Aspect thermique du frottement: mise en évidence expérimentale et éléments de modélisation

Mec. Ind. (2000) 1, 563–579 2000 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservésS1296-2139(00)01068-X/FLA

Aspect thermique du frottement: mise en évidenceexpérimentale et éléments de modélisation

Jean Denape a*, Najib Laraqi b

a Laboratoire Génie de Production, École Nationale d’Ingénieurs de Tarbes, Avenue d’Azereix, BP 1629, 65016 Tarbes cedex, Franceb Equipe Transferts Thermiques, LMP, URA CNRS 879, université Paris VI, BP 160, 4 Place Jussieu, 75252 Paris cedex 5, France

(accepté le 20 octobre 2000)

Résumé —La connaissance des températures de contact est un élément précieux pour l’étude du comportement tribologique desmatériaux en contact glissant. En effet, la puissance mécanique transmise à un contact frottant est essentiellement dissipée sousforme de chaleur au niveau de l’interface des deux matériaux. L’élévation résultante de la température peut fortement influencer lespropriétés de surface des matériaux en glissement, favoriser des transformations physico-chimiques et microstructurales et modifierla rhéologie des éléments interfaciaux présents dans le contact. L’objectif du présent article est de donner une vue d’ensemble desmoyens, tant expérimentaux que théoriques, pour évaluer les élévations de températures dans un contact frottant. Les différentestechniques expérimentales mises en œuvre pour évaluer ces températures s’appuient souvent sur des phénomènes physiquesdistincts et se classent en fonction de leur temps de réponse. Parallèlement, des modèles analytiques, analogiques et numériques,établis à partir d’hypothèses différentes, ont été proposés pour estimer les champs thermiques. 2000 Éditions scientifiques etmédicales Elsevier SAStempérature de contact / température éclair / partage de flux / cartes de température / résistances thermique de contactglissant / méthodes inverses de conduction

Abstract —Thermal aspect of friction: experimental evidence and theoretical approaches. The knowledge of the contacttemperature is an invaluable element for understanding the tribological behaviour of materials rubbing together. Actually, themechanical power transmitted through a sliding contact is mainly dissipated as heat at the interface between the two contactingmaterials. The resulting temperature rise can strongly affect the surface properties of the materials, favour physico-chemical andmicrostructural changes and modify the rheology of interfacial elements trapped in the contact zone. The aim of the present article isto give an overview of the ways, experimental as well as theoretical, to estimate the temperature rises in a sliding contact. The varioustechniques performed for estimating these temperatures are often based on distinct physical phenomena and are ranged consideringtheir response velocity. In parallel, analytic, analogue and numerical models, based on different hypotheses, have been proposed toevaluate the thermal fields. 2000 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

contact temperature / flash temperature / heat partition / temperature maps / sliding thermal contact resistances / inverseheat conduction methods

Nomenclature

Variables thermodynamiques

t temps de contact . . . . . . . . . sFN charge normale appliquée . . . . NFo nombre de FourierPe nombre de PécletRPi résistance thermique dans le pion K·W−1

RDi résistance thermique dans le disque K·W−1

* Correspondance et tirés à part :[email protected]

Rc résistance thermique deconstriction . . . . . . . . . . . . K·W−1

T (x, t) température en un pointx etau tempst considéré . . . . . . . K

T0 température ambiante . . . . . . . KTs température superficielle . . . . . KTf température éclair . . . . . . . . . K

T ki température au nœudi au tempst = k1t . . . . . . . . . . . . . . K

V vitesse de glissement . . . . . . . m·s−1

V ∗ vitesse de glissementadimensionnée

α coefficient de partition du fluxµ coefficient de frottement

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J. Denape, N. Laraqi

ψ paramètre de constrictionφi flux thermique dissipé . . . . . . Wφi densité de flux thermique . . . . . W·m−2

ϕki densité de flux au nœudi au temps

t = k1t . . . . . . . . . . . . . . W·m−2

1t incrément de temps . . . . . . . . s1tc incrément de temps caractéristique s

Propriétés des matériaux

ai diffusivité thermique . . . . . . . m2·s−1

bi effusivité thermique . . . . . . . J·m−2·K−1·s−1/2

ci capacité thermique massique . . . J·kg−1·K−1

hi coefficient d’échange, émissivité W·m−2·K−1

FS charge de grippage (seizure) . . . NH dureté du matériau le moins dur . Paλi conductivité thermique . . . . . . W·m−1·K−1

ρi masse volumique . . . . . . . . . kg·m−3

Variables géométriques

li longueurs physiques deséchantillons . . . . . . . . . . . . m

r rayon d’une jonction individuelle mrm rayon moyen d’une jonction . . . mx variable de position

(perpendiculaire à la surface) . . mAc aire de contact . . . . . . . . . . . m2

Ar aire réelle de contact . . . . . . . m2

Af aire de frottement (disque) . . . . m2

A∗i aire d’échange thermique . . . . m2

L longueur caractéristique du contact mLi longueur équivalente de conduction mR rayon de contact . . . . . . . . . mRi rayon du disque . . . . . . . . . . m1x incrément d’espace . . . . . . . . mε taille relative du contact

Fonctions d’erreur

erf(u) fonction d’erreur (0< erf(u) < 1)erf(u)= (2/√π)∫ u0 exp(−v2)dv

erfc(u) fonction d’erreur complémentaireerfc(u)= 1− erf(u)

= (2/√π)∫∞u exp(−v2)dvierfc(u) intégrale de la fonction d’erreur

complémentaireierfc(u)= ∫∞u erfc(v)dv

= (1/√π)exp(−u2)−uerfc(u)

1. INTRODUCTION

Le frottement de deux matériaux solides peut se tra-duire par différents modes de dissipation d’énergie :

Figure 1. Notions de température de surface produite surl’aire (apparente) de contact (surface de frottement) et detempérature éclair générée sur l’aire réelle de contact.Figure 1. Notions of surface temperature produced on the(apparent) contact area (friction surface) and flash temperaturegenerated on the real contact area.

mécanismes de déformation (plastification, fluage épi-dermique) et de rupture (fissuration des massifs, dé-tachement de particules, usure), phénomènes physico-chimiques (oxydation, adhésion, diffusion ou change-ments de phase) mais aussi acoustiques (bruits, vi-brations) ou lumineux (photoémission et étincelles). . .

Néanmoins, on peut raisonnablement estimer que la puis-sance mécanique transmise au contact est essentiellementdissipée sous forme de chaleur au niveau de l’interface defrottement.

La production de chaleur dans un contact frottantest attribuée au cisaillement rapide des extrémités desaspérités (jonctions) de l’aire réelle de contact. Il s’agitdonc d’événements locaux et brefs à l’origine de lanotion de température éclair ou «flash temperature» enanglais [1]. La chaleur est alors transmise par conductionsur l’aire géométrique de contact dont la température estalors désignée par température (moyenne) de contact ou«bulk temperature» (figure 1).

L’augmentation de température dans le contact est sus-ceptible de modifier profondément la structure superfi-cielle et les propriétés des matériaux ainsi que les carac-téristiques et le comportement rhéologique des élémentsinterfaciaux (couches superficielles, films dynamiques).Il a ainsi été mis en évidence, grâce à la construction de

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Aspect thermique du frottement : mise en évidence expérimentale et éléments de modélisation

(a)

(b)

Figure 2. Transitions entre différents régimes de dégradationen relation avec la température dans le contact [2].Figure 2. Changes of degradation modes with respect totemperature in the contact zone [2].

cartes d’usure et de températures (figure 2), d’étroites re-lations entre différents régimes de dégradation et l’élé-vation de température du contact [2]. La connaissancedes températures de contact peut donc s’avérer indispen-sable pour la compréhension du comportement tribolo-gique des couples de matériaux.

2. ÉVALUATION EXPÉRIMENTALE DESTEMPÉRATURES DANS UN CONTACT

La détermination expérimentale des températures estconsidérée avec raison comme une opération délicate né-cessitant une grande rigueur d’interprétation en raisondes erreurs inhérentes à la mesure elle-même. Par na-ture, il s’agit de mesures indirectes (absence d’étalon) :on ne mesure jamais une température mais une grandeurthermosensible susceptible de servir de thermomètre. Lesdifficultés rencontrées sont également liées au type et à laprécision de la mesure, à la nature du champ thermique,à la durée de l’évènement et aux interactions avec l’en-vironnement, en plus de la notion même de température(volume impliqué, équilibre thermodynamique. . .) [3].

Des nombreuses techniques de mesure de températurede surface, seules quelques-unes sont employées en tribo-logie. En effet, le problème de l’accessibilité de la surfaceau capteur est souvent critique. De plus, ce dernier ne doitpas perturber l’environnement tribologique du contact.Pour ces diverses raisons, seules trois catégories de tech-niques sont habituellement employées :

• des techniques métallographiqueseffectuées sur descoupes des matériaux après frottement,

• des techniques par contactoù le capteur se met enéquilibre thermique avec l’élément à étudier,

• destechniques sans contactexploitant le rayonnementémis par les surfaces.

Toutes ces techniques ont leurs propres limitations(géométriques ou temporelles) et leurs propres domainesd’utilisation [4]. Le choix d’une technique de mesure estainsi conditionné par le type d’information désiré (tempé-ratures du contact, points chauds, températures éclairs),l’accessibilité du contact, la nature des matériaux ou en-core l’agressivité du milieu (tableau I).

2.1. Techniques métallurgiques

Les techniques métallographiques s’appuient surl’analyse des changements de microstructure ou de pro-priétés superficielles comme la dureté. Ainsi, des filia-tions de dureté pratiquées sur des coupes transversales defrotteurs en acier martensitique permettent de reconsti-tuer précisément la distribution des températures en rai-son de la microstructure métastable après trempe de cestypes d’acier. En effet, toute élévation de température en-traîne une chute de dureté par adoucissement thermiqueéquivalent à un sur-revenu.

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TABLEAU I / TABLE ICritères de choix d’une méthode de mesure des températures de contact.

Choice criteria for a measurement technique of contact temperatures.

Méthode de mesure Temps de réponse Type de température Type d’information Limitation de la méthodeTechniques métallographiques > 100 s Température moyenne Post-mortem Aciers trempés

Critère d’équivalence

Thermocouples 0,1 s Température moyenne Mesures ponctuelles Extrapolation en surface

Détecteur IR 0,1 ms Points chauds Imagerie Contreface transparentePyrométrie optique 50 ns Température éclair Émissivité

Connaissant la courbe standard de revenu de l’acierétudié (durée de revenu : 1 heure), il est alors possiblede traduire la dureté locale à la température de ce pointau moyen d’une loi d’équivalence temps–température dutype [5] :

TR1(β + logtR1)= TR2(β + logtR2) (1)

Ce critère d’équivalence s’appuie sur le fait qu’unemême dureté peut être obtenue par deux revenus distinctsobtenus avec des températures et des temps différents(TR1, tR1) et (TR2, tR2). Le coefficientβ est fonction dela teneur en carbone de l’acier [6] :

β = 21,3− 5,8 [% C] (2)

Il s’agit d’une méthode très précise dont le domainede validité est donc encadré d’une part par la températurede revenu après trempe et d’autre part par la températured’austénitisation de l’acier.

2.2. Techniques par contact

Les techniques par contact sont les plus couranteset les plus simples à mettre en œuvre. Ces techniquesexploitent essentiellement des phénomènes thermoélec-triques et nécessitent donc une liaison matérielle avecl’appareil de mesure, liaison souvent à l’origine d’erreursde mesure (masse, isolation). Elles concernent, d’une partdes phénomènes qui prennent naissance dans un circuitélectrique constitué de deux conducteurs métalliques denature différente lorsque les températures de leurs jonc-tions sont différentes (thermocouples). La force électro-motrice résultante est alors fonction de la différence detempérature des deux jonctions. Ces techniques concer-nent, d’autre part les variations de résistivité électriqueavec la température, d’éléments conducteurs de l’élec-tricité (métallique ou semi-conducteur pour les thermis-tances).

La technique la plus classique, aisément praticablesur tous les matériaux, est celle duthermocouple noyédans un trou borgne sous la surface de frottement et dontla jonction est collée avec un adhésif polymère ou unciment céramique selon la température à mesurer [7]. Lestempératures mesurées vont de la température ambiantejusqu’à 1 370◦C pour les thermocouples de type K(chromel–alumel) avec des temps de réponse de l’ordrede 0,1 s.

Ces mesures de température permettent de suivrel’évolution en fonction du temps de la température en unpoint donné sous la surface de frottement. Cependant, cestempératures sont le plus souvent issues du corps fixe etdoivent être extrapolées pour obtenir la température su-perficielle. De plus, les valeurs mesurées sont très sen-sibles à la taille, à l’orientation et à la distance d’implan-tation des thermocouples. L’effet de taille vient du faitque la température enregistrée est comprise entre deuxvaleurs (minimale et maximale) correspondant respecti-vement à la génératrice du thermocouple la plus procheet la plus éloignée de la surface de contact. Cette erreursystématique est de l’ordre de [8] :

1ε

ε= 2

Tmax− Tmin

Tmax+ Tmin(3)

Cette erreur peut s’avérer extrêmement importantepour des thermocouples implantés très près de la surfacede contact, zone où le gradient thermique est très élevé.Elle est même accentuée si l’orientation du thermocoupleest parallèle au flux de chaleur, autrement dit perpendicu-laire aux isothermes.

Une technique dérivée est celle duthermocouple dy-namique(ou thermocouple intrinsèque) où la jonctionfaisant office de soudure chaude est formée par les élé-ments en contact eux-mêmes [4, 9]. Cette techniquepermet d’atteindre les températures superficielles et demettre en évidence leurs variations rapides. Cependant,elle n’est applicable que pour des contacts de faible di-

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mension et nécessite des matériaux de frottement conduc-teurs et un étalonnage délicat.

2.3. Techniques sans contact

Les techniques sans contact sont fondées sur l’émis-sion spontanée d’un rayonnement par les corps chauds.Cette émission dépend de l’émissivité de la surface, para-mètre par ailleurs très sensible à l’état de surface (oxyda-tion, dépôt de film. . .). La mesure se fait soit en périphé-rie du contact soit par une petite ouverture pratiquée dansl’échantillon fixe [10]. Généralement, la solution consisteà choisir un frotteur réalisé dans un échantillon transpa-rent au rayonnement mesuré (généralement une aluminemonocristalline ou saphir) ce qui a en outre l’avantagede visualiser une étendue plus ou moins importante ducontact.

Deux types de dispositifs sont utilisés : desdétec-teurs infrarouges(capteurs thermiques pour radiationsde longueurs d’onde comprises entre 1 et 500µm) oudespyromètres optiques(capteurs amplificateurs de pho-tons du spectre visible de longueurs d’onde comprisesentre 0,5 et 0,9µm). Les détecteurs infrarouges, avecdes temps de réponse de 0,1 ms, sont surtout destinésà l’analyse des points chauds grâce à l’enregistrementpar caméra d’images de zones plus ou moins étendues.Les pyromètres optiques, avec des temps de réponse del’ordre de 30 à 50 ns (compatibles avec les durées decontact entre aspérités) et de rafraîchissement très court(de l’ordre de 100 ns), sont les seuls dispositifs capablesde détecter les températures éclairs. Leur domaine de va-lidité dépasse les 3 000◦C.

2.4. Quelques exemples d’application

Ces différents dispositifs ont permis de mesurer destempératures de contact dans de nombreuses situations defrottement. Considérons pour exemple, quelques résultatsobtenus en contact avec des matériaux céramiques.

En frottement contre une alumine à sec sous 360 N(1,8 MPa) et à 1,5 m·s−1, des valeurs de températurede surface proches de 700◦C ont ainsi été évaluéessur un pion en acier martensitique 100C6 grâce à desfiliations de dureté (figure 3) [11]. Cette même techniquea également permis de reconstituer le réseau d’isothermesdans un pion en 100C6 ayant frotté dans l’eau contre

Figure 3. Évolution de microdureté et température associée ob-tenue sur une coupe transversale d’un pion en acier martensi-tique 100C6 ayant frotté contre un disque en alumine sous360 N à 1,5 m·s−1 à sec [11].Figure 3. Microhardness evolution and associated temperatureperformed on a cross section of a martensitic steel ASI 52100pin after sliding against an alumina disk under 360 N at1.5 m·s−1 in dry conditions [11].

une zircone sous 230 N (1,2 MPa) et à 10 m·s−1 où destempératures de surface de l’ordre de 800◦C ont pu êtremises en évidence (figure 4) [12].

Des thermocouples noyés ont fourni des températurescomprises entre 80 et 550◦C à 0,3 mm sous la surfaced’un disque de carbure de silicium à sec au bout de10 minutes de fonctionnement sous une charge de 225 Net des vitesses respectivement de 0,5 et 2,8 m·s−1

( figure 5) [13].

Des caméras infrarouges ont détecté des valeurs depoints chauds compris entre 800 à 1 160◦C dans uncontact saphir–acier pour des charges comprises entre9,8 et 29,4 N et des vitesses de 3 à 20 m·s−1 ( figure 6)[14]. De même, des températures comprises entre 1 350et 1 450◦C en contact alumine–alumine sous 80 N et4 m·s−1 alors que, dans ces mêmes conditions, un ther-mocouple de contact n’affichait que 210◦C [15]. Avecces mêmes types de détecteurs, une température maxi-male de 2 451◦C a été enregistrée dans un contactcarbure de silicium–saphir pour 8,9 N et 1,53 m·s−1

alors que la température moyenne n’était que de 96◦C( figure 7) [16]. Enfin, des températures éclairs de l’ordrede 1 150◦C pendant des durées de 1,4µs ont ainsi étéenregistrés en frottement saphir (sphère) sur film magné-tique (disque) à très faible charge de 67 mN pour des vi-tesses de l’ordre de 6 m·s−1 pendant 15 min [17].

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(a)

(b)

Figure 4. Réseau des courbes d’isodureté et réseau d’iso-thermes associé pour un pion en acier martensitique 100C6ayant frotté contre un disque en zircone sous 230 N à 10 m·s−1

dans de l’eau [12].Figure 4. Isohardness curve pattern and associated isothermpattern for a martensitic steel ASI 52100 pin after slidingagainst a zirconia disk under 230 N at 10 m·s−1 in water [12].

Figure 5. Température enregistrée par thermocouple à 0,3 mmsous la surface d’un carbure de silicium [13].Figure 5. Temperature recorded by a thermocouple at 0.3 mmfrom the surface of a silicon carbide [13].

Figure 6. Enregistrement par caméra infrarouge de la tempé-rature de contact pour un frottement saphir–acier à 19,6 N et14 m·s−1 à sec [14].Figure 6. Infrared camera measurement of the contact tem-perature for a sapphir–steel couple sliding under 19.6 N at14 m·s−1 in dry conditions [14].

3. ÉVALUATION THÉORIQUEDES TEMPÉRATURES ET PARTAGEDE FLUX AU CONTACT

Historiquement, les premiers modèles thermiques as-sociés au frottement remontent à une soixantaine d’an-nées. Il s’agit de méthodes analytiques ou analogiquespostulant l’égalité et la continuité des températures desdeux surfaces en contact (hypothèse ducontact parfait)ainsi que la conservation de flux, et susceptibles de four-nir les expressions de la température de contact (dont latempérature éclair) et du partage de flux. Ces approchesthéoriques sont regroupées sous le nom dethéorie dessources de chaleur mobiles[18–20]. Sur ces bases, desmodèles analytiques ou numériques de plus en plus so-phistiqués ont ensuite été proposés [8, 21–24].

La configuration particulière d’un pion frottant sur undisque permet de traiter ce problème par lathéorie de

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(a)

(b)

Figure 7. Distribution des températures interfaciales pour unfrottement nitrure de silicium (pion)–saphir (disque) sous 8,9 Nà 1,53 m·s−1 [16], balayage en mode ligne (temps de balayage40 ms) et balayage en mode plan (écart interligne 5 µs).Figure 7. Interfacial temperature distribution for a siliconnitride (pin)–sapphir (disk) configuration sliding under 8.9 Nat 1.53 m·s−1 [16], line scan mode (scan duration 40 ms) andarea scan mode (spacing distance 5 µm).

l’ailette basée sur le principe de la conservation de l’éner-gie. Il s’agit d’une approche analytique globale (échellemacroscopique), prenant en considération les pertes parconvection sur la périphérie du pion [25]. Cette géométrie

pion–disque s’adapte également bien à la notion delon-gueur équivalente de conduction. Ces travaux permettentd’introduire des éléments de l’environnement direct deséchantillons et surtout de tracer descartes de tempéra-turesen fonction de paramètres de pression et de vitesseadimensionnés pour un couple de matériaux et des condi-tions expérimentales données [26].

Par ailleurs, des études expérimentales [27–30] ontmis en évidence une discontinuité des températures àl’interface de deux solides aussi bien en contact sta-tique qu’en frottement. Ce caractère imparfait du contacttrouve son origine dans les irrégularités géométriques dessurfaces. Le couplage thermique a alors été formalisépar l’introduction de deux paramètres macroscopiques :la résistance thermique de contactet le facteur de gé-nération de fluxou coefficient de partage intrinsèque[31, 32]. Les valeurs de ces paramètres sont étroitementliées à celles desrésistances thermiques de constriction.La détermination de la quantité respective de flux ther-mique entrant dans chaque solide, autrement dit le coef-ficient de partage du flux, constitue un problème sous-jacent à tous ces modèles.

Enfin, des méthodes numériques (techniques inverses)à partir de mesures de température par capteurs installésdans les solides ont été élaborées pour appréhender deschamps thermiques complexes [33].

Nous allons passer en revue ces différentes méthodesen commençant par les cas classiques des transfertsthermiques conductifs puis nous fournirons quelquesexemples provenant essentiellement de la littérature.

3.1. Transferts conductifs simples

Considérons le cas bien connu du mur semi-infinisoumis à un flux uniforme de chaleur (figure 8) [34, 35].En régime établi, l’équation de la conduction (équationde Laplace, selonx) est réduite à :

∂

∂x

(λ∂T

∂x

)= 0 soit

d2T

dx2 = 0 (4)

Des conditions aux limites en termes de températurestelles que :

T (0)= Ts et T (L)= T0 (5)

conduisent à une distribution linéaire des températures :

T (x)= Ts+ (T0− Ts)x

L(6)

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Figure 8. Répartition de la température dans un solide soumisà un flux uniforme de chaleur : (a) transfert conductif en régimeétabli à travers un mur d’épaisseur L, (b) transfert conductif enrégime transitoire dans un mur semi-infini.Figure 8. Temperature distribution in a solid subjected toa uniform heat flux: (a) conductive transfer in steady stateregime across a wall of thickness L, (b) conductive transferin transient regime in a semi-infinite wall.

et à une densité constante de flux thermique (loi deFourier) :

ϕ0=−λdT

dxd’où ϕ0= λ

L(Ts− T0) (7)

La conductivité thermiqueλ (W·m−1·K−1) est alorsla propriété caractéristique décrivant la distribution destempératures :

T (x)= T0+(L− xλ

)ϕ0 (8)

En régime transitoire, l’équation de la conduction(équation de Fourier, selonx), est donnée par :

∂

∂x

(λ∂T

∂x

)= ρc ∂T

∂tsoit a

∂2T

∂x2 =∂T

∂t(9)

où apparaît ladiffusivité thermiquea (m2·s−1) du maté-riau.

Avec une condition initiale et des conditions auxlimites en termes de températures telles que :

T (x,0)= T0, T (∞,0)= T0, ϕ(0, t)= ϕ0(10)

on obtient (au moyen des transformées de Laplace per-mettant la séparation des variables) une distribution destempératures telle que :

T (x, t)= T0+ 2ϕ0

λexp

(− x

2

4at

)− ϕ0x

λerfc

(x

2√at

)(11)

La température superficielle (x = 0) est alors :

Ts= T (0, t)= T0+ 2ϕ0

λ

√at

π(12)

En introduisant l’effusivité b = √λρc, on obtientfinalement :

Ts= T0+ 1,13ϕ0

b

√t (13)

Des lois différentes de distribution des températurespeuvent être établies en modifiant la distribution duflux thermique (flux parabolique, triangulaire. . .) ou enimposant des conditions aux limites en termes de fluxthermique et non pas de températures.

3.2. Contacts parfaits frottants

Lorsqu’un corps mobile (1) de rayonR glisse sur uncorps fixe (2) semi-infini à une vitesseV , la puissancemécanique dissipée par le frottement est :

φ = µFNV avec φ[W] = πR2ϕ[W·m−2]

Cette puissance dissipée est habituellement considéréecomme intégralement transformée en chaleur dans lecontact : l’interface de contact est ainsi assimilée à unesource de chaleur fixe pour le corps (1) et mobile pourle corps (2). Une partie de cette puissance est transmiseau corps fixe, l’autre au corps mobile (figure 9). Lapartition du fluxα est alors définie comme le rapport duflux entrant dans le corps fixe par rapport à la source dechaleur sur le flux total généré, autrement dit :

φ = φ1+ φ2 avec

φ1= αφ et φ2= (1− α)φ (14)

En contact statiqueou pour de très faibles vitesses deglissement, les flux de chaleur entrant dans les deux corpscorrespondent à des conditions de régime établi :

φ1= πRλ1(Ts1−T0) et φ2= πRλ2(Ts2−T0) (15)

En postulant l’égalité des températures interfaciales(contact parfait), la température de surface et le partagedu flux sont alors respectivement :

Ts= T0+ µFNV

πR(λ1+ λ2)(16)

α = λ1

λ1+ λ2(17)

570


Figure 9. Génération de chaleur à l’interface de contact d’uncorps frottant (théorie des sources de chaleur). Le corpsmobile (1) est fixe par rapport à la source de chaleur alors quele corps fixe (2) est mobile par rapport à la source de chaleur.Figure 9. Heat generation at the contact interface of a slidingbody (heat sources theory). The moving body (1) is fixed withregard to the heat source while the fixed body (2) is movingwith regard to the heat source.

En contact dynamique, le caractère transitoire du fluxde chaleur sur le corps (2) impose que :

φ1= πRλ1(Ts1− T0) et φ2= πR2λ2(Ts2− T0)

1,13√a2t

(18)

En considérant un temps de contactt = 2R/V et enintroduisant un critère de vitesse, ditnombre de Pécletdéfini comme :

Pe= V la2

(19)

la température de surface et le partage du flux sont donnéspar :

Ts= T0+ µFNV

πR(λ1+ 0,62λ2√

Pe)(20)

α = λ1

λ1+ 0,62λ2√

Pe(21)

Le nombre de Péclet est un paramètre physique impor-tant : il représente le rapport entre le temps caractéristiquede la diffusion de la chaleur(l2/a2) dans le corps (2) etcelui du séjour d’un point dans le contact(l/V ). La di-mensionl caractéristique du contact est habituellementexprimée par la longueur du contact dans la direction dudéplacement. Pour un contact linéique, la dimensionl re-présente ainsi la largeur de la bande de contact alors quepour un contact circulaire, la dimensionl est assimilée aurayon du contact [36].

On remarque que le partage du fluxα s’exprime enPe−1/2, autrement dit celui-ci devient très faible pourles grandes vitesses de glissement : la part de chaleurévacuée par le solide présentant la plus grande surfacede contact (ici le solide (2)) croît donc fortement avecl’augmentation de la vitesse.

3.3. Application à l’étude du freinage

En considérant le disque de frein et sa garniturecomme deux solides semi-infinis, la puissance dissipéedans le contact se partage en deux termes :

φ =Acϕ1+Afϕ2 (22)

Les densités de fluxϕ1 et ϕ2 entrant respectivementdans la garniture (1) sur l’aire de contactAc et dans ledisque (2) sur la surface de la piste de frottementAf ,sont :

ϕ1= α φAc

et ϕ2= (1− α) φAf

(23)

Le partage du flux est alors donné par :

α = Acb1

Acb1+Afb2(24)

Avec des conditions aux limites en termes de fluxtelles que :

ϕi(∞, t)= 0 et ϕi(x,0)= 0 (25)

la répartition du flux de chaleur dans les deux élémentsdu frein est de la forme :

ϕi(x, t)= ϕi(0, t)erfc

(x

2√ait

)(26)

Par intégration de l’équation de Fourier en prenantcomme conditions aux limites :

Ti(∞, t)= T0 et Ti(x,0)= T0 (27)

En posantϕi(0, t) = ϕi , la répartition des tempéra-tures dans les deux solides est décrite par :

Ti(x, t)= T0+ 2ϕi√ait

λiierfc

(x

2√ait

)(28)

571


Figure 10. Variations de la température de surface Ts d’uncontact disque–garniture durant un essai de freinage. Latempérature T1 correspond à celle d’un thermocouple situéà 5 mm à l’intérieur de la garniture. La température T2 estobtenue par thermométrie infrarouge à l’arrière du disque(pression 6 bar, vitesse angulaire 1 740 tr·min−1, puissance3 kW) [37].Figure 10. Surface temperature rise Ts in a disk–pad contactduring a brake testing. Temperature T1 was referring toa thermocouple located at 5 mm inside the brake pad.Temperature T2 was obtained by an infrared technique at theback of the brake disk (pressure 6 bar, speed 1 740 rpm,dissipated power 3 kW) [37].

La température de surface est alors :

Ts(0, t)= T0+ 2√π

(2αφ

Acb1

√t

)= T0+ 1,13

(φ√t

Acb1+Afb2

)(29)

Ce modèle peur être ajusté expérimentalement enremarquant que la température de surface peut se déduired’une température à une distancex à l’intérieur ducontact (en particulier de la garniture) et à un tempst

par l’expression :

Ts(0, t)= T0+ T1(x, t)− T0√π ierfc(x/2

√a1t)

(30)

La figure 10montre l’évolution de la température desurface d’un contact disque–garniture en fonction de ladurée du freinage [37]. La température de surface a étécalculée par l’équation (30) grâce à la température d’unthermocouple situé dans la garniture à 5 mm de la surfacede contact.

3.4. Cartes de températures

La configuration pion–disque s’adapte également bienà la notion delongueur équivalente de conductiondéfi-nie comme la distance de conduction correspondant à unproblème linéaire équivalent. Cette hypothèse permet de

simplifier le problème théorique réel tridimensionnel enun problème théorique unidimensionnel (axisymétrique)tout en permettant d’introduire des éléments de l’envi-ronnement direct des échantillons. Toute la complexitéde la modélisation se résume à donner une expressionthéorique à ces longueurs, tout en décrivant l’équilibrethermique de la configuration réelle.

En considérant un contact parfait et un flux thermiqueuniforme en régime établi, la densité de flux dissipée parconduction est :

ϕ = ϕ1+ ϕ2= µFNV

Ac(31)

ϕ1= λ1

L1(Ts− T0) et ϕ2= λ2

L2(Ts− T0) (32)

La température de surface s’exprime donc comme :

Ts= T0+ µFNV

Ac

[λ1

L1+ λ2

L2

]−1

(33)

Les termesL1 et L2 correspondent aux longueurséquivalentes de conduction du pion (1) et du disque (2).L’expression de ces longueurs peut s’établir en utilisantuneanalogie électrique:

• le flux de chaleur est assimilé à un courant électrique,

• les écarts de température le sont à des différences depotentiel,

• les résistances thermiques correspondent à des résis-tances électriques.

Ainsi, pour le sous-système pion, la partition destempératures peut s’écrire :

Ts− T0= (Ts− T1)+ (T1− T0) (34)

Ce qui se traduit en termes électriques par (figure 11) :

RPφ1=RP1φ1+RP2φ1 avec (35)

RP1= l1

λ1Acet RP2= 1

h1A∗1

(36)

On en déduit la densité de flux entrant dans lepion en fonction de la géométrie du système (aire decontactAc, aire d’échange avec le porte–pionA∗1) etdes propriétés thermiques du pion (conductivitéλ1 etcoefficient d’échangeh1) :

ϕ1=[l1

λ1+ Ac

h1A∗1

]−1

(Ts− T0) (37)

572


Figure 11. Schéma résistif permettant la modélisation d’uneconfiguration pion–disque.Figure 11. Resistive diagram for modelling a pin-on-diskconfiguration.

Par identification, on obtient la longueur équiva-lenteL1 :

L1= l1+ λ1Ac

h1A∗1

(38)

La même démarche, pour le sous-système disqueque l’on divise cette fois en trois éléments (conductiond’abord dans le disque de rayonR2 puis celui de rayonR′2et d’aireA2 et enfin échange à travers la sectionA∗2),permet d’exprimer le densité de fluxφ2 et d’identifier lalongueur équivalenteL2 :

L2= l1R2

R22

+ l2 R2

R′22+ λ2A2

h2A∗2

(39)

Des calibrations expérimentales ont montré que ceslongueurs peuvent être approchées par [26, 38] :

L1≈ 2l1 et L2≈R2(l1

R22

+ l2

R′22

)(40)

Cette méthode de calcul est également appliquée aucas destempératures éclairsTf , c’est-à-dire à l’élévationlocale de la température en pointe d’aspérité :

Tf = T0+ µFNV

Ar

[λ1

Lf1+ λ2

Lf2

]−1

(41)

Les longueurs équivalentesLf1 et Lf2 dépendantalors du rayonr d’une jonction élémentaire entre deuxaspérités en contact et du nombre de PécletPe :

Lf1 = π4r et Lf2 = 0,31π

r√Pe

avecPe= rVa2

(42)

La longueurLf2 est représentative des nombres dePéclet supérieurs ou égaux à 10. L’estimation de l’aireréelle de contactAr et de la taille d’une jonctionr estl’étape la plus spéculative de ce modèle.

Cette aire réelle de contact est évaluée à partir d’uncritère de plasticité introduit par Tabor [39] :

Ar = FN

H

√1+ 12µ2 (43)

Une expression empirique de la tailler d’une jonctionindividuelle a été proposé par Ashby [26] dérivée de celleissue d’une étude statistique [2] :

r =R[(

1− FN

FS

)(R

rm

)2

+ 1

]−1/2

(44)

Le termerm représente la taille moyenne des jonc-tions. En considérant un contact parfaitement plastique,la taille moyenne des jonctions est indépendante de lacharge :

rm [m] = 0,1

H [MPa] (45)

Enfin,FS représente la charge d’écoulement plastiquedu matériau le moins dur que l’on évalue par la relation :

FS= AcH√1+ 12µ2

sachant queFN

FS= Ar

Ac(46)

On peut vérifier que les conditions aux limites sontrespectées : quandFN est très petit alorsr = rm (R� rm)et quandFN = FS, on ar =R.

Cette modélisation permet surtout de tracer descartesde températuresreprésentant des réseaux d’isothermespour les températures de surfaceTs et les températureséclairsTf en fonction de paramètres de pression et devitesse adimensionnés pour un couple de matériaux et desconditions expérimentales données (figure 12).

Cette approche a suscité plusieurs développements quidifférent sur de nombreux points de détails comme lagéométrie des échantillons, les régimes de diffusion de lachaleur ainsi que sur le rôle de la vitesse sur le coefficientde frottement et la durée de contact des aspérités [38, 40].Une version est disponible sur PC [41].

573


Figure 12. Carte de température obtenue pour un contact pionacier–disque acier (R1 = 1 mm, R2 = 50 mm, R′2 = 20 mm,l1 = 10 mm, l2 = 10 mm, l′2 = 40 mm, T0 = 20 ◦C et µ = 0,5)[38].Figure 12. Temperature map established for a steel pin onsteel disk contact [38].

3.5. Phénomène de constrictionthermique (contacts imparfaits)

Les irrégularités des surfaces en contact, comme laprésence d’oxydes ou l’irruption de débris en frottement,forment généralement une barrière thermique et pertur-bent les mécanismes d’échange à l’interface. Ces phé-nomènes entraînent un phénomène de constriction deslignes de flux qui se traduisent par un saut de tempéra-ture entre les deux solides en contact (figure 13). Cettediscontinuité a été traduite par un paramètre macrosco-pique ditrésistance thermique de contactRc incluant lesrésistances thermiques de constriction des deux solides etla résistance thermique du milieu interstitiel [42] :

Ts2− Ts1=Rcφ (47)

Les températuresTs1 et Ts2 sont des températuresextrapolées au niveau du contact, à partir des champsthermiques mesurés dans les solides.

Figure 13. Modélisation des transferts thermiques entre deuxsolides en contact statique : (a) dans un contact parfait pos-tulant l’égalité des températures interfaciales, (b) dans uncontact réel (imparfait) admettant un écart de température àl’interface des deux solides.Figure 13. Thermal transfer approach between two contactingsolids: (a) for a perfect contact assuming the equality of inter-facial temperatures, (b) for a imperfect contact considering atemperature gap at the interface of the two solids.

En contact statique, l’étude des résistances de cons-triction a fait l’objet de nombreux développements tenantcompte de la géométrie des solides en contact et du typede distribution du flux de chaleur [43–45]. Les résultatssont généralement établis en introduisant unparamètrede constrictionψ (sans dimension) tel que :

ψ = λ√AcRc (48)

Pour une source de chaleur uniforme de forme cir-culaire de rayonR en contact avec un corps plan semi-infini, le paramètre de constriction est donc :

ψ = 1,77RλRc (49)

574


Figure 14. Schéma résistif d’un contact glissant imparfait.Figure 14. Resistive diagram for a imperfect sliding contact.

Pour la même source de chaleur en contact avec uncylindre semi-infini de sectionA, un calcul approchédonne, en fonction de la taille relative du contactε :

ψ = 0,47890− 0,62446ε+ 0,11239ε3

avecε =√Ac

A(50)

En contact glissant, la détermination des résistancesde constriction a fait l’objet de calculs théoriques spéci-fiques appliqués à de multiples configurations de contact[31, 46]. Ainsi, la résistance de constriction glissanteRcgfait intervenir les résistances de constriction des deux so-lides Rc1 et Rc2 et la résistance thermique des aspéri-tésRa (négligeables devant la constriction). Le schémaanalogique permet d’écrire les relations suivantes (figu-re 14) :

Ts− Ts1= Rc1φ1 et Ts− Ts2=Rc2φ2 (51)

Par élimination de la température à l’interface théo-rique de contactTs et sachant queφ = φ1+φ2, on obtientles équations de couplage :

φ1= αφ + Ts2− Ts1

Rcg

φ2= (1− α)φ + Ts1− Ts2

Rcg

(52)

avec α = Rc2

Rcget Rcg=Rc1+Rc2 (53)

Connaissant expérimentalement les températures ex-trapoléesTs1 et Ts2 ainsi que deux températuresT1 et T2

Figure 15. Évolution du paramètre de constriction en fonctionde la vitesse adimensionnée dans le cas du glissement d’uneaspérité carrée unique avec une taille relative de 10−4 [47].Figure 15. Variation of the constriction parameter as a functionof the nondimensional speed in the case of sliding of a singlesquare asperity with a relative size of 10−4 [47].

à des distancesd1 et d2 de la surface de contact, on estalors capable de déterminer les deux paramètresRcg etα.

Par ailleurs, une aspérité (unique) glissante (de rapportε < 10−4) de section carrée (de côté 2r) a été modéliséepour déterminer l’expression du paramètre de constric-tion ψ en en termes de vitesse adimensionnéeV ∗ (équi-valent au nombre de Péclet) dont une expression appro-chée a été proposée [47] :

ψ = 0,4732(1− e−k)k

[1+ 0,6777

(1− e−k

)− 0,7257

(1− e−k

)2] (54)

aveck = 0,629√V ∗ (55)

Ce résultat est en accord avec le fait que la résistancethermique de constriction diminue avec l’augmentationde la vitesse (figure 15). La chute représente ainsienviron 50 % pourV ∗ = 8. Dans le cas de grandesvaleurs deV ∗ (V ∗ > 20), le paramètre de constrictionse réduit à :

ψ = 0,7523√V ∗

avec V ∗ = rVa

(56)

Des modèles à aspérités multiples de distributionpériodique ont également été proposés [48] : ils montrentque, quand la vitesse et la taille relative du contactaugmentent, la constriction diminue et le contact réel tendvers le contact parfait.

575


3.6. Problème inverse de conductionde la chaleur

Il s’agit d’une méthode numérique de déterminationdes températures et du flux surfaciques à partir d’unesérie de mesures expérimentales obtenues par implanta-tions de plusieurs thermocouples à différentes distancesdu contact. C’est une méthode générale applicable dansde nombreuses situations où la mesure directe est inac-cessible ou engendrerait de trop fortes perturbations [49].

La méthode consiste à effectuer une discrétisationspatiale et temporelle de l’équation de la chaleur surn

nœuds centrés sur(n − 1) tranches d’épaisseur1x( figure 16) :[

∂

∂x

(λ∂T

∂x

)= ρc ∂T

∂t

]ki

avec ϕ =−λ∂T∂x

(57)

On obtient un système d’équations aux différencesfinies centrées résultant d’une approximation linéaire dechacun des termes de l’équation de la chaleur :

1

1x

(−ϕki+1/2+ ϕki−1/2

)= ρc

1t

(T k+1i − T ki

)(58)

λ

1x

(T ki+1− T ki

1x− T

ki − T ki−1

1x

)= ρc

1t

(T k+1i − T ki

)(59)

Dans ces expressions, les termesT ki correspondent àla température du nœudi au tempst = k1t .

La première étape du calcul consiste à résoudre leproblème direct (explicite) dans les zones comprisesentre chaque point de mesure (ou d’un point de mesure

Figure 16. Implantation des thermocouples et discrétisationspatiale selon x.Figure 16. Thermocouple localisation and space partition ofthe x axis.

et une condition limite connue). Les températures sontcalculées dans tout le domaine pour chaque pas de temps.Ainsi, la température au nœudi au tempst + 1t =(k + 1)1t est établie en fonction de trois températuresissues des nœudsi, i+ 1 eti− 1 au tempst = k1t justeantérieur :

T k+1i = (1− 2Fo)T ki + Fo

(T ki+1+ T ki−1

)(60)

Cette équation fait apparaître le nombre de FourierFo,paramètre reliant l’incrément de temps1t à l’incrémentd’espace1x, tel que :

Fo= a1t1x2

(61)

La deuxième étape aborde la zone de calcul inverse.Contrairement au calcul dans la zone directe, les tempé-ratures sont calculées à chaque pas d’espace pour tousles pas de temps. La température au nœudi − 1 et autempst = k1t est établie en fonction de deux tempéra-tures issues des nœudsi et i + 1 au même tempst et unetempérature au nœudi−1 au tempst+1t = (k+1)1t :

T ki−1=(

2− 1

Fo

)T ki − T ki+1+

1

Fo

(T k+1i

)(62)

La troisième étape est spécifique au calcul en surface(i = 1). En considérant en surfaceϕki−1/2 = φ0, l’équa-tion de la chaleur s’écrit :

1

1x/2

(λT k2 − T k11x

+ ϕ0

)= ρc

(T k+1

1 − T k11t

)(63)

Ce qui permet d’atteindre la température superficielleconnaissant la température à l’instant précédent :

T k+11 = 2Fo

(ϕ0

λ1x + T k2

)+ (1− 2Fo)T k1 (64)

Les différentes étapes du calcul sont illustrées à lafigure 17. Il existe de nombreuses variations de ce calculde base faisant intervenir des cellules de calcul de formesdiverses et des étapes de calcul optimisées [50, 51].

Cependant, la mise en œuvre de telles techniques né-cessite certaines précautions. En particulier, la moindreerreur de mesure est amplifiée par le calcul. De plus,ces capteurs risquent de perturber le champ des tempé-ratures. Enfin, un solide se comporte comme un filtrepasse-bas : les variations de hautes fréquences sontplus délicates à déterminer que celles de basses fré-

576


Figure 17. Progression des cellules de calcul dans la zonedirecte (cellule supérieure), dans la zone inverse (cellulecentrale) et en surface (cellule inférieure) selon la direction x(axe vertical) et le temps t (axe horizontal).Figure 17. Calculus cell progress in the direct zone (uppercell), in the inverse zone (central cell) and in the contact zone(lower cell) with the x direction (vertical axis) and the time t(horizontal axis).

quences. La faisabilité et la précision de l’inversionsont ainsi conditionnées par plusieurs critères d’applica-tion.

Un premier critère, appelépas de temps caractéris-tique1tc (nombre sans dimension), est lié au positionne-mentx1 du premier capteur :

1tc= a1tx1

(65)

Un deuxième critère, dit de stabilité, porte directe-ment sur le nombre de FourierFo. Un troisième critèreest lié à la précision du positionnementδx des capteurseux-mêmes par rapport à la surface d’étude. Il est recom-mandé que ces trois critères satisfassent les conditionssuivantes :

1tc> 10−2, Fo≤ 0,5,δx

xi< 5·10−2 (66)

Enfin, des traitements de filtrage préalables sont utili-sés pour limiter l’amplification du bruit présent dans lesmesures (filtre glissant, carré ou gaussien. . .).

4. CONCLUSION

Trois catégories de techniques de mesure de tempéra-ture sont utilisées en tribologie :

• l’analyse métallurgique (limitée aux aciers trempés),

• les techniques par thermocouples (les plus pratiquées),

• les techniques par détecteur infrarouge ou pyrométrieoptique.

Chacune d’elles donne accès à des informations dif-férentes et possèdent leurs propres limitations d’applica-tion. Le choix d’une méthode de mesure dépend du typede matériau, de l’accessibilité de la surface, de l’agres-sivité du milieu. . . Ce choix est également conditionnépar le temps de réponse du capteur qui détermine letype de température évalué (température moyenne, pointschauds, température éclair).

Toutes ces techniques nécessitent un couplage plusou moins fort avec une modélisation théorique : cri-tère d’équivalence pour les techniques métallurgiques,extrapolation analytique ou numérique pour les thermo-couples, des surfaces en imagerie infrarouge ou optique.

La modélisation des phénomènes thermiques associésau frottement peut être abordée de trois façons selon letype de problème posé :

• par desméthodes analytiques(solutions exactes) s’ap-puyant sur la résolution de l’équation de la chaleur pourdes géométries et des conditions aux limites simples,

• par desméthodes analogiques(analogie électrique)utilisées dans le cas de géométries plus complexes (con-tacts parfaits ou non) mais toujours avec des conditionsaux limites simples,

• par desméthodes numériques(problème inverse) pourdes géométries et des conditions aux limites plus com-plexes.

Ces approches ont suscité de nombreux développe-ments mais leur application en tribologie nécessite en-core de nouveaux investissements concernant essentiel-lement les effets dynamiques en frottement : détermina-tion des surfaces réelles de contact (caractérisation sta-tistique spécifique), évolution des surfaces (géométriqueet physico-chimique) pendant le glissement, proportiond’énergie dissipée sous forme de chaleur par rapport auxautres modes de dissipation dans le contact (déformationplastique, fissuration et rupture, oxydation et transforma-tions tribologiques, triboélectricité. . .), présence de par-ticules issues de la dégradation des surfaces (troisièmecorps). . .

L’apport de données expérimentales provenant d’uneinstrumentation thermique fine et d’une caractérisation

577


poussée de l’évolution des caractéristiques tribologiquespermettront de décrire et de valider plus fidèlement lesmécanismes de transferts thermiques et par conséquentd’interpréter plus précisément les phénomènes tribolo-giques qui s’opèrent à l’interface de deux solides en frot-tement.

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Aspect thermique du frottement: mise en évidence expérimentale et éléments de modélisation