GEOMETRİ 18. · 2020. 4. 12. · Asimtot denklemleri x a b y x 2 3 1 y ve x 2 3 1 y İKİZKENAR HİPERBOL Tanım: Asal ve yedek eksen uzunlukları birbirine eşit olan hiperbole

G E O M E T R İ

GE OM ET R İ K ON U AN L AT IM L I SOR U B AN KA SI 7 2 7

ELİPS

Sabit uzunluktaki bir ipin iki ucuna birer çivi bağlayıp çivile-ri iki noktaya çakalım. Kalemi ipe geçirip gerdirerek gezdirir-sek kalemimiz bir eğri çizer.

F1 F2

P

F1 F2

P K

İpin uzunluğu x ise |PF1| + |PF2| = |KF1| + |KF2| = x olur.

Tanım:

Düzlemde, sabit iki noktaya uzaklıklarının toplamı sabit bir uzunluk olan noktaların kümesine (geometrik yerine) elips denir. Sabit noktalara elipsin odakları denir.

MERKEZİL ELİPS Tanım:

Analitik düzlemde, odak noktaları F1(–c,0) ve F2(c,0) olan elipse merkezil elips denir. Merkezil elips x ekse-nini de B ve B’ noktalarında kessin. A(a,0), A’(–a,0), B(0.b), B’(0. –b) olsun.

y

x A a

Aı –a

b B

Bı –b

a a

F1(–c,0) F2(c,0) 0

Burada |AAı| = 2a asal (büyük) eksen, |BBı| = 2b yedek (küçük) eksendir. |BF1| = |BF2| ve |BF1| + |BF2| = 2a olduğundan |BF1| = |BF2| = a olur.

BOF ’de pisagor teoremini uygularsak a2 = b2 + c 2

ELİPS DENKLEMİ Asal eksen uzunluğu 2a, yedek eksen uzunluğu 2b, odakları x ekseni üzerinde olan merkezil elipsin denkle-mi

1by

ax

2

2

2

2

Asal eksen uzunluğu 2a, yedek eksen uzunluğu 2b ve odakları y ekseni üzerinde bulunan merkezil elipsin denklemi

1ay

bx

2

2

2

2

şeklinde yazılır.

Odak noktaları F1(–3,0) ve F2(3,0), asal eksen uzun-luğu 8 olan elipsin denklemini yazınız.

ÇÖZÜM

F1(–3,0) ve F2(3,0) |F1F2| = 2c = 6 c = 3 2a = 8 a = 4 a2 = b2 + c2 42 = 32 + b2 7 = b2 istenen denklem

1by

ax

2

2

2

21

7y

16x 22

9x2 + 16y2 = 144 elipsinin odakları arasındaki uzun-luk kaçtır?

ÇÖZÜM

9x2 + 16y2 = 144 19y

16x 22

a2 = 16 b2 = 9 a2 = b2 + c2 16 = 9 + c2 c2 = 7

c = 7

|F1F2| = 2c = 72

Odakları F1(–3,0) ve F2(3,0) olan ve P(3,8) noktasın-dan geçen elipsin denklemini yazınız?

Konikler18. BÖLÜM

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

KONİKLER


ÇÖZÜM

Şekli oluşturduğumuzda |F1F2| = 6 |PF2| = 8 PF1F2 dik üçgeninde |PF1| = 10

3 3

F1 F2 6

P(3, 8)

y

x

10

|PF1| + |PF2| = 2a 10 + 8 = 2a a = 9 F2(3,0) c = 3 a2 = b2 + c2 92 = 32 + b2 b2 = 72 istenen denklem

172y

81x1

by

ax 22

2

2

2

2

ELİPSİN ASAL VE YEDEK ÇEMBERLERİ y

x A a

Aı

–a

b B

Bı –b

asal çember

yedek çember

0

Tanım: Bir elipste

i. Çapı asal eksen olan çembere elipsin asal çemberi

ii. Çapı yedek eksen olan çembere, elipsin yedek çem-beri denir.

Asal çemberin denklemi x2 + y2 = a2

Yedek çemberin denklemi x2 + y2 = b2 olur.

4x2 + 9y2 = 36 elipsinin asal ve yedek çemberlerinin denklemini yazınız.

ÇÖZÜM

4x2 + 9y2 = 36 14y

9x 22

a2 = 9 b2 = 4 bulunur.

Asal çemberin denklemi x2 + y2 = 9

Yedek çemberin denklemi x2 + y2 = 4

ELİPSİN DOĞRULTMAN ÇEMBERLERİ Tanım:

Bir elipste, merkezi elipsin odaklarından biri olan ve yarıçapı elipsin asal eksen uzunluğuna eşit olan çembe-re elipsin doğrultman çemberi denir. y

x A

a

Aı

–a 0

F c

Fı

–c r=2a

x A

a

Aı

–a 0

F c

Fı

–c

y

r=2a

Elipsin Doğrultman Çemberleri

1by

ax

2

2

2

2 elipsin doğrultman çemberinin denklemleri;

1. Merkez Fı(–c,0) ise, (x + c)2 + y2 = 4a2

2. Merkez F(c,0) ise, (x – c)2 + y2 = 4a2

TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ

1by

ax

2

2

2

2 elipsinin üzerinde bir P(x0,y0) noktası

alalım. y

x 0

P0(x0, teğet

norm

Teğet ve normal

Elipsin üzerindeki P(x0,y0) noktasındaki a. Teğet Denklemi

1b

y.y

a

x.x20

20

b. Normal Denklemi

)xx(xy

.bayy 0

0

02

2

0

x2 + 9y2 = 225 elipsinin P(12,3) noktasındaki teğet ve normal denklemlerini yazınız?

ÖRNEK

ÖRNEK

G E O M E T R İ


ÇÖZÜM

x2 + 9y2 = 225 125y

225x 22

ise Teğet Denklemi,

125

y3225

x12125y.y

225x.x 00

4x + 9y = 75 Normal Denklemi,

)xx(x.by.ayy 0

02

02

0

)12x(12253.2253y

)12x(493y

4y – 9x + 96 = 0

ELİPSİN PARAMETRİK DENKLEMİ

1by

ax

2

2

2

2 elipsinin parametrik denklemi, IR ol-

mak üzere,

x = a. cos

y = b. sin

Çünkü, cosax sin

by olacağından

1sincosby

ax 22

22

4x2 + 9y2 = 36 elipsinin parametrik denklemini bulu-nuz.

ÇÖZÜM

4x2 + 9y2 = 36 14y

9x 22

a2 = 9 b2 = 4 a = 3 ve b = 2 Elipsin parametrik denklemi x = 3.cos y = 2.sin

ELİPSİN DIŞ MERKEZLİĞİ Dış Merkezlik: Bir elipste, odaklar arasındaki uzaklığın, asal eksen uzunluğuna oranına elipsin dış merkezliği denir ve e ile gösterilir.

Elipsin dış merkezliği

a2c2e

ace

Elipste c < a ve e > 0

o < e < 1 bulunur.

ELİPSİN PARAMETRESİ Tanım:

Elips odağından büyük eksene dik olarak çizilen kirişin uzunluğuna elipsin parametre uzunluğu (parametresi) denir ve 2p ile gösterilir.

1by

ax

2

2

2

2

elipsinin parametre-si,

ab2p2|'TT|

2 dır.

y

x 0 F a –a Fı

–b

–a T

Tı

Denklemi 9x2 + 16y2 = 144 olan elipsin dış merkezli-ğini ve parametresini bulunuz.

ÇÖZÜM

9x2 + 16y2 = 144 19y

16x 22

a2 = 16 b2 = 9 a = 4 b = 3 a2 = b2 + c2 16 = 9 + c2 7 = c2

c = 7

Elipsin dış merkezliği 47

ace

parametresi 29

49.2

ab2 2

MERKEZİL ELİPSİN ALANI

Denklemi 1by

ax

2

2

2

2 olan elipsin alanı

S = .a.b dir.

125y

49x 22

elipsin alanını bulunuz.

ÇÖZÜM

a2 = 49 a = 7 b2 = 25 b = 5 S = .a.b = .7.5 = 35

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

KONİKLER


HİPERBOL Tanım:

Bir düzlemde, sabit iki noktaya olan uzaklıkları farkı sabit olan noktaların geometrik yerine hiperbol denir. Sabit iki noktaya hiperbolün odakları denir.

Hiperbolün üzerinde herhangi bir P nokta-sı alırsak

|PF1| – |PF2| = 2a (sabit sayı)

A F2 F1

Aı

P

Hiperbol

F1 ve F2 odaklarını birleştiren doğru parçasının hiperbolü kestiği noktalara hierbolün köşeleri denir. Şekilde A’ ve A hiperbolün köşeleri [AA’] doğru parçası-na asal ekseni, |AA’| = 2a uzunluğuna da asal eksen uzunluğu adı verilir.

HİPERBOLÜN DENKLEMİ Tanım:

Bir xoy dik koordinat sistemine göre, odak noktaları F’(–c,0) ve F(c,0) olan hiperbole, merkezil hiperbol denir.

A Fı(–c, 0)

Aı

P(x, y)

Merkezil Hiperbol

0 a –a F(c,0) x

y

Merkezil hiperbolün denklemi

1by

ax

2

2

2

2

Burada b2 = c2 – a2 dir. (2b’ye yedek eksen uzunluğu denir.)

Odak noktaları F1(–5,0) ve F2(5,0) ve asal eksen uzunluğu 2a = 8 olan hiperbolün denklemini yazınız.

ÇÖZÜM

F2(5,0) c = 5 2a = 8 a = 4 b2 = c2 – a2 b2 = 52 – 42 b2 = 9 istenen denklemi

19y

16x1

by

ax 22

2

2

2

2

Asal eksen uzunluğu 8, yedek eksen uzunluğu 6 olan merkezil hiperbolün odakları arasındaki uzaklı-ğı bulunuz.

ÇÖZÜM

2a = 8 a = 4 2b = 6 b = 3 b2 = c2 – a2 32 = c2 – 42 25 = c2 c = 5 |F1F2| = 2c |F1F2| = 2.5 = 10

HİPERBOLÜN ASAL VE YEDEK ÇEMBERLERİ Tanım:

1by

ax 2

2

2 hiperbolü veriliyor.

i. Merkezi orjin ve yarıçapı a olan çembere, hiperbolün asal çemberi

ii. Merkezi orijin ve yarıçapı b olan çembere, hiperbolün yedek çemberi denir. Asal çemberin denklemi x2 + y2 = a2 [A’A] asal eksendir.

0 r=a x

y

A F Fı Aı

Asal çember Yedek çemberin denklemi x2 + y2 = b2 [B’B] yedek ek-sendir.

0 a x

y

B

F Fı

Yedek çember

b

Bı –b

c

Merkezil hiperbolde, 0 noktası simetri merkezi-dir. 0 noktası hiperbolün merkezidir.

ÖRNEK

ÖRNEK

G E O M E T R İ


9x2 – 16y2 = 144 hiperbolünün asal ve yedek çember-lerinin denklemlerini yazınız.

ÇÖZÜM

9x2 – 16y2 = 144 19y

16x 22

a2 = 16 b2 = 9 Asal çemberin denklemi x2 + y2 = 16 Yedek çemberin denklemi x2 + y2 = 9 HİPERBOLÜN DOĞRULTMAN ÇEMBERLERİ Tanım:

Merkezi, hiperbolün odaklarından biri ve yarıçapının uzunluğu 2a olan çemberlere hiperbolün doğrultman çemberleri denir.

0 x

y

A Aı F(c,0) Fı(–c,0)

r=2a r=2a

Doğrultman çemberler

Doğrultman çemberlerin denklemleri:

Merkez F’(–c,0) ise (x + c)2 y2 = 4a2

Merkez F(c,0) ise, (x – c)2 + y2 = 4a2

HİPERBOLÜN DIŞ MEREZLİĞİ Tanım:

bir hiperbolde, odaklar arası uzaklığın asal eksen uzun-luğuna oranına, hiperbolün dış merkezliği denir. Buna göre, dış merkezlik

a2c2e

ace

Hiperbolde c > a olduğundan e > 1 olur.

HİPERBOLÜN PARAMETRESİ Tanım:

Hiperbolün odağından büyük eksene çizilen dik kirişin uzunluğuna hiperbolün parametresi denir.

0 x

y

F Fı

Tı

T

1by

ax

2

2

2

2 hiperbolün parametresi

|TT’| = 2p = ab2 2

4x2 – 9y2 = 36 hiperbolünün dış merkezliğini ve pa-rametresini bulunuz.

ÇÖZÜM

4x2 – 9y2 = 36 14y

9x 22

a2 = 9 b2 = 4 a = 3 b = 2 c2 = a2 + b2 c2 = 13

c = 13

Hiperbolün dış merkezliği 313

ace

parametresi 98

94.2

ab2 2

HİPERBOLÜN ASİMTOTLARI Tanım:

Bir hiperbole sonsuzda teğet olan doğrulara, bu hiperbolün asimtotları denir.

1by

ax

2

2

2

2 hiperbolünün asimtotlarının denklemleri:

xaby dir.

0 x

y

F Fı

c

a

xaby Asimtotlar xa

by

ÖRNEK

ÖRNEK

KONİKLER


x2 – 12y2 = 12 hiperbolünün asimtotlarını bulunuz.

ÇÖZÜM

x2 – 12y2 = 12 11

y12x 22

a2 = 12 b2 = 1

a = 32 b = 1 Asimtot denklemleri

xaby x

321y

ve x32

1y

İKİZKENAR HİPERBOL Tanım: Asal ve yedek eksen uzunlukları birbirine eşit olan hiperbole ikizkenar hiperbol denir.

Tanıma göre, a = b olduğundan, ikizkenar hiperbolün denklemi: x2 – y2 = a2 olur. Asimtotlarının denklemleri de: xy dir.

0 x

y

a

a

y = x y = –x

Asal eksen uzunluğu 26 birimi olan ikizkenar hiperbolün denklemini yazınız.

ÇÖZÜM

2a = 26 a = 23

ikizkenar hiperbolde a = b = 23 olur.

Hiperbolün denklemi

x2 – y2 = a2 x2 – y2 = 18

TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ

Denklemi : 1by

ax

2

2

2

2 olan hiperbolün

get denklemi: 1b

yya

xx2

02

0

Normal denklemi : 00

20

2

0 xxxbyayy

0 x

y

teğet P0(x0, y0)

normal

Teğet ve normal

x2 – 4y2 = 64

hiperbolüne, üzerindeki P(10, –3) noktasında çizilen teğet ve normalin denklemlerini yazınız.

ÇÖZÜM

x2 – 4y2 = 64 116y

64x 22

a2 = 64 b2 = 16 Bu durumda

i) Teğet denklemi:

1b

yya

xx2

02

o

116

y364

x10

10x + 12y = 64 5x + 6y = 32

ii) Normal Denklemi:

y–y0 = 00

20

2xx

xbya

y–(–3) = 10x1016

364

y + 3 = 56 (x – 10)

5y – 6x + 75 = 0

HİPERBOLÜN PARAMETRİK DENKLEMİ

1by

ax

2

2

2

2 hiperbolün parametrik denklemi

IRtanbysecax

ile verilir.

PARABOL Tanım: Düzlemde, sabit bir noktaya uzaklığı, bu nokta-dan geçmeyen sabit bir doğruya olan uzaklığına eşit olan noktaların kümesine parabol denir.

Sabit noktaya odak noktası, sabit doğruya da doğrult-man denir.

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

G E O M E T R İ


P

F (odak noktası)

Pı Hı

O

H

doğrultman

d

Parabol

Parabol

A

şekilde parabolün odağı F noktası, doğrultmanı da d doğrusudur. Parabolün tanımından PH = PF AO = AF PıHı = PF

PARABOLÜN DENKLEMİ

Odak noktası

0,2pF ve doğrultmanı

2px olan

parabolün denklemi y2 = 2px

Burada 2p ye parabolün parametresi denir.

y2 + 14x = 0

parabolünün odak noktasının ve doğrultman denk-lemini bulunuz.

ÇÖZÜM

y2 + 14x = 0 y2 = –14x 2p = –14 p = –7

Odak noktası

0,27F0,

2pF

Doğrultma denklemi 2px

27x

O x

y

2

,0Fp

x2 = 2py

2y

p

a) Odak noktası

2p,0F , doğrultman denklemi

2py olan parabolün denklemi

x2 = 2py (p > 0)

O x

y

x2 = –2py

2

,0Fp

2

Py

b) Odak noktası

2p,0F doğrultmanı

2py

olan parabolün denklemi x2 = –2py

Bu iki parabolün de tepe noktası orijin ve simetri ekseni de y eksenidir.

TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ y2 = 2px parabolü üzerindeki bir P(x0, y0) noktasındaki

Teğet Denklemi: y.y0 = p(x+x0)

Normal Denklemi : y–y0 = py0 (x–x0) dir.

0 x

y

teğet

P(x0, y0)

normal

Teğet ve normal

Aslında elips hiperbol ve parabol için ayrı ayrı teğet ve normal denklemleri vermeye gerek yoktur. Türev kullanarak herhangi bir koniğin belli bir noktadaki teğetinin ve normalinin denk-lemini rahatlıkla bulabiliriz.

y2 = 12x parabolünün P(3, –6) noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM-1

y2 = 12x (Türev alırsak) 2y . yı = 12

yı = y2

12 , P(3, –6) noktasında

1)6(2

12yı

yı = mT olduğundan

ÖRNEK

ÖRNEK

KONİKLER


Teğet Denklemi: y–(–6) = –1(x–3) y+ x + 3 = 0 Normal Denklemi: mT . mN = –1 –1.mN = –1 mN = 1 y–(–6) = 1(x–3) y – x + 9 = 0

ÇÖZÜM-2

Formülleri kullanırsak Teğet Denklemi: y.y0 = p(x+ x0) y.(– 6) = 6(x + 3) –6y = 6x + 18 6x + 6y + 18 = 0 x + y + 3 = 0 Normal Denklemi:

y – y0 = py0 (x–x0)

y – (–6) = 66

(x – 3)

y + 6 = 1(x – 3) y – x + 9 = 0

KONİKLERİN GENEL DENKLEMİ x ve y değişkenlerine göre ikinci dereceden ifade edilen koniklerin genel denklemi;

0FEyDxCyBxyAx 22 şeklindedir.

Denklemde = B2 – 4AC ifadesine bu denklemin diskriminantı denir.

(i) < 0 ise bu denklem elips, çember, bir nokta ya da boş küme belirtir.

a) A = C ve B = 0 ise bu denklem, çember, nokta ya da boş küme belirtir.

ÖRNEK

2x2 + 2y2 + 4x – 5y + 4 = 0 bir çember denklemidir.

b) A C ya da B 0 ise bu denklem elips, nokta ya da boş küme belirtir.

ÖRNEK

3x2 + 2y2 – 6 = 0 denklemi bir elips belirtir.

ÖRNEK

4x2 + 3y2 + 3 = 0 denklemi boş küme belirtir.

ÖRNEK

2x2 + 3y2 = 0 denklemi (0, 0) noktasını belirtir.

(ii) = 0 ise bu denklem parabol belirtir.

a) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 denklemi x ve y ye göre birinci dereceden iki çarpana ayrılamıyorsa parabol belirtir.

b) İki çarpana ayrılabiliyorsa paralel ya da çakışık iki doğru belirtir.

ÖRNEK

x2 + 4xy + 4y2 – x – 2y = 0 denklemi, (x + 2y) . (x + 2y – 1) = 0

biçiminde iki çarpana ayrılabildiğinden bu denklem x + 2y = 0 ve

x + 2y – 1 = 0 gibi iki paralel doğru belirtir.

(iii) > 0 ise bu denklem hiperbol belirtir.

a) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 denklemi, birinci dereceden iki çarpana ayrılamıyorsa hiperbol belirtir.

b) Birinci dereceden iki çarpana ayrılabiliyorsa kesişen

iki doğru belirtir.

(iv) B = 0 ise, koniklerin standart denklemi yazılabilir.

x2 + mxy + 9y2 – 2x – y = 0 denklemi bir parabol belirtmesi için m nin negatif değeri kaçtır?

A) –8 B) –6 C) –4 D) –3 E) –2

ÇÖZÜM

B2 – 4AC = 0 olmalı

m2 – 4 . 1 . 9 = 0

m2 = 36

6m m nin negatif değeri –6 olur. Cevap B’dir.

ÖRNEK

G E O M E T R İ


1. Asal eksen uzunluğu 14 cm, yedek eksen

uzunluğu 64 cm olan elipsin odak noktaları arasındaki uzaklık kaç cm dir?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 2. 4x2 + 25y2 = 100 elipsinin F1 ve F2 odaklarından asal eksene

çizilen dikmeler elipsi A, B, C ve D noktalarında kestiğine göre, ABCD dikdörtgeninin alanı kaç birim karedir?

A) 214 B) 5

2116 C) 213

D) 5

2112 E) 22

3. 136

)5y(100

)2x( 22

denkleminin belirttiği elipsin odaklarının koor-dinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) F1(–2,5) F2(5,5) B) F1(8,4) F2 (8,6) C) F2(6,2) F2(6,6) D) F1(6,5) F2(–10,5) E) F1(4,4) F2(6,6)

4.

B O

d

x

y

d doğrusu ile şekildeki merkezil elips arasında

kalan alan kaç birim karedir? ( = 3)

A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) 30

5. x, y IR olmak üzere, y2 = 9x2 denklemi ne belirtir?

A) Kesişen iki doğru B) Elips C) Hiperbol D) Bir nokta E) Parabol

6. Kutupsal formu x = cosθ

4 y = 2tan olan konik

denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 116y

4x 22

B) 14y

16x 22

C) 14y

16x 22

D) 4yx 22

E) 14y

4x 22

7. x = –2 doğrusuna teğet olan ve P(2,0) nokta-

sından geçen çemberlerin merkezlerinin geo-metrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) x2 = 8y B) x2 = 4y C) y2 = 8x D) y2 = 4x E) y2 = 2x 8. M(x,y), x = 2 tan, y = 3cot ile tanımlanıyor. Buna göre, M noktalarının geometrik yeri aşa-

ğıdakilerden hangisidir?

A) Elips B) Hiperbol C) Parabol D) Doğru E) Çember

Ç Ö Z Ü M LÜ TE S T

d:3x – 4y + 24 = 0

KONİKLER


9. Odakları x ekseni üzerinde olan ve A(4,1) ile B(8,3) noktalarından geçen hiperbolün denk-lemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x2 – 6y = 10 B) 2x2 – 5y2 = 7 C) 2x2 – 3y2 = 29 D) x2 – 4y2 = 12 E) x2 – 3y2 = 37 10. {(x,y) x = t – 3, y = (t + 1)2, t IR} kümesinin belirttiği noktaların geometrik yeri

aşağıdakilerden hangisidir?

A) Elips B) Hiperbol C) Parabol D) Doğru E) Çember 11. 16x2 – 9y2 = 144 hiperbolünün odakları arasındaki uzaklık kaç

birimdir?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 12. Odak noktalarından birisi F1(0,4) olan ikizkenar

hiperbolün denklemi aşağıdakilerden hangisi-dir?

A) x2 – y2 = 12 B) x2 – y2 = 4 C) x2 – y2 = 8 D) y2 – x2 = 4 E) y2 – x2 = 8

13. 34y

6x 22

hiperbolünün asal çemberi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x2 + y2 = 6 B) x2 + y2 = 12 C) x2 + y2 = 18 D) x2 + y2 = 24 E) x2 + y2 = 36 14. Odak noktası F(4,0) simetri ekseni x ekseni ve

tepe noktası orjin olan parabolün doğrultman denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x = 2 B) x = –2 C) x = –4 D) y = –2 E) y = –4 15. Simetri ekseni y ekseni, tepe noktası orjin olan

ve A(–6,–4) noktasından geçen parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x2 = –9y B) x2 = –12y C) y = x2 – 40 D) y2 = x + 22

E) 3x8y2

16. y = x + k doğrusu ile y = x2 – 5x – k parabolü

teğet olduklarına göre, k kaçtır?

A) –5 B) 29

C) –4 D) 27

E) –3

G E O M E T R İ


1. 2a = 14 a = 7 cm 2b = 64 b = 62 cm

a2 = b2 + c2 72 = 22 c)62( c = 5 cm Bu durumda elipsin odakları F1(–5,0) ve F2(5,0) noktalarıdır. Odaklar arası uzaklık F1 F2 = 10 cm

Cevap D’dir. 2. 4x2 + 25y2 = 100

14y

25x 22

a2 = 25 a = 5 b2 = 4 b = 2 a2 = b2 + c2 25 = 4 + c2

c = 21

O F1 F2

2

D C

B A

–5 5

–2

x

y

Şekildeki dikdörtgende AB = F1F2= 212 cm BC ise elipsin parametresi olduğundan

BC = 58

52.2

ab2 22

A(ABCD) = AB.BC

= 5

211658212

Cevap B’dir.

3. Elipsin merkezi M(–2,5) noktasıdır. a2 = 100 a = 10 b2 = 36 = b = 6 a2 = b2 + c2 100 = 36 + c2 c = 8 Bu durumda F1(–2 + 8,5) = F1(6,5) F2(–2 –8,5) = F2(–10,5)

Cevap D’dir.

4. d doğrusunun ek-senleri kestiği nokta-lar, x = 0 için

3.0 – 4y + 24 = 0 y = 6 y = 0 için 3x – 4.0 + 24 = 0 x = –8

A(–8,0) B O

B(0,6) d

A(–8,0) ve B(0,6) dır.

Taralı Alan = )AOB(A4 AlanıElipsin

1226.8

46.8.

Cevap A’dır.

5. y2 = 9x2 y2 – 9x2 = 0 (y – 3x) (y + 3x) = 0 y = 3x veya y = –3x

Cevap A’dır.

6.

2

2

cos16x (1) y2 = 4tan2 =

2

2

cossin4 (2)

2. eşitliği –4 ile çarparsak

2

222

cossin1616y4x

2

2

cos)sin1(16

2

2

coscos.16 x2 – 4y2 = 16 1

4y

16x 22

Cevap C’dir.

7. Çemberin merkezi O

(x, y) olsun. Bu durumda PO = OT

|2x|y)2x( 22 her iki tarafın kare-

sini alırsak

O(x.y)

x = –2 P(2,0)

T

x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + 4x + 4 y2 = 8x

Cevap C’dir. 8. x = 2tan y = 3cot x.y = 2tan . 3cot = 6 tan.cot = 6 xy = 6 bir hiperbol denklemidir.

Cevap B’dir. 9. A(4,1) ve B(8,3) noktaları

1by

ax

2

2

2

2 denklemini sağlar.

A(4,1) için 1b1

a6

22

B(8,3) için 1b9

a64

22

Ortak çözüm yaparsak a2 = 10

b2 = 35 bulunur.

Hiperbol denklemi 1

35y

10x 22

15y3

10x 22

x2 – 6y2 = 10 Cevap A’dır.

Ç Ö Z Ü M LE R

1

3

KONİKLER


10. x = t – 3 y = (t + 1)2 t = x + 3 y = (t + 1)2 = (x + 3 + 1)2 = (x + 4)2 y = (x + 4)2 bir parabol denklemidir.

Cevap C’dir.

11. 16x2 – 9y2 = 144 116y

9x 22

a2 = 9 ve b2 = 16 olur. c2 = a2 + b2 c2 = 16 + 9 c = 5 Bu durumda hiperbolün odakları F1(–5,0) ve F2(5,0) olur. F1F2 = 10 birim

Cevap C’dir. 12. Odak noktası y ekseni üzerinde olduğundan para-

bolün denklemi y2 – x2 = a2 şeklindedir. F1(0,4) olduğundan c = 4 tür. Hiperbol ikizkenar olduğundan a = b dir. c2 = a2 + b2 42 = a2 + a2 8 = a2 İstenen denklem y2 – x2 = 8

Cevap E’dir.

13. 34

y6x 22

112y

18x 22

a2 = 18, b2 = 12 dir. Asal çemberin denklemi x2 + y2 = a2 x2 + y2 = 18 aranan denklemdir.

Cevap C’dir.

14.

F(4,0)

x = –4 y

x

Odak noktası

,02pF olan parabolün doğrultmanı

2px doğrusudur.

8p42p

İstenen doğru x = –4 Cevap C’dir.

15. y

x

–4

–6

Orjinden geçen ve odağı y ekseni üzerindeki pa-

rabolün genel denklemi x2 = 2py A(–6,–4) denklemi sağladığından (–6)2 = 2.p.(– 4)

29P

istenen denklem x2 = –9y Cevap A’dır.

16. y = x2 – 5x – k

y = x +k

Parabol ve doğru teğet olduklarına göre, ortak

çözüm tek elemanlı olmalıdır. y = x2 – 5x – k –1/y = x + k x2 – 6x – 2k = 0 denkleminde = 0 olmalıdır. –62 – 4.1 .(–2k) = 0 36 + 8k = 0

29k

Cevap B’dir.

G E O M E T R İ


1. y

x A Aı

B

Bı

0

Şekildeki 0 merkezli elipste |AA’| = 10 birim |BB’|= 8 birim Verilenlere göre, bu elipsin denklemi aşağıda-

kilerden hangisidir?

A) 25x2 + 4y2 = 100 B) 4x2 + 25y2 = 100 C) 16x2 + 25y2 = 100 D) 25x2 + 16y2 = 100 E) 16x2 + 25y2 = 400 2. 4x2 + 9y2 = 144 denklemi ile verilen elipsin odakları arasındaki

uzaklık kaç birimdir?

A) 10 B) 103 C) 54

D) 26 E) 152 3. Analitik düzlemde, denklemi, x2 + 5y2 = 21 olan elipsin üzerindeki P(4,–1) noktasındaki

teğetinin eğimi kaçtır?

A) 58 B) 1 C)

54 D)

53 E)

32

4. Analitik düzlemde; x = 5.sint y = 3.cost parametrik denklemiyle verilen elipsin odakları

arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

5. y

x F 0

T

Tı

Şekildeki 0 merkezli elipste, F odaklardan biridir. |TT’| ox Elipsin asal eksen uzunluğu 12, yedek eksen

uzunluğu 6 olduğuna göre, |TT’| kaç birimdir?

A) 38 B) 3 C)

310 D) 6 E)

320

6. S = {(x,y) : [[4x2 + 9y2]] = 25, (x,y) IR2} kümesi, düzlemde ne belirtir?

A) Daire halkası B) Hiperbolik halka C) Eliptik halka D) Parabolik halka E) Elips 7. 4x2 + 9y2 = 36 elipsinin asal çemberinin denklemi aşağıdaki-

lerden hangisidir?

A) x2 + y2 = 36 B) x2 + y2 = 24 C) x2 + y2 = 12 D) x2 + y2 = 9 E) x2 + y2 = 4

8. Alanı 12 birim kare ve dış merkezliği 47e

olan bir merkezli elipsin asal eksen uzunluğu kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

K O N U T E K R A R T E S T İ

KONİKLER


9. 4x2 – y2 = 36 hiperbolünün odakları arasındaki uzaklık kaç

birimdir?

A) 56 B) 12 C) 36

D) 10 E) 64

10. Yedek ekseninin uzunluğu 12 birim olan,

merkezil hiperbolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x2 – y2 = 144 B) x2 – y2 = 108 C) x2 – y2 = 72 D) x2 – y2 = 36 E) x2 – y2 =24

11. x2 – 2y2 = 18 hiperbolüne, üzerindeki P(6,3) noktasından

çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden han-gisidir?

A) 3y = 2x + 12 B) y + x = 9 C) 2x = y + 3 D) 2y = x E) y = x – 3

12. x – 2y + 4 = 0 doğrusu y2 = 4x parabolüne teğet olduğuna göre değme nokta-

sının koordinatlarının toplamı kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

13. Köşesi orijinde ve odağı F(4,0) olan parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y2 = 2x B) y2 = 4x C) y2 = 8x D) y2 = 12x E) y2 = 16x 14. y2 = 8x parabolünün aşağıdaki noktalardan hangisin-

den geçen teğetinin eğimi 2 dir?

A)

1,81 B)

2,21 C)

8,89

D) (2,4) E)

6,29

15. x2 = –12y parobolünün doğrultman denklemi aşağıdaki-

lerden hangisidir?

A) y = 6 B) y = –3 C) y = 3 D) x = –6 E) x = 3

16. y2 = 6x parabolünün, x + 2y – 14 = 0 doğrusuna paralel teğetinin değme noktasının

ordinatı kaçtır?

A) –6 B) –4 C) –2 D) 4 E) 6

Documents

GEOMETRİ 18. · 2020. 4. 12. · Asimtot denklemleri x a b y x 2 3 1 y ve x 2 3 1 y İKİZKENAR HİPERBOL Tanım: Asal ve yedek eksen uzunlukları birbirine eşit olan hiperbole