ALGEBRE & TRIGONOMETRIE - Fatiha Akeffatihaakef.com/wp-content/uploads/2016/11/TD... · EXERCICES CORRIGES DUT GEII Polycopié d’exercices corrigés d’Algèbre destiné aux étudiants

Université Hassan II de Casablanca

Ecole Normale Supérieure

de l’Enseignement Technique-Mohammedia

FATIHA AKEF

ALGEBRE & TRIGONOMETRIE

EXERCICES CORRIGES

DUT GEII

Polycopié d’exercices corrigés d’Algèbre destiné aux étudiants de la 1ère

année de la

filière : DUT Génie Electrique et Informatique Industrielle

TD Algèbre & Trigonométrie

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Table des matières

Enoncés des ................................................................................................... 3 exercices

Série d’exercices n° 1 : Nombres Complexes .................................................................................. 4

Série d’exercices n° 2 : Polynômes .................................................................................................. 7

Série d’exercices n° 3 : Fractions rationnelles ................................................................................ 8

Série d’exercices n° 4 : Espaces vectoriels ..................................................................................... 10

Série d’exercices n° 5 : Applications linéaires .............................................................................. 14

Série d’exercices n° 6 : Matrices .................................................................................................... 17

Série d’exercices n° 7 : Déterminant et systèmes linéaires .......................................................... 20

................................................................................................. 23 Corrigés des exercices

Série d’exercices n° 1 : Nombres Complexes ................................................................................ 24

Série d’exercices n° 2 : Polynômes ................................................................................................. 32

Série d’exercices n° 3 : Fractions rationnelles .............................................................................. 37

Série d’exercices n° 4 : Espaces vectoriels ..................................................................................... 41

Série d’exercices n° 5 : Applications linéaires .............................................................................. 51

Série d’exercices n° 6 : Matrices .................................................................................................... 55

Série d’exercices n° 7 : Déterminant et systèmes linéaires .......................................................... 58


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Enoncés des

exercices


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Série d’exercices n° 1 « Nombres Complexes »

Exercice n°1 :

On note une racine septième de 1.

On pose et

1. Calculer et .

2. En déduire les valeurs de et .

Exercice n°2 :

Résoudre dans les équations suivantes :

1. ( )

2. ( √ ) √

3.

4. ( )

5. ( ) ( ) sachant qu’elle a une racine imaginaire pure.

Exercice n°3 :

Soit un entier supérieur ou égale à . Calculer :

∏( )

Exercice n°4 :

Soit ( ) . On suppose que :

Montrer que :

Exercice n°5 :

Déterminer les valeurs du complexe pour lesquelles la relation de récurrence

(

)

Définit une suite ( ) . Calculer alors .


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Exercice n°6 :

Mettre sous la forme le nombre complexe suivant :

Exercice n°7 :

Déterminer l’ensemble des points M d’affixe tels que :

a. Le nombre

soit réel(resp. imaginaire pur ; de module 1).

b. soit aligné avec les points d’affixes et .

Exercice n°8 :

a. Calculer (resp. ) en fonction des cosinus (resp. sinus) des arcs multiples

de x.

b. Calculer (resp. ) en fonction des puissances de (resp. ).

Exercice n°9 :

Soient les racines de l’équation .

Soient les images de respectivement.

Déterminer dans les cas suivants :

a. b. est le symétrique de par rapport à l’origine .

c. forment un triangle équilatérale.

Exercice n°10 :

Calculer les sommes suivantes :

∑

∑

Exercice n°11 :

Soit l’équation ( ) ( )

a. On suppose que | | . Montrer que les images des racines de l’équation se

trouvent sur une droite. En déduire que si les racines sont réelles et que si

les racines sont imaginaires pures.


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b. On suppose que | | . Montrer que les images des racines de l’équation se

trouvant sur un cercle de centre et rayon à déterminer.

c. Applications, Résoudre l’équation dans les cas suivants :

1.

2.


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Série d’exercices n° 2

« Polynômes »

Exercice n°1 :

1) ( )

, - ( )( )

2) ( )

Exercice n°2 :

, - ( ) ( ) ( )

Exercice n°3 :

, -

Exercice n°4 :

( )

1)

( )

2) ( )

| |

| |.

3)

Exercice n°5 :

1) ( ) ( ) , -

* +

.


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Série d’exercices n° 3 « Fractions Rationnelles »

Exercice n°1 :

Soit P avec deg P =n. On note x1,x2,…,xn ses racines,

Distinctes ou non, Soit a tel que p(a).

Calculer à l’aide des données les sommes :

∑

; ∑

et ∑

( )

Exercice n°2 :

Soit P , de degré supérieur ou égal à 1,montrer que toute racine de P’ est barycentre avec des

coefficients positifs des racines de P.

En déduire que si toutes les racines de P sont réelles, alors toutes les racines de P’ sont réelles.

Exercices 3 :

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle :

( )( ) ( ) ( )

Exercice 4 :

a) Décomposer en élément simples, sur , -, la fraction rationnelle

b) Donner une primitive de x √ sur l’intervalle *0, π/2]

Exercice 5 :

Soit ( ) ∑

différent du polynôme nul et de degré .

Pour tout entier n ≥0, on lui associe le polynôme n ( ) défini par :

n ( )=( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1)

a) Vérifier que le polynôme n ( ) est de degré ≤ , en distinguant les trois cas


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b) Montrer que le polynôme n ( )

- Lorsque n ( ) est le polynôme si et seulement si

-

En déduire que si un polynôme , différent du polynôme nul, vérifie n ( )=0, son degré est

nécessairement égal à n.

c) Déterminer tous les polynômes vérifiant n ( )=0, dans chacun de des cas particuliers

.

2)

a) Pour tout polynôme de degré ≥2, expliciter le coefficient du polynôme

n ( )=∑ en fonction des coefficients de P.

b) Soit un nombre réel fixé. Montrer qu’il existe un unique

Polynôme ( ) ∑ tel que n ( )=0 et =a

Pour cela on montrera que :

i) =0,

ii) est un polynome pair lorsque n est pair et un polynome impaire lorsque est impaire.

iii) Les coefficients sont entièrement déterminés par récurrence à partir du terme =

Montrer que est la forme = , où est un nombre rationnel (on ne demande pas l’expression

explicite des nombres en fonction de )

3) Pour tout entier n>0, on pose :

( ) Et ( ) ,( ) -( )

Où ( ) désigne la dérivée du polynôme . On rappelle que l’on note aussi ( )=

( )= .

a) Montrer que : , -( ) =

( ) ( )

En déduire que :

( )

( ), -( ) ( )

( ).

b) i) En explicitant ( ), - .

( ) ( ) ( )

( )

ii) Montrer que le polynôme ( ) vérifier ( )

c) Soit 0 un nombre réel fixé. Déterminer, en fonction de le polynôme tel que ( )=0 et

dont le terme de plus haut degré est .


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d) Montrer que le polynôme admet racines simples, toutes réelles et comprises entre -1 et 1


« Espaces vectoriels »

Exercice n°1 :

( ) ( )

)

)

) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( )

Exercice n°2 :

*( )| +

*( )| +

*( )| +

*( )| +

*( )| +

*( )| + * +

*( )| +

*( )| +

*( )| +

*( )| +

Exercice n°3 :

*( )| +

*( )| +

*( )| +

*( )| +

*( )| +

*( )| +

*( )| +


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Exercice n°4 :

Exercice n°5 :

( )

* | +

* | +

* | ( ) ( ) +

* | ( ) +

* | ( ) +

* | ( ) +

* | ( ) +

* | +

{ | ( ) }

2 | ∫ ( )

3

Exercice n°6 :

, -

* , -| +

* , -| +

* , -| +

* , -| +

* , -| ( ) ( ) ( ) +

Exercice n°7 :

)

( )

)

, -

Exercice n°8 :


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) ( )

) ( )

) ( ) ( )

) ( ) ( )

( ) ( )

) ( )

) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

) ( )

) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

)

)

) ( ) ( )

) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( )

( ) ( )


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Exercice n°9 :

) ( ) ( ) ) ( ) ( )

) (- , ) ( )

) ( ) ( )

) ( ) ( )

) ( ) ( ) | | | |

| | ( )

| |

) ( )

( )

( )

( )

) (- , ) ( )

.

Exercice n°10 :

Montrer que les familles de polynômes suivantes sont des bases des espaces indiqués.

) , - ( ( ) ( ) ( ) )

, -

) , - ( ( ) ( ) )

) , - ( )

4 ( )

( )( )

( )( )( )

5


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« Applications linéaires »

Exercice 1 :

a) Parmi les applications suivantes, indiquer celles qui sont linéaires :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

b) Même question, en posant ( )

( ( ) ∫ ( ) ( ) )

( ) ( )

Exercice 2 :

1) On note ( ) la base canonique de

a) Déterminer l’image de vecteurs de la base canonique de par les applications

de l’exercice 7.1

b) Existe-t-il un endomorphisme vérifiant les conditions suivantes :

g(e1) = e2+e3, g(e2) = e1, g(e3) = e2 – e3 ;

g(e1+ e2) = e3, g(e2 + e3) = e1, g(e3 - e1) = e2 .

si oui, indiquer l’image d’un vecteur quelconque (x, y, z) de .

2) Décrire sous forme de Vect, en précisant leurs dimensions, le noyau de l’image de

l’application linéaire définie par f(e1)=(1, 1, 1, 2, 5), f(e2)=(2, 1, 0, 3, 4),

f(e3)=(-1, 0, -1, 4, 7), f(e4)=(-9, -2, 1, -1, 9) où (e1, e2, e3, e4) note la base canonique de

.

3) On note (e1, e2, e3) la base canonique de IR3. On définit l’endomorphisme

( ) ( )

( )

a) Calculer ( ) ( )

b) Déterminer les noyaux et images de et les comparer.

c) Trouver une base ( ) ( ) ( ) ( )


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4) Soit E un espace vectoriel de dimension 5, de base ( ) un espace

vectoriel de dimension 5, de base ( ). Construire , si cela est possible, des

applications linéaire vérifiant :

a) Im( ) ( )

b) Im( ) * +

c) Im( )

d) ker( ) ( ) Im( ) ( )

Exercice 3 :

1) On note , - , - l’application linéaire définie par ( ) ( ) ( )

a) Décrire sous forme de Vect, en précisant leurs dimensions, le noyau et l’image de la

restriction , -

b) Même question en remplaçant 4 par un entier n quelconque. En déduire que est

surjective.

c) Soit Q un polynôme de IR[X]. Montrer que l’équation ( ) a toujours des

solutions. Comment peut-on déduire l’ensemble des solutions de cette équation de

l’une d’entre elles ?

2) On note , - , - l’application linéaire définie par ( ) ( )

a) Calculer ( ). En déduire ker( ).

b) L’équation ( ) a-t-elle des solutions dans IR4[X] pour tout Q de IR4[X] ?

c) Calculer f((X-1)k) pour k=0,1,2,3,4. En déduire une caractérisation des

polynômes Q pour lesquels l’équation ( ) a des solutions.

d) Résoudre ( ) .

Exercice 4 :

On pose E = C0(IR,IR). On considère l’application définie par ( ) .

1) Vérifier que est une application linéaire.

2) Déterminer ker .

3) L’application est-elle surjective ?

4) Caractériser les éléments de Im( ).

Exercice 5 :

On se place dans le Plan ou l’espace de la géométrie du secondaire, considérés comme des

espaces vectoriels, munis d’une base orthonormée : (e1, e2) ou (e1, e2,e3)(l’usage du secondaire

est plutôt de noter les vecteurs de base et ). L’étude générale de l’orthogonalité sera

abordée au chapitre 16.

1) Donner l’action sur les vecteurs de base des applications linéaires suivantes :

a) Rotation dans le plan ;

b) Symétrie orthogonale dans le plan par rapport à l’axe défini par le vecteur

( ) 2) Déterminer l’image d’un vecteur ( ) de l’espace par applications linéaires

suivantes :

a) Rotation directe autour de l’axe défini par e3 ;


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b) Rotation directe autour de l’axe défini par e1 ;

Exercice 6 :

1) Soit E, F et G trois espaces vectoriels et soient des

applications linéaires. Montrer que ( ) et que, pour tout réel

a, on a : ( ) ( ) ( )

2) Soit est une application linéaire entre espaces de dimensions finies.

a) Montrer que si est injective, alors il existe une application linéaire

Telle que

b) Montrer que si est surjective, alors il existe une application linéaire

Telle que

3) Donner un exemple d’applications linéaires vérifiant

Exercice 7 :

On pose ( ) et on considère l’application définie par

( )( ) ( ) ( )

1) Vérifier que est une application linéaire.

2) Déterminer Ker ( )

3) Déterminer ker ( ) en utilisant le résultat précédent.

4) Déterminer ker( ) pour tout entier

Exercice 8 :

1) Soit un espace vectoriel et un endomorphisme de .

a) Montrer que ker ( ) ( ) et plus généralement, que

ker ( ) ( ).

b) Montrer que s’il existe un entire s tel que ker( ) ( ) alors

ker( ) ( ) pour tout entier .

c) Montrer que si est une dimension finie, il existe un entier s tel que

ker( ) ( ) pour tout entier .

2) On suppose maintenant que ( ) et on note l’application

On se propose de montrer, en raisonnant par l’absurde, qu’il n’existe pas

d’endomorphisme et d’entier tels que Supposons l’existence de

a) Déterminer ker ( ).

b) Montrer que ker ( ) n’est pas réduit à {0}.

c) En déduire ker ( ) ( ) pour tout entier

d) Obtenir une contradiction en considérant ker ( )


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« Matrices »

Exercice n°1 :

On considère les matrices suivantes :

A =

(

)

B =(

–

–

) C = ( –

*

a)Pour chacune de ces matrices, décrire l’application linéaire de dans associée : images des

vecteurs de la base canonique, image d’un vecteur quelconque.

b) Peut-on former les produits ABC, CBA, BAC ? Si oui, les calculer de deux manières peut

vérifier, sur ce cas particulier, l’associativité du produit de matrices.

Exercice n°2 :

Trouver les matrices carrées d’ordre 2

A = .

/

Telles que :

a) A²= A

b) A²= I2

c) AB = BA, avec B = .

/

Exercice n°3 :

Soit a un nombre réel non nul et soit : A = .

/

Calculer An pour tout n de .

Exercice n°4 :

Calculer les inverses des matrices suivantes

a)

A1 = .

/ A2 = .

/

b)

A3 = (

+ A4= (

+


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c) Utilisation d’une relation

On pose : A = (

+

Montrer que A vérifier la relation A² 5A 24I 0 .En déduire l’inverse de A.

Exercice n°5 :

On appelle nilpotentes les matrices carrées dont une puissance est nulle.

a) On pose : N1 = .

/

Calculer les puissances de N1 ; N1 est-elle inversibles ?

b) On pose : N2 = (

+

Calculer les puissances de N2 ; N2 est-elle inversibles ?

c) Montrer qu’une matrice triangulaire supérieure est nilpotente si et seulement si ses

coefficients diagonaux sont tous nuls.

d) Soit N une matrice carré d’ordre n nilpotente. Montrer que I N est une matrice

inversible et donner son inverse ; on pourra s’inspirer de la formule 1.

e) Calculer les inverses de 1 N1, N2 et de : A=(

,

Avec la méthode générale de calcul de l’inverse et avec la formule précédente.

Exercice n°6 :

1) On considère une application linéaire f de matrice.

A = (

+

Par rapport à la base canonique de .

a) Montrer que les vecteurs u1 (2, , ), u2 (1, , ), u3 ( , , ) forment une

base B=( u1 ,u2,u3) de .

b) Calculer les matrices de passage P M(id ,B, can) et Q M(id ,B, can).

c) Calculer la matrice de f dans la base B.

2) On note , - , - l’application définie par ( )( ) ( ) ( )

a) Déterminer la matrice A de dans la base (1 , X , X² , X , X) .


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b) Déterminer la matrice A’ de dans la base (1 , X , X(X 1) , X(X 1) (X 2) , X(X 1)

(X 2) (X 3)).

c) Déterminer les matrices de passage entre les deux base de , - .Quelle est la

relation entre A et A’ ?

3) Montrer que les deux matrices triangulaires :

A = (

, B = (

,


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« Déterminant et Systèmes Linéaires »

Exercice n°1 :

a) Calculer les déterminants des matrices suivantes :

.

/ (

+ (

)

b) En déduire que ces matrices sont inversibles.

c) Calculer les inverses des matrices carrées d’ordre 2 et 3 précédentes en utilisant les

matrices de cofacteurs (fait la même chose avec la matrice d’ordre 4 si vous le

voulez : le nombre de calculs à faire augmente rapidement avec l’ordre de la

matrice).

d) Calculer les déterminants des matrices :

(

+ (

+

Exercice n°2 :

Soit ( ) une matrice carré d’ordre n antisymétrique, c’est-à-dire telle que

pour .

a) Calculer dét(A) pour n = 2,3,4.

b) Montrer que dét(A) = 0 si n est impair.

Ces résultats ont été obtenus par Jacobi en 1827.

Exercice n°3 :

Soit A une matrice carrée d’ordre n. on note C la matrice des cofacteurs de A.

Exprimer dét(C) en fonction de dét(A).

Exercice n°4 :

Les coefficients non indiqués sont des 0.

1) Calculer, pour n |

|


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2) Pour |

|

a) Trouver une relation de récurrence entre

b) En déduire

3) Pour |

|.

a) Trouver une relation de récurrence entre (on

posera ).

b) En déduire .

Exercice n°5 :

Lagrange a obtenu en 1773 l’identité suivante :

( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

En donner une justification à l’aide des déterminants.

Exercice n°6 :

Résoudre les systèmes suivants en utilisant la méthode du pivot de Gauss et en donnant les

solutions sous la forme ( ) { | ( )}. Discuter, s’il y a lieu,

suivant les valeurs du paramètre.

{

*

Exercice 7 :

a) Un système linéaire de 3 équations à 4 inconnues dont les seconds membres sont nuls a des

solutions non nulles.

b) Un système linéaire de 4 équations à 3 inconnues dont les seconds membres sont nuls n’a que

la solution nulle.

Exercice 8 :

En se ramenant à la résolution d’un système linéaire, résoudre les questions suivantes. On

comparera avec les méthodes données dans l’exercice 3.6.


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a) On pose ( ) ( ) et ( )

Montrer que ( ) en écrivant explicitement comme combinaison linéaire de

b) On pose ( ) ( ) ( ) et ( )

Montrer, avec la même méthode, que ( )

Exercice 9 :

On pose ( ) ( ) ( ) et ( )

Déterminer les vecteurs appartenant à l’intersections ( ) ( )

On se ramènera à la résolution d’un système linéaire.

{

{


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Corrigés des

exercices


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Exercice n°1 :

1. Comme est une racine septième de 1 et que , on a :

et

On a ainsi immédiatement,

Ensuite, le calcule donne :

Avec , on a la simplification :

2. Quand on connait le somme et le produit de deux nombres, on sait qu’ils sont

solution de l’équation :

soit

On trouve que √

et

√

Mais qui est qui ? il nous faut associer et a ces valeurs ; la différence est le signe de la

partie imaginaire de :

Car

.

/

.

/

Pour stricte croissante de la fonction sinus sur 0

1, on a :

et donc

Des lors, on peut conclure que :

√

et

√


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Exercice n°2 :

1. On trouve le discriminant .

Il nous faut trouver les racines carrées de .

Pour cela deux méthodes possibles : utilisation de la forme algébrique ou la forme

exponentielle.

Ici, on n’a pas une forme exponentielle classique donc …on va les calculs avec la forme

algébrique.

On cherche tel que .

On arrive à :

{

√

La dernière relation provient du module : | | | |

En sommant les et équations, on obtient :

⇔

Si .

D’où les racines carrées de l’équation :

( )

et

( )

2. De manière analogue, on trouve :

√

√

√

√

Pour déterminer les racines carrées de √ on a directement

.

3. On trouve discriminant :

( )

D’où les solutions de l’équation :

4. On a une équation dite bicarrée.

Comme il n’y a pas de puissances paires, on pose et on a :


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( ) (1)

On trouve puis (méthode algébrique) ses racines carrées :

.

Les solutions de (1) sont alors .

Il nous faut résoudre c’est-à-dire déterminer les racines carrées

de ces deux nombres complexes.

5. On sait que l’équation a une racine imaginaire pure .

Cela nous donne :

( ) ( )( ) ( )

Avec la partie réelle, on en déduit que ou 1. La partie imaginaire nous écartela

possibilité 0.

Notre solution imaginaire pur est donc :

On peut alors factoriser par :

( ) ( ) ( )( ( ) ).

La fin du travail est à faire sur ( ) et on trouve :

Exercice n°3 :

On utilise la décomposition

∏( )

.

Donc on en déduit :

∏( )

Evaluons cette égalité en 1. Il vient que :


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∏ (

* .

Exercice n°4 :

On put interpréter l’hypothèse en écrivant :

L’idée est de considérer dans le plan complexe le triangle dont les sommets sont les

points d’affixes respectivement .

Il est inscrit dans le cercle unité, de centre O. D’autres part, son centre de gravité a pour

affixe

. C’est donc .

Déduisons-en que est un triangle équilatérale.

La droite ( ) est une médiane du triangle puisqu’elle passe par le centre de gravité .

Comme elle passe par le centre du cercle circonscrit au triangle au triangle, c’est aussi

une médiatrice, car elle joint le milieu de , - au centre su cercle circonscrit. Il en

résulte que , donc que le triangle est équilatérale, de centre .

Il en resulte que, quitte à renommer les sommets, ce qui ne change ni l’hypothèse ni la

conclusion, est l’image de par une rotation d’angle

et de centre . En d’autres

termes,

et de même

Par conséquent,

( )

En prenant la partie réelle et la partie imaginaire du membre de gauche, on parvient à la

conclusion attendue.

Exercice n°5 :

Soit ( )

.

/ .

On retiendra que pour l’étude d’une suite du type ( ),

On commencera par la recherche des points fixes de .

On a : ( ) ⇔ .


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Donc sont points fixes de . Cherchons les antécédents de ces points fixes.

L’égalité ( ) équivalent a ( ) , donc a .

De même, ( ) ⇔ .

Si donc , la suite ( ) est bien définie (et constante). De plus, si

, ne

prend jamais la valeur .

Pour une telle valeur de , posons

.

Alors, est bien définie ⇔ est bien définie et non nul, et alors

( )

( )

.

Il en résulte que, si est défini pour . La condition équivalent à

l’égalité .

Donc est bien définit ⇔ . En résume, la suite( ) est bien définie ⇔

pour tout . La condition

équivalente à l’existence de

tel que ( )

.

On a

, donc

.

Les valeurs de pour lesquelles la suite n’est pas définie sont donc celles pour

lesquelles il existe tels que :

Les valeurs de pour lesquelles la suite n’est pas définie sont donc ( )

, ou

et .

Pour diffèrent de ces valeurs, on a, pour tout et donc

Avec

.

Exercice n°6 :


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( ) ( )

Exercice n°7 :

a. 1) est réel ⇔

; il s’agit d’axe réel privé de 1.

2) est imaginaire pur ⇔ ⇔ il s’agit d’un cercle de contre . De

rayon 1, privé de (0,1).

3) | | ⇔ | | | | ⇔ | | | |

⇔ ( )( ) ( )( ) ⇔ ;

Il s’agit de l’axe des imaginaires. On peut aussi remarquer que si ( ) ( ), la

relation | | | |se traduit par , C’est-à-dire décrit la

médiatrice du segment , qui est l’axe imaginaire.

b. Trois points ( ) ( ) ( ) sont alignés si et seulement si Arg .

/ ( ),

si et seulement si

, si et seulement si

, soit

( ) ( ) ( )

Alors :

( ) ( ) ( ) sont alignés ⇔ ( ) ( ) ( )

⇔ ( ) ( ) ⇔ |

|

Il s’agit d’un cercle de centre

et de rayon

√

Exercice n°8 :

a.

6

7

De même :


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6

7

b. ( )

D’où :

Et :

En utilisant la formule on trouve finalement :

Exercice n°9 :

Les relations entre coefficients et racines donnent :

a. ⇔

b. est symétrique de ⇔ ⇔

c. équilatérale ⇔ | | | | et ( ) ( )

⇔ |

| et

.

/

⇔

⇔

⇔ ( )(

)

On a , car sinon seraient alignées.

Par suite

ou ( ) en remplaçant on trouve

Exercice n°10 :

=

√

= √

;

=

. = √

,

=

.

. =1 +j =- , = ( ) = ( ) d’ou :

n 6k 6k+1 6k+2 6k+3 6k+4 6k+5


F. AKEF Page 31

1 j -1 -j

. =

=

= ;

= =

=

=

Exercice n°11 :

a. Soit ( ) , ( ) , ( ). La relation (

) = u implique |

| = |u| = 1, d’où | z - a | = |z - b|

Ou MA = MB, c’est-à-dire que M décrit la médicatrice de AB.

Lorsque b= , la médiatrice de AB est l’axe des réels.

Lorsque b = - , la médiatrice de AB est l’axe des imaginaires.

b. O n a |

| = |u|, d’où a |

| =√| |

= ou

=

Et alors M décrit un cercle – voire l. th. II, p. 120).

En effet la relation | z – a | = | z – b | implique :

| | = | | ou (z – a) ( - ) = ( )( )

Ou encoure :

(1 - ) ) – (a - ) ( - ) +a - b = 0.

En posant =

on obtient finalement |z - | = |

| Il s’agit d’un cercle de centre

R = |

|

C1. ( ) = ( ) . Comme n’est pas racine, l’équation s’écrit (

) = 1, et alors

=

Ou { 1, j, }. Par suite z = j

ou { -1 , j, } . On trouve finalement comme

racines de l’équation : -2, -1,-

, 0, 1.

C2.Comme i n’est pas racine, l’équation s’écrit (

) = -1 ou

= , ou =

( )

d’où

= ( )

.

Mais

=

(

)

(

)

=

= - i cotg

.

Par suite = cotg ( )

; k=0,1…..n-1.

Il convient de noter que lorsque n est pair, il existe n racines et lorsque n est impaire, il en existe n - 1


F. AKEF Page 32


Exercice n°1 :

)

( )( )

( ) ( )( ) ( )

{ ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

) ) ( ) ( ) ( )

( )

Exercice n°2 :

( ) ( ) , ( )- ( ) , ( )-

( ) ( )

( ) , ( )- ( ) , ( )-

( )

𝑅 𝑃(𝑏) 𝑃(𝑎)

𝑏 𝑎𝑋

𝑏𝑃(𝑎) 𝑎𝑃(𝑏)

𝑏 𝑎

( 𝜑 𝑋 𝜑)𝑛 (𝑋 )𝑄(𝑋) 𝑋 𝑛𝜑 𝑛𝜑


F. AKEF Page 33

( )

( ) ( ) , ( )-

( )

( )

Exercice n°3 :

, -

- ,

, ( )- ( ) ( )

Exercice n°4 :

) ( ) ( )

* +

𝑃(𝑋) 𝑋

𝑃 𝛼 𝑛 𝑎 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒


F. AKEF Page 34

* + * +

* +

)

( ) ( )

| | | | | | | | | | | | | |

| | | | | | | | | | | | | |

) | | | |

( )

∏| |

|∏

| |( ) |

, - , -

Exercice n°5 :

)

( ) ( ) .

/

(

)

( )

( )

- , ( )

)

𝑥 𝑃(𝑥 )


F. AKEF Page 35

∑ | |

)

, - ∑| |

, , ∑| |

( )

∑

| | | | |∑

| ∑| |

( ) | |

| | | |

( )

) ( ∑| |

+

∑ | | | |

| | ∑ | |

∑ | | ∑ | |

* +

| | | | ∑| |

| |

* + | |

(𝑥 𝑒𝑡 𝑥𝑛 |𝛼𝑛 |𝑥𝑛 |𝛼 | 𝑀 𝑥

𝑀 ( ∑|𝛼𝑘|

𝑛

𝑘

+


F. AKEF Page 36

| | | | ( )∑

( )

𝑀 𝑖 𝑛

|𝛼𝑖|


F. AKEF Page 37

Série d’exercices n° 3 Exercice n°1 :

∏( )

∑

∑

( )

( )

∑

∑

∑

∑

( )

( )

∑

( )

Exercice n°2 :

∏( )

∑

* +

∑

∑ ( )

| |

∑ ( )

| |

(∑

| |

) ∑

| |

∑

| |

∑

| |

Exercice 3 :

Soit

( ) ( ) , il existe des réels ,…, tels aue :

( ) ( ) =∑

( )


F. AKEF Page 38

Pour i {1,. . . n } :

(X – i )

( ) ( ( ))( ( )) ( )

D’où, en substituant maintenant i à X :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .

/

( ) ( ) ∑

( ) ( )

*Si on multiplie cette relation par X et si on fait tendre la variable associée vers +∞,

On retrouve la relation classique : € N*, ∑ ( ) ( ) -

Exercice n°4 :

a) Décomposons directement sur R[X] :

X 4 + 1= X4 + 2 X 2 + 1 - 2 X 2= ( X 2+ 1) 2 - 2 X 2 = ( X 2+ 1 – x √ ) ( X 2+ 1 + x √ )

Donc :

√

√

Ou a,b,c,d sont quatre constantes réelles.

*On remarque que la fraction donnée est paire, le changement

X→ - X Laisse alors la fraction invariante , i.e.on a aussi :

√

√

L’unicité de la décomposition donne alors d=b et c=-a, d’où :

√

√

En substituant à X les valeurs 0, puis √ , On obtient b = 0 puis a=

√ , ce qui

donne :

√ (

√

√ )

) , , , √

est continue, donc admet des primitives , celle, F ,

Nulle en 0 étant définie par :


F. AKEF Page 39

, , , ( ) ∫ √

√

( )

( )

F(X)=∫

√

on :

√ .

√

√ /

Pour intégrer ces expressions, on fait apparaître au numérateur la dérivée du

dénominateur et on corrige :

√

(

√

√

√

√ )

√

(

√

√

√

√ )

Et enfin , on canonise le dernier terme :

√

√

√

( √

*

; √

√

√

( √

*

Tout est en place pour achever le calcul, et :

F(X)= 0

√ (

√

√ )

√ ( ( √ ) ( √ ))1

√

Soit

F(x)= ,

√ .

√

√ / +

√ Arctan( √ ) + Arctan( √ )]

Exercice n°5 :

1°) a) * si P = 0, P est polynôme constant : P= ƛ , d’où P’= P’’= 0

( (P)= -n (n + P) ƛ et Deg (P )≤ 0 .

*si P = 1 alors P = ax+ b, avec a ≠ 0 , d’où P’ = a , p’’= 0 :

( (P)= 2aX- n(n+1)(aX+P )=a(2-n(n+1))X-n(n+1)b.

Et Deg (P)≤ 1 .

*si P≥2 , On a :

P= XP + …., p’=p XP-1 + ….. , p’’(X)=p(p-1) XP-2 + ….

D’où : (P)= (P(P-1)+2P- n(n+1)) XP +… , les autres termes étant de degré

strictement inférieur à P .

Dans tous les cas de degré de (P) est au plus égal au degré de P.

b)*si P = 0 , P est le polynôme nul si et seulement si n(n+1)=0 ;

c'est-à-dire si et seulement si n=0.

*si P=1 , Le degré de (P) est strictement inférieurs à 1 si et seulement si 2-

n(n+1)=0 , c'est-à-dire si et seulement si n=1 .


F. AKEF Page 40

* Si P≥2 , Le degré de (P) est strictement inférieurs à P si et seulement si P(P-

1)+2P= n(n+1) ;i.e.P(P+1)=n(n+1).

La suite n→ n(n+1) étant strictement croissante sur N ceci ne ce produit que ce

n=P , Le cas P=1 rejoint donc le cas général P≥2 .

Si (P)= 0, Avec P≠ 0 , alors le degré de (P) est strictement inférieur au

degré de P est ceci ne se peut produire que si n=P .

c)* pour n=0, on doit donc chercher P constant, et il est clair que tous les polynômes

constantes conviennent.

*Pour n = 1 , on doit avoir P = aX + P , Avec a ≠ 0 , ce qui donne

-2b = 0 et les polynômes solutions sont de la forme P = aX, avec a ≠ 0 .

*si n = 2 , P est la forme aX 2 + bX + c, avec a ≠ 0 et Dn (P) = 0 s’écrit :

2a( X 2 - 1) + 2X(2aX + b)-6(aX 2 + bX + c) = 0

c'est-à-dire -4bx - (2a + 6c) = 0 , soit b = 0 , et c =

a,i. e . :

P= a(X 2

)

*si n = 3 ,b est la forme aX 3 +2bX + cX + d , a ≠ 0 et (P) = 0 s’écrit :

( 6aX + 2b)( X 2 -1) + 2X(3a X 2 + 2bX + c)-12( aX 3 +2bX + cX + d) = 0 , Ce qui , par

identification, donne le système :

{

P= a( X 3

X)

*enfin pour n=4 , on a P= aX 4+ bX 3+ cX 2 +dX+f et en remplaçant


F. AKEF Page 41


Exercice 1 :

) ( )

)

( ) {

)

) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Exercice 2 :

*( )| +

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

v

Vect(v)

Vect(w)

w

u

2u e2

e1

Vect(u)


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( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2.

/ | 3

4(

*5

4(

*5

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

* ( ) ( )| + (( ) ( ))

( )


F. AKEF Page 43

( ) ( )

( )( )

√ ( )

Exercice 3 :

2.

)/ | 3 2 .

/ .

/ | 3

4(

* (

*5

En choisissant d’exprimer y en fonction de x et z : y=

, on obtient une présentation

différente : B1=vect((1,

,0),(0,

,1)).on obtiendrait une troisième présentation de B1 en

exprimant z en fonction de x et de y.

B2= vect ((1,1,2),(-1,1,3),(1,-1,0)).

B3= vect (1,2,3)).

B4 n’est stable ni par somme, ni par produit.

B5 n’est pas stable par somme, comme le montre l’exemple de (1,0,0)+(0,1,1), mais il

est stable par produit par un scalaire.

B6= vect ((1,1,1)).

B7 est stable par somme mais non par produit par un scalaire non entier.

Exercice 4 :

Les ensembles qui forment des sous-espaces vectoriels de IR2

ou IR 3

sont ceux qui sont

stables par combinaisons linéaires A1, A4, B1, B2 , B3 , B6.


F. AKEF Page 44

D’autre part, on peut avoir immédiatement que A1, B1, B6 sont des sous-espaces vectoriels

puisque leurs éléments sont les solutions d’équations ou de systèmes d’équations linéaires

(cf.5.7).

Notons enfin que les sous-ensembles qui ne contiennent pas 0, comme A2, A5, A10 et B4, ne

forment surement pas des sous-espaces vectoriels.

Exercice 5 :

On sait que Fonct (IR,IR) est un espace vectoriel. Pour montrer qu’un sous-ensemble de cet

espace forme un sous-espace vectoriel, on utilise les résultats de 5.6. Pour montrer le

contraire, un seul contre-exemple suffit.

F1 est un sous-espace vectoriel de Fonct (IR,IR) car :

F1 est non vide : il contient, par exemple, par la fonction x→0 ;

La somme de deux fonctions paires et g est une fonction paire puisque

( + g)(-x) = (-x) + g (-x)= (x) + g(x) = ( + g ) (x) ;

Le produit d’une fonction paire par un réel ʎ est une fonction paire puisque :

(λ f)(-x) = λ f(-x) = λ f(x) =( λ f)(x)

. on voit, par une démonstration analogue à la précédente, que F2 est un sous-espace vectoriel

de Fonct (IR,IR).

. F3, F6 ne sont pas des sous-espaces vectoriels de Fonct (IR,IR) car ils ne contiennent pas la

fonction nulle x→0.

.F4 n’est pas des sous-espace vectoriel de Fonct (IR,IR) car l’opposé de la fonction x→1,

Qui est un élément de F4, est la fonction x → -1 qui n’est pas dans F4.

.les autres Fi sont tous des sous-espaces vectoriels de Fonct (IR,IR). Utiliser les propriétés de

la dérivation, de l’intégrale, ect., pour le vérifier.

Exercice 6 :


F. AKEF Page 45

G1 n’est pas un sous-espace vectoriel de IR[x] car il ne contient pas le polynôme nul

qui n’est pas de degré 7.

G2, G3, G4, G5 sont des sous-espaces vectoriels de IR[X].

Pour G3 , on peut aussi remarquer que c’est l’intersection de deux sous-espaces

vectoriels de Fonct (IR,IR) : G3= IR[x] F1.

Exercice 7 :

a) vect (f1,f2,f3,f4)= vect (f1,f4)= vect (f1,f3)

b) vect (1, X, X2, X3)

Exercice 8 :

1-La famille est génératrice mais pas libre car u1, et u2, sont liés par la relation u2 = - u1 ;

comme la dimension de l’espace vectoriel est 1 ; on ne pourra jamais trouver de famille libre

de plus d’un vecteur.

2-La seconde famille est liée car u2 = -4 u1. Pour montrer que la première est libre, on dispose

du critère de colinéarité (proposition 3.8) et de deux méthodes générales.

a) Appliquer la méthode du pivot de Gauss à la famille (u1 ; u2) ; on pose u’2 = u2 – 4 u1 :

u1 u’2

1 0

2 -9

La famille (u1, u’2) est triangulaire par rapport à la base canonique, sans vecteurs nuls, et son

nombre de vecteurs est égal à la dimension de l’espace ; c’est une base de IR2 Comme Vect

(u1, u2)= Vect (u1, u’2) , la famille (u1, u2) engendre aussi IR2

; son nombre de vecteurs est

égal à la dimension de l’espace , donc c’est une base de IR2

.

b) Montrer d’abord que la famille est libre : on écrit que 0 =λ1u1+ λ2u2 , ce qui conduit au

système :

{

La résolution de ce système montre que et sont nécessairement nuls. Par conséquent, la

famille (u1, u2) est libre ; comme son nombre de vecteurs est égal à la dimension de l’espace,

c’est une base de IR2

.

Pour calculer les coordonnées de e1=(1,0) et de e2=(0,1) dans la base (u1, u2), chacune des

deux méthodes précédentes peut donner le résultat. Avec la


F. AKEF Page 46

{

{

) ( )

( ) ( ) (

)

( )

( )

)

)

( )

( )

)


F. AKEF Page 47

(( ))

(( ) ( ))

(( ) ( ))

(( ) ( ) ( ))

(( ))

(( ))

)

)

)

)

)

)

( )

)

)


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( )


F. AKEF Page 49

( ) ( )

( ) de

(

) ( )

( )

) - ,

( ) ( ) ( )

) , -

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ∑

( )

( )


F. AKEF Page 50

) ( ) ( )

( ) , -

, -

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

) ∑

, -

, -


F. AKEF Page 51


Exercice 1 :

a) sont linéaires : on peut le vérifier pour chacune des trois applications à partir

des axiomes ou le voir comme une application de 7.9.

ne sont pas linéaires : on peut remarquer, par exemple, que

( ) ( ) , ( ) ( ), ( ) ( )

b) sont linéaires : on peut le vérifier directement ou remarquer qu’on a des

sommes, des produits par des scalaires ou des fonctions données de l’application

linéaire de dérivation ou de l’identité.

est linéaire d’après les propriétés de linéarité de l’intégrale.

: est linéaire : le voire directement ou remarquer que où

désigne l’évaluation en a.

n’est pas linéaire car, par exemple : ( ) ( ) ( )

Exercice 2 :

1)

a) ( ) (( )) ( )

b) Oui, d’après la propriété universelle ; ( ) ( )

Non, car ( ) (( ) ( )) ( )

( ) est impossible.

2) Nous utilisons les calculs faits dans l’exercice 3.6 e). ( ) est engendré par les

images des vecteurs de base. On a déterminé le rang de ce système par l’algorithme du

pivot : c’est 3. On en déduit que le noyau de est de dimension 1, par le théorème de

la dimension. L’algorithme du pivot nous a montré que ( ) est engendré par

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3) a) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

) Pour trouver les noyaux de , on résout des systèmes linéaires. On trouve

ker ( ) ( ) et ker ( ) (( ) ( )).

Pour trouver les images de , on applique l’algorithme du pivot aux familles de

vecteurs ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( )) ; on trouve

( ) ( ) ( ) ( )


F. AKEF Page 52

) Les calculs précédents conduisent à ( ) ( ) ( ).

4) a) Prendre par exemple, ( ) , ( ) ( ) ( )

) Prendre les images de ei nulles.

) Impossible : d’après le théorème de la dimension, on a :

( ( )) ( )

) ( ) , ( ) ( ) ( ) et vérifier que les

conditions sont bien remplies.

Exercice 3 :

1) a) Comme ( ) ( ) est un polynôme de degré ( )

est engendré par la famille triangulaire ( )

( ) ( ) ( ) ( ) donc ( ) , - et

rg( ) , - est de dimension 5, ker( ) est de dimension 1 ; on voit que

ker( ) est le sous-espace des polynômes constants.

) On trouve de même que ( ) , - Par conséquent, tout polynôme de degré

n est image par d’un polynôme de degré n+1, ce qui prouve que est surjective.

) L’équation ( ) est une équation linéaire. Comme est surjectif, elle admet une

solution S. l’ensemble des solutions est de la forme S+ker( ), autrement dit, c’est

l’ensemble des polynômes égaux à S à une constante près. On remarquera qu’on ne s’est

pas préoccupé de calculer effectivement S.

2)

a) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

b) Comme la dimension du noyau est 1, l’image de a pour dimension 4, ce qui

prouve que n’est pas surjective, donc l’équation ( ) n’a pas toujours

de solution.

c) (( ) ) ( )( ) On a donc:

( ) (( ) ( ) ( ) )

(( ) ( ) ( ) ) est une base de , -, tout

polynôme Q dont l’écriture dans cette base n’a pas de terme en et dans

l’image de et l’équation ( ) a des solutions.


F. AKEF Page 53

d) ( ) (( ) ) donc l’ensemble des solutions est

( )

Exercice 4 :

2) Si ( ) on a ( ) pour tout x réel, donc ( ) pour tout x non

nul. Comme est continue, cela implique ( ) , donc ; d’où

( ) * + est injective.

3) La fonction n’est pas dans l’image de car ( ) est impossible pour

x = 0.

4) L’équation définit ( ) pour tout x non nul par ( ) ( )

. Pour que

existe, il faut donc qu’on puisse prolonger cette définition par continuité en 0,

c’est-à-dire que soit dérivable en 0. Cette condition assure l’existence de .

Exercice 5 :

1) a) ( ) ( ) ( ) ( ).

b) ( ) ( ) ( ) ( ).

2) On calculi d’abord les images des vecteurs de base:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

On a ( ) ( ) est un résultat analogue pour .

Exercice 6 :

1) L’application des définitions donne les égalités :

, ( )-( ) (( )( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))

( )( ) ( )( ) , -( )

2) a) Soit ( ) Si est injective, ( ( ) ( )) famille libre

de qu’on peut compléter en une base ( ( ) ( ) ) de On peut

alors définir par les images des vecteurs de cette base :

( ( )) ( ( )) ( )

b) Soit ( ) une base de de . Si est surjective, il existe tels que

( ) On définit on posant ( )

3) Prendre, par exemple, pour application ( ) ( ) de I et pour

l’application ( ) ( ) .


F. AKEF Page 54

Exercice 7 :

2) ker( ) est l’ensemble des fonctions périodiques de période 1.

3) ker( ) est l’ensemble des fonctions dont l’image par est dans ker( ). Il faut donc

résoudre les équations linéaires de la forme ( ) où est une fonction

périodique de période 1. On connaît déjà le noyau de , il reste à trouver une solution

particulière de l’équation : on peut trouver ( ) ( ou aussi ( ) ( )

( ) note la partie entière de x).

On peut dire que les éléments de ker( ) sont de la forme ( ) ( ) ( )

où sont des fonctions périodiques de période 1.

4) On montre alors que ker( ) est l’ensemble des fonctions de la forme

∑ ( ) où les sont des fonctions périodiques de période 1.

Exercice 8 :

1) b) Supposons que ker( ) ( ).

Si ( ), on a ( ) ( ) ( ) donc ( ), etc.

c) Considérons la suite des dimensions des espaces ker( ). C’est une suite croissante

d’entiers bornée par la dimension de . On peut donc avoir dim(ker( ))

( ( )) pour tout s entier.

2) a) ker(D) est le sous-espace Vect(1) des fonctions constantes.

d) Si ker(L) = {0}, alors L est injective et aussi.

e) Comme ( ) ( ) que la dimension de ( ) est 1 et celle de ( )

on a ( ) ( ) ( ), on a ( ) ( ), donc ( ) ( ).

Pour tout entier comme ci-dessus.

f) On aurait donc ( ) ( ) ( ) Mais ( ) est l’ensemble des

fonctions affines ; il est donc différent de ( ).


F. AKEF Page 55


« Matrices »

Exercice n°1 :

a) Notons ( ), (

), (

) , ( ) les base canoniques

de , ² respectivement.

A ,B et C sont les matrices des applications f : ² , g : , h: ,en définissant

ces applications par les images des vecteurs de base et en définissant ces images comme les

colonnes de ces matrices . Par exemple h ( ) (

2 ), g ( ) 2

,

etc. On trouve aussi :f(x , y) (2y,x ),etc.

b) Compte tenu des dimensions ,la seule composée possible est g ,ce qui conduit

à calculer B(AC) et (BA)C .on doit trouver le même résultat :

(

+

Exercice n°2 :

a) A²=A donne un système de quatre équations :{

( ) ( )

le système se résout en étudiant d’abord trois ca particuliers : b :

b ,c .Quand on n’est pas dans ces cas , on peut se ramener aux équation

et ( ) : les solutions sont de la forme :

A = 4

5

b) A²=I2 donne un système de quatre équation :

{

( ) ( )

Qui se résout en distinguant des cas particulières comme ci-dessus. On trouve :

b 0, c 0, a , d 1, b 0, c , a= a= , bc 1 , ect.

c) AB BA donne un système de quatre équations qui montre que les matrices

commutant avec B sont de la forme : .

/


F. AKEF Page 56

Exercice n°3 :

Par récurrence et après calcul de l’inverse de A , on trouve que , pour tout n de :

An .

/

Exercice n°4 :

a) A1

.

/

Pour ad bc 0 , A2 est inversible et A2

.

/

b) A3 ( ⁄ ⁄ ⁄ ⁄

+

La matrice A4 n’est pas inversible.

c) La relation s’écrit : A (

( )) ce qui donne :

A

(( )) d’où, après calculs, A

(

+

Une erreur fréquente est d’oublier le I en factorisant A dans– .

Exercice n°5:

a) Et b) N 0, N 0 montrent que N1 et N2 ne sont pas inversibles.

c) Soit une matrice triangulaire supérieure d’ordre n .

Si les termes sur la diagonale sont tous nuls, on a N 0 ;en effet, si f est une application

linéaire de matrice N par rapport à, la base ( ), on a f( ) Vect( ) pour tout

k , ect.

S’il existe i tel que aii , aii est le terme de mêmes indices de N , donc N n’est pas

nilpotente.

d) Comme N commute avec I et avec les puissances de N, on a :

(I )(I ) ;donc l’inverse de I N est I

( )

e)(I ) I .

/

(I ) I 4

5


F. AKEF Page 57

A I (

)

Avec N (

)

Exercice n°6 :

1) a) Les colonnes de la matrice P sont données par les vecteurs de B ; pour obtenir Q, il

faut inverser P. On trouve :

P (

+ Q p (

+

b) On trouve PAP (

+ en n’oubliant pas le conseil d’écrire le diagramme

pour retrouver la formule.

2) a) A (

)

b) A’ (

)

c)On a P (

) P (

)

Et A’=PAP

3) On peut chercher une matrice triangulaire supérieur P telle que AP = PB

Et résoudre le système linéaire que doivent satisfaire les coefficients de cette matrice.


F. AKEF Page 58


« Déterminant et Systèmes Linéaires »

Exercice n° 1 :

a. On trouve ( ) ( ) ( ) ( ) |

| en développant par

rapport à la dernière ligne qui contient deux zéros et n’oubliant pas la puissance de

convenable ; ( ) se calcule par la méthode du pivot en prenant la première ligne

pour faire apparaitre des zéros dans les deuxièmes et troisièmes coefficients de la

première colonne, etc. : on trouve ( ) .

b. Les matrices sont inversibles car leurs déterminants sont non nuls.

c.

.

/ (

,

(

)

d. On trouve ( ) ( )( )( ) en remarquant que

ce qui permet d’éliminer les de la dernière colonne et de

mettre un 2 en facteur. On peut reconnaitre un déterminant de Vandermonde, ou

continuer les calculs ou soustrayant la première ligne des deux autres, etc.

Exercice n° 2 :

a. La condition implique que les coefficients diagonaux des matrices

antisymétriques sont nuls.

On trouve |

| |

| |

|

b. On a , donc ( ) (

) ( ) ( ) ( ) ( ), la

dernière égalité parce que est impaire. D’où ( ) .

Exercice n° 3 :

On a

( ) , d’où ( )

( ( )) ( ) On en déduit :


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( ) ( ( )) .

Exercice n° 4 :

a. En développant par rapport a la première colonne, on trouve ( )

b. En développant par rapport a la derniere colonne, on trouve

( ) |

| ( ) ( )

Par conséquent, pour

On est ramené à la détermination d’une suite définie par une relation de récurrence linéaire

avec le second membre. On reprend la méthode du chapitre 2. On recherche d’abord les

solutions de , ce qui donne . Comme le second membre est aussi de

cette forme, on recherche une solution de la relation avec second membre de la forme

; on trouve

; enfin on cherche tel que , ce qui donne

. On trouve finalement ( ) .

c. On trouve, en développant par rapport à la première ligne , qui

est une relation de récurrence linéaire qu’on peut étudier avec des méthodes dédiées.

Elle est valable pour .

Si , l’équation caractéristique a deux racines réelles ou

complexes et

(

) compte tenu des valeurs de .

Si , l’équation caractéristique a une racine double

et

( ) .

/

.

Exercice n° 5 :

Posons (

+ . Le membre de gauche de l’identité de Lagrange est( ( )) ;

Le membre de droite est ( ) qui lui est égale.

Exercice n° 6 :

( ) *( )+

( ) ( ) avec ( ) et (

).

( ) sauf si où on retrouve ( )

( ) {(

*}


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( ) *( )+

( )

( ) ( ) avec ( ) , ( ) et ( )

Si , ( ) ( ) avec ( ) et ( )

Si , ( ) ( ) avec ( )

( ) 2.

/3 sauf :

Si , ( ) ;

Si , ( ) ( ) (( )) ;

Si , ( ) *( )| + (( )).

Exercice n° 7 :

a) Vrai : le système est de rang

b) Faux : penser, par exemple, au cas où toutes les équations sont identiques.

Exercice n° 8 :

On se ramène à la résolution des systèmes :

a) {

b) {

Exercice n° 9 :

Un vecteur de l’intersection s’écrit à la fois et , ce qui donne le

système :

{

La méthode du pivot donne :

,

, . L’intersection recherché est

(( ))

{

{


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{

{

( )

{

( ) ( )

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