1ASC§ais/1ASC/Cours/S1/04.pdfd 4) _ Droites perpendiculaires : / Définition : / Exemples : On considère la figure ci-contre : On dit que D et ' sont deux droites perpendiculaires

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Académie Régionale d’Education et de Formation

Région de Casablanca - Settat

Délégation de Mohammedia

1ASC

1/ Définition :

2/ Représentation :

Le plan peut être représenté en classe par le tableau et par la feuille de notre cahier

de géométrie.

1/ Le point :

*/ Le point est l’élément le plus simple de la géométrie.

*/ Un point est représenté le plus souvent par une croie .

, , , , .........A B C D */ Un point peut porter un nom comme :

*/ Deux points distincts sont deux points différents et ne portent jamais le même nom.

*/ Deux points confondus sont deux points égaux et représentent le même point.

** Exemples :

1/_ A B A BSoient et deux points distincts.. On écrit : .

2/_ Soient A B A B et deux points confondus . On écrit : .

*/ Le plan est une surface infinie sur laquelle on trace : les points, les

droites, les demi-droites, les segments, ainsi que toutes les figures

géométriques.

*/ On dit aussi que le plan est un ensemble de points.

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2/ La droite :

a/ Qu’est-ce qu’une droite ?

*/ La droite est une ligne droite illimitée des deux côtés.

*/ Pour tracer une droite on utilise la règle.

, , , , , , .....D D L L */ Une droite peut porter un nom comme :

** Exemples :

D Soient et deux droites .

** Vocabulaires :

On considère la figure ci-contre telle que :

D une droite et A et B sont

deux points distincts.

*/ Le point A se trouve sur la droite D .

On dit que le point A appartient à la droite D .

On écrit : A D .

On dit aussi que la droite D passe par le point A .

*/ Le point B se trouve à l’extérieur de la droite D .

On dit que le point B n’appartient pas à la droite D .

On écrit : B D .

On dit aussi que la droite D ne passe pas par le point B .

*/ Signifie appartient à.

*/ Signifie n’appartient pas à.



b/ Propriétés :

1)b _ Propriété 1 :

*/ Exemple :

On considère la figure suivante telle que :

A et B sont deux points distincts

On remarque que par les points A et B ne passe qu’une seule droite

Cette droite porte le nom AB ou BA .

2 )b _ Propriété 2 :

*/ Exemple :

On considère la figure suivante telle que : A est un point.

On remarque que par le point A passent une infinité de droites (Plusieurs droites).

c/ Points alignés :

1)c _ Définition :

2 )c _ Exemple et contre-exemple :

On considère les figures ci-contre :

Par deux points distincts passe une et une seule droite

Par un point passent une infinité de droites

Les points alignés sont des points qui appartiennent à une

même droite



d/ Positions de deux droites :

1)d _ Droites sécantes :

*/ Définition :

*/ Exemple :

On considère la figure ci-contre :

On dit que D et sont deux droites

sécantes en A .

*/ Remarques :

-- On appelle A le point d’intersection des deux droites D et .

-- Deux droites sécantes sont distinctes.

2 )d _ Droites confondues :

*/ Définition :

*/ Exemple :



confondues.

On écrit : D ou D .

3)d _ Droites parallèles :

*/ Définition :

*/ Exemples :

On considère les figure ci-contre :


parallèles.

On écrit : D // ou // D .

Deux droites sécantes sont deux droites qui n’ont qu’un

Seule point commun.

Deux droites parallèles sont deux droites non sécantes ou

confondues.

Deux droites confondues sont deux droites qui ont plus d’un

point commun.



*/ Propriété :

4 )d _ Droites perpendiculaires :

*/ Définition :

*/ Exemples :



perpendiculaires.

On écrit : D ou D .

*/ Propriété :

*/ Projeté orthogonale et distance entre un point et une droite :


D une droite et E un point à l’extérieur

de D . La perpendiculaire à D

passant par E coupe D en H

*/ H est appelé : projeté orthogonale de E sur (D).

*/ EH est appelée : distance entre E et (D).

Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui

forment quatre angles droits.

Par un point donné

passe une seule droite

parallèle à une droite

donnée.

Par un point donné

passe une seule droite

perpendiculaire à une

droite donnée.

*/ Exemple :

Par le point M passe une seule droite

parallèle à la droite D

*/ Exemple :

Par le point M passe une seule droite

perpendiculaire à la droite D



e/ Propriétés de trois droites :

1)e _ Propriété 1 :

*/ Exemple :


D // et L la sécante à D .

On remarque que L est sécante à .

2 )e _ Propriété 2 :

*/ Exemple :


D // et L la parallèle à D .

On remarque que L est parallèle à .

3)e _ Propriété 3:

*/ Exemple :


D // et L la perpendiculaire à D .

On remarque que L est perpendiculaire à .

4 )e _ Propriété 4:

*/ Exemple :


D et L la perpendiculaire à D .

On remarque que L est parallèle à .

Si deux droites sont parallèles , alors toute sécante à l’une est

sécante à l’autre.

Si deux droites sont parallèles , alors toute parallèle à l’une est

parallèle à l’autre.

Si deux droites sont parallèles , alors toute perpendiculaire à

l’une est perpendiculaire à l’autre.

Si deux droites sont perpendiculaires , alors toute perpendiculaire à

l’une est parallèle à l’autre.



5)e _ Propriété 5:

*/ Exemple :


D et L la parallèle à D .

On remarque que L est perpendiculaire à .

3/ Demi-droite :

a/ Qu’est qu’une demi-droite ?

*/ La demi-droite est une partie d’une droite limitée d’un côté par un point appelé

origine de la demi-droite et illimité de l’autre côté.

b/ Exemple :


Cette figure représente une demi-droite

d’origine A et qui passe par B .

On note : AB .

*/ Remarque :

La droite AB s’appelle le support de la demi-droite AB .

c/ Demi-droites opposées :

1)c _ Définition :

2 )c _ Exemple :

On considère la figure suivante :

On dit que AB et AC sont deux demi-droites opposée.

.

Si deux droites sont perpendiculaires , alors toute parallèle à l’une

est perpendiculaire à l’autre.

Deux demi-droites opposées sont deux demi-droites qui ont :

*/ Même origine.

*/ Même support.

*/ Un seul point commun qui est l’origine.



4/ Le segment :

a/ Définition :

b/ Exemple :


Cette figure représente un segment

d’extrémités A et B , noté : AB .

*/ Remarque :

La droite AB s’appelle le support du segment AB .

c/ Longueur d’un segment :

1)c _ Définition :

2 )c _ Exemple :

Traçons un segment AB tel que : 5,5AB cm .

d/ Segments égaux (Isométriques) :

1)d _ Définition :

2 )d _ Exemple :


6AB cm et 6EF cm .

On dit que AB et EF sont deux segments

égaux ( isométriques)

On écrit : AB EF .

Un segment est une partie d’une droite limitée des deux côtés par

deux points appelés extrémités du segment.

Deux segments égaux (isométriques) sont deux segments

de même longueur.

La longueur d’un segment c’est la distance entre ses

extrémités et , notée : .



e/ Milieu d’un segment :

1)e _ Définition :

2 )e _ Exemple :


6AB cm , E AB , 3AE cm et 3EB cm .

On dit que E est le milieu du segment AB .

3)e _ Propriété 1 ( Directe )

*/ Application :

Soient E , F et G trois points tels que :

3,5EF cm et F le milieu du segment EG .

1/ Tracer la figure.

2/ Calculer en justifiant la réponse : FG puis EG .

*/ Solution :

1/ La figure :

2/ _a_ Calculons FG :

On sait que F est le milieu du segment EG .

Donc : EF FG .

Et puisque 3,5EF cm , alors : 3,5FG cm .

_b_ Calculons EG .

Puisque F est le milieu du segment EG ; alors : 2EG EF .

Donc : 2 3,5EG

D’où : 7EG cm .

Le milieu d’un segment est le point qui appartient au segment

et équidistant à ses extrémités.

Si un point est le milieu d’un segment , alors :

et ;



4 )e _ Propriété 2 ( Réciproque )

*/ Application :

Soit un cercle de centre O , de rayon r et de diamètre AB .

1/ Tracer la figure.

2/ Montrer que O est le milieu du segment AB .

*/ Solution :

1/ La figure :

2/ Montrons que O est le milieu du segment AB :

On sait que O est le centre du cercle de diamètre AB .

Donc : 1O AB

Et puisque est un cercle de centre O et de rayon r , et A et B

Alors : AO r et OB r

Donc : (2)AO OB

D’après 1 2et : O est le milieu du segment AB .

Si est un segment et un point tels que :

et , alors est le milieu du segment

;


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