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ANALYSE SPECTRALE D'UN SYST~ME PHYSIQUE REPRI~SENTABLE PAR UN RI~ISEAU I~ILECTItONIQUE ACT1F LINI~IAIRE STATIONNAIRE

p a r

P ie r re D A V I D

Docteur d 'Eta t : Sciences appliqu~es *

RI~SUMI~. - - Cet article s'applique it tout sgst~me, dispositi[ ou r~seau acti/ reprdsentable par un circuit lindaire dquivalenl ~ constantes loealisdes. Cetle reprdsentation caractdrise notamment les rdgimes de perils signaux en ce qui concerne un tube ~ vide, un transistor ou un dispositi[ queleonque it semieonducteur. L" auteur propose un modOle de rdseau actif susceptible de contenir tousles types de sources. Ce module, lid it une reprdsentation complete du constiluant dipolaire dlimentaire comprend tou]ours un dldment purement passi[ caract~risd par une impddance finie non nuUe, des sources actives d'excitation et des sources de fluctuation interne. L'auteur propose une relation matricielle, sous [orme explicite, permettant de d~finir les tensions ou les courants relatifs aux dl~ments passifs ; il donne une expression du d~terminant de cette relation et conclut it l'existence ct it

l'unicitd de sa solution.

PLAN. - - Notations utilis~es. I. Introduction. �9 I I : Rappels concernant le traitement des slgnaux et la th~orie des r~seaux. �9 I I I : Schema ~quivalent g~n~ral attaeh~ d an ~l~ment de r~seau I I I .1 . Structure de l'~l~ment; I I I .2 . Conventions et notations. �9 IV. Syst~mes de relations associ~es au rdseaa IV.1. Relations de ddfinition des source actives ; IV.2. Syst~me gdndral de relations attach~ au choix d'un arbre T ; IV.3. Expression du ddterminant du systkme gdndral. Conclusion. Annexes (4).

Bibliographie (46 r6f.).

[AI

[A~I

[AN]

[BI

[Bvl

[B f]

[BN]

B

[CN]

C

[DN]

N o t a t i o n u t i l i s 6 e

: m a t r i c e d ' u n sys t~me c[uelconque de re la t ions

a u x courar t ts i nd~pendan t e s du g raphe con-

nee t~ G. El le es t : ( u - - 1 ) • N.

: m a t r i e e des r e l a t ions a u x e o u r a n t s r e l a t ives

un jeu de v - - 1 nceuds de G ; e o m m e [A],

elle est ( v - - 1 ) • N.

: m a t r i e e c a r r i e N • N.

: m a t r i e e d ' u n sys t~me q u e l e o n q u e de re la t ions

a u x t ens ions i nd~pendan te s de G ; elle est :

( N - - v + 1) • N.

: m a t r i c e des r e l a t ions a u x t ens ions r e l a t ives

h u n jeu de N - - v + 1 boueles i n d 6 p e n d a n t e s

de G ; e o m m e (B), elle es t ( N - - v + 1) • N.

: m a t r i c e [Bv] par t ieu l i~re des r e l a t ions a u x

tcus ions des boueles [ d ' u n a rb re T de G.

: m a t r i e e earrfie N • N.

: h o m b r e de b r anches d ' u n a rb re T de G.

: m a t r i c e earr6e.

: n o m b r e de eordes d ' u n a rb re q u e l e o n q u e

T d e G .

: m a t r i c e c a r r i e N • N.

eok(v), ~ ( v ) : fonc t ions de la f r6quence d~fi-

n i s san t r e s p e c t i v e m e n t les sources de t ens ion

s u i v a n t e s r e l a t ives au k e ~16ment de G :

ac t ive , d ' e x c i t a t i o n ext~r ieure , de f luc tua-

t ions in te rnes .

lea(v) >, le0(v) >, I?(,) > : vecteurs ~ N dimensions r e s p e e t i v e m e n t f o r m , s des eak(V), des e0~(~),

e t des ~k(v).

F j : fa iseeau / assoei~ h la ]e b r a n e h e d ' u n a rb re

T d e G .

G : g raphe connec t6 suppo r t du r6seau g~n6ral

dtudi6.

[H2N], [H~ : m a t r i c e s ut i l is6es p o u r d~finir les

2 N sources ac t ives du r~seau.

[hev], [hed, [hjv], [hji]: sous -mat r i ces de [H2N] di tes (h).

[heeo], [heJo], [hjeo], [hjjo] : sous -ma t r i ces de [H~

ink(V), ik(u), iz~(v) : c o u r a n t s c i r cu l an t h t r a v e r s les

dip61es s u i v a n t s du k e 616ment du r6seau :

g6n6ral , pass i f r6el, pass i f id6al.

l in(v) > , [i(u) > , [iz(,) > : v e e t e u r s h N d imens ions ,

r e s p e e t i v e m e n t form6s p a r les ink(u), les ik(u),

les izk(V ).

jak(V), ]0k(V), Jk(V) : fonc t ions de la f r6quence d6fi-

n i s san t r e s p e c t i v e m e n t los sources de cou-

r a n t : a c t i ve , i nd6pendan te , de f l uc tua t ion

in te rne r e l a t ives au k e 616ment du r6scau.

Ija(v) > , Ijo(~) > , [j(~) > : v e c t e u r s h N d imens ions

r e s p e c t i v e m e n t form6s des jak(v), des jok(~),

des Jk(~)- k : indice en t i e r d ~ c r i v a n t les fi l6ments du

g raphe s u p p o r t G du r6seau, ainsi que les

* Institut Max Von L a t e - Paul Langcvin, Grenoble.

1/16 A. T~L~C., 28~ n ~ 1-2, 1973

5 6 P. DAVID. -- R E S E A U ]~LECTRONIQUE ACTIF L I N E A I R E STATIONNAII{E

cons t i tuants dipolaires appa r t enan t ~ ees 616ments (k = 1, 2 . . . . . N).

Lk : boucle f associ~e h la k e corde d ' un arbre donn6 T.

N : n o m b r e d'~l~ments du graphe G.

NT : n o m b r e d 'arbres du graphe G.

[Q~] : matr ic ~ - expr iman t la loi aux courants de G exprim~e su ivan t v - - 1 faisceaux de coupure ind6pendants . Elle est ( v - - 1 ) • N.

[Q~] : matrice [Q~] particuli~re des relations aux courants de G ~crites su ivant les v - - 1 fais- ceaux / d ' un arbre T.

[ReN], [R~ : matrices carries 2 N • 2 N expr imant la loi de d6pendance des sources actives.

[S~2v] : matr ice 2 N • 2 N utilis~e pour la m~me

raison que [R2N ] et [R~ vd~(,), vk(v), vzk(.) : tensions relatives au k e ~l~ment

du r~seau en ce qui concerne respect ivement les dip61es : g~n~ral, passif r~el, passif id6al.

]vd(.) > , IV(~) > , IVz(v) > : veeteurs h N dimensions respect ivement form,s : des vae(v), des

v/c(~), des vz~(~).

[xa(v) > , Ix(,) > , Ixz(v) > : vecteurs ~ 2 N compo- santes rnixtes tensions-courants .

lYa(') > , lYo(V)>, [ ~ ( v ) > : vecteurs h 2 N com- posantes mixtes d6finis h par t i r de t o u s l e s types de sources du r6seau.

ze(u) : impedance attach6e au k e ~16ment de G ; pour abr~ger, nous la d6signerons aussi par

Zk.

[z] : matrice diagonale des imp6dances Zk(U) du r6seau.

[XBQ] : matr ice topologique N • 2 N.

- - arbres du graphe,

- - systbmes fondamen taux de faisceaux, /(a) et de

boucles, /(b) attach6es au choix d ' u n arbre du

graphe (*).

L'~cri ture de jeux complets de relations ind6pen- dantes aux courants et aux tensions de Kirchhoff est alors in t imement li6e h ces not ions topologiques.

Parmi les 6tudcs de r6seaux actifs les plus r~centes, los formulat ions et condit ions d 'existence et d 'unici t6 des solutions [15, 17], les m6thodes topologiques d ' inves t iga t ion des d6terminants [31, 32] demeurent souvent tr6s complexes. Nous proposons ici un mod61e utilisable en analyse spectrale (espace des fr6quences)

et pouvan t s 'appliquer aux ph6nom~nes de bruit . La relative simplicit6 de formula t ion est due au choix d ' u n schema g6n6ral unique pour tou t cons t i tuan t

dipolaire 616mentaire du r~seau. Une repr6sentat ion g~n~rale du earaet6re actif de

chaque eons t i tuan t a fit~ in i t ia lement donn6e par A. Sageau [101. Nous d6velopperons et 6tendrons ici le modble eon~u par eet auteur .

L 'analyse qui suit supposera done aequises un certain nombre de notions concernant la th~orie des r6seaux, le t r a i t emen t du signal et eelles appa r t enan t h la th~orie des ph6nom~nes al6atoires [38, 42, 431 ; uous rappellerons l 'essentiel de ces notions.

Nous nous int6resserons 6galement /~ l 'expression du d6 te rmiaan t du syst~me matr iciel g~n6ral ; elle rev~t en effet une grande importance dans la d~termi- na t ion des fr6quences naturel les (r6elles ou complexes) et des solutions du syst~me. L'expression se r6duit h une simple sommat ion sur les arbres du r6seau dans lc cas off tous les 616merits actifs sont supprim6s ; il s ' in t rodui t alors la not ion de r6seau passif associ6.

I. I N T B O D U C T I O N

II . I~APPELS C O N C E R N A N T LE T R A I T E M E N T D E S S I G N A U X E T LA T H ~ . O B I E D E S B ~ . S E A U X

Cette 6tude s 'appl ique h tou t syst6me, dispositif ou r6seau actif repr6sentable par un circuit lin6aire 6quivalent h constantes localis6es; cette represen- ta t ion caract6rise n o t a m m e n t les r6gimes de peti ts s ignaux en ce qui concerne un tube h vide, un t ran- sistor ou un dispositif quelconque h semi-conducteur.

Nous nous situous doric ici dans le cadre g6n6ral de la th6orie des r6seaux, objet de nombreuses publi-

cations [1 h 18] et de la th6orie des syst6mes sans m6moire.

Nous nous int6ressons essentiel lement auK r6seaux

con tenan t des sources imparfaites, c'est-fi-dire dont chaque cons t i tuan t s'associe h un 616ment passif ; cc dernier est en g6n~ral dissipatif et siSge de fluctuations.

Depuis les 6tudes topologiques fondamentales faites n o t a m m e n t par P. R. Bryan t [24], C. L. Coates [25], Seshu et Reed [3], puis A. Sageau [10], il faut souli- gner l ' impor tance des not ions suivantes :

2.1. T r a i t e m e n t du s ignal [40, 42, 43, 44] (voir Annexe I).

I1 faut dist inguer essentiel lement deux types de sources 61~mentaires d 'exc i ta t ion duns un r6seau :

a) les sources appliqu6es ext~rieurement. Elles sont suppos6es connues ~ chaque ins tan t et cr6ent

par consequent des s ignaux d6terministes dans chaque

dip61e const i tut i f du r6seau ;

b) les sources de bru i t internes des 616ments.

E n r~gime d'6quilibre stat is t ique, tes sources de bru i t ~l~mentaires cr~ent des s ignaux al~atoires ergodiques et centr6s dans chaque dip61e du r6seau. A une dur6e T o d 'observa t ion suffisamment grande

(*) Les notions (a) et (b) ci-dessus d~finies sont respecti- vement d6signdes/-cut set et/-circuits en terminologie anglo- saxonne.

A. T~:Lkc., 28, n ~ 1-2, 1973 2/16

P. D&VID. -- RESEAU E L E C T R O N I Q U E ACTIF LIN~iAIRE

correspond une r6al isa t ion par t icul i~re de ehacune des fonct ions al6atoires repr6senta t ives . Ces r6alisa- t ions par t icul i6res sont des fonct ions d6terminis tes du t e m p s ; ma t t t~mat iquement , elles jouen t done un r61e similaire h celles du eas a) r ue s p e n d a n t la dur6e

T O �9

Par ailleurs, h une r6al isat ion par t icul i6re de la fonct ion al~atoire X(t) cor respond une t ransform~e de F o u r i e r ; cet te derni~re est elle-m6me une r6ali- sa t ion part icul i~re d 'une fonct ion al6atoire de la fr6- quence x(~). La not ion de paire de Four ie r s ' app l ique ainsi au cas s toehas t ique et l ' on note :

x(t) ~- x(~).

Nous ut i l iserons ici la no ta t ion vector iel le condens6e de Dirae associ~e h u n er~semble de fonct ions d6ter- minis tes ou al~atoires ; darts un espace 5 N dimensions, nous 6crirons d o n c :

/ x ~ ( t ) Ix ( t )> = /x..~(t) ) .

De m~me, le vec teur d6terminis te ou a16atoire des t ransform6es de Four ie r des X~(/)sera not6 I x ( v ) > :

/ X l ( 9 ) \

Ix (v)> : - " |x~(~) | ,

" " \x~(~) l o~ : Xdt ) ~ xd~).

IX (t) > et Ix (~) > forment ce que l 'on appel le une pai re de Four ie r de vec teurs e t Yon note :

Ix(t) > ~ Ix(v)>

Rappe lons la not ion de d6pendanee lin6aire et

homog6ne entre deux vec teurs IX (t) > et I Y (t) > de l 'espace h N d imens ions ; en th6orie des s ignaux, cet te not ion se t r adu i t pa r la g6n~ralisat ion des rela- t ions (I-b) et (I-c) de l ' annexe I sous forme matr ic ie l le .

Dans l 'espace des temps , cet te d~pendance s ' expr ime par un syst6me de re la t ions de la forme :

N (1) Y~(t) = E H~flt) * Xj(t) ;

J = l

soit darts l ' espaee des fr6quenees : N

(2) Yk(~) = E b.#~) X/~) , ~-1

c'est-t~-dire sous forme condens6e :

(2 bis) y(v) = [h.(v)]lx(, ) > .

I1 s ' i n t rodu i t ici la not ion de mat r i ce de gains complexes [h (~)1 appl icable ~ l '6 tude des s ignaux dans les r6 seaux ; on dol t alors ut i l iser les mat r ices d ' imp6dance et de d6finit ion des sources aet ives (w 4-1).

En r6sum6, les not ions que nous venons de rappe le r s ' app l iquen t ~ un ensemble d'616ments phys iques dont les eompor temen t s individuels d 'une p a r t et les inter- act ions d ' au t r e p a r t res ten t l in6aires, s ta t ionnai res et komog~nes dans te temps . Nous adap te rons ce

STATIONNAIRE 5 7

t r a i t e m e n t ~t l ' ana lyse propos6e apr6s avoir rappel6 l 'essent iel des r6sul ta ts in t6ressants concernan t la

th6orie des graphes.

2.2. Jeux complets de lois de Kirchhoff lin6airement ind6pendantes relatives ~t un graphe connect6 G comprenant v ncvuds et N 616ments.

Nous rappelons i c i e t en annexe I I l 'essent iel des not ions t ra i t6es en d6tai l darts l ' ouvrage [3].

Les re la t ions de ce p a r a g r a p h e seront ~crites dans l 'espace des f r6quences ; leurs coefficients v a l a n t 0, § 1 ou - - 1, elles demeuren t vraies dans l ' espace

des temps.

2.2.1. Jeux de [ormes matricielles d~crivant la Ioi aux courants d'un graphe connect~ G.

2.2.1.1. Existence de deux tgpes essentiels de ]eux

[A~I et [Q3I.

Consid6rons un jeu de v - - t nceuds d i t de p remier t ype d 'une p a r t et un second jeu de v - - 1 fa isceaux de coupure ind6pendants entre eux, di ts de second t y p e ; ces j eux a p p a r t e n a n t au graphe G s 'associent r e spec t ivemen t ~ deux syst~mes comple ts de re la t ions de Kirchhoff l in6ai rement ind6pendantes :

(3) [ A ~ ] l i a ( v ) > = 0 , et (4) [ Q ~ ] [ i a ( ~ ) > = 0 .

Dans les syst~mes (3) e t (4), les indices ~ et ~ d~er ivent r e spec t ivement les j eux de premier e t de second t ype eontenus dans G.

[A~] et [Q~] sont des matr ices rectangles (v- - l ) • N, o 6 tant le hombre de noeuds et N le hombre d'616ments du r6seau. On mmtt re alors que t o u s l e s syst~mes de t ype (3) ou (4) sont r igoureusement 6quivalents en t re eux, au sens de l ' annexe II-2. Ainsi, la no t ion de loi aux eourants d ' u n graphe connect6 p rend son plein s ens ; on garde alors route l ibert~ d ' express ion de eet te loi clans le ehoix possible entre t o u s l e s systgmes de re la t ions eit6s.

2.2.1.2. Tgpe particulier de matrice Q3 li~ au ehoix d'un arbre T de G.

Une mat r i ce Q~ associ6e au jeu de fa isceaux f d ' un arbre T e s t not6e [Q f]. Pa r d6finition, un faisceau f cont ien t tou jours une et une seule brancl~e de T ; ordonnons les composantes de lia(v) > sous la forme :

(3) lid v)> [/i'<v)>l = [ l i c ( , ) >1'

liB(v) > et l ic (~)> 6 tant r e spec t ivement : le vcc teur form6 par les courants des branches de T et celui form~ pa r les courants des cordes de T.

[Q f] se d@ompose alors en deux sous-matr ices : l 'une est uni t6 d 'o rd re v - 1, l ' au t r e not6e [QYn] est rectangle, (o - - 1) • (N - - v + 1) e t il v ien t la re la t ion :

(6) l iB(v )> + (Q~l~)li~(~)/> 0 , VT ~ ~ .

3 / 1 6 A, T~LEE., 28, n ~ 1-2, 1973

~ P. DAVID. -- RESEAU t~LECTRONIQUE ACTIF L I N ~ A I R E STATIONNAItlt~

2.2.2. Jeu de formes matricielles d~erivant la loi a u x tensions d'un graphe conneet~ O.

2.2.2.1. den de lormes [Br].

Tout jeu de N - - v + 1 boucles ind6pendantes d ' u n graphe connect6 G donne lieu h u n syst~me complet de relations de Kirchhoff aux tensions l in6airement ind~pendantes :

(7) [Bv][va(v ) > = O,

l ' indice y d6crivant les j eux possibles de boucles. Ainsi, [By] est une rnatrice rectangle :

( N - - v + 1) x N .

Ici encore, tous les syst~mes de type (7) sont rigou- reusement 6quivalents entre e u x ; eela donne son plein sens h la no t ion de loi aux tensions d'un graphe

connectS.

2.2.2.2. Type particulier de matrice B.~ lid au choix d'un arbre T de G.

Une matrice B v associ6e au jeu de boucles / d ' u n

arbre T est not6e [By].

Par d6finition, chaque boucle / eont ient toujours une et une seule corde de T et si les composantes de

Ion(v) > sont ordonn6es sous la forme :

IVB(V)> et lYe(V)> dtant respect ivement : le veeteur form6 par les tensions des branches de T et eelui form~ par les tensions des eordes de T,

[By] se d6eompose alors en deux sons-matrices : l 'une unit~ d 'ordre N - - v + 1, l ' au t re rectangle,

(N - - v + I) • (v - - 1 ) est not re [B/n]. Rappelons

alors le r6sultat :

(9) ivy(,)> § = o , VT ~ G.

Les relations (6) et (9) expr iment le th6or6me

fondamenta l 6-3 de [3].

Remarque importante.

Les relat ions (6) et (9 ) l ien t la not ion fondamenta le d 'arbre ~ l 'existence de syst6mes complets et ind6pen- dants des lois de Kirchhoff d ' u n graphe. Par ailleurs, la not ion d 'arbre impose des contraintes a priori : h u n arbre T s'associe u n jeu de v - - i parambtres libres tensions : celles des branches de T et uu jeu de N - - v § t parambtres libres courants : ceux des

cordes de T.

Rappel d'un thdordme important [3].

D'apr6s [3, w 5-4], les matr ices QYn et - - B y ~ sont transpos6es l 'une de l ' au t re et nous poserons :

(10) [~z] = -- [Byz2 ] = [QYll] �9

2.2.3. Exemple d'~criture des relations ( 5 ) e t (7).

Les figures 1 a e t 1 b sont relatives au m6me graphe G. Le sens convent ionnel du courant de chaque 616-

i I I I

- . . - -_~/ . . ._ . ._ . . . . ._ ._ .~- I I I ib3

ica I///

I i r ~ /

C7

I Ib 7 I

\ ~3 ib2 \

F4

~. C~ \

•F5 Ic5

i C, ~ ~ Notation

~ Fj affect6e b Coupure C du / ~ v ~ . / chaque dipble

j~ faisceau f de sens--Fj -~

Fro. 1 a. - - E x e m p l e de j e u x de fa i sceaux / d ' u n a r b r e T d ' u n graphe . - - . . . . b r a n c h e s de l ' a rb r e T ; . . . . cordes de l ' a rb r e T.

VC 1

\ I \ I Vb2 \

I ' ~ \ \ \

V VC2

t// Vc3 ~

I x \

I t

Vb5 r

~ _ ~ Ls ------.,.,.....~ ~ ~

VC5

Lk

Sans d'orientation de la k~ boucle-f

Fzu. 1 b . - - J e u de boucles/associ6 au graphe de la figure 1 a. - - - - branches de l'arbre T; . . . . cordes de l'arbre T.

A. TEL~C., 28, n ~ 1-2, 1973 4/16

P. DAVID. -- RESEAU ~2LECTRONIQUE ACTIF LINI~AII1E STATIONNAIt lE 5 9

mer i t de G est visual is~ sur ces f igures pa r une fl~che

para l lg le fi l ' ~ l~ment e t qui en t r e dans ee dern ie r p a r

la bo rne n o t r e + ; les b r a n c h e s et les eordes de T

son t eu ou t r e indiqu6es s u i v a n t la l~gende :

- - & Ia ]~ b r a n c h e bj affeet~e du c o u r a n t ibj et de

la t ens ion Vbl s 'associe l ' u u i q u e fa isceau [ not~ Fj d o n t la coupure est n o t r e C j ; a f fec tous h ce t t e der-

n i t r e le seas c o n v e n t i o n u e l choisi p o u r le c o u r a n t de

bt e t no tons ce sens - - F j - - > ;

- - & la k e corde Ck affect~e du c o u r a u t ice et de la

t e n s i o n vce s 'associe l ' u n i q u e bouc le ] n o t r e L ~ ;

af fec tons '~ ce t t e derui~re le seas c o n v e n t i o n n e l choisi

p o u r le c o u r a n t de Ce e t no tons ee sens --Lk---~.

�9 Posons v - - l - - B : h o m b r e de b ranches , et

N - - v + 1 - C : u o m b r e de cordes de T.

Quel que soit ] en t i e r v a r i a n t de 1 & B, la s o m m e

a lg~br ique s u i v a n t - - F~ - + des c o u r a n t s du fa isceau

F 1 do i t ~tre nul le .

De mfime, que l que soi t k en t i e r v a r i a n t de 1 ~ C,

la s o m m e a lg~br ique s u i v a n t - - L k - - - ~ des t ens ions

de Lg do i t ~tre nul le ; une t e n s i o n d '~16ment es t alors

affeet6e du sigtte + si le sens e o n v e n t i o n n e l du e o u r a n t

de l '~16ment co inc ide avee - - L g - * , la fi~ehe a y a u t

ce seas en t r e alors duns l '616meut p a r la bo rne not6e + ;

la t ens ion d ' d l~men t est affect6e du s igne - - darts le

cas con t ra i re .

Tel les sou t les express ions s u i v a n t l ' a rb r e T des lois

a u x eou ran t s e t a u x t ens ions de K i r chhof f r e l a t i v e s

h G .

Darts l ' e x e m p l e eonc re t du g raphe des f igures 1 a

e t 1 b e t p o u r l ' a r b r e T ehoisi , ]VB(V)> e t ] v c ( v ) >

se r ep r f i s en teu t r e s p e c t i v e m c n t p a r les m a t r i c e s

co lonnes :

I v q

VbTA

Oclq , e t i v r ~ / .

LVcsJ

L '6c r i t u r e des r e l a t ions (6) e t (9), e o m p t e t enu de

(10), d o n n e n t alors :

I - - l , 1, 0, 0, 0, 0, ~ -

0, 1, 1, 1, - - 1, - - 1, [ a ] = ~ 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1 .

l 0, 0, 0, - - 1, 1, 1, . 0, 0, 0, 0, 1, 0, _

Remarques ggn~rales.

a) L a th6or ie g6n~rale rappe l~e au p a r a g r a p h e 2.2

ut i l i se d i r e e t e m e n t les j e u x de va r i ab l e s t ens ions e t

c o u r a n t s des ~ l ~ m e n t s ; e e p e n d a n t , les va r i ab l e s :

c o u r a n t s de boueles e t t ens ions de noeuds, p e u v e n t

~ g a l e m e n t 6tre employ6es (3, w 6.2 e t 6.4)

b) A. Sageau [10] pa r t i eu l a r i s e en fa i t la d6f in i t ion

g~n6rale d ' a r b r e en la r e n d a n t p lus s imple : chemin qui contient tousles nceuds sans [ormer une boucle. Les

r6su l t a t s t opo log iques donu6s pa r ee t a u t e u r son t

semblab les & eeux rappel6s iei.

I I I . S C H I ~ M A ~ . Q U I V A L E N T G~NI~I : tAL A T T A C I - I ~ A U N ~ . L ~ I M E N T D E I ~ S E A U

3 .1 . S t r u c t u r e d e l ' ~ l ~ m e n t .

Nous u t i l i se rons le modu le g6n~ral de dip61e ~l~-

m e n t a i r e de r6seau donn~ i n i t i a l e m e n t p a r B r y a n t [2]

p o u r les r~seaux passifs, puis pa r A. Sageau ([10],

chap. II) ; nous 6 tendrons l ' a u a l y s e a u x ph~nombnes

de brui t .

Darts le module d6ve lopp~ iei, sauf i n d i c a t i o n

con t ra i re , le dip61e ~l~menta i re de r~seau c o n t i e n t

t o u j o u r s un c o m p o s a n t pass i f r6el suscep t ib le de

s ' assoc ier h une souree de t en s ion de ou c o u r a n t ; ee t t e

derni~re p e u t 6tre de d ivers t y p e s :

a) soi t d ' e x c i t a t i o n ex t6 r i eu re ou i n d ~ p e n d a n t e .

El le r ep r6sen te une i n f o r m a t i o n ou une p e r t u r b a t i o n

ex t6r ieure appor t~e au r6seau ; elle ne d6pend doric

pas de la s t r u c t u r e in t e rne de ce dern ie r ;

b) soi t a c t i ve d~pendan t e , r e p r 6 s e n t a n t une in te r -

a c t i on a v e c les au t re s 616ments du r~seau ;

c) soi t une e o m b i n a i s o n des d e u x t y p e s pr6c6dents .

P a r ai l leurs , l ' a s soc i a t i on la p lus s imple en t r e un

~l~ment pass i f e t une source est :

- - soi t celle en s~rie a v e c une source de t e n s i o n ;

- - soi t celle en paral l~le a v e c uue source de e o u r a n t .

La r e p r e s e n t a t i o n s imple et g~ndrale d ' u n ~ l~ment

de r~seau e n g l o b a n t ces d e u x ~ven tua l i t~s se t r a d u i t

ainsi p a r le s c h e m a m i x t e sSrie-paral l~le de la f igure 2.

ik(v)

Element passif r~el

+ ~ V k (V)

Jok (u)

Q5 Jak (v)

i d l y ) " ~ 0

I I + ~l-ea k (#'~ -

I-- + I'~ k (r')'[ - I

- t - ~ Vdk (v) - - I

FIG. 2. - - S c h e m a d e s c r i p t i f d u k e dip61e g6n~ra l . Le k e dip61e g6n6ral se eompose : du k e dip61e passif r6eI d6fini figure 3, des sourees de tension active eak(V) et d'exeitation ext6rieure eok(v), des sources de courant actif Jak(V) et d'exeitation

ext~rieure ]0g(v).

De mau i~re g~n~rale, le c o m p o s a n t pass i f r~el p e u t

~tre repr~sent~ p a r l ' a s soc ia t ion d ' u n ~l~ment pass i f

ideal d~nu~ de b r u i t :

- - soi t en s~rie a v e c une source p u r e de t e n s i o n

de f l u c t u a t i o n ;

- - soi t en paral l~le a v e c une source p u r e de c o u r a n t

de f l uc tua t ion .

5 / 1 6 A. T/~Ls 28. n ~ 1-2, 1973

6 0 P. DAVID. -- RI~SEAU I~LECTRONIQUE ACTIF LINI~AIRE STATIONNAIRE

La repr6senta t ion simple eL g6n6rale d ' u n composan t passif englobant ces deux 6ventual i t6s se t r a d u i t done pa r le sell6ma mix te s6rie-parall~le de la figure 3.

L'616ment passif id6al affect6 a u k e dip61e 616men- ta i re du r6seau se caract6rise un iquemen t pa r l ' imp6- dance interne zk(v).

l izk(V)

I + ~ Vzk(V)

I I

+ ~ v k (v)

~'k ( U )

Element ~ _ passif ideal

z k (v) I I-

..I_ ~,,~,.~k (0)_ - -

, ik(v} O _

(14)

Fro. 3. - - Sch6ma deseriptif du k ~ dip61e passif r6el. Le (15) k ~ dip61e passif r6el se compose : des sources de bruit de ten- sion ek(v) et de courant j'k(v), d'un dip61e passif id6al earaet6- Remarque.

ris6 par l'imp~dance zk(~).

3.2. Conventions et notation.

dip61e passif r6el, /t la source ac t ive de courant , h la source ind6pendante de couran t ; on leur affecte alg6- b r iquemen t le signe + s'ils en t r en t pa r la borne du dip61e g6n6ral not6e + , ce qui p e r m e t d '6crire :

(12) idk(v) = i~(v) + jak(V) + jok(V) ;

c) j~(v) et ezc(v) repr6senten t r e spec t ivemen t le cou- r an t et la tens ion de f luc tua t ion relat ifs A l'616ment passif r6el repr6sent6 sur la figure 3 ; izk(v) et Vzk(V) 6 tant le eouran t et la tension relat ifs h l '616ment passif id6al d ' imp6dance in terne zz(v), on 6erira :

(13) vzk(v) : zk(v) izk(V) .

Les convent ions de signe concernan t les tensions et les courants 6 tant tou jours celles indiqu6es en a) et b) et sur la figure 3, il v i en t :

i~(v) - i~(v) + ~ ( v ) ,

v~(v) - v~(v) + e~(v)

La convent ion su ivan t laquelle tou t couran t e n t r an t clans l '616ment g6n6ral pa r la borne not6e + est affect6 du signe + coincide avec celle adopt6e au para - graphe 2.2.3.

3.2.1. P a r a m d t r e s individuels des ~l~ment~. Aria de formuler e l a i rement toutes les re la t ions

matr ic ie l les du r6seau, on doi t imposer une num6ro- t a t i on A tou tes les 6quat ions alg6briques en m6me temps q u ' a u x divers p a r a m ~ t r e s , tensions et eourants d6finis au pa r ag raphe 3.1.

Convention.

Les param6t res du k e dip61e g6n6ral seront caract6- ris6s pa r l ' indice k et ce dip61e donnera lieu ~t la k e relatiorL d 'un t y p e bien d6fini : soit aux courants , soit aux tensions, soit d ' in t e rac t ion , soir de l '616ment passif r6el si~ge de f luctuat ions.

Ainsi, la num6ro ta t ion a priori arb i t r a i re choisie pour les 616ments d6fini t eompl~tement et sans ambigu~t6 l '6cr i ture de t ou t vec teur et de t ou t e mat r i ce de coefficients e x p r i m a n t les re la t ions du r6seau.

Appelons : a~(v) ~ - Ak(t) la pai re de Four ie r d6cri- r a n t un signal d ' u n t ype d6termin6 re la t i f a u k e dip61e g6n6ral du r6seau ; dans l ' espaee des fr6quences, ces divers types sont symbolis6s et d6finis de la mani6re su ivante (Fig. 2) :

a) Yak(v), vk(v), eaz(V), eo~(V) repr6sentent respect i - vemen t les tensions aux bornes du dip61e g6n6ral, du dip61e passif r6el, de la source d6pendante act ive , de la source ind6pendan te ; eompte tenu d 'une convent ion alg6brique simple eoneernan t les signes des tensions in ternes (Fig. 2), nous 6crivons alors :

(11) Vdk(v) : Vk(V) + ea/~(v) + e0k(v) ;

b) ink(v), ik(v), jak(V), jok(V) repr6sentent respect i - vemen t les couran ts relat i fs : au dip61e g6n6ral, au

3.2.2. Notation vectorielle e t relations d N dimensions .

Conform6ment /~ la no ta t ion du pa r a g ra phe 2.1, h la paire de Four ie r de fonct ions :

ak(v) ~ - Ak(t),

s 'associe les paires de Four ie r de vecteurs :

]a(v)> ~ [ A ( 0 > ,

l ' indice ent ier k va r i a n t de 1 h N.

3.2.3. Notation e t relations vectorieUes d 2N dimensions .

Posons :

: I_[iz(v) > j ' Ix(v) > : l l i(,) > l '

lye(,) > = f lea(v) > 1 , > = I_li (v) > 1 / > j

l y o ( , ) > = l l J0(v)>J ' lY( ) > klS( ) >j" Ces no ta t ions p e r m e t t e n t alors de condenser tou tes

les re la t ions de t ype (11) et de t y p e (12) en une seule re la t ion vectoriel le de l ' espace h 2 N dimensions :

(16) [xa(v)> = Ix(v) > + lYa(V)> + lY0(V) > .

Les re la t ions (14) et (15) concernan t l ' ex is tence des sources de b ru i t des 616ments passifs s '6cr ivent alors :

(17) Ix (v )> = IXz(V)> + l y ( v ) > .

A. T~L~C., 28, n o~ 1-2, 1973 6/16

P. DAVID. - RESEAU I~LECTRONIQUE ACTIF LINI~AIRE STATIONNAIRE 61

IV. SYSTI~.ME DE BELATIONS ASSOCII~.ES AU I:tl~.SEAU

4.1. Relations de d6finition des sources actives.

off :

[H~N] = [R~N] -1 [S2N] et [HOp] = [R2N] -~ [R~

En outre, nous devons ~crire l ' ensemble des N rela- t ions (13) sous forme condens6e :

(24) [Vz(U)> = (z)[iz('~)>.

La not ion de d6pendarrce ti~6aire et homog6ne ent re vecteurs rappel6e au p a r a g r a p h e 2.1 (rela- t ion 2 bis) sera utilis6e iei. Darts ce mod61e, tou te d6pendance des sources act ives en fonct ion des sources de b ru i t internes sera exclue ; les sources de b ru i t seront pa r ail leurs suppos6es ind6pendantes entre elles, soit en d ' au t res te rmes non corr616es.

D'apr~s la re la t ion (16), 3 des vec teurs Ixa(~) > ,

Ix(~) > , lya(v ) > , lY0(V ) > sont suffisants pour expr imer la loi de d6pendance des sources act ives en fonct ion de tou tes les tensions et de t o u s l e s eourants ex i s t an t darts le r6seau ; nous pouvons n o t a m m e n t 6erire cet te loi sous la forme :

(18) [Ruzvl lya(v)>--[S2N] [x(~)>-- (R~

[R2N ] est en g6n6ral la somme de la mat r i ee t

unit6 12N et d 'une mat r i ce BeN ne c o m p o r t a n t pas de te rmes sur sa diagonale pr incipale , IRON] est alors fixde par les d~pendances des sources act ives :

- - entre elles d 'une par t ,

- - en fonction du vec teur Ixa(~)> d ' au t r e par t .

On 6crit done :

([9) [R2N] = [1'~2N] + [I2N],

et l ' inverse de [R2N ] existe en g6n6ral ; le d6velop- pemen t du d6 te rminan t de la somme de deux mat r ices se d6dui t en effet de l ' express ion (35) du para - graphe 4.3.2., lorsque l 'on remplace t ou t Zk~,, pa r

l 'unit6. Pa r cons6quent, la p r6mnl t ip l i ca t ion de la re la t ion (18) pa r [R2N] -1 en t ra ine une expression explici te des sources act ives su ivan t la forme :

(20) l g a > - [ H 2 N I [ X ( V ) > + [HON]]Y0(V)>.

Duns beaueoup d 'app l iea t ions , [R2N ] se r6dui t la mat r iee uuit~ et la re la t ion (20) dev ien t une t ra- due t ion expliei te direete sans iu term6diai res de ca lcu l s ; si nous d6tail lons cet te re la t ion en te rmes de veetenrs tensimls et courants ~ N dimensions, nous devons 6crire :

(21) ]ea('r =

[hey]IV(V) > + [ha]l i(~) > + [heeo 11 eo(~) > + [hejo]lj o(~) > ,

(22) [ j a ( V ) > - -

[hjvl]v(u)> + [hzlli(v) > + [hie0l[ co(v)> + [hz0l[Jo(~) > -

Les hui t mat r ices uti les en g6n6ral sont carr6es et d 'o rd re N e t chacune des mat r ices carr6es d 'o rdre 2 N : [H2N ] e t [H~ s '6cri t h l ' a ide de qua t re sous- mat r ices de t y p e [h] :

(23) [H~NI = [[h~vl, [h~dJ ' [[h/col, [hi jol] '

4.2. Systbme g6n6ral de relations attach6 au choix d'un arbre T.

Les re la t ions de Kirchhoff aux tensions et aux courants des pa rag raphes 2.2.1 et 2.2.2 pe uve n t se condenser sous la forme :

[ ; ~ , Q l [ x d ( ~ ) > = 0 , en posan t :

[[BA ; [0]cu| [~BQ] : I [0 ]BN ; [Qf] 1'

off [O]c N et [O]BN sont r e spec t ivemen t les mat r ices rectangles nulles [C • N] et [B • N] ; compte tenu de la re la t ion (16), il v i en t donc :

(25) [ZBQ] {]x(~)> + ly~(~)> + lYo(~)>} : 0.

Les formes explici tes des mat r ices carr6es d 'o rd re 2 N : [H2N ] e t [HOw] donn6es pa r les expressions (23) sont d6finies ~t p a r t i r des re la t ions (21) et (22) ; compte t enu des 6quat ions (20), (24) et (25), les calculs de l ' annexe conduisent ~ un r6sul ta t tr6s g6n6ral ru l ab le darts l ' espace des fr6quences :

(26) {[AN] [z] + [BN]}I i (v)> + [ANII~j(v)> +

[CNlleo(,)> + [DNllJo(~)> = 0 .

Le vec teur I~ej > est d6fini pa r l ' ensemble de routes les f luctuat ions internes et s ' expr ime comme sui t :

Pa r ail leurs, les mat r ices carr6es d 'o rd re N : A N , BN, CN, DN s '6cr ivea t sous la forme :

(27)

[ANI= [[Byl [kevl ] [Qfl [hjv] [By] [keeo]]

[ON] = [QA [hjeolJ

[ [BI ] [hal ] ; [ B N ] : [ [ Q f ] [kill '

II. l Ihejoq ; [ D N I = [_[QII [k::o]] "

Les matr ices carr6es d 'o rdre N dites [k] sont alors d6finies comme suit :

i [key] = [hey] + [IN] ; [kit] = [hji] + [I2v] ; (28)

[keeo] [heeo] + [IN] ; [kyjo] [hjyo] + [ I N ] ,

[IN] 6 tant la mat r i ce uni t6 d 'o rdre N. De mani~re g6n6rale, les re la t ions de Kirchhoff aux

courants et aux tensions ind6pendantes s '6cr ivent :

t[ A ] l i d > = O ,

{29) [Bllva> O,

- - [A] p o u v a n t 6tre l 'une des mat r ices : [A~], [Qs] des re la t ions (3) et (4) ou encore [Q/],

7/16 A. T~Lg'C., 28, nO8 1-2, 1973

62 P. DAVID. -- RI~SEAU I~LECTRONIQUE ACTIF LINI~AIRE STATIONNAIRE

- - [B] pouvan t ~tre l 'uue des matrices [By] de la

relat ion (7) ou encore [Bf].

La relat ion (26), compte t enu de (27), a 6t6 6crite su ivant l ' un des arbres du r6seau ; c 'est en principe une 6criture commode tr6s bien d6finie ; cependant , on demeure libre d 'ut i l iser les relations (29) sous une forme que lconque , dans ce cas, on dolt alors rein-

placer respect ivement les matrices QI et B I des rela- t ions (27) par les matr ices quelcoaques A e t B.

Remarque.

Les relations (5) et (8) d6fibissent une d6compo- sition des vecteurs lia > et Ira > et de tous ceux h N dimensions utilis6s darts ce paragraphe. A cette d6composition est li6 celle des matrices suivantes :

- - celle des imp6dances,

- - c e l l e de d6finition des sources ac t ives ; elle s'effectue alors su ivant quatre sous-matrices par rappor t h deux jeux :

- - celui des branches de T

- - celui des cordes de T.

Pour il lustrer ceci, nous donnerons l 'exemple simple

d '6cri ture de la relat ion (24). La matr ice diagonale z (v) se d6compose alors sui-

van t deux sous-matrices diagonales zb(v ) et Zc(V), les deux autres sous-matrices de d6composition 6tant

nulles ; il v ien t alors :

[z(v)l = L[O] , [z~(v)l] '

off :

=IZI(V) 0 V ZB+I(M)

B + C va lan t N. Les z~(v) repr6sentent alors les imp6dances des

branches de l 'arbre T pour k = 1, 2, ..., B e t celles des cordes de T pour k = B + 1, ..., B + C.

4 . 3 . E x p r e s s i o n d u d 6 t e r m i n a n t d u s y s t S m e

g 6 n 6 r a l .

La matrice du systbme g6n6ral (26) sera not6e die :

[ ~ 1 = [A~] [z] + [BN].

L'expression

~ N = det [Jt0]

rev6t uue grande impor tance dans la d6terminat ion

des fr6quences naturel les et des solutions du syst6me. Cependant , si l 'expression peut s'6crire sous la forme d 'une sommat ion su ivant les arbres du r~seau lorsque

celui-ci est passif, elle est n e t t e m e n t plus complexe dans le cas du r6seau actif. Nous donnerons ici une

forme g6n6rale de cette expression non encore ren-

contr~e dans la l i t t6rature.

4.3.1. Cas du r~seau passif.

G 6tant le r6seau actif g6n6ral, nous appellerons G O le r6seau passif obtenu h par t i r de G en suppr imant

toutes les sources ac t ives ; par d6finition, G O sera appel6 r6seau passif associ6 h G.

On effectue alors :

- - le court-circuit des sources actives de tension,

- - la coupure des sources actives de courant.

Dans les relations (28), toutes les matrices h deviennent nulles et les matrices k 6gales ~ l 'uni t6 [IN]. Ainsi les expressions de [AN] et [B~] donn6es par les relations (27) conduiscnt ~ :

(30) ~ N O = det [[[Bf][0f][z]]

et d 'une manibre g6n6rale, on 6tudie :

(31) ~)~v0= det [[B] [z]l" [ [ A ] ]

Nous allons util iser ici un th6or~me 6tabli par

B r y a n t [21. Lorsque l 'on forme la matr ice

[I l l [M] = [ [ B ] J "

a) d ' une par t , NT 6tant le hombre d 'arbres du r6seau, il v ient :

det [M] = • N T ;

b) par ailleurs, en ver tu des th6or6mes rappel6s en fin du paragraphe 2.1.3, l ' expansion de Laplace [45]

r I | [A] j su ivant les colonnes de [A] se t r adu i t de det [ [ B ] ]

par une somme de termes en nombre NT et tous 6gaux entre e u x ; leur valeur commune est alors + 1 ou - - 1. On v~rifie sans peine la validit6 de ce th~or6me

pour la matr ice rl/[B]/. L[/LI]

Or, la matrice [BJ[z], [z] 6tant diagonale, se forme de la mani6re suivante : la i e colonne de [B][z] s 'ob t ien t en mul t ip l i an t tous les 616ments de ta i e colonne de [B] par z i . Consid6rons m a i n t e n a n t le

d6veloppement de Laplace de ~No OU ~)~V0 suivant les lignes de [B][z] ; il se t r adu i t au signe pr6s par

la sommat ion du produi t des imp6dances f a r sur les compl~ments des arbres du r6seau :

(32) I N01 ou = (produits des imp6dances des cordes de Tj).

7'] EG O

Rappel [2]

Le nombre d 'arbres d ' u n r6seau s'6crit :

(33) NT = det [BBT] = det [AAt]

le symbole t d6signant la t ransposi t ion.

A. TI~L~C., 28, n ~ 1-2, 1973 8/16

P. DAVID. -- RESEAU I~LECTRONIQUE ACTIF LINt~AIRE STATIONNAIRE ~ 3

ExempIe du r~seau passi[ d 5 dldmenls.

Donnons l 'exemple du r6seau passif h 5 imp6dances donn4 figure 4 a.

Ecrivons les lois de Kirehhoff su ivant l 'arbre form4 par les 414ments num6rot6s 1, 2 et 3 ; ceci condui t ~ :

Ol Oll [B~] = 0 1 - - 1 0 "

et d 'apr6s la relat ion (33), nous obtenons :

N T = 8.

Ces hui t arbres sont repr6sent6s sur la figure 4 b et la relat ion (32) s'6crit :

(34) Z I Z J ) - - Z s Z 4 - - Z 1 Z 5 *

I

F~G. 4 a. - - R6seau h 5 416ments.

1 1

3 3

1 1 1

Fro. 4 b. - - Arbre du graphe support du r6seau de la figure 4 a.

4.3.2. Cos du r~seau acti[ g~n~ral.

~Dy est en fait d6veloppable sous une forme mult i- lin6aire par rappor t aux imp6dances, et l 'on about i t ainsi ~ une g6n6ralisation de l 'expression (32); les coefficients de cette forme ne sont plus 6gaux et de module un i tG mais d6finis par la na ture des divers couplages existar~t entre les 616ments ; ils s ' expr iment par des d6terminants form6s & par t i r des combinaisons possibles des colonnes de [AN] et des colonnes de [BN].

Une longue d6monst ra t ion permet alors de prouver r igoureusement les relations (35) et (36) (annexe IV).

Soit u n jeu de m entiers not6s k m (p = 1, 2, m) �9

nous appellerons ~;mN l 'ensemble de tous les jeux possibles satisfaisant h la condi t ion suivante :

m m 1 ~ k~ ~ k S ~ . . . . . . . . . . ~ k~,' ~ N .

Appelons ~N2c(k( , k~ ' �9 .... k~) le d6 te rminan t de la matr ice carr6e N x N obtenue h par t i r de la matr iee B N comme suit :

- - toute coloune de [B~] de num6ro k m p

(35)

off :

(Vp = 1, 2 . . . . . m) est remplae6e par celle de [AN]

de m4me num6ro k p ;

- - les colonnes de [B_N] dont les num6ros diff6rent de k~', k~', . . . , , k m res tent inchang6es. p

Nous sommes m a i n t e n a n t en mesure de donner lc d6veloppement g6n6ral de ~ N :

N i f )N= det [B~] + ~ am2V,

m : |

(36) ~m2V = i- zk ~)NMk'I n , k~ .... k, m) . ~mN --

L'expression g6n6rale (35) fait donc apparai t re ff)~ comme une forme mult i l in6aire par rappor t aux N imp6dances du r6seau. Ce d6veloppement cont ient en g4n6ral 2 v termes et ses coefficients d6pendent

un iquemen t des couplages d6finis par les matr ices :

hey , hei , h]v , hyi �9

N o t a m m e n t ces coefficieRts sont constants lorsque les termes d ' in te rac t ion le sont.

Cltaque terme amN est une sommat ion faite sur les C~ combinaisons m h m possibles des N 616merits du r6seau. En outre, ~NN est form6 de l 'un ique jeu de N entiers :

N kp = p(p : 1, 2 . . . . , N ) ,

et aNN ne comporte en fait que le seul terme :

Ii=~ z i ) d e t [AN].

Nous allons donner u n exemple simple i l lus t rant ces r6sultats.

Cas simple du triangle d'dldments couplds.

N va lan t 3, la sommat ion comporte 2 ' v : 8 termes ;

les imp6dances 6tant not6es Zl , z 2 et za, il v ien t :

3 if)a= det [B3] + ~ zi ff)33(i) +

i--I Y~ zizj ~)aa(i, ]) + ztz2z 3 det [As].

Explici tons h t i tre d 'exemplc certains coefficients; a~j et bii 6 tant les termes g6n6raux respectifs des matrices A a e t B a, il v ient :

r b 1 1 , a 1 2 , bin 1 V a i l , b12, Sis 1

~3a(2)=det |b21, a22, bb::J; ~ D a d ' , 3 ) = d e t l % , be2, a23 I" lba l , aa~, l a a l , ba2, aasd

4.3.3. Existence et unicit~ de la solution du syst~me g~n~ral (26).

La matr ice ~ du syst6me g6n6ral (26) peut en fair s'6crire sous forme de la somme de deux termes :

- - la matr ice relative au r6seau passif associ6 au r6seau g4n6ral :

N] (37) [ 2 / - 0 ] = [ [Qyl J '

- - une matr iee d6pendant des imp6dances et des interactions.

9/16 A. T~:L~:C., 28, n o~ 1-2, 1973

64 P. D A V I D . -- R ~ S E A U I ~ L E C T R O N I Q U E A C T I F L I N I ~ A I R E S T A T I O N N A I R E

(38)

off :

Comme on le v6rifiera ais6ment, il v ient :

[~1 = [~01 + [~'1

lfthevl] I[h"lll (39) [dig'] = ZBQ] [ [h jv l l [zl + [[hMj).

D'aprgs l 'expression (38), ~ N appara i t comme le d6 te rminant de la somme de deux matrices. Or, une expression de ce type concernant la somme [A~I + [B2v] est donn~e par (35) dans le cas off les Zk~, sont remplac~s par l 'unit~.

On peut done ~crire :

(39) ~ : ~ 0 + S ,

S 6rant la sommat ion analogue h celle du second membre de (35) darts lequel on remplace t o u s l e s

produits ~I Zk, [, par l 'uni t6. i = t

S est ators une somme de d6terminants de matrices obtenues en effectuant les divers ar rangements entre

les colonnes de [digol et celles de [dig'].

Consequence.

L'existenee et l 'uniei t~ de la solution du syst~me (26) sont garanties par eelle du syst~me d6erivant le r~seau

passif assoei6, S d~pendant des couplages, 9)No n ' en d6pendant pas.

Remarque.

Le systbme (26) peut 6tre 6crit en u t i l i sant non pas les variables courants c i rculant dans les imp6dances dn r6seau, mais les variables tensions exis tant aux bornes de ces imp6dances et l 'on 6crit :

[ ~ ] l i > = [ ~ ] [ g l l v > , en posant

[g] = [z]-L

On dolt alors ~tudier :

(40) d e t { [ A N [ + [ e ~ l [a l } = q)~ ,~,-~ �9

C'est une forme mult i l in6aire par rappor t aux admi t tances du r6seau ; on l '6erirait ~ par t i r de (35) en p e r m u t a n t [AM et IBm] et en changeant z, en g~ = z~ -~ Vi = 1 , 2 , . . . , N .

Compte tenu de la relat ion (32), l 'appl icat ion de l 'expression (40) au r6seau passif associ~ donne :

~ D N 0 ( I ~ z , - ~ ) = ~ (produits des admit tances des i= t TJ~()O branches de Ti).

C O N C L U S I O N

Apr~s quelques rappels de not ions utiles en analyse spectrale, nous nous sommes tou t d ' abord efforc6s de d6gager les aspects et th6or~mes topologiques fonda- m e n t a u x inh6rents ~t la th6orie des graplles.

Le modble pr6sent6 est bas6 sur une repr6sentat ion

tr~s g6n6rale d'616ment de r6seau :

- - s u r le plan des interact ions avec les autres

616ments ;

- - e n ce qui concerne les f luctuat ions dont le dip61e passif r6el est en principe le sibge d'aprbs le th6orbme de Nyquis t g6n6ralis6.

L 'about i ssement de notre t ravai l a 6t6 l '6criture sous forme matricielle explicite des relations aux cou- rants on aux tensions propres aux 616ments passifs. Lorsque les sources actives d6pendent un iquemen t des tensions et des courants propres aux 616ments

passifs, cette formulat ion se fait par ut i l isat ion directe de matrices connues a priori; ce sont les matrices topologiques, d ' in te rac t ion d6finissant les sources

actives, la matrice diagonale des imp6dances. Si, cont ra i rement au eas pr6c6dent, les sources actives mani fes ten t d 'aut res d6pendances, une inversion de matrice pr6alable est n~eessaire pour 6viter une formulat ion ~ 2 N dimensions.

Une expression du d6 te rminan t de la relat ion

matricielle aux eourants ou aux tensions a 6t~ propos6e. C'est une forme mult i l in~aire par rappor t aux imp6- dances darts le eas de la relat ion aux eourants et par rappor t aux admit tances dans le eas de la relat ion

aux tensions ; les coefficients de eette forme d~pendent alors un iquemen t du caraet~re aetif du r6seau. De plus, la comparaison de la forme relative au r~seau aetif et de eelle relative au r6seau passif associ6 apporte une preuve rigoureuse h l 'existenee et l 'uni- cit~ de la solution en ce qui eoncerne le r~seau aetif

g~ndral 6tudi6.

A N N E X E I

Rappels sur la not ion de filtres lin6aires

et h o m o g b n e s [37 h 44]

On appelle filtre lin~aire et homog~ne tou t syst~me dont le compor tement est deseriptible par un op6- ra teur ~- poss~dant les propri~t~s suivantes :

a) il agit darts l 'espaee des temps t pour trans- former une fonction ou d is t r ibut ion X (t) dite entr6e en une autre Y (t) dite sortie ;

b) ~- dolt commuter avec toutes les op6rations de

sommation, de mul t ip l ica t ion par une eonstante ou param6tre ind6pendant de t ou encore avec l 'op6rat ion

d ' i n t6g ra t i on ; ~- dolt done satisfaire essentiel lement h la condit ion :

/7 (I-a) ~-t, jf+~X(t'_oo ~) dXl = ~-{X(t, X)} dX;

c) le pos tu la t d'homog~n~it~ implique l ' ind6pen- dance entre Fact ion de ~- et le choix de l 'origine sur l 'axe des t ; par consequent :

si : Y { x ( 0 } = Y ( 0 ,

A. T~L~C., 28, n o~ 1-2, 1973 10/16

P. DAVID. -- R ~ S E A U t~LECTRONIQUE ACTIF LINI~AIRE S T A T I O N N A I R E 6 5

il est n6cessaire d 'avoir 6galement :

Y{X(t - - 0)} = Y(t - - 0) .

L 'op~rat ion de dOrivation poss+de ces propriOt~s ; de m~me, tou t syst~me diffOrentiel linOaire h coeffi- cients constants s'associe A une s~rie d'opOrations possOdant ces propri~t~s. C'est le cas des Oquations

d ' un rOseau lin~aire ~ constantes localisOes qui se situe n6cessairement dans le cadre des postulats gdnOraux

citOs. Lorsque l 'on applique l ' impuls ion ~(t) ~ l 'entr~e

d ' u n filtre lin~aire et homog~nc, la sortie H (t) s 'appelle

rOponse percussionnelle ; la formule de Vashy dOduite des propriOt~s a) et b) permet alors d 'expr imer la r~ponse Y (l) de ce type de filtre h une entree quel- conque X (t), su ivant la relat ion de convolut ion :

(I-b) Y(t) = ( H . X)(t)

v 6tant la variable fr~quence, la relat ion entre les

transformOes de Fourier respectives x (v), h (v) et y (v) de X (t), H (t) et Y (t) s'~crit alors :

(I-c) y(~) = h(~) x(v) ,

dans l 'espace des fr~quences off v ~ j - - o ~ , + o~[. Notons que si X (t) est monochromat ique ~ la fr6-

quence % , Y (t) l 'est aussi su ivant la relat ion :

~{exp (2 ~ivo/)} : h(v0) exp {2 7dr0/} .

Les fonetions molmehromat iques exp 2~iv t sont alors les fonctions propres de l 'op~rateur ~- ; h (~) qui est la valeur propre assoei6e ~ la frbquence v s'appelle gain eomplexe de la t ransformat ion ; ainsi l 'expression

d 'une fonetion du temps su ivant l ' int6grale de

Fourier

X(I) = exp 2 ~ivt x(~) d~

n ' e s t autre que sa d~composition sur la base propre de ~- ; ehaque eomposante de Fourier de X (t) est transform~e par ~ ind6pendamment des autres et sa fr~quenee est conserv6e.

Exemple d'un cas usuel simple.

Dans le langage des ~leetronieiens, on salt d6firtir la not ion de dipole passif : de l ' in jee t ion d ' u n certain couran t impulsionnel ~ (t) darts ce dip61e r6snlte une tension aux bornes H (t) dite r~ponse percussionnelle. Le gain eomplexe :

h(~) ~ H(t)

s 'appelle impedance du dipole.

A N N E X E I I

II .1 . B a p p e l s de d 6 f i n i t i o n s f o n d a m e n t a l e s .

H.I.1. N o t i o n s topologiques de base.

- - C h e m i n [3, 10] (path en terminologie anglo- saxonne) : succession d'616ments rOunissant deux

nceuds quelconques sans passer deux fois par le mOme neeud.

- - Boucle : ehemin fermi.

La simple not ion de graphe conneet~ ~tant sup- posOe admise, nous insisterons sur eelle de faisceau

de coupure (cut-set en terminologie anglo-saxonne).

--Faiseeau de eoupure : not ion duale de celle de boucle. La d~finitiou originale en a ~t~ donnOe par Whi tney en 1933; ce concept a e n s u r e 6t6 utilis~ par Foster [19] et Guil lemin [20], puis par Seshu et Reed [3] qui out rat taeh~ eette not ion aux autres

concepts de la th~orie des graphes.

U n faisceau de eoupure est tou t jeu d'~l~ments (en nombre minimal) qu ' i l est n~cessaire de supprimer pour scinder un graphe connect6 G en deux sous-

graphes eonnect~s G 1 et G 2 isolOs.

II.1.2. Notion d'arbre et de s o n compldment.

Appelons N le nombre d'616ments du rOseau.

a) Un arbre T d ' u n graphe connects G est un sous- graphe connect6 qui cont ient t o u s l e s nceuds de G (en nombre v), mais aucune boucle fermOe ; il cont ient de ce fair v - - 1 616ments dits branches de T.

b) Le complOment de T est l 'ensemble de t o u s l e s 616ments du graphe non contenus dans T. De ce fait, il est consti tu5 de N - - v + 1 ~lOments dits cordes de T.

H.1.3. Jeux [ondamentaux de [aisceaux f et de boucles f relati[s a un arbre T d'un graphe connect~ G.

II.1.3.1. Sgst~me de /aisceaux f relati] ~t un arbre T de G (/-cut set en terminologie anglo-saxonne).

C'est le jeu unique des v - - 1 faisceaux de eoupure dont chacun cont ient une et une seule branche de T.

II.1.3.2. Sgst ime de boueles f relatif d u n arbre T de G (f-circuits en terminologie anglo-saxonne).

Ce concept 4fl ~, Kirchhoff est trOs uti le : c 'est le jeu des N - - v + 1 boueles formOes par les cordes de T et les chemins uniques de branches vus entre les extrOmitOs des eordes.

Ainsi, les concepts de faisceaux f e t de boucles / sont ~troi tement liOs et il y a a u t a n t de jeux de faiseeaux f ou de boucles / que d 'arbres dans G.

RelnGrque.

Des notions tr~s utiles se groupent sous le simple concept d 'arbre qui joue de ce f a r un rOle primordial ; cc sont :

- - le nombre de lois de Kirchhoff indOpendantes ;

- - l e s mOthodes pe rme t t an t de choisir une des- cription de ces lois ;

- - les structures de matrices de coefficients asso- ciOes aux descriptions de ces lois ;

- - les formules topologiques relatives aux fonctions de r~seau.

ii/16 A. Tl'Lf:C., 28, n ~ 1-2, 1973

66 P. DAVID. -- RI~SEAU ]~LECTRONIQUE ACTIF L I N E A I R E STATIONNAIRE

I1 nous faut n o t a m m e n t citer ici des th~or~mes d 'une impor tance part icul i~re.

Dans l '~cr i ture des syst~mes (3), (4) et (7), il cor- respond tou jours un ~l~mer~t bien d~termin~ du graphe / t u n e colonne d 'une des mat r ices A n , Q~ ou B v, On 5nonce alors [3, w 5.3, th~or~me 5.17] :

- - a u jeu de colonnes d 'une sous-matr ice ca r r i e d 'o rd re v - 1 non singuli~re ex t ra i t e de [A~ ]ou [Q~] correspond tou jours le jeu de branches d ' un a rbre T du graphe et r~ciproquement . Le d~ te rminan t de chacune de ces sous-matr ices v a u t alors • 1. De plus, cet te cor respondance p e r m e t l '~cri ture de la rela- t ion (6) ;

- - a u jeu de colonnes d 'une sous-matr ice carrde non singuli~re d 'o rdre N - - v § 1 de [B~] correspond tou jours le jeu de cordes d ' un arbre T du graphe et r~ciproquement . Le d~ te rminan t de chacune de ces sous-matr ices v a u t encore • 1 et cet te cor respondance pe rme t l '~cr i ture de la re la t ion (9) ;

- - le p rodu i t des deux d~terminants garde un signe cons tan t s'ils cor respondent toujours au m~me arbre T, ce signe ne d~pendant pas de T.

II.2. Systbmes lin6aires 6quivalents.

Considdrons deux syst~mes de m rela t ions lin~aires relat ifs h dcux j eux de n var iables (m ~< n) ; ces j eux

sont symbolis~s pa r les vecteurs Ix ~ et Ix' ~ n composantes et l ' on ~crit :

( I I -a ) [ A ] [ x > = 0 , ( I I -b) [B]lx'> = O,

off [A] et [B] sont m • n. Supposons que [A] soit de rang m ; les m lignes

de [A] sont alors l in~airement ind~pendantes et le syst~me (1) est ~t n - - m degr~s de libertY. Le sys- t~me (2) est alors d i t ~quivalent au syst~me (1), s ' i l existe une mat r i ce ca r r i e non singuli~re D (m x m) telle que :

[B] = [DI[A] ou [A] : [DI-I[B].

Pa r consequent , les re la t ions du systbme (2) sont des combinaisons lin~aires ind~pendantes de celles de (1) ; [B] est donc de m~me rang m q u e [A]. Les j eux de re la t ions (1) e t (2) expr imen t donc exac t emen t la m~me loi ; ils con t iennent les m~mes informat ions et poss~dent le m~me nombre de degr~s de libertY.

A N N E X E I I I

III.1. Relations de multiplication sous- matricielles.

ConsidSrons deux mat r ices A e t B telles que le p rodu i t [A] [B] a i t un sens :

1. si [A] est d~composable en 4 sous-matr ices

[ A 1 ] , [ A 2 ] , [ A 3 ] , [ A 4 ] s o n s la forme :

| [ a l l , [~l 1 [A] = [ [ A ~ ] , [A~]] '

2. si de m~me [B] est d~composable sous la forme :

: [B] [[B3], [ e j ] '

3. si les p rodui t s de sous-matr ices :

[A~] [B~l , [A~I [B3] , [Ad [B2] , [A~] [B4]

[Aa] [B1] , [A4] [Ba] , [An] [B2] [Ad] [Ba]

ont un sens, les sous-matr ices consid@~es jouen t alors le r61e d '~l~ments de ma t r i ce dans le d~veloppement du p rodu i t [A] [B].

N o t a m m e n t , on peu t 6crire :

: §

( I I I - a ) [AI [ [ B a l i [ [Aa] [B~I + lAd] [Bal i '

et la formule analogue avec la mat r i ce :

[ [B~I]. [B~]]

La re la t ion ( I I I - a ) demeure vraie lorsque [B1] et [Ba] dev iennent des vecteurs colonnes.

Nous venons de donner un exemple par t icu l ie r d 'une r~gle g~n@ale ; il nous suffira pour l ' app l i ca t ion envisag~e ici.

III.2. Equation matriciello des r~seaux.

La re la t ion (25), compte tenu des expressions (17) et (20), s '~cri t alors :

( I I I - b )

[X BQ] {[KuN] [[Xz(V)> + I~ (v )> ] + [K~ = 0,

0fi :

( I I I -c )

[K~N] = [H2N ] + [I2N], et [K~ = [ t~lv] + [I2N],

[I2N ] ~tant la mat r i ce unit~ d 'o rd re 2 N. Par ailleurs, compte tenu de la re la t ion (24) et des

no ta t ions de la sect ion 3.2.3 [xz(~ ) ~ s ' expr ime ais~- meri t en fonct ion de liz(v) ~ sous la forme :

I M lliz )>, ( I I I -d ) [x~( , )> = [ [ I N ] ]

[IN] est ici la mat r i ce unit~ d 'o rdre N. Le premier membre de la re la t ion ( I I I -b ) cont ien t

n o t a m m e n t le t e rme :

I l: [ ,QI{[K2NIIIx ( )> + dont nous allons d~tai l ler le calcul compte tenu :

- - d e la re la t ion de dSfinit ion de [K2N ] donn~e par ( I I I -c ) ,

- - des re la t ions de d~finit ion des mat r ices [key] et [kjl] donn~es au pa rag raphe 4.2,

- - de la re la t ion ( I I I -d ) .

A. T~Ls 28, n os 1o2, 1973 12/16

P. DAVID. -- RI~SEAU ELECTRONIQUE ACTIF LIN~AIRE STATIONNAIRE 67

I1 v i e n t d o n c :

[K2N] [[Xz(V)> -7 l y ( v ) > ] =

ih~vl, ~ d l t I*~U liz(')> + [15(.)>_]} =

[[kevll [[=]li~(~) > § 1-7 []iz(~)> + [J(~)> 1. [h:vlJ [[k,:]]

Le calcul de la ma t r i ce [~] r e v i en t alors ~ pr~- m u l t i p l i e r chacune des ma t r i ces 2 N • N

et [h~vl] [ [k:d l

par la ma t r i c e [ZBQ] qui est N • 2 N. I1 v i e n t alors :

= II ,l [ZB~] L[~:~ll l[Qfl [h:vl] '

et la fo rmule ana logue c o n c e r n a n t le p r o d u i t :

F .,II [ZBQ] [[k~'d] "

Compte t e n u des n o t a t i o n s [AN], [BN] et i6e l (V)) utilis~.es et ddfinies au p a r a g r a p h e 4.2, il ne subsis te a u e u n e diffieult~ pou r ~crire :

( I I I - e )

[~1 = [a ~l [[~] [ i~(v)> + [~(,)> ]+ [BN] [[ iz(~)> -71~(~)> ], = ([AN] [z] -7 [ B u ] } [ i ( v ) > -7 [Ay]lue~(,~)> .

A l ' express ion de [[~] donn~e pa r ( I l l - e ) , il nous r an t a j ou t e r le t e rme :

[XBQ] [K~ = [y]

pour eons t i t ue r le p remier m e m b r e de ( I I I -b ) .

L ' express ion de [y] est tr~s s imple ~ ob ten i r en u t i l i s a n t les r6gles de m u l t i p l i e a t i o n ind iqu6es en d6bu t d ' a n n e x e ; compte t e n u de la d~f in i t ion de

[K~ donn6e pa r ( I I I -e ) et de eelles de (kee0) et (kj:o), il v i e n t alors :

I .ol [ I . . o l ] iJo( )>l,

= [CNlleo(~)> + [DNllJo(~)>.

ee qui ach~ve la d ~ m o n s t r a t i o n de la r e l a t ion g~n~- rale (26).

ANNE XE IV

Expression du d6terminant ~N du systSme g6n6ral.

Nous u t i l i se rons s i m p l e m e n t les propri~t~s de l in6ar i t~ de ~ v p a r r a p p o r t au x 616ments de chacune des eolonnes des mat r i ees A N ou B N et aussi pa r rap- po r t h ehaque impedance Zk(V) (k : 1, 2 . . . . . N).

OV-d)

off :

Notation.

Appe lons I a, z > le vec t eu r d~fini pa r la I e co lonne de [AN] et I b, t > le v e c t e u r d~fini pa r la l e co lonne de [BN]. La I e co lonne de la m a t r i c e :

[ ~ 1 = [AN](Z) + [BN]

s '~eri t alors :

ztla, l> + [b, l> .

'~)Nq(kl , k 2 , ... kp) se d~fini t pa r r a p p o r t h p en t i e r s de man i~re ana logue ~ ee qui a 6t~ vu au d~bu t du p a r a g r a p h e 4.3.2.

P a r ai l leurs , nous appe l le rons ~Nq(O) le d6ter-

m i n a n t de la m a t r i c e c a r r i e N • N o b t e n u e ~ p a r t i r

de [r com m e sui t .

On ehange :

z,l ,t> + lb, l > en tb, l > , V t : 1 ,2 . . . . q.

Les au t res eolonnes de [ ~ ] son t laiss6es inehang~es . Compte t e n u de eet te no t a t i on , le d b v e l o p p e m e n t

de ff)N pa r r a p p o r t ~ sa premiere eo lonne s '~eri t :

( IV-a) ~ N = if)N1(0) + zl ff)2Vl(1),

~)AYl(0) et ~)N1(1) ne d 6 p e n d e n t alors que des zk pour : 2 ~< k ~< N. E n d 6 v e l o p p a n t ~)NI(0) et ~N1(1) s u i v a n t leurs seeondes eolonnes et en f a i s an t appa -

ra l t re des fonc t ions l in6aires pa r r a p p o r t ~ z2, il v i en t :

i ~I)NI(0) = ~)N2(0) -7 Z2 ~N2(2) ' (IV-b) f ff)Nl(1) = ff)N~(1) + z 2 ff)N~(I,2) �9

La re la t ion (IV-a) , compte t e n u des deux expres- sions ( IV-b) c o n d u i t h :

( I V - c ) ~ ) N : ~)N2(O)+ zl~)N2(1)+ Z2~)N2(2)+

ZlZ2 ~)N2 (1, 2).

De m~me, on p e n t d~velopper c h a c u n des d6ter-

m i n a n t s : if)N2(0), ff)N~(1), if)N2(2), if)N2(1, 2) s u i v a n t sa 3 e colonne ; on o b t i e n t alors les t e rmes des formes :

~N3(0) ; ~N3(i ) , (i = 1, 2, 3) ; ~2V3(/, k), (], k = 1, 2, 3) ; ~)N3(1, 2, 3) ; ils son t alors coefficients respect i fs : de

l ' un i t~ , zi , (zj Zk), ZlZ2Z a �9

Notons ~mq t ' en semble des j e u x poss ibles de m ent iers , ki" sa t i s f a i san t h la cond i t i on su ivan te :

1 ~< k~' ~ k ~ ' ~ ... ~ k~', ~< q , (q ent ier) .

Si nous p o u r s u i v o n s le d ~ v e l o p p e m e n t de ~ N ~t des ordres p lus 61eves, nous r e m a r q u o n s une express ion a y a n t la forme d ' u n e double s o m m a t i o n : sur ~mq et sur m. Nous sommes alors condu i t s h adop t e r la forme s u i v a n t e :

q ~ N = ~Nq(O) -7 ~ (Tmq ,

i11=i

"' 7} (IV-e) amq = ~_~ I-[ zk ~_~q (k'~', k~', ... k'~). 8mq i= t

L ' u n des t e rmes ex t r emes alq de la s o m m a t i o n sur m ne e o n t i e n t en f a r que les t e rmes s imples :

Zk~ pou r 1 ~< k~ ~< q ;

13/16 A. T~LkC., 28, n ~ 1-2, 1973

6 8 1 :). DAVID. -- R]~SEAU ]~LECTRONIQUE ACTIF L IN~AIRE STATIONNAIRE

l ' exp re s s ion l~ zk i d e v e n a n t t r i v i a l e e t ~gale h zkl i=1

p o u r m = I :

f lq = Z gkl ~)Nq(kl) " ~ <<. ~ l <<. q

Le t e r m e s imple f n s '6cr i t :

fi l l = Z1 ~[)Nq(1) �9

E n ou t re , fqa s '~cr i t :

q H z / ~ V q ( 1 , 2, ... q ) . ~=~

( IV-d) es t v r a i e p o u r q = I ( t r ivia l ) , ma i s aussi

pour q = 2 [ re la t ion ( IV-c)] e t on p e u t la v6r i f ie r h

des ordres p lus 61ev6s ; c o m m e nous al lons le m o n t r e r

r igoureusemer~t p a r r6cur rence sur q, ce d6ve loppe-

m e n t es t v a l a b l e p o u r q q u e l c o n q u e e t n o t a m m e n t

p o u r q = N , ce que t r a d u i t la r e l a t i on (35).

Le passage du d 6 v e l o p p e m e n t d ' o rd r e q au d6ve-

I o p p e m e n t d ' o r d r e q + 1 se f a i t en e x p r i m a n t t o u s l e s

t e r m e s ~)Nq(k~, k~ . . . . k r) con tenus dans les fmq en

f o n c t i o n de zq+l ; il v i e n t a lors :

( IV-f) ~)Nq(k~ , k~ ... k r) =

~y,q+l(kr~ , kr~ ... krr) -k Zq+ 1 ff)N,q+~(kr~ , kr~ ... krr , q -k 1)

p o u r les ordres : r = 0, 1, 2, ..., q.

Remarque .

Nous appe lons ici r e l a t i o n h l ' o rd re 0 l ' exp re s s ion

o b t e n u e en d 6 v e l o p p a n t ~Nq(0) s u i v a n t sa (q + 1) e

co lonne , soi t :

( IV-g) ~Nq(O) = ~ ) N , q + l ( 0 ) -~- gq§ ~ N , q + ~ ( q + l ) -

TABLEAU IV- I

Second membre de la relation 1 e~ terme _ _ t 0 ~ tO~ / ' / / / / d'ordre r du syst~me IV-g 2 0 terme tP3 ~ ~

Valeurs prises par r 1 2

C o m m e on le vo i t , ce t t e derni~re express ion c o n t i e n t

c~ + c~.,_~ = c y ~ ,

p r o d u i t s rn ~ m tous diff~rents en t r e e u x des q + 1

i m p e d a n c e s :

Z1 , Z 2 ..., Zq§

c ' e s t -h -d i re la to t a l i td des p r o d u i t s m ~ rn p o s s i b l e s ;

de ce fa i t , il v i e n t : p

fmq ~ fm,q+l , Vln = 2, 3 ... q �9

I1 y a donc c o r r e s p o n d a n c e t e r m e h t e r m e de ' fmq et fro,q+1 p o u r ces va leu r s de m e t les t e r m e s indiqu~s

en ~ - - 1) e t a - - 2) c o n t r i b u e n t ~ : q

( I V - i ) Z fro,q+1 = S~ . m~2

Nous nous s o m m e s r e s t r e in t s ici h la c o n d i t i o n

2 <~ m <~ q,

p o u r conse rve r une s ign i f i ca t ion a u x p r o d u i t s m h m

et m - - 1 ~ m - - 1 des q v a r i a b l e s e x i s t a n t dans la

r e l a t i o n (IV-h) .

~) A u t r e s proverLances.

P o u r ob t en i r le d 6 v e l o p p e m e n t c o m p l e t de ff)N h

l ' o rd r e q + 1, il suffit d ' i n t r o d u i r e darts ( IV-d) la

t o t a l i t 6 des q + 1 t e r m e s exp r im6s p a r le sys tbme

( iV-f) .

R e c e n s o n s donc les t e r m e s des seconds m e m b r e s

de ce de rn ie r sys t~me n ' a y a n t pas encore ~t~ in t ro -

du i t s dans ( I V - d ) ; ce son t c e u x qu i n ' o n t 6t~ m e n -

t ionn~s ni en ~ - 1) ni en ~ - 2) e t p a r c o n s e q u e n t

indiqu~s dans les zones non hachur~es du t a b l e a u I V - I

/ / / / _ l d / / / _ / / / / \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ / / / /

Le r e p o r t des q § 1 express ions donn~es p a r (IV-f)

dans les t e r m e s fraq expr im~s p a r les r e l a t ions ( IV-e)

p e r m e t d ' a b o u t i r h u n ce r t a i n d ~ v e l o p p e m e n t de ~ N

l ' o rd re q + 1. N o u s a l lons ~ tud ie r les p r o v e n a n c e s

de ees t e rmes .

~) P r o v e n a n c e des p r o d u i t s m h m des i m p e d a n c e s

p o u r m = 2, 3, ..., q ; ees p r o d u i t s son t n~ces sa i r emen t

issus en to t a l i t~ :

a - l ) de la c o n t r i b u t i o n h fmq du p r e m i e r t e r m e

du second m e m b r e de la r e l a t i o n (IV-f) applic[u~e p o u r

r = m ; r p r e n d alors les va leu r s 2, 3, ..., q ;

a-2) de la c o n t r i b u t i o n h f ra- l ,q du second t e r m e

du second m e m b r e de la r e l a t ion ( IV-f) app l iqu~e

p o u r r = m - - 1 ; r p r e n d alors les va l eu r s 1, 2, ..., q - - 1.

Les p r o d u i t s m h m recherch~s son t donc c o n t e n u s

dans l ' exp re s s ion s u i v a n t e :

fm,a ~m,q \ i=1 , / ~DN,q+l(k~' , k~ , ...kn m)

q- ~,, ( ~ l Z k m - l ~ ' z q + l ~ ) N , q + l ( k ~ - l , k ~ - l , . . . k ~ l , q + l ) . 8m_Lq\ i=t /

I1 nous f a u t donc 6va lue r la c o n t r i b u t i o n ~ ~N de

~J)l ~ ~ ) N , q + l ( 0 ) ; ~J[)2 = ~ N , q + l ( k l ) ,

~D3 : Zq+l ~])N,q+l(q -Jr 1) ;

~J)4 = Zq+l ~])N,q+l( kq , kq "'" k q , q -~ 1) .

La c o n t r i b u t i o n h l ' e x p r e s s i o n ( IV-d) de ces t e r m e s

p r o v i e n t des r e l a t ions du sys t~me (IV-f) a u x ordres

0,1 e t q ; ce t t e c o n t r i b u t i o n s '~cr i t donc :

Sq t = ~ N , q § ~ Zk~'~)N,q+l(kl) + Zq+l~)N,q+l(q-k l ) q- ~1, q

(Z 1 , 2:2 ... Zq§ ~ N , q + l ( 1 , 2 . . . . q + 1).

La s o m m e du p r e m i e r e t du t ro i s i~me t e r m e pro-

v i e n t du d 6 v e l o p p e m e n t de ~)Nq(O) ; le second t e r m e

p r o v i e n t de fill e t le q u a t r i 6 m e de ffqq et il v i e n t :

Sq t = ~ ) N , q + l ( 0 ) ~- Z Zkl~N,q+i(kl) -~- ~l,q§

q+l Y[ zl ff)N,q+,(1, 2 . . . . q + 1).

i~I Soi t :

( IV- j ) S~' = ~DN,q+I(0) -~- f l q § -~ Gq+l , q + l "

A. T~L~C., 28, n ~ 1-2, 1973 14/16

P. DAVID. -- RESEAU ELECTRONIQUE ACTIF LIN~AIRE STATIONNAIRE 69

Les relat ions (VI-i) et ( IV-j) en t r a inen t alors : q+l

(IV-k) ff)N = S~ + S~' = ~N,q+l(0) + ~ am,q+~ �9

La re la t ion (IV-d) suppos6e vra ie pa r hypoth6se a 4t4 6crite h l 'o rdre q ; elle p e r m e t de mon t r e r la rela- t ion (IV k) de m6me type pour l ' o rdre q + 1. Or, (IV-d) a 6t6 d6montr6e pour q -- 1, 2, 3 ; elle est donc vraie pour t ou t q, soit pour q = N. Ccci d6montre la re la t ion (35).

Manuscril re~u le 22 [~vrier 1972.

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