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Ministère de l’Education et de la formation de la

République de Moldova

Abrégé de physique générale

A l’usage des étudiants de deuxième année des Filières

Francophones

Par

Ion Stratan, Université Technique de Moldova

Jeannine Banamy, Université de Franche-Comté, France



Table Des Matières

Chapitre I – Mécanique

1. L’espace physique et le temps physique.

2. Notion, grandeurs et principes fondamentaux de la mécanique du point

matériel.

2.1 Les modèles de la mécanique du point matériel.

2.2 Cinématique du point matériel.

2.2.1 Mouvement du point matériel. Vitesse et accélération.

2.2.2 Mouvement rectiligne d’un point matériel.

2.2.3 Mouvement curviligne d’un point matériel.

2.3 Les principes fondamentaux de la dynamique du point matériel.2.3.1 Le principe d’inertie (la première loi de Newton ou la loi d’inertie)

2.3.2 Le principe de la proportionnalité entre l’accélération et la force (la

deuxième loi de Newton). Quantité de mouvement. Le principe de

conservation de la quantité de mouvement.

2.3.3 Le principe de l’actionne de la réaction (la troisième loi de Newton).

2.3.4 Le principe de l’indépendance de l’action des forces et le principe de

la superposition des forces.

2.3.5 Le principe classique de la relativité.

2.4 Mouvement relatif accéléré. La force d’inertie.2.5 Notions et théorèmes généraux de la dynamique du point matériel.

2.5.1 Moment d’une force.

2.5.2 Moment cinétique. Théorème de la variation du moment cinétique.

Théorème de la conservation du moment cinétique.

2.5.3 Dynamique du mouvement de rotation d’un point matériel.

2.5.4 Travail et puissance.

2.5.5 Energie cinétique. Théorème de la variation de l’énergie cinétique.

2.5.6 Forces conservatives. Fonction potentielle. Energie potentielle.

2.5.7 Théorème de la conservation de l’énergie mécanique d’un pointmatériel.

3. Dynamique d’un système des points matériels.

3.1 Système de référence du centre de masse.

3.2 Conservation de la quantité de mouvement d’un système isole des points

matériels.

3.3 Conservation du moment cinétique d’un système isole des points matériels.

3.4 Variation de l’énergie cinétique et conservation de l’énergie d’un système

de points matériel.

3.5 Conservation de l’énergie et de la quantité de mouvements dans un choc.4. Dynamique d’un solide.

4.1 Moment d’inertie et moment cinétique d’un solide.

2



4.2 Equation fondamentale du mouvement de rotation d’un solide.

4.3 Energie cinétique de rotation.

5. Notions sur la mécanique relativiste.

5.1 Principes de la relativité restreinte.

5.2 La transformation de Lorentz.

5.3 Conséquences de la transformation de Lorentz.5.4 Dynamique relativiste.

6. Notions sur la mécanique des fluides.

6.1 Equation de continuité.

6.2 Théorème de Bernoulli.

6.3 Viscosité des fluides.

6.4 Ecoulement laminaire et écoulement turbulent.

Chapitre II – Mécanique Statistique et Thermodynamique.

1. Température et équation d’état d’un gaz parfait.

2. Equation fondamentale de la mécanique statistique.

3. Energie interne d’un gaz parfait. La loi de l’équipartition de l’énergie.

4. Equilibre statistique. La loi de Maxwell – Boltzmann.

5. Distribution des molécules dans un champ de forces. Loi de Boltzmann.

6. Loi de Maxwell pour la distribution des énergies et des vitesses moléculaires.

7. Travail et chaleur.

8. Principe zéro de la thermodynamique.

9. Premier principe de la thermodynamique.

10.Capacité thermique. Chaleur spécifique et chaleur molaire.

11.Transformation adiabatique d’un gaz parfait.

12.Transformation réversible et irréversible.

13.Seconde principe de la thermodynamique.

13.1 Seconde principe de la thermodynamique : énonce de Kelvin.

13.2 Cycle de Carnot. Enonce de Carnot et de Clausius de second principe de

la thermodynamique.

13.3 Entropie.

14.Phénomènes de transports.14.1 Diffusion moléculaire. La loi de Fick.

14.2 Conduction de la chaleur. La loi de Fourier.

14.3 Viscosité.

14.4 Notions sur la théorie des phénomènes de transport.

15.Gaz réels.

15.1 Les forces intermoléculaires et l’énergie des molécules d’un gaz réel.

15.2 Equation d’état d’un gaz réel. Réseau des isothermes du Van-der-Waals.

15.3 Réseau des isothermes expérimentales.

15.4 Notions sur les transitions des phases.

3



Introduction

La physique est une science consacrée à 1'étude de tous les phénomènes naturels. Au commencement

1'homme a classé les phénomènes observés suivant la manière dont il les recouvrait. Ainsi la mécaniqueet la science du mouvement, qui peut être directement observé. L'optique se développa comme unescience associée à la vision, la thermodynamique (la chaleur) a été reliée aux sensations de chaud. Les

phénomènes électromagnétiques étant responsables de la plupart des phénomènes observés ne sont pasreliés à aucune sensation et constituent les objets d'étude de l’électromagnétisme.

Ainsi la physique est composée de plusieurs branches (sciences) classique: la mécanique, lathermodynamique, etc. qui comprend les développements de la physique du XIX-ème siècle. Il y a peu detemps à ces branches a été ajoutée une nouvelle branche appelée physique moderne, qui comprend lesdéveloppements de la physique du XX-ème siècle.

La physique est la plus fondamentale de toutes les sciences de la nature. Toutes les sciencesnaturelles d'aujourd'hui utilisent les méthodes physiques. Par exemple, la chimie s'occupe de 1'applicationdes lois physiques à la formation des molécules et à la transformation de certaines molécules en d'autres. De

plus, le développement de la physique conduit à 1'apparition et au développement des autres sciences. Par exemple, 1'invention du microscope et du télescope a stimulé le développement de la biologie et del'astronomie. L'analyse spectrale découvertes par les physiciens se trouve à la base de 1'astrophysique etc.

Ainsi, la formation des ingénieurs d'aujourd'hui est impossible sans une compréhension profonde dela physique.

I. MECANIQUE

Comme nous avons déjà indiqué, la mécanique est la science du mouvement. L'expériencenous montre que le mouvement d'un corps est influencé par les corps qui 1'entourent. Autrement dit, lemouvement d'un corps est conditionné par ses interactions avec des autres corps qui 1'entourent. A toute formede mouvement on peut appliquer certains principes généraux qui se trouvent à la base de la théorieappelée mécanique.

1. L'espace physique et le temps physique.

La matière ne peut exister qu'en mouvement. Pour dire qu'un corps est en mouvement il estnécessaire de repérer sa position par rapport à un corps de référence. C'est pourquoi le mouvement est unenotion relative. Le mouvement comme forme d'existence de la matière se réalise dans 1'espace et dans le temps

qui sont aussi des formes d'existence de la matière. La physique étudie les propriétés du temps et de 1'espace qui peuvent être mesurées. Dans ce sens on parle de l’espace physique et du temps physique.

L'espace physique est un espace à trois dimensions. Les trois dimensions de 1'espace physique sont lestrois coordonnées cartésiennes x, y, z du corps considéré (Fig. l .1).

Le temps physique est un espace à une dimension. Pour décrire le mouvement d'un corps on choisit un système decoordonnées (cartésiennes, polaires, cylindriques) et unemontre. Un système de coordonnées et une montre constitue cequ'on appelle un système de référence ou référentiel.

4



En mécanique classique le même événement a la même durée en tout référentiel :t=t,x c'est-à-dire, enmécanique classique le temps est absolu. Outre cela en mécanique classique on étudie les mouvements descorps dont la vitesse V est beaucoup plus faible que la vitesse de la lumière C=3xl08m/s :V«C.

2. Notions, grandeurs, théorèmes et principes fondamentaux de la mécanique du point matériel.

2.1. Les modèles de la mécanique du point matériel.

Les lois de la physique s'établissent tant expérimentalement que théoriquement en utilisantcertaines modèles.

a) Le modèle du point matérielSi les dimensions du corps sont assez petites qu'on peut les négliger dans le problème considéré

celui-ci est appelé point matériel. Le même corps dans certaines conditions peut être considéré comme un

point matériel (la Terre dans le calcul de son trajectoire autour du Soleil) dans des autres non (la Terre dans le

calcul de la trajectoire d'un satellite autour de la Terre). La position d'un point matériel dans 1'espace est

déterminé par le vecteur position r (Fig1.2) déterminé par k Z jY i X r ++= ,

où X ,Y ,Z sont les coordonnées du point matériel etk ji ,, sont les vecteurs unitaires respectivement sur les axes

X,Y,Z: 1=== k ji .

b) Modèles des structures de la matière-la particule et le champ.Une particule с'est une portion de dimensions très petites qui réagit avec des autres particules ou

systèmes de particules et qui dans le moment donné occupe une seule position dans 1'espace. II est évidentque deux particules ne peuvent pas occuper simultanément la même position. Actuellement la matièreest considéré comme composée d'un certain nombre de particules élémentaires et tous les corps sont

5



considérés comme formés par de réunion particules élémentaires. Trois de ces particules qu'on les connaît de1'école sont I'électron, le proton et le neutron. Les protons et les neutrons sont rassemblés dans une très petiterégion appelée noyau. Le noyau et les électrons forment les atomes qui à son tour forment lesmolécules. Finalement, les molécules se groupent entre elles pour former des corps solides, liquides ou

gazeux. Le champ est une autre forme d'existence de la matière étant caractérisé en chaque point de

1'espace par une grandeur scalaire (champ scalaire de pressions), vectoriel (champ vectoriel de vitesse) outensorielle (champ tensoriel d'indice de réfraction).

c) Modèles d'interaction des particulesToutes les particules réagissent les unes sur les autres de manière à produire des configurations

stables (les atomes, les molécules, différents corps). Il existe deux modèles d’ interaction: Le modèle d'interaction instantanée à grande distance avec des vitesses infiniment grandes et le

modèle d'interaction de proche en proche avec des vitesses finies.

En fonction de la nature des interactions il у a des interactions gravitationnelles,électromagnétiques et nucléaires.

2.2. Cinématique du point matériel

2.2.1. Mouvement du point matériel. Vitesse et accélération

Dans la cinématique on considère des mouvements sans se préoccuper des causes de cesmouvements. Le lieu géométrique des points successifs du point matériel dans son mouvement par rapport à un référentiel s'appelle la trajectoire de mouvement (Fig.l .2):

S ∆ est le chemin parcouru par le point matériel dans l’intervalle du temps 12 t t t −=∆ ,

12 r r r −=∆ est le déplacement du point matériel dans le même intervalle du temps.

Si la trajectoire du mouvement est une ligne droite, le mouvement est appelé rectiligne.

Respectivement si la trajectoire est une courbe, le mouvement est curviligne. Une trajectoire quelconque

est caractérisée par le rayon de courbure R qui n'est que le rayon d'une circonférence tangente à la

trajectoire dans le point donne (Fig.l.3). II est évident que le rayon de courbure d'une ligne droite est

∞= R .

Tout mouvement est caractérisé par:

1 La vitesse moyenne du déplacement et la vitesse moyenne du chemin parcouru

t

r d m ∆

∆=

,v ;

t

S sm ∆

∆=,v

; [ ] 1−= msSI v ;

2 La vitesse instantanée

.lim0

r dt

r d t r

t

==∆∆=

→∆v ;

6



3 Pour étudier un mouvement dont la valeur de la vitesse et sa direction varied’un instant à l’autre on utilise la grandeur physique vectorielle appeléel’accélération a (Fig.1.4)

a) L’accélération moyenne

t

am ∆∆

=v

; [ ] 2−= msa SI ;

b) L’accélération instantannée

⋅⋅⋅

===

∆

∆= r

d t

d

t

a

vvv

l im ;

2.2.2. Mouvement rectiligne d'un point matériel

Dans un mouvement rectiligne la trajectoire est une ligne droite et les vecteurs v et a sont portés par la trajectoire. Si a=0 ou bien =const. Le mouvement rectiligne est appelé uniformémentrectiligne. Dans ce cas (Fig. 1.5) x sr r ∆=∆=∆=∆

Un mouvement est appelé rectiligne uniformément varié lorsque a=const. Si les vecteurs v eta ont le même sens, le mouvement rectiligne est dit uniformément accéléré (Fig. 1.6a), et uniformémentretardé si les vecteurs v eta ont des sens contraires (Fig. 1.6b).

7



Le chemin élémentaire (déplacement élémentaire) du point matériel dans l’intervalle de temps dt estdt dx v= .

Si v =const ∫ ==⇒t

t dt x0

vv ; (on suppose t t x xt x ==== 2211 ;;0;0 )

Si a =const ∫ ∫ +=⇒=⇒=⇒

v

v

0vvvv

0 0

t

at adt d adt d

Et alors pour le chemin parcouru on obtiendra :

( )∫ ∫ +=+==t t

at t dt at dt x

0

2

00

02

vvv

Une autre relation importante entre x, v et a peut être obtenue de la manière suivante :

dt

dx

adt d

=

=

v

v

∫ ∫ =−⇒=⇒=⋅=⋅⇒v

v

vvvvvv

0 0

2

0

2 2 x

axadxd adxdt

dxadt d

Le cas le plus important de mouvement rectiligne uniformément accéléré est celui de la chute libre

sous l’action de la pesanteur. Dans ce cas on prend a=g=9,8 2/ sm , où g est l’accélération de la pesanteur

dirigée vers le bas.

2.2.3. Mouvement curviligne d'un point matériel.

Soit la trajectoire d'un mouvement curviligne se trouve dans le même plan. Dans ce cas pour le vecteur

accélération on peut écrire τ aaa n += , où na et τ a sont les composantes normales et tangentielles de

l’accélération (Fig.1.7.).

Le changement de la grandeur de la vitesse définit l’accélération tangentielle et le changement de la

direction de composantes tangentielles et normales de l’accélération on introduit les vecteurs unitaires n etτ . Le vecteur τ change de direction le long de la trajectoire (Fig. 1.8.) c'est pourquoi pour le vecteur aon peut écrire :

8



avec dt d a /v=τ et Ran /2v= .

Si R=const on a le cas particulier du mouvement circulaire

(Fig.1.9). )3.1(dt

d R

dt

ds ϕ ==v

La quantité dt d /ϕ ω = (1.4) est appelée vitesse angulaire. [ ] 1−⋅= srad SI ω ;

Les relations (1.3) et (1.4) donnent Rω =v .

La vitesse angulaire peut être présentée comme une grandeur vectorielle (Fig.1.10).

[ ]sin R r r ω ω α ω = ⇒ = ⇒ =v v v ;

9

( )( )

naa R

naa

Rn

Rd

d n

ds

d n

ds

ds

dt

d n

dt

d

dt d nd nd nd

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d a

+=+=⇒→

===⋅=

⇒==⇒−=

+===

τ τ τ

ϕ

ϕ ϕ ϕ τ

ϕ ϕ τ τ τ τ τ

τ τ

τ

2

'

)1.1()2.1(

)2.1(

)/(

1.1

v

vvv

vvvv



Si const =ω on a le cas du mouvement circulaire uniforme. Dans ce cas le mouvement est

périodique. La période T est le temps nécessaire pour faire un tour complet et la fréquence ν est le

nombre de tours par unité de temps :

[ ] ; sT SI = [ ] Hz sSI == −1ν - unité appelée hertz.

Dans ce cas ∫ ∫ =⇒=⇒=t

t dt d dt d 00

ω ϕ ω ϕ ω ϕ

ϕ

Pour un tour complet π ν ω ω π ϕ 2/2 ⇒=== T .

Si const =ω on définit l’accélération angulaire par la relation

0lim

t

d

t dt

ω ω ε ω

⋅

∆ →

∆= = =

∆Analogiquement comme dans le cas du mouvement rectiligne uniformément varié on obtient les

relations ;0 t ε ω ω += ;2

2

0

t t

ε ω ϕ += ;22

0

2 ε ϕ ω ω =−

Les accélérations τ a et na (les accélération tangentielle et centripète) sont déterminées par les

relations

;ε ω

τ R

dt

d R

dt

d a === v

;22

R R

an ⋅== ω v

Dans le cas du mouvement circulaire uniforme on peut écrire l’accélération sous une autre forme

[ ] [ ] [ ][ ];r dt

r d r

dt

d

dt

d a

⋅==

=== ω ω ω ω ω v

v

2.3. Les principes fondamentaux de la dynamique du point matériel

La dynamique étudie les relations entre le mouvement d'un corps et ses interactions avec les autres

corps qui 1'entourent. Les interactions entre les corps quantitativement sont caractérisées par la grandeur

physique vectorielle, appelée la force F . On distingue deux grandes catégories de forces : les forces de

contact et les forces à distance. Les forces de contact peuvent déformer les corps ou bien changer l’état demouvement (forces de torsion, de cohésion, de frottement etc.). Leur rayon d'action vaut quelques diamètres

moléculaires et c'est pourquoi elles exigent le contact pour se manifester. Les forces à distance sont les forces

dont le rayon d'action est infiniment grand. La définition précise d'une force sera donnée dans le paragraphe

(2.3.2).

2.3.1. Le principe d'inertie (la première loi de Newton ou la loi d'inertie)

Un point matériel est appelé libre soit parce qu'il n'interaction pas avec des autres points matériels,

soit parce que ces interactions se compensent pour donner une interaction résultante nulle.Le principe d'inertie établit que :

un point matériel libre ou bien se déplace en ligne droite à vitesse constante (a=0), ou bien est immobile ( v=0).

10



Autrement dit un point matériel soumis à l’action d'un ensemble de forces dont la résultante estnulle ou est en repos, ou bien est en mouvement rectiligne uniforme. Cette affirmation est aussiappelée première loi de Newton.

La propriété du point matériel libre de conserver son état de repos ou de mouvement rectiligneuniforme s'appelle inertie.

Pour caractériser quantitativement l’inertie d'un point matériel on introduit la notion de masse. Plus

la masse du point matériel est grande plus son inertie est grande et par conséquent plus est difficile de

changer son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme. On peut comparer les masses des

points matériels en les faisant se mouvoir sous l’action de la même force appliquée. La masse définie de

telle manière s'appelle masse d'inertie. Cette grandeur scalaire détermine aussi la quantité de matière

présente dans le point matériel considéré. Le kilogramme (kg) est l’unité de masse en SI :

[ ] .kg m SI =Pour les corps homogènes, la quantité V m /= ρ s'appelle masse volumique, [ ] 3−⋅= mkg ρ

Pour les corps non homogènes on définie la masse volumique moyenneV mm ∆∆= / ρ

Le mouvement étant relatif il faut indiquer le référentiel dans lequel est valable le principed'inertie. On suppose que le mouvement se fait par rapport à un corps de référence aussi libre. Leréférentiel attaché à ce corps de référence s'appelle référentiel d'inertie. Strictement parlant dans lanature il n'existe pas de référentiel d'inertie. Par exemple, la terre et le soleil ne sont pas de référentielsd'inerties en raison de leur mouvement de rotation ( )0≠a et de leurs interactions avec les autres corps dela galaxie.

Toutefois, chacun de ces deux corps peuvent être utilisés pour définir un référentiel d'inertie pour des applications pratiques.

Dans la physique classique la masse du corps considéré a la même valeur en tout référentield'inertie et ne dépend pas de la vitesse du corps : ( )v f mmm ≠′= ; .

2.3.2. Le principe de la proportionnalité entre I'accélération et la force (ladeuxième loi de Newton). Quantité de mouvement. Le principe de conservationde la quantité de mouvement.

Comme nous avons vu la force c'est la cause qui provoque une modification d'état de repos ou demouvement rectiligne uniforme des corps. L'expérience montre que si le point matériel est soumis àl’action des forces différentes ,...,,

21F F alors les accélérations acquises sont aussi différentes :

mconst a F a F ====⇒ ...// 2211

La quantité a F m /= a été appelée par Newton la masse du corps considéré. Alors pour la force

F on obtient: am F = , donc l'accélération est directement proportionnelle à la force appliquée.

C'est le principe de la proportionnalité entre l'accélération et la force. La dernière relation peut être

modifiée comme suit

_

La quantité vm P = est appelée quantité de mouvement, alors l’avant dernière relation devientdt P d F /= c'est l’expression mathématique de la deuxième loi de Newton.

11

( )dt

md

dt

d mam F

vv===



Ainsi, d'après Newton la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement d'un corpsest égale à la force s'exersant sur celui-ci. Si le corps est libre, alors F=0 et on peut écrire : const P dt P d =⇒= 0/ ,c'est l’expression mathématique du principe de conservation de la quantité de mouvement, selonlaquelle un point matériel libre se déplace toujours avec une quantité de mouvement constante.

D'après la relation F=ma, dans le système SI la force est mesurée en 2/ smkg ⋅ unité appelée

newton (N): [ ] .2 N mskg F SI =⋅= −

Si on connaît la force en fonction du temps on peut écrire :

∫ ∫ ∫ =∆=−⇒=2

1

2

1

2

1

12

t

t

t

t

P

P

dt F P P P dt F P d

La quantité ∫ =Ι2

1

t

t

dt F

est appelée l’impulsion, alors on peut dire que la variation de la

quantité de mouvement du corps est égale à son impulsion.

2.3.3. Le principe de l’action et de la réaction (la troisième loi de Newton).

L'expérience montre que si deux corps sont en interactions, la force qui s'exerce sur un corps est

égale et opposée à la force qui s'exerce sur l’autre :

1,22,1 F F

−= .

C'est le principe de 1'action et de la réaction connu également sous le nom de la troisième

loi de Newton.

2.3.4. Le principe de l'indépendance de l'action des forces et le principe de la

superposition des forces.

Le principe de l’indépendance de l’action des forces établit que :

si un corps de masse m est soumis simultanément à l’action de plusieurs forces ,...,,21

F F

alors chacune de ces forces agit indépendamment de l 'existence des autres.Dans ce cas le corps de masse m acquiert les accélérations ,...,, 21 aa et son déplacement

résultant sera déterminé par l'accélération résultante:

( ) ( )m

F F mm F F m F m F aaa

i

i

==++=++=++= ∑/1/1......//... 212121

Ainsi l’accélération résultante est déterminée par la force résultante

∑=++=i

i F F F F ...21 ,

c'est l’expression mathématique du principe de la superposition des forces concourantes (forces

agissant en un point).

2.3.5. Le principe classique de la relativité

12



Considérons deux référentiels en translation uniforme l’un par rapport à l’autre (référentiels

d'inertie) S-imobile et S/-mobile. Pour simplifier choisissons comme axes Ox et xO ′′ , la droite du

mouvement et yOOy ′′|| , z OOz ′′|| (Fig. 1.1 1).

Supposons que dans le moment initiale t=t /=0 (montres synchronisées) О et O/ sont confondues

alors 00 r t OO ==′ v , où const =0v est la vitesse du S/ par rapport au S.

Considérons maintenant un point matériel M en

mouvement dans le référentiel S. Les vecteurs position de M en

S et S/ sont reliés раr '

0r r r += (1.5).

Les composantes de cette équation vectorielle sont les

équations'

'

'

0

'

z z

y y

t x x

=

=

+= v

(1.6).

L’équation vectorielle (1.5) où le système (1.6) avec t=t/ est

appelée transformation de Galilée :t t

r r r

′=

+= '

0 ou

t t

z z

y y

t X X

′==

=+=

'

'

'

0

'

ϑ

En dérivant (1.5) par rapport au temps nous avons'

0 vvv +=

(1.7)

C'est la loi classique de la composition des vitesses.En dérivant (1.7) par rapport au temps et en tenant compte que const =0v on obtient : 'aa =

(1.8).Ainsi, l’accélération mesurée dans les référentiels S et S/ est la même. Autrement dit 1'accélération

reste invariante quand on passe d'un référentiel à un autre qui est en mouvement de translation uniformerelativement au premier. En multipliant la relation (1.8) par m=m/ on obtient F=F/ .Donc la force se comporte dela même manière comme l’accélération.

Cette conclusion a un caractère général étant valable pour toutes les lois mécaniques. C'est-à-dire leslois de la mécanique classique s'appliquent également bien à tout référentiel d'inertie. C'est le principe de larelativité classique. Conformément à ce principe les lois de la mécanique ne peuvent pas déceler unmouvement absolu. C'est pour cela qu'on peut parler seulement d'un mouvement relatif.

2.4. Mouvement relatif accéléré. La force d'inertie.4

Supposons que référentiel S/ n'ait pas d'inertie, alors const ≠0v et puisque 0

' vvv += on

obtient '

00

' /// aaadt d dt d dt d +=⇒+= vvv

En m ultipliant par m=m/ on peut écrire 0''

0'

0 F F F F F F amamam −=⇒+=⇒+= .

am F = c'est la force mesurée en S. Si 1'observateur en S/ utilise la même définition de la force, il écrit

am F =' et il considère qu'en plus de la force F mesurée en S il y a une autre force

00 am F F i −=−= agissant sur le corps, de façon que la force résultante est. la force 0i F ma= −

rapellée force

d'inertie. Cette force n'est pas liéе à aucune interaction. C'est pourquoi c'est une force fictive qui n'a pas

de sens que pour le référentiel en mouvement accéléré.

Si par exemple le corps est au repos dans le référentiel S\ qui est en mouvement de rotation, alors[ ]r a ⋅= ω ω 0 c'est 1'accélération centripète. Dans ce cas la force d'inertie est [ ][ ]r m F i ⋅= ω ω qui est

une force centrifugue agissant sur le corps en plus de la force de la pesanteur.

13



2.5. Notions et théorème généraux de la dynamique du point matériel.

2.5.1. Moment d'une force.

Soit un point matériel peut tourner autour d'un point О sous l'action d'une force F qui ne passe pas par О (Fig.1.12). Le moment M d'une force F par rapport à un point s'appelle la grandeur

physique vectorielle déterminée par la relation :

[ ] ;sinα rF M F r M =⇒=

D'après la figure α sinr d = , alors on peut écrire :

;,][ Fd M NmM SI ==La quantité α sinr d = s'appelle bras de la force.

Evidemment que :

a) Si on déplace la force F le long de sa droite d'action le moment M ne change pas, car le bras

d reste le même ;

b) Si on change le point de référence О le braschange aussi et c'est pourquoi le moment M de la

force F ne reste pas le même.

2.5.2. Moment cinétique. Théorème de la variation du moment cinétique. Théorème deconservation du moment cinétique.

Le moment cinétique L d'un point matériel de masse m par rapport à un point (Fig. 1.13)

s'appelle la grandeur physique vectorielle

[ ] [ ]vmr P r L == (1.9)

En dérivant l’équation (1.9) par rapport au temps on obtient

( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] M F r mdt P d r dt r d P dt Ld =⋅+⋅=+= vv/// car

[ ] ;0=⋅ vv m

M

14



Finalement, donc on obtient M dt Ld = (1.10). La relation (1.10) c'est l'expression

mathématique du théorème de variation du moment cinétique.Conformément à ce théorème la variation Ld du moment cinétique pendant un court intervalle dt

est parallèle au moment M appliqué au point matériel (corps).S'il n'y a pas de forces extérieures, ou si leur résultante est nulle le moment M est nulle et

1'équation (1.10) devient : const Ldt Ld =⇒=0

Ceci s'énonce : Le moment cinétique d'un point matériel (corps) libre est constant en grandeur et en direction.Ce n'est que le théorème de conservation du moment cinétique d'un point matériel.

2.5.3. Dynamique du mouvement de rotation d'un point matériel.

Soit un point matériel de masse m effectue un mouvement circulaire autour de l’ахе de rotation z z ′

(Fig. 1.14). Dans ce cas pour la grandeur du vecteur moment cinétique on peut écrire:

[ ] ω 290sin mr r mrp L pr L ===⇒= v (1.11)

La quantité I=mr 2 (1.12) est appelée moment d'inertie

du point matériel par rapport à l’ахе de rotation z z ′ . En

substituant (1.12) en (1. 11) on obtient L=Iw

(1.13)

Dérivons l’équation (1.13) par rapport au temps. Ceci donne ε ω I dt d I dt dL ==

En utilisant la relation M dt dL = , nous avonsε Ι=M (1.14)

La relation (1.14) c'est la deuxième loi de Newton pour le mouvement de rotation d'un point matériel, parcequ'il у a une grande similitude entre le mouvement de translation et le mouvement de rotation d’un pointmatériel : m=> I=mr 2 ; F =>M ; ω ϑ ⇒ ; ε ⇒a .

2.5.4. Travail et puissance

Soit un point matériel se déplaçant le long d'une courbe sous 1'action d'une force F pendantun temps court dt, va de A en A/ (Fig. 1.15).

Le travail élémentaire effectué par la force F pendant ledéplacement r d A A =' est défini par le produit scalaire :α cos Fdr r d F dA == (1.15)

15



Souvent on désigne la grandeur du vecteur r d par dS, alors on peut écrire l’équation (1.15)sous la forme :

α cos F S A =.

Commeτ

F (Fig. 1.1 5) est la composante de la force sur la tangente à la trajectoire, on a:dS F dA τ =

Le travail total effectue sur le point matériel quand il se déplace de A à B est la somme de tous les travauxélémentaires:

Parfois il est commode de représenter F graphiquement (Fig. 1.16). On peut dire que le travail

élémentaire numériquement est égale à 1'aire élémentaire dS 0.

Alors, le travail total effectué sera égal à 1'aire S.

Il est très important de souligner qu'en général le travail

dépend du chemin suivi par le point matériel dans son déplacement:

Le travail dans le système SI se mesure en newton-mètre, unité

appelée Joule (J) : .][ J Nm A SI ==

En pratique il est important de connaître la vitesse à laquelle le travail est fait. La quantité dt dA P /= s’appelle puissance instantanée. On peut dire que la puissance est égale au travail effectue par unité de temps

pendent un temps courtdt .

En utilisant la définition du travail on peut écrire :

( ) .cos// α vv F F dt r d F dt dA P

====La puissance moyenne est définie comme le travail total pendant un intervalle de temps dt:./ t A P m =

Dans le système SI, on exprime la puissance en joule par seconde unité appelée watt (W) :

[ ] W Js P SI == −1.

2.5.5. Energie cinétique. Théorème de la variation de l'énergie cinétique.

Le travail élémentaire peut être présenté sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( )2///2

vvvv md md dt dt P d r d dt P d r d F dA =⋅=⋅=⋅== .

16

∫ ∫ ==++=2

1

2

1

...2211

τ

τ

τ dS F r d F r d F r d F A

r

r

( ) ( )

.2

1

21

2

1

21 ∫ ∫ =≠=b

b

a

a r d F Ar d F A



La quantité 2/2vm E c = ou m P E c 2= s'appelle énergie cinétique. Alors on peut écrire

cdE dA = ou bien ccc

r

r

E E E mmd mr d F A ∆=−=−=== ∫ ∫ 12

2

1

2

2

22

2

1

2

1

vvvv

v

v

Ceci peut s'exprimer en disant que :

Le travail effectué sur un point matériel est égal à la variation de son énergie cinétique.

C'est l'énonce du théorème de la variation de l'énergie cinétique.Dans le système SI I'énergie cinétique se mesure avec les mêmes unités que le travail, c'est-à-dire

en Joule (J).2.5.6. Forces conservatives (dérivantes d'un potentiel). Fonctions potentielles.

Energie potentielle.

Dans la nature il existe des forces dont les projections sur les axes de coordonnées x,y,z peuvent

s'exprimer comme dérivées partielles (on utilise le symbole de dérivation partielle z y x ∂∂∂∂∂∂ /,/,/ ,

pour montrer que quand le point matériel se déplace de dx suivant l’axe Ox, par exemple, les

coordonnées у et z restent inchangées) par rapport aux coordonnées respectives d'une fonction U(x,y,z)

appelée fonction potentielle.

( ) ( ) ( ) ;/,,;/,,;/,, z z y xU F y z y xU F x z y xU F z y x ∂∂=∂∂=∂∂=La force ( ) ( ) ( ) k z z y xU j y z y xU i x z y xU k F j F i F F z y x ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=++= /,,/,,/,,

(1.16)

s’appelle force conservative ou force dérivante d’un potentiel.Compte tenu de la définition de la fonction de potentielle et du travail élémentaire on peut écrire:

( )( ) ( )( ) ( )( ) (/,,/,,/,, dU dz z z y xU dy y z y xU dx x z y xU dz F dy F dx F r d F dA z y x =⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=++==

Alors le travail total d'une force conservative est :

( ) ( ) ( )∫ ∫ −===2

1

2

1

122,1 ,,

r

r

r

r

r U r U z y xdU dA A

(1.17)L'équation (1.17) nous permet de conclure que le travail d'une force conservative est

indépendant du trajet (chemin) suivi lors du déplacement. Ça donne :

⇒= ∫ ∫ 2

)(1

2

)(1

r

r

r

r ba

r d F r d F

∫ ∫ ∫ ∫ ===+ 0;02

)(1

2

)(1

r d F r d F r d F r d F

r

r

r

r ba

(1.18)

Le cercle sur le signe intégral indique que le trajet est fermé. L'équation (1.18) est appelée

circulation de F . Le champ de forces qui satisfait à l’équation (1.18) s'appelle champ potentiel. Alors

un champ de forces conservatives est un champ potentiel.

La quantité Ep(x,y,z) égale à la fonction potentielle U(x,y,z) changée de signe est appelée

énergie potentielle.),,,(),,( z y xU z y x E p −= ou )()( r U r E

p −=

(1.19)

Nous concluons donc, que I'énergie potentielle est une fonction des coordonnées du point

matériel tandis que I'énergie cinétique est une fonction de vitesse. On dit que I'énergie potentielle estune énergie de position et que I'énergie cinétique est une énergie de mouvement.

En vertu de (1.18) et en tenant compte de (1.16) on obtient :

17



( ) ( )1221r E r E A p pr r

−−=→ .

Puisque la position du point matériel toujours est donnée par rapport à un point de référence il

en résulte que pour déterminer I'énergie potentielle il faut aussi chercher un point de référence.

Conventionnellement comme point de référence pour la détermination de l'énergie potentielle on prend

∞=1r , ou I'énergie potentielle est nulle :

( ) ( ) 01 =∞= p p E r E .Alors pour I'énergie potentielle dans un point quelconque de vecteur position 2r r = on a:

( )r E r A p

−=→∞ , ou ( ) r Ar E p →−= ∞ .

Ceci peut s'exprimer en disant que l'énergie potentielle d'un point matériel dans le point

donné est le travail qu'il faut dépencer pour ammener le point matériel de 1'infinit au point donné de

vecteur position r .

En combinant les relations (1.16) et (1.19) on peut écrire:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ,/// k z r E j yr E i xr E F p p p ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂−= ou ( )r gradE F p−=

(1.20) où "grad" signifie l’opérateur appelé gradient (règles d'effectuer certaines opérations).Cette dernière relation démontre le fait qu'une force conservative dérive d'une fonction

potentielle.L'équation (1.20) dans le cas du champs de forces de la pesanteur et dans le cas du champs de

forces élastiques respectivement devient:

( ) ( )

( ) ( ) xk F xkxi xr E i F

g m F z z g mk z r E k F

p

p

−=⇒∂∂⋅−=∂∂⋅−=

=⇒∂∂⋅−=∂∂⋅−=

/2//

//

2

2.5.7. Théorème de la conservation de 1'énergie mécanique d'un point matériel.

Si la force agissante sur un point matériel est conservative on peut écrire :

1212 ; p pcc E E A E E A −−=−=

ce qui donne : 2211 pc pc E E E E +=+ (1.21)

La quantité E E E pc =+ est appelée énergie mécanique totale d'un point matériel. Puisque

les états désignés par "1" et "2" sont arbitraires l’équation (1.21) est valable pour toute position du point

matériel, .const E E E pc =+=

Ceci peut s'exprimer en disant que: si les forces agissantes sur un point matériel sont

conservatives, son énergie mécanique totale demeure constante (est conservée).C'est l’énoncé du théorème de conservation de 1'énergie mécanique totale d'un point matériel.

Si parmi les forces agissantes il у a des forces non conservatives l’énergie mécanique totale ne

se conserve pas, parce qu'une partie de cette énergie se transforme dans l'autre forme d'énergie non

mécanique (en chaleur par exemple).

3. Dynamique d'un système de points matériels.

Jusqu'ici nous avons étudié le comportement des corps dont les dimensions peuvent être négligées

dans le probleme considéré. Souvent on ne peut pas faire cette supposition. Dans ce cas il faut considérer

le problème plus réel de plusieurs points matériels (particules) constituant un système de points

matériels (particules).

3.1. Système de référence du centre de masse.

Considérons un système de points matériels dont le point i est soumis à 1'action des forces

intérieures ji F , et des forces extérieurs dont la résultante est e

i F (Fig.l .17).

18



Soit le système est composé de N points matériels de masse m1, m2,..., mn en mouvement

avec des vitesses .,...,, 21 nvvv Maintenant écrivons 1'équation de la deuxième loi de Newton pour le

point i et faisons la somme pour tous les points matériels (désignons par ∑= imM la masse du

système):

)2.1(// ,, ∑∑∑∑ =+⇒=+

ii

i ji

i

e ji

j

jiei d t Pd F F d t Pd F F

Puisque i j ji F F ,,

−= on a 0,

,=∑

ji

ji F et alors l’équation (1.22) devient:

( ) ( )∑ ∑∑ =⋅===i

sii

i

e

i

e dt P d P dt d dt P d F F ///

où ∑∑ == i ii i s

m P P v, est la quantité de mouvement du système.

Ainsi, donc, on a obtenu dt P d F s

e /= , ce qui exprime la deuxième loi de Newton pour un

système de points matériels.

L’expression de cette loi peut être écrite d’une autre manière :

( )( ) ( ) ( )∑∑∑∑ =⇒===i

iie

i

ii

i

ii

i

ii

e

M

r mdt d M F M r m

dt

d dt r md mdt d F

22

2

222 //// v (1.23)

Le point de vecteur position M r m Ri

iiCM /∑= (1.24) est appelé centre de masse du système.

En introduisant l’équation (1.24) dans l’équation (1.23) on obtient :

dt P d dt d M F aM dt Rd M F CM CM e

CM CM e /// 22 =⋅=⇒=⋅= v (1.25)

où CM a est l’accélération du centre de masse, CM CM M P v= est la quanti té de mouvement du centre de

masse et CM v est la vitesse du centre de masse. En vertu de l’équation (1.25) nous conclurons que :

le centre de masse se déplace comme si celui-ci était un point matériel de masse égale à la massetotale du système et soumis à la force extérieure résultante appliquée au système.

Le référentiel lié au centre de masse s'appelle référentiel du centre de masse. Dans ce référentiel

la quantité de mouvement du système est nulle. C'est pourquoi beaucoup d'expériences peuvent

s'analyser plus simplement dans le référentiel du centre de masse que dans le référentiel du laboratoire.

3.2. Conservation de la quantité de mouvement d'un système isolé de points matériels.

19



Soit 0== ∑i

e

i

e F F . Dans ce cas le système des points matériels est dit isolé.

Compte tenu du fait que ( ) e

i

ii s F mdt d dt P d =⋅= ∑ v// , nous conclurons que const m ii =v .

Ceci s'énonce : la quantité de mouvement total d'un système isolé des points matériels est

constante en grandeur et en direction.Dans ce cas le centre de masse du système se déplace avec une vitesse constante.

3.3. Conservation du moment cinétique d'un système isolé de points matériels.

Comme on a vu, le moment cinétique d’un point matériel du système est lie à la force extérieure

agissante par l’équation:

[ ] e

i

e

iii M F r dt Ld ==/

Alors pour un système de points matériels on peut écrire :

eii M dt Ld =/

où ∑∑ ==i

ii

i

i P r L L , est le moment cinétique résultant du système,

∑∑ ==i

ii

i

ee F r M M , est le moment de la force résultante agissante sur le système.

Dans le cas d’u n système isolé const L Ldt Ld M F i

i

ee ==⇒=⇒=⇒= ∑0/00

La dernière relation montre que: le moment cinétique total d'un système isolé de points matériels

est constante en grandeur et en direction.

C'est l’énoncé de la loi de la conservation du moment cinétique d'un système isolé de points

matériels.

3.4. Variation de 1'énergie cinétique et conservation de 1'énergie d'un système de pointsmatériels.

Considérons un système formé de deux points matériels de masse 1m et m2 se déplacent

avec des vitesses 1v et 2v sous l’action des forces extérieures 1

F et 2 F et des forces intérieures

1,22,1F et F (Fig.1.18)

Conformément au théorème de la variation d'énergie cinétique d'un point matériel pour les

points considérés on peut écrire:

21,2222

12,1111

r d F r d F E d

r d F r d F E d

e

c

ec

+=

+=

Alors pour le système considère on a:

21,22212,11121r d F r d F r d F r d F dE dE dE ee

ccc +⋅++=+=

20



En intégrant la dernière relation et en tenant compte que 1,22,1 F F −= , on obtient :

( ) ( )∫ ∫ ∫ +=−++==−=∆ B

A

ex

B

A

ee

B

A

C AC BC c A Ar r d F r d F r d F dE E E E int

212,12211,,

(1.26)

Où A et В sont les configurations initiale et finale du système. On peut étendre le résultat obtenu

à un système des points matériels et alors on peut énoncer que :la variation de l’énergie cinétique d'un système de points matériels est égale au travail

exercé sur le système par les forces extérieures et intérieures.

Supposons que les forces intérieures sont conservatives, alors pour le travail des forces intérieures

on peut écrire :

( ) ( )∫ ∫ −−==−= B

A

A p B p

B

A

E E r d F r r d F A int

,

int

,2,12,1212,1

int

(1.27)

où B p A p E E ,,

; est 1'énergie potentielle du système dans les configurations A et B.

En substituant (1.27) dans (1.26) on obtientex

A pc B pcA E E E E =+−+ )()(

intint(1.28)

La quantité U E E pc =+ int est appelée énergie propre du système. Ainsi l’équation (1.28) établit

que:

la variation de 1'énergie propre d'un système de points matériels est égale au travail

effectué sur le système par les forces extérieures.

Si le système de points matériels est isolé, alors 0=ex A et l’équation (1.28) devient:

. B A U U =Ceci peut s'exprimer en disant que c'est l’énoncé du théorème de conservation de l’énergie

propre d'un système isolé de points matériels :

1'énergie propre d'un système isolé de points matériels dont les forces intérieures

sont conservatives reste constante.

II peut arriver que les forces extérieures sont aussi conservatives.Dans ce cas ( )ex

A pex

B pex E E A ,, −−= , et alors l’équation (1.28) s’écrira :

−=− A B U U ( )ex

A p

ex

B p E E ,, − , oùex

B p B

ex

A p A E U E U ,, +=+ (1.29)

La quantitéex

p pc

ex

p E E E E U E ++=+= intest appelée l'énergie totale du système.

Compte tenu de (1.29) nous concluons que: l'énergie totale d'un système de points matériels

reste constante durant le mouvement du système sous 1'action des forces intérieures et extérieures

conservatives.

3.5. Conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement dans un choc

Soit deux points matériels, en se déplaçant, s'approchent 1'un de 1'autre. Dans la région où ilу a une interaction mutuelle a lieu un échange de quantité de mouvement et d'énergie. On dit qu'il у

a un choc. Un choc ce n'est pas obligatoirement un contact comme cela se produit dans le choc

entre deux boules de billard, par exemple. Cela veut dire qu'un choc c'est l'interaction entre deux

points matériels en mouvement quand ils sont assez proches pour qu'il ait un échange de

quantité de mouvement et d'énergie. Soit 21vvvv ′′,,

21et respectivement sont les vitesses au

commencement et à la fin d'interaction entre deux points matériels de masse 1m et 2m (fig. 1.19).

Alors on peut écrire:

.;2121,int,int P P P P E E E E pC pC ′+′=+′+′=+

Si 0,int,int =′−=−′= p pC C E E E E Q

le choc est dit élastique, et si 0≠Q le choc est inélastique.

21



4. Dynamique d’un solide.

4.1. Moment d’inertie et moment cinétique d'un solide

Un solide représente le cas particulier d'un système de points matériels dans lequel les

distances entre les points matériels constituants restent constantes lorsqu'on lui applique une force.Ceci permet de dire qu'un solide conserve sa forme durant son mouvement.

Dans le cas général le mouvement d'un solide représente une combinaison d'une rotation et

d'une translation. Dans le mouvement de rotation les points matériels du solide décrivent des

trajectoires circulaires autour d'une droite appelée axe de rotation (fig. 1.20). Dans le mouvement de

translation une droite joignant deux points quelconque du solide reste toujours parallèle à sa

position initiale (fig. 1.20).

Autrement dit tout mouvement d’un solide peut être considère comme un déplacement

du centre de masse C et une rotation du solide autour d’un axe passant par le centre de masse.

22



Considérons le mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe ZZ' avec une vitesse

angulaireω (fig. 1.21)

Chacun des points du solide décrit une trajectoire circulaire dont le centre est sur l’ахе de

rotation. Le moment cinétique du point matériel de masse im par rapport au point О est :

[ ] [ ] iiiiiiiii mr Lmr P r L vv =⇒⋅== 1

La composante ii L , z du moment cinétique parallèle à l’ахе Z Z' est:

( ) ω ω α α iiiiiiiiiiiiii Z I Rmm Rmr mr L Ι=⋅===−=2

, sin90cos vvv

Pour la composante totale suivant la même axe on a :

∑ ∑∑ Ι=Ι====

ω ω ω iii

N

i

Z i Z Rm L L2

1

,

La quantité ∑−

=Ι N

i

ii Rm1

2est appelée moment d'inertie du solide par rapport à 1'axe de rotation

ZZ' où N est le nombre de points matériels du solide. Le moment cinétique total du solide est ∑=

= N

i

i L L1

.

Dans le cas général le moment cinétique total n'est pas parallèle à l’ахе de rotation. Pourtant on peut

démontrer que pour chaque solide il у a au moins trois directions orthogonales pour lesquelles le

moment cinétique est parallèle à l’ахе de rotation.

Ces directions sont appelées axes principaux d'inertie et les moments d'inertie

correspondants sont appelés les moments principaux d'inertie. Si le solide a une certaine symétrie

les axes principaux coïncident avec certains axes de symétrie.

Par exemple, pour une sphère tout axe passant par le centre est un axe principal. Pour un

cylindre, l’ахе de symétrie, aussi bien que tout axe qui lui est perpendiculaire et qui passe par le centre de

masse, sont des axes principaux.

Comme tout solide est un système de points matériels la somme dans la définition du

moment d'inertie peut être remplacée par une intégrale.

∫ ∑ ==Ι= V

N

i

ii dV R Rm ρ 2

1

2

Si le solide est homogène, sa masse volumique est constante et alors pour le moment

d'inertie on obtient: ∫ =ΙV

dV R2 ρ

Cette relation permet de calculer le moment d'inertie. Parfois il faut calculer le moment

d'inertie par rapport des axes parallèles de rotation

(fig. 1.22).

Soit Z un axe arbitraire et Zc un axe parallèle passant par le centre de masse С du solide.

Pour calculer le moment d'inertie du solide par rapport à Z on applique la relation: I = Ic+ma2

(1.30)

où I et Ic sont les moments d'inertie du solide par rapport respectivement à Z et Zc,m

est la masse du solide et a est la distance entre les axes Z et Zc. La relation (1.30) c'est l'expressionmathématique du théorème de Steiner.

Pour les solides qui possèdent une certaine symétrie le calcul du moment d'inertie par

exemple donne:

23



4.2. Equation fondamentale du mouvement de rotation d’un solide

Pour un système de points matériels nous avons établi eM dt Ld =/ (1.31),

où ∑=i L L et ∑= i

e M M respectivement sont le moment cinétique total et le moment total

des forces extérieurs. Les grandeurs eM et L sont toutes les deux calculées par rapport au même

point du solide.

Evidemment l’équation (1.31) peut être appliquée à un solide, cas particulier d'un système

de points matériels. C'est pourquoi l’équation (1.31) constitue l’équation fondamentale pour décrire

le mouvement de rotation d'un solide.

Soit le solide tourné autour d'un axe principal ayant un point fixé dans un référentiel

d'inertie. Dans ce cas le moment cinétique est parallèle à la vitesse angulaire, qui est

toujours dirigée suivant l’ахе de rotation: L .

Alors à la place de 1'équation scalaire ω I L z = on peut écrire l’équation vectorielle

ω I L = (1 .32), où I est le moment d'inertie correspondant.

En introduisant l’équation (1.32) dans 1'équation (1.31) et en supposant que l’ахе reste fixé

par rapport au solide (I=const) on a:( ) ee M

dt

d I M

dt

I d =⇒= ω ω

L'équation (1 .33) est similaire à 1’équation F dt d m =v . En d'autres termes il у a une

grande similitude entre le mouvement de rotation d’un solide autour d'un axe principal et le

mouvement de translation d'un point matériel:;Ι→m ;ω →v ;;

eM F d d →→ ω dtv

Si 0=eM ( 0= F ), alors, en vertu de (1.33) on obtient: ( ) const I dt I d =⇒= ω ω 0/ , et si

const I = il en résulte que ω est aussi const.

Ceci s'énonce: un solide tournant autour d'un axe principal tourne avec une vitesse

angulaire constante quand il n'est soumis à aucun moment des forces extérieures.On peut dire que c'est la loi d'inertie pour le mouvement de rotation. Si const I ≠ , ce qui

peut arriver quand le solide n'est pas rigide, 1'équation const I =ω éxige que si I augmente

(diminue) alors, ω diminue (augmente). Le résultat obtenu a plusieurs applications.

Dans le cas, quand le solide tourne autour d'un axe fixe qui n'est pas un axe principal à

partir de ω I L z = on a:e

Z M dt d I =⋅ /ω

Ici Z M est la composante du moment extérieur et pas le moment total.

4.3. Energie cinétique de rotation

Etant donné que tout solide peut être présenté comme un système de points matériels pour

l’énergie cinétique d'un solide tournant autour d'un axe on peut écrire:

24

2222222/12/12/12/1 ω ω ω ω Ι=⇒=== ∑∑∑ C iiiiiiC E Rm Rmm E (1.34)



L’équation (1.34) est correcte pour tout axe, même s’il n’est pas un axe principal. Si le

solide tourne autour d’un axe qui passe par son centre de masse et en même temps a un mouvement

de translation l’énergie cinétique sera:22

2/12/1 ω C C C m E Ι+= v .

Pour la variation de l’énergie cinétique du solide on a:ex

C C A E E =− 12

(1.35)

Si ex A est le travail des forces conservatives l’équation (1.35) devient :

La grandeur E c'est l’énergie totale du solide, en excluant son énergie interne. Compte tenu de

(1.36) nous concluons que 1'énergie totale d'un solide ne change pas lors de son mouvement Si le solide

tourne autour d'un axe et en même temps se déplace, par exemple, dans le champ de la pesanteur 1'énergie

total du solide est:

5. Notions sur la mécanique relativiste

Jusqu'à présent nous avons considéré des mouvements dans les cas où ( )v f m ≠ . Cette

hypothèse est compatible avec 1'expérience si les vitesses ne sont pas trop grandes. Mais si les

vitesses sont considérables (de l'ordre c=3*108 m/s) cette hypothèse n'est plus correcte. Par exemple

dans le cas du mouvement des particules trouvées dans les rayons cosmiques. La théorie générale

du mouvement valable aussi bien pour des particules se déplaçant à grandes vitesses (haute énergie)

que pour des particules se déplaçant à petites vitesses (basse énergie) est appelée mécaniquerelativiste. La mécanique relativiste est constituée par la relativité restreinte qui étudie les

phénomènes physiques ayant lieu en des référentiels d'inerties et par la relativité généralisée qui

étudie les phénomènes physiques ayant lieu en des référentiels accélérés. Nous prendrons

connaissance de la relativité restreinte.

5.1. Principes de la relativité restreinte

La relativité restreinte est fondée sur deux principes proposés par Einstein à savoir le

principe de la relativité restreinte et le principe d'invariance de la vitesse de la lumière:Principes de la relativité restreinte:

toutes les lois de la nature (et pas seulement celles de la mécanique -principe de la

relativité classique) s'appliquent également bien à tout référentiel d'inertie.

Principes d'invariance de la vitesse de la lumière:

la vitesse de la lumière est un invariant physique qui a la même valeur en tout référentiel

d'inertie. Autrement dit la vitesse de la lumière est indépendante du mouvement de

1'observateur.

5.2. La transformation de Lorentz

La transformation de Galilée ne satisfait pas les principes de la relativité restreinte.

En effet, considérons deux référentiels d’inerties S-immobil et S'-mobil (fig. 1.23)

D’après la loi classique de composition des vitesses 0vvv +′= .

25

)36.1.(2/12/122

22112112 const E m E const E E E E E E E E pC C pC pC p pC C =+Ι+=⇒=+=+⇒−=− ω v

.2/12/122

const mghm E C C =+Ι⋅+= ω v



Supposons que smc /103 8⋅==0v , alors cc >+′= vv .

Ceci est incompatible avec le principe d’invariance de la vitesse de la lumière. Ainsi nous

conclurons que:

la transformation de Galilée n’est valable pour des observateurs se déplaçant avec des

vitesses très grandes. Il faut donc remplacer la transformation de Galilée par une autre, pour que la

vitesse de la lumière soit invariante.

La nouvelle transformation, compatible avec l’invariance de la vitesse de la lumière est :

:S S ′→

2

2

0

2

0

2

2

0

0

1

1

c

xc

t

t

z z

y y

c

t x x

v

v

v

v

−

⋅−=′

=′=′

−

−=′

:S S →′

2

2

0

2

0

2

2

0

0

1

1

c

xct t

z z

y y

c

t x x

v

v

v

v

−

′⋅+′=

′=

′=

−

+′=

Cet ensemble de relations est appelé transformation de Lorentz (1890). Pour les vitesses que

nous rencontrons sur la terre le rapport cv /0 est très petit et alors on retrouve la transformation de

Galilée :

:S S ′→

t t

z z

y y

t x x

=′

=′=′

−=′0v

:S S →′

t t

z z

y y

t x x

′=

′=

′=

+′= 0v

5.3. Conséquences de la transformation de Lorentz

a) Contractions des longueurs

Considérons une barre au repos dans S' (Fig.1.24).

La longueur de la barre en S' c'est la distance entre ces deux

extrémités: 12 x xl ′−′=′ . Pour mesurer la longueur de la barre en S il

faut noter la position des deux extrémités simultanément ce que n'est

pas essentiel pour S' car 1'observateur voit la barre immobile. En

mesurant les coordonnées 21, x x des extrémités de la barre en même instant t, l’observateur Sobtient: En appliquant la première relation de la transformation de Lorentz on obtient:

26

.12 x xl −=



l l

cl l

c

x x x xl ′<⇒−′=⇒

−

−=′−′=′

2

2

0

2

2

0

1212 1

1

v

v

Ainsi 1'observateur S qui voit 1'objet en mouvement mesure une longueur plus courte que

1'observateur S', qui voit 1'objet immobile. Autrement dit, les objets en mouvement semblent contractés dansle sens du mouvement: reposmouv l l < (fig. 1.25).

Les dimensions suivant les axes OY et OZ restent les mêmes en tout référentiel d'inertie.

b) Dilatation du tempsOn appelle intervalle de temps, le temps qui s'écoule entre deux événements mesurés par

un observateur. Considérons deux événements qui se produisent au même endroit x dans le

référentiel mobile S'. L'intervalle de temps entre ces événements en S' est 12 t t t ′−′=′∆ .

Pour l'observateur S par rapport auquel S' se déplace à une vitesse constante 0v , 1'intervalle de

temps entre les mêmes événements est:

t t

c

t

c

c

x

t

c

c

x

t t t t ′∆>∆⇒

−

′∆=

−

′−′−

−

′−′=−=∆

2

2

0

2

2

0

201

2

2

0

202

12

111vv

v

v

v

(1.37)

Evidemment l'observateur S voit que les événements se produisent en deux différentes

positions de l’espace.

En vertu de (1.37) nous conclurons que la durée d'un phénomène semble plus grandequand il se produit dans un corps en mouvement par rapport à I'observateur que lorsque le

corps est au repos par rapport à l'observateur.

Supposons par exemple, que c9999.0=0v , alors 22 10/1 −=− c20v et t t ′∆=∆ 100

Imaginons nous qu'un cosmonaute a effectué un vol cosmique (aller-retour) avec la vitesse

0v d'une année d'après sa propre montre c'est-à-dire =∆t 1 année. D'après la montre en S la durée

du vol est: =⋅′∆=∆ 100t t 100ans.

c) La loi de Lorentz de transformation des vitesses.Supposons pour simplifier qu'un corps se déplace le long de 1'axe de mouvement OX. La

vitesse mesurée en S est dt dx /=v , en S' est t d xd ′′=′ /v .En utilisant la transformation de Lorentz

on obtient:

( )

2

0

0

20

0

11

1

ct d c

xd t d

t d t d xd

dt

dx

vv

vv

v

v

v

′+

+′

=′

⋅

′+′

′⋅′+′

== .

27



L'équation2

0

0

1c

vv

vvv ′

+

+′=

constitue la loi de Lorentz de transformation des vitesses. Cette

loi est compatible avec le principe de l’invariance de la vitesse de la lumière. Soit par exemple

c=0v et c=v , alors pour v on obtient : cccc

cc =⋅+

+=2/1

v .

De plus, la vitesse 0v ne peut pas être plus grande que c, car la grandeur

2

2

0

c

v−1

deviendrait imaginaire. Ceci nous permet de conclure que la vitesse de la lumière est la vitesse

maximum qu'on puisse observer.

Si c<<0v on retrouve la loi classique de composition des vitesses. Ainsi on constate de

nouveau que la mécanique classique (newtonienne) n'est qu'une approximation de la

mécanique relativiste valable pour les petites vitesses.

Les conséquences de la transformation de Lorentz ont été confirmées expérimentalement

dans 1'étude des particules élémentaires trouvées dans les rayons cosmiques.

5.4. Dynamique relativiste

Expérimentalement on a démontré que la quantité du mouvement d'un corps se déplaçant

avec une vitesse v par rapport à 1'observateur est:v

v

v

2

0

m

c

m P =

−

=

2

0

1(1.38)

où 0m est la masse du corps au repos et2

0

1c

mm

2

0v

−

=est la masse du corps en mouvement.

La définition de la force donnée dans la mécanique classique est maintenue en mécanique

relativiste :

−

==

2

2

0

0

1c

m

dt

d

dt

P d F

v

v

.

Pour l’énergie cinétique d’un corps en mouvement on peut écrire :

−

=

−

== ∫ ∫ ∫ 2

0

00

2

0

011

c

md r d

c

m

dt

d r d F E C

2

0

vv

2

0

v

v

vv

v

v

En intégrant par parties et en remarquant que ,vvvv d d = on obtient :

=

−

−

−

= ∫ v

02

0

2

0 v

vv

v

v

2

0

2

2

0

11c

d m

c

m E C =−−+

−

2

02

2

0

2

2

0 1

1

cmc

cm

c

m2

0

2

0

v

v

v( ) 2

0

2

0

2

2

0

2

0

1

cmm E cm

c

mC −=⇒−

−v

v

.

La dernière relation nous montre que le gain en énergie cinétique peut être considéré commeun gain de masse. Autrement dit on peut associer une variation de masse ∆m à toute variation ∆E de

l’énergie du corps : 2mc E ∆=∆ .

28



La quantité2

00cm E = est appelée énergie au repos du corps, et la quantité

2

0

2

2

00

11c

E

c

cm E E E C

2

0

2

0vv

−

=

−

=+=(1.39)

est l’énergie totale du corps.

En combinant (1.38) et (1.39) nous voyons que E P c2=v , alors l’équation (1.39) est

équivalente à: 222

0 c P E E += .

6. Notions sur la mécanique des fluides

6.1. Equation de continuité

Une substance est appelée fluide quand elle a la propriété de couler, par exemple, les

liquides et le gaz.

Le mouvement d’un fluide est dit stationnaire (écoulement stationnaire) quand la vitesse

d’un élément de fluide dans le point donné ne varie pas en fonction du temps.

Autrement dit dans un écoulement stationnaire tous les éléments de fluide ont la vitesse 1v quand

ils passent en 1 A et la vitesse 2v quand ils passent en 2 A (Fig.1.26).

Le chemin suivit par un élément de fluide dans un écoulement stationnaire est appelé ligne

de courent.

Nous considérons seulement des écoulements stationnaires.

Considérons un tube de lignes de courent de section variable (Fig.1.27). On suppose que la

vitesse est la même dans tous les points d’une section droite quelconque.

29



L’écoulement étant stationnaire, la masse de fluide n’est ni apportée ni enlevée à

l’intérieure de la région considérée. En d’autres thermes la masse de fluide qui traverse la section

1S pendant l’intervalle de temps ∆t est égale à la masse de fluide qui traverse la section 2

S

pendant le même intervalle de temps. Ce n’est que la conservation de masse de fluide:t S t S V V mm ∆=∆⇒∆=∆⇒∆=∆ 22111221121 2vv ρ ρ ρ ρ

Si le fluide est incompressible 21 ρ ρ = , et on obtient 21 S S 21 vv = -c'est I’équation decontinuité qui est une conséquence de la conservation de la masse de fluide.

6.2. Théorème de Bernoulli

Le travail mis en jeux pendant le mouvement de fluide à I'intérieur du tube de lignes de

courent (fig. 1.27) est: t S P t S P t F t F Aex ∆−∆=∆−∆=222111221vvvv1

(1.40)

où t F ∆11v est le travail exercé sur le fluide, tandis que t F ∆22v est le travail effectué par le

fluide.

D’autre part

−−

+=∆=

11

2

1122

2

22

22 ghm

m ghm

mU Aex

vv(1.41)

L’équation (1.40) et (1.41) donnent2

2

221

2

11

22 gh P gh P ρ

ρ ρ

ρ ++=++

vv.

Comme les surfaces 1S et 2S sont prises en deux points arbitraires on peut écrire :

.2

2

const gh P =++ ρ ρ v

Ce résultat exprime le théorème de Bernoulli, qui est une conséquence de la loi de

conservation de l’énergie dans un fluide.

Si 21 vv = (fluide immobile ou se déplaçant à vitesse constante dans un tuyau) on obtient:

.const gh P =+ ρ En désignant la constante par 0 P on peut écrire .0 gh P P ρ −=

Ceci exprime la pression dans un fluide à 1'équilibre, par exemple la pression dans un lac croit

linéairement en fonction de la profondeur (car h est négatif).

6.3. Viscosité des fluides

Les fluides écoulent par couches dont les vitesses sont différentes. Entre les couches

voisines du fluide en mouvement s'exercent des forces de frottement tangentiel. Grâce à ces forces

les fluides s'opposent au glissement des couches. Cette propriété des fluides est appelée viscosité.Un fluide s'appelle parfait si: a) le fluide est sans viscosité;

b) il est incompressible;

c) 1'écoulement est stationnaire.

30



Rigoureusement il n'existe pas de fluides parfaits.

Considérons deux couches de liquide à la distance dx 1'une de 1'autre (fig. 1.28). Bien

entendu que la couche A exerce une force 1 F d'entraînement sur B et la couche B, une force 2

F

de résistance sur A égale à 1 F et de sens contraire: 21 F F −= .

Expérimentalement on constate que: dxSd F dxd S F //,~ vv η −=⇒

Le coefficient de proportionnalité η est la viscosité du fluide.

6.4. Ecoulement lamellaire et écoulement turbulent

On dit que I'écoulement d'un fluide est lamellaire si les lignes de courent ne se coupent pas,

autrement dit si les couches de fluide glissent les unes sur les autres sans se mélanger. Considérons

I'écoulement d'un liquide dans un tube cylindrique (fig. 1.29).

La couche au contact du tube adhère à la parois et freine les couches de liquides voisines : il y a

un gradient de vitesse. A partir d’une certaine distance la vitesse reste constante, c’est-à-dire on peut

négliger la viscosité et appliquer le théorème de Bernoulli.

Mais si le tube est étroit la vitesse varie de centre au bord et on ne peut pas négliger la viscosité. Le

volume qui traverse une section droite du tube dans l’unité de temps (Fig.1.29) (débit en volume) est

donné par la formule de Poiseuille: ( ).8

21

4

P P l

RV −⋅=

η

π

A partir d’une certaine vitesse (vitesse critique) les lignes de courent disparaissent et 1'écoulement

s'appelle turbulent On observe la formation de tourbillons qui apparaissent grâce aux forces de frottement

visqueux. Le régime d'écoulement d'un fluide est caractérisé par le nombre de Reynolds: η ρ / D R v= , où ρ est la masse volumique du fluide, η est sa viscosité, v est la vitesse d'écoulement et D est la

dimension linéaire d'obstacle dans le fluide. Le nombre de Reynolds est une grandeur sans dimension.

Le passage du régime lamellaire au régime turbulent est caractérisé par le nombre de

Reynolds critique: η ρ /c D R v= ou cv est la vitesse critique.

Par exemple, dans le cas d'un tuyau cylindrique à parois lisses, l’expérience montre que Rc=2300.Si R< 2300 le régime est lamellaire et si R> 2300 le régime est turbulent.

II. MECANIQUE STATISTIQUE ET THERMODYNAMIQUE

31



La dynamique des systèmes des points matériels (particules)que nous avons considérée, peut

s'appliquer à des systèmes composés d'un petit nombre de particules pour qu'on puisse déterminer

les propriétés de chaque particule du système ainsi que les propriétés du système comme un tout,

par exemple son énergie interne. Comme exemple de tels systèmes peut servir notre système

planétaire, les boules de billiard, les atomes avec quelques électrons etc. Mais, si le système estcomposé d'un très grand nombre de particules par exemple, un gaz formé de milliard de molécules

il est impossible de déterminer les propriétés individuelles de chaque particule composante. Dans ce

cas on utilise certaines méthodes statistiques pour calculer les valeurs moyennes des grandeurs

physiques qui caractérisent les propriétés macroscopiques du système sans s'intéresser au

comportement de chacune des particules du système. Cette méthode de traitement des systèmes

composés d'un grand nombre de particules est appelée mécanique statistique où théorie

cinétique. Les propriétés macroscopiques de tels systèmes peuvent être déterminées d'une autre

manière en se basant sur quelques principes fondamentaux sans s'intéresser à la structure

microscopique du système. C'est la méthode thermodynamique de traitement des systèmes

macroscopiques composés d’un grand nombre de particules.

1. Température et équation d'état d'un gaz parfait

Un gaz est appelé parfait si: a) les forces intermoléculaires sont négligeables;

b) les molécules peuvent être considérés comme des points

matériels ( 0= propreV );

c) les chocs entre les molécules sont élastiques.

Un gaz réel à haute température et à faible masse volumique peut être considéré comme un

gaz parfait.

La température est liée aux sensations de chaud et de froid. On mesure la température enutilisant des instruments appelés thermomètres. On ne peut pas mesurer directement la température.

On mesure une propriété X d'une substance qui varie linéairement en fonction de température, par

exemple la longueur de colonne de liquide, la résistance électrique d'un conducteur etc. Pour

déterminer la température donnée on mesure la propriété X à deux points fixés.

Dans 1'échelle Celsius ces points fixés sont la température de la glace fondante (0°C) et

celle de 1'eau bouillante (100° C) à la pression atmosphérique normale. Alors la variation moyenne

de X par degré Celsius est:

( ) 100/0100 X X −

où 100 X et 0 X est respectivement la grandeur X mesurée à 100° C et 0°C.

A une certaine température 1'écart de Xo avec la valeur à 0°C est X-Xo et alors cette température

en °C est :

( ) ( ) ( )01000 /100 X X X X C t −−=

Cette méthode n'est pas commode parce qu'elle dépende de la nature de la substance utilisée.

Pour mesurer la température on peut utiliser certaines propriétés d'un gaz parfait. Par

exemple Boyle et Mariotte ont constaté que si la température est constante pour la même quantité

de gaz parfait on a: PV=const.Ceci nous permet de considérer la température d'un gaz parfait comme une grandeur

proportionnelle au produit PV ce qui permet d'écrire : CT PV =

(2.1)

où T est la température ainsi définit et C est une constante qui dépend de la masse de gaz.

Désignons par 000,, T V P et 100100100 ,, T V P respectivement la pression, le volume et la

température a 0°C et a 100°C. Alors, selon l’équation (2.1) on a :

32



000 CT V P = et 100100100 CT V P =

(2.2)

Pour unité de la température du gaz on prend les mêmes unités de mesure que celles de

1'échelle Celsius, alors on peut écrire: 1000100+=T T (2.3)

En tirant 0T de (2.2) et (2.3) on obtient:

00100100

000

100

V P V P

V P T −=

La valeur de 0T ainsi obtenu est la même quelque soit le gaz, la seul condition est qu'il soit

parfait. La valeur numérique est: .15,2730 =T

Donc à 0°C il lui correspond 273,15 degrés de 1'échelle appelée l'échelle Kelvin (K).

II s'ensuit que T=t°C+273.15.

Actuellement on définit 0T comme la température du point triple de 1'eau (0,01° C) à la

pression normale. On démontre que l’équation (2.1) peut s'écrire:

NkT RT N

N RT

M

mvRT PV

A

==== (2.4)

L'équation (2.4) décrit 1'état d'un gaz parfait et est appelé l'équation d'état du gaz. Danscette équation on a: A N N M mv == -le nombre des moles, m- la masse du gaz, M - sa masse

molaire; N - le nombre totale de molécules, N A- le nombre d'Avogadro;1131.8 −−= mol JK R - la constante du gaz,

1381.1/ −== JK N Rk A - la constante de Boltzmann.

L'équation (2.4) est valable pour un gaz parfait en état d'équilibre quand les paramètres

macroscopiques du gaz sont les mêmes partout à I'intérieur du gaz.

2. Equation fondamentale de la mécanique statistique

Soit un jet de molécules monoatomiques de masse m, se déplaçant à la vitesse v frappe

élastiquement une surface S de la paroi sous un angle a (fig.2.1).La variation de la quantité de mouvement de chaque molécule en raison de son choc contre

la paroi est:α α cos2cos2 vm P P ==∆

La variation de la quantité de mouvement du jet de gaz par unité de temps (∆t=1) est:

α cos2 vP Nm=∆ , où v⊥= nS N

est le nombre de molécules situées dans le volume αS S V cosvv== ⊥ , n est la concentration des

molécules (nombre de molécules par unité de volume). Alors, pour la force que le jet exerce sur la

paroi on a :

α 22 cos2 vP

Snmt

F =∆∆

= (2.5)

Maintenant on peut déterminer la pression exercée par le jet de molécules sur la paroi:

α 22 cos2 vnmS

F P ==

33



où 22 vm P = si 0=α (l’incidence est normale)

Supposons qu’un gaz est contenu dans un récipient cubique de coté ma 1= (Fig. 2.1)

Evidement que vers chaque mur statistiquement se déplacent la même quantité de molécules

égale à (1/6)n, c’est-à-dire n dans la relation (2.5) il faut le remplacer par n/6 . De plus, la force F c’est une grandeur moyenne parce que les vitesses des molécules sont différentes.

C’est pourquoi 2v dans l’équation (2.5) doit être remplacées par la moyenne des carrées

des vitesses des molécules, appelées vitesses quadratiques moyennes :

∑=

= N

i

imq N 1

22

..

1vv

Il s’ensuit que la pression exercée par le gaz sur le paroi est :

2

q.m.vnm P 3

1= (2.6)

La relation (2.6) c’est l’équation fondamentale de la mécanique statistique.

3. Energie interne d'un gaz parfait. La loi de I'équipartition de 1'énergie

L'énergie totale d'un système macroscopique est égale à la somme de l’énergie demouvement du système comme un tout et de l’énergie interne du système. A son tour, l’énergie

interne désignée par U est égale à la somme de l’énergie cinétique des molécules et de leurs

énergies potentielles.

L’énergie interne est une fonction d’état, c’est-à-dire U ne dépend pas de trajet étant

complètement déterminée par l’état initiale et l’état finale du système. Dans le cas d’un gaz parfait0= p E et pour l’énergie interne de gaz on peut écrire :

∑=

== N

i

mcic NE E U 1

.,

où ic E , est l’énergie cinétique d’une molécule, N est le nombre de molécules et mc E

. est

l’énergie cinétique moyenne d’une molécule. On peut exprimer mc E . en utilisant l’équation d’étatdu gaz parfait et l’équation fondamentale de la mécanique statistique :

V

NE m

V

N nm P mc.

3

2

3

1

3

1⋅=== 2

q.m.2q.m. vv , d’où mc NE PV

.3

2=

D’un autre coté NkT PV = . Les dernières deux relations donnent:

2q.m.vmkT E mc

2

1

3

2.

== (2.7)

En générale 1'énergie mc E . représente la somme des énergies cinétiques de translation, de

vibration et de rotation. Autrement dit l'énergie mc E . dépend du nombre de degrés de liberté de lamolécule (nombre de coordonnées indépendantes qui déterminent complètement la configuration du

système) désigné par "i" . Pour une molécule monoatomique qui peut effectuer seulement un

mouvement de translation on a: 3== transii . Une molécule diatomique peut encore effectuer deux

mouvements de rotation (fig.2.2) c'est pourquoi .523 =+=+= rot trans iii

34



Pour les molécules poli atomiques 633 =+=+= rot trans iii . L’équation (2.7) est obtenue

pour un gaz parfait monoatomique et alors, on peut écrire:

kT mmmm

E Z Y X mc2

3

2

1

2

1

2

1

2,,,. =++== 2

q.m.

2

q.m.

2

q.m.

2

q.m.vvv

v

(2.8)

Le mouvement des molécules est désordonné c’est pourquoi il n’y a pas des directions

préférentielles ce que permet d’écrire:

2

..

2

..,

2

..,

2

..,3

1mqmq Z mqY mq X vvvv ===

alors la relation (2.8) devient:

kT m

E mq X

mc2

13

23

2..,

. ⋅=⋅=v

La dernière relation nous permet de conclure qu'à chaque degré de liberté d'une molécule

monoatomique il lui correspond la même énergie moyenne égale à (1/2)kT .

Ce résultat peut être généralisé pour toute molécule diatomique ou poli atomique. En

d'autres termes 1'énergie cinétique moyenne d'une molécule quelconque est :

kT i E mc )2/(. =Respectivement 1'énergie interne totale d'un gaz parfait est :

NkT i

NE U mc2

. ==

où "i" est le nombre de degrés de libertés des molécules et N est le nombre de molécules. Ce qu’on

peut exprimer en disant que 1'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa

température. Ainsi la température d'un système des molécules est une grandeur liée à 1'énergie

cinétique moyenne de mouvement désordonné des molécules. Si l'énergie cinétique moyenne des

molécules est la même partout à l'intérieur du système, autrement dit, si T est le même partout, on

dit que le système est en équilibre thermique.

Pour un mole de gaz parfait 1'énergie interne est:,

22 RT

ikT N

iU Amole ==

et alors pour une quantité quelconque de gaz on a:

.22

RT i

M

m RT

ivU ==

4. Equilibre statistique. Loi de Maxwell-Boltzmann.

Considérons un système composé d'un grand nombre N de molécules. Désignons par

,...,21E E les énergies (état énergétiques) accessibles à chaque molécule du système. A un instant

donné il y a une distribution des molécules suivant les états énergétiques, de telle façon que 1n

molécules ont l'énergie 1 E , 2

n molécules ont 1'énerqie 2 E etc. On dit que les nombre ...,21nn

constituent une distribution.

En raison des interactions mutuelles et des chocs les nombres ..., 21nn peuvent changer.

Cependant pour tout état macroscopique du système il existe une distribution plus favorisée

que les autres, autrement dit il existe une distribution qui est la plus probable. Le système est dit en

équilibre statistique si la distribution ..., 21 nn est la plus probable. Evidemment que si le

système est en équilibre statistique il possède une température bien déterminée, c’est-à-dire le

système se trouve aussi en équilibre thermique. Donc, l’équilibre thermique c'est un équilibre

statistique.

Maxwell et Boltzmann ont démontré que le nombre in de molécules d'énergie i E dans la

distribution la plus probable à la température T est :

35



kT

E

i

i

Aen−

=

(2.9) où k est la constante de Boltzmann et A est une constante qui dépend des propriétés du

système de molécules. La relation (2.9) est 1'expression mathématique de la loi de distribution

de Maxwell-Boltzmann qui se trouve à la base de la mécanique statistique classique.

Comme le montre la (fig.2.3) plus i E est élevée plus in est petit. Autrement dit plus

1'énergie d'un état est élevée moins il y a des molécules dans cet état. On dit encore que cet état est

moins populé. Un certain intérêt présente le rapport des populations des deux niveaux

énergétiques i E et j E .

kT

E

kT

E

kT

E

j

i e

Ae

Ae

n

n j

i

∆−

−

−

== (2.10)

D'après (2.10) les valeurs in et jn sont comparables si .kT E <<∆

5. Distribution des molécules dans un champ de forces. Loi de Boltzmann.

Dans le cas de molécules de l’air dans le champ de la pesanteur la relation (2.10) devient:

KT

mgh

enn−

= 0

(2.11)

où n et n0 respectivement est la concentration des molécules à la hauteur h et au niveau de la

mer (h=0), mgh est l'énergie potentielle d'une molécule à la hauteur h. La relation (2.11) est valable

pour tout champ des forces conservatives liées avec l'énergie potentielle U(x,y,z)=U( r ) par la

relation F= - gradU( r ) et alors la relation (2.11) donne:

( )( )

kT

r U

enr n −

= 0

où )(r n est la concentration des molécules dans 1'élément de volume ),( r d r r dV + où

l'énergie potentielle des molécules est )(r U (fig.2.4).

36



La probabilité )(r dP de localisation d'une molécule dans l'élément de volume),( r d r r dV + est déterminée par le rapport entre le nombre de molécules

),()()( r d r r dV r nr dN +⋅= se trouvant à l'intérieur de cet élément de volume et le nombre total

de molécules N

( )( ) ( ) ( )

N

r d r r dV r n

N

r dN r dP +⋅

==,

(2.13)

En substituant 1'équation (2.11) dans 1'équation (2.13) on obtient :

( )( )

( )r d r r dV e N

nr dP kT

r U +⋅=

−,0 (2.14)

Le rapport( )

( )

( )kT

r U

e N

n

r d r r dV

r dP

−=

+0

,

définit la densité de probabilité appelée encore fonction de distribution )(r f . Ainsi la

fonction de distribution des molécules dans un champ des forces conservatives est:

( )( )

kT

r U

e N nr f −= 0

Alors le nombre de molécules à l’intérieur de l’élément de volume ),( r d r r dV + est:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )r d r r dV enr d r r dV r f N r dP N r dN kT

r U

+⋅=+⋅=⋅=−

,, 0

La relation

( )( )

( )r d r r dV enr dN kT

r U

+⋅=−

,0,

où la relation (2.14) présente la distribution des molécules dans un champ des forces conservatives

(loi de Boltzmann). Cette loi établie une relation entre deux tendances : la tendance de mettre en

ordre les molécules sous 1'action des forces conservatives et la tendance de troubler cet ordre grâceà 1'agitation thermique des molécules.

6. Loi de Maxwell pour la distribution des énergies et des vitesses moléculaires.

Désignons par )( E dN le nombre de molécules dont 1'énergie est comprise dans

l’intervalle ),( dE E E + . Le rapport N E dN /)( est la probabilité )( E dP que 1'énergie d'une

molécule est comprise dans l’intervalle donné :

( )( ) ( )

( )dE E f

N

dE E n

N

E dN E dP === (2.15)

37



où )( E n est le nombre de molécules par unité d'intervalle énergétique considéré et( ) ( ) ( ) dE E dP N E n E f // == est la fonction de distribution des énergies moléculaires.

A partir de la loi de distribution de Maxwell-Boltzmann on peut montrer que la fonction )( E f est

donnée par 1'expression :

( )

( )

kT

E

e

kT

E E f

−⋅=

2/3

2

π

π (2.16)

En substituant (2.16) en (2.15) on obtient respectivement le nombre )( E dN de molécules

dont 1'énergie est comprise dans l'intervalle ),( dE E E + et la probabilité )( E dP que 1'énergie de

la molécule donnée est comprise dans cet intervalle:

( )( )

dE ekT

E N E dN kT

E

⋅⋅=−

2/3

2

π

π (2.17)

( )( )

dE ekT

E E dP kT

E

⋅⋅=−

2/3

2

π

π (2.18)

La relation (2.17) où (2.18) présentent la loi de Maxwell pour la distribution des énergiesmoléculaires dans un gaz parfait.

En utilisant les expressions :

vvv

d mdE m

E == ,2

2

et vv d dE

E dN mdE

dE

E dN E dN

)()()( ==

et l’équation (2.17) on peut obtenir le nombre )(vdN de molécules se déplaçant avec une

vitesse comprise entre v et vv d + , quelque soit la direction de leur mouvement

( ) vvv

v

d ekT

m N dN kT

m

⋅⋅⋅

=

−22

2/3 2

24

π

π (2.19)

C'est la loi de Maxwell pour la distribution des vitesses moléculaires.

La distribution (2.17) est la même pour tous les gaz à la même température tandis que la

distribution (2.19) est différente pour chaque gaz à cause de la présence de la masse moléculaire

. A

N M m =Les graphes des équations (2.17) et (2.19) à deux températures différentes pour les

molécules d'oxygène sont présentés dans la figure (2.5):

On voit : 1) pour chaque système moléculaire il y a une énergie P E et respectivement une

vitesse P v la plus probable ;

2) le nombre de molécules )(vdN est donné par l’aire hachurée dS ;

3) le nombre total de molécules N est donné par l’aire S sous la courbe dedistribution.

38



4) il y a peu de molécules se déplaçant à de grandes et petites vitesses. En utilisant

la relation (2.19) on peut calculer:

1) la vitesse la plus probablem

kT v P

2=

2) la vitesse moyennem

kT vm

π

8=

3) la vitesse quadratique moyennem

kT v mq

3. =

7. Travail et chaleur

Auparavant nous avons montré que la variation d'énergie propre (

int pr cE E U += ) d'un système de points matériels est égale au travail effectué sur le système par les

forces extérieures: ext AU = .

Cette relation donne l’échange d'énergie du système avec le milieu ambiant. Si le travail est

effectué sur le système ( 0>ext A ), l'énergie du système croît, mais si le travail est fourni par le

système ( 0< syst A ) son énergie décroît. Evidemment, .|||| syst ext A A =Souvent, par exemple dans le cas des machines thermiques, on préfère calculer le travail A

fourni par le système ( syst A A= ). Le travail A dans le cas d'un grand nombre de molécules est égal

à la somme des travaux de chaque molécule et alors le calcul de A pose de sérieuses difficultés.

Cependant le travail A peut être calculé de façon statistique. Considérons un gaz à 1'interieur d'un

cylindre avec un piston mobile (fig.2.6).

Dans ce cas: PdV PSdx FdxdA === , et le travail total est :

∫ =2

1

V

V

PdV A (2.20)

Donc, ce travail peut être calculé si on connaît la relation entre P et V .

Le graphe de l’équation (2.20) est présenté dans la (Fig.2.7). On voit que:

39



dS PdV dA == et alors:( ) ∫ ==→

2

1

12 12121

V

V

V V aa S PdV A

Le système peut arriver à 1'état finale 2 suivant différents trajets, mais le travail effectué

sera aussi différent:( ) ( ) .2121

ba A A →→ ≠

Ceci montre que le travail dépend du trajet suivi. Autrement dit le travail a dépend de la

nature de processus lors duquel le système passe de l’état1 à l’état 2:

1. P=const. (transformation isobarique)

( ) V P V V P PdV A

V

V

∆=−== ∫ 12

2

1

2. V=const. (transformation isochorique)

0)( =−= V V P A

3. T =const. (transformation isothermique)

1

2ln2

1

2

1V

V RT

M

mdV

MV

mRT PdV A

V

V

V

V === ∫ ∫

40



Le rapport 12 /V V est très important dans le cas de la construction des moteurs à combustion

interne.

Si le système dans un processus revient à son état initial on dit que le processus est cyclique.

Dans un diagramme P-V, un cycle est représenté par une courbe fermée (Fig.2.8).

Le travail fourni par le système au cours d’un cycle est :

( ) ( ) hachurecycle S V V bS V V aS PdV A =−==

∫ 121121

1212

Maintenant fixons le piston et approchons du cylindre, par exemple, une flamme (fig.2.9). On

observe une augmentation de la température et par conséquence une augmentation de 1'énergie

interne du gaz. Dans ce cas on produit un échange d'énergie entre le système et le monde extérieur sans

qu'on effectue le travail. L'énergie reçue ou bien fournie par le système sans qu'on effectue le travail

s'appelle chaleur Q absorbée ou bien fournie.

Evidemment que la chaleur n'est pas une nouvelle forme d'énergie. Ce n'est qu'un nom donné

à une forme de transport d'énergie ou de travail, auquel participent un très grand nombre de molécules.

Dans le système SI on exprime la chaleur en Joule parce que la chaleur correspond au travail.

8. Principe zéro de la thermodynamique

Considérons deux systèmes A et B en contact (en interaction). Si les énergies cinétiques

moyennes sont les mêmes il n'y a aucun échange d'énergie. Evidemment dans ce cas les températures

des systèmes sont les mêmes ( B A T T = ) et les systèmes A et B sont en équilibre thermique. Désignons

ceci par A∞B. Maintenant considérons trois systèmes en interaction A, B et C. L'expérience montre que si

A∞B et B∞C, alors A∞C. Ceci exprime le principe zéro de la thermodynamique ou le principe de la

transitivité des états d'équilibres thermiques. Conformément à ce principe tout système thermiquement

isolé après un certain temps arrive dans l’état d'équilibre thermique d'où il ne peut pas sortir soi même.

9. Premier principe de la thermodynamique

Supposons maintenant qu'on approche la flamme d'un cylindre dont le piston est mobile et

qu'une force extérieure effectue sur le système un travail mécanique (fig.2.10a).

Dans ce cas 1'augmentation d'énergie interne du système est:ext LQU U U +=−=∆ 12 (2.21)

41



Donc, la variation d'énergie interne du système est égale à la somme de la chaleur absorbée

et du travail fourni au système. C'est 1'énoncé du premier principe de la thermodynamique, qui n'est

autre que la loi de conservation de l’énergie appliquée aux systèmes ayant un grand nombre de molécules.

Tenant compte du fait que ext L L −= la relation (2.21) devient : U LQ ∆+= (2.22)

ce qui permet de dire que la chaleur absorbée par le système est égale à la somme d’augmentation d'énergie

interne et du travail effectué par le système (fig.2.10b).

On a montré que U ∆ ne dépend pas du trajet mais L en dépend, c'est pourquoi la chaleur Q

doit aussi dépendre du trajet, c'est-à-dire de processus :

1. Q=U , L=0 (transformation isochorique)

2. Q=L, ∆U=0 (transformation isothermique)

3. Q=P∆V+ ∆U (transformation isobarique)

D'après (2.22) Q L≤ , autrement dit il est impossible de construire une machine thermique qui

pourrait effectuer un travail plus grand que la chaleur reçue de l’extérieur. C’est ce qu’on appelle un

mouvement perpétuel de première espèce ; donc un mouvement perpétuel de première espèce est

impossible. C’est un autre énoncé du premier principal de la thermodynamique.

10. Capacité thermique. Chaleur spécifique molaire .

Capacité thermique d'un système s'appelle la grandeur physique [ ] ., K J C dT dQC SI

==

La chaleur spécifique est définie par la relation [ ] kgK J cmdT dQmC cSI

=== ,

où m est la masse du système (substance).

La chaleur spécifique molaire est[ ] molK J C

vdT

dQ

dT M

m

dQM cC SI ===⋅= ,

(2.23)

où M et v respectivement est la masse molaire et le nombre de moles.On a montré que la chaleur Q dépend du processus alors les chaleurs c et C dépendent aussi

du processus. Autrement dit il existe des chaleurs spécifiques associées à chaque processus.

Les chaleurs spécifiques les plus utilisées sont la chaleur spécifique molaire à volume

const. ( V C ) et la chaleur spécifique molaire à pression const. ( P C ) :

1. T Ri

vU Qconst V ∆=∆=⇒=2

, ou RdT i

vdU dQ2

== (2.24)

pour des transformations infinitésimales.

En introduisant 1'équation (2.24) dans l’équation (2.23) nous avons Ri

C V 2

= (2.25)

ce qui permet de conclure que tous les gaz parfait qui on le même nombre de degrés de libertés ontla même chaleur spécifique molaire.

2. dU RdT dU PdV dQU LQconst P +=+=⇒∆+=⇒= (2.26)

les relations (2.25) et (2.26) utilisées pour un mole ( 1=v ) donnent: RC C V P += (2.27)

relation de Mayer.

En combinant (2.25) et (2.26) on obtient: .2

2 R

iC P

+=

D'après (2.25) et (2.28) la chaleur spécifique molaire ne dépend pas de la température, ce

qui n'est pas confirmé parfaitement par 1'expérience (fig.2.11).

42



La contradiction entre la théorie classique et l’expérience est résolue par la théorie quantique

selon laquelle l’énergie des molécules change discrètement tandis qu’en physique classique

j’énergie des molécules peut changer continuellement.

11. Transformation adiabatique d'un gaz parfait

Une transformation est adiabatique si lors de celle-ci il n'y a pas d'échange de la chaleur entre le système et le monde extérieur, autrement dit si dQ=0.

D'après le premier principe de la thermodynamique pour une transformation adiabatique on

peut écrire :0=+⇒−=−= PdV dT C PdV dAdU V (2.29)

En différentiant 1'équation RT PV = on obtient: RdT VdP PdV =+ (2.30)

L'élimination de dT entre les relations (2.29) et (2.30) donne:

000 =+⇒=+⋅⇒=+⋅+

P

dP

V

dV

P

dP

V

dV

C

C

P

dP

V

dV

C

RC

V

P

V

V γ

Par intégration nous obtenons:

(2.31)

Le travail effectué par un gaz parfait durant une transformation adiabatique est:

( ) ( )

∫ ∫ −−

=−

−=

−−

=−−

⋅=⋅==−−

−2

1

2

11111

21121122

1

1

1

2

V

V

V

V

T T vRT T vRV P V P V V const dV V const PdV L

γ γ γ γ

γ γ

γ

où ( )21

2

1

T T vC dU L V

T

T

−=−= ∫ .

Un graphe de l’équation (2.31) est présenté dans la (Fig.2.12)

43

const pV V pV p P

P

V

V

P

P

P

P

V

V

P

P

V

V

P

dP

V

dV P

P

V

V

=⇒=⇒=

⇒

⇒=−=

⇒=+⇒=+ ∫ ∫

γ γ γ

γ

γ

γ γ

2211

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2 lnlnln0lnln02

1

2

1



On voit que durant une transformation adiabatique la pression diminue avec l’augmentation

du volume plus vite que dans une transformation isothermique. Autrement dit l’adiabate est plus

pentue que l’isotherme.

12. Transformation réversible et irréversibles

Considérons un ressort de longueur 0l en équilibre sous l’action d'un poids 0

P , comme on

indique dans la (fig. 2.13).

44



L'état initial d'équilibre du ressort est donné par le point représentatif A. Ajoutons au poids

0 P une très petite surcharge P ∆ qui allonge le ressort d'une petite longueur l ∆ . Par conséquence

l'état du ressort change de sorte que le point représentatif passe de A en M et après quelques

oscillations s'arrêtes-en N. En ajoutant progressivement de surcharge P ∆ on aboutisse à l'état final

B. Le point représentatif de l'état du ressort décrit les marches d’un escalier situé au-dessus de la

droite AB. On a tracé la droite AB parce que l’allongement est proportionnel au poids si celui-ci

n'est pas trop grand. Le travail ext A est égale à 1'aire de la surface comprise entre cet escalier, lesordonnées de A et B et 1'axe des abscisses.

Maintenant enlevons progressivement les surcharges AP jusqu'à ce que le système revient à

son état initial. Le point représentatif d'état du système décrit les marches d'un escalier situé au-

dessous de la droite AB. Le travail A effectué par le système est égal à 1'aire de la surface située au-

dessous de cet escalier. Le travail A est un peu plus petit que ext A . La différence de ces travaux est

présentée par la surface comprise entre les deux escaliers. A la limite quand 0→∆ P les deux

escaliers vont se confondre avec la droite AB et alors les travaux à aller et au retour seront égaux.

Donc, les opérations "aller" et "retour" sont les mêmes. Autrement dit ni dans le système, ni

dans le milieu extérieur aucun changement n'est produit. On dit que la transformation considérée est

réversible.En généralisant on conclut qu'une transformation est réversible si on peut produire cette

transformation en sens inverse en repassant par une série d'états qui diffèrent infiniment peu des

états par lesquels on a passé dans le sens direct. Autrement dit une transformation est réversible si

on peut produire cette transformation en sens inverse sans aucun changement dans le système ou

dans le milieu extérieur.

Dans une transformation réelle le système s'écarte considérablement de l'état d'équilibre et

alors un changement se produit dans le système ou dans le milieu extérieur. Par exemple, si dans

1'expérience de ci-dessous au poids 0 P on ajoute le poids P N P ∆=′ et puis on 1'enlève les

travaux ext A et A ne seront plus égaux. Il y aura une perte de travail mécanique:

;)( 00 l P l P l P P A A A ext ′=−′+=−=∆

parce qu’après avoir enlevé le poids P ′ , le poids 0 P remonte seule. Le changement qui se produit

est la perte de travail mécanique et la transformation n’est pas réversible, elle est irréversible.

De ce qui précède il s’en suit que dans la nature il n’existe pas de transformations

réversibles mais elles peuvent être considérées comme des cas limites des transformations réelles.

C’est pourquoi les transformations réversibles jouent un rôle important en thermodynamique.

13. Seconde principe de la thermodynamique

13.1 Seconde principe de la thermodynamique : énoncé de Kelvin.

Supposons que le système effectue un cycle et qu'il n'échange de chaleur qu’avec une seulesource. Le premier principe de la thermodynamique dans ce cas donné Q=A, car ∆U=0. Donc, le

système a produit du travail en empruntant de la chaleur au milieu monotherme extérieur. Cette

conclusion n'est pas incompatible avec le premier principe de la thermodynamique mais

l’expérience montre qu'une telle transformation est impossible. En effet, si on pouvait réaliser un

moteur aussi économique il permettrait à un navire de se déplacer simplement en empruntant de la

chaleur à 1'océan. C'est ce qu'on appelle mouvement perpétuel de seconde espèce.

Ainsi nous concluons qu'il est impossible de réaliser une machine thermique dans laquelle la

chaleur reçue complètement et transformée en travail mécanique, autrement dit il est impossible de

réaliser une machine thermique monotherme. C'est le premier énoncé du second principe de lathermodynamique donné par Kelvin (1850).

13.2 Cycle Carnot. Enoncé de Carnot et de Clausius du second principe dela thermodynamique.

45



Nous avons constaté qu'on ne peut pas faire marcher une machine thermique avec une seule

source de chaleur. Comme pour faire fonctionner une machine hydraulique, il faut une différence

des niveaux, de même pour faire marcher une machine thermique il faut une différence de

température, c'est-à-dire il faut disposer de deux sources de chaleur: la source chaude 1Q à la

température 1T et la source froide 2Q à la température 12 T T < .

La substance qui subit la transformation dans une machine thermique s'appelle corps de travail.

La transformation de la chaleur en travail et du travail en chaleur peut être réalisée en

utilisant un cycle à deux isothermes et à deux adiabates, appelée cycle de Carnot (Fig. 2.4). Pour

que le cycle soit réversible l’absorption et la transformation de la chaleur par le corps de travail

doivent être iso thermiques et les variations de la température entre la source chaude et la source

froide doivent être adiabatiques. Pour le rendement d’un cycle Carnot réversible on peut écrire

1/ Q A=η (2.32)

Le travail d’un cycle est :

( )211,4

2

3

423,2

1

1

212,1

1,44,33,22,1

ln

ln

T T vC A

QV

V vRT A

QV

V vRT A

A A A A A

V −−=

−=−=

==+++=

4

3

1

2

4411

3322

V

V

V

V

V P V P

V P V P =⇒

=

=

γ γ

γ γ

(2.34)

En substituant (2.34) et (2.33) en (2.32) pour le rendement d’un cycle Carnot irréversible

nous obtenons :

1

21

1

21

T

T T

Q

QQrev

−=

−=η

En réalité dans un cycle Carnot irréversible le corps de travail regete à la source froide la

chaleur 22 QQ >′ et pour le rendement d’un cycle Carnot irréversible on a :

46

(2.33)



1

21

1

'

21

T

T T

Q

QQirrev

−<

−=η

Ainsi donc, pour produire du travail ( )021 >−= QQ A , une machine thermique doit recevoir

de la chaleur de la source chaude et en céder une quantité plus petite à la source froide. Cet

énoncé, donné par Carnot, constitue une autre forme du second principe de la thermodynamique.

Le cycle Carnot direct (1→2→3→4→1) peut servir de modèle simple à une machine

thermique (flg.2.15a). Le cycle Carnot inverse (1→4→3→2→1) consomme du travail et permet

d'enlever la chaleur à la source froide. Ce cycle peut servir de modèle à une machine frigorifique

(fig.2.15b).

Le cycle Carnot inverse nous permet de dire que le passage de la chaleur d'un corps froid à

un corps chaud n'a jamais lieu sans dépense de travail. C'est la troisième forme du second principe

de la thermodynamique donné par Clausius.

13.3 Entropie

Nous avons montré que chaque état d'un système composé d'un grand nombre de molécules

est caractérisé par une certaine distribution ,...,, 21 nn où 1n est le nombre de molécules dont

1'énergie est 1 E , 2n - 1'énergie 2 E etc. Nous avons montré aussi qu’à cette distribution on peut attribuer une certaine probabilité P

et qu'en état d'équilibre thermique (statistique) la probabilité de la distribution ,...,, 21 nn est

maximale.

Considérons par exemple, un système composé par trois molécules 'a', 'b', 'c', qui peuvent

avoir les énergies 321 ,, E E E . Les états du système diffèrent seulement par le nombre de

molécules ayant les énergies 21, E E où 3 E . Les états énergétiques possibles du système sont

présentés dans la table :

N

Etat

énergétique

Microdistribution

moléculaire

Macrodistribution

moléculaire

Probabilité

mathématique

Probabilité

thermodynamique

1 E 2 E 3 E nl n2 n3 nl n2 n3 P W 1. abc - - 3 0 0 3 0 0 1/27 1

2. - abc - 0 3 0 0 3 0 1/27 1

47



3. - - abc 0 0 3 0 0 3 1/27 1

4. ab c - 2 1 0

2 1 0 3*1/27 35. ac b - 2 1 0

6. be a - 2 1 0

7. ab - c 2 0 1

2 0 1 3*1/27 38. ac - b 2 0 1

9. be - a 2 0 1… …

… …

… …

22. a b c 1 1 1

1 1 1

6*1/27 6

23. a c b 1 1 1

24. b a c 1 1 1

25. b c a 1 1 1

26. c a b 1 1 1

27 c b a 1 1 1

On constate que 27 états énergétiques sont possibles. Grâce à 1'agitation thermique tous les

27 états énergétiques du système sont possibles avec la même probabilité 27/11 == N ω , où27= N est le nombre total des états énergétiques possibles. Les molécules du système sont

indiscernables c'est pourquoi les états et respectivement les distributions 4, 5, 6; 7, 8, 9;... et 22-27

sont aussi indiscernables. Alors la probabilité des distributions 11 =n , 12 =n , 13 =n est

6⋅=ω P .

En généralisant on peut écrire : N W W P /==ω ou . PN W =

où W est le nombre de micro distribution qui réalisent la macro distribution donnée. La grandeur W s'appelle probabilité thermodynamique. La probabilité thermodynamique 1>>W , on a une

probabilité thermodynamique maximale (W =6), donc, cette distribution est la plus probable.D'après le principe zéro, de la thermodynamique tout système thermiquement isolé

)0( =∆Q tend vers l’état d'équilibre autrement dit tend vers l’état dont la probabilité

thermodynamique W de la distribution ,...,, 21 nn est maximale.

II est naturel d'admettre que la probabilité W de la distribution ,...,, 21 nn pour l’état donné

du système est liée avec une grandeur physique du système qui caractérise statistiquement cet état.

Cette grandeur physique très importante s'appelle entropie. L'entropie, désignée par S , est définie

par:W k S ln=

où k est constante de Boltzmann.

Le concept d'entropie a été inventé par Boltzmann pour qu’on puisse formuler quantitativement le second principe de la thermodynamique. D'après la définition, l’entropie est une

fonction d'état du système et par conséquent la variation d'entropie d'un système d'un état à un autre

ne dépend pas du trajet suivi. On peut montrer qu'au cours d'une transformation réversible, la

variation infinitésimal d'entropie est donnée par:T dQS =∆ (2.35)

Alors, la variation d'entropie quand le système passe de l’état (1) à l’étal (2) au moyenne

d'une transformation réversible est:

∫ =∆2

1

/T dQS

∆S>0 si le système absorbe de la chaleur et ∆S<0 s'il en rejette, puisque T toujours est

positive.

Si la transformation réversible est adiabatique (système thermiquement isolé) 0=dQ et

alors l’équation (2.35) devient:

48



const S dS =⇒= 0

d'où le résultat suivant: les transformations adiabatiques réversible se font à entropie

constante.

Si la transformation d'un système thermiquement isolé ( 0=dQ ) est irréversible, alors,

d'après ce que nous avons montré dans ce paragraphe le système tend vers l’état dont la probabilité

de la distribution ,...,, 21 nn et par conséquent l’entropie est maximale, c'est-à-dire dans une

transformation irréversible l’entropie s'accroît. En généralisant nous pouvons conclure: lestransformation les plus probables qui peuvent se produire dans un système thermiquement isolé

sont celles dans lesquelles l’entropie s’accroît où reste constante: S≥0 (2.36)

C'est l’énoncé du second principe de la thermodynamique et la relation (2.36) c'est son

expression mathématique. La relation (2.36) a un sens statistique, parce qu’à cause des fluctuations

de la distribution moléculaire l’entropie d'un système isolé peut décroître, c'est-à-dire il peut que

dans certaines intervalles dt de temps 0<∆S , mais la tendance générale est 0>∆S . Le graphe de

la variation d'entropie au cours de l’évolution d'un système est présenté dans la fig. 2.16.

14. Phénomènes de transports

INTRODUCTION

Un système composé d'un grand nombre de molécules est appelé homogène si les propriétés

physiques du système (n- concentration, T- température, v - vitesse de molécules) et sa

composition sont les mêmes en tout endroit du système. Si ces conditions ne sont pas satisfaites, le

système est dit non homogène. Dans un système non homogène sur l’agitation thermique des

molécules se superpose un mouvement ordonné qui détermine un transport de matière, d'énergie ou

de quantité de mouvement à 1'échelle macroscopique. Ces processus irréversibles qui caractérisent

l’évolution du système vers l’état d’équilibre s'appellent phénomènes de transports. Nous

discuterons seulement trois phénomènes de transports: La diffusion des molécules, la conduction de

la chaleur et la viscosité . On peut montrer que dans le cas le plus simple tous ces phénomènes sont

décrits par une même équation de forme:222 // xat ∂∂⋅=∂∂ ξ ξ

où ξ est une grandeur correspondant au phénomène donné (ξ= n;T;V) et a est une constante.

Caractéristique pour chaque phénomène (a=D, k, η est le coefficient de diffusion, de conductibilité

thermique et le coefficient de viscosité).

14.1. Diffusion moléculaire. La loi de Fick

Si on ouvre par exemple, une bouteille de parfum après un certain temps on peut le sentir partout à

l’intérieur d'une chambre fermée. On dit que les molécules du liquide, après s’être évaporées,

diffusent à travers l’air en se répandant partout. On peut conclure que la diffusion c’est unprocessus de l’égalisation de la concentration des molécules du système dans tout le volume de

celui-ci. L'expérience montre que la diffusion a lieu dans la direction des concentrations

décroissantes. Donc, la concentration n'est pas une fonction de la seule coordonnée x: n(x). On

49



appelle densité de courent de molécules n J nombre de molécules qui traversent par une unité de

temps une surface unité placé perpendiculairement à la direction de diffusion.Sdt dN J n =

Expérimentalement on constate que: xn D J n ∂∂−= / (2.37)

L'équation (2.37) est appelée loi de Fick , ou D est le coefficient de diffusion et xn ∂∂ / est

le gradient de concentration. Le signe moins indique que le courant de particules (le flux) est dans la

direction des n décroissants. Nous considérons le cas le plus simple de la diffusion d'une substance

à travers elle-même ou à travers d'une autre substance dont les molécules sont par définition fixes.

Le surplus des molécules dN à 1'intérieur d'un élément de volume, orienté parallèlement à la

direction de diffusion (fig.2.17) est:

( )Sdt J J dN dN dN nn 2121−=−= (2.38)

où 1dN et 2dN respectivement est le nombre de molécules entrant et sortant de l’élément de

volume dans le temps dt . D'autre part le surplus dN peut être présenté comme le surplus de la

concentration dn multiplié par le volume Sdx dnSdx DN = (2.39)

L'équation (2.38) et l'équation (2.39) donnent:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) x Jnt ndxt ndx x Jn

dxdt dndJndxdt dn J J

dt dt dnSdxSdt J J

nn

nn

∂−∂=∂∂⇒∂∂=∂∂

⇒⋅=−⇒−−−

⇒⋅=−

////

//

/

12

21

(2.40)

En dérivent l'équation (2.37) par rapport à x et en substituant le résultat obtenu dans

l'équation (2.40) on a: )/(/ 22 xn Dt n ∂∂=∂∂ .

14.2. Conduction de la chaleur. La loi de Fourier

Si 1'énergie moyenne des molécules est différente en différents endroits de la substance,c'est-à-dire si la température n'est pas homogène un flux d'énergie apparaît dans la direction des

températures décroissantes. Donc, la conduction de la chaleur ou bien la convection thermique est

définie comme un transport d'énergie dû à la différence de température ∆T . Dans les gaz et

approximativement dans les liquides la conduction thermique est due aux chocs entre les molécules

rapides et les molécules lentes. Dans les solides le mécanisme de conduction thermique est plus

compliqué. Dans les solides la conduction thermique c'est un transport d'énergie vibrationnelle des

atomes autour de leurs positions d'équilibre. Dans les métaux, cependant,les électrons libres se

comportent comme les molécules d'un gaz. Les électrons dans les métaux diffusent en transportant

de 1'énergie par collision avec les autres électrons et avec les atomes de la région plus froide. On

définit la densité du courant d'énergie E J de la même manière que la densité du courant

moléculaire n J :.Sdt dE J E

=

50



Expérimentalement on constate que la densité du courant d'énergie est donnée par une

relation similaire à celle de n J :

dxdT k J E −= (2.40)

où k est appelé conductibilité thermique, dT/dx est le gradient de température. Le signe moins

indique que le courant d'énergie est dans la direction de température décroissante. La relation (2.40)

est connue sous le nom de la loi de Fourier. En procédant de la même manière que dans le cas de la

diffusion on peut obtenir 1'équation de la conduction thermique:( ) 22 /// xT ck t T ∂∂⋅=∂∂ ρ ,

où ρ est la densité de la substance et c est la chaleur spécifique de la substance.

14.3. Viscosité

La notion de viscosité a été déjà introduite dans la dynamique des fluides. La viscosité

apparaît dans un fluide si en plus de l’agitation thermique il y a un mouvement de tout le fluide,

c'est-à-dire il y a un courant de convection. Par exemple, un courant d'air ou de l’eau dans un tuyau.

Dans ce cas au voisinage des parois la convection est faible tandis que dans la région central de

tuyau le convection est rapide (fig.2.18).

Désignons par yv la vitesse de convection dirigée suivant l’axe Y . Evidement que yv

diminue au fur et à mesure qu’on s'éloigne du centre du tueau suivant l’axe X . Autrement dit il y a

un gradient de vitesse de convection x y ∂∂ /v qui produit une augmentation de la quantité de

mouvement à droit d'une surface S et une diminution à gauche. L'expérience montre que la densité

du courant de la quantité de mouvement est:

x J

y

p ∂

∂−=

vη (2.41)

L'expression (2.41) est similaire à la loi de Fick pour la diffusion et à la loi de Fourier pour

la conduction de la chaleur. La constante η est le coefficient de viscosité qui s'exprime en11 −−kgsm .

Le signe moins indique que le transport de la quantité de mouvement a lieu dans la direction de

vitesses décroissantes. En utilisant la définition de p J on peut donner un autre sens physique à la

densité de courant de la quantité de mouvement à travers la surface S :S dt dP Sdt dP J p 1)( ⋅==

(2.42)

D'un autre coté dP/dt=F et la relation (2.42) devient:S F J p /=

où F sont des forces égaux et opposées qui s'exercent sur les couches de fluide d’une coté à l’autre

de la surface S . Ces forces parfois sont appelées forces de frottement intérieur entre les couches dufluide. On obtient alors que la densité du courent de convection est égale à la force de frottement

51



entre les couches par unité de surface. Analogiquement comme dans les cas de la diffusion et de la

conduction thermique on peut obtenir l’équation de la viscosité:

∂

∂=

∂

∂2

2

x

P

t

P y y

ρ

η ,

où ρ est la densité de la substance.

14.4. Notions sur la théorie du phénomène de transport.

Nous considérerons d'un point de vue moléculaire les phénomènes de transport dans les gaz

parfaits. A cause de collisions entre les molécules, le trajet d'une molécule c'est un zigzag

(fig. 2.19):

Pour décrire les phénomènes de transport on introduit trois notions: le libre parcours moyen,

la fréquence de collision et la section efficace de collision. Pour simplifier, admettons que les

molécules agissent comme des boules de billard. Alors une molécule en mouvement heurte toutes

les molécules se trouvant à une distance inférieure à 2r où r est le rayon de la molécule (fig.2.20).

La distance d=2r s'appelle rayon efficace. La surface 22 4 r d π π σ == s'appelle section

efficace. Considérons un cylindre de volume md V v2π = , où mv est la vitesse moyenne des

molécules, alors pour le nombre Z de chocs par seconde on peut écrire:

mnd nV Z v2π == (2.43)

où n'est pas la concentration des molécules. La relation (2.43) est correcte tant que l’on considère

les molécules B comme immobiles et seulement la molécule A est en mouvement. Cependant les

molécules B sont en mouvement aussi. On peut montrer que dans ce cas la relation (2.43) doit être

multipliée par 2 :

mdn Z v⋅= π 2

On appelle libre parcours la distance parcourue par une molécule entre deux chocs

successifs. La distance moyenne dont se déplace une molécule entre deux chocs successifs est le

libre parcours moyen:

nd Z mm 22

1/

π λ ==v

52



Si les dimensions du récipient sont inférieures à mλ on a l’état du vide relatif. Les trois

phénomènes de transport que nous avons étudiés sont dus à l’agitation thermique et peuvent être

obtenues à partir du modèle moléculaire. Considérons par exemple, la diffusion moléculaire. Pour

simplifié supposons que:

1. Le système est composé d’une seule sorte de molécules.

2. Le gradient de concentration est constant3. Toute molécule à la même vitesse mv

4. Tout direction est équiprobable.

Alors dans la direction x se déplacent 1/6N molécules et dans le sens contraire aussi 1/6N molécules, où N est le nombre totale de molécules. Alors, pour le nombre de molécules qui

traversent l’unité de surface S par unité de temps de gauche à droit et de droit à gauche

respectivement on a :

11 6/1 n N = mv et 226/1 n N = mv

d’où la densité du courant de molécules est :

( ) ( ) mn nn N N J v2121 6/1 −=−= (2.44)

D’après la fig. 2.21 xnnnnn xn mm ∆∆−=−⇒−=∆∆ /22// 2112 λ λ (2.45)

En substituant l’équation (2.45) dans l’équation (2.44) on obtient :

( ) xn J mmn ∆∆⋅−= /3/1 vλ , ou ( ) xn J mmn ∂∂⋅−= /3/1 vλ (2.46)

En comparent l’équation (2.46) avec la loi de Fick, on obtient l’expression pour le

coefficient de diffusion:

mm D vλ 3/1= (2.47)

Pour les coefficients de conductibilité thermique et de viscosité respectivement on

obtient:

V mm C K ρ λ v3/1= et ρ λ η mmv3/1=

(2.48)

où ρ est la densité de la substance et V C est la chaleur spécifique au volume constant. Les

expressions (2.48) et (2.47) montrent l’étroite relation entre les trois phénomènes de transport. Les

coefficients D, k et η peuvent être considérés comme coefficients de diffusion des molécules, de

température et de vitesse. C’est pourquoi la théorie considérée correspond à ce que l’on peut appeler

l’approximation de la diffusion. En réalité il faut tenir compte de certains facteurs supplémentaires,

par exemple, des forces intermoléculaires qui conduisent à des relations plus compliquées pour

D, k et η.

15. Gaz réels

15.1. Les forces intermoléculaires et l’énergie des molécules d'un gaz réel

53



Comme nous avons montré le gaz parfait ( cermol propre E E F V === ,0,0.int ) sont décrits par

la relation:

PV=RT (2.49)

Les gaz réels aux pressions et températures faibles sont encore décrits par la relation (2.49).

Cependant aux pressions et températures élevées les grandeurs propreV et .int ermol F ne peuvent pas

être plus négligés et l’équation (2.49) doit être modifié. Le graphe des forces intermoléculaires en

fonction de la distance r entre les molécules est présenté dans la fig. 2.22.

Lorsque r est grand, la force d’attraction est pratiquement négligeable. C'est le cas d'un gaz

parfait. Lorsque la distance des deux molécules diminue une force d’attraction se manifeste el sa

grandeur est proportionnelle à 2/1 r . Si r continue à diminuer, la force passe par un maximum,

diminue, s’annule puis devient une force répulsive. Considérons l’énergie d'un système composé

par deux molécules: la molécule 1 immobile et la molécule 2 mobile qui se trouve à l’infini et qui

s'approche de la molécule 1. Dans ce cas l’énergie du système est:∞∞∞ =+= C C P E E E E , car 0=∞

P E

A mesure que la molécule 2 s'approche de la 1 grâce à la force d’attraction C E augmente et P E

diminue, cependant l’énergie totale doit restée toujours constante.

∞∞∞ =+= C C P E E E E

L'énergie potentielle d’interaction passe par un minimum pour 0r r = . Si la molécule 2 continue

son mouvement vers, 1 les forces de répulsion augmentent brusquement et alors l’énergie

54



potentielle aussi augmente brusquement, s'annule puis lorsque la molécule 2 s'arrête devient:∞=+= C C P

arrete E E E E , car 0=arrete

C E

La distance minimale d’entre les centres de deux molécules dans le processus de collision

s'appelle diamètre effectif . Alors, on peut conclure que plus l’énergie de collision est grande plus le

diamètre effectif est petit. La relation entre les grandeurs min p E et kT détermine l’état d'agrégation

de la substance:1. kT E p <<min , l’énergie kT ne permet pas aux molécules qu'elles s'approchent à la

distance 0r et la substance est en état gazeux.

2. kT E p >>min , grâce aux forces d'attraction les molécules se trouvent en état d'équilibre à

la distance 0r les unes des l’autres. La substance est en état solide.

3. kT E p ~min , grâce à l’agitation thermique les molécules changent de place cependant ne

s’éloignent pas aux grandes distances. La substance est en état liquide.

15.2. Equation d’état d'un gaz réel. Réseau des isothermes du Van-der-Waals.

Comme nous avons montré dans le cas de gaz réel on ne peut plus négliger les forcesintermoléculaires et le volume propre des molécules. C’est pourquoi l’équation PV=RT (2.49), ne

décrit plus l’état des gaz réels puisqu’ elle ne tient compte de .int ermol F et de propreV . Autrement

dit l’équation (2.49) doit être corrigée. La première correction à l'équation de gaz parfait (2.49) est

de soustraire le volume propreV du volume V du récipient. I1 faut donc remplacer V par (V -

propreV ). L’effet de forces intermoléculaires se manifeste par la production d'une pression

auxiliaire P ′ et alors la pression résultante du gaz sera )( P P ′+ . Tenant compte de ces

corrections l’équation (2.49) pour les gaz réels devient:

RT V V P P propre =−′+ ))(( (2.50)

L'équation (2.50) est appelée équation de Van-der-Waals. Evidemment que propreV dans

l’équation (2.50) est donné par b N V A propre ⋅= , où b est une constante proportionnelle au volumed’une molécule. Les calculs montrent la pression auxiliaire P ′ est donnée par la relation:

V

a P =′

où a est une constante de proportionnalité, alors pour l’équation (2.50) on peut écrire :

( ) RT bV V

a P =−

+ (2.51)

où RT M

m

Mb

mV

V

a

M

m P =

−

⋅

+

2

2

pour une quantité quelconque de gaz.

Les constantes a et b ont été déterminées pour de nombreux gaz. Les graphes de l’équation

(2.50) pour quelques températures sont présentés dans la fig.2.23

55



L’équation (2.50) étant de troisième degré par rapport au volume V pour les températuresC T T < à chaque pression il lui correspond trois racines, c’est-à-dire trois volumes 321 ,, V V V .

15.3. Réseaux des isothermes expérimentales.

Considérons un gaz réel enfermé dans un cylindre muni d'un piston permettant de faire

varier la pression. La température est ordinaire (+20°C) (fig.2.24).

Pour les faibles pressions la courbe 11, A A ′ , est un arc d'hyperbole qui correspond à la loi

de

56



Boyl-Mariotte. Si on continue à comprimer le gaz, il arrive un moment (le point 1 A ) où

apparaissent des gouttes de liquide: il y a liquéfaction du gaz. L'état de gaz est en équilibre avec

l’état liquide. Au fur et à mesure qu'on diminue le volume on observe que le liquide apparaît de plus

en plus, mais la pression reste constante. La pression 1 P est la pression de vapeur saturé à la

température 1T . Dans le point B, la liquéfaction est complète, c'est-à-dire il y a seulement l’état

liquide. Les liquides sont très peu compressibles c'est pourquoi il faut une forte augmentation de

pression pour diminuer très peu leurs volumes et alors la courbe 11, B B ′ est presque une droite

verticale. La courbe 11, A A ′ , 11, B B ′ est une isotherme expérimentale d'un gaz réel. Si on

commence à augmenter le volume, alors en 1 B le liquide se transforme en gaz. Il y a vaporisation.

Si on répète la même expérience pour une température 12 T T > , on obtient un palier

1122 B A B A < et d'ordonnée plus élevée. Le palier disparaît pour une certaine température C T

qu'on appelle température critique du gaz. Le point C est le point critique du gaz. Pour C T T >

on n'observe le phénomène de la liquéfaction. Les paramètres C C C T V P ,, , déterminent ce qu'on

appelle l’état critique. Dans l’état critique la différence entre l’état liquide et gazeux disparaît

(même volume, même chaleur spécifique, la tension superficielle s'annule). Les extrémités 1 A et

1 B ;

2 A et 2 B etc. des paliers se situent sur une courbe qu'on appelle courbe de saturation. Une

courbe de saturation c'est le lieu géométrique des poins d’équilibres entre deux phases de lamême substance. En comparant les isothermes théoriques de Van-der-Waals avec les isothermes

expérimentales on voit que l’équation de Van-der-Waals décrit les gaz réels seulement

approximativement. Les portions de l’isotherme D B1 et 1 EA peuvent être réalisées

expérimentalement. Cependant ces états sont instables.

La portion DE ne peut pas être réalisée parce que dans cette région l’augmentation du

volume est accompagnée par une augmentation de la pression ce qu'il est impossible en réalité. La

courbe de saturation et l’isotherme critique devisent l’espace P, V en trois régions: liquide,

liquide-gaz et gaz (fig.2.25).

57



16. Notions sur les transitions des phases.

L’état d’équilibre d’une substance différent d’un autre état d’équilibre de la même substance

s’appelle phase. Une phase d’une substance ce n’est pas état d’agrégation. Par exemple, le carbone

peut exister dans le même état d’agrégation solide en deux phases : le graphite et le diamant. La

transformation de la substance d’une phase à une autre s’appelle transition de phase. Pour étudier

l’influence de la température sur les phénomènes des transitions de phases, il faut passer des

coordonnées P,V aux coordonnées P,T , parce que à chaque pression de la substance en état

d’équilibre il lui correspond une température bien déterminée et au contraire. Les transitions de

phases peuvent être présentés graphiquement à l’aide de diagramme d’état. Un diagramme d’état

est composé par quelques courbes d’équilibre (Fig.2.26).L’expérience montre que les trois phases solides, liquides et gazeuses coexistent en équilibre

dans un seul point appelé point triple. C’est le point d’intersection des courbes d’équilibre de

fusion, de vaporisation et de sublimation. Les coordonnées du point triple sont déterminées et

uniques pour un corps pur donné. La courbe de fusion s’étend vers l’infini, la courbe d sublimation

s’étend jusqu’à zéro absolu et la courbe de vaporisation aboutit au point critique.

La fig. 2.26 montre que alors qu’il est possible de passer de façon continue (sans qu’on

intersecté la courbe de vaporisation) de l’état gazeux à l’état liquide ( B A ⇔ ) il est impossible de

passer sans discontinuité de l’état liquide à l’état solide. Ceci s’explique par l’existence du point

critique C et encore par le fait que la différence entre l’état liquide et l’état gazeux est purement

quantitative (viscosité, densité diffèrent etc.). Les transitions de phases suivies par une absorption

ou un dégagement d’énergie sont appelées transitions de phases de première espèce (la fusion, lasolidification, la vaporisation). La quantité de la chaleur dégagée ou bien absorbée lors d’une

transition de phase de première espèce est :

V dT

dP T Q ∆

=∆ (2.52)

La relation (2.52) est appelée équation de Clapeyron-Clausius, où Q∆ est la chaleur de

transition, T est la température de transition et V ∆ est la variation de volume lors de la transition.

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