Fiches de RvisionMPTOME II - Mathmatique

Jean-Baptiste Thou

Creactive Commons - Version 0.1

Licence

Jai dcid dditer cet ouvrage sous la licence Crative Commons suivante : CC-by-nc-sa.Pour plus dinformation :http ://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/.Ce type de licence vous offre une grande libert, tout en permettant de protger mon travail contreune utilisation commercial mon insu par exemple.Pour plus dinformation sur vos droits, consultez le site de Crative Commons

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Avant-propos

Il y a un plus dun an, au milieu de ma SUP MP, jai dcid de faire mes fiches de rvision laide de Latex, un "traitement de texte" trs puissant. Il en rsulte les fiches qui suivent. Je penseque travailler sur des fiches de rvision, totalement spar de notre cours, est un norme plus, etrduit grandement la quantit de travail pour apprendre son cours, ce qui laisse plus de tempspour les exercices. Mon experience en tout cas va dans ce sens, jai notablement progress laidede ces fiches.Jai dcid de les rassembler sous forme dun "livre", ou plutt sous forme dun recueil. Ce livre pour principal interet pour moi dtre transportable en cours. Cest cet interet qui ma pouss faire ce livre.Dans la philosophie de mes fiches de rvision, ce livre est disponible gratuitement et librementsur mon blog. Il est dit sous License Crative Commons. Vous pouvez librement adapter celibre vos besoins, les sources Latex sont disponibles sur mon blog. Je pense que pour tre enaccord avec la philosophie de ces fiches, il serai bien que si vous effectuez des modifications demon ouvrage, vous rendiez ces modifications disponible tous. Je laisserai volontiers une placepour vos modifications sur mon blog. Je pense sincrement que ce serai vraiment profitable auplus grand nombre, et dans la logique de mon travail.Jai hirarchis mon ouvrage de faon chronologique. Les parties sont ranges dans lordre "dap-parition" en MP, tout en conservant une certaine logique dans les parties. Jai mis en Annexe despetites fiches de mthodologie, qui peuvent savrer utiles.Je vous souhaite une bonne lecture, et surtout une bonne russite.Jean-Baptiste ThouPS : Pour toutes corrections, propositions, ou autre, merci de me contacter : jbtheou@gmail.comou par lintermdiaire de mon site web.

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Remerciements

Je tient remercier Georges Marin, Professeur de Physique-Chimie en MP au Lyce Lesage etFranois Brunou, Professeur de Mathmatiques en MP au Lyce Lesage.Sans eux, ce livre ne pourrai exister.

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Premire partie

Rvisions

1

Chapitre1Rappels et Complments

1.1 Relations de comparaison

1.1.1 Relations dquivalence

SoitR une relation.nonc 1 R est une relation dequivalence sur E si et seulement si :

I) R est rflexive : x E, xRxII) R est symtrique : (x, y) E2 tq xRy, on as : yRx

III) R est transitive : (x, y, z) E3 tq xRy et yRz, on as : xRz

1.1.2 Fonction module

nonc 2 La fonction module, fonction de [a, b] dans R, est une fonction continue

1.1.3 Voisinage fondamental

Dfinition 1 On dfini un voisinage fondamental de x0 R par : Si x0 R : V = ]x0 r, x0 + r[ Si x0 = + : V= ]a,[ Si x0 = : V= ],a[

1.1.4 Ngligabilit

nonc 3 Soient u et v deux fonctions de R dans K, dfinies sur un mme voisinage de 0.Par exemple, dfinies sur ]-r,r[, avec r > 0.On dit que u est ngligable devant v en 0 si et seulement si, r ]0, r[ et h, une fonction dfinie par :

h : ]r, r[ Kavec lim

0h = 0 telque :

x ]r, r[ u(x) = v(x)h(x)On le note

u =0o(v)

Proprit 1 Soit u fonction de V dans K, avec V voisinage fondamental de x0 R.Si est une constante de K, indpendante de la variable x, alors :

o(u) =x0o(u)

3

Proprit 2 Soient o1(u), o2(u), ..., op(u) fonctions ngligable devant u.Si p ne dpend pas de la variable x :

o1(u) + o2(u) + ...+ op(u) = o(u)

Notation dHardy et de Landau

nonc 4 Soient u et v deux fonctions de R dans K, dfinies sur un voisinage ]r, r[, avec r>0, en 0.

u0v u =

0o(v)

La premire notation est la notation dHardy. La seconde est celle de Landau.

1.1.5 quivalence

nonc 5 Soient u et v deux fonctions de R dans K, dfinies sur un voisinage ]r, r[, avec r>0, de 0. Ondit que u est quivalent v en 0 si et seulement si, r ]0, r[ et h, une fonction dfinie par :

h : ]r, r[ K

avec lim0h = 1 telque :

x ]r, r[ u(x) = v(x)h(x)On le note :

u 0v

Proprit 3 Soient u et v deux fonctions quivalente en x0.Nous avons, si est indpendant de la variable :

u x0v u

x0v

Proprit 4 Avec les conditions prcdentes, nous avons :

u x0v u =

x0v + o(v)

u x0v u v

x0v

Par symtrie, on peut inverser ces relations.

Proprit 5 Soient u et v deux applications de V dans K, dfinies sur un voisinage fondamental V dex0 R.Si u

x0v, et u(x)

x0l C ou l R, alors :

v(x)x0l

Proprit 6 Avec les conditions prcdentes : Si u(x) x0u1(x) et v(x)

x0v1(x), alors :

u(x)v(x) x0u1(x)v1(x)

u

vx0

u1v1

Proprit 7 Si u(x) x0v(x) et si u et v restent > 0 au voisinage de x0 et si u(x) et v(x) tendent vers

l R+ {1} en x0, alors :ln(u)

x0ln(v)

1.1.6 Ngligabilit et quivalence

Proprit 8 Soient u et v deux fonctions de V dans K, avec V un voisinage fondamental de x0 R.Alors :

u x0v o(u) =

x0o(v)

Proprit 9 Si u1, u2, ..., up sont des fonctions de R dans K, dfinies sur un voisinage ]r, r[, avec r>0,de 0. Si u1

0u2

0...

0up, alors :

u1 + ...+ up 0u1

1.1.7 Lien entre limite et somme

Proprit 10 Soient h2, h3, ..., hp fonctions telque :

k {2, .., p} lim0hk = 0

La consquence suivante est vraie uniquement si p est indpendant de x :

lim0h2 + ...+ hp = 0

1.1.8 Signe et quivalent

Proprit 11 Soient u et v deux fonctions de R dans R dfinies sur un voisinage de 0, telque :

u 0v

alors, > 0 telque x ], [, u(x) et v(x) ont mme signe et mme points dannulation."Un quivalent contrle localement le signe"

1.1.9 Domination - Grand O

Dfinition 2 Soient u et v deux fonctions de R dans K, dfinies sur un voisinage ]r, r[, avec r>0, de 0.On dit que u est domin par v si et seulement si, r ]0, r[ et h, une fonction dfinie par :

h : ]r, r[ K

avec h borne sur ]-r,r[ telque :

x ]r, r[ u(x) = v(x).h(x)

On le note :u =

0O(v)

1.1.10 Dans le cas des suites

Domination - Grand O

Dfinition 3 Soient (un) et (vn) deux suites valeurs dans K.

un = O(vn) (n0 N,(hn)nn0 tq n n0 un = vnhn)

avec (hn)nn0 suite borne.

1.2 Fonctions

1.2.1 Fonctions continue sur un segments

Soit f fonction continue de [a, b] dans R.

Proprit 12 f est borne sur [a, b] :

M R+ tq x [a, b] |f(x)| M

Proprit 13 f est majore et minore, et atteint son sup et son inf en des points de [a, b] :

[a, b] tq sup[a,b]

f = f()

[a, b] tq inf[a,b]

f = f()

Proprit 14 f est uniformement continue sur [a,b]

1.2.2 Fonctions continue par morceaux sur un intervalle

Proprit 15 Si f est continue par morceau sur un intervalle I, il en est de mme pour |f|.

Proprit 16 Lensemble des application dun intervalle I, valeur dans K, continue par morceaux sur I,est une algbre.Cest dire que cet espace est stable par addition, produit par un scalaire, et par produit. Mais cet ensemblenest pas stable par composition.

1.2.3 Thorme des accroissements finis

La notation f Cn([a, b] ,R) signifie que f est de classe de Cn de [a, b] dans R

Dfinition 4 Soit f C1([a, b] ,R), alors :

c ]a, b[ tq f(b) f(a) = f (c)(b a)

Ce thorme nest valable que pour les fonctions valeurs dans R. Dans le cas plus gnral des fonctions valeurs dans C on utilise lingalit des accroissement finis

1.2.4 Ingalit des accroissement finis

Dfinition 5 Soit f C1([a, b] ,K).Si f est borne sur [a, b], alors :

|f(b) f(a)| sup[a,b]

|f |.(b a)

On dmontre le lien entre le signe de la drive et les variations de la fonction laide de cetteingalit.

1.2.5 Thorme de Rolles

nonc 6 Soit f application continue sur [a,b] et drivable sur ]a,b[.Si f(a) = f(b), alors :

c ]a, b[ tq f (c) = 0

1.2.6 Thorme des valeurs intermdiaire

Les trois proprits suivantes sont quivalentes.

Proprit 17 Soit f application continue de I dans R, avec I intervalle inclus dans R.Alors f(I) est aussi un intervalle

Proprit 18 Soit f application de A dans R, dfinie et continue sur [a,b].Si :

f(a)f(b) 0Alors :

c [a, b] tq f(c) = 0

Proprit 19 Soit f application continue de I dans R.(x, x) I2, tous y compris entre f(x) et f(x) est une valeur de f sur [x, x]

Cas particuliers

Proprit 20 Soit f, fonction de R dans R, continue sur [a,b].Alors f([a,b]) = [m,M], avec :

m = inf[a,b]

f

M = sup[a,b]

f

Proprit 21 Soit f fonction de R dans R, continue et strictement croissante sur un intervalle I.Alors f induit une bijection de I sur f(I), qui est lui mme un intervalle, et sa bijection rciproque, f1, def(I) dans I, est galement continue et strictement croissante.On peut prciser f(I). Quand I possde une borne ouverte, on fait appelle la limite de f en la valeur de cetteborne, et quand I possde une borne ferme, on prend la valeur de f en cette borne. Par exemple :

I = ]a, b] f(I) =]limaf, f(b)

]Proprit 22 Soit f fonction de R dans R, croissante sur I.Alors : Soit f nest pas majore sur I, alors dans ce cas :

f(x) x

Soit f est majore sur I, alors dans ce cas :

f(x) x supI

f

1.2.7 Lien entre limite et borne

Proprit 23 Soit f fonction de R dans K, dfinie sur un voisinage de x0 R.Si f a une limite finie quand x tend vers x0, alors il existe un voisinage de x0 V telque f soit borne sur V.

1.2.8 tude de Arctan

Dans le cas dune tude asymptotique de arctan au voisinage de, la proprit suivant peutetre utile :

Proprit 24

u R+ arctan(u) + arctan( 1u

) = .pi

2avec = +1 si u est positif, -1 si u est ngatif

1.2.9 Limite dune fonction

Proprit 25 Soit f une fonction complexe.

( f est continue par morceaux ) ( Re(f) et Im(f) sont continue par morceaux )

Proprit 26 Soit f fonction complexe, dcomposable en f = f1 + if2. Soit (l1, l2) R2

(lim f = l = l1 + il2) (lim f1 = l1 et lim f2 = l2)

1.2.10 Injectivit

Dfinition 6 Soit f application de I dans I.f est injective si et seulement si :

(x, x) I f(x) = f(x) x = x

Cest dire que si il y a galit entre les images, alors il y a galit entre les vecteurs.

Proprit 27 Soit f application linaire entre deux espaces vectoriels.

( f est injective ) Ker(f) = {0}

1.2.11 Surjectivit

Dfinition 7 Soit f application de I dans I.f est surjective si et seulement si :

y I x I tq f(x) = yCeci veut dire que chaque images possde un antcdent. On peut aussi crire cette condition ncssaire etsuffisante sous la forme :

f(I) = I

1.2.12 Bijectivit

Dfinition 8 Soit f une application de I dans I.f est une bijection de I sur I si et seulement si :

y I !x I tq f(x) = y

Chaque image possde un et un seul antcdent. Dans ce cas, on peut dfinir lapplication rciproque f1 :

f1 : I Iy f1(y)

avec f1(y) lunique antcdent de y par f.

Proprit 28 f est une bijection si et seulement si f est injective et surjective.

Proprit 29 Soit f une fonction bijective.Si x I, y I .

(f(x) = y) (x = f1(y))Et :

f1of = IdI

fof1 = IdI

1.2.13 Diffomorphisme

Dfinition 9 Soit f une application Ck dun intervalle I dans R, avec k N (le cas k=0 est cart, car cecas possde un nom diffrent).On dit que f ralise un Ck-diffomorphisme de I sur f(I) si et seulement si : f ralise une bijection de I sur f(I) f est Ck sur I La fonction rciproque, f1 de f(I) dans I, est galement Ck sur f(I).

On dit que f est un C diffomorphisme de I sur f(I) si f est un Ck diffomorphisme de I sur f(I) pour tousk N

Thorme 1 Soit f une application de classe C1 de R dans R, avec k N sur un intervalle I R.Alors f est un C1 diffomorphisme de I sur f(I) si et seulement si f ne sannule pas sur I.Dans le cas, dapres le thorme des valeurs intermdiaire, f garde donc un signe constant sur I.Si x I : f(x) > 0, alors f est un C1 diffomorphisme strictement croissant f(x) < 0, alors f est un C1 diffomorphisme strictement dcroissant

1.3 Dveloppements limits

1.3.1 Lien entre dveloppement limit et drivabilit

Soit f fonction de R dans K dfinies sur un voisinage V0 de 0. Supposons que f admet undveloppement limit dordre 1 de la forme : f(x) = a+ bx+ o(x)

Proprit 30

( f admet un dveloppement limit dordre 1 en 0 ) ( f est drivable en 0 )

Proprit 31 On obtient les galits suivantes :

f(0) = a

f (0) = b

De plus, lquation de la tangente en 0 au graphe de f est :

y = a+ bx

1.3.2 Position relative de la courbe par rapport la tangente

Soit f fonction de R dans K dfinies sur un voisinage V0 de 0. Supposons que f admet undveloppement limit dordre 2 de la forme : f(x) = a+ bx+ cxp + o(xp), avec c 6= 0.Proprit 32 La position de la courbe par rapport sa tangente au voisinage du point dabscisse O=(0,a),estdonne laide du signe de c.xp (Voir Signe et quivalent)

1.3.3 Dveloppement limits usuels

(1 + x) = 1 + x+ ( 1)2!

x2 + o(x2)

cos(x) = 1 x2

2!+x4

4! x

6

6!+ o(x6)

sin(x) = 1 x3

3!+x5

5! x

7

7!+ o(x7)

ex = 1 + x+ x2

2!+x3

3!+x4

4!+ o(x4)

11 x = 1 + x+ x

2 + ...+ xn + o(xn)

ch(x) = 1 + x2

2!+x4

4!+ ...+

x2n

2n!+ o(x2n+1)

sh(x) = 1 + x3

3!+x5

5!+ ...+

x2n+1

(2n+ 1)!+ o(x2n+1)

ln(1 + x) = x x2

2+x3

3+ o(x3)

tan(x) = x+ x3

3+ o(x3)

arctan(x) = x x3

3+x5

5 ...+ (1)n x

2n+1

2n+ 1+ o(x2n+2)

1.3.4 Dveloppement asymptotique dune "chelle de comparaison E"

Dfinition 10 Soit x0 R, et E un ensemble de fonction de R dans K, dont chacune est dfinie sur unvoisinage fondamental de x0.On dit que f admet un dveloppement asymptotique dans lchelle E la prcision o(up), up E, silexiste des applications u1, ..., up appartenant E et des scalaires 1, 2, ..., p Kp, non tous nuls, et unvoisinage fondamental V de x0 telque :

u1 ... upx V f(x) = 1u1(x) + ...+ pup(x) + o(up(x))

Exemples dchelle de comparaison E

Pour x0 R, lchelle des dvellopements limits en x0 :

E = {x 7 (x x0)n, n N}

Pour x0 R :E = {x 7 (x x0)n, n Z}

Pour x0 = :

E =

{x 7 x(ln(x))eP (x), P (x) =

qi=1

qix1 , (, ) R2, q N, qi R, i R+

}

1.4 Intgrale

1.4.1 Somme de Riemmann

Soit f, fonction continue par morceaux de [a, b] dans K. Soit (un) la somme de Riemmannassoci f

Proprit 33 Quand n tend vers linfini, le nombre de termes tend vers linfini, et chacun des termes tendvers 0. La limite de la somme nest pourtant pas nul

Proprit 34

limnun = limn

n1k=0

b an

f(xk) = ba

f

1.4.2 Ingalit de majoration

Proprit 35 Soit f fonction continue par morceaux de [a,b], a

Croissance de lintgrale

Proprit 36 Soient f,g deux fonctions continue par morceaux de [a,b], a ||u||.||v||

Proprit 37 Si f et g sont deux applications continue par morceaux de [a,b] dans K, alors :

| ba

f(t)g(t)dt| b

a

|f(t)|2dt. b

a

|g(t)|2dt

Le produit scalaire sous jacents dans le cas rel est :

< f |g >= ba

f(t).g(t)dt

A laide de ceci, on peut dmontrer lingalit des accroissements finis.

1.4.4 Intgrale et ngligabilit

Proprit 38 Si u et v sont deux applications de R dans K, continue sur un voisinage de 0 (pour que lonpuisse dfinir les intgrales). Alors :

u0v

x0

u0

x0

v

1.5 Vrac

1.5.1 Suite gomtrique

Proprit 39 La somme dune suite gomtrique de raison z est donne par, pour z 6= 1 :

1 + z + ...+ zn =1 zn+1

1 zPour z = 1 :

1 + z + ...+ zn = n+ 1

Application aux matrices

Soit A une matrice carre.De mme, on obtient, si (I-A) est inversible :

I +A+A2 + ...+An = (I A)1(I An+1)= (I An+1)(I A)1

On observe que les matrices commutent (Ce qui nest pas le cas gnral)

1.5.2 Suite complexe

Soit (un) une suite de complexe.

Proprit 40limn |un| = 0 limnun = 0

1.5.3 Utilisations des ingalits

Soient (un) et (vn) deux suites qui tendent vers l et l

Proprit 41 Si n N un vn, alors l l.Mais si n N un < vn, alors l l.On observe donc quil est plus "facile" de travailler sur des ingalits large, car avec les ingalits, seulesles ingalits larges sont conserves lors du passage la limite.

1.5.4 Densit

Soient A et A deux sous ensembles non vide de C, avec A inclue dans A.

nonc 8 On dit que A est dense dans A si :

a A, > 0, a A tq |a a|

Proprit 42 On dit que A est dense dans A si tous points de A est la limite dune suite de points de A

1.5.5 Formule du binme et drive

Dfinition 11 Soit a et b deux complexes :

(a+ b)n =nk=0

(n

k

)ak.bnk

Proprit 43 On peut tendre la formule du binome au drivation dun produit de fonction :

(fg)(n) =nk=0

(n

k

)f (k).g(nk)

Proprit 44 De mme, on peut tendre cette formule aux matrices si les deux matrices commutent.Soient A et B deux matrice carre telque AB=BA :

(A+B)n =nk=0

(n

k

)Ak.Bnk

1.5.6 Drive successives de cosinus et sinus

nonc 9 Soit n N :cos(n)(x) = cos(x+ n.

pi

2)

sin(n)(x) = sin(x+ n.pi

2)

Proprit 45 k N :cos(2k) = (1)k cos(x)

sin(2k+1) = (1)k+1 cos(x)

1.5.7 Rgle de dAlembert

Soit (un) une suite de rels positifs.Supposons que :

limn

un+1un

= a

Si a [0, 1[, (un) converge vers 0 Si a>1, (un) diverge vers +

1.5.8 Nombre complexe

Proprit 46 Si z = x + iy, avec x,y deux rels, alors :

|x| |z||y| |z|

1.6 Les polynomes

1.6.1 Polynomes irrductibles

Proprit 47 Si K est un corps commutatif, tous polynomes de K[X] scrit comme le produit dun nombresde polynomes irrductible de K[X] et cette criture est unique lordre prs des facteurs.

nonc 10 Les polynomes irrductibles de C[X] sont les polynomes du 1er degrs.Les polynomes irrductibles de C[X] unitaire sont les polynome aX+, avec un complexe et a=1.

nonc 11 Les polynomes irrductibles de R[X] sont les polynomes du 1er degrs et les polynomes du 2nddegrs avec discriminant ngatif.

1.6.2 Racine et ordre de multiplicit

Dfinition 12 Soit un complexe. est une racine dordre n de P K[X] si et seulement si (X)n divise P et que (X)n+1 ne le divisepas.

Proprit 48 Soit un complexe. est une racine dordre n de P K[X] si et seulement si :

k {0, n 1} P (k)() = 0et que

P (n)() 6= 0Proprit 49 Soit z un complexe.On peut factoriser zn 1 sous la forme :

zn 1 =n1k=0

(z eik2pin )

Proprit 50 Daprs la proprit prcdente, et en utilisant le faite que :

1 + z + ...+ zn1 =zn 1z 1

On obtient que :

1 + z + ...+ zn1 =n1k=1

(z eik2pin )

Proprit 51 Soit P R[X], et une racine complexe de P, avec imaginaire.Alors :

multP () = multP ()

Deuxime partie

Intgrales, Fonctions

15

Chapitre2Intgrales gnralises, Fonctionsintgrables

2.1 Applications continues par morceaux

En ce qui concerne les intgrales, le programme se limite aux applications continues par mor-ceaux.

2.1.1 Dfinitions

Dfinition 13 Soit f, une application (fonction dfinies sur tous lespace de dpart) de [a, b] dans K, aveca et b deux rels, a

telque, i {0, ..., p 1} :f]xi,xi+1[ =

f i

Dfinition 16 Soit I un intervalle quelconque de R et f, application de I dans K.On dit que f est continue par morceaux sur I si f est continue par morceaux sur tous segments (intervalleborn ferm) [a, b] I

Proprit 52 Si f est une application continue par morceaux de [a, b] dans K, alors :

ba

f =p1i=0

xi+1xi

f i

Proprit 53 Soient f,g fonctions de [a, b] dans K. Si f est une application intgrable au sens de Riemannsur [a, b] et si g ne diffre quen un nombre finie de point de f, alors g est galement intgrable au sens deRiemann et : b

a

g = ba

f

2.2 Convergence dune intgrale

2.2.1 Convergence versDfinition 17 Soit f application continue par morceaux de [a,[ dans K.Alors, x [a,[, f est continue par morceaux sur [a, x] et on peut calculer : x

a

f

Cest dire que lon peut dfinir une nouvelle application F :

F : [a,[ K

x 7 xa

f

Lorsque F a une limite finie, quand x, on dit que af converge, et on note :

a

f = limxF (x)

En ralit, on devrai dire queaf existe, ou que

xaf converge quand x

Proprit 54 Si R et a R+ :a

dt

tconverge si et seulement si > 1.

De plus, on peux calculer la limite par primitivation.

Proprit 55 Soit f une application continue par morceaux de [a,[ dans K, et si b [a,[ a

f converge si et seulement si b

f converge

Dans ce cas, on obtient la relation de Chasles : a

f = ba

f + b

f

2.2.2 Convergence vers 0

Dfinition 18 Soit f application continue par morceaux de ]0, a] dans K.Alors on peut dfinir F, fonction de ]0, a] dans K, dfini par :

x ]0, a] F (x) = ax

f

Car f est continue par morceaux sur [x, a] On dit que a

0f converge lorsque F(x) a une limite finie quand

x tend vers 0+. En ralit, on devrai dire que a

0f existe, ou que

a0f converge quand x 0+

Proprit 56 Si R et a R+ : a0

dt

tconverge si et seulement si < 1.

De plus, on peux calculer la limite par primitivation.

Proprit 57 Soit f une application continue par morceaux de ]0, a] dans K.

b ]0, a] a

0

f converge si et seulement si b

0

f converge

Dans ce cas, on obtient la relation de Chasles : a0

f = b

0

f + ab

f

2.3 Rsultats spcifiques sur les applications de [a;[ valeursdans K

2.3.1 Limite de lapplication et convergence de lintgrale

Soit f, application continue par morceaux sur [a;[ valeurs dans K, avec a R.Proprit 58 Si f a une limite finie l, l K, quand x, et si

af converge, alors l=0

Proprit 59 Si f est valeur relle et si f a une limite l, l R+ {+;}, quand x, et si af

converge, alors l=0.

Proprit 60 Soit f application continue par morceaux de [a,[ dans R.a

peut tre convergente sans que f ait une limite en, ou que f soit borne.

2.3.2 Caractrisation squentielle dune limite

Proprit 61 Soit f application continue par morceaux de [a,[ dans K. Soit l K( limx f(x) = l) ((xn) valeur dans [a,[ tendant vers, f(xn) n l)

Proprit 62 Soit f application de R dans K dfinies sur un voisinage V de x0 R, et l K ( ou l R siK=R)

( limx xV

x0f(x) = l) ((xn) valeur dans V, tendant vers x0, f(xn)

n l)

2.4 Dfinitions et proprits gnrales

Dans les chapitres suivants, on adopte la notation suivante : a

f = limx

xa

f

Dfinition 19 Soit a R, et R+ {+}, avec a .Soit f application continue par morceaux de [a, [.On peut alors dfinir F :

F : [a, [ K

x 7 xa

f

On dit que af converge si et seulement si F(x) a une limite finie dans K quand x tend vers par valeur

inferieur.On note alors

a

cette limite.

Proprit 63 Soit f application continue par morceaux de [a, [ dans K.Si b [a, [ : (

a

f converge)(

b

f converge)

Dans ce cas, nous avons la relation de Chasles suivante : a

f = ba

f + b

f

Proprit 64 Soit f application continue par morceaux de [a, [ dans K. R :

f : [a, [ Kx 7 f(x)

est une fonction continue par morceaux et :( a

f converge)(

a

f converge)

Et dans ce cas : a

f = a

f

Proprit 65 Soient f et g deux applications continues par morceaux de [a, [ dans K.Alors f+g est continue par morceaux.Si af et

ag converge, alors

af + g converge et :

a

f + g = a

f + a

g

Proprit 66 Soit f application de [a, [ dans C. Soient f1= Re(f) et f2 = Im(f).f est continue par morceaux sur [a, [ f1 et f2 sont continue par morceaux sur [a, [.Dans ce cas : (

a

f converge)(

a

f1 et

a

f2 convergent)

. On obtient alors : a

f = a

f1 + i a

f

Proprit 67 Soit f application continue par morceaux de [a, [ dans K, avec :

R {} R {+}

Soit ], [ Si f est continue par morceaux sur ], [ et sur ], [ On dit que

f converge si les

intgrales f et

f convergent.

On obtient alors que :

f =

f +

f

2.5 Convergence Absolue, Fonctions intgrables sur un intervalle

Dans ce chapitre, nous allons nous limiter aux applications continue par morceaux de [a, [dans K, avec :

R {}a R, a

Mais les dfinitions et rsultats se gnralise sur des applications continues par morceaux sur], [ ou sur ], [ , ], [.

2.5.1 Convergence Absolue

Dfinition 20 Soit f application continue par morceaux sur [a, [ dans K.Lapplication g :

g : [a, [ R+x 7 |f(x)|

est aussi continue par morceaux sur [a, [.On dit que f est intgrable sur [a, [ ou que

af converge absolument lorsque

a|f | converge

Proprit 68

( a

f converge absolument) ( a

fconverge)

2.5.2 Critre de Cauchy

Critre de Cauchy pour les suites

nonc 12 On dit quune suite (un) a valeur dans K vrifie le critre de Cauchy si et seulement si : > 0,N0 N tq (p, q) N2 tq p et q N0 :

|up uq|

En faite, on obtient une dfinition quivalente en se limitant aux couples (p,q) N2 telque q>p. Ce quidonne :(un) est une suite de Cauchy si et seulement si :

> 0,N0 N tq q > p N0 |up uq|

Proprit 69 Toutes suites (un) valeur dans R vrifiant le critre de Cauchy converge.

Proprit 70 Toutes suite de Cauchy valeur dans C converge dans C

Critre de Cauchy pour les fonctions

Dfinition 21 Soit f fonction de R dans K, dfinie sur un voisinage V de x0 R.On dit que f vrifie le critre de Cauchy en x0 si et seulement si :

> 0, U voisinage de x0 dans V tq (x, x) U2, |f(x) f(x)|

Proprit 71 Avec les notations prcdantes, si f, fonction de R dans K, dfinie au voisinage de x0 R,admet un limite finie en x0, alors f vrifie le critre de Cauchy en x0

Proprit 72 Si f, fonction de R dans K, dfinie au voisinage de x0 R, vrifie le critre de Cauchy en x0,alors f admet une limite finie en x0

2.6 Convergence des intgrales de fonctions positives - Intgra-bilit

2.6.1 Proprits fondamentale

Proprit 73 Soit f, application continue par morceaux de [a,b[ dans R.Si f est valeurs positives sur [a,b[, alors :

x 7 xa

f(t)dt est croissante

Convergence dune intgrale de fonction positive par majoration

Proprit 74 Soient f et g deux fonction continue par morceaux de [a,b[ dans R.Si t [a,b[ 0 f(t) g(t), alors :

( ba

g converge ) ( ba

f converge et 0 ba

f(t) ba

g(t))

( ba

g diverge ) ( ba

f diverge )

Intgration par domination

Proprit 75 Soient f et g deux fonctions continue par morceaux de [a,b[ dans K.Si f =

bO(g) (Grand O), alors :

( g intgrable sur [a,b[ ) ( f intgrable sur [a,b[ )

Convergence des intgrales de fonction positive

Proprit 76 Soient f et g deux fonction continue par morceaux de [a,b[ dans R, telque : f et g soit de signe constant au voisinage de b f

bg

alors :

( ba

g converge ) ( ba

f converge )

( ba

g diverge ) ( ba

f diverge )

On dit que ces deux intgrales sont de mme nature.

Proprit 77 Soit b rel fini > a.Si f est une fonction continue par morceaux de [a,b[ dans K, et si f a une limite finie en b, alors : b

a

f converge

2.6.2 Rgles de Riemann

EnSoit a R

nonc 13 Soit f fonction continue par morceaux de [a,[ dans K.Si il existe > 1 telque tf(t)

t 0, alors f est intgrable sur [a,[.

Proprit 78 Soit f fonction de [a,[ dans R, continue par morceaux.Si tf(t)

t 0, alors : a

f diverge

En 0

Soit a R

nonc 14 Soit f fonction continue par morceaux de ]0, a] dans K.Si il existe < 1 telque tf(t)

tO+0, alors f est intgrable sur ]0, a].

Proprit 79 Soit f fonction de ]0, a] dans R, continue par morceaux.Si tf(t)

t0+0, alors : a

0

f diverge

2.6.3 Intgrale de Bertrand

Proprit 80 Soit a>1 et (, ) R2.( a

dx

xln(x)converge

) ( > 1, ou = 1, > 1)

Proprit 81 Soit a ]0, 1[ et (, ) R2.( a0

dx

xln(x)converge

) ( < 1, ou = 1, > 1)

2.7 Intgration par parties - Changement de variable

2.7.1 Intgration par parties

Dfinition 22 Soient u et v deux applications de [a,b[ dans K C1 par morceaux et continue sur [a,b[. ba

uv = [uv]ba ba

uv

Avec :[uv]ba = lim

xb[uv]xa

2.7.2 Changement de variable

Soit f fonction continue sur [a,b[, valeur dans K.Soit g fonction C1 sur [a,b[ valeur dans [a,b[, avec a=g(a), b= lim

xbg(x). b

a

f(t)dt = baf(g(u))g(u).du

2.8 Quelques espaces remarquables

Dans tous ce chapitre, on considre que I est un intervalle fondamental.

Dfinition 23 On dit que I est un intervalle fondamental si :

I = [a, b] ; I = [a, b[ ; I = ]a, b] ; I = ]a, b[

Avec, selon les cas :a R ou a R {}b R ou b R {+}

Cette notation est une notation personnelle.

Proprit 82 Lensemble des applications continue par morceaux de I dans K telqueIf converge est un

K espace vectoriel

Proprit 83 Lensemble L1cpm, qui est lensemble des applications continue par morceaux sur I, valeurdans K, et intgrable sur I, est un K espace vectoriel. Cest un sous-espace vectoriel de lespace prcdent.

Proprit 84 Lensemble L2cpm, qui est lensemble des applications continue par morceaux sur I, valeurdans K, de carre intgrable sur I, est un K espace vectoriel.

Lemme 1 Soit a et b deux complexes :

|a+ b|2 2.(|a|2 + |b|2)

Si a et b sont rel, ce lemme devient :

(a+ b)2 2.(a2 + b2)

2.9 Remarque concernant le reste

Dfinition 24 Soit f fonction de [a, b[ dans K, avec a rel et b R {+}, continue par morceaux ettelque

ba

converge.On a donc aussi :

x [a, b[ bx

f converge

On peut donc dfinir le reste intgrale au voisinage de b, note R(x) :

R : [a, b[ K

x 7 bx

f

Proprit 85 Avec les notations et dfinition prcdantes, on obtient que :

limxb

R(x) = 0

Chapitre3Intgrales paramtres

3.1 Thorme de continuit

Soit :

f : X I K

(x, t) 7 f(x, t)avec X et I intervalles de R.On peut dfinir :

F (x) =I

f(x, t)dt

condition suffisante que t 7 f(x, t) soit C0 par morceaux sur I et que If(x, t)dt converge.

Si cette condition est satisfaite, pour tout x X , on peut dfinir une nouvelle application :

F : X K

x 7 F (x)Avec :

F (x) =I

f(x, t)dt

Thorme 2 Avec les notations prcdentes, si : x X , t 7 f(x, t) est continue par morceaux sur I t I , x 7 f(x, t) est continue sur X Condition de domination : : I R+, condition par morceaux, intgrable sur I, telque :

(x, t) X I |f(x, t)| (t)

Alors F est dfinie et continue sur X.

Proprit 86 En considrant que la continuit est une proprit locale, on peut remplacer la condition dedomination par :[a, b]c X, [a,b] : I

3.2 Thorme de classe C1

Thorme 3 Soit f :f : R2 K

(x, t) 7 f(x, t)Avec K un corps, X et I deux intervalles de R.Si : x X , t 7 f(x, t) est continue par morceaux sur I t I , x 7 f(x, t) est C1 sur X et t f

x(x, t) est continue par morceaux sur I

Condition de domination : : I R+, condition par morceaux, intgrable sur I, telque :

(x, t) X I |fx

(x, t)| (t)

Alors F :F : X Kx 7 F (x)

Avec :F (x) =

I

f(x, t)dt

est dfinie et de classe C1 sur X et :

x X F (x) =I

f

x(x, t)dt

On appelle ceci formule de drivation soussigne intgrale de Lipnitz

Proprit 87 En considrant que la continuit est une proprit locale, on peut remplacer la condition dedomination par :[a, b]c X, [a,b] : I

Chapitre4Approximation uniforme

4.1 Approximation uniforme par des fonctions en escaliers

Thorme 5 Soit [a,b] un segment inclu dans R.Pour toute fonctions f de [a,b] dans K ,ou plus gnralement dans E, un K espace vectoriel norme, et > 0 :

: [a, b] K ou Efonction en escalier, telle que :

f ,[a,b]<

Il existe plusieurs variantes de thorme :

Thorme 6 Caractrisation squentielle :Avec les notations prcdentes, quelque soit f, fonction de [a,b] dans K ou E, il existe une suite de fonctionsen escalier (n) de [a,b] dans K ou E, convergeant uniformement vers f sur [a,b]

Thorme 7 Lensemble E des fonctions en escalier de [a,b] dans K ou E est dense dans lensemble Cpmdes fonctions continue par morceaux de [a,b] dans K ou E.

4.2 Gnralisation aux fonctions continues par morceaux

Avec les notations prcdentes :Soit f une fonction de [a,b] dans K ou E, continue par morceaux. Cest dire quil existe unesubdivision, not :

a = a0 < < ap = btelque f soit continue sur ]ak, ak+1[ , k [|0, p 1|], et f admet une limite droite et gauche enak, droite en a0, a gauche en ap.On peut donc dfinir fk, le prolongement par continuit de f sur [ak, ak+1].Soit > 0. Il existe k en escalier sur [ak, ak+1] telque :

fk k ,[a,b]<

On peut donc dfinir , commme coincident avec les k et gale f aux bornes des intervalles.On obtient donc que :

f ,[a,b]<

27

4.3 Thorme

Dfinition 25 Soit : [a, b] E. On dit que est affine si il existe une subdivision :

a < x0 < ... < xp = b

telque :k [|0, p 1|], (k,k) E2 tq t ]xk, xk+1[ (t) = t.k +k

Thorme 8 Soit f, application continue de [a,b] dans E, un K espace vectoriel norm (En particulier, onpeut avoir E = R ou C).Alors, > 0, : [a, b] E, continue et affine par morceaux, telque :

f ,[a,b]

Ce thorme est inutile en pratique.

4.4 Thorme dapproximation uniforme de Weierstrass

Thorme 9 Soit f C([a, b],K), avec K = R ou C.Alors, > 0, P K[X] telque :

f P ,[a,b]

Il existe, comme prcdement, des variantes de ce thorme :

Thorme 10 Caractrisation squentielle.Pour tout f C([a, b],K), (Pn) suite de polynomes K[X] convergeant uniformement vers f sur [a,b].

Thorme 11 Lensemble des fonctions polynomiales de [a,b] dans K est dense dans lensemble des fonc-tions continue de [a,b] dans K.

Chapitre5Description des surfaces

Dans tout ce chapitre, E dsigne un R espace affine de dimension 2 et R = (O,i ,j ,k ) unrepre de E. Le plus souvent E est suppos euclidien, dans ce casR sera suppos orthonorme

5.1 Surface dfinies par une quation implicite

Dfinition 26 Soit f : R3 R. On appelle surface dquation implicite f(x, y, z) =R

0 lensemble (S) des

points M =R

(x, y, z) tq : {(x, y, z) Dff(x, y, z) = 0

5.2 Surface dfini par une quation cartsienne ("explicite")

Dfinition 27 On dit que (S) admet une quation cartesienne explicite sil existe un repre (R) et unefonction f : R2 R telque :

(S) =

{M =R

(x, y, z) /

{(x, y) Dfz = f(x, y)

}

Une surface de ce type est un cas particulier de surface dfinie par une quation implicite :

F (x, y, z) = 0

5.3 Surfaces dfinies par une reprsentation paramtrique

On appelle arc paramtr de E une application :

: I Et 7 (t)

o I est un intervalle inclu dans R.On appelle courbe paramtr par :

Supp() = {(t), t I}

29

Dfinition 28 On appelle nappe paramtr de E une application :

E

(u, v) 7 (u, v)ou est un sous ensemble inclus dans R2. On appelle surface paramtr par :

Supp() = {(u, v), (u, v) }

5.4 Plan tangent une nappe paramtr de classe C1

5.4.1 Rappel

Une nappe paramtr du R espace affine E de dimension 3 est une fonction :

R2 E(u, v) 7 (u, v)

Souvent, (u, v) est not M(u,v). On dfini le support de par :

Supp = {(u, v), (u, v) Df }

Dans la suite on supposera de classe C1 sur , avec un ouvert. Si R = (O,i ,j ,k ) est unrepre de E ((

i ,j ,k ) est une base de

E ), on peut dfinir ses trois fonctions coordonnes par

rapport au repreR :

R2 E

(u, v) 7 (u, v) =x(u, v)y(u, v)z(u, v)

Dans ce cas, on rappelle que est de classe C1 sur si et seulement si les trois fonctions coor-donnes x,y,z sont C1 sur . Ceci implique que et x,y,z sont dfinies sur en entir evidement.On a alors :

uB

x

uy

uz

u

Nous avons de mme pour la drive partielle par rapport v.

5.4.2 Arc trac sur une nappe

Soit un arc paramtr dfini par :

I R Et 7 (t)

Avec I un intervalle. (t) est souvent not P(t).Nous avons les quivalences suivantes :

Supp Supp t I, (t) Supp t I, (u, v) / (t) = (u, v)

Dfinition 29 On dit que est un arc trac sur sil existe des application :

I Rt 7 u(t)

et :

I Rt 7 v(t)

telle que :

t I{

(u(t), v(t)) (t) = (u(t), v(t))

On dit que est un "arc C1 trac sur " sil existe (u,v) C1(I,R), avec I intervalle inclus dans R, telleque t I : {

(u(t), v(t))(t) = (u(t), v(t))

5.4.3 Proprit fondamementale et dfinition du plan tangent

Supposons que : I E soit "un arc C1 trac sur la nappe ", avec : ouvert R2 E,de classe C1. Avec les notations introduites prcdement :

t I, (t) = u

(u0, v0)u

t(t) +

v

(u(t), v(t))v

t(t)

Vect(u

(u0, v0),v

(u0, v0))

Dfinition 30 On dit que est rgulier en (u0, v0) ou, par abus, que le point (u0, v0) est un point

rgulier de la nappe siu

(u0, v0) v

(u0, v0) cest dire encore si :

rg[u

(u0, v0),v

(u0, v0)]

Ou encore, si E est euclidien orient :

u

(u0, v0) v

(u0, v0) 6= 0

Dans ce cas, Vect(u

(u0, v0),v

(u0, v0)) est alors un plan vectoriel deE .

Dfinition 31 On appelle plan tangent , not T(u0,v0), le plan de direction vectorielle Vect(u

(u0, v0),v

(u0, v0))

et contenant le point M0 = (u0, v0). On peut rsumer ceci sous la forme :

T(u0,v0) = M0 + Vect(u

(u0, v0),v

(u0, v0))

Proprit 89 En particulier, si est rgulier en (u(t),v(t)) et rgulier en t, cest dire (t) 6= 0, alors :

(t) + Vect( (t)) (t) + Vect(u

(u0, v0),v

(u0, v0))

Autrement dit, la tangente larc est incluse dans le plan tangent en (t) = (u(t), v(t)).

Remarque 1 En pratique, E est souvent euclidien orient et dans ce cas, le plan tangent une nappe enun point rgulier M0 = (u0, v0) est caractris par M0 et un vecteur normale, par exemple :

u

(u0, v0) v

(u0, v0) =H (u0, v0)

Ce vecteur est non cul car est suppos rgulier en ce point. On obtient dans ce cas que :

TM0 = M0 +[V ect(

H (u0,v0))

]5.4.4 Cas des nappes coniques

Dfinition 32 On appelle cone, ou surface conique, de sommet O (O 6 Supp ) et de directrice Supp larunion de droites 3 0 et ayant un point 3 Supp .Dfinition 33 Cette dfinition est la limite du programme. Une surface engendre par une famille dedroite sappelle une surface rgle. Si en outre, cette surface admet un plan tangent en tout point et que ceplan est le mme le long des droites gnratrices, la surface est dites "dveloppable".

5.5 Changement de paramtrisation et plan tangent

Soit une nappe paramtr C1 dfinie par :

ouvert R2 E(u, v)(u, v)

et S = Supp(). On dit que aussi que est la paramtrisation de S. S peut admettre plusieursparamtrisation, cest dire tre le support de diffrentes nappes. Si S = Supp(1) avec :

1 : 1 ouvert R2 E(u1, v1)1(u1, v1)

Dfinition 34 On dit que 1 est une paramtrisation de S C1 quivalente sil existe un C1 diffomor-phisme :

: 1 (u1, v1) 7 (u(u1, v1), v(u1, v1))

telque :1 = o

Cest dire : (u1, v1) 1/1(u1, v1) = (u(u1, v1), v(u1, v1))Proprit 90 Les proprits de rgularit en un point sont conserv par un changement de paramtrisationde classe C1. Il en est de mme pour le plan tangent en un point rgulier.

5.6 Plan tangent une surface dfinie par une quation impliciteF(x,y,z)=0

On suppose que F est une application C1 sur un ouvert U de R3 valeurs dans R. On dfini lasurface (S) par :

(S) ={

(x, y, z) R3/F (x, y, z) = 0}

On peut dfinirgradF(x,y,z) =

F

x(x, y, z)

F

y(x, y, z)

F

z(x, y, z)

.

Dfinition 35 On dit que F est rgulier en (x,y,z) ou que (x0, y0, z0) est un point rgulier de F (de (S)) sigradF (x0,y0,z0) 6= 0. Supposons, par exemple, que :

F

z(x0, y0, z0) 6= 0. Dans ce cas, daprs le Thorme

des fonctions implicite, (S) est localement, au voisinage deM0(x0, y0, z0) le support dune nappe paramtrcartesienne de classe C1 :

0 R3

(x, y) 7 (x, y) =xyz

Avec 0 =]x0 , x0 + []y0 , y0 + [Tout ceci revient dire quau voisinage dun point M0(x0, y0, z0) rgulier de la surface (S) : Si F(x,y,z) =0 (cest dire si

gradF (x0,y0,z0) 6= 0) alors (S) est localement le support dune nappe paramtr cartesienne

C1 rgulire, donc le plan tangent en (x,y,z) est orthogonale gradF (x0,y0,z0) (On dit aussi normal (S))

Chapitre6Intgrales multiples

Considrons une intgrale de la forme :(x,y)D

f(x, y)dxdy

Avec D un sous ensemble born de R2

6.1 Thorme de Fubini

Considrons une fonction f :

f : R2 R(x, y) 7 f(x, y)

Si les applications partielles sont continues par morceaux, on obtient : dy=c

( bx=a

f(x, y)dx

)dy =

bx=a

( dy=c

f(x, y)dy

)dx

La valeurs commune des deux membres de cette galit est note :(x,y)[a,b][c,d]

f(x, y)dxdy ou meme

(x,y)[a,b][c,d]

f(x, y)dxdy

On peut se ramener au cas gnrale en considrant un rectangle [a, b] [c, d] D, en posant unefonction f gale f sur D, nulle autrement.

6.2 Thorme de changement de variable

6.2.1 En dimension 1

On peut effectuer le changement de variable suivant : ba

f(x)dx = baf(u(t))u(t)dt

Avec u un C1 diffomorphisme de [a, b] u [a, b]

35

6.2.2 En dimension 2

(x,y)D

f(x, y)dxdy =

(x,y)Dg(u, v)|detJ(u,v)|dudv

Avec :

: D D(u, v) 7 (x, y)

est un C1 diffomorphisme (entre ouvert). On dfini J(u,v) (Matrice jacobienne de ) :

matcand(J(u,v)) =

xu xvyu

y

v

On obtient donc :

|det(J(u,v)) =(xu yv xv yu

)Remarque :Si est un sous espace de R2 de surface nulle :

Df(x, y)dxdy =

D

f(x, y)dxdy

Troisime partie

Suites, Sries

37

Chapitre7Srie numrique

7.1 Dfinitions

7.1.1 Dfinitions gnrales

Dfinition 36 Soit (un) une suite valeur dans K.On appelle srie de terme gnral un, et on note

nun cette nouvelle suite, de terme gnrale :

Sn =nk=0

uk = u0 + u1 + ...+ un

Sn est appel somme partiel de rang n de la srie nun

Remarque 2 Si la suite (un) est dfini uniquement partir du rang n0, on peut se ramener au cas gnral laide dun changement de variable.

Dfinition 37 On dit que la srie nun converge si la suite (Sn) des sommes partiel converge dans K.

On note alors cette limite : k=0

uk

Par dfinition, on as donc :k=0

uk = limn

nk=0

uk = limnSn

En gnral, on note galement S cette limite, et on appelle S somme de la srie.

Exemple : On montre que la srie harmonique diverge en utilisant un encadrement par intgrale.

Proprit 91 Si la srie nun converge, alors un 0 quand n +. Cela est donc une condition

ncessaire de convergence de la srie.

Remarque 3 Si on doit calculer :q3 + q4 + . . .

On se ramne au cas de la srie gomtrique de raison q de la faon suivante :

q3 + q4 + . . . = q3(1 + q + q2 + . . . )

=q3

1 q

39

7.1.2 Reste dordre n

Dfinition 38 Si nun converge, on peut dfinir Rn, le reste dordre n de la srie

nun, par :

Rn = limp

pk=n+1

uk

Proprit 92 On obtient les relations suivantes :

Sn +Rn = S

limnRn 0

7.2 Quelques proprits gnrales

Dans tout ce chapitre, (un),(vn),... sont des suites valeurs dans K=R ou C.

Proprit 93 Supposons que nun et

nvn converge, alors la srie de terme gnral wn = un+vn converge

, et on as :k=0

wk =

( k=0

uk

)+

( k=0

vk

)

Proprit 94 Soit K.Si

nun converge, il en est de mme de la srie de terme gnral wn = un, et alors :

k=0

wk =

( k=0

uk

)

Remarque 4 Les rsultats prcdent peuvent aussi scrire :

k=0

(uk + vk) =k=0

uk +k=0

vk

Cependant, pour pouvoir crire ceci, il faut sassurer que les membres de droites converge. De mme :

k=0

uk =

( k=0

uk

)

Proprit 95 Soit (zn) est une suite valeur dans C.Si (xn) = Re(zn) et (yn) = Im(z), donc zn = xn + iyn, avec (xn, yn) R2 alors :

(n

zn converge ) (n

xn etn

yn converge )

Et dans ce cas, on obtient que :k=0

zk =k=0

xk + ik=0

yk

Dfinition 39 On dit que la srie de terme gnral un converge absolument, ou que la suite (un) estsommable, si la srie

n|un| converge.

Thorme 12 Labsolu convergence de la srie de terme gnral un implique la converge de la srie determe gnral un.Dans ce cas, on as :

|k=0

uk| k=0

|uk|

Proprit 96 Pour tous n0 entier naturel, on peut modifier les n0 premier termes de la suite (un) sansmodifier la convergence de la srie de terme gnral un.On peut crire ceci sous la forme :Si (vn) vrifie partir du rang n0 vn = un, alors :

(nvn converge ) (

nun converge )

On obtient donc que la convergence de la srie ne dpend que du comportement asymptotique de un.

Proprit 97 Toute suite (an) est une somme partielle dune srie nun, un terme constant prs.

n N an =nk=1

(ak ak1) + a0

7.3 Sries termes rels positifs (ou de signe constant)

Proprit fondamentale 1 Soit (un) une suite valeur rel positive.Alors la suite des sommes partielle Sn est croissante. Donc : Soit (Sn) est majore, et alors elle converge vers S = sup Sn Soit (Sn) nest pas majore, alors Sn . Dans ce cas on crit :

k=0

uk = +

Proprit 98 Si (un) et (vn) sont terme rels positifs telque

0 un vnAlors :

nvn converge

nun converge et :

0 k=0

uk k=0

vk

nun diverge

nvn diverge

Proprit 99 Soient (un) et (vn) deux suites termes rel positifs.Si un = O(vn) (Grand O), alors :

(n

vn converge ) (n

un converge)

Proprit 100 Soient (un) et (vn) deux suites termes rels positifs, ou simplement de signe constant.Si un vn, alors :

(n

un converge ) (n

vn converge )

On dit quenun et

nun ont mme nature.

7.3.1 Convergence des sries de Riemann

Dfinition 40 On appelle srie de Riemann les sries de terme gnral, avec R :

un =1n

Proprit 101 Soit (un) la suite de terme gnral :

un =1n

Alors :(n

un converge) ( > 1)

On dmontre cette proprit en montrant que pour 0, un 6 0, donc la condition ncessaire deconvergence nest pas vrifi. Pour > 0, on utilise un encadrement par intgrale.Dans ce cas, on dfini lapplication suivante :

:]1, [

7 () =n=1

1n

Proprit 102 La comparaison srie-intgrale (qui consiste encadrer la somme partiel, ou le reste partiel,par des intgrales de la fonction) prcdent permet dobtenir un quivalent simple, quand le cas de srie de

terme gnral un =1n

: De Sn dans le cas divergent De Rn, dans le cas convergent.

7.3.2 Rgle de Riemann

Proprit 103 Soit (un) suite valeur relle ou complexe.Si > 1 telque nun 0, alors

n|un| converge. On dit aussi que la suite (un) est sommable

Proprit 104 Soit (un) suite valeur relle.Si nun , alors

nun diverge. On a meme :

k=0

un =

7.3.3 Srie de Bertrand

Dfinition 41 Ce sont les sries de terme gnral :

un =1

n.ln(n)

Proprit 105 Une srie de Bertrand converge si et seulement si :

> 1 ou = 1 et > 1

On le dmontre laide de la rgle de Riemann, et laide de la comparaison srie-intgrale.

7.3.4 Proprit de Cauchy

Cette proprit permet de dmontrer directement la convergence des sries de Riemann et deBertrand.Soit u, la fonction dfinie n0 N, par :

u : [n0,[ Rt u(t)

u est une application continue par morceaux et monotone. On obtient que :

(n

u(n) converge ) ( n0

u converge )

On dit que la srie et lintgrale ont mme nature.

7.3.5 Rgle de dAlembert

Proprit 106 Soit (un) une suite de rels telque n n0, un > 0, et telque :un+1un

l R+

Alors : Si l > 1, alors la srie de terme gnral un diverge grossirement Si l < 1, alors la srie converge

7.3.6 Rgle de Cauchy

Cest une rgle hors-programme.

Proprit 107 Soit (un) une suite de rels telle que :{n n0 un > 0nun l R+

Si : l>1

nun diverge (un )

l

Proprit 109 Si la srie nest alterne, et ne vrifie le fait que la suite (|un|) nest dcroissante qua partirdun rang n0, alors la srie converge toujours, et le regle sur le reste reste valable, partir du rang n0.

Lors dexercice, le point le plus souvent difficile est de dmontrer que la suite des valeurs absoludcroit.Exemple :

A laide de ce thorme, on montre que la srien

(1)nn

converge > 0. On montre de plus quecette srie converge vers ln(2). On le dmontre en partant de :

t R {1} 1 t+ + (1)n1tn1 = 1 ((1)ntn)

1 + t

Dou :1

1 + t= 1 t+ t2 + + (1)n1tn1 + (1)n t

n

1 + t

On continue en intgrant entre 0 et x, en prenant la valeur pour x=1. Puis on montre que le resteintgrale tend vers 0.

7.5 Quelques espaces remarquables

Proprit 110 Lensembles des suites (un) KN telquenun converge est un sous espace vectoriel de

KN. (Stable par addition et par multiplication par un scalaire).

7.5.1 Ensemble l1(K)

Dfinition 43 Lensemble l1(K) est lensemble des suites sommables valeurs dans K. Cette ensemble estun sous espace vectoriel de lespace vectoriel vu ci dessus.

Proprit 111 Soit (un) une suite valeur dans K.Si la suite (un) est sommable, la serie

nun converge aussi (Labsolu convergence implique la convergence).

l1(K) est donc inclu dans lespace vectoriel vu au dbut de ce chapitre.

Proprit 112 Supposons que u=(un) et v = (vn) soient sommable. Lingalit suivante :

0 |un + vn| |un|+ |vn|

Montre que u+v=(un + vn) est galement sommable (On le montre daprs la structure de lensemble dessuites telque la srie soit convergente et daprs le thorme de convergence par majoration )

Proprit 113 Soit un scalaire.u l1(K) u l1(K)

7.5.2 Ensemble l2(K)

Dfinition 44 Lensemble l2(K) est lensemble des suites de carres sommable, cest dire telque :n

|u2n|

converge.On montre que lensemble prcdent est inclu dans cette ensemble, ce qui nest pas le cas des intgrales.

7.6 Sommation par paquets ou associativit de la sommation

Dfinition 45 Soit (un) une suite valeur dans K telquenun converge.

Soit :

S =k=0

uk

Donnons nous une application dfini par :

: N N

telque soit une application strictement croissante.Une telle application tant donne, dfinisoons partir de (un) et de une nouvelle suite (vn) de termegnral :

vn = u(n1)+1 + ...+ un

On obtient une suite du type (exemple) :v0 = u0v1 = u1 + u2 + u3v2 = u4 + u5

Proprit 114 Avec les notations prcdentes, le fait que la srie de terme gnral un converge impliqueque la srie de terme gnral vn converge, et vers S aussi.

Chapitre8Sommation des relations decomparaison

8.1 Cas sommable

Dans tous ce chapitre, les relations de sommation sont des relations concernant les restes

k=n+1

uk

Hypothses gnrales 1 Dans lensemble de cette fiche, (un) et (vn) sont deux suites dfinies partirdun certain rang N0. (un) est une suite valeur C. (vn) est une suite valeur dans R+, ou valeur relles et de signe constant partir dun certain

rang

8.1.1 Ngligabilit

Thorme 13 Avec les hypothses prcdentes :Supposons que (vn) soit sommable et que :

un vnAlors (un) est galement sommable, et, n N0 :

k=n+1

uk

k=n+1

vk

On peut aussi enoncer ce thorme, mais avec les notations de Landau.

Thorme 14 Sous les hypothses de dpart :Supposons que (vn) soit sommable et que :

un = o(vn)

Alors (o(vn)) est sommable et

k=n+1

o(vk) o(

k=n+1

vk)

47

On dmontre ces deux thormes laide de la proprit suivante :

un = o(vn) un = O(vn)

Et du thorme de sommabilit par domination. Puis on utilise la dfinition de un vn :

un vn > 0 N N tq n N |an| |bn|

Et on poursuit en utilisant une sommation finie et en passant la limite sur cette somme enutilisant le faite que la srie converge, donc que le reste existe.

8.1.2 Domination

Thorme 15 Avec les hypothses prcdentes :Supposons que (vn) soit sommable et que :

un 4vn

Alors (un) est galement sommable, et, n N0 :

k=n+1

uk 4

k=n+1

vk

On peut aussi enoncer ce thorme, mais avec les notations de Landau.

Thorme 16 Sous les hypothses de dpart :Supposons que (vn) soit sommable et que :

un = O(vn)

Alors (un) est sommable et k=n+1

O(vk) O(

k=n+1

vk)

On sappuie sur la proprit suivante pour dmontrer ce thorme.

Proprit 115 Soit (an) et (bn) deux suites. Si :

an = O(bn) M R+, N N, tq n N, |an| M |bn|

La dmonstration est totalement analogue au cas ngligable.

8.1.3 Equivalence

Sous les hypothses du prambule, en particulier sur le fait que (vn) soit de signe constant partir dun certain rang n0 :Si :

un vn et (vn) est sommableAlors :

(un) est sommable et

k=n+1

un

k=n+1

vn

On dmontre ce thorme en utilisant la proprit suivante :

un vn un vn vn

On se ramne ainsi un des cas prcdent.

8.2 Cas non sommable

Dans tout ce chapitre, les relations de sommation concerne les sommes partielle :

nn0

uk

8.2.1 Ngligabilit

Thorme 17 Avec les hypothses prcdentes, en particulier (vn) de signe constant partir dun certainrang :Supposons que (vn) ne soit pas sommable et que :

un vn

Alors :n

k=n0

uk n

k=n0

vk

Mais nous navons pas dinformation sur la sommabilit ou la non sommabilit de (un).

On peut aussi enoncer ce thorme, mais avec les notations de Landau.

Thorme 18 Sous les hypothses de dpart :Supposons que (vn) ne soit pas sommable et que :

un = o(vn)

Alors :n

k=n0

o(vk) o(n

k=n0

vk)

On dmontre ceci avec le plan suivant : On suppose n1 N tq n n1 Vn 0 On montre que Sn =

nk=n0

vk n car Vn 0 et non sommable

Puis on obtient que :

Sn Sn SnSn 0

> 0N N tq n NSnSn

2Une fois cette simplification faite, on dmontre le deuxime membre de lquivalence.

8.2.2 Domination

Thorme 19 Avec les hypothses prcdentes :Supposons que (vn) ne soit pas sommable et que :

un 4vn

Alors n N0 :n

k=n0

uk 4n

k=n0

vk

On peut aussi enoncer ce thorme, mais avec les notations de Landau.

Thorme 20 Sous les hypothses de dpart :Supposons que (vn) ne soit pas sommable et que :

un = O(vn)

Alors :n

k=n0

O(vk) O(n

k=n0

vk)

8.2.3 Equivalence

Sous les hypothses du prambule, en particulier sur le fait que (vn) soit de signe constant partir dun certain rang n0 :Si :

un vn et (vn) nest pas sommable

Alors, (un) nest pas sommable et :n

k=n0

un n

k=n0

vn

Proprit 116 Le passage au valeur absolue ne modifie pas les relations de comparaison.

8.3 Les dmonstrations

8.3.1 Dmonstration : Cas sommable, ngligabilit

Nous avons les hypothses suivantes :(vn) est une suite valeur dans R+

(vn) est sommableun vn un = o(vn)

Dmontrons le premier point, cest dire que (un) est sommable. La troisime hypothse impliqueque un = O(vn). On obtient donc que (un) est sommable daprs le thorme de sommabilit soushypothse de domination.Dmontrons maintenant le deuxime points de la proprit : Partons que lexplicitation de langligabilit :

un = o(vn) > 0 N N tq n N |un| |vn|On suppose n vn 0. On peut donc retirer les valeurs absolues. On somme lingalit prcdent :

pk=n+1

|uk| p

k=n+1

vk

De plus :p

k=n+1

|uk|

pk=n+1

uk

Dou :

pk=n+1

uk

p

k=n+1

vk

Nous avons vu que (un) et (vn) sont sommable, on peut donc passer la limite sur p et crire :

k=n+1

uk

k=n+1

vk

Nous avons donc montr que :

> 0 N N tq n N |Rn| RnAvec Rn, respectivement Rn, le restes de la srie

nun, respectivement

nvn. Nous avons donc

montr que :Rn R

n

8.3.2 Dmonstration : Cas non sommable, ngligabilit

(vn) est valeur dans R, de signe constant partir dun certain rang n1(vn) nest pas sommableun vn un = o(vn)

Ici, on se limite au cas ou :k n1 vk 0

Mais le cas ngatif se traite exactement de la mme faon. Notons, avec n0 N, le premier indicede dfinition de (vn) :

Sn =n

k=n0

vk

On veut montrer quil existe un rang partir du quel Sn > 0 pour pouvoir simplifi la dmons-tration. On peut crire cette somme sous la forme :

Sn =n11k=n0

vk +n

k=n1

vk

On suppose que k n1 vk 0 donc k n1 vk = |vk|. Dou :

Sn =n11k=n0

vk Indpendent de n

+n

k=n1

|vk|

Par passage la limite sur n, on obtient que :

nk=n1

|vk| n

car (vn) est suppose non sommable. On obtient donc que :

Sn n

Cela permet de dire n2 > n1 tq n n2 Sn > 0 (car cette suite est croissant partir du rang n1).On peut donc crire que :

Sn =n

k=n0

uk Sn =

nk=n0

vk SnSn

n 0

Dmontrons la seconde partie de lquivalence. On veut montrer quil existe N > n2 N tqn N

SnSn 2.

On utilise les hypothses : On suppose que un = o(vn) or ceci quivaut :

n3 > n2 tq n n3 |un| vnDou :

n n3n

k=n3

|un| n

k=n3

vn

De plus : SnSn = |Sn|Sn

=

n

k=n0

uk

Sn

=

n31k=n0

uk +n

k=n3

uk

Sn

n31k=n0

uk

+n

k=n3

uk

Sn

|Sn31|Sn

+

|n

k=n3

vk|

Sn

|Sn31|Sn

+

nk=n3

vk

Sn

|Sn31|Sn

+ (1 Sn31Sn

)

Nous avons vu que :limnS

n =

Donc :

N1 N tq |Sn31|Sn

N2 N tqSn31Sn

Donc :

n max(N1, N2)SnSn

+ (1 ) 2

On as donc obtenu :

N3 N tq n N3SnSn

2

Chapitre9Suite de fonctions ou dapplication -Convergence uniforme

9.1 Convergence simple

Dfinition 46 Soit A une ensemble (en gnral, A est un intervalle R), et (E, ) un K espace vectorielnorm.Soit (fn) une suite dapplication de A E.On dit que cette suite converge simplement sur A si :

x A (fn(x)) converge dans (E, )Lorsque que cest le cas, lim

n fn(x) dpend a priori de x.On peut donc dfinir une nouvelle application :

f : A Ex 7 f(x) = lim

n 7 fn(x)

On dit que f est la limite simple de fn sur A. En pratique, E=R.

Exemple fondamental : Etudier la convergence simple de la fonction :

fn : A = [0, 1] Rx 7 fn(x) = xn

9.2 Convergence uniforme dune suite dapplications

Proprit 117 Lensemble B(A,E) des applications bornes dun ensemble A dans un K espace vectorielnormes (E, ) est un K sous espace vectoriel des applications de A dans E. De plus :

B(A,E) R+f 7 f ,A= sup

A f

dfinie une norme sur cette espace de fonction. On le dmontre en montrant que cette application vrifie ladfinition dune norme.

Dfinition 47 Soit (fn) une suite dapplication de A, qui est un ensemble de E, un K espace vectorielnorm (E, ), et f une application de A dans E.On dit que (fn) converge uniformement vers f sur A si :{

n0 N tq n n0 fn f B(A,E) (borne) fn f ,A

n 7 0

53

Il se peut que la diffrence des normes dans le second cas ne soit dfini qua partir du rang n0, mais ceci nechange rien.En gnral, la premire condition est vidente. Il faut donc se concentrer sur la deuxime proprit. Enpratique, E=R et A = I R. Si la suite (fn) converge simplement vers une certaine fonction f1, alors, si ily a convergence uniforme, cest obligatoirement vers la fonction f1.

Exemple : Rutiliser la fonction prcdente.

Proprit 118 Soit (fn) une suite dapplication de A, un ensemble, dans (E, ), un K espace vectorielnorme.Si (fn) converge uniformement vers f sur A :

f : A E

Alors (fn) converge simplement vers f sur A. On le dmontre par encadrement de fn(x) f(x) . Onpeut aussi le dmontrer par un raisonnement en

Proprit 119 Cette proprit est utile pour prouver la non convergence uniforme.Soit (fn) une suite dapplication de A, un ensemble, dans (E, ) un K espace vectoriel norme.Si (fn) convergent uniformement vers f, application de A dans E, alors :

(xn) AN fn(xn) f(xn) n

0

De plus, (xn) nest pas necessairement convergente et cette notion na meme pas de sens si il ny a pas dedistance de dfini sur A. On le dmontre par dfinition du sup.

Exemple : Appliquer cette proprit pour caractriser le fait que lexemple fondamental ne convergepas uniformement sur [0,1]

9.3 Thorme classique sous les hypothses de convergence uni-forme

9.3.1 Thorme de continuit

Thorme 21 Soit (fn) une suite dapplication de I 7 K, avec I un intervalle de R, convergent unifor-mement vers f : I K, sur tout le segment [a, b] I .

(n N, fn est continue en x0 I) ( f est continue en x0)(n N, fn est continue sur I) ( f est continue sur I)

On dmontre ce rsultat laide de raisonement en

Exemple : Montrer que cette proprit permet de dire, en connaisant la convergence simple, quela suite de fonction ne converge pas uniformement.

Gnralisation 1 Soit (fn) une suite dapplication de A dans E, avec A une partie non vide dun espacevectoriel norme, E un K espace vectoriel.Si : {

n N fn est continue sur A, respectivement en a A(fn) converge uniformement vers f : A E sur tout compact A

Alors, f est continue sur A, respectivement en a.

Proprit 120 Un sous ensemble C dun espace vectoriel norme E, munie de la norme , est dit compactsi de toute suite (n) valeur dans C, on peut extraire une sous-suite ((n)), avec une applicationstrictement croissante strictement de N dans N, qui converge vers un lments de C. Ceci est dveloppdans la fiche sur les compact.

9.3.2 Thorme dinterversion des limites, ou thorme de la double limite

Thorme 22 Soit (fn) une suite dapplication de I dans K, avec I un intervalle non vide deR, convergentuniformement sur I, vers une application f : I K.Soit a R un point de I ou une extrmit de I.Si :

n N fn(x) xaxI

ln K

alors :

(ln) converge vers une limite l K.

f(x) xaxI

l

Le dernier point peut aussi scrire :

limxaxI

limn fn(x) = limn limxa

xIfn(x)

Cela justifie bien lappelation du thoreme. On dmontre ce thorme par un raisonnement en .

Exemple : Montrer que sur [0,1[, lexemple fondamentale permet de montrer que cette propritnest pas vrifi si il ny a pas convergence simple.

Dfinition 48 On dit quun espace vectoriel norme quil est complet si toute suite de cette espace vrifiantle critre de cauchy converge.Les espaces vectoriel norme complet sont appell espace de Banach

Gnralisation 2 Soit (fn) une suite dapplication de A dans E, avec A une partie non vide dun espacevectoriel norme, et E un K espace vectoriel norme complet.Si (fn) converge uniformement sur A vers une application f de A dans E, si a A cest dire si toutvoisinage de a rencontre A, et si :

n N fn(x) xaxA

ln E

alors : (ln) converge vers l E.

De plus f(x) xa l, avec x A. On peut crire ceci sous la forme suivante :

limxaxA

limn fn(x) = limn limxa

xAfn(x)

On peut inverser les limites dans ce cas.

9.3.3 Thorme dintegration sur un segment sous les hypothses de conver-gence uniforme

Thorme 23 Soit (fn) une suite dapplication continue sur un segment [a,b], valeur dans K= R ou C,convergent uniformement sur [a,b] vers f, application de [a,b] dans K.Alors :

f est continue sur [a,b]

ba

fn n

ba

f

On peut crire la deuxime conclusion sous la forme :

limn

ba

fn = ba

limn fn

Pout le dmontrer, on montre que sous ces hypothses : ba

fn(x)dx ba

f(x)dx n

Gnralisation 3 Ce thorme reste valable lorsquon remplace lensemble darriv par un K espace vec-toriel norme complet E. Ceci suppose davoir, au pralable dfini

bag pour g fonction de [a,b] dans E, un

espace de banach, au moins continue par morceaux.

9.3.4 Throrme de classe C1

Thorme 24 Soit (fn) une suite dapplication de I, un intervalle de R, dans K. On suppose que :

n N fn est C1 sur I

La suite (fn) converge simplement sur I vers une application f de I dans K

La suite (f n) converge uniformement sur tout segment [a,b] inclu I vers une application g de I dans

Alors :

f est de classe C1 sur I

f=g

fn converge uniformement vers f sur tout segment inclu dans I.

La conclusion 2 peut aussi scrire sous la forme :

d

dxlimn7 fn = limn 7

d

dxfn

On dmontre ce thorme laide de la formule de Taylor avec reste intgrale du premier ordre sur fn(x) ena I . La dernire partie du thorme consernant la converge uniforme de (fn) on repasse par la dfinitionde la norme Gnralisation 4 Le thorme prcdent reste vrai quand on remplace lensemble darriv par un espacevectoriel norme complet, un espace de Barach

9.3.5 Thorme de classe Cp

Thorme 25 Soit (fn) une suite dapplication de I, un intervalle de R, dans K. Soit p N.On suppose que :

n N fn est Cp sur I Les suites (fn), (f n), ..., (f (p1)n ) converge simplement sur I vers une application f de I dans K La suite (f (p)n ) converge uniformement sur tout segment [a,b] inclu I vers une application g de I

dans KAlors :

La limite simple f de la suite (fn) est Cp sur I. k [ 1, p] f (k) est la limite simple de la suite (f (k)n ) k [0, p] (f (k)n ) converge uniformement vers f (k) sur tout segment de I.

On le dmontre par rcurrence sur p, en utilisant successivement le thorme de classe C1.

Gnralisation 5 Ce thorme reste valable quand on remplace lensemble darriv par un espace vectorielcomplet.

9.3.6 Thorme de classe C

Dfinition 49 Une application de I, un intervalle inclu dans R, dans K est dite de classe C sur I sip N elle est Cp sur I.On en dduit facilement du thorme Cp prcdent que si (fn) est une suite dapplication de Idans K, et si :

n N fn est de classe C sur I

k N (f (k)n ) converge uniformement sur tout segment inclu dans I

Alors :

La limite simple f de la suite (fn) est C sur I. k N (f (k)n ) converge uniformement vers f (k) sur tout segment inclu dans I.

9.4 Thorme de convergence monotone et convergence domin

On se place dans le cadre dune convergence simple ici

9.4.1 Thorme de convergence monotone

Dfinition 50 La suite (fn) dapplication de I dans R est dite monotone si x I , (fn(x)) est monotoneThorme 26 Soit I un intervalle quelconque de R (pas forcment un segment), et (fn) une suite dappli-cation continue par morceaux sur I, valeur dans R, convergent simplement sur I vers f, application de Idans R, galement continue par morceaux. Si :

La suite (fn) est monotone

Si f0 et f sont intgrable sur I

Alors :

n N fn est intgrable sur I

Ifn

nIf

La deuxieme conclusion peut scrire sous la forme :

limn

I

fn =I

limn fn

9.4.2 Thorme de la convergence domine

Thorme 27 Soit I un intervalle quelconque inclu dans R, et (fn) une suite dapplication de I dans K,continue par morceaux, convergent simplement vers f, application de I dans K, galement continue parmorceaux.Si g, application de I dansR+, continue par morceaux et intgrale sur I, telque (condition de domination) :

n N, x I, |fn(x)| g(x)Alors :

Les fn et f sont intgrable sur I

Ifn

nIf

On peut crire cette dernire consquence sous la forme suivante :

limn

I

fn =I

limn fn

Chapitre10Sries dapplications

10.1 Dfinitions

Dfinition 51 Soit (un) une suite dapplication dun ensemble A valeurs dans un K espace vectorielnorme E, munie de la norme .En pratique, A est un intervalle inclu dans R, et E sera presque toujours K=R ou C, et donc dans ce cas :

= | | partir de cette suite dapplication de A dans E, on peut construire une nouvelle suite dapplication (Sn) :

Sn : A E

x 7 Sn(x) =nk=0

uk(x)

Cette nouvelle suite (Sn) sappelle la srie dapplication de terme gnral un, et se note :nun

10.1.1 Convergence simple

Dfinition 52 On dit quenun converge simplement sur A si la suite dapplication (Sn) converge sim-

plement sur A. Lorsque que cest le cas, on peut dfinir une nouvelle application :

Sn : A E

x 7 Sn(x) =k=0

uk(x)

On dit que S, application de A dans E, est la limite simple de la serie. On peut galement, lorsquil y aconvergence simple de la srie sur A, dfinir lapplication Rn :

Rn : A E

x 7 Rn(x) =

k=n+1

uk(x)

Et nous avons les relations suivantes :{S = Sn +Rnx A Rn(x) 0 E

On dit aussi, pour la dernire relation, que (Rn) converge simplement vers 0 sur A

59

10.1.2 Convergence absolue

Dfinition 53 On dit que la srie dapplicationnun converge absolument sur A si :

x An

un(x) converge

Proprit 121 Si E = K, la convergence absolue denun sur A implique la convergence simple de cette

srie dapplication sur A.Cette proprit reste vrai si E est un K espace vectoriel norme complet, dit de Banach

10.1.3 Convergence uniforme

Dfinition 54 On dit que la srie dapplicationnun converge uniformement sur A si la suite dapplica-

tion (Sn) converge uniformement sur A.Lorsque cest le cas, la srie dapplication converge simplement sur A.Notons S la limite simple de (Sn). Dire que la srie dapplication converge sur A signifie que :

Sn S A

n 0 Rn A n 0

Et quil existe un rang a partir du quel Rn est borne.On peut dire ceci de la faon suivante aussi. La serie dapplication de terme gnral un converge uniforme-ment sur A : La serie converge simplement sur A (Pour lexistance de S, donc de (Rn)) La suite (Rn) converge uniforment sur A vers 0.

Proprit 122 Si (Sn) converge uniformement sur A vers S, alors :

(xn) valeur dans A , Sn(xn) S(xn) n

0 E

On crit de mme :(xn) Rn(xn) 0 E

Cette proprit est utile pour montrer la non convergence uniforme.

10.1.4 Convergence normale, ou convergence au sens de Weirstrass

Dfinition 55 On dit quune srie dapplicationnun converge normalement sur A si un est borne sur

A, au moins partir dun certain indice n0, au quel cas on peut dfinir sa norme infini, et sin

un A

converge

Proprit 123 Si la srie dapplication de terme gnral un converge normalement sur A, alors :

La srie converge absolument sur A

et si E est complet ( en particulier E=K), alors

La srie converge uniformement sur A

On dmontre la premire partie par encadrement de un(x) . La seconde partie se montre en montrantque la suite (Rn) converge uniformement.

10.2 Thorme classique sous hypothses de convergence uni-forme

10.2.1 Thorme de continuit

Thorme 28 Soit (un) une suite dapplication de I, un intervalle inclu dans R, dans K.Si n N un est continue en x0 I , respectivement continue sur I, et si

nun converge uniformement

sur I, alors :

S =k=0

uk est continue en x0, respectivement sur I

Gnralisation 6 Soit (un) une suite dapplication de A dans E, avec A un sous ensemble non vide dunK espace vectoriel norme E, et E un K espace vectoriel norme.Si :

n N un est continue sur A

nun converge uniformement sur tout compact inclu dans A

Alors S est continue sur A

10.2.2 Thorme dinversion de la limite et de la somme

Thorme 29 Soit (un) une suite dapplication de I, un intervalle inclue dans R, dans K, et a I , ou aune extrmit, ou a = .Si :

n N :limxaxA

un(x) = ln K

nun(x) converge uniforment sur I

Alors : La srie

nln converge

S(x) xaxA

k=0

lk

On peut aussi ecrire ceci sous la forme :

limxaxA

k=0

uk(x) =k=0

limxaxA

uk(x)

Gnralisation 7 Soit (un) une suite dapplication de A dans E, avec A un sous ensemble non vide dunK espace vectoriel norme E, et E un K espace vectoriel norme.Si :

n N un(x) xaxA

ln E

nun(x) converge uniformement sur tout compact inclu dans A

Alorsnln converge dans E et S(x)

xAxa

10.2.3 Thorme dintgration sur un segment [a,b] sous hypothse de conver-gence uniforme

Soit (un) une suite dapplication continue sur [a,b], valeur dans K. Sinun converge unifor-

mement sur [a,b], alors : S est continue sur [a,b] ba

S(t)dt =k=0

ba

uk(t)dt

Cette dernire galit peut scrire sous la forme : ba

k=0

uk(t)dt =k=0

ba

uk(t)dt

Gnralisation 8 Ce thorme reste valable pour des applications un : [a, b] E, avec E un K espacevectoriel norm complet, condition davoir dfini lintgrale de un sur un segment

10.2.4 Thorme de classe C1

Thorme 30 Soit (un) une suite dapplication de I dans K, avec I un intervalle de R.Si :

n N, un est de classe C1 sur I.

nun converge simplement sur I

nun converge uniformement sur I, ou sur tout segment de I

Posons :

S =k=0

uk

Alors :

S est C1 sur I

On peut exprimer S, la driv de S de la faon suivante (drivation terme terme) :

S =k=0

uk

La suite (un) converge uniforment sur tout segment inclue dans I.On le dmontre en appliquant le thorme de classe C1 pour les suites dapplications la suite des Sn =nk=0

uk

Gnralisation 9 Ce thorme reste valable pour des applications un de [a,b] dans E, un K espace vectorielcomplet.

10.2.5 Thorme de classe Cp

Thorme 31 Soit (un) une suite dapplication de I dans K, avec I un intervalle de R, et p NSi :

n N, un est de classe Cp sur I.

k [0, p 1] nu

(k)n converge simplement sur I

nu

(p)n converge uniformement sur I, ou sur tout segment de I

Posons :

S =k=0

uk

Alors :

S est C1 sur I

k [0, p 1], on peut exprimer S(k), la driv k-me de S de la faon suivante (drivation terme terme) :

S(k) =t=0

u(k)t

k [0, p], la suite (u(k)n ) converge uniforment sur tout segment inclue dans I.

Gnralisation 10 Ce thorme reste valable pour des applications un de [a,b] dans E, un K espace vec-toriel complet.

10.2.6 Thorme de classe C

Thorme 32 Soit (un) une suite dapplication de I dans K, avec I un intervalle de R, et p NSi :

n N, un est de classe C sur I.

p Nnu

(p)n converge uniformement sur I ou sur tout segment de I

Posons :

S =k=0

uk

Alors :

S est C sur I

p N, on peut exprimer S(p), la driv p-me de S de la faon suivante (drivation terme terme) :

S(p) =t=0

u(p)t

Gnralisation 11 Ce thorme reste valable pour des applications un de [a,b] dans E, un K espace vec-toriel complet.

Chapitre11Sries dendomorphismes et dematrices

11.1 Dfinitions et proprits gnrales

Dfinition 56 Soit E un K espace vectoriel norm de dimension finie n et (fk)nN une suite dendomor-phisme de E.On appelle srie de terme gnral fk la nouvelle suite (Sk)kN dfini par :

Sk =ki=0

fi

On notek

fk = (Sk)kN.

On dit que la srie converge lorsque Sk une limite dans L(E), et on note cette limite :

S =i=0

fi

cDans ce cas, nous pouvons dfinir aussi :

Rk = limp

pi=k+1

fi =

i=k+1

fi

qui est le reste de la srie. On as trivialement, lorsque la srie converge (Pour pouvoir dfinir le reste) :

S = Sk +Rk

etRk

k0

De plus, comme on a suppos E de dimension finie ici, L(E) est aussi de dimension finie, donc la conver-gence ne dpend pas de la norme choisie sur L(E).Nous avons aussi une dfinition analogue dans le cas dune suite de matrice.

Proprit 124 Si B est une base de E et si Ak = matB(fk) alors :

ki=0

Ai = matB(ki=0

fk)

65

Ceci est du la linarit de lapplication suivante :

L(E)Mn(K)f 7 matB(f)

De plusk

fk converge si et seulement sik

Ak converge, et dans ce cas :

k=0

Ak = matB(k=0

fk)

i=k+1

Ai = matB(

i=k+1

fi)

Dfinition 57 Si est une norme quelconque sur L(E) et si (fk)kN est une suite dendomorphismede E, on dit que

k

fk converge absolument au sens de si :k

fk converge

Nous avons une dfinition analogue pour les matrices.

Proprit 125 Sik

fk converge absolument, alorsk

fk converge dans L(E). Nous avons la mme pro-prit pour les matrices.

11.1.1 Exemple : La srie gomtrique

Proprit 126 Sil existe une norme sous-multiplicative (Voir le chapitre sur les normes subordonnes) sur L(E) telque f < 1 alors

k

fk converge

11.2 Exponentielle dendomorphisme ou de matrice

11.2.1 Proprits et dfinitions

Dfinition 58 Si f L(E), avec E un K espace vectoriel norm de dimension finie N, avec K = R ou C,alors

n

fn

n!converge dans L(E) et on note :

ef =k=0

fn

n!

De mme, si A MN (K), alorsn

An

n!converge et on note :

eA =k=0

An

n!

Proprit 127 Si u C1(I,K), avec I intervalle R, alors, avec A MN (K) :I

fMN (K)t 7 eu(t)A

est C1 sur I et :

t I f (t) = u(t)Aeu(t)A= u(t)eu(t)AA

On le dmontre en revenant la dfinition de lexponentielle de matrice, et en utilisant le thorme de classeC1 sur les sries de fonctions.

11.3 Applications de lexponentielle de matrices la rsolutiondun systme diffrentiel linaire coefficient constant

Dfinition 59 Un systme diffrentielle linaire est un systme du type :x1 = a11(t)x1 + + a1n(t)xn + b1(t)...xn = an1(t)x1 + + ann(t)xn + bn(t)

avec les aij et les bi des applications donnes de I dans K=R ou C, avec I R.Les xj sont des applications inconnu que lon cherche dans lensemble C1(I,K). On remarque que lenombre dinconnu est gale au nombre dquations.Ce systme est dit coefficients constant lorsque les aij sont des applications constantes. Le systme est dithomogne lorsque les bi sont toutes des applications nulles.Dans la suite, on va supposer que le systme est coefficients constants. Notons :

A = (aij) Mn(K)

B : I Kn

t 7

b1(t)...bn(t)

X : I Kn

t 7

x1(t)...xn(t)

Avec ces notations, on obtient que x1, . . . , xn sont solution sur I du systme diffrentielle prcdent si etseulement si :

X C1(I,K), t I dXdt

= AX +B(t)

Thorme 33 Nous avons un thorme de Cauchy-Lipschitz pour les systmes :

SoitdX

dt= A(t)X+B(t) , avec A et B dfini comme prcdement, continue sur un intervalle I R, cest

dire que toutes leurs composantes sont continues sur I. Alors X0 =

x01...x0n

Kn et t0 I , il existeune unique solution de (S) vrifiant la condition initiale X(t0) = X0, cest dire :

x1(t0) = x01...xn(t0) = x0n

Corollaire 1 Sous les hypothses prcdente concernant I (intervalle R) et A C(I,Mn(K)), len-semble des solutions de (S0) sur I est a valeur dans Kn est un K espace vectoriel de dimension n.

Corollaire 2 Sous les hypothses ci-dessus concernant I,A et b, lensemble des solutions de (S) sur I va-leurs dansKn est un espace affinie de direction vectorielle (S0). Cest dire si u est une solution particulierede (S) :

Sol(S)(I,Kn) ={U +X, X Sol(S0)(I,Kn)

}

Proprit 128 Si A Mn(K) est une matrice indpendante de la variable, alors lensemble des solutionsdu systme diffrentielle homogne coefficient constante (S0) =

dX

dt= AX (linconnueX C1(R,Kn))

est lensemble des applications (cet ensemble est un K espace vectoriel) :

R Kn

t 7 etAC , C Kn indpendant de tCe qui, en abrg, se note :

Sol(S0)(R,Kn){t 7 etAC , C Kn

}11.4 Proprits classique de lexponentielle de Matrice

Proprit 129 Nous avons les proprits suivantes : e0n = In

etIn = etIn

Si A et BMn(K) commutent, alors A,B,eA, eB commutent deux deux.

Si A Mn(K) et P Gln(K) : eP1AP = P1eAP

Si f L(E), avec E un K espace vectoriel de dimension n, si A = matB(f) et B une base de E,alors : eA = matB(ef )

Si u C1(I,K), avec I un intervalle de R, alors :I Mn(K)t 7 eu(t)A

est C1 sur I est :d

dt(eu(t)A) = u(t)Aeu(t)A

t R, A Mn(K), etA Gln(K) et (etA)1 = etA. En particulier, en prenant le cas out=1, on obtient lexpression de linverse de eA.

Proprit 130 (A,B) (Mn(K))2 telle que AB=BA, alors :eAeB = eA+B

11.4.1 Calcul de eA

Considrons le cas simple suivant :

A = In +N

Avec K et N nilpotente dindice p (p n). On obtient que :eA = eIn+N

= eIneN

= Ine[In + + N

p1

(p 1)!]

= ep1k=0

Nk

k!

Ceci permet de dterminer eA dans le cas o p nest pas trop lev.

11.5 Rsolution de systme diffrentielle coefficients constant

Pour rsoudre un systme diffrentielle coefficients constant laide des exponentiels dematrices, nous avons besoins de proprits suivantes :

Proprit 131 SoitdX

dt(t) = A(t)X(t) un systme diffrentiel linaire homogne avecA C(I,Mn(K)),

et I un intervalle de R. Soit (X1, . . . , Xn) une famille de solutions de ce systme, not (S0). Nous avonsquivalence entre les conditions suivantes : (X1, . . . , Xn) est une base de Sol(S0)(I,Kn) t I, (X1(t), . . . , Xn(t)) est une base de Kn t0 tq (X1(t0), . . . , Xn(t0)) soit une base de Kn

Proprit 132 Etant donne une famille (libre ou non) (X1, . . . , Xn) de solution de (S0), avec i [1, . . . , n] Xi(t) Rn, on appelle Wronskien de (X1, . . . , Xn) lapplication :

I Kt 7W (X1, . . . , Xn)(t) = detcan(X1, . . . , Xn)

Les rsultats de la proprit prcdente peut alors snoncer :

(X1, . . . , Xn) est une base Sol(S0)(I,Kn) t I, W (X1, . . . , Xn)(t) 6= 0 t0 I, W (X1, . . . , Xn)(t0) 6= 0

Dfinition 60 Une base de Sol(S0)(I,Kn) est appel un systme fondamental de solution de (S0). On

utilise ce terme dans le cas des systmes linaires homognes.

Chapitre12Complments sur les sries

12.1 Intgration des sries de fonctions

Thorme 34 Thorme dinterversion du signe et du signe intgrale.Soit

nun une srie dapplication un : I K, avec I un intervalle quelconque, continue par morceaux et

convergent simplement sur I. On suppose que chaque un est intgrale sur I.Sin

I|un| converge, alors :

n

Iun converge

S =n=0

un, suppos continue par morceaux sur I, est intgrable sur I.

IS =

n=0

I

un

La dernire consquence est bien une proprit dinterversion du signe et du signe intgrale.

12.2 Rudiment sur les sries doubles

Dfinition 61 tant donne un ensemble I, on appelle famille valeur dans K et index par I, et on note(ui)iI , une application :

u : I Ki ui

Soit (uij) une famille de complexe. (uij) est une application :

u : N N K(i, j) 7 uij

Exemple : uij =

1i2 + j2 + 1

uij =xi

j, x R ou C

Dfinition 62 On dira que :i=0

j=0

uij

existe si et seulement si :

71

i Nj

uij converge

En supposant la condition prcdente vrifi, et en notant :

Si =j=0

uij

i

Si converge.

Dans ce cas : i=0

j=0

uij =i=0

Si

Thorme 35 Soit (uij) une famille valeur dans C. Si :i=0

j=0

|uij |

existe, alors : i=0

j=0

uij ,

j=0

i=0

uij ,

j=0

i=0

|uij |

existe et on peut permutter les signes

Chapitre13Srie entire

13.1 Dfinitions, rayon de convergence

13.1.1 Dfintions

Dfinition 63 On appelle srie entire une srie dapplicationnun o les un sont des monomes coeffi-

cient rels ou complexe, dfinis sur R ou C, par :

un : K Kt 7 antn

En gnral, un est une application dun corps dans ce mme corps.

13.1.2 Abus de notation

Par abus de notation, car on assimile de faite srie dapplication et srie numrique, on notesouvent

nanx

n, respectivementnanz

n, au lieu denun.

13.1.3 Rayon de convergence

Dfinition 64 tant donne une srie entirenan.z

n, cest a dire tant donne une suite (an) de com-

plexe, on appelle rayon de convergence de cette srie entire, not parfois (nanz

n) :

(n

anzn) = sup {r R+ / (|an|rn) soit majore }

Cest un ensemble non vide, car il contient toujours r=0.

Proprit 133 Dans le cas o lensemble dfini ci-dessus et non majore, on convient que (nan.z

n) =

+

Proprit 134 Soitnanz

n une srie entire, avec (an) suite de complexe, et R = (nanz

n).

Si R = + : La srie converge simplement dans C et converge normalement sur tout disque fermeB(0, ), avec 0, et mme converge normalement sur tout compact inclu dans C.

Si R est un rel > 0 : La srie converge sur tout disque ouvert B(0,R). La srie converge normalementsur tout disque ferm B(0, ) inclu dans B(0,R), et mme converge normalement sur tout compactinclu dans B(0,R).

73

Si R = 0, la srie ne converge que pour z=0.

Vocabulaire 1 B(0,R) sappelle le disque ouvert de convergence de la srie entirenanz

n.

13.1.4 Lemme dAbel

Soit z0 6= 0. Si (|an||z0|n) est majore, alors [0, z0[, la srienanz

n converge normalement

sur B(0, ).On le dmontre en introduisant |z0| dans lexpression de |anzn|, puis on utilise les hypothses.

13.2 Proprits utilse au calcul du rayon de convergence

Dans tout ce chapitre, (an) et (bn) dsigne des suites de compact, et dsigne un complexenon nuls

Proprit 135 Nous avons les proprits suivantes : (

nanz

n) = (n|an|zn)

(nanz

n) = (nanz

n)

Si z0 C, tqnanz

n0 converge, alors (

nanz

n) |z0|. Il en est de mme si la suite (anzn) estborne ou si la suite converge

Si z0 C, tqnan.z

n0 diverge, alors (

nan.z

n) |z0|. Il en est de meme si la suite (an.zn) nestpas borne ou si la suite ne tend pas vers 0.

Proprit 136 Si n n0, on a :|an| |bn|

Alors :(n

anzn) (

n

bnzn)

Proprit 137 Si on a :|an|

n+ |bn|

Alors :(n

anzn) = (

n

bnzn)

13.2.1 Rgle de dAlembert pour les sries entires

Soitnanz

n une srie entire.

Si n n0 |an 6= 0|, et si :|an+1||an| l R+ + {+}

Alors :(n