes paraboliques de H et de Mη. Un autre problème est que toutes ces descentesconcernent des intégrales orbitales pondérées, pour lesquelles la méthode de descented’Harish-Chandra se complique singulièrement. Mais ce point a été résolu par Arthurdont nous utilisons largement les résultats. De même, les relations exactes entre lesdivers lemmes fondamentaux pondérés qui interviennent ne peuvent être établies qu’àl’aide de calculs combinatoires assez touffus qui, heureusement pour nous, ont déjàété faits par Arthur. En particulier notre Sect. 6 s’inspire très directement de la démon-stration du théorème 7.1 de [4].

Dans la suite de l’article, on modifie légèrement la situation ci-dessus en intro-duisant, à la suite de Labesse, un espace tordu G = Gθ . Cela nous permet de rem-placer l’action par θ -conjugaison de G sur lui-même par l’action par conjugaison deG sur G. En particulier, l’élément η ci-dessus sera remplacé par un élément de G(F).La Sect. 2 présente précisément la situation que l’on étudie et la Sect. 3 énonce lesdifférents lemmes fondamentaux pondérés et notre résultat principal (Théorème 3.8).

L’un des problèmes qui se posent est que la fonction r G,ωM ′ dépend a priori de beau-

coup de choix: de sous-groupes de Borel, de sous-groupes compacts hyperspéciaux,de mesures etc. En fait, contrairement à ce que l’on a écrit assez grossièrement ci-dessus, elle n’est même pas définie sur M ′(F), mais sur un espace tordu M ′

z′(F) quidépend lui-aussi de divers choix. Le lemme fondamental pondéré tordu fait intervenirplusieurs fonctions du même type. Leur comparaison deviendrait rapidement assezdouteuse (du moins aux yeux de l’auteur) si elles dépendaient vraiment des choix, ousi elles étaient définies sur des espaces différents. Nous montrons qu’en fait la fonction

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r G,ωM ′ est définie sur un espace canonique et qu’elle ne dépend que de peu de choix

(Lemmes 2.9 et 2.10). Seuls influent vraiment les choix de mesures, et ceux-ci sontfacilement contrôlables. Pour montrer cela, on doit étudier précisément les relationsentre trois objets de base: l’automorphisme θ , le groupe M et un sous-groupe compacthyperspécial K de G(F). C’est le contenu de la Sect. 1.

1 Groupes tordus

1.1 Notations diverses

Soit H un groupe. On note Z H le centre de H . Pour un nombre premier p, on noteHp′ le sous-ensemble des éléments de H d’ordre fini premier à p. C’est un sous-groupe si H est abélien. Soit θ un automorphisme de H . On note H θ le sous-groupedes points fixes. Si H est abélien, on note (1 − θ)(H) = {hθ(h)−1; h ∈ H} etH/θ = H/(1 − θ)(H).

Supposons que H agisse sur un ensemble X . Pour un sous-ensemble X ′ ⊂ X ,on note Norm H (X ′) le stabilisateur de X ′ dans H et Z H (X ′) son centralisateur,c’est-à-dire Norm H (X ′) = {h ∈ H ; h(X ′) ⊂ X ′} et Z H (X ′) = {h ∈ H ; ∀x ∈X ′, h(x) = x}. Dans le cas où X ′ est réduit à un seul élément x , on pose simplementZ H (x) = Norm H ({x}) = Z H ({x}). Quand l’ensemble X ne sera pas précisé, il seraentendu que X = H et que H y agit par conjugaison.

Supposons que H soit un groupe algébrique (sur un corps à préciser). On noteH0 sa composante neutre. Supposons que H agisse algébriquement sur une variétéalgébrique X . Pour x ∈ X , on pose Hx = (Z H (x))0.

1.2 Corps locaux

Soit F un corps local non archimédien de caractéristique nulle. On note oF son anneaud’entiers, q le nombre d’éléments de son corps résiduel, Fq ce corps résiduel et psa caractéristique. On note ||F la valeur absolue usuelle de F . On fixe une clôturealgébrique F de F , on note Fnr le plus grand sous-corps de F non ramifié sur F ,Fq son corps résiduel, oF et oFnr les anneaux d’entiers de F et Fnr . On prolonge lavaluation usuelle de F en une valuation valF : F → Q. On note �F , resp. �nr

F , legroupe de Galois de l’extension F sur F , resp. Fnr sur F . Le groupe �nr

F s’identifieau groupe de Galois de l’extension Fq sur Fq . On a la suite exacte:

1 → IF → �F → �nrF → 1,

où IF est le sous-groupe d’inertie. On note WF le groupe de Weil de l’extension F surF , que l’on considère comme un sous-groupe de �F , muni d’une topologie plus fineque la topologie induite. On note W nr

F le sous-groupe de �nrF formé des puissances du

Frobenius. On a la suite exacte:

1 → IF → WF → W nrF → 1.

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1.3 Groupes réductifs

Soit G un groupe réductif connexe défini sur F . On note encore G son groupe depoints G(F). On note g son algèbre de Lie, GSC le revêtement simplement connexede son groupe dérivé, G AD son groupe adjoint. Pour g ∈ G, on note gad son imagedans G AD . Pour un élément g ∈ GSC , on note simplement g son image dans G.Si H est un sous-groupe de G, on note Hsc l’image réciproque de H dans GSC etHad l’image de H dans G AD . Le groupe Hsc, resp. Had , n’a aucune raison d’êtresimplement connexe, resp. adjoint. Ces notations sont quelque peu ambiguës puisqueles objets en question dépendent du groupe ambiant G.

On note Aut (G) le groupe d’automorphismes de G. Remarquons que tout auto-morphisme de G en définit un de G AD et un autre de GSC . Pour g ∈ G, on noteintg ∈ Aut (G) l’automorphisme intérieur associé à g. Il ne dépend que de gad , ce quipermet de définir aussi intg ∈ Aut (G) pour g ∈ G AD ou g ∈ GSC . On note Out (G)le quotient de Aut (G) par le sous-groupe des automorphismes intérieurs.

On appelle paire de Borel de G un couple (B, T ), où B est un sous-groupe de Borelde G et T un sous-tore maximal de B. Considérons une telle paire. On note X∗(T ),resp. X∗(T ), le groupe des cocaractères, resp. des caractères, de T . On définit le sous-ensemble� ⊂ X∗(T ) des racines de T dans g. On note � ⊂ X∗(T ) le sous-ensemblede coracines associé. On note � ⊂ � et � ⊂ � les sous-ensembles de racines etcoracines simples définis par B. Pour tout α ∈ �, notons gα ⊂ g la droite radiciellecorrespondante. Un épinglage relatif à (B, T ) est une famille (Eα)α∈� où, pour toutα ∈ �, Eα est un élément non nul de gα . On appelle paire de Borel épinglée unefamille (B, T, (Eα)α∈�) d’objets comme ci-dessus. Pour chacun de ces objets, cela aun sens de dire qu’il est défini sur F . C’est évident pour B et T . Si B et T sont définissur F , on dit que (Eα)α∈� l’est si σ(Eα) = Eσ(α) pour tous σ ∈ �F et α ∈ �.

Fixons une paire de Borel épinglée. Comme on le sait, le sous-groupe des élémentsde Aut (G) qui conservent la paire et l’épinglage s’envoie bijectivement sur Out (G).Ce sous-groupe est invariant par�F si la paire de Borel et l’épinglage sont définis sur F .

1.4 Eléments compacts

Soit G un groupe algébrique linéaire défini sur F , dont la composante neutre estréductive. Soit F ′ une extension de F (pas nécessairement de degré fini) contenue dansF et soit x ∈ G(F ′). Remarquons que F ′ est muni d’une topologie (par la valuationvalF ), donc G(F ′) aussi. On dit que x est compact si le sous-groupe de G(F ′) qu’ilengendre est d’adhérence compacte. On dit que x est topologiquement unipotent silimn→∞x pn = 1. On note G(F ′)c, resp. G(F ′)tu le sous-ensemble des élémentscompacts, resp. topologiquement unipotents. On sait que tout élément compact x ∈G(F ′)c s’écrit d’une seule façon comme produit x = xtu x p′ d’un élément xtu ∈G(F ′)tu et d’un élément x p′ ∈ G(F ′)p′ qui commutent entre eux.

Soit T un tore défini sur F et non ramifié, c’est-à-dire déployé sur Fnr . On a leségalités T (Fnr ) = X∗(T ) ⊗Z Fnr,× et T (F) = T (Fnr )�

nrF . Le tore T possède

une structure naturelle sur oF , pour laquelle T (oFnr ) = X∗(T )⊗Z o×Fnr et T (oF ) =

T (oFnr )�nrF . On a les égalités T (Fnr )c = T (oFnr ) et T (F)c = T (oF ). Plus

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précisément, fixons une uniformisante F ∈ F , notons Z

F le sous-groupe de F×qu’elle engendre. Notons o×

Fnr ,tu le sous-groupe des éléments de o×Fnr dont l’image

dans Fq est 1. L’application produit:

o×Fnr ,tu × o×

Fnr ,p′ ×Z

F → Fnr,×

est évidemment bijective. On a les égalités T (oFnr )tu = X∗(T )⊗ Z o×Fnr ,tu et

T (oFnr )p′ = X∗(T ) ⊗Z o×Fnr ,p′ . Posons T Z = X∗(T ) ⊗Z

Z

F . L’application pro-duit:

T (oFnr )tu × T (oFnr )p′ × T Z → T (Fnr )

est un isomorphisme. On remarque que chacun des facteurs est stable par l’action de�nr

F et que les sous-groupes de points fixes des deux premiers facteurs sont respec-tivement T (oF )tu et T (oF )p′ . Il en résulte que l’application produit:

T (oF )tu × T (oF )p′ × (T Z)�nrF → T (F)

est un isomorphisme. A fortiori, l’application produit:

(1) T (oF )× (T Z)�nrF → T (F)

est aussi un isomorphisme.La fibre spéciale T est le tore sur Fq de groupe de cocaractères X∗(T ), muni de son

action de �nrF .

Considérons un homomorphisme π : T ′ → T défini sur F entre deux tores nonramifiés. Supposons que π(X∗(T ′)) est un sous-groupe d’indice fini premier à p deX∗(T ). Alors:

(2) l’homomorphisme π : T ′(oFnr ) → T (oFnr ) est surjectif.En effet, les racines d’ordre premier à p d’un élément de o×

Fnr appartiennent à o×Fnr .

Plus précisément, les deux homomorphismes:

T ′(oFnr )tu → T (oFnr )tu et T ′(oFnr )p′ → T (oFnr )p′

sont surjectifs. Le noyau du premier possède une filtration dont les quotients sont desespaces vectoriels sur Fq et sont donc cohomologiquement triviaux. Il en résulte quecet homomorphisme se descend en un homomorphisme surjectif π : T ′(oF )tu →T (oF )tu .

1.5 Groupes tordus

Considérons un groupe tordu (G, G) sur F . Cela signifie ce qui suit. La premièredonnée G est un groupe réductif connexe défini sur F . La seconde donnée G est une

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variété algébrique définie sur F et telle que G(F) = ∅. Il y a deux actions de groupealgébrique de G sur G, à droite et à gauche, définies sur F et notées:

G × G → G(g, δ) �→ gδ,

G × G → G(δ, g) �→ δg.

Chacune d’elles fait de G un espace principal homogène sur G.Il résulte des hypothèses ci-dessus qu’il existe une unique application algébrique

définie sur F

G → Aut (G)δ �→ autδ,

de sorte que, pour tous δ ∈ G et g ∈ G, on ait l’égalité δg = autδ(g)δ. On a aussiles égalités autgδ = intg ◦ autδ , autδg = autδ ◦ intg . Le composé de l’applicationaut et de la projection de Aut (G) sur Out (G) envoie G sur un unique élément de cedernier groupe. On dit que c’est l’élément associé à G et on le note θ . Il est défini surF . Dans tout l’article, nous supposons vérifiée l’hypothèse suivante:

Hypothèse: θ est d’ordre fini.Cette hypothèse est d’ailleurs automatique si G est semi-simple, puisque, dans ce

cas, Out (G) est d’ordre fini.Pour g ∈ G, on note encore intg l’automorphisme δ �→ gδg−1 de G. On utilisera

les notations introduites en 1.1 pour l’action de G sur G pour laquelle tout g ∈ Gopère par intg . Par exemple, pour δ ∈ G, on note Gδ la composante neutre de {g ∈G; gδg−1 = δ}.

1.6 Groupes de Lévi tordus

On fixe jusqu’en 1.10 inclus un groupe tordu (G, G) sur F . On appelle sous-groupeparabolique tordu un couple (P, P) tel que P soit un sous-groupe parabolique définisur F de G, P = {δ ∈ G; autδ(P) = P} et P = ∅. Pour un tel couple (P, P), onappelle composante de Lévi tordue un couple (M, M) tel que M soit une composantede Lévi de P définie sur F et M = {δ ∈ P; autδ(M) = M}. On appelle groupe deLévi tordu un couple (M, M) pour lequel il existe un sous-groupe parabolique tordudont (M, M) soit une composante de Lévi tordue. Considérons un tel groupe de Lévitordu (M, M). Montrons que:

(1) le couple (M, M) est un groupe tordu sur F .

Preuve Le seul point non évident est que M(F) = ∅. Considérons un couple (P0,M0)

formé d’un sous-groupe parabolique P0 de G, défini sur F et minimal, et d’unecomposante de Lévi M0 de P0, définie sur F . Soit δ ∈ G(F). L’image par autδdu couple (P0,M0) vérifie les mêmes propriétés. Or les couples vérifiant ces pro-priétés forment une seule orbite sous l’action de G(F). Quitte à multiplier δ par untel élément, on peut donc supposer que autδ conserve (P0,M0). Soit maintenant unsous-groupe parabolique tordu (P, P) dont (M, M) soit une composante de Lévi tor-due. On peut choisir (P0,M0) de sorte que cette paire soit contenue dans (P,M),c’est-à-dire P0 ⊂ P , M0 ⊂ M . L’hypothèse que P n’est pas vide, jointe au fait que

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deux composantes de Lévi d’un même sous-groupe parabolique sont toujours con-juguées par un élément de ce sous-groupe, entraîne que le couple image de (P,M)par autδ est conjugué par un élément de G au couple (P,M) lui-même. Mais cesdeux couples contiennent tous deux le couple (P0,M0). Ils sont donc égaux. Alors δappartient à M(F). ��

Remarquons que, dans les définitions ci-dessus, les données P ou M sont en faitredondantes, puisqu’elles sont déterminées par P ou M . Cela nous autorisera parfoisà désigner un sous-groupe parabolique tordu, resp. un groupe de Lévi tordu, par leseul symbole P , resp. M .

Soit (M, M) un groupe de Lévi tordu, notons θ l’élément de Out (G) associé à G etθM l’élément de Out (M) associé à M (dans la suite de l’article, on notera simplementθ ces deux éléments). Le groupe Out (G) agit naturellement sur ZG et Out (M) agitnaturellement sur Z M . La restriction à ZG de l’action de θM sur Z M coïncide avecl’action de θ . Les égalités suivantes sont faciles à prouver:

(2) Z θM

M = Z θM ,0

M Z θG , Z θM ,�F

M =(

Z θM ,0

M

)�FZ θ,�F

G .

Nous utiliserons les notations suivantes qui ont été introduites par Arthur. Soit(M, M) un groupe de Lévi tordu. On note P(M), resp. F(M), l’ensemble des sous-groupes paraboliques tordus de composante de Lévi M , resp. contenant M . On noteL(M) l’ensemble des groupe de Lévi tordus (L , L) (ou simplement L) tels que M ⊂ L .Quand on applique ces définitions au cas où G = G, on obtient les ensembles P(M),F(M) et L(M). Pour tout sous-groupe parabolique P de G, on note UP son radicalunipotent.

Supposons G muni d’une paire de Borel (B, T ) définie sur F . Selon l’usage, ondit qu’un groupe de Lévi M est standard si T ⊂ M et s’il existe P ∈ P(M) tel queB ⊂ P .

1.7 Invariants d’un groupe tordu quasi-déployé

Notonsπ : G → G AD etπ SC : GSC → G AD les homomorphismes naturels. Le sous-groupe π SC (GSC (F)) ⊂ G AD(F) est distingué et le groupe quotient G AD(F)/π SC

(GSC (F)) est abélien. Pour g ∈ G AD(F), choisissons un relèvement gsc ∈ GSC (F).Pour σ ∈ �F , posons zg(σ ) = gscσ(g−1

sc ); Alors zg est un cocycle à valeurs dans ZGSC

et l’application g �→ zg se quotiente en un isomorphisme de G AD(F)/π SC (GSC (F))sur H1(�F , ZGSC ). Le groupe Aut (G)(F) agit naturellement sur G AD(F)/π SC

(GSC (F)) et cette action se quotiente en une action de Out (G)(F). Cela définiten particulier une action de l’élément θ ∈ Out (G)(F) associé au groupe tordu. Legroupe G AD(F)/π(G(F)) est un quotient de G AD(F)/π SC (GSC (F)). On montrecomme ci-dessus qu’il est isomorphe à l’image de l’homomorphisme naturel:

H1(�F , ZGSC ) → H1(�F , ZG),

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qui est aussi le noyau de l’homomorphisme:

H1(�F , ZG) → H1(�F ,G).

L’automorphisme θ continue à agir sur le quotient G AD(F)/π(G(F)). Avec lesnotations de 1.1, on définit le quotient (G AD(F)/π(G(F)))/θ .

Supposons G quasi-déployé sur F , fixons une paire de Borel épinglée (B, T,(Eα)α∈�) définie sur F , notons encore θ l’unique automorphisme de G préservantcette paire épinglée et ayant pour image dans Out (G) l’élément associé à G. Soitδ ∈ G(F). On peut fixer g ∈ GSC (F) tel que θ = intg ◦ autδ . Puisque θ et autδsont tous deux définis sur F , l’image gad de g dans G AD appartient à G AD(F).Notons inv(G) l’image de g−1

ad dans (G AD(F)/π(G(F)))/θ . On vérifie que ce termene dépend d’aucun des choix effectués.

Considérons maintenant deux groupes tordus (G, G) et (G, G ′) sur F de mêmegroupe sous-jacent G, que l’on suppose quasi-déployé. Appelons isomorphismeintérieur de (G, G) sur (G, G ′) un couple (x, ϕ) où ϕ : G → G ′ est un isomor-phisme de variétés défini sur F et x est un élément de G AD(F), ces deux termesvérifiant les égalités ϕ(gδ) = intx (g)ϕ(δ) et ϕ(δg) = ϕ(δ)intx (g) pour tous g ∈ G etδ ∈ G. On dit que les deux groupes tordus sont intérieurement isomorphes s’il existeun isomorphisme intérieur de l’un sur l’autre.

Lemme Les deux groupes tordus (G, G) et (G, G ′) sont intérieurement isomorphessi et seulement si leurs éléments associés dans Out (G) sont égaux ainsi que leursinvariants inv(G) et inv(G ′).

Preuve Supposons que les éléments associés dans Out (G) aux deux groupes tordussoient égaux, ainsi que les invariants inv(G) et inv(G ′). On reprend la constructiondonnée ci-dessus de ces invariants. On prend pour les deux groupes tordus la mêmepaire de Borel épinglée, donc le même θ d’après la première hypothèse. On con-sidère deux éléments δ ∈ G(F) et δ′ ∈ G ′(F), auquels on associe deux élémentsg, g′ ∈ GSC (F). Par hypothèse, on peut fixer h ∈ G(F) et x ∈ G AD(F) tels queg′

ad = θ(x)gad x−1had . Pour g ∈ G, posons ϕ(gδ) = intx (g)hδ′. Alors (x, ϕ) est unisomorphisme intérieur de (G, G) sur (G, G ′). La réciproque est immédiate. ��

1.8 Groupes hyperspéciaux tordus

On a défini en [9] 4.3 un entier N (G). On note eF l’indice de ramification de F surQp. On suppose:

(1) p > N (G)eF + 1;(2) G est non ramifié sur F .

Rappelons que cette deuxième condition signifie que G est quasi-déployé sur F etse déploie sur une extension non ramifiée. A la suite de Bruhat et Tits, on introduitl’immeuble I mm(G, F) de G sur F et la notion de point hyperspécial de cet immeuble([8], 1.11.2). Le groupe G(F) agit sur l’immeuble. Le fixateur d’un point hyperspécial

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est un sous-groupe ouvert compact de G(F) que l’on appelle sous-groupe hyperspé-cial. Deux points hyperspéciaux déterminent le même sous-groupe hyperspécial si etseulement s’ils se déduisent l’un de l’autre par une translation centrale, ce qui revientà dire que leurs images dans l’immeuble I mm(G AD, F) de G AD sont égales. A unsous-groupe hyperspécial K est attaché un schéma en groupes lisses G K sur oF , defibre générique G, tel que G K (oF ) = K . Ce schéma en groupes possède une algèbrede Lie gK . Le réseau gK (oF ) ⊂ g(F) est dit lui-aussi hyperspécial. On note GK etgK les fibres spéciales de G K et gK . Il est connu que les sous-goupes hyperspéci-aux de G(F) forment une seule orbite pour l’action de G AD(F) et que, pour touttel sous-groupe K , le normalisateur de K dans G(F) est égal à ZG(F)K . D’autrepart, les points hyperspéciaux étant essentiellement les mêmes pour les groupes G,G AD et GSC , tout sous-groupe compact hyperspécial K de G(F) détermine de telssous-groupes K AD de G AD(F) et KSC de GSC (F). On notera G K ,AD et G K ,SC lesschémas en groupes associés.

Soit (B, T, (Eα)α∈�) une paire de Borel épinglée définie sur F . Remarquonsque Eα ∈ gSC (Fnr ) pour tout α ∈ �. On peut compléter l’épinglage en une basede Chevalley de gSC (Fnr ) et les éléments de cette base sont déterminés de façonunique, au signe près. Une telle base permet d’identifier l’espace X∗(T )�F ⊗Z R àl’appartement dans I mm(G, F) associé au plus grand sous-tore de T déployé surF([8], 1.1, 1.11). Le point 0 ∈ X∗(T )�F ⊗Z R est hyperspécial et définit donc unsous-groupe hyperspécial K ⊂ G(F). Le réseau associé gK (oFnr ) ⊂ g(Fnr ) est celuiengendré sur oFnr par t(oFnr ) et par la base de Chevalley. On a l’inclusion T (oF ) ⊂ K .Le groupe B possède une structure sur oF déterminée par l’épinglage. Notons B etT les fibres spéciales de B et T et notons (Eα)α∈� l’image naturelle de l’épinglagedans gK (Fq). Alors (B,T, (Eα)α∈�) est une paire de Borel épinglée de GK définiesur Fq . Inversement, soit K un sous-groupe hyperspécial de G(F). Choisissons unepaire de Borel (B, T ) définie sur F de sorte que tout point hyperspécial associé à Kappartienne à l’appartement associé au plus grand sous-tore de T déployé sur F . Alorson peut choisir un épinglage défini sur F relatif à cette paire de Borel de sorte que Ksoit le groupe associé comme ci-dessus à la paire de Borel épinglée. Remarquons que,dans cette construction, la paire de Borel est unique à conjugaison par K près, tandisque la paire de Borel épinglée est unique à conjugaison par K AD près.

Soit K un sous-groupe hyperspécial de G(F). Posons:

NormG(F)(K ) = {δ ∈ G(F); autδ(K ) = K }.

Si cet ensemble n’est pas vide, c’est une unique classe pour l’action (à droite ou àgauche) de ZG(F)K . Dans ce cas, considérons une classe K ⊂ NormG(F)(K ) pour

l’action de K . On appelle le couple (K , K ) un sous-groupe hyperspécial tordu de(G, G).

Lemme Soient (K , K ) un sous-groupe hyperspécial tordu de (G, G) et (B, T,(Eα)α∈�) une paire de Borel épinglée définie sur F dont K soit le sous-groupe hyper-spécial associé. Notons θ l’unique automorphisme de G conservant la paire de Borelépinglée et ayant pour image dans Out (G) l’élément associé à G. Alors il existeδ ∈ K et t ∈ Tsc(oFnr ) tels que θ = intt ◦ autδ .

123


Preuve Soit δ ∈ K . Puisque θ et autδ ont même image dans Out (G), on peut fixerg ∈ GSC tel que θ = intg ◦ autδ . L’automorphisme θ est défini sur F et, puisqu’ilconserve la paire de Borel épinglée, il conserve aussi le groupe K qui lui est associé.L’automorphisme autδ est aussi défini sur F et conserve K . Donc intg aussi, ce quiimplique gad ∈ K AD . Introduisons l’homomorphisme naturel π SC : GSC → G AD .Montrons que l’on a l’égalité:

(3) K AD = Tad(oF )πSC (KSC ).

Les deux groupes K AD et KSC sont naturellement filtrés et il suffit de prouver l’égalitésimilaire pour les quotients des filtrations. Dans ces quotients, le couple (K AD, KSC )

est remplacé soit par (GK ,AD(Fq),GK ,SC (Fq)), soit par (gK ,AD(Fq),gK ,SC (Fq)). Ledeuxième cas est évident: grâce à l’hypothèse (1), on a l’égalité plus fortegK ,AD(Fq) =π SC (gK ,SC (Fq)). Dans le premier cas, le groupe GK ,AD(Fq) est engendré par Tad(Fq)

et par des sous-groupes radiciels qui appartiennent à π SC (GK ,SC (Fq)). Cela prouve(3). Cette relation montre que, quitte à multiplier δ par un élément de KSC , on peutsupposer gad ∈ Tad(oF ). Grâce à l’hypothèse (1), le groupeπ SC (X∗(Tsc)) est d’indicefini premier à p dans X∗(Tad). D’après ce que l’on a dit en 1.4, gad est l’image parπ SC d’un élément t ∈ Tsc(oFnr ). On peut remplacer g par t et la conclusion du lemmeest vérifiée. ��

1.9 L’ensemble des groupes hyperspéciaux tordus

On conserve les hypothèses du paragraphe précédent. Soit (B, T, (Eα)α∈�) une pairede Borel épinglée définie sur F . Il y a un homomorphisme naturel:

Tad(oF ) → G AD(F)/π(G(F)),

oùπ est comme en 1.7. Son image ne dépend pas du choix de la paire de Borel épingléecar changer de paire revient à effectuer une conjugaison par un élément de G AD(F) etune telle conjugaison agit trivialement sur G AD(F)/π(G(F)). Notons K l’image deTad(oF ) dans G AD(F)/π(G(F)) et K/θ l’image de K dans (G AD(F)/π(G(F)))/θ .On relève l’élément θ ∈ Out (G) associé à G en un automorphisme de G conservantla paire de Borel épinglée. Alors θ agit sur Tad(oF )/π(T (oF )) et l’injection ci-dessusse quotiente en un homomorphisme surjectif:

(1) (Tad(oF )/π(T (oF )))/θ → K/θ .

Par ailleurs, notons GAD(F) le sous-ensemble des g ∈ G AD(F) tels que l’image degθ(g)−1 dans G AD(F)/π(G(F)) appartienne à K. On vérifie que c’est un sous-groupede G AD(F) qui ne dépend pas du choix de la paire de Borel épinglée.

Lemme (i) L’homomorphisme (1) est bijectif.(ii) Il existe un sous-groupe hyperspécial K de G(F) tel que NormG(F)(K ) = ∅

si et seulement si inv(G) appartient à K/θ .

123


(iii) Supposons les conditions de (ii) satisfaites. Alors l’ensemble des sous-groupeshyperspéciaux de G(F) pour lesquels NormG(F)(K ) n’est pas vide forme uneseule orbite sous l’action de groupe GAD(F).

(iv) Soient (K , K ) et (K ′, K ′) deux sous-groupes hyperspéciaux tordus de (G, G).Alors il existe un automorphisme intérieur (x, ϕ) de (G, G) tel que intx (K ) =K ′ et ϕ(K ) = K ′.

Preuve On reprend les constructions qui précèdent l’énoncé. Le groupe π(G(F)) estun sous-groupe distingué de G AD(F). Considérons l’homomorphisme naturel:

(2) Tad(F)/π(T (F)) → G AD(F)/π(G(F)).

Il est injectif. Il est aussi surjectif car G AD(F) est engendré par Tad(F) et les rad-icaux unipotents de ses sous-groupes de Borel définis sur F , lesquels sont inclusdans π(G(F)). L’homomorphisme (2) est donc bijectif. Puisqu’il est compatible auxactions de θ , l’homomorphisme:

(3) (Tad(F)/π(T (F)))/θ → (G AD(F)/π(G(F)))/θ

est lui-aussi bijectif.Utilisons les constructions de 1.4. Les applications produits:

T (oF )× (T Z)�nrF → T (F)

et

Tad(oF )× (T Z

ad)�nr

F → Tad(F)

sont surjectives. Chacun des facteurs des membres de gauche est stable parl’automorphisme θ . L’application π envoie chaque facteur relatif au tore T dans le fac-teur correspondant relatif au tore Tad . Le groupe (Tad(F)/π(T (F)))/θ se décomposealors en produit de deux facteurs, dont l’un est (Tad(oF )/π(T (oF )))/θ . En utilisantl’injectivité de (3), on en déduit que l’homomorphisme:

(Tad(oF )/π(T (oF )))/θ → (G AD(F)/π(G(F)))/θ

est injectif, ce qui prouve le (i) de l’énoncé.Soit K un sous-groupe hyperspécial de G(F), supposons NormG(F)(K ) = ∅.

Oublions la paire de Borel épinglée que l’on a introduite avant l’énoncé et prenonsplutôt une telle paire et des éléments δ et t vérifiant la conclusion du lemme 1.8. Ona tad ∈ Tad(oF ). Puisque inv(G) est l’image de tad dans (G AD(F)/π(G(F)))/θ , cetinvariant appartient donc à K/θ .

Inversement, supposons que inv(G) appartienne à K/θ . Construisons cet invariantcomme en 1.7 à l’aide d’une paire de Borel épinglée définie sur F et d’un élément δ ∈G(F). Comme dans ce paragraphe, on a une égalité θ = intg ◦ autδ . L’hypothèse sig-nifie qu’il existe t ∈ Tad(oF ), h ∈ G(F) et x ∈ G AD(F) tels que gad = θ(x)t x−1had .Remplaçons la paire de Borel épinglée par son image par intx . Cela remplace θ parθ ′ = intx ◦ θ ◦ int−1

x = intxθ(x)−1 ◦ θ . Remplaçons aussi δ par δ′ = hδ. Alors g

est remplacé par un élément g′ tel que g′ad = xθ(x)−1gad h−1

ad = xtad x−1. Soit K le

123


sous-groupe hyperspécial associé au nouvel épinglage. L’élément xtad x−1 appartientà K AD , donc intg′ conserve K . Il en est de même de l’automorphisme θ ′. Donc il enest de même de autδ′ et δ′ appartient à NormG(F)(K ). Cela prouve (ii).

Soient (K , K ) et (K ′, K ′) deux sous-groupes hyperspéciaux tordus de (G, G).Choisissons une paire de Borel épinglée (B, T, (Eα)α∈�), resp. (B ′, T ′, (E ′

α′)α′∈�′),définie sur F , dont K , resp. K ′, soit le groupe hyperspécial associé. Les deux paires deBorel (non épinglées) (B, T ) et (B ′, T ′) sont conjuguées par le groupe G(F). Choisis-sons un élément h ∈ G(F) qui conjugue la seconde en la première. La conjugaison parh envoie la seconde paire de Borel épinglée sur une paire de Borel épinglée de la forme(B, T, (E ′′

α)α∈�) et envoie (K ′, K ′) sur un sous-groupe hyperspécial tordu (K ′′, K ′′)tel que K ′′ soit le sous-groupe associé à cette paire. Appliquons le lemme 1.8 à (K , K )et (K ′′, K ′′). On obtient des automorphismes θ et θ ′′, des éléments δ ∈ K et δ′′ ∈ K ′′et des éléments t, t ′′ ∈ Tsc(oFnr ) tels que θ = intt ◦ autδ et θ ′′ = intt ′′ ◦ autδ′′ . Soitx1 ∈ G AD(F) tel que intx1 envoie la paire de Borel épinglée (B, T, (Eα)α∈�) sur(B, T, (E ′′

α)α∈�) et soit y1 ∈ G(F) tel que δ′′ = y1δ. Nécessairement, x1 appartientà Tad(F) et y1 appartient à T (F). On a l’égalité θ ′′ = intx1 ◦ θ ◦ intx−1

1. Jointe aux

égalités précédentes, elle entraîne:

t ′′ad y1,ad = x1θ(x1)−1 tad .

On sait que tad et t ′′ad appartiennent à Tad(oF ). D’après l’égalité ci-dessus, ces deuxéléments ont même image dans (G AD(F)/π(G(F)))/θ . D’après le (i) de l’énoncé,ils ont donc même image dans (Tad(oF )/π(T (oF )))/θ et on peut fixer y2 ∈ T (oF ) etx2 ∈ Tad(oF ) de sorte que t ′′ad = θ(x2)(x2)

−1 y2,ad tad . Posons y = y1 y2 et x ′′ = x1x2.On a alors yad = x ′′θ(x ′′)−1. Pour g ∈ G, posons ϕ′′(gδ) = intx ′′(g)yδ. On vérifieque le couple (x ′′, ϕ′′) est un automorphisme intérieur de (G, G) et que l’on a leségalités intx ′′(K ) = K ′′, ϕ′′(NormG(F)(K )) = NormG(F)(K

′′). Posons x = h−1ad x ′′

et définissons ϕ : G → G par ϕ(δ) = h−1ϕ′′(δ)h pour tout δ ∈ G. Alors (x, ϕ)réalise les conditions du (iv) de l’énoncé, ce qui démontre cette assertion (iv).

L’élément x que l’on vient de construire appartient à GAD(F). Cela montre que lesdeux groupes K et K ′ sont dans la même orbite sous l’action de ce groupe. Inversement,soient K et K ′ deux sous-groupes hyperspéciaux et x ∈ GAD(F). Supposons K ′ =intx (K ) et NormG(F)(K ) = ∅. On fixe une paire de Borel épinglée (B, T, (Eα)α∈�)dont K soit le groupe hyperspécial associé et on applique le lemme 1.8 à K et uneorbite pour l’action à gauche (ou à droite) de K dans NormG(F)(K ). On obtient des

termes θ , δ et t comme ci-dessus. L’hypothèse sur x entraîne l’existence de h ∈ G(F)et y ∈ Tad(oF ) tels que θ(x)tad h−1

ad x = tad y. On vérifie alors que l’élément δ′ = hδappartient à NormG(F)(K

′). Ce dernier ensemble n’est donc pas vide, ce qui prouve(iii) et le lemme. ��

1.10 Traduction en termes de cocycles

On conserve les hypothèses de 1.8. On note ZG,c le sous-groupe des éléments compactsde ZG = ZG(F). L’action de θ sur ZG conserve ZG,c. On pose ZG,c,/θ = (ZG,c)/θ

123


(on utilisera plus loin des notations analogues). Le groupe �F agit sur ZG,c,/θ . Del’injection naturelle ZG(Fnr )c → ZG,c se déduit un homomorphisme:

(1) ZG(Fnr )c,/θ → (ZG,c,/θ )

IF .

On a d’autre part un homomorphisme naturel:

H1(�nrF , ZG(F

nr )c) → H1(�nrF , ZG(F

nr )c,/θ )

qui se quotiente en un homomorphisme:

(2) (H1(�nrF , ZG(F

nr )c))/θ → H1(�nrF , ZG(F

nr )c,/θ ).

Fixons une paire de Borel épinglée (B, T, (Eα)α∈�) définie sur F , qui nous permetde définir une action de θ sur G. Considérons la suite:

1 → ZG(Fnr )c → T (oFnr )

π→ Tad(oFnr ) → 1

Elle exacte car la troisième flèche est surjective. En effet, l’hypothèse (1) de 1.8 entraîneque π(X∗(T )) est un sous-groupe de X∗(Tad) d’ordre premier à p, et la surjectivitérésulte de 1.4. De la suite exacte résulte un homomorphisme:

(3) K � Tad(oF )/π(T (oF )) → H1(�nrF , ZG(F

nr )c),

puis un homomorphisme:

(4) K/θ � (Tad(oF )/π(T (oF )))/θ → (H1(�nrF , ZG(F

nr )c))/θ .

Lemme Les homomorphismes (1), (2), (3) et (4) sont des isomorphismes.

Preuve L’application produit:

ZG,tu × ZG,p′ → ZG,c

est un isomorphisme. Les deux facteurs sont invariants par θ . Il en résulte un isomor-phisme:

(5) ZG,tu,/θ × ZG,p′,/θ → ZG,c,/θ .

Le groupe ZG,p′ est inclus dans Tp′ , lequel est égal à X∗(T )⊗Z o×F,p′ . Mais o×

F,p′ =o×

Fnr ,p′ , car extraire des racines de l’unité d’ordre premier à p ne crée que des extensionsnon ramifiées. Donc Tp′ = T (Fnr )p′ , puis ZG,p′ = ZG(Fnr )p′ . Grâce à l’hypothèse(1) de 1.8, l’ordre de θ est premier à p. Le groupe ZG,tu est un pro-p-groupe. Unraisonnement familier entraîne que l’application produit:

Z θG,tu × (1 − θ)(ZG,tu) → ZG,tu

123


est un isomorphisme. Ou encore, l’application naturelle:

Z θG,tu → ZG,tu,/θ

est un isomorphisme. En prenant les invariants par IF , on obtient que l’application:

Z θG(Fnr )tu → (ZG,tu,/θ )

IF

est un isomorphisme. De la suite (5) se déduit alors un isomorphisme:

Z θG(Fnr )tu × ZG(F

nr )p′,/θ → (ZG,c,/θ )IF .

Le même raisonnement montre que le membre de gauche est aussi isomorphe àZG(Fnr )c,/θ . Il en résulte que l’homomorphisme (1) est un isomorphisme.

Pour prouver que l’homomorphisme (2) est un isomorphisme, les décompositionsque l’on vient d’écrire nous ramènent à prouver que les deux homomorphismes suiv-ants le sont:

(6) (H1(�nrF , ZG(F

nr )tu))/θ → H1(�nrF , ZG(F

nr )tu,/θ ) � H1(�nrF , Z θG(F

nr )tu),

(7) (H1(�nrF , ZG(F

nr )p′))/θ → H1(�nrF , ZG(F

nr )p′,/θ ).

L’injection Z0G(F

nr ) → ZG(Fnr ) a pour conoyau un groupe d’ordre premier à p.Donc ZG(Fnr )tu = Z0

G(Fnr )tu . Mais ce dernier groupe possède une filtration dont

les quotients sont des espaces vectoriels sur Fq . Un tel groupe est cohomologique-ment trivial. Donc l’espace de départ de l’homomorphisme (6) est nul. L’injection(Z θG)

0(Fnr ) → Z θG(Fnr ) a pour conoyau un groupe d’ordre premier à p. On en déduit

de même que l’espace d’arrivée de l’homomorphisme (6) est nul. Cet homomorphismeest donc bien bijectif. Notonsφ ∈ �nr

F l’élément de Frobenius. Pour tout groupe abéliende torsion A sur lequel�nr

F agit continuement, le groupe H1(�nrF , A) s’identifie à A/φ .

Les espaces de départ et d’arrivée de l’homomorphisme (7) s’identifient donc respec-tivement à ((ZG(Fnr )p′)/φ)/θ et ((ZG(Fnr )p′)/θ )/φ . Il est alors élémentaire de voirque l’homomorphisme (7) est un isomorphisme. Donc l’homomorphisme (2) aussi.

D’après la construction de l’homomorphisme (3), cet homomorphisme est injectifet, pour prouver sa surjectivité, il suffit de prouver que H1(�nr

F , T (oFnr )) = 0. Or,le groupe T (oFnr ) possède une filtration dont les quotients sont, soit des espacesvectoriels sur Fq , soit, pour le premier, le groupe T(Fq). Tous ces quotients sontcohomologiquement triviaux d’après le théorème de Lang. La nullité voulue en résulte.Enfin, que l’homomorphisme (4) soit un isomorphisme se déduit immédiatement dela même propriété de l’homomorphisme (3). ��Supposons que l’invariant inv(G) appartienne à K/θ . D’après le lemme 1.8(ii), ilexiste des sous-groupes hyperspéciaux tordus. Fixons un tel sous-groupe (K , K ), etsupposons la paire de Borel épinglée telle que son sous-groupe hyperspécial associésoit K . Le lemme 1.8 nous fournit un automorphisme θ et des éléments δ ∈ K ett ∈ Tsc(oFnr ). Pour σ ∈ �nr

F , notons z(σ ) l’image dans G de tσ(t)−1. Alors z est un

123


cocycle de �nrF dans ZG(Fnr )c et son image dans (H1(�nr

F , ZG(Fnr )c))/θ est l’imagede inv(G) par l’isomorphisme du lemme ci-dessus.

1.11 Groupes tordus triviaux

Soit G un groupe réductif connexe défini sur F . Soit z un cocycle de �F dans ZG ,dont l’image dans H1(�F ,G) est nulle. On définit une variété Gz sur F : c’est l’uniquevariété sur F munie d’un isomorphisme ψz : Gz → G défini sur F , qui vérifiel’égalité ψz(σ (h)) = z(σ )−1σ(ψz(h)) pour tous σ ∈ �F et h ∈ Gz . Le groupeG agit à droite et à gauche sur Gz de sorte que ψz(ghg′) = gψz(h)g′ pour tousg, g′ ∈ G et h ∈ Gz . Alors (G,Gz) est un groupe tordu sur F : le fait que Gz(F)soit non vide résulte de l’hypothèse sur le cocycle. L’élément de Out (G) associé estl’élément neutre de ce groupe. Supposons G quasi-déployé sur F . Alors l’invariantinv(Gz) ∈ G AD(F)/π(G(F)) est l’image du cocycle z dans ce groupe.

Inversement, considérons un groupe tordu (G, G) sur F dont l’élément associédans Out (G) est l’élément neutre de ce groupe. Soit δ ∈ G(F), choisissons g ∈GSC (F) tel que intg ◦ autδ = 1. Pour σ ∈ �F , posons z(σ ) = gσ(g)−1. Alors zest un cocycle à valeurs dans ZGSC . Définissons une application ϕ : G → Gz parϕ(gδ) = ψ−1

z (gg−1) pour tous g ∈ G. Alors (1, ϕ) est un isomorphisme intérieur de(G, G) sur (G,Gz).

Soit de nouveau G un groupe réductif connexe défini sur F , supposons vérifiéesles hypothèses (1) et (2) du paragraphe 1.8. L’homomorphisme naturel:

H1(�nrF , ZG(F

nr )c) → H1(�F ,G)

se factorise par H1(�nrF , T (oFnr )) et est donc nul comme on l’a vu dans la preuve du

lemme 1.10. Soit z un cocycle de�nrF dans ZG(Fnr )c. On lui associe comme ci-dessus

une variété Gz , sur laquelle le groupe G agit à gauche et à droite. Les restrictions de cesdeux actions à ZG coïncident. Considérons le quotient Gz(F)/ZG(F)c. Je dis qu’ilne dépend que de la classe [z] de z dans H1(�nr

F , ZG(Fnr )c), en ce sens que si z′ estun autre cocycle représentant la même classe [z], il y a un isomorphisme canonique deGz(F)/ZG(F)c sur Gz′(F)/ZG(F)c. En effet, il existe ζ ∈ ZG(Fnr )c tel que z′(σ ) =z(σ )ζσ (ζ )−1 pour toutσ ∈ �nr

F . Fixons un tel ζ . On noteψζ : Gz → Gz′ l’applicationtelle que ψz′ ◦ ϕ(h) = ψz(ζ

−1h) pour tout h ∈ Gz . C’est un isomorphisme définisur F , dont se déduit un isomorphisme de Gz(F) sur Gz′(F). Il dépend du choix deζ , mais changer ce choix revient à composer ϕ avec la multiplication par un élémentde ZG(F)c. Quand on quotiente par ce groupe, l’isomorphisme ne dépend plus duchoix et est bien canonique comme on l’a annoncé. Par abus de notation, on noteG[z](F)/ZG(F)c cet objet qui ne dépend que de [z].

Considérons un groupe tordu (G, G) sur F . Supposons que les hypothèses (1) et (2)de 1.8 sont vérifiées, que l’élément associé à G dans Out (G) est l’élément neutre de cegroupe et que inv(G) appartient à K. D’après le lemme 1.10, cet invariant s’identifieà un élément [z] ∈ H1(�nr

F , ZG(Fnr )c). On peut alors identifier G(F)/ZG(F)c àG[z](F)/ZG(F)c.

123


1.12 Sous-groupes hyperspéciaux et groupes de Lévi tordus

Soient (G, G) un groupe tordu sur F et (M, M) un groupe de Lévi tordu. On supposevérifiées les hypothèses (1) et (2) de 1.8. Remarquons que ces hypothèses restentvérifiées lorsqu’on y remplace G par M . Soit (B M , T ) une paire de Borel de Mdéfinie sur F et soit P ∈ P(M). Introduisons l’unique sous-groupe de Borel B deG tel que B M ⊂ B ⊂ P . Fixons un épinglage relatif à la paire (B, T ), défini surF . Il s’en déduit un épinglage défini sur F relatif à la paire (B M , T ). On peut alorsidentifier X∗(T )�F ⊗Z R à un appartement de chacun des immeubles I mm(M, F) etI mm(G, F). Cette identification d’appartements se prolonge de façon unique en unplongement de I mm(M, F) dans I mm(G, F). Ce plongement est équivariant pourles actions de M(F). Il dépend des choix, mais son image n’en dépend pas. Si un pointde cette image est hyperspécial, son image réciproque dans I mm(M, F) l’est aussi.

Lemme (i) Soit (K , K ) un sous-groupe hyperspécial tordu de (G, G). Supposonsque K soit le fixateur d’un point hyperspécial de I mm(G, F) contenu dansl’image de I mm(M, F). Posons K M = K ∩ M(F) et K M = K ∩ M(F). Alors(K M , K M ) est un sous-groupe hyperspécial tordu de (M, M).

(ii) Soient (K , K ) et (K ′, K ′) deux sous-groupes hyperspéciaux tordus de (G, G)vérifiant l’hypothèse de (i). Alors il existe un automorphisme intérieur (x, ϕ) de(G, G) tel que x ∈ Mad(F), intx (K ) = K ′, ϕ(K ) = K ′ et ϕ(M) = M.

Preuve D’après l’assertion qui précède l’énoncé, K M est le fixateur dans M(F) d’unpoint hyperspécial de I mm(M, F). C’est donc un sous-groupe hyperspécial de M(F).Reprenons l’identification d’appartements que l’on a évoquée ci-dessus. On peut sup-poser que le point hyperspécial de l’énoncé correspond au point 0 ∈ X∗(T )�F ⊗ZR. Lelemme 1.8 nous fournit un automorphisme θ et des éléments δ ∈ K et t ∈ Tsc(oFnr ).Le même argument que dans la preuve du lemme 1.7 montre que θ conserve M et P .Alors autδ = int−1

t ◦ θ conserve M et P donc δ appartient à K M . Cet ensemble n’estdonc pas vide, ce qui prouve (i).

Pour prouver (ii), on reprend la preuve du (iv) du lemme 1.9 et ses notations.On peut supposer T, T ′ ⊂ M et B, B ′ ⊂ P . Alors h ∈ M(F) et on vérifie quel’automorphisme intérieur (x, ϕ) construit en 1.9 satisfait aux conditions de l’énoncé.

��Pour simplifier, pour (K , K ) vérifiant les hypothèses du (i) ci-dessus, on note MK

(au lieu de MK M ) le schéma en groupes associé à K M .

2 Intégrales orbitales pondérées et endoscopie

2.1 Les données

On introduit dans ce paragraphe la situation que nous étudierons dans la suite del’article, ainsi que les diverses notations s’y rapportant.

On considère un groupe tordu (G, G) sur F . On note θ l’élément de Out (G) associéà G. On suppose vérifiées les hypothèses:

123


(1) p > N (G)eF + 1;(2) G est non ramifié sur F ;(3) θ est d’ordre fini;(4) inv(G) ∈ K/θ .

D’après les Lemmes 1.9(ii) et 1.10, cet invariant définit un élément de H1(�nrF ,

ZG(Fnr )c) que l’on note [zG].Introduisons le L-groupe L G = G � WF . On sait que le groupe des homomor-

phismes continus de G(F) dans C× est isomorphe à H1(WF , ZG) ([7] p. 123). On

fixe un tel homomorphisme ω, on note aω son cocycle associé et on suppose:

(5) aω provient par inflation d’un élément de H1(W nrF , ZG).

On considère un groupe de Lévi tordu (M, M) de (G, G). On fixe une paire de Borel(B M , T ) de M définie sur F et un sous-groupe parabolique tordu (P0, P0) ∈ P(M).Soit B le sous-groupe de Borel de G tel que B M ⊂ B ⊂ P0. On note �, resp. �, lesensembles de racines, resp. coracines, de T dans g et �, resp. �, les sous-ensemblesde racines simples, resp. coracines simples, associés à B. Le groupe Out (G) agit surT : tout élément de Out (G) se relève en un automorphisme de G qui conserve (B, T )et la restriction de cet automorphisme à T ne dépend pas du relèvement. Remarquonsqu’un tel relèvement de θ conserve M et que son image dans Out (M) est l’élémentde ce groupe associé à M . On note encore θ cet élément de Out (M).

Les groupes Out (M) et �F agissent sur Z M . On pose:

aM = X∗(Z0M )

θ,�F ⊗Z R.

On munit cet espace d’une forme quadratique définie positive et vérifiant la conditiond’invariance suivante. Posons a0 = X∗(T ) ⊗Z R. Le groupe NormG(T ) agit surcet espace et θ aussi. De plus aM est un sous-espace de a0. On demande qu’il existeune forme quadratique définie positive sur a0, invariante par les actions de θ et deNormG(T ), dont la forme sur aM soit la restriction.

Fixons une paire de Borel épinglée (B, T , (Eα)α∈�) de G qui soit conservée parl’action de �F (une telle paire existe par définition du groupe dual). Il y a des isomor-phismes en dualité j : X∗(T ) → X∗(T ), j : X∗(T ) → X∗(T ), qui sont équivariantspour les actions de �F et identifient les racines de T avec les coracines de T et vice-versa. On introduit l’automorphisme θ de G qui conserve la paire de Borel épinglée etvérifie les relations équivalentes j ◦ θ = (θ)−1 ◦ j , j ◦ θ = (θ)−1 ◦ j . On prolonge cetautomorphisme en un automorphisme de L G qui agit trivialement sur WF . Le groupeM est un groupe de Lévi standard. Il lui est associé un sous-ensemble �M ⊂ �. Ausous-ensemble correspondant �M ⊂ � est associé un groupe de Lévi standard de G,qui s’identifie à M . Le sous-groupe de L G engendré par ce groupe de Lévi et par WF

s’identifie à L M . L’automorphisme θ conserve M et sa restriction à M est liée à θ , vucomme élément de Out (M), de la même façon que θ est liée à θ , vu comme élémentde Out (G).

Signalons en passant qu’il y a une correspondance bijective entre L(M) etl’ensemble des sous-groupes L de G qui vérifient les conditions:

123


• M ⊂ L;• il existe un sous-groupe parabolique de G, invariant par θ et par l’action de �F ,

dont L soit une composante de Lévi.

A (L , L) ∈ L(M), on associe le groupe L tel que les racines de T dans L corre-spondent aux coracines de T dans L . La notation est cohérente: L est bien le groupedual de L et le sous-groupe L � WF de L G s’identifie à L L .

Le groupe ZG est un sous-groupe de Z M et on peut pousser aω en un cocycle àvaleurs dans Z M , notons-le aM

ω . C’est l’élément de H1(WF , Z M ) qui correspond à larestriction ωM à M(F) du caractère ω.

Remarque Le plongement M → G dépend des choix des paires de Borel. Maischanger de choix ne fait qu’induire des conjugaisons par des éléments de G. Donc leplongement ZG → Z M ne dépend, lui, d’aucun choix.

Rappelons ce qu’est une donnée endoscopique non ramifiée (M ′, L M ′, s, ξ ) pourle groupe tordu (M, M) muni du caractère ωM . Le terme M ′ est un groupe réduc-tif connexe défini et non ramifié sur F . Le terme s est un élément de M tel quel’automorphisme ints ◦ θ de M soit semi-simple. Le terme ξ est un homomorphismeinjectif et continu de L M ′ dans L M . On suppose que ξ se restreint en un isomorphismede M ′ sur Z M (sθ )

0, où Z M (sθ ) = {x ∈ M; sθ (x)s−1 = x}. On suppose qu’il existeun cocycle a : WF → Z M , dont la classe est aM

ω , tel que l’on ait l’égalité:

(6) ints ◦ θ ◦ ξ (x, w) = a(w)ξ (x, w)

pour tout (x, w) ∈ M ′� WF = L M ′. On suppose enfin que ξ (1, w) = (1, w) pour

tout w ∈ IF .On dit que la donnée est elliptique si ξ (Z�F ,0

M ′ ) ⊂ Z M .

Rappelons qu’un isomorphisme entre des données endoscopiques (M ′1,

L M ′1,

s1, ξ1) et (M ′2,

L M ′2, s2, ξ2) est un élément x ∈ M tel que intx ◦ ξ1(

L M ′1) = ξ2(

L M ′2)

et xs1θM (x−1) ∈ Z M s2. Un tel élément induit un isomorphisme φ′ : M ′

1 → M ′2,

défini sur F , uniquement défini à automorphisme intérieur près (cf. [6] 2.1).On considère une donnée endoscopique non ramifiée (M ′, L M ′, s, ξ ) comme

ci-dessus. On suppose:

(7) cette donnée est elliptique.

A isomorphisme près, on peut imposer les conditions supplémentaires suivantes:

(8) s ∈ T ;(9) si l’on pose B ′ = ξ−1(B) et T ′ = ξ−1(T ), (B ′, T ′) est une paire de Borel de

M ′ invariante par �F ;(10) le cocycle a qui intervient dans la relation (6) se quotiente en une fonction sur

W nrF qui prend ses valeurs dans ZG et dont la classe dans H1(W nr

F , ZG) est aω.

L’homomorphisme ξ identifie T ′ avec la composante neutre T θ ,0 du commutantde θ dans T . Fixons une paire de Borel épinglée (B ′, T ′, (E ′

α)α∈�′) de M ′, définie

123


sur F . De ξ se déduit par dualité un isomorphisme ξ : T/θ → T ′. On note encore ξl’application composée de T dans T ′.

Pour chaque sous-tore maximal T � de M ′, défini sur F , on fixe une mesure de Haarsur T �(F). On suppose que si T � et T � sont de tels sous-tores et si u ∈ Aut (M ′) serestreint en un isomorphisme défini sur F de T � sur T �, alors les mesures sur T �(F)et T �(F) se correspondent par cet isomorphisme.

On considère un groupe hyperspécial tordu (K , K ) de (G, G) tel que K fixe unpoint hyperspécial de l’appartement de I mm(G, F) associé au plus grand sous-toredéployé de T . Un tel groupe tordu existe d’après l’hypothèse (4) et le lemme 1.9 (ii)et (iii). On pose K M = K ∩ M(F), K M = K ∩ M(F). On complète la paire (B, T )en une paire de Borel épinglée (B, T, (Eα)α∈�) définie sur F , dont le sous-groupehyperspécial associé soit K . On relève θ en l’unique automorphisme de G qui conservela paire de Borel épinglée et dont l’image dans Out (G) est θ . On note encore θ cetautomorphisme. On fixe deux éléments δ ∈ K et t ∈ Tsc(oFnr ) tels que θ = intt ◦autδ .De tels éléments existent d’après le lemme 1.8 et δ ∈ K M d’après la preuve du (i)du lemme 1.12. On pose θ = t δ. On a θ ∈ M mais, en général, θ n’appartient pas àM(F). On a l’égalité θ = autθ .

Pour σ ∈ �F , posons z(σ ) = σ(t)t−1. L’application z ainsi définie se quotienteen un cocycle de �nr

F dans ZG(Fnr )c. Posons z′ = ξ ◦ z. Alors z′ est un cocycle de�nr

F dans Z M ′(Fnr )c. On construit comme en 1.11 la variété M ′z′ et l’isomorphisme

ψz′ : M ′z′ → M ′ sur Fnr . On note K ′ le sous-groupe hyperspécial de M ′(F) associé à

la paire de Borel épinglée de M ′ que l’on a fixée et M ′K ′ le schéma en groupes associé

à K ′. On pose K ′z′ = {γ ∈ M ′

z′(F);ψz′(γ ) ∈ M ′K ′(oFnr )}.

Pour chaque groupe G, M ′, etc. on note �G , �M ′, etc. le groupe de Weyl de G,

M ′, etc. relatif à T , T ′, etc. Rappelons que les groupes �G et �G s’identifient et que

de l’homomorphisme ξ se déduit un plongement de �M ′dans �M,θ .

Remarque Dans les données que l’on vient d’introduire, les objets de base sont (G, G),(M, M) et (M ′, L M

′, s, ξ ). Les autres sont des objets auxiliaires qui ne joueront

souvent aucun rôle. On peut les adapter si besoin est. Par exemple, on a choisi d’abordla paire de Borel (B, T ), puis (K , K ) en “bonne position” relativement à T . Onpeut aussi bien choisir d’abord (K , K ) soumis à la condition que K fixe un pointhyperspécial dans l’image de I mm(M, F) dans I mm(G, F), puis la paire de Borel(B M , T ) de F en “bonne position” relativement à K M .

Dans la suite de l’article, la situation est celle introduite ci-dessus, sauf indicationcontraire.

2.2 (G, M)-familles

Cette section et la suivante reprennent des définitions et résultats du paragraphe 1 de[2].

Pour tout espace vectoriel réel a, on note a∗ son dual et aC son complexifié.On peut considérer�, resp. �, comme un sous-ensemble de a∗

0 , resp. a0 (rappelonsque a0 = X∗(T ) ⊗Z R). On note �M l’ensemble des restrictions non nulles à aM

123


d’éléments de �. Pour α ∈ �M , on note α la somme des β pour β ∈ � telle que sarestriction à aM soit égale à α. On vérifie que α appartient à aM et on pose �M ={α;α ∈ �M }. Tout P ∈ P(M) détermine un sous-ensemble de racines simples�P ⊂ �M , resp. de coracines simples �P ⊂ �M . Ces ensembles déterminent à leurtour les chambres positives habituelles aP ⊂ aM et a∗

P⊂ a∗

M.

Pour tout groupe de Lévi L ∈ L(M), les espaces aL , resp. a∗L

, s’identifient à

des sous-espaces de aM , resp. a∗M

, dont on note aLM

, resp. aL,∗M

, les orthogonaux. En

particulier, pour P ∈ P(M), �P est une base de aGM

. On note Z[�P ] le réseau qu’elleengendre dans ce dernier espace et on définit une fonction θP sur a∗

M,Cpar:

θP (λ) = vol(aGM/Z[�P ])−1

∏α∈�P

λ(α)

pour tout λ ∈ a∗M,C

.

Une (G, M)-famille est une famille (cP )P∈P(M) vérifiant les conditions suivantes.

Pour tout P ∈ P(M), cP est une fonction C∞ sur l’espace ia∗M

(où i = √−1 ∈ C).

Soient P et P ′ deux éléments de P(M) qui sont adjacents, c’est-à-dire que leurschambres associées a∗

Pet a∗

P ′ sont séparées par un unique mur, notons le HP,P ′ . AlorscP et cP ′ coïncident sur iHP,P ′ . Sous ces hypothèses, il y a une fonction cM sur ia∗

M,

qui est C∞ et telle que, pour presque tout λ ∈ ia∗M

, on ait l’égalité:

cM (λ) =∑

P∈P(M)cP (λ)θP(λ)

−1

On note encore cM la valeur en 0 de cette fonction.

2.3 Poids

Notons X∗(M) le groupe des caractères de M . Les groupes Out (M) et �F agissentsur cet espace. Le groupe X∗(M)θ,�F ⊗Z R s’identifie à a∗

M. On définit la fonction

HM : M(F) → aM de sorte que, pour tous m ∈ M(F) et χ ∈ X∗(M)θ,�F , on aitl’égalité |χ(m)|F = exp(χ(HM (m))). Soit (P, P) ∈ P(M). D’après l’hypothèsesur K , on a l’égalité G(F) = P(F)K . On prolonge HM en une fonction HP :G(F) → aM en posant HP (umk) = HM (m) pour tous u ∈ UP (F), m ∈ M(F),k ∈ K . Pour x ∈ G(F) et λ ∈ ia∗

M, on pose vP (λ, x) = exp(−λ(HP (x))). La famille

(vP (., x))P∈P(M est une (G, M)-famille. On note vM (x) le nombre qui lui est associé,cf. 2.2. La fonction x �→ vM (x) est invariante à droite par K et à gauche par M(F).

2.4 Intégrales orbitales pondérées

Notons Greg le sous-ensemble des δ ∈ G tels que ZG(δ) soit abélien et Gδ soit untore (rappelons que Gδ = ZG(δ)

0)). Pour δ ∈ Greg , on note D(δ) le déterminant de

123


l’opérateur 1−autδ agissant dans g(F)/gδ(F). Pour δ ∈ Greg(F), on fixe une mesurede Haar sur Gδ(F), que l’on supposera plus loin soumise à certaines conditions decompatibilité. On fixe sur G(F) la mesure de Haar telle que K soit de volume 1. Onappelle cette mesure la mesure canonique. Notons MG−reg = M ∩ Greg et 1K lafonction sur G(F) qui vaut 1 sur K et 0 en-dehors. Soit δ ∈ MG−reg(F), supposonsvérifiée l’hypothèse suivante.

Hypothèse: ω est trivial sur Gδ(F).On pose alors:

r G,ωM,K

(δ) = |D(δ)|1/2F [ZG(δ)(F) : Gδ(F)]−1∫

Gδ(F)\G(F)

1K (x−1δx)ω(x)vM (x) dx .

2.5 Correspondance entre classes de conjugaison stable

L’isomorphisme ξ−1 : T ′ → T/θ se quotiente en une application:

(1) T ′/�M ′ → T/θ /�M,θ .

Le premier ensemble paramètre les classes de conjugaison d’éléments semi-simplesdans M ′. Il paramètre aussi bien les classes de conjugaison par M ′ d’éléments semi-simples dans la variété M ′

z′ (en disant qu’un élément de M ′z′ est semi-simple si son

image par ψz′ l’est). L’ensemble d’arrivée de l’application (1) paramètre les classesanalogues dans M de la façon suivante. Soit δ ∈ M . On dit qu’il est semi-simple siautδ est un automorphisme semi-simple de M , c’est-à-dire si autδ préserve une pairede Borel. Supposons qu’il en soit ainsi. Soit ν ∈ M tel que δ = νθ . Quitte à conjuguerδ par un élément de M , on peut supposer ν ∈ T . On associe à δ l’image de ν dansT/θ /�M,θ .

Le groupe �F agit sur les ensembles de classes de conjugaison dans M ′z′ et dans

M , donc sur les espaces de départ et d’arrivée de l’application (1). Cette applicationest équivariante pour ces actions de �F . On note M ′

G−regle sous-ensemble des élé-

ments semi-simples de M ′ dont la classe correspond à celle d’un élément de MG−reg .

On pose M ′z′,G−reg

= ψ−1z′ (M ′

G−reg). Appellons classe de conjugaison stable dans

M ′z′,G−reg

(F), resp. MG−reg(F), l’intersection de cet ensemble avec une classe de

conjugaison par M ′, resp. M . La flèche (1) induit une correspondance entre classes deconjugaison stable dans M ′

z′,G−reg(F) et dans MG−reg(F). A une classe de conjugai-

son stable dans M ′z′,G−reg

(F) correspond au plus une telle classe dans MG−reg(F).

L’homomorphisme ξ envoie ZG(Fnr )c dans Z M ′(Fnr )c. Cette application se fac-torise par ZG(Fnr )c,/θ . Puisqu’elle est équivariante pour les actions de �nr

F , on endéduit un homomorphisme de (ZG(Fnr )c,/θ )

�nrF dans Z M ′(F)c. Posons ZG = (ZG

(Fnr )c,/θ )�nr

F . Par l’homomorphisme précédent, il agit sur M ′z′(F). La variété M ′

z′ estconstruite à partir d’un cocycle z à valeurs dans ZG(Fnr )c, qui dépend des choix det et δ. Considérons ce qui se passe quand on change ces choix. Supposons que t estchangé en t . Alors z et z′ sont changés en z et z′. D’après le lemme 1.10, les images de

123


z et z dans H1(�nrF , ZG(Fnr )c,/θ ) sont égales. On peut donc fixer ζ ∈ ZG(Fnr )c tel

que, pour tout σ ∈ �nrF , les images dans ZG(Fnr )c,/θ de z(σ ) et z(σ )σ (ζ )ζ−1 soient

égales. On définit une applicationψζ : M ′z′ → M ′

z′ de sorte que le diagramme suivantsoit commutatif:

M ′z′

ψζ→ M ′z′

ψz′ ↓ ψz′ ↓M ′ γ �→γ ξ(ζ−1)→ M ′

C’est un isomorphisme. Comme en 1.11, cet isomorphisme dépend du choix de ζ ,mais ξ(ζ ) ne dépend de ce choix qu’à multiplication près par un élément de ξ(ZG).Donc l’ensemble quotient M ′

z′(F)/ZG ne change pas, à isomorphisme canoniqueprès. On note M ′[zG ](F)/ZG ce quotient, qui ne dépend pas des choix de δ et t . Il nedépend même d’aucun choix: changer les autres choix que l’on a effectués revient àeffectuer des conjugaisons dont les restrictions à ZG sont forcément l’identité. Pour lamême raison, tout automorphisme de la donnée (M ′,L M ′, s, ξ ) induit une bijectionde M ′[zG ](F)/ZG(F)p′ dans lui-même.

2.6 Diagrammes

On appelle diagramme un nonuplet D = (γ, T �, T0, T �, T �, h,m0,m1, δ)vérifiant lesconditions suivantes. Les termes γ , resp. δ sont des éléments semi-simples de M ′

z′(F),

resp. M(F). Les termes T �, T0, T �, T � sont des sous-tores maximaux définis sur Fde M ′

γ , resp. M , M , Mδ , et T � est le centralisateur de T � dans M . Les termes h, resp.

m0, m1, sont des éléments de M ′SC , resp. Mθ,0

SC , MSC (on a posé Mθ,0SC = (MSC )

θ,0 =(Mθ,0)SC ). On a les égalités inth(T �) = T ′, intm0(T0) = T , intm1(T

�) = T0 et leshomomorphismes:

intm1 : T � → T0, et inth−1 ◦ ξ ◦ intm0 : T0 → T �

sont définis sur F . L’élément intm0m1(δ) appartient à T θ et, si on note νD θ cet élément,avec νD ∈ T , on a l’égalité inth−1 ◦ ξ(νD) = ψz′(γ ).

Pour un tel diagramme, les classes de conjugaison (sur la clôture algébrique) deséléments γ et δ se correspondent par l’application (1) du paragraphe 2.5. Inversement,soient γ ∈ M ′

z′,G−reg(F) et δ ∈ MG−reg(F) deux éléments dont les classes de

conjugaison stable se correspondent. Alors il existe un diagramme joignant γ et δ,c’est-à-dire dont le premier terme est γ et le dernier est δ.

2.7 Facteur de transfert

Notons D l’ensemble des couples (γ, δ) ∈ M ′z′,G−reg

(F) × MG−reg(F) tels que les

classes de conjugaison stable de γ et δ se correspondent. Kottwitz et Shelstad ont

123


défini un facteur de transfert:

� : M ′z′,G−reg

(F)× MG−reg(F) → C.

Pour (γ, δ) ∈ M ′z′,G−reg

(F) × MG−reg(F), on a �(γ, δ) = 0 si et seulement si

(γ, δ) ∈ D. Nous supprimons du facteur de transfert les facteurs �I V que l’on ainclus dans la définition des intégrales orbitales pondérées.

Comme on le sait, le facteur � n’est uniquement défini qu’à homothétie près.Le choix de l’ensemble K M permet de le normaliser de la façon suivante. Soitδ ∈ MG−reg(F). Notons T � la composante neutre de son commutant dans M et

T � le commutant de T � dans M . Notons R l’ensemble des racines de T � dans m.L’automorphisme autδ conserve T �, donc agit sur R. Soit α ∈ R. Il y a un plus petitentier n ≥ 1 tel que autn

δ fixe α. Pour cet entier, autnδ agit sur l’espace radiciel associé

à α par une homothétie dont on note Nα(δ) le rapport. Disons, faute de mieux, que δest adapté à K M s’il vérifie les conditions suivantes:

(1) δ ∈ K M ;(2) le tore T � est non ramifié et MK (oFnr )fixe un point hyperspécial de l’appartement

de I mm(M, Fnr ) associé à ce tore;(3) pour tout α ∈ R et tout u ∈ {±1}, valF (Nα(δ)− u) est paire (remarquons que

Nα(δ) ∈ Fnr d’après la condition précédente, donc valF (Nα(δ)− u) ∈ Z).

Notons Dnr l’ensemble des couples (γ, δ) ∈ D tels que δ soit adapté à K M .Dans [9] 4.6, on a défini l’ensemble Dnr de façon différente et il nous faut com-

parer les définitions. De la paire de Borel épinglée de G que l’on a fixée se déduitnaturellement une telle paire pour le groupe Mθ,0

SC , puis un sous-groupe hyperspécial

de ce groupe. On note Mθ,0K ,SC le schéma en groupes associé. Un diagramme D =

(γ, T �, T0, T �, T �, h,m0,m1, δ) est dit non ramifié si γ ∈ K ′z′ , h ∈ M ′

K ′,SC (oFnr ),

m0 ∈ Mθ,0K ,SC (oFnr ), m1 ∈ MK ,SC (oFnr ) et δ ∈ K M . Sous ces hypothèses, tous les

tores du diagramme sont non ramifiés. Notons D′nr l’ensemble des couples (γ, δ) ∈ D

tels qu’il existe un diagramme non ramifié joignant γ et δ et tels que la condition (3)ci-dessus soit vérifiée. C’est l’ensemble que l’on a noté Dnr en [9] 4.6. Notons enfinD′′

nr l’ensemble des couples (γ, δ) ∈ D tels qu’il existe un élément γ ′ de la classe deconjugaison stable de γ de sorte que (γ ′, δ) appartienne à D′

nr .

Lemme On a l’égalité Dnr = D′′nr . L’ensemble Dnr n’est pas vide et il y a une

et une seule façon de normaliser le facteur � de sorte que �(γ, δ) = 1 pour tout(γ, δ) ∈ Dnr .

Preuve Les dernières assertions résultent de la première et du lemme 4.6 de [9].L’inclusion D′′

nr ⊂ Dnr est évidente, il faut prouver l’inclusion opposée. Soit (γ, δ) ∈Dnr . Fixons un diagramme D = (γ, T �, T0, T �, T �, h,m0,m1, δ) joignant γ à δ.Remarquons que, pour des éléments réguliers, on n’a pas le choix pour les toresT �, T � et T �. Les appartements dans I mm(M, Fnr ) associés aux plus grands sous-tores déployés de T et T � contiennent tous deux un point hyperspécial fixé parMK (oFnr ) (d’après (2) pour le tore T �). D’après un résultat connu de la théorie de

123


Bruhat-Tits, cela entraîne l’existence de k ∈ MK ,SC (oFnr ) tel que intk(T �) = T . Alorsm0m1k−1 ∈ Norm MSC (T ). On sait bien que tout élément de�M est représenté par unélément de MK ,SC (oFnr ). Quitte à modifier k, on peut supposer m0m1k−1 ∈ Tsc(oFnr )

(où ici, Tsc est l’image réciproque de T dans MSC ). Pour σ ∈ �F , les trois élé-ments m0σ(m0)

−1, m0m1σ(m0m1)−1 et kσ(k)−1 normalisent T . La définition d’un

diagramme entraîne que les deux premiers ont même image dans �M . La relationprécédente entraîne qu’il en est de même des deux derniers. Notonsw(σ) cette imagecommune. On a w(σ) ∈ �M,θ car w(σ) est l’image de m0σ(m0)

−1. La fonctionσ �→ w(σ) se quotiente en une fonction sur�nr

F carw(σ) est l’image de kσ(k)−1. Soitφ ∈ �F un élément de Frobenius. En appliquant le théorème de Lang à la fibre spécialeMθ,0

K ,SC , dont�M,θ est le groupe de Weyl, on montre qu’il existe m0 ∈ Mθ,0K ,SC (oFnr ) tel

que m0φ(m0)−1 normalise T et aitw(φ) pour image dans�M,θ . On pose m1 = m−1

0 ket T 0 = int−1

m0(T ). Pour σ ∈ �F , l’élément hσ(h)−1 normalise T ′. Notons wM ′(σ )

son image dans�M ′ ⊂ �M,θ . L’homomorphisme ξ n’est pas en général défini sur F ,mais il, existe une application ω : �F → �M,θ telle que σ ◦ ξ ◦σ−1 = ξ ◦ω(σ) pourtout σ ∈ �F . En fait, parce que la donnée endoscopique est non ramifiée, ω se fac-torise en une fonction sur �nr

F . Enfin, la définition d’un diagramme entraîne l’égalitéwM ′(σ ) = w(σ)ω(σ)−1 pour tout σ . Donc wM ′ se quotiente aussi en une fonctiondéfinie sur �nr

F . Comme ci-dessus, on peut choisir h ∈ M ′K ′,SC (oFnr ) tel que hφ(h)−1

normalise T ′ et ait pour imagewM ′(φ) dans�M ′. Posons h′ = h−1h, T � = int−1

h (T ′)et γ = inth(γ ). On vérifie que le nonuplet D = (γ , T �, T 0, T �, T �, h,m0,m1, δ) est

un diagramme non ramifié. De plus, l’homomorphisme inth′ : T � → T � est défini surF et envoie γ sur γ . Ces deux éléments sont donc stablement conjugués. Cela prouveque (γ, δ) appartient à D′′

nr . ��

Le lemme permet de normaliser le facteur de transfert et c’est ce facteur normaliséque nous utiliserons.

2.8 L’intégrale orbitale pondérée endoscopique

Soit (γ, δ) ∈ D. La mesure de Haar sur M ′γ (F) fixée en 2.1 en détermine une sur

l’algèbre de Lie m′γ (F), de sorte que l’application exponentielle préserve les mesures

au voisinage de 0. Le choix d’un diagramme joignantγ et δ détermine un isomorphismede m′

γ (F) sur mδ(F), cf. [9] 3.2, qui permet de transporter la mesure de Haar dupremier espace en une mesure sur le second. On remonte ensuite cette dernière enune mesure de Haar sur Mδ(F), qui n’est autre que Gδ(F) puisque δ est régulier dans

G. La mesure obtenue ne dépend pas du choix du diagramme. Pour définir r G,ωM,K

(δ)

comme en 2.4, on a besoin d’une mesure de Haar sur Gδ(F), on vient de la définir.On a besoin aussi que soit vérifiée l’hypothèse indiquée dans ce paragraphe 2.4: elle

résulte de [6] lemme 4.4.C. Donc r G,ωM,K

(δ) est bien défini.

On note M(F)/conj l’ensemble des classes de conjugaison par M(F) dans M(F).On peut l’identifier à un ensemble de représentants dans M(F). Pour γ ∈ M ′

z′,G−reg

123


(F), on pose:

(1) r G,ωM ′ (γ ) =

∑

δ∈M(F)/conj

�(γ, δ)r G,ωM,K

(δ).

Lemme La fonction r G,ωM ′ ainsi définie sur M ′

z′,G−reg(F) est invariante par l’action

du groupe ZG.

Preuve Comme on l’a vu dans la preuve du lemme 1.10, il y a un isomorphismenaturel:

ZG(Fnr )θtu × ZG(F

nr )p′,/θ → ZG(Fnr )c,/θ .

En prenant les invariants par �nrF , on obtient un isomorphisme:

ZG(F)θtu × (ZG(F

nr )p′,/θ )�nr

F → ZG .

Soit ζ ∈ ZG . On peut le représenter comme l’image dans ZG d’un produit ζtuζp′ ,où ζtu ∈ ZG(F)θtu , ζp′ ∈ ZG(Fnr )p′ et l’image de ζp′ dans ZG(Fnr )p′,/θ est fixepar �nr

F . Soit φ l’élément de Frobenius de �nrF . Il existe τ ∈ ZG(Fnr )p′ tel que

φ(ζp′)ζ−1p′ = τθ(τ )−1. Fixons un tel τ . On a vu dans la preuve du lemme 1.10 que

H1(�nrF , T (oFnr )) = 0. Le même argument montre qu’il existe u ∈ T (oFnr ) tel

que τ = φ(u)−1u. Nécessairement, uad appartient à Tad(oF ). Définissons ϕ : G →G par ϕ(δ) = uζtuζp′δu−1. On vérifie que le couple (u, ϕ) est un automorphismeintérieur de (G, G). Il conserve le sous-groupe hyperspécial (K , K ) et le groupe deLévi tordu (M, M). Par simple transport de structure, pour δ intervenant effectivementdans l’égalité (1), on a l’égalité:

r G,ωM,K

(ϕ(δ)) = r G,ωM,K

(δ),

pourvu que les mesures sur Gϕ(δ)(F) et Gδ(F) se correspondent par intu . Soit

(γ, T �, T0, T �, T �, h,m0,m1, δ)

un diagramme. Choisissons un relèvement usc ∈ MSC de uad . On vérifie que

(γ ξ(ζ ), T �, T0, intu(T�), intu(T

�), h,m0,m1u−1sc , ϕ(δ))

est encore un diagramme. On en déduit la correspondance de mesures évoquéeci-dessus. Cela montre aussi que, si (γ, δ) ∈ D, alors (γ ξ(ζ ), ϕ(δ)) appartient aussi àD. En se plongeant dans la définition du facteur de transfert, on vérifie que les fonctionssur D:

(γ, δ) �→ �(γ, δ), et (γ, δ) �→ �(γ ξ(ζ ), ϕ(δ))

123


sont proportionnelles. Mais ϕ conserve l’ensemble des éléments adaptés à K . Lelemme 2.7 montre alors que les deux fonctions ci-dessus sont égales. Il suffit alorsd’effectuer un changement de variables de δ enϕ(δ) dans l’expression (1) pour prouverl’égalité:

r G,ωM ′ (γ ξ(ζ )) = r G,ω

M ′ (γ ).

��La fonction r G,ω

M ′ se descend donc en une fonction sur l’ensemble évidentM ′

[zG ],G−reg(F)/ZG .

2.9 Indépendance des choix

Lemme La fonction r G,ωM ′ sur M ′

[zG ],G−reg/ZG est indépendante des choix auxiliaires

de paires de Borel, d’épinglages et d’éléments δ et t . Elle est indépendante du sous-groupe hyperspécial tordu (K , K ).

Remarque Il y a tout de même deux choix qui influent sur la fonction: celui desmesures de Haar sur les tores et celui de la forme quadratique définie positive sur aM .

Preuve Considérons deux sous-groupes hyperspéciaux tordus (K1, K1) et (K2, K2).Effectuons deux séries de choix auxiliaires, l’une relative à (K1, K1), l’autre relativeà (K2, K2). On les affecte d’indices 1 et 2. On a ainsi par exemple des sous-groupesde Borel B1 et B2, des automorphismes θ1 et θ2, des éléments δ1 ∈ K1 et δ2 ∈ K2,

etc. Ces choix nous conduisent à deux fonctions r G,ωM ′,1 sur M ′

z′1,G−reg

(F) et r G,ωM ′,2 sur

M ′z′

2,G−reg(F), que l’on veut comparer.

Supposons d’abord (K1, K1) = (K2, K2), δ1 = δ2 et t1 = t2. Dans ce cas, z′1 =

z′2 par construction de ces termes et nos deux fonctions sont définies sur le même

ensemble. La correspondance entre classes de conjugaison stable dans M ′z′,G−reg

(F)

(où z′ = z′1 = z′

2) et dans M(F) est la même, que l’on utilise pour la définir la premièresérie de choix ou la seconde. Les intégrales orbitales que l’on somme sont les mêmes.Les facteurs de transfert aussi car ces facteurs sont indépendants des choix auxiliairesà homothétie près et la normalisation que l’on a choisie montre que cette homothétieest l’identité. D’où l’égalité de nos fonctions dans ce cas.

Supposons maintenant (K1, K1) = (K2, K2), T1 = T2 et B M1 = B M

2 . On supprimeles indices de ces termes communs. On a deux sous-groupes paraboliques tordus(P1, P1) et (P2, P2) appartenant à P(M) et des sous-groupes de Borel B1 et B2 telsque B M ⊂ B1 ⊂ P1, B M ⊂ B2 ⊂ P2. Soit x ∈ G AD(F) tel que intx envoie la pairede Borel épinglée (B1, T, (Eα,1)α∈�1) sur (B2, T, (Eα,2)α∈�2). Puisque ces pairesdéterminent le même groupe K , on a x ∈ K AD . On a aussi θ2 = intx ◦ θ1 ◦ int−1

x =intxθ1(x)−1 ◦ θ1. On a les égalités θ1 = intt1 ◦ autδ1

, θ2 = intt2 ◦ autδ2. Mais δ1 et δ2

sont deux éléments de K M dont les automorphismes associés conservent B M et T . Ilexiste donc τ ∈ T (oF ) tel que δ2 = τ δ1. Ces relations entraînent l’égalité:

123


(1) xθ1(x)−1 t1,ad = t2,adτad .

En particulier, xθ1(x)−1 ∈ Tad(oFnr ) ∩ G AD(F) = Tad(oF ). Montrons que:(2) soit y ∈ Kad tel que yθ1(y)−1 ∈ Tad(oF ); alors il existe y′ ∈ K θ1 et y′′ ∈

Tad(oF ) tels que y = y′′y′ad .

Tous les groupes qui interviennent sont filtrés et un raisonnement familier nousramène à prouver les assertions analogues pour les quotients des filtrations. Remar-quons que l’automorphisme θ1 se descend en des automorphismes sur ces quotients.Les assertions à démontrer sont les suivantes:

(3) soit y ∈ GK ,AD(Fq) tel que yθ1(y)−1 ∈ Tad(Fq); alors il existe y′ ∈ Gθ1K (Fq)

et y′′ ∈ Tad(Fq) tels que y = y′′y′ad ;

(4) Soit y ∈ gK ,AD(Fq) tel que y − θ1(y) ∈ tad(Fq); alors il existe y′ ∈ gθ1K (Fq)

et y′′ ∈ tad(Fq) tels que y = y′′ + y′ad .

Le groupe hyperspécial K est associé à la paire de Borel épinglée (B1, T,(Eα,1)α∈�1). Cette paire se réduit donc en une paire de Borel épinglée (B1,T,(Eα,1)α∈�1) définie sur Fq du groupe GK . Soit y comme en (2). L’hypothèse entraîneque l’image par int−1

y de la paire de Borel (B1,T) est aussi conservée par θ1. D’après

[6] pp. 13 et 14, il existe alors y′1 ∈ Gθ1

K (Fq) qui conjugue la première paire en la

seconde. Posons y′′ = yy ′−1ad . Alors y′′ est un élément de GK ,AD(Fq) qui conserve la

paire (B1,T), donc appartient à Tad(Fq). Cela prouve (3).Le sous-espace tad(Fq) de gK ,AD(Fq) est stable par θ1 et possède un supplémen-

taire invariant par θ1. Ecrivons y = y′′ + y′0, avec y′′ ∈ tad(Fq) et y′

0 dans un telsupplémentaire. On voit que y′

0 est invariant par θ1. L’homomorphisme naturel de

gθ1K (Fq) dans g

θ1K ,AD(Fq) est surjectif car l’ordre de θ1 est premier à p. On peut donc

relever y′0 en un élément y′ ∈ g

θ1K (Fq). Cela prouve (4) et achève de prouver (2).

On décompose x en x = x ′′x ′ad conformément à l’assertion (2). L’automorphisme

intx ′ envoie (B1, T ) sur (B2, T ). La paire de Borel épinglée image de (B1, T,(Eα,1)α∈�1) par intx ′ est donc de la forme (B2, T, (Eα,3)α∈�1). L’automorphismeassocié à cette paire épinglée est intx ′ ◦ θ1 ◦ int−1

x ′ = θ1. Introduisons une nouvellesérie de données auxiliaires, indexée par 3, de la façon suivante:

• la paire de Borel épinglée est (B2, T, (Eα,3)α∈�1) (remarquons que, puisquex ′ ∈ K θ1 , le sous-groupe hyperspécial associé à cette paire épinglée est K etl’automorphisme θ3 est égal à θ1);

• δ3 = δ1, t3 = t1 (ces choix sont loisibles puisque θ3 = θ1);• tous les autres choix sont égaux à ceux indexés par 2.

On en déduit une troisième fonction r G,ωM ′,3. Le premier cas déjà traité du lemme nous

dit qu’elle est égale à la fonction r G,ωM ′,1 et il nous suffit de la comparer à la fonction r G,ω

M ′,2.On peut maintenant oublier cette troisième série de données et supposer qu’elle estégale à la première. Cela nous ramène au cas où P1 = P2, B1 = B2. Plus précisément,les seuls choix qui diffèrent entre les deux séries de données sont les épinglagesrelatifs à (B, T ) (où B = B1 = B2) et les différents termes δ et t . Remarquonsque θ1 et θ2 ont même restriction à T , on la note θ . On introduit comme ci-dessusun élément x , qui appartient maintenant à Tad(oF ). Comme on l’a vu en 1.4, on

123


peut relever x en un élément xsc ∈ Tsc(oFnr ). Posons τsc = xscθ(xsc)−1 t1 t−1

2 . C’estun élément de Tsc(oFnr ) et, grâce à l’égalité (1), c’est un relèvement de τad . Posonsζ = τ−1

sc τ . C’est un élément de ZG(Fnr )c. Pourσ ∈ �nrF , on aσ(xsc)x−1

sc ∈ ZG(Fnr )cpuisque xad ∈ Tad(oF ). On a aussi σ(τsc)τ

−1sc = σ(ζ )−1ζ puisque τ ∈ T (oF ). On

en déduit que z1(σ ) et z2(σ )σ (ζ )ζ−1 ont même image dans (ZG(Fnr )c)/θ . Comme

en 2.5, introduisons l’application ψζ : M ′z′

1→ M ′

z′2

qui rend le diagramme suivant

commutatif:

M ′z′

1

ψζ→ M ′z′

2

ψz′1

↓ ψz′2

↓M ′ γ �→γ ξ(ζ−1)→ M ′

C’est un isomorphisme. Soit D1 = (γ, T �, T0, T �, T �, h,m0,m1, δ) un diagrammerelatif à la première série de données. L’élément γ appartient à M ′

z′1(F). Posons D2 =

(ψζ (γ ), T �, T0, T �, T �, h,m0,m1, δ). Montrons que D2 est un diagramme relatif àla seconde série. La seule condition non évidente est l’égalité

(5) int−1h ◦ ξ(νD2) = ψz′

2◦ ψζ (γ ).

Par définition des termes νD1 et νD2 , on a l’égalité:

νD1 θ1 = νD2 θ2,

c’est-à-dire:

νD2 = t1 t−12 τ−1νD1 = τscτ

−1x−1sc θ(xsc)νD1 = ζ−1xsc−1θ(xsc)νD1 .

Donc ξ(νD2) = ξ(ζ−1)ξ(νD1) et:

int−1h ◦ ξ(νD2) = ξ(ζ−1)int−1

h ◦ ξ(νD1) = ξ(ζ−1)ψz′1(γ ).

Mais ce dernier terme est aussi le membre de droite de (5) par définition de ψζ .Cela démontre (5) et l’assertion concernant D2. En particulier, si (γ, δ) ∈ D1, alors(ψζ (γ ), δ) ∈ D2). En considérant la définition des facteurs de transfert, on vérifie queles deux fonctions sur D1:

(γ, δ) �→ �1(γ, δ) et (γ, δ) �→ �2(ψζ (γ ), δ)

sont proportionnelles. La façon dont on les a normalisées montre qu’elles sont égales.

Il résulte alors des définitions que r G,ωM ′,1 = r G,ω

M ′,2 ◦ ψζ . Puisque ψζ se descend enl’isomorphisme canonique de M ′

z′1(F)/ZG sur M ′

z′2(F)/ZG , cela démontre que nos

deux fonctions coïncident, quand on les considère comme des fonctions sur l’ensembleM ′

[zG ],G−reg(F)/ZG .

123


Considérons maintenant deux séries de données quelconques. D’après le lemme1.12(ii), il existe un automorphisme intérieur de (G, G) qui transforme la deuxièmesérie de données en une troisième pour laquelle le sous-groupe hyperspécial tordu est(K1, K1). Soit (B M

3 , T3) la paire de Borel pour M de cette troisième série de données.Puisque K M fixe un point hyperspécial dans chacun des appartements de I mm(M, F)associés respectivement aux sous-tores déployés maximaux de T1 et T3, les deux paires(B M

1 , T1) et (B M3 , T3) sont conjuguées par un élément k ∈ K M . Quitte à composer

l’automorphisme intérieur ci-dessus avec intk , on peut supposer les deux paires deBorel égales. Par simple transport de structure, deux séries de données transforméesl’une en l’autre par un automorphisme intérieur donnent naissance à des fonctionségales. On peut donc aussi bien supposer que la deuxième série de données est égaleà la troisième. On est ramené à la situation déjà traitée, ce qui achève de prouverque notre fonction est indépendante des choix auxiliaires ainsi que du sous-groupehyperspécial tordu. ��

2.10 Invariance par conjugaison et par isomorphisme de données endoscopiques

Considérons toujours notre groupe tordu (G, G) et la caractère ω de G(F). Consid-érons maintenant deux groupes de Lévi tordus (M1, M1) et (M2, M2), une donnéeendoscopique (M ′

1,L M

′1, s1, ξ1) de (M1, M1) et une donnée similaire (M ′

2,L M

′2,

s2, ξ2) de (M2, M2). On suppose que ces deux séries de données vérifient les hypo-thèses des paragraphes précédents et on les complète par des choix auxiliaires que l’on

indexe par les chiffres 1 et 2. On obtient deux fonctions r G,ωM ′

1et r G,ω

M ′2

. Considérons les

deux ensembles:

N ={

g ∈ G(F); gM1g−1 = M2

},

N ={

x ∈ G; x L M1x−1 = L M2 et intx ◦ θ1 ◦ int−1x = θ2

}.

Les deux tores T1 et T2 sont canoniquement isomorphes puisqu’on les a complétés endeux paires de Borel. Il en est de même des tores T1 et T2. On note ι : T1 → T2 etι : T1 → T2 ces isomorphismes. Notons �G le groupe de Weyl de G relatif à T1 et

�G celui de G relatif à T1.Supposons N non vide, soit g ∈ N . L’automorphisme intg envoie M1 sur M2 et,

quitte à multiplier g à droite par un élément de M1(F), on peut supposer que intg envoie

la paire de Borel (B M11 , T1) sur (B M2

2 , T2). En particulier, intg définit un isomorphismede T1 sur T2 qui est de la forme ι ◦ ωg , pour un élément ωg ∈ �G . Parce que g ∈G(F), ωg appartient à �G,�F . On peut choisir δ1 ∈ M1(F) tel que autδ1 conserve

(B M11 , T1). Posons δ2 = gδ1g−1. Alors δ2 ∈ M2(F) et autδ2 conserve (B M2

1 , T2).L’automorphisme autδ1 , resp. autδ2 , se restreint à T1, resp. T2, en l’automorphismeθ1, resp. θ2. Il en résulte l’égalité:

ι ◦ ωg ◦ θ1 = θ2 ◦ ι ◦ ωg,

123


ou encore:

ι−1 ◦ θ2 ◦ ι ◦ θ−11 = ωgθ1(ωg)

−1.

Par construction, le membre de gauche conserve la chambre dans X∗(T1) associée àB1. Un élément de�G ne peut conserver cette chambre que s’il est égal à 1. Les deuxmembres de l’égalité précédente sont donc égaux à 1. Cela démontre:

(1) si N = ∅, alors ι ◦ θ1 = θ2 ◦ ι.Cela prouve aussi que ωg ∈ �G,θ1 , donc ωg ∈ �G,θ1,�F . On achève facilementde prouver:

(2) l’application g �→ ωg se quotiente en une bijection de N /M1(F) sur �G,θ1,�F /

�M1,θ1,�F .De la même façon, soit x ∈ N . Quitte à multiplier x par un élément de M1,on peut supposer que intx conserve la paire de Borel (B ∩ M1, T1). Alors intxdéfinit un isomorphisme de T1 sur T2 qui est de la forme ι ◦ ωx , pour un élément

ωx ∈ �G . On prouve comme ci-dessus:

(3) l’application x �→ ωx se quotiente en une bijection de N /M1 sur �G,θ1,�F /

�M1,θ1,�F .

Par dualité, les ensembles�G,θ1,�F /�M1,θ1,�F et�G,θ1,�F /�M1,θ1,�F s’identifient.La conjonction de (2) et (3) conduit donc à une bijection de N /M1(F) sur N /M1.A fortiori, N n’est pas vide si et seulement si N ne l’est pas non plus. On supposedésormais que ces ensembles ne sont pas vides.

Tout élément de N définit un isomorphisme de aM1sur aM2

. Supposons que lesformes quadratiques sur chacun de ces espaces se correspondent par cet isomorphisme(cette condition ne dépend pas du choix de l’élément de N ).

On peut appeler isomorphisme de la première série de donnée sur la secondeun élément x ∈ N tel que, comme en 2.1, on ait intx ◦ ξ1(

L M ′1) = ξ2(

L M ′2) et

xs1θ (x)−1 ∈ s2 Z M2. On a intx ◦ ξ1(M ′

1) = ξ2(M ′2). Considérons un tel x . Notons

φ′ : M ′1 → M ′

2 l’isomorphisme tel que intx ◦ ξ1 = ξ2 ◦ φ′ sur M ′1. Comme

en [6] 2.1, quitte à multiplier x à droite par un élément de ξ1(M ′1), on peut sup-

poser que φ′ commute aux actions galoisiennes. Il correspond alors à φ′ un isomor-phisme φ′ : M ′

1 → M ′2, défini sur F , uniquement déterminé modulo automorphismes

intérieurs. On suppose aussi que les mesures choisies sur les sous-tores de M ′1 et M ′

2se correspondent par φ′, en un sens évident. De φ′ se déduit un isomorphisme deM ′

1,[zG ](F)/ZG sur M ′2,[zG ](F)/ZG , notons-le encore φ′.

Lemme On a l’égalité:

r G,ωM ′

1= r G,ω

M ′2

◦ φ′.

Preuve Choisissons un élément g ∈ N dont la classe gM1(F) corresponde par labijection ci-dessus à la classe x M1. Par simple transport de structure, la conjugaisonpar g nous ramène au cas où (M1, M1) = (M2, M2) et x ∈ M1. Notons simple-ment (M, M) le groupe de Lévi tordu commun. Le lemme précédent nous permet

123


de supposer que tous les choix auxiliaires sont les mêmes, à l’exception bien sûr desdonnées endoscopiques (M ′

1,L M

′1, s1, ξ1) et (M ′

2,L M

′2, s2, ξ2), qui sont maintenant

des données isomorphes du groupe tordu (M, M) muni du caractère ωM . On vérifiefacilement que l’application (γ1, δ) �→ (φ′(γ1), δ) est une bijection de D1 sur D2. Enconsidérant la définition des fonctions de l’énoncé, on voit que l’égalité à démontrerrésulte de l’assertion suivante:

(4) soit (γ1, δ) ∈ D1; supposons que r G,ωM ′

1(γ1) = 0 ou que r G,ω

M ′2(φ′(γ1)) = 0; alors

�1(γ1, δ) = �2(φ′(γ1), δ).

Puisque l’isomorphisme φ′ : M ′1 → M ′

2 commute aux actions galoisiennes, il se

prolonge naturellement en un isomorphisme encore noté φ′ : L M′1 → L M

′2. Il n’y a

pas de raison pour que l’on ait l’égalité intx ◦ ξ1 = ξ2 ◦ φ′ sur tout L M′1. Mais on voit

qu’il y a un cocycle b : WF → Z M ′1

de sorte que:

intx ◦ ξ1(b(w)y, w) = ξ2(y, w)

pour tout (y, w) ∈ L M′1. Ce cocycle correspond à un caractère χ du groupe M ′

1(F).Nos deux données étant non ramifiées, b se factorise en un cocycle défini sur W nr

F , doncχ est “non ramifié”, c’est-à-dire trivial sur K ′

1 (cf. par exemple [9] 4.1(1)). Montronsque:

(5) χ est la restriction à M ′1(F) d’un caractère non ramifié de M ′

1(Fnr ), c’est-à-dire

trivial sur M ′1,K ′

1(oFnr ).

Remarquons que, par une égalité similaire à 1.8(3), un caractère de M ′1(F) est

trivial sur K ′1 si et seulement s’il est trivial sur T ′

1(oF ). Une assertion analogue vautpour les caractères de M ′

1(Fnr ). Notons π ′

1,SC : M ′1,SC → M ′

1 l’homomorphismenaturel. Comme en 1.9(2), l’homomorphisme:

T ′1(F)/π

′1,SC (T

′1,sc(F)) → M ′

1(F)/π′1,SC (M

′1,SC (F))

est bijectif. Puisque tout caractère de M ′1(F) est trivial sur π ′

1,SC (M′1,SC (F)), on voit

que le groupe des caractères non ramifiés de M ′1(F) s’identifie au groupe des carac-

tères de T ′1(F)/(T

′1(oF )π

′1,SC (T

′1,sc(F))). Grâce aux isomorphismes de 1.4, ce dernier

groupe s’identifie à (T ′Z1 )�

nrF /π ′

1,SC ((T′Z1,sc)

�nrF ). De la même façon, le groupe des car-

actères non ramifiés de M ′1(F

nr ) s’identifie au groupe des caractères de T ′Z1 /π ′

1,SC

(T ′Z1,sc). L’homomorphisme naturel:

(T ′Z

1

)�nrF/π ′

1,SC

((T ′Z

1,sc

)�nrF

)→ T ′Z

1 /π ′1,SC

(T ′Z

1,sc

)

est injectif. Tout caractère du premier groupe se prolonge donc en un caractère dusecond. Cela prouve (5).

123


Choisissons un caractère non ramifié χnr de M ′1(F

nr ) qui prolonge χ . Définissonsla fonction χz′

1= χnr ◦ψz′

1sur M ′

1,z′1(F). En se plongeant dans la définition du facteur

de transfert, on montre qu’il existe c ∈ C× de sorte que, pour tout (γ1, δ) ∈ D1, on

ait l’égalité:

�1(γ1, δ) = cχz′1(γ1)�2(φ

′(γ1), δ).

Appliquons cette égalité à un couple (γ1, δ) ∈ D1,nr . On a aussi φ′(γ1), δ) ∈ D2,nr

et les facteurs � valent 1. Donc cχz′1(γ1) = 1. D’après la preuve du lemme 2.7, il y

a au moins un tel couple (γ1, δ) pour lequel γ1 appartient à K ′1,z′

1. Par construction,

on a alors χz′1(γ1) = 1. Donc c = 1. Pour achever la preuve de la relation (4) et

du lemme, il reste à montrer que si γ1 ∈ M ′1,z′

1,G−reg(F) vérifie r G,ω

M ′1(γ1) = 0 ou

r G,ωM ′

2(φ′(γ1)) = 0, alors χz′

1(γ1) = 1. Puisque la fonction χ ′

z ◦ φ ′−1 sur M ′2,z′

2(F)

est de la même nature que χ ′z , on peut oublier notre situation particulière et prouver

l’assertion suivante. Considérons des données comme en 2.1. Soit χnr un caractèrenon ramifié de M ′(Fnr ). On en déduit comme ci-dessus une fonction χz′ sur M ′

z′(F).On a:

(6) soit γ ∈ M ′z′,G−reg

(F) un élément tel que r G,ωM ′ (γ ) = 0; alors χz′(γ ) = 1.

On renvoie au paragraphe 5.5 la preuve de cette assertion, qui achève la preuve dulemme. ��

3 Enoncé du lemme fondamental pondéré tordu

3.1 L’ensemble EM ′(G)

Pour simplifier, on considère M ′ comme un sous-groupe de M de sorte que ξ serestreigne à M ′ en l’injection canonique. Après cette identification, la paire de Borel(B ′, T ′) de M ′ introduite en 2.1 n’est autre que (B ∩ M ′, T θ,0).

Soit s′ ∈ s Z θ ,�F

M. Posons:

G[s′] = ZG(s′θ )0.

Posons aussi B[s′] = B ∩ G[s′]. C’est un sous-groupe de Borel de G[s′] qui contientT ′ et M ′ est un groupe de Lévi de G[s′], standard pour ce sous-groupe de Borel. Fixonsun épinglage de G[s′] relatif à la paire de Borel (B[s′], T ′), qui donne par restrictionun épinglage de M ′ stable par l’action de �F . Soit φ un élément de Frobenius de �F .La conjugaison par ξ (φ) conserve G[s′] et on peut trouver un élément yφ ∈ G[s′]tel que la conjugaison par yφξ (φ) conserve la paire de Borel épinglée. Fixons un telyφ . On définit une action de �F sur G[s′] de sorte que IF agisse trivialement et φagisse comme la conjugaison par yφξ (φ). Cette action permet de définir le groupe

123


L G[s′] = G[s′] � WF . Il existe un unique plongement ξ [s′] : L G[s′] → L G tel queξ [s′](x, w) = (x, w) pour (x, w) ∈ G[s′] × IF et ξ [s′](φ) = yφξ (φ). Enfin, soitG[s′] un groupe réductif connexe, défini et quasi-déployé sur F , dont L G[s′] soit leL-groupe. On vérifie que (G[s′], L G[s′], s′, ξ [s′]) est une donnée endoscopique nonramifiée de (G, G) muni du caractère ω.

Remarquons que l’ensemble s Z θ ,�F

Mest stable par multiplication par Z θ ,�F

G. Si

on multiplie s′ par un élément de Z θ ,�F

G, on ne change pas le groupe G[s′] et on

peut conserver le même élément auxiliaire yφ . Les constructions ci-dessus sont ainsiinsensible à une telle multiplication et on peut les associer à un élément s′ du quotient

s Z θ ,�F

M/Z θ ,�F

G. On note EM ′(G) le sous-ensemble des éléments s′ de ce quotient tels

que la donnée endoscopique (G[s′], L G[s′], s′, ξ [s′]) de (G, G) soit elliptique.Pour tout s′ ∈ EM ′(G), on pose:

iM ′(G,G[s′]) =[

Z�F

M ′ : Z�F

M ′ ∩ Z M

] [Z�F

G[s′] : Z�F

G[s′] ∩ ZG

]−1.

Les hypothèses d’ellipticité assurent que ces deux quotients sont finis.

3.2 Remarques sur l’ellipticité

On a défini l’ellipticité de la donnée (M ′, L M′, s, ξ ) par la condition Z�F ,0

M ′ ⊂ Z M .

L’injection de M ′ dans M n’est pas équivariante pour les actions de �F , mais l’està conjugaison près et une telle conjugaison ne se voit pas sur Z M . D’autre part, lemembre de gauche de l’inclusion ci-dessus est certainement formé de points fixespar θ et il est certainement connexe. On peut donc remplacer le membre de droite

par Z θ ,�F ,0M

. Alors l’inclusion opposée est immédiate. L’ellipticité équivaut donc àl’égalité:

Z�F ,0M ′ = Z θ ,�F ,0

M.

Elle équivaut à ce que l’inclusion naturelle de X∗(Z0M)θ,�F dans X∗(Z0

M ′)�F ait un

conoyau fini.On a une suite d’homomorphismes injectifs:

X∗(T )θ → X∗(T )/θξ→ X∗(T ′).

On obtient par restriction un homomorphisme injectif de X∗(Z0M )

θ,�F dans X∗(Z0M ′)�F.

Par tensorisation avec R, il s’en déduit une application linéaire injective ξR : aM →aM ′ . On vérifie que la condition d’ellipticité ci-dessus équivaut à la bijectivité de ξR. Onutilise cette application bijective pour transférer à l’espace aM ′ la forme quadratiquedéfinie positive que l’on a fixée sur aM .

123


Montrons que:(1) l’ensemble EM ′(G) est fini.Notons � l’ensemble des racines de T dans l’algèbre de Lie de G (il s’identifie à �,

mais peu nous importe ici). Pour tout élément α ∈ �, on note αres sa restriction à T θ ,0.Elle est non nulle. Posons �res = {αres;α ∈ �}. C’est un système de racines ([6]1.3). Pour α ∈ �, notons nα le plus petit entier strictement positif tel que θnα (α) = α

et posons Nα = ∑n=1,...,nα θ

n(α). Pour tout s′ ∈ s Z θ ,�F

M/Z θ ,�F

G, le groupe G[s′] a

pour système de racines un sous-ensemble de �res . On peut fixer un tel sous-ensemble�′

res et se contenter de prouver que l’ensemble des s′ ∈ EM ′(G) pour lesquels G[s′]a �′

res pour système de racines est fini. On peut supposer qu’il existe au moins un tel

s′, que l’on fixe, ou plutôt que l’on relève en un élément s′ ∈ s Z θ ,�F

M. Considérons

un autre élément s′t , avec t ∈ Z θ ,�F

Mtel que G[s′t] a �′

res pour système de racines.

D’après [6] 1.3, cette condition implique Nα(t) = 1 pour tout α tel que αres ∈ �′res .

Soit d l’ordre du groupe Z θ ,�F

M/Z θ ,�F ,0

M. On a encore Nα(td) = 1 pour tout tel α.

L’élément td appartient à T θ ,0 et on a Nα(td) = αres(tdnα ). Soit e le produit de det du pgcd des nα . Alors αres(te) = 1 pour tout αres ∈ �′

res . Donc te ∈ ZG[s′].Sur l’intersection Z M ∩ ZG[s′], il n’y a pas de différence entre les différentes actionspossibles de �F : elles ne diffèrent que par conjugaison par un produit d’élémentsde M et de G[s′]. Donc te ∈ Z�F

G[s′]. Soit f le produit de e et de l’ordre du groupe

Z�F

G[s′]/Z�F ,0G[s′]. Alors t f ∈ Z�F ,0

G[s′]. Comme on l’a vu ci-dessus, la condition d’ellipticité

signifie que ce dernier groupe est égal à Z θ ,�F ,0G

. Ce groupe étant divisible, on peut

trouver un élément ζ de ce groupe tel que t f = ζ f . Posons τ = tζ−1. Alors s′t amême image que s′τ dans EM ′(G). Mais τ est un élément de T tel que τ f = 1. Il n’ya qu’un nombre fini de tels éléments, ce qui démontre la finitude cherchée. ��

3.3 Les groupes sont tordus

Soit s′ ∈ EM ′(G). De l’homomorphisme ξ [s′] se déduit un homomorphisme:

H1(�nrF , ZG(F

nr )c,/θ ) → H1(�nrF , ZG[s′](Fnr )c).

Notons [zs′ ] l’image de [zG] par cette application. Choisissons un cocycle zs′ de�nr

F dans ZG[s′](Fnr )c qui représente cette classe de cohomologie. Il nous permet deconstruire comme en 1.11 des groupes tordus (G[s′],G[s′]zs′ ) et (M ′,M ′

zs′ ), le second

étant un groupe de Lévi du premier. Pour simplifier, on notera simplement G[s′] =G[s′]zs′ ). Le quadruplet (M ′, L M

′, 1, id) est une donnée endoscopique “triviale” du

groupe tordu (M ′,M ′zs′ ) muni du caractère trivial. On peut appliquer à ces objets les

constructions de la Sect. 2. On prend évidemment pour mesures de Haar sur les sous-tores de M ′ les mêmes mesures que l’on a déjà fixées. On choisit aussi comme formequadratique sur aM ′ celle indiquée dans le paragraphe précédent. On construit alors sur

123


l’ensemble M ′[zs′ ],G[s′]−reg

(F)/ZG[s′] une fonction r G[s′]M ′ (on supprime l’exposant ω

de la notation puisque ce caractère est ici trivial). Remarquons que si l’on prend pour zs′l’image par ξ [s′]d’un cocycle z à valeurs dans ZG(Fnr )c représentant [zG], les groupesM ′

z′ et M ′zs′ sont les mêmes. On en déduit une application de M ′

[zG ],G−reg(F)/ZG dans

M ′[zs′ ],G[s′]−reg

(F)/ZG[s′]. Elle est parfaitement canonique.

3.4 Définition des fonctions stabilisées

Considérons le cas où (M ′, L M′, s, ξ ) = (M, L M, 1, id). Les égalités T θ ,0 = T ′ = T

obligent θ à agir trivialement sur T . Puisque θ préserve une paire de Borel épingléedont le tore est T , θ est l’identité. Donc l’élément θ ∈ Out (G) associé à G estl’identité. Dans la relation 2.1(6), on a forcément a = 1, ce qui entraîne ω = 1.

Dans ce cas, on définit une fonction sGM sur MzG ,G−reg(F)/ZG de sorte que l’on

ait l’égalité:

(1) r GM =

∑

s′∈EM (G)

iM (G,G[s′])sG[s′]M .

Expliquons cela. Pour s′ ∈ EM (G)\{1}, le groupe tordu (G[s′], G[s′]) vérifie lesmêmes hypothèses que ci-dessus et, de plus, la dimension de G[s′] est strictementinférieure à celle de G. En raisonnant par récurrence sur cette dimension, on peut sup-

poser la fonction sG[s′]M déjà définie (les normalisations nécessaires pour la définir ont

été indiquées dans le paragraphe précédent). Elle l’est sur l’ensemble M[zs′ ],G[s′]−reg(F)/ZG[s′], mais, comme on l’a dit dans le paragraphe précédent, on peut la releveren une fonction sur M[zG ],G−reg(F)/ZG . Dans l’égalité (1), on la considère comme

une fonction sur ce dernier ensemble. L’élément s′ = 1 appartient à EM (G). Pourcet élément, G[s′] = G, iM (G,G[s′]) = 1 et le terme correspondant du membre de

droite de (1) se réduit à sGM . Ainsi (1) apparaît comme une équation dont un seul terme

n’est pas encore défini, à savoir sGM . Forcer l’égalité détermine ce terme.

3.5 L’énoncé

Revenons au cas général.Conjecture (lemme fondamental pondéré tordu) On a l’égalité:

r G,ωM ′ =

∑

s′∈EM ′ (G)

iM ′(G,G[s′])sG[s′]M ′ .

Comme on l’a dit en 3.3, tous les groupes tordus (G[s′], G[s′]) qui apparais-

sent ici vérifient les hypothèses de 3.4, les fonctions sG[s′]M ′ sont donc bien définies

123


(relatives aux normalisations indiquées en 3.3). Elles le sont sur des ensembles quidépendent de s′ mais, comme en 3.3, on peut les relever en des fonctions sur l’ensembleM ′

[zG ],G−reg(F)/ZG et l’égalité ci-dessus est une égalité entre fonctions sur cet

ensemble.

3.6 Conjecture pour les algèbres de Lie

Considérons le cas où il n’y a ni torsion, ni caractère, c’est-à-dire G = G et ω = 1.Dans ce cas, la conjecture du paragraphe précédent est la conjecture 5.1 de [1]. On peutla limiter en ne demandant qu’une égalité pour les éléments suffisamment proches del’unité, ou, ce qui revient au même, en la descendant aux algèbres de Lie. On peuten effet reprendre toutes les constructions en remplaçant les groupes p-adiques parleurs algèbres de Lie. Ainsi, considérons les hypothèses de 2.1, où on oublie lesdeuxièmes termes de tous les objets tordus. On définit le sous-ensemble mG−reg deséléments X ∈ m dont le centralisateur G X dans G est un tore. On note 1k la fonctioncaractéristique du réseau hyperspécial k dans g(F). Pour X ∈ mG−reg(F), on noteD(X) le déterminant de ad(X) agissant dans g/gX . Modulo le choix d’une mesuresur G X (F), on définit une fonction rg

m,k sur mG−reg(F) par:

rgm,k(X) = |D(X)|1/2

∫

G X (F)\G(F)

1k(x−1 X x)vM (x) dx

(on note comme une conjugaison l’action de G sur g par adjonction).On sait que les facteurs de transfert se descendent aux algèbres de Lie. On peut les

normaliser par un procédé analogue à celui de 2.7, mais beaucoup plus simple (cf. [9]4.7). On définit une fonction rg

m′ sur m′G−reg(F) par:

rgm′(Y ) =

∑X∈m(F)/conj

�(Y, X)rgm,k(X).

On peut reprendre la construction de 3.3 pour définir des fonctions sgm sur mG−reg

(F) dans le cas où (M ′, L M′, s, ξ ) est la donnée endoscopique “triviale” de M .

Revenant au cas général, le lemme fondamental pondéré pour les algèbres de Lieest la conjecture suivante.Conjecture On a l’égalité:

rgm′ =

∑s′∈EM ′ (G)

iM ′(G,G[s′])sg[s′]m′ .

3.7 La conjecture non standard

On a introduit dans [9] 1.8 la notion de triplet endoscopique non standard. Rappelons-la, dans le cas non ramifié qui nous occupe. On considère deux groupes réductifs

123


connexes et simplement connexes G1 et G2 définis sur F . On suppose qu’ils sont nonramifiés et que:

p > sup(N (G1)eF + 1, N (G2)eF + 1).

On fixe des paires de Borel (B1, T1) de G1 et (B2, T2) de G2, définies sur F , et onnote �1 et �2, resp. �1 et �2, les ensembles de racines, resp. coracines, associés.Pour tout Z-module A, posons AQ = A ⊗Z Q. On se donne un isomorphisme j∗ :X∗,Q(T1) → X∗,Q(T2), que l’on suppose équivariant pour les actions de �F . Onnote j∗ : X∗

Q(T2) → X∗

Q(T1) l’isomorphisme transposé. On se donne une bijection

j� : �2 → �1 et une fonction b : �2 → Q>0. On note j�

: �1 → �2 la bijection

déduite de j� et b : �1 → Q>0 la fonction qui se déduit de b par identification de�2et �2 puis composition avec j

�. On suppose vérifiées les conditions suivantes:

• pour tout α ∈ �1, j∗(α) = b(α) j�(α);

• pour tout α ∈ �2, j∗(α) = b(α) j�(α);• b (donc aussi b) prend ses valeurs dans le sous-groupe des éléments de Q>0 de

valuation p-adique nulle.

A ces conditions, on dit que (G1,G2, j∗) est un triplet endoscopique non standardet non ramifié.

Considérons un tel triplet, muni des objets supplémentaires ci-dessus. Soit M1 ungroupe de Lévi de G1 contenant T1. Notons �M1 ⊂ �1 le sous-ensemble des racinesde T1 dans m1. Il existe un unique groupe de Lévi M2 de G2, contenant T2, tel que,avec la même notation, on ait l’égalité j�(�M2) = �M1 . On note �M1 ⊂ �1 et�M2 ⊂ �2 les ensembles de coracines associés. Notons R1, resp. R2, RM1 , RM2 , lessous-groupes engendrés par �1, resp. �2, �M1 , �M2 , dans X∗,Q(T1) ou X∗,Q(T2).

Les groupes R�F2 et j∗(R�F

1 ) sont commensurables. Il en est de même de RM2,�F etj∗(RM1,�F ). Pour deux sous-groupes commensurables H1 et H2 d’un groupe abélienH , on pose:

[H1 : H2] = [H1 : H1 ∩ H2][H2 : H1 ∩ H2]−1.

On définit:

cG1,G2M1,M2

=[

R�F2 : j∗

(R�F

1

)]−1 [RM2,�F : j∗

(RM1,�F

)].

De l’application j∗ se déduit un isomorphisme de aM1 sur aM2 . On munit cesespaces de formes quadratiques définies positives qui vérifient l’hypothèse de 2.1 etqui se correspondent par cet isomorphisme. De j∗ se déduit aussi un isomorphisme det1 sur t2. Comme en 2.5, il permet de définir une correspondance, ici bijective, entreclasses de conjugaison stable dans m1,G1−reg(F) et dans m2,G2−reg(F). De mêmequ’en 2.8, un choix de mesures de Haar sur les sous-tores maximaux de M1 détermineun choix analogue pour les sous-tores maximaux de M2. On a tout ce qu’il faut pourdéfinir des fonctions sg1

m1 et sg2m2 . Appelons lemme fondamental pondéré non standard

la conjecture suivante.

123


Conjecture Soient Y1 ∈ m1,G1−reg(F) et Y2 ∈ m2,G2−reg(F) deux éléments dont lesclasses de conjugaison stable se correspondent; Alors on a l’égalité:

sg1m1(Y1) = cG1,G2

M1,M2sg2m2(Y2).

3.8 Le résultat

Théorème Supposons vérifiés le lemme fondamental pondéré pour les algèbres deLie (conjecture 3.6) ainsi que le lemme fondamental pondéré non standard (conjecture3.7). Alors le lemme fondamental pondéré tordu (conjecture 3.5) est aussi vérifié.

La suite de l’article est consacrée à la preuve de ce théorème.

4 Réduction des intégrales orbitales pondérées

4.1 Rappels sur l’exponentielle

Soit H un groupe réductif connexe défini sur F . On suppose:

(1) p > N (H)eF + 1.

On a déjà défini le sous-ensemble H(F)tu des éléments topologiquement unipotentsde H(F). On définit le sous-ensembleh(F)tn des éléments topologiquement nilpotentsde h(F). Soit X ∈ h(F), notons X ′ sa partie semi-simple et T le plus grand tore centraldans le commutant HX ′ . On a X ′ ∈ t(F) et tout élément de X∗(T ) définit une formelinéaire sur t, à valeurs dans F . Alors X est topologiquement nilpotent si et seulementsi, pour tout x∗ ∈ X∗(T ), on a valF (x∗(X ′)) > 0.

On sait bien définir l’exponentielle d’un voisinage de 0 dans h(F), à valeurs dansun voisinage de 1 dans H(F). Grâce à l’hypothèse (1), on peut en fait prendre pourvoisinage de 0 l’ensemble h(F)tn . Elle est à valeurs dans H(F)tu , notons-la:

exp : h(F)tn → H(F)tu .

C’est un homéomorphisme. Elle possède toutes les propriétés usuelles. Par exemple,elle est invariante par conjugaison et même par conjugaison stable, en un sens facile àpréciser. Si H ′ est un sous-groupe de H , elle se restreint à h′(F)tn en l’exponentiellerelative à ce sous-groupe. Elle envoie éléments réguliers sur éléments fortementréguliers. Supposons de plus H non ramifié, soient K un sous-groupe hyperspécial deH(F) et k le réseau hyperspécial associé. Alors, pour X ∈ h(F)tn , on a X ∈ k si etseulement si exp(X) ∈ K .

4.2 Eléments compacts

On revient aux données de 2.1. Soit� le groupe d’automorphismes engendré par θ . Ilest fini par hypothèse, on peut le considérer comme un groupe algébrique non connexe

123


défini sur F en décidant que tous ses points sont définis sur F . Formons le produitsemi-direct G � �, qui est encore un groupe algébrique non connexe défini sur F .On peut identifier G au sous-ensemble G × {θ} ⊂ G � � par gθ �→ (g, θ). Cetteapplication n’est pas en général définie sur F , mais l’est sur Fnr , car θ ∈ M(Fnr ). Elleest en fait définie sur une extension finie non ramifiée de F . Pour toute extension F ′ deF contenue dans F , on sait d’après 1.1 et 1.4 définir les sous-ensembles des élémentsde G(F ′) � � qui sont d’ordre fini premier à p, ou compacts, ou topologiquementunipotents. On définit les sous-ensembles analogues de G(F ′) comme étant les imagesréciproques par l’application précédente des mêmes sous-ensembles de G ��.

Remarque Ces définitions dépendent du choix de θ .

Si θ n’est pas l’identité, il n’y a pas d’éléments topologiquement unipotents dansG. En tout cas, la décomposition des éléments compacts énoncée en 1.4 s’écrit ainsi:tout élément δ ∈ G(F)c s’écrit de façon unique sous la forme δ = δtuδp′ , où δtu ∈G(F)tu , δp′ ∈ G(F)p′ et ces deux éléments commutent entre eux. On écrira plutôtδ = exp(X)η, où η = δp′ et X est l’élément de gη(F)tn tel que exp(X) = δtu . Toutélément de K est compact. Pour δ ∈ K , on a, avec les notations ci-dessus, η ∈ K etX ∈ k.

On définit de la même façon les sous-ensembles des éléments de M d’ordre finipremier à p, ou compacts, ou topologiquement unipotents. Ce sont les intersectionsavec M des mêmes sous-ensembles de G.

4.3 Formule de descente du poids

Soit η ∈ K M ∩ M(F)p′ . Posons G = Gη, M = Mη, K = K ∩ G(F), K M =K M ∩ M(F). Le groupe M est un groupe de Lévi de G: c’est le commutant dans G dusous-tore de T dont le groupe des cocaractères est X∗(Z0

M )θ,�F . Soit (P, P) ∈ P(M),

posons P = P ∩ G. Il existe x∗ ∈ X∗(Z0M )

θ,�F tel que l’algèbre de Lie de P soit lasomme des sous-espaces propres pour l’action dans g du groupe à un paramètre x∗, devaleur propre associée positive ou nulle (c’est-à-dire qu’il existe n ≥ 0 tel que, pourtout z ∈ F , la conjugaison par x∗(z) agit par multiplication par zn). Alors l’algèbrede Lie de P est le sous-espace de g déterminé de façon similaire par x∗. Donc P estun sous-groupe parabolique de G, de composante de Lévi M . Cela vaut en particulierpour le groupe tordu (P0, P0) qui a servi en 2.1 à construire B.

Le lemme 5.4(ii) de [9] dit que G est un groupe non ramifié, que K est un sous-groupe hyperspécial de G et que K M est un sous-groupe hyperspécial de M . Enreprenant la preuve, on voit que K et M vérifient la même hypothèse que K et M .C’est-à dire qu’il existe une paire de Borel (B M,∗, T ∗) de M , définie sur F , telle queK soit le fixateur dans G(F) d’un point hyperspécial de I mm(G, F) appartenant àl’appartement associé au plus grand sous-tore déployé sur F de T ∗. On fixe une tellepaire.

Considérons un groupe de Lévi R de G, tel que T ∗ ⊂ R ⊂ M . On définit l’espace:

aR = X∗(

Z0R

)�F ×Z R.

123


On a l’inclusion Z θ,0M ⊂ Z0R , dont on déduit une inclusion naturelle aM ⊂ aR . On

peut certainement prolonger la forme quadratique sur aM en une forme quadratiquesur aR vérifiant les mêmes propriétés. Le prolongement n’est pas forcément unique,on en fixe un. On a introduit en 1.6 différentes notations concernant les sous-groupesparaboliques ou les groupes de Lévi. Pour plus de précision, on va y indiquer enexposant le groupe ambiant. On fera de même plus loin pour d’autres notations. Pour

L ∈ LG(R), Arthur a défini en [3] paragraphe 7 un nombre dGR (M, L). Il n’est non

nul que si on a la décomposition en somme directe aGR = aM

R ⊕ aLR (comme en 2.2,

on note par exemple aMR l’orthogonal de aM dans aR). Si cette condition est vérifiée,

dGR (M, L) est le jacobien de l’application somme de aM

R ⊕ aLR dans aG

G , relatif auxmesures de Haar associées aux formes quadratiques sur chacun de ces espaces. Dans lamême référence, Arthur a également défini une application L �→ Q

L. Elle est définie

sur l’ensemble des L ∈ LG(R) tels que dGR (M, L) = 0. Pour tout tel L , l’image Q

L

est un élément de PG(L). Cette application dépend du choix auxiliaire d’un élément

de aMR , en position générale. On suppose fixé un tel élément.

Posons K R = K ∩ R(F). C’est un sous-groupe hyperspécial de R(F). A la suited’Arthur, on a défini en 2.3 la fonction poids dans la situation tordue. On peut évidem-ment l’appliquer au cas non tordu. On définit ainsi la fonction poids vG

R sur G(F).

Soit (cS)S∈PG (R) une (G, R)-famille et soit Q ∈ FG(R). Notons L la composante

de lévi de Q contenant R. On définit une (L, R)-famille (cQ

SL )SL∈P L (R): pour tout

SL ∈ PL(R), il y a un unique S ∈ PG(R) tel que SL ⊂ S ⊂ Q; on pose cSL = cS .

On note cQR le nombre associé à cette (L, R)-famille. Appliquant cette définition aux

(G, R)-familles qui définissent la fonction poids, on obtient, pour Q et L comme

ci-dessus, une fonction vQR sur G(F).

Lemme Pour tout x ∈ G(F), on a l’égalité:

vGM(x) =

∑

L∈LG (R)

dGR (M, L)v

QL

R (x).

Preuve Soit (cS)S∈PG (R) une (G, R)-famille. On en déduit une (G, M)-famille

(dP )P∈P G (M) de la façon suivante. Soit (P, P) ∈ P G(M). On en déduit un élé-

ment P de PG(M). Choisissons S ∈ PG(R) tel que S ⊂ P . On note dP la restrictionde cS à ia∗

M. Cette fonction ne dépend pas du choix de S. Le lemme 4.1 de [4] affirme

l’égalité:

dGM

=∑

L∈LG (R)

dGR (M, L)c

QL

R .

123


Appliquons cela à la (G, R)-famille (vGS (., x))S∈PG (R) dont est issu le poids vG

R (x).

Soient (P, P) et S comme ci-dessus. Ecrivons x = ruk, avec r ∈ R(F), u ∈ US(F)et k ∈ K . On peut écrire u = u1u2, avec u1 ∈ US(F) ∩ M(F) et u2 ∈ UP (F). Enposant m = ru1, on a x = mu2k, avec m ∈ M(F), u2 ∈ UP (F) et k ∈ K . AlorsHS(x) = HR(r) et HP (x) = HM (m). Il résulte des définitions que HM (m) est laprojection orthogonale de HR(r) sur aM . La restriction à ia∗

Mde la fonction λ �→

vGS (λ, x) = exp(−λ(HS(x))) est la fonction λ �→ exp(−λ(HP (x))) = vG

P(λ, x). La

(G, M)-famille issue de notre (G, R)-famille est donc la famille (vGP(., x))P∈P G (M)

et la formule de l’énoncé est un cas particulier de la formule générale d’Arthur. ��

4.4 Descente d’une intégrale orbitale pondérée

On conserve les données du paragraphe précédent. On considère de plus un élémentX ∈ r(F)tn , on pose δ = exp(X)η. On suppose que δ ∈ Greg(F), cf. 2.4.

Pour tout L ∈ LG(R), on note Lsc l’image réciproque de L dans GSC et K Lsc

l’image réciproque dans Lsc(F) de K L = K ∩ L(F). La classe de conjugaison deX par R(F) se décompose en un nombre fini de classes de conjugaison par Rsc(F).Fixons un ensemble AX ⊂ R(F) de sorte que {a−1 Xa; a ∈ AX } soit un ensemble dereprésentants de ces classes de conjugaison par Rsc(F). D’autre part, on a l’égalité:

g(F) = zG(F)⊕ gSC(F).

Tout élément X ′ ∈ g(F) se décompose conformément à cette égalité en une sommeX ′ = X ′

Z + X ′SC , où X ′

Z ∈ zG(F) et X ′SC ∈ g

SC(F). Supposons X ′ régulier, notons

G X ′ son commutant dans G et G X ′,sc son commutant dans GSC . On a l’égalité:

(1) gX ′(F) = zG(F)⊕ g

X ′,sc(F).

Le groupe Z0G est non ramifié, donc Z0

G(F) est muni d’une mesure de Haar canonique.Il s’en déduit une mesure sur zG(F). Munissons G X ′(F) d’une mesure de Haar. Il s’endéduit une mesure sur g

X ′(F), puis une mesure sur gX ′,sc

(F) de sorte que l’égalité(1) soit compatible aux mesures. On la remonte ensuite en une mesure sur G X ′,sc(F).On fixe une mesure de Haar sur G X (F), on en déduit par conjugaison une mesuresur Ga−1 Xa(F) pour tout a ∈ AX , puis, comme on vient de le dire, une mesuresur Ga−1 Xa,sc(F). Ces mesures servent à normaliser les fonctions qui interviennentci-après.

Lemme On a l’égalité:

r G,ωM,K

(δ)=[Z M (δ)(F) : M X (F)]−1∑

a∈AX

ω(a)∑

L∈LG (R)

dGR (M, L)r

Lsc

rsc,kLsc(a−1 X SC a).

123


Preuve Remarquons que Gδ = G X . Par définition, on a:

(2) r G,ωM,K

(δ) = |DG(δ)|1/2[Z M (δ)(F) : M X (F)]−1

×∫

G X (F)\G(F)

1K (x−1δx)ω(x)vG

M(x) dx .

Décomposons l’espace g/gX

en sous-espaces propres pour l’action de autδ . Consid-

érons un tel sous-espace V , notons µ la valeur propre associée. Certainement µ ∈ o×F

.

Décomposons µ en µ = µtuµp′ , où µtu ∈ o×F,tu

et µp′ ∈ o×F,p′ . Alors µp′ est la

valeur propre de autη dans V , et µtu = exp(ν), où ν est la valeur propre de ad(X)

dans V . Si µp′ = 1, 1 − µ est une unité et sa contribution à |DG(δ)| est égale à 1.Si µp′ = 1, ce qui équivaut à l’inclusion V ⊂ g, on a 1 − µ = 1 − exp(ν), d’oùvalF (1 − µ) = valF (ν) grâce à l’hypothèse (1) de 2.1. La contribution de 1 − µ à|DG(δ)| est la même que celle de ν à |DG(X)|1/2. Cela prouve l’égalité:

|DG(δ)| = |DG(X)|1/2.

D’après le lemme 5.6(ii) de [9], l’ensemble des x ∈ G(F) tels que x−1δx ∈ K estinclus dans G(F)K . Les fonctions que l’on intègre sont invariantes à droite par K(pour ω, cela résulte de [9] 4.1(1)). Il est alors clair que l’intégrale de la formule (2)est proportionnelle à:

(3)∫

G X (F)\G(F)

1K (x−1δx)ω(x)vG

M(x) dx,

la constante de proportionnalité venant de la comparaison des mesures de Haar. Ona calculé cette constante en [9] 5.11, elle vaut 1. Pour x ∈ G(F), on a x−1δx =exp(x−1 X x)η et cet élément appartient à K si et seulement si x−1 X x appartient à k.

Les éléments X Z et X SC sont topologiquement nilpotents. Le groupe Z0G est un tore

non ramifié. Donc Z0G(F) possède un unique sous-groupe hyperspécial, qui est son

unique sous-groupe compact maximal. L’algèbre de Lie zG(F) possède un uniqueréseau hyperspécial et tous les éléments topologiquement nilpotents de cette algèbreappartiennent à ce réseau. Donc X Z ∈ k ∩ zG(F). Alors x−1δx ∈ K si et seulementsi x−1 X SC x ∈ kSC . On peut donc remplacer 1K (x

−1δx) par 1kSC(x−1 X SC x) dans la

formule (3). Considérons l’application naturelle:

G X (F)\R(F)/Rsc(F) → G X (F)\G(F)/GSC (F).

Elle est évidemment injective. Elle est surjective car la même preuve que celle de labijectivité de 1.9(2) montre que l’application T ∗(F) → G(F)/GSC (F) est surjective.Il en résulte que l’ensemble {a−1 X SC a; a ∈ AX } est un ensemble de représentants des

123


classes de conjugaison par GSC (F) dans la classe de conjugaison de X SC par G(F).On peut décomposer l’intégrale (3) en une somme indexée par AX d’intégrales surG X,sc(F)\GSC (F). Là encore, il y a un rapport de mesures de Haar à calculer. On afait ce calcul en [9] 3.10, le rapport vaut 1. Dans l’intégrale indexée par a ∈ AX , la

variable d’intégration est remplacée par ax . On a vGM(ax) = vG

M(x) car a ∈ M(F).

On a ω(ax) = ω(a) car, GSC étant simplement connexe, tout caractère est trivial surGSC (F). L’égalité (2) devient:

(4) r G,ωM,K

(δ) = [Z M (δ)(F) : M X (F)]−1

∑a∈AX

ω(a)|DG(X)|1/2∫

G X,sc(F)\GSC (F)

1kSC(a−1 X SC a)vG

M(x) dx .

Fixons a ∈ AX . Grâce au lemme 3.3, l’intégrale indexée par a dans la formule ci-

dessus se décompose en la somme sur L ∈ PG(R) du produit de dGR (M, L) et de

l’intégrale:

∫

G X,sc(F)\GSC (F)

1kSC(x−1a−1 X SC ax)v

QL

R (x) dx .

D’après la décomposition d’Iwasawa, on peut décomposer la variable d’intégrationen x = luk, où l ∈ G X,sc\Lsc(F), u ∈ UQ

L(F) et k ∈ K SC . La mesure sur le

premier ensemble se déduit de la mesure normalisée sur L(F), celle sur K SC est demasse totale 1 et celle sur UQ

L(F) est telle que le volume de UQ

L(F) ∩ K SC vaut 1.

L’intégration sur K SC disparaît. L’application:

UQL(F) → uQ

L(F)

u �→ N = u−1l−1a−1 X SC alu − l−1a−1 X SC al

permet de remplacer l’intégration sur UQL(F) en une intégration sur uQ

L(F). La

mesure sur ce dernier espace est celle déduite de la mesure sur UQL(F). Le jacobien

de l’application ci-dessus se calcule de la façon habituelle: il vaut |DLsc (X SC )|1/2|DGSC (X SC )|−1/2. Remarquons que l’on peut aussi bien remplacer GSC et X SC parG et X dans le deuxième déterminant. Soit N ∈ uQ

L(F). Parce que K SC est en bonne

position par rapport à Lsc, un terme l−1a−1 X SC al +N appartient à kSC si et seulementsi l−1a−1 X SC al appartient à kLsc et N appartient à kSC ∩ uQ

L(F). On vérifie que ce

dernier ensemble est de volume 1. Alors l’intégration en N ∈ uQL(F) disparaît . Ces

transformations remplacent l’égalité (4) par:

123


r G,ωM,K

(δ) = [Z M (δ)(F) : G M (F)]−1∑

a∈AX

ω(a)∑

L∈PG (R)

dGR (M, L)

|DLsc (X SC )|1/2∫

G X,sc(F)\Lsc(F)

1kLsc (l−1a−1 X SC al)v

QL

R (l) dl.

Pour l ∈ Lsc(F), on a:

vQ

LR (l) = v

LR(l) = v

LscRsc(l).

L’égalité précédente devient celle de l’énoncé. ��

5 Descente des intégrales orbitales pondérées endoscopiques

5.1 Les données

On considère la situation de 2.1. On fixe γ ∈ M ′z′,G−reg

(F). Si γ n’est pas compact, ou

bien sa classe de conjugaison stable ne correspond à aucune classe de conjugaison sta-ble dans M(F), ou bien il lui correspond une unique classe, qui est formée d’élémentsnon compacts ([9] Lemme 5.7(i)). La classe de conjugaison par G(F) d’un élémentnon compact de M(F) ne peut pas couper K . Il en résulte:

(1) si γ n’est pas compact, r G,ωM ′ (γ ) = 0.

On suppose désormais γ compact et on le décompose en γ = exp(Y )ε, avecε ∈ M ′

z′,p′(F) et Y ∈ m′ε(F)tn . Le but de la section est d’établir une formule de

descente pour la valeur en γ de la fonction r G,ωM ′ . On sait grâce au lemme 2.10 que cette

fonction ne dépend de la donnée endoscopique (M ′, L M′, s, ξ ) qu’à isomorphisme

près, ce qui nous permettra dans le paragraphe suivant d’ajuster cette donnée de façonconvenable. On expliquera en 5.5 pourquoi on peut utiliser le lemme 2.10 bien que sadémonstration ne soit pas achevée. D’autre part, seule compte la classe de conjugaisonstable de γ . On sait que, quitte à remplacer γ par un autre élément de cette classe,on peut supposer M ′

ε quasi-déployé sur F . Dans la suite, on suppose cette conditionvérifiée.

5.2 Construction de nouvelles données endoscopiques

Considérons le cas où il existe un diagramme joignant ε à un élément de M(F). Onen fixe un, que l’on note:

D = (ε, T �, T0, T �, T �, h,m0,m1, η).

On sait que η appartient à M(F)p′ ([9] Lemme 5.7(i)). Posons ν = νD , G = Gνθ ,

M = Mνθ , T = Tνθ = T θ,0, B = Bνθ , B M = B Mνθ

. Le couple (B, T ) est une paire

123


de Borel de G. Fixons un épinglage relatif à cette paire. Rappelons que B est inclusdans P0, où (P0, P0) ∈ P(M) a été fixé en 2.1. Parce que η ∈ M(F), on voit queP0 = P0,νθ est un sous-groupe parabolique de G contenant B et de composante deLévi M .

L’application intm0m1 se restreint en un isomorphisme de Gη sur G. Notons ψ cetterestriction. Remarquons que ψ(Mη) = M . Soit σ ∈ �F . On peut fixer un élémentu(σ ) ∈ GSC de sorte que int−1

u(σ ) ◦ ψ ◦σ ◦ ψ−1 conserve la paire de Borel épinglée de

G. Remarquons que ψ ◦ σ ◦ ψ−1 conserve P0 et M , donc u(σ ) ∈ Msc, où, ici et dansla suite, les indices sc se réfèrent au groupe ambiant G, cf. 1.3. On munit G de l’actionde �F telle que σ agisse par int−1

u(σ ) ◦ ψ ◦ σ ◦ ψ−1. Alors G est un groupe réductif

défini et quasi-déployé sur F . Le sous-groupe M est défini sur F et est un groupe de

Lévi standard de G. Introduisons le L-groupe L G. On munit ˆG d’une paire de Borel

épinglée conservée par l’action de WF . On note ( ˆB, ˆT ) cette paire. On identifie ˆM à un

groupe de Lévi standard de ˆG, puis L M à un sous-groupe de L G. Le tore ˆT s’identifieau tore dual de T θ,0, c’est-à-dire à T

/θ, cette identification n’étant pas équivariante

pour les actions galoisiennes. Dans les définitions qui suivent, les indices ad se réfèrent

au groupe ambiant ˆG. On a une suite d’homomorphismes:

T → T/θ

� ˆT → ˆTad .

On note s l’image de s par l’homomorphisme composé. Posons ˆH = Z ˆMad(s)0,

BH = ˆH ∩ ˆBad . Le couple (BH ,ˆTad) est une paire de Borel de ˆH , on la munit d’un

épinglage. On a défini en [9] 3.5 une action de �F sur ˆH qui conserve cette paire

de Borel épinglée. Décrivons cette action sur ˆTad . Pour σ ∈ �F , on note σG , σG ,

etc. l’action de σ sur G, G, etc. Pour σ ∈ �F , σ ˆH coïncide avec ˆn(σ ) ◦ σG sur ˆTad ,

où ˆn(σ ) ∈ �ˆG est défini de la façon suivante. Notons ω(σ ) l’image de u(σ ) dans

�G = �ˆG . Alors ˆn(σ )est l’unique élément dans la classe�

ˆH ω(σ ) tel que l’opérateur

σ ˆH défini par la formule ci-dessus conserve la chambre dans X∗( ˆTad) associée à B ˆH .

Dans [9] 3.5, on a aussi défini une extension H de WF par ˆH et un L-plongementˆξ : H → L Mad . Introduisons un groupe réductif connexe H défini et quasi-déployé

sur F , dont le groupe dual soit ˆH . Alors (H , H, s, ˆξ) est une donnée endoscopiquepour le groupe Msc.

Remarque Dans [9], il n’y avait pas de groupe de Lévi. Pour appliquer les définitions decette référence, il faut oublier G et ne considérer que M . Si on applique strictement cesdéfinitions, on obtient une donnée endoscopique de MSC , le revêtement simplementconnexe de M . Mais le passage aux groupes simplement connexes n’est nécessaire quepour trivialiser le caractère ωM . Parce que ce caractère est la restriction du caractèreω de G(F), on voit qu’il suffit de passer au groupe Msc pour assurer la validité desconstructions.

123


La donnée (H , H, s, ˆξ) n’a aucune raison d’être elliptique. On sait que, quitte à laremplacer par une donnée équivalente, il existe un groupe de Lévi standard R de M

tel que ˆξ(H) soit inclus dans L Rad et que notre donnée apparaisse comme une donnéeendoscopique elliptique de Rsc. En fait, on va plutôt remplacer la donnée de départ

(M ′, L M′, s, ξ ) par une donnée équivalente pour que la donnée déduite (H , H, s, ˆξ)

vérifie cette condition.Soit x∗ ∈ X∗(Z�F ,0

ˆH ) un élément en position générale. On entend par là que son

commutant est égal à celui du groupe Z�F ,0ˆH . Il existe n ˆM ∈ Norm ˆMad

( ˆTad) tel que

intn ˆM◦ ˆξ ◦x∗ appartienne à la chambre de X∗( ˆTad) déterminée par ˆB M

ad . Pour σ ∈ �F , il

résulte de la définition d’une donnée endoscopique que σG(intn ˆM◦ ˆξ ◦x∗) est conjugué

à intn ˆM◦ ˆξ ◦ x∗ par un élément de Norm ˆMad

( ˆTad). Deux éléments de la chambre ci-

dessus ne peuvent être conjugués que s’ils sont égaux. Donc intn ˆM◦ ˆξ ◦ x∗ est fixe par

�F . Il en résulte que son commutant ˆR dans ˆM est un groupe de Lévi de ˆM stable parl’action de �F et standard, comme l’est le commutant de tout élément de la chambre

définie plus haut. Parce que x∗ est en position générale, ˆR est aussi le commutant

de intn ˆM◦ ˆξ(Z�F ,0

ˆH ). Notons ω l’image de n ˆM dans �ˆM . On a �

ˆM ⊂ �M,θ . Soit

nM ∈ NormM θ ,0(T ) un élément ayant ω pour image dans �M,θ . L’homomorphisme

intnM◦ ξ envoie T ′ dans T , mais pas forcément B ′ dans B. On peut fixer m M ′ ∈

NormM ′(T ′) tel que intnM◦ ξ ◦ intmM ′ envoie B ′ dans B. Posons s′ = nM sn−1

M,

ξ ′ = intnM◦ ξ ◦ intmM ′ . La donnée (M ′, L M

′, s′, ξ ′) est une donnée endoscopique

équivalente à (M, L M′, s, ξ ). Elle vérifie les conditions supplémentaires imposées

en 2.1. Reprenons les constructions en utilisant cette nouvelle donnée. Remarquonsque le cocycle z′ et la variété M ′

z′ ne changent pas. L’homomorphisme ξ : T → T ′

est remplacé par ξ ′ = ω′−1 ◦ ξ ◦ ω−1, où ω′ est l’image de mM ′ dans �M ′ � �M ′.

Relevonsω′ en un élément mM ′ ∈ Norm M ′SC(T ′). Relevonsω d’une part en un élément

nM ∈ Norm Mθ,0SC(T ), d’autre part en un élément de nM ∈ Norm MSC

(T ). Remarquons

que l’homomorphisme MSC → M se relève de façon unique en un homomorphisme deMSC dans MSC . On peut considérer nM et nM comme des éléments de Norm MSC (T )qui ont même image dans �M . En notant TMSC l’image réciproque de T dans MSC ,il existe donc t ∈ TMSC tel que nM = nM t . Notons t� l’image réciproque de t parintm0m1 , et posons:

D′ = (ε, T �, T0, T �, T �,m−1M ′ h, nM m0,m1t�, η).

On a les égalités:

intnM m0m1t�(η) = intnM m0m1(η) = intnM(νD θ ) = νD θ , ω

−1(νD)

= int−1nM(νD) = int−1

nM(νD θ )θ

−1 = intt ◦ int−1nM(νD θ )θ

−1

123


= intt (νD θ )θ−1 = tθ(t)−1νD, inth−1mM ′ ◦ ξ ′(νD)

= inth−1 ◦ ξ ◦ ω−1(νD) = inth−1 ◦ ξ(tθ(t)−1νD)

= inth−1 ◦ ξ(νD) = ψz′(ε).

On voit que D′ est un diagramme pour la nouvelle donnée endoscopique et νD′ = νD .L’homomorphisme ψ devient intnM

◦ ψ . Puisque nM ∈ M ⊂ G, le groupe G,muni de sa structure de groupe réductif sur F , reste inchangé. Plus précisément, pourσ ∈ �F , l’élément u(σ ) est changé en u′(σ ) = nM u(σ )n−1

M. L’élément s est changé

en s′ = n ˆM sn−1ˆM et ˆH est changé en ˆH ′ = intn ˆM

( ˆH). La structure galoisienne sur ˆH ′

se déduit comme plus haut de l’application σ �→ u′(σ ) et on voit que, à conjugaison

près par un élément de ˆH , l’application intn ˆMentrelace l’action galoisienne sur ˆTad

provenant de ˆH avec celle provenant de ˆH ′. Donc Z�F ,0ˆH ′ = intn ˆM

(Z�F ,0ˆH ). On a fait

ce qu’il fallait pour que le commutant de ce groupe dans ˆMad soit égal à ˆRad . Celamontre que, quitte à changer la donnée (M ′, L M

′, s, ξ ) en une donnée équivalente et

à changer simultanément le diagramme D, on peut supposer:

(1) Z�F ,0ˆH a pour commutant dans ˆMad un groupe de Lévi standard ˆRad .

Il résulte de cette propriété que l’image de ˆξ est contenue dans ˆRad . Notons R

le groupe de Lévi standard de M correspondant à ˆR. On peut alors considérer que

(H , H, s, ˆξ) est une donnée endoscopique de Rsc. Elle est elliptique.On a les inclusions Z θ,0M ⊂ Z0

M⊂ Z0

R. Elles sont équivariantes pour les actions de

�F car l’action galoisienne sur T se déduit de l’action naturelle sur T θ,0 en la com-posant avec des automorphismes intérieurs de M . On en déduit une inclusion aM ⊂ aR .On peut certainement prolonger la forme quadratique sur aM en une forme quadratiquesur aR vérifiant les mêmes propriétés. On fixe un tel prolongement. Remarquons que

l’on peut alors définir comme en 4.3 la constante dGR(M, L) pour L ∈ LG(R).

Supposons que le diagramme D soit non ramifié. Dans la construction ci-dessus, onpeut choisir mM ′ ∈ M ′

K ′,SC (oFnr ), nM ∈ Mθ,0K ,SC (oFnr ) et nM ∈ MK ,SC (oFnr ). Alors

t appartient à TMSC (oFnr ) et t� appartient à MK ,SC (oFnr ). Le diagramme D′ est encorenon ramifié. Cette condition de non ramification est donc insensible au changementde données effectué ci-dessus. On vérifie que les groupes G et H sont non ramifiés etque H est isomorphe à L H .

5.3 Correspondances de classes de conjugaison stable

On conserve la situation du paragraphe précédent et on suppose l’hypothèse (1) dece paragraphe vérifiée. On fixe une paire de Borel (BH , TH ) de H , définie sur F et

on introduit l’isomomorphisme ξ : Tsc → TH dual de ˆξ . On fixe une paire de Borel(B�∗, T �∗) de M ′

ε , définie sur F , et un élément h0 ∈ M ′ε,SC tel que h0 B�∗h−1

0 =

123


M ′ε ∩ h−1 B ′h, h0T �∗h−1

0 = T �. Considérons la suite d’homomorphismes:

TH ,sc × Z0H

× Z0G

→ TH × Z0G

ξ−1×id→ Tsc × Z0G

→ T θ,0

→ T/θξ→ T ′ int−1

hh0→ T �∗ → T �∗sc × Z0M ′ε.

Tous ces isomorphismes sont des isogénies. De leur composé résulte un isomorphismeentre groupes de cocaractères tensorisés par Q, dont on note l’inverse:

j∗ : X∗,Q(T �∗sc )⊕ X∗,Q(Z0M ′ε) → X∗,Q(TH ,sc)⊕ X∗,Q(Z0

H)⊕ X∗,Q(Z0

G).

L’isomorphisme j∗ est équivariant pour les actions de�F . Il se restreint en des isomor-phismes de X∗,Q(T �∗sc ) sur X∗,Q(TH ,sc) et de X∗,Q(Z0

M ′ε) sur X∗,Q(Z0

H)⊕ X∗,Q(Z0

G).

En notant encore j∗ ces restrictions, le triplet (M ′ε,SC , HSC , j∗) est un triplet endo-

scopique non standard. Toutes ces propriétés résultent du lemme 3.6 de [9]. De j∗ sedéduit un isomorphisme:

(1) t�∗sc ⊕ zM ′ε

→ tH ,sc ⊕ zH ⊕ zG ,

que l’on note encore j∗.On a l’égalité:

m′ε = m′

ε,SC ⊕ zM ′ε.

Décomposons Y en Y = YSC + YZ , avec YSC ∈ m′ε,SC (F) et YZ ∈ zM ′

ε(F). Comme

on l’a dit en 3.7, on peut transférer la classe de conjugaison stable de YSC dans m′ε(F)

en une classe de conjugaison stable dans hSC (F). On fixe un élément YSC dans cetteclasse. Posons j∗(YZ ) = YZ + X∗

Z , avec YZ ∈ zH (F) et X∗Z ∈ zG(F). On pose

Y = YSC + YZ ∈ h(F). On vérifie que Y appartient à hG−reg(F).

Supposons G non ramifié. Alors Z0G(F) est muni d’une mesure canonique, dont on

déduit une mesure sur zG(F). Fixons une mesure de Haar sur zH (F). Par l’isomor-phisme (1), on en déduit une mesure sur zM ′

ε(F). On a fixé en 2.1 des mesures de Haar

sur les sous-tores maximaux de M ′, a fortiori sur ceux de M ′ε . Par le même procédé

qu’en 4.4, on en déduit des mesures sur les sous-tores maximaux de M ′ε,SC . De même

qu’en 3.7, on en déduit des mesures sur les sous-tores maximaux de HSC , puis, parun procédé inverse à celui de 4.4, des mesures sur les sous-tores maximaux de H . Lechoix de la mesure sur zH (F) intervient deux fois dans cette construction et ces deuxinterventions se compensent, le résultat est donc insensible à ce choix.

5.4 La formule de descente

On revient à la situation de 5.1. Considérons le cas où M ′ε est non ramifié. D’après les

Lemmes 5.3(v) et 5.7(ii) de [9], quitte à remplacer γ par un autre élément de sa classede conjugaison stable, on peut supposer que ε ∈ K ′

z′ et qu’il existe un diagramme non

123


ramifié joignant ε à un élément de K M . On fixe un tel diagramme D et on effectueles constructions de 5.2 et 5.3. Comme on l’a dit en 5.2, on peut supposer que lacondition (1) de ce paragraphe est vérifiée. Les groupes G et H sont non ramifiés. Ona fixé en 5.2 une forme quadratique sur aR , d’où, par restriction, une telle forme suraRsc

. On a fixé en 5.3 des mesures sur les sous-tores maximaux de H . Considérons

(H , L H , s, ξ ) comme une donnée endoscopique de Rsc. On a tout ce qu’il faut pour

définir la fonction r lsc

hpour tout L ∈ LG(R). Enfin, on a introduit en 5.3 un élément

Y ∈ hG−reg(F).

Proposition (i) Si M ′ε n’est pas non ramifié, r G,ω

M ′ (γ ) = 0.(ii) Supposons M ′

ε non ramifié. Avec les notations ci-dessus, on a l’égalité:

r G,ωM ′ (γ ) =

∑

L∈LG (R)

dGR(M, L)r lsc

h(Y ).

Preuve Supposons d’abord qu’il n’existe pas de diagramme joignant ε à un élémentde M(F). D’après le lemme 3.2 de [9] (dans lequel on peut prendre pour V l’ensembledes éléments topologiquement nilpotents de m′

ε(F)), aucun élément de la forme (γ, δ)

n’appartient à D. Alors r G,ωM ′ (γ ) = 0 par définition.

Supposons qu’il existe un tel diagramme. On introduit les objets de 5.2 et on supposel’hypothèse (1) de ce paragraphe vérifiée. Posons Iη = Z θM Mη et:

Yη = {y ∈ M; ∀σ ∈ �F , σ (y)−1 y ∈ Iη}.

Pour y ∈ Yη, l’élément yηy−1 appartient à M(F) et int−1y se restreint en des torseurs

intérieurs de G yηy−1 sur Gη et de Myηy−1 sur Mη. L’ensemble M(F)\Yη/Iη est fini, onfixe un ensemble de représentants Yη ⊂ Yη des doubles classes. Pour y ∈ Yη, on définitl’homomorphisme ψ[y] = ψ ◦int−1

y : G yηy−1 → G. C’est un torseur intérieur, qui se

restreint en un torseur intérieur de Myηy−1 sur M . Via ce torseur, (H , H, s, ˆξ) devientune donnée endoscopique de Myηy−1,sc (l’indice sc se référant au groupe ambiantG yηy−1 ). Fixons un ensemble de représentants �[y] des classes de conjugaison parMyηy−1(F) dans la classe de conjugaison stable de myηy−1,sc(F) qui correspond àcelle de Y , si cette classe existe. Sinon, on pose �[y] = ∅. Posons � = {(y, X); y ∈Yη, X ∈ �[y]}. Pour (y, X) ∈ �, posons ϕ(y, X) = exp(ψ[y]−1(X∗

Z + X))yηy−1,cf. 5.3 pour la définition de X∗

Z . D’après [9] 3.8 et 5.9, tout élément de la classe deconjugaison stable dans M(F) correspondant à celle de γ est conjugué par un élémentde M(F) à un élément de la famille (ϕ(y, X))(y,X)∈�. Il ne s’agit pas d’un systèmede représentants, deux éléments distincts de la famille pouvant être conjugués. En

tout cas, cela permet d’exprimer r G,ωM ′ (γ ) comme une combinaison linéaire de termes

r G,ωM,K

(ϕ(y, X)), pour (y, X) ∈ �. Pour qu’un tel terme ne soit pas nul, il est nécessaire

que la classe de conjugaison de ϕ(y, X) par G(F) coupe K . On a:

123


(1) soit δ ∈ M(F)c, supposons que la classe de conjugaison de δ par G(F) coupeK . Alors la classe de conjugaison de δp′ par M(F) coupe K M .

Soit g ∈ G(F) tel que gδg−1 ∈ K . Alors gδp′ g−1 = (gδg−1)p′ ∈ K . Utilisonsla décomposition d’Iwasawa pour écrire g = kum, avec k ∈ K u ∈ UP0(F) etm ∈ M(F). Posons δ′ = mδm−1 et écrivons δ′ = m′δ, avec m′ ∈ M(F). Ona uδ′u−1 ∈ K et cet élément est de la forme u′m′δ pour un u′ ∈ UP0(F). Puisqueδ ∈ K M , on a u′m′ ∈ K , donc m′ ∈ K M puisque K est en bonne position relativementà M . Alors δ′ = m′δ ∈ K M , ce qui prouve (1).

Notons Y K M

η le sous-ensemble des éléments y ∈ Yη tels que la classe de conju-

gaison par M(F) de yηy−1 coupe K M . Posons �K M = {(y, X) ∈ �; y ∈ Y K M

η }.La relation (1) dit que l’on peut oublier les éléments de � qui n’appartiennent pas à�K M

. On peut préciser le raisonnement ci-dessus. Notons c le nombre d’éléments deY K M

η . La combinaison du lemme 5.6 (iii) et (iv) de [9] et du calcul fait en 3.11

de cette référence montre que, pour tout (y, X) ∈ �K M, le nombre d’éléments

(y′, X ′) ∈ �K Mtels que ϕ(y′, X ′) soit conjugué à ϕ(y, X) par un élément de M(F)

est égal à c[Z M (ϕ(y, X))(F) : Mϕ(y,X)(F)]−1. On en déduit la formule précise:

(2) r G,ωM ′ (γ ) =

∑

(y,X)∈�K M

c−1[Z M (ϕ(y, X))(F) : Mϕ(y,X)(F)]�(γ, ϕ(y, X))

×r G,ωM,K

(ϕ(y, X)).

Soit y ∈ YK M

η . Quitte à multiplier y à gauche par un élément de M(F), on peut

supposer que yηy−1 ∈ K M .Posons η = yηy−1 et G = Gη . Le groupe G est nonramifié ([9] Lemme 5.4). Plus précisément, comme on l’a dit en 4.3, on peut fixer unepaire de Borel (B M,∗, T ∗) de M = Mη, définie sur F , telle que le groupe K ∩ G(F)soit le fixateur d’un point hyperspécial de l’appartement de I mm(G, F) associé auplus grand sous-tore déployé de T ∗. Notons B∗ le sous-groupe de Borel de G tel queB M,∗ ⊂ B∗ ⊂ P0 = P0,η. On complète (B∗, T ∗) en une paire de Borel épinglée

définie sur F . Il existe x ∈ G tel que ψ[y] ◦ intx envoie cette paire de Borel épingléesur celle de G que l’on a fixée en 5.2. Alors ψ[y]◦intx est défini sur F . Parce que ψ[y]envoie M sur M et P0 sur P0, on a en fait x ∈ M . Quitte à multiplier y à droite parl’élément y−1x−1 y, qui appartient à Mη, on peut supposer x = 1. Alors ψ[y] est défini

sur F . Soit R = ψ[y]−1(R). C’est un groupe de Lévi standard de M et (H , H, s, ˆξ)est une donnée endoscopique de Rsc. Soit� un ensemble de représentants dans rsc(F)des classes de conjugaison par R(F) dans la classe de conjugaison stable de rsc(F)qui correspond à celle de Y dans h(F). Montrons que:

(3) on peut supposer �[y] = �.

NotonsCR , resp.CM , les classes de conjugaison stable en question dans rsc(F), resp.msc(F). Notons CR/conj , resp. CM/conj , les ensembles de classes de conjugaisonpar R(F), resp. M(F), contenues dans CR , resp. CM . Par définition, on a CR ⊂ CM ,

123


d’où une application:

(4) CR/conj → CM/conj,

et il s’agit de prouver qu’elle est bijective. Soit X et X ′ deux éléments de CR , supposonsque leurs images dans CM/conj soient égales. Il existe alors r ∈ R et m ∈ M(F) telsque X ′ = r Xr−1 = m Xm−1. Alors r−1m appartient à M X . Mais X est régulier dansm(F), donc M X = RX et m ∈ R. Puisque m ∈ M(F), on a même m ∈ R(F) et lesimages de X et X ′ dans CR/conj sont égales. Cela prouve l’injectivité de l’application(4). Rappelons que CR n’est pas vide puisque R est quasi-déployé. Soit X ∈ CR . Ilest bien connu que l’ensemble de départ, resp. d’arrivée, de l’application (4) a mêmenombre d’éléments que le noyau de l’application:

H1(�F , RX ) → H1(�F , R), resp. H1(�F , RX ) → H1(�F ,M).

Il est non moins connu que l’application:

H1(�F , R) → H1(�F ,M)

est injective. Il en résulte que les ensembles de départ et d’arrivée de (4) ont mêmenombre d’éléments. Alors (4) est aussi surjective. Cela prouve (3).

Pour X ∈ �, appliquons le lemme 4.4. La contribution des termes indexés par ydans le membre de droite de (2) devient:

(5) c−1∑

L∈LG (R)

dGR (M, L)

∑X∈�

∑a∈AX

�(γ, ϕ(y, X))ω(a)rLsc

rsc,kLsc(a−1 X SC a).

L’ensemble {aX SC a−1; X ∈ �, a ∈ AX } est un ensemble de représentants des classesde conjugaison par Rsc(F) dans la classe de conjugaison stable de rsc(F) correspon-dant à celle de Y dans h(F). Fixons un facteur de transfert � pour la donnée endo-

scopique (H , L H , s, ˆξ) de Rsc. D’après [6] 5.1.D(2) et [9] Théorème 3.9, il existec ∈ C

× tel que, pour tous X ∈ � et a ∈ AX , on ait l’égalité

�(γ, ϕ(y, X))ω(a) = c�(Y , aX SC a−1).

L’expression (5) devient:

(6) c−1c∑

L∈LG (R)

dGR (M, L)

∑X∈rsc(F)

�(Y , X)rLsc

rsc,klsc(X).

Supposons que M ′ε n’est pas non ramifié. Puisque Z0

Gl’est, les isomorphismes de

5.3 montrent que H ne l’est pas. Notons T ∗ad , resp. T ∗

R AD, les images de T ∗ dans G AD ,

resp. R AD . Dans la preuve de la proposition 7.5 de [5], Kottwitz montre qu’il existe

123


t0 ∈ T ∗R AD

(oF ) et ζ ∈ C×\{1} tel que l’on ait l’égalité:

�(Y , intt0(X)) = ζ�(Y , X)

pour tout X ∈ rsc(F). On a la suite exacte:

1 → Z Rad→ T ∗

ad → T ∗R AD

→ 1

D’après 1.6(2), le centre Z Radest connexe. Les termes de la suite ci-dessus sont donc

tous des tores non ramifiés et on a la suite exacte:

1 → Z Rad(oFnr ) → T ∗

ad(oFnr ) → T ∗R AD

(oFnr ) → 1

Comme on l’a vu dans la preuve du lemme 1.10, le groupe H1(�nrF , Z Rad

(oFnr ))

est nul. Cela entraîne que l’application T ∗ad(oF ) → T ∗

R AD(oF ) est surjective et on

peut relever t0 en un élément t ∈ T ∗ad(oF ). Effectuons le changement de variables

X �→ intt (X) dans l’expression (6). Il est clair que:

rLsc

rsc,kLsc(intt (X)) = r

Lsc

rsc,kLsc(X).

Jointe à la formule de transformation du facteur de transfert, on voit que le changementde variables multiplie l’expression (6) par ζ . Puisque ζ = 1, cette expression (6) estnulle. A fortiori, le membre de droite de (2) est nul et cela démontre le (i) de l’énoncé.

Supposons que M ′ε est non ramifié. Comme on l’a dit au début du paragraphe, on

peut supposer D non ramifié. Le groupe H est non ramifié. On prend pour facteur detransfert � le facteur normalisé relatif au sous-groupe hyperspécial K Rsc . La propo-sition 5.10 de [9] affirme l’égalité c = 1. Il suffit d’appliquer les définitions pourtransformer (6) en:

c−1∑

L∈LG (R)

dGR (M, L)r

lsc

h(Y ).

En appliquant ψ[y], qui est défini sur F , on transforme cette expression en:

c−1∑

L∈LG (R)

dGR(M, L)r lsc

h(Y ).

Le membre de droite de (2) est la somme de ces expressions sur y ∈ Y K M

η . On a ditque cet ensemble a c éléments. On obtient alors la formule du (ii) de l’énoncé. ��

123


5.5 Fin de la preuve du lemme 2.10

Prouvons l’assertion (6) de 2.10. Soit γ ∈ M ′z′,G−reg

(F) tel que r G,ωM ′ (γ ) = 0 et

soit χnr un caractère “non ramifié” de M ′(Fnr ). On veut montrer que χz′(γ ) = 1.Remarquons que:

(1) χz′ est constant sur les classes de conjugaison stable.

Soient γ ′ et γ ′′ deux éléments stablement conjugués de M ′z′(F). Par définition,

on peut fixer x ∈ M ′ tel que xγ ′x−1 = γ ′′ et x−1σ(x) ∈ M ′γ ′ pour tout σ ∈

�F . Posons y = ψz′(γ ′). Alors χz′(γ ′′)χz′(γ ′)−1 = χnr (xyx−1 y−1). Puisque toutcaractère de M ′(Fnr ) est trivial sur l’image de M ′

SC (Fnr ) dans ce groupe, il suffit

de prouver que xyx−1 y−1 appartient à cette image. Fixons des éléments xsc et ysc

de M ′SC ayant mêmes images dans M ′

AD que x et y. Alors xyx−1 y−1 est l’imagedans M ′ de xsc yscx−1

sc y−1sc . Soit σ ∈ �F . L’hypothèse γ ′ ∈ M ′

z′(F) entraîne queσ(ysc)y−1

sc ∈ Z M ′SC

. On a M ′γ ′ = M ′

y . L’image réciproque dans M ′SC de l’image de M ′

y

dans M ′AD est égale à M ′

SC,ysc. Donc x−1

sc σ(xsc) ∈ M ′SC,ysc

. On en déduit facilement

l’égalité σ(xsc yscx−1sc y−1

sc ) = xsc yscx−1sc y−1

sc . Donc xsc yscx−1sc y−1

sc ∈ M ′SC (F), ce qui

prouve (1).D’après 5.1(1), γ est compact. Ecrivons γ = exp(Y )ε comme en 5.1. D’après le

(i) de la proposition précédente, les considérations qui précédent cette proposition etle (1) ci-dessus, on peut supposer ε ∈ K ′

z′ . On a alors χz′(ε) = 1 puisque χnr estnon ramifié. D’autre part, on a vu en 2.10 que χnr se factorisait par un quotient de

M ′(Fnr ) isomorphe à T ′Z/T ′Zsc . L’hypothèse 2.1(1) entraîne que le sous-groupe de

torsion de ce quotient est d’ordre premier à p. Tout élément topologiquement unipotentde M ′(Fnr ) a donc pour image l’élément neutre de ce quotient et χnr vaut 1 sur un telélément. En particulier χnr (exp(Y )) = 1. Alors χz′(γ ) = χnr (exp(Y ))χz′(ε) = 1,ce qui achève de prouver le lemme 2.10.

Il y a une incorrection dans cette preuve: on utilise la proposition 5.4 pour prouverle lemme 2.10, mais on a utilisé ce lemme en 5.2 lors de la preuve de cette proposition5.4. Cela se corrige par l’un ou l’autre des arguments suivants. Sans utiliser le lemme

2.10, la proposition 5.4 calcule non pas la fonction r G,ωM ′ , mais la fonction similaire

associée à une donnée endoscopique isomorphe à (M ′, L M′, s, ξ ). D’après ce que

l’on a démontré en 2.10, cette fonction est le produit de r G,ωM ′ par une fonction de la

forme χz′ . L’assertion (i) de la proposition 5.4 pour cette fonction produit est équiva-

lente à la même assertion pour la fonction r G,ωM ′ elle-même. Puisque nous n’utilisons

ci-dessus que cette assertion (i), tout rentre dans l’ordre. On peut aussi remarquerqu’en 5.2, nous avons remplacé la donnée endoscopique initiale par une donnée quilui est non seulement isomorphe, mais vraiment conjuguée par un élément de M . Pour

un tel changement, le cocycle b qui intervient en 2.10 est trivial et la fonction r G,ωM ′ ne

change pas, sans que l’on ait besoin d’utiliser l’assertion (6) qui restait à prouver. ��

123


5.6 Une remarque sur le cas stable sans torsion

On revient aux hypothèses de 5.1. Supposons (M ′, L M′, s′, ξ ) = (M, L M, 1, id).

Alors θ = 1 et ω = 1, cf. 3.4. Les éléments γ et ε appartiennent à M(F). Le groupeG s’identifie à Gε . Les groupes M et R sont égaux et s’identifient à Mε . Le groupe Hs’identifie à Mε,sc. L’élément Y s’identifie à la composante Ysc de Y dans mε,sc(F)relativement à la décomposition:

mε(F) = zGε (F)⊕ mε,sc(F).

La proposition du paragraphe 5.4 devient:

Proposition (i) Si Mε n’est pas non ramifié, r GM (γ ) = 0.

(ii) Supposons Mε non ramifié. Alors on a l’égalité:

r GM (γ ) =

∑

Lε∈LGε (Mε )

dGMε(M, Lε)r

lεscmε,sc(Ysc).

On a supprimé les˜dans le terme dGMε(M, Lε) puisque les parties “tordues” de nos

données n’interviennent pas dans sa définition.

On a l’égalité T = T , d’où ˆT = T . Cette identification n’est pas équivariante pour

les actions de �F , mais l’est modulo l’action du groupe�M = �M . Il s’en déduit desplongements ZG → Z ˆG = ZGε

et Z M → Z ˆM = Z Mεqui sont équivariants pour les

actions de �F . Soit Lε ∈ LGε (Mε). Comme on l’a rappelé en 2.1, on peut identifierLε à un sous-groupe de Gε . Supposons dG

Mε(M, Lε) = 0. Cela signifie que, dans

l’espace aMε = aM , les sous-espaces aM et aLε ont pour intersection aG . Dualement,cela signifie que Z�F ,0

Gest d’indice fini dans Z�F ,0

M∩ Z�F ,0

Lε, et cela entraîne que Z�F

G

est d’indice fini dans Z�F

M∩ Z�F

Lε. On pose:

eGMε(M, Lε) =

⎧⎨⎩

0, si dGMε(M, Lε) = 0;

dGMε(M, Lε)

[Z�F

M∩ Z�F

Lε: Z�F

G

]−1, si dG

Mε(M, Lε) = 0.

5.7 Une deuxième remarque sur le cas stable sans torsion

Supposons encore (M ′, L M′, s′, ξ ) = (M, L M, 1, id). Soit Y ∈ mG−reg(F), notons

Ysc sa composante dans msc(F).

Lemme On a l’égalité sgm(Y ) = sgSC

msc (Ysc).

Preuve On peut appliquer à la fonction rgm une preuve similaire à celle de la proposition

précédente (en fait, cette preuve similaire est incluse de façon un peu cachée dans cellede cette proposition). L’élément ε disparaît et on obtient simplement:

rgm(Y ) = rgSC

msc (Ysc).

123


Il est immédiat d’en déduire l’assertion de l’énoncé en raisonnant par récurrence surla dimension de G. ��

6 La partie combinatoire de la preuve

6.1 Les cas triviaux

On considère la situation de 2.1. Pour tout s′ ∈ EM ′(G), le cocycle z a une imagenaturelle à valeurs dans ZG[s′](Fnr )c et c’est celui-là que nous utilisons pour définirla variété G[s′]. Dans la formule conjecturale de 3.5, les fonctions sont naturellementdéfinies sur la même variété M ′

z′ . Soit γ ∈ M ′z′,G−reg

(F). La formule de 3.5, évaluée

en γ , est trivialement vraie dans les deux cas suivants:

• si γ n’est pas compact;• si γ est compact et si, en posant ε = γp′ , le groupe M ′

ε n’est pas non ramifié.

En effet, dans ces deux cas, on a r G,ωM ′ (γ ) = 0 (d’après 5.1(1) et la proposition

5.4(i)). De même, pour s′ ∈ EM ′(G), on a r G[s′]M ′ (γ ) = 0. Il en résulte par une récurrence

immédiate que sG[s′]M ′ (γ ) = 0. Tous les termes de la formule 3.5 sont nuls.

On suppose désormais γ compact, on pose γ = exp(Y )ε avec ε ∈ M ′z′(F)p′ et

Y ∈ mε(F)tn , et on suppose M ′ε non ramifié. On effectue les constructions de 5.2.

6.2 Deux expressions combinatoires

Posons:

I =∑

L∈LG (R)

dGR(M, L)

∑

s′∈EH (Lsc)

i H (Lsc, Lsc[s′])s Lsc[s′]h

(Y ),

J =∑

s′∈EM ′ (G)

iM ′(G,G[s′])∑

Lε∈LG[s′]ε (M ′ε )

eG[s′]M ′ε(M ′, Lε)slε

m′ε(Y ).

On peut dès à présent expliquer l’introduction de I .

Lemme Supposons (M ′, L M′, s, ξ ) = (M, L M, 1, id) ou que le lemme fondamental

pondéré pour les algèbres de Lie est vérifié. Alors on a l’égalité r G,ωM ′ (γ ) = I .

Preuve Sous la seconde hypothèse, la somme intérieure en s′ dans I est égale à r lsc

h(Y )

et l’égalité de l’énoncé est celle de la proposition 5.4. Sous la première hypothèse, onpeut remplacer G par Gε , R par Mε , H par Mε,sc et Y par Ysc. D’après la définition de

3.4, la somme intérieure en s′ est égale à rlεscmε,sc(Ysc) et l’égalité de l’énoncé coïncide

avec celle de la proposition 5.5. ��

123


6.3 Egalité des deux expressions

Proposition Supposons (M ′, L M′, s, ξ ) = (M, L M, 1, id) ou que le lemme fonda-

mental pondéré non standard est vérifié. Alors I = J .

Preuve Pour simplifier l’écriture, on désigne les données endoscopiques par leurspremiers termes, par exemple on écrit simplement M ′ la donnée (M ′, L M

′, s, ξ ). On

a introduit des paires de Borel de chaque groupe intervenant dans les constructions.On va identifier tous les tores de ces paires à des groupes reliés naturellement à T ou

T (par exemple Tsc ou T θ ,0). Chaque identification munit ces groupes d’une actionde �F , par transport de structure. Ces actions étant en général différentes, il convientde les différencier dans la notation. On note toutefois de la même façon une actionsur T et les actions qui s’en déduisent sur les groupes reliés à T , ainsi que celles quis’en déduisent par dualité sur les groupes reliés à T . Ainsi, on note σ �→ σG l’action“naturelle” de �F sur T ou T , c’est-à-dire celle qui provient de la structure de groupealgébrique sur F de G. Considérons deux actions galoisiennes, par exemple sur T ,notées σ �→ σ� et σ �→ σ�. Soit�′ un sous-groupe de�G . On dit que les deux actionsdifférent par un cocycle à valeurs dans�′ si, pour tout σ ∈ �F , il existe ω�,�(σ ) ∈ �′tel que σ� = ω�,�(σ ) ◦ σ�.Remarques (1) Supposons donnée une action σ �→ σ� de �F sur T θ,0 et supposons

qu’elle diffère de l’action σ �→ σG par un cocycle à valeurs dans �θ . Alorson peut étendre l’action σ �→ σ� en une action sur T par la formule évidente

σ� = ω�,G(σ ) ◦ σG . La même remarque vaut si l’on remplace T θ,0 par T/θ , T θ ,0

ou T/θ

.

(2) Il s’avérera que toutes les actions sur T diffèrent de l’action σ �→ σG par descocycles à valeurs dans �θ . Il en résulte que, quelle que soit l’action sur T , leplongement ZG → T est équivariant pour les actions galoisiennes (ZG étant munide sa structure naturelle).

Par définition, T = T θ,0. On noteσ �→ σG l’action sur T θ,0 qui se déduit de l’actionnaturelle sur T . Par construction, elle diffère de l’action σ �→ σG par un cocycle àvaleurs dans �M,θ . L’action σ �→ σG se prolonge donc en une action sur T et on en

déduit des actions notées de la même façon sur T/θ , T , etc. Par définition T ′ = T θ ,0,

cette identification munit T θ ,0 d’une action σ �→ σM ′ . Elle diffère de l’action σ �→ σG

par un cocycle à valeurs dans �M,θ , ce qui a les mêmes conséquences que ci-dessus.

Par définition, M ′ ⊂ M , donc Z M ∩ T θ ,0 ⊂ Z M ′ et ce plongement est équivariantpour les actions galoisiennes. Il est moins clair, mais néanmoins vrai, que l’image deZ M dans T/θ est contenue dans Z ˆM . En effet, on a calculé en [9] 3.3 le système de

racines de ˆM . Avec les notations introduites dans la preuve de 3.2(1) ci-dessus, pourtoute racine α de T dans l’algèbre de Lie de M , le caractère Nα de T se quotienteen un caractère de T

/θ, noté encore Nα. Toute racine de T

θdans l’algèbre de Lie

de ˆM est un tel caractère Nα, ou 2Nα. Ces caractères valent 1 sur l’image de Z M .L’homomorphisme Z M → Z ˆM est équivariant pour les actions galoisiennes, d’après

une variante de la remarque (2).

123


Récrivons la suite d’homomorphismes de 5.3 sous la forme:

(3) TH × Z0G

→ T θ,0 → T/θ → T �∗.

Les deux premiers homomorphismes sont des isogénies, le troisième est un isomor-phisme. Par cet isomorphisme, transportons l’action galoisienne naturelle sur T �∗ enune action sur T/θ , que l’on note σ �→ σ�. Encore une fois, cette action diffère del’action σ �→ σG par un cocycle à valeurs dans �M,θ , ce qui a les mêmes con-séquences que ci-dessus. Comme on l’a déjà dit, le composé des homomorphismes(1) est équivariant pour les actions galoisiennes. Dualement, il en résulte que l’actionσ �→ σ� se quotiente en une action sur T

/θ/Z ˆG et que TH s’identifie à ce tore muni de

cette action quotient. Désormais, on munit les tores T , T θ ,0, T/θ

et T/θ/Z ˆG de l’action

σ �→ σ�.Dans la preuve du lemme 3.6 de [9], on a montré que:

• les actions σ �→ σ� et σ �→ σM ′ diffèrent par un cocycle à valeurs dans �M ′ ⊂�M,θ ;

• les actions σ �→ σ� et σ �→ σG diffèrent par un cocycle à valeurs dans�M ⊂ �M,θ .

En fait, on a un peu mieux. Précisons d’abord nos notations. On a défini le groupeGSC et, pour sous-groupe L de G, on a noté Lsc son image réciproque dans GSC . On

note ˆG AD le groupe adjoint de GSC et, pour tout sous-groupe ˆL de ˆG, on note ˆLad

son image dans ˆG AD (on prendra garde de ne pas confondre ˆG AD avec le groupe dualde G AD). On a défini R de sorte que H soit un groupe endoscopique de Rsc. Donc leplongement Z ˆRad

→ T/θ/Z ˆG est équivariant pour les actions de�F . Cela signifie que,

pour tout σ ∈ �F , l’élément ωG,�(σ ) ∈ �M agit trivialement sur Z ˆRadet appartient

donc à �R . Donc:

• les actions σ �→ σ� et σ �→ σG diffèrent par un cocycle à valeurs dans �R .

Soit s′ ∈ s Z θ ,�F

M. On a défini en 3.1 le groupe endoscopique G[s′] de (G, G)muni

du caractère ω et en 3.3 sa variante tordue (G[s′], G[s′]). Le groupe tordu (M ′,M ′z′)

en est un groupe de Lévi. En particulier γ ∈ G[s′]. On peut reprendre les constructionseffectuées en 5.2 pour le même élément γ , en remplaçant le groupe endoscopique M ′de M par le groupe endoscopique G[s′] de G. Remarquons que l’on peut prendre lemême diagramme D pour effectuer les constructions. Le groupe M ′

ε est remplacé parG[s′]ε , dont M ′

ε est un groupe de Lévi. Le groupe G ne change pas. Le groupe Hdevient un groupe endoscopique de GSC que nous noterons GSC [s′]. Par construction,H en est un groupe de Lévi. Les notations sont cohérentes avec celles de 3.1. En effet,notons τ : T → T

/θl’homomorphisme naturel et τad le composé de τ avec la

projection de T/θ

sur T/θ/Z ˆG = ˆG AD . Posons s′ = τad(s′). Il résulte des propriétés

ci-dessus que s′ ∈ s Z�FˆRad

. Comme en 3.1, on peut associer à cet élément un groupe

endoscopique de GSC . C’est bien le groupe GSC [s′] défini ci-dessus. Remarquons

123


que le groupe G[s′] n’introduit pas d’action galoisienne supplémentaire: puisque M ′en est un groupe de Lévi, l’action déduite de la structure sur F de G[s′] coïncideavec σ �→ σM ′ et, puisque M ′

ε est un groupe de Lévi de G[s′]ε , l’action déduite de lastructure sur F de G[s′]ε coïncide avec σ �→ σ�. Résumons les inclusions que nousavons obtenues par les diagrammes suivants:

ZG ∩ T θ ,0 ⊂ ZG[s′] ⊂ ZG[s′]ε ⊂ T θ ,0

∩ ∩ ∩ ‖Z M ∩ T θ ,0 ⊂ Z M ′ ⊂ Z M ′

ε⊂ T θ ,0

ZG → Z ˆG → Z ˆGSC [s′] ⊂ T/θ/Z ˆG

∩ ∩ ∩ ‖Z M → Z ˆM ⊂ Z ˆR → Z ˆH ⊂ T

/θ/Z ˆG

Toutes les flèches et inclusions de ces diagrammes sont équivariantes pour lesactions galoisiennes.

On a des diagrammes similaires concernant les espaces aG , aG , etc. Ces espacessont naturellement des sous-espaces de X∗(T )θ ⊗ Z R, ou de X∗(T )/θ ⊗ Z R, ou deX∗(Tsc)⊗ Z R. Mais, comme on l’a dit en 3.2, les deux premiers espaces s’identifientet le troisième est un sous-espace du premier. On identifie tous nos espaces à des sous-espaces de X∗(T )θ⊗ ZR, muni de l’action σ �→ σ�, et on pose a� = X∗(T )θ,�F ⊗ ZR.On obtient le diagramme suivant:

(4)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

aG ⊂ aG ⊂ aGSC [s′] ⊕ aG ⊂ a�‖ ‖ ‖

aG ⊂ aG[s′] ⊂ aG[s′]ε ⊂ a�∩ ∩ ∩ ∩ ‖

aM = aM ′ ⊂ aM ′ε

⊂ a�‖ ‖ ‖

aM ⊂ aM ⊂ aR = aH ⊕ aG ⊂ a�

Les égalités verticales de l’avant-dernière colonne traduisent le fait que (M ′ε,SC ,

HSC , j∗) et (G[s′]ε,SC , GSC [s′]SC , j∗) sont des triplets endoscopiques non standard.L’égalité de la troisième ligne vient de l’hypothèse d’ellipticité du groupe endo-scopique M ′ de (M, M). Celle de la quatrième ligne vient de l’ellipticité du groupeendoscopique H de Rsc. Toutes les inclusions du diagramme sont équivariantes pourles actions galoisiennes.

Définissons une suite d’applications:

(5) LG(R) → LGSC [s′](H) → LG[s′]ε (M ′ε)

L �→ Lsc[s′] �→ Lε

123


Soit L ∈ LG(R). On a défini s′ ∈ s Z�FˆRad

, mais on peut pousser ce terme en un élément

de s Z�FˆRad/Z�F

ˆLad, que l’on note encore s′. On définit alors comme en 3.1 le groupe

Lsc[s′]. On peut aussi le définir comme l’élément de LGSC [s′](H) dont le groupe dualˆLad [s′] est le commutant dans ˆG AD[s′] de l’image de Z�F ,0

ˆL dans Z�FˆH . De cette

définition résulte l’inclusion:

aL ⊂ aLsc[s′] ⊕ aG .

Puisque (G[s′]ε,SC , GSC [s′]SC , j∗) est un triplet endoscopique non standard, il y aune bijection entre groupes de Lévi de G[s′]ε,SC et groupes de Lévi de GSC [s′]SC

ou, ce qui revient au même, entre groupes de Lévi de G[s′]ε et groupes de Lévi deGSC [s′]. La deuxième application de (5) est la restriction à LGSC [s′](H) de l’inversede cette bijection. L’inclusion ci-dessus se complète en:

(6) aL ⊂ aLsc[s′] ⊕ aG = aLε .

Définissons une suite d’applications;

(7) LG[s′]ε (M ′ε). → LGSC [s′](H) → LG(R)

Lε �→ Lε �→ L

La première application est l’inverse de la seconde application de (5). On définit L

comme l’élément de LG(R) tel que ˆLad soit le commutant de Z�F ,0ˆLε dans ˆG AD . Cela

entraîne l’inclusion:

aLε ⊕ aG ⊂ aL .

D’autre part, ˆLε = ˆLad ∩ ˆG AD[s′]. Donc Lε = Lsc[s′] et la composée de la suite (7)est une section de la composée de la suite (5). En tenant compte de (6), l’inclusionci-dessus entraîne:

(8) aL = aLsc[s′] ⊕ aG = aLε .

Notons EI l’ensemble des couples (L, s′) tels que L ∈ LG(R), s′ ∈ s Z�FˆRad/Z�F

ˆLad,

dGR(M, L) = 0 et Lsc[s′] est un groupe endoscopique elliptique de Lsc. Notons E J

l’ensemble des couples (s′, Lε) tels que s′ ∈ Z θ ,�F

M/Z θ ,�F

G, Lε ∈ LG[s′]ε (M ′

ε), G[s′]est un groupe endoscopique elliptique de (G, G) et dG[s′]

M ′ε(M ′, Lε) = 0. Ce sont les

ensembles de sommation apparaissant dans les expressions I et J . NotonsE l’ensemble

des couples (s′, L) tels que s′ ∈ Z θ ,�F

M/Z θ ,�F

Get L ∈ LG(R). Soit (s′, L) ∈ E . Pour

construire les applications (5), on a déjà composé τad en une application de s Z θ ,�F

Mdans

123


s Z�FˆRad/Z�F

ˆLad. Parce que τ (ZG) ⊂ Z ˆG , l’application se quotiente en une application

définie sur s Z θ ,�F

M/Z θ ,�F

G. On peut donc définir les images successives Lsc[s′] et Lε

de L comme en (5). On note E le sous-ensemble des (s′, L) ∈ E tels que:

(9) G[s′] soit un groupe endocopique elliptique de (G, G);

(10) Lsc[s′] soit un groupe endoscopique elliptique de Lsc;

(11) dGR(M, L) = 0;

(12) dG[s′]M ′ε(M ′, Lε) = 0.

Pour (s′, L) ∈ E , on a (L, s′) ∈ EI et (s′, Lε) ∈ E J . Cela définit des applicationseI : E → EI et eJ : E → E J . Montrons que:

(13) eJ est bijective; eI est surjective; pour (s′, L) ∈ E , la fibre de eI au-dessus de

eI (s′, L) a pour nombre d’éléments [τ−1ad (Z

�FˆLad) ∩ Z θ ,�F

M: Z θ ,�F

G].

Soit (s′, L) ∈ E . La relation (10) signifie que l’inclusion de (6) est une égalité. AlorsaL = aLε . Mais L est uniquement déterminé par aL . Donc (s′, L) est uniquementdéterminé par (s′, Lε) et eJ est injective. Inversement, soit (s′, Lε) ∈ E J . Soit Ll’image de Lε par la suite (7). Pour montrer que eJ est surjective, il suffit de montrer que(s′, L) appartient à E . Les relations (9) et (12) viennent de l’hypothèse (s′, Lε) ∈ E J

et (10) résulte de (8). Comparons les relations (10) et (11). Ces relations affirment leségalités:

(14)

⎧⎨⎩

aGR

= aGM

⊕ aGL

aG[s′]M ′ε

= aG[s′]M ′ ⊕ aG[s′]

Lε .

Les relations (9) et (10) et les égalités figurant dans le diagramme (4) montrent quechaque espace de la ligne supérieure est égal à celui de la ligne inférieure qui se trouveen-dessous. Donc (10) et (11) sont équivalentes et (s′, L) appartient bien à E . Celaachève de prouver la bijectivité de eJ . Soit (L, s′) ∈ EI . On a s′ ∈ s Z�F

ˆRad/Z�F

ˆLad.

Considérons la suite d’applications:

(15) Z θ ,�F ,0M

→ Z�F ,0ˆR /Z�F ,0

ˆL → Z�F ,0ˆRad

/Z�F ,0ˆLad

→ Z�FˆRad/Z�F

ˆLad.

La relation (11) est vérifiée par hypothèse et elle équivaut à la première égalité de (14).Celle-ci entraîne par dualité l’égalité:

Z�F ,0ˆR = τ

(Z θ ,�F ,0

M

)Z�F ,0

ˆL .

La première application de (15) est donc surjective. Il est immédiat que la deuxièmel’est aussi. La troisième l’est d’après une propriété similaire à 1.6(2). Donc la com-

posée l’est aussi. A fortiori s′ provient d’au moins un élément s′ ∈ s Z θ ,�F

M/Z θ ,�F

G.

123


Considérons un tel élément s′, montrons que (s′, L) appartient à E . Les relations(10) et (11) sont vérifiées d’après l’hypothèse (L, s′) ∈ EI . La relation (10) et les

égalités figurant dans le diagramme (4) entraînent que l’espace aGG[s′] est inclus dans

chacun des espaces intervenant dans la première égalité de (14). On a déjà dit quecette relation (14) était vérifiée. Pour que les deux espaces du membre de droite soient

en somme directe, il est nécessaire que aGG[s′] soit nul, ce qui équivaut à (9). Alors,

de nouveau, les deux égalités de (14) sont équivalentes, donc la seconde est vérifiéeelle-aussi, ce qui équivaut à (12). Cela prouve que (s′, L) ∈ E et que eI est surjective.La fibre de eI au-dessus de eI (s′, L) a même nombre d’éléments que l’ensemble des

s′′ ∈ Z θ ,�F

M/Z θ ,�F

Gdont l’image dans Z�F

ˆRad/Z�F

ˆLadest égale à 1. Soit s′′ ∈ Z θ ,�F

M. Pour

que l’image de s′′ dans Z θ ,�F

M/Z θ ,�F

Gappartienne à l’ensemble précédent, il faut et il

suffit que τad(s′′) appartienne à Z�FˆLad

. On en déduit la dernière assertion de (13).

Grâce à (13), on peut écrire:

(16)

⎧⎨⎩

I = ∑(s′,L)∈E cI (s′, L)s Lsc[s′]

h(Y ),

J = ∑(s′,L)∈E cJ (s′, L)slε

m′ε(Y ),

les notations étant comme ci-dessus, où:

cI (s′, L) = dG

R(M, L)i H (Lsc, Lsc[s′])

[τ−1

ad

(Z�F

ˆLad

)∩ Z θ ,�F

M: Z θ ,�F

G

]−1

,

cJ (s′, L) = iM ′(G,G[s′])eG[s′]

M ′ε(M ′, Lε).

On fixe désormais (s′, L) ∈ E . Montrons que:

(17) cI (s′, L) = dG

R(M, L)

[τ−1

ad

(Z�F

ˆLad [s′]

)∩ Z�F ,0

M ′ε

: Z�F ,0Lε

]−1

[Z�F ,0

Lε∩ Z�F ,0

M ′ : ZG ∩ Z�F ,0Lε

∩ Z�F ,0M ′

]−1 [ZG ∩ Z�F ,0

M ′ : ZG ∩ Z�F ,0Lε

∩ Z�F ,0M ′

].

Posons pour simplifier:

c′I (s

′, L) = cI (s′, L)dG

R(M, L)−1.

D’après la définition ci-dessus et celle de 3.1, on a:

c′I (s

′, L) =[

Z�FˆH : Z�F

ˆRad

] [Z�F¯Lad [s′] : Z�F

ˆLad

]−1 [τ−1

ad (Z�FˆLad) ∩ Z θ ,�F

M: Z θ ,�F

G

]−1

.

123


Considérons la suite:

1 →(

Z�FˆLad [s′] ∩ Z�F

ˆRad

) /Z�F

ˆLad→ Z�F

ˆLad [s′]

/Z�F

ˆLad→ Z�F

ˆH /Z�FˆRad

→ 1

Son exactitude en les deux premiers termes est triviale. Parce que ˆH est un groupe de

Lévi de ˆLad [s′], on a comme en 1.6(2):

Z�FˆH ⊂ Z�F

ˆLad [s′]Z�F ,0ˆH .

Parce que H est un groupe endoscopique elliptique de Rsc, on a:

Z�F ,0ˆH = Z�F ,0

ˆRad.

Ces deux relations entraînent que la suite ci-dessus est exacte en son troisième terme.En utilisant cette suite, on obtient:

c′I (s

′, L) =[

Z�FˆLad [s′] ∩ Z�F

ˆRad: Z�F

ˆLad

]−1 [τ−1

ad (Z�FˆLad) ∩ Z θ ,�F

M: Z θ ,�F

G

]−1

.

Par 1.6(2), on a:

Z�FˆRad

= Z�FˆLad

Z�F ,0ˆRad

.

Dualement à la première égalité de (14), on a l’égalité:

Z�F ,0ˆRad

= Z�F ,0ˆLad

τad

(Z θ ,�F ,0

M

).

D’où:

Z�FˆRad

= Z�FˆLadτad

(Z θ ,�F ,0

M

).

Alors l’homomorphisme naturel:

(Z�F

ˆLad [s′] ∩ τad

(Z θ ,�F ,0

M

))/(Z�F

ˆLad∩ τad

(Z θ ,�F ,0

M

))→

(Z�F

ˆLad [s′] ∩ Z�FˆRad

)/Z�F

ˆLad

est bijectif. L’image de cet homomorphisme est elle-même en bijection avec:

(τ−1

ad

(Z�F

ˆLad [s′]

)∩ Z θ ,�F ,0

M

) / (τ−1

ad

(Z�F

ˆLad

)∩ Z θ ,�F ,0

M

).

123


Alors:

c′I (s

′, L) =[τ−1

ad

(Z�F

ˆLad [s′]

)∩ Z θ ,�F ,0

M: τ−1

ad

(Z�F

ˆLad

)∩ Z θ ,�F ,0

M

]−1

×[τ−1

ad

(Z�F

ˆLad

)∩ Z θ ,�F

M: Z θ ,�F

G

]−1

.

Par 1.6(2), on a:

Z θ ,�F

M= Z θ ,�F

GZ θ ,�F ,0

M.

On en déduit que l’homomorphisme:

(τ−1

ad

(Z�F

ˆLad

)∩ Z θ ,�F ,0

M

) /(ZG ∩ Z θ ,�F ,0

M

)→

(τ−1

ad

(Z�F

ˆLad

)∩ Z θ ,�F

M

)/Z θ ,�F

G

est bijectif. Alors:

c′I (s

′, L) =[τ−1

ad

(Z�F

ˆLad [s′]

)∩ Z θ ,�F ,0

M: τ−1

ad

(Z�F

ˆLad

)∩ Z θ ,�F ,0

M

]−1

×[τ−1

ad

(Z�F

ˆLad

)∩ Z θ ,�F ,0

M: ZG ∩ Z θ ,�F ,0

M

]−1

=[τ−1

ad

(Z�F

ˆLad [s′]

)∩ Z θ ,�F ,0

M: ZG ∩ Z θ ,�F ,0

M

]−1

.

On a:

Z θ ,�F ,0M

= Z�F ,0

M ′

parce que M ′ est un groupe endoscopique elliptique de (M, M). D’où:

c′I (s

′, L) =[τ−1

ad

(Z�F

ˆLad [s′]

)∩ Z�F ,0

M ′ : ZG ∩ Z�F ,0M ′

]−1

.

Dualement à la seconde égalité (14), on a l’égalité:

(18) Z�F ,0M ′ε

= Z�F ,0M ′ Z�F ,0

Lε.

De l’égalité (8) résulte par dualité l’inclusion:

Z�F ,0Lε

⊂ τ−1ad

(Z�F ,0

ˆLad [s′]

).

123


Alors:

τ−1ad

(Z�F ,0

ˆLad [s′]

)∩ Z�F ,0

M ′ε

=(τ−1

ad

(Z�F ,0

ˆLad [s′]

)∩ Z�F ,0

M ′

)Z�F ,0

Lε.

Cela entraîne la surjectivité du troisième homomorphisme de la suite:

1 →((

Z�F ,0Lε

∩ Z�F ,0M ′

) (ZG ∩ Z�F ,0

M ′

)) / (ZG ∩ Z�F ,0

M ′

)

→(τ−1

ad

(Z�F ,0

ˆLad [s′]

)∩ Z�F ,0

M ′

) / (ZG ∩ Z�F ,0

M ′

)

→(τ−1

ad (Z�F ,0ˆLad [s′]) ∩ Z�F ,0

M ′ε

) /Z�F ,0

Lε

(ZG ∩ Z�F ,0

M ′

)→ 1

L’exactitude de la suite en les deux premiers termes est claire. Donc c′I (s

′, L) estl’inverse du produit des nombres d’éléments des termes extrêmes de cette suite. Lepremier terme est en bijection avec:

(Z�F ,0

Lε∩ Z�F ,0

M ′

)/(ZG ∩ Z�F ,0

Lε∩ Z�F ,0

M ′

).

Le troisième terme est calculé par la suite exacte:

1 →(

ZG ∩ Z�F ,0M ′

)/(ZG ∩ Z�F ,0

Lε∩ Z�F ,0

M ′

)→

(τ−1

ad (Z�F ,0ˆLad [s′]) ∩ Z�F ,0

M ′ε

) /Z�F ,0

Lε

→(τ−1

ad (Z�F ,0ˆLad [s′]) ∩ Z�F ,0

M ′ε

) /Z�F ,0

Lε

(ZG ∩ Z�F ,0

M ′

)→ 1

On obtient:

c′I (s

′, L) =[

Z�F ,0Lε

∩ Z�F ,0M ′ : ZG ∩ Z�F ,0

Lε∩ Z�F ,0

M ′

]−1

[ZG ∩ Z�F ,0

M ′ : ZG ∩ Z�F ,0Lε

∩ Z�F ,0M ′

] [τ−1

ad (Z�F ,0ˆLad [s′]) ∩ Z�F ,0

M ′ε

: Z�F ,0Lε

]−1

.

La formule (17) s’ensuit.Montrons que:

(19) cJ (s′, L) = dG[s′]

M ′ε(M ′, Lε)

[Z�F

Lε∩ Z�F ,0

M ′ε

: Z�F ,0Lε

]−1

[Z�F ,0

Lε∩ Z�F ,0

M ′ : ZG ∩ Z�F ,0Lε

∩ Z�F ,0M ′

]−1 [ZG ∩ Z�F ,0

M ′ : ZG ∩ Z�F ,0Lε

∩ Z�F ,0M ′

].

Posons:

c′J (s

′, L) = cJ (s′, L)dG[s′]

M ′ε(M ′, Lε)−1.

123


D’après la définition donnée ci-dessus et celles de 3.1 et 5.5, on a:

c′J (s

′, L) =[

Z�F

M ′ : Z�F

M ′ ∩ Z M

] [Z�F

G[s′] : Z�F

G[s′] ∩ ZG

]−1 [Z�F

Lε∩ Z�F

M ′ : Z�F

G[s′]]−1

=[

Z�F

M ′ : Z�F

M ′ ∩ Z M

] [Z�F

Lε∩ Z�F

M ′ : Z�F

G[s′] ∩ ZG

]−1.

Remarquons que:

Z�F

M ′ ∩ Z M = T θ ,0 ∩ Z θ ,�F

M, Z�F

G[s′] ∩ ZG = Z�F

M ′ ∩ ZG = T θ ,0 ∩ Z θ ,�F

G.

D’après 1.6(2), on a:

Z θ ,�F

M= Z θ ,�F

GZ θ ,�F ,0

M,

et, parce que M ′ est un groupe endoscopique elliptique de (M, M), on a:

Z θ ,�F ,0M

= Z�F ,0M ′ .

D’où:

Z�F

M ′ ∩ Z M =(

Z�F

G[s′] ∩ ZG

)Z�F ,0

M ′ .

Cette égalité entraîne que la suite suivante est exacte:

1 →(

Z�F

G[s′] ∩ ZG

)/(Z�F ,0

M ′ ∩ ZG

)→ Z�F

M ′ /Z�F ,0M ′ → Z�F

M ′ /(

Z�F

M ′ ∩ Z M

)→ 1

On en déduit:

c′J (s

′, L) =[

Z�F

M ′ : Z�F ,0M ′

] [Z�F

G[s′] ∩ ZG : Z�F ,0M ′ ∩ ZG

]−1

×[

Z�F

Lε∩ Z�F

M ′ : Z�F

G[s′] ∩ ZG

]−1

=[

Z�F

M ′ : Z�F ,0M ′

] [Z�F

Lε∩ Z�F

M ′ : Z�F ,0M ′ ∩ ZG

]−1

=[

Z�F

M ′ : Z�F ,0M ′

] [Z�F

Lε∩ Z�F

M ′ : ZG ∩ Z�F ,0Lε

∩ Z�F ,0M ′

]−1

×[

Z�F ,0M ′ ∩ ZG : ZG ∩ Z�F ,0

Lε∩ Z�F ,0

M ′

]

= c′′J (s

′, L)[

Z�F ,0Lε

∩ Z�F ,0M ′ : ZG ∩ Z�F ,0

Lε∩ Z�F ,0

M ′

]−1

×[

Z�F ,0M ′ ∩ ZG : ZG ∩ Z�F ,0

Lε∩ Z�F ,0

M ′

],

123


où:

c′′J (s

′, L) =[

Z�F

M ′ : Z�F ,0M ′

] [Z�F

Lε∩ Z�F

M ′ : Z�F ,0Lε

∩ Z�F ,0M ′

]−1.

Grâce à 1.6(2), on a:

Z�F

M ′ε

= Z�F

LεZ�F ,0

M ′ε

.

Avec (18), on obtient:

Z�F

M ′ε

= Z�F

LεZ�F ,0

M ′ ,

puis:

Z�F

M ′ = Z�F

M ′ ∩ Z�F

M ′ε

=(

Z�F

Lε∩ Z�F

M ′

)Z�F ,0

M ′ .

Alors la suite suivante est exacte:

1 →(

Z�F

Lε∩ Z�F ,0

M ′

) / (Z�F ,0

Lε∩ Z�F ,0

M ′

)→

(Z�F

Lε∩ Z�F

M ′

) / (Z�F ,0

Lε∩ Z�F ,0

M ′

)

→ Z�F

M ′/

Z�F ,0M ′ → 1

Donc:

c′′J (s

′, L) =[

Z�F

Lε∩ Z�F ,0

M ′ : Z�F ,0Lε

∩ Z�F ,0M ′

]−1.

D’après (18), on a:

Z�F

Lε∩ Z�F ,0

M ′ε

= Z�F ,0Lε

(Z�F

Lε∩ Z�F ,0

M ′

).

Alors l’application:

(Z�F

Lε∩ Z�F ,0

M ′

) /(Z�F ,0

Lε∩ Z�F ,0

M ′

)→

(Z�F

Lε∩ Z�F ,0

M ′ε

) /Z�F ,0

Lε

est bijective. On obtient:

c′′J (s

′, L) =[

Z�F

Lε∩ Z�F ,0

M ′ε

: Z�F ,0Lε

]−1

.

En reportant cette valeur dans l’expression de c′J (s

′, L), on en déduit (19).

Les décompositions (14) ne préservent pas les mesures et les termes dGR(M, L) et

dG[s′]M ′ε(M ′, Lε) sont les rapports entre les mesures sur les membres de gauche de (14)

123


et celles sur les membres de droite. Mais on a vu que, pour (s′, L) ∈ E , les deuxdécompositions de (14) étaient identiques. Donc:

dGR(M, L) = dG[s′]

M ′ε(M ′, Lε).

Avec (17) et (19), on obtient:

(20) cI (s′, L)cJ (s

′, L)−1 =[τ−1

ad

(Z�F

ˆLad [s′]

)∩ Z�F ,0

M ′ε

: Z�F ,0Lε

]−1

×[

Z�F

Lε∩ Z�F ,0

M ′ε

: Z�F ,0Lε

].

Notons X∗ le groupe de cocaractères de T θ,0 et Y∗ celui de T/θ . Evidemment, X∗,

resp. Y∗ est aussi le groupe de caractères de T/θ

, resp. T θ ,0. Notons �1, �1, �2 et �2

les ensembles de coracines associés à Lε , M ′ε , Lsc[s′] et H . En se rappelant que l’on

a muni ces groupes de paires de Borel définies sur F , on note �1, �1, �2 et �2 lessous-ensembles de coracines simples. On a:

�1 ⊂ �1 ⊂ Y∗, �2 ⊂ �2 ⊂ X∗.

On note R1, R1, R2, R2 les Z-modules engendrés par �1, �1, �2 et �2. Il y a uneapplication naturelle de X∗ dans Y∗ qui induit une bijection de X∗,Q sur Y∗,Q (commetoujours, on note par exemple X∗,Q = X∗ ⊗Z Q). En 5.3, on a noté j∗ l’inverse decette bijection. L’ensemble j−1∗ (�2) est inclus dans Y∗,Q. En fait, il est inclus dans Y∗.Une façon de le voir est de se reporter au calcul de �2 effectué en [9] 3.3. Une autre

façon est de dire que �2 s’identifie à l’ensemble de racines de ˆLad [s′]. Un élément

α ∈ �2 est donc un caractère de T/θ/Z ˆG . Par l’homomorphisme τad , restreint à T θ ,0,

on le relève en un caractère de ce tore, c’est-à-dire en un élément de Y∗. Cet élémentest j−1∗ (α).

Pour tout Z-module A muni d’une action de �F , notons (1 − �F )(A) le sous-Z-module engendré par les éléments a−σ(a)pour a ∈ A etσ ∈ �F . On a X∗(T θ ,�F ,0) =Y∗/(1 − �F )(Y∗,Q) ∩ Y∗ et X∗(Z�F ,0

M ′ε

) = Y∗/((1 − �F )(Y∗,Q) + R1Q) ∩ Y∗. Notons

S1 et S2 les images naturelles dans ce dernier groupe de R1 et j−1∗ (R2). Remarquonsque, puisque τad est équivariant pour les actions de �F , on a l’égalité:

τ−1ad

(Z�F

ˆLad [s′]

)∩ Z�F ,0

M ′ε

= τ−1ad

(Z ˆLad [s′]

)∩ Z�F ,0

M ′ε.

Soit t ∈ Z�F ,0M ′ε

. D’après l’interprétation de l’application j−1∗ donnée ci-dessus, pourque t appartienne au groupe précédent, il faut et il suffit que t appartienne au noyau detous les éléments de S2. De la même façon, pour que t appartienne à Z�F

Lε∩ Z�F ,0

M ′ε

, il

faut et il suffit que t appartienne au noyau de tous les éléments de S1. Les Z-modules S1

123


et S2 sont commensurables, puisque (LεSC , Lsc[s′]SC , j∗) est un triplet endoscopiquenon standard. Il est alors facile de transformer la formule (20) en l’égalité:

cI (s′, L)cJ (s

′, L)−1 = [S1: S2],

avec la notation introduite en 3.7.On a l’égalité:

S1 = R1/((1 − �F )(R1,Q)+ R1Q) ∩ R1.

Décomposons l’ensemble �1 en orbites pour l’action de �F . Notons U1 l’ensembledes orbites et U 1 le sous-ensemble des orbites contenues dans �1. Pour u ∈ U1, notonsR1,u le sous-Z-module de R1 engendré par les éléments de u. On a les égalités:

R1 =⊕u∈U1

R1,u, R1 =⊕

u∈U 1

R1,u .

On en déduit:

S1 =⊕

u∈U1\U 1

S1,u,

où:

S1,u = R1,u/(1 − �F )(R1,u,Q) ∩ R1,u .

Chaque Z-module S1,u est libre de rang 1.On peut décomposer de même le Z-module S2. L’ensemble �1 doit être remplacé

par j−1∗ (�2). On se rappelle (cf. 3.7) qu’il y a une bijection j�

: �1 → �2 et

une fonction b : �1 → Q>0 telle que, pour tout α ∈ �1, on ait l’égalité j∗(α) =b(α) j

�(α). La bijection j

�est équivariante pour les actions de �F . Elle envoie �1

sur�2 et�1 sur�2. Il en résulte que l’ensemble des orbites pour l’action de �F dansj−1∗ (�2) est en bijection avec U1, l’orbite correspondant à u ∈ U1 étant j−1∗ ◦ j

�(u).

Cette orbite est incluse dans j−1∗ (�2) si et seulement si u ∈ U 1. On obtient:

S2 =⊕

u∈U1\U 1

S2,u,

où, pour u ∈ U1, R2,u est le sous-Z-module de R2 engendré par les éléments dej−1∗ ◦ j

�(u) et, pour u ∈ U1\U 1,

S2,u = R2,u/(1 − �F )(R2,u,Q) ∩ R2,u .

La fonction b est constante sur chaque orbite. Pour u ∈ U1, notons b(u) cette valeurconstante. Pour tout u ∈ U1, on a l’égalité R1,u = b(u)R2,u . Pour u ∈ U1\U 1, on a

123


aussi S1,u = b(u)S2,u et, puisque ces modules sont de rang 1, [S1,u : S2,u] = b(u)−1.On obtient:

cI (s′, L)cJ (s

′, L)−1 =∏

u∈U1\U 1

b(u)−1.

Un calcul analogue conduit aux égalités:

[R�F

1 : R�F2

]=

∏u∈U1

[R�F

1,u : R�F2,u

]=

∏u∈U1

b(u)−1,

[R1,�F : R2,�F

]=

∏

u∈U 1

[R�F

1,u : R�F2,u

]=

∏

u∈U 1

b(u)−1.

D’où l’égalité:

cI (s′, L)cJ (s

′, L)−1 = [R�F1 : R�F

2 ][R1,�F : R2,�F ]−1.

Notons ici M ′ε(s

′, L), resp. H(s′, L) les images réciproques de M ′ε , resp. H , dans les

revêtements simplement connexes LεSC , resp. Lsc[s′]SC , des groupes dérivés de Lε ,resp. Lsc[s′]. Avec la définition de 3.7, l’égalité précédente s’écrit:

(21) cI (s′, L)cJ (s

′, L)−1 = cLεSC ,Lsc[s′]SC

M ′ε (s

′,L),H(s′,L).

Notons Y (s′, L) la composante de Y dans m′ε(s

′, L)(F) relativement à la décomposi-tion:

m′ε(F) = zLε (F)⊕ m′

ε(s′, L)(F).

Notons Y (s′, L) la composante de Y dans h(s′, L)(F) relativement à la décompositon:

h(F) = zLsc[s′](F)⊕ h(s′, L)(F).

Le lemme 5.7 entraîne les égalités:

slε

m′ε(Y ) = s

lεSC

m′ε (s

′,L)(Y (s′, L)), s Lsc[s′]

h(Y ) = s Lsc[s′]SC

h(s′,L) (Y (s′, L)).

Grâce à ces égalités et à (21), les formules (16) se récrivent:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

I = ∑(s′,L)∈E cJ (s′, L)c

LεSC ,Lsc[s′]SC

M ′ε (s

′,L),H(s′,L)sLsc[s′]SC

h(s′,L) (Y (s′, L)),

J = ∑(s′,L)∈E cJ (s′, L)s

lεSC

m′ε (s

′,L)(Y (s′, L)),

123


Le lemme fondamental pondéré non standard affirme l’égalité:

cLεSC ,Lsc[s′]SC

M ′ε (s

′,L),H(s′,L)sLsc[s′]SC

h(s′,L) (Y (s′, L)) = slεSC

m′ε (s

′,L)(Y (s′, L))

pour tout (s′, L)∈ E . L’égalité I = J en résulte. Si (M ′, L M′, s, ξ )= (M, L M, 1, id),

on n’a pas besoin du lemme fondamental pondéré non standard car les deuxexpressions ci-dessus sont identiques: on a LεSC = Lsc[s′]SC , M ′

ε(s′, L) = H(s′, L),

Y (s′, L) = Y (s′, L) et la constante cLεSC ,Lsc[s′]SC

M ′ε (s

′,L),H(s′,L) vaut 1. Cela achève la

démonstration. ��

6.4 Formule de descente pour les fonctions stabilisées

On conserve les hypoyhèses de 6.1 mais on suppose de plus dans ce paragraphe que(M ′, L M

′, s, ξ ) = (M, L M, 1, id).

Proposition On a l’égalité:

sGM (γ ) =

∑

Lε∈LGε (Mε )

eGMε(M, Lε)slε

mε(Y ).

Preuve Notons SGM (γ ) le membre de droite ci-dessus. Alors, par définition:

J =∑

s′∈EM (G)

iM (G,G[s′])SG[s′]M (γ ).

En raisonnant par récurrence sur la dimension de G, on peut admettre que:

sG[s′]M (γ ) = SG[s′]

M (γ )

pour tout s′ = 1. Donc:

J = SGM (γ )− sG

M (γ )+∑

s′∈EM (G)

iM (G,G[s′])sG[s′]M (γ ).

En appliquant l’égalité 3.4(1), on obtient:

J = SGM (γ )− sG

M (γ )+ r GM (γ ).

D’après le lemme 6.2 et la proposition 6.3, on a aussi:

J = r GM (γ ).

L’égalité de l’énoncé s’ensuit. ��

123


6.5 Preuve du Théorème 3.8

On revient à la situation générale de 6.1. En utilisant la proposition précédente,l’expression J s’écrit:

J =∑

s′∈EM ′ (G)

iM ′(G,G[s′])sG[s′]M ′ (γ ).

En admettant le lemme fondamental pondéré pour les algèbres de Lie et le lemmefondamental pondéré non standard, le lemme 6.2 et la proposition 6.3 entraînent:

J = r G,ωM ′ (γ ).

Les deux membres de droite des deux égalités ci-dessus sont donc égaux. C’est cequ’il fallait démontrer. ��

Références

1. Arthur, J.: A stable trace formula I general expansions. J. Inst. Math. Jussieu 1, 175–277 (2002)2. Arthur, J.: The local behaviour of weighted orbital integrals. Duke Math. J. 56, 233–293 (1988)3. Arthur, J.: The invariant trace formula I. Local Theor. J. Am. Math. Soc. 1, 323–383 (1988)4. Arthur, J.: On the transfer of distributions: weighted orbital integrals. Duke Math. J. 99, 209–283 (1999)5. Kottwitz, R.: Stable trace formula: elliptic singular terms. Math. Ann. 275, 365–399 (1986)6. Kottwitz, R., Shelstad, D.: Foundations of twisted endoscopy. Astérisque 255 (1999)7. Langlands, R.: On the classification of irreducible representations of real algebraic groups. In: Represen-

tation theory and harmonic analysis oon semi-simple Lie groups, AMS Math. Surveys and Monographs31, pp. 101–170 (1989)

8. Tits, J.: Reductive groups over local fields, in Automorphic forms, representations and L-functions. In:Proceedings Symposia in Pure Math. XXXIII. AMS, New York (1979)

9. Waldspurger, J.-L.: L’endoscopie tordue n’est pas si tordue. Memoirs 908 AMS, New York (2008)

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Documents

A propos du lemme fondamental pondéré tordu