Algebre1 Poly

8/12/2019 Algebre1 Poly

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ALGBRE 1


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6 janvier 2014


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ALGBRE 1


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TABLE DES MATIRES

I. Groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. Gnralits sur les groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Groupes oprant sur un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143. Groupes abliens de type fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224. Le groupe GL(n,Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285. Groupes simples et suites de composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II. Groupes classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391. Prliminaires sur les corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2. Le groupe linaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413. Formes bilinaires et quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484. Orthogonalit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505. Thorme de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556. Groupe de Witt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587. Groupe symplectique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608. Groupe orthogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659. Formes sesquilinaires et hermitiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210. Groupe unitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7311. Quaternions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

III. Algbre tensorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812. Algbre tensorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853. Algbre extrieure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894. Pfaffien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965. Algbre symtrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986. Algbre de Clifford et groupe spinoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

IV. Reprsentations des groupes finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1071. Reprsentations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107


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6 TABLE DES MATIRES

2. Caractres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1123. Proprits dintgralit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125


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CHAPITRE I

GROUPES

1. Gnralits sur les groupes

1.1. Dfinition. Ungroupeest la donne dun ensemble G muni dune loi de compo-sition

G G G(g1, g2) g1g2

et dunlment neutre e G satisfaisant les proprits suivantes1 associativit : pour tousg1, g2, g3dans G, on a

(g1g2)g3 = g1(g2g3) ;2 lment neutre (ncessairement unique)

g G g e= eg= g;3 inverse: chaque lmentgde G admet un inverse (ncessairement unique), cest-

-dire un lmentg1 de G tel que

g g1 = g1g= e.On note aussi souvent 1 llment neutre. Pour tout lment gdun groupe G, et tout

n Z, on note

gn

=

nfois

g g sin> 0 ;

e sin=

0 ;nfois

g1 g1 sin< 0.Sim,n Z, on a alors la formule habituelle

gm+n= gmgn.On dit que G establien(ou commutatif) si, pour tous g1, g2G, on ag1g2=g2g1.

Dans ce cas, on note gnralement la loi de composition additivement (g1 +g2), llmentneutre 0, et linverse degest appel loppos, not g.


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1. GNRALITS SUR LES GROUPES 9

de O(2,R) : sirest la rotation dangle 2n etsla symtrie par rapport une droite passantpar lun des sommets, on a

Dn= {Id,r, . . . ,rn1, s,r s, . . . ,rn1s}.

5 Lecentre

Z(G) = {h G | g G g h= hg}

dungroupeG est un sous-groupe de G.Le groupeG est ablien si et seulement si Z(G)= G.Par exemple, le centre de GL(n,K) est constitu des homothties.

Exercice 1.5. Quel est le centre du groupe Dn?

Exercice 1.6. Quel est le centre du groupeSn?

Proposition 1.7. SoitAune partie dun groupeG. Il existe un plus petit sous-groupe deGcontenantA. On lappellesous-groupe engendrparAet on le noteA.

Dmonstration. Il y a deux constructions quivalentes. La premire consiste dfinirA comme lintersection de tous lessous-groupes de G contenant A. La seconde construc-tion consiste en la description explicite :

A = {x11 x22 x

nn | n N,xiA, i {1,1}}.

Unepartie AdeGestune partie gnratricede G, ou engendreG, ou est un ensemble degnrateurs de G, si A = G. On dit que G estde type finisil admet une partie gnratricefinie. Tout groupe fini est bien sr de type fini.

Attention : un sous-groupe dun groupe de type fini nest pas ncessairement de typefini!

Exemples 1.8. 1 Soitn N. Le groupeZ/nZest engendr par la classe de tout entierpremier n.

2 Voici trois ensembles de gnrateurs pour le groupe symtriqueSn: toutes les transpositions ;

les transpositions (12),(23),...,((n1)n) ; la transposition (12) et le cycle (12 n).3 Avec les notations prcdentes, le groupe didral Dnest engendr par la rotation ret

la symtries.

Exercice 1.9. Montrer quun groupe de type fini est dnombrable.

Exercice 1.10. Montrer que le groupe (Q,+) nest pas de type fini.


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10 CHAPITRE I. GROUPES

1.3. Morphismes (de groupes). Unmorphisme de groupesest la donne dune appli-cationf : G Gentre groupes, satisfaisant

g1, g2 G f(g1g2) =f(g1)f(g2).Sif est bijective, son inversef1 est aussi un morphisme (de groupes) et on dit que f estunisomorphisme. Si en outre G = G, on dit quef est un automorphisme de G.

Sif : G Gest un morphisme de groupes, lenoyauet limagedef,ker(f) = {g G |f(g) = e} , im(f) = {f(g) | g G}

sont des sous-groupes de G et Grespectivement. Le morphisme fest injectif si et seule-ment si ker(f) = {e} ; il est surjectif si et seulement si im(f) = G.

Exemples 1.11. 1 Soit n N. La projection canoniqueZZ/nZest un morphismesurjectif. Son noyau est le sous-groupenZ de Z.

2 La signature :Sn {1} est un morphisme de groupes, dont le noyau est legroupealternAn.

Ce groupe est engendr par les 3-cycles (ab c), car (ab)(ac)= (ac b) et (ab)(cd)=(ac b)(ac d).

3 Lapplication exponentielle exp : (C,+)(C,) est un morphisme surjectif. Sonnoyau est le sous-groupe 2iZ de C.

4 SoitKun corps. Le dterminant det:GL(n,K) Kest un morphisme surjectif. Sonnoyau est legroupe spcial linairedes matrices de dterminant 1; il est not SL(n,K).

5 Lensemble des automorphismes dun groupe G, muni de la loi de composition desapplications, est un groupe not Aut(G).

Sig G, lapplicationg: G G

x g xg1

est un automorphisme de G. Un tel automorphisme de G est appelautomorphisme int-rieurde G et

: G Aut(G)est un morphisme de groupes dont le noyau est le centre Z(G).

Exercice 1.12. Soit Fqun corps fini qlments. Montrer

|GL(n,Fq)| = (qn1)(qn q) (qnqn1),

|SL(n,Fq)| = (qn

1)(qn

q) (qn

qn

2

)qn

1

.

1.4. Classes gauche. Soit H un sous-groupe dun groupe G. On dfinit sur G unerelation dquivalence Rpar

xRy h H y= xh.Les trois proprits caractristiques des relations dquivalence (rflexivit, symtrie,transitivit) se vrifient facilement. La classe dquivalence dun lment x G estxH = {xh| h H}. LesxH pourx G sont appelesclasses gauchede G, et lensemble


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quotient de G par R, cest--dire lensemble des classes gauche, est not G/H. Si cetensemble est fini, son cardinal, not [G : H], est appel lindicede H dans G.

On peut dfinir aussi les classes droitecomme les ensembles Hx={hx|hH}, etlensemble des classes droite est not H\G. Heureusement, il est peu prs indiffrentdutiliser des classes droite ou gauche, car lapplication inverse : G G,xx1,envoiexH sur Hx1, donc envoie classes gauche sur classes droite, induisant ainsi unebijection

G/H H\G.Soitx G. Lapplication H G,h xh, induit une bijection

H xH.En particulier, si H est fini, le cardinal dune classe gauchexH est gal lordre de H. Lesclasses gauche forment donc une partition de G par des classes de mme cardinal. Onen dduit le rsultat suivant.

Thormede Lagrange1.13. SoitHun sous-groupe dun groupe finiG. On a

|G| = |H|[G:H].En particulier, lordre dun sous-groupe deGdivise lordre deG.

1.5. Sous-groupes distingus. On dit quun sous-groupe H dun groupe G est un sous-groupe distingu, ousous-groupe normal, et on note HG (et HG si de plus H = G), silest stable par tout automorphisme intrieur, cest--dire si

g G h H g hg1 H.

Sif : G Gest un morphisme de groupes, ker(f)G (attention, il est faux en gnralque limage soit un sous-groupe distingu) ; plus gnralement, si HG, onaf1(H)G.

Exemples 1.14. 1 Pour tout groupe G, les sous-groupes {e} et G de G sont distingus.Le groupe G est ditsimplesi G = {e} et sil na pas dautres sous-groupes distingus.

2 Dans un groupe ablien, tous les sous-groupes sont distingus.3 Le groupe altern Anest distingu dans le groupe symtrique Sn, car cest le noyau

du morphisme signature. Sin 2, ce dernier nest donc pas simple.4 Si K est un corps, le sous-groupe SL(n,K) de GL(n,K) est distingu, car cest le noyau

du morphisme dterminant.

Exercice 1.15. Soit G un groupe et soit H un sous-groupe de G dindice 2. Montrer que Hest distingu dans G.

1.6. Quotients. Soit H un sous-groupe dun groupe G. On souhaite munir G/H dunestructure de groupe telle que la projection

p: G G/Hx xH

dun lment sur sa classe gauche soit un morphisme de groupes. Llment neutre deG/H doit ncessairement treeH, donc le noyau de pdoit tre la classe dee, cest--direH. Il faut donc que H soit distingu dans G. Montrons que cette condition est suffisante.


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Thorme1.16. SiH est un sous-groupe distingu deG, il existe surG/H une uniquestructure de groupe, telle que la projection p: G G/Hsoit un morphisme de groupes.

Il est important de noter que si H est distingu, les classes droite sont gales auxclasses gauche :xH = Hxpour toutx G, puisquexHx1 = H. Ainsi G/H = H\G et onobtient le mme groupe quotient en considrant les classes droite ou gauche.

Dmonstration. Pour quepsoit un morphisme de groupes, il faut que la loi de com-position sur G/H vrifie

(xH)(yH) = x yH. (1)La premire chose faire est de vrifier que cette formule ne dpend pas des choix de xetydans leurs classes : six

=x

hety

=y

h

, on a

x y= xhyh = xy(y1h y)h.Puisque H est distingu,y1h y H doncx yH = xyH. La formule (1) dfinit donc bienune loi de composition sur G/H. On vrifie quil sagit dune loi de groupe.

Soit H un sous-groupe distingu dun groupe G et soitp: G G/H la projection cano-nique. On vrifie que les applications

{sous-groupes de G/H} {sous-groupes de G contenant H}K p1(K)

p(K) K

sont des bijections inverses lune de lautre. De plus, Kest distingu dans G/H si et seule-ment sip1(K) est distingu dans G.

Thorme1.17(Proprit universelle du quotient). SoitGun groupe, soitHun sous-groupe distingu deG et soit f : G Gun morphisme de groupes. Siker(f) H, il existe ununique morphisme f :G/H Gtel que f= f p, cest--dire que le diagramme suivant estcommutatif

G G

G/H.

f

pf

En outre,ker(f) = ker(f)/Hetim(f) = im(f).Dmonstration. On veut poser f(xH) = f(x). Cela a un sens condition que f(xh) =f(x) pour touth H, cest--dire f(h) = e, ce qui est prcisment le cas puisque ker(f) H. Lapplication f :G/H Gainsi dfinie est manifestement unique. On vrifie que cestun morphisme, avec le noyau et limage indiqus.

Corollaire 1.18. Si f : G Gest un morphisme de groupes, f: G/ker(f) im(f)estun isomorphisme.


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Dmonstration. On applique le thorme f : Gim(f), concidant avec f maisdont on a restreint le but, et H = ker(f). On obtient f: G/ker(f) im(f), avec kerf=ker(f)/ker(f) = {e} et imf= imf= im(f).

Corollaire 1.19. Le sous-groupeg engendr par un lment g dun groupeGest iso-morphe Z sil est infini, Z/nZ sil est fini, avec n N. On appelle alors n lordrede g.

En particulier, par le thorme de Lagrange, lordre dun lment dun groupe fini Gdivise lordre de G, et un groupe dordre un nombre premier pest ncessairement iso-morphe au groupe cyclique Z/pZ.

Dmonstration. Le morphisme

g: Z Gn gn

a pour image g. Soitgest injectif, auquel cas il induit un isomorphisme Z g, soitson noyau est un sous-groupenZ de Z, avecn N, auquel cas ginduit, par le corollaireprcdent, un isomorphismeg: Z/nZ

g.

Exemples 1.20. 1 Le groupeZ/nZest le groupe quotient deZparnZ. On peut en d-duire les sous-groupes deZ/nZ: leur image rciproque par la projectionp: Z Z/nZestun sous-groupe de Z contenantnZ, donc de la formedZ pourd|n, donc les sous-groupesdeZ/nZsont exactement les sous-groupes cycliques engendrs par les entiersdtels qued|n.

En particulier, le groupe Z/nZ est simple si et seulement sinest un nombre premier.2 On a un isomorphismeSn/An Z/2Zprovenant du morphisme signature (on peut

aussi dire que ce groupe quotient a deux lments, donc il est ncessairement isomorphe Z/2Z).

3 La restriction du dterminant au groupe didral Dn< O(2,R) induit une surjectionDn {1}. Son noyau est le sous-groupe de Dnengendr par la rotation r. Il est dindice 2et est isomorphe Z/nZ.

4 Le morphisme : G Aut(G), dfini par (g)(x) = g xg1, a pour noyau le centre Z(G)et image le sous-groupe Int(G)des automorphismes intrieurs de G, donc Int(G) G/Z(G).

5 Le groupe Int(G) des automorphismes intrieurs de G est distingu dans Aut(G). Onappelle le quotient Out(G):= G/Int(G) le groupe des automorphismes extrieurs de G.

Exercice 1.21. Soient K et H des sous-groupes distingus dun groupe G avec K

H. Mon-

trer que le sous-groupe H/K de G/K est distingu et que (G/K)/(H/K) G/H.

Exercice 1.22. Soient H et K des sous-groupes dun groupe G, avec HG. Montrer queHK := {hk| h H,k K}estunsous-groupedeG,queHK= KH = HKH,queHK estdistingudans K et que les groupes HK/H et K/(HK) sont isomorphes.

Exercice 1.23. SoitKun corps et soit E unK-espace vectoriel. Montrer que le groupe destranslations de E est un sous-groupe distingu du groupe affine GA(E) (cf.ex. 1.1.5) iso-morphe au groupe additif (ablien) (E,+) et que le groupe quotient est isomorphe GL(E).


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Exercice 1.24. Lebut decet exercice est demontrer que toutsous-groupefiniGdugroupemultiplicatif dun corpsKest cyclique. En particulier, le groupe multiplicatif dun corps finiest cyclique.

La seule proprit quon utilisera est que lquationxn= 1Ka au plusnsolutions dansK.Soitgun lment de G dordre maximaldet soithun autre lment de G, dordree.a) Supposons que e ne divise pas d. Il existe alors q, puissance de nombre premier, quidiviseemais pasd. Soit r lordre de g he/q. Montrer que q divise ppcm(d, r), puis querest divisible par ppcm(d, q), et aboutir une contradiction (Indication :on pourra calculer(her/q)d/pgcd(d,r)).b) On a donce| d. En dduire quegengendre G.

Exercice 1.25. Soit Fqun corps fini qlments. Le butde cetexercice est de montrer quelordre maximal dun lment de GL(n, Fq) est exactementqn

1 .

a)Soit M GL(n, Fq). Montrer que lensemble {P(M) | P Fq[X]} contient au plusqn lments(Indication :on pourra utiliser le thorme de Cayley-Hamilton). En dduire que lordre deM dans le groupe que GL(n, Fq) est au plusqn1. Montrer par un exemple que cet ordre nedivise pas ncessairementqn1.b) Inversement, montrer quil existe un lment de GL(n,Fq) dordreqn 1 (Indication :onadmettra quilexisteun corps Fqnde cardinalq

ncontenant Fqcomme sous-corps (cf. II.II);sixengendre le groupe multiplicatif (Fqn,) (exerc. 1.24), on considrera une matrice de po-lynme caractristique le polynme minimal dexsur Fq).

1.7. Quotients despaces vectoriels. Si V est unK-espace vectoriel et WV un sous-espace vectoriel, alors en particulier, pour la structure de groupe ablien, W est un sous-groupe de V donc on peut former le quotient V/W. Dans ce cas, la structure de K-espace

vectoriel passe aussi au quotient, en dfinissant pourxV la multiplication par le scalaire Kdans V/W par(x+W) = (x) +W : en effet, si on prend un autre reprsentanty=x+f (fW) de la classe de xdans V/W, alors y= x+ freprsente bien la classex+WV/W puisque fW. La projection

p: VV/W

est alors aussi une application linaire de noyau W et la proprit de factorisation (tho-rme 1.17) reste valable en remplaant les morphismes de groupes par des applicationslinaires : si : VVest une application linaire telle que ker W, elle se factorise, demanire unique, par une application linaire :V/WVtelle que = p. nouveau,cette proprit caractrise le quotient.

Si on choisit dans V un supplmentaire WdeW,desortequeV=WW, la projectionrestreintep

|W: W

V/W est un isomorphisme linaire. Via cet isomorphisme, lapplica-

tion linaire induite au quotient, , peut sidentifier la restriction |W , mais ce nest pasintrinsque, car le supplmentaire Wnest pas unique.

Attention, cette proprit est particulire aux espaces vectoriels : dans le cas desgroupes, si HG, en gnral G nest pas isomorphe au produit H G/H (cf.ex. 1.20.3).

2. Groupes oprant sur un ensemble


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2. GROUPES OPRANT SUR UN ENSEMBLE 15

2.1. Actions de groupe. Une action( gauche (2)) dun groupe G sur un ensemble X estla donne dune application

: GX X(g, x) g x

telle que

1 pour toutxX, on ae x= x;2 pour toutxX et tousg, g G, on ag (g x) = (g g) x.

Il rsulte de cette dfinition que, si on pose g(x) = g x, on ae= IdX, g h= g h.

Une action du groupe G sur lensemble X est donc la mme chose quun morphisme degroupes

G Bij(X)g g,

o Bij(X) est le groupe des bijections de X.

Exemples 2.1. 1 Le groupe symtriqueSnagit sur lensemble {1,. . . ,n}.2 Soit Kun corps. Le groupe GL(n,K) opre sur Kn.3 Le groupe SL(2, R) opre sur le demi-plan de Poincar H= {z C | Im(z) > 0} par

a bc d

z= az+b

cz+d.

4 Si H

G, alors G opre sur lensemble G/H des classes gauche parg(xH)

=(g x)H.

2.2. Orbites. Soit G un groupe oprant sur X et soit xX. Lestabilisateur, ougroupedisotropie,dexest le sous-groupe de G dfini par

Gx:= {g G | g x= x}.Lorbitedexsous G est

G x:= {g x| g G}.Lapplication

G G xg g x

se factorise en unebijection

G/Gx G x (2)entre lespace des classes gauche de Gxet lorbite dex.Les stabilisateurs des points dune mme orbite sont tous conjugus : pour tout xX

et toutg G, on aGgx= gGxg1.

2. On utilise parfois les actions droite, notes (g, x) x g, et satisfaisant la relation (x g) g = x (g g). Cenest pas une action gauche, mais une action droite, note d, se ramne une action gauche, note , enconsidrantg x= xdg1.


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Lensemble des orbites de X sous G est le quotient de X par G, not G\X(3).

Laction de G est transitivesi G na quune seule orbite dans X. Dans ce cas, par (2),laction de G induit une bijection de G/Gxavec X, pour toutxX. En particulier, si G estfini, X lest aussi et son cardinal divise |G|.

Laction de G estfidlesi est injective. Dans le cas gnral, laction se factorise en

G Bij(X)

G/ker.

On obtient donc une action fidle du quotient G/ker sur X : toute action se factoriseainsi en une action fidle.

Exemples 2.2. 1 SoitKun corps. Laction de GL(n,K) surKn est fidle et les orbitessont Kn {0} et {0}. Laction du groupe affine GA(Kn) (cf.ex. 1.1.5) sur Kn est fidle et tran-sitive.

2 Pour laction (fidle) du groupe orthogonal O(n) surRn (cf.ex. II.4.3.2), les orbitessont les sphres de rayon> 0, ainsi que {0}. Le stabilisateur dun point non nul est (iso-morphe ) O(n1), donc, par (2), on a une bijection O(n1)\O(n) Sn1.

3 Laction dcrite plus haut du groupe SL(2, R) sur le demi-plan de Poincar est transi-tive. Elle nest pas fidle (le noyau de laction est {I2}).

4 Soit Kun corps. Le groupe Kagit sur Kn {0} et le quotient est

K\(Kn

{0})=

{droites vectorielles de Kn},

appel lespace projectif (sur K) et not Pn1(K).5 Si Sn, on considre laction du groupe sur {1,...,n}. Alors {1,.. ., n} est la

runion disjointe des orbites :

{1,...,n} =r1

Oi.

On peut poser

i(x) =

(x) six Oi,x six Oi.

Alors iest un cycle de support Oi, on a ij= jiet = 1 r.

On dmontre ainsi que toute permutation se dcompose (de manire unique) commeproduit de cycles supports disjoints (qui commutent donc deux deux).

Exemple 2.3(Thorme de Cayley). Laction de G sur lui-mme par translation gauche, dfinie parg x= g x, est fidle. Si G est fini, on en dduit un morphisme injectifG S|G|(qui dpend de la faon dont on numrote les lments de G).

3. Dans cette notation, le groupe est plac gauche pour une action gauche. Pour une action droite, lor-bite dexest en bijection avec Gx\G et le quotient est not X/G.


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Exercice 2.4. Soit G un groupe fini dordren.a) Montrer que G est isomorphe un sous-groupe deA2n, et mme de An+2.b) SoitKun corps. Montrer que G est isomorphe un sous-groupe de GL(n,K) et un sous-groupe de SL(n+1, K).c) Montrer que G est isomorphe un sous-groupe de O(n1,R).

Exercice 2.5. Soit G un groupe fini dordre 2n, avecnimpair.a) Montrer que G contient un lment dordre2 (Indication :on pourra compter le nombre depaires (g, g1)).b) Montrer que limage du morphisme injectif G S2ndonn par le thorme de Cayley (ex.2.3) nest pas contenue dansA2n.c) En dduire que G contient un sous-groupe distingu dindice 2.

Exercice 2.6. Soit G un groupe oprant fidlement et transitivement sur un ensemble Xde cardinalppremier et soit HG un sous-groupe distingu, H = {e}. Montrer que H opretransitivement sur X.

Exercice 2.7. SoitG unsous-groupe deSnoprant transitivementsur lensemble {1,. .. ,n}et contenant une transposition et unp-cycle, opest un nombre premier > n/2. Le but delexercice est de montrer G =Sn.

Sia,b {1,..., n}, on crita bsia= b, ou sia= bet que la transposition (ab) est dans G.a) Montrer que est une relation dquivalence sur lensemble {1,...,n}.b) Sia betg G, montrerg(a) g(b).c) Montrer que toutes les classes dquivalence pour ont le mme cardinalret quer 2.d) Soitsle nombre de classes dquivalence pour . Montrern= r setr p. Conclure.

2.3. Conjugaison. Il y a une autre action de G sur lui-mme, donne par le morphismeG Aut(G) dfini parg x= g xg1 (action parconjugaison). Dans ce cas, le stabilisateurdun lmentx G est appel lecentralisateurdex, not C(x). Les orbites sont appelesclasses de conjugaisonde G.

Explicitons cette action dans le cas du groupe symtrique.

Proposition 2.8. Si = (a1 ak) Snest un k-cycle et Sn, on a

1 = ((a1) (ak)). (3)

Tous les k-cycles sont conjugus dansSn.Les classes de conjugaison deSnsont en bijection avec les partitions de n :

n= k1 + +kr, r N, 1 k1 kr.Dmonstration. Six {(a1),..., (ak)}, alors 1(x) {a1, . . . , ak}donc 1(x) = x. Sien revanchex= (ai), alors1(x) = (ai) = (ai+1). Cela prouve la premire partiede la proposition.

Pour la seconde, crivons = 1 rcomme produit de cycles supports disjoints delongueursk1, . . . ,kr, quon peut ordonner de sorte que 1 k1 kr. Alors

1 = (11) (r1) (4)


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est encore un produit de cycles disjoints de mmes longueurs k1, . . . ,krque ceux de ,donc une classe de conjugaison dtermine bien une partition den= k1 + +kr. Rcipro-quement, compte tenu des formules (3) et (4), on voit que des permutations correspon-dant la mme partition sont conjugues.

De manire gnrale, la conjugaison prserve les proprits dune transformation. Parexemple, si O(3,R) est une rotation autour dune droite D et O(3,R), alors 1 estune rotation de mme angle autour de la droite (D).

2.4. Formule des classes et p-groupes. La formule des classes nest que la reformula-tion du fait quun ensemble sur lequel un groupe G agit est runion disjointe des orbites.Son intrt provient du fait que lorsque G est fini, le cardinal de chaque orbite divise

|G

|.

Proposition 2.9(Formule des classes). SoitGun groupe fini agissant sur un ensemblefiniX. On a

card(X) =xR

[G: Gx],

oR Xest un ensemble contenant exactement un point de chaque orbite.

Dmonstration. La dmonstration est facile : X est la runion disjointe des orbites etpar (2), chaque orbite est en bijection avec G/Gxpour un lmentxde lorbite.

Un pointxX est unpoint fixe de lactionde G sig x= xpour toutg G. On note XGlensemble des points fixes de X sous G.

Exemple 2.10. SoitKun corps. Le groupeKagit surKn

par multiplication. Lorigine0 est le seul point fixe ; les autres points ont un stabilisateur trivial. SiKest un corps finiFqavecqlments, le cardinal deKn estqn et la formule des classes scrit donc (cf.ex.2.2.4)

qn= 1+ (q1)card(Pn1(Fq)).

Proposition 2.11. 1 Si un p-groupe G(cest--dire un groupe fini non trivial dordreune puissance du nombre premier p) agit surX, alors

|XG| |X| (modp).En particulier, si p|X|, laction deGsurXa au moins un point fixe.

2 SiGest un p-groupe, le centre deGnest pas rduit {e}.

Dmonstration. Par la formule des classes, on a|X| = |XG|+

xRXG

[G: Gx].

Sixnest pas un point fixe, Gx< G, donc [G : Gx] > 1 et divise |G| qui est une puissance dep, doncp|[G: Gx]. La premire partie de la proposition en rsulte.

La seconde partie sobtient en appliquant le rsultat laction de G sur lui-mme parconjugaison : dans ce cas GG =Z(G) donc|Z(G)| |G| (modp), ce qui impose|Z(G)| >1.


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Exercice 2.12(Lemme de Cauchy). Soit G un groupe fini et soitpun nombre premier di-visant |G|. En utilisant une action convenable de Z/pZ sur lensemble

X= {(g1, . . . , gp) Gp | g1 gp= e},prouver que G admet un lment dordrep(cf.cor. 2.21 pour une gnralisation).

Corollaire 2.13. 1 SiGest un groupe dordre p2 avec p premier,Gest ablien.2 Un p-groupe simple est isomorphe Z/pZ.

On a dj vu que tout groupe dordrepest isomorphe Z/pZ.Comme on le verra plus loin, il ny a isomorphisme prs que deux groupes (abliens)

dordrep2, savoir Z/p2Z et Z/pZ Z/pZ.

Dmonstration. 1 Daprs la proposition, on a |Z(G)| = poup2. Six G, le centralisa-teurC(x) de xcontient lafoisZ(G) et x. Si x Z(G), on dduitque |C(x)| |Z(G)|+1 p+1,donc |C(x)| = p2 etC(x) = G, cest--direx Z(G) : contradiction. Donc il faut toujours quex Z(G), donc Z(G) = G et G est ablien.

2 Si G est unp-groupe simple, son centre Z(G), qui est un sous-groupe distingu de Gnon trivial, est gal G. Le groupe G est donc ablien et, tant simple, il est isomorphe Z/pZ.

Exercice 2.14. Soitpun nombre premier. Montrer quil existe un groupe non ablien decardinalp3 (Indication :utiliser lex. 2.17).

Exercice 2.15(Lemme dOre). SoitG ungroupe fini,soitple plus petit facteur premier de|G| et soit H un sous-groupe de G dindicep. Montrer que H est distingu dans G (Indication :

on pourra sintresser au noyau de laction de lex. 2.1.4).Exercice 2.16(Formule de Burnside). Soit G un groupe fini oprant sur un ensemble finiX. Le fixateur dun lmentg G est par dfinition lensemble Fix(g) :={xX|g x=x}.Montrer que le nombre dorbites pour laction de G sur X est donn par la formule

1

|G|

gG|Fix(g)|

(Indication :on pourra calculer de plusieurs faons le cardinal de lensemble {(g, x) GX|g x= x}).

2.5. Thormes de Sylow. Soit G un groupe fini et soit pun facteur premier de|G|.crivons |G| = pm, avecpm. Unp-sous-groupe de Sylowde G (ou, plus brivement, unp-Sylow) est un sous-groupe dordrep de G.

Exemple 2.17. Dans G = GL(n,Fp), considrons le sous-groupe H des matrices trian-gulaires suprieures, avec des 1 sur la diagonale (matricesunipotentes) :

1 0 1

. . . ...

... . . .

. . . 0 0 1

.


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Alors H est un p-Sylow de G. En effet,|H| =pn(n1)2 , alors que daprs lexerc. 1.12, on a = n(n1)2 .

Pour montrer lexistence dun p-Sylow dans tout groupe fini, nous avons besoindabord de passer dun groupe ses sous-groupes.

Lemme2.18. SiSest un p-Sylow deGetHG, il existe g Gtel que gSg1 Hsoit unp-Sylow deH.

Dmonstration. Le groupe H agit gauche sur lensemble G/S des classes gauche parh(gS) = (hg)S. Le stabilisateur dune classe gS est HgS = gSg1H. Puisque pm= |G/S|,la formule des classes (prop. 2.9) assure quil existe au moins une classegS telle que

p

[H : HgS

].

Mais puisque HgS est contenu dans gSg1, qui est unp-groupe, HgS est lui-mme unp-groupe, et donc unp-Sylow de H.

Thormede Sylow 2.19. SoitGun groupe fini et soit p un facteur premier de|G|. cri-vons|G| = pm, avec pm. Alors :

1 Gcontient un p-Sylow ;

2 tout p-sous-groupe deGest contenu dans un p-Sylow;

3 tous les p-Sylow sont conjugus dansG ;

4 le nombre de p-Sylow divise m et est congru 1modulo p.

Corollaire 2.20. Sous les mmes hypothses, un p-Sylow deGest distingu dansGsi et

seulement si cest lunique p-Sylow deG.Dmonstration du thorme. 1 S iN := |G|, le groupe G sinjecte dans un groupe sym-trique SN(ex. 2.3), lequel sinjecte dans GL(N,Fp), en envoyant une permutation SNsur lapplication linaireupermutant les lments de base (e1, . . . ,eN) par, donc dfi-nie par u(ei) = e(i). On peut ainsi considrer G comme un sous-groupe de GL(N,Fp), quiadmet unp-Sylow par lexemple ci-dessus. Par le lemme 2.18, G admet un p-Sylow.

2-3 Si HG est unp-groupe et S G unp-Sylow, toujours par le lemme 2.18, il existeg GtelquegSg1 Hestunp-Sylow deH, donc est gal H puisque H est unp-groupe.Donc HgSg1 qui est unp-Sylow. Si en outre H tait dj unp-Sylow, il a le mme ordrequegSg1, donc H = gSg1.

4 Soit X lensemble desp-Sylow de G. On a donc une action transitive de G sur X parconjugaison, ce qui implique que |X| divise |G|. Restreignonsen outre laction de G unp-Sylow particulier S. Pour montrer |X| 1 (modp), daprs la prop.2.11, il suffit de montrerque |XS | = 1. En ralit, on va montrer que S est le seul point fixe de laction de S sur X.

Pour cela, introduisons pour un sous-groupe quelconque HG son normalisateur(dans G) dfini par

NG(H) = {g G | gHg1 = H}. (5)Il sagit, pour laction de G sur lensemble de ses sous-groupes par conjugaison, du stabi-lisateur de H. Une proprit vidente, mais importante, est

HNG(H).


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Revenons maintenant la dmonstration : supposons que S XS , doncsSs1 =S pour touts S. Il en rsulte que S NG(S). Ainsi S et Ssont desp-Sylow de NG(S) doncsont conjugus dans NG(S) par le 3. Comme SNG(S), on en dduit S = S.

Le thorme de Sylow a de nombreuses consquences ; en voici une.

Corollaire 2.21. Si le groupeGsatisfait|G| = pm avec pm, alors pour tout , ilexiste un sous-groupe deGdordre p. En particulier, si p| |G], il existe dansGun lmentdordre p.

Dmonstration. En regardant unp-Sylow, il suffit de le montrer pour un p-groupe Snon trivial.

On a vu (prop. 2.11.2) que son centre Z(S) est un p-groupe non trivial. Sig

Z(S) est

non trivial, il engendre un groupe du type Z/pZ, avec N, et le sous-groupe H engen-dr pargp

1est dordrep. Il est aussi distingu dans S.

On peut raisonner par rcurrence sur |S| : il existe alors un sous-groupe de G/H dordrep1, dont limage inverse dans G est un sous-groupe de G dordrep.

Exercice 2.22. Soit G un groupe fini dordren, vu comme sous-groupe deSn(ex. 2.3). Lebut de cet exercice est de dterminer quelle condition ncessaire et suffisante sur G celui-cinest pas contenu dans le groupe alternAn(auquel cas G contient un sous-groupe dindice2, donc distingu, et G nest pas simple).a) Soitg un lment de G dordre m. Montrer que la permutation de G associe se dcomposeen produit den/m m-cycles supports disjoints.b) Si G An, en dduire que G est dordre pair et que les 2-Sylow de G sont cycliques.c) Inversement, on suppose que G est dordre pair et que les 2-Sylow de G sont cycliques.

Montrer que G An(on gnralise ainsi le rsultat de lexerc. 2.5).Exercice 2.23. Soitqun nombre premier et soitFqun corps de cardinal une puissanceqdep.a) Dcrire unp-Sylow S du groupe G:= GL(n,Fq) ainsi que son normalisateur NG(S).b) En dduire le nombre dep-Sylows de G.

Exercice 2.24. Soientpetqdes nombres premiers et soit G un groupe dordrepq.a) Montrer que G nest pas simple (Indication :on pourra compter lesp- ouq-Sylow de G).b) Sip< qet quepne divise pas q 1, montrer que G est cyclique (Indication :on pourramontrer que G contient un uniquep-Sylow et un uniqueq-Sylow).c) Gnraliser au cas dun groupe dordrep1 pr, o lespisont des nombres premiers dis-tincts ne divisant pas

j(pj1).

Exercice 2.25. Soientpetqdes nombres premiers et soit G un groupe dordrep2q.Lebutde cet exercice estde montrer que G contient un sous-groupe distingu qui estunp-Sylow ouunq-Sylow (G nest en particulier pas simple).a) Montrer la conclusion sip= qou si le nombre deq-Sylow de G nest pasp2.b) Supposons que le nombre deq-Sylow de G est p2, etp=q. Montrer que G contient aumoins p2(q1) lments dordreq.EndduirequeGcontientununiquep-Sylowet conclure.

Exercice 2.26. Soientpet qdes nombres premiers et soit G un groupe dordrep3q autreque 24.Montrer que G contient un sous-groupe distingu qui est unp-Sylow ou unq-Sylow(Indication :suivre le mme plan de preuve que dans lexercice prcdent).


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Exercice 2.27. a) Soit G un groupe fini simple. crivons|G| = pm, avecpm,m 2 et 1, et notonssle nombre de sesp-Sylow. Montrer que |G| divises!.b) Montrer quil nexiste pas de groupe simple de cardinal 1 000 000.

Exercice 2.28. Montrer quun groupe fini simple non ablien dordre < 168 est dordre 60(Indication :on pourra utiliser les rsultats des exercices prcdents).

Exercice 2.29. Le but de cet exercice est de montrer que tout groupe simple G dordre 60est isomorphe A5.a) Montrer que le nombre de 2-Sylow de G est soit 5, soit 15. Conclure dans le premier cas. Onsuppose donc dans la suite que G a 15 2-Sylow.b) Montrer quil existe deux 2-Sylow S1et S2de G dont lintersection a 2 lments.c) Montrer que le normalisateur N := NG(S1 S2) est dordre 12.

d) Montrer que laction de G par translation sur G/H fournit un morphisme injectif G S5.e) Conclure.

Exercice 2.30. Soitpun nombre premier. Montrer que tout groupe dordre 2pest soit cy-clique, soit isomorphe au groupe didral Dp.

Exercice 2.31 (Mthode de Frattini). Soit G un groupe fini.a) Soit HG un sous-groupe distingu et soit Sunp-Sylow de H. Montrer lgalit

G = HNG(S) := {hk| h H,k NG(S)}(Indication :sig G, on pourra utiliser le fait quegSg1 H est conjugudansH S).b) Soit maintenant S G un p-SylowdeGetsoitMGunsous-groupecontenantNG(S). Mon-trer M = NG(M) (Indication :on pourra appliquer a) MNG(M) et sonp-Sylow S).

Exercice 2.32(Automorphismes deSn). Soitn

N.

a) Soit un automorphisme de Snqui transforme toute transposition en une transposition.Montrer que est un automorphisme intrieur.b) Soit Sn. Dterminer le cardinal du centralisateur C() := { Sn| 1 = } de .c) En dduire que sin= 6, alors Int(Sn) =Aut(Sn).d) On supposen 5 et Int(Sn) =Aut(Sn). Montrer que tous les sous-groupes dindicendeSnsont conjugus.e) En utilisantles 5-Sylow deS5, montrer quilexiste un sous-groupe dindice6 deS6opranttransitivement sur {1,.. ., 6}.f) En dduire Aut(S6) = Int(S6).

3. Groupes abliens de type fini

Le but de cette section est de dmontrer le th. 3.6 de structure des groupes abliens de

type fini.

3.1. Structure des groupes cycliques. On rappelle que les groupes cycliques sont lesZ/nZ, pourn N.

Proposition 3.1 (Lemme chinois). Si on dcompose un entier positif n en facteurs pre-miers, n=pii , on a un isomorphisme

Z/nZ

Z/pii Z.


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On en dduit, par le 1 appliqu au morphisme H f(H) induit par f, que H est de typefini.

3.3. Groupesablienslibresdetypefini. Un groupe ablien est libredetypefinisil estisomorphe un produit Zr (4). Cela signifie quil exister N et des lmentsx1, . . . ,xrde Gtels que le morphisme (6) soit un isomorphisme. Une telle famille (x1, . . . , xr) est appeleune base de G. Plus gnralement, on dira quune famille (x1, . . . , xr) dlments de G estlinairement indpendante si le morphisme (6) est injectif.

Tout notre traitement dans cette section repose sur le lemme fondamental suivant,donnant la classification des matrices quivalentes coefficients entiers.

Lemme3.3. SoitAune matrice m

n coefficients dansZ. Il existe des matricesP

GL(m,Z)etQ GL(n,Z)telles que

PAQ=

d1. . .

dr0

. . .

0 0

, (7)

o d1, ,drsont des entiers positifs satisfaisant d1 | | dr, appelsfacteurs invariantsdela matriceA. Ils sont entirement dtermins parA.

Le lemme montre quune matrice coefficients entiers est dtermine, quivalence

prs, non seulement par son rangr(le seul invariant pour les matrices coefficients dansun corps), mais aussi par ses facteurs invariantsd1, . . . ,dr.

Admettons pour le moment le lemme 3.3. On en dduit assez rapidement tous les tho-rmes importants de la thorie.

Thorme3.4. Toutes les bases dun groupe ablien libre de type finiG ont le mmenombre dlments, appel lerangdeG.

Dmonstration. Il suffit de montrer que si un groupe ablien libre G a une base(x1, . . . , xr), toute famille linairement indpendante dlments de G a au plus r l-ments. Soit donc une famille (y1, . . . ,yn) dlments de G : puisque (x1, . . . , xr) est une base,on obtient une matrice A= (ai j) de taillern coefficients entiers dfinie par

yj=r

i=1ai jxi.

4. Un groupe establien libresil est isomorphe une somme directe

Z(I) := {(zi)iI ZI | J I fini i I J zi= 0},pour un certain ensemble I. Il est alors de type fini si et seulement si lensemble I est fini (pourquoi ?).

Attention la confusion avec la notion (plus complique) de groupe libre , qui ne sera pas vue dans cecours. Le seul groupe libre qui est ablien est Z.


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3. GROUPES ABLIENS DE TYPE FINI 25

On peut interprter A comme la matrice du morphismeZn G qui envoiej suryj, o(1, . . . ,n) est la base standard deZ

n. Appliquant le lemme 3.3, on dduit quexistent desmatrices inversibles P et Q telles que PAQ ait la forme (7). Sin> r, on a PAQn= 0, doncAQn= 0, do une relation entre les yj=Ajdonne par la dernire colonne de Q. Doncpour que la famille (y1, . . . ,yn) soit linairement indpendante, il fautn r.Thorme3.5. Un sous-groupeHdun groupe ablienGlibre de rang fini s est libre derang r s. En outre, il existe une base(e1, . . . ,es)deGet des entiers(d1, . . . ,dr)tels que

1 (d1e1, . . . ,drer)est une base deH ;

2 on a les divisibilits d1 | | dr.Dmonstration. On prend une base (x1, . . . , xs) de G (qui induit un isomorphisme:

ZsG) et des gnrateurs (y1, . . . ,yn) de HG. Chaque yjse dcompose sur la base enyj=

si=1 ai jxi, o la matrice A= (ai j) est de taillesn.

Si (1, . . . ,n) est la base standard de Zn, le morphisme f :Zn AZs

G, dimage H,

envoie jsur yj.Appliquons le lemme 3.3 la matrice A et considrons la factorisation

ZnQ Zn

A Zs

P Zs P1 Zs

G

def Q. Lisomorphisme P1 : ZsG correspond une nouvelle base (e1, . . . ,es) de Get H = im(f Q) est alors engendr par (d1e1, . . . ,drer). Comme ces lments forment unefamille libre, cest une base de H. Le thorme est donc dmontr.

3.4. Structure des groupes abliens de type fini. On dduit du thorme 3.5 le tho-rme de structure suivant.

Thorme3.6. SoitG un groupe ablien de type fini. Il existe des entiers r et s, et desentiers naturels d1 | | ds, tous uniquement dtermins parG, tels que

G Zr s

1Z/diZ

.

Bien entendu, le groupe G est fini si et seulement sir= 0 ; il est libre si et seulement sis= 0.

Par le lemme chinois (prop. 3.1), le second morceau du produit scrit aussijJ

Z/pjj Z, (8)

o lespjsont des nombres premiers, ventuellement rpts. Rciproquement, on r-cupre, de manire unique, les facteurs invariants di partir de la collection des p

jj : le

plus grand facteurdsest le ppcm despjj , et il scritds=

jJp

jj . On obtient alorsds1

comme le ppcm despjj pourj J J, etc.

Autrementdit, on crit tous les pjj dansun tableau avec une ligne pour chaque nombre

premier, en ordre croissant dans chaque ligne, et en alignant chaque ligne sur la dernirecolonne. On obtient les facteurs invariants en prenant les produits par colonne.


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Exemple 3.7. Pourlegroupe(Z/2Z)2(Z/22Z)(Z/23Z)(Z/3Z)3(Z/5Z)(Z/52Z),onobtient le tableau

2 2 22 23

3 3 35 52

Les facteurs invariants sont donc 2, 6, 60, 600.

Dmonstration du thorme. Puisque G est de type fini, on dispose dun morphismesurjectif

Zn f G.

On applique le th. 3.5 H=ker(f) : il existe donc une base (e1, . . . ,en) deZn telle que(d1e1, . . . ,dses) soit une base de H. Cela identifie H au sous-groupe

d1Z dsZ Zn.Do G Zn/H Z/d1Z Z/dsZZns.

Reste montrer lunicit der,set desdi. Le sous-groupe

T = {x G | n N nx= 0}deslments de torsion deG est ncessairement le facteur

iZ/diZ, donc G/T Zr est un

groupe ablien libre de rangr, qui est ainsi bien dtermin. Il reste donc montrer que,pour le groupe fini T, les disont uniquement dtermins, ou, ce qui est quivalent, lesfacteursp

jj figurant dans (8). En se limitant au sous-groupe des lments dont lordre est

une puissance dep(cest lep-Sylow de T), on est ramen au cas odj= pj, doncT = Z/p1 Z Z/psZ, 1 s.

Considrons le sous-groupe Tj= {pjx| x T} de T. Alors |Tj| =i>jpij et en particu-lier |Tj/Tj+1| = pcard{i|i>j}. On rcupre ainsi les exposants j partir des sous-groupesTj, compltement dtermins par T.

Exercice 3.8. Soit G un groupe ablien de type fini et soit f : G G un morphisme sur-jectif. Le but de cet exercice est de dmontrer quefest un isomorphisme. Soit TG le sous-groupe de torsion de G.a) Montrer quefinduit un morphisme surjectif f :G/T G/T.b) Montrer que fest un isomorphisme.c) En dduire que fest un isomorphisme.

3.5. Dmonstration du lemme 3.3. Commenons par lunicit des entiersdi. On re-marque qued1est le pgcd (positif) de tous les coefficients de A ; en effet, le pgcd des coef-

ficients de A divise tous les coefficients de PAQ et inversement, le pgcd des coefficients dePAQ divise tous les coefficients de A= P1(PAQ)Q1.tendons cette observation de la manire suivante. Notons

mk(A) = pgcd des mineurs dordrekde A.Pourk= 1, on retrouve le pgcd des coefficients de A. Le point crucial est linvariance parquivalence :

P GL(m,Z) Q GL(n,Z) mk(PAQ) = mk(A). (9)Il en rsultemk(A) = d1 dk, et donc lesdisont entirement dtermins par A.


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3. GROUPES ABLIENS DE TYPE FINI 27

Dmontrons donc (9). Il suffit de montrer que, pour toute matrice P coefficients en-tiers,

mk(A) | mk(PA). (10)

En effet, si P est inversible, cela implique mk(A)| mk(PA)| mk(P1PA)= mk(A), doncmk(PA) = mk(A). Par passage la transpose, cela fournit aussi mk(AQ) = mk(A) et donc(9).

Finalement, on montre directement (10) en exprimant les mineurs de PA comme com-binaisons linaires coefficients entiers des mineurs de A : les dtails sont laisss au lec-teur.

Passons prsent lexistence de P et Q. Comme pour la classification quivalenceprs des matrices coefficients dans un corps, on effectue des oprations lmentaires,qui peuvent sinterprter comme la multiplication droite ou gauche par certaines ma-trices, dont des matrices carres dites lmentairesqui ne diffrent de la matrice identitque par un seul coefficient, situ hors de la diagonale. La diffrence avec le cas dun corpsest quon ne peut pas diviser.

Plus prcisment, notons Ei jla matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf celuisitu lai-me ligne et la j-me colonne, qui vaut 1.

Les oprations quon sautorise sont les suivantes : la multiplication gauche par la matrice Id+aEi j, qui permet dajouter la i-me

ligne laj-me ligne, multiplie par un entier a; la multiplication droite par la matrice Id+aEi j, qui permet dajouter la j-me

colonne lai-me colonne, multiplie par un entier a;

la multiplication gauche ou droite par une matrice de transposition, qui permetdchanger deux lignes ou deux colonnes.

La mthode utilise une rcurrence sur la taille de la matrice.Soit1le pgcd (positif) des coefficients de la premire colonne. On va appliquer des

oprations lmentaires sur les lignes pour obtenir une premire colonne dont tous lescoefficients sont nuls, sauf le coefficient a11 qui sera gal 1. Faisons-le sur les deuxpremiers coefficientsa11eta12. Quitte changer les deux premires lignes, on peut sup-poser |a11| |a12|. Sia12 = 0, il ny a rien faire ; sinon, effectuons la division euclidiennea11 = ba12 +cavec 0 c< |a12| ; en effectuant la transformation lmentaire dans laquellela seconde ligne, multiplie par b, est soustraite de la premire, les coefficients (a11, a12)sont transforms en (c, a12), avec |a12|+ |c| < |a11|+ |a12|. En itrant, lalgorithme dEuclidenous indique quon finit par arriver au couple (pgcd(a11, a12),0). Il est clair quen rptant

ce procd sur chaque ligne, on arrive la premire colonne souhaite, (10 0).La mme mthode peut alors tre applique la premire ligne, en utilisant des opra-tions lmentaires sur les colonnes, pour obtenir une matrice dont la premire ligne a laforme (20 0), o 2est le pgcd des coefficients de la premire ligne. Malheureusement,on a ainsi modifi la premire colonne, donc ses coefficients ne sont peut-tre plus nuls.Nanmoins, on a gagn quelque chose : 0 2 1, puisque cest le pgcd de 1et desautres coefficients. On itre alors la construction, en mettant alternativement des 0 sur lapremirecolonne et la premire ligne : lescoefficients la place (1,1),positifs, dcroissent :1 2 3 0. Cette suite se stabilise donc : un moment donn, on obtient par


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exemple une premire ligne (10 0) o 1est aussi le pgcd des coefficients de la pre-mire colonne, donc divise tous ces coefficients. Il suffit alors de retrancher chaque ligneun multiple adquat de la premire pour arriver une matrice de la forme

1 0 00... B0

.On applique lhypothse de rcurrence sur B pour parvenir la matrice diagonale

1

2

. . .r

, o 2 | | r.

Dans la construction, il ny a pas de raison a priori que 1 | 2. Mais on peut remplacer lecouple (1, 2) par (d1,m2), od1et m2sont les pgcd et ppcm de 1et 2: en effet, parlapplication dune transformation lmentaire, puis du procd prcdent, on obtientsuccessivement (en ncrivant que les deux premires lignes et colonnes, sur lesquelles lesoprations ont lieu)

1 00 2

1 02 2

d1 d10 m2

,

o on a en fait m2= m2, puisque le dterminant de la matrice reste inchang (au signeprs) :d1m2= 12= d1m2. De plus, le pgcd des coefficients, savoird1, reste aussi in-chang, donc d1 | d1. Une dernire opration lmentaire nous permetdarriver la formevoulue

d1 00 m2

.

Appliquant le mme procd au couple (m2,3), on peut le remplacer par le couple(pgcd(m2, 3),ppcm(m2, 3)). Puisque d1 = pgcd(1, 2) et 2 | 3, d1 divise d2 :=pgcd(m2, 3). En itrant le procd, on remplace les coefficients (1, . . . ,r) par (d1, . . . ,dr)avecd1 | | dr.

4. Le groupe GL(n,Z)

Notre dmonstration du lemme 3.3 permet dobtenir des gnrateurs pour les groupesGL(n,Z) et SL(n,Z). Partons dune matrice A GL(n,Z). Il est clair que ses facteurs inva-riants sont tous gaux 1, cest--dire que la rduction finale de A est la matrice I n. Ona donc crit A= PQ, o la matrice P (resp. Q) est produit de matrices correspondant auxoprations ralises sur les lignes (resp. colonnes). Ces oprations sont de deux types :

la multiplication gauche (ou droite) par la matrice lmentaire In+aEi j, qui nestautre que (In+ Ei j)a ;

lchange de deux lignes ou colonnes.On en dduit le rsultat suivant.

Thorme4.1. Le groupeGL(n,Z)est de type fini : il est engendr par


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4. LE GROUPEGL(n, Z) 29

les matrices lmentairesIn+ Ei j, pour i,j {1,..., n}, i=j , et les matrices de transpositionIn+Ei j+Ej iEi iEj j, pour i,j {1,...,n}, i=j .

Les oprations lmentaires du premier type ne changent pas le dterminant. Nousallons remplacer les secondes par lchange de deux lignes ou colonnes, suivi duchange-ment de lune delles en son oppos. Notons que cela peut tre ralis par des oprationslmentaires du premier type :

LiLj

Li

Li+Lj

LjLi+ Lj

LjLi

.

Il nest pas difficile de voir que la dmonstration du lemme 3.3 fonctionne encore avec cesoprations lmentaires restreintes, la seule diffrence tant quon ne peut pas assurer

quednsoit positif; lorsque A GL(n,Z), la matrice finale obtenue est1 ...

1det(A)

. On adonc montr le rsultat suivant.

Thorme4.2. 1 Le groupeSL(n,Z)est de type fini : il est engendr par les matriceslmentairesIn+Ei j, pour i,j {1,..., n}, i=j .

2 Le groupeGL(n,Z)est de type fini : il est engendr par les matrices prcdentes et lamatriceIn2Enn.

En particulier, le groupe SL(2,Z) est engendr par les deux matrices

T = 1 10 1 U = 1 01 1(et il ne peut pas tre engendr par une seule matrice). Le groupe GL(n,Z) peut aussi treengendr par seulement trois lments (cf.exerc. 4.4).

Exercice 4.3. a) Montrer que le groupe SL(2,Z) est engendr par les deux matrices

S :=0 11 0

= T1UT R := ST =

0 11 1

.

b) Montrer que les matrices S et R sont dordre fini.c) Montrer que limage de tout morphisme SL(2,Z) Cest contenue dans le groupe12desracines 12me de lunit (5).

Exercice 4.4. Montrer que pour toutn, le groupe GL(n, Z) peut tre engendr par troislments (Indication :on pourra montrer quil est engendr par la matrice In+ E12et deuxmatrices de permutation bien choisies).

5. Ce rsultat est optimal : lapplicationf :SL(2,Z) 12donne par

f

a bc d

= exp(i((1c2)(bd+3(c1)d+c+3)+ c(a+d3))/6

est surjective, mais ce nest pas vident de montrer que cest un morphisme !


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Exercice 4.5. Soit R un anneau euclidien (par exemple Z si vous ne savez pas ce que cest).Pour tout A GL(n,R), montrer quil existe une matrice P GL(n,R) produit de matrices l-mentaires In+Ei j(aveci=j) telle que

PA=

1 0

. . . ...

1 00 0 det(A)

.

5. Groupes simples et suites de composition

5.1. Groupes simples. Rappelons quun groupe G est simple sil est non trivial et que

ses seuls sous-groupes distingus sont {e} et G. Un groupe simple est donc un groupe quina pas de quotient non trivial : on ne peut pas esprer le comprendre partir de groupesplus petits. Les groupes simples sont les blocs de base de la thorie des groupes.

Les groupe abliens simples sont les Z/pZ, avec ppremier. Le thorme de Feit etThompson(1963) affirme que tout groupe fini simple non ablien est dordre pair (sonordre est mme divisible par 4 grce lexerc. 2.5).

Une srie infinie de groupes simples non abliens est donne par les groupes alterns.

Thorme5.1. Pour n= 3ou n 5, le groupe alternAnest simple.La conclusion du thorme est fausse pour n=4. En effet, le groupe A4 contient le

groupe de Klein des doubles transpositions :

K= {Id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)},qui est distingu, puisquune conjugaison doit envoyer une double transposition sur unedouble transposition.

Corollaire 5.2. Si n= 4, les seuls sous-groupes distingus deSnsont{e}, AnetSn.Dmonstration. Sin= 2, le corollaire est trivial. On suppose doncn= 3 oun 5.

Si HSn, alors HAnAn,doncHAn=Anou {e} par le th. 5.1. Dans le premier cas,lindice [H :An] divise [H :Sn] = 2 ; sil vaut 1, on a H=An, sil vaut 2, on a H =Sn.

Dans le second cas (HAn= {e}), la compose H SnSn/An Z/2Z est injective,donc soit H est trivial, soit il est de cardinal 2. Si|H| =2, son lment non trivial estdordre 2, donc est le produit (ab)() de transpositions supports disjoints. Commen 3, on peut choisirc {a,b} ; le produit (ac)(ac)1 envoie alorscsur b. Il est doncdistinct de et deemais est dans H, ce qui contredit

|H

| =2.

Dmonstration du thorme. Soit H = {e} un sous-groupe distingu de An. On utilisele fait essentiel que si Anet H, le conjugu1 deest dans H. La mthode depreuve consiste alors, partir dun lment non trivial de H, en fabriquer suffisammentpour assurer H =An. On supposen 5, le casen= 3 tant trivial.

Premire tape : tous les 3-cycles sont conjugus dans An, et toutes les doubles trans-positions sont conjugues dans An.

En effet, on sait que deux 3-cycles sont toujours conjugus dansSn; crivons alors parexemple (123) = 1, avec Snet un 3-cycle. Alors on a aussi (123) = c1, avec


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5. GROUPES SIMPLES ET SUITES DE COMPOSITION 31

= (45), et au moins lun des deux lments ou est dans An. On dduit que si Hcontient un 3-cycle, il contient tous les 3-cycles, et donc est gal An(qui est engendrpar les 3-cycles). Le mme type de raisonnement sapplique aux doubles transpositions :si (12)(34) = 1, alors (123) = ((12))((12))1.

Seconde tape : si H contient une double transposition (donc toutes les doubles trans-positions), ou un 5-cycle, il contient un 3-cycle.

En effet, commen 5, sia,b,c,d,esont distincts, on a(abc) = (ae)(cd)

dans H

(ad)(ce) dans H

(ab)(de) dans H

,

(ab d) = (ab c)(abcde)(abc)1

dans H(abcde)1

dans H.

Dans les deux cas, on en dduit H =An. Cela rsout compltement le casn= 5, puisqueA5ne contient que lidentit, des doubles transpositions, des 3-cycles et des 5-cycles.

Troisime tape : on montre que si An1est simple, Anest simple. On commence parmontrer que H contient toujours un lment non trivial envoyant 1 sur lui-mme. Sup-posonsH, avec (1)=i=1; on va corriger en un lment H tel que (1)=1. Soit j {1, i} tel que (j)= j (nest pas une transposition) et soient l,mdistincts {1,i,j,(j)} (on an 6) ; alors llment

= (j lm)1(j lm)1de H vrifie (1) = 1 et (j) = l=j. Donc = eet G1 H, o

G1 = { An | (1) = 1} An1.

Ainsi H G1= {e}. Or H G1G1donc, par lhypothse de rcurrence, H G1= G1et Hcontient donc un 3-cycle. Donc H =An.

5.2. Thorme de Jordan-Hlder. La notion de suite de composition exprime lidede casser en morceaux simples un groupe : unesuite de compositiondun groupe G estune suite

G = G0G1 Gr= {e} (11)de sous-groupes embots o chaque groupe quotient Gi/Gi+1est simple.

Exemples 5.3. 1 Le groupe symtriqueS4admet la suite de composition suivante :

S4A4KZ/2Z1,

avec quotients successifs Z/2Z, Z/3Z, Z/2Z, Z/2Z.

2 Pourn= 3 oun 5, une suite de composition pour Snest donne parSnAn1,

avec quotients successifs Z/2Z et An.3 Soitn=pii la dcomposition en produits de facteurs premiers dun entier positif.

Il rsulte du lemme chinois (prop. 3.1) que le groupeZ/nZ admet une suite de compositiondont les quotients successifs sont les Z/piZ, chacun rpt ifois.

Plus gnralement, il rsulte du th.3.6 que tout groupe ablien fini dordrenadmet unesuite de composition dont les quotients successifs sont les Z/piZ, chacun rpt ifois.


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Une suite de composition G = G0G1 Gs= {e} est ditequivalente la suite (11)sir= set quil existe une permutation Srtelle que G(i)/G(i)+1 Gi/Gi+1.

Le thorme suivant indique lexistence et lunicit des suites de composition pour lesgroupes finis : il ditainsi quenun certain sens tous lesgroupes finis sont construits partirde ces blocs de base. La classification des groupes finis simples est un norme travail,achev dans les annes 80, donc ces blocs de base sont connus, mais cela nentrane pasdu tout quon connaisse tous les groupes finis en gnral !

Thorme5.4(Jordan-Hlder). Tout groupe fini admet une suite de composition. Cettesuite est unique quivalence prs.

La collection de groupes simples (compts avec les rptitions ventuelles) qui appa-

raissent comme quotients successifs dune suite de composition dun groupe fini G nedpendent donc que de G. On les appelle lesfacteurs simplesde G. Attention : ils ne carac-trisent pas le groupe G isomorphisme prs : les groupesS4, (Z/2Z)3Z/3Z et Z/24Z ontles mmes facteurs simples mais ne sont pas isomorphes deux deux.

Dmonstration. Lexistence dune suite de composition est facile : si G = {e}, on dfinitG1 comme un sous-groupe distingu maximal distinct de G. Alors le groupe non trivialG/G1 est simple car un sous-groupe distingu de G/G1 remonterait en un sous-groupedistingu de G contenant G1, qui ne saurait treque G1ou G ; dansle premier cas,le sous-groupe de G/G1est {e}, dans le second G/G1entier. On recommence le raisonnement partir de G1pour construire G2. La construction sarrte quelque part puisque les cardi-naux des Gidcroissent strictement.

La dmonstration de lunicit va utiliser le lemme suivant.

Lemme5.5. SiH1GetK1Gsont des sous-groupes distingus distincts tels queG/H1etG/K1sont simples, alorsH1 K1est distingu dansH1et dansK1et

G/H1 K1/H1 K1, G/K 1 H1/H1 K1.

Admettons le lemme pour le moment. On raisonne par rcurrence : supposons le r-sultat vrai pour les groupes dont une suite de composition a une longueur infrieure ougale r 1.

Soient (H1, . . . ,Hr) et (K1, . . . ,Ks), avecr s, des suites de composition de G. Si H1=K1, on applique ce groupe lhypothse de rcurrence, et on en dduit que les suites decomposition (H2, . . . ,Hr) et (K2, . . . ,Ks) sont quivalentes, do la conclusion dans ce cas.

Supposons donc H1 = K1et introduisons une suite de composition (L2, . . . ,Lt)pourH1K1. On considre le diagramme

H1 H2 Hr= {e}

G L2 = H1 K1 Lt= {e}

K1 K2 Ks= {e}Compte tenu du lemme, tous les quotients apparaissant dans ce diagramme sont simples.Par consquent, nous avons deux suites de composition pour H1, savoir (H2, . . . ,Hr) et


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(L2, . . . ,Lt). Par lhypothse de rcurrence, on ar= tet, permutation prs, les quotients(H1/H2, . . . ,Hr1/Hr) sont isomorphes aux quotients

(H1/H1 K1 G/K1,H1 K1/L3, . . . ,Lr1/Lr). (12)Puisquon dispose maintenant de la suite de composition (Lk) de K1, de longueurr 1,on peut aussi appliquer lhypothse de rcurrence K1 pour obtenir s= t, et que les(K1/K2, . . . ,Kr1/Kr) sont isomorphes aux

(K1/H1 K1 G/H1,H1 K1/L3, . . . ,Lr1/Lr). (13)De la comparaison de (12) et (13) rsulte que les suites de composition (H i) et (Kj) de Gsont quivalentes.

Dmonstration du lemme 5.5. Le noyau de la projection K1 G/H1tant H1 K1, ona une injection

K1/H1 K1 G/H1.Comme K1est distingu dans G, on obtient que K1/H1 K1est distingu dans G/H1. Parsimplicit de ce dernier, on obtient soit K1/H1 K1 G/H1, soit K1/H1 K1 = {e}.

Dans le second cas (quon veut exclure), on a K1H1 et H1/K1 est un sous-groupedistingu non trivial du groupe simple G/K1. CommeH1 = G (puisque G/H1, tant simple,est non trivial), H1/K1est trivial, ce qui contredit lhypothse H1 = K1.

On a donc montr le premier isomorphisme du lemme, et le second se montre de faonanalogue.

Exercice 5.6. Soit H un sous-groupe distingu dun groupe fini G. Montrer que la collec-

tion de facteurs simples de G est la runion de la collection des facteurs simples de H et de lacollection des facteurs simples de G/H.

5.3. Groupe driv. Des lmentsxet ydun groupe G commutent si x yx1y1 = e.On appellecommutateurtout lment de G de la formex yx1y1 et le groupe engendrpar tous les commutateurs,

D(G) = x yx1y1 | x,y G,est appelgroupe drivde G.

Le groupe driv est trivial si et seulement si G est ablien.

Proposition 5.7. Le groupe drivD(G)est unsous-groupe caractristiquedeG, cest--dire quil est stable par tout automorphisme deG. En particulier, il est distingu.

Le quotientG/D(G)est ablien et cest le plus grand quotient ablien deGau sens sui-vant : on aD(G)Hsi et seulement siHGetG/Hest ablien.

On peut dire aussi que tout morphisme de G vers un groupe ablien se factorise tra-vers G/D(G). Si par exemple G = D(G), tout morphisme de G vers un groupe ablien estconstant.

Dmonstration. Limage du commutateur x yx1y1 par un automorphismefdeGestle commutateurf(x)f(y)f(x)1f(y)1, doncf(D(G)) = D(G).


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Puisquex yx1y1 D(G) pour tousx,y G, tous les commutateurs sont nuls dans lequotient G/D(G), donc G/D(G)est ablien. Si G/H establien,tous sescommutateurs sonttriviaux, donc pour tousx,y G, il fautx yx1y1 H, ce qui impose D(G)H.Proposition 5.8. Pour n 5, on aD(An) =An. Pour n 2, on aD(Sn) =An.Dmonstration. Comme D(An) est distingu dans An, il est, par le th. 5.1, gal, pourn= 4,

soit {e}, auquel cas Anest ablien, ce qui ne se produit pas pourn 5, soit An.

Ceci montre la premireassertion.Dautrepart,D(Sn)An(car la signatureduncommu-tateur est toujours 1), et D(Sn) est distingu dans Sndonc dans An. On conclut comme

ci-dessus pourn= 4; le casn= 4 est laiss au lecteur.Exercice 5.9. Soit H un sous-groupe dun groupe G. Montrer que D(H) est un sous-groupede D(G) et quil est distingu si H est distingu dans G.

Exercice 5.10. Soitnun entier 2. Dcrire tous les morphismes deSndans C.

Exercice 5.11. Soit G un groupe. Pour tousx,y G, on pose[x,y] := x yx1y1.

et on note S lensemble de tous les commutateurs [x,y] de G.Le but de ce long exercice est de montrer que si S est fini, le groupe quil engendre, D(G),

est aussi fini.a) Montrer que linverse dun lment de S est encore dans S .b) Pour tout entierm 0, on note Smle sous-ensemble de G form des produits dau plusm

lments de S. Montrer D(G)=m0 Sm.c) Pour toutzdans G et toutsdans S, montrer quezsz1 est dans S.d) Pour tousx1,y1,x2,y2,x3,y3dans G, montrer la formule

[x1,y1][x2,y2][x3,y3] = [x1,y1][x3,y3][z1x2z, z1y2z],oz= [x3,y3].e) On suppose dans cette question que lindice [G : Z(G)] du centre de G (cf.1.4.5) est fini eton le noten.

) Montrer que S est fini de cardinalr n2. On note S = {s1, . . . , sr}.) Montrerque toutlment deS mpeut scrire s

m11 s

mrr , avec m1, . . . , mr N et m1+

+ mr m(Indication :on pourra utiliser la formule de d)).) Montrer que pour touts S, on asn Z(G).) Montrer que pour tout entier m0, on a Sm Snr (Indication :on pourra pro-cder par rcurrence surmet dmontrer les relations [x,y]n+1

=y1[x,y]ny[x,y]

=y1[x,y]n1[x,y2]y).) En dduire que D(G) est fini (de cardinal nn3 ).

f) On suppose dans cette question S fini. Par c), le groupe G agit par conjugaison sur S et onnote K le noyau du morphisme compos D(G) G Bij(S).

) Montrer que K est dindice fini dans D(G) et quil est contenu dans Z(D(G)).) En dduire que D(D(G)) est fini. Il est distingu dans G par lexerc. 5.9; on pose H :=G/D(D(G)).) Montrer que D(H) est ablien et en dduire que pour toutx H et toutd D(H), ona [x,d]2 = [x,d2].


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) En dduire que le sous-groupe [H,D(H)] de H engendr par les [x,d], pourx H etd D(H), est fini et distingu dans H. On pose M:= H/[H,D(H)].) En dduire que D(M) est fini, puis que D(G) est fini.

5.4. Groupes rsolubles. Dans lex. 5.3.1 du groupe symtriqueS4, tous les facteurssimples sont abliens. Cest un exemple de groupe rsoluble.

Cest une notion essentielle pour lapplication de la thorie de Galois la rsolutionpar radicaux des quations polynomiales. Elle admet plusieurs dfinitions quivalentesque nous allons expliquer. tant donn un groupe G, on dfinit une suite de sous-groupes

G =: D0(G)D1(G)D2(G) en posant, pour tout entiern N,

Dn+1(G):= D(Dn(G)).Noter que Dn+1(G) est distingu dans Dn(G) (et mme dans G par lexerc. 5.9) et que lesgroupes quotients Dn(G)/Dn+1(G) sont abliens.

Thorme5.12. On dit quun groupeG estrsoluble sil vrifie lune des conditionsqui-valentes suivantes :

(i) il existe n N tel queDn(G) = {e} ;(ii) il existe une suite

G = G0G1 Gr= {e}de sous-groupes embots o chaque groupeGi/Gi+1est ablien.

Dmonstration. Il est clair que (i) entrane (ii). Supposons donc quil existe une suite

comme dans (ii). Puisque G0/G1est ablien, on a vu plus haut que G1contient D(G). Onmontre de la mme faon, par rcurrence sur n, que Gncontient Dn(G) pour tout n{0,..., r}, donc que Dr(G) est trivial.

Exemples 5.13. 1 Tout groupe ablien est rsoluble.2 Le groupe Snest rsoluble pour n 4, mais pas pour n 5 puisquon a alors

Dm(Sn) =Anpour toutm 1 (prop. 5.8).Limportance de ce rsultat rside dans le fait que, par la thorie de Galois, il implique

que lquation gnrale de degr n 5 nest pas rsolublepar radicaux. Cela explique aussila terminologie.

3 Un groupe G qui est rsoluble et simple est cyclique dordre premier : en effet, on aD(G) = G (sinon la condition (i) du thorme ne pourrait tre vrifie) et comme D(G)G,on a D(G)

={e} puisque G est simple. Le groupe G est donc ablien ; tant simple, il est

cyclique dordre premier.4 Si Kest un corps, le groupe affine GA(K) (cf.ex. 1.1.5) est rsoluble (cf.exerc. 1.23).

La proprit dtre rsoluble passe aux sous-groupes et aux groupes quotients.

Proposition 5.14. SoitGun groupe et soitHun sous-groupe deG.1 SiGest rsoluble,Hest rsoluble.2 SiHG, on a

Grsoluble HetG/Hrsolubles.


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Dmonstration. 1 Pour tout entier n, Dn(H) est contenu dans Dn(G). Le premier pointrsulte donc de prop. 5.12.(i).

2 Si G est rsoluble, avec Dn(G) = {e}, on vient de voir que H lest aussi (avec Dn(H) ={e}). Les commutateurs de G/H sont les images par la projection canonique G G/H descommutateurs de G. Le groupe D(G/H) est donc limage de D(G), puis le groupe Dn(G/H)est limage de Dn(G), donc Dn(G/H) = {e} et G/H est rsoluble.

Inversement, supposons H et G/H rsolubles, avec Dm(H)etDn(G/H) triviaux. CommeDn(G/H), qui est trivial, est limage de Dn(G) par la projection canonique, ce dernier estcontenu dans H. On a alors

Dm+n(G) = Dm(Dn(G))Dm(H) = {e},donc G est rsoluble.

Proposition 5.15. SoitGun groupe fini. Les conditions suivantes sont quivalentes :(i) Gest rsoluble;(ii) les facteurs simples deGsont cycliques dordre premier.

Dmonstration. Pour montrer que (ii) implique (i), on peut procder par rcurrencesur la longueur dune suite de composition G=G0G1 Gr= {e} (dont les quo-tients successifs sont donc cycliques dordre premier). Lhypothse de rcurrence entraneque G1est rsoluble. Comme G/G1est cyclique, donc ablien, il est aussi rsoluble et onconclut que G est rsoluble par prop. 5.14.2.

Inversement, si G est rsoluble, la mme proposition dit que tous ses facteurs simplessont rsolubles. tant simples, il sont cycliques dordre premier (ex. 5.13.3).

Lethorme de Feit et Thompson(1963) affirme que tout groupe fini dordre impair estrsoluble. Sa dmonstration occupe plusieurs centaines de pages. Il est quivalent direque tout groupe fini simple non ablien est dordre pair (pourquoi?).

Exercice 5.16. Soitpun nombre premier. Montrer quunp-groupe est rsoluble.

Exercice 5.17. SoitKun corps et soitnun entier 1. Montrer que le sous-groupe T deGL(n, K) form des matrices triangulaires suprieures est rsoluble (Indication :on pourratudier la suite des groupes drivs Dm(T)).

Exercice 5.18. Soitpun nombre premier. Le groupe affine GA(Fp) (cf.ex. 1.1.5) est rso-luble (cf.ex. 5.13.4) et il opre transitivement et fidlement sur lensembleFp= {0,..., p1}.On peut le voir comme un sous-groupe deSFp=Sp; son cardinal estp(p1) (exerc. 1.23).

Le but de cet exercice est de montrer que tout sous-groupe rsolubleH Spqui opretransitivement est conjugu un sous-groupe de GA(Fp) ; en particulier, son ordre divise

p(p1) (cest un rsultat d Galois).Soit H = H0H1 Hr= {e} une suite de sous-groupes embots o chaque groupe

Hi/Hi+1est ablien dordre premier (prop. 5.15).a) Soit la translationxx+ 1. Dterminer lesp-Sylow de G. En dduire que si gest unlment de Sptel quegg1 est dans G, alorsg G.b) Montrer que le groupe Hr1 agit transitivement surFp (Indication :on pourra utiliserlexerc. 2.6), puis quil est dordrep.c) Soit un gnrateur de Hr1. Montrer quil existeg Sp tel quegg1 = . On poseHi:= gHig1.


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d) Conclure Hg1Gg (Indication :on pourra montrer HiG par rcurrence descendantesuri, en utilisant b)).

Exercice 5.19. Soit pun nombre premier. Le but de cet exercice est de montrer quunsous-groupe H deSpqui opre transitivement est rsoluble si et seulement si aucun lmentde H autre que lidentit laisse deux lments de {1,..., p} fixes.a) On suppose que H est rsoluble. Montrer que H a cette proprit (Indication :on pourrautiliser lexercice prcdent).b) On suppose que H a cette proprit. On note HxH le stabilisateur dun point x de{1,..., p}. Montrer que les (Hx {Id})x{1,...,p}forment, avec lensemble S des lments de Hsans aucun point fixe, une partition de H {Id}. Montrer lgalit |H| = p|Hx| et en dduire lecardinal de S.c) Montrer que H contient un p-cycle(Indication :on pourra utiliser le lemme de Cauchy

(exerc. 2.12)) et que S = {, . . . , p1}.d) Montrer que S eststable par conjugaisonpar tout lment de H (Indication :on pourra uti-liser la question b) de lexercice prcdent). En dduire que H est conjugu un sous-groupedu groupe affine GA(Fp) et conclure.


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CHAPITRE II

GROUPES CLASSIQUES

1. Prliminaires sur les corps

Les groupes classiques quon tudie dans ce chapitre sont dfinis sur des corps, etquelques proprits de base de la thorie des corps seront utiles. Le but de cette sectionprliminaire est de les rappeler.

Soit Kun corps. On dispose dun morphisme danneaux

: Z K

dfini par

(n) = n1K=nfois

1K+ +1K

sin 0, et(n) = (n) sin< 0. Le noyau de est un idalpZ Zet fournit un mor-phisme injectif

: Z/pZ K.

Puisque Kest un corps, Z/pZ est intgre et doncpest un nombre premier sil est non nul.Lenombre p(un entier premier ou bien 0)est appel lacaractristiquedu corpsK,note

car(K).On a les proprits suivantes : Si car(K)

=0, alorsKcontientQcomme sous-corps. Cest le plus petit sous-corps de

K; on lappelle lesous-corps premierde K. Si car(K) = p> 0, on ap 1K= 0 dansK, donc pour toutx Kon ap x= p(1K x) =

(p1K)x= 0. Limage deest le sous-corps premier deK; il est isomorphe Fp(quiest une autre notation pour le corps Z/pZ).

Toujours si car(K) = p> 0, lapplication

FK: K Kx xp


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40 CHAPITRE II. GROUPES CLASSIQUES

est un morphisme de corps, appelmorphisme de Frobenius. En effet, la formule dubinme fournit les galits

(x+y)p = xp+

p

1

xp1y+ +yp = xp+yp

carp|p

i

pour 1 i p1. Le morphisme FKest injectif (xp = 0 entranex= 0) mais

pas ncessairement surjectif (si cest le cas, on dit que le corps Kestparfait). SiKest un corps fini, ne peut tre injectif, donc p= car(K)>0. Le corpsKest

alors un Fp-espace vectoriel, ncessairement de dimension finied, do |K| = pd. Lemorphisme de Frobenius FK, tant une application injective entre ensembles finis demme cardinal, est bijectif.

Le groupe multiplicatif (K,) tant dordre q1, le thorme de Lagrange fournitxq1 = 1 pour toutx K, doncxq = xpour toutx K, cest--dire que FdKest liden-tit deK. En particulier, FFpest lidentit. En dautres termes, le sous-corps premierFpde Kest contenu dans lensemble

{x K| F(x) = x}

des racines du polynme XpX. Comme cet ensemble a au plusplments, ils sontgaux.

La dernire proprit dont nous aurons besoin est plus difficile et nous ne la dmon-trerons pas ici.

Thorme1.1. Si q= pd, o p est un nombre premier et d N, il existe, isomor-phisme prs, un et un seul corps de cardinal q. On le noteFq.

On peut soit construire ce corps comme le corps de rupture du polynme XqX surFp, cest--dire le plus petit sur-corps deFpdans lequel le polynme XqX est scind enproduit de facteurs du premier degr, soit, si on admetlexistence dune clture algbriqueFpde Fp, comme

Fq:= {x Fp| xq = x}(cest bien un sous-corps deFp, puisque cest lensemble des points fixes de lautomor-phisme Fd

FpdeFp).

Exemple 1.2. Voici les tables daddition et de multiplication du corps F4(on a not seslments 0,1, a,b) :

+ 0 1 a b0 0 1 a b1 1 0 b aa a b 0 1b b a 1 0

0 1 a b0 0 0 0 01 0 1 a ba 0 a b 1b 0 b 1 a

Exercice 1.3. Montrer que le groupe ablien (Fpd,+) est isomorphe (Z/pZ)d.


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2. LE GROUPE LINAIRE 41

2. Le groupe linaire

Soit Kun corps (commutatif). On rappelle que GL(n,K) est le groupe des matrices nninversibles coefficients dansKet que SL(n,K) est le sous-groupe distingu des matricesde dterminant 1.

Pour tous i,j {1,...,n},on a dfini dansle I.3.5les matricesE i jet, pour i=jet K,les matrices lmentaires In+ Ei j. Ce sont des lments de SL(n,K).

2.1. Centre. Rappelons que le centre dun groupe est le sous-groupe form des l-ments qui commutent avec tous les lments du groupe. Il est clair que les homothtiesIn, pour K, sont dans le centre de GL(n,K).Proposition 2.1. SoitKun corps et soit n un entier

2.

1 Le centre deGL(n,K)est rduit aux homothties, cest--direZ(GL(n,K)) K.2 Le centre deSL(n,K)estSL(n,K) Z(GL(n,K)), qui est isomorphe n(K) := { K|

n= 1}.Dmonstration. Soit A=(ai j) une matrice de GL(n,K) qui commute tous les l-ments de SL(n,K). On a alors, pour tousi=j,

A(In+Ei j) = (In+Ei j)A,cest--dire AEi j= Ei jA. Or la matrice AEi jest forme de la i-me colonne de A placecomme j-me colonne, avec des 0 ailleurs. De la mme faon, la matrice Ei jA est formede laj-me ligne de A place commei-me ligne, avec des 0 ailleurs. On en dduitai i=aj j, puisaj k=0 pour tout k= j, etal i= 0 pour tout l=i. La matrice A est donc unehomothtie.

Cela montre la fois les deux noncs de la proposition.

2.2. Gnrateurs. Nous avons tudi dans le 4 des gnrateurs du groupes GL(n,Z)et SL(n,Z) en utilisant la rduction par oprations lmentaires dune matrice coeffi-cients entiers. La mme mthode sapplique aux matrices aux coefficients dans un corpsquelconque (en plus facile, car tant dans un corps, on peut diviser par tout lment nonnul !) pour dmontrer le thorme suivant.

Thorme2.2. SoitKun corps et soit n un entier 2.1 Le groupeSL(n,K)est engendr par les matrices lmentairesIn+ Ei j, pour i,j

{1,..., n}, i=j et K.2 Le groupeGL(n,K)est engendr par les matrices prcdentes et les matricesIn+ (

1)Enn, pour

K.

Exercice 2.3. Montrer que SL(n,R) est connexe et que GL(n,R) a deux composantesconnexes.

Exercice 2.4. Montrer que SL(n,Q) est dense dans SL(n,R).

Exercice 2.5. a)Soitpun nombre premier. Montrer que la rduction modulopdes coeffi-cients dune matrice induit un morphisme de groupes SL(n,Z) SL(n, Z/pZ) qui est surjectif(Indication :on pourra utiliser le th. 2.2.1).b) Montrer que ce rsultat reste vrai en remplaantppar nimporte quel entier N 2.


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2.3. Conjugaison, commutateurs. Rappelons que le groupe driv dun groupe est lesous-groupe engendr par ses commutateurs ( I.5.3).

Thorme2.6. SoitKun corps et soit n un entier 2.1 On aD(SL(n,K)) = SL(n,K)(et doncD(PSL(n,K)) = PSL(n,K)) sauf si n= 2etK= F2

ouF3.2 On aD(GL(n,K)) = SL(n,K)(et doncD(PGL(n,K)) = PSL(n,K)) sauf si n= 2etK= F2.

On verra plus bas que les groupes GL(2,F2) = SL(2,F2) sont isomorphes au groupe sy-mtrique S3, dont le groupe driv est A3. Dautre part, on peut montrer que le groupeD(SL(2,F3)) est dindice 3 dans le groupe SL(2,F3). Ces cas sont donc bien des exceptionsaux conclusions du thorme.

Dmonstration. Le dterminant dun commutateur est 1, donc le groupe driv deGL(n,K) est toujours inclus dans SL(n,K). Pour montrer quil est gal, on montre que legroupe driv contient toutes les matrices lmentaires, et donc tout le groupe SL(n,K).

En utilisant la formule Ei jEkl= j kEi l, on obtient facilement les formules suivantes,pouri,j,kdistincts deux deux :

(In+Ei j)1 = In Ei j(In+Ei j)(In+Ej k)(In+Ei j)1(In+Ej k)1 = In+ Ei j.

Cela montre le 1 (donc aussi le 2) pour n 3 (cest ncessaire pour pouvoir choisir lestrois indicesi,j,kdistincts).

Lorsquen= 2, il suffit de montrer que les matrices I2 +E12et I2 + E21sont des com-mutateurs.

On crit les formules suivantes : pour {0,1,1} (ce qui est possible si |K| > 3), on a 00 1

1

210 1

00 1

1 1 21

0 1

1=1 0 1

,

(et une formule analogue pour I + E21), ce qui montre le 1, et pour {0,1}, (ce qui estpossible si |K| > 2), on a

00 1

1 10 1

00 1

1 1 10 1

1=1 0 1

,

ce qui montre le 2.

Exercice 2.7. SoitKun corps et soitnun entier 2. Quel est le groupe driv du groupeaffine GA(K

n) (cf.ex. 1.1.5) ?

Exercice 2.8. Soit K un corps fini et soitnun entier 1. Dcrire tous les morphismes deGL(n, K) dans K(Indication :on pourra utiliser lexerc. I.1.24).

Exercice 2.9. Montrer que pourn 3, le groupe driv D(SL(n,Z)) est SL(n, Z) (compareravec lexerc. 2.14).

Comme annonc plus haut, nous allons maintenant maintenant montrer que certainsdes petits groupes linaires sont des groupes de permutations.


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On a dj dfini dans lex. I. 2.2.4 lespace projectifPn1(K) = Kn {0}/Kdes droitesvectorielles de Kn. En particulier,

P1(K) = {K(x,1) | x K} {K(1,0)} K {},appel droite projective, est constitu dune copie de Ket dun point linfini .

Laction de GL(n,K) sur Kn induit une action sur Pn1(K). Le noyau de laction estconstitu des automorphismes linaires deKn qui fixent chaque droite, cest--dire deshomothties (1). Par passage au quotient, on obtient ainsi des actions fidles sur Pn1(K)dugroupe projectif linaire

PGL(n,K) = GL(n,K)/Z(GL(n,K))et de son sous-groupe

PSL(n,K) = SL(n,K)/Z(SL(n,K)).Exemple 2.10(Homographies). On reprsente souvent llment de Pn1(K) corres-pondant la droite vectorielle engendre par le vecteur (non nul) (x1, . . . ,xn) de Kn par sescoordonnes homognes(x1: . . . :xn) (on a (x1: . . . :xn) = (x1: . . . : xn) pour tout K).Lorsquen= 2, la bijectionP1(K) K {} construite ci-dessus envoie (x1:x2) surx1/x2six2 = 0 et sur six2 = 0. Une matrice A=

a bc d

GL(2,K) agit surP1(K) en envoyant

(x1: x2) sur (ax1 +bx2: cx1 +d x2). Via la bijection ci-dessus, elle agit donc sur K {} par(si par exemplebc= 0)

x K {d/c} ax+bcx+d

d/c

a/bPlusgnralement, on appelle homographietoute bijection de Pn1(K) induite par lactiondun lment de GL(n,K).

Exemples 2.11. 1LegroupeGL(n,R) (resp. SL(n,R)) (resp. PGL(n,R)) (resp. PSL(n,R))est unevarit diffrentiablede dimensionn2 (resp.n2 1) (resp.n2 1) (resp.n2 1).

2 Le groupe GL(n,C) (resp. SL(n,C)) (resp. PGL(n,C)) (resp. PSL(n,C)) est unevaritcomplexede dimensionn2 (resp.n2 1) (resp.n2 1) (resp.n2 1).

Dans le cas dun corps fini, on a dj vu dans lexerc. I.1.12 les cardinaux de certains deces groupes :

|GL(n,Fq)

| = qn(n1)/2(qn

1)(qn1

1)

(q

1),

|SL(n,Fq)| = |PGL(n,Fq)| = qn(n1)/2(qn 1)(qn1 1) (q2 1),

1. On utilise ici un petit argument : siuest un automorphisme linaire dunK-espace vectoriel V qui fixechaque droite vectorielle de V, alors, pour toutxV non nul, il existe x Ktel queu(x) = xx. Sixet ysontcolinaires, on a x= y; sinon, on crit, par linarit deu,

x+y(x+y) = u(x+y) = u(x)+u(y) = xx+ yy.On en dduit x+y= x= y, de sorte queuest une homothtie.


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do on dduit, en utilisant la prop. 2.1.2 et le fait que Fqest cyclique dordreq1,

|PSL(n,Fq)| =|SL(n,Fq)|

pgcd(n, q1) .

En particulier, |PSL(2,Fq)| = q(q2 1)/pgcd(2, q1). Noter aussi les galitsGL(n,F2) = PGL(n,F2) = SL(2,F2) = PSL(n,F2)

pour toutn(il ny a quun seul dterminant non nul possible dans F2, savoir 1, et uneseule homothtie, lidentit!).

Nous avons indiqu dans le tableau ci-dessous les cardinaux des premiers de cesgroupes, ainsi que les isomorphismes avec certains groupes de permutations (2) :

q 2 3 4 5 7 8 9n 2 3 4 2 2 3 2 2 2 2

PSL 6 168 8!/2 12 60 8!/2 60 168 504 6!/2S3 A8 A4 A5 A8 A5 PSL(3,F2) A6

PGL 24 60 120 6!S4 A5 S5 S6

SL 24S4

Certains de ces isomorphismes sont tonnants et pas faciles du tout dmontrer etencore moins construire explicitement. Dautres sont plus simples voir.

Lisomorphisme PSL(2, F2)S3est facile : on a vu que P1(F2) a 3 lments; le groupe

PSL(2,F2) agit fidlement sur cet ensemble, ce qui fournit un morphisme injectif

PSL(2,F2) Bij(P1(F2)) S3qui, comme ces deux groupes ont le mme ordre, est un isomorphisme.

De faon analogue, le groupe PGL(2, F3) agit fidlement sur lensembleP1(F3), qui a 4lments, ce qui fournit un morphisme injectif

PGL(2,F3) S4qui, comme ces deux groupes ont le mme ordre, est un isomorphisme.

Le sous-groupe PSL(2,F3)


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I.2.17) est un p-Sylow de SL(n,Fq) et que son image dans PSL(n, Fq) est un p-Sylow dePSL(n, Fq).

b) Montrer que le centre de TU(3, F4) est form des matrices

1 0 0 1 00 0 1

, pour F4.c) Montrer que le centre de TU(4,F2) est dordre 2. Conclure.

Exercice 2.14. a) Montrer que le groupe driv D(SL(2,Z)) est dindice 12 dans SL(2, Z)(Indication :si R et S sont les gnrateurs de SL(2, Z) dfinis dans lexerc. I.4.3.a), on pourracalculer S2, S4, R3 et R6).b) Montrer que SL(2,Z) a un quotient dordre2 et unquotientdordre3 (Indication :on pourrautiliser lexerc. I.2.5, pourp= 2 et 3).c) En dduire que lindice de D(SL(2, Z)) dans SL(2,Z) est 6 ou 12 (on peut montrer que cest

12 (5) ; comparer avec lexerc. 2.9).

2.4. Simplicit. Une des raisons de notre intrt pour les groupes linaires est quilsdonnent lieu, lorsquils sont finis, des sries infinies de groupes simples (tout comme lesgroupes alterns;cf.th. I.5.1).

Le but de cette section est de dmontrer le rsultat suivant.

Thorme2.15. SoitKun corps. Le groupePSL(n,K)est simple sauf si n= 2, etK= F2ouF3.

Les exceptions ne sont effectivement pas simples : PSL(2, F2) S3admet A3commesous-groupe distingu propre, tandis que PSL(2,F3) A4admet un sous-groupe distingudindice 3 (ex. I.5.3.1).

Ce nest pas par hasard que les exceptions sont les mmes dans les th. 2.6 et 2.15. Eneffet, on va prsenter ici une dmonstration o le second thorme est dduit du premierpar lamthode dIwasawa, qui sappuie sur laction du groupe PSL(n,K) sur lespace pro-

jectifPn1(K).Plus gnralement, supposons quun groupe G agisse sur un ensemble X. On dira que

G agitprimitivementsur X si

1 laction de G sur X est transitive ;

2 le stabilisateur Gxdun point de X (donc de tout point de X) est un sous-groupemaximal de G, cest--dire que les seuls sous-groupes de G contenant Gxsont GxetG.

Un cas particulier daction primitive est donne par une action 2-transitive, cest--dire

telle quex1, x2,y1,y2 X (x1 = x2,y1 =y2= g G g x1 =y1 g x2 =y2).

Autrement dit, laction de G sur XX , o ={(x, x)|xX}, dfinie par g (x,y)=(g x, gy) est transitive.

En effet, il suffit de vrifier quun stabilisateur Gxest un sous-groupe maximal. Soitdonc HG un sous-groupe contenant strictement Gxet soith H Gx, de sorte quey:=hx= x.Soit g G Gx,desorteque z:= gx= x.Ilexistealorsk Gtelque k(x, z) = (x,y),cest--dire kGxetk z= y. Cette seconde relation scrit (kg) x=h x, cest--dire


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h1kg Gx< H. Comme het ksont dans H, on en dduit quetout lmentgde G Gxestdans H, soit H = G.

Le thorme permettant de montrer la simplicit dun groupe partir dune action pri-mitive est le suivant.

Thorme2.16. Supposons que le groupeGagisse primitivement surX. Si on se donne,pour chaque xX, un sous-groupeTxGtel que

1 Txest ablien;

2 Tgx= gTxg1 pour tout g Get tout xX;3

xXTxengendreG,

alors tout sous-groupe distingu deGagissant non trivialement surXcontientD(G).

Dmonstration. Soit H un sous-groupe distingu de G agissant non trivialement sur Xet soitxX. Puisque Gxest maximal, le sous-groupe HGxG (cf. exerc. I.1.22) est gal soit Gx, soit G.

Dans le premier cas, on a HGxdonc, pour toutg G,H = gHg1 gGxg1 = Ggx

ce qui, puisque G agit transitivement sur X, contredit le fait que H nagit pas trivialementsur X.

On a donc HGx= G. Comme laction de G sur X est transitive, on aX= G x= HGx x= H x,

donc laction de H sur X reste transitive. Montrons quen outre G = HTx. En effet, sih H,on a par 2

Thx= hTxh1 HTxH = HTx,puisque HG. Puisque H agit transitivement sur X, on a donc TyHTxpour toutyX,donc G = HTxpuisque les (Ty)yXengendrent G par 3.

Finalement, puisque Txest ablien,

G/H = HTx Tx/(HTx)(exerc. I.1.22) est ablien, de sorte que H D(G).

Nous aurons encore besoin dune autre dfinition. Soit aun lment non nul dun K-espace vectoriel V de dimension finien. On appelletransvectionde vecteuratout auto-mo

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