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BEP ASH P4 S2
Activités géométriques et remédiation(s)
M. VinaisFormateur vacataire IFUCOME / Université d'AngersEx Responsable de l’ASH IUFM Centre Val de LoireUniversité d'Orléans
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La géométrie serait le corps organisé des connaissances relatives à l'espace. La géométrie s'est constitué comme une branche des mathématiques à partir du moment où elle est devenue une science "hypothético-déductive" soumise aux lois du raisonnement logique.
Activités géométriques
Les activités géométriques devraient permettre de développer :- l’imagination,- la rigueur et la précision,- ainsi que le goût du raisonnement.
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La géométrie s'est constitué comme une branche des mathématiques à partir du moment où elle est devenue une science "hypothético-déductive" soumise aux lois du raisonnement logique.
Mais...Nous connaissons le postulat d'Euclide: " Par un point A pris hors d'une droite D, on peut mener une droite et une seule parallèle à D". Ce résultat est une "évidence intuitive" mais il n'a jamais été démontré; ce fait a beaucoup préoccupé les mathématiciens depuis Euclide.
(LOBATCHEVSKI… RIEMAN…)
Activités géométriques
Place du perceptif… Domaine des IM… Ostention….
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Quelques obstacles pour accéder au domaine géométrique :
➢ Passage difficile de l'espace sensible à l'espace représentéPassage 3D / 2D
➢ Structuration des connaissances différentes (espace et géométrie)
➢ Problème du langage utilisé et représentation
➢ L’indifférenciation du repérage-mesurage et de la géométrie
➢ Les aspects développementaux du sujet ou plus généraux sur le fonctionnement du sujet...
…/…
Activités géométriques
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Quelques obstacles pour accéder au domaine géométrique :
➢ Passage difficile de l'espace sensible à l'espace représenté➢ Passage 3D / 2D
Difficultés du « au voir » / savoir :Représenter en deux dimensions un objet tridimensionnel soulève un problème de taille… Où dois-je me placer ? Les enfants ne peuvent avoir que des visions locales des différents éléments qui composent l'ensemble. Or cette vision globale ne peut advenir que d'une construction intellectuelle qui nécessite le respect de tous les rapports (espace, orientation et propriétés…. codes sociaux...)
Activités géométriques
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Quelques obstacles pour accéder au domaine géométrique :
➢ Structuration des connaissances différentes (espace et géométrie)
MH Salin et Berthelot soulignent une différence concernant l'organisation des connaissances :Les connaissances spatiales spontanées ou culturelles sont moins bien répertoriées dans la mesure où elles sont utilisées in situ par le sujet pour résoudre des problèmes quotidien ou plus tard professionnels divers.Les connaissances de la géométrie sont identifiées et organisées de manière structurée. Structure interne de ma matière….
Activités géométriques
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Quelques obstacles pour accéder au domaine géométrique :
➢ Problème du langage utilisé et représentation
Une autre différence concerne le vocabulaire employé : dans la vie courante ou professionnelle, un objet carré ne sera jamais considéré comme rectangulaire , alors qu'en géométrie un carré est un rectangle particulier. Rond n'est pas un terme géométrique, en géométrie il est question de cercle ou disque…En géométrie les concepts utilisés doivent être correctement définis : exemple diagonale ? Aire, surface, longueur… (cf Stella Baruk)
Activités géométriques
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Quelques obstacles pour accéder au domaine géométrique :
➢ Problème du langage utilisé et représentation
Difficultés liées aux représentations des objets géométriques :- Les jeunes élèves ne disposeraient pas des connaissances qui leur permettraient d'appréhender une droite ou une courbe (trait continu) comme un ensemble de points.- Les élèves ont du mal à faire la distinction entre la représentation d’une droite et celle d’un segment. Ce serait donc la conception de la notion de "droite" qui serait en cause (avec l'idée d'infini).- Certains élèves ne reconnaissent pas des droites perpendiculaires lorsqu’elles ne sont pas tracées de manière "prototypique".
Activités géométriques
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En mots
Symbolique Concret
Semi-concret
Modes de représentation
Cf. Travaux Baroody et univ. Qb.laval
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Quelques obstacles pour accéder au domaine géométrique :
➢ L’indifférenciation du repérage-mesurage et de la géométrie
La géométrie ne trouve quasiment jamais son exploitation seule ; elle
est trop fréquemment en appui sur le système métrique, ou plus exactement elle sert de prétexte, de support à l'élaboration d'un système de mesure ;
Cela amène la question de ce que l'on est entrain de faire et dans quel domaine mathématique se situe t-on ? >>> DIAPO SUIVANTE
Activités géométriques
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Numérique
GéométriqueNumérique
Géométrique
Géométrique
Numérique
RepérageMesurage
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Travailler sur du quadrillage (ex. : page de cahier seyes) c'est prendre le risque de mettre l’apprenant en situation de repérage mesurage alors qu’on ne le désire pas forcément.
Travailler sur une page vierge (blanche) c'est obliger à structurer l'espace. Quand on parle de structurer l’espace chez un sujet, est-il question de géométrie?
Activités géométriques
22Cf. MScol
En général, les outils nécessaires à ton travail sont :Règle non graduée,Règle plate graduée,Équerre,Compas...
23Cf. MScol 24Cf. MScol
25Cf. MScol 26
« Date à 4 carreaux de la marge… »
Lundi 1er mars
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Quelques obstacles pour accéder au domaine géométrique :
➢ Difficultés liées aux tâches de construction ex. : connaissance incomplète des instruments. Par exemple, pour beaucoup
d'élèves, un compas sert à tracer des cercles mais pas à reporter des longueurs
➢ Difficultés liées aux taches de reproduction ex. : Etablissement d’une chronologie des tracés. L'établissement de cette
chronologie suppose de construire mentalement au moins une partie de la figure (opération délicate). Aspect procédurale de l'activité… pensée opératoire
➢ Difficultés liées aux descriptions de figuresex. : Au niveau du vocabulaire. L'élève ne connaît pas certains mots
mathématiques,. L'élève confond certains mots et utilise certains mots mathématiques avec leur sens courant ou certains mots du langage courant qui n'ont pas de sens en mathématiques (rond, trait…).
➢…/…
Activités géométriques
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Quelques obstacles pour accéder au domaine géométrique :
➢ Les aspects développementaux du sujet ou plus généraux sur le fonctionnement du sujet :
Construction de l'espace
La question de l'invariance (conservation)
…/…
Activités géométriques
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La constitution de ces invariants/conservations se fait secteur par secteur selon un ordre qui comporte des décalages au niveau du temps :
Vers 6/7 ans : conservations des équivalences quantitatives.
Vers 6/7 ans : conservation des longueurs.
Vers 7/8 ans : conservation des surfaces.
Vers 8 ans : conservation de la substance.
Vers 8-9 ans : conservation du poids.
Dans le stade suivant, vers 11-12 ans : conservation des volumes.
Activités géométriques
3232
On peut dire que la géométrie part du monde sensible pour le structurer en monde géométrique : celui des volumes, des surfaces, des lignes, des points…ou celui des points, des lignes, des surfaces, des volumes ???
Une première différence tient au fait que l'enfant dispose de connaissances spatiales avant même qu'on lui propose d'apprendre la géométrie et la géométrie doit être enseignée pour exister.
Activités géométriques
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Une conclusion provisoire s'impose ici :
Pour François Boule, "Au début, à l'école, il est moins question de géométrie que d'espace. Il s'agit d'établir des représentations mentales et de les maîtriser, en un mot, il s'agit de : “ commencer à penser l'espace ” Les représentations mentales sont partout présentes. Cela passe naturellement par : le repérage, les déplacements, la reconnaissance des formes, mais aussi par la construction d'objets, la mémorisation des lieux, l'évocation des points de vue, l'imagination..
Activités géométriques
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Choisir un matériel :
➔ Facilement utilisable, pratique à presque tous les niveaux.➔ Pouvant se pratiquer seul ou en grand groupe.➔ Suffisamment attractif et évolutif ➔ Présentant un intérêt supposé pour les élèves.➔ Ayant un intérêt mathématique.➔ Ouvert à des manipulations.➔ caractère évolutif.➔ utilisation sur le long terme.
Par ailleurs, l’appareil photo est un très bon outil
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Cycle 1 et 2 :
Cf. Catherine Berdonneau, professeur IUFM de Cergy-Pontoise.
Structuration de l’espace et géométrie - D. Pernoux - Formateur ESPE d’Alsace
« Pour appréhender l'espace en maternelle. » SCEREN
Ouvrages de R. Charnay, de J. Briand, de T. Diaz. De A. Pierrard…
Auteurs de référence (+anciens) : J.Piaget, De Ajuriaguerra, J et S Sauvy, L. Lurçat...
…/...
Passage à la géométrie : Qu'est-ce qu'une construction géométrique ?
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Elle va avoir pour but la recopie du monde environnant.
Le sujet devra en comprendre ses caractéristiques et ses lois de mise en chantier.
Le sujet devra également envisager les transformations qu'il pourrait subir et ce qui variera ou non lors de ces transformations
Qu'est-ce qu'une construction géométrique ?
II faut accompagner le sujet apprenant vers la construction.
La construction transite par la reconstruction.
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Pour parvenir au stade de la construction, il faut nécessairement percevoir les propriétés basiques telles que l'alignement, l'équidistance, le parallélisme, l'orthogonalité, …
En terme de connaissance en actes, les propriétés sont révélées par le dessin
Qu'est-ce qu'une construction géométrique ?De la reproduction à la reconstruction en géométrie
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Programmes pour les cycles 2, 3 et 4.
BO Spécial N°11 du 26 novembre 2015 (extraits)
Au cycle 2, les élèves acquièrent a la fois des connaissances spatiales comme l’orientation et le repérage dans l’espace et des connaissances géométriques sur les solides et sur les figures planes. Apprendre a se repérer et se déplacer dans l’espace se fait en lien étroit avec le travail dans Questionner le monde et Éducation physique et sportive.
Les connaissances géométriques contribuent a la construction, tout au long de la scolarité obligatoire, des concepts fondamentaux d’alignement, de distance, d’égalité de longueurs, de parallélisme, de perpendicularité, de symétrie
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Attendus de fin de cycle 2 (Extraits BO N°11 26 Nov. 2015)
(Se) repérer et (se) déplacer en utilisant des repères et des représentations
Reconnaître, nommer, décrire, reproduire quelques solides.
Reconnaître, nommer, décrire, reproduire, construire quelques figures géométriques
Reconnaître et utiliser les notions d’alignement, d’angle droit, d’égalité de longueurs, de milieu, de symétrie
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Au cours du cycle 3 (Extraits BO N°11 26 Nov. 2015)
Reconnaître et utiliser quelques relations géométriques (notions d’alignement, d’appartenance, de perpendicularité, de parallélisme, d’égalité de longueurs, d’égalité d’angle, de distance entre deux points, de symétrie, d’agrandissement et de réduction).
Reproduire, représenter, construire : des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples)...
Réaliser, compléter et rédiger un programme de construction.
Réaliser une figure simple ou une figure composée de figures simples a l’aide d’un logiciel.
…/...
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QUELQUES ASPECTS DE L'EVOLUTION HISTORIQUE DE LA GEOMETRIE.
- Les arpenteurs de l'ancienne Egypte
- Dans un autre domaine, celui de l'astronomie,
- …/…
Cf « Les origines de la géométrie » sous la direction de M. Serres
« Les maths ont une histoire » F. Cerquetti-Aberkane
Activités géométriques et remédiations
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La géométrie à l’heure actuelle.
Une ou des géométries ?
Etude des notions et propriétés qui restent invariantes pour un groupe donné de transformation(s).
Activités géométriques
•Extrait d’Hermes IV & V de M. Serres :
Mon corps, je n’y peux rien n’est pas plongé dans une variété unique et spécifiée. Il travaille dans l’espace euclidien mais il y travaille seulement. Il y voit dans l’espace projectif. Il touche, caresse, manie dans l’espace topologique. Il souffre dans un autre, entend et communique dans un troisième… Mon corps est plongé dans l’intersection difficile de cette famille nombreuse… Et l’on dira malade, celui qui manquera la construction de cette intersection…
•Dictionnaire des mathématiques de S. Baruk
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Les différentes géométries
TOPOLOGIE
GEOMETRIE PROJECTIVE
GEOMETRIE AFFINE
GEOMETRIE DES SIMILITUDES
GEOMETRIE METRIQUE Longueurs conservées + ceux similitudes
Continuité / voisinage /intérieur..extérieur
Alignement + ceux de la topologie
Parallélisme + ceux de la géom projective
Angles csrv/ orthogonalité + Ceux affine
Construction de l ’espace chez l ’enfant
L‘enfant et la construction des espaces géométriques
48Diaporama M. Vinais
Activités géométriques
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Concepts VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en
Didactique des Mathématiques vol 10 2/3 pp. 133-170
Un concept est un triplet de trois éléments qui permettent de le construire :
S : un ensemble de situations qui donnent sens au concept (la référence)
I : un ensemble d'invariants sur lesquels repose l'opérationnalité des schèmes (le signifié)
S : un ensemble de forme langagière et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant)
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Les activités géométriques sont pour les apprenants une occasion privilégiée
• d'apprendre à organiser,
• d'apprendre à maîtriser l'espace graphique, si tant est bien sûr que le type d'activité proposé laisse une marge suffisante pour que l'apprenant puisse circuler au sein de cet espace.
Activités géométriques
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Ce que pourraient être les objectifs d'une activité géométrique:
Toute activité de géométrie nécessite :
• la prise en compte d'Images Mentales;• l'élaboration de stratégie;• la mise en œuvre de conduites :
analogique/opératoire.
Activités géométriques
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Objectifs généraux:
• Développer les capacités de mentalisations et plus précisément la capacité à se représenter des actions (ou plus exactement l'effet des actions) avant de les accomplir;
• de simuler leur agencement; • de se concentrer sur une activité intellectuelle;• d'organiser et structurer sa pensée, de la maîtriser.• de structurer un discours (utilisation de plusieurs langages)
Activités géométriques
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Développer les capacités de mentalisation et plus précisément la capacité à se représenter des actions (ou plus exactement l'effet des actions) avant de les accomplir; de simuler leur agencement; de se concentrer sur une
activité intellectuelle; d'organiser et structurer sa pensée, de la maîtriser. de structurer un discours
Entrons dans le vif du sujet !Comment reproduire exactement cette figure en gardant toutes ses propriétés ?…Travail par groupe de x.
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Concepts et objets géométriques
NB: les objets géométriques ne peuvent exister sans les concepts géométriques. Il y a une liaison très forte entre les deux…
Notion de concept en acte (G. Vergnaud).
Importance de travailler sur les concepts (ex. sur item de l’évaluation 6ème 1992.)
Activités géométriques
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Présentation et appropriation des “Dossiers d’activités géométriques”.
Activités géométriques,
Cadre
et
Contenants de pensée1 CDP
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Un cheminement à construire en géométrie... Cf.“Dossiers d’activités géométriques”.
•Concepteurs
•Attitude cognitive
•Concepts de géométrie et leur articulation.
•Restauration de l’…
•Travail IM
•Processus de pensée.
•Publics
62 6363
6464 6565
Mise en situation à partir des “Dossiers d’activités géométriques”.
Instruments
et
éléments techniques
Crayon papier / critériumRègle non graduéeCompasGomme
EquerreTequerre
GabaritsGuide-âne
Règle graduéeRègle roulante
« Rapporteur »
6666
Situation de départ Réalisation
1
2
3
4
5
67
P1P2
P3 P4
P9 P7
Aide : l’élastique au bureau
68
P1
P2
Déplacement de point(s) (Cf. Maria Restrepo, déplacement libre… déplacement contraint...)
P3
69
P1
P2
Déplacement de point(s) : déplacement contraint
P3
Déplacer P3. Situations où l'on peut continuer à tracer
la droite passant par P1 P2 P3
70
P1
P2
Déplacement de point(s) : déplacement libre
P3
Peut-on tracer un triangle en utilisant ces 3 points ?
71
Problèmes ouverts
Combien de droites distinctes peut-on tracer avec X points distincts?
72
Problèmes ouverts
Avec x points distincts permettant de tracer des droites distinctes, combien de points supplémentaires peut-on créer ?
111111
Utilisation d'autres instruments : gabarit, équerre, équerre papier...
112Cf. Mscol CapMaths
Cahier GM p. 9 exercice ACette activité de reconnaissance permet l’expression d’un certain nombre de conceptions erronées :– la perpendicularité de deux droites : droites sécantes quelconques ou droites sécantes avec l’une des deux qui est soit verticale, soit horizontale ;
113
Identification angles droits dans une figure complexe
Cf. Mscol Ermel
122
Parallélisme
Double orthogonalité ?
D1
D3D2
123
Parallélisme
Double orthogonalité ?
D1
D5D4
124
Le parallélisme
Il s’agit ici de faciliter l’utilisation du parallélisme pour en renforcer le concept donc il n’est pas question…
Utilisation d'autres instruments : gabarit (guide âne, « paralléleur »), téquerre, règle/équerre, règle roulante ...
125Cf. Mscol CapMaths
Cahier GM p. 9 exercice ACette activité de reconnaissance permet l’expression d’un certain nombre de conceptions erronées :
– le parallélisme de deux droites : deux traits rectilignes qui ne se coupent pas matérialisent deux droites parallèles. Cette perception du parallélisme est imputable à une conception erronée de la droite qui est assimilée au trait qui la matérialise.
126Doc. MVinais 126 127Doc. MVinais 127
143
Le discours en géométrie (et machine à construire)
Utilisation de structures spécifiques… TRACER..• des points P~ ( ce qui peut définir un point)
P~ intersection de D~ et D~P~ intersection de D~ et C~P~ intersection de C~ et C~
• des droites D~ (ce qui peut définir une droite)D~ droite passant par P~ P~D~ droite perpendiculaire à D~ passant par P~D~ droite parallèle à D~ passant par P~
• des cercles C~ ( ce qui définit un cercle)C~ cercle de centre P~ et passant par P~C~ cercle de centre P~ et de rayon P~ P~
144
Construire :
C’est d’abord « analyser » les propriétés de ce que l’on veut reconstruire ;
C’est ensuite développer une procédure entièrement soumise aux propriétés repérées, procédure qui est caractérisée par le fait qu’elle représente un système nécessaire et suffisant ;
Au sein de cette procédure, chaque acte traduit explicitement une propriété.
149 150
Voici des adresses où vous pourrez télécharger de nombreux logiciels gratuits (cf JL Brégeon) :
http://cartables.net/logiciels/ (Geonext)
http://pragmatice.net/kitecole/logiciels_kit_p_w9.htm.
…/….
http://jean-luc.bregeon.pagesperso-orange.fr/Page%206.htm
Rédigéo / Géoclide
http://www.langagiciels.com
157157
3 Dossiers édités par le
CNEFEI 58/60 avenue des Landes 92150 - SURESNES Tel 01 41 44 31 29
• Activités géométriques N° 1………………...………8€
• Activités géométriques N° 2…………………………8€
• Constellations N°1 Du dessin à la reconstruction……8€
•Frais 2 ou 3 >>3,20 € 6 ou 7 >>> 5€ …../...
167167
Dossier de géométrie :
LES CONSTELLATIONS
168168
Qu’est-ce qu’une constellation ?
•Ensemble de formes non connexes
•Liens structuraux plus ou moins visibles
169169
Une transformation est un déplacement dans l’espace, certains parlent de mouvement dans l’espace.
Qu’ont de particulier ces transformations ?