A QUELLES CONDITIONS ? APPRENDRE À PARTIR DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES Septembre 2012Roland Charnay 1

A QUELLES CONDITIONS ?

APPRENDRE À PARTIR DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES

Septembre 2012 Roland Charnay

1

LES ENJEUX VUS PAR LE SOCLEI

Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul.

IIl faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d'être en mesure de les utiliser.

LLa maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité.

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COMPLÉMENT ET SOUSTRACTION

UN EXEMPLE AU CE2

DES PROBLÈMES DE DIFFICULTÉ DIFFÉRENTE

Un problème réussi précocement

Pierre a 23 images. Il en donne 14 à Jacques. Combien en a-t-il maintenant ?


Deux problèmes réussis plus tardivement

Pierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis. Combien a-t-il d’images de tennis ?

Pierre a reçu 14 images de Jacques. Il en en a maintenant 23. Combien en avait-il avant ?


Un problème mal réussi, même tardivement

Pierre a joué deux fois aux billes, aujourd'hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après-midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu'en arrivant à l'école ? Que s'est-il passé cet après-midi ?

LA DÉLICATE QUESTION DU « SENS » DES OPÉRATIONS(exemple de la soustraction)


LE PASSAGE À LA 2e CATÉGORIE DE SENS SE HEURTE À UN OBSTACLE

• La soustraction est d’abord pensée comme donnant la valeur d’un reste après une diminution.

• Une situation de type « complément » est d’abord reliée à une addition « à trou ».

• Comment aider les élèves à accepter et comprendre qu’un problème de type « recherche d’un complément » peut se résoudre à l’aide d’une soustraction ?


LE PROBLÈME CHOISICombien de points cachés ?


MATERIEL DE L'ENSEIGNANT

une feuille de points

(nombre de points connu des élèves)

une feuille cache

LA QUESTION


34 points sur la feuille

Combien de points sont cachés ?

DÉBAT ET CONFLIT ÉVENTUEL ENTRE ÉLÈVES

A propos de réponses et de procédures différentes, par exemple : 40, obtenu par addition (34 + 6) 28, obtenu par complément (dessin,

surcomptage, addition à trou) 28, obtenu par soustraction Autres réponses, à cause d’erreurs de calcul

A propos d’arguments 40 c’est impossible : il ne peut pas y en

avoir plus de 34 ! Pourquoi tu soustrais, on en a pas enlevé

6…


CONTRADICTION ET CONFLIT AVEC LA RÉALITÉ

Si on compte les jetons cachés après avoir enlevé le cache, on trouve 28 jetons, pas 40 !

La réponse par addition ne convient donc pas.

Mais pourquoi, la soustraction fournit-elle la bonne réponse ?


POURQUOI LA SOUSTRACTION ?

Nouveau problème : Feuille avec 34 points.11 points visibles.

Une question avant comptage des points cachés :

Comment faire pour n’avoir sur la feuille que les points cachés ?


D’UNE QUESTION A UNE AUTRE

Suggestions : Il faut cacher ceux qu’on voitIl faut couper la partie visible…


Question :Il y avait 34 points sur la feuille. Pour savoir combien sont cachés, on supprime ceux qui sont visibles. Quel calcul permet de connaître ce nombre de points ?

Réponse : On a enlevé 11 points.Il faut calculé 34 -11….

UNE SYNTHÈSE NÉCESSAIRE


On cherche

ce qui manque à 11 pour avoir 34.

ce qu’il faut ajouter à 11 pour avoir 34

ce qui conduit à calculer 11 + … = 34

On peut remplacer la question initiale par une autre question

Pour savoir combien il y a de points cachés, on peut imaginer qu’on enlève ceux qui sont visibles

ce qui conduit à calculer 34 – 11 =

La situation des points cachés pourra être utilisée comme situation de référence pour d’autres problèmes de recherche de complément.


CARACTERISTIQUES DE L’APPRENTISSAGE À PARTIR DE PROBLÈMES

Un apprentissage marqué par 4 interactions

CONFRONTATION ELÈVE PROBLÈME

Un problème qui permet à l’élève d’investir ses connaissances anciennes.

Un problème qui résiste à ces connaissances, car insuffisantes ou partielles.

Une situation qui est « répondante » : l’élève peut vérifier la validité de ses procédures ou de ses réponses.

Une situation qui est « explicative » : l’élève peut s’appuyer sur la situation pour comprendre la nouvelle connaissance.

Une situation qui est « exemplaire » : elle peut être évoquée pour traiter d’autres problèmes.


CONFRONTATION ELÈVE ELEVES

La mise en œuvre permet la coopération des élèves pour élaborer une réponse.

La mise en œuvre permet la confrontation, le débat, l’argumentation entre élèves à propos des réponses et des procédures.


CONFRONTATION ELÈVE ENSEIGNANT


L’enseignant intervient peu pendant la phase de résolution.

L’enseignant gère les échanges, les focalise sur les points essentiels.

L’enseignant synthétise les nouvelles connaissances, les reformule, les exemplifie, apporte des éléments de langage (vocabulaire, schémas…).

L’enseignant met en évidence ce qui peut être généralisé, être utile pour résoudre d’autres problèmes.

CONFRONTATION ELÈVE AUTRES SITUATIONS

Exercices d’entraînement, de consolidation.

Autres problèmes pour conforter le recours à la nouvelle connaissance.

Evaluation.


EXEMPLES D’ENTRAÎNEMENT ET DE CONSOLIDATION


RENFORCEMENT PAR LE CALCUL MENTALEquivalence complément-soustraction


2 pour aller à 47 plutôt soustraction

36 pour aller à 40 plutôt complément

20 pour aller à 50 plutôt ?

52 – 4 plutôt soustraction

61 – 58 plutôt complément

60 – 35 plutôt ?


UN EXEMPLE AU CM1

Les nombres décimaux

UN APPRENTISSAGE DIFFICILE(exemples d’erreurs)

Comparaison, intercalation 2,7 < 2,17 Entre 2,5 et 2,7, il n’ y a que 2,6

Signification des chiffres : pseudo-symétrie dizaine, dixième…

Dans 234,57 3 est le chiffre des dizaines et 7 celui des dixièmes

Calcul 2,3 x 10 = 20,3 ou 2,30 ou 20,30 entrée en Sixième : 64% de réussite

35,2 x 100 = 3500,2 ou 3500,200 ou 352 entrée en Sixième : 47% de réussite

2,3 + 0,8 = 2,11(2 + 0 = 2 ; 3 + 8 = 11)

2,3 x 0,8 = 0,24 (2 x 0 = 0 ; 3 x 8 = 24)


DIFFICULTÉS, OBSTACLES

La virgule sépare 2 nombres entiers "indépendants"

Symétrie due à une mauvaise interprétation de la virgule

Elle est destinée à signaler l’unité (pas à séparer le nombre en 2 parties)

Une notation comme 234567 assurerait la symétrie de dizaine (10 unités) et dixième (1/10 d’unité), ce que la virgule masque 234,567

234567234,567

Idée de "nombre" suivant valide pour les entiers ne l’est pas pour les décimaux

Lecture : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes

Usage social : 3,25 € pour 3€ 25c


LE CAS DE LA MULTIPLICATION PAR 10, 100…


Les élèves cherchent les réponses par deux.Éventuellement, un groupe témoin doit réaliser la réponse avec le matériel.

RECENSEMENT DES RÉPONSES ET DÉBAT

Réponses erronées utilisant la « règle des 0 »0,40 argument : c’est 0,4 !00,4 argument : les 0 à gauche ne comptent pas. c’est 0,4 !0,04 argument : c’est plus petit que 0,4, ce n’est donc pas 0,4 pris

10 fois !00,40 argument : c’est 0,4 !

Réponses correctes obtenues par addition répétée de 0,4 (dix fois)

Réponses correctes obtenues par raisonnement0,4 c’est 4 dixièmes

0,4 x 10, c’est 10 fois 4 dixièmes, donc 40 dixièmes

10 dixièmes, c’est 1 donc 40 dixièmes c’est 4


0,4 x 10

VERS L’APPRENTISSAGE(mise en commun)

Inventaire des réponses et procédures.

Les réponses erronées sont démenties par des arguments

par une procédure reconnue comme imparable : l’addition répétée (mais longue à mettre en oeuvre, donc il faut en trouver une autre)

Par la réponse obtenue à l’aide du matériel qui illustre la procédure « par raisonnement »


0,4 x 10

0,4 ou 4 dixièmes

Un dixième pris 10 fois

EN SYNTHÈSE

Premier élément de synthèse

La « règle des 0 » ne s’applique pas avec les nombres décimaux.

Deuxième élément de synthèse

Quand on multiplie par 10, chaque chiffre prend une valeur dix fois plus grande.

Illustration du raisonnement à l’aide du matériel (pour la multiplication par 100, le matériel ne pourra être qu’évoqué)

Troisième élément de synthèse

Le raisonnement traduit dans le tableau de numération.


La virgule ne change pas de place !!!

,


UN EXEMPLE AU CM2

DIFFÉRENTS TYPES DE PREUVE

La proportionnalité

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PROPORTIONNALITÉ ET AGRANDISSEMENT CAP

MATHS

Validation expérimentale

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Proportionnalité et comparaison Cap mathsCap maths

Validation par le débat

Septembre 2012

Roland Charnay

PLUSIEURS TYPES DE RAISONNEMENT

A l'école primaire : se ramener à un référent commun

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• Se ramener au même nombre de pages

• Se ramener au même nombre de pages illustrées

• Utiliser le rapport entre nombre de pages illustrées et nombre de pages ("1 sur 3" ou "1 pour 3" dans le dernier cas)

Septembre 2012

Roland Charnay

Autre exemple

Référent commun : on peut chercher pour des livres de 12 pages, de 48 pages, de 144 pages…

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Septembre 2012

TRAVAIL DE L’ENSEIGNANT ET DES ÉLÈVES DANS LE CADRE D’UNE SITUATION-PROBLÈME.

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Recherche à la charge des élèves.

Moments d’explicitation des solutions et d’argumentation entre élèves sur leur validité.

Validation par les élèves (matérielle ou par arguments convaincants).

Synthèse par l’enseignant : généralisation, éléments à retenir, langage…

Traces écrites (références).

Entraînement sur la connaissance mise en place.

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RÔLE DE L’ERREUR DANS CE MODÈLE D’APPRENTISSAGE.

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L’erreur devient un point d’appui en cours d’apprentissage d’abord comme révélateur des obstacles que rencontrent l’élève :

exemple de la soustraction assimilée à une situation de diminution

L’erreur n’est un point d’appui pour l’apprentissage que si les conditions de sa prise de conscience et de son dépassement sont réunies :

par le débat : pourquoi telle réponse n’est pas correcte ? Pourquoi telle autre est possible ?

par l’expérimentation (cf. points cachés ; cf. agrandissement).

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AUTOUR DU CERCLE EN CM1…

EXEMPLES DE PROBLÈMES

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Construire un cercle de diamètre donné

En exemple, des pièces qui "passent" ou qui ne "passent pas" sont montrées au préalable.

A la fin une validation expérimentale est possible.

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PROBLÈME : FAIRE APPARAÎTRE UN DIAMÈTRE

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1ère étape : tous les moyens sont possibles.

2e étape : les instruments de géométrie sont interdits.

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