ENPC - Ecoulements Compressibles et Transferts de Chaleur

BUREAU D’ETUDEDimensionnement d’un aéroréfrigérant

Enoncé

Les aéroréfrigérants sont des dispositifs permettant d’utiliser l’air ambiant comme source froide des centralesthermiques. Il existe différents types d’aéroréfrigérants. Les aéroréfrigérants à tirage naturel sont constitués d’unetour en béton armé en forme d’hyperboloïde de révolution, à la base de laquelle circule de l’eau qui est refroidiepar le courant d’air résultant de l’effet de tirage. Dans un réfrigérant de type sec, il n’y a pas de contact directentre l’eau et l’air. Au contraire, dans un réfrigérant de type humide, l’eau et l’air sont en contact dans la zoned’échange où l’eau ruisselle ou tombe en pluie. A la sortie de cette zone, l’air est en général saturé de vapeurd’eau.On se propose ici d’étudier de façon approchée le fonctionnement d’un tel appareil dans une atmosphère

supposée sans vent.

1. Etude du tirage

1.1 Ecrire tout d’abord l’équation de Bernoulli pour un fluide de masse volumique variable, dans le cadre del’approximation de Boussinesq.

1.2 Appliquer ce résultat à une ligne de courant suivant le trajet ABCDE (Cf. figure 1) en effectuant leshypothèses suivantes :— les frottements sur le sol et sur les parois sont négligeables,— les différents phénomènes de frottement et de dissipation en entrée, dans les zones d’échange et au dessus,sont représentés par un coefficient global de pertes de charge singulières, noté ξc, défini à partir de lavitesse moyenne en C,

— la hauteur de la zone d’échange CD est négligeable,— la masse volumique est supposée constante sur le trajet ABC (où elle sera notée ρ0) ainsi que sur le trajetDE (où elle sera notée ρ).

1.3 La zone de jet au dessus du point E est fortement dissipative. Aussi l’équation de Bernoulli ne peut yêtre appliquée. L’expérience montre cependant qu’entre les points F et E0 (point situé juste en dehors du jet),l’écoulement s’effectue de façon quasi-horizontale avec une vitesse qui reste faible devant la vitesse verticale àla sortie de la tour (en E). Montrer alors que les valeurs de la pression en E et en F peuvent être supposéeségales.

1.4 Etablir finalement l’équation du tirage sous la forme d’une relation entre la hauteur H (Cf. figure 1) etla quantité :

1

2ξtotρ0V

2C

où ξtot est un coefficient global adimensionnel de pertes de charge à préciser.

2. Bilan thermique interne

1

0H

0D

1D

H

A B C

D

EE’F

Fig. 1 — Schéma de principe d’un aéroréfrigérant.

Lorsque l’aéroréfrigérant est couplé à la centrale, la puissance Φ qu’il évacue vers l’atmosphère dépend de latempérature d’eau en sortie d’aéroréfrigérant (température d’eau froide notée Te2, Cf. figure 2) par l’intermé-diaire du rendement de la centrale. En première approximation, on considérera cependant que cette puissancereste constante.Par ailleurs, dans le cas d’un aéroréfrigérant humide, on négligera les variations de masse volumique de l’air

dues aux variations d’humidité. L’analyse fine de la qualité de l’échange entre l’eau et l’air est assez complexe. Eneffet, cet échange dépend de la forme du champ de vitesse d’air dans la zone d’échange. Une telle analyse montrecependant qu’à quelques degrés près, la température de sortie d’air T est égale à la moyenne des températuresd’entrée et de sortie d’eau. C’est cette hypothèse qui sera retenue dans la suite, pour l’aéroréfrigérant humidecomme pour l’aéroréfrigérant sec. On notera T0 la température de l’air ambiant.

2.1 Exprimer la puissance Φ à partir des caractéristiques du circuit d’eau.

2.2 Ecrire le bilan thermique du circuit d’air, pour le cas d’un réfrigérant sec.

2.3 Ecrire le bilan thermique pour un réfrigérant humide. Pour ce dernier, on supposera que l’air est saturéen vapeur eau à la sortie de la zone d’échange (en D). Montrer, en particulier, qu’on a la relation suivante :

Φ = Qa

·Cp,a (T − T0) +

Me

Ma

µps (T )− ε0ps (T0)

p

¶L

¸avec Qa le débit d’air, Cp,a la capacité calorifique de l’air, Me la masse molaire de l’eau, Ma la masse molairede l’air, ps la pression de vapeur saturante de l’eau, p la pression atmosphérique au sol, L la chaleur latente devaporisation de l’eau et ε0 l’humidité relative de l’air ambiant (Cf. plus bas pour des compléments d’informationsur ces quantités physiques).Indication : on cherchera à exprimer la portion du débit d’eau vaporisée en fonction de l’humidité relative

et de la pression de vapeur saturante de l’eau.

2.4 Dans le cas du réfrigérant humide, à partir des deux équations obtenues en 1.4 et 2.3 et en utilisantles données numériques ci-dessous, calculer le débit massique d’air Qa, la température de sortie d’air T , ainsique les températures d’entrée et de sortie d’eau Te1 et Te2. Calculer la valeur du débit d’eau vaporisé dans lazone d’échange et qui doit être compensé par un apport extérieur (noté δQe). Calculer alors le rendement dela centrale et la puissance électrique fournie, la température de la source chaude étant de 150 ◦C. Calculer lenombre de Froude réduit construit sur le diamètre de sortie D0 et sur la vitesse de sortie VE .

Données numériques :

2

Eau « froide »

2, eee TQQ δ−

Eau « chaude »

1, ee TQ

pluie

1D

Air ambiant « froid »

00 ,, εTQa

Air « chaud »1,, =εTQa

Fig. 2 — Schéma de principe de la zone d’échange d’un réfrigérant humide à “courants crois és”.

Centrale : puissance thermique évacuée par l’aéroréfrigérant Φ = 2400MW, débit d’eau Qe = 46000 kg/ sAir ambiant : température T0 = 11 ◦C, humidité relative ε0 = 70%, pression p0 = 10

5 barAéroréfrigérant humide : H0 = 165m, H = 150m, D0 = 90m, D1 = 150m, ξtot = 50

N.B. : le Bureau d’Etude proprement dit s’arrête à la question 2.4. Vous traiterez les questions 2.5 et 3.1 et3.2 en tant que travail personnel (devoir) à rendre ultérieurement.

2.5 Calculer, pour la même centrale thermique, les dimensions d’un réfrigérant de type sec en homothétiegéométrique avec le réfrigérant humide étudié à la question précédente et conduisant au même rendement, c’est-à-dire aux mêmes caractéristiques du circuit d’eau (mêmes températures d’entrée et de sortie dans le réfrigérantet même débit). On donnera en particulier, pour ce réfrigérant, le débit et la température de sortie de l’air ainsique la valeur du nombre de Froude réduit (en utilisant la même définition que dans la question précédente).N.B. : on admettra que le coefficient de pertes de charge ξc est le même pour le réfrigérant sec que pour le

réfrigérant humide.

3. Synthèse

3.1 En utilisant les résultats expérimentaux concernant les jets portants vus en cours, donner une approxi-mation de la valeur maximale de la vitesse dans une atmosphère sans vent à une altitude de 1000m au dessusd’un réfrigérant humide et d’un réfrigérant sec.

3.2 Dresser un bilan des avantages respectifs des dispositifs sec et humide, et concernant tant le réfrigérantlui-même que son environnement.

3

Propriétés physiques

— On supposera que l’air est assimilable à un gaz parfait, en négligeant toutefois les variations de températureet de masse volumique dues aux variations de pression hydrostatique sur la hauteur H0 de l’aéroréfrigérant(écoulement incompressible). On négligera également les variations de pression dans la zone d’échange.

— Rappels sur l’air humide : L’air humide est constitué d’un mélange d’air sec et de vapeur d’eau. L’humiditérelative ε est définie comme le rapport entre la masse d’eau en phase gazeuse contenue dans un volumedonné d’air humide et la masse d’eau en phase gazeuse contenue dans l’air humide saturé (i.e. la vapeurd’eau est dans les conditions de saturation) occupant le même volume et pour la même température.L’humidité relative peut donc s’écrire :

ε =ρvap

ρvap,sat

Compte tenu de la loi des gaz parfaits on a :

p

ρ=1

MRT

où M est la masse molaire du gaz considéré. D’après la loi de Dalton, la pression partielle de chaqueconstituant en phase gazeuse suit la loi des gaz parfaits et la pression totale est la somme des pressionspartielles p = pair + pvap. La loi des gaz parfaits appliquée à la vapeur d’eau donne :

pvapρvap

=1

MeRT

soit, à saturation :ps

ρvap,sat=

1

MeRT

d’où l’on tire :

ε(T ) =pvap(T )

ps(T )

où pvap est la pression partielle locale de la vapeur d’eau et ps(T ) la pression de vapeur saturante à lamême température. (la pression de vapeur saturante est donnée en fonction de la température dans letableau en annexe).

— La pression atmosphérique au sol est de 105 Pa, la masse volumique de l’air à 11 ◦C et pour cette pressionest ρ0 = 1.2 kg/m

3.— Données thermiques : masse molaire de l’eau Me = 18 g, masse molaire de l’air Ma = 29 g, chaleurlatente de vaporisation de l’eau L = 2.45 × 106 J/ kg, chaleur massique de l’air à pression constanteCp,a = 1005 J/ kg/

◦C, chaleur massique de l’eau à pression constante Cp,e = 4180 J/ kg/◦C.

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Annexe : pression de vapeur saturante de l’eau en fonction de latempérature

T (°C) T (K) Ps (Pa) T (°C) T (K) Ps (Pa)0 273 610,80 52 325 13 610,00 2 275 705,40 54 327 15 000,00 4 277 812,90 56 329 16 510,00 6 279 934,60 58 331 18 150,00 8 281 1 072,10 60 333 19 920,00

10 283 1 227,10 62 335 21 840,00 12 285 1 401,50 64 337 23 910,00 14 287 1 597,40 66 339 26 140,00 16 289 1 816,80 68 341 28 550,00 18 291 2 062,00 70 343 31 160,00 20 293 2 337,00 72 345 33 960,00 22 295 2 642,00 74 347 36 960,00 24 297 2 982,00 76 349 40 190,00 26 299 3 360,00 78 351 43 650,00 28 301 3 778,00 80 353 47 360,00 30 303 4 241,00 82 355 51 330,00 32 305 4 753,00 84 357 55 570,00 34 307 5 318,00 86 359 60 500,00 36 309 5 940,00 88 361 64 950,00 38 311 6 624,00 90 363 70 110,00 40 313 7 375,00 92 365 75 610,00 42 315 8 198,00 94 367 81 460,00 44 317 9 010,00 96 369 87 690,00 46 319 10 085,00 98 371 94 300,00 48 321 11 160,00 100 373 101 325,00 50 323 12 335,00

Fig. 3 — Pression de vapeur saturante en fonction de la température.

N.B. : dans la gamme de température considérée, on propose d’utiliser l’interpolation suivante pour la pressionde vapeur saturante ps (T ) :

ps (T ) = 9.46437149× 10−4 × T 4 − 1.06391783× T 3

+451.582337× T 2 − 85694.5561× T + 6129181.09

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