acoustique present 5 - langer67.free.fr

Philippe Nika Professeur Univ. Franche-Comté_ Acoustique

115

5. Acoustique en milieu fini ACOUSTIQUE DU BATIMENT :

ISOLATION ET TRAITEMENT SONORES

5.1 Généralités Propagation sonore en espace clos

5.1.1 Introduction

Nous avons étudié la propagation du bruit en espace libre et en présence d’obstacles. Nous

parlerons maintenant de diffusion sonore en espace clos faisant intervenir l’isolation et le

traitement acoustiques : c’est le problème plus général de l’ « acoustique » du bâtiment ou de

l’acoustique architecturale.

L’isolation acoustique concerne la réduction de la transmission solidienne du bruit au

travers une paroi homogène ou composite. Le cas le plus fréquemment rencontré est l’isolation

d’un local par rapport à un autre espace clos ou par rapport à l’existence d’une source sonore

extérieure .

Nota : Cet aspect touche non seulement l’isolation acoustique entre les appartements mais

aussi l’intrusion des bruits extérieurs à travers l’enveloppe de l’immeubles, ou encore les

bruits générés par la plomberie, les systèmes de ventilation et de climatisation.

Il ne faut pas confondre l’isolation acoustique (insonorisation) et le traitement acoustique

qui concerne l’amélioration de la qualité acoustique d’un local.


116

5.1.2 transmission, réflexion et absorption du bruit

Quand une onde sonore incidente d’énergie Ei rencontre une cloison liée à un mur porteur, une

partie Er est réfléchie dans le plan incident, une partie Et est transmise directement à travers la

cloison, une partie Ea est absorbée pour être transformée en chaleur à l’intérieur de la cloison, et,

enfin, une dernière partie Ef est constituée de « fuites » latérales et parasites se transmettant

dans les structures du bâtiment pour resurgir plus loin.

Loc. 1

Loc. 2

EiEr

Et

EfEf Ea

Figure 5.1 : Transmissions, réflexion et absorption sonores.

Le bilan énergétique acoustique montre aisément que :

Ei = Er + Ea + Et + Ef (5.1)

La proportion d’énergie réfléchie est le facteur de réflexion η qui dépend de l’impédance

présentée par la paroi, elle même fonction de la fréquence et des propriétés acoustiques du matériau

de cette paroi :

η = Er/Ei (5.2)

La proportion d’énergie transmise directement est le facteur de transmission τ qui dépend

de la fréquence du son, de la masse de la paroi (par m2 de surface de celle-ci) et de ses propriétés

mécaniques, notamment ses modes propres vibratoires :


117

τ = Et/Ei (5.3)

Remarque :

- Le but de l’isolation acoustique est de limiter les transmissions directe (Et) et latérale (Ef).

- Le but du traitement ou de la correction acoustique est d’augmenter l’absorption (Ea), et

donc de limiter les réflexions (Er) ;

5.1.3 Réfraction et réflexion d’une onde. Effets de sol et de plafond

La figure suivante présente le schéma général de propagation sonore au passage du dioptre plan air-solide . A la surface de séparation, le rayon de propagation subit une double réfraction et une réflexion dans le plan d’incidence. Dés lors que l’incidence avoisine 90 °, le milieu solide peut de plus donner une propagation d’ondes de surface ou artificielles (ondes de Rayleigh et déphasage 180° du rayon réfléchi). Pour la réflexion, tout se passe comme s’il existait une seconde source (source image) de manière symétrique à la surface du mur et un nouveau front d’onde est réalisé.

Figure 5.2 : Réflexion spéculaire et double réfraction.

Source sonore

Source image

Air

Solide

i i

Réflexion

Ondes réfractée

Onde superficiellDioptre


118

Figure 5.3 : Modes de réflexion des ondes sonores

Réflexions successives sur les parois d’une salle :

Pour un local parallélépipédique, on retrouvera au moins 6 sources images, dite du 1ier ordre. Elles

ont à leur tour d’autres sources images par rapport aux surfaces réfléchissantes du local. . L’étude

des chemins de propagation et des sources images est très importante pour l’implantation

des bâtiments et la pose d’écrans antibruits.

M

S


119

* A incidence oblique non rasante (i < 90°), la description des effets de sol et de plafond durs

peu absorbants (béton, par exemple) par une réflexion spéculaire comme provenant d’une source

image sans perte d’énergie (atténuation atmosphérique faible) est suffisante dans un grand

nombre de cas pratiques.

* Par contre, un sol absorbant herbeux ou poreux est considéré comme un milieu dissipatif

de par la partie réfractée du rayon se produisant au dioptre. La connaissance de l’effet de sol est

donc indispensable pour les calculs d’acoustique prévisionnelle extérieure.

5.1.4 Diffraction du son au voisinage d’un obstacle de dimension limitée

Lorsqu’une onde rencontre un obstacle, elle peut le « contourner » au lieu de réaliser une ombre ou

un faisceau net. La diffraction est le changement de direction de propagation des ondes

sonores dû à leur passage autour d’un obstacle ou à travers une ouverture .

Figure 5.4 : Exemple d’une diffraction d’un front d’onde par écran.

Rayon réfléchi

S

Ecran d’épaisseur e

Rayon difracté

Rayon direct

M

Fronts d’onde de longueur d’onde λ


120

Cas d’un écran mince ou épais :

Dans certaines conditions, le rayon sonore direct est diffracté par le bord de l’écran de telle

sorte que l’on obtient une atténuation moindre du niveau sonore au point d’observation M

(Figure 5.4).

àLe calcul de la diffraction acoustique analogue à celui fait en optique utilise la construction de

d’Huyghens-Fresnel déjà utilisée pour la réfraction

àLa diffraction dépend du rapport des dimensions de l’obstacle (ou de l’ouverture) et des

longueurs d’onde .

Exemple : Une porte de 1 mètre de large est une petite ouverture par rapport à λ = 20

mètres. Un son de fréquence aussi basse sera très diffracté en passant par la porte. Le son

émergeant sera diffusé à peu près dans toutes les directions. Par contre, une fréquence

possédant une longueur d’onde λ = 2 centimètres (donc f = 19000 Hz) sera transmise à

travers la porte pratiquement sans diffraction en faisceau étroit.

Les signaux comportant une gamme très large de fréquences seront donc diffractés

sélectivement puisque les basses fréquences divergeront énormément .


121

5.2 Acoustique en espace fini, champs direct et diffus : traitement

acoustique des locaux

5.2.1 Conditions générales de propagation en espace clos

Il est maintenant évident qu’une paroi peut absorber ou réfléchir plus ou moins les bruits

incidents. Dans un local ayant des parois réfléchissantes, on peut entendre plusieurs fois un son

(écho) si bien que le niveau de bruit est amplifié par rapport à un local pour lequel les parois

seraient absorbantes.

Les surfaces d’un local et surtout leurs performances d’absorption conditionnant la qualité

d’audition en espace clos vont donc jouer un rôle prépondérant dans la propagation sonore.

L’équation générale de propagation est toujours applicable dans un local fermé, mais les conditions

aux limites sont beaucoup plus nombreuses qu’en espace libre . Ceci a plusieurs conséquences

pratiques importantes :

- Quand l’émission sonore cesse, les ondes déjà émises n’ont pas fini leurs trajets plus ou

moins longs et le niveau acoustique en chaque point du volume va décroître plus ou moins

lentement : c’est le phénomène de réverbération ;

- L’existence de formes géométriques simples, telles que des parois parallèles, favorise

l’établissement d’ondes stationnaires gênantes dans les petites salles, dont les fréquences

propres dépendent des dimensions de la salle ;

- Le niveau sonore dans un volume clos dépend non seulement de la puissance acoustique de la

source (extérieure ou intérieure), mais aussi de l’absorption intérieure et de la géométrie.


122

5.2.2 Approche statistique du champ diffus

5.2.2.1 Le temps de réverbération TR60 d’un local fermé

Comme signalé, dans un local donné, l'auditeur entend encore un son pendant quelques instants

après coupure de l’émission sonore : ce temps est appelé « durée ou temps de réverbération

TR ». La décroissance sonore résulte de l’aptitude des parois d’un local à absorber l’énergie

acoustique pour la convertir en chaleur.

Le phénomène de réverbération dépend de la fréquence du son et de la nature des

matériaux des parois.

Si les parois sont réfléchissantes, le temps de réverbération sera long, alors que si elles

sont absorbantes, il sera court.

On peut caractériser la réverbération d’une salle par :

- la mesure et le calcul du temps de réverbération TR60 ;

- le calcul de la constante d’absorption acoustique R de la salle ;

Considérons une source sonore au sein d’un local fermé comme sur la figure

A0

A1

A2

A3


123

Figure 5.5 : Schéma du parcours d’une onde acoustique en fonction

de ses réflexions sur les parois d’une pièce

La distance moyenne « d » parcourue par l’onde après n réflexions s’exprime par :

nAnAnAAAAOA

d1....32211 −++++

=

Le temps moyen entre deux réflexions est alors :

cd

='τ (5.4)

c étant la célérité de l’onde

Le libre parcours moyen d’un son diffus, dans une salle de volume V et de surface intérieure

totale S, est donné par (théorie statistique non démontrée ici) :

SV

d4

=

Soit avec (5.4) une estimation du temps entre les deux réflexions :

ScV4

' =τ (5.5)

àLa fraction d’énergie absorbée Ea par les parois est une fraction α de l’énergie

réverbérée incidente ER ( α est le coefficient d’absorption du local )

dSc

EdEdES

aRa αε

α ∫=⇒=4

(5.6)

Sc

ER 4ε

= (expression de l’énergie rayonnée qui sera démontrée par la suite éq. 5.29)

ε est la densité d’énergie volumique dans le local

Finalement en posant :

AdSS

=∫α aire d’absorption du local (5.7)


124

On obtient « l’énergie absorbée par seconde » Ra IAAc

E ==4

ε (5.8)

Ce résultat est très important et logique , l’énergie absorbée chaque seconde par un local est

proportionnelle à sa surface équivalente d’absorption A !

Avec l’éq. 5.7 ,on définit un coefficient d’absorption moyen du local par :

∑

∑=i

ii

S

Sαα donc on a : SA α= (5.9)

Etude de la décroissance temporelle du son dans un local :

Effectuons le bilan d’énergie pour un local de volume V avec présence d’une source de puissance

donnée E (Watt) :

Bilan d’énergie ( et éq. 5.8) : ( ) ( )

RR

aR cA

dtVd

Edt

VdE ε

εε4

+=+= (5.11)

La solution de cette équation donne la densité volumique d’énergie :

−=

−=

−−τεt

tV

Ac

R ecA

Ee

cAE

14

14 4 (5.12)

avec τ la constante de temps du local (à comparer à 5.5 ou A tient la place de S ) :

cA

V4=τ

(5.13)


125

Il y a donc au départ une montée exponentielle de l’intensité acoustique dans le temps ( due aux

réflexions multiples) de forme :

−=

−τt

R eAE

I 1 (5.14)

Puis une décroissance exponentielle de l’énergie dans le temps quand la source est arrêtée (cas E=0

, décroissance depuis Emax=E/A)

τt

R eEI−

= max (5.15)

On définit le temps de réverbération comme celui au bout duquel l’énergie est le millionième de

sa valeur initiale E = E0 10-6 soit en niveau de pression après une décroissance de 10*6 *log 10

= 60 dB

Figure 5.6 : diagramme de décroissance de l’énergie acoustique

10logE

t

Décroissance linéaire

E/A

IR

t

τt

eAE −

−

−τt

eAE

1


126

L’étude de la réverbération de salle consiste à mesurer le temps correspondant à une décroissance

de 60 dB(A) du niveau sonore produit par une source après coupure de l’émission sonore (voir

figure 5.7) : ce temps de réverbération normalisé est appelé TR60.

Plus la salle est réverbérante, plus cette décroissance est longue .

Importance du temps de réverbération

Figure 5.8 : Temps de réverbérations dans des locaux divers

Nota : calcul simplifié du TR60 de Sabine

A partir de la loi (5.15) que l’on réécrit sous la forme du rapport :

τ

τ

τ t

tt

t

ee

eII ∆

∆+−

−

==2

1 (5.16)

on évalue la valeur de temps ∆t pour avoir : 10log(I1/I2) = 60

soit : ∆t/τ = ln(I1/I2)= 2,3 log (I1/I2) = 2,3 x 6 = 13,8

avec τ (eq. 5.13) ∆t60= 13,8 τ = 13,8 . 4V/(A c) = 0,16 V/A pour c= 345,4 m/s


127

Sabine : A

VTR

16,060 =

Tr

t

L p

p o

Tr

p o 1000

t

(en Pa) p

L p o

L p o - 60 dB

Mesure du temps de réverbération Tr

Figure 5.7 : Phénomène de réverbération : mise en évidence du TR60.

En pratique, la mesure est difficilement réalisable puisqu’il faut que, d’une part, le bruit de fond

ne dépasse pas 40 dB (A) et que , d’autre part, le son diffusé soit supérieur à 40+60 = 110

dB(A).

En général, on effectue la mesure pour une atténuation de 30 dB et on multiplie le temps par 2.

Modèles de TR60 plus exacts

Tous calculs faits (théorie Eyring) et en fonction du coefficient moyen d’absorption des parois,

notée α__

, on peut exprimer le TR60 via la relation suivante :

α−

=__

1LnS

V161,060TR (5.17)


128

Cette formule peut être simplifiée sous la forme de la formule du physicien britannique Edward

Sabine (1788-1883) en prenant le premier terme α__

du développement limité de Taylor du

logarithme népérien Ln (1 - α__

) ; soit :

A

V16,0

S

V16,060TR

__=

α= (5.18)

où A représente l’aire d’absorption équivalente de la salle : α= SA

Remarques :

La formulation de Sabine ne sera utilisée que pour des α__

inférieurs à 0,3, sinon la relation

5.17 est requise (rappel : α>α=+α

++α

+α=α− S

n2

n2)1(Ln KK ).

Dans l’expression 5.17, 5.18 , α__

est la moyenne arithmétique des coefficients d’absorptions α i des

divers éléments de surface Si de l’aire intérieure totale S ; soit :

∑

∑

=

=α

=α 6

1ii

6

1iii__

S

S (α i Si étant une unité d’absorption) (5.19)

D’autres relations empiriques donnant le temps de réverbération sont disponibles ; en particulier la

relation de Sette-Millington :

∑∑

α−

=

α−

=i

0 ii

i

0 ii 1

1logS

V07,0

11

LnS

V16,060TR (5.20)


129

Le TR60 est à déterminer par bande de fréquence (octave, tiers d’octave, etc…) car il varie

tout le long du spectre audible de par la sensibilité des coefficients d’absorption à la

fréquence.

En absence de précision, on mesurera le TR60 pour la fréquence centrale du filtre de 1000

Hz.

On constate que plus une salle sera réverbérante, plus le niveau sonore Lp dans cette salle sera

élevé.

A titre d’exemple, les temps de réverbération ont les ordres de grandeur suivants :

- Pièce meublée ou vide : 0,5 s ou 2 à 5 s

- Salle de concert : 0,8 à 1,5 s suivant volume

- Gymnase : 2 à 5 s suivant volume

- Grand hall (salle réverbérante) : 8 à 12 s

-> Le corps humain est un excellent absorbant ( A=0,5 unité d’absorption par personne). Il

peut changer le temps de réverbération et l’acoustique d’une salle si des précautions ne sont pas

prises. Certaines salles de conférence sont équipées de sièges qui, une fois repliés, présentent une

capacité d’absorption proche de celle d’une personne.


130

àL’index d’intelligibilité de la parole (STI) correspond au temps de réverbération mesuré

sur les 10 premiers dB de décroissance. Sa donnée est importante dans les cas où l’intelligibilité

est nécessaire car les auditeurs semblent très sensibles à cette valeur.

Il est facile de voir que, dans la première salle, le discours sera peu intelligible, car chaque

phonème sera peu différent en niveau sonore du phonème précédent (rapport signal sur bruit trop

faible, rappelons qu'il doit être supérieur à 10 dB pour l’oreille humaine ).

à La constante d’absorption R de la salle est définie par :

____

__

11 αα

α

−=

−=

ASR (5.21)

àDans le cas de locaux à parois réfléchissantes 1<<α et R ≅ A

Nota :

* La constante d’absorption R tend vers l’infini en présence d’un local présentant des parois très

absorbantes. Dans ces conditions, le champ sonore diffus n’existe pas et la décroissance, comme

en champ libre, est voisine de 6 dB par doublement de la distance à la source.


131

* Un local ne doit pas être trop absorbant, car il faudra élever la voix pour communiquer, la

sonorisation sera difficile et l’intelligibilité ne sera pas optimale.

5.2.2.2 Mesure du coefficient d’absorption « Sabine » α i

Le coefficient d’absorption « Sabine » α i est le résultat d’une mesure en laboratoire sur un

échantillon de 10 à 12 m2 placé dans une salle réverbérante conformément à la norme

NF S 31-003.

En simplifiant, on peut décrire la procédure comme suit :

- on mesure le TR60 de la salle avec la maquette ;

- on mesure le TR60 de la salle vide ;

- la comparaison des calculs (équations du TR60) donne le coefficient d’absorption « Sabine » α i

du matériau testé ;

- les valeurs sont mesurées à différentes fréquences entre 100 et 5000 Hz ;

- le résultat est une courbe α i = f (Hz) : on obtient le spectre d’absorption du matériau.

Figure 5.10 : Spectre d’absorption du coefficient d’absorption « Sabine » α i.

dB

dB

α i

s s Hz

TR60 de la salle avec la maquette TR60 de la

salle vide Spectre d’absorption

Matériau calculé

60 dB

TR60 TR60

60 dB


132

Plus le α i est grand, plus le matériau est absorbant : le maximum théorique est 1. Néanmoins, la

mesure en laboratoire peut donner des valeurs de α i supérieures à 1 : c’est parfois le cas des

profilés nervurés dont la surface développée est supérieure à la surface projetée prise en compte

dans la mesure.

5.2.2.3 Systèmes de correction acoustique pour le traitement de la salle

Les systèmes de correction acoustique doivent être choisis en fonction de leurs performances

d’absorption :

- L’absorption des basses fréquences (< 500 Hz) s’obtient par effet de membrane provenant

d’éléments flexibles très minces et tendus capables de vibrer (comme les surfaces plastiques, les

diaphragmes, les peaux de tambour, les tôles métalliques) ;

- L’absorption des fréquences moyennes (500 à 1000 Hz) s’obtient par effet de résonateur

donnant un maximum d’absorption sur leur fréquence de résonance (profilés perforés,

absorbeurs sélectifs dont les qualités d’absorption varient avec le taux de perforation) ;

- L’absorption des fréquences aiguës (> 2000 Hz) s’obtient par des produits poreux ou

fibreux (laine minérale dense, feutre, par exemple), dont les qualités d’absorption dépendent de

la masse volumique, de la porosité et de la résistance à l’écoulement continu de l’air dans ce

produit.

En combinant de façon optimale des systèmes utilisant ces trois techniques, il est possible

d’obtenir des spectres d’absorption « Sabine » bien adaptés. On emploie souvent des plaques

perforées placées sur un matériau poreux. L’addition d’un lame d’air entre la face arrière du

produit poreux et la paroi dure accroît l’absorption dans les fréquences basses. Si la plaque est très

perforée, l’absorption est celle du produit poreux seul. L’addition d’une feuille mince sur un produit


133

fibreux augmente par résonance de diaphragme l’absorption en basse fréquence, mais la diminue

dans les aigus.

5.2.2.4 Conditions d’emploi des traitements

En général, il est conseillé de prévoir une correction acoustique au moins en plafond (ou en

toiture) et sur deux parois verticales adjacentes. L’absorption du plafond sera d’autant plus

efficace que celui-ci sera plus bas, ou abaissé et le garnir à 100 % de la surface n’est pas nécessaire.

à La présence d’un espace d’air entre le plafond et l’absorbant accroît l’absorption dans

les fréquences basses.

à En présence de parois verticales parallèles assez éloignées, il est conseillé de traiter

tous les murs pour éviter des phénomènes d’écho.

Dans les établissements culturels (salle de conférence, par exemple), parallèlement au choix du

temps de réverbération global ajusté à l’aide de systèmes acoustiques absorbants, il faudra choisir

les emplacements de ces derniers de façon à conserver les réflexions utiles et éliminer les

nuisibles.

à Une réflexion, arrivant après l’onde directe, devient nuisible dés qu’elle possède un

retard de 35 ms ; elle est donc à éviter et on placera des absorbants à l’endroit où cette

réflexion se produit.


134

à De plus, les parois et les plafonds seront orientés de manière à créer des retards très courts

générant des réflexions utiles. On évitera du même coup la création d’ondes stationnaires

gênantes et les échos francs.

Cas des revêtements très absorbants : chambre sourde

Une chambre sourde est un laboratoire acoustique dans lequel on cherche à éviter toute réflexion

sonore , comme dans l’espace libre, soit dans toutes les directions, sol compris, soit seulement dans

le demi-espace au-dessus d’un sol dur (salle semi-anéchoïque).

La technique utilisée est l’emploi de dièdres, coins ou « dents de dragon » taillés dans la fibre

de verre ou des mousses plastiques. La forme des coins, la hauteur totale et la densité des

matériaux sont les éléments essentiels pour choisir un revêtement efficace. Un vide d’air laissé à

l’arrière entre les talons des coins et la paroi améliore l’absorption aux basses fréquences par

effet de résonateur à col étroit.


135

5.2.3 Ondes stationnaires. Fréquence propre de salle fermée

5.2.3.1 Ondes stationnaires et interférences

Lorsque deux ondes de même amplitude et de même longueur d’onde voyagent dans des directions

opposées (ondes source et réfléchie à incidence normale), elles peuvent se combiner ou

interférer pour former une onde stationnaire qui ne semble pas se propager. (Une onde

incidente touchant une paroi peu absorbante sous attaque normale est réfléchie et après

réflexion dans le plan d’incidence voit sa forme inversée).

Les effets d’interférences dépendent de la différence de phase des ondes en chaque point de

l’espace. Si deux ondes atteignant un point donné passent par leur amplitude maximale en

même temps, elles sont en phase et interfèrent de façon constructive. Si l’amplitude de l’une

coïncide avec un minimum de l’autre, elles sont déphasées d’un demi-longueur d’onde et

interfèrent de manière destructive. Dans ces conditions, on dit que les ondes sont exactement

en opposition de phase

A la suite de réflexions sur des surfaces parallèles, on observe, en particulier dans le domaine

des basses fréquences, des points fixes de pressions maximales, appelés ventres, et de

pressions minimales, appelés nœuds. Ce phénomène sonore, particulièrement gênant dans les

petites salles, se produit pour la longueur d’onde λ d’un son est égale à une dimension de la

pièce et pour les sous -multiples de λ (λ /4, λ/2).

Les salles destinées à l’écoute sont étudiées en évitant les surfaces parallèles et l’on choisit des

dimensions de salle L x l x h ayant des rapports de nombres entiers .

.


136

Ondes stationnaires résonnantes

En raison de surfaces parallèles réfléchissantes et des dimensions L, l et h, une salle

parallélépipédique fermée favorise l’apparition et la combinaison d’ondes stationnaires résonnantes

unidimensionnelles, bidimensionnelles ou tridimensionnelles à certaines fréquences propres du local

calculées par l’expression suivante :

2

2

2

2

2

2

2),,(

hr

lq

Lpc

rqpf ++= avec p, q, r = 1, 2, 3, 4, … (5.22)

Figure 5.11 : Illustration de l’établissement d’une onde stationnaire dans une dimension,

développement de ses harmoniques


137

Exemple d’un spectre de fréquence d’une salle

Les fréquences pratiques observables sont extrêmement nombreuses. Chaque groupe de valeurs

entières des constantes p, q et r définit une onde stationnaire résonnante, appelée harmonique

de rang (p, q, r).

Le nombre de fréquence comprise entre une valeur f et ∆f vaut :

fc

Vfn ∆= 3

24π (5.23)

En deçà d’une certaine fréquence limite flim, la pression acoustique varie beaucoup d’un point à

l’autre de la salle, en raison de l’existence des ondes stationnaires résonnantes ; au delà, elle varie

moins. Cette fréquence limite est donnée par l’équation suivante :

VcTR

fπ8,8)60( 3

lim = (5.24)

p

f

f1 f2 f3

f limite


138

Figure 5.12 : Fréquences caractéristiques et limite d’un local

Cas des tuyaux

* Pour un tube fermé au deux bouts et ne comportant qu’une onde axiale, comme il vibre en λ/2

Lpc

pf2

)0,0,( = (5.25)

* Pour un tube fermé ouvert qui vibre en λ/4 :

Lpcc

pf4

)0,0,( ==λ

(5.26)

Figure 5.13 :

Onde de pression dans un tube fermé-fermé Onde de pression dans un tube fermé-ouvert

λ/2 λ/4


139

5.2.4 Champ acoustique en milieu fini avec source intérieure

5.2.4.1 calcul du Niveau sonore intérieur réverbéré .

Commençons par calculer la densité d’énergie présente dans le cas d’un champ diffus.

L’énergie émise par un élément de volumique dV constitué d’un tore de révolution de rayon

r sinθ sur une surface dS , vu sous un angle solide d Ω est :

∫∫Ω

=π

ε4

dVddER (5.27)

avec :

drrdrdV θθπ sin2= (5.28)

et d’après (1.56) relation de calcul de l’angle solide :

22

cos.'r

dSrdS

dθ

==Ω

rdθ

r

dr rsinθ

dS

dθ θ

rdθ

dr


140

∫∫∫∫ === drddS

rdrdSrdr

dER 2cossin

4cossin2

2

θθθεπ

θθθπε

d’ou 4

cossin24

2

00

dScddr

dSdE

c

Rε

θθθε

π

∫∫ == (5.29)

Pour les bornes d’intégrale, on suppose qu’en 1 seconde le son parcourt la distance r = c

On constate donc que l’intensité du champ réverbéré devient :

4c

dSdE

I RR

ε== (5.30)

L’intensité mesurée en champ réverbéré 4c

I Rε

= est le quart de l’intensité mesurée

en champ direct cID ε= pour la même densité d’énergie . Le niveau de pression pdL en

champ diffus n’est donc plus égal au niveau d’intensité dIL comme en champ direct mais

comporte une différence de 64log10 = dB

Idpdd

ddd LLcIcp =⇒== εερ 2

02

dBLLcIcp rIpr

Rrrr 642

02 +=⇒== εερ (5.31)

5.2.4.2 Calcul des niveaux acoustique dans la salle

On considère en régime permanent une source sonore de puissance W dans un volume fermé V,

caractérisé par le coefficient d’absorption moyen α__

de ses parois. Le niveau d’énergie obtenu

à l’équilibre dépend de l’absorption totale et de W, donc du nombre de réflexions c/d, (d

étant le libre parcours moyen évoqué précédemment) qui se produit sur les parois dans l’unité de

temps (on néglige l’absorption due à l’air).


141

Si le local est grand, la diffusion sonore ne peut pas être parfaite, il faut tenir compte de l’intensité

acoustique du son direct du champ libre entre la source et le point d’observation à distance r

ainsi que du champ diffus créé par les réflexions.

La pression acoustique p en un point intérieur du volume, à distance r de la source, est due à

la somme de ces deux intensités (portées par des ondes progressives de fréquences différentes) :

222rd ppp += (5.32)

(nota si l’on additionne 2 ondes de même fréquence et en phase on a : 21 ppptot += )

La source étant directive de coefficient de directivité Q (voir chapitre précédent) dans la direction

choisie, l’ intensité du champ direct s’exprime par :

22 440

2

r

QWcp

r

QWId d

πρ

π=⇒= (5.33)

D’autre part d’après la valeur de l’énergie absorbée (eq. 5.8) et la théorie simplifiée de Sabine :

AW

Ir = (5.34)

La pression acoustique du champ sonore diffus s’écrit :

AWcc

Iccp Rrr 44 0

20

20

2 ρρερ === (5.35)

En fait dans un modèle plus précis de réverbération avec les hypothèses de Eyring :

rVnWW εαα += (5.36)


142

relation qui exprime que la puissance totale de la source est la somme de la puissance perdue au cours

de la première réflexion et de la puissance dissipée au cours des n réflexions suivantes (soit n= c/d

et d=4V/S )

On extrait :

( ) ( )V

WScV

VnW

r αα

αα

ε−

=−

=141

(5.37)

soit :

( )R

cWW

Sccp rr

41400

20

2 ρα

αρερ =

−== (5.38)

puis :

( )

RW

SWc

I rr =

−==

ααε 1

4 ( au lieu de W/A) (5.39)

R étant la constante d’absorption de la salle. (voir éq 5.21)

En conclusion nous avons les niveaux de pression :

* Champ direct :

QdBrLL Wpd log1011log20 +−−= (5.40)

* Champ diffus :

dBRLL Wpr 6log10 +−= (5.41)

* Pour le champ global :

( )

+=

−+=+=

RrQ

cWSr

QcWppp rd

44

144 22

222

πρ

αα

πρ (5.42)

En raison de la définition des niveaux de pression la sommation d’énergie est aussi traduite par :


143

+= 1010 1010log10

prpd LL

pL (5.43)

Depuis 5.42 nous trouvons ainsi l’intensité acoustique totale dans un espace clos :

+=

RrQ

WI4

4 2π (5.44)

On obtiendra ainsi le niveau de pression acoustique Lp dans le local compte tenu du niveau de

puissance de la source Lw :

5.42->

++=

RrQ

LwLp4

4log10 2π

(5.45)

Le coefficient Q doit être pris égal à 1 pour une source isotrope au milieu de l’espace, 2

pour une source au milieu d’un mur, 4 pour une source au milieu d’un dièdre et 8 si elle est

au fond d’un trièdre.

La distance ou rayon critique depuis la source entre les champs sonores direct et diffus

est donnée par :

RrQ

pp dr4

4 20

22 ≈⇒≈π

soit 50160

QRQRr ≈=

π (5.46)


144

L’abaque de la figure 5.14 ci dessous permet d’atteindre les niveaux de pression acoustique Lp

dans le local dans lequel on a disposé une source sonore de niveau de puissance acoustique Lw

connu.

Figure 5.14 : Abaque de calcul des Lp à partir de Lw.


145

5.3 Problème des locaux couplés ( champ réverbérés stationnaires)

5.3.1 Présentation du problème

Figure 5. :.Caractéristiques des locaux couplés en champ réverbéré stationnaire

Dans le local 1 se trouve la source de puissance acoustique, le local 2 est considéré comme un

récepteur ( il n’a pas de source propre) . V1 et V2 sont les volumes respectifs et A1 , A2 les aires

équivalentes d’absorption.

Dans les définitions, les aires d’absorption A1 et A2 font abstraction de la surface commune Sc

Nous supposons que dans chaque salle, le champ est considéré comme diffus

Pour le local de volume V1 :

Energie absorbée par les parois : 4/11 cA ε

Energie transmise à travers Sc : 4/1cScε

Energie reçue de V2 : 4/2cScε

Pour le local de volume V2 :

Energie absorbée par les parois : 4/22 cA ε

Sc

V1,A1,ε1 V2,A2,ε2

Scε1c/4

Scε2c/4


146

Energie transmise à travers Sc : 4/2cScε

Energie reçue de V1 : 4/1cScε

Les bilans d’énergie en régime permanent sont donc :

4442111

1cScScAE cc εεε −+= puissance de la source (5.47)

4440 1222 cScScA cc εεε −+= (5.48)

On posera pour simplifier :

cSAA += 111 et cSAA += 222 (5.49_5.50)

la résolution du système pour les densités d’énergie donne :

22211

221

1

4

cSAA

AcE

−

=ε (5.51)

et 22211

1

2

4

c

c

SAA

ScE

−

=ε (5.52)

On en déduit que l’affaiblissement entre les deux locaux est :

cpP S

AccLL 22

2

12

201

2021 log10log10log10log10 ==−=−

εε

ερερ (5.53)

Si on avait considéré l’ensemble des 2 locaux comme un seul on aurait :


147

21

14

AAcE

+

=ε (5.54)

Si on introduit maintenant deux coefficients de couplages définis par :

11

1 ASk c= et

222 A

Sk c= (5.55)

On peut calculer les rapports comparatifs :

221

211

AkAAA

++

=εε

(5.56)

et 221

212

/ AkAAA+

+=

εε

(5.57)

Affaiblissement l’éq. 5.53 étant alors :

21

2 k=εε

--> 22

121 log10log10 kLL pP −==−

εε

Conclusions :

Tout se passe comme si l’absorption pour la salle source (A1+A2) était changé en

(A1 +k2 A2) et en (A2 +A1/k2) pour la salle réceptrice c’est à dire que seule la fraction k2

de l ‘absorption A2 intervient ; la section de couplage Sc revêt donc une importance primordiale

dans le couplage des deux locaux puisque 22

2 ASk c=

* si A2 >> Sc, 22

2 )( AS

SASk c

c

c →→+=

et l’absorption de la salle 1 est voisine de A1 + Sc

* si A2 << Sc, 1)( 22 →→+=

c

cSA

Sk

et l’absorption de la salle 1 est voisine de A1 + A2


148

On parlera d’une absorption apparente ou équivalente pour le local 1

)( 2

212211

c

capp SA

SAAAkAA ++=+=

Les Intensités réverbérées dans chacun des deux locaux couplés sont finalement :

221

11 AkA

EI R +

= et 112

11

2121

12 / AkA

EkSAAAA

EI

cR +

=++

= (5.58 / 5.59)

5.3.2 Source acoustique équivalente pour le local 2

Vu du coté du local récepteur, il peut être commode de modéliser la présence de E1 comme une

source équivalente E2 placée dans le volume V2 et qui donnerait le même effet acoustique

.

Partant de 5.57 : 122 εε k= (5.60)

avec (5.51, 5.52 ) :

221

11 4

1AkA

cE+

=ε et 112

22 4

1AkA

cE+

=ε (5.61_5.62)

d’ou par combinaison on trouve simplement : 112 EkE = (5.63)

On peut donc généraliser les résultats si chacune des salles contient une source E1 et E2

respectivement, on pourra considérer, grâce aux coefficients de couplage et au calcul de la source

équivalente que les intensités sont :

221

2211 AkA

EkEI R +

+= et

112

1122 AkA

EkEI R +

+=


149

5.3.3 Dans le cas ou Sc est fermée par une paroi de facteur de transmission τ

La démarche est la même que précédemment mais dans les équations de départ il faut remplacer

Sc par τSc

et

22

2 ASk cτ= (5.64)

avec cSAA τ+= 111 et cSAA τ+= 222

Figure 5. paroi de transmission τ entre deux locaux

La différence des niveaux acoustique entre les deux locaux devient :

22

12

201

2021 log10log10log10log10 kccLL pP −==−=−

εε

ερερ

maintenant : )( 22

c

cSA

Sk ττ

+=

221

11 4

1AkA

cE+

=ε et 122 εε k=

Sc V1,A1,ε1

V2,A2,ε2

τScε1c/4

τScε2c/


150

221

11 AkA

EI R +

= et 221

122 AkA

EkI R +

=


151

5.4 Emission ou rayonnement d’un local vers l’extérieur

Une autre application de la relation 122 εε k= apparaît dans la transmission du bruit dans l’environnement . On désire par exemple déterminer le niveau sonore en un point P extérieur à un local qui contient une source omnidirectionnelle placée en M.

Figure 5. Emission vers l’extérieur d’un local « diffus » La source sera supposée assez éloignée de l’ouverture de manière à négliger les composantes directes du champ acoustique, seul le champ réverbéré intervient en Sc. La puissance qui sort par l’ouverture est : (hypothèse faibles longueurs d’onde)

1111

11 4/ Ek

AES

cSE ccs === ε (5.65)

Sc

V1,A1,ε1

θ2

θ1

r

d

M

P

Sc V1,A1,ε1

θ2

M

P d


152

Figure 5. ; Emission à répartition spatiale HR (θ2) vers l’extérieur d’un local La pression rayonnée au point P situé à la distance d et voyant l’orifice sous l’inclinaison θ2 avec une source « sphérique » Es=k1E1 placée en sortie est :

( )2211

022 4

θπ

ρ RHdEk

cp

= (5.66)

HR (θ2) représente la fonction de directivité globale de la source ( Voir §1.5.5 et calcul annexe) Le calcul théorique montre ensuite que la valeur moyenne spatiale vaut :

( ) 22 cos4 θθ =RH (5.67) La démonstration fait appelle au principe de réciprocité c’est à dire que l’on calcule l’énergie qui

serait émise par le point P et qui rentrerait dans la pièce. sous l’angle solide π42Ω si on plaçait la

source E1 en P. Finalement le niveau de pression en extérieur est donné par la relation :

( ) ( ) ( )2122211

022 coslog105log20cos4

4θθθ

πρ kdBdLL

dEk

cp Wp +−−=⇒

= (5.68)

avec 1

1 ASS

kc

c

+=


153

5.5 Régime transitoire sonore dans les salles couplées 5.5.1 Position du problème Les équations de conservation d’énergie 5.47 et 5.48 sont réecrites en régime transitoire :

44421111

11cScScA

dtd

VE cc εεεε−++=

4440 122222

cScScAdt

dV cc εεεε

−++=

Intéressons nous à la période de décroissance du son ( arrêt de E1 ):

( ) 04 2111

11 =−+ εε

εcSA

cdtd

V

( ) 04 1222

22 =−+ εε

εcSA

cdt

dV

sachant que : cSAA += 111 et cSAA += 222 Le système est résolu en posant :

τεεt

e−

= 011 et τεεt

e−

= 022 On obtient en substituant :

044 0201

111 =−

− εε

τ cScV

Ac

044 0102

222 =−

− εε

τ cScV

Ac

Une solution non identiquement nulle est possible si le déterminant est nul soit :

0)4

(44

2111

111 =−

−

− cS

cVA

cVA

cττ

Pour simplifier l’écriture, posons encore :

21kkk =


154

défini à partir des coefficients de couplage déjà utilisés : 11

1 ASk c= et

222 A

Sk c=

Posons aussi :

cAV

11

111

4=τ et

cAV

22

222

4=τ

Ce sont les constantes de temps des salles indépendamment l’une de l’autre

Le déterminant devient alors : 011 22211 =−

−

− kτ

ττ

τ

Les solutions en 1/τ de cette équation sont :

( ) ( )2211

221122

22112211

2,1 2

41ττ

τττττττ

k−+±+=

Ce qui donne comme solutions du système des densités d’énergie :

( ) ththtt

eeeet 2121121112111

−−−−+=+= εεεεε ττ

( ) ththtt

eeeet 2121222122212


les 4 énergies 21221211 ,,, εεεε ne peuvent être déterminées qu’à partir des conditions initiales au temps t = 0, qui doivent être compatibles avec les relations en régime permanent. Les coefficients h sont les inverses des constantes de temps τ : h = 1/ τ soit :

( )

−−±= 2

0

22112

021

111,

hhhk

hhh

avec :

1

11

1111 4

1V

cAh ==

τ

2

22

2222 4

1V

cAh ==

τ

22211

0

hhh

+=


155


156

5.5.2 Détermination de 21221211 ,,, εεεε Source E1 dans la salle 1, pas de source E2 = 0 salle 2

Soit des conditions initiales : 00

2

1

1

0

1 =

−=

== tt dtd

VE

dtd εε

et [ ] 10121101 εεεε =+==t [ ] 102222102 εεεε kt =+==

en notant : ( )211

110 1

4kcA

E−

=ε 10220 εε k=

Les calculs amènent :

−

−=

21

1

22

1

111

1

hhh

h

VE

ε et

−

−=

12

2

22

1

112

1

hhh

h

VE

ε toujours positifs

( )10212

221 εε k

hhh−

= et ( )10221

122 εε k

hhh−

= de signes opposés

5.5.3 Conclusions Temps de réverbération entre les deux salles couplées * CAS 2211 ττ > ou 2211 hh <

1h 11h 0h 22h 2h

( ) ththtt

eeeet 2121121112111


• la fonction the 1− décroît moins vite que the 21− la salle source perd moins vite son énergie et en transfère une partie à l’autre salle ce qui augmente TR2

• La salle source V1 perd moins vite son énergie, du fait du couplage, son TR1 croit la

constante de temps passe de la valeur 11τ à 1τ


157

* CAS 2211 ττ < ou 2211 hh <

2h 22h 0h 11h 1h

( ) ththtt

eeeet 2121121112111


• la fonction the 1− décroît plus vite que the 21− la salle source perd plus vite son énergie que la salle 2 tout en transférant une partie de son énergie à l’autre salle au début , puis il y a inversion du transfert entre les salles. ( les courbes de décroissance se coupent )

• La salle source V1 voit son TR1 croître par injection de l’énergie de la salle 2 • Le TR2 de la salle 2 est augmenté lui aussi e raison du transfert initial 1->2

* CAS 2211 ττ ≈ ou 02211 hhh ≈≈

( )khhh ±= 1, 021

1011 21

εεk−

= et 1012 21

εεk+

=

( )1021 21

εεkk−

−= et ( )1022 21

εεkk+

−=

t0 tE

Local 1

Local 2


158

il vient : ( ) thet 0101

−= εε La décroissance de la salle source reste la même que sans couplage , ainsi le temps de réverbération de la salle source est le même que lorsqu’elle est isolée :

1

116,011

AV

TRTR isolécouplé ==

salle réceptrice :

( ) ( )( ) ( )( )[ ]tkhktkhkk

eee

kk

eek

kt thtkhthtkhth

0020

2 111122

12

1 00000 +++−−>−

++

−=

−−−−

εε

( ) ( ) thhh etht 0

02002,12 1lim −→ += εε avec 10220 εε k=

Le TR2 se calcule ainsi : -60= 10 log(1+h0 TR2 ) + (10/ln10) h0 TR2 comme isoléTRh 2/8,131

00 == τ

(voir 5.16 10log(I1/I2) = 60 soit ∆t/τ = ln(I1/I2)= 2,3 log (I1/I2) = 2,3 x 6 = 13,8 )

La résolution numérique amène : isolécouplé TRTR 221,12 =


159

5.6 Tour d’horizon Propagation sonore en espace clos Nous avons donc vu que trois approches sont possibles :

* l’approche modale qui s’appuie sur le fait qu’il est possible de décomposer une situation

acoustique complexe en une somme de situations simples. Avec pour conséquence connue pour un

local où une qualité sonore est recherchée, il faudrait avoir des dimensions (H,L,l) aussi peu

différentes que possible, et en aucun cas multiples et sous-multiples simples (nombres entiers ou

nombres fractionnaires d'unités faibles :2/3,3/4,4/5...)

* l’approche géométrique qui est basée sur l'équivalence de la réflexion des ondes sonores et des

ondes lumineuses. Cette loi permet de détecter certains défauts majeurs (focalisation, écho...) et a

pour conséquence de faire apparaître des sources virtuelles.

* l’approche statistique qui suppose le champ sonore homogène (diffus)dans le local, ce qui n'est

vérifié que lorsque celui-ci n'est pas trop absorbant, et que le son est établi (période transitoire, ou

d'attaque exclue). Dans ce cas on constate près de la source une décroissance du son lorsqu'on

s'éloigne de celle-ci (en général sur une distance relativement courte).Cette décroissance est la même

qu'en champ libre (6 dB par doublement de la distance).On dit alors que nous sommes dans le

champ direct . Inversement loin de la source, le niveau sonore est assez constant. On dit alors que

l'on est dans le champ réverbéré .

En résumé, si le local a respecté la loi des dimensions (loi modale),et que sa forme est

correctement étudiée (loi géométrique )pour renforcer (ou atténuer)les ondes sonores aux

endroits qui nous intéressent, il nous faut ensuite disposer des matériaux absorbants (loi

statistique)en certains endroits pour éviter :

-soit une décroissance trop longue du son

-soit un niveau trop fort dans le champ réverbéré.

C'est cette dernière partie que l'on appelle "correction acoustique"d'une salle.


160

Figure 5.15 : Tracé géométrique de propagation de rayons

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