202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes 2

63Séquence 3 – MA01

> Limiteset asymptotes

© Cned – Académie en ligne

65Sommaire séquence 3 – MA01

Limites des fonctions de référence (rappel)

Opérations sur les limites

Applications

Limite obtenue par comparaison ou par encadrement

Limite d’une fonction composée

Exercices d’apprentissage (Série 1)

Notion d’asymptote

Exercices d’apprentissage (Série 2)

AA

ABB

AC

D

E

F

AG

H

Chapitre 1 > Cours ...............................................................................................................................................................................67

Chapitre 3 > Exercices d’entraînement .......................................................................................................93

Chapitre 4 > Aide aux exercices d’entraînement ....................................................................95

Chapitre 2 > Synthèse ..................................................................................................................................................................91



Cours

Limites des fonctions de référence (Rappel)A

Le comportement des fonctions de référence, à l’infini et en zéro, a été étudié en classe de première.

Les courbes représentatives de huit fonctions « simples » ont été tracées, à l’aide d’un grapheur, surla figure 1.

On y retrouve les courbes de quatre fonctions de référence ( ; ; ; ) etles courbes des quatre fonctions inverses des précédentes.

La courbe représentative de la fonction affine sur � est une droite, notée � (voir figure 1. a).

La courbe représentative de la fonction « carré » sur � est une parabole, notée � (voirfigure 1. b).

La courbe représentative de la fonction « inverse » sur est une hyperbole, notée � (voirfigure 1. e).

On peut noter que les axes de coordonnées sont des asymptotes (soit horizontales, soit verticales) pour

les quatre courbes représentatives des quatre fonctions inverses ; ; ; .

x x� x x2� x x3� x x�

x x�

x x2�

x 1x--� �*

x 1x--⎝

⎛ � x 1x2-----� x

1x3-----� x

1x

------⎠⎞�

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y = x�

a

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y = x�

e

1

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y = x�

a

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y = x2�

b

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y = x�

e

1

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y = x�

f

12


Séquence 3 – MA0168

Fig. 1

� Limites infinies à l’infini

� Pour

et .

� Pour

et .

� Pour

.

Comme est définie sur , la limite de en n’existe pas.

Énoncé

Soit f définie sur � par (n entier et ).

Étudier la limite de f à l’infini.

Solution

La limite de en est toujours .

La limite de en dépend de la parité de n.

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y = x�

a

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y = x3�

c

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y = x�

e

1

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y = x�

g

13

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y = x�

a

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y = x�

d

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y = x�

e

1

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y =x�

h

1

x2

x2x + ∞→

lim + ∞= x2x ∞–→

lim + ∞=

x3

x3x + ∞→

lim + ∞= x3x ∞–→

lim ∞–=

x

xx + ∞→

lim + ∞=

x x� 0 ; + ∞[[ x ∞–

f x( ) xn= n 1≥

x xn� + ∞ + ∞ n 1≥( )

x xn� ∞–

Exemple

�



On peut écrire les résultats dans un tableau.

� Limites finies à l’infiniLes courbes de la figure 1 nous permettent de donner les résultats suivants que l’on peut mettredans un tableau.

Limites infinies en zéroLes courbes de la figure 1 nous permettent de donner les résultats suivants que l’on peut mettredans un tableau.

• signifie que x tend vers zéro, tout en restant supérieur strictement à zéro.

peut aussi se noter ou bien .

• signifie que x tend vers zéro, tout en restant strictement inférieur à zéro.

peut aussi se noter ou bien .

Notation

peut se noter .

Dans les tableaux suivants :

• la lettre

α désigne soit un nombre réel fini, soit , soit .

• les lettres L et désignent des nombres réels finis.

n entier et

n pair

n impair

si alors

; ; ;

; ;

si alors

; ; ;

; ;

n 1≥

xnx + ∞→

lim + ∞= xnx ∞–→

lim + ∞=

xnx ∞–→

lim ∞–=

x + ∞→1x-- 0+→ 1

x2----- 0+→ 1

x3----- 0+→ 1

x------ 0+→

x ∞–→ 1x-- 0–→ 1

x2----- 0+→ 1

x3----- 0–→

x 0→> 1

x-- + ∞→ 1

x2----- + ∞→ 1

x3----- + ∞→ 1

x------ + ∞→

x 0→< 1

x-- ∞–→ 1

x2----- → + ∞ 1

x3----- ∞–→

x 0→>

x 0→>

x 0→> x 0 +→

x 0→<

x 0→<

x 0→< x 0 –→

Opérations sur les limitesB

f x( )x a→lim f

alim

∞– + ∞

L′

Remarque



� Limite d’une somme

� Limite d’un produit

Limite de l’inverse

Énoncé

� � Soit v la fonction définie sur � par et � sa courbe représentative.

Tracer � dans un repère orthonormal.

� On pose .

Quel est l’ensemble de définition de f ?

Préciser le sens de variation de f.

Tracer la courbe � représentative de f.

� Donner, d’après une lecture graphique, les limites suivantes :

; ; ; ; ; .

� � Soit w la fonction définie sur � par et � sa courbe représentative.

Tracer � dans un (autre) repère orthonormal.

� On pose .

Quel est l’ensemble de définition de g ?

Préciser le sens de variation de g.

Tracer la courbe � représentative de g.

� Donner, d’après une lecture graphique, les limites suivantes :

; ; ; ; ; .

Solution

� � On a pour x réel.

La courbe représentative de v est une droite, notée �.

Cette courbe est sur la figure 2.

Propriété �

si L L L

et si

alors ?

Propriété �

si L

et si 0 0

alors ? ?

uα

lim + ∞ ∞– + ∞

vα

lim L ′ + ∞ ∞– + ∞ ∞– ∞–

u v+( )α

lim L L ′+ + ∞ ∞– + ∞ ∞–

uα

lim L 0> L 0> L 0< L 0< + ∞ + ∞ ∞– ∞– + ∞ ∞–

vα

lim L ′ + ∞ ∞– + ∞ ∞– + ∞ ∞– ∞– + ∞

uv( )α

lim LL ′ + ∞ ∞– ∞– + ∞ + ∞ ∞– + ∞ ∞–

v x( ) x 2+=

f 1v--=

v∞–

lim v+ ∞lim v

2–lim f

∞–lim f

+ ∞lim f

2–lim

w x( ) x 1–( )2=

g 1w----=

w∞–

lim w+ ∞lim w

1lim g

∞–lim g

+ ∞lim g

1lim

v x( ) x 2+=

Exemple �



� On pose , d’où .

On a pour .

L’ensemble de définition de f est donc .

Sur , f est décroissante car v est croissante.

Sur , f est décroissante car v est croissante.

Le tracé de la courbe � représentative de la fonction f est une hyperbole. Cette courbe est sur lafigure 3.

� On peut faire un tableau de variations pour chacune des deux fonctions v et f.

Les limites ont été indiquées d’après lecture graphique.

On a : ; ; .

; ; ; .

� � On a sur �.

La courbe représentative de w est une parabole, notée �.

Cette courbe est sur la figure 4.

� On pose , d’où .

On a pour .

L’ensemble de définition de g est .

Sur , g est croissante car w est décroissante.

Sur , g est décroissante car w est croissante.

Le tracé de la courbe � représentant g est sur la figure 5.

� On peut faire un tableau de variation unique pour w et g.

Les limites ont été indiquées d’après lecture graphique.

On a : ; ; .

; ; .

x x

0

0

0

x 1

0

0 0

f 1v--= f x( ) 1

x 2+-----------=

x 2+ 0= x 2–=

Df = ] ∞ ; 2 [–– ∪ ] 2 ; + ∞[–

] ∞ ; 2 [––

] 2 ; + ∞[–

∞– 2– + ∞ ∞– 2– + ∞

v x( )

∞–

+ ∞ f x( )

∞–

+ ∞

v∞–

lim ∞–= v+ ∞lim + ∞= v

2–lim v 2–( ) 0= =

f∞–

lim 0= f+ ∞lim 0= f x( )

x 2–→lim ∞–=

< f x( )

x 2–→lim + ∞=>

w x( ) x 1–( )2=

g 1w----= g x( ) 1

x 1–( )2------------------=

x 1– 0= x 1=

Dg = ] ∞ ; 1 [– ∪ ]1 ; + ∞[

] ∞ ; 1 [–

]1 ; + ∞[

∞– + ∞

w x( ) + ∞ + ∞

g x( ) 1w x( )------------=

+ ∞ + ∞

w∞–

lim + ∞= w1

lim 0 w 1( )= = w+ ∞lim + ∞=

g∞–

lim 0= g+ ∞lim 0= g x( )

x 1→lim + ∞=



Fig. 2 Fig. 3

Fig. 4 Fig. 5

Les résultats précédents peuvent être généralisés.

On obtient le tableau suivant :

� Limite d’un quotient

Cas où la limite du dénominateur n’est pas nulle

Propriété

si

alors

Propriété

si L L ou

et si ou ou

alors0 ?

O

–1

–2

1

2

–1–2 1

� y = x + 2

�

O

–1

–2

1

2

–1

–2

1

� y = x + 2

�

1

x = –2

O

–1

–2

1

2

–1–2 1

� y = x + 2

�

O

–1

–2

1

–1–2 1 2

� y = (x–1)2

�

O

–1

–2

1

2

–1

–2

1

� y = x + 2

�

1

x = –2

O

–1

–2

1

2

–1–2 1 2

� y =

�

1(x–1)2

x = 1

vα

lim L ′ 0≠ 0+ 0– + ∞ ∞–

1v--⎝ ⎠

⎛ ⎞α

lim1L ′---- + ∞ ∞– 0+ 0–

uα

lim + ∞ + ∞ ∞– ∞– + ∞ ∞–

vα

lim L ′ 0≠ + ∞ ∞– L ′ 0> L ′ 0< L ′ 0> L ′ 0< + ∞ ∞–

uv--

αlim L

L ′---- + ∞ ∞– ∞– + ∞



Cas où la limite du dénominateur est nulle

Dans ce tableau les signes n’ont pas été précisés.

Ainsi, par exemple :

• si et si alors .

• si et si alors .

Ne pas apprendre ces tableaux « par cœur ». Un peu d’intuition, et de nombreux exercices, permet-tront de retrouver les résultats.

� Les formes indéterminéesOn remarque que dans certaines cases des tableaux précédents figurent des points d’interrogation.

Cela signifie que dans ces cas on ne peut pas conclure directement. Chacun des cas d’indéterminationnécessitera une étude particulière.

Les 4 cas d’indétermination peuvent être classés en trois catégories.

Les 4 cas ci-dessus sont des formes indéterminées. En abrégé on notera FI.

On va montrer, en étudiant graphiquement trois exemples du type « », que tout peut arriver.

Énoncé

Soit f, g et h les trois fonctions définies sur � par : , , .

Les courbes représentatives de ces trois fonctions, obtenues à l’aide d’un grapheur, sont les suivantes(voir figures 6, 7 et 8) :

Propriété �

si ∞ 0

et si 0 0 0

alors∞ ∞ ?

somme produit quotient

uα

lim L 0≠

vα

lim

uv--

αlim

uα

lim + ∞= vα

lim 0–=uv--

αlim ∞–=

uα

lim L= L 0<( ) vα

lim 0–=uv--

αlim + ∞=

+ ∞( ) ∞–( )+ ∞ 0× 00--

∞∞----

∞∞----

f x( ) x1 x2+--------------= g x( ) x2

1 x2+--------------= h x( ) x3

1 x2+--------------=

Remarque

Remarque

Exemple



Fig. 7 Fig. 8

� Vérifier que pour les limites à l’infini de chacune des fonctions on obtient une forme indéterminée.

� Donner, d’après les représentations graphiques, les limites de f, g et h à l’infini.

Solution

� � Pour f

.

.

Dans les deux cas, on a bien une FI « ».

� Pour g

.

.

Dans les deux cas, on a bien une FI « ».

� Pour h

.

.

Dans les deux cas, on obtient bien une FI « ».

O

–1

1

–1

1

� y =�x

1 + x2

O

–1

1

–1 1

� y =�x2

1 + x2

Fig. 6O

–1

1

–1 1

� y =

�x3

1 + x2

x + ∞→ xx + ∞→

lim + ∞=

1 x2+( )x + ∞→

lim + ∞=

x ∞–→ xx ∞–→

lim ∞–=

1 x2+( )x ∞–→

lim + ∞=

∞∞----

x + ∞→ x2x + ∞→

lim + ∞=

1 x2+( )x + ∞→

lim + ∞=

x ∞–→ x2x ∞–→

lim + ∞=

1 x2+( )x ∞–→

lim + ∞=

∞∞----

x + ∞→ x3x + ∞→

lim + ∞=

1 x2+( )x + ∞→

lim + ∞=

x ∞–→ x3x ∞–→

lim ∞–=

1 x2+( )x ∞–→

lim + ∞=

∞∞----



� Une lecture graphique nous permet de conjecturer les résultats suivants :

Cet exemple nous montre bien que pour la forme indéterminée « », on peut obtenir différentsrésultats (finis ou infinis).

� Limite d’une fonction polynôme en et en

Énoncé

Soit f la fonction définie sur � par .

Déterminer et .

Solution

.

On obtient une FI « ».

On va mettre en facteur dans l’expression .

On obtient

.

D’où .

.

On obtient une FI « ».

On utilise la même factorisation de .

D’où .

On peut noter que, dans chaque cas, on peut écrire :

et .

Ainsi a même limite, à l’infini, que son terme de plus haut degré (ici est de degré 3).

Conclusion .

x + ∞→ f x( ) 0→ g x( ) 1→ h x( ) + ∞→

x ∞–→ f x( ) 0→ g x( ) 1→ h x( ) ∞–→

∞∞----

ApplicationsC

∞∞∞∞– + ∞∞∞∞

f x( ) x3– 2x2 3x 4+ + +=

f∞–

lim f+ ∞lim

x ∞–→ 2x2x ∞–→

lim + ∞=

3xx ∞–→

lim ∞–=

+ ∞( ) ∞–( )+

x3 f x( )

f x( ) x3 x3

x3-----– 2 x2

x3----- 3 x

x3----- 4

x3-----+ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞=

f x( ) x3 1– 2x-- 3

x2----- 4

x3-----+ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞=

1– 2x-- 3

x2----- 4

x3-----+ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞x ∞–→

lim 1–=

x3x ∞–→

lim ∞–= ⎭⎪⎬⎪⎫

f x( )x ∞–→

lim + ∞=

x + ∞→ x3–x + ∞→

lim ∞–=

2x2x + ∞→

lim + ∞=

∞–( ) + ∞( )+

f x( )

1– 2x-- 3

x2----- 4

x3-----+ + +⎝ ⎠

⎛ ⎞x + ∞→

lim 1–=

x3x + ∞→

lim + ∞= ⎭⎪⎬⎪⎫

f x( )x + ∞→

lim ∞–=

f∞–

lim + ∞ et f+ ∞lim ∞–= =

f x( )x ∞–→

lim x– 3( )x ∞–→

lim= f x( )x + ∞→

lim x– 3( )x + ∞→

lim=

f x( ) x3–

Exemple



Ce résultat se généralise, ce qui nous donne la propriété suivante :

Énoncé

Déterminer les limites à l’infini des fonctions polynômes suivantes :

� �

� � .

Solution

On prendra, dans chaque cas, la limite du terme de plus haut degré. Attention, ce terme n’est pas tou-jours celui qui est situé au début.

� ; .

� ; .

; .

; .

� ; .

� ; .

� Limite d’une fonction rationnelle en et en

Énoncé


Déterminer et .

Solution

On a une FI du type « ».

On va mettre en facteur au numérateur et au dénominateur.

.

.

On a encore une FI du type « ».

Propriété �

Toute fonction polynôme admet, en et en , la même limite que son terme de plus haut degré.∞– + ∞

f x( ) 12-- x2– 3x+= f x( ) 1 x2 3x3–+= f x( ) 2 x4 3–=

f x( ) 3x 2x2 1+–= f x( ) 23-- x3 3x2 2–+= f x( ) 5– x2 1

3-- x4–+=

f x( )x ∞–→

lim 12-- x2–⎝ ⎠

⎛ ⎞x ∞–→

lim ∞–= = f x( )x + ∞→

lim 12-- x2–⎝ ⎠

⎛ ⎞x + ∞→

lim ∞–= =

f x( )x ∞–→

lim 3x3–( )x ∞–→

lim + ∞= = f x( )x + ∞→

lim 3x3–( )x + ∞→

lim ∞–= =

f x( )x ∞–→

lim 2 x4x ∞–→

lim + ∞= = f x( )x + ∞→

lim 2 x4x + ∞→

lim + ∞= =

f x( )x ∞–→

lim 2x2–( )x ∞–→

lim ∞–= = f x( )x + ∞→

lim 2x2–( )x + ∞→

lim ∞–= =

f x( )x ∞–→

lim 23-- x3

⎝ ⎠⎛ ⎞

x ∞–→lim ∞–= = f x( )

x + ∞→lim 2

3-- x3

⎝ ⎠⎛ ⎞

x + ∞→lim + ∞= =

f x( )x ∞–→

lim 13-- x4–⎝ ⎠

⎛ ⎞x ∞–→

lim ∞–= = f x( )x + ∞→

lim 13-- x4–⎝ ⎠

⎛ ⎞x + ∞→

lim ∞–= =

∞∞∞∞– + ∞∞∞∞

f x( ) x2– 2x 2–+2x2 x 1+ +

------------------------------=

f∞–

lim f+ ∞lim

x ∞–→ ∞∞----

x2

f x( )x2 1– 2

x-- 2

x2-----–+⎝ ⎠

⎛ ⎞

x2 2 1x-- 1

x2-----+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞---------------------------------------

1– 2x-- 2

x2-----–+

2 1x-- 1

x2-----+ +

----------------------------= =

1– 2x-- 2

x2-----–+⎝ ⎠

⎛ ⎞x ∞–→

lim 1–=

2 1x-- 1

x2-----+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞x ∞–→

lim 2=⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

f x( )x ∞–→

lim 12--–=

x + ∞→ ∞∞----

Exemple �

Exemple �



On écrit sous la même forme, ce qui nous donne :

.

On peut noter que dans chaque cas on peut écrire :

et .

Ainsi a même limite, à l’infini, que le rapport de ses termes de plus haut degré.

Ce résultat se généralise, ce qui nous donne la propriété suivante :

Énoncé

Déterminer les limites à l’infini des fonctions rationnelles définies par :

� � .

Solution

On cherchera, dans les trois cas, la limite du quotient des termes de plus haut degré.

� .

.

� .

.

.

.

On peut conjecturer à l’aide de ces exemples les limites possibles pour une fonction rationnelle à l’infini.

Soit où P et Q sont deux fonctions polynômes.

On note le degré d’un polynôme P par .

Quand on écrit il faut comprendre soit , soit .

Conclusion.

Propriété �

Toute fonction rationnelle admet, en et en , la même limite que le quotient de ses termesde plus haut degré.

L réel non nul.

f x( )

1– 2x-- 2

x2-----–+⎝ ⎠

⎛ ⎞x + ∞→

lim 1–=

2 1x-- 1

x2-----+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞x + ∞→

lim 2=⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫

f x( )x + ∞→

lim 12--–=

f∞–

lim f+ ∞lim 1

2--–= =

f x( )x ∞–→

lim x2–2x2---------

x ∞–→lim 1

2--–= = f x( )

x + ∞→lim x2–

2x2---------

x + ∞→lim 1

2--–= =

f x( )

∞– + ∞

f x( ) x3– x 1–+2x 1+

---------------------------= f x( ) 2x– 1+x2 2+

-------------------= f x( ) 2x3 1–5x3 x+-----------------=

f x( )x ∞–→

lim x3–2x

---------x ∞–→

lim x2

2-----–

x ∞–→lim ∞–= = =

f x( )x + ∞→

lim x3–2x

---------x + ∞→

lim x2

2-----–

x + ∞→lim ∞–= = =

f x( )x ∞–→

lim 2x–x2

---------x ∞–→

lim 2–x

------x ∞–→

lim 0= = =

f x( )x + ∞→

lim 2x–x2

---------x + ∞→

lim 2–x

------x + ∞→

lim 0= = =

f x( )x ∞–→

lim 2x3

5x3--------

x ∞–→lim 2

5--= =

f x( )x + ∞→

lim 2x3

5x3--------

x + ∞→lim 2

5--= =

f x( ) P x( )Q x( )-----------=

d°P

f x( ) P x( )Q x( )-----------=

d°P d°Q> d°P d°Q< d°P d°Q=

f∞

lim ∞= f∞

lim 0= f∞

lim L=

∞ ∞– + ∞

Exemple �



� Limite obtenue par comparaison

Énoncé

Soit f et u les fonctions définies par et .

Les courbes � et � représentatives de f et u sont sur la figure 9.

� Donner, d’après le graphique, les positions relatives des deux courbes � et �. Comment peut-on lejustifier ?

� En déduire les limites de f en et en .

Fig. 9 Fig. 10

Solution

� D’après le graphique de la figure 9, la courbe � est située au-dessus de la parabole � pour x non nul.

On a : .

Donc .

Ceci montre bien que � est toujours au-dessus de �.

� On sait que .

D’où .

Énoncé

Soit f et v les fonctions définies par et .

Les courbes � et représentant respectivement f et v sont sur la figure 10.

� Donner, d’après le graphique, les positions relatives des deux courbes � et . Comment peut-onle justifier ?

� En déduire les limites de f en et en .

Limite obtenue par comparaison ou par encadrementD

f x( ) x2 1x2-----+= u x( ) x2=

∞– + ∞

O

1

–1 1

� y = x2 +

�

1x2

� y = x2

O

1

–1

1

� y = x3 +�1x

C

13

(C) y = x313

f x( ) x2– 1x2-----=

f x( ) x2– 0>

x2 f x( )≤

x2x ∞–→

lim + ∞=

x2x + ∞→

lim + ∞=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

f x( )x ∞–→

lim f x( )x + ∞→

lim + ∞= =

f x( ) 13-- x3 1

x--+= v x( ) 1

3-- x3=

C( )

C( )

∞– + ∞

Exemple �

Exemple �



Solution

� D’après le graphique de la figure 10, on peut dire que :

� sur , � est en dessous de .

� sur , � est au-dessus de .

On a : .

Si , alors et .

Si , alors et .

Ceci confirme la conjecture faite sur le graphique.

� � Sur , on a .

On sait que . Donc .

� Sur , on a .

On sait que . Donc .

Dans les exemples � et �, on vient de voir que :

� une fonction f plus grande qu’une fonction u qui tend vers tend elle aussi vers .

� une fonction f plus petite qu’une fonction v qui tend vers tend elle aussi vers .

On peut énoncer les deux propriétés suivantes.

Propriété �

� Si • pour tout ,

•

alors .


•

alors .

Propriété �


•

alors .


•

alors .

] ∞ ; 0 [– C( )

]0 ; + ∞[ C( )

f x( ) 13-- x3– 1

x--=

x 0< 1x-- 0< f x( ) 1

3-- x3<

x 0> 1x-- 0> f x( ) 1

3-- x3>

] ∞ ; 0 [– f x( ) 13-- x3<

13-- x3

x ∞–→lim ∞–= f x( )

x ∞–→lim ∞–=

]0 ; + ∞[ f x( ) 13-- x3>

13-- x3

x + ∞→lim + ∞= f x( )

x + ∞→lim + ∞=

+ ∞ + ∞

∞– ∞–

x A ; + ∞[[∈ u x( ) f x( )≤

u x( )x + ∞→

lim + ∞=

f x( )x + ∞→

lim + ∞=

x ∈ ] ∞ ; A ]– u x( ) f x( )≤

u x( )x ∞–→

lim + ∞=

f x( )x ∞–→

lim + ∞=

x A ; + ∞[[∈ f x( ) v x( )≤

v x( )x + ∞→

lim ∞–=

f x( )x + ∞→

lim ∞–=

x ∈ ] ∞ ; A ]– f x( ) v x( )≤

v x( )x ∞–→

lim ∞–=

f x( )x ∞–→

lim ∞–=



� Limite obtenue par encadrement

Énoncé

Soit f la fonction définie sur par et

� sa courbe représentative.

Soit v la fonction définie sur par et sa courbe représentative.

Soit

� la droite d’équation .

Les courbes

�, et

� sont sur la figure 11.

� Conjecturer les positions relatives de

�, et

�.

� Montrer que, pour , .

Déterminer et en déduire .

Fig. 11

Solution

� On conjecture, d’après le graphique, que la courbe

� est située au-dessus de la droite

� et en des-sous de .

� On a .

Comme , et .

Ainsi .

On a .

Pour , on peut écrire :

.

d’où .

Ainsi .

En prenant les deux conditions sur , on obtient, pour tout , .

1 ; + ∞[[ f x( ) 2 x 1–x

---------------+=

1 ; + ∞[[ v x( ) 2 1x

------+= C( )

y 2=

C( )

C( )

x 1≥ 2 f x( ) v x( )≤ ≤

v x( )x + ∞→

lim f x( )x + ∞→

lim

O 1

1

2

2

(C) (C) y = 2 + 1

3x

� y = 2 + xx – 1

�

� y = 2

C( )

f x( ) 2– x 1–x

---------------=

x 1≥ x 1– 0≥ x 0>

f x( ) 2– 0≥

v x( ) f x( )– 1x

------ x 1–x

---------------– x x 1––x

----------------------------= =

x 1≥ 0 x 1– x≤ ≤

0 x 1– x≤ ≤

x x 1–– 0≥

v x( ) f x( )– 0≥

f x( ) x 1≥ 2 f x( ) v x( )≤ ≤

Exemple

�



car .

Comme est compris entre le nombre 2 et une expression qui tend vers 2 en , on conçoitintuitivement que ne peut tendre que vers 2.

Ainsi .

Dans l’exemple

�, on vient de voir qu’une fonction f encadrée par deux fonctions qui ont même limiteL (ici ) ne peut que tendre vers L.

On peut énoncer la propriété suivante :

Cette propriété est parfois appelée propriété, ou plutôt, théorème des gendarmes.Le dessin suivant peut aider à comprendre cette appellation.

� Étude d’un exemple

Énoncé

Soit f la fonction définie sur

� par .

� Montrer que l’on peut écrire , la fonction v étant la fonction « racine carrée ».

� Déterminer et en déduire .

Solution

� On peut décomposer f sur

� comme suit :

.

Propriété

�


•

alors .


•

alors .

v x( )x + ∞→

lim 2 1x

------+⎝ ⎠⎛ ⎞

x + ∞→lim 2= =

1x

------x + ∞→

lim 0=

f x( ) + ∞f x( )

v x( )x + ∞→

lim 2 et f x( )x + ∞→

lim 2 = =

L 2=

x A ; + ∞[[∈ u x( ) f x( ) v x( )≤ ≤

u x( )x + ∞→

lim v x( )x + ∞→

lim L= =

f x( )x + ∞→

lim L=

x ∈ ] ∞ ; A ]– u x( ) f x( ) v x( )≤ ≤

u x( )x ∞–→

lim v x( )x ∞–→

lim L= =

f x( )x ∞–→

lim L=

u (x) f (x) v (x)

L

< <}

Limite d’une fonction composéeE

f x( ) 4x2 x 1+ +x2 1+

--------------------------=

f v � u=

u x( )x + ∞→

lim f x( )x + ∞→

lim

xu 4x2 x 1+ +

x2 1+--------------------------

Xv

X

xf v � u=

4x2 x 1+ +x2 1+

--------------------------

Remarque

Exemple

�



� La fonction u est une fonction rationnelle.

On a .

On sait que .

Comme , .

Ainsi .

On peut présenter la limite de f de la manière suivante :

d’où .

� Limite de On admet la propriété suivante qui généralise ce qui précède.

� Les lettres a, b, c peuvent désigner soit des réels finis, soit , soit .

� Bien voir que la lettre intervient toujours, au moins, deux fois.

� Il est possible d’avoir .

Soit P et Q les fonctions polynômes définies sur

� par :

et .

Déterminer les limites de P et de Q à l’infini.

Soit f la fonction définie pour par :

.

� Déterminer .

� Déterminer les limites de f à l’infini.


.

� Déterminer .


Déterminer les limites à l’infini des trois fonctions f, g et h définies par :

; ; .

Propriété �

Si alors

u x( )x + ∞→

lim 4x2

x2--------

x + ∞→lim 4= =

f x( ) v u x( )( ) u x( )= =

u x( )x + ∞→

lim 4= f x( )x + ∞→

lim 4 2= =

u x( )x + ∞→

lim 4 et f x( )x + ∞→

lim 2 = =

u x( )x + ∞→

lim 4=

v X( )X 4→lim 2=

⎭⎪⎬⎪⎫

f x( )x + ∞→

lim 2=

v � u

u x( )x a→lim b=

v X( )X b→lim c=

⎩⎪⎨⎪⎧

v � u( ) x( )x a→lim c=

∞– + ∞

b

a b c= =

Exercices d’apprentissage (Série 1)F

P x( ) 3x2– 5x 1–+= Q x( ) 4x3 2x– 1–=

x 2–≠

f x( ) 3–x 2+( )2

-------------------=

f2–

lim

x 2–≠

f x( ) x 1–2x 4+---------------=

f2–

lim

f x( ) x 1+x 2+( )2

-------------------= g x( ) 1 x x2+ +1 x– 3x2+--------------------------= h x( ) x2– 2x 3+ +

x 4–-------------------------------=

Remarque

Remarques

Exercice �

Exercice �

Exercice

Exercice




Déterminer les limites de f à l’infini.


.


� Déterminer la limite de f quand x tend vers trois.

Dans ce paragraphe, on considère le plan muni d’un repère orthogonal .

� Asymptote parallèle à l’axe des ordonnées

Étude d’un exemple

Énoncé

Soit f la fonction définie pour par .

� Déterminer la limite de f quand x tend vers 1.

� Que peut-on penser, intuitivement, de la courbe � représentant f lorsque x est proche de 1 ?

Solution

� Quand on obtient :

d’où .

� Appelons � la courbe représentative de f et Δ la droite verti-cale d’équation .

Intuitivement, lorsque x se rapproche de 1 (en étant soit inférieurà 1, soit supérieur à 1), on peut penser que � se rapprochera dela droite Δ (voir figure 12).

Fig. 12

Définition d’une asymptote verticale

Soit a un réel fini.

Si la limite de f en a est infinie, on dit que la droite d’équation est asymptote verticale à lacourbe représentative de f.

Ainsi � dans l’exercice �, la droite d’équation est asymptote verticale à �.

� dans l’exercice , la droite d’équation est asymptote verticale à �.

f x( ) x2 2+9x2 1+-----------------=

x 3≠

f x( ) 2x– 1 4x 3–-----------–+=

Notion d’asymptoteG� O ; i j ,( )=

x 1≠ f x( ) 2xx 1–( )2

------------------=

x 1→

2xx 1→lim 2=

x 1–( )2x 1→lim 0+=

⎭⎪⎬⎪⎫

f x( )x 1→lim + ∞=

1

0 1

�

Δ x = 1

x 1=

x a=

x 2–=

x 2–=

Exercice �

Exercice �

Exemple �

Définition �



On peut illustrer la définition en donnant quelques représentations graphiques admettant des asymp-totes verticales (voir figure 13).

Fig. 13

� Une courbe peut avoir plusieurs asymptotes verticales.

� Une courbe ne peut jamais traverser une asymptote verticale.

� Asymptote parallèle à l’axe des abscisses

Étude d’un exemple

Énoncé

Soit f la fonction définie sur � par et � sa courbe représentative.

� Déterminer la limite de f à l’infini.

� Que peut-on penser, intuitivement, de la courbe � représentative de f à l’infini ?

Vérifier que peut s’écrire .

En déduire les positions relatives de � et de la droite Δ d’équation .

Solution

� La fonction f est une fonction rationnelle.

.

.

� Soit � la courbe représentative de f et Δ la droite horizontale d’équation .

Intuitivement on peut penser qu’à l’infini (soit en , soit en ) la courbe � se rapprochera de Δ.

On peut écrire :

.

D’où .

Cherchons le signe de .

Comme , on a .

x

y

x x

yy

0 0 0 x

y

0

f x( ) x2 1–2x2 1+-----------------=

f x( ) f x( ) 12-- 3

2 2x2 1+( )-------------------------–=

y 12--=

f x( )x ∞–→

lim x2

2x2--------

x ∞–→lim 1

2--= =

f x( )x + ∞→

lim x2

2x2--------

x + ∞→lim 1

2--= =

y 12--=

∞– + ∞

12-- 3

2 2x2 1+( )-------------------------– 2x2 1+( ) 3–

2 2x2 1+( )------------------------------- 2 x2 1–( )

2 2x2 1+( )------------------------- x2 1–

2x2 1+-----------------= = =

f x( ) 12-- 3

2 2x2 1+( )-------------------------–=

f x( ) 12--–

32 2x2 1+( )-------------------------–=

2x2 1 0>+ f x( ) 12--– 0<

Remarques

Exemple �



Ceci signifie, comme , que la courbe � est toujours située en dessous de la droite horizontale

Δ d’équation (voir figure 14).

Fig. 14

Définition d’une asymptote horizontale

La lettre b désigne un réel fini.

� Si la limite de f en est égale à b, on dit que la droite d’équation est asymptote horizon-tale à la courbe représentative de f en .

� Si la limite de f en est égale à b, on dit que la droite d’équation est asymptote horizon-tale à la courbe représentative de f en .

Ainsi : � dans l’exemple �, la droite Δ d’équation est asymptote horizontale à � en eten .

� dans l’exemple �, la droite Δ d’équation est asymptote horizontale à � en .

On peut illustrer la définition en donnant quelques représentations graphiques admettant des asymp-totes horizontales (voir figure 15).

Fig. 15

� Une courbe peut avoir une asymptote horizontale seulement en (ou en ).

� Une courbe peut traverser une asymptote horizontale.

f x( ) 12--<

y 12--=

O 1–1

1

1/2

–1

� y = 12

� y =2 x2 + 1x2 – 1

+ ∞ y b=+ ∞

∞– y b=∞–

y 12--–= ∞–

+ ∞

y 2= + ∞

x

y

O x

y

O x

y

O x

y

O

+ ∞ ∞–

Définition �

Remarques



Asymptote oblique

Étude d’un exempleÉnoncé


On appelle Δ la droite d’équation .


� Montrer que .

Que peut-on penser intuitivement de la courbe � en et en ?

Trouver les positions relatives de � et Δ.

Solution

�

d’où .

d’où .

� On a .

.

Intuitivement, on peut penser qu’à l’infini (soit en , soit en ) la courbe � se rapprochera de Δ.

D’après ce qui précède, .

Comme , .

Ceci signifie, comme , que la courbe � est toujours située au-dessus de la droite obli-que Δ d’équation (voir figure 16).

Fig. 16

f x( ) 2x 1– 3x2 1+--------------+=

y 2x 1–=

f x( ) 2x 1–( )–[ ]x ∞–→

lim f x( ) 2x 1–( )–[ ]x + ∞→

lim 0= =

∞– + ∞

2x 1–( )x ∞–→

lim ∞–=

3x2 1+--------------

x ∞–→lim 0=

⎭⎪⎬⎪⎫

f x( )x ∞–→

lim ∞–=

2x 1–( )x + ∞→

lim + ∞=

3x2 1+--------------

x + ∞→lim 0=

⎭⎪⎬⎪⎫

f x( )x + ∞→

lim + ∞=

f x( ) 2x 1–( )–[ ]x ∞–→

lim 3x2 1+--------------

x ∞–→lim 0= =

f x( ) 2x 1–( )–[ ]x + ∞→

lim 3x2 1+--------------

x + ∞→lim 0= =

∞– + ∞

f x( ) 2x 1–( )– 3x2 1+--------------=

x2 1 0>+ f x( ) 2x 1–( )– 0>f x( ) 2x 1–>

y 2x 1–=

O 1–1

1

2

–1

� y = 2 x – 1 + 3x2 + 1

� y = 2 x – 1

Exemple �



Définition d’une asymptote oblique

� Si , on dit que la droite d’équation est asymptote obli-

que à la courbe représentative de f en .

� Si , on dit que la droite d’équation est asymptote obli-

que à la courbe représentative de f en .

On peut donner une autre définition qui est équivalente à la définition .

� Si avec , on dit que la droite d’équation est

asymptote oblique à � en .

� Si avec , on dit que la droite d’équation est

asymptote oblique à � en .

Ainsi, dans l’exercice �, la droite Δ d’équation est asymptote oblique à � en eten .

On peut illustrer la définition en donnant quelques courbes admettant des asymptotes obliques (voirfigure 17).

Fig. 17

� Une courbe peut traverser une asymptote oblique.

� Une courbe peut avoir deux asymptotes obliques, une en et une autre en .

Positions relatives d’une courbe � etd’une asymptote horizontale ou oblique

Cas de l’asymptote horizontale

Énoncé

On reprend la fonction f de l’exemple � définie sur par .

On désigne par � la courbe représentant f et Δ la droite d’équation .

� Sachant que l’on a déjà montré que , en déduire que la droite Δ est asymptote à � en.

� Déterminer la position de � par rapport à Δ.

Solution

� On sait que .

f x( ) ax b+( )–[ ]x ∞–→

lim 0= y ax b+=

∞–

f x( ) ax b+( )–[ ]x + ∞→

lim 0= y ax b+=

+ ∞

f x( ) ax b ε x( )+ += ε x( )x ∞–→

lim 0= y ax b+=

∞–

f x( ) ax b ε x( )+ += ε x( )x + ∞→

lim 0= y ax b+=

+ ∞

y 2x– 1+= ∞–+ ∞

x

y

O x

y

O x

y

O x

y

O

∞– + ∞

1 ; + ∞ [[ f x( ) 2 x 1–x

---------------+=

y 2=

f+ ∞lim 2=

+ ∞

f+ ∞lim 2=

Définition

Définition

Remarques

Exemple

�



Comme la limite de f en est un réel fini (ici c’est 2), on en déduit que :

� On cherche le signe de .

On a .

On sait que .

On a donc et , d’où .

Dans l’exemple traité, on a appliqué une méthode pour étudier la position d’une courbe par rapport àune asymptote horizontale. Cette méthode peut s’appliquer à n’importe quelle fonction.

Cas de l’asymptote oblique

Énoncé

On reprend la fonction f de l’exercice

� définie pour par .

On désigne par

� la courbe représentative de f et

Δ la droite d’équation .

� Déterminer et .

En déduire que

� est asymptote à

Δ en et en .

� Étudier les positions relatives de

� et

Δ.

Solution

� On a .

Comme , on en déduit :

.

Ceci prouve que :

� On cherche le signe de .

On a .

Le signe de change pour .

la droite

Δ d’équation est asymptote horizontale à

� en .

Pour ,

� et

Δ ont un point commun.

Pour ,

� est au-dessus de

Δ.

Propriété

�

Soit

� la courbe représentative de f et

Δ une asymptote horizontale d’équation .

Pour étudier la position de

� par rapport à Δ, on étudie le signe de la différence .

� lorsque , � est au-dessus de Δ.

� lorsque , � est en dessous de Δ.

� lorsque , � et Δ ont un point commun.

la droite Δ d’équation est asymptote oblique à �en et en .

+ ∞

y 2= + ∞

f x( ) 2–

f x( ) 2– x 1–x

---------------=

x 1≥

x 0> x 1– 0≥ f x( ) 0≥

x 1=

x 1>

y b=

f x( ) b–

f x( ) b 0>–

f x( ) b– 0<

f x( ) b– 0=

x 3≠ f x( ) 2x– 1 4x 3–-----------–+=

y 2x– 1+=

f x( ) 2x– 1+( )–[ ]x ∞–→

lim f x( ) 2x– 1+( )–[ ]x + ∞→

lim

∞– + ∞

f x( ) 2x– 1+( )– 4–x 3–-----------=

4–x 3–-----------

x ∞–→lim 4–

x 3–-----------

x + ∞→lim 0= =

f x( ) 2x– 1+( )–[ ]x ∞–→

lim f x( ) 2x– 1+( )–[ ]x + ∞→

lim 0 = =

y 2x– 1+=∞– + ∞

f x( ) 2x– 1+( )–

f x( ) 2x– 1+( )– 4–x 3–-----------=

x 3– x 3=

Exemple �



On peut faire un tableau rassemblant tous les résultats.

La méthode précédente peut s’appliquer à n’importe quelle fonction.

Soit f la fonction définie pour par et � sa courbe représentative dans unrepère �.

� Étudier la limite de f à l’infini.

En déduire que � possède une asymptote horizontale.

Situer � par rapport à cette asymptote.

� Déterminer la limite de f en .

Que peut-on en déduire ?

x 3

– –

– 0 +

+ –

positions � est au-dessus de Δ � est en dessous de Δ

Conclusion

Propriété �

Soit � la courbe représentative de f et Δ une asymptote oblique d’équation .

Pour étudier la position de � par rapport à Δ, on étudie le signe de la différence .

� Lorsque , � est au-dessus de Δ.

� Lorsque , � est en dessous de Δ.

� Lorsque , � et Δ ont un point commun.

∞– + ∞

4–

x 3–

4–x 3–------------

� est au-dessus de Δ sur ] ∞ ; 3 . [–

� est en dessous de

Δ sur

]3 ; + ∞ . [

y ax b+=

f x( ) ax b+( )–

f x( ) ax b+( )– 0>

f x( ) ax b+( )– 0<

f x( ) ax b+( )– 0=

Exercices d’apprentissage (Série 2)Hx 1–≠ f x( ) 2–

x 1+( )2-------------------=

1–

Exercice

�



Les courbes suivantes sont les courbes représentatives de quatre fonctions. Préciser, dans chaque cas,l’ensemble de définition de la fonction et les équations des asymptotes à la courbe (voir figure 8).

On donne .

� Pour quelles valeurs de x la fonction f est-elle définie ?

� Trouver les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

Montrer que la droite d’équation est asymptote oblique à la courbe repré-sentative de f. Quelle est l’équation de l’autre asymptote à ?

Quelles sont les positions relatives de et de ?


� par et sa courbe représentative dans unrepère �.

Démontrer que est asymptote à une courbe simple dont on donnera l’équation. Donner les positionsrelatives des deux courbes.

0 i–2

(C1)

j

0

i–2

–1

(C2)j

2

0

i

–1

(C3)

j

0 i

–2

(C4)

j

Fig. 8

f x( ) x– 2 xx 1–( )2

------------------+ +=

D( ) y x– 2+= C( )C( )

C( ) D( )

f x( ) x2 xx2 1+--------------+= C( )

C( )

Exercice �

Exercice �

Exercice �



Synthèse

� Opérations sur les limites• On suppose que L et sont deux réels finis alors que α peut désigner soit un réel fini, soit ,soit .

Si et si alors .

• ; ; .

� Formes indéterminées (ou abrégé FI)

� Fonctions polynômes etfonctions rationnelles à l’infini• La limite d’un polynôme à l’infini est la limite de son terme de plus haut degré.

• La limite d’une fonction rationnelle à l’infini est la limite du rapport de ses termes de plus hautdegré.

� Limite obtenue par comparaison

• Si pour alors

• Si pour alors

• On a deux énoncés analogues en remplaçant par (dans ce cas ).

� Limite obtenue par encadrement

Si pour alors .

somme produit quotient

L′ ∞–+ ∞

uα

lim L= vα

lim L′=

u v+( )α

lim L L′+=

uv( )α

lim LL′=

1v--⎝ ⎠

⎛ ⎞α

lim 1L′---- si L′ 0≠=

uv--⎝ ⎠

⎛ ⎞α

lim LL′---- si L′ 0≠=

⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧

1x a–-----------

x a→lim ∞–=

<

1x a–-----------

x a→lim + ∞=

>

1x a–( )2

------------------x a→lim + ∞=

+ ∞( ) ∞–( )+ ∞ 0× 00--

∞∞----

x A u x( ) f x( )≤

u x( )x + ∞→

lim + ∞=⎩⎨⎧

≥ f x( )x + ∞→

lim + ∞=

x A f x( ) v x( )≤

v x( )x + ∞→

lim – ∞=⎩⎨⎧

≥ f x( )x + ∞→

lim ∞–=

x + ∞→ x ∞–→ x A≤

x A u x( ) f x( ) v x( )≤≤

u x( )x + ∞→

lim v x( )x + ∞→

lim L= =⎩⎨⎧

≥ f x( )x + ∞→

lim L=



Cas particulier

Si pour alors .

• On a deux énoncés analogues en remplaçant par (dans ce cas ).

• Ce théorème est parfois appelé « théorème des gendarmes ».

� Limite d’une fonction composée

Si alors

� Asymptotes

• La droite d’équation (avec a fini) est asymptote verticale à si on a

(ou ).

• La droite d’équation (avec b fini) est asymptote horizontale à en si on a

(on peut remplacer par ).

• La droite d’équation est asymptote oblique à en si on a

.

On peut aussi dire que la droite d’équation est asymptote oblique à en si on a :

et .

(on peut remplacer par ).

➠

x A 0 f x( ) v x( )≤≤

v x( )x + ∞→

lim 0=⎩⎨⎧

≥ f x( )x + ∞→

lim 0=

x + ∞→ x ∞–→ x A≤

ua

lim � et si v�

lim c= =

Idem(nombre fini ou non)

v � ua

lim c=

(a et c finis ou non)

x a= �f fa

lim + ∞=

fa

lim ∞–=

y b= �f + ∞

f+ ∞lim b= + ∞ – ∞

y ax b+= �f + ∞

f x( ) ax b+( )–[ ]x + ∞→

lim 0=

y ax b+= �f + ∞

f x( ) ax b ε x( )+ += ε x( )x + ∞→

lim 0=

+ ∞ – ∞



Exercices d’entraînement


et � sa courbe représentative.

� Étudier la limite de f quand x tend vers . Que peut-on en conclure ?


Montrer que la droite Δ d’équation est asymptote oblique à � à l’infini.

Étudier les positions relatives de � et de Δ.

Soit f la fonction définie sur par et � sa courbereprésentative.

� Déterminer les limites de f en . Que peut-on en déduire ?


En déduire que � possède une droite asymptote Δ.

Vérifier que .

Étudier les positions relatives de � et de Δ.


� Étudier les limites de f à l’infini.

Montrer que � possède une asymptote Δ.

Situer � par rapport à Δ.

� On pose, pour tout x réel, .

On appelle la courbe représentative de g, dans le même repère.

Déterminer les limites de g à l’infini.

Montrer que possède une asymptote .

Situer par rapport à .

Soit f la fonction définie sur l’ensemble par et � sa

courbe représentative dans un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisse,1 cm en ordonnée).

� Déterminer les limites de f en 2. Que peut-on en déduire ?


Montrer que � admet une asymptote Δ dont on donnera l’équation.

Situer � par rapport à Δ.

Déterminer la dérivée de f ainsi que le signe de cette dérivée. Dresser le tableau de variation de f.

Soit A le point où � coupe son asymptote Δ. Donner les coordonnées de A. On désigne par latangente à � en A.

Trouver une équation de .

x 2–≠

f x( ) x 1 x 1–x 2+( )2

-------------------+ +=

2–

y x 1+=

E = ] ∞– ; 1– [ ∪ ] 1– ; + ∞[ f x( ) x2 4x+x 1+( )2

-------------------=

1–

f x( ) 1 2x 1–x 1+( )2

-------------------+=

f x( ) 4x2 2+x2 1+

-----------------=

g x( ) f x( )=

C( )

C( ) D( )

C( ) D( )

E = ] ∞– ; 2 [ ∪ ]2 ; + ∞[ f x( ) x2

x 2–( )2------------------=

O ; i j ,( )

T( )

T( )

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�



� Tracer les asymptotes, la tangente en A et la courbe

�.

� On voit sur le graphique que coupe

� en un point K. Conjecturer graphiquement les coordon-nées de K et le vérifier par le calcul.

Résoudre graphiquement l’inéquation .


� par et

� sa courbe représentative dans un repère

orthogonal (unités graphiques : 2 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée).


En déduire l’existence d’une asymptote

Δ à la courbe

�.

Étudier les positions relatives de

� et de

Δ.

� Déterminer la dérivée et étudier son signe.

En déduire les variations de f sur

�.

Tracer

Δ et

�.

La courbe

� présente une particularité : laquelle ? Pouvait-on le prévoir dès le début ?

T( )

f x( ) 4x 3–≤

f x( ) 2 x2

x4 1+--------------–=

O ; i j ,( )

f′ x( )

Exercice

�



Aidesaux exercices d’entraînement

� Le dénominateur tend toujours vers .

Attention au signe du numérateur.

� Appliquer la règle donnant la limite à l’infini d’une fonction rationnelle. Ne pas oublier ensuite .

On cherche la limite, puis le signe, de .

� Le dénominateur tend toujours vers .

� Règle donnant la limite à l’infini d’une fonction rationnelle.

On écrit sous le même dénominateur.

Étudier le signe de .


On obtient l’équation de

Δ et on cherche le signe de .

� On peut écrire g comme une fonction composée : .

Pour situer par rapport à , le plus simple est d’utiliser le fait que . La fonction« racine carrée » conserve l’ordre des nombres.

� Le dénominateur tend vers .


On étudie le signe de .

On écrit et on utilise la formule donnant la dérivée d’un quotient.

On peut simplifier par mais ce n’est pas conseillé.

Dans ce cas la valeur annule le numérateur mais pas la dérivée.

Chercher l’abscisse de A revient à résoudre . On peut le faire en utilisant la question

�.

Le coefficient directeur de est . On écrit ensuite l’équation de sous la forme. On trouve p en écrivant que passe par A.

� Faire attention aux unités. Tracer les asymptotes et la tangente avant la courbe.

� Il est facile de conjecturer les coordonnées de K. On peut aussi le vérifier sur l’écran de sa calculatrice.

Résoudre revient à chercher quand la courbe

� est située en dessous (au sens large) dela tangente .

� La fraction rationnelle tend vers 0 à l’infini.On peut étudier le signe de . La courbe

et l’asymptote ont un point commun.

� On dérive un quotient. Essayer de factoriser au maximum le numérateur. La dérivée s’annule pourtrois valeurs.

Attention aux unités. La courbe admet trois tangentes horizontales.

On peut montrer que la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées en montrant que fest paire.

■

0+

x 1+

f x( ) x 1+( )–

0+

1 2x 1–x 1+( )2

-------------------+

f x( ) 1–

f x( ) 4–

g u � f=

C( ) D( ) 0 f x( ) 4< <

0+

f x( ) 1–

f uv--=

f′ x( ) x 2–( )

x 2=

f x( ) 1=

T( ) f′ 1( ) T( )y f′ 1( )x p+= T( )

f x( ) 4x 3–≤T( )

x2

x4 1+-------------- f x( ) 2–

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�


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202017370 es-maths-cned-sequence-03-limites-et-asymptotes 2