Al7ma11tepa0012 Sequence 08

1Squence 8 MA11

Squence 8

Suites arithmtiqueset gomtriques

Sommaire

Pr-requis Suites arithmtiques Suites gomtriques Synthse du cours Exercices dapprofondissement

Cned - Acadmie en ligne

3Squence 8 MA11

1 Pr-requisSuites

Suite dnie explicitement

Soit ( un ) la suite dfinie pour tout entier naturel n par u nn = 2 7 .

Calculer u0 ; u1 .

Complter le tableau suivant :

n 0 1 2 3 4 5

un

Reprsenter les points de coordonnes (n ; un ) associs aux cinq premiers termes de la suite ( un ) dans un repre.

Conjecturer le sens de variation de cette suite. Prouver cette conjecture.

u

u

02

12

0 7 7

1 7 6

= =

= =

n 0 1 2 3 4 5

un -7 -6 -3 2 9 18

A

Exemple 1

Solution


4 Squence 8 MA11

Conjecture : la suite ( un ) est une suite croissante.

Calculons u un n+ 1 :

u nn+ = + 121 7( ) donc

u u n n

n n n

n n+ = +

= + + +

12 2

2 2

1 7 7

2 1 7

( )

77

2 1 0= + >n

Ainsi, pour tout entier naturel n, u un n+ >1 et la suite ( un ) est bien une suite croissante.

Suite dfinie par rcurrence

Soit ( un ) la suite dfinie par u

u u pour nn n

0

1

5

2 8 0

=

=

+

.

Calculer u1 ; u2 .

En utilisant un tableur, dterminer la valeur des 13 premiers termes de la suite ( un ) puis en donner une reprsentation graphique.

76

5

4

3

2

1 0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1314

1516

1718

19

Exemple 2


5Squence 8 MA11

La suite ( un ) est dfinie par une relation de rcurrence.

u u1 02 8

2 5 8

2

=

=

=

et

u u2 12 8

2 2 8

4

=

=

=

Dans la cellule B3, rentrons la formule : =2*B28

Puissances

Simplifier le plus possible

a) 3 2 3 25 3 2 c) 5

55

4

2

Solution

B

Proprit

Soient a et b deux rels non nuls, n et p deux entiers naturels.

a0 1=

a a1 =

a a an

n fois

= ... pour n 2

aa a a

nn

nfois

= =

1 1...

a a an p n p = +

a

aa

n

pn p

=

( )ab a bn n n=

ab

a

b

n n

n

=

Exemple 3


6 Squence 8 MA11

b) ( )82 7 d) ( )3 5

3 5

7

2

a) 3 2 3 2 3 2

3 2

5 3 2 5 2 3 1

3 4

=

=

+ c) 5 54 2 1 3 + =

b) ( )8 8

8

2 7 2 7

14

=

=

d) ( )3 5

3 5

3 5

3 5

3 5

3 5

7

2

7 7

2

7 1 7 2

6 5

=

=

=

Soient a un rel non nul et n un entier naturel

Ecrire sous la forme dune puissance de a :

a) a an 3 c) a

aa

n

3

b) ( )a n2

a) a a an n = +3 3 c)

b) ( )a an n2 2=

a

aa a a

a

a

nn

n

n

33 1

3 1

2

=

=

=

+

Solution

Exemple 4

Solution


7Squence 8 MA11

2 Suites arithmtiquesActivits

La dune

Etude dun exemple

Une dune mesurait 100 mtres de large en 2010. Une quipe de scientifique constate que chaque anne la largeur de cette dune diminue de 1,5 m sous leffet de lrosion (due au vent, aux vagues et lhomme).

On note ( un ) la largeur de la dune en (2010+n). Ainsi, u0 reprsente la largeur de la dune en 2010 et vaut 100.

a) Que reprsente u1 ? Calculer la valeur de u1 .

b) Que reprsente u2 ? Calculer la valeur de u2 .

Que reprsente u15 ? Dterminer u15 .

La dune joue un rle important : elle protge les polders des risques dinonda-tion et intervient dans la gestion de la qualit des eaux.

Les scientifiques estiment quen dessous de 30 m de large, la dune ne peut plus assurer ce rle en cas de phnomnes exceptionnels (tempte notam-ment). Les autorits prvoient de ralentir lrosion par des plantations doyats (plantes) et la mise en place de (barrires) ds que la dune atteindra 45 m de large.

En quelle anne, au plus tard, devra-t-on intervenir ?

Gnralisation

La suite dfinie prcdemment est une suite arithmtique. Nous allons dgager quelques proprits de ce type de suite.

a) Complter le schma ci-dessous :

,

( ) ( )( )

,100 98 51 5

0 1

u u ( )

b) Complter :

u u

u u

u u

1 0

2 1

3 2

= +

= +

= +

......

......

......

A

Activit 1


8 Squence 8 MA11

c) Complter :

u u01 5

1

,

u u un n n

+ 1 1

Gnralisation : u un n+ = +1 ......

ce nombre est appel la raison de la suite ( un )


u u u u01 5

1 2 3

,

b) Complter :

u u3 0= + ......

c) Complter :

u u u u01 5

1 2 3

,

u un n

1

Gnralisation : u un = +0 ......

Reprsentation graphique et sens de variation

Soient les suites ( un ) et (vn ) dfinies par rcurrence par :

u

u un n

0

1

2

3

=

= +

+

et v

v vn n

0

1

2

0 5

=

=

+ ,

Complter le tableau suivant :

n 0 1 2 3 4 5

un

vn

Effectuer les calculs suivants :

u u

u u

u u

u u

1 0

2 1

3 2

4 3

=

=

=

=

......

......

......

.......

......

......

u u

u un n

5 4

1

=

=+

v v

v v

v v

v v

1 0

2 1

3 2

4 3

=

=

=

=

......

......

......

.......

......

......

v v

v vn n

5 4

1

=

=+

Activit 2

...


9Squence 8 MA11

Que constatez-vous ?

On dit que la variation absolue entre deux termes conscutifs de la suite est constante.

Dans un repre, reprsenter graphiquement les points M de coordonnes (n ; un ) associs la suite u et les points P de coordonnes (n ; vn ) associs la suite v .


Cours

Dfinition

Dfinition

Une suite est arithmtique si lon passe dun terme au suivant en ajoutant toujours le mme nombre r, appel raison de la suite :

pour tout entier naturel n, u u rn n+ = +1 o r est la raison de la suite.

Schma

u u u u u ur r nr

nr

n0 1 2 1 1+ +

+ ++

Soit u une suite arithmtique de premier terme u0 5= et telle que u un n+ = 1 2

Calculer u1et u2 .

Quelle est la raison de cette suite ?

Daprs la formule de rcurrence,

u u1 0 2

5 2

3

=

=

=

et

u u2 1 2

3 2

1

=

=

=

Comme u un n+ =1 2 , cette suite arithmtique a pour raison 2.

B

Une suite arithmtique est dfinie par une formule de rcurrence.La variation absolue entre deux termes conscutifs dune suite arithmtique est constante gale r : u u rn n+ =1

Remarque

Exemple 5

Solution


10 Squence 8 MA11

Formule explicite

Soit u une suite arithmtique de premier terme u0 5= et de raison 2,5.

Calculer u20 .

Comme u est une suite arithmtique, on a u u n rn = + 0 avec u0 5= et r=2,5.

Donc :

u20 5 20 2 5

5 50

55

= +

= +

=

,


Dmonstration

Soit u une suite arithmtique de raison r. Pour tout entier naturel n, on a u u rn n+ =1 .

Proprit 1

Soit u une suite arithmtique de raison r.

Pour tous entiers naturels n et p, u u n p rn p= + ( ) En particulier, u u n rn = + 0 et u u n rn = + 1 1( )

Exemple 6

Solution

Proprit 2


Dans un repre du plan, les points de coordonnes ( n un; ) associs cette suite sont aligns.

Pour une suite arithmtique, on parle alors dvolution linaire.

Remarque

Proprit 3

Soit une suite arithmtique de raison r.

Si r > 0, la suite arithmtique est strictement croissante.

Si r < 0, la suite arithmtique est strictement dcroissante.

Si r = 0, la suite arithmtique est constante.


11Squence 8 MA11

1er cas : r > 0u u rn n+ = >1 0 donc, pour tout entier naturel n, u un n+ >1 et ainsi la suite u est une suite strictement croissante.

2me cas : r < 0u u rn n+ =

12 Squence 8 MA11

a) Comme v est une suite arithmtique de premier terme v0 5= et r = 0,5, on a :

v v r1 05 0 5

5 5

= +

= +

=

,

,

.

b) De mme, v2 5 5 0 5

6

= +

=

, , ;

v3 6 0 5

6 5

= +

=

,

,et

v4 6 5 0 5

7

= +

=

, ,.

c)

d) Comme r = 0,5, la suite v est une suite strictement croissante.

Tice

Tableur

Soit u une suite arithmtique de premier terme u0 23= et r = - 3.

Recopier la page de calculs suivante :

Dans la cellule B3, rentrer une formule de rcurrence qui permet dobtenir les termes de la suite u par un copier-glisser dans la colonne B. Copier-glis-ser cette formule jusqu la cellule B32.

Dans la cellule C3, rentrer une formule explicite qui permet dobtenir les termes de la suite u par un copier-glisser dans la colonne C. Copier-glis-ser cette formule jusqu la cellule C32.

1

1

00

2

3

4

(0,5)(1,55)

(2,6)(3,65)

(4,7)

5

6

7

2 3 4 5

C

Exemple 8


13Squence 8 MA11

Reprsenter graphiquement les termes de la suite. (Utiliser les colonnes A et B).

Comme u u rn n+ = +1 , on rentre : B3=B2+E$2

Comme u u n rn = + 0 , on rentre : C3=C$2+A3*E$2

CalculatricePour obtenir les termes dune suite arithmtique laide de la calculatrice, on peut utiliser la formule explicite dune suite arithmtique et la table de valeurs de la calculatrice.

Soit u une suite arithmtique de premier terme u0 17= et de raison r = 0,75. Afficher sur une calculatrice les vingt premiers termes de cette suite.

La suite u est dfinie explicitement par u nn = + 17 0 75, .

Solution

Exemple 9

Solution

On obtient bien sr les mmes rsultats dans les colonnes B et C.

Remarque


14 Squence 8 MA11

Texas Instrument Casio

Renseigner f(x) = Renseigner Table Func

Renseigner DefTable Renseigner Table Tabl et afficher la Table (la faire dfiler)

Afficher la Table


15Squence 8 MA11

Exercices dapprentissage

Parmi les suites suivantes, reconnatre celles qui sont des suites arithmtiques. Pour les suites arithmtiques, prciser la raison.

u0 2= et, pour tout entier naturel n, u un n+ = 1 5 .

Pour tout entier naturel n, u nn = +3 10 .

Pour tout entier naturel n, unn

= +1

8 .

u0 5= et, pour tout entier naturel n, u un n+ = 1 2 3 .

Parmi les suites suivantes, reconnatre celles qui sont des suites arithmtiques. Pour les suites arithmtiques, prciser la raison.

u0 5= et, pour tout entier naturel n, u un n+ = +1 6 .

Pour tout entier naturel n, u nn = 13 5 .

Pour tout entier naturel n, u nn = +2 82 .


Soit u une suite arithmtique de premier terme u0 10= et de raison 7.

Exprimer un en fonction de n.

Calculer u100 .

Soit u une suite arithmtique de premier terme u6 7= et de raison 2,5.


Calculer u50 .

u est une suite arithmtique de raison r. Dans chacun des cas suivants, calculer u20 :

u0 12= et r = 1,5.

u7 3 5= , et r = 2.

D

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5


16 Squence 8 MA11

u1 151= et r = -13.

u36 72= et r = 1,2.

u est une suite arithmtique de raison r. Dans chacun des cas suivants, calculer r :

u3 25= et u5 21= .

u12 28= et u37 103=

u7 21 5= , et u60 31 5= ,

u36 15= et u98 15= .

Soit u une suite arithmtique de premier terme u0 15= et de raison 3.


Quel est le sens de variation de cette suite ?

Dans un repre, reprsenter les points associs aux huit premiers termes de cette suite.

Par le calcul, dterminer le rang n partir duquel un < 21 .

Dans chacun des cas suivants, u dsigne une suite arithmtique. Dterminer le sens de variation de ces suites.


Pour tout entier naturel n, u nn = 7 6 .

u0 7= et, pour tout entier naturel n, u un n+ =1 .

Intrts simples

Un capital de 5 000 est plac au taux annuel de 4 % intrts simples. Cela signifie que, chaque anne, les intrts sont fixes gaux 4 % du capital initial.

On note C0 le capital initial et Cn celui disponible au bout de n annes.

Calculer C1 et C2 .

a) Quelle est la nature de la suite (Cn ) ?b) Exprimer Cn en fonction de n.

A partir de quelle anne le capital disponible aura-t-il doubl ?

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9


17Squence 8 MA11

Parmi les graphique suivants, indiquer ceux qui reprsentent les points associs aux premiers termes dune suite arithmtique. Dans le cas dune suite arithm-tique, indiquer le premier terme et la raison de la suite.

5

4

3

2

1 0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

3

2

10

0

1

1

2 3 4 5 6

1

1

2 3 4

0

0

2

3

4

5

6

7

8

Un particulier effectue un devis auprs dune entreprise de forage. Le cot du forage dun puits est calcul de la manire suivante :

le premier mtre cote 200

chaque mtre supplmentaire cote 70 de plus que le prcdent.

On note un le prix du nime mtre for. Ainsi u1 200= .

Calculer u2 et u3 .

Quelle est la nature de la suite ( un ) ? Donner lexpression de un en fonction de n.

Dterminer le prix payer pour forer un puits de 9 mtres de profondeur.

Exercice 10

Exercice 11


18 Squence 8 MA11

3 Suites gomtriquesActivits

Placement intrts composs

Etude dun exemple

Un capital de 2 000 est plac au taux annuel de 5 % intrts composs. Cela signifie que, chaque anne, les intrts sont calculs sur le capital acquis.

On note C0 le capital initial et Cn disponible au bout de n annes.

Quel est le coefficient multiplicateur associ une augmentation de 5 % ?

a) Que reprsente C1 ? Calculer la valeur de C1 .b) Que reprsente C2 ? Calculer la valeur de C2 .c) Que reprsente C10 ? Dterminer C10 .

Gnralisation

La suite dfinie prcdemment est une suite gomtrique. Nous allons dgager quelques proprits de ce type de suite.


2000 21001 05

0

,

( )u ( )( )( )u1

b) Complter : C C

C C

C C

1 0

2 1

3 2

=

=

=

......

......

......

c) Complter :

u u01 05

1

, u u un n n

+ 1 1

Gnralisation : u un n+ = 1 ......

ce nombre est appel la raison de la suite ( un )


u u u u01 05

1 2 3

,

A

Activit 3


19Squence 8 MA11

b) Complter :

C C3 0= ......

c) Complter :

u u u u01 05

1 2 3

,

u un n

1

Gnralisation : C Cn = 0 ......


En utilisant un tableur, reprsenter les sept premiers points associs aux suites ( un ) ; (vn ) et (wn ) dfinies par rcurrence par :

u

u un n

0

1

5

1 2

=

=

+ ,

; v

v vn n

0

1

5

0 9

=

=

+ ,

et w

w wn n

0

1

5=

=

+

Conjecturer le sens de variation de chacune des suites prcdentes.

Effectuer les calculs suivants :uu

uu

u

u

uun

n

1

0

2

1

3

2

1

=

=

=

=+

......

......

......

......

vv

vv

v

v

vvn

n

1

0

2

1

3

2

1

=

=

=

=+

......

......

......

......

vv

vv

v

v

vvn

n

1

0

2

1

3

2

1

=

=

=

=+

......

......

......

......


On dit que la variation relative entre deux termes conscutifs de la suite est constante.

Cours

Dfinition

Dfinition

Une suite est gomtrique si lon passe dun terme au suivant en multipliant toujours par le mme nombre q, appel raison de la suite :

pour tout entier naturel n, u u qn n+ = 1 o q est la raison de la suite.

Activit 4

B


20 Squence 8 MA11

Schma

u u u u u un n n09

19

2 19 9

1

+

Soit u une suite gomtrique de premier terme u0 1 5= , et telle que u un n+ = 1 2 .

Calculer u1 et u2 .

Quelle est la raison de cette suite ?

Daprs la formule de rcurrence,

u u1 0 2

1 5 2

3

=

=

=

, et

u u2 1 2

3 2

6

=

=

=

Comme u un n+ = 1 2 , cette suite gomtrique a pour raison 2.

Formule explicite

Soit u une suite gomtrique de premier terme u0 5= et de raison 3.

Calculer u10 .

Comme u est une suite gomtrique, on a u u qnn

= 0 avec u0 5= et q = 3.

Donc :

u10105 3

295245

=

=

Exemple 10

Solution

Proprit 1

Soit u une suite gomtrique de raison q.

Pour tous entiers naturels n et p, u u qn pn p

= .

En particulier, u u qnn

= 0 et u u qnn

= 11.

Exemple 11

Solution

Une suite gomtrique est dfinie par une for-mule de rcurrence.La variation relative entre deux termes cons-cutifs dune suite gomtrique est constante

gale q : u

uqn

n

+=

1

Remarque


21Squence 8 MA11


Dmonstration

Soit la suite gomtrique dfinie pour tout n par u qnn

= avec q > 0.

Alors, u u q q q qn nn n n

++

= = 11 1( ) .

Comme q > 0, le signe de u un n+ 1 dpend du signe de (q-1)

1er cas : 0 < q < 1

(q 1) < 0 donc u un n+ 1 0 donc, pour tout entier naturel n, u un n+ >1 et ainsi la suite u est une suite strictement croissante.

Soit u une suite gomtrique de premier terme u0 5= et q= 0,3.

a) Quel est le sens de variation de cette suite ?

b) Reprsenter graphiquement les 5 premiers termes de cette suite dans un repre.

Mmes questions avec la suite gomtrique v de premier terme v0 2= et q = 1,2.

a) Comme u est une suite gomtrique de premier terme u0 5= et q = 0,3, on a :u u qn

n

n

=

=

0

5 0 3,.

Comme 0

22 Squence 8 MA11

b)

n 0 1 2 3 4

un 5 1,5 0,45 0,135 0,0405

a) Comme v est une suite gomtrique de premier terme v0 2= et q = 1,2, on a :v v qn

n

n

=

=

0

2 1 2,.

Comme 1,2 > 1, la suite dfinie par bnn

= 1 2, est une suite strictement crois-

sante. Comme v bn n= 2 et 2 < 0, la suite v a un sens de variation contraire celui de la suite b : u est une suite strictement dcroissante.

b)

n 0 1 2 3 4

vn 2 2,4 2,88 3,456 4,1472

Tice

Tableur

Soit u une suite arithmtique de premier terme u0 0 5= , et q = 1,1.

1

432100

2

3

4

5

4

432100

3

2

1

C

Exemple 13

Pour une suite gomtrique, on parle dvolution exponentielle.

Remarque


23Squence 8 MA11

Recopier la page de calculs suivante :

Dans la cellule B3, rentrer une formule de rcurrence qui permet dobtenir les termes de la suite u par un copier-glisser dans la colonne B. Copier-glis-ser cette formule jusqu la cellule B42.

Dans la cellule C3, rentrer une formule explicite qui permet dobtenir les termes de la suite u par un copier-glisser dans la colonne C. Copier-glis-ser cette formule jusqu la cellule C42.

Reprsenter graphiquement les termes de la suite. (Utiliser les colonnes A et B).

Comme u u qn n+ = 1 , on rentre : B3=B2*E$2

Comme u u qnn

= 0 , on rentre : C3=C$2*E$2^A2

Calculatrice

Pour obtenir les termes dune suite gomtrique laide de la calculatrice, on peut utiliser la formule explicite dune suite gomtrique et la table de valeurs de la calculatrice.

Solution

On obtient bien sr les mmes rsultats dans les colonnes B et C.

Remarque


24 Squence 8 MA11

Soit u une suite gomtrique de premier terme u0 2048= et de raison q = 0,5.

Afficher sur une calculatrice les vingt premiers termes de cette suite.

La suite u est dfinie explicitement par unn

= 2048 0 5, .

Texas Instrument Casio

Renseigner f(x) = Renseigner Table Func

Renseigner DefTable Renseigner Table Tabl et afficher la Table (la faire dfiler)

Afficher la Table

Exemple 12

Solution


25Squence 8 MA11

Exercices dapprentissage

Parmi les suites suivantes, reconnatre celles qui sont des suites gomtriques. Pour les suites gomtriques, prciser la raison.


Pour tout entier naturel n, u nn = 3 .


= 0 1 2, .

u0 5= et, pour tout entier naturel n, u un nn

+ =1 .

Parmi les suites suivantes, reconnatre celles qui sont des suites gomtriques. Pour les suites gomtriques, prciser la raison.


Pour tout entier naturel n, u nn =2 .

Pour tout entier naturel n, un

n=

8

23

.

u0 5= et, pour tout entier naturel n, u un n+ =1 3 .

Soit u une suite gomtrique de premier terme u0 120000= et de raison 0,3.


Calculer u10 . (Arrondir 0,01 prs).

Soit u une suite gomtrique de premier terme u7 2= et de raison 3.


Calculer u17 .

u est une suite gomtrique de raison q. Dans chacun des cas suivants, calculer u20 . (Arrondir 10

2 prs si ncessaire).

u0 12= et q = 1,5.

u7 3 5= , et q = 2.

u1 1510000= et q = 0,4.

u36 16384= et q = 2.

u est une suite gomtrique de raison q > 0. Dans chacun des cas suivants, cal-culer q :

u3 9= et u5 81= .

D

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17


26 Squence 8 MA11

u12 0 001= , et u18 1000=

u7 21= et u60 21=

Soit u une suite gomtrique de premier terme u0 4= et de raison 1,25.


Quel est le sens de variation de cette suite ?

Dans un repre, reprsenter les points associs aux huit premiers termes de cette suite.

A laide de la calculatrice ou du tableur, dterminer le rang n partir duquel un >10000 .

Dans chacun des cas suivants, u dsigne une suite gomtrique. Dterminer le sens de variation de ces suites.


= 0 32, .


= 5 .


= 1 .


= 2 6 .


n=

7

54

.


= 21 0 6, .


n=

0 1

13

, .

Dans chacun des cas suivant, u dsigne une suite gomtrique. Dterminer le sens de variation de ces suites.

u0 2= et, pour tout entier naturel n, u un n+ = 1 0 5, .

u0 3 1= , et, pour tout entier naturel n, u un n+ = 1 5 .

u0 7= et, pour tout entier naturel n, u un n+ =1 .

u0 6 5= , et, pour tout entier naturel n, u un n+ =132

.

u0 0 4= , et, pour tout entier naturel n, u un n+ = 1 11, .

Intrts composs

Un capital de 5 000 est plac au taux annuel de 3,5 % intrts composs. On note C0 le capital initial et Cn celui disponible au bout de n annes.

Calculer C1 et C2 .

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21


27Squence 8 MA11

a) Quelle est la nature de la suite (Cn )?

b) Exprimer Cn en fonction de n.

A laide de la calculatrice ou dun tableur, dterminer partir de quelle anne le capital disponible aura doubl ?

Augmentation

Un patron propose ses employs deux modes daugmentation de leur salaire mensuel.

Option A : une augmentation fixe du salaire mensuel de 50 au premier jan-vier de chaque anne.

Marie est embauche dans lentreprise avec un salaire de 1 500 par mois. Elle choisit dtre augmente suivant loption A. On note Mn son salaire aprs n annes passes dans lentreprise. On a M0 1500= .

a) Calculer M1 et M2 .

b) Exprimer Mn+1 en fonction de Mn . En dduire la nature de la suite (Mn ).

c) Exprimer Mn en fonction de n.

d) Calculer M20 .

e) A partir de combien dannes son salaire mensuel sera-t-il dau moins 1 800 ?

Option B : une augmentation de 3 % du salaire mensuel de lanne prc-dente au premier janvier de chaque anne.

Jean est embauch la mme anne que Marie avec un salaire de 1 500 par mois. Il choisit dtre augment suivant loption B. On note Jn son salaire aprs n annes passes dans lentreprise. On a J0 1500= .

a) Calculer J1 et J2 .

b) Exprimer Jn+1 en fonction de Jn . En dduire la nature de la suite ( Jn ).

c) Exprimer Jn en fonction de n.

d) Calculer J20 . (Arrondir au centime prs).

e) A laide de la calculatrice, dterminer partir de combien dannes son salaire mensuel sera dau moins 1 800 ?

A partir de combien dannes passes dans lentreprise, le salaire mensuel de Jean sera-t-il suprieur celui de Marie ?

Exercice 22


28 Squence 8 MA11

4 Synthse du cours Suite arithmtique

Dfinition

Une suite est arithmtique si lon passe dun terme au suivant en ajoutant toujours le mme nombre r, appel raison de la suite :

pour tout entier naturel n, u u rn n+ = +1 o r est la raison de la suite.

La variation absolue entre deux termes conscutifs dune suite arithmtique est constante gale r : u u rn n+ =1

Proprit 1 (Formule explicite)


Pour tous entiers naturels n et p, u u n p rn p= + ( ) .

En particulier, u u n rn = + 0 et u u n rn = + 1 1( ) .

Proprit 2 (Reprsentation graphique)


Dans un repre du plan, les points de coordonnes (n un; ) associs cette suite sont aligns.Pour une suite arithmtique, on parle alors dvolu-tion linaire.

Proprit 3 (Sens de variation)

Soit une suite arithmtique de raison r.

Si r > 0, la suite arithmtique est strictement croissante.

Si r < 0, la suite arithmtique est strictement dcroissante.

Si r = 0, la suite arithmtique est constante.


29Squence 8 MA11

Suite gomtrique

Dfinition

Une suite est gomtrique si lon passe dun terme au suivant en multipliant toujours par le mme nombre q, appel raison de la suite :

pour tout entier naturel n, u u qn n+ = 1 o q est la raison de la suite.

La variation relative entre deux termes conscutifs dune suite gomtrique

est constante gale q : uu

qnn

+=

1

Proprit 1 (Formule explicite)

Soit u une suite gomtrique de raison q.

Pour tous entiers naturels n et p, u u qn pn p

=

En particulier, u u qn

n= 0

et u u qnn

= 11 .

Proprit 2 (Sens de variation)

Soit q un rel strictement positif. Soit la suite gomtrique dfinie pour tout n par u qn

n=

.

Si 0 < q < 1, la suite gomtrique u qnn

= est strictement dcroissante.

Si q = 1, la suite gomtrique u qnn

= est constante gale 1.

Si 1 < q, la suite gomtrique u qnn

= est strictement croissante.


30 Squence 8 MA11

5 Exercices dapprofondissementLhypothse de MALTHUS (1766 1834)

Lconomiste britannique Thomas Robert MALTHUS est connu pour ses travaux sur le rapport entre laccroissement de la population et celui de la nourriture.

En 1798, il publie Essai sur le principe de population do sont extraites les phrases suivantes :

Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la population nest arrte par aucun obstacle, elle va doublant tous les vingt-cinq ans, et croit de priode en priode selon une progression gomtrique. []Nous sommes donc en tat de prononcer, en partant de ltat actuel de la terre habite, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les plus favo-rables lindustrie, ne peuvent jamais augmenter plus rapidement que selon une progression arithmtique.

En 1800, lAngleterre comptait 8 millions dhabitants.

Faisons les hypothses suivantes :

H1 : La population de lAngleterre suit une progression gomtrique en augmen-tation de 2,8 % par an.

H2 : En 1800, lagriculture anglaise permet de nourrir 10 millions dhabitants et son amlioration permet de nourrir 400 000 habitants supplmentaires par an, suivant une progression arithmtique.

Notons ( pn ) la population de lAngleterre en (1800 + n). Ainsi, p0 8000000=

Notons ( qn ) la population qui peut tre nourrie par lagriculture anglaise en (1800 + n). Ainsi, q0 10000000= .

Vrifier que lhypothse H1 est en accord avec laffirmation de Malthus elle va doublant tous les vingt-cinq ans .

a) Calculer p1 et p2 .b) Exprimer pn+1 en fonction de pn .c) En dduire la nature de la suite ( pn ).d) Exprimer pn en fonction de n.

a) Calculer q1 et q2 .b) Exprimer qn+1 en fonction de qn .c) En dduire la nature de la suite ( qn ).d) Exprimer qn en fonction de n.

Calculer p25 et q25 .

Exercice I


31Squence 8 MA11

Dterminer, selon lhypothse de Malthus, lanne partir de laquelle lagri-culture anglaise ne permet plus de nourrir la population anglaise.

Le nombre darbres dune fort, en milliers dunits, est modlis par la suite ( un ) o un dsigne le nombre darbres, en milliers, au cours de lanne (2010+ n). En 2010, la fort possde 50 000 arbres. Afin dentretenir cette fort vieillis-sante, un organisme rgional dentretien des forts dcide dabattre chaque anne 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

a) Montrer que la situation peut tre modlise par : u0 50= et pour tout entier naturel n par la relation : u un n+ = +1 0 95 3,

b) La suite ( un ) est-elle arithmtique ? gomtrique ?

On considre la suite ( vn ) dfinie pour tout entier naturel n par v un n= 60 .

a) Montrer que la suite ( vn ) est une suite gomtrique de raison 0,95.

b) Calculer v0 . Dterminer lexpression de vn en fonction de n.

c) Dmontrer que pour tout entier naturel n, unn

= 60 10 0 95( , )

Dterminer le nombre darbres de la fort en 2015. On donnera une valeur approche arrondie lunit.

a) Vrifier que pour tout entier naturel n, on a lgalit : u un nn

+ = 1 0 5 0 95, ,

b) En dduire la monotonie de la suite.

En utilisant un tableur ou une calculatrice, dterminer lanne partir de laquelle le nombre darbres de la fort aura dpass de 10 % le nombre darbres de la fort en 2010.

En utilisant un tableur ou une calculatrice, conjecturer vers quel nombre darbres va tendre la fort si la politique dentretien reste la mme.

(Daprs Baccalaurat, Centres trangers, juin 2010)

Modle de Harrod (1900 1978)

Lconomiste britannique Roy Forbes Harrod est connu pour ses travaux sur la croissance conomique.

Pour lanne (2010 + n), on note Sn lpargne, Yn le revenu et In linvestisse-ment.

Supposons que Y0 soit gal 500 (milliards deuros).

Chaque anne, lpargne est gale 20 % du revenu. Dterminer une relation liant Sn et Yn .

On admet que, pour tout entier naturel n, I Y Yn n n= 2 2 1, ( ) .Lquilibre est ralis lorsque lpargne est gale linvestissement.

Dterminer une galit liant Yn et Yn1 lquilibre.

Quelle est la nature de la suite (Yn ) ? En dduire lexpression de Yn en fonc-tion de n.

Exercice II

Exercice III


32 Squence 8 MA11

On suppose ce modle encore valable en 2020. Quel sera alors le revenu en 2020 ?

Dans une zone de marais, on sintresse la population des libellules. On note p0 la population initiale et pn la population au bout de n annes.

Des tudes ont permis de modliser lvolution de pn par la relation :

(R) pour tout entier naturel n, on a : p p p pn n n n+ + + = 2 1 112

( ) .

On suppose que p0 40000= et p1 60000= .

On dfinit laccroissement de la population pendant la nime anne par la diff-rence p pn n 1.

Calculer laccroissement de la population pendant la premire anne, la deu-xime anne, la troisime anne, puis en dduire p2 et p3 .

On considre les suites ( un ) et ( vn ) dfinies pour tout entier naturel n par :

u p pn n n= +1 et v p pn n n= +112

a) Prouver que la suite ( un ) est gomtrique. Prciser sa raison et son pre-mier terme.


b) En utilisant la relation (R), calculer v vn n+ 1 .

En dduire que, pour tout n, on a : v p pn = 1 012

.Calculer vn .

c) Dmontrer que, pour tout entier naturel n, on a p v un n n= 2( ) En dduire une expression de pn en fonction de n.

d) A laide du tableur ou de la calculatrice, conjecturer lvolution de cette population au bout dun nombre dannes suffisamment grand ?

(Daprs Baccalaurat, Antilles-Guyane, juin 2005)

Julie joue avec des allumettes. Elle construit une figure de la faon suivante :

Elle voudrait raliser une pyramide de 20 tages. Combien doit-elle prvoir dallumettes ?

Exercice IV

Exercice V

Premire tape Deuxime tape Troisime tape


Documents

Al7ma11tepa0012 Sequence 08