Al7ma11tepa0012 Sequence 05

1Squence 5 MA11

Squence 5

Sommaire

Pr-requis Gnralits sur les suites numriques TICE Synthse du coursExercices dapprofondissement

Cned - Acadmie en ligne

3Squence 5 MA11

1 Pr-requis Suite chronologique

Le tableau suivant indique la population estime, en milliers, de trois dparte-ments franais entre 2000 et 2009.

Ardche Ardennes Orne

2000 288,4 289,6 292,6

2001 291,1 289,0 292,9

2002 293,9 288,5 293,1

2003 297,0 287,8 293,2

2004 300,0 287,1 293,1

2005 303,1 286,4 293,1

2006 306,2 285,7 292,9

2007 309,5 284,7 292,6

2008 311,5 284,2 292,3

2009 313,7 283,2 291,6

(Source : INSEE)

Indiquer lvolution de chaque population.

Reprsenter graphiquement les donnes prcdentes. On commencera la graduation de laxe des ordonnes partir de 280.

Lvolution de la population en Ardche est croissante entre 2000 et 2009.

Lvolution de la population en Ardennes est dcroissante entre 2000 et 2009.

Lvolution de la population dans lOrne est croissante puis dcroissante.

Exemple 1

Solution


4 Squence 5 MA11

Image par une fonction

Soit f la fonction dfinie sur par f nn

n( ) .=

+

3 2

12

Calculer limage de 0, de 1, de 2, de 10 et de 50 par cette fonction.

285

290

295

300

305

310

315

280

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009Ardche

Ardennes

Orne

Population

en Ardche,

Ardennes et Orne

de 2000 2009

(en milliersdhabitants)

Ne connaissant pas lvolution de la population entre deux recen-sements conscutifs, on ne relie pas les points associs aux donnes prcdentes. Plutt que dindiquer lanne sur laxe des abscisses (un peu tasse sur le graphique prcdent), on a lhabi-tude de la remplacer par son numro dans lordre chronologique (anne 0 pour 2000, anne 1 pour 2001) ce qui donne :

Remarque

285

290

295

300

305

310

315

280

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Population

en Ardche,

Ardennes et Orne

de 2000 2009

(en milliersdhabitants)

Ardche

Ardennes

Orne

Exemple 2


5Squence 5 MA11

f(0)=3 0-2

02

+=

12 Limage de 0 par f est 2

f(1)=3 -2

2

+=

1

1 1

12

Limage de 1 par f est 12

.

f(2)=3 -2

2

+=

2

2 1

45


.

f(10)=3 -2

2

+=

10

10 1

28101


.

f(50)=3 -2

2

+=

50

50 1

1482501


.

Algorithme de calcul

Soit lalgorithme suivant :

t$IPJTJSVOOPNCSFRVFMPOBQQFMMFUFSNFJOJUJBM

t-MFWFSBVDBSS

t.VMUJQMJFSQBSMFSTVMUBUPCUFOV

t"EEJUJPOOFSBVSTVMUBUPCUFOV

t-FOPNCSFPCUFOVEFWJFOUMFOPVWFBVUFSNFJOJUJBM

Excuter cet algorithme quatre reprises pour un terme initial gal 0,5 et complter le tableau suivant :

Nombre dexcution de lalgorithme

0 1 2 3 4

Rsultat obtenu0,5

(terme initial)

Excuter cet algorithme trois reprises pour une liste commenant par le nombre 2 et complter le tableau suivant :


Rsultat obtenu

0 5 0 5 0 25 0 25 2 0 5 0 5 1 1 5

1 5 1 5 2 25

2

2

, , , , , , ,

, , ,

= = + =

= = + =

= =

2 25 2 4 5 4 5 1 5 5

5 5 5 5 30 25 30 25 2 602, , , ,

, , , , ,, , ,

, , , ,

5 60 5 1 61 5

61 5 61 5 3782 25 3782 25 2 7562 + =

= = 44 5 7564 5 1 7565 5, , , + =

Solution

Exemple 3

Solution


6 Squence 5 MA11


0 1 2 3 4

Rsultat obtenu terme initial : 0,5 1,5 5,5 61,5 7565,5

= = + =

= = + =

2 2 4 4 2 8 8 1 9

9 9 81 81 2 162 162 1 16

2

2

( )

33

163 163 26569 26569 2 53138 53138 1 531392 = = + =


0 1 2 3

Rsultat obtenu terme initial : -2 9 163 53 139


7Squence 5 MA11

2 Gnralits sur les suites numriquesActivits

Rinscriptions

Une enqute ralise sur les lecteurs dune bibliothque rvle que chaque anne :

98 % des lecteurs inscrits lanne prcdente reprennent un abonnement

on compte 200 nouveaux abonns

Cette anne, la bibliothque compte 5000 abonns. On note u0 5000= .

Quel sera le nombre dabonns au bout dun an ? On note ce nombre u1.

Quel sera le nombre dabonns au bout de deux ans ? On note ce nombre u2 .

On note un le nombre dabonns au bout de n annes.

a) Que reprsente un+1 ?

b) Expliquer la formule : u un n+ = +1 0 98 200,

On veut prvoir le nombre dinscrits au bout de 5 ans.

a) Quels termes doit-on connatre pour pouvoir calculer u5 ?

b) Calculer u5 (arrondir lunit prs).

La direction de la bibliothque tablit que le nombre dinscrits au bout de n annes est donn par la formule : un

n= 10000 5000 0 98,

a) Vrifier que les valeurs de u0 , u1et u2 correspondent aux valeurs trouves dans les questions prcdentes.

b) Calculer u8 . Des calculs intermdiaires ont-ils t ncessaires pour obtenir u8 ?

Coloriage

On effectue un coloriage en plusieurs tapes dun carr de ct de longueur 4 cm.

Premire tape du coloriage :

On partage ce carr en quatre carrs de mme aire et on colorie le carr situ en bas gauche comme indiqu sur la figure ci-aprs.

A

Activit 1

Activit 2


8 Squence 5 MA11

Quel est le nombre de carr colori ? On note A1 le nombre de carrs coloris la 1re tape.

Deuxime tape du coloriage :

On partage chaque carr non encore colori en quatre carrs de mme aire et on colorie dans chacun le carr situ en bas gauche, comme indiqu sur la figure ci-contre.

Quel est le nombre de carrs coloris ? On note A2 le nombre de carrs coloris la 2me tape.

On poursuit les tapes du coloriage en continuant le mme procd.

Pour tout entier naturel n, suprieur ou gal 1, on dsigne par An le nombre de carrs coloris aprs n coloriages.

Raliser la figure obtenue aprs 3 coloriages. Que vaut A3 ?

Complter le tableau suivant :

Nombre n de coloriages 1 2 3 4

Nombre de carrs coloris An

a) Entre le premier et le deuxime coloriage, combien de carrs coloris rajoute-t-on ? On peut en dduire la formule : A A2 1 3= + .

b) Entre le deuxime et le troisime coloriage, combien de carrs coloris rajoute-t-on ? Etablir une galit liant A2 et A3 .

c) Entre le troisime et le quatrime coloriage, combien de carrs coloris rajoute-t-on ? Etablir une galit liant A3 et A4 .

d) Entre le nime coloriage et le coloriage suivant -cest--dire le (n+1)ime coloriage-, conjecturer le nombre de carrs coloris rajouts ? En dduire une galit liant An et An+1 .

Cours

Dfinition

Une suite de nombres rels est une fonction dfinie sur (ou une partie de ) valeurs dans .

B


9Squence 5 MA11

Notation et vocabulaire

u ou (un ) dsigne la suite (avec n un entier naturel).

Le nombre un (on lit u ne ou u indice ne ) est le terme de rang n de la suite u . Cest limage du nombre n par la suite u . Dailleurs, on trouve parfois lcriture u n( ) .

Par exemple, u2 est le terme de rang 2 de la suite u . Cest limage de 2 par u .

Le premier terme de la suite est appel terme initial. Cest le plus souvent le terme de rang 0 : u0 ou le terme de rang 1 : u1 .

Le terme qui prcde un est le terme un1 (pour n 1) et le terme qui suit un est le terme un+1 .

Dans lactivit , ( un ) est la suite qui donne le nombre dabonns la biblio-thque.

un dsigne le nombre dabonns au bout de n annes. Par exemple, u2 dsigne le nombre dabonns au bout de 2 ans.

Deux modes de construction dune suite

t4VJUFEGJOJFFYQMJDJUFNFOU

Dfinitions

Une suite u est EGJOJFEFGBPOFYQMJDJUF quand le terme un est exprim en fonction de n.

Soit ( un ) la suite dfinie pour tout n 1 par u nn= +1

1.

( un ) est dfinie explicitement. Calculer u1, u5 et u100 .

u1 111

2= + =

u5 115

1 2= + = ,

u100 11

1001 01= + = , .

dsigne lensemble des entiers naturels cest--dire lensemble { 0 ; 1 ; 2 ; }Intuitivement, une suite est une liste de nombres qui est numro-te par des entiers naturels.

Remarque

Exemple 4

Exemple 5

Solution

Il ne faut pas confondre le terme un avec la suite (un ).Il faut distinguer lcriture un+1de un +1.Seuls les entiers naturels peuvent admettre une image par une suite. Par exemple, u

5 et u1 3, ne sont pas dfinis pour une suite.

Remarque


10 Squence 5 MA11

Soit f x x( ) = 2 2 . Soit (vn ) la suite dfinie pour tout n 0 par v f nn = ( ) .

Calculer v1 , v5 et v100 .

Pour calculer le terme v1 , on calcule limage de 1 par la fonction f ' .

v f121 1 2 1= = = ( )

v f525 5 2 23= = =( )

v f1002100 100 2 9998= = =( ) .

t4VJUFEGJOJFFYQMJDJUFNFOU

Dfinitions

Une suite est EGJOJF QBS SDVSSFODF quand lon en donne le(s) terme(s) initial(aux) et une relation qui dfinit chaque terme partir du(des) terme(s) prcdent(s).

On dit alors que la suite est dfinie par une SFMBUJPOEFSDVSSFODF.

Soit ( un ) la suite dfinie par :

u0 0 5= , et, pour tout n 0 , par u un n+ = +1 3 7 .

( un ) est dfinie par rcurrence car le terme un+1 est dfini en fonction du terme qui le prcde un .

Faire une phrase pour traduire lgalit u un n+ = +1 3 7 .

Calculer u1, u2 et u3 .

Calculer u5 .

Nimporte quel terme de la suite u est gal au triple du prcdent augment de 7.

Ainsi u1est gal au triple de u0 augment de 7 :

u u1 03 7 3 0 5 7 8 5= + = + =, ,

De la mme faon, u u2 13 7 3 8 5 7 32 5= + = + =, , et

u u3 23 7 3 32 5 7 104 5= + = + =, ,

Pour calculer u5 , on doit dabord calculer la valeur de u4 :

u u4 33 7 3 104 5 7 320 5= + = + =, ,

u u5 43 7 3 320 5 7 968 5= + = + =, , .

Soit ( an ) la suite dfinie par :

a0 3= et, pour tout n 0 , par a an n+ = 12 5( ) .

Faire une phrase pour traduire lgalit a an n+ = 12 5( ) .

Calculer a1 , a2 .

Calculer a4 .

Exemple 6

Solution

Exemple 7

Solution

Exemple 8


11Squence 5 MA11

Nimporte quel terme de la suite a est gal au terme prcdent lev au carr diminu de 5.

Ainsi a1 est gal a0 lev au carr diminu de 5 : a a1 0

2 25 3 5 4= = =( )De la mme faon, a a2 1

2 25 4 5 11= = =

Pour calculer a4 ,on doit dabord calculer la valeur de a3 :

a a3 22 25 11 5 116= = =

a a4 32 25 116 5 13451= = = .

Reprsentation graphique

Dfinition

Dans repre ( ; , )O i j

, la reprsentation graphique dune suite u est len-semble des QPJOUTEFDPPSEPOOFTn un; ).

Soit u la suite dfinie par u nn = 2 5 pour tout entier naturel n.

Calculer u0 ,u1, u2 , u3 , u4 et u5 .

Reprsenter dans un repre les 6 premiers points associs la suite u .

u020 5 5= = u3

23 5 4= =

u121 5 4= = u4

24 5 11= =

u222 5 1= = u5

25 5 20= =

Solution

Exemple 9

Solution

5

00

5

10

15

20

1 2 3 4 5

Pour calculer un terme donn dune suite dfinie par rcurrence, il faut avoir cal-culer tous les termes prc-dents. Par exemple, pour calculer a20 , on doit dabord calculer a19 qui ncessite le calcul de a18 etc.

Remarque

Dans la reprsentation dune suite, on ne rejoint pas les points entre eux. Si on rejoignait les points entre eux cela signifierait que tous les rels de linter-valle [0 ; 5] admettent une image par la suite u . Ceci est contraire la dfinition dune suite (par exemple, u1 2, nexiste pas).

Remarque


12 Squence 5 MA11

Soit v la suite dfinie par rcurrence :v0 0 5= , et v vn n+ = 1 2 1 pour tout entier naturel n.

Calculer v1 , v2 , v3 et v4 .

Reprsenter dans un repre les 5 premiers points associs la suite v .

v v1 02 1 2 0 5 1 0= = =, v v3 22 1 2 1 1 3= = = ( )

v v2 12 1 2 0 1 1= = = v v4 32 1 2 3 1 7= = = ( )

Sens de variation

Dfinitions

Soit une suite u dfinie sur .u est une suite croissante (resp. strictement croissante) si, pour tout entier n, u un n +1 (resp. u un n< +1).

u est une TVJUFEDSPJTTBOUF (resp. strictement dcroissante) si, pour tout entier n, u un n +1 (resp. u un n> +1).

u est une suite constante si, pour tout entier n, u un n= +1 .

.UIPEFTQPVSUVEJFSMFTFOTEFWBSJBUJPOEVOFTVJUF

tOn tudie le signe de la diffrence u un n+ 1 de deux termes conscutifs.

Si, pour tout entier n, 0 1 +u un n alors u un n +1et donc u est une suite croissante.

Si, pour tout entier n, 0 1 +u un n alors u un n +1et donc u est une suite dcroissante.

sLorsque, pour tout entier naturel n, une suite u est dfinie explicitement laide dune fonction f paru f nn = ( ) , on tudie le sens de variation de la fonc-tion f sur [ ; [0 + .

Si f est croissante sur [ ; [0 + , alors u est croissante.Si f est dcroissante sur [ ; [0 + , alors u est dcroissante.

Exemple 10

Solution

1

2

3

4

5

6

7

00 1 2 3 4


13Squence 5 MA11

Soit v la suite dfinie par v n nn = + 2 2 1pour tout entier naturel n.

Etudier le sens de variation de cette suite en utilisant chacune des deux mthodes prcdentes.

t0OUVEJFMFTJHOFEFMBEJGGSFODFv vn n+ 1 :

Ecrivons ce que vaut vn+1. Pour cela, on remplace n par (n+1) dans lexpression

de vn : v n n

n n n

n+ = + + +

= + + + +

12

2

1 2 1 1

2 1 2 2 1

( ) ( )

( ) ( )

v v n n n n n

nn n+ = + + + + +

= +1

2 22 1 2 2 1 2 1

2 3

( ) ( ) ( )

Comme n 0 , v vn n+ 1 0 et ainsi v est une suite croissante.

sOn remarque que v f nn = ( ) avec f x x x( ) = + 2 2 1. f est une fonction poly-

nme de degr 2 ayant pour tableau de variation le tableau suivant :

x 1 +

variations

de f

Ainsi f est une fonction croissante sur [ ; [0 + et donc v est une suite crois-sante.

Exercices dapprentissage

On considre la suite ( un ) dfinie par u nnn

= + ( )3 2

La suite u estelle dfinie explicitement ou par rcurrence ?

Calculer u0 , u1 , u5 et u12 .

On considre la suite ( un ) dfinie pour tout entier n par u

u un n

0

1

7

2 8

=

=

+

La suite u est-elle dfinie explicitement ou par rcurrence ?

Ecrire une phrase pour traduire lgalit u un n+ = 1 2 8

Calculer u1 , u2 , u3 et u6 .

On considre la suite ( un ) dfinie pour tout entier n par u n nn = + ( )( )2 1

Calculer u0 , u1 , u2 , u3 et u4 .

Reprsenter les points associs au cinq premiers termes de la suite ( un ) dans un repre.

Exemple 11

Solution

C

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3


14 Squence 5 MA11

Conjecturer le sens de variation de cette suite. Prouver cette conjecture.

On considre la suite ( un ) dfinie pour tout entier n par u

u un n

0

1

6

5

=

= +

+

Calculer u0 , u1 , u2 , u3 et u4 .

Reprsenter les points associs au cinq premiers termes de la suite ( un ) dans un repre.

Conjecturer le sens de variation de cette suite. Prouver cette conjecture.

On considre la suite ( un ) dfinie pour tout entier n par u n nn = + 2 3 1.

Donner lexpression de un+1 , un1 et u n2 .

.NFRVFTUJPOBWFDMBTVJUFv dfinie pour tout entier n par v n nn = +2 5( ) .

.NFRVFTUJPOBWFDMBTVJUFw dfinie pour tout entier n par w nnn

=

+

2

1.

On considre la suite ( an ) dfinie pour tout entier n par a n nn = +( )3

Donner lexpression de an+1en fonction de n.

Calculer a an n+ 1 .

En dduire le sens de variation de la suite a .

On considre la suite (vn ) dfinie pour tout entier n par vnnn

=

+

+

12

.

Dterminer le sens de variation de cette suite.

Soit f une fonction dfinie sur 0;+ et dont la reprsentation graphique est donne ci-dessous.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6

0

0

Soit la suite u dfinie pour tout n par u f nn = ( ) .

Lire les valeurs des 6 premiers termes de cette suite.

Quelle conjecture peut-on mettre sur le sens de variation de cette suite ?

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8


15Squence 5 MA11

A partir des exemples ci-dessous, dfinir une suite de la faon suivante :

- indiquer ce que reprsente le terme gnral

- indiquer le terme initial

- donner la formule (explicite ou par rcurrence) qui dfinit la suite.

Pierre place 500 sur un compte rmunr au taux annuel de 3 %.

Chaque anne, la largeur dune dune diminue de 5 m sous leffet de lrosion. Sa largeur en 2010 est de 50 m.

Le prix dune course de taxi est dfini de la faon suivante : prise en charge 2 ; prix du kilomtre 1,48

Un laboratoire met en culture 100 bactries dune souche donne. Chaque heure le nombre de bactries double.

Au dbut dune pidmie de grippe, un organisme ralise une tude sur le nombre de personnes malades dans une ville. Le premier jour, on recense 5 000 personnes malades. Chaque jour, on constate que 10 % des per-sonnes gurissent mais que 600 nouveaux cas de maladie sont dclars. On note .n le nombre de malades le n

ime jour de ltude. Ainsi .1 5000= . Que valent .2 et .3 ?

Donner lexpression de .n+1 en fonction de .n .

Lorganisme tablit que, pour tout entier n 1, .nn

= 6000 1000 0 9 1, .

Retrouver les valeurs de .2 et .3 .

Calculer .15 .

Lorganisme estime que le seuil pidmique est atteint lorsque le nombre de malades une mme journe dpasse 5 800 cas. A partir du combientime jour de ltude dpasse-t-on le seuil pidmique ?

Exercice 9

Exercice 10


16 Squence 5 MA11

3 TICECalcul de termes dune suite et reprsentation graphique avec le tableur

Suite dfinie explicitement

Suite dfinie explicitement

On considre la suite ( un ) dfinie pour tout entier n par u nn = 2 5 .

Le but cet exemple est dobtenir une page de calculs du tableur OpenOffice.org Calc affichant les valeurs des termes u0 , u1, u2 et la reprsentation graphique des termes de la suite.

Afficher une colonne indiquant le rang dun terme de la suite.

Recopier la capture dcran ci-dessous. Slectionner la plage indique ci-dessous.

A laide de la poigne de recopie, effectuer un copier-glisser de la plage A2-A3 dans la colonne A (jusqu A27 par exemple) comme ci-dessous :

A

Exemple 12


17Squence 5 MA11

Afficher une colonne indiquant les termes successifs de la suite.

Recopier la capture dcran ci-dessous. Dans la cellule B2, rentrer la formule sui-vante =A2^25 . Cette formule correspond la formule u nn =

2 5 qui dfi-nit la suite u : en effet, u0

20 5= . Slectionner la cellule B2 :

Comme prcdemment, laide de la poigne de recopie, effectuer un copier-glisser de la cellule B2 dans la colonne B (jusqu B27 par exemple) comme ci-dessous :


18 Squence 5 MA11

Reprsenter graphiquement les premiers termes.

Slectionner la plage de donnes A1 : B27 et cliquer sur licne diagramme

Une bote de dialogue saffiche. Slectionner le type de diagramme Ligne puis Points seuls puis suivant .

Slectionner Srie en colonnes puis cocher Premire ligne comme ti-quette et Premire colonne comme tiquette puis Suivant . Cliquer nouveau sur Suivant puis sur Terminer . On obtient la reprsentation gra-phique ci-dessous.

0

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425

un

200

300

400

500

600

700

100


19Squence 5 MA11

Suite dfinie par rcurrence

Suite dfinie par rcurrence

On considre la suite ( un ) pour tout entier n>0 par u

u un n

0

1

0 5

2 1

=

=

+

,

Reproduire la feuille de calcul suivante :

Dans la cellule B3, rentrer la formule suivante =2*B21 . Cette formule correspond la formule de rcurrence u un n+ = 1 2 1 qui dfinit la suite u : en effet, u u1 02 1= . A laide de la poigne de recopie, effectuer un copier-glisser de la cellule B3 dans la colonne B (jusqu B16 par exemple) comme ci-dessous :

Exemple 13


20 Squence 5 MA11

Algorithmique et calculatrice pour les suites dfinies par rcurrence

Langage naturel

Pour une suite dfinie par rcurrence et dont le terme initial est u0 , crire un algorithme qui permet de calculer un terme de rang donn.

Calculer le terme u5 pour la suite dfinie pour tout entier n>0 par

u

u un n

0

1

0 5

2 1

=

=

+

,

Entres : u0 , k (rang du terme calculer), f (fonction associe la formule de rcurrence) et A (variable qui sert stocker les calculs)

Initialisation : A = u0 ; i = 0

Traitement :

Pour i allant de 1 k.FUUSFG"EBOT".FUUSFJEBOTJFin du Pour

Sortie : Afficher uk = A

Fin de lalgorithme

La fonction f associe cette suite est f x x( ) = 2 1

Prsentons les rsultats dans un tableau :

f A( ) A i

Initialisation 0,5 0

Etape 1 2 0 5 1 0 =, 0 1

Etape 2 2 0 1 1 = 1 2

Etape 3 2 1 1 3 = ( ) 3 3

Etape 4 2 3 1 7 = ( ) 7 4

Etape 5 2 7 1 15 = ( ) 15 5

Sortie 15

B

Exemple 14

Solution


21Squence 5 MA11

Langage calculatrice

5FYBT*OTUSVNFOU

Avant de faire fonctionner lalgorithme, il faut rentrer lexpression de la fonction f associe la

formule de rcurrence dans le menu f(x) dans Y1

Casio

A \

Avant de faire fonctionner lalgorithme, il faut rentrer lexpression de la fonction f

associe la formule de rcurrence dans le menu Graph Func

Exercices dapprentissage

Soit la suite ( un ) dfinie pour tout entier n par un

nn =

+

8 2

3

2

2.

Afficher sur la feuille de calcul dun tableur les valeurs des termes u0 , u1, u2 , , u50 et la reprsentation graphique des termes de la suite.

C

Exercice 11

Cet algorithme permet le calcul de termes dune suite dont le terme initial est u0 .- Certaines calculatrices ont un menu suite qui permet dob-tenir directement les termes dune suite dfinie par rcurrence.

- Pour les suites dfinies explicitement, procder de la mme faon que pour tudier une fonction. La table de valeurs com-mencera 0 si le terme initial est u0 , 1 si le terme initial est u1 et le pas sera rgl 1.

Remarque


22 Squence 5 MA11

Soit la suite (vn ) dfinie pour tout entier n > 0 par v

v vn n

1

1

4

1 5 10

=

=

+ ,.

Afficher sur la feuille de calcul dun tableur les valeurs des termes v1 , v2 , , v10 et la reprsentation graphique des termes de la suite.

&OVUJMJTBOU MB GPODUJPO40..&EV UBCMFVS FGGFDUVFS MB TPNNFEFT UFSNFTconscutifs de la suite v v v1 2 10+ + +... .

Pour une suite dfinie par rcurrence et dont le terme initial est u1, crire un algorithme qui permet :- de calculer le terme de rang N donn.- deffectuer la somme des termes conscutifs de la suite du terme initial au

terme de rang N.

Programmer cet algorithme sur une calculatrice.

Excuter cet algorithme pour la suite (vn ) de lexercice cd : calculer le terme v10 et la somme des termes conscutifs de la suite : v v v1 2 10+ + +... .

.POTJFVS%VQPOUTPVIBJUFBDIFUFSVOTUVEJPRVJDPUF/FEJTQPTBOUpas de largent ncessaire cet achat, il contracte un prt sur 20 ans auprs de sa banque.

Le remboursement de ce prt se fait de la faon suivante :

- la premire anne, lannuit est de 4 000

- chaque anne, lannuit augmente de 3 % par rapport lanne prcdente.

On note an lannuit rembourse la nime anne. Ainsi, a1 4000=

Calculer a2 et a3 .

Etablir une formule de rcurrence liant an+1 et an .

Sur la feuille de calculs dun tableur, afficher la suite des annuits.

En utilisant la fonction Somme du tableur, dterminer le montant total du prt.

Le csium 137 est un lment radioactif. On appelle priode la dure nces-saire pour que la moiti des lments du csium se dsintgre.

Une centrale nuclaire enterre 10 000 g (soit 10 kg) de csium 137. On note c0 10000= cette masse initiale et cn la masse restante aprs n priodes.

Calculer c1.

Etablir une formule de rcurrence liant cn+1 et cn .

Utiliser un tableur pour afficher les termes de la suite ( cn ).

Combien de priodes sont ncessaires pour que la masse de csium 137 soit infrieure 5 g ?

Sachant que la priode du csium est de 30,15 ans, combien cela reprsente-t-il dannes ?

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15


23Squence 5 MA11

4 Synthse du cours Dfinition

Dfinition

Une suite de nombres rels est une fonction dfinie sur (ou une partie de ) valeurs dans .

Notation et vocabulaire

u ou (un ) dsigne la suite (avec n un entier naturel).

Le nombre un (on lit u ne ou u indice ne ) est le terme de rang n de la suite u .

Le premier terme de la suite est appel terme initial.

Deux modes de construction dune suiteUne suite peut tre dfinie de faon FYQMJDJUF ou par rcurrence.

Reprsentation graphiqueDans un repre ( ; , )O i j

, la reprsentation graphique dune suite u est

lensemble des QPJOUTEFDPPSEPOOFTn un; ).

Sens de variationSoit une suite u dfinie sur .u est une suite croissante (resp. strictement croissante) si, pour tout entier n, u un n +1 (resp. u un n< +1).

u est une TVJUFEDSPJTTBOUF (resp. strictement dcroissante) si, pour tout entier n, u un n +1 (resp. u un n> +1).

u est une suite constante si, pour tout entier n, u un n= +1 .

Pour tudier le sens de variation dune suite, on peut :

studier le signe de la diffrence u un n+ 1 de deux termes conscutifs.

slorsquune suite u est dfinie explicitement laide dune fonction f par u f nn = ( ) , tudier le sens de variation de la fonction f sur [ ; [0 + .

TICELutilisation des TICE (tableur, calculatrices ) permet dautomatiser les calculs des termes dune suite.


24 Squence 5 MA11

5 Exercices dapprofondissementLe premier janvier 2010, Pierre disposait de 1 200 dconomies. Il plaa cet argent sur un compte rmunr intrts composs 4 % par an. Le premier janvier 2011, Pierre ajoute sur son compte ses conomies de 2010 savoir 600 . Il compte procder ainsi tous les ans. On note cn le capital disponible sur le compte le premier janvier (2010+n). Ainsi, c0 1200= .

Que reprsente c1 ? Calculer c1.

Etablir une formule de rcurrence entre cn+1 et cn .

"WFD TFTDPOPNJFT1JFSSFB MJOUFOUJPOEF TBDIFUFSVOFWPJUVSFRVJ DPUF 20 000 . Combien dannes devra-t-il attendre pour pouvoir payer sa voiture comptant ?

Lexercice suivant propose une mthode pour reprsenter graphiquement des points associs une suite dfinie par rcurrence.

Un exemple

Soit ( un ) une suite dfinie pour tout n par u

u u un n n

0

12

6

0 25 2

=

= +

+ ,

. Nous

allons reprsenter sur laxe des abscisses les points .0 , .1 , .2 , .3 et .4

dabscisse respective u0 , u1, u2 , u3 et u4 .

Soit f la fonction dfinie par f x x x( ) ,= +0 25 22 associe la suite ( un ). Pour tout n, on a u f un n+ =1 ( ) .

Reprsenter dans un mme repre la courbe C reprsentant la fonction f et la droite d dquation y x=

Placer le point . V0 0 0( ; ) et le point A0 de la courbe C dabscisse u0 . A0 a pour ordonne u1 car f u u( )0 1= . Ainsi, A0 a pour coordonnes A u u0 0 1( ; ) .

Placer le point B0 situ sur la droite d et ayant la mme ordonne que A0 . Comme la droite d a pour quation y x= , labscisse de B0 est gale son ordonne. Ainsi, B0 a pour coordonnes B u u0 1 1( ; ) .

Tracer la parallle laxe des ordonnes passant par B0 . On obtient ainsi le point de laxe des abscisses dabscisse u1 : cest le point . V1 1 0( ; ) .

On procde de la mme faon pour obtenir le point .2 puis .3 puis .4 .

Exercice I

Exercice II

1re tape

2me tape

3me tape

4me tape

5me tape


25Squence 5 MA11

1

10

d

0

2

3

4

5

C

6

7

2 3 4 85M2 6M1M3M4

B3A3

A2B2

B1A1

A0B0

M07

Soit la suite v dfinie pour tout n par v

v vn n

0

1

8

1 5 1

=

=

+ ,

. Reprsenter sur

laxe des abscisses les points.0 , .1 , .2 , .3 et .4 dabscisse respective v0 , v1 , v2 , v3 et v4 .

On considre les suites suivantes dfinies sur par :

vnn

= +6 0 5, w nn = +2 4 xnn

= + 10 1( )


n 0 1 2 3 4 5 10 20 50 100 200 300 500 1000 2000 10000

vn

wn

xn

Quand n devient trs grand , que peut-on conjecturer sur les valeurs des termes de chacune de ces suites ?

Exercice III


26 Squence 5 MA11

4VJUFEF'JCPOBDDJ

Le problme suivant a t pos par Leonardo de Pisano dit Fibonacci dans le livre sur larithmtique intitul Liber abbaci quil rdigea en 1202.

Supposons quun couple (mle-femelle) de lapins immatures soit mis dans un champ, que la maturit sexuelle du lapin soit atteinte aprs un mois qui est aussi la dure de gestation, que chaque porte comporte exactement deux lapereaux, un mle et une femelle et que les lapins ne meurent pas. Combien y aura-t-il de couples de lapins dans le champ aprs deux ans ?

1ZSBNJEFEF1PO[J

Une pyramide de Ponzi dsigne une escroquerie qui consiste rmunrer les investissements effectus par des clients essentiellement par les fonds procurs QBSMFOUSFEFOPVWFBVYDMJFOUT6OUFMTZTUNFFTUCJFOTSJMMHBM*MTDSPVMFquand les sommes provenant des nouveaux entrants ne suffisent plus couvrir le capital et les intrts promis ceux qui quittent le systme.

Prenons un exemple : Lescroc propose un rendement annuel de 20 % alors que les autres banques proposent des placements 5 % sous la condition de ne reti-rer cet argent quaprs 3 ans. Lescroc recrute chaque anne de nouveaux clients qui placent, eux tous, 100 000 . Lescroc place les sommes perues dans une banque au taux annuel de 5 %.

On dsigne par ( )an la somme verses aux clients qui se retirent aprs n ans. Ainsi a1 0=a) Expliquer pourquoi a2 vaut 0.b) Que vaut a3 ?c) Que vaut a4 ?

On dsigne par ( )bn la somme dues aux clients dans le systme aprs n ans. Ainsi b1 100000= .a) Expliquer pourquoi b2 vaut 220000.b) Que valent b3 et b4 ?

On dsigne par ( )cn la somme disponible dans le pyramide (aprs rmunra-tion des clients sortants) aprs n ans. Ainsi c1 100000= .a) Expliquer pourquoi c2 vaut 205000.b) Que valent c3 et c4 ?


somme verses aux clients qui se retirent

somme dues aux clients dans le systme

somme disponible dans le pyramide

1

2

Exercice IV

Exercice V


27Squence 5 MA11

3

4

5

6

7

8

Sous ces conditions, en combien dannes la pyramide ne peut plus rmunrer les clients se retirant ?

La pyramide de Ponzi tient son nom de Charles Ponzi qui est devenu clbre aprs avoir mis en place une opration base sur ce principe Boston dans les annes 1920.Lescroquerie pour laquelle Bernard Madoff a t condamn en juin 2009 150 ans de prison repose galement sur ce type de mcanisme.Pour assurer le fonctionnement dune pyramide de Ponzi, lescroc doit recruter sans cesse de plus en plus de nouveaux clients.

Remarque


Documents

Al7ma11tepa0012 Sequence 05