This article was downloaded by: [Moskow State Univ Bibliote]On: 01 September 2013, At: 12:14Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House,37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Stochastics and Stochastic ReportsPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/gssr19

Approximation de newton pour les équationsdifférentielles stochastiquesY. Ouknine aa Département de mathématiques, Faculté des sciences Semlalia, Université Cadi Ayyad,Marrakech, MarocPublished online: 15 Jun 2010.

To cite this article: Y. Ouknine (1993) Approximation de newton pour les équations différentielles stochastiques, Stochastics andStochastic Reports, 45:3-4, 237-247

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S~ochostics and Sfochasrics Reports. Vol. 45, pp. 237-247 Reprints available directly from the publisher Photocopying permitted by license only

0 1993 Gordon and Breach Science Publishers S.A. Printed in the United States of America

APPROXIMATION DE NEWTON POUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES

STOCHASTIQUES

Y. OUKNINE

Dkpartement de mathematiques, Facultk des sciences Semlalia, Universitk Cadi Ayyad, Marrakech, Maroc

(Received 4 November 1991; in final form 16 June 1992)

In this paper we deal with the Newton approximation for stochastic differential equations. We show that for any T > 0, the approximate solutions, by the Newton method, converges in [0, TI. Furthermore, we give the rate of convergence for this approximation. Our results improve some recent ones obtained by S. Kawabata and T. Yamada.

KEY WORDS Stochastic differential equation, Semimartingales, Doob inequality

INTRODUCTION

La methode d'approximation de Newton a ete &endue aux operateurs sur les espaces de Banach par L. A. Kantorovich [ I ] . En considerant une equation differentielle stochastique comme un operateur non lineaire, sur un espace de Banach adtquat S. Kawabata et T. Yamada [2] montrent que sous certaines hypotheses la methode de Newton converge d'une facon geometrique sur un intervalle de temps [O,6] (6 petit) et si les coefficients de l'E.D.S sont uniformtment bornes il y a convergence des approximes sur tout intervalle de temps donne.

Dans le present travail on montre que la convergence est exponentielle sur tout [0, TI, VT > 0 et ceci sans I'hypothQe de la bornitude des coefficients, comme c'est le cas chez les auteurs de [2] . Nos resultats sont bases sur un lemme fonda- mental qui est une estimation fine sur les suites d'integrales stochastiques. Le present travail a pour origine l'article de S. Kawabata et T. Yamada [2] et celui de L. Schwartz [3].

Notation et Dkfinitions

Soit (R, 9, (FJt,,,, P) une base stochastique qui satisfait les conditions habituelles de la theorie gtnerale des processus. Si T > 0 fixe, on note:

S;: l'espace de Banach des P. classes de processus continus adapte pour les quels /(XI(,+= ((Xt((L2 < + co ou si t I T: X: = sup,,, IX(s)J. Dans la suite on notera S$ par S 2 out simplement.

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Hz: l'espace des semimartingales continues pouvant s'ecrire sous la forme:

ou V est un processus a variation finie, et M est une martingale vkrifiant

si W est la variation totale de V: kt', = (dK( 1:

et 11 [ M , 1 I L 2 < + co et on posera

On rappelle l'inegalite de Burkholder-Davis-Gundy

On considkre I'equation differentielle stochastique

dX(t) = a(t, X(t)) dB + b(t, X ( t ) ) dt X(0) = X,.

On se restreint au cas unidimensionnel pour alleger les notations. Nous supposons connu la theorie des equations differentielles stochastiques, en particulier ce que l'entend par existence et unicite trajectorielle des solutions.

HYPOTHESES

HypothQe (H): Nous supposons que les fonctions o et b satisfont les hypotheses

1) a(t, x) et b(t, x) sont continues en (t, x), differentiables en x et D,a(t, x) = a,(t, x); Dxb(t, x) = b,(t, x) sont continues par rapport a la variable spatiale x.

2) I1 existe deux fonctions measurables K et M telles que

I o(t, X) l 2 + I bit, X) l 2 I K(t)(l + x2)

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Remarque I1 est bien connu que sous l'hypothese (H) il y a existence et unicite trajectorielle d'une solution X( t ) definie sur [O, TI. L'existence se montre en utilisant la methode itirative de Picard et le lemme de Bore1 Cantelli; Quand a l'unicite trajectorielle, l'usage des martingales exponentielles est tres tfficace. Pour ces prob- lbmes d'existence et d'uniciti voir [4] .

On se propose d'etudier la methode iterative de Newton pour approcher la solution X, pour cela nous avons besoin de formuler 1'e.d.s. sous forme d'un probleme de point fixe pour un certain operateur entre espaces de Banach.

DEFINITION Soit F un operateur de S2 dans lui m&me et Z E S2 Si V h E S2 la limite

lim [ F ( Z + uh) - F(Z) ]u - ' u 1 0

existe en norme dans S2. On dit alors que F est G8teaux-differentiable et on note.

1 dF(Z , h) = lim - [ F ( Z + uh) - F(Z) ]

"10 u

dF(Z , h ) est un element de S2 appele la derivee de Giteaux de F en Z . Dans la suite nous considerons l'operateur F defini par: si Z E S2 et 0 < t I T

On montre facilement que F est operateur de S2 dans lui meme. En utilisant l'inegalite de Doob pour les martingales et l'inegalite de Schwartz on obtient

il en resulte donc que F opere sur S2. Voici maintenant le lemme de differentibilite de F. Ce lemme est du a S. Kawabata

et T. Yamada [2] . Nos hypotheses sont un peu plus larges que celles de [2] .

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LEMME Pour tout Z E S Z , la dtrivde au sens de Gateaux de F en Z existe et satisfait

Dkmanstration

On montre facilement en utilisant le thtorime de Doob et la convergence dominee de Lebesgue que

lirn E sup I R(t)I2 = 0 . "10 LT I

Nous avons utilise au passage que la fonction M est integrable. Pour la preuve dktaillke de ce rtsultat on pourra consulter S. Kawabata et T. Yamada [2].

Pour pouvoir appliquer la methode iterative de Newton, il est nemssaire que l'optrateur dF soit inversible. Ce qui a kt6 prouve egalement par S. Kawabata et T. Yamada [2].

LEMME 2 Soit z E S2, (P E S2 telque ( ~ ( 0 ) = 0 P p. S alors il existe un et un seul kltment h E S2 tel que

D&monstration L'tquation lineaire en h admet une solution unique difinie sur [O, TI car M(t) est de carre integrable.

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METHODE DE NEWTON

La methode de Newton pour l'opkrateur F est definie par: L. V. Kantorovich [I].

X,(t) est la suite de Newton associe a F. I1 s'en suit que les (X,) verifient la relation suivante

Les auteurs de [2] montrent que sous certaines hypothbes l'iteration converge d'une fason gkometrique sur un intervalle de temps [0, 61 (6 petit). Pour avoir la convergence globale (sur [0, 7'l) ils supposent de plus que les coefficients u et b sont uniformkment bornes en (t, x). Dans la suite, nous allons montrer que sous les hypotheses (H) la convegence est exponentielle et sur 10, 7'l en entier, ce qui est beaucoup mieux.

Nos rksultats sont bases sur le lemme fondamental ci-dessous.

Lemme Fondamental

Soit (2") et (Vn) deux suites de semimartingales continues de decompositions Zn = Mn + Un, Vn = An + Bn ou,

d[Mn] + IdU"I 5 Ldt

Mn et An sont des martingales locales continues

Un et Bn sont des processus continus a variation finie.

Soient (Yn) un suite de semimartingale continues qui satisfait la relation

On pose Y&' = Yn(t A s).

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En terme de processus arretes a t on a

LEMME V t z 0 il existe une constante K > 0 telle que

Dimonstration On notera S2 , au lieu de S:.

d'ou

E sup I 1 Y"+ '(s)l12 I 8C2L sst

Posons

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d'ou

se qui peut s'ecrire sous la forme

En integrant cette relation, il vient

Et par integration par partie du second membre de cette relation on a

En tenant compte de la relation (R) on a

Par iteration de cette relation on obtient

Comme gl est croissante on a l'estimation suivante

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et par suite

Nous allons appliquer cette estimation a la suite de Newton pour l'operateur F pricite.

T H ~ O R ~ M E Soit X,( t) la suite des approximations assocides a l'e.d.s. on a

Vt E [O, TI: E sup llXn+ 1 ( ~ ) - x,(s)/ I) 5 ~ ( t ) ~ ~ ~ e ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( ~ ) I s,, s2T

et par suite X , -+ X, ou X est la solution de l'kquation diferentielle stochastique et l'on a

Dkmonstration

Cette relation peut s'ecrire sous la forme

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On pose Yn = Xn - Xn-, et

Zn et Un sont deux semimartingales continues; Zn = Mn + V n et

de m&me pour la semimartingale Un. On a avec ces notations

D'apres le resultat du lemme fondamental: il existe une constante K > 0 tel que

I1 en resulte donc que dans l'espace de Banach S:. Xn 5: 2 et 2 E S:. En ecrivant l'itiration pour Xn(t) et un passage A la limite montre que 2 vkrifie l'equation differentielle stochastique de dkpart, et par unicitt trajectorielle 2 = X la solution de l'equation differentielle stochastique.

L'erreure commise par la methode de Newton s'evalue a

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Si on pose

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voir [3] on a

Ce qui est beaucoup mieux que la convergence gtomitrique obtenue par S. Kawabata et T. Yamada [2].

Remarque En cornparant avec un travail de L. Schwartz [3], on peut montrer que les resultats s'etendent a l'espace s:, p > 2. Ceci a l'aide des inegalitts de Burkholder-Davis-Gundy

L'approximation de Newton converge vite en ( (k t )"/n!) l i2; K est une constante qui depend uniquement de la taille de a, b, a,, b,.

Nous avons la croissance de X

I1 en resulte donc que si il existe deux constantes a et p tel que

alors on a jl(X - Xo)'11s2 I A exp(Bt) ( A et B sont deux constantes independantes de t) voir [3].

La croissante de X est donc au plus exponentielle.

Remerciements

Je remercie S. Kawabata et T. Yamada qui m'ont envoye leur travail sous forme de pr6-publication. Je remercie egalement le referee pour ses critiques, qul ont permis d'ameliorer ce travail.

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References

[I] L. A. Kantorovich and G. P. Akilov; Analyse FoncitionneNe. Tome I1 Editions MIR. MOSCOU, p. 229-278.

[2] S. Kawabata and T. Yamada, On Newton method for stochastic differential equations. Seminuires de Proba. XXV, Lec. Not in Math. 1485 (1991), 121-137.

[3] L. Schwartz. La convergence de la serie de Picard pour les equations differentielles stochastiques. Shinaire de Proba. XIV, Lec Not in Math. 1372 (1989), 343-354.

[4] I. Karatzas and S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus Graduate Texts in Math 113; Springer Verlag (1988).

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