Département Mathématiques

CUEEP / USTL

Affine

Février 2007

Table des Matières

ChapitreI. Préliminaire................................................................................. 5

ChapitreII. La fonction affine....................................................................... 8

A. La fonction affine..................................................................................8 B. Cas particuliers.....................................................................................9 C. Exemples..............................................................................................10 C.1. f(x)=2x+5..........................................................................................................10 C.2. Représentation graphique de la fonction "f"....................................................10 C.3. g(x), h(x) et k(x)................................................................................................11 C.4. Représentations graphiques des fonctions "g, h et k".....................................11 C.5. fonction l(x).......................................................................................................12

ChapitreIII. Lien Formule-Tableau-Graphique.......................................... 13

A. Pas constant de 1................................................................................13 B. Pas constant de 2................................................................................14 C. Sans pas constant................................................................................14

ChapitreIV. Reconnaître le modèle........................................................... 16

A. Sur une formule...................................................................................16 A.1. Reconnaître le modèle sur une formule...........................................................16 A.2. Solution de l'exercice........................................................................................17

B. Sur un tableau.....................................................................................18 B.1. Reconnaître le modèle sur un tableau..............................................................18 B.2. Solution de l'exercice........................................................................................18

C. Sur un graphique.................................................................................19 C.1. Reconnaître le modèle sur un graphique.........................................................19 C.2. Solution de l'exercice.......................................................................................19

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ChapitreV. Equation d'une droite passant par 2 points............................. 20

A. La méthode du tableau........................................................................20 B. La méthode graphique........................................................................20 B.1. La méthode graphique......................................................................................20

C. La méthode algébrique........................................................................21 C.1. La méthode algébrique.....................................................................................21

D. Application..........................................................................................22 D.1. Solution de l'exercice.......................................................................................22

ChapitreVI. Formalisme............................................................................ 23

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ChapitreI. Préliminaire

Exemple - Animatour

Le prix de location d'une voiture chez Animatour est de 15 euros plus 0,15 euro du Km parcouru.15 euros est le forfait et 0,15 euro est le prix unitaire.Lorsqu'on effectue 200 km, le prix est de « 0,15 x 200 + 15 » soit 45 euros.A un nombre de km de 200, on associe un prix de 45 euros.

Explication

Lorsque l'on effectue "n" Km, le prix est de « 0,15 n + 15 » euros.A un nombre "n" de Km, on associe un prix p de « 0,15 n +15 » euros.A une valeur de n on associe une seule valeur de "p".On appelle "t" le tarif : le tarif permet de déterminer le prix à payer pour un nombre de Km parcourus.La lettre "t" est la fonction qui à nombre "n" de Km associe un prix "p".p = t(n) = 1,15n + 15 (on lit t de n) n est la variable, t est la fonction.

Complément - Représentation graphique

La représentation graphique du prix en fonction du nombre de Km parcourus est une droite formée de tous les points dont les coordonnées (n et p) vérifient la relation :

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Tableau 1 - Non titré

p = t(n) = 0,15n + 15 Pour n = 0 T(0) = 15 P = 15

Pour n = 100 T(100) = 30 P = 30

Pour n = 200 T(200) = 45 P = 45

Dans cet exemple quand le nombre "n" de Km augmente le prix p augmente, on dit que "t" est une fonction croissante. Concrètement la fonction tarif "t" correspond à une lecture du graphique en sens direct c'est-à-dire abscisse vers ordonnée.

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Illustration 1 - Non titré

Illustration 2 -

Remarque - Fonction affine

La fonction t(n) = 1,15n + 15 est un cas particulier d'un modèle fonction affine qui se caractérise par le « modèle standard » où la variable d'entrée s'appelle "x" la variable de sortie "y" et la fonction "f"f(x) = ax + b a et b sont des valeurs connues que l'on appelle constantes

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Illustration 4 -

Illustration 3 -

ChapitreII. La fonction affine

A. La fonction affineFondamental - La fonction affine

La fonction affine est une fonction dont le modèle standard est "f(x) = ax + b" où "a" et "b" sont des nombres connus.La représentation graphique de la fonction affine "f(x) = ax + b" est la droite d'équation "y= ax + b" "a" est le coefficient directeur , il caractérise l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des x ( plus le coefficient "a" est grand plus la droite est penchée).Dans le cas où les axes sont orthonormés, on pourra l'appeler pente de la droite.

Si le coefficient a est positif la fonction est croissante.

Si le coefficient a est négatif la fonction est décroissante."b" est l'ordonnée à l'origine ( valeur de l'ordonnée y quand x =0) .

Illustration 5 - Axes orthonormés

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Illustration 5 - Axes orthonormés

B. Cas particuliers

Explication - f(x) = b

Quand la constante « a » est nulle on a alors f(x) = b, c'est une fonction constante.La représentation graphique de la fonction constante f(x) = b est une droite d'équation y=b de coefficient directeur nul, donc parallèle à l'axe des abscisses

Illustration 6 - f(x) = b

Explication - f(x) = ax

Quand la constante « b » est nulle on a alors f(x) = ax, c'est une fonction linéaire.La représentation graphique de la fonction linéaire f(x) = ax est une droite d'équation y=ax passant par l'origine

Illustration 7 - f(x) = ax

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Illustration 6 - f(x) = b

Illustration 7 - f(x) = ax

C. Exemples

C.1. f(x)=2x+5f(x) = 2x+ 5

La fonction f définie par f(x) = 2x+ 5 est une fonction affine croissante : a = 2 et b = 5, sa représentation graphique est la droite d'équation y = 2x+ 5

C.2. Représentation graphique de la fonction "f"Méthode - Représentation graphique

Pour représenter graphiquement une fonction affine, il suffit de 2 points :On donne arbitrairement deux valeurs à x et on calcule avec la fonction les valeurs de y correspondantes.On place les deux points correspondants et peut tracer la droite passant par ces deux points.Rien n'empêche de vérifier avec un troisième point.Bien sûr on s'arrange pour donner à x des valeurs qui permettent un calcul rapideAinsi pour la fonction : f(x) = 2x + 5 :

Pour x = 0 f(0) = 5

Pour x = +2 f(2) = 9La droite d'équation f(x) = 2x + 5 passera par les points de coordonnées (0 ; +5) et (+2 ; +9)Pour x = -2 f(-2) = 1On vérifie que la droite passe bien par le point (-2 ; 1)

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Illustration 8 - fonction "f"

Illustration 8 - fonction "f"

C.3. g(x), h(x) et k(x)

C.3.1. g(x)=-x-3La fonction g définie par g(x) = -x - 3 est une fonction affine décroissante: a = -1 et b =

-3, sa représentation graphique est une droite d'équation y= -x - 3

C.3.2. h(x)=2Pour cette fonction il suffit de placer le point (0 ; +2) et de tracer la parallèle à l'axe des

abscisses passant par ce point.

C.3.3. k(x)= -2xLa fonction k définie par k(x) = -2x est une fonction linéaire décroissante : a= -2 et b = 0,

sa représentation graphique est une droite d'équation y= -2x qui passe par l'origine O

C.4. Représentations graphiques des fonctions "g, h et k"

Exemple - g(x) = -x-3

Pour x = 0 => y= -3

Pour x = -3 => y= 0

Exemple - h(x)= 2

Pour cette fonction il suffit de placer le point (0 ; +2) et de tracer la parallèle à l'axe des abscisses passant par ce point.

Exemple - k(x) = -2x

Pour x = 0 => y= 0

Pour x = 2 => y= -4

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Complément - Les droites

Illustration 9 - Représentation graphique

C.5. fonction l(x)Par contre la fonction l définie par l(x) = 2x2 + 3x +1 n'est pas une fonction affine car

son expression comporte un terme où la variable x est au carré : on dit que c'est une expression du second degré.

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Illustration 9 - Représentation graphique

ChapitreIII. Lien Formule-Tableau-Graphique

Soit la fonction f(x) = -2x + 3

La formule permet de remplir un tableau de valeurs de y = f(x) pour des « x » donnés.

A. Pas constant de 1Exemple

Si on fixe les valeurs de x arbitrairement mais en conservant un pas de 1 entre chaque valeur comme dans le 1er tableau ci-dessous, on remarque que lorsqu'on augmente la valeur de x de 1, on diminue celle de y de 2.A un écart de +1 en x correspond un écart de - 2 en y.Cette valeur de -2 correspond à la constante « a » de la fonction f(x) = -2x + 3Dans ce tableau on a donné à x la valeur 0, à cette valeur correspond une valeur de y égale à 3, cette valeur de 3 correspond à la constante b de la fonction. f(0) = 3 = b

Illustration 10 - Tableau : pas de 1

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Illustration 10 - Tableau : pas de 1

B. Pas constant de 2Exemple

Si entre les valeurs de x on fixe un pas de 2 comme dans le 2ème tableau ci contre, les écarts entre les « y » sont de -4 .On a doublé les écarts de x ce qui a pour effet de doubler les écarts de y et le

rapport écart des xécart des y

=−42

=−2 est constant et correspond à la valeur de la constante

« a » de la fonction f(x) = -2x + 3

C. Sans pas constantExemple

Si on ne respecte pas un pas constant entre les valeurs de x comme dans le tableau ci dessus, les écarts des « x » sont différents et les écarts correspondants des « y » également.

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Illustration 11 -

Illustration 12 -

Par contre les rapports des écarts sont constants : a=−21=−42=−63=−84

et

déterminent la valeur de la constante « a » de la fonction.

Complément - Lecture sur un graphique

Les écarts sont visualisés sur le graphique par les « marches d'escalier ».Pour déterminer "a" il faut faire le rapport des écarts La valeur de "b" est directement lisible sur le graphique ci dessous.

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Illustration 13 - Non titré

ChapitreIV. Reconnaître le modèle

A. Sur une formule

A.1. Reconnaître le modèle sur une formuleLe tableau ci-dessous vous donne une liste d'équations.

Parmi les équations, lesquelles correspondent au modèmle affine ?

Indiquez les valeurs de a et b

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Illustration 14 - Non titrée

A.2. Solution de l'exercice

L'expression x2 + 3 est une expression du second degré.

En développant 3(x+2) on obtient 3x + 6 qui est la forme standard du modèle affine.

−x4

peut s'écrire −14x

L'expression 2x3 + 3x est une expression de degré 3.

En développant (x + 1)2 - (x - 1)2, on obtient x2 + 2x + 1 - (x2 - 2x +1) = x2 + 2x + 1- x2 + 2x - 1 = 4x

En développant (x + 1) - (x - 1) - 2 on obtient x + 1 - x + 1 - 2 = 0

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Illustration 15 - Non titrée

B. Sur un tableau

B.1. Reconnaître le modèle sur un tableauLes tableaux ci-dessous doivent vous permettre de définir les équations des droites.

Ces tableaux numériques correspondent-ils à des droites ?

Si oui, en donner l'équation.

B.2. Solution de l'exerciceTableau A : Réponse : y = 3x + 5 Le corrigé rédigé La démonstration commentée

Tableau B : Réponse : y = -2x + 20 Le corrigé rédigé La démonstration commentée

Tableau C : Réponse : y = 2x + 4 Le corrigé rédigé La démonstration commentée

Tableau D : Réponse : y = -2x - 12 Le corrigé rédigé La démonstration commentée

Tableau E : Réponse : y=−54x10 Le corrigé rédigé La démonstration commentée

Tableau F : Réponse : y=−65x23 Le corrigé rédigé La démonstration commentée

Tableau G : Réponse : y = -2x - 3 Le corrigé rédigé La démonstration commentée

Tableau H: Réponse : Ce n'est pas une droite La démonstration commentée

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Illustration 16 -

Illustration 17 -

C. Sur un graphique

C.1. Reconnaître le modèle sur un graphiqueLes graphiques ci-dessous vous doivent vous permettre de définir les équations des

droites.

Trouver les équations des droites représentées dans les différents graphiques

C.2. Solution de l'exerciceGraphique 1 : Réponse : y = x + 3 Le corrigé rédigé La correction commentée

Graphique 2 : Réponse : y=−13x4 Le corrigé rédigé La correction commentée

Graphique 3 : Réponse : y = 2x + 3 Le corrigé rédigé La correction commentée

Graphique 4: Réponse : y = -x - 2 Le corrigé rédigé La correction commentée

Graphique 5: Réponse : y = -2x Le corrigé rédigé La correction commentée

Graphique 6: Réponse : y = 3 Le corrigé rédigé La correction commentée

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Illustration 18 -

ChapitreV. Equation d'une droite passant par 2 points

Quelle est l'équation de la droite passant par les points A (-1 ; +3) et B (2 ; -3) ?

A (-1 ; +3) veut dire que les coordonnées de A sont x = -1 et y = +3

Trois méthodes existent pour trouver cette équation

A. La méthode du tableauOn reporte les coordonnées des points dans un tableau

B. La méthode graphique

B.1. La méthode graphiqueOn place les points sur un graphique.

On place les points sur un graphique.

On trace la droite et on détermine graphiquement a et b.

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Illustration 19 - Non titrée

C. La méthode algébrique

C.1. La méthode algébriqueOn remplace les valeurs de x et de y dans l'équation y = ax + b

Pour le point A on a x = -1 et y = 3 qui donnent 3 = ax(-1) + b

Pour le point B on a x = 2 et y = -3 qui donnent -3= ax (2) + b

On a un système de deux équations à deux inconnues ; les inconnues étant ici a et b

3 = -a + b => (A)

-3 = 2a + b => (B)

A - B : 3-(-3) = -a - 2a

6 = -3a donne a = -2

3 = -(-2) + b donne b = 3-2 = 1

y = - 2x + 1

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Illustration 20 - Non titrée

D. ApplicationTrouver les équations des droites 1, 2 et 3, en utilisant l'une des 3 méthodes.

Droite 1 : A (2 ; 0) et B (3 ; 5)

Droite 2 : C (-5 ; 7) et D (-2 ; 1)

Droite 3 : E (-4 ; 5) et F (4 ; 9)

Une version imprimable, ainsi que les réponses sont disponibles ici : Equations des droites.

Vous pouvez rédiger cet exercice et le remettre à votre enseignant.

D.1. Solution de l'exerciceDroite 1 : y = 5x - 10

Droite 2 : y = -2x -3

Droite 3 : y=12x7

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ChapitreVI. Formalisme

Fondamental - Fonction affine

Forme générale : f(x) = ax + b Représentation graphique : droite d'équation x est appelé abscisse y est appelé ordonnée "a" est appelé coefficient directeur ou pente de la droite dans le cas d'un repère orthonormé

a=différencedes ordonnéesdifférencedesabscisses

Complément - Sur le graphique

Sur le graphique : différence des y lorsque x augmente de 1b est appelé ordonnée à l'origine.b est la valeur de y lorsque x = 0 Sur le graphique c'est l'ordonnée du point de rencontre de la droite avec l'axe verticalA noter : l'abscisse du point de rencontre de la droite avec l'axe horizontal est la solution de l'équation. f(x) = 0f(x) = ax + b = 0

x=−ba

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Illustration 21 - Non titré

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