Al7ma11tepa0012 Sequence 07

1Squence 7 MA11

Squence 7

ProbabilitsEchantillonnage

Sommaire

Pr-requis Variable alatoire, Loi de probabilit, Esprance Rptitions dexpriences identiques Loi de Bernoulli Loi binomiale Esprance de la loi binomiale Echantillonnage Synthse de la squence Exercices dapprofondissement

Cned - Acadmie en ligne

3Squence 7 MA11

1 Pr-requisExprience alatoire

Gnralits

Dfinition

Une exprience alatoire peut conduire plusieurs issues ou ventualits :

e e en1 2, ,..., .

A chaque exprience, une seule issue se ralise, sans que lon puisse la prvoir lavance.

Si on lance un d jouer numrot 1, 2, 3, 4, 5, 6, il y a 6 issues possibles : obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

Frquence dune issue

Dfinition

On sintresse lune des issues ei . Si elle se ralise k fois au cours de n exp-

riences identiques, sa frquence est gale kn

. On note fkni

= .

On a lanc un d 12 fois ; la face marque 5 apparat 8 fois. La frquence dappa-

rition du 5 parmi ces 12 lancers est 812

, soit 23

ou encore environ 0,666.

A

Exemple

Exemple

Proprit

Une frquence est comprise entre 0 et 1 :

0 1 fi pour 0 i n. La somme des frquences de toutes les issues est gale 1 :

f f fn1 2 1+ + + =... .


4 Squence 7 MA11

Stabilisation dune frquence

Dfinition Loi des grands nombres.

Si on rpte une exprience alatoire un trs grand nombre de fois, la frquence f dune issue finit par se stabiliser autour dune valeur p. On prend alors cette valeur p comme probabilit de lissue.

Exemple Si lon effectue une exprience alatoire un trs grand nombre de fois, la frquence dapparition de Pile est de plus en plus proche de 0,5.

Probabilit dun vnement

Notion dvnement

On envisage des expriences ne comportant quun nombre fini dissues possibles. Pour une exprience, on dsigne par lensemble des issues possibles (ou ven-tualit).

= { , ,..., }e e en1 2 .

est appel univers de cette exprience.

Dfinition

On appelle vnement dune exprience alatoire, un ensemble dissues de cette exprience.

Cest donc un sous-ensemble de lunivers.

A = { , }e e1 2 , on dit que e1 et e2 ralisent A ou sont favorables A.

On lance un d une fois. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

On peut considrer lvnement A obtenir un nombre pair .

A = {2, 4, 6}

On lance une pice de monnaie deux fois de suite. A chaque lancer, on note P si lon obtient Pile et F si lon obtient Face . On note A A A1 20 , , les vne-ments respectifs : obtenir 0 fois Pile , obtenir une fois Pile , obtenir deux fois Pile .

B

Exemple

Il est important de comprendre que, lorsque lexprience sera faite, on pourra dire quun vnement est ralis si cest lUNE des issues qui le composent qui se ralise.

Remarque

Exemple


5Squence 7 MA11

={PP,PF,FP,FF}

Lissue FF ralise lvnement A0.

Les issues PF et FP ralisent lvnement A1.

Lissue PP ralise lvnement A2.

est lvnement impossible, aucune issue ne le ralise. est appel vnement certain ; toutes les issues le ralisent.

Vocabulaire des vnements

Dfinition

Lvnement contraire de A est not A . Il est ralis lorsque A nest pas ralis.

Un vnement lmentaire ne comporte quune seule issue, par exemple { }e1 .

Lvnement A ou B , not A B est ralis lorsque lun au moins des deux vnements est ralis.

Lvnement A et B , not A B est ralis lorsque les deux vne-ments sont raliss.

Si A B = , A et B sont dits vnements incompatibles.

Avec la pice de monnaie quon lance deux fois, lvnement contraire de A0 obtenir 0 fois pile est lvnement obtenir au moins une fois pile .

On lance un d une fois et on considre lvnement A : obtenir un nombre pair et lvnement B obtenir un multiple de 3 .

A = {2,4,6} B = {3,6}

A B = {2, 3, 4, 6}.

A B ={6}.

Loi de probabilit

Dfinition

Soit une exprience alatoire dunivers fini = { , ,..., }e e en1 2 .

s Dfinir une loi de probabilit sur , cest associer chaque vnement lmentaire e e en1 2, ,..., un nombre rel p p pn1 2, ,..., qui est un nombre vri-fiant:

pour tout i, 0 1 pi

et p p pn1 2

1+ + + =... .

Cas particulier

Exemple


6 Squence 7 MA11

t-FOPNCSFpi est appel probabilit de lvnement lmentaire ei.

t"DIBRVFWOFNFOU"FTUBTTPDJFTBQSPCBCJMJU p(A) : cest la somme des probabilits des vnements lmentaires qui le constituent.

Ainsi, si A = { , }e e1 2

, p p p( ) .A = +1 2

Dfinition

On dit que lon est en situation dquiprobabilit lorsque tous les vnements lmentaires ont la mme probabilit.

On reconnat ces situations lorsque lon a des tirages au hasard, des ds quili-brs ou si lnonc le suppose.

Dans lexemple du d suppos bien quilibr, on est en situation dquiproba-bilit.

Par suite, p (A) = p ( obtenir un nombre pair ) =36

12

= .

p (B)=p ( obtenir un multiple de 3 ) = 26

13

= .

p p(A B)= {2, 3, 4, 6}) =46

=23

. (

p p( ( .A B ) = {6}) =16

On a bien p(A B )= p(A)+p(B) p(A B).

Proprit

0 0 1 = =p p p( ( ) ( ) .A) 1; et

p p( ) ( )A A+ = 1, cest--dire, p p(A 1 (A)) ==

p( A B ) = p(A)+p(B) p( A B ).

Si A et B sont incompatibles,

A B = , donc p( A B) = 0 et p( A B ) = p( A )+p( B )

Proprit

Dans une situation dquiprobabilit, si A comporte k issues favorables :

pkn

(A)= soit p( )Anombre d'issues favorables A

nombre d'iss=

uues possibles.

Exemple


7Squence 7 MA11

On reprend lexemple de la pice que lon lance deux fois. La pice est suppose bien quilibre ; on est en situation dquiprobabilit.

Lvnement obtenir au moins une fois pile est lvnement contraire de A0 obtenir 0 fois pile .

Donc p ( obtenir au moins une fois pile ) = p p( ) ( ) .A A0 0= = =1 114

34

Mthodes

On peut utiliser des reprsentations : arbres, diagrammes, tableaux.

Diffrentes mthodes et techniques sont utilises dans le cours de probabilit.On donne ici quelques exemples de ces reprsentations.

Voici un diagramme pour illustrer lintersection de deux vnements A et B dun univers E.

A

AB

B

Voici une autre faon de prsenter deux vnements et leurs vnements contraires dans lunivers E.Dans ce type de tableau, la place des intersections on peut indiquer les probabilits des vnements correspondants.

AA

B A B A B

B A B A B

On a quelquefois besoin de visualiser tous les cas possibles.

Voici deux exemples :tBWFD VO UBCMFBV QPVS JMMVTUSFS MWOFNFOU

obtenir au moins un 6 quand on lance un d rouge (R) et un d bleu (B),

tBWFDVOBSCSFPOEJUQBSGPJTVOjBSCSFdes possibles ) pour voir toutes les issues de lexprience suivante : on tire successivement deux lettres parmi les trois lettres A, B et C, en remettant la premire lettre tire avant de faire le second tirage.

BAA

C

ABAA

AC

BBA

C

BBBA

BC

BCA

C

CBCA

CC

C

1

1 2 3 4 5 6RB

2

3

4

5

6


8 Squence 7 MA11

On peut aussi simuler les expriences

Pour simuler une exprience alatoire quiprobable, on peut simuler le hasard en produisant des nombres de manire aussi alatoire que ce que lon obtient en lanant un d, une pice ou autre.

On peut alors, en utilisant ces moyens, refaire virtuellement lexprience, y com-pris un trs grand nombre de fois, de faon voir ce qui se passe.

Pour raliser une telle simulation, on peut utiliser, entre autres, une calculatrice ou un tableur.

On peut alors obtenir une valeur approche de la probabilit dvnements don-ns.

Nous en verrons des exemples dans la suite du cours.


9Squence 7 MA11

2 Variable alatoire. Loi de probabilit. EspranceActivits

Multiplier des numros tirs au hasard

Une exprience alatoire se droule en deux temps :

zdans un sac contenant trois jetons numrots 0, 1, 2, on tire, au hasard, un jeton;

zpuis, dans un autre sac contenant quatre jetons numrotes 1, 2, 3, 4, on tire, au hasard, un jeton.

Les issues de cette exprience alatoire sont donc des couples de nombre.

Les tirages se font au hasard, on fait donc lhypothse dquiprobabilit.

A laide dun tableau ou dun arbre, dterminer tous les couples quil est pos-sible dobtenir.

Pour chaque couple, on calcule le produit des nombres. Dterminer tous les pro-duits possibles et la probabilit dobtenir chacun de ces rsultats.

On utilise lexprience alatoire prcdente pour organiser le jeu de hasard suivant: Si le produit obtenu lexprience est impair, on gagne 3, sinon on perd 1 .

Quels sont les gains (compts avec un signe moins pour les pertes) possibles ?Quel est la probabilit dobtenir chacun de ces gains ?

Jouer Pile ou Face

On lance deux fois une pice de 1 bien quilibre, et on compte le nombre de Pile obtenus. Il y a donc trois rsultats possibles : 0, 1, 2.On a simul 40 lancers sur le tableur Open Office.

ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1) donne alatoirement 0 ou 1, on peut donc simuler le lancer dune pice, 0 correspondra Face et 1 Pile.

Ainsi, en faisant la somme ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1) + ALEA.ENTRE.BORNES(0 ;1), on ralise la simulation du nombre de Pile obtenus en lanant les deux pices.

Et on a recopi le calcul de A1 dans toutes les autres cellules.

On a obtenu les rsultats suivants (il suffit de faire CTRL+MAJ+F9 pour obtenir une autre simulation).

A

Activit 1

Activit 2


10 Squence 7 MA11

Les questions 1 et 2, plus simples, prparent la question 3.

Compter la frquence du nombre de fois o on a obtenu 0, puis 1, puis 2. On constate que le modle de lquiprobabilit nest pas adapt.

On est donc amen distinguer les deux pices pour modliser lexprience. Pour cela on peut, par exemple, imaginer des marques de couleur sur chaque face de chaque pice, vertes pour une pice, rouges pour lautre.

A laide dun arbre ou dun tableau, dterminer la probabilit dobtenir 0, dob-tenir 1, dobtenir 2.

On tudie la situation analogue avec trois pices de 1 bien quilibres.

Vous pouvez dabord faire des simulations sur un tableur comme ci-dessus, ou sur votre calculatrice :

zavec une Texas Instrument vous pouvez utiliser EntAlea(0 ; 1) que vous trouvez dans le catalogue ou dans Math puis Prob,

zavec une Casio vous pouvez utiliser RanInt#(0 ; 1) que vous trouvez dans OPTN puis PROB puis RAND puis Int ;

zon fait une somme de trois termes ; puis on appuie autant de fois quon le sou-haite sur la touche Enter (ou EXE) de la calculatrice.

Il y a quatre rsultats possibles : 0, 1, 2 et 3.

A laide dun arbre, dterminer la probabilit dobtenir chacun deux.

Jeu promotionnel au casino

Afin de sduire une clientle peu rompue aux rgles complexes de la roulette, un casino propose le jeu plus simple suivant ; dans lequel le joueur paye, pour une partie, une somme (toujours la mme) de A euros.

Le croupier lance deux fois une pice de 1 bien quilibre

Si elle tombe deux fois sur pile , le joueur gagne 4 .

Si elle tombe une fois sur pile , le joueur gagne 1 .

Sinon (la pice tombe deux fois sur face ), le joueur ne gagne rien.

Le directeur du casino se demande quel doit tre le prix A dune partie pour que le jeu soit quitable (on parle de martingale).

Activit 3


11Squence 7 MA11

Pour rpondre sa question nous allons, dans un 1er temps, supposer que le jeu est gratuit (cest--dire A = 0) et simuler plusieurs parties.

a) Le tableau suivant concerne une partie. Complter-le.

N (Nombre de Pile obtenu) 0 1 2

N2

b) En dduire ce quoi est gal, dans tous les cas, le carr du nombre de pile obtenu, lissue dune partie ?

On considre le programme (Texas ou Casio) incomplet suivant :

Texas

: EffDessin

: Input N= , N

: 0 Xmin : N Xmax: 100 Xgrad: 1.2 Ymin : 1.8 Ymax: 0.1 Ygrad: DessFonct 1.5

: 0 B: For (K,1,N)

: + B B: B/K G: Pt-Aff(K,G)

: End

: Pause

: Disp Gain moyen=, G

Casio

N= ? N ViewWindow 0, N, 100, 1.2, 1.8, 0.1 Graph Y=1.5 P B For 1 I To N ....... + B B B/I G Plot I, G Next \Gain moyen=\G\

Par quelle instruction faut-il remplacer les pointills pour quil simule le jeu et quen sortie apparaisse le gain (en ) du joueur aprs N parties ?

Faire fonctionner ce programme (deux fois pour chaque valeur de N) puis remplir le tableau suivant :

Valeur de N en entre 10 30 50 100 1000

Valeur de G en sortie (1re simulation)

Valeur de G en sortie (2nde simulation)


12 Squence 7 MA11

Quelle somme le joueur peut-il esprer gagner (si le jeu est gratuit) ?

En dduire le prix que le directeur du casino peut proposer ses clients pour que le jeu soit quitable ?

A laide la question 2 de lactivit 2, faire un arbre de la situation en indiquant, pour chacune des feuilles sa probabilit et la somme en euros lui correspon-dant.

Dix minutes avant la fermeture, le directeur du casino dcide de multiplier par 10 les gains du jeu.

Par combien doit-il multiplier le prix dune partie pour que le jeu reste encore quitable ?

Cours Dfinition dune variable alatoireConsidrons une exprience alatoire, dont les issues sont notes a a a an1 2 3, , , ..., . Notons aussi = { }a a a an1 2 3, , , ..., lunivers de cette exprience alatoire.On suppose avoir dfini sur lunivers une loi de probabilit P.

Dfinition 1

On dit quon dfinit une variable alatoire sur lensemble E lorsqu chaque issue de E on associe un nombre rel.

Dans lactivit 1, on rappelle que :

zon tire, au hasard, un jeton dans un sac en contenant trois, numrots 0, 1, 2 ;zpuis on tire, au hasard, un jeton dans un autre sac en contenant quatre et

numrots 1, 2, 3, 4.

B

Ne pas confondre les lettres P qui dsignent tantt la ct pile dune pice, tantt la probabilit.

Attention

Exemple

(0 ; 1) (0 ; 1) (0 ; 1)

0

(0 ; 1)1 2 3 4

00valeurs de X 0 0

11valeurs de Y 1 1

(1 ; 1) (1 ; 2) (1 ; 3)

1

(1 ; 4)

1 2 3 4

21 3 4

13 3 1

(2 ; 1) (2 ; 2) (2 ; 3)

2

(2 ; 4)

1 2 3 4

42 6 8

11 1 1


13Squence 7 MA11

Il y a douze ventualits que lon peut crire sous forme de couples, le premier numro dun couple tant celui du premier jeton tir ; ainsi

= ( )0 1 0 2 0 3 0 4 1 1; ,( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),(11 2 1 31 4 2 1 2 2 2

; ),( ; ),

( ; ),( ; ),( ; ),( ;; ),( ; )3 2 4

Dans la question on associe chacun de ces couples le produit de ses deux numros.

On a ainsi fabriqu une variable alatoire X telle que :

X X X X( ; ) , ( ; ) , ( ; ) , ( ; ) 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0= = = = ,,( ; ) , ( ; ) , ( ; ) , ( ; )X X X X1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 4= = = = 44,

X X X X( ; ) , ( ; ) , ( ; ) , ( ; ) .2 1 2 2 2 4 2 3 6 2 4 8= = = =

Dans la question on dfinit une seconde variable alatoire Y qui vaut 3 si le produit est impair et qui vaut 1 si le produit est pair. Ainsi :

et Y Y( ; ) ( ; ) .1 1 1 3 3= =

Dans lactivit 3, le gain X (en ) dun joueur prend des valeurs parmi 0, 1, 4 lissue dune partie. X est une variable alatoire telle que :

X PP X PF FP X FF( ) , ({ , }) ( ) .= = =4 1 0et

zUne variable alatoire est note par une lettre majuscule, trs souvent on uti-lisera X.

zAvec les notations de lexemple prcdent, on notera ( )X = 4 lvnement( ; ), ( ; ) .2 2 1 4{ } (X=4) est donc lvnement form de toutes les issues (ici,

des couples de numros) pour lesquelles la variable alatoire X prend la valeur 4 ; en effet, on vrifie bien que X ( ; )2 2 2 2 4( ) = = et X ( ; ) .1 4 1 4 4( ) = = De manire plus gnrale, lensemble des issues pour lesquelles la variable ala-

toire X prend la valeur x1 est un vnement, il sera not ( )X x= 1 . On pourra donc parler de la probabilit de lvnement ( )X x= 1 ; on la notera p X x( ).= 1

Y Y Y Y Y Y( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) (0 1 0 2 0 3 0 4 1 2= = = = = 11 42 1 2 2 2 3 2 4 1

; )

( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )

=

= = = = Y Y Y Y

Notations

Une variable alatoire est donc une fonction de lunivers vers lensemble . Lexpression variable alatoire nest pas trs bien choisie ( fonction alatoire serait mieux) mais cest nan-moins celle qui est utilise.

Remarque


14 Squence 7 MA11

Loi de probabilit dune variable alatoireDfinition 2

La loi de probabilit dune variable alatoire X est donne par :

zlensemble x x xr1 2, , ...{ } des valeurs prises par la variable alatoire,zles probabilitsP X xi( )= pour toutes les valeurs xi prises par X.Dans lactivit 1, on nomme X la variable alatoire dfinie par les produits des numros des jetons tirs.

Nous avons fait lhypothse dquiprobabilit sur lensemble des douze couples de lexprience alatoire.

Chaque couple de lexprience alatoire est obtenu avec la probabilit 1

12.

Lensemble des valeurs prises par X est { , , , , , , }0 1 2 3 4 6 8 et par exemple,

comme ( ) ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )X = = { }0 0 1 0 2 0 3 0 4 , on calcule P X( )= = =0 412

13

.

On trouve aussi P X( )= =11

12 et P X( ) .= =8

112

Lors de la ralisation de lexprience alatoire prcdente, le produit des numros des deux jetons tirs est gal lun des nombres 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8 donc la variable alatoire X prend coup sr lune de ces valeurs ; dit autrement, lunivers est gal la runion ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X X X X X X X= = = = = = =0 1 2 3 4 6 8 de tous les vnements ( )X xi= . De plus, tous ces vnements sont incompa-tibles (puisque X ne prend quune seule valeur la fois) donc on a lgalit : P(X=x1) + P(X=x2) + P(X=x3) + P(X=x4) + P(X=x6) + P(X=x8) = P(E) = 1.

Exemple

s,ALOIDEPROBABILITDUNEVARIABLEALATOIRESEDONNESOUVENTpar un tableau.Dans notre exemple, on obtient :

xi 0 1 2 3 4 6 8

P(X=xi)13

1

12

16

1

12

16

1

12

112

s$ANSLADESCRIPTIONDELALOIDEPROBABILITPARLETABLEAUPR-cdent, seules apparaissent les valeurs prises par la variable alatoire et les probabilits que ces valeurs soient prises par la variable alatoire. Les couples rsultats de lexprience alatoires ont totalement disparus.

Remarque

Proprit

Avec les notations de la dfini-tion prcdente P(X=x1) + P(X=x2) + + P(X=xr) = p(E) = 1.


15Squence 7 MA11

Cette galit permet de faire un contrle dans le tableau dune loi de probabi-lit : la somme des probabilits de la dernire ligne doit tre gale 1.

Pour cette raison, il est souvent commode de ne pas simplifier systmatiquement les fractions pour calculer cette somme plus facilement.

Dans le cas de notre exemple, on obtient :412

112

212

112

212

112

112

1212

1+ + + + + + = = .

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.

On marque 10 points si on a tir las de cur, 5 points si on a tir un autre as, 3 points si on a tir une figure (Valet, Dame ou Roi) et zro point dans tous les autres cas.

On dfinit une variable alatoire X dont la valeur est le nombre de points obtenus.Donner la loi de probabilit de X.

Les tirages se font au hasard , on fait donc lhypothse dquiprobabilit, par

consquent, chaque carte a la probabilit 1

32 dtre tire.

On a donc : P(X=10) = P({Ay}) = 132

, P(X=5) = p({Aw, Ax, Az})= 332

,

P( )X = =

=33 432

1232

car il y a 3 figures dans chacune des quatre couleurs

(cur, carreau, trfle, pique).

Et enfin P(X=0) =1632

car, dans chaque couleur, il y a 4 cartes diffrentes dune

figure ou dun as : ce sont les 7, 8, 9 et 10.

xi 0 3 5 10

P(X=xi)1632

1232

332

132

On vrifie que la somme des probabilits P(X=xi) vaut 1 :

1632

1232

332

132

3232

1+ + + = = .

Test

Exemple 1

Solution

Pour calculer la dernire probabilit, on pouvait aussi utiliser le fait que la somme totale est gale 1, et ainsi obtenir que la

dernire probabilit est gale 11232

332

132

+ +

. En procdant

ainsi, on se prive toutefois dun moyen de contrle des valeurs trouves.

Remarque


16 Squence 7 MA11

Dfinition de lesprance dune variable alatoire

Dans lactivit , nous avons considrer un jeu dont les gains possibles sont (4 ; 1 ; 0 ).

Lorsquon ralise la simulation de 1000 parties, ces gains sont, en thorie, obte-nus (250 fois ; 500 fois ; 250 fois). Dit autrement, les gains ont les probabilits

14

12

14

; ;

dtre obtenus.

Le gain moyen dun joueur (si les rsultats des parties du jeu se rpartissent

selon le modle idal thorique) est alors x =( )+ ( )+ ( )250 4 500 1 250 0

1000

ou encore x =

+

+

14

412

114

0 .

Dans les deux cas, bien sr, on obtient 1,5 .

De manire plus gnrale, considrons un jeu li une exprience alatoire dont les gains possibles sont les valeurs x x x xr1 2 3, , , ... , . Quand on ralise une simu-lation de N parties, le gain x1 est obtenu n1 fois, , le gain xr est obtenu nr fois.

Le gain moyen est alors xn x n x n x

Nr r

=

+ + +1 1 2 2 ... ; ce quon peut encore crire

xnN

xnN

xnN

xr r= + + +1

12

2 ... .

Avec cette dernire criture, on reconnaitnN

fnN

f1 12

2= =, , cest--dire, les fr-

quences de x x1 2, , ... pour lesquelles on a dj observ quelles se rapprochaient

des probabilits p p1 2, , ... (dfinies par p P x x p P x x1 1 2 2= = = =( ), ( ), ...) dob-

tenir les gains x x1 2, , ...

Cette remarque amne donner la dfinition suivante.

Dfinition 3

Soit X une variable alatoire prenant les valeurs x x x xr1 2 3, , , ... , et de loi de probabilit P. Lesprance de la variable alatoire X est le nombre, not E(X), dfini par :

E( ) = x P( = x )+ x P( = x )+...+ x P( = x ).1 1 2 2 r rX X X X

En notant pi la probabilitP X xi( )= on obtient : E( ) = + +...+ .1 1 2 2 r rX x p x p x p

Le mot esprance correspond lobservation faite sur les gains moyens quand on joue un trs grand nombre de fois. Si on joue N fois un jeu dont le gain X a une esprance E(X), on peut esprer un gain total proche de N wE(X).

Remarque


17Squence 7 MA11

Proprit de lesprance dune variable alatoire

Dans lactivit , le gain X dun joueur est une variable alatoire dfinie par :

X PP X PF FP X FF( ) , ({ , }) ( ) .= = =4 1 0et

Sa loi de probabilit est donne par

xi 0 1 4

P(X=xi)14

12

14

Lorsque le directeur propose de multiplier les gains par 10, le gain dun joueur devient une nouvelle variable alatoire Y dfinie par :

Y PP Y PF FP Y FF( ) , ({ , }) ( ) .= = =40 10 0et

Sa loi de probabilit est donne par

yi 0 10 40

P(Y=yi)14

12

14

Plus simplement, on criraY X= 10 puisque la variable alatoire Y suit la mme loi de probabilit que la variable alatoire X et que les valeurs prises par Y sont 10 fois celles prises par X.

On calcule lesprance de la variable alatoire Y :

E Y( ) .= + + =4014

1012

014

15

E X( ) ,= 1 5 et E X E Y( ) ( )10 15= = ce qui illustre la proprit nonce avec a = 10 et b = 0.

Proprit

Soit X une variable alatoire.

On considre deux nombres rels a et b.

On a alors : E(aX+b) = aE(X)+b.

Exemple

En rsum

Le calcul de lesprance dune variable alatoire laide dune calculatrice se fait de la mme manire que le calcul (tudi dans la squence 4) de la moyenne pondre dune srie statistique en remplaant les effectifs ni par les probabilits pi .

Remarque


18 Squence 7 MA11

Exercices dapprentissage

On lance un d cubique dont les faces sont numrotes de 1 6. On appelle X la variable alatoire gale au chiffre obtenu. La loi de probabilit de X est prcise dans le tableau suivant, dans lequel a est un nombre.

xi 1 2 3 4 5 6

P X xi( )= a 2a 3a 4a 5a 7a

Calculer a. Le d est-il truqu.

Ali Baba lance deux fois un d cubique quilibr dont les faces sont numrotes de 1 6. Il appelle S la somme des rsultats des deux lancers. La porte du paradis ne sou-vrira que si S est un nombre divisible par 6. Quelle est la probabilit que la porte souvre ?

Dans certaines rgions rurales de Russie, on prvoyait les mariages de la manire suivante : une jeune fille tenait dans sa main 3 longs brins dherbe replis en deux, dont les 6 extrmits dpassaient sous sa main (Dessin 1) ; une autre jeune fille nouait au hasard les extrmits deux par deux ; si le rsultat formait une seule boucle ferme (Dessin 2), cest que la jeune fille qui nouait les brins dherbe allait se marier dans lanne.On note X le nombre boucles fermes obtenues.

Dessin 1

Dessin 2

Dterminer lensemble des valeurs prises par la variable alatoire X.

Donner la loi de probabilit de X.

Calculer lesprance de X et interprter le rsultat obtenu.

Une exprience alatoire consiste lancer deux ds cubiques. On appelle M la variable alatoire gale au maximum des rsultats des deux ds.

C

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4


19Squence 7 MA11

A laide dun tableau double entres, dterminer lensemble des valeurs prises par la variable alatoire M.

Donner la loi de probabilit de M. Calculer lesprance de M.

Au cours dune fte, le jeu suivant est propos au public : dans une urne sont places

tCPVMFTSPVHFT3FU3tCPVMFTWFSUFT7FU7tVOFCPVMFCMBODIF#

Ces boules sont indiscernables au toucher.

Le joueur prend une premire boule au hasard, puis sans la remettre dans lurne, il tire une seconde boule.

A la fin de la partie, si la boule blanche a t tire, le joueur gagne 10 ; il perd dans les autres cas.

Pour faire une partie, le joueur doit payer 5 .

On dsigne par X la variable alatoire associe au gain algbrique du joueur lissue dune partie, cest--dire la diffrence entre le gain ventuel et le prix du jeu.

Dterminer avec un arbre tous les cas possibles. Quelles sont les valeurs prises par la variable alatoire X ? Dterminer la loi de probabilit de la variable alatoire X.

Exercice 5


20 Squence 7 MA11

3 Rptitions dexpriences identiquesActivits

Sam, lanceur de ds rcidiviste

On lance un d cubique bien quilibr, dont les faces sont numrots 1, 2, 3, 4, 5 et 6 une premire fois.

Puis on recommence une deuxime fois.

Dessiner un arbre mettant en vidence tous les rsultats possibles.

Quelle est la probabilit dun vnement lmentaire ?

Sam a peint tFOSPVHFMFTGBDFTOVNSPUFTtFOWFSUMFTGBDFTOVNSPUFTFUtFOCMFVMBGBDFOVNSPUF

a) laide des numros, dcrire les issues formant lvnement RB (RB signifie quon a obtenu une face rouge au premier lancer, et la face bleue au deu-xime) ?

b) Quelle est la probabilit de lvnement RB ?

Rpondre aux questions analogues pour les vnements RV, VR et VV.

On lance une seule fois ce d avec les faces peintes.

a) Quelle est la probabilit de lvnement R obtenir une face rouge ?

b) Quelle est la probabilit de lvnement V obtenir une face verte ?

c) Quelle est la probabilit de lvnement B obtenir la face bleue ?

a) Quel lien pouvez-vous alors faire entre la probabilit de lvnement RB dtermine la question 3.b et les probabilits des vnements R et B calcules la question 5 ?

b) Cette observation se vrifie-t-elle aussi i.sur lvnement RV ? ii.sur lvnement VR ? iii.sur lvnement VV ?

Pour cette question, on ne demande pas deffectuer le calcul directement, mais de sappuyer sur lobservation prcdente.

Si on effectuait trois lancers successifs, quelle valeur proposeriez-vous pour i. la probabilit de lvnement RBB ? ii. la probabilit de lvnement RVB ?

A

Activit 4


21Squence 7 MA11

Un choix de clefs

Dans un sac, il y a 5 clefs identiques au tou-cher ; 3 rouges et 2 noires.

On pioche une clef au hasard dans le sac.a) Quelle est la probabilit de lvne-

ment N, obtenir un clef noire ?b) Quelle est la probabilit de lvne-

ment R, obtenir un clef rouge ?

Sur chaque clef, on a coll une tiquette sur laquelle on a crit un numro : 1 et 2 pour les clefs noires, 3, 4 et 5 pour les clefs rouges.

On considre une nouvelle exprience ala-toire : on pioche une clef au hasard dans le sac, on note sa couleur et on la remet dans le sac puis on pioche nouveau une clef.

a) En utilisant la distinction permises par les numros, numrez les tirages correspondant lvnement NN obtenir deux clefs noires .

b) Calculer la probabilit de lvnement NN ?

De mme, numrez les tirages formant lvnement NR obtenir une clef noire la premire fois et une clef rouge la seconde puis calculer la probabilit de cet vnement.

Rpondre aux questions analogues pour les vnements RN et RR.

Quel lien pouvez-vous faire entre les probabilits de N et de R et la probabilit de NR ? Que pouvez-vous dire de la probabilit de lvnement RN ? De celle de lvnement RR ?

Un choix de clefs : un autre point de vue

Dans la situation de lactivit 5 on pioche (avec remise, pour que les conditions de la pioche soient identiques) deux fois une clef dans un sac contenant des clefs de deux couleurs et on sintresse au nombre de clefs noires pioches. Il est donc naturel dintroduire la variable alatoire X gale au nombre de clefs noires pioches.

Etudions ce point de vue.

Quelles sont les valeurs prises par la variable alatoire X lorsquon pioche deux fois dans le sac ?

Donner la loi de probabilit de la variable alatoire X.

Activit 5

Activit 6


22 Squence 7 MA11

CoursLes arbres utiliss dans les activits sont des moyens efficaces de reprsenter la rptition dexpriences alatoires identiques et indpendantes. Nous allons voir quils sont aussi utiles pour calculer des probabilits.

zUne question est pose 4 personnes. Elles doivent choisir une rponse parmi 3 rponses donnes. Comme elles nont aucune connaissance sur le sujet, elles rpondent au hasard.

Dans cette exprience alatoire, lexprience lmentaire a 3 issues (le choix dune rponse parmi 3) et est rpte 4 fois (une fois par personne). Elle aura donc 3 814 = issues.

zA la questionp, du jeu de Pile ou Face de lactivito, on lance trois pices de 1. Cette exprience alatoire donne les mmes rsultats que celle consis-tant rpter 3 fois le lancer dune pice de 1 ; autrement dit, en rptant 3 fois une exprience lmentaire 2 issues. Par consquent, il nest pas tonnant dobtenir 8 23= issues notre jeu.

zDans lactivitq, lexprience consistait lancer un d 6 faces. Puis recom-mencer. Ceci revient rpter 2 fois une exprience lmentaire 6 issues ce qui constitue une exprience 6 362 = issues : les 36 feuilles de larbre donn dans la correction de lactivitq.Intressons-nous maintenant la loi de probabilit de lexprience globale.

Dans lactivit 5, lexprience consistait piocher au hasard une clef dans un sac contenant cinq clefs (2 noires et 3 rouges) noter sa couleur puis recommencer une deuxime fois. A chaque fois, la loi de probabilit est donne par

B

Proprit

On considre une exprience alatoire deux issues quon appellera exp-rience alatoire lmentaire.

En rptant n fois cette exprience alatoire lmentaire on obtient une nouvelle exprience alatoire.

Cette nouvelle exprience possde 2n issues.

De mme, si lexprience alatoire lmentaire possde 3 issues, la nou-velle exprience alatoire aura 3n issues.

Pour expliquer cette proprit, il suffit de reprsenter lexp-rience alatoire lmentaire par un arbre deux branches et de remarquer qu chaque fois quon rpte lexprience ala-toire lmentaire on multiplie par deux le nombre de branches de larbre reprsentant lexprience alatoire globale.

Remarque

Exemple


23Squence 7 MA11

N R

25

35

Nous avons ajout (artificiellement) des numros pour se ramener la loi qui-rpartie ce qui nous a permis, lactivit5, de calculer la loi de probabilit de la rptition (2 fois) (expriences identiques) :

NN NR RN RR

425

625

625

925

Est-il possible de calculer la loi de probabilit de la rptition directement partir de la loi de probabilit de lexprience lmentaire ?

La rponse est oui. La proprit suivante prcise les choses.

zOn reprend la situation de lactivit 5 (tirages rpts dun clefs parmi 2 noires et 3 rouges).

On vrifie bien quon a

P NN P N P N P NR P N P R( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ,= =

= =

25

25

35

2

P RN P R P N( ) ( ) ( )= = 35

25

et P RR P R P R( ) ( ) ( ) .= =

35

2

Proprit

On considre une exprience alatoire (dite lmentaire ) deux issues.En rptant n fois cette exprience on obtient un univers 2n issues.Sur cet univers 2n issues, on dfinit une loi de probabilit de la faon suivante :

La probabilit dune liste de n rsultats est le produit des probabilits de chacun des n rsultats partiels qui la constituent.

s"IENENTENDUSILEXPRIENCELMENTAIREPOSSDEISSUESLAproprit prcdente reste encore valable.s,A PROPRIT PRCDENTE AFFIRME QUEN MULTIPLIANT LES PROBA-

bilits des rsultats partiels constituant une liste on obtient encore une loi de probabilit. A notre niveau, nous navons pas les outils pour dmontrer cette affirmation.

Remarque

Exemple


24 Squence 7 MA11

Voyons comment mettre en uvre ce calcul.

Lexprience lmentaire peut tre reprsente par larbre suivant, sur lequel nous avons ajout sur chaque branche, la probabilit de lvnement situ son extrmit.

N

R35

25

On dit que cest un arbre pondr.

On considre larbre reprsentant la rptition (2 fois) de lexprience lmen-taire :

N

R

35

25

N

R35

25

N

R35

25

P NN P N P N( ) ( ) ( )= =

25

2

P NR P N P R( ) ( ) ( )= = 25

35

P RN P R P N( ) ( ) ( )= = 35

25

P R P R P R( ) ( ) ( )= =

35

2

On se place la racine de larbre (cest le nud gauche) et on effectue un parcours de gauche droite en suivant les flches.

En crivant les lettres (N ou R) rencontres dans lordre on forme une suite de 2 lettres.

Par exemple, pour obtenir lissue NR, on emprunte la flche montante, puis la flche descendante.

La proprit nonce plus haut nous dit quon obtient la probabilit de lvnement NR en multipliant les nombres sur les flches utili-

ses, cest--dire P NR( ) .= =25

35

625

Il faut bien garder lesprit que la mthode dcrite ci-dessus (avec des arbres pondrs) sapplique au calcul de la probabilit dun vnement obtenu la suite de la rptition dexpriences alatoires identiques et indpendantes.

Attention


25Squence 7 MA11


Dans une cit scolaire, le personnel est compos de 100 personnes rparties en trois groupes :

- le personnel administratif- le personnel technique- le personnel enseignant- le personnel de restauration

Larbre ci-dessous indique la rpartition selon le groupe et le sexe (Homme (H), Femme (F)) :

F H

A

0,4

F H

T

0,1

F H

E

0,3

F H

R

0,5

0,1 0,6 0,2

Complter cet arbre

Dterminer le pourcentage de personnel fminin dans cette cit scolaire.

Dterminer la part de personnel enseignant parmi les femmes.

Dterminer la part de femmes parmi le personnel enseignant.

Sur un plan deau, un voilier navigue au prs, cest--dire, que sa direction est au plus prs de celle du vent ; ici, 45 de celle du vent (deux directions possibles). Pour virer de bord (changer de direction) il doit avoir parcouru un nombre entier de milles nautiques (1 mille nautique = 1852 mtres, environ).En supposant que la direction du vent reste fixe on peut reprsenter les dplace-ments du voilier sur le quadrillage de la carte ci-dessous (chaque carr mesure 1 mille nautique de ct) :

A1 2 3 4 5

B

C

D

E

1 millenautique

Dpart du voilier : A1

Routes possibles : vers lEst ou vers le Nord

Changement de direction : sur les nuds du quadrillage,seulement.

Nord-Est(direction du vent)

Nord

Est

(dplacementspossibles)

C

Exercice 6

Exercice 7


26 Squence 7 MA11

On suppose que le voilier, parti de A1, parcourt 4 milles nautiques et quaprs chaque mille parcouru, il a une chance sur deux de virer de bord. Au dpart, il a une chance sur deux de partir vers le Nord.

A laide dun arbre, reprsenter les dplacements possibles du voilier.

Placer les points correspondants aux positions finales du voilier sur le qua-drillage. Que peut-t-on dire de ces points ?

a) Calculer la probabilit de chacune de ces positions finales.

b) Quelle est la position finale la plus probable ?


27Squence 7 MA11

4 Loi de Bernoulli Loi binomialeActivits

Faire un six avec un d quilibr

On lance un d bien quilibr.Soit Y la variable alatoire qui prend la valeur 1 quand on obtient 6 et la valeur 0 dans les autres cas. Donner la loi de probabilit de Y.

Jouer Pile ou Face

On dispose dune pice de monnaie qui tombe sur Pile dans 70% des cas et qui tombe sur face dans 30% des cas.

On lance une fois la pice.

Soit X la variable alatoire qui prend la valeur 1 quand on obtient Pile et la valeur 0 quand on obtient Face. Donner la loi de probabilit de X.

On lance quatre fois de suite la pice prcdente.

Soit X la variable alatoire comptant le nombre de fois o on obtient Pile.

a) Construire un arbre illustrant cette exprience alatoire.On appelle chemins de larbre les parcours dans larbre menant du tronc une feuille.

b) En regard de chaque feuille de larbre, crire la suite de lettres P et F correspondant au chemin.

c) Pour chaque chemin de larbre prcdent, prciser la valeur de X. d) Complter le tableau suivant.

k 0 1 2 3 4

Chemins tels que( )X k= FFFF PFFF, FPFF, FFPF, FFFP

PPPP

Nombre de chemins tels que ( )X k=

a) Complter larbre prcdent en un arbre pondr illustrant la situation.

b) Combien y-a-t-il de chemins contenant 3 lettres P exactement (num-rer-les) ?

A

Activit 7

Activit 8


28 Squence 7 MA11

Que vaut X pour ces chemins ?c) A laide de larbre pondr, calculer la probabilit dun chemin contenant 3

lettres P exactement.

d) En dduire la probabilitP X( ).= 3

En procdant comme la question 3, calculer P X( )= 2 puis donner la loi de probabilit de X.

Cours

Dans ce chapitre on tudie la rptition dexpriences identiques et ind-pendantes.

tCela signifie que les conditions dans lesquelles on rpte lexprience sont les mmes. Par exemple, les tirages de boules ou de jetons se font avec remise de lobjet tir aprs chaque tirage.

tCela signifie aussi quune exprience ne dpend pas du rsultat de lexprience prcdente. De manire image, on peut dire que les pices ou les ds nont pas de mmoire.tBien entendu, cela ne signifie pas que les rsultats de ces expriences rptes

sont les mmes, puisquil sagit dexpriences alatoires.

Epreuve de Bernoulli Loi de Bernoulli

Nous avons vu plusieurs situations dans lesquelles lexprience (lmentaire) possdait 2 issues.Dfinition 1

Une exprience alatoire possdant 2 issues est appele preuve de Ber-noulli.

On note les deux issues S et E et on les appelle Succs et Echec.Dfinition 2

La variable alatoire X dfinie par X S( ) = 1 et X E( ) = 0 est appele variable de Bernoulli. Dfinition 3

La loi de probabilit dune variable de Bernoulli est une loi de Bernoulli.

B

En rfrence au mathmaticien suisse Jacques Bernoulli (1676).Une variable alatoire de Bernoulli compte le nombre de Succs (0 ou 1 succs) dans une preuve de Bernoulli.

Remarque


29Squence 7 MA11

Le jeu de Pile ou Face est une preuve de Bernoulli dont les issues sont PILE et FACE ou plus simplement P et F.

La variable alatoire dfinie par X F( ) = 0 et X P( ) = 1 est une variable de Bernoulli. La loi de probabilit de X est une loi de Bernoulli donne par le tableau

k 1 0

X k= P (PILE) F (FACE)

P X k( )= p q

o p et q sont des nombres de lintervalle [ ; ]0 1 tels que p q+ = 1.

Si la pice de 1 est quilibre alors p =12

etq =12

.

Lorsquon joue Pile ou Face avec une pice de 1 quilibre, la loi de pro-babilit de la variable alatoire X de lexemple prcdent qui compte le nombre

de Pile obtenu (zro ou un) est la loi( , ).112

Nous allons maintenant nous intresser la rptition dpreuves de Bernoulli identiques.

Loi binomialeDfinition 4

La rptition, n fois, dpreuves de Bernoulli identiques et indpendantes est appele schma de Bernoulli.

Dfinition 5

Soit X la variable alatoire gale au nombre de succs dun schma de Ber-noulli. La loi de probabilit de X sappelle la loi binomiale de paramtres n et p o p est le paramtre de la loi de Bernoulli rpte n fois. On la note( , )n p

Exemple

Proprit

On considre une preuve de Bernoulli deux issues E et S (E = Echec, S : Succs).

La loi de Bernoulli est entirement dtermine par la probabilit P S( ) . Le nombre p P S= ( ) est appel paramtre de la loi de Bernoulli. On note ( , )1 p la loi de Bernoulli de paramtre p.

Exemple 1

Dans un schma de Bernoulli, les preuves de Bernoulli ont toutes le mme paramtre p.

Remarque


30 Squence 7 MA11

Dans lactivit 6, on rpte deux fois la pioche dune clef (avec remise). On a vu quon pouvait dfinir la variable alatoire X gale au nombre de clefs noires pio-ches. La loi de probabilit de la variable alatoire X est la loi binomiale( ; , )2 0 4

puisque25

0 4= , . Cest la loi de probabilit du nombre de succs (cest--dire

du nombre de clefs noires pioches), lissue de lexprience pioche dune clef puis remise rpte 2 fois.

Dans lactivit 7, on rpte 4 fois le lancer dune pice de monnaie qui tombe sur Pile avec la probabilit 0,7 (cest--dire dans 70 % des cas). X est la variable ala-toire gale au nombre de Pile obtenus lissue des 4 lancers. La loi de probabilit de X est la loi binomiale( ; , ).4 0 7 Reprenons larbre pondr :

PPPP

Chemins

0,7

0,7

0,7

0,7

0,3

PP

F

P

P

F0,3

0,7

0,3

PPPF

PPFP

PPFF

PFPP

F

PFPF

PFFP

PFFF

FPPP

0,7

0,3

0,3

P

P

FPPF

FPFP

FPFF

FFPP

F

FFPF

FFFP

FFFF

4

3

3

2

3

2

2

1

3

2

2

1

2

1

1

0

(0,7)4

Probabilit

(0,7)3 0,3

(0,7)3 0,3

(0,7)2 (0,3)2

(0,7)3 0,3

(0,7)2 (0,3)2

(0,7)2 0,32

0,7 (0,3)3

(0,7)3 0,3

(0,7)2 (0,3)2

(0,7)2 (0,3)2

0,7 (0,3)3

(0,7)2 (0,3)2

0,7 (0,3)3

(0,7) (0,3)3

(0,3)4

Valeurs de X

p est un nombre rel tel que 0 1 p alors que n est un nombre entier naturel suprieur ou gal 1.Pour le calcul des probabilits dune loi binomiale( , )n p , nous utiliserons :- les arbres pondrs lorsque n 4.- la calculatrice ou le tableur pour n 5.

Remarque

Exemple 2

Exemple 3


31Squence 7 MA11

Pour calculer la probabilit de ( )X k= lorsque X est une variable alatoire de loi binomiale( ; , )4 0 7 , il nous a fallut au pralable dterminer le nombre de che-mins conduisant k succs (k fois la lettre P ). Puis, grce larbre pondr, la probabilit de chacun de ces chemins sobtient en multipliant les probabilits sur les branches de larbre. Enfin, en multipliant cette probabilit par le nombre de chemins, on obtient la probabilitP X k( ).=

Dfinition 6

Coefficient binomial

Le nombre de chemins de larbre ralisant k succs pour n rptitions se note nk

et sappelle un coefficient binomial.

Expression de la loi binomiale

Lorsque la loi dune variable alatoire X est la loi binomiale de paramtres n et p, la variable alatoire X prend les valeurs 0, 1, n (il y en a n +1) avec les probabilits :

P X knk

p pk n k( ) ( )== ==

1 pour tout entier k tel que 0 k n.

Dans lexemple 3, on a obtenu P( ) ( , ) ( , )X = = 3 4 0 7 0 33 1 ce qui correspond, en effet, :

P(X = 3) = 4 (0,7)3 (0,3)1

nombrede chemins probabilitdu succs

probabilitde lchec

nombrede succs nombre

dchecs

s,ESCOEFFICIENTSBINOMIAUXSONTTUDISPLUSLOINs$ANSLESCALCULSONUTILISELESVALEURSDONNESPARLACALCULA-

trice ou le tableur.s0UISQUCHAQUECHEMINRALISANTk succs pour n rptitions

correspond exactement un mot (de n lettres) form laide de 2 lettres (par exemple P et F) et contenant k fois la lettre P, le nombre de chemins est gal au nombre de mots du mme type. Ainsi, dans lexemple ci-dessus, il y a 6 chemins ralisant 2 succs pour 4 rptitions, autant que de mots de 4 lettres utilisant les lettres P et F contenant 2 lettres P ; en effet, les 6 mots sont PPFF, PFPF, PFFP, FPPF, FPFP, FFPP.

Remarque

Thorme 1


32 Squence 7 MA11

Soit X une variable alatoire qui suit la loi binomiale de paramtres n = 10 et p = 0 4, .

DterminerP( )X = 3 sachant que 103

120

= .

Daprs le thorme 1, on a P X( ) , , .= =

3

103

0 4 0 63 7

Comme 103

120

= , on calculeP X( ) , , , .= = 3 120 0 4 0 6 0 215

3 7

Pour reconnatre et justifier les situations dans lesquelles la loi dune

variable alatoire X est une loi binomiale de paramtres n et p, il est

essentiel de mettre en vidence

tVOFQSFVWFEF#FSOPVMMJ

tPMFTVDDTBQPVSQSPCBCJMJUp,

tSQUFn fois,

tEFGBPOTJEFOUJRVFTFUJOEQFOEBOUFT

savoir


Pour lpreuve de Bernoulli de lactivit r qui consiste piocher une clef parmi 5 (2 noires et 3 rouges) on peut dfinir la variable alatoire X valant 1 si la clef pioche est noire et 0 si elle est rouge.

Quelle est la loi de probabilit de la variable alatoire X lorsquon effectue une seule pioche dans le sac ?

Quelle est la loi de probabilit de la variable alatoire Y comptant le nombre de clefs noires pioches lorsquon rpte deux fois des pioches identiques et indpendantes ?

On lance 10 fois une pice de monnaie quilibre.

Quelle est la probabilit que la pice tombe exactement 5 fois du ct pile ?

On donne la valeur du coefficient binomial 105

= 252.

Le monopole du march du cacao est dtenu par deux marques A et B. On a observ que 20% de la clientle choisit la marque A et 80%, la marque B.

On effectue un sondage sur 100 personnes au hasard.

Exemple 4

Solution

C

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10


33Squence 7 MA11

On note X le nombre de personnes ayant achetes la marque A.

Quelle est la loi de probabilit suivie par la variable alatoire X ?

Quelle est la probabilit quil y ait entre 20 et 25 personnes avoir choisi la marque A ?

Remplacer les pointills par des instructions adquates afin que le programme pour la calculatrice suivant affiche le rsultat du calcul de la probabilit de

P X( )= 4 o la loi de X est( , ).713

Pour une calculatrice Texas

: qC : qp: 1 p qq: C*p^4*q^(7-4)qs: Disp P(X=4)=, s

Pour une calculatrice Casio

q C q P 1 P q Q C*P^4*Q^(7-4)qS P(X=4)=\S\

Vrifier le rsultat prcdent laide de la fonction LOI.BINOMIALE(n ; p ; 0) du tableur Calc dOpen Office.

Exercice 11


34 Squence 7 MA11

5 Esprance de la loi binomialeActivits

Calculs desprances

Dans lactivit 7, prciser les paramtres n et p de la loi( , )n p suivie par la variable alatoire Y, puis calculer lesprance de Y.

Dans lactivit 8, pour chacune des questions 1 et 2, mme questions pour la variable alatoire X.

Quobserve-t-on entre les nombres n, p et lesprance calcule, dans chaque cas ?

Faire un six avec un d pip

On lance un d pip pour lequel la probabilit dobtenir un six est gale 0,25. Soit X la variable alatoire qui prend la valeur 1 quand on obtient 6 et la valeur 0 dans les autres cas.

Donner la loi de probabilit de X et calculer son esprance.

Simulation avec le tableur

On veut simuler les frquences du nombre de bonnes rponses un question-naire choix multiples (QCM).

On suppose quon rpond au hasard chacune des 100 questions et que la pro-babilit de bien rpondre au hasard est gale 0,2 pour chaque question.

Quelle est la loi de la variable alatoire X gale au nombre de bonnes rponses ? (prciser ses paramtres)

Avec le tableur Calc dOpen Office :

a) Dans la colonne A (plage A1:A100), entrer les valeurs de X (nombres entiers de 0 100). On pourra utiliser une formule du tableur ou la poigne de recopie. Dans la cellule B1, entrer la formule =LOI.BINOMIALE(A1 ;100 ; 0.2 ; 0)

Recopier cette formule dans la plage B2:B100

b) Reprsenter graphiquement la plage de donnes A1:B100 par un dia-gramme de type XY (dispersion)

c) Par lecture graphique, dterminer la valeur de X la plus probable ?

A

Activit 9

Activit 10

Activit 11


35Squence 7 MA11

d) Dans la colonne C, calculer les produits k P X k =( ) pour 0 100 k ; puis la moyenne de ces valeurs. A quoi correspond cette moyenne ?

Cours

Coefficients binomiaux

Le coefficient binomial nk

se lit k parmi n . Par exemple,

4

2

se lit 2 parmi 4 .

zPour la calculatrice TI-82 Stats.fr, pour obtenir 42

, on utilise la fonctionnalit

Combinaison (ou nCr) qui se trouve dans Maths PRB. En validant 4 Combinai-

son 2 (qui saffiche 4 nCr 2) on obtient 6, donc on crit 4

26

= . On retrouve

bien le nombre de chemins de larbre qui ralisent 2 succs.

zPour la calculatrice Casio Graph 25+Pro, on tape aussi 4 nCr 2, nCr est obtenu par OPTN F6 PROB.

zSur le tableur Calc dOpenOffice, on utilise la fonctionnalit COMBIN(n ; k).

Esprance de la loi binomiale

Dans les activits 9 et 11, nous avons calcul lesprance de plusieurs lois bino-miales( , ).n p Rassemblons les rsultats de ces calculs.

Loi ( , )116

( ; , )1 0 7 ( ; , )4 0 7 ( ; , )100 0 2

Esprance16

0 7, 2,8 20

Remarquons que 4 0 7 2 8 =, , et100 0 2 20 =, .

Au vu de ces calculs, on peut conjecturer que lesprance de la loi binomiale( , )n p est gale n p .

Cette conjecture peut se dmontrer avec des outils dont nous ne disposons pas, notre niveau.

B

Proprit

Soit X une variable alatoire qui suit la loi binomiale de para-mtres n et p. Son esprance est gale E( ) .X np=

En particulier, pour une loi de Bernoulli( , )1 p de para-mtre p, lesprance est gale son paramtre p.

Remarque


36 Squence 7 MA11

Considrons le jeu suivant. On lance une pice quilibre et on gagne 1 si on obtient Pile et 0 si on obtient Face.

En rptant, 5 fois ce jeu, le gain total est une variable alatoire X dont la loi de

probabilit est( , )512

.

Un joueur peut donc esprer gagner E X n p( ) ,= = =512

2 5. Dit autrement,

sil rpte un grand nombre de fois cinq parties de ce jeu, un joueur gagnera en moyenne 250.


La probabilit quun tireur atteigne sa cible est p =34

.

Une preuve du championnat consiste en 7 tirs.

Tous les facteurs (anxit, fatigue du tireur, conditions mtorologiques, ) sont les mmes chaque tir.

En moyenne une preuve, combien de fois ce tireur aura-t-il atteint la cible ?

Un jeu consiste lancer 18 fois une pice de monnaie. Si vous obtenez 18 Faces vous gagnez 900 millions deuros ; sinon, vous perdez 1000 .

Calculer lesprance du gain ce jeu. Jouerez-vous ?

On divise les enjeux par 10 000 : on gagne 90 000 en obtenant 18 Faces ; sinon, on perd 10 centimes.

Calculer lesprance du gain ce nouveau jeu. Jouerez-vous ?

Exemple

C

Exercice 12

Exercice 13


37Squence 7 MA11

6 EchantillonnageActivits

Intervalle de fluctuation et conditions

RappelsUn chantillon de taille n est obtenu par n rptitions indpendantes dune mme exprience alatoire deux issues. On dit quun tel chantillon relve du modle de Bernoulli.

Les distributions de frquence varient dun chantillon lautre. Ce phnomne est appel fluctuation dchantillonnage.

On se sert de ce rsultat pour vrifier si un chantillon donn dune population statistiquement connue est un chantillon compatible ou non avec le modle.

Pile ou faceOn lance une pice quilibre ; on sait que la frquence thorique de sortie de Pile est p = 0,5.

On simule avec la calculatrice lobtention dun chantillon de taille 200. Pour cela, on tire au hasard un nombre de lintervalle [0 ;1[ et on assimile la sortie de Pile laffichage dun nombre dans lintervalle [0 ;0,5[.

Voici un programme pour calculatrice qui permet dobtenir 50 chantillons de taille 200.

A

Activit 12

Proprit admise en seconde

On peut tablir quenviron 95% des chantillons de taille n ont des fr-

quences f qui appartiennent lintervalle [ ; ]pn

pn

+1 1

sous les condi-tions : n 25 et 0 2 0 8, , . p Cet intervalle sappelle lintervalle de fluctuation au seuil de 95%.

Utilisation


38 Squence 7 MA11

Sur TI

a) Lancer ce programme (sa ralisation peut prendre quelques minutes). Ouvrir le menu STAT et expliquer le contenu du tableau

b) Afficher lcran la reprsentation graphique de ce tableau et faire apparatre lintervalle de fluctuation au seuil de 95% (donner les quations des droites traces).

c) Vrifier la proprit nonce au dbut de lactivit

Cas o n < 25a) Modifier le programme pour raliser la simulation de 50 chantillons de taille

20.

b) Que constate-t-on pour la proprit nonce au dbut de lactivit

Cas o p 0,8a) Modifier le programme pour raliser la simulation de 50 chantillons de taille

200, lorsque la frquence thorique est p = 0,1, puis p =0,9.

b) Que constate-t-on pour la proprit nonce au dbut de lactivit ?

Aux urnes, citoyens

Monsieur Z, chef dun gouvernement dun pays lointain, affirme que 52% des lecteurs lui font confiance. On ralise un sondage dans cette population en interrogeant 100 lecteurs au hasard (la population est suffisamment grande pour considrer quil sagit de tirages avec remise).

On fait lhypothse que Monsieur Z dit vrai et que la proportion des lecteurs qui lui font confiance dans la population est p = 0,52.

Activit 13


39Squence 7 MA11

Montrer que la variable alatoire X, correspondant au nombre dlecteurs lui faisant confiance dans un chantillon de 100 lecteurs, suit la loi binomiale de paramtres n = 100 et p=0,52.

A laide dun tableur, donner la loi de probabilit de X et sa reprsentation graphique.

Faire aussi apparatre dans une colonne adjacente les valeurs de P X k( ) avec k entier de 0 20.

a) Dterminer a et b tel que

z a est le plus petit entier tel que P X a( ) , > 0 025 ;z b est le plus petit entier tel que P X b( ) , 0 975 .b) Comparer lintervalle [ , ]

an

bn

lintervalle de fluctuation au seuil de 95% considr en seconde.

Sur les 100 lecteurs interrogs au hasard, 41 dclarent avoir confiance en Monsieur Z.

Doit-on mettre un doute sur le pourcentage de 52% prononc par Monsieur Z ?

Cours

Intervalle de fluctuation au seuil de 95% dune frquence et loi binomiale. Etude dun exemple

Dans une usine automobile, on contrle les dfauts de peinture grains ponc-tuels sur le capot . Lorsque le processus est sous contrle, on a 10% de ce type de dfaut, cest--dire que la proportion de capots prsentant ce dfaut de pein-ture dans la production totale est p=0,10. On choisit un chantillon de 200 capots et on observe 26 capots dfectueux. Faut-il sen inquiter ?

Soit X le nombre de capots dfectueux. X suit la loi binomiale de paramtre n =200 et p = 0,1.

Nous avons appris en seconde dterminer des intervalles de fluctuation au seuil de 95% lorsque n 25 et p est compris entre 0,2 et 0,8.

Comme p < 0,2, nous ne pouvons pas utiliser cette mthode ici.

Nous allons nanmoins utiliser une mthode dans lesprit assez voisine, pour donner aussi pour cette loi binomiale de paramtres n =200 et p = 0,1 un inter-valle de fluctuation 95%.

Reprsentons cette loi binomiale laide dun tableur.

B


40 Squence 7 MA11

Nous crirons les entiers k de 0 200 dans la colonne A, P X k( )= dans la colonne B grce la formule = LOI.BINOMIALE(A2 ;200 ;0,1 ;0) et dans la colonne C la formule = LOI.BINOMIALE(A2 ;200 ;0,1 ;1) qui permet dobtenir P X k( )= pour k compris entre 0 et 200.

Nous pouvons alors dterminer les nombres entiers a et b tels que

z a soit le plus petit entier tel que P X a( ) , > 0 025 ;z b soit le plus petit entier tel que P X b( ) , 0 975 (soit aussi P X b( ) , ).> 0 025 On peut lire dans la colonne C, a = 12 et b = 29.

Ainsi, P XP X

( ) ,

( ) ,

11 0 025

30 0 025donc P X( ) ,12 29 0 95 .

Si on raisonne en terme de frquence, on obtient que PX

( ) , .12200 200

29200

0 95

En notant f la frquence de capots dfectueux, on obtient que P f( % , %) ,6 14 5 0 95 .


41Squence 7 MA11

Par analogie avec lintervalle de fluctuation vu en seconde, on appellera intervalle

de fluctuation au seuil de 95% de la variable alatoire X, lintervalle [ , ]an

bn

= [0,06 ; 0,145].

Les 26 capots dfectueux sur les 200 observs correspondants une frquence de 13%, et 0,13 appartenant lintervalle de fluctuation [0,06 ; 0,145], nous considrerons donc que la frquence observe dans cette chantillon est nor-male.

Intervalle de fluctuation 95% dune fr-quence et loi binomiale. Cas gnral.

On considre une population dans laquelle on suppose que la propor-tion dun certain caractre est p. Pour juger de cette hypothse, on y prlve, au hasard et avec remise un chantillon de taille n sur lequel on observe une frquence f du carac-tre.

On rejette lhypothse selon laquelle la proportion dans la population est p lorsque la fr-quence f observe est trop loi-gne de p, dans un sens ou dans lautre. On choisit de fixer le seuil de dcision de sorte que la probabilit de rejeter lhypothse, alors quelle est vraie, soit infrieure 5%.

Lorsque la proportion dans la population vaut p, la variable alatoire X corres-pondant au nombre de fois o le caractre est observ dans un chantillon de taille n, suit la loi binomiale de paramtres n et p. On cherche partager linter-valle [0 ; n], o X prend ses valeurs, en trois intervalles [0 ; a 1], [a ; b], [b+1, n] de sorte que X prenne ses valeurs dans chacun des intervalles extrmes avec une probabilit proche de 0,025, sans dpasser cette valeur.

En tabulant les probabilits P X k( ) , pour k entier de 0 n, il suffit de dter-miner le plus petit entier a tel que P X a( ) , > 0 025 et le plus petit entier b tel que P X b( ) , 0 975 .

La rgle de dcision est la suivante : si la frquence observe f appartient lin-

tervalle de fluctuation 95%, [ , ]an

bn

on considre que lhypothse selon laquelle

la proportion est p dans la population nest pas remise en question ; sinon, on rejette lhypothse selon laquelle cette proportion vaut p.

Dfinition

Lintervalle de fluctuation 95% dune frquence correspondant la ralisation, sur un chantillon alatoire de taille n, dune variable alatoire X de loi bino-

miale, est lintervalle [ , ]an

bn

dfini par :

Hypothse :proportion p

Taille nObservation :

frquence f


42 Squence 7 MA11

z a est le plus petit entier tel que P X a( ) , > 0 025 ;z b est le plus petit entier tel que P X b( ) , . 0 975

Pour n 30, n p 5 et n p ( )1 5 , on pourrait observer que lintervalle

[ , ]an

bn

de fluctuation dune variable alatoire X de loi binomiale est sensible-

ment le mme que lintervalle [ , ]pn

pn

+1 1

vu en seconde.


Une petite ville des tats-Unis, Woburn, a connu 9 cas de leucmie parmi les 5969 garons de moins de 15 ans sur la priode 1969-1979. La frquence des leucmies pour cette tranche dge aux Etats-Unis est gale 0,00052. (Source : Massachussets Departement of public Health).

z Les entiers a et b dpendent de la taille n de lchantillonz Lintervalle de fluctuation dune variable alatoire X de paramtre

n et p est valable sans aucune condition sur les variables n et p.

Remarque

Commentaire

Illustrationgraphique

00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Probabilits

Frquence observe f

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

Zone de rejet(moins de 2,5 %)

Zone de rejet(moins de 2,5 %)

Intervallede fructation

C

Exercice 14


43Squence 7 MA11

Les autorits concluent quil ny a rien dtrange dans cette ville. Quen pensez-vous ? On argumentera sa rponse en dterminant laide dun tableur linter-valle de fluctuation au seuil de 95% dune loi binomiale laide dun tableur.

Buffon lance 4040 fois une pice et il obtient 2049 fois Pile .

Comparer lintervalle de fluctuation au seuil de 95% obtenu par la loi bino-miale de paramtres n = 4040 et p =0,5 laide dun tableur avec lintervalle

[ , ].pn

pn

+1 1

La pice est-elle quilibre ?

Exercice 15


44 Squence 7 MA11

7 Synthse de la squence Loi de probabilit, esprance dune

variable alatoire

On considre une variable alatoire X prenant les valeurs x x xr1 2, , ... .

Donner la loi de probabilit dune variable alatoire X, cest donner le tableau :

x1 x2 xr

P X x( )= 1 P X x( )= 2 P X xr( )=

Lesprance de la variable alatoire X est le nombre, not E(X), dfini par :

E( ) = x ( = x )+ x ( = x )+...+ x ( = x ).1 1 2 2 r rX P X P X P X

Epreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli

Une preuve de Bernoulli est une preuve alatoire comportant deux issues, lune appele succs , lautre appele chec .

On peut reprsenter une preuve de Bernoulli par un arbre pondr :

Succs

chec

p

q

On considre une preuve de Bernoulli.

Soit X la variable alatoire qui prend la valeur 1 en cas de russite et la valeur 0 en cas dchec.

La variable alatoire X est appele variable de Bernoulli et la loi de proba-bilit de X est appele loi de Bernoulli. Elle est donne par :

k 0 1

P X k( )= q p= 1 p

La variable alatoire de Bernoulli de paramtre p a pour esprance p.


45Squence 7 MA11

Schma de Bernoulli, loi binomiale

La rptition de n preuves de Bernoulli identiques et indpendantes est une exprience alatoire quon appelle schma de Bernoulli.

Soit X la variable alatoire dfinie par le nombre de succs dans un schma de Bernoulli dans lequel on rpte n fois une preuve de Bernoulli pour laquelle la probabilit du succs est gale p.

La loi de probabilit de X sappelle la loi binomiale de paramtres n et p. On la note( , ).n p

Une faon de reprsenter un schma de Bernoulli est dutiliser un arbre pon-dr :

Exemple darbre reprsentant un schma de Bernoulli pour n = 2 et p q+ = 1.

Le nombre de chemins de larbre ralisant k succs pour n rptitions se note nk

et sappelle un coefficient binomial.

Expression de la loi binomialeLorsque la loi dune variable alatoire X est la loi binomiale de paramtres n et p, la variable alatoire X prend les n +1 valeurs 0, 1, 2, 3, , n 1, n avec les probabilits :

P knk

p pk n k( ) ( )X == ==

1 pour tout entier k tel que 0 k n.

Soit X une variable alatoire qui suit la loi binomiale de paramtres n et p, son esprance est E( ) = .X np

Reprsentation graphique lune loi binomiale

0,0000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

1

k

n = 20 et p = 0,7 P(X = k)

prob

abili

t

2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

SuccsSuccs

chec

chec

Succs

chec

p

q

p

q

p

q

Exemple


46 Squence 7 MA11

Echantillonage

Lintervalle de fluctuation au seuil de 95% dune frquence correspondant la ralisation, sur un chantillon alatoire de taille n, dune variable alatoire X de

loi binomiale, est lintervalle [ , ]an

bn

dfini par :

z a est le plus petit entier tel que P X a( ) , > 0 025 ;z b est le plus petit entier tel que P X b( ) , . 0 975 On considre une population dans laquelle on suppose que la proportion dun certain caractre est p. Pour juger de cette hypothse, on y prlve, au hasard et avec remise un chantillon de taille n sur lequel on observe une frquence f du caractre.

> Rgle de dcision : si la frquence observe f appartient lintervalle de fluc-tuation au seuil de 95% , on considre que lhypothse selon laquelle la pro-portion est p dans la population nest pas remise en question ; sinon, on rejette lhypothse selon laquelle cette proportion vaut p.


47Squence 7 MA11

8 Exercices dapprofondissementUne goutte deau vagabonde (extrait de la revue Diagonales) Dans cet exercice nous proposons deux mthodes pour calculer une probabilit.

Une goutte deau ruisselle le long du grillage dessin ci-dessous.

Elle part du point A (considr comme premier croisement) et suit au hasard le fil vers le bas droite ou gauche ; puis au deuxime croisement, elle recommence jusqu arriver sur le bord [BC].

I. A laide dune loi quirpartie

Combien de croisements la goutte rencontre-t-elle en tout?

On appellera morceau chaque bout de fil du grillage entre deux croisements voisins de fils.

Combien de morceaux contient chaque trajet de la goutte menant de A un des points du segment [BC] ?

Au total, combien de trajets la goutte peut-elle emprunter ?

Faisons correspondre chaque trajet qui mne de A un point du segment [BC] une suite compose de 10 lettres G ou D selon que la goutte emprunte un morceau menant vers le bas gauche ou vers le bas droite.

Combien de lettre D contient un trajet menant de A au milieu du segment [BC] ?

O arrive un trajet de la goutte partant de A et auquel correspond une suite contenant cinq fois la lettre G ?

Quelle est la probabilit que la goutte tombe dans le rcipient situ exacte-ment au milieu du bord [BC] ?

II. A laide dune loi binomiale

On considre lexprience alatoire consistant lcher une goutte deau au point A et la laisser ruisseler le long du grillage prcdent. Soit X la variable alatoire gale au nombre de morceaux correspondant la lettre G dans le trajet dune goutte.

Quelle est la loi de probabilit de X ?

Exprimer la probabilit que la goutte tombe dans le rcipient situ exactement au milieu du bord [BC] laide de X puis calculer cette probabilit.

Exercice I


48 Squence 7 MA11

Pour un examen, les candidats doivent rpondre un QCM. Il y a 50 questions et chaque question, le candidat doit choisir entre 4 rponses dont une seule est la bonne. Les rdacteurs du sujet dexamen souhaitent introduire un score limi-natoire de sorte quun candidat qui rpondrait au hasard ait une chance sur 100 seulement de dpasser ce score. Quel doit-tre le score liminatoire ?

Abel et Can saffrontent dans un tournoi de ping-pong. Abel gagne une partie contre Can avec la probabilit p =0,6. On joue 9 parties. Le vainqueur est celui qui a gagn le plus de parties. Quelle est la probabilit de Can de gagner le tournoi ?

Ecrire un algorithme permettant dobtenir le nombre a de lintervalle de fluctua-

tion [ , ]an

bn

de la loi binomiale de paramtres n et p et limplmenter sur votre

calculatrice.

Comment modifier votre programme pour obtenir le b ?

Tester votre programme avec les donnes de lactivit 13.

Exercice II

Exercice III

Exercice IV


Documents

Al7ma11tepa0012 Sequence 07