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Module 2 Éléments d’algèbre

Exercices et corrigé Version 3

MQT 1001 Mathématiques appliquées

à la gestion

Houda Affes

Table des matières Exercices ........................................................................................................................................................... 1

Section 1 ......................................................................................................................................................... 1 Section 2 ......................................................................................................................................................... 5 Section 3 ....................................................................................................................................................... 13 Section 4 ....................................................................................................................................................... 20

Corrigé des exercices ................................................................................................................................... 26 Section 1 ....................................................................................................................................................... 26 Section 2 ....................................................................................................................................................... 30 Section 3 ....................................................................................................................................................... 41 Section 4 ....................................................................................................................................................... 50

MQT 1001 – Mathématiques appliquées à la gestion

Module 2 – Exercices et corrigé

1

Exercices

Section 1

Déterminez la valeur de l’expression , lorsque les variables prennent les valeurs suivantes :

, et

, et

, et

, et I

, et

La variable , et i. Déterminez la valeur de chacune des expressions suivantes :

La variable indicée Xi est définie par . Déterminez la valeur de :

PV 1+ NI( )

PV = 2 000 N = 2 I = 0,05

PV = 5 000 N = 5 I = 8 %

PV = 10 000 000 N = 12

I = 6 12%

PV = 1 N = 1 I = 100 %

PV = 10 456 N = 7,375 I = 16 34%

P = 3 000 n = 3 i = 0,1

P 1+ ni( )P 1+ i( )n

P n+ i( )P + n 1+ i( )3P +5ni

Xi =i2+ i + 2

X2

X14

X7

X21

X5 432



2

Si et , déterminez la valeur des expressions suivantes :

Quelle valeur faut-il donner à la variable pour que les expressions suivantes égalent 10?

Soit la matrice ; déterminez la valeur des expressions suivantes :

a = 3 b = −4

–a2

–a( )2

b2

–b2

–b( )2

a2 + b2

a + b( )2

a2 – b2

b2 – a2

(b – a)2

x

x – 6

2x3

2x

x2 +1

32x

A =3 −4 5 0−1 5 2 94 −6 8 −7

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

a3,2

a2,3 + a3,4

a1,1 +a2,2a3,3

a2,1 + a1,2a3,1 − a1,3



3

Calculez les sommes suivantes :

Dans cet exercice, la variable représente le nombre de jours du -ième mois de l’année, et ce pour chacun des mois de l’année 2001. Calculez la valeur des expressions suivantes :

5 +

100

Calculez la valeur des expressions suivantes :

6 + 3

3ii=1

5

∑

ii=1

10

∑

i +1( )i=1

10

∑

(4i +1)i=1

5

∑

r 2r=0

4

∑

mi i

mii=1

5

∑

mii=4

5

∑

mii=9

12

∑

mii=1

2

∑ + 4

ii=1

12

∑

1ii=1

4

∑

i2 + i( )i=2

4

∑

pp=1

5

∑



4

Indiquez le nombre de termes que comporte chacune des expressions algébriques suivantes :

Quel est le coefficient de chacun des termes suivants?

Déterminez les facteurs formant les termes suivants :

Dites si les expressions suivantes sont des polynômes.

6x2 y6z−3

2x – 5y

3a4

4b4c6

3y a + b( )x2 + x +1

xy+ 3

yx − 4

8

10abc6

− 23x2

5a5

4y

–w2z–5x1,2

–4xy–3

53a2k

5y(a1 + a2 )

− yx

x2 – 5x

x + 12

2+ 1x

x2 +5x − 4



5

Si la variable représente le pourcentage de taxe que vous devez payer à l’achat d’un article dont le prix marqué est , dites en mots ce que représentent précisément les expressions suivantes :

Si la variable représente le prix d’une chemise, la variable le prix marqué d’un pantalon et le pourcentage de la taxe, déterminez l’expression algébrique représentant chacune des

quantités suivantes :

Le prix avant taxe d’un ensemble comportant trois chemises et deux pantalons.

Le montant de la taxe à payer sur un ensemble de trois chemises et deux pantalons.

Le montant à payer, taxe incluse, pour quatre chemises.

Le montant à payer, taxe incluse, pour deux chemises et un pantalon.

Le montant à payer, taxe incluse, pour une chemise et un pantalon, s’il y a une remise de 10 % sur les chemises et de 20 % sur les pantalons.

Section 2

Exercices sur l’addition et la soustraction des expressions algébriques1

Pour chacun des termes suivants, indiquez s’il est semblable à . S’il ne l’est pas, indiquez pourquoi.

1. Vous trouverez les corrigés des exercices à la fin de la section.

tp

tp

p + tp

p 1+ t( )0,8p

0,8p(1 + t)

c pt

3x2 y

−x2 y

3x2 y

13x2 yz

8x3y

− yx2



6

Dans chacun des cas, donnez l’expression équivalente la plus simple pour représenter chacune des sommes suivantes :

Additionnez les polynômes suivants :

et

et

et

, et

Effectuez les soustractions suivantes :

de soustraire

soustraire de

de soustraire puis

Exercices sur la multiplication des expressions algébriques

Trouvez le produit des facteurs suivants :

et

et

et

, et

Effectuez les opérations suivantes :

7a2b3 + 4a2b3 −5a2b3

2a +5a − b

−11x5y4 + 2x5y4 + x5y4 −5x4 y5

4N + 7 −8N +5− 3N 2

P1 :3x2 −5xy + 7 y2 P2 :− 2x

2 + 3xy − 4y2

P3 : a4 −5a2 + 4 P4 : 2a

3 + 3a2 − 4a

P5 :0,4m+1,2n− 2,3p P6 :3,2n− 4,7 p − 0,4m

P7 :12A1 +

13A2 P8 :

14A3 +

23A1 P9 :

34A3 +

53A2

7ab 9ab

5xy4 6xy4 − 4x4 y

8a1a2 + 9a2a3 −10a1a3( )− 12a1a2 − 2a1a3 − 3a2a3( )a4 − b4 3a4 + 2a2 b2 − 2b4

3a2b3 5a3b4c2

−2xy 5xz−3

3x4y

−5x2

7 y

−3cd 8dk 2 −3c3k 4

2a + c( ) b+ 3d( )−0,5xy 4x2 y + 6y−1 −10( )N +1( ) 4− N 2( )a +1( ) b+1( )



7


Exercices sur la division des expressions algébriques

Effectuez les divisions suivantes :



2x + 3y( ) 4x2 − 6xy + 9y2( )a1999 2 + b0,5( ) a501 32 − b2,5( )

3x ÷ 2y5

−2a3b

÷ 5c7d

− 4N3

5÷ −7 p4( )

x ÷ 0

−7a4b3 ÷ a3b

5x5

2y 2÷ x

3

6

−12xy

÷ − 6yx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5x2 − 3xx

4a5b− 6a7c−2a3

9a2b− 6ab2 + 3ab( )÷ 3ab−4ab2 +14a4c

−2a2c2



8

Exercices sur la factorisation par la mise en évidence simple

Dans chacune des expressions suivantes, déterminez le facteur commun à tous les termes.

Décomposez en facteurs les polynômes suivants :

Factorisez, si possible, les polynômes de l’exercice 26.

Mettez la parenthèse en évidence, lorsque c’est possible.

Exercices sur la factorisation par la double mise en évidence

Factorisez les polynômes suivants :

Factorisez les polynômes suivants lorsque c’est possible.

10a2bc + 25ab3c – 20abc4

32xyz – 36xz + 48yz – 56xy

–70x14 y12 – 28x13y15 – 45x18y17

15N +12M + 20P2

3ab+12bc + 9bd + 6b2

6x4 –12x3 +18x2

–13b4w7 – 39b3w6 – 26b5w4

72k – 54k 2 + 63k 3 –108

a x + y( ) – b x + y( )+ 3 x + y( )2x a – b( )+ 3y a – b( ) – a – b( )2M a + b – c( )+5N 2 a – c + b( )8v5 3u – 2v( )+ 7u5 3v – 2u( )

ax + 2x + 3a + 6

ab− 2x2 − ax + 2bx

8a3 + 4a2b+ 6ab2 + 3b3

a2b− 2ab− a + 2

ab+ ac − b2 − bc

N 2 + 3Nq + 2Np + 6

10x2 −14x −15xy − 21y

bx + x − b−1



9

Exercices sur la factorisation des différences de carrés

Factorisez les polynômes suivants :

Pourquoi ne peut-on pas factoriser les polynômes suivants par la méthode des différences de carrés?

Exercices sur la factorisation des trinômes de la forme x2 + pxy + qy2

Factorisez les polynômes suivants.

Décomposez en facteurs les polynômes suivants.

Pourquoi chacun des polynômes suivants n’est-il pas de la forme x2 + pxy + qy2?

X ² – 25Y ²

144a2b2 – 49c2d 2

81x6 –169y12

–25+ 36N ²

25a² –16bÚ

x4 – y9

–64 –121b²

25x² –16x²

x2 + 9x + 20

y2 −10y + 21

a2 + 4a − 21

b2 − 3b−18

N 2 −15NM +56M 2

r 2 +5rs− 66s2

2a2 + 3ab+ b2

v2 + tv − 72t2

2x2 +5xy +12y2

x2 + 7x +12y2

w2 – 7wz –18y2

R2 +8Rhk +12k 2



10

Factorisez, si possible, les polynômes suivants.

Exercices sur la factorisation des trinômes carrés parfaits

Déterminez de quel binôme chacun des trinômes suivants est le carré.

Déterminez le coefficient manquant pour que les trinômes suivants soient des carrés parfaits.

Décomposez en facteurs, quand c’est possible.

Exercices sur la factorisation multiple

Factoriser :

a2x4 − 7ax2b− 60b2

x2 + 2xy + 2y2

c2 +12cd + 36d 2

s2 000 + s1000 − 240

16x2 + 24xy + 9y2

49m2 −14m+1

100a6 +180a3b5 +81b10

r 2 + s2 − 2rs

4x2 − ?xy + 9y2

121a4 − ?a2 + 225

?M 2 + 42MP + 49P2

196c2 −140cd + ?d 2

16v2 +88vw+121w2

25y2 − 30yz + 36z2

a2 +13ab+ 36b2

x2 + x + 14

ax2 + 3ax + 2a

kac + kad + kbc + kbd

Na2 − Nb2

a4 − b4



11

Factorisez les polynômes suivants. Trouvez tous les facteurs.

Simplifiez les expressions suivantes :


Effectuez les additions suivantes :

50a2 − 60ab+18b2

ac2 − ad 2 − 2c2 + 2d 2

2x2 y2 + 22xy2 +56y2

x4 −16y4

x2 +5xy + 6y2

x2 + 3xy

4x2 + 2xy + 6x + 3y4x2 + 4xy + y2

4x2 − 25y2

4x2 −10xy

x3y − xy3

x3y − x2 y2 − 2xy3

x2 + xyy2 + xy

× xy − yx2 − 2x

6ac +8a + 9bc +12b20a +12b

× 60a + 36b9c +12

4a2 − 9b2

2a −5b÷ 2a + 3b15b− 6a

x2 + x +1( )÷ 1x2 +5

2x2

w+ yw

2x− 3y

1x2 − y2

+ 2x + y

1+ 12x −5



12

Exercices de révision sur la section 2

Faites les additions et les soustractions suivantes :

Faites les multiplications et les divisions suivantes :


Effectuez les opérations suivantes et factorisez, s’il y a lieu.

2a − 4b( )− 3b+ a( )− b− 2a( )1a+ bc

4x2 −5x +5+ 2x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 2x+ 4+8x + 2x2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a2 − 4a1( )+ 3a1 −5a2 + 2a3( )

5b1 − 3b2( )2

4a2 − b2

2a + b× 7ab14a − 7b

49x2 − 42xy + 9y2( )× 7x + 3y7x − 3y

3x2

y÷ 6x

12

y5

5 a + b( )+ c a + b( )2a + ac + 2b+ bc

÷ 5+ c2+ c

2a b+ c( )+ b a + 2c( )− c a − 2b( )

n+ nn+1

+ 1n+1

3ax +5+ a2x2 + 3ax + 2ax + 2

5x2 + 2x + 3( )− 2 2x2 + x + 6( )−3x1 x2 − x1( )+ x2 + x1( ) x2 + 2x1( )k 2 + kk +1

+ 4k2 − 2k2k −1

+ 4k2 +16k4k

2a − 3x( )320a2 − 60ax + 45x2



13

Simplifiez la fraction suivante :

Section 3

Exercices sur les exposants

Déterminez la valeur des expressions suivantes :

Pour chacune des expressions suivantes, déterminez une expression équivalente ne contenant que des exposants entiers et positifs.

Quand l’exposant est une fraction dont le dénominateur est pair et que la base est négative, la puissance n’est pas définie. Expliquez pourquoi.

18a2x3 − 9a2x2 −8a2x + 4a2

12ax3 +8ax2 − 3ax − 2a

53

24

4−3

π 0

1612

3−2

49

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−32

b−2

a−3

ab−1( )23

xy−1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−n

a−w2

g1000( )0



14

Exercices sur les propriétés des exposants

Note.– À moins d’avis contraire, donnez la réponse avec des exposants entiers et positifs.


Effectuez les opérations et simplifiez.

Donnez les réponses à ces opérations sans dénominateur ni radical (utilisez les exposants négatifs ou fractionnaires).

4ab0c−1( ) 5a3b−2c−3( )

432 a

14

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟27

13a

12

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

3×10−5( ) 2×10−6( )a2

3

a2( )3

a−2b4

a3b−1c

3−m

3−2m⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−2

3ab−2

5c32

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2

3x2( )−3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

23

a 28a

ab2(a + b)3

a2b a + b( )4

23

a−3

2C 1+ x100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

54

4C 1+ x100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

78



15

Quelle est la valeur de x dans chacun des cas suivants?

Exercices sur les logarithmes

Déterminez la valeur des logarithmes suivants :

Quelle est la valeur des expressions suivantes :

Parmi les énoncés suivants, certains sont incorrects. Indiquez lesquels et dites pourquoi.

Si , alors

Si et sont positifs,

Dans chacun des cas, déterminez la ou les valeurs de la variable qui rendent l’énoncé vrai.

3x = 243

5x = 1125

7x = 7

10x = 0,001

log21024

log2 0,25

log21

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

log12

32

log 1000

log 0,01

log 0,00001

log823

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

log −2( ) −2( ) = 1log 0 = 0

x = 1 logπ x = 0

a b logb −a( ) = log −b( ) a

log81128

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= e

logb81= −4

log N = 0,5

logx x = 1



16

Calculez la valeur des expressions suivantes :

Exercices sur les propriétés des logarithmes

Utilisez les propriétés des logarithmes pour calculer la valeur des expressions suivantes :

Appliquez les propriétés des logarithmes.

Exprimez chacun des logarithmes suivants dans la nouvelle base indiquée. Simplifiez si possible.

, en base 10

, en base

, en base 2

, en base

log2 8+ log2 8

log2 8+8( )log1999 1999

5

ln e7

log5 625×125× 25( )

log749

7

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

log 100022

log 2+ log 50

logcabd

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

logka7

b1,5⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

logabc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ln v34

b+ c

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

log1001000

logc a b

log2x y

logb a a



17

Écrivez sous la forme d’un seul logarithme.

Si , calculez la valeur des expressions suivantes :

Si et , déterminez l’expression contenant et équivalente à :

Déterminez la valeur numérique de l’expression suivante :

Exercices sur les logarithmes et la calculatrice

À l’aide d’une calculatrice, déterminez, à 5 décimales près, les logarithmes suivants :

log 34+ log 5

log7 64− log7 32+ log7 5

4logb x +12logb y

log514log5 3

logb a = 5

logb ab

logb a5

logb1a

loga b

log x = a log y = b a b

log xy3

logx3

y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

logx y

log x log y

logx2 −1

x2 + 2x +1+ log x −1

x +1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

log 150

log 0,0045

log 1999

ln 10



18

Effectuez un changement de base puis, à l’aide de la calculatrice, déterminez les logarithmes suivants :

Déterminez la valeur de .

Exercices sur les logarithmes et les équations exponentielles

Trouvez les deux entiers consécutifs entre lesquels se situe la valeur de la variable pour que les équations suivantes soient vérifiées. À l’aide des logarithmes, calculez ensuite une valeur précise à 5 décimales.

Transformez les équations suivantes de manière à pouvoir utiliser la définition des logarithmes pour les résoudre. Résolvez en donnant 5 décimales après la virgule.

log2 70

log0,25 4 500

log4500 0,25

log716 807

x

log x = 6

log x = −4,30103

log x = 0,47712

log x2 = 4,56789

x

3x = 45

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= 1100

5x = 0,01

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= 2

23x −1= 66

10 123( )x = 4 560

5000 = 8 000 1,11( )x

2 0,0456( )x + 2 = 8



19

À partir de la formule , déterminez le temps nécessaire pour qu’un montant de 5 000 $ placé à 8 % atteigne une valeur finale de 8 000 $.

À partir de la formule , déterminez le temps nécessaire pour qu’un montant de

4 000 $ placé à 9 % atteigne une valeur finale de 8 000 $ si la capitalisation s’effectue 6 fois par année.

Exercices de révision de la section 3

Simplifiez les expressions suivantes :

Sans calculatrice, trouvez la valeur des expressions suivantes :

Calculez la valeur des logarithmes suivants sans utiliser une calculatrice.

FV = PV 1+ i( )n

FV = PV 1+ im

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

mN

a 3b−4( )−2

a52 (b5)3

x3 x − y( )−0,5 y−7x−1 x − y( )3,5 y−8

cd 2

c−1d −2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

4

×cd 2( )4c−1d( )−2

ax( )yb−1( )x

÷ay( )x

b1x

22( )3

223

1632

8125

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−43

log5 1254

log381−3

log0,00001−7,2

log 16+ log 625



20

Écrivez sous la forme d’un seul logarithme.

Déterminez la valeur de la variable dans chacun des cas.

À partir de la formule , déterminez le temps nécessaire pour qu’un montant

de 15 000 $ placé à 7,5 % atteigne une valeur finale de 25 000 $.

À partir de la formule , déterminez le temps nécessaire pour qu’un

montant de 45 000 $ placé à 6 % atteigne une valeur finale de 64 000 $ si la capitalisation s’effectue à tous les mois.

Section 4

Exercices sur les matrices particulières

Soit la matrice . Déterminez :

La dimension de .

log a − log b− log c

2log 4+ 3log 3

log 131log15

2+ log 5

logb 32 = −2,5

x = log2331233

log9 x = −1,5

4 54( )2x−1 = 240

FV = PV 1+ i( )n

FV = PV 1+ im

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

mN

M =−1 4 0.5 70 10 3 3−1 4 2 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

M

m3,2

å=

4

1,3

jjm

MT



21

Dites si les énoncés suivants sont vrais ou faux.

Toute matrice identité est une matrice diagonale.

Toute matrice diagonale est triangulaire.

Toute matrice 0 est diagonale.

a toujours la même dimension que AT.

Soit et . Déterminez x, y et z pour que :

soit triangulaire

soit triangulaire

soit symétrique

Donnez, si possible, un exemple :

d’une matrice colonne qui n’est pas une matrice 0.

d’une matrice identité d’ordre 2 et de son opposée.

d’une matrice triangulaire inférieure d’ordre 3 dont la grande diagonale ne comporte que des 0.

d’une matrice diagonale non triangulaire.

Exercices sur les opérations sur les matrices

Soit et . Déterminez la matrice égale à chacune des expressions suivantes.

Si est une matrice de dimension 2 ´ 4 et une matrice de dimension 4 ´ 2, lesquelles des expressions suivantes sont définies?

−A

B = 1 −3x 4

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟C = 1 y

3 z

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

B = C

B

C

C

A =2 −13 121,3 −2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

B =−2 43 −34 3,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A+ B

A− B

–A+ B

0+ B

A B

A+ B

A+ BT

AT + B

AT + BT



22

Soit les matrices et . Déterminez la matrice .

Déterminez les valeurs des variables pour que les énoncés suivants soient vrais.

Exercices sur les matrices équivalentes

Chacune des matrices suivantes est équivalente à . Dans chaque cas, indiquez

l’opération qui a été exécutée sur et qui justifie l’équivalence.

M = 2 −13 0

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟F = 1 0

−2 3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟X

X = 2M + 3F

X = −4M + 7F

X = 5M − 3I2 +12F

X = 4F + 2MT

56

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ x

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 3

y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x 3 5( )+ 2 4 y 5( ) = 11 7 z( )3 x 2 5

4 −1 y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − 2

3 x + z 3y − w 0 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

9 10 u8 −v 4

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−31 2 34 5 67 8 9

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟−

a b cd e fg h i

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= −5I3

T

M =1 2 36 5 4−1 2 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

M

1 2 36 5 42 −4 −10

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 37 7 7−1 2 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−1 2 56 5 41 2 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 2 30 −7 −14−1 2 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟



23

Montrez que les matrices et sont équivalentes.

Montrez qu’il n’existe pas de matrice équivalente à dont les éléments et

égalent 1.

Déterminez des matrices échelonnées-lignes équivalentes à chacune des matrices suivantes :

Transformez les matrices suivantes sous forme de matrices équivalentes .

A = 2 4 −26 7 9

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟B = 1 0 5

0 1 −3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

EL 4 6 126 9 18

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟a11 a22

1 1 72 −3 −6

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

3 2 1 07 5 0 1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

1 1 1 61 2 3 10−1 2 1 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

4 2 −2 43 0 3 15−3 1 −2 −11

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

EL

A = 0 2 51 0 3

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

B = 0 3 123 2 11

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

C =2 −1 2

−1 14

−8

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

D =2 −6−5 157 −21

000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟



24


Soit la matrice . Déterminez la valeur de :

Quelle variable représente les éléments :

5

0

En utilisant la matrice de l’exercice précédent, dites ce que représente chacune des sommes suivantes. (Ne pas donner la valeur de la somme, mais dire de quelle somme il s’agit.)

Donnez un exemple :

d’une matrice 0 qui n’est pas une matrice carrée.

d’une matrice carrée qui n’est pas une matrice triangulaire.

d’une matrice triangulaire qui n’est pas une matrice diagonale.

d’une matrice diagonale qui n’est pas une matrice identité.

Soit les matrices et . Déterminez :

A =

2 4 5 12 −1 3 4−2 0 3 1−1 3 2 4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

a12

a43

A

ai3i=1

4

∑

a4 jj=1

4

∑

ap ,pp=1

4

∑

ai, jj=1

4

∑i=1

4

∑

A =1 34 62 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

B =−1 3−2 5−3 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

B – A

3A– 2B

AT – BT

A– B( )T



25

Déterminez la matrice .

Soit les matrices et . Déterminez x et y pour que :

, mais

X

−3 21 −1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ X = −2 0

1 4⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ 2 1

−2 −1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

A = 1 52 3

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟B = 1 5

x y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

A = B

A ≠ B A ∼ B



26

Corrigé des exercices

Section 1

PV (1+ NI ) = 2 000 (1+ 2× 0,05) = 2 000 (1+ 0,1) = 2 000 (1,1) = 2 200

PV (1+ NI ) = 5000 (1+5× 0,08) = 5000 (1+ 0,4) = 5000 (1,4) = 7 000

PV (1+ NI ) = 10 000 000 (1+ 12× 0,065) = 10 000 000 (1+ 0,0325) = 10 000 000 (1,0325) = 10 325000

PV (1+ NI ) = 1(1+1×1) = 1(1+1) = 1(2) = 2

PV (1+ NI ) = 10 456 (1+ 7,375× 0,1675) = 10 456 (1+1,2353125) = 10 456 (2,2353125) = 23372,4275

P(1+ ni) = 3000 (1+ 3× 0,1) = 3000 (1+ 0,3) = 3000 (1,3) = 3900

P(1+ i)n = 3000 (1+ 0,1)3 = 3000 (1,1)3 = 3000 (1,331) = 3993

P(n+ i) = 3000 (3+ 0,1) = 3000 (3,1) = 9 300

P + n(1+ i) = 3000+ 3(1+ 0,1) = 3000+ 3(1,1) = 3000+ 3,3= 3003,3

3P +5ni = 3× 3000+5× 3× 0,1= 9 000 +1,5= 9 001,5

X2 =22+ 2+ 2 = 1+ 4 = 1+ 2 = 3

X14 =142+ 14+ 2 = 7 + 16 = 7 + 4 = 11

X7 =72+ 7 + 2 = 3,5+ 9 = 3,5+ 3= 6,5

X21 =212+ 21+ 2 = 10,5+ 23 ≅ 10,5+ 4,796 ≅ 15,296

X5 432 =5 4322

+ 5 432+ 2 = 2 716+ 5 434 ≅ 2 716+ 73,716 ≅ 2 789,716



27

Par essais et erreurs, on obtient les résultats suivants :

16

15

50

3

−a2 = −32 = −9

−a( )2 = −3( )2 = 9

b2 = −4( )2 = 16

−b2 = − −4( )2 = −16

−b( )2 = − −4( )( )2 = 4( )2 = 16

a2 + b2 = 32 + −4( )2 = 9+16 = 25

a + b( )2 = 3+ −4( )( )2 = 3− 4( )2 = −1( )2 = 1

a2 − b2 = 32 − −4( )2 = 9−16 = −7

b2 − a2 = −4( )2 − 32 = 16− 9 = 7

b− a( )2 = −4( )− 3( )2 = −4− 3( )2 = −7( )2 = 49

1032

= 516

= 0,3125

a3,2 = −6

a2,3 + a3,4 = 2+ −7( ) = −5

a1,1 +a2,2a3,3

= 3+ 58= 3+ 0,625= 3,625

a2,1 + a1,2a3,1 − a1,3

=−1( )+ −4( )4−5

= −5−1

= 5



28

3ii=1

5

∑ = 3 1( )+ 3 2( )+ 3 3( )+ 3 4( )+ 3 5( ) = 3+ 6+ 9+12+15= 45

ii=1

10

∑

i +1( )i=1

10

∑= 1+ 2+ 3+ 4+5+ 6+ 7 +8+ 9+101+1( )+ 2+1( )+ 3+1( )+ 4+1( )+ 5+1( )+ 6+1( )+ 7 +1( )+ 8+1( )+ 9+1( )+ 10+1( )

= 1+ 2+ 3+ 4+5+ 6+ 7 +8+ 9+102+ 3+ 4+5+ 6+ 7 +8+ 9+10+11

= 5565

= 1113

≅ 0,846

(4i +1)i=1

5

∑ = (4(1)+1)+ (4(2)+1)+ (4(3)+1)+ (4(4)+1)+ (4(5)+1) = 65

r 2r=0

4

∑ = 02 +12 + 22 + 32 + 42 = 0+1+ 4+ 9+16 = 30

mii=1

5

∑ = m1 +m2 +m3 +m4 +m5 = 31+ 28+ 31+ 30+ 31= 151

5+ mii=4

5

∑ = 5+m4 +m5 = 5+ 30+ 31= 66

100 mii=9

12

∑ = 100 m9 +m10 +m11 +m12( ) = 100 30+ 31+ 30+ 31( ) = 100 122( ) = 12 200

mii=1

2

∑ + 4 = m1 +m2 + 4 = 31+ 28+ 4 = 63

ii=1

12

∑ = 1+ 2+ 3+ 4+5+ 6+ 7 +8+ 9+10+11+12 = 78

1ii=1

4

∑ = 11+ 12+ 13+ 14= 12+ 6+ 4+ 3

12= 2512

≅ 2,083

i2 + i( )i=2

4

∑ = 22 + 2( )+ 32 + 3( )+ 42 + 4( ) = 4+ 2( )+ 9+ 3( )+ 16+ 4( ) = 6+12+ 20 = 38

6+ 3 pp=1

5

∑ = 6+ 3 1+ 2+ 3+ 4+5( ) = 6+ 3 15( ) = 6+ 45= 51



29

1

2

1

1, même si le troisième facteur de la multiplication est lui-même un binôme.

3

2

1, même si le dénominateur de la division est lui-même un binôme.

1, même s’il n’y a pas de variable.

10

– 1

– 4, , (ou 3 fois le facteur ou 3 fois le facteur )

, (ou 2 fois le facteur ),

5, ,

– 1, ,

oui

oui

non

non

Le montant de la taxe.

Le montant total à payer (taxe incluse).

Le montant total à payer (taxe incluse).

Le prix de l’article avant taxe si on bénéficie d’une remise de 20 %.

Le prix à payer (taxe incluse) si on bénéficie d’une remise de 20 %.

− 23

54

x y−3 y −11y

53

a2 a k

y a1 + a2( )

y 1x



30

(

Section 2

Exercices sur l’addition et la soustraction des expressions algébriques

Semblable.

Non semblable, car n’a pas le même exposant. Le 2 est un indice et non pas un exposant.

Non, car il y a une variable de plus ( ).

Non, car n’a pas le même exposant.

Oui, même si les facteurs ne sont pas dans le même ordre.

3c + 2p

3c + 2p( )t4c 1+ t( )2c + p( ) 1+ t( )0,9c + 0,8p) 1 + t( )

x

z

x

6a2b3

2a +5a( )− b = 7a − b−11x5y4 + 2x5y4 + x5y4( )+ −5x4 y5( ) = −8x5y4 −5x4 y5

−3N 2 + 4N −8N( )+ 7 +5( ) = −3N 2 − 4N +12

3x2 −5xy + 7 y2( )+ −2x2 + 3xy − 4y2( ) = 3x2 − 2x2( )+ −5xy + 3xy( )+ 7 y2 − 4y2( ) = x2 − 2xy + 3y2

a4 −5a2 + 4( )+ 2a3 + 3a2 − 4a( ) = a4 + 2a3 + −5a2 + 3a2( )− 4a + 4 = a4 + 2a3 − 2a2 − 4a + 40,4m+1,2n− 2,3p( )+ 3,2n− 4,7 p − 0,4m( ) = 0,4m− 0,4m( )+ 1,2n+ 3,2n( )+ −2,3p − 4,7 p( ) = 4,4n− 7 p12A1 +

13A2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 14A3 +

23A1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 34A3 +

53A2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 12A1 +

23A1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 13A2 +

53A2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ 14A3 +

34A3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 76A1 + 2A2 + A3



31

Exercices sur la multiplication des expressions algébriques

7ab− 9ab = −2ab

6xy4 − 4x4 y( )−5xy4 = 6xy4 −5xy4( )− 4x4 y = xy4 − 4x4 y8a1a2 + 9a2a3 −10a1a3( )− 12a1a2 − 2a1a3 − 3a2a3( )= 8a1a2 + 9a2a3 −10a1a3( )+ −12a1a2 + 2a1a3 + 3a2a3( )= 8a1a2 −12a1a2( )+ +9a2a3 + 3a2a3( )+ −10a1a3 + 2a1a3( )= −4a1a2 +12a2a3 −8a1a3

a4 − b4( )− 3a4 + 2a2( ) = a4 − b4( )+ −3a4 − 2a2( ) = a4 − 3a4( )− 2a2 − b4 = −2a4 − 2a2 − b4;

−2a4 − 2a2 − b4( )− b2 − 2b4( ) = −2a4 − 2a2 − b4( )+ −b2 + 2b4( )= −2a4 − 2a2 + −b4 + 2b4( )− b2

= −2a4 − 2a2 + b4 − b2

3a2b3( ) 5a3b4c2( ) = 3×5( )a2+3b3+4c2 = 15a5b7c2

−2xy( ) 5xz−3( ) = −2×5( )x1+1yz−3 = −10x2 yz−3 ou −10x2 yz3

3x4y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−5x2

7 y⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=3x( ) −5x2( )4y( ) 7 y( ) =

3× −5( )x1+24× 7( ) y1+1 = −15x3

28y2

−3cd( ) 8dk 2( ) −3c3k 4( ) = −3( )×8× −3( )⎡⎣ ⎤⎦c1+3d1+1k 2+4 = 72c4d 2k 6

2a + c( ) b+ 3d( ) = 2a × b( )+ 2a × 3d( )+ c × b( )+ c × 3d( ) = 2ab+ 6ad + bc + 3cd−0,5xy 4x2 y + 6y−1 −10( ) = −0,5xy( ) 4x2 y( )+ −0,5xy( ) 6y−1( )+ −0,5xy( ) −10( )= −2x3y2 − 3xy0 +5xy = −2x3y2 − 3x +5xy

N +1( ) 4− N 2( ) = N × 4+ N × −N 2( )+1× 4+1× −N 2( ) = 4N − N 3 + 4− N 2 = −N 3 − N 2 + 4N + 4

a +1( ) b+1( ) = a × b+ a ×1+1× b+1×1= ab+ a + b+1



32

Exercices sur la division des expressions algébriques

Solution impossible (division par 0)

2x + 3y( ) 4x2 − 6xy + 9y2( )= 2x × 4x2 + 2x × −6xy( )+ 2x × 9y2 + 3y × 4x2 + 3y × −6xy( )+ 3y × 9y2= 8x3 −12x2 y +18xy2 +12x2 y −18xy2 + 27 y3

= 8x3 + 27 y3

a1999 2 + b0,5( ) a501 32 − b2,5( )= a1999 2 × a501 32 + a1999 2 × −b2,5( )+ b0,5 × a501 32 + b0,5 × −b2,5( )= a1999+501 2× 32 − a1999 2b2,5 + a501 32b0,5 − b0,5+2,5

= a2 500 64 − a1999 2b2,5 + a501 32b0,5 − b3

= 8a2 500 − a1999b2,5 2 + a501b0,5 32 − b3

3x ÷ 2y5

= 3x × 52y

= 15x2y

−2a3b

÷ 5c7d

= −2a3b

× 7d5c

= −14ad15bc

− 4N3

5÷ −7 p4( ) = −4N 3

5× 1−7 p4

= −4N 3

−35p4= 4N

3

35p4

−7a4b3 ÷ a3b = −7a4b3 × 1a3b

= −7a4b3

a3b= −7a4−3b3−1 = −7ab2

5x5

2y 2÷ x

3

6= 5x

5

2y 2× 6x3

= 30x5

2x3y 2= 15x

2

y 2

−12xy

÷ − 6yx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −12x

y× − x

6y⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 12x

2

6y2= 2x

2

y2



33

Exercices sur la factorisation par la mise en évidence simple

. Réponse :

. Réponse : 4

. Réponse :

. Réponse : 1

5x2 − 3xx

= 5x2

x− 3xx= 5x − 3

4a5b− 6a7c−2a3

= 4a5b

−2a3+ −6a7c

−2a3= −2a2b+ 3a4c

9a2b− 6ab2 + 3ab( )÷ 3ab = 9a2b

3ab+ −6ab2

3ab+ 3ab3ab

= 3a − 2b+1

−4ab2 +14a4c−2a2c2

= −4ab2

−2a2c2+ 14a

4c−2a2c2

= 2b2a−1c−2 − 7a2c−1 ou 2b2

ac2− 7a

2

c

10a2bc + 25ab3c – 20abc4 = 5abc 2a +5b2 – 4c3( ) 5abc

32xyz – 36xz + 48yz – 56xy = 4 8xyz – 9xz +12yz –14xy( )–70x14 y12 – 28x13y15 – 45x18y17 = –x13y12(70x + 28y3 + 45x5y5) –x13y12 ou x13y12( )15N +12M + 20P2 = 1(15N +12M + 20P2 )

3ab+12bc + 9bd + 6b2 = 3b 3ab3b

+ 12bc3b

+ 9bd3b

+ 6b2

3b⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 3b a + 4c + 3d + 2b( )

6x4 −12x3 +18x2 = 6x2 6x4

6x2− 12x

3

6x2+ 18x

2

6x2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 6x2 x2 − 2x + 3( )

( )2234343

45

43

63

43

7443456374 2313

1326

1339

131313263913 bwbwwb

wbwb

wbwb

wbwbwbwbwbwb ++-=÷

÷ø

öççè

æ

--

--

-

--=---

72k −54k 2 + 63k 3 −108 = 9 72k9

− 54k2

9+ 63k

3

9− 1089

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 9 8k − 6k 2 + 7k 3 −12( )



34

Indécomposable.

Il n’y a pas de facteur commun.

Exercices sur la factorisation par la double mise en évidence

10a2bc + 25ab3c − 20abc4 = 5abc 10a2bc

5abc+ 25ab

3c5abc

− 20abc4

5abc⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 5abc 2a +5b2 − 4c3( )

32xyz − 36xz + 48yz −56xy = 4 32xyz4

− 36xz4

+ 48yz4

− 56xy4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 4 8xyz − 9xz +12yz −14xy( )

−70x14 y12 − 28x13y15 − 45x18y17

= −x13y12 −70x14 y12

−x13y12− 28x

13y15

−x13y12− 45x

18y17

−x13y12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= −x13y12 70x + 28y3 + 45x5y5( )

a x + y( )− b x + y( )+ 3 x + y( ) = x + y( ) a x + y( )x + y( ) −

b x + y( )x + y( ) +

3 x + y( )x + y( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = x + y( ) a − b+ 3( )

2x a − b( )+ 3y a − b( )− a − b( ) = a − b( ) 2x a − b( )a − b( ) +

3y a − b( )a − b( ) −

a − b( )a − b( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = a − b( ) 2x + 3y −1( )

2M a + b− c( )+5N 2 a − c + b( ) = a + b− c( ) 2M a + b− c( )a + b− c( ) +

5N 2 a − c + b( )a + b− c( )

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = a + b− c( ) 2M +5N 2( )

ax + 2x + 3a + 6 = x a + 2( )+ 3 a + 2( ) = a + 2( ) x a + 2( )a + 2( ) +

3 a + 2( )a + 2( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= a + 2( ) x + 3( )

ab− 2x2 − ax + 2bx = ab− ax + 2bx − 2x2 = a b− x( )+ 2x b− x( )

= b− x( ) a b− x( )b− x( ) +

2x b− x( )b− x( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= b− x( ) a + 2x( )

8a3 + 4a2b+ 6ab2 + 3b3 = 4a2 2a + b( )+ 3b2 2a + b( )

= 2a + b( ) 4a2 2a + b( )2a + b( ) +

3b2 2a + b( )2a + b( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= 2a + b( ) 4a2 + 3b2( )

a2b− 2ab− a + 2 = ab a − 2( )−1 a − 2( ) = a − 2( ) ab a − 2( )a − 2( ) −

1 a − 2( )a − 2( )

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥= a − 2( ) ab−1( )



35

. Ce polynôme ne se décompose pas, car les

expressions à l’intérieur des parenthèses ne sont pas identiques.

. Ce polynôme ne se décompose pas, car les

expressions à l’intérieur des parenthèses ne sont pas identiques.

Exercices sur la factorisation des différences de carrés

Ce n’est pas une différence de carrés, mais une somme de carrés.

L’exposant de ne se divise pas par 2; n’est donc pas un carré.

Le premier terme n’est pas positif; il n’est pas un carré.

. Ce sont des termes semblables, il faut donc faire la soustraction.

Exercices sur la factorisation des trinômes de la forme x2 + pxy + qy2

ab+ ac − b2 − bc = a b+ c( )− b b+ c( ) = b+ c( ) a − b( )N 2 + 3Nq + 2Np + 6 = N N + 3q( )+ 2 Np + 3( )

10x2 −14x −15xy − 21y = 2x 5x − 7( )− 3y 5x + 7( )

bx + x − b−1= x b+1( )−1 b+1( ) = b+1( ) x −1( )

X 2 − 25Y 2 = X −5Y( ) X +5Y( )144a2b2 − 49c2d 2 = 12ab− 7cd( ) 12ab+ 7cd( )81x6 −169y12 = 9x3 −13y6( ) 9x3 +13y6( )−25+ 36N 2 = 36N 2 − 25= 6N +5( ) 6N −5( )

y y9

25x2 – 9x2 = 16x2

4×5= 20, 4+5= 9 donc x2 + 9x + 20 = x + 4( ) x +5( )−7( )× −3( ) = 21, −7( )+ −3( ) = −10 donc y2 −10y + 21= y − 7( ) y − 3( )7 × −3( ) = −21, 7 + −3( ) = 4 donc a2 + 4a − 21= a + 7( ) a − 3( )−6( )× 3= −18, −6( )+ 3= −3donc b2 − 3b−18 = b− 6( ) b+ 3( )



36

;

Le coefficient du premier terme est 2; il doit être 1.

Le deuxième terme ne contient pas la variable .

Le deuxième terme contient la variable que l’on ne retrouve pas ailleurs et il ne contient pas la variable .

Le deuxième terme contient la variable que l’on ne retrouve pas ailleurs.

Non décomposable; on ne peut trouver deux nombres entiers dont le produit et la somme sont 2.

Exercices sur la factorisation des trinômes carrés parfaits

; donc,

; donc,

;

donc,

; donc,

−7( )× −8( ) = 56, −7( )+ −8( ) = −15donc N 2 −15NM +56M 2 = N − 7M( ) N −8M( )11× −6( ) = −66,11+ −6( ) = 5donc r 2 +5rs− 66s2 = r +11s( ) r − 6s( )2a2 + 3ab+ b2 = b2 + 3ab+ 2a2

1× 2 = 2,1+ 2 = 3donc b2 + 3ab+ 2a2 = b+ 2a( ) b+ a( )−8( )× 9 = −72, −8( )+ 9 = 1donc v2 + tv − 72t2 = v + 9t( ) v −8t( )

y

zy

h

−12( )×5= −60, −12( )+5= −7 donc a2x4 − 7ax2b− 60b2 = ax2 −12b( ) ax2 +5b( )

6× 6 = 36, 6+ 6 = 12 donc c2 +12cd + 36d 2 = c + 6d( ) c + 6d( ) = c + 6d( )2

16× −15( ) = −240,16+ −15( ) = 1et s2 000 = s1000 × s1000; alors s2 000 + s1000 − 240 = s1000 +16( ) s1000 −15( )

16x2 = 4x, 9y2 = 3y et 2( ) 4x( ) 3y( ) = 24xy 16x2 + 24xy + 9y2 est le carré de 4x + 3y( )

49m2 = 7m, 1 = 1et 2( ) 7m( ) −1( ) = −14m 49m2 −14m+1est le carré de 7m−1( )

100a6 = 10a3, 81b10 = 9b5 et 2( ) 10a3( ) 9b5( ) = 180a3b5100a6 +180a3b5 +81b10 est le carré de 10a3 + 9b5( )

r 2 = r, s2 = s et 2( ) r( ) −s( ) = −2rs r 2 − 2rs+ s2 est le carré de r − s( )



37

; donc l’autre terme doit être .

? = 12 (– 12 est aussi acceptable)

; donc l’autre terme doit être .

? = 330 (– 330 est aussi acceptable)

; le terme du milieu

donc et ? = 9

; le terme du milieu

donc et ? = 25

; donc,

; donc indécomposable

; donc ce n’est pas le carré d’un binôme.

Mais,

; donc,

Exercices sur la factorisation multiple

4x2 = 2x, 9y2 = 3y 2( ) 2x( ) 3y( ) = 12xy

121a4 = 11a2 , 225 = 15 2( ) 11a2( ) 15( ) = 330a2

49P2 = 7P 42MP = 2( ) ?M( ) 7P( );? = 3

196c2 = 14c −140cd = 2( ) −14c( ) ?d( );5=?

16v2 = 4v, 121w2 = 11w et 2( ) 4v( ) 11w( ) = 88vw 16v2 +88vw+121w2 = 4v +11w( )2

25y2 = 5y, 36z2 = 6z mais 2( ) 5y( ) −6z( ) = −60yz ≠ −30yz

a2 = a, 36b2 = 6bmais 2( ) a( ) 6b( ) = 12ab ≠ 13ab9× 4 = 36, 9+ 4 = 13donc a2 +13ab+ 36b2 = a + 9b( ) a + 4b( )

x2 = x, 14= 12et 2( ) x( ) 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= x x2 + x + 1

4= x + 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

ax2 + 3ax + 2a = a(x2 + 3x + 2) = a(x + 2)(x +1)

kac + kad + kbc + kbd = k(ac + ad + bc + bd ) = k(a(c + d )+ b(c + d )) = k(c + d )(a + b)

Na2 − Nb2 = N (a2 − b2 ) = N (a + b)(a − b)

a4 − b4 = (a2 + b2 )(a2 − b2 ) = (a2 + b2 )(a + b)(a − b)



38

.

Mais la parenthèse est un trinôme carré parfait, car ;

donc,

.

Mais est une différence de carrés. Donc

.

Mais,

C’est une différence de carrés, car est le carré de , et est le carré de .

.

Mais est aussi une différence de carrés, donc :

50a2 − 60ab+18b2 = 2 25a2 − 30ab+ 9b2( )25a2 = 5a, 9b2 = 3b et 2( ) 5a( ) −3b( ) = −30ab

2 25a2 − 30ab+ 9b2( ) = 2 5a − 3b( )2

ac2 − ad 2 − 2c2 + 2d 2 = a c2 − d 2( )− 2 c2 − d 2( ) = c2 − d 2( ) a − 2( )c2 − d 2( ) c2 − d 2( ) a − 2( ) = c − d( ) c + d( ) a − 2( )

2x2 y2 + 22xy2 +56y2 = 2y2 x2 +11x + 28( )7 × 4 = 28, 7 + 4 = 11donc 2y2 x2 +11x + 28( ) = 2y2 x + 7( ) x + 4( )

4x x2 16y4 4y2

x4 −16y4 = x2 + 4y2( ) x2 − 4y2( )x2 − 4y2

x2 + 4y2( ) x2 − 4y2( ) = x2 + 4y2( ) x + 2y( ) x − 2y( )

x2 +5xy + 6y2

x2 + 3xy=x + 2y( ) x + 3y( )x x + 3y( ) = x + 2y

x

4x2 + 2xy + 6x + 3y4x2 + 4xy + y2

=2x 2x + y( )+ 3 2x + y( )

2x + y( )2=2x + y( ) 2x + 3( )2x + y( )2

= 2x + 32x + y

4x2 − 25y2

4x2 −10xy=2x +5y( ) 2x −5y( )2x 2x −5y( ) = 2x +5y

2x

x3y − xy3

x3y − x2 y2 − 2xy3=

xy x2 − y2( )xy x2 − xy − 2y2( ) =

xy x + y( ) x − y( )xy x − 2y( ) x + y( ) =

x − yx − 2y



39

; comme il n’y a rien de décomposable, le résultat est


x2 + xyy2 + xy

× xy − yx2 − 2x

=x x + y( )y y + x( ) ×

y x −1( )x x − 2( ) =

x + y( ) x −1( )x + y( ) x − 2( ) =

x −1x − 2

6ac +8a + 9bc +12b20a +12b

× 60a + 36b9c +12

=2a 3c + 4( )+ 3b 3c + 4( )

4 5a + 3b( ) ×12 5a + 3b( )3 3c + 4( )

=3c + 4( ) 2a + 3b( )12 5a + 3b( )4 5a + 3b( )3 3c + 4( ) = 2a + 3b

4a2 − 9b2

2a −5b÷ 2a + 3b15b− 6a

= 4a2 − 9b2

2a −5b× 15b− 6a2a + 3b

=2a + 3b( ) 2a − 3b( )

2a −5b( ) ×3 5b− 2a( )2a + 3b( )

=2a − 3b( ) −3( ) −5b+ 2a( )

2a −5b( ) = 2a − 3b( ) −3( ) = −3 2a − 3b( ) ou − 6a + 9b

x2 + x +1( )÷ 1x2 +5

= x2 + x +1( )× x2 +5( )1

x2 + x +1( ) x2 +5( ) = x4 + x3 + 6x2 +5x +5

2x2

w+ yw= 2x

2 + yw

2x− 3y= 2yxy

− 3xxy

= 2y − 3xxy

1x2 − y2

+ 2x + y

= 1x + y( ) x − y( ) +

2x + y( ) =

1x + y( ) x − y( ) +

2 x − y( )x + y( ) x − y( ) =

1+ 2x − 2yx + y( ) x − y( )

1+ 12x −5

= 2x −52x −5

+ 12x −5

= 2x −5+12x −5

= 2x − 42x −5

2a − 4b( )− 3b+ a( )− b− 2a( ) = 2a − 4b− 3b− a − b+ 2a = 3a −8b1a+ bc= cac

+ abac

= c + abac

4x2 −5x +5+ 2x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− 2x+ 4+8x + 2x2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 4x2 −5x +5+ 2

x− 2x− 4−8x − 2x2 = 2x2 −13x +1

a2 − 4a1( )+ 3a1 −5a2 + 2a3( ) = a2 − 4a1 + 3a1 −5a2 + 2a3 = −a1 − 4a2 + 2a3



40

D’abord, on commence par les mises en évidence simples.

Puis les mises en évidence doubles.

=

On voit apparaître deux différences de carrés.

5b1 − 3b2( )2 = 5b1 − 3b2( ) 5b1 − 3b2( ) = 25b12 −15b1b2 −15b2b1 + 9b22 = 25b12 − 30b1b2 + 9b22

4a2 − b2

2a + b× 7ab14a − 7b

=2a + b( ) 2a − b( )

2a + b( ) × 7ab7 2a − b( ) = 2a − b( )× ab

2a − b( ) = ab

49x2 − 42xy + 9y2( )× 7x + 3y7x − 3y= 7x − 3y( )2 × 7x + 3y7x − 3y

= 7x − 3y( ) 7x + 3y( ) = 49x2 − 9y2

3x2

y÷ 6x

12

y5= 3x

2

y× y5

6x12= y4

2x10

5 a + b( )+ c a + b( )2a + ac + 2b+ bc

÷ 5+ c2+ c

=a + b( ) 5+ c( )

a 2+ c( )+ b 2+ c( ) ×2+ c( )5+ c( ) =

a + b( ) 5+ c( )2+ c( ) a + b( ) ×

2+ c( )5+ c( ) = 1

2a b+ c( )+ b a + 2c( )− c a − 2b( ) = 2ab+ 2ac + ab+ 2bc − ac + 2bc = 3ab+ ac + 4bc

n+ nn+1

+ 1n+1

=n n+1( )n+1( ) + n

n+1( ) +1n+1( ) =

n2 + n+ n+1n+1( ) = n

2 + 2n+1n+1( ) =

n+1( )2n+1( ) = n+1

3ax +5+ a2x2 + 3ax + 2ax + 2

= 3ax +5+ax + 2( ) ax +1( )ax + 2( ) = 3ax +5+ ax +1( ) = 4ax + 6

5x2 + 2x + 3( )− 2 2x2 + x + 6( ) = 5x2 + 2x + 3− 4x2 − 2x −12 = x2 − 9 ou x − 3( ) x + 3( )

−3x1 x2 − x1( )+ x2 + x1( ) x2 + 2x1( ) = −3x1x2 + 3x12 + x2

2 + 2x1x2 + x1x2 + 2x12 = 5x1

2 + x22

k 2 + kk +1

+ 4k2 − 2k2k −1

+ 4k2 +16k4k

=k k +1( )k +1( ) +

2k 2k −1( )2k −1( ) +

4k k + 4( )4k

= k + 2k + k + 4 = 4k + 4 = 4 k +1( )

2a − 3x( )320a2 − 60ax + 45x2

=2a − 3x( )3

5 4a2 −12ax + 9x2( ) =2a − 3x( )35 2a − 3x( )2

= 2a − 3x5

18a2x3 − 9a2x2 −8a2x + 4a2

12ax3 +8ax2 − 3ax − 2a=a2 18x3 − 9x2 −8x + 4( )a 12x3 +8x2 − 3x − 2( )

a 9x2 2x −1( )− 4 2x −1( )( )4x2 3x + 2( )−1 3x + 2( ) =

a 2x −1( ) 9x2 − 4( )3x + 2( ) 4x2 −1( )



41

= .

Il reste à simplifier les facteurs que l’on retrouve au numérateur et au dénominateur.

ou encore

Section 3

Exercices sur les exposants

a 2x −1( ) 3x − 2( ) 3x + 2( )3x + 2( ) 2x −1( ) 2x +1( )

=a 3x − 2( )2x +1( )

3ax − 2a2x +1

53

24= 12516

4−3

π 0 = 4−3

1= 143

= 164

1612

3−2= 16132

= 4× 32

1= 4× 9 = 36

49

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−32= 94

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32= 9

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

= 94

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

= 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

= 278

b−2

a−3=

1b21a3

= 1b2

× a3

1= a

3

b2

ab−1( )23 = a

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

23= a

b⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

3 = a2

b23

xy−1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−n

= xy( )−n = 1xy

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n

= 1xn yn

a−w

2

g1000( )0 = a−w

2

1= 1a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

w2

= 1a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

w

= 1aw

ou 1

aw



42

Comme un carré ou toute autre puissance paire est toujours positif, on ne pourra extraire une racine paire d’un nombre négatif.

Exercices sur les propriétés des exposants

4ab0c−1( ) 5a3b−2c−3( ) = 20a4b−2c−4 = 20a4

b2c4

432 a

14

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟27

13a

12

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 43 × 2713 × a

14+12 = 4( )3 × 3× a

14+24 = 23 × 3× a

34 = 24a

34 = 24 a34

3×10−5( ) 2×10−6( ) = 6×10−5−6 = 6×10−11 = 61011

a23

a2( )3= a

8

a6= a8−6 = a2

a−2b4

a3b−1c= a

−2−3b4− −1( )

c= a

−5b5

c= b

5

a5c

3−m

3−2m

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−2

= 32m

34m = 32m−4m = 3−2m = 132m ou

19m

3ab−2

5c32

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

2

= 32a2b−4

52c3= 9a2

25b4c3

3x2( )−3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

23= 3x2( )−3×

23 = 3x2( )−2 = 3−2 x−4 = 1

32 x4= 19x4

a 28a

= a × 212

812 a

12

= a × 212

23( )12 a

12

= a × 212

232 a

12

= a1−12 × 2

12−32 = a

12 × 2−1 = 2−1a

12

ab2(a + b)3

a2b a + b( )4= a1−2b2−1 a + b( )3−4 = a−1b a + b( )−1

23

a−3 = 23a−32 = 2

3a

−322 = 2

3a−32×12 = 23a−34 = 2× 3−1a

−34



43

Par essais et erreurs, on peut trouver que :

Exercices sur les logarithmes

2C 1+ x100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

54

4C 1+ x100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

78

= 121+ x100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

54−78= 2−1 1+ x

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

108−78= 2−1 1+ x

100⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

38

x = 5 car 3× 3× 3× 3× 3= 243

x = −3 car 1125

= 153 = 5−3

x = 12

car 7 = 712

x = −3 car 0,001= 11000

= 1103 = 10−3

log21024 = x↔ 2x = 1024⇒ 2x = 210 ⇒ x = 10

log2 0,25= x↔ 2x = 0,25⇒ 2x = 25100

⇒ 2x = 14⇒ 2x = 1

22⇒ 2x = 2−2 ⇒ x = −2

log21

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= x↔ 2x = 1

2⇒ 2x = 1

212

⇒ 2x = 2−12 ⇒ x = − 1

2

log12

32 = x↔ 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= 32⇒ 2−1( )x = 25 ⇒ 2− x = 25 ⇒−x = 5⇒ x = −5

log 1000 = x↔10x = 1000⇒10x = 103 ⇒ x = 3

log 0,01= x↔10x = 0,01⇒10x = 1100

⇒10x = 1102

⇒10x = 10−2 ⇒ x = −2

log 0,00001 = x↔10x = 0,00001⇒10x = 1100 000

⇒10x = 1105

⇒10x = 10−5 ⇒10x = 10−52 ⇒ x = − 5

2

log823

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= x↔10x = 8

23⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⇒10x = 8

8⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⇒10x = 1⇒10x = 100 ⇒ x = 0



44

Incorrect, car le logarithme d’un nombre négatif n’est pas défini.

Incorrect, car le logarithme de 0 n’est pas défini.

Correct.

Incorrect, la base doit être positive et différente de 1.

. L’énoncé est vrai pour toutes les valeurs de x strictement positives.

Exercices sur les propriétés des logarithmes

(propriété 1)

(propriétés 2 et 3)

(propriété 3)

(propriété 1)



log81128

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= e↔ 8e = 1

128⇒ 8e = 1

27⇒ 23( )e = 2−7 ⇒ 23e = 2−7 ⇒ 3e = −7⇒ e = − 7

3

logb81= −4↔ b−4 = 81⇒ b−4 = 34 ⇒ b−4( )−14 = 34( )−

14 ⇒ b1 = 3−1⇒ b = 1

3

log N = 0,5↔100,5 = N ⇒1012 = N ⇒ 10 = N ⇒ N ≈ 3,1623

logx x = 1↔ x1 = x

log2 8+ log2 8 = 3+ 3= 6

log2 8+8( ) = log2 16( ) = 4log19991999

5 = x↔1999x = 19995 ⇒ x = 5

ln e7 = x↔ ex = e7 ⇒ x = 7

log5 625×125× 25( ) = log5 625+ log5125+ log5 25= 4+ 3+ 2 = 9

log749

7

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log7 49− log7 7 = log7 49− log7 7

12 = log7 49−

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟log7 7 = 2−

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟×1= 3

2

log 100022 = 22log1000 = 22 3( ) = 66

log 2+ log 50 = log 2×50( ) = log 100 = 2

logcabd

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= logc ab( )− logc d = logc a + logc b− logc d

logka7

b1,5⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= logk a

7 − logk b1,5 = 7 logk a −1,5logk b



45



(propriété 4)

(propriété 4)


(propriété 4)

(propriété 1)



(propriété 4)

(propriété 1)

(propriété 3)

(propriété 2)

(propriété 4)



logabc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= log a − log bc( ) = log a − log b+ log c( ) = log a − log b− log c

ln v34

b+ c

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟= ln v34 − ln b+ c( ) = ln v

34 − ln b+ c( ) = 34 ln v − ln b+ c( )

log1001000 =log101000log10100

= 32= 1,5

logc a =logb alogb c

log2x y =log2 ylog2 2x

=log2 y

log2 2+ log2 x=log2 y1+ log2 x

logb a =loga aloga b

= 1loga b

log 34+ log 5= log 34×5( ) = log 170

log7 64− log7 32+ log7 5= log7 64×5( )− log7 32 = log7 320− log7 32 = log7 32032 = log710

4logb x +12logb y = logb x

4 + logb y12 = logb x

4 × y12 = logb x

4 y

log514log5 3

= log314

logb ab = logb a + logb b = 5+1= 6

logb a5 = logb a52 = 52logb a =

525( ) = 25

2= 12,5

logb1a= logb1− logb a = 0−5= −5

loga b =logb blogb a

= 15= 0,2

log xy3 = log x + log y3 = log x + 3log y = a + 3b

logx3

y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = log x

3 − log y = log x3 − log y12 = 3log x − 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟log y = 3a − 1

2b



46

(propriété 4)

(propriété 3)

D’abord, on effectue la factorisation pour pouvoir utiliser les propriétés des logarithmes. Différence de carrés et trinôme carré parfait :

Dans le premier logarithme, on peut simplifier tout de suite un des facteurs ( ) :

Si l’on applique ensuite la 3e propriété des logarithmes au 2e logarithme :

,

l’on se rend alors compte que les deux expressions sont identiques et donc leur différence est 0.

Exercices sur les logarithmes et la calculatrice

2,17609

– 2,34679

3,30081

2,30259

logx y =log ylog x

= ba

log x log y = log y( )log x = ba = ab

logx +1( ) x −1( )(x +1)(x +1)

+ log x −1x +1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

x +1

= logx −1( )(x +1)

+ log x −1x +1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

= logx −1( )(x +1)

− log x −1x +1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

log2 70 =log 70log 2

≅ 1,845100,30103

≅ 6,12928

log0,25 4 500 =log 4 500log 0,25

≅ 3,65321−0,60206

≅ −6,06785

log4500 0,25=log 0,25log 4 500

≅ −0,602063,65321

≅ −0,16480

log716 807 =log 16 807log 7

≅ 4,225490,84510

≅ 5,00000



47

Exercices sur les logarithmes et les équations exponentielles

log x = 6 ↔106 = x, donc x = 1000 000

log x = −4,30103↔ x = 10−4,30103 ≅ 0,00005

log x = 0,47712↔ x = 100,47712 ≅ 3

log x2 = 4,56789 ↔ x2 = 104,56789 ≅ 36 973,45199 et x ≅ 36 973,45199 ≅ 192,28482

33 = 27 et 34 = 81, donc 3< x < 4

3x = 45↔ x = log3 45=log 45log 3

≅ 1,653210,47712

≅ 3,46497

Comme 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6

= 164

et 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

7

= 1128

, alors 6 < x < 7

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= 1100

↔ x = log12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=log

1100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

log12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≅ −2−0,30103

≅ 6,64386

Comme 5−2 = 125

= 0,04 et 5−3 = 1125

= 0,008, alors − 3< x < −2

5x = 0,01↔ x = log5 0,01=log 0,01log 5

≅ −20,69897

≅ −2,86135

Comme 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

= 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

= 1,5 et 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2

= 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 94= 2,25, alors − 2 < x < −1

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x

= 2↔ x = log23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 = log 2

log23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= log 2log 2− log 3

≅ 0,301030,30103− 0,47712

≅ 0,30103−0,17609

≅ −1,70951

23x −1= 66⇒ 23x = 67↔ x = log23 67 =log 67log 23

≅ 1,826071,36173

≅ 1,34100

10 123( )x = 4 560⇒ 123( )x = 456↔ x = log123 456 =log 456log123

≅ 2,659002,08991

≅ 1,27229

5000 = 8 000 1,11( )x ⇒ 50008 000

= 1,11( )x ⇒ 0,625= 1,11( )x ↔ x = log1,11 0,625=log 0,625log1,11

≅ −0,204120,04532

≅ −4,50368

2 0,0456( )x + 2 = 8⇒ 2 0,0456( )x = 6⇒ 0,0456( )x = 3↔ x = log0,0456 3=log 3

log 0,0456≅ 0,47712−1,34104

≅ −0,35579



48

années

Exercices de révision de la section 3

FV = PV 1+ i( )n ⇒ 8 000 = 5000 1+ 0,08( )n ⇒ 8 0005000

= 1,08( )n ⇒1,6 = 1,08n

↔ n = log1,081,6 =log 1,6log1,08

≅ 0,204120,03342

= 6,10703

FV = PV 1+ im

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

mN

⇒ 8 000 = 4 000 1+ 0,096

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6N

⇒ 8 0004 000

= 1+ 0,015( )6N ⇒ 2 = 1,0156N

↔ 6N = log1,015 2 =log 2

log1,015≅ 0,301030,00647

≅ 46,55553

6N ≅ 46,55553

N ≅ 46,555536

≅ 7,75925 années

a 3b−4( )−2

a52 (b5)3

= a−6b8

a52b15

= a−6−5

2b8−15 = a−172 b−7 = 1

a172 b7

= 1

a17b7= 1

b7

a17

x3 x − y( )−0,5 y−7x−1 x − y( )3,5 y−8

= x32− −1( )

x − y( )−0,5−3,5 y−7− −8( ) = x52 x − y( )−4 y1 = x5 y

x − y( )4= y x5

x − y( )4

cd 2

c−1d −2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

4

×cd 2( )4c−1d( )−2

= c4d8

c−4d −8 ×c4d8

c2d −2 =c8d16

c−2d −10 = c8+2d16+10 = c10d 26

ax( )yb−1( )x

÷ay( )x

b1x

=ax( )yb−1( )x

× b1x

a y( )x= a

xy

b− x× b

1x

axy= b

1x

b− x= b

1x+x

22( )3 = 26 = 6422

3

= 28 = 256

1632 = 163 = 16( )3 = 43 = 648125

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−43= 125

8⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

43= 125

8⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

3 = 1258

3⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4

= 52

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

= 62516

= 39,0625



49

Note :



(propriété 4)

(propriété 1)

log5 1254 = log5 534 = log55

34 = 3

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟log55=

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟×1= 3

4

log381−3 =

log381−3

log3 3=log3 3

4( )−3

log3 312

=log3 3

−12

log3 312

=−12log3 312

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟log3 3

= −1212

= −12× 21= −24

log 0,00001−7,2 = −7,2log 0,00001= −7,2( ) −5( ) = 36log 0,00001= log 1

100 000= log 1

105= log 10−5 = −5 log10 = −5

log 16+ log 625= log 16× 625( ) = log 24 ×54 = log 104 = 4log10 = 4

log a − log b− log c = log a − log b+ log c( ) = log a − log bc = log abc2log 4+ 3log 3= log 42 + log 33 = log 16+ log 27 = log 16× 27( ) = log 432log 131log15

= log15131

2+ log 5= log 100+ log 5= log 100× 5( ) = log 500

logb 32 = −2,5↔ b−2,5 = 32⇒ b−2,5( )−25 = 32

−25 ⇒ b1 = 32

−25 = 1

32⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

25

= 125

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

25

= 1

25( )25

= 1

2105

= 122

= 14

x = log2331233=log 1233log 233

≅ 3,090962,36736

≅ 1,30566

log9 x = −1,5↔ x = 9−1,5 = 32( )−1,5 = 3−3 = 133

= 127

≅ 0,037

4 54( )2x−1 = 240⇒ 54( )2x−1 = 60↔ 2x −1= log54 60 =log 60log 54

≅ 1,778151,73239

≅ 1,02641

2x −1≅ 1,02641⇒ 2x ≅ 2,02641⇒ x ≅ 1,0132



50

Section 4

Exercices les matrices particulières

3 ´ 4 (attention, ce n’est pas 12.)

4

Vrai

Vrai

Faux

Faux. À moins d’être une matrice carrée, une matrice n’a pas la même dimension que sa transposée.

FV = PV 1+ i( )n ⇒ 25000 = 15000 1+ 0,075( )n ⇒ 2500015000

= 1,075( )n ⇒ 53= 1,075( )n

↔ n = log1,07553

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=log

53

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

log 1,075≅ 0,221850,03141

≅ 7,06334 années

FV = PV 1+ im

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

mN

⇒ 64 000 = 45000 1+ 0,0612

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12N

⇒ 64 00045000

= 1+ 0,005( )12N ⇒ 6445

= 1,005( )12N

↔12N = log1,005

6445

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

log6445

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

log 1,005≅ 0,15297

0,00217≅ 70,62008

N ≅ 70,6200812

≅ 5,885 années

m3, jj=1

4

∑ = m3,1 +m3,2 +m3,3 +m3,4 = −1+ 4+ 2+1= 6

−1 0 −14 10 40,5 3 27 3 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟



51

, et

. D’autres réponses sont possibles.

et

. D’autres réponses sont possibles.

Impossible.

Exercices sur les opérations sur les matrices

+ =

– =

+ =

+ =

x = 3 y = –3 z = 4

x = 0

y = 0

y = 3

234

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 00 1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−1 00 −1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

0 0 01 0 02 3 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A+ B =2 −13 121,3 −2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−2 43 −34 3,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2− 2 −1+ 43+ 3 12− 31,3+ 4 −2+ 3,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

0 36 95,3 1,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

A− B =2 −13 121,3 −2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−2 43 −34 3,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2− −2( ) −1− 4

3− 3 12− −3( )1,3− 4 −2− 3,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=4 −50 15

−2,7 −5,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−A+ B =−2 1−3 −12−1,3 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−2 43 −34 3,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−2− 2 1+ 4−3+ 3 −12− 3−1,3+ 4 2+ 3,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

−4 50 −152,7 5,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0+ B =0 00 00 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−2 43 −34 3,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0− 2 0+ 40+ 3 0− 30+ 4 0+ 3,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

−2 43 −34 3,2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= B



52

Non, car les matrices n’ont pas la même dimension.

Oui

Oui

Non, car les matrices n’ont pas la même dimension.

X = 2M + 3F = 2 2 −13 0

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ 3 1 0

−2 3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 4 −2

6 0⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ 3 0

−6 9⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 4+ 3 −2+ 0

6− 6 0+ 9⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 7 −2

0 9⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

X = −4M + 7F = −4 2 −13 0

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ 7 1 0

−2 3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= −8 4

−12 0⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ 7 0

−14 21⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= −8+ 7 4+ 0−12−14 0+ 21

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= −1 4

−26 21⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

X = 5M − 3I2 +12F = 5 2 −1

3 0⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− 3 1 0

0 1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ 12

1 0−2 3

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= 10 −515 0

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ −3 0

0 −3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

12 0

−1 32

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

10− 3+ 12 −5+ 0+ 0

15+ 0−1 0− 3+ 32

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

152 −5

14 − 32

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

X = 4F + 2MT = 4 1 0−2 3

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ 2 2 3

−1 0⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 4 0

−8 12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ 4 6

−2 0⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= 4+ 4 0+ 6−8− 2 12+ 0

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 8 6

−10 12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟



53

; alors :

; alors :

; alors :

; alors :

Remarque : Quelle que soit sa dimension, une matrice identité est égale à sa transposée.

56

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ x

2⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 3

y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

5+ x = 3→ x = 3−5→ x = −26+ 2 = y→ y = 8

x 3 5( )+ 2 4 y 5( ) = 11 7 z( )⇒ x 3 5( )+ 8 2y 10( ) = 11 7 z( )x +8 = 11→ x = 11−8→ x = 3

3+ 2y = 7→ 2y = 7 − 3→ 2y = 4→ y = 42→ y = 2

5+10 = z→ z = 15

3 x 2 54 −1 y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − 2

3 x + z 3y − w 0 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

9 10 u8 −v 4

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⇒

3x 6 1512 −3 3y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

−6 −2x − 2z −6−2y + 2w 0 −2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

9 10 u8 −v 4

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

3x − 6 = 9→ 3x = 9+ 6→ 3x = 15→ x = 153→ x = 5

6− 2x − 2z = 10→ 6− 2 5( )− 2z = 10→−2z = 10− 6+10→−2z = 14→ z = 14−2

→ z = −7

15− 6 = u→ u = 9

3y − 2 = 4→ 3y = 4+ 2→ 3y = 6→ y = 63→ y = 2

12− 2y + 2w = 8→12− 2 2( )+ 2w = 8→ 2w = 8−12+ 4→ 2w = 0→ w = 02→ w = 0

−3+ 0 = −v→−3= −v→ v = 3

−31 2 34 5 67 8 9

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟−

a b cd e fg h i

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= −5I3

T ⇒−31 2 34 5 67 8 9

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟−

a b cd e fg h i

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= −5

1 0 00 1 00 0 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⇒

−3 −6 −9−12 −15 −18−21 −24 −27

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟+

−a −b −c−d −e − f−g −h −i

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

−5 0 00 −5 00 0 −5

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−3− a = −5→−a = −5+ 3→−a = −2→ a = 2−6− b = 0→−b = 0+ 6→−b = 6→ b = −6−9− c = 0→−c = 0+ 9→−c = 9→ c = −9−12− d = 0→−d = 0+12→−d = 12→ d = −12−15− e = −5→−e = −5+15→−e = 10→ e = −10−18− f = 0→− f = 0+18→− f = 18→ f = −18−21− g = 0→−g = 0+ 21→−g = +21→ g = −21−24− h = 0→−h = 0+ 24→−h = 24→ h = −24−27 − i = −5→−i = −5+ 27→−i = 22→ i = −22



54

Exercices sur les matrices équivalentes

En remplaçant par .


En permutant et .


~ ~ ~

~

~ ~ . Il est impossible que

L3 –2( )L3L2 L1 + L2

L1 L3

L2 L2 – 6L1

A = 2 4 −26 7 9

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟L1 ÷ 2 1 2 −1

6 7 9⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ L2 − 6L11 2 −10 −5 15

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ L2 ÷ −5( )1 2 −10 1 −3

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟L1 − 2L2 1 0 5

0 1 −3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= B

4 6 126 9 18

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟L1 ÷ 4 1 3

23

6 9 18

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ L2 − 6L1

1 323

0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

a22 = 1

1 1 72 −3 −6

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ L2 − 2L1~ 1 1 7

0 −5 −20⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ L2 ÷ −5~ 1 1 7

0 1 4⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟L1 − L2 ~ 1 0 3

0 1 4⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

3 2 1 07 5 0 1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟L1 ÷ 3 ~

1 23

13 0

7 5 0 1

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ L2 − 7L1

~1 2

313 0

0 13 − 73 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ L2 × 3

~

1 23

13 0

0 1 −7 3

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟L1 −

23L2 ~ 1 0 5 −2

0 1 −7 3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

1 1 1 61 2 3 10−1 2 1 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟L2 − L1 ~

1 1 1 60 1 2 4−1 2 1 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ L3 + L1

~1 1 1 60 1 2 40 3 2 8

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ L3 − 3L2

~

1 1 1 60 1 2 40 0 −4 −4

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ L3 ÷ −4( )

~1 1 1 60 1 2 40 0 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟L2 − 2L3 ~

1 1 1 60 1 0 20 0 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

L1 − L3~

1 1 0 50 1 0 20 0 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

L1 − L2~

1 0 0 30 1 0 20 0 1 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟



55

4 2 −2 43 0 3 15−3 1 −2 −11

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

L1 ÷ 4

~

1 12 − 12 1

3 0 3 15−3 1 −2 −11

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

L2 − 3L1 ~

1 12 − 12 1

0 − 3292 12

−3 1 −2 −11

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟L3 + 3L1

~

1 12 − 12 1

0 − 3292 12

0 52 − 7 2 −8

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

L2 ÷ −1,5( ) ~

1 12 − 12 1

0 1 −3 −80 5

2 − 7 2 −8

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ L3 −

52L2

~

1 12 − 12 1

0 1 −3 −80 0 4 12

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟L3 ÷ 4

~

1 12 − 12 1

0 1 −3 −80 0 1 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

L2 + 3L3 ~

1 12 − 12 1

0 1 0 10 0 1 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

L1 +12L3

~

1 12 0 5

20 1 0 10 0 1 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

L1 −12L2

~1 0 0 20 1 0 10 0 1 3

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

0 2 51 0 3

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ en inversant les lignes ~ 1 0 3

0 2 5⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ L2 ÷ 2~

1 0 30 1 5

2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

0 3 123 2 11

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ en inversant les lignes ~ 3 2 11

0 3 12⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟L1 ÷ 3

L2 ÷ 3~

1 23

113

0 1 4

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟L1 −

23L2 ~ 1 0 1

0 1 4⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2 −1 2−1 1

4 −8

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟L1 ÷ 2 ~

1 − 12 1

−1 14 −8

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ L2 + L1

~1 − 12 1

0 − 14 −7

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ L2 × −4( ) ~

1 − 12 1

0 1 28

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟L1 +

12L2 ~ 1 0 15

0 1 28⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2 −6−5 157 −21

000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

L1 ÷ 2

~1 −3−5 157 −21

000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟L2 +5L1 ~

1 −30 07 −21

000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ L3 − 7L1

~1 −30 00 0

000

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟



56


4

2

La somme des éléments de la 3e colonne.

La somme des éléments de la 4e ligne.

La somme des éléments de la grande diagonale.

La somme de tous les éléments de la matrice.

Autres réponses possibles.




–

a1,3

a3,2

0 0 00 0 0

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

1 23 4

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

1 20 4

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

1 00 4

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

B – A =−1 3−2 5−3 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 34 62 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

−1−1 3− 3−2− 4 5− 6−3− 2 1−5

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

−2 0−6 −1−5 −4

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3A– 2B = 31 34 62 5

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟−2

−1 3−2 5−3 1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

3 912 186 15

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟+

2 −64 −106 −2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

3+ 2 9− 612+ 4 18−106+ 6 15− 2

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

5 316 812 13

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

AT – BT = 1 4 23 6 5

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− −1 −2 −3

3 5 1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 1+1 4+ 2 2+ 3

3− 3 6−5 5−1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 2 6 5

0 1 4⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

A– B( )T =142

365

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟−

−1−2−3

351

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

T

=1+14+ 22+ 3

3− 36−55−1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

T

=265

014

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

T

= 2 6 50 1 4

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟



57

et

et (autres réponses possibles)

−3 21 −1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ X = −2 0

1 4⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ 2 1

−2 −1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⇒ X = −2 0

1 4⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ 2 1

−2 −1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− −3 2

1 −1⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⇒

X = −2+ 2+ 3 0+1− 21− 2−1 4−1+1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= 3 −1

−2 4⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

x = 2 y = 3

x = 4 y = 6

Documents

Module 2 Éléments d’algèbre - mqt1001.teluq.ca