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Analyse numérique avec TP INSA Toulouse

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DPARTEMENT STPITROISIME ANNEPRORIENTATION ICBEAnalyse NumriqueCours : A. Huard, P. PoncetTD : N. Dietrich, M. Fraisse, A. Huard, A. LinJ. Morchain, P. Poncet, G. Quinio, P. Villedieu2010/20112Table des matiresI Cours 51 Rsolution Numrique des Systmes Linaires 71.1 Problmes de rseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Sensibilit des systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Matrices symtriques dnies positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Equations et Systmes Non Linaires 352.1 Heron dAlexandrie et les racines carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Rsolution dune quation non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 Equations Diffrentielles Ordinaires 473.1 Equations Diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Pour en savoir plus... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3 Pour en savoir encore plus ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75II Sujets de Travaux Pratiques 811 Estimation de paramtres par la mthode des moindres carrs 831.1 Objectif du TP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.2 Principe de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.3 Travail demand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862 Rsolution dun systme non linaire par la mthode de Newton 892.1 Sujet du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.2 Travail demand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903 Equations Diffrentielles Ordinaires 914 Cintique chimique dun processus dozonation 934.1 Une raction enzymatique enzyme substrat . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2 Transfert dozone gaz-liquide et raction chimique en phase liquide . . . . 945 Stabilit des schmas dEDP 995.1 Formulation du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2 Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3 Euler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016 Construction dun solveur elliptique 1037 Ecoulement en conduite 1057.1 Ecoulement laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2 Ecoulement turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068 Modle K- pour les coulements turbulents 1078.1 Description de lexemple trait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.2 Echelles caractristiques de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11034Premire partieCours5Chapitre 1Rsolution numriquedes systmes linairesLtude des mthodes de rsolution des systmes linaires est une tape obligatoiredun cours de calcul scientique ; presque tous les calculs passent par la rsolution detels systmes : nous en avons rencontr loccasion de problmes dinterpolation etdapproximation, et lingnieur se trouve frquement confront la rsolution de tels sys-tmes.1.1 Problmes de rseauxUn rseau est un ensemble de noeuds Pi et dartes Ei,j reliant certains de cesnoeuds : lignes lctriques, canalisations deau, gouts,...Dans chaque arte circule un uide ; chaque noeud est associ un potentiel ; linten-sit (ou le dbit) du uide est proportionnelle la diffrence de potentiel entre les deux7extrmits de larte o il circule ; cest la loi dOhm pour les circuits lectriques :qi,j = ki,j(uiuj)Une loi physique de conservation (de Kirchoff dans le cas lectrique) impose un qui-libre : la somme algbrique des intensits en chaque noeud est gale la valeur de lasource (ou du puit) quil gure (0 sil est isol).Au noeud Pi, on a dans le cas du circuit lectrique :Si =

jqi,j =

jki,j(uiuj)Cette somme est tendue aux noeuds Pj adjacents de Pi; considrons le reseaureprsent par la gure ci-dessus. Les quations dquilibre scrivent :___S1 = k1,2(u1u2) +k1,9(u1u9)0 = k2,1(u2u1) +k2,9(u2u9) +k2,7(u2u7) +k2,3(u2u3) = S8 = k8,7(u8u7) +k8,9(u8u9)0 = k9,1(u9u1) +k9,2(u9u2) +k9,7(u9u7) +k9,8(u9u8)de sorte que lquilibre du systme est connu en rsolvant le systme linaireAu = Savec une matrice A dont les coefcients non nuls sont reprsents ci-dessous parune :A =______________ ______________Le second membre est dni par ST= (S1, 0, 0, S4, 0, S6, 0, S8, 0).On sait aujourdhui rsoudre assez correctement des systmes plusieurs millionsdinconnues (et dquations), lorsquils sont assez creux, cest--dire lorsque la matricedu systme possde beaucoup de coefcients nuls ; pour les systmes pleins, on com-mence avoir des problmes au-del de quelques centaines de milliers dinconnues.Cela dpend bien sur des performances des ordinateurs que lon utilise.8Pour les trs grands systmes, on utilise des mthodes itratives : on construit unesuite de vecteurs qui converge vers la solution. Ces mthodes sont adaptes aux grandssystmes creux car elles ne manipulent pas la matrice, mais seulement une fonction quiralise le produit de cette matrice avec un vecteur quelconque.Pour les systmes pleins, on utilise des mthodes directes, susceptibles de fournir lasolution en arithmtique exacte aprs un nombre ni doprations lmentaires. Ce sontces mthodes que nous tudierons dans ce cours.Les logiciels EXCEL et MATLAB proposent des solveurs de systmes linaires quimettent en oeuvre ce type de mthodes. La disponibilit de ces logiciels ne dispense pasde la connaissance du principe des algorithmes quils mettent en oeuvre, ne serait-ceque pour les utiliser bon escient, et pour comprendre les indications qui sont fournies,ou les messages derreur qui sont renvoys.1.2 Sensibilit des systmes linairesUn systme comme celui que lon vient de dcrire sera construit partir de valeursmesures. On peut se poser la question de la sensibilit de la solution dventuelleserreurs de mesures.Plus gnralement, le systme tant rsolu par ordinateur en effectuant un certainnombre doprations lmentaires, la solution sera-t-elle trs affecte par laccumulationderreurs darrondis quimplique cette succession doprations.1.2.1 ExempleOn considre le systme linaire :Ax =_ 0.780 0.5630.913 0.659_ _ x1x2_=_ 0.2170.254_= b (1.1)dont la solution est x = (1, 1)T.La solution approche

x1= (0.999, 1)T= x+1x peut sembler satisfaisante au vude sa faible diffrence avec la solution exacte; elle fournit le rsidu :r1= A

x1b =_ 0.000780.00091_Le vecteur x2= (0.341, 0.087)T= x + 2x ne semble pas tre un candidat rai-sonnable pour la rsolution de ce systme; et pourtant, cette fois, le rsidu est bien plussatisfaisant :r2= A

x2b =_ 0.0000010_9En terme de rsidus et derreur, on a obtenu, respectivement pour x1 et x2 :|x|2 0.001 1.126|r|2 0.0012 0.000001On constate ici que dans un cas, une modication trs lgre de la solution fournit unrsidu du mme ordre de grandeur, mais dans lautre une modication assez importantede cette solution fournit un rsidu trs petit.Une autre exprience consiste modier lgrement le second membre. Consid-rons le vecteur b =_ 0.76030.6496_et rsolvons A

x3= b +103b. Cette fois la solutionest approximativement_ 865.761199.84_soit en notant 3x = x

x3, |3x|2 1481.La gure suivante reprsente la solution exacte du systme Ax = b et les solutionsobtenues pour 100 perturbations alatoires du second membre, toutes infrieures ennorme euclidienne 0.0029.On peut imaginer que le second membre est le rsultat dune mesure, ou de calculsprcdents : accepteriez vous, par exemple, dtre le premier passager dun avion ensachant que sa conception est passe par la rsolution de ce systme!Le problme de la rsolution dun systme linaire nest pas toujours un problmefacile. On voit dja dans cet exemple trs simple que lon peut se poser la question desavoir si lon cherche le vecteur solution du systme, ou un vecteur qui vrie le systme.A prcision donne, les rponses peuvent tre trs diffrentes !1.2.2 Distance la singularitOn dit que la matrice A est singulire lorsque les systmes linaires de matrice A nesont pas inversibles. Une matrice A MN(R) sera donc singulire si lune ou lautre des10conditions quivalentes suivantes est vrie :- le dterminant de A est nul,- une des valeurs propres de A est nulle,- le rang de A est strictement infrieur N : cest le cas si les lignes (ou les colonnes)de A ne sont pas linairement indpendantes.Une interprt

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