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Analyse statistique des données expérimentales
Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques
John Taylor
Plan
• Introduction : incertitudes sur les données
• Probabilités
• Distributions de probabilités
• Incertitudes, propagation des incertitudes
• Ajustement de courbes
Mesure et incertitude
• Toutes les quantités mesurées le sont à une précision finie
• La science de la mesure consiste à– mesurer à la meilleure précision possible– d’évaluer l’incertitude sur la mesure
Erreur vs incertitude
• Erreur : écart entre la mesure et la valeur vraie (en général inconnue)
• Incertitude : écart probable• Les barres d’incertitude contiennent probablement
la valeur vraie• Attention de ne pas sous-évaluer l’incertitude• Mieux vaut une mesure présentant une grande
incertitude mais qui contienne la valeur vraie que l’inverse
Mesure et incertitude
• Chiffres significatifs et mesure
• Quelle est la signification de :– Albert a 22 ans– J’ai parcouru 100 kilomètres à vélo– Le LEP mesure 26,66 km de circonférence– Ce pointeur laser éclaire à 50 m– This laser pointer shines to 54,68 yards
Mesure et incertitude
• Quelle est la signification de:– G = (6,67428 ± 0,00067) × 1011 m3 kg1s2
– me = (9,10938215 × 1031 kg) ± 50 ppb
– www.physics.nist.gov/constants
Chiffres significatifs
a = 7,35678 ± 0,345 (utilisation incorrecte)
a = 7,3 ± 0,3
a = 7,356 ± 0,04
a = 7,3568 ± 0,005
a = 7,35678 ± 0,0007
On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif
On arrondit la valeur au dernier chiffre significatif
Chiffres significatifs (exemple)
• Soit a = 3 m et b = 7 m• a/b = 0,428571 ... ?• a/b = 0,4
Incertitude
• Erreur de mesure
• Erreur systématique
• Incertitude aléatoire
• Incertitude sur une quantité dérivée
• Propagation des incertitudes
• Distribution de probabilité
Erreur de mesure
• Mesure de distance avec une règle graduée en millimètres:– La précision ~ ½ mm
• Mesure de tension avec un multimètre:– La précision dépend de l’appareil– L’appareil est très précis mais la tension varie
Erreur systématique
• Vous avez mesuré une longueur à ± ½ mm– Mais la règle est fausse de 10% !
• Vous avez mesuré une tension à 0,01%– Mais l’appareil est décalibré de 5%
• Vous avez fait une mesure avec grand soin– Mais un des appareils était débranché
Incertitude aléatoire (statistique)
• Vous répétez une mesure 100 fois
• Les résultats se ressemblent mais ...
Incertitude
• L’ensemble des valeurs possibles sont décrites par une distribution de probabilité
• L’incertitude représente un intervalle à l’intérieur duquel la vraie valeur se trouve probablement
• L’incertitude = 1 déviation standard
Incertitude
Quelle est la signification de:– G = (6,67428 ± 0,00067) × 1011 m3 kg1s2
– me = (9,10938215 × 1031 kg) ± 50 ppb
– L’incertitude = une déviation standard– La probabilité que la vraie valeur soit dans cet
intervalle est de 68%
Exemple de mesures
• Fréquence d’un pendule (~ 1 s)
• Chronomètre très précis (~ 1s par an)
• À quelle précision puis-je mesurer la période ?– quelques dixièmes de seconde
• L’histogramme présente une fluctuation
• Je peux moyenner sur plusieurs périodes
Exemple de mesures
• Fréquence de ma respiration
• Même précision de mesure que précédemment
• L’histogramme est plus large
• Le phénomène présente plus de variabilité que la précision de la mesure
• Je peux moyenner
Incertitude relative ou fractionnaire
– G = (6,67428 ± 0,00067) × 1011 m3 kg1s2
– G = 6,67428 × 1011 m3 kg1s2
– G = 0,00067 × 1011 m3 kg1s2
– G/G = 0,00067/ 6,67428 = 10-4 = 0,01 %
– me = (9,10938215 × 1031 kg) ± 50 ppb
– me/ me = 5 × 108
– me= 4,6 × 108 kg
Propagation des incertitudesAdditions et soustractions
• a = 9 ± 3 a entre 6 et 12
• b = 7 ± 2 b entre 5 et 9
• s = a + b = 16 ± 5 car s entre 11 et 21
• d = a b = 2 ± 5car d entre 3 et 7
Propagation des incertitudesProduits et quotients
• a = 29 ± 3 a entre 26 et 32
• b = 37 ± 2 b entre 35 et 39
• ab = 1073 et est entre 910 et 1248
Probabilitéset
Statistiques
Probabilité
• Probabilité qu’un événement X se produise
NNP
succès de nombrelim
Où N = nombre d’essais
Probabilité
• On lance un dé
• 6 résultats possibles
• Chaque résultat a un pi = 1/6
10 ip
1 ip Normalisation
Complément
• p = la probabilité que X se produise
• 1 p = la probabilité que X ne se produise pas
• q = 1 p est le complément de p
Calcul de la probabilité
• 1) Calculez le nombre total de combinaisons N, supposées équiprobables
• 2) Calculez le nombre de ces combinaisons qui représentent un succès S
• 3) p = S/N
Calcul de probabilité
• Probabilité de tirer 3 avec 1 dé
• 1) N = 6 possibilités
• 2) S = 1 seule bonne combinaison
• 3) p = 1/6
Calcul de probabilité
• Probabilité de tirer une somme de 4 avec 2 dés
• 1) N = 6 x 6 = 36 possibilités
• 2) S = 3 (1,3) (2,2) (3,1)
• 3) p = 3/36 = 1/12
Calcul de probabilité
• Probabilité de tirer une somme de 7 avec 2 dés
• 1) N = 36
• 2) S = 6 (énumérez les)
• 3) p = 6/36 = 1/6
Distribution de probabilité
• Indique la probabilité de succès pour chaque type d’événement
• Se présente sous forme graphique
Distribution pour 1 dé
Somme de 2 dés
Distributions
• Propriétés des distributions– Moyenne, mode, médiane– Valeur attendue– Moments
• Distributions de probabilité particulières– Binôme, Gauss, Poisson, ...
2 types de distributions
• Distributions discrètes
• Distributions continues
Distributions discrètes
(comme on a déjà vu)
– P(xi) > 0 pour des xi discrets
– P(xi) = 0 partout ailleurs
1 ip
Somme de 2 dés
Distributions continues
• Le nombre de résultats permis est • Chaque résultat a une probabilité = 0
• On définit la densité de probabilitéf(x) dx = probabilité de trouver le résultat entre
x et x + dx
Normalisation: 1)(
dxxf
Distribution continue
Mode
• Valeur la plus probable
= 7 pour la somme de 2 dés
Non défini pour un dé
Non défini pour pile ou face
Médiane
• Point qui sépare la distribution en 2 moitiés égales
• = 7 pour la somme de 2 dés
• = 3,5 pour un dé (ou toute valeur entre 3 et 4)
Moyenne
• Ou valeur attendue
• Discrète :
• Continue :
dxxxp
xpx ii
)(
)(
Pour une distribution symétrique
• Moyenne = Mode = Médiane
Valeur estimée
• Moyenne = – est la valeur attendue (ou estimée) de x– Notée
• La moyenne de x est la valeur estimée de x
• La valeur attendue de toute fonction f(x) est
dxxxpxpx ii )(ou )(
dxxpxfxpxff ii )()(ou )()(
x
Normalisation
1)(1)(
1)(1)(
dxxpdxxp
xpxp ii
La normalisation représente la valeur attendue de 1qui est bien sûr égale à 1
Propriétés de la valeur attendue
nn xx
xgbxfaxbgxaf
)()()()(
Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes
Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe?
Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non
Ex: N lettres au hasard dans N enveloppesCombien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe?
Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non
1/1*/1
1
NNNXXX
XXNX
ii
i
i
Quel que soit N, il y a en moyenne 1 lettre dans la bonne enveloppe
Moments
• Différentes distributions peuvent avoir la même moyenne mais être différentes
Moments
• On peut représenter une distribution par l’ensemble de ses moments
22
1
0 1
xm
µm
m
xm ii
...
Normalisation
Moyenne
Moments centrés
• On soustrait la moyenne pour recentrer
22
1
0
0
1
µxµ
µ
µ
µxµ ii
Normalisation
Moyenne recentrée = 0
Variance = s
...
Écart-type
• Représente la largeur de la distribution
= Écart quadratique
moyen
= Déviation moyenne
22
2222
22
22
22
222
2
2
2
2)(
xxs
xxµx
µµµx
µxµx
µµxx
µµxxµxs
Mesure et incertitude
• Je mesure une quantité 5 fois
• x = 17, 16, 18, 17, 18
• Quelle est la valeur probable de x et son incertitude ?
7,02,17
0,75
1
2,175
1
22
x
µx
xxµ
i
i
Probabilité de N événements
• Obtenir 25 piles en 35 lancers
• Obtenir 30 fois 6 en 100 lancers
• Que 10 noyaux de radium se désintègrent en 5 minutes
• Que la bactérie se divise 20 fois en 1 heure
• Que 8 de vos 10 mesures soient dans un certain intervalle
Distribution binômiale
• On lance un dé 100 fois
• La valeur attendue du nombre de 6 est ~17
• Quelle est la probabilité de tirer r fois 6 ?
• Toutes les séries (a1, a2,..., a100) sont équiprobables
• La probabilité de 6 à chaque case est p = 1/6
• Chaque combinaison de r succès et nr échecs a une probabilité
rnr pp )1(
)!(!
!
rnr
n
r
n
rnrB pp
rnr
npnrP
)1(
)!(!
!);;(
•Il y a combinaisons de r succès
Probabilité pour r succès et nr échecs =
67,1)1(
33,36/20
pnp
npµ
727,3)1(
66,166/100
pnp
npµ
Désintégration radioactive
• 1 g de radium = 2,7*1021 atomes = 1 Ci = 1,7*1010 désintégrations/s
• Demi-vie = 5,26 *108 min ~ 1000 ans
• Probabilité qu’un atome donné se désintègre dans les 5 minutes est faible p ~ 108
• µ = np = 5*1012 désintégrations en 5 minutes
• Probabilité de r désintégrations =
rnrB pp
rnr
npnrP
)1(
)!(!
!);;(
Mais n! est impossible à calculern est très grandp est très petitnp = µ est finiOn remplace p par µ/n
r
nr
r
r
n
r
r
rnr
B
nµ
nµ
µ
rn
rnnn
nµnµ
n
µ
rnr
n
n
µ
n
µ
rnr
npnrP
)1(
)1(
!
)1)...(1(
)1(
)1(
)!(!
!
)1()!(!
!);;(
1)1)...(1(lim
11lim
1lim
)1(
)1(
!
)1)...(1();;(
r
r
µn
r
nr
rB
n
rnnn
n
n
µ
n
en
µ
n
nµ
nµ
µ
rn
rnnnpnrP
Distribution de Poisson
),(!
);;(lim
)1(
)1(
!
)1)...(1();;(
µrPr
µepnrP
n
nµ
nµ
µ
rn
rnnnpnrP
P
rµ
B
r
nr
rB
n = 10, p = 0,5µ = 5
n = 100, p = 0,05µ = 5
Propriétés de la distribution de Poisson
• Normalisation
• Écart-type
1!
!),(
0
0
µµ
x
xµ
x
xµ
P
eex
µe
x
µeµxP
µnppnp )1(
Rayons cosmiques
• 180 rayons cosmiques / (m2 min)
• Combien en passe-t-il en 10 secondes ?
• µ = 180*10/60 = 30
• On peut prédire qu’il passera
rayons cosmiques en 10 secondes
3030
5,530
30
secondes 10
7,13
3
seconde 1
Distributions de Poisson
• Nombre de fautes de frappe dans une page
• Nombre d’individus vivant plus de 100 ans
• Nombre de émis par une source
• Nombre d’incendies à Montréal par semaine
• Nombre de gens tirant le numéro gagnant
Additivité
• x obéit à
• y obéit à
• Alors, z = x + y obéit à
),,( pmxPB
),,( pnyPB),,( pnmzPB
22yxz
yxz
Additivité
• x obéit à
• y obéit à
• Alors, z = x + y obéit à
),( 1µxPP
),( 2µyPP),( 21 µµzPP
22yxz
yxz
Distribution gaussienne
• La distribution de Poisson est asymétrique
• Mais devient plus symétrique pour µ grand
• Pour µ>30, la distribution est symétrique
5,530
30
secondes 10
7,13
3
seconde 1
Distribution gaussienne
• Abraham de Moivre 1733
• Distribution continue de à
• Maximum en x = µ
• Forme en cloche
• D’application très générale – Théorème de la limite centrale
• Approximation de pour µ grand
),( µxPP
Distribution gaussienne
• Taille des individus
• QI
• Incertitudes
• Vitesse des molécules
2
2
2
2
1)(
µx
G exP
Distribution gaussienne
• 2 paramètres : µ et • Symétrique autour de µ
Additivité
• x obéit à
• y obéit à
• Alors, z = x + y obéit à
),,( xxG µxP ),,( yyG µyP
),,( zzG µzP
22yxz
yxz
Distribution normale
• Distribution gaussienne
• µ = 0
= 1
Fonction tabulée
Fonction standard
2
2
2
1)(
x
N exP
Distribution normale
1
1
%6868269,0)( dxxPN
68,0
68,0
5,0)( dxxPN 68,0P.E.
35,2Largeur à mi-hauteur
Distribution gaussienne
35,2
68,0..
2
1)(
%6868269,0)(
68,0
68,0
EP
dxxP
dxxP
G
G
Fonction erreur erf(x)
21
)(
1)(
2
2
2
2
aerfdxedxxP
dxeaerf
a
a
xa
aN
a
a
x
Fonction erreur
5,0)2/68,0(
68,0)(
1)(
0)0(
2
erf
erf
erf
erf
Théorème de la limite centrale
• Sans démonstration
• Indique pourquoi tant de phénomènes obéissent à une distribution gaussienne
Théorème de la limite centrale
• Soit xi i = 1, ..., n n variables indépendantes
• Les xi obéissent à des distributions caractérisées par des µi et des i
• Alors, est distribuée selon une
• gaussienne avec
n
iix
1
n
ii
n
iiµµ
1
22
1
et
5,530
30
7,13
3
Lorentz
• Pas de lien avec les autres distributions
• Phénomènes de résonance
• Circuits RLC
Lorentz
• est infini
• On utilise
222
21
µxPL
Lorentz