Objectif : Utiliser la fonction dérivée pour déterminer les variations d’une fonction.

Situation : Un éleveur fait appel à une société de travaux publics pour creuser un bassin au centre d’une de ces parcelles de forme carrée. La mesure du côté de la parcelle est de 30 mètres.Les conditions d’implantation du bassin dans la parcelle font que :- une distance de sécurité d, en m, doit être instaurée autour du bassin ;- la profondeur du bassin est égale à la distance de sécurité d ;- la distance de sécurité d doit être au moins égale à 2 m ;- la profondeur du bassin d ne peut dépasser 8 m ;Ce qui se traduit par 2 ≤ d ≤ 8.

Pour quelle valeur de d le volume du bassin sera maximal sur la parcelle considérée ?

I. Le volume du bassin est fonction de d.

1. Soit C la mesure en mètre du côté du bassin et d la distance de sécurité en mètre autour de ce dernier. Exprimer C en fonction de d.

2. Montrer que l’aire S (en m2) du bassin s’exprime : S = 4d 2 −120d + 900

3. En déduire que le volume V (en m3) du bassin s’exprime : V = 4d 3 −120d 2 + 900d

II. Etude de fonction

Soit f la fonction définie pour tout x de l’intervalle [ 0 ; 20 ] par : f (x) = 4x3 −120x2 + 900x1. A l’aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant :

x 2 4 5 6 8 10 12 14 16 18 20

f(x)

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2. Tracer sur la calculatrice la représentation graphique de la fonction f.

3. Déterminer la fonction dérivée f’(x) de la fonction f(x).

4. Résoudre par le calcul f’(x) = 0.

5. Etudier le signe de cette dérivée f’(x) et compléter le tableau de signes ci-dessous (Ligne �)

6. Compléter le tableau de variation de la fonction f (Ligne �).

7. Vérifier à la calculatrice les coordonnées du maximum et du minimum de la fonction f.

x 0 …. …. 20 Signe de f’(x)

Ligne �

Variations de f(x)Ligne �

III. Exploitation et réponse à la problématique

La fonction f modélise le volume V du bassin en fonction de la valeur d représentant à la fois la profondeur du bassin et la distance de sécurité autour de ce dernier.

1. Donner la valeur de d en mètres, qui correspond au volume maximal du bassin.

2. Donner la valeur V en m3, du volume correspondant du bassin.

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