SOMMES ALGÉBRIQ

UES

Auteur : F PICARD

MODE D'EMPLOI

COMPRENDRE S'ENTRAINER

Si tu veux réellement acquérir les compétences étudiées, tu dois procéder de la façon suivante :

Étape 1 : Compréhension Sur trois fois, tous les jours ou tous les deux jours, relire les explications puis faire les exercices.

Étape 2 : Mise en place d'automatismes Quand tu es certain d'avoir bien compris la compétence, tu arrêtes de lire les explications mais au moins tous les deux jours tu continues à faire les exercices.

Étape 3 : Acquisition "intelligente" Quand tu réussis très bien tes exercices, tu continues à les faire deux fois par semaine pendant deux semaines.

Étape 4 : Acquisition définitive Pour conserver la compétence définitivement il faut encore faire les exercices une fois par semaine pendant un mois puis une fois par mois pendant au moins trois mois.

CALCUL DE SOMMES

ALGÉBRIQUES

C'est quoi ? Une somme algébrique est une série de calculs ne comportant que des additions et des soustractions de nombres relatifs.

Exemples

A = -5 - 7 + 5 + 12 + 1 – 3 est une somme algébrique.

n’est pas une somme algébrique car il y a une multiplication. B = 6 +7 × 5 + 3

LA TECHNIQUE QUI MARCHE TOUJOURS

Pour calculer une somme algébrique :

1° On simplifie l'écriture.

2° On annule les nombres opposés s'il y en a.

3° On regroupe de la façon suivante : (total des positifs) – (total des négatifs)

4° On calcule ce qui reste.

Demande à tes parents de te montrer un relevé de compte et de t'expliquer comment ça marche. Tu verras que ça fonctionne de cette façon.

LA TECHNIQUE EST AUSSI ADAPTÉE AUX SOMMES ALGÉBRIQUES DE DEUX TERMES. ELLE PERMET MÊME D'ÉVITER LA PLUPART DES ERREURS D'INATTENTION.

(Plus d'explications)

(Plus d'explications)

(Plus d'explications)

A = 8 + 9

A = (8 + 9) – 0

A = 17

B = − 8 – 15

B = 0 – (8 + 15)

B = − 23

A = 8 – (− 9) Je simplifie l'écriture. C'est l'étape 1.

Je regroupe mes nombres dans les "bons paquets". C'est l'étape 3.

La partie en jaune se pense mais ne s'écrit pas.

L'écriture est déjà simplifié, donc il n'y a rien à faire à l'étape 1.

Il n'y a pas d'opposés . Il n'y a rien à faire à l'étape 2.

J'effectue la somme dans la parenthèse. C'est l'étape 4.

Il n'y a pas d'opposés . Il n'y a rien à faire à l'étape 2.

J'effectue la somme dans la parenthèse. C'est l'étape 4.

Exemples : Calculer les sommes algébriques.

Je regroupe mes nombres dans les "bons paquets". C'est l'étape 3.

La partie en jaune se pense mais ne s'écrit pas.

C = −9 + 12

C = 12 – 9

C = 3

D = −15 + 7

D = −15− (− 7)

D = 7− 15

D = −8

Je simplifie l'écriture. C'est l'étape 1.

Je regroupe mes nombres dans les "bons paquets". C'est l'étape 3

L'écriture est déjà simplifié, donc il n'y a rien à faire à l'étape 1.

Il n'y a pas d'opposés . Il n'y a rien à faire à l'étape 2.

Il n'y a pas d'opposés . Il n'y a rien à faire à l'étape 2.

J'effectue la somme dans la parenthèse. C'est l'étape 4.

Le "gros paquet" l'emporte pour le signe.

Puis on fait la différence des deux "paquets"

Je regroupe mes nombres dans les "bons paquets". C'est l'étape 3

J'effectue la somme dans la parenthèse. C'est l'étape 4.

Le "gros paquet" l'emporte pour le signe.

Puis on fait la différence des deux "paquets"

E = 6 +7 - 5 + 3 - 6 - 10

E = - 5

E = 10 - 15

E = (7 + 3) - (5 + 10)

E = 6 + 7 – 5 + 3 – 6 - 10 L'écriture est déjà simplifié, donc il n'y a rien à faire à l'étape 1.

Il y a deux opposés qui s'annulent.

C'est l'étape 2

Je regroupe mes nombres dans les "bons paquets". C'est l'étape 3

J'effectue les sommes dans les parenthèses.

Puis J'effectue le calcul restant

C'est l'étape 4.

F = -5 - 7 + 5 + 12 + 1 - 3

F = (12 +1) – (7 + 3)

F = 13 - 10

F = -5 + (- 7) + 5 - (- 12) + 1 - 3

F = 3

Je simplifie l'écriture.

C'est l'étape 1.

Il y a deux opposés qui s'annulent.

C'est l'étape 2

Je regroupe mes nombres dans les "bons paquets". C'est l'étape 3

J'effectue les sommes dans les parenthèses.

Puis J'effectue le calcul restant

C'est l'étape 4.

F = -5 - 7 + 5 + 12 + 1 - 3

G = - 8 + (-5) - (+8) - (+5)

G = - 8 – 5 – 8 - 5

G = − (8 + 5 + 8 + 5)

G = - 26

Attention, -8 et +8 ainsi que -5 et +5 ne s'annulent pas car on n'a pas une écriture simplifiée.

Le total des positif est nul donc il n'apparaît pas.

Je simplifie l'écriture.

C'est l'étape 1.

Finalement on remarque qu'il n'y a pas d'opposés .

Il n'y a rien à faire à l'étape 2.

Je regroupe mes nombres dans les "bons paquets". C'est l'étape 3

J'effectue la somme dans la parenthèse.

C'est l'étape 4.

Somme avec les "paquets"

Avec des priorités

ENTRAINEMENT

Somme de deux termes

Quitter

SIMPLIFIERUNE

ÉCRITURE

POUR QUOI FAIRE ?

Une écriture simplifiée permet de savoir, avec une écriture allégée, si le nombre que l'on regarde devra être considéré comme positif ou négatif.

COMPRENDRE LA TECHNIQUE

Partons d'une situation concrète. Pour voir les différents cas possibles.

Imaginez que vous allez faire des courses. On convient de compter positivement les articles achetés et négativement les réductions.

ÉTAPE 1

Vous arrivez à la caisse et l'hôtesse vous annonce un prix de 120 €

Toutefois elle s'aperçoit que votre enfant avait gardé en main une boîte de lessive à 12 €.

Elle ajoute alors ce montant au prix, M, à payer.

Le prix à payer est alors M = 120 + (+12)

Ce que vous avez traduit naturellement par une augmentation de 12 € du prix à payer. M = 120 +12

Au prix, s'ajoute + le montant de

l'article supplémentaire (+12).

Soit M = 132

Au lieu d'écrire + ( +12) on a simplifié l'écriture en + 12 ce qui correspond bien au fait que le prix

total a augmenté.

ÉTAPE 2

Vous avez aussi des réductions pour un montant total de 7 €.

L'hôtesse va donc ajouter le montant de vos réductions au prix à payer.

Le prix à payer, R, devient alors R = 132 + (-7)

Ce que vous avez traduit naturellement par une diminution de 7 € du prix à payer. R = 132 – 7

Soit R = 125

Au prix, s'ajoute + le montant de la réduction (-7).

Au lieu d'écrire + ( -7) on a simplifié l'écriture en - 7 ce qui correspond bien au fait que le prix total

a diminué.

ÉTAPE 3

Décidément ce n'est pas votre jour. Vous avez oublié votre carte bancaire. Toutefois vous disposez de cent euros, sur vous, en espèce. Vous enlever donc de vos achats une caisse de vin d'un montant de 34 €.

Le nouveau prix, F, à payer se calcule alors ainsi : F = 125 - (+34)

Ce que vous avez traduit naturellement par une diminution de 34 € du prix à payer. F = 125 – 34

Soit F = 91

Au lieu d'écrire - (+ 34) on a simplifié l'écriture en - 34 ce qui correspond bien au fait que le prix total

a diminué.

Au prix, j'enlève - le montant de l'article (+34).

ÉTAPE 4

La caissière se rend alors compte qu'une de vos réductions, de 3€ sur l'achat des bouteilles, n'est plus valable. Elle va donc enlever votre réduction au montant qu'elle avait obtenu.

Le nouveau prix, N, à payer se calcule alors ainsi : N = 91– (−3)

Ce que vous traduisez concrètement par une augmentation de 3 € du prix à payer. N = 91 + 3

Soit N = 94

Au lieu d'écrire - ( - 3) on a simplifié l'écriture en + 3 ce qui correspond bien au fait qu'en enlevant la

réduction cela s'est traduit par une augmentation du prix à payer.

Ce qui fait que des nombres que vous auriez considérés comme négatif en regardant uniquement leur signe (ligne 1 du calcul de N avec -3) doivent en fin de compte être comptés positivement à cause du contexte opératoire (ligne 2 du calcul de N).

Au prix, j'enlève - le

montant de la réduction (-3).

Conclusion

+ 6 + ( + 5 ) = 6 + 5 = 11. + 6 - ( - 5 ) = 6 + 5 = 11. - 6 + ( - 5 ) = 6 - 5 = 1.

+ suivi de + s'écrit - suivi de - s'écrit + suivi de - s'écrit - suivi de + s'écrit - 6 - ( + 5 ) = 6 - 5 = 1.

Exemple : Simplifier l'écriture.

A = -5 - 7 + 5 + 12 + 1 - 3

A = -5 + (- 7) + (+5) - (- 12) + 1 – (+3)

FIN DU THÈMERETOUR

CONSTITUERLES

"PAQUETS"

QUEL EST LE SIGNE D'UN NOMBRE ?

Pour pouvoir grouper les nombres correctement il faut, et il suffit, de connaître leur signe.

Dans l'écriture simplifiée : Les positifs sont précédés d'un signe + ou d'aucun signe.

Les négatifs sont obligatoirement précédés d'un signe moins.

COMPRENDRE LA TECHNIQUE

L'organisation d'une somme algébrique en "paquets" consiste à faire comme sur un relevé de compte un groupe (une parenthèse en mathématiques) avec les positifs et un groupe (parenthèse) avec les négatifs.

Le signe devant la parenthèse indique le groupe.

Le + en début de ligne ne s'écrit pas, mais c'est bien la parenthèse des positifs qui est derrière. On mettra donc dans cette parenthèse tous les positifs pour en faire la somme (comme dans la colonne positifs du tableau).

Prenons le calcul suivant : A = 5 + ሺ− 7ሻ− ሺ−5ሻ+ (− 12) – (3) On a simplifié l'écriture en : A = 5 − 7 + 5− 12 – 3

Pour bien comprendre présentons les nombres

dans un tableau, comme sur une feuille de

compte.

Positifs (crédit)

Négatif (débit)

5 7 5 12 3

Total 10 22 Bilan (solde) - 12

En mathématique on aura alors : A = + (5+5) – (7+12 +3)

Le – signifie que l'on mettra tous les négatifs dans la parenthèse qui suit pour en faire la somme (comme dans la colonne négatifs du tableau).

En effectuant les sommes des parenthèses on obtient alors A = 10 – 22

Soit en terminant le calcul A = − 12

Somme avec les "paquets"

ENTRAINEMENT

FIN DU THÈMERETOUR

SOMMEDE DEUX RELATIFS

SI LES DEUX RELATIFS SONT DE MÊME SIGNE

Le problème est réglé directement avec la technique sur les sommes algébriques grâce aux "paquets".

SI LES DEUX RELATIFS SONT DE SIGNES DIFFÉRENTS

Si les nombres sont de même signe on garde le signe et on ajoute les distances à zéro.

Pour bien comprendre la situation partons d'un problème concret avec sa traduction mathématique.

On souhaite faire le bilan financier de Paul.

Cas 1

Paul doit 12 € et son grand père lui a donné 5 €. A = -12 + 5

Les dettes de Paul sont supérieures à ses gains. Il aura donc encore des dettes ce qui donnera un bilan négatif.

A = - ??? Le signe du résultat est celui du "plus gros paquet" entre les négatifs et les positifs (ici les négatifs).

Pour savoir ce qu'il lui restera comme dette on fait la différence entre ses gains et ses pertes. 12 – 5 = 7

Bilan : Paul doit encore 7 €. A = - 7

Cas 2

Paul doit 12 € et son grand père lui a donné 50 €. B = -12 + 50

Les gains de Paul sont supérieurs à ses dettes. Il lui restera donc de l'argent ce qui donnera un bilan positif.

B = + ??? Le signe du résultat est celui du "plus gros paquet" entre les négatifs et les positifs (ici les positifs).

Pour savoir ce qu'il lui restera comme dette on fait la différence entre ses gains et ses pertes. 50 – 12 = 38

Bilan : Paul à finalement gagné 38 €. B = + 38 On écrit B = 38.

Conclusion

* On trouve d'abord le signe en cherchant "le plus gros paquet".

* Puis on calcule la différence entre les deux "paquets".

Exemples

A = 6 – 15 Le plus gros "paquet" est négatif donc le résultat sera négatif.

A = - 7

La différence entre 15 et 6 est de 7

C = - 12 + 8

Le plus gros "paquet" est négatif donc le résultat sera négatif.

C = - 4

La différence entre 12 et 8 est de 4

B = -6 + 15

B = + 7

Le plus gros "paquet" est positif donc le résultat sera positif.

La différence entre 15 et 6 est de 7

D = 12 – 8

Le plus gros "paquet" est positif donc le résultat sera positif.

D = + 4

La différence entre 12 et 8 est de 4

ENTRAINEMENT

Somme de deux relatifs

FIN DU THÈMERETOUR