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Cours de physique I Chapitre 1 M. BOUGUECHAL 2010-2011

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Chapitre un : Les grandeurs physiques et leur mesure

1.1 Dimensions. Homogénéité

1.2 Analyse dimensionnelle

1.3 Unités et bref historique du S.I

1.4 Le système international d’unités

1. 1 Dimensions. Homogénéité

En physique, il existe des grandeurs fondamentales et des grandeurs dérivées. Les grandeurs

fondamentales sont :

Grandeurs fondamentales Leurs dimensions (symbole)

La Longueur

La masse

Le temps

L’intensité du courant

La température thermodynamique

La quantité de matière

L’intensité lumineuse

Exemple 1 : l’intensité d’un courant électrique est donnée par :

i = dq/dt

où dq représente une quantité de charges et dt un intervalle de temps.

donc dq = i dt 2 grandeurs fondamentales i et t

dq : est une grandeur dérivée

Exemple 2 : la vitesse d’un mobile est donnée par :

v = dl/dt

où dl représente la distance parcourue et dt un intervalle de temps.

Donc dl = v dt 2 grandeurs fondamentales l et t

v : est une grandeur dérivée

1. 2 Analyse dimensionnelle

La forme d’une loi physique peut être obtenue par des considérations d’homogénéité. Les

grandeurs physiques qui interviennent dans une étude expérimentale d’un phénomène

physique peuvent être groupées sous forme d’un monôme, il suffit d’écrire alors que les deux


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membres de l’égalité obtenue sont homogènes (même dimension), pour trouver la forme de la

loi.

L’équation aux dimensions G = L M

T

… qui relie une grandeur dérivée G aux grandeurs

fondamentales L M T… relie aussi l’unité dérivée g aux unités fondamentales l m t.

La dimension est représentée par ce symbole : [ ]

Exemple 3 :

F = ma

[F] = [m][a] = M LT-2

= LMT-2

c’est l’équation aux dimensions de F = ma

avec [m] = M

et [a] = L/T² = LT-2

Exemple 4 :

a = v²/R

[a] = [v²]/[R]

[a] = LT-2

[v²]= (LT-1

)² = L²T-2

[R] = L

[v²/R] = [v²]/[R] = L²T-2

/L = LT-2

donc on a bien une accélération.

A partir des grandeurs fondamentales qui sont L, M, T, I, , N et J on peut créer des

grandeurs dérivées.

Certaines grandeurs n’ont pas de dimension comme certaines constantes, attention pas toutes

les constantes. Les fonctions mathématiques comme par exemple sin, cos, tan, exp, log n’ont

pas de dimension : : [sin] = 1 ; [cos] = 1…. ; . Leurs arguments x non plus : sin(x), cos(x),

tan(x), exp(x), log(x) etc donc : [x] = 1.

Exemples 4 :

[] = 1 avec = 3.14

Force de newton F : G ] = [F] [r2] /( [m] [m’] ) = L

3M

-1T

-2 avec G constante

universelle de la gravitation

u(t) =U0 exp(-t/RC) décharge d’un condensateur ; u ] = [U0] ; [t/RC] = 1

x = x0 cos(t + ) oscillation d’une masse ; x ] = [x0] ; t + ] = [t]= []=1

Attention : un angle n’a pas de dimension mais il a une unité dans le système international :

le radian.


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Grandeurs

Dérivés

Equation aux dimensions Noms (S.I.) Symbole

Unités géométrique

Superficie L² Mètre carré m²

Volume L3

Mètre cube m3

Masse volumique L-3

M Kilogramme par mètre

cube

kg.m-3

Angle plan 1 Radians rad

Angle solide

Sommet d’un cône

1 stéradian sr

Unité de masse

Volume massique L3M

-1 mètre cube par kilogramme m

3.kg

-2

Unités de temps

Fréquence T-1

Hertz Hz

Unités mécanique

Vitesse LT-1

mètre par seconde m.s-1

Accélération LT-2

Mètre par seconde carré m.s-2

Force LMT-2

Newton N

Quantité de mouvement

p = m v

LMT-1

Kilogramme mètre par

seconde

kg.m.s-1

Moment d’une force

(M = F.d)

L²MT-2

Newton mètre N.m

Moment d’inertie

I = md²

L²M Kilogramme mètre carré kg.m²

Energie (EC = 1/2mv²) L²MT-2

Joule J

Puissance (P = E/t) L²MT-3

Watt W

Pression (P = F/S) L-1

MT-2

Pascal Pa

Unités calorifiques

Quantité de chaleur

Q = m c

(c chaleur massique)

L²MT-2

joule J

Chaleur massique

c = Q/(m )

L²T-2

-1 Joule par kilogramme par

kelvin

J.kg-1

K-1

Un angle n’a pas de dimension mais il a une unité : le radian. La longueur de l’arc l d’un

cercle est donnée par la formule suivante où est exprimé en radian. Cette formule étant

homogène, on voit bien que l’angle n’a pas de dimension. Son unité dans le SI est le radian.

l R l = R

L’unité S.I. de la température T de dimension et le Kelvin.


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Le moment d’une force (ou couple) et l’énergie ont la même dimension mais ils n’ont pas la

même unité : N.m et J ( joule ) respectivement; il s’agit de deux grandeurs physiques qui

représentent des phénomènes différents.

Il existe des grandeurs dérivées dans le domaine de l’électricité.

Grandeur Formule de définition dimension Unités S.I.

Charge Q Q = It TI Coulomb

Densité superficielle de charge

= Q/s L-2

TI Coulomb /m² (C/m²)

Densité volumique de charge

= Q/v L-3

TI Coulomb/m3 (C/m

3)

Densité linéique de charge = Q/l L-1

TI Coulomb/mètre (C/m)

Champ électrique E F = qE E = F/q LMT-3

I-1

Volt/mètre (V.m-1

)

Potentiel V E = U/d U = Ed

Cf ligne précédente

L²MT-3

I-1

V (Volt)

Résistance R U = RI L²MT-3

I-2

Ohm ()

Conductance G G= 1/R L-2

M-1

T3I² Siemens (S)

Résistivité R = l /s = R s /l L3MT

-3I-2

Ohm.m (.m)

Capacité C Q = CU C = Q/U L

-2M

-1T

4I2 Farad (F)

Coefficient d’auto-induction L

(inductance)

e = -Ldi

dt

f.e.m. (V)

L²MT-2

I-2

Henry (H)

Les constants de temps :

[RC] = L²MT-3

I-2

x L-2

M-1

T4I² = T

RC est un temps

[L/R] = L²MT-2

I-2

/ L²MT-3

I-2

= T

[LC] = (L²MT-2

I-2

x L-2

M-1

T4I2)1/2

= T

1. 3 Unités et bref historique du S.I

Un système d’unités est dit cohérent s’il n’intervient pas de coefficient numérique dans la

formule de définition des unités dérivées. On utilisera ici le système international.

La création du Système métrique décimal au moment de la Révolution française et le dépôt

qui en a résulté, le 22 juin 1799, de deux étalons en platine représentant le mètre et le

kilogramme aux Archives de la République à Paris peuvent être considérés comme la

première étape ayant conduit au Système international d'unités actuel.

En 1832, Gauss œuvra activement en faveur de l'application du Système métrique, associé

à la seconde définie en astronomie, comme système cohérent d'unités pour les sciences

physiques. Gauss fut le premier à faire des mesures absolues du champ magnétique terrestre

en utilisant un système décimal fondé sur tes trois unités mécaniques millimètre, gramme et

seconde pour, respectivement, les grandeurs longueur, masse et temps. Par la suite, Gauss et

Weber ont aussi effectué des mesures de phénomènes électriques.


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Maxwell et Thomson mirent en oeuvre de manière plus complète ces mesures dans ces

domaines de l'électricité et du magnétisme au sein de la British Association for the

Advancement of Science (BAAS) dans les années 1860. Ils exprimèrent la nécessité d'un

système cohérent d'unités formé d'unités de base et d'unités dérivées. En 1874, la BAAS

introduisit le système CGS, un système d'unités tri-dimensionnel cohérent fondé sur les trois

unités mécaniques centimètre, gramme et seconde, et utilisant des préfixes allant du micro au

méga pour exprimer les sous-multiples et multiples décimaux. C'est en grande partie à

l'utilisation de ce système que l'on doit les progrès de la physique, en tant que science

expérimentale, observés par la suite,

Les unités CGS cohérentes choisies pour les domaines de l'électricité et du magnétisme s'étant

avérées mal commodes, la BAAS et le Congrès international d'électricité, qui précéda la

Commission électrotechnique internationale (CEI), approuvèrent, dans les années 1880, un

système mutuellement cohérent d'unités pratiques. Parmi celles-ci figuraient l'ohm pour la

résistance électrique, le volt pour la force électromotrice et l'ampère pour le courant

électrique,

Après la signature de la Convention du Mètre le 20 mai 1875, le Comité international se

consacra à la construction de nouveaux prototypes, choisissant le mètre et le kilogramme

comme unités de base de longueur et de masse. En 1889, la 1ère CGPM1 sanctionna les

Prototypes internationaux du mètre et du kilogramme. Avec la seconde des astronomes

comme unité de temps, ces unités constituaient un système d'unités mécaniques tri-

dimensionnel similaire au système CGS, mais dont les unités de base étaient le mètre, le

kilogramme et la seconde.

En 1901, Giorgi montra qu'il était possible d'associer les unités mécaniques de ce système

mètre-kilogramme-seconde au système pratique d'unités électriques pour former un seul

système cohérent quadri-dimensionnel, en ajoutant à ces trois unités de base une quatrième

unité, de nature électrique, telle que l'ampère ou l'ohm, et en rationalisant les expressions

utilisées en électromagnétisme. La proposition de Giorgi ouvrit la voie à d'autres extensions.

Après la révision de la Convention du Mètre par la 6ème CGPM en 1921, qui étendit les

attributions et les responsabilités du Bureau international à d'autres domaines de la physique,

et la création du CCE (maintenant CCEM) par la 7ème CGPM qui en a résulté en 1927, la

proposition de Giorgi fut discutée en détail par la CEI, l'UIPPA et d'autres organisations

internationales. Ces discussions conduisirent le CCE à proposer, en 1939, l'adoption d'un

système quadri-dimensionnel fondé sur le mètre, le kilogramme, la seconde et l'ampère, une

proposition qui fut approuvée par le Comité international en 1946.

À la suite d'une enquête internationale effectuée par le Bureau international à partir de 1948,

la 10e CGPM, en 1954, approuva l'introduction de l'ampère, du kelvin et de la candela

comme unités de base, respectivement pour l'intensité de courant électrique, la température

thermodynamique et l'intensité lumineuse. La 11ème CGPM donna le nom Système

international d'unités (SI) à ce système en 1960. Lors de la 14e CGPM, en 1971, la mole fut

CGPM : Conférence Générale des Poids et Mesures

BIPM : Bureau International des Poids et mesures

BAAS : British association for the advancement of science


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ajoutée au SI comme unité de base pour la quantité de matière, portant à sept au total le

nombre d'unités de base du SI tel que nous le connaissons aujourd'hui.

Giovanni Giorgi (1871-1950)


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Le BIPM et l'évolution de la définition du

mètre

1872 Décision de fabriquer des mètres prototypes en se servant comme référence du

mètre original conservé aux Archives de France. Le mètre et le kilogramme originaux,

appelés Mètre des Archives et Kilogramme des Archives avaient été construits en 1799

comme représentant respectivement la longueur de la dix-millionième partie du quart du

méridien terrestre et la masse du décimètre cube d'eau.

1875 Signature de la Convention du Mètre.

1876-78 Rénovation des bâtiments du Pavillon de Breteuil et construction d'un

laboratoire ; embauche du personnel ; acquisition de l’équipement spécialisé pour les

comparaisons de longueur et de masse.

1878-89 Construction et mesure de trente mètres prototypes et de quarante

kilogrammes prototypes. Cela exigeait de comparer, avec une précision encore jamais

atteinte, les nouveaux étalons, à traits et à section en X, entre eux et avec le Mètre des

Archives, qui est un étalon à bouts. Cela impliquait la mise au point d'un appareillage spécial

de mesure et d'une échelle de température définie et reproductible. Choix d'un prototype du

mètre et d'un prototype du kilogramme destinés à devenir les Prototypes internationaux.

Distribution des prototypes nationaux. Les Prototypes internationaux sont déposées le 28

septembre 1889 au BIPM2 où ils sont encore conservés aujourd'hui.

1887 Michelson propose d'utiliser des interféromètres optiques pour mesurer les

longueurs. Par la suite, en 1907, il reçoit le Prix Nobel de physique, principalement pour ses

travaux en métrologie.

1892-93 Utilisation de l'interféromètre de Michelson au BIPM (par Michelson et

Benoît) pour déterminer la valeur du mètre en longueurs d'onde de la raie rouge du cadmium.

1906 La mesure ci-dessus est confirme par Benoît, Fabry et Pérot au moyen de

l'interféromètre de Pérot et Fabry.

1920 Prix Nobel de physique attribué Ch.-Ed. Guillaume, alors directeur du BIPM,

pour son invention des alliages spéciaux fer-nickel, en particulier de l'invar.

1921-36 Premières vérifications des prototypes nationaux par comparaison entre eux et

avec le Prototype international. Nouvelles déterminations améliorées du coefficient de

dilatation des prototypes.

2 BIPM Bureau International des Poids et Mesures


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1927 Accord international définissant l'Angstrom, fondé sur les déterminations de la

longueur d'onde de la raie rouge du cadmium faites en 1893 et 1906 ; l'Angstrom ainsi défini

sera utilisé comme unité de longueur en spectroscopie et en physique atomique jusqu'à ce qu'il

soit abandonné en 1960.

1952 Le CIPM décide d'étudier la possibilité de redéfinir le mètre en fonction d'une

longueur d'onde lumineuse et crée cet effet le Comité consultatif pour la définition du mètre

devenu aujourd'hui le Comité consultatif des longueurs.

1960 La CGPM adopte une définition du mètre fondé sur la longueur d'onde dans

le vide de la radiation correspondant une transition entre des niveaux d'énergie spécifiés de

l'atome de krypton 86. Au BIPM, la mesure des règles à trait en fonction de cette longueur

d'onde remplace les comparaisons de règles à traits entre elles ; installation d'un nouvel

équipement pour faire ces mesures par interférométrie optique.

1975 La CGPM recommande pour la vitesse de la lumière dans le vide une valeur

résultant des mesures de longueur d'onde et de fréquence du rayonnement d'un même laser.

1983 La CGPM redéfinit le mètre comme tant la longueur du trajet parcouru dans le

vide par la lumière pendant une fraction précise de seconde. Elle invite le CIPM à établir des

instructions pour la mise en pratique de cette nouvelle définition. Le CIPM, ayant anticipé

cette invitation, indique des méthodes générales pour relier directement les longueurs au

mètre tel qu'il vient d'être défini. Parmi ces méthodes figure l'emploi de la longueur d'onde

d'une des cinq radiations recommandées émises par des lasers ou de celles émises par des

lampes spectrales. Les valeurs des longueurs d'onde et des fréquences, ainsi que les

incertitudes associées, de ces radiations sont spécifiées dans la mise en pratique de la

définition du mètre. Au BIPM, la comparaison de fréquences de lasers par battements

optiques complète la mesure d'étalons à traits en fonction des longueurs d'onde de ces mêmes

lasers.

1987 Afin de vérifier l'exactitude des réalisations pratiques du mètre fondées sur la

nouvelle définition, le BIPM entreprend une nouvelle série de comparaisons internationales

de longueurs d'onde de radiations laser, par interférométrie optique, et de fréquences, par

battements. Ces dernières comprennent des comparaisons des composants des lasers, en

particulier des cellules d'absorption qui contiennent les atomes ou les molécules sur lesquels

le laser est asservi, ainsi que des comparaisons de l'ensemble (optique, tube à décharge,

cellule d'absorption et électronique.)

1992 Le CIPM décide, compte tenu des travaux effectués dans les laboratoires

nationaux et au BIPM, de diminuer notablement les incertitudes sur les radiations

recommandées mises par certains lasers figurant dans la mise en pratique et porte leur nombre

de cinq à huit.

1997 Le CIPM modifie la mise en pratique de 1992, en ajoutant quatre nouvelles

radiations mises par des lasers, ce qui porte leur nombre à douze, et en diminuant une

nouvelle fois les incertitudes associées aux radiations de certains lasers. Les travaux se

poursuivent au BIPM, comme ailleurs, pour identifier tes facteurs qui limitent actuellement la

reproductibilité des lasers, étalons de longueur d'onde et de fréquence.


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1.4 Le système international d’unités

Le système International d’unités a pour objet une meilleure uniformité, donc une meilleure

compréhension générale mutuelle.

Le Système International d’unités est un système cohérent d’unités qui comporte des unités de

base et des unités dérivées. Les 7 unités de base sont à considérer comme indépendante du

point de vue dimensionnel. Le SI donne également des recommandations concernant les

règles conventionnelles pour l’écriture des unités et des symboles.

Unité de longueur : le mètre (m)

Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de

1/299 792 458 de seconde.

Définition de la 17ème

Conférence Générale des Poids et Mesures de 1983

Unité de masse : le kilogramme (kg)

Le kilogramme est l’unité de masse. Il est égal à la masse du prototype international du

kilogramme.

Définition de la 1ère

CGPM de 1889 et de la 3ème

CGPM de 1901

Unité de temps : la seconde (s)

La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition

entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de césium 133.


CGPM de 1967.

Unité de courant électrique : l’ampère (A)

L’ampère est l’intensité d’un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs

parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une

distance de un mètre l’un de l’autre dans le vide produirait entre ces conducteurs une force

égale à 2.10-7

newton par mètre de longueur.

Définition de CIPM en 1946 et approuvée par la 9ème CGPM de 1948.

Unité de température thermodynamique : le Kelvin (K)

Le Kelvin, unité de température thermodynamique, est la fraction 1/273.16 de la température

thermodynamique du point triple de l’eau.


CGPM de 1967. Il est décidé également par la 13ème

CGPM que l’unité

Kelvin et son symbole K sont utilisés pour exprimer un intervalle ou une différence de

température.

Unité de quantité de matière : la mole (mol)


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La mole est la quantité de matière d’un système contenant autant d’entités élémentaires qu’il

y a d’atomes dans 0.012 kilogramme de carbone 12.

Lorsque l’on emploie la mole, les entités élémentaires doivent être spécifiées et peuvent être

des atomes, des molécules, des ions, d’autres particules ou des groupements spécifiés de telles

particules.


CGPM de 1971.

Unité d’intensité lumineuse : la candela

La candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée, d’une source qui émet un

rayonnement monochromatique de fréquence 540.10-12

hertz et dont l’intensité énergétique

dans cette direction est de 1/683 watt par stéradian.


CGPM de 1979.

Grandeurs fondamentales Unité Symbole

Longueur ( L ) mètre m

Masse ( M ) kilogramme kg

Temps ( T ) seconde s

Intensité de courant électrique ( I ) ampère A

Température thermodynamique ( ) kelvin K

Quantité de matière ( N ) mole mol

Intensité lumineuse ( J ) candela cd


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Unités dérivées

Grandeur Unité Symbole

Fréquence hertz Hz Heinrich Hertz,

Allemagne ( 1857-1894)

Force newton N Issac Newton, Angleterre

(1642-1727)

Pression, contrainte pascal Pa Blaise Pascal, France

(1623-1662)

Energie, travail joule J James Joule, Angleterre

(1818-1889 )

Puissance watt W James Watt, Ecosse

(1736-1819 )

Quantité d’électricité, charge électrique coulomb C Charles de Coulomb,

France (1736-1806 )

Potentiel électrique, tension électrique,

force électromotrice

volt V Alexandro Volta, Italie

(1745-1827 )

Capacité électrique farad F Michael Faraday,

Angleterre ( 1791-1867 )

Résistance électrique ohm Georges Ohm, Allemagne

( 1789-1854 )

Conductance électrique siemens S Werner Von Siemens

Allemagne (1816-1892)

Flux d’induction magnétique weber Wb Wilhelm Weber,

Allemagne ( 1816-1892 )

Induction ( champ ) magnétique

tesla T Nicola Tesla, Yougoslavie

( 1857-1943)

Inductance henry H Joseph Henry, Etats Unis

( 1797-1878 )

Flux lumineux lumen lm

Eclairement lumineux lux lx

Activité d’un radionucleide becquerel Bq Henry Becquerel, France

( 1852-1908 )

Dose absorbée, énergie communiquée

massique, kerma, indice de dose absorbée

gray Gy L.A Gray, Angleterre

(1905-1965 )

Equivalent de dose sievert Sv Rolf Sievert, Suède

(1896-1966 )

Température ( échelle Celsius ) Degré

Celsius

°C Andres Celsius, suède

(1701-1744 )


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SI MULTIPLES

FACTEURS PREFIXES SYMBOLES

1024

1000000000000000000000000

yotta Y

1021

1000000000000000000000

zetta Z

1018

1000000000000000000

exa E

1015

1000000000000000

peta P

1012

1000000000000

téra T

109

1000000000

giga G

106

1000000

méga M

103

1000

kilo k

102

100

hecto h

101

10

déca da

SI SOUS-

MULTIPLES

FACTEURS PREFIXES SYMBOLES

10-24

0.000000000000000000000001

yocto y

10-21

0.000000000000000000001

zepto z

10-18

0.000000000000000001

atto a

10-15

0.000000000000001

femto f

10-12

0.000000000001

pico p

10-9

0.000000001

nano n

10-6

0.000001

micro μ

10-3

0.001

milli m

10-2

0.01

centi c

10-1

0.1

déci d

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