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Compléments d’algèbre linéaire
Dans ce chapitre, le corps des scalaires noté K est ℝ ou ℂ et E désigne un K _espace vectoriel.
1. Famille quelconque de vecteurs............................................................................p.1Famille finie libre. Famille infinie libre. Famille génératrice. Base. Cas de K[X].
2. Sous-espaces vectoriels.........................................................................................p.13Somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels. Somme directe. Base adaptée à une décomposition en somme directe.Hyperplan.
3. Sous-espaces stables par un endomorphisme........................................................p.18Rappels : Application linéaire, image, noyau. Matrice d'une application linéaire dans une base. Endomorphisme.Sous-espace stable par un endomorphisme. Matrice dans une base adaptée. Homothétie, projection, symétrie.
4. Matrices.................................................................................................................p.26Trace d'une matrice, propriétés. Trace d'un endomorphisme, propriétés.Transposée d'une matrice, propriétés. Matrices symétriques, antisymétriques.
--------------
1. F amille quelconque de vecteurs
Définition d'une famille de vecteurs
Soit E un K_espace vectoriel, I un ensemble (fini ou non), et une application ϕ: I→E
i→vi.
L'ensemble des vecteurs vi , images de I par l'application ϕ , est la famille de vecteurs indexée par I notée (vi)i∈I .
Remarques : Si l'ensemble I est fini alors la famille (vi)i∈I est finie.Si l'ensemble I est infini alors la famille (vi)i∈I peut-être finie ou infinie.
Exemples : Dans ℝ2 , la famille ((1 ;n ))n∈ℕ est la famille constituée des vecteurs …
Dans un plan vectoriel P muni d'une base ( i⃗ ; j⃗ ) , en notant u⃗ k=cos(k
π12 ) i⃗ +sin (k
π12 ) j⃗ , la famille ( u⃗ k)k∈ℤ est
constituée des vecteurs du plan P : ...
Soit F ( [−π ;π ] ;ℝ ) le ℝ _espace vectoriel des fonctions définies sur l'intervalle [−π;π ] et à valeurs réelles.En notant f k : x→cos (k x ) , la famille ( f k )k∈ℕ est constituée des fonctions...
Compléments d'algèbre linéaire 1/30 pycreach.free.fr - TSI2
Définition d'une famille finie libre
Soit (v1 ;…;v p) une famille de p vecteurs de E.
(v1 ;…;v p) est libre si et seulement si : (α1 ;…;α p )∈K p
α1v 1+…+α pv p=0E} ⇒ {
α1=0⋮
α p=0i.e. « la seule combinaison linéaire des vecteurs (vi)i∈⟦1; p⟧ égale au vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls »
Une famille non-libre est dite liée.
Ici, une égalité vectorielle implique p égalités scalaires.Remarques : Si (v1 ;…;v p) est une famille libre alors aucun des vecteurs vi n'est nul.Point de vue géométrique dans le plan:
( v⃗1 ; v⃗ 2) est une famille libre car.... Dans le plan ( v⃗1 ;v⃗ 2 ; v⃗3) est une famille liée car...
Point de vue géométrique dans l'espace muni d'une base B=( i⃗ ; j⃗ ; k⃗ ) :
u⃗ = i⃗ +2 j⃗ +3 k⃗ , v⃗ =3 i⃗ +2 j⃗ + k⃗ et w⃗ =− j⃗ −2 k⃗ forment une famille...
u⃗ = i⃗ +2 j⃗ +3 k⃗ , v⃗ =3 i⃗ +2 j⃗ + k⃗ et w⃗ =− j⃗ +2 k⃗ forment une famille...
Remarques : La famille (v1) est libre si et seulement si v1≠0E
La famille (v1 ;v 2) est libre si et seulement si les vecteurs v1 et v 2 ne sont pas colinéaires.La famille (v1 ;v 2 ;v3) est libre si et seulement si les vecteurs v1 , v 2 et v3 ne sont pas coplanaires.
Exemples et contre-exemples : Dans ℝ2 , la famille ((1 ;n ) )n∈⟦0; 1⟧ est libre car...La famille ((1 ;n ))n∈⟦0; 2⟧ est liée car...
Dans F ( [−π ;π ] ;ℝ ) , en notant f k : x→cos ( kx ) , la famille ( f k )k∈⟦0; 2⟧ est libre, en effet soit (α1 ;α2 ;α3 )∈ℝ3 tel que :
α1 f 0+α2 f 1+α3 f 2=0F( [−π; π ];ℝ )
c'est-à-dire ∀ x∈[−π ;π ] , α1 cos (0×x )+α2 cos (1×x )+α3 cos (2× x )=0Alors, en particulier, pour x=0 , on a :
pour x= π2
, on a :
pour x= π4
, on a :
Donc ..
Compléments d'algèbre linéaire 2/30 pycreach.free.fr - TSI2
Liberté d'une famille et noyau d'une application linéaire
Soit E un espace vectoriel, (v1 ;…;v p) une famille de p vecteurs de E et l'application linéaire f telle que :
f : K p → E(α1 ;…;α p) → α1v1+…+α pv p
(v1 ;…;v p) est libre si et seulement si Ker f ={0Kp} (i.e. f est injective)
Démonstration : cf. définition du noyau d'une application linéaire. □
Exemple : l'application f : ℝ3 → F ( [−π ;π ] ;ℝ )
(a ;b ; c ) → x→a+bcos ( x )+c cos (2 x ) est ...
Unicité de la décomposition d'un vecteur
Soit (v1 ;…;v p) une famille finie de vecteurs de E et v∈vect (v 1;…;v p)
Si (v1 ;…;v p) est libre alors il existe un unique p_uplet (α1 ;…;α p )∈K p tel que v=α1 v1+…+α pv p .
Remarque : ceci découle de l'injectivité de l'application f ci-dessus.Démonstration : soit v∈vect (v 1;…;v p) et deux p_uplets (α1 ,…;α p)∈K p et (β1 ;…;βp )∈K p tels que :
{v=α1v1+…+α p v pv=β1v1+…+βp v p
Alors …
Propriétés caractéristiques des familles libres ou liées
Soit (v1 ;v 2 ;…v p) une famille de p vecteurs de E :
La famille (v1 ;v 2 ;…; v p ) est libre si et seulement si : ∀ (α1 ;α2 ;…;α p )∈K p∖ {0Kp } , α1v1+α2 v2+…+α pv p≠0E
La famille (v1 ;v 2 ;…;v p ) est liée si et seulement si : ∃(α1 ;α2 ;…;α p )∈K p∖ {0Kp} tel que α1v1+α2 v2+…+α pv p=0E
Coefficients non tous nuls : K p∖ {0Kp} ≠ (K* )p : coefficients tous non nuls
Démonstration : La négation de « Tout A k est vrai » est ... □
Les matrices des coordonnées de vecteurs dans une base
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n , B=(e1 ;…; en) une base de E, (α1 ;…;αn)∈K n
v=α1 e1+…+αnen⇔MatB (v )=(α1
⋮αn)∈Mn ,1 (K ) matrice des coordonnées du vecteur v dans la base B
Soit (v1 ;…;v p) une famille de p vecteurs de E telle que ∀ j∈⟦1 ; p⟧ , MatB (v j )=(a1, j
⋮a n, j) on note la matrice des
coordonnées des vecteurs de la famille (v1 ;…;v p) dans la base B :
v1 … v p
MatB (v 1;…;v p)≝ (a1,1 … a1, p
⋮ ⋮an,1 … a n, p
)e1
⋮en
Exemples : Pour E=ℝ4 , la base canonique est B=(e1 ; e2 ; e3; e4 ) avec e1=(1; 0; 0 ;0 ) , e2=(0;1 ; 0 ; 0) ; e3=(0;0; 1 ;0 ) et
e4=(0 ; 0 ;0 ; 1) . Ainsi pour v=(5; 6 ; 7; 8) on a MatB (v )=(5678) et pour w=(9 ;10 ;11; 12 ) , MatB (v ;w )=(
5 96 107 118 12
)Pour E=ℝ2 [X ] muni de la base canonique B=(1 ; X ; X2 ) , on a MatB ((3+X )2 )=(
961)
Et MatB ((X−1)2; (X−2)2 ; (X−3)2 )=…
Compléments d'algèbre linéaire 3/30 pycreach.free.fr - TSI2
Caractérisation matricielle de la liberté d'une famille de vecteurs
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n , B une base de E, (v1 ;…;v p) une famille de p vecteurs de E eLa famille (v1 ;v 2 ;…;v p ) est libre si et seulement si rg (MatB (v 1 ;…;v p))= p (i.e. un pivot par colonne)
si et seulement si Ker (MatB (v 1;…;v p))=0M p, 1(K )
Exemple : Dans ℝ3 [X ] , la famille X 3 , (X−1)3 et (X−2 )3 est libre. En effet en notant B=(1 ; X ; X2 ; X 3) la base canonique de ℝ3 [X ] , on a :
Ainsi MatB (X3 ; (X−1)3; (X−2 )3)=…
Rappel : la multiplication d'une matrice A par une matrice colonne donne une combinaison linéaire des colonnes de A.
En particulier si A=(ai , j )∈Mn , p (K ) : A(10⋮0)=(a1,1
⋮an ,1) « première colonne de A »
⋮
A(0⋮01)=(a1, p
⋮an , p) « dernière colonne de A »
Rappel sur le rang d'une matrice
Soit A une matrice. L'entier rg (A ) est :le nombre de pivots de la matrice échelonnée en ligne équivalente en lignes à Ale nombre d'inconnues principales du système AX=Yla dimension de Im(A)la dimension de l'espace vectoriel engendré par les colonnes de A
rg((a1,1 … a1 , p
⋮ ⋮an ,1 … an , p
))=dim(Vect((a1 ,1
⋮an ,1);…;(
a1, p
⋮an, p)))
Remarque : rg (A )⩽min (n ; p ) , ainsi : si la famille (v1 ;v 2 ;…; v p ) est libre alors p⩽nsi p>n alors la famille (v1 ;v 2 ;…; v p ) est liée.
Démonstration : il s'agit de décomposer tous les vecteurs dans la base B pour obtenir une interprétation matricielle de l'équation vectorielle : α1v1+…+α pv p=0E .En notant B=(u1;…;un) et ∀ j∈⟦1 ; p⟧ , v j=a1, j u1+…+an, j un on a : A=(ai , j ) 1⩽i⩽n
1⩽ j⩽p
Ainsi , α1v1+…+α pv p=0E dans E ⇔ α1(a1,1
⋮⋮an ,1)+…+α p(
a1, p
⋮⋮a n , p)=(
0⋮⋮0) dans Mn ,1 (K )
⇔ (a1,1 … a1, p
⋮ ⋮⋮ ⋮a n,1 … an , p
)(α1
⋮α p)=(
0⋮⋮0) dans Mn , p (K )
Soit R la matrice échelonnée réduite équivalente en ligne à A : A(α1
⋮α p)=(
0⋮⋮0) ⇔ R(
α1
⋮α p)=(
0⋮⋮0)
Or rg (A )⩽min (n , p) donc, rg (A )⩽ p . Si rg (A )< p alors il existe une colonne j0 de R ne contenant pas de pivot : ainsi α j0
est une inconnue secondaire (ou
paramètre) du système qui admet donc une infinité de solutions. Ainsi la famille (v1 ;…;v p) est liée.
Compléments d'algèbre linéaire 4/30 pycreach.free.fr - TSI2
En revanche si rg (A )= p , alors n⩾ p et R est du type : R=(1 0 … 00 ⋱ ⋱ ⋮⋮ ⋱ ⋱ 00 … 0 10 … … 0⋮ ⋮0 … … 0
) donc R(α1
⋮α p)=(
0⋮⋮0) ⇔ (
α1
⋮α p)=(
0⋮0) □
Exemple de code Python utilisant le module numpy pour obtenir le rang d'une matrice :234567
A=np.array([[4,4,0,2,4],[5,1,6,5,4],[1,1,0,1,0],[5,1,6,6,2]])import numpy.linalg as algprint(alg.matrix_rank(A))
Exemple de code Python utilisant le module sympy pour obtenir la matrice échelonnée réduite (reduced row echelon form) équivalente en lignes à une matrice donnée ainsi que les indices des colonnes contenant les pivots:1234567
from sympy import *A = Matrix([[4,4,0,2,4],[5,1,6,5,4],[1,1,0,1,0],[5,1,6,6,2]])pprint(A.rref())print(A.rank()) 3
Rappels sur le noyau d'une matrice
Soit A∈Mn, p (K ) , Ker A={X∈M p , 1(K )∣AX=0Mn, 1(K )}
Lien entre matrices équivalentes en ligne et noyau d'une matrice : soient A et R deux matrices.Si A et R sont équivalentes en lignes alors Ker A=Ker R
► Système d'équations caractérisant le noyau d'une matrice : Si R est échelonnée et réduite en ligne alors dans le système RX=0M n , 1
(K ) les inconnues correspondant aux colonnes contenant un pivot sont déterminées par les autres appelées
inconnues secondaires ou paramètres.► Base du noyau d'une matrice : les inconnues secondaires peuvent être interprétées comme les coefficients des combinaisons linéaires de matrices colonnes engendrant le noyau. La famille de matrice colonne obtenue étant libre, elle forme une base du noyau donc la dimension du noyau est égale au nombre de colonnes de A moins le nombre de pivots de A : dim (Ker A )= p−rg (A )
Démonstration : Soit A=(ai , j ) 1⩽i⩽n1⩽ j⩽p
, et R=(αi , j ) 1⩽i⩽n1⩽ j⩽ p
échelonnée réduite équivalente en ligne à A. En notant X=(x1
⋮x p) ,
AX=0M n ,1(K ) ⇔ {
a1,1 x1+…+a1, p x p=0⋮an,1 x1+…+an, p x p=0
⇔…⇔⏟opérations élémentaires sur les lignes
{α1,1 x 1+…+α1, p x p=0⋮αn ,1 x1+…+αn, p x p=0
⇔ RX=0M n, 1(K )
En notant r=rg (A ) et j1<…< jr les indices des colonnes de R contenant un pivot i.e. j̃1<…< ̃j p−r les indices des colonnes de R ne contenant pas de pivot
RX=0M n , 1(K ) ⇔ {
x j1=−r 1, j̃1
x j̃1−…−r1 , ̃jp−r
x ̃j p−r⋮x jq=−r jq , j̃1
x j̃1−…−r jq, ̃j p−r x ̃j p− r
donc r inconnues dépendent de p−r paramètres (degrés de liberté)
⇔ il existe ( x j̃1;…; x ̃j p−r)∈K p−r tel que X=x j̃1
X1+… x ̃j p−rX p−r
où ∀ s∈⟦1 ; p−r ⟧ , X s∈M p, 1(K ) et ∀ i∈⟦1; p⟧ , (Xs )i={−α i , j̃ s
si i est l 'indice d 'une colonne contenant un pivot
1 si i= j̃s0 sinon
Compléments d'algèbre linéaire 5/30 pycreach.free.fr - TSI2
Les inconnues secondaires (ou paramètres) déterminent les inconnues principales.La dimension du noyau est donc égales au nombre d'inconnues secondaires.
Ker(0… 0 1 α1 ; j1+1…α1; j2−1 0 α1 ; j2+1… α1; j r−1 0 α1 ; jr+1
… α1; p
0…… 0 … … 0 1 α2 ; j2+1⋱ ⋮ ⋮ α2; j r+1… α2; p
0……… … … … 0 0 ⋱αr−1; j r−1 0 αr−1; j r+1…αr−1; p
⋮……… … … … … … … 0 1 αr; jr+1… αr ; p
⋮……… … … … … … … … 0 … … 0⋮ ⋮0……… … … … … … … … … … … 0
) = {(x1
⋮x j1−1
− ∑j∈⟦ j 1+1; p⟧j∉{ j2 ;…; j r }
α1; j x j
x j1+1
⋮x j2−1
− ∑j∈⟦ j 2+1; p⟧j∉{ j3;…; j r}
α2; j x j
x j2+1
⋮x j r−1
− ∑j∈⟦ jr+1; p⟧
αr ; j x j
x j r+1⋮xn
)∣(x j) j∈⟦ 1;p ⟧j∉{ j1 ;…; j r }
∈K p−r} =Vect{(1
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
);...;(0
⋮
1
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
);(0
⋮
0
−α1; j1+1
1
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
);...;(0
⋮
0
−α1; j 2−1
0
⋮
1
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
);(0
⋮
0
−α1; j 2+1
0
⋮
0
−α2; j 2+1
1
0
⋮
⋮
⋮
⋮
0
);...;(0
⋮
0
−α1; j r−1
0
⋮
0
−α2; j r−1
0
⋮
1
⋮
⋮
⋮
0
);(0
⋮
0
−α1; j r+1
0
⋮
0
−α2; j r+1
0
⋮
0
−αr ; j r+1
1
⋮
0
);...;(0
⋮
0
−α1; p
0
⋮
0
−α2; p
0
⋮
0
−αr ; p
⋮
0
1
)}Dans la pratique, pour obtenir les p−r vecteurs colonnes formant une base du noyau, on utilise successivement chacun des p−r paramètres :
1) on fixe ce paramètre à 1 et les autres paramètres à 02) les inconnues principales sont alors déterminées par le système échelonné et réduit
Ainsi pour A=(4 4 0 2 45 1 6 5 41 1 0 1 05 1 6 6 2
) , Ker A={(x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
)∈M5 ,1(ℝ )∣… }=Vect (… )
Exemple d'utilisation du module sympy de Python pour la résolution d'un système linéaire homogène :123456789
from sympy import *A = Matrix([[4,4,0,2,4],[5,1,6,5,4],[1,1,0,1,0],[5,1,6,6,2]])x1,x2,x3,x4,x5 = symbols('x1 x2 x3 x4 x5')X=Matrix([[x1],[x2],[x3],[x4],[x5]])pprint(solve(A*X))pprint(A.nullspace())
Compléments d'algèbre linéaire 6/30 pycreach.free.fr - TSI2
paramètre
paramètre
paramètresinconnue principale
inconnue principale
Rang d'une famille libre
Soit (v1 ;…;v p) une famille de p vecteurs de E.(v1 ;…;v p) est libre si et seulement si rg (v 1;…;v p)= p (nombre de vecteurs de la famille)
Remarque : ici E n'est pas nécessairement de dimension finie.Démonstration : (v1 ;…; v p) est libre ⇔ (v1 ;…;v p) est une base de vect (v1 ;…;v p ) ⇔ dim (vect (v1 ;…;v p ))= p □
Définition d'une famille infinie libre
Soit I un ensemble de cardinal infini (dénombrable ou non) et (vi)i∈I une famille de vecteurs de E : la famille (vi)i∈I est libre si et seulement si toute sous famille finie de (vi)i∈I est libre
la famille (vi)i∈I est liée si et seulement s'il existe une sous famille finie de (vi)i∈I liée.
Exemples : Dans ℝ2 , la famille ((1 ;n ))n∈ℕ est liée car...Dans F ([−π ;π ] ;ℝ ) , en notant f k : x→cos ( kx ) , la famille ( f k )k∈ℕ est libre. Soit J une sous-famille finie de ℕ en notant n=max (J ) on démontre par récurrence sur n (en dérivant deux fois) que la famille ( f k )k∈⟦0; n⟧ est libre donc ( f k )k∈J est libre.
Les vecteur propres (dans un prochain chapitre) de l'endomorphisme : C∞ ( [−π ;π ] ;ℝ ) → C∞ ( [−π ;π ] ;ℝ)y → y' '
permettent de
conclure plus rapidement.
Propriété d'inclusion
Toute famille incluse dans une famille libre est libre.Toute famille contenant une famille liée est liée.
Démonstration : Soit G une famille incluse dans une famille libre F, alors toute sous-famille finie de G est une sous-famille finie de F, donc...Soit G une famille contenant une famille liée F, alors il existe une sous-famille finie de F liée, or toute sous-famille de F est une sous-famille de G donc... □
Condition suffisante pour assurer la liberté d'une famille de polynômes
Toute famille de polynômes non nuls échelonnée en degré (i.e. dont les degrés sont distincts deux à deux) est libre.
Remarque : une famille de polynômes (Pi )i∈I est échelonnée en degré si et seulement si l'application deg :(Pi )i∈I→ℕ est injective.Démonstration : soit F une famille de polynômes échelonnée en degré.Si F=(Pi )i∈⟦1; n ⟧ est finie alors la matrice constituée en colonne des coordonnées des polynômes P i dans base canonique peut être échelonnée par permutations de lignes : elle contient alors n pivots donc F est libre.Si F est infinie alors toute sous-famille finie de F est échelonnée en degré donc libre. Ainsi la famille F est libre. □
Exemple : dans l'espace vectoriel ℝ [X ] la famille (Xi )i∈ℕ est libre.En effet pour toute sous-famille finie F de (Xi )i∈ℕ , il existe n∈ℕ tel que F soit incluse dans la famille (1 ; X ; X2 ;…; Xn ) qui est libre (cf base de Taylor en 0).
L'échelonnement en degré n'est pas une condition nécessaire pour la liberté d'une famille de polynômes.Exemple : la famille (X3 ;(X−1)3 ; (X−2)3) est libre dans ℝ3 [X ] .
Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs
Soit (vi)i∈I une famille de vecteurs de E.►Si I est fini alors l'ensemble vecteurs combinaisons linéaires de vecteurs de la famille (vi)i∈I est appelé espace
vectoriel engendré par la famille (vi)i∈I et est noté Vect ((vi )i∈I)≝{∑i∈I
αi vi∣∀ i∈I ,α i∈K}►Si I est infini alors l'ensemble des vecteurs combinaisons linéaires d'un nombre fini de vecteurs de la famille (vi)i∈I est
appelé espace vectoriel engendré par la famille (vi)i∈I et est noté Vect (( xi )i∈I)≝{∑i∈J
αi vi∣J⊂I,J finie ,∀ i∈J ,α i∈K} .
Compléments d'algèbre linéaire 7/30 pycreach.free.fr - TSI2
Exemples : Soit n∈ℕ , et la fonction gn : x→(cos (x ))n , en notant f k : x→cos ( kx ) on a gn∈Vect ( ( f k )k∈⟦0;n ⟧) .
En effet ∀ x∈ℝ , (cos (x ))n=…Pour les polynômes : ℝ [X ]=…
On n'envisage ici que la sommation d'un nombre fini de vecteurs car sommer un nombre infini de vecteurs peut poser
des problèmes d'existence de la somme. Par exemple ∑k∈ℕ
Xk n'est pas un polynôme !
Définition d'une famille génératrice d'un espace vectoriel
Soit (vi)i∈I une famille de vecteurs de E.La famille (vi)i∈I est génératrice (de E) si et seulement si E=vect ((vi )i∈I)
Remarque : il faut comprendre cette égalité d'ensemble comme une double inclusion : vect ((vi )i∈I)⊂E (évident par stabilité d'un espace vectoriel par combinaisons linéaires) et E⊂vect ( (v i)i∈ℕ) qui signifie que tout vecteur de E est une combinaison linéaire de vecteurs de la famille (vi)i∈I .
Exemple : ℝ [X ]=vect ( (Xi)i∈ℕ)
Famille génératrice et image d'une application linéaire
Soit E un espace de dimension finie, (v1 ;…;v p) une famille de p vecteurs de E et l'application linéaire f telle que :
f : K p → E(α1 ;…;α p) → α1v1+…+α pv p
.
(v1 ;…;v p) est génératrice de E si et seulement si Im ( f )=E (i.e. f est surjective)
Remarques : si (v1 ;…;v p) est génératrice de E alors p⩾dim (E )
si p<dim (E ) alors (v1 ;…;v p) n'est pas génératrice de EDémonstration : découle de la définition de Im ( f ) . □
Caractérisation matricielle des familles génératrices d'un espace sous-espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n , B une base de E, (v1 ;…;v p) une famille de p vecteurs de E(v1 ;…;v p) est génératrice de E si et seulement si rg (MatB (v 1 ;…;v p))=dim(E ) (i.e. un pivot par ligne)
Démonstration : soit v∈E , v∈vect (v 1;…;v p) ⇔ ∃ (α1 ;…;α p )∈K p tel que v=α1 v1+…+α pv p
Il s'agit de décomposer dans la base B l'équation vectorielle, d'inconnues (α1 ;…;α p )∈K p : v=α1 v1+…+α pv p
Soit MatB (v )=(β1
⋮⋮βn) , α1v1+…+α pv p=v ⇔ α1(
a1,1
⋮⋮an ,1)+…+α p(
a1, p
⋮⋮a n, p)=(
β1
⋮⋮βn) ⇔ (
a1,1 … a1, p
⋮ ⋮⋮ ⋮a n,1 … an , p
)(α1
⋮α p)=(
β1
⋮⋮βn)
Soit R la matrice échelonnée réduite équivalente en lignes à A. En appliquant les opérations en ligne permettant de
transformer A en R, à la matrice augmentée A '≝(a1,1 … a1, p β1
⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮a1,1 … a n, p βn
) , on obtient une matrice R' dont la dernière colonne
est notée (β ' 1⋮⋮β ' n) et : A(
α1
⋮α p)=(
β1
⋮⋮βn) ⇔ R(
α1
⋮α p)=(
β' 1⋮⋮β' n) .
Or rg (A )⩽min (n ; p ) , donc rg (A )⩽n .Si rg (A )<n alors la ligne L rg (A )+1 de la matrice R est nulle, ainsi le système précédent est incompatible si β' rg (A )+1≠0 donc il est possible de trouver v∈E et v∉vect (v 1;…;v p) donc (v1 ;…v p ) n'est pas une famille génératrice de E.
Compléments d'algèbre linéaire 8/30 pycreach.free.fr - TSI2
En revanche si rg (A )=n alors p⩾n et R=(1 0 … 0 r1,n+1 … r1, p
0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋮0 … 0 1 rn ,n+1 … rn , p
) donc (α1
⋮αnαn+1
⋮α p
)=(β '1⋮β 'n0⋮0) est une solution du
système précédent ainsi v∈vect (v 1;…;v p) donc vect (v1 ;…;v p )=E . □
Lien entre matrices équivalentes en ligne et image d'une matrice
Soit A∈Mn, p (K ) , Im (A )≝{AX∣X∈M p ,1(K )}i.e. Im (A )= {Y∈Mn,1 (K )∣∃X∈M p ,1 (K ) tel queAX=Y }
En notant A=(ai , j ) 1⩽i⩽n1⩽ j⩽p
, l'objectif est de déterminer les matrices colonnes Y=(y1
⋮yn) telles que le système d'inconnues
X=(x1
⋮x p) ayant pour écriture matricielle AX=Y admette une (ou des) solutions.
►Système d'équations caractérisant l'image d'une matrice : En appliquant à A '=(a1,1 … a1, p y1
⋮ ⋮ ⋮an ,1 … an, p y n
) (matrice
augmentée) les opérations nécessaires à l'échelonnement réduction en ligne de A, on obtient une (ou des) équation(s) de Im(A) comme conditions de compatibilité du système AX=Y . ►Base de l'image d'une matrice :Les colonnes de la matrice A, dont les indices sont ceux des colonnes de la matrice réduite contenant un pivot, forment une base du sous-espace vectoriel Im(A).
Démonstration : Soit A=(ai , j ) 1⩽i⩽n1⩽ j⩽p
, et R=(αi , j ) 1⩽i⩽n1⩽ j⩽ p
échelonnée réduite équivalente en ligne à A.
AX=Y ⇔ {a1,1 x1+…+a1, p x p=y 1
⋮an,1 x1+…+an, p x p= y n
⇔…⇔⏟opérations élémentaires sur les lignes
{α1,1 x 1+…+α1, p x p=β1,1 y1+…+β1,n y n⋮αn ,1 x1+…+αn, p x p=βn, 1 y1+…+βn ,n yn
La matrice carrée (β1,1 … β1 ,n
⋮ ⋮βn, 1 … βn ;n
) est inversible car les opérations élémentaires sur les lignes sont inversibles.
En notant r=rg (A ) et j1<…< jr les r indices des colonnes de R contenant un pivot i.e. k 1<…<k p−r les p−r indices des colonnes de R ne contenant pas de pivot
AX=Y ⇔ {x j1=β1,1 y1+…+β1,n y n−α1 ,k 1
xk 1−…−α1,k p− q
x k p−r⋮x jr=βr ,1 y1+…+βr ,n yn−α jq, k1
xk 1−…−α jq ,k p−q
x k p−r0=βr +1,1 y1+…+βr+1, n y n⋮0=βn ,1 y 1+…+βn ,n yn
donc le système admet n−r conditions de compatibilité
car le rang de la matrice (βr+1,1 … βr+1,n
⋮ ⋮βn,1 … βn; n
) est n−r (sous-matrice d'une matrice de rang n )
Par ailleurs, la multiplication matricielle AX peut être interprétée comme combinaison linéaire des vecteurs colonnes de la matrice A :
AX=(a1,1 … a1, j … a1, p
⋮ ⋮ ⋮an ,1 … an, j … an , p
)×(x 1
⋮x j
⋮x n)=x1(
a1,1
⋮a n,1)+…+ x j(
a1; j
⋮an, j)+…+x p(
a1 , p
⋮an , p)
Ainsi Im (A )=Vect ((a1,1
⋮an; 1);…;(
a1, p
⋮an; p)) , en ne retenant dans cette famille génératrice que les vecteurs colonnes contenant un
pivot après échelonnement, on obtient une famille libre et génératrice de Im(A) car son rang est p .
Compléments d'algèbre linéaire 9/30 pycreach.free.fr - TSI2
Écriture du système linéaire permettant de déterminer l'image d'une matrice à l'aide d'une matrice augmentée :
(a1,1 … a1, j1
… a1 , jr… a1, p y1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮a n,1 … a1, j1
… a1 , jr… an, p y n
) ∼L
(0… 0 1 α1; j 1+1…α1 ; j2−1 0 α1; j 2+1… α1; jr−1 0 α1; j r+1 … α1;p β1,1 y1+…+β1 ,n yn0…… 0 … … 0 1 α2; j 2+1
⋱ ⋮ ⋮ α2; j r+1 … α2; p β2,1 y1+…+β2,n yn0……… … … … 0 0 ⋱αr−1; j r−1 0 αr−1; j r+1…αr−1; p ⋮
⋮……… … … … … … … 0 1 αr ; j r+1 … αr ;p βr ,1 y1+…+β1 ,n yn⋮……… … … … … … … … 0 … … 0 βr+1,1 y1+…+βr+,n yn⋮ ⋮ ⋮0……… … … … … … … … … … … 0 βn,1 y1+…+βn,n yn
) r colonnes de A contenant un pivot (après échelonnement) n−r conditions de compatibilité du système
Im (A )=Vect((a1, j1
⋮an , j1
);…;(a1, j r⋮an, j r))={(
y1
⋮yn)∈Mn,1 (K )∣{
βr +1 y1+…+βr+1 y n=0⋮
βn y1+…+βn yn=0 }Exemple d'utilisation du module sympy de Python pour la résolution d'un système linéaire :1234567891011
from sympy import *A = Matrix([[4,4,0,2,4],[5,1,6,5,4],[1,1,0,1,0],[5,1,6,6,2]])x1,x2,x3,x4,x5,=symbols('x1 x2 x3 x4 x5')y1,y2,y3,y4=symbols('y1 y2 y3 y4')X=Matrix([[x1],[x2],[x3],[x4],[x5]])Y=Matrix([[y1],[y2],[y3],[y4]])pprint(solve(A*X-Y))pprint([A[:,j] for j in A.rref()[1]])
Ainsi pour A=(4 4 0 2 45 1 6 5 41 1 0 1 05 1 6 6 2
) , Im (A )={(y1
y2
y3
y4
)∈M4 ,1 (ℝ )∣… }=Vect (… )
Remarque : le module sympy permet aussi d'utiliser la syntaxe A.columnspace() pour obtenir une base de l'espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes de la matrice A.
Compléments d'algèbre linéaire 10/30 pycreach.free.fr - TSI2
Rappel sur les solutions d'un système linéaire :
Rang d'une famille génératrice
Soit (v1 ;…v p ) une famille de E.(v1 ;…;v p) est génératrice de E si seulement si rg (v 1;…; v p)=dim (E )
Démonstration : par stabilité par combinaisons linéaires vect (v1 ;…;v p )⊂E ainsi, dim (vect (v1 ;…;v p ))=dim (E ) ⇔ vect (v1 ;…;v p )=E □
Définition d'une base d'un espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel.Une base de E est une famille libre et génératrice de E.
Remarque : dans ce cas tout vecteur de E s'exprime (famille génératrice) de manière unique (famille libre) comme combinaison linéaire de vecteurs de la famille (vi)i∈I .Remarque : une base de E peut avoir un nombre infini d'éléments, on dit alors que E est de dimension infinie.Exemples : la base canonique de K[X] est la famille (Xi )i∈ℕLa base canonique de Mn, p (K ) est constituée des n× p matrices telles que :
pour (i0 ; j0)∈⟦1;n⟧×⟦1 ; p⟧ E i0 ; j0=(χ i0 ( i )×χ j0
( j))( 1⩽i⩽n1⩽ j⩽ p)
où χa (b )={1 si a=b0 sinon
E1,1=(1 0 … 00 0 … ⋮⋮ ⋮0 … … 0
) , ..., E1, p=(0 … 0 1⋮ 0 0⋮ ⋮0 … … 0
)⋮ ⋮
En ,1=(0 … … 0⋮ ⋮0 0 ⋮1 0 … 0
) , ..., En , p=(0 … … 0⋮ ⋮⋮ 0 00 … 0 1
)Exemple de code Python permettant de générer la base canonique de Mn , p (K ) sous forme d'une liste d'arrays :123456789 101112
import numpy as np
def base_canonique_matrices(n,p): B=[] for i in range(n): for j in range(p): B.append(np.array([[int(I==i)*int(J==j) for J in range(p)] for I in range(n)])) return B
for M in base_canonique_matrices(2,3): print(M) print()
Compléments d'algèbre linéaire 11/30 pycreach.free.fr - TSI2
Système compatible ? Solution particulière
Nombre de pivots =nombre de colonnes ?
Solutions paramétréespar les inconnues
secondaires
Base d'un espace vectoriel et bijectivité d'une application linéaire
Soit E un espace de dimension finie, (v1 ;…;v p) une famille de p vecteurs de E et l'application linéaire f telle que :
f : K p → E(α1 ;…;α p) → α1v1+…+α pv p
(v1 ;…;v p) est une base de E si et seulement si f est bijective
Si B=(v1 ;…;v p ) est une base de E alors f −1 (v ) est constitué des coordonnées de v dans la base B.
Démonstration : découle de la définition de la bijectivité et des coordonnées d'un vecteur dans une base.
Exemple : l'application f : ℝ4 → ℝ3 [X ]
(α0;…;α3) → α0+α1 X+α2 X2+α3 X3 est bijective car ...
Remarque : en utilisant g : M p,1 (K ) → E
(α1
⋮α p) → α1v1+…+α p v p
on a ∀ v∈E , g−1(v )=MatB (v ) .
Condition suffisante pour avoir une base de K[X]
Toute famille de polynômes (Pk )k∈ℕ telle que ∀ k∈ℕ , deg (Pk )=k est une base de K [X ] .
Remarque : la condition précédente est équivalente (quitte réordonner les polynômes) à la bijectivité de l'application deg :(Pi )i∈I→ℕ .
Démonstration : Si deg (Pk )=k alors (Pk )k∈ℕ est une famille échelonnée donc libre.
En notant ∀ i∈ℕ , P j (X )=∑i=0
j
ai, j Xi , les vecteurs colonnes constitués des coordonnées des polynômes P j dans la base
canonique B=(1;…; Xn) de K n [X ] s'écrivent : MatB (P j)=(a0, j
⋮a j, j
0⋮0)
Ainsi par multiplication matricielle, pour (β0 ;…;βn )∈Kn+1 :
Mat B(∑j=0
n
β j P j)=β0(a0 ,0
0⋮0)+…+βn(a0,n
⋮an,n)=(
a0,0 … a0,n
⋱ ⋮0 a n ,n
)(β0
⋮βn)
Soit P (X )=∑j=0
n
α j Xj∈K [X ] , la recherche des inconnues (β0 ;…;βn )∈Kn+1 telles que P (X )=∑
i=0
n
βi Pi (X )
correspond à la résolution du système d'écriture matricielle : (a0 ,0 … a0, n
⋱ ⋮0 an, n
)(β0
⋮βn)=(
α0
⋮αn)
Ce système triangulaire dont les termes diagonaux sont tous non nuls est inversible donc P∈vect ((Pk )k∈ℕ ) .Ce raisonnement étant valide pour tout polynôme de K[X], on peut conclure que K [X ]⊂vect ( (Pk )k∈ℕ) .Par stabilité par combinaison linéaire on a : vect ((Pk )k∈ℕ)⊂K [X ] .Donc, par double inclusion, K [X ]=vect ((Pk)k∈ℕ) ce qui signifie que la famille (Pk )k∈ℕ est génératrice de K[X].Conclusion : la famille (Pk )k∈ℕ étant génératrice de K[X], elle constitue une base de K[X]. □
Exemple : Soit a∈ℝ la famille Ba=((X−a )k )k∈ℕ est une base de ℝ [X ] .
Exemple de passage des coordonnées de la base B2 à la base canonique :
P (X )=1+2 (X−2 )+3 (X−2)2+4 (X−2 )3=…Exemple de passage des coordonnées de la base canonique à la base B2 : en utilisant X k=((X−2 )+2 )k
Q (X )=1+2X+3X2+4 X3=…
Compléments d'algèbre linéaire 12/30 pycreach.free.fr - TSI2
2. S ous-espaces vectorielsDéfinition d'un sous-espace vectoriel (rappel)
Soit F un sous-ensemble de E. F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si
{0E∈F i.e. F est non vide
∀ (u ;v )∈F2 , u+v∈F stabilité par addition∀ (λ ;u)∈K×F, λ u∈F stabilité par multiplication par un scalaire
Remarque : un sous-espace vectoriel est stable par combinaisons linéaires.Par définition, pour toute famille (vi)i∈I de E, vect ((vi )i∈I ) est un sous-espace vectoriel de E.
Rappels des résultats valides pour les sous-espaces vectoriels de dimension finie
Soit F un sous-espace vectoriel de E.S'il existe une base de F constituée de n vecteurs alors dim (F)≝n et toute base de F est constituée de n vecteurs.
dim (F)=0⇔F={0E}
F est une droite vectorielle si et seulement si dim (F)=1F est un plan vectoriel si et seulement si dim (F)=2
Ainsi, pour déterminer une base de F :Si (v1 ;…;v n) est une famille libre de F et si dim (F)=n alors (v1 ;…;v n) est une base de F.Si (v1 ;…;v n) est une famille génératrice de F et si dim (F)=n alors (v1 ;…;v n) est une base de F.
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie inclus dans un même espace vectoriel : F⊂G⇒dim (F )⩽dim (G )
Ainsi, pour démontrer l'égalité de deux sous-espaces vectoriels : F=G⇔{F⊂GG⊂F
⇔{F⊂Gdim (F )=dim (G )
Extraction d'une base à partir d'une famille génératrice en utilisant les matrices de coordonnées dans une base B : Soient (n , p)∈ℕ2 avec n< p :
(e1 ;…; en) est une base de Vect (v1 ;…;v p ) ⇔ (MatB (e1 );…;MatB (en) ) est une base de MatB (v 1;…;vn )
Détermination des équations, dans la base B, d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs :v∈Vect (v1 ;…;v p) ⇔ rg (MatB (v ;v1 ;…v p))=rg (MatB (v1 ;…v p))
On pose MatB (v )=(x1
⋮xn) puis par échelonnement réduction, l'égalité des rangs se traduit par des équations sur x1 ,..., xn
Formule de Grassmann : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie inclus dans un même espace vectoriel : dim (F+G )=dim (F)+dim (G )−dim (F∩G )
Ici les notations « + » et « = » sont utilisées dans des cadres différents !
Ces résultats ne sont plus valides en dimension infinie.
Définition de la somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels
La somme des p sous-espaces vectoriels de E notés F1 , ... , F p est le sous-espace vectoriel constitué des vecteurs sommes de vecteurs appartenant à F1 et … et F p : F1+…+F p≝{v1+…+v p∣v1∈F1 ,…, v p∈Fp } .
Compléments d'algèbre linéaire 13/30 pycreach.free.fr - TSI2
Juxtaposition des familles génératrices
Soient ( p , q)∈ℕ2 , (u1 ;…;u p)∈E p et (v1 ;…;v q)∈Eq .
Vect (u1;…;u p )+Vect (v 1;…;vq )=Vect (u1 ;…;u p ;v1 ;…;vq )
Même si (u1 ;…u p ) et (v1 ;…; v q) sont des familles libres, la famille (u1 ;…;u p ;v1 ;…;vq) n'est pas nécessairement libre.
Point de vue géométrique : dans les deux cas ci-dessous, F1+F2 est un espace vectoriel de dimension 3.
Somme directe d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels
La somme des p sous-espaces vectoriels de E notés F1 , ... , F p est directe si et seulement si tout vecteur de F1+…+F p se décompose de manière unique selon les F i .
i.e. ∀ v∈F1+…+F p , ∃!(v 1;…;v p)∈F1×…×F p tel que : v=v1+…+v pLorsque la somme F1+…+F p est directe, elle est notée : F1⊕…⊕F p
Lorsque F1⊕…⊕F p=E , les sous-espaces vectoriels F1 , ..., F p sont dits supplémentaires dans E.
Si les p sous-espaces vectoriels de E, F1 , ... , F p sont en somme directe, alors l'inclusion F1⊕…⊕F p⊂E est triviale.Ainsi il suffit de démontrer que l'inclusion E⊂F1⊕…⊕Fp pour assurer l'égalité des espaces vectoriels F1⊕…⊕F p=E .
Point de vue géométrique :
F1 , F2 et F3 sont en somme directe.F1 , F2 et F3 ne sont pas en somme directe.
Compléments d'algèbre linéaire 14/30 pycreach.free.fr - TSI2
Caractérisation de la somme directe par unicité de la décomposition du vecteur nul
Soit p sous-espaces vectoriels F1 , ..., F p de E.
La somme F1+…+F p est directe si et seulement si (v1 ;…;v p )∈F1×…×F p
v1+…+v p=0E}⇒{
v1=0E
⋮v p=0E
Démonstration : si la somme F1+…+F p est directe alors le vecteur nul 0E se décompose de manière unique selon les F i
or ∀ i∈⟦1 ; p⟧ , 0E∈Fi et 0E+…+0E=0E donc par unicité (v1 ;…;v p )∈F1×…×F p
v1+…+v p=0E}⇒{
v1=0E
⋮v p=0E
.
Réciproquement, si (v1 ;…;v p )∈F1×…×F p
v1+…+v p=0E}⇒{
v1=0E
⋮v p=0E
montrons l'unicité de la décomposition de tout vecteur de
F1+…+F p selon les F i . Soit v∈F1+…+F p tel que {v=v 1+…v p avec (v1 ;…;v p )∈F1×…×F p
v=u1+…u p avec (u1;…;u p )∈F1×…×F p
Alors.... □Exemple : Dans ℂ5 [X ] , en notant pour k∈ℂ , Fk={P∈ℂ5 [X ]∣P (2k )=P(2k+1)=P (2 k+2 )=P (2k +3)=0} la somme F1+F2+F3 est directe.En effet, soient (P1 ; P2 , P3 )∈ℂ5 [X ] , P1+P2+P3=0ℂ6
[X ] ⇒ P1=−P2−P3 ainsi...
Rappel : somme directe de SEULEMENT DEUX sous-espaces vectoriels
Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E.Si F1∩F2={0E } alors F1 et F2 sont en somme directe.
Démonstration : La décomposition du vecteur nul selon F1 et F2 donne : (v1 ;v2 )∈F1×F2
v1+v2=0E}⇒v1=−v 2∈F1∩F2
Si F1∩F2={0E } alors … □
Cette caractérisation ne se généralise pas à la somme de plus de deux sous-espaces vectoriels.
Caractérisation des espaces supplémentaires en dimension finie.
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et p sous-espaces vectoriels F1 , …, F p .
F1⊕…⊕F p=E si et seulement si {la somme F1+…+F p est directedim(F1 )+…+dim(F p)=dim (E )
Base adaptée à une décomposition en somme directe : juxtaposition des bases.Soient B1=(v 1,1 ;…;v 1,dim (F1)) , …, Bp=(v p,1 ;…; v p ,dim (F p)) des bases respectives de F1 , …, F p .
F1⊕…⊕F p=E si et seulement si B=(v1 ,1 ;… ;v 1,dim (F1)⏟base de F1
;…;v p ,1 ;…;v p ,dim (F p)⏟base de F p
) constitue une base de E.
Démonstration : par récurrence en utilisant la formule de Grassmann on a : dim (F1⊕…⊕Fp )=dim (F1 )+…+dim (F p)
Puis on utilise F1⊕…⊕Fp⊂E (trivial )dim(F1⊕…⊕F p)=dim (E )}⇔E=F1⊕…⊕Fp □
Définition d'un hyperplan
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et H un sous-espace vectoriel de E.H est un hyperplan de E si et seulement si dim (H )=n−1
En dimension 2 ou 3 : :►Si E est un plan vectoriel alors un hyperplan de E est une droite vectorielle.►Si E est un espace vectoriel de dimension 3 alors un hyperplan de E est un plan vectoriel.
Compléments d'algèbre linéaire 15/30 pycreach.free.fr - TSI2
ÉquationS d'un hyperplan
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et B=(v1 ;…;vn) une base de E.H est un hyperplan de E si et seulement si
il existe (α1 ;…;αn)∈K n∖ {0Kn} tel que H={x1v 1+…+ xnv n∈E∣α1 x1+…+αn xn=0}
i.e. dans une base donnée, les coordonnées des vecteurs d'un hyperplan sont les solutions d'une équation linéaire homogène. On note alors H :α1 x1+…+αn xn=0 .
Pour un hyperplan donné, il existe plusieurs équations : on parle d'UNE équation d'un hyperplan.Démonstration : Si H est un hyperplan de E alors il existe (v'1 ,…,v' n−1 ) une base de H, et on a :v∈H ⇔ rg (v '1 ;…;v' n−1 ;v )=n−1
En notant MatB (v j )=(x1, j
⋮x n; j) on a : v=x1v1+…+x nv n∈H ⇔ rg((
x1,1 … x1 ;n−1 x1
⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮x n ,1 … x n;n−1 xn
))=n−1
(v'1 ,…,v' n−1 ) étant libre, on a : (x 1,1 … xn ;1 x1
⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮x n,1 … xn ; xn−1
xn)∼L (
1 … 0 ?⋮ ⋱ ⋮ ?0 … 1 ?0 … 0 α1 x1+…+αn xn
)
Cette matrice est de rang n−1 si et seulement si α1 x1+…+αn xn=0Ainsi : H={x1v 1+…+ xnv n∈E∣α1 x1+…+αn xn=0}Réciproquement s'il existe (α1 ;…;αn)∈K n∖ {0K
n} tel que H={x1v 1+…+ xnv n∈E∣α1 x1+…+αn xn=0} alors en notant
ϕ : E→Kx1v 1+…+ xnv n→α1 x1+…+αn xn
, l'application ϕ est linéaire et H=Kerϕ , ainsi le théorème du rang assure....
□En dimension 2 ou 3 :►Si E est un plan vectoriel alors tout hyperplan de E admet, dans une base donnée, une équation du type ax+by=0 .►Si E est un espace vectoriel de dimension 3 alors tout hyperplan de E admet, dans une base donnée, une équation du type ax+by+cz=0 .
Exemple : dans ℝ3 [X ] on considère H={P (X )∈ℝ4 [X ]∣P' (X )=0 }…
Rappel sur les matrices de changement de base
Soient E un espace vectoriel de dimension n , v un vecteur de E , B=(u1;…;un) et B'=(u' 1 ;…u' n ) deux bases de E.
Coordonnées d'un vecteur dans la base B :
v=x1u1+…+ xn un ⇔ MatB (v )=(x1
⋮xn)
Coordonnées d'un vecteur dans la base B' :
v=x' 1u' 1+…+x' nu' n ⇔ MatB' ( v )=(x' 1⋮x' n)
En utilisant les coordonnées des vecteurs de B' exprimées dans la base B :MatB (x1u1+…+x nun)=MatB (x' 1u' 1+… x' nu' n)=x' 1MatB (u'1 )+…+ x' nMatB (u' n)
Si ∀ j∈⟦1;n⟧ , MatB (u' j)=(p1 , j
⋮pn , j) on a : (
x 1
⋮x n)=x' 1(
p1,1
⋮pn ,1)+…+ x' n(
p1,n
⋮pn , n)
En notant PBB'=MatB (u' 1;…;u' n) la matrice des coordonnées des vecteurs de B' exprimées dans la base B, i.e.
u' 1 … u' n
PBB'=(
p1 ,1 … p1,n
⋮ … ⋮pn ,1 … pn,n
)u1
⋮un
on a : (x 1
⋮x n)=PB
B'×(x' 1⋮x' n) i.e. MatB (v )=PB
B'×MatB' (v ) aussi noté X=PX '
Remarque : On peut retenir PBB'=(MatB (u' 1) ;…;MatB (u' n ))
En utilisant la notation des matrices d'applications linéaires on a : PBB'=MatB' ,B ( Id E)
Exemple géométrique : Soit B=( i⃗ ; j⃗ ) et B'=(i⃗ ' ; j⃗' ) deux bases d'un plan vectoriel telles que {i⃗ '= i⃗ +2 j⃗j⃗'=3 i⃗ −4 j⃗
.
Alors PBB'=… Ainsi pour u⃗ =3 i⃗ '+ j⃗ ' , on a MatB ( u⃗ )=…
Compléments d'algèbre linéaire 16/30 pycreach.free.fr - TSI2
Exemples élémentaires de changement de base : Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et B=(e1 ; e2 ; e3) une base de E.► Échange de deux vecteurs : la famille B'=(e1 ; e3; e2) est une base de E et ∀ v∈E ,
MatB' ( v )=(x 'y 'z ' ) ⇔ MatB (v )=…
La matrice de passage de la base B à la base B' est : …
► Multiplication d'un vecteur par un scalaire : la famille B' '=(e1; e2 ; 2e3) est une base de E et ∀ v∈E ,
MatB' ' (v )=(x ' 'y ' 'z ' ') ⇔ MatB (v )=…
La matrice de passage de la base B à la base B'' est : …
► Somme de deux vecteurs : la famille B' ' '=(e1; e2 ; e1+e3) est une base de E et ∀ v∈E ,
MatB' ' ' (v )=(x ' ' 'y ' ' 'z ' ' ') ⇔ MatB (v )=…
La matrice de passage de la base B à la base B''' est : …
Rappel : méthode de calcul de l'inverse d'une matrice
Soit P∈Mn (K ) .P est inversible si et seulement si rg (P)=n .
Si P est inversible alors ∀(x 1
⋮x n)∈Mn ,1 (K ) , P(
x'1⋮x' n)=(
x1
⋮xn) ⇔ (
x '1⋮x' n)=P−1(
x1
⋮xn)
Calcul par échelonnement-réduction de la matrice augmentée : en notant P=(p1 ,1 … p1,n
⋮ ⋮pn ,1 … pn,n
) et P−1=(q1,1 … q1,n
⋮ ⋮qn ,1 … qn ,n
)
(p1, 1 … … p1,n x1
⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮pn ,1 … … pn,n x n
) ∼L
… ∼L
(1 0 … 0 q1 ,1 x1+…+q1,n xn0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮⋮ ⋱ ⋱ 0 ⋮0 … 0 1 qn ,1 x1+…+qn , n xn
)
Compléments d'algèbre linéaire 17/30 pycreach.free.fr - TSI2
Exemple : P=(1 1 1−1 0 −10 −1 1 )
DroiteS vectorielleS SupplémentaireS d'un hyperplan
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et H un sous-espace vectoriel de E.H est un hyperplan de E si et seulement s'il existe une droite vectorielle D de E telle que H⊕D=E
Il n'y a pas unicité de D : un hyperplan donné admet une infinité de supplémentaires qui sont nécessairement des droites vectoriellesDémonstration : H est un hyperplan de E ⇔ il existe une base de H admettant n−1 vecteurs ⇔ il existe un vecteur v n complétant la base de H en une base de E ⇔ H⊕vect (v n)=E □
3. Sous-espaces stables par un endomorphisme
Définition de la linéarité d'une application
Soient E et F deux espaces vectoriels et f une application de E dans F.
f est linéaire si et seulement si {∀ (u ;v )∈E2 , f (u+v )= f (u )+ f ( v ) additivité∀ (λ ;u )∈K×E, f (λ u)=λ f (u ) homogénéité
si et seulement si ∀ (u ;v )∈E2 et ∀λ∈K , f (λu+v )=λ f (u)+ f (v )i.e. l'image par f d'une combinaison linéaire de vecteurs est la combinaison linéaire des images par f de ces vecteursOn note L (E ; F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F.
Exemples : ► Soit I un intervalle réel, un réel a∈I et F (I ;ℂ) le ℂ _espace vectoriel constitué des fonctions définies sur I
et à valeurs dans ℂ . L'application « évaluation en a » F (I ;ℂ) → ℂ
f → f (a ) est linéaire car :
► Soit I un intervalle réel et D ( I;ℂ ) le ℂ _espace vectoriel constitué des fonctions dérivables sur I et à valeurs dans ℂ .
L'application « dérivation » D ( I;ℂ ) → F (I ;ℂ )
f → f ' est linéaire car :
► Soit I un intervalle réel, deux réels a∈I et b∈I , et C0 (I ;ℂ) le ℂ _espace vectoriel constitué des fonctions continues
sur I et à valeurs dans ℂ . L'application « intégrale de a à b » C0 (I ;ℂ) → ℂ
f → ∫a
bf ( t )d t
est linéaire car :
► Soit I un intervalle réel, un réel a∈I et C0 (I ;ℂ) le ℂ _espace vectoriel constitué des fonctions continues sur I et à
valeurs dans ℂ . L'application « primitive s'annulant en a » C0 (I ;ℂ) → C1 (I ;ℂ )
f → F: x→∫a
xf (t )dt
est linéaire car :
Compléments d'algèbre linéaire 18/30 pycreach.free.fr - TSI2
Matrice d'une application linéaire dans des bases données
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives p et n et f ∈L (E ; F) . En notant BE=(e1;…;e p ) une base de E, la matrice f dans les bases BE et BF est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des images des vecteurs de la base BE exprimées dans la base BF .Si u=x 1e1+…+ x pe p alors, par linéarité, f (u )= f (x1e 1+…+ x pe p)=x1 f (e1)+…+x p f (e p)
Ainsi, dans la base BF , en notant MatBF( f (e j ))=(
a1, j
⋮an , j) on a : MatBF
( f (u ))= x1(a1 ,1
⋮an ,1)+…+x p(
a1 , p
⋮an , p)
Par multiplication matricielle pour MatBE ,BF( f )≝(ai , j ) 1⩽i⩽n
1⩽ j⩽p
∈Mn , p (K ) , parfois symbolisée, si BF=( f 1;…; f n) , par
f (e1)… f (e p )
MatBE, B
F( f )=(
a1,1 … a1, p
⋮ ⋮an ,1 … a n, p
) f 1
⋮f n
, on a: ∀ u∈E , MatBF( f (u ))=MatBE ,BF
( f )×(x1
⋮x p)
i.e. MatBE , BF( f )×MatBE
(u )=MatB F( f (u ) )
Souvent noté : AX=Y
Remarque : on rencontre aussi la notation MatBF
BE ( f ) et on peut retenir MatBE ,BF( f )=MatBF
( f (e1) ;…; f (e p))
Ainsi MatBE ;BF( f )=(
a1,1 … … a1 , p
⋮ ⋮an ,1 … … an , p
)⏞
dim(E) colonnes
}dim(F) lignes
Exemple : MatBE(e1)=(
10⋮0) donc MatBF
( f (e1))=MatBE ,BF( f )×(
10⋮0)=(a1, 1
⋮an ,1)
Exemples :
► Soit f : ℝ2 [X ] → ℝ
P → P(3). Pour BE=… et BF=… on a : MatBE ,BF
( f )=…
► Soit f : ℝ2 [X ] → ℝ1 [X ]
P → P'. Pour BE=… et BF=… on a : MatBE ,BF
( f )=…
► Soit f : ℝ2 [X ] → ℝ3 [X ]
P → Q: X→∫1
XP (t )dt
. Pour BE=… et BF=… on a : MatBE ,BF( f )=…
Définition du noyau et de l'image d'une application linéaire
soient E et F deux espaces vectoriels et f ∈L (E , F) .
Ker ( f )≝{u∈E∣ f (u )=0F}= f −1 ({0F}) ensemble des antécédents du vecteur nul par f
Im ( f )={ f (u )∣u∈E }= f (E )= {v∈F∣∃u∈E tel que v= f (u )} ensemble des images des vecteurs de E par f
On peut retenir : f : E → F
Ker ( f ) → {0F}E → Im ( f )
Ker ( f ) est un sous-espace vectoriel de EIm ( f ) est un sous-espace vectoriel de F.
Si E et F sont de dimension finie alors en notant BE une base de E; BF une base F et R la matrice équivalente en lignes à la matrice MatBE ,BF
( f ) : rg ( f ) est le nombre de pivots de R (i.e. le nombre de colonnes ou de lignes de R contenant un pivot)dim (Ker ( f )) est le nombre de colonnes de R ne contenant pas de pivot (i .e. nombre de variables secondaires dans
le système RX=0 )
Compléments d'algèbre linéaire 19/30 pycreach.free.fr - TSI2
Rappel : pour déterminer Ker ( f ) ou Im ( f ) il peut être utile d'invoquer ...
Le théorème du rang : si f ∈L (E ; F) et si E est de dimension finie alors dim (E )=rg ( f )+dim (Ker ( f ))Famille génératrice de l'image d'une application linéaire : si f ∈L (E ; F) et si BE=(e1 ;…; e p) est une base de E alors
Im ( f )=Vect ( f (e1) ;…; f (e p ))
Même pour les endomorphismes, en général E≠Im ( f )⊕Ker ( f ) … sauf pour les projections.
( f (e1) ;…; f (e p )) ne constitue pas nécessairement une base de Im ( f ) car...
Lien entre noyau ou image d'une application linéaire et noyau ou image d'une matrice
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies et f ∈L (E ; F) . En notant BE une base de E, BF une base de
F et A=Mat BE ,BF( f ) : Ker ( f )={u∈E∣MatBE
(u )∈Ker A }
i.e. le noyau d'une l'application linéaire est constitué des vecteurs de l'espace de départ dont la matrice colonne des coordonnées dans une base donnée sont dans le noyau de la matrice de cette application linéaire dans cette base de départ.
Im ( f )={v∈F∣MatBF(v )∈Im (A )}
i.e. l'image d'une application linéaire est constituée des vecteurs de l'espace d'arrivée dont la matrice colonne des coordonnées dans une base donnée sont dans l'image de la matrice de cette application linéaire dans cette base d'arrivée.
Base du noyau et base de l'image d'une application linéaire: Si BE=(e1 ,… ,e p) , BF=( f 1;…; f n) et rg (A )=r
Les p−r matrices colonnes de M p ,1(K ) , ((x1 ,1
⋮x p ,1);…;(
x1 , p−r
⋮x p, p−r
)) forment une base de Ker A si et seulement si
les p−r vecteurs de E, u1=x1 ,1 e1+…+ x p ,1 e p
⋮u p−r=x1, p−r e1+…+ x p , p−re p
forment une base de Ker f
Les r matrices colonnes de Mn ,1 (K ) , ((y 1,1
⋮y n ,1);…;(
y1, r
⋮yn , r)) forment une base de Im (A ) si et seulement si
les r vecteurs de F, v1=y 1,1 f 1+…+ y n ,1 f n⋮vr= y1 , r f 1+…+ yn ,r f p
forment une base de Im ( f )
Exemple :
► Soit f : ℝ2 [X ] → ℝ
P → P(3) alors Ker ( f )=… et Im ( f )=…
► Soit f : ℝ2 [X ] → ℝ1 [X ]
P → P' alors Ker ( f )=… et Im ( f )=…
► Soit f : ℝ2 [X ] → ℝ3 [X ]
P → Q: X→∫1
XP (t )dt
alors Ker ( f )=… et Im ( f )=…
Théorème du rang : point de vue matriciel
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et f ∈L (E ; F)
dim(F) lignes {
MatBE ,BF( f )=(
* * * ** * * ** * * ** * * ** * * *
)∼L ... ∼L (
matrice échelonnée en ligne
)
}r lignes avec pivot : rang de f
⏟dim (E ) colonnes
⏟r colonnes avec pivot
dim (E)−r colonnes sans pivot = degrés de liberté du noyau de f
Compléments d'algèbre linéaire 20/30 pycreach.free.fr - TSI2
Rappels sur le rang d'une famille de vecteur ou d'une application linéaire
Espace vectoriel Coordonnées dans une base : écriture matricielle
Soit (v1 ;…;v p) une famille de vecteurs d'un espace
vectoriel F, et (α1 ;…;α p )∈K p alors ...Rang d'une famille de vecteurs :
rg (v 1;…;v p)≝dim (vect (v 1;…;v p))
Si BF est une base de F alors :MatBF
(α1v1+…+α pv p)=α1MatBF(v 1)+…+α pMatBF
(v p)
Ainsi MatBF(α1v1+…+α pv p)=(
α1
⋮αp)MatBF
(v 1;…;v p)
et rg (v 1;…;v p)=rg (MatBF(v1 ;…;v p) )
Rang d'une application linéaire f : E→F rg ( f )≝dim (Im ( f ))
Si BE=(u1 ;…u p) est une base de E alors :
Im ( f )=vect ( f (u1) ;…; f (u p ))
Pour MatBE ,BF( f )=(mi , j)( 1⩽i⩽n
1⩽ j⩽p) avec MatBF
( f (u j) )=(m1, j
⋮mn , j)
on a : rg ( f )=rg (MatBE ,BF( f ))
Remarque : la valeur du rang est indépendante des bases choisies.
Définition d'un endomorphisme
Soit E un espace vectoriel. Toute application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme de E. L'ensemble des endomorphismes de E est noté L(E).
Illustration géométrique d'un endomorphisme f du plan : somme de vecteurs et configuration de Thalès :
Compléments d'algèbre linéaire 21/30 pycreach.free.fr - TSI2
Matrice d'un endomorphisme dans une base donnée
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, f ∈L (E ) et B=(e1 ;…;en ) une base de E.La matrice de f dans la base B est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des images des vecteurs de la base B exprimées dans la base B.
i.e. MatB ( f )=(ai , j )(1⩽i⩽n1⩽ j⩽n) avec MatB ( f (e j) )=(
a1, j
⋮an , j) aussi symbolisée par :
f (e1) … f (en )
MatB ( f )=(a1 ,1 … a1,n
⋮ ⋮an ,1 … an, n
)e1
⋮en
Ainsi on a : ∀ u∈E , MatB ( f )×MatB (u )=MatB ( f (u ))
Souvent noté : AX=Y
Remarque : on peut retenir MatB ( f )=(MatB ( f (e1)) ;…;MatB ( f (en) ))
Exemple : soit ( i⃗ ; j⃗ ) une base d'un plan vectoriel et f l'endomorphisme défini par {f ( i⃗ )= i⃗ +2 j⃗f ( j⃗ )=3 i⃗ −4 j⃗
MatB ( f )=…
Pour u⃗ =3 i⃗ +2 j⃗ on a : MatB ( f ( u⃗ ))=…
Définition d'un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme
Soient f ∈L (E ) et F un sous-espace vectoriel de E.F est stable par f si et seulement si ∀ v∈F , f (v )∈F i.e. f (F)⊂F
Remarque : si F est un sous-espace vectoriel stable par f ∈L (E ) alors la restriction de f à F notée f ∣F F → F
v → f (v ) est
un endomorphisme de F.Exemples triviaux :quel que soit f ∈L (E ) , Ker ( f ) et Im ( f ) sont des sous-espaces vectoriels stables par f .En effet ...
□
Exemple : Soit E=ℝ [X ] , f : ℝ [X ] → ℝ [X ]
P (X ) → XP' (X ) et F={P∈ℝ [X ]∣P (0)=0} et G= {P∈ℝ [X ]∣P (1)=0 } .
Soit P∈F alors f (P)…
Soit …∈G ...
Caractérisation d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs, stable par un endomorphisme
Soient f ∈L (E ) et (vi)i∈I une famille de vecteurs de E.Vect ((vi )i∈I) est stable par f si et seulement si ∀ j∈I , f (v j )∈Vect ( (v i)i∈I)
Compléments d'algèbre linéaire 22/30 pycreach.free.fr - TSI2
Démonstration : Si Vect ((vi )i∈I) est stable par f alors par définition de la stabilité, ∀ j∈I , f (v j )∈Vect ( (v i)i∈I) .Réciproquement, supposons que ∀ j∈I , f (v j )∈Vect ( (v i)i∈I) . Soit v∈Vect ((vi )i∈I) alors il existe une sous-famille finie J
de I et une famille finie de scalaires (α j ) j∈J telles que v=∑
j∈J
α jv j donc f (v )=… □
Exemple : Soit E=ℝ [X ] , f : ℝ [X ] → ℝ [X ]
P (X ) → XP' (X ), F={P∈ℝ [X ]∣P (0)=0} . et G= {P∈ℝ [X ]∣P (1)=0 }
F=Vect (… ) or...
Caractérisation d'une droite vectorielle stable par un endomorphisme
Soient f ∈L (E ) et v un vecteur de E.Vect (v ) est stable par f si et seulement s'il existe k∈K tel que f (v )=kv
Démonstration : Si Vect (v ) est stable par f alors f (v )∈Vect (v ) donc...Si f (v )=kv alors ∀ u=λ v∈vect (v ) , f (u )=… □
Exemple : soit ( i⃗ ; j⃗ ) une base d'un plan vectoriel et f l'endomorphisme défini par {f ( i⃗ )= i⃗ +2 j⃗f ( j⃗ )=3 i⃗ −4 j⃗
Soit u⃗1=− i⃗ +2 j⃗ …Soit u⃗2=3 i⃗ + j⃗ …
Compléments d'algèbre linéaire 23/30 pycreach.free.fr - TSI2
Homothétie h Projection p Symétrie s
DéfinitionHomothétie de E
de rapport λ∈K *
E=F⊕GProjection sur F parallèlement à GPour v=vF+ vG , v F∈F et vG∈G
p (v )=v F
E=F⊕GSymétrie par rapport à F, parallèlement à G
Pour v=vF+ vG , v F∈F et vG∈Gs (v )=v F−vG
Illustration
Caractéri-sation
∀v∈E , h (v )=λ v
∀v∈E , p2 (v )= p (v )Lien avec la symétrie par rapport à F
parallèlement à G : pF=12( Id +sF )
∀v∈E , s2 (v )=vLien avec la projection sur F parallèlement à
G : sF=−Id +2 pF
Image et noyau
Ker (h)={0E}Im (h)=E
Ker ( p)=GIm ( p)=F
Ker ( s )={0E}Im ( s )=E
Sous-espaces stables
Tout sous-espace vectoriel de E est
stable par h
Tout sous-espace vectoriel inclus dans G est stable par p
Tout sous-espace vectoriel inclus dans F est stable par p
Tout sous-espace vectoriel inclus dans G est stable par s
Tout sous-espace vectoriel inclus dans F est stable par s
En dimension
finie, matrice
dans une base
adaptée
Pour toute base B de E :
MatB (h )=λ In
Si (e1 ;…; eq) est une base de F et (eq+1 ,…; en) est une base de G alors en notant
B=(e1 ;…; en) une base de E : p (e1) ... p (eq) p (eq+1) ... p (en)
MatB ( p )=(1 0 … … 00 ⋱ ⋱ ⋮⋮ ⋱ 1 ⋱ ⋮⋮ ⋱ 0 ⋱ ⋮⋮ ⋱ ⋱ 00 … … 0 0
)e1
⋮eq
eq+1
⋮en
En écrivant cette matrice par blocs :
MatB ( p )=( Iq 0M q ,n− q(K )
0Mn−q, q (K ) 0Mn−q,n−q (K ))
Si (e1 ;…; eq) est une base de F et (eq+1 ,…; en) est une base de G alors en notant B=(e1 ;…; en) une base de E :
s (e1) ... s (eq) s (eq+1 )... s (en)
MatB ( s )=(1 0 … … 00 ⋱ ⋱ ⋮⋮ ⋱ 1 ⋱ ⋮⋮ ⋱−1 ⋱ ⋮⋮ ⋱ ⋱ 00 … … 0 −1
)e1
⋮eq
eq+1
⋮en
En écrivant cette matrice par blocs :
MatB ( s)=( Iq 0Mq,n−q (K )
0Mn−q ,q (K ) −In−q )
Compléments d'algèbre linéaire 24/30 pycreach.free.fr - TSI2
Caractérisation matricielle de sous-espaces stables par un endomorphisme
Soient f ∈L (E ) et B=(v1 ;…;vn) une base de E, (h ;k )∈⟦1;n ⟧2 tels que h⩽k .vect (vh ,…,v k) est stable par f si et seulement si
f (v1) … f (vh−1 ) f (vh ) … f (vk ) f (vk+1) … f (vn )
MatB ( f )=(a1 ,1 … … a1, h−1 0 … 0 a1, k+1 … … a1, n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ 0 … 0 ⋮ ⋮⋮ ⋮ ah ,h … ah , k ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ak ,h … a k , k ⋮ ⋮
⋮ ⋮ 0 … 0 ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮an ,1 … … an ,h−1 0 … 0 an ,k+1 … … an, n
)v1
⋮⋮v h−1
vh⋮vkv k+1
⋮⋮vn
i.e. en notant MatB ( f )=(ai , j )1⩽i⩽n1⩽ j⩽n
, si j∈⟦h ;k ⟧ et i∉⟦h ;k ⟧ alors ai , j=0
« Dans une base adaptée B, un sous-espace stable par f se caractérise par une sous-matrice carrée située sur la diagonale de la matrice de f dans la base B et encadrée verticalement par des matrices nulles. »
Remarque : la matrice MatB ( f ) peut être écrite par blocs : MatB ( f )=(0Mh−1, k−h+1 (K )
A B C0Mn−k , k−h+ 1(K )
) avec A∈Mn,h−1 (K ) ,
B∈Mk−h+1;k−h+1(K ) et C∈Mn ;n−k (K ) .Démonstration : Si vect (vh ,…,v k ) est stable par f alors ∀ j∈⟦h ;k ⟧ , f (v j )∈vect (v h,…,v k )
donc en notant MatB ( f (v j ))=(a1 , j
⋮an ; j) , on a nécessairement ai ; j=0 pour i∉⟦h ;k ⟧ .
Réciproquement, si j∈⟦h ;k ⟧ et i∉⟦h ;k ⟧ alors ai , j=0 , alors ∀ v∈vect (v h ,…, vk ) , ∃(αh ;…;αk )∈Kk−h+1 tel que
MatB (v )=(0⋮0αh
⋮αk
0⋮0
) donc (a1,1 … … a1 ,h−1 0 … 0 a1 ,k+1 … … a1, n
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ 0 … 0 ⋮ ⋮⋮ ⋮ a h ,h … ah, k ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ a k ,h … ak , k ⋮ ⋮
⋮ ⋮ 0 … 0 ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮a n,1 … … an ,h−1 0 … 0 an ,k+1 … … an ,n
) (0⋮⋮0αh
⋮αk
⋮⋮0
) = αh(0⋮⋮a h,h
⋮a k ,h
0⋮⋮0
) +...+ αk(0⋮⋮ah , k
⋮ak , k
0⋮⋮0
)Ainsi Mat B ( f (v ))=(
0⋮⋮0
αh ah, h+…+αkah ,k
⋮αha k , h+…+αkak ,k
0⋮⋮0
) donc f (v )∈vect (vh ;…;vk ) . Conclusion : vect (vh ;…;v k ) est stable par f . □
Compléments d'algèbre linéaire 25/30 pycreach.free.fr - TSI2
4) Matrices
Définition de la trace d'une matrice carrée
La trace de la matrice carrée A est la somme de ses termes diagonaux notée Tr (A ) .
i.e. pour A=(ai , j )1⩽i⩽n1⩽ j⩽n
, Tr (A )≝∑k=1
n
a k , k
Exemples de codes python implémentant la fonction donnant la trace d'une matrice donnée en entrée sous forme de liste de ses lignes.En utilisant une boucle pour effectuer la somme des termes diagonaux :1234567891011
def Trace(M): S=0 for k in range(len(M)): S=S+M[k][k] return S
A=[[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]]
print(Trace(A))
En utilisant la fonction sum(itérable) de la bibliothèque standard :12345678
def Trace(M): return(sum(M[k][k] for k in range(len(M))))
A=[[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]]
print(Trace(A))
En utilisant la fonction trace de la bibliothèque numpy ou la bibliothèque sympy: 1234567
import numpy as np
A=np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
print(np.trace(A))
1234567
from sympy import *
A=Matrix([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]])
print(A.trace())
Propriété de linéarité l'application trace
Soient deux matrices carrées A∈Mn (K ) et B∈Mn (K ) et un scalaire λ∈K .Tr (λA )=λTr (A ) HomogénéitéTr (A+B )=Tr (A )+Tr (B ) Additivité
Conclusion : l'application trace Tr : Mn (K ) → K
A → Tr (A ) est une application linéaire.(forme linéaire car Im (Tr )⊂K )
Démonstration : en notant A=(ai , j )1⩽i⩽n1⩽ j⩽n
et B=(bi , j )1⩽i⩽n1⩽ j⩽n
on a :
λA=(λa i , j )1⩽i⩽n1⩽ j⩽n
ainsi Tr (λA )=∑k=1
n
λak ,k=…
A+B=(a i, j+bi , j) 1⩽i⩽n1⩽ j⩽n
ainsi Tr (A+B )=∑k=1
n
a k , k+bk ,k=… □
Trace d'un produit matriciel
Soient deux matrices A∈Mn (K ) et B∈Mn (K ) .Tr (AB)=Tr (BA )
Compléments d'algèbre linéaire 26/30 pycreach.free.fr - TSI2
En général, Tr (AB)≠Tr (A )×Tr (B ) exemple, pour A=I2 et B=(1 00 0) ...
Démonstration : en notant A=(ai , j )1⩽i⩽n1⩽ j⩽n
et B=(bi , j )1⩽i⩽n1⩽ j⩽n
,
On a AB=(∑k=1
n
ai ,k bk , j)1⩽i⩽n1⩽ j⩽n
donc Tr (AB)=∑i=1
n
(∑k=1
n
ai ,kbk , i)Et BA=(∑
k=1
n
bi ,k ak , j)1⩽i⩽n1⩽ j⩽n
donc Tr (BA )=∑i=1
n
(∑k=1
n
bi, ka k , i)= ∑(i ,k )∈ ⟦1; n⟧2
bi, ka k , i=∑i=1
n
(∑k=1
n
ak , ibi ,k)=Tr (AB) □
Définition de matrices semblables
Soient deux matrices carrées A∈Mn (K ) et A '∈Mn (K ) .
A et A' sont semblables si et seulement s'il existe une matrice inversible P∈GLn (K ) telle que A=PA ' P−1
si et seulement si A et A' sont les matrices du même endomorphisme dans deux bases.
Remarque : soit E un espace vectoriel de dimension n , B=(v1 ;…;vn) et B'=(v '1 ;…;v' n) deux bases de E.
Pour v∈E , en notant MatB (v )=(α1
⋮αn) et MatB' ( v )=(
α '1⋮α 'n) on a : v=α1 v1+…+αn vn=α ' 1v' 1+…+α 'n v' n
Cette égalité vectorielle décomposée dans la base B donne : (α1
⋮αn)=α ' 1MatB (v' 1)+…+α ' nMatB (v 'n )
En notant PBB' la matrice de passage de la base B à la base B' on a : PB
B'=( p i , j)(1⩽i⩽n1⩽ j⩽n)
avec MatB (v ' j )=(p1, j
⋮pn , j)
on a (α1
⋮αn)=PB
B'(α '1⋮α 'n) . Ainsi ∀ v∈E , PB
B'×MatB' ( v )=MatB (v )
MatB ( f (v )) PBB '×… MatB' ( f (v )) MatB ' ( f )×… MatB' (v ) PB '
B ×… MatB (v )
Mat B ( f ( v ))=PBB '
(MatB ' ( f )(PB '
B ×MatB ( v )⏟v dans B
)⏟v dans B'
)⏟f (v ) dans B'⏟
f ( v ) dans B
donc : MatB ( f )=PBB'×MatB' ( f )×PB'
B
Ainsi, en notant : A=MatB ( f ) ; A '=MatB' ( f ) et P=PBB' on a bien : A=PA ' P−1 □
Exemple de code Python utilisant le module numpy ou sympy pour le calcul de P−1A P :12345678910
import numpy as npP=np.array([[1,0,1], [1,1,0], [0,1,1]])Q=np.linalg.inv(P)print(Q)A=np.array([[3,-1,1], [0,2,2], [1,-1,5]])print(np.dot(Q,np.dot(A,P)))
123456789
from sympy import *P=Matrix([[1,0,1], [1,1,0], [0,1,1]])pprint(P**-1)A=Matrix([[3,-1,1], [0,2,2], [1,-1,5]])pprint(P**-1*A*P)
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Traces de deux matrices carrées semblables
Deux matrices semblables ont même trace.
La réciproque de cette propriété n'est pas valide.Démonstration : soient A∈Mn (K ) ; A '∈Mn (K ) et P∈GLn (K ) telles que : A=PA ' P−1
Alors Tr (A )=Tr (P (A' P−1))=… □
Trace d'un endomorphisme en dimension finie
Soient E un espace vectoriel de dimension n , B une base de E et f ∈L (E ) .La trace de l'endomorphisme f est le scalaire, indépendant du choix de la base B, noté Tr ( f )≝Tr (MatB ( f )) .
Démonstration : soit B' une base de E alors MatB ( f ) et MatB' ( f ) sont deux matrices semblables, elles ont donc la même trace.
Propriété de linéarité l'application trace
Soient E un espace vectoriel de dimension n , f ∈L (E ) , g∈L (E ) et un scalaire λ∈K .Tr (λ f )=λTr ( f ) HomogénéitéTr ( f +g )=Tr ( f )+Tr (g ) Additivité
Conclusion : l'application trace Tr : L (E ) → Kf → Tr ( f )
est une application linéaire.(forme linéaire car Im (Tr )⊂K )
Définition de la transposée d'une matrice
Soit une matrice A=(ai , j ) 1⩽i⩽n1⩽ j⩽p
∈Mn , p (K ) .
La matrice transposée de la matrice A est la matrice notée AT=(bi, j )1⩽i⩽p1⩽ j⩽n
∈M p ,n (K ) telle que :
∀ (i , j )∈⟦1 ; p ⟧×⟦1 ,n⟧ , bi, j=a j, i .
Ainsi, la i-ème ligne de AT est la i-ème colonne de A.Ou encore, la j-ème colonne de AT est la j-ème ligne de A.
Remarque : on rencontre aussi la notation At .Exemple de code python implémentant la fonction donnant la transposée d'une matrice donnée en entrée sous forme de liste de liste : 1234567891011
def transpose(M): T=[] for j in range(len(M[0])): T.append([]) for i in range(len(M)): T[j].append(M[i][j]) return T
A=[[1,2,3],[4,5,6]]
print(transpose(A))
12345678910
def Transpose(M): n=len(M) p=len(M[0]) T=[[M[j][i] for j in range(n)]for i in range(p)] return T
A=[[1,2,3], [4,5,6]]
print(Transpose(A))
En utilisant la bibliothèque numpy ou sympy:
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import numpy as np
A=np.array([[1,2,3], [4,5,6]])
print(np.transpose(A))
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from sympy import *
A=Matrix([[1,2,3], [4,5,6]])
pprint(A.transpose())
Application réciproque de l'application transposée
L'application transposée est une involution (i.e. elle est sa propre réciproque) : ∀A∈Mn , p (K ) , (AT)T=A
Mn , p (K ) → M p,n (K ) → Mn, p (K )
A →⋅T
AT →
⋅T
A
Définition des matrices carrées symétriques et antisymétriques
Soit une matrice carrée A∈Mn (K ) .
A est symétrique si et seulement si AT=Ai.e. A=(ai , j )1⩽i⩽n
1⩽ j⩽n
est symétrique si et seulement si ∀ (i ; j )∈⟦1 ;n⟧2 , 1⩽i< j⩽n⇒ ai, j=a j, i
A est antisymétrique si et seulement AT=−A
i.e. A=(ai , j )1⩽i⩽n1⩽ j⩽n
est antisymétrique si et seulement si ∀ (i ; j )∈⟦1 ;n⟧2 , {1⩽i< j⩽n⇒ai , j=−a j ,i
a i, i=0
Exemple : la matrice (1 2 32 4 53 5 6) …
La matrice (1 2 3−2 4 5−3 −5 6) La matrice (
0 1 2−1 0 3−2 −3 0) ...
La matrice d'une symétrie dans une base n'est pas nécessairement symétrique.
Exemple : Soit B=(e1 ; e2) une base de E et f ∈L (E ) tel que MatB ( f )=(5 −46 −5)…
Exemples de code Python renvoyant un booléen pour tester si une matrice (liste des lignes) est symétrique :12345678910 11121314
def est_symetrique(M): if len(M)!=len(M[0]): return False n=len(M) for i in range(n): for j in range(i+1,n): if M[i][j]!=M[j][i]: return False return True
A=[[1,2,3],[2,4,5],[3,5,6]]print(est_symetrique(A))B=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]print(est_symetrique(B))
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def est_symetrique2(M): return M==[[M[j][i] for j in range(len(M))] for i in range(len(M[0]))]
A=[[1,2,3],[2,4,5],[3,5,6]]print(est_symetrique2(A))B=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]print(est_symetrique2(B))
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Propriété de linéarité l'application transposée
Soient deux matrices A∈Mn, p (K ) et B∈Mn , p (K ) et un scalaire λ∈K .
(λA )T=λAT Homogénéité(A+B )T=AT+BT Additivité
Conclusion : l'application transposée ⋅T : Mn , p (K) → M p , n (K)
A → AT est une application linéaire.
Démonstration : soit A=(ai , j ) 1⩽i⩽n1⩽ j⩽p
∈Mn , p (K ) alors λA=(λai , j ) 1⩽i⩽n1⩽ j⩽p
∈Mn , p (K )
donc (λA )T=(ci, j )1⩽i⩽p1⩽ j⩽n
avec ∀ (i , j )∈⟦1; p ⟧×⟦1,n⟧ , ci , j=λ a j, i d'où : (λA )T=λAT .
Soit A=(ai , j ) 1⩽i⩽n1⩽ j⩽p
∈Mn , p (K ) et B=(bi , j ) 1⩽i⩽n1⩽ j⩽p
∈Mn, p (K ) alors (A+B )=(ai, j+b i , j) 1⩽i⩽n1⩽ j⩽p
donc (A+B )T=(d i , j )1⩽i⩽p1⩽ j⩽n
avec ∀ (i , j )∈⟦1 ; p ⟧×⟦1 ,n⟧ , d i , j=a j , i+b j , i donc (A+B )T=AT+BT .
Remarque : Soient les applications linéaires f : Mn (K ) → Mn (K )
A → AT−A et
g : Mn (K ) → Mn (K )
A → AT+A
L'ensemble des matrices symétriques est ...
L'ensemble des matrices antisymétriques est …
Transposée du produit de deux matrices
Soient deux matrices A∈Mn, p (K ) et B∈Mp ,q (K ) alors (AB )T=BT AT
« La transposée du produit est le produit commuté des transposées »
Remarque : le produit matriciel n'est en général pas commutatif, en particulier pour pouvoir effectuer le produit AB il est nécessaire que A possède autant de colonnes que B possède de lignes.
AB∈Mn , q (K ) donc (AB )T∈Mq ,n (K )
BT∈Mq, p (K ) et AT∈M p,n (K ) donc BT AT∈Mq , n (K ) .Démonstration : en notant A=(ai , j ) 1⩽i⩽n
1⩽ j⩽p
et B=(bi , j )1⩽i⩽ p1⩽ j⩽q
,
on a AB=(∑k=1
p
ai ,k bk , j)1⩽i⩽n1⩽ j⩽q
donc (AB )T=(ci , j )1⩽i⩽q1⩽ j⩽n
où ∀ (i , j )∈⟦1 ;q ⟧×⟦1,n⟧ , ci , j=∑k=1
p
a j ,kbk , i
par ailleurs AT=(a' i, j )1⩽i⩽p1⩽ j⩽n
où ∀ (i , j )∈⟦1; p ⟧×⟦1,n⟧ , a' i, j=a j , i
BT=(b' i , j ) 1⩽i⩽q1⩽ j⩽p
où ∀ (i , j )∈⟦1 ;q ⟧×⟦1 , p⟧ , b' i , j=b j, i
Donc BT AT=(∑
k=1
p
b' i ,k a' k , j)1⩽i⩽q1⩽ j⩽n
=(∑k=1
p
bk , ia j ,k)1⩽i⩽q1⩽ j⩽n
=(ci, j )1⩽i⩽q1⩽ j⩽n
=(AB)T □
Transposée de l'inverse d'une matrice
Soit une matrice inversible A∈GLn (K ) alors (A−1)T=(AT)
−1
« La transposée de l'inverse est l'inverse de la transposée ».
Démonstration : (A A−1 )T=…
Par ailleurs (A A−1 )T=…
Ainsi AT est inversible et …. □
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