Module 303

Gestion de Projets

Planification

Bibliographie

Grard-Michel Cochard

cochard@u-picardie.fr

Planification d'un projet

Mthode PERTDiagramme de GanttPERT probabiliste

Tests

La planification d'un projet de systme d'information consiste prvoir l'ordonnancement des oprations sur le plan des dlais et sur leplan de l'utilisation des ressources. Il convient dans un premier temps de mesurer le "poids" d'un projet en terme de charges et donc dedure ; dans un second temps, il s'agit d'optimiser la succession des tches et aboutir ainsi un calendrier des oprations. Enfin, dans ledveloppement du projet, il faut effectuer rgulirement des contrles de suivi et ventuellement apporter des modifications aucalendrier.

Mthode PERT

La mthode PERT (Program Evaluation and Review Technique) utilise une reprsentation en graphe pour dterminer la dure minimum d'unprojet connaissant la dure de chaque tche et les contraintes d'enchanement. Elle est complte par l'tablissement du diagramme deGantt que l'on tudiera plus loin.

Le graphe reprsente les tches et les transitions entre les tches. Deux formalismes sont utiliss :

le graphe des tches : chaque tche estreprsente par un rectangle et lestransitions par des flches

le graphe des vnements : chaquevnement (fin d'une tche par exemple)est reprsent par un ovale et les tchespar des flches.

Les deux formalismes sont quivalents. On n'utilisera ici que le graphe des tches. Les liens entre les tches peuvent tre de naturesdiverses : fin -> dbut (la tche suivante ne peut commencer que si la tche prcdente est finie), fin -> fin (la tche suivante se terminequand la tche prcdente se termine), dbut -> dbut (le dbut de la tche prcdente dclenche le dbut de la tche suivante), dbut ->fin (le dbut de la tche prcdente marque la fin de la tche suivante). Les liens peuvent tre valus :

La confection des jeux d'essaicommence 10 jours avant laprogrammation.

Parmi tous les chemins d'un graphe il en existe un appel chemin critique qui relie les tches "critiques" qui sont les tches dont le retardimpliquera un retard effectif du projet; on dtermine ce chemin critique avec les paramtres suivants :

dates au plus tt : dbut (D+tt) et fin (F+tt)dates au plus tard : dbut (D+tard) et fin (F+tard)marge : (D+tard) - (D+tt) = (F+tard) - (F+tt)

On se placera dans l'hypothse o il n'existe que des liens fin -> dbut. Le chemin critique est alors le chemin le plus long.

1er cas : Ti est une tche de dure di en dbut de projet.

D+tt(Ti) = t0F+tt(Ti) = t0+ di

2me cas : Ti est une tche de dure di en fin de projet

F+tard(Ti) = tfD+tard(Ti) = tf- di

3me cas : Ti est une tche de dure di au sein du projet

D+tt(Ti) =Sup{F+tt(prdcesseurs)}F+tt(Ti) = D+tt(Ti) + di

F+tard(Ti) =Inf{D+tard(successeurs)}D+tard(Ti) = F+tard(Ti) - di

Avec ces trois sries de rgles, il est possible de dterminer le chemin critique. On procde de la manire suivante. En commenant par lestches de dbut, on dtermine les dates au plus tt ; puis en commenant par les tches de fin, on dtermine les tches au plus tard. Oncalcule ensuite, pour chaque tche, la marge. Le chemin critique est le chemin correspondant aux marges nulles.

exemple (voir animation sur la version en ligne) : soit un projet constitu des tches suivantes :

tche dure prdcesseurs successeurs

A 4 C

B 7 C, D

C 2 A, B E, F

D 12 B F

E 3 C

F 6 C, D G

G 2 F

Le chemin critique est l'pine dorsale de l'volution du projet. Les modifications portent ensuite sur les tches qui ne sont pas sur lechemin critique.

Diagramme de Gantt

A partir du graphe de PERT, on peut dresser le diagramme de Gantt qui tablit le planning des oprations. Pour expliquer sontablissement, basons nous sur l'exemple prcdent.

Supposons que l'on dispose de deux ressources (personnes) interchangeables. La figure ci-dessous donne une possibilit de programmation:

On peut aussi planifier "au plus tt" :

ou "au plus tard" :

Si l'on ne dispose que d'une seule ressources, bien entendu, la dure du projet sera rallonge ; le diagramme de Gantt ci-dessous donneune possibilit :

Deux oprations peuvent tre appliques sur le diagramme de Gantt : le nivellement et le lissage.

Le nivellement consiste limiter le nombre de ressources, ce qui, en gnral allonge la dure du projet. le passage de deux ressources une seule (voir figure prcdente) en est un exemple.

Le lissage consiste en un ajustement de rpartition de la charge de travail de chaque ressource. Si, par exemple, la ressource R1 travaille mi-temps et la ressource R2 temps complet, on pourra avoir, avec l'exemple tudi :

PERT probabiliste

Il existe une version du PERT qui prend en compte les alas sur les dates et les dures. Son application s'effectue en plusieurs tapes :

1re tape : elle concerne la recherche de la loi de probabilit de la dure de chaque tche Ti. Dans la pratique on adopte une loiuniverselle : la loi Bta base sur trois paramtres :

la dure optimiste de la tche Ti : topt(Ti)

la dure pessimiste de la tche Ti : tpes(Ti)

la dure vraisemblable de la tche Ti : tvra(Ti)

On dfinit quelquefois le risque par la quantit R(Ti) = [tpes(Ti)-topt(Ti)]/tpes(Ti). Le risque moyen est compris entre R = 0,25 et R =

0,5.

2me tape : A partir des paramtres prcdents, on calcule de nouveaux paramtres (pour la loi Bta) :

la dure probable de la tche Ti : tpro(Ti) = [topt(Ti) + 4tvra(Ti) + tpes(Ti)]/6

l'crat-type e(Ti) = [tpes(Ti) - topt(Ti)]/6

la variance v(Ti) = e(Ti)2

3me tape : Pour chaque chemin, on peut alors calculer

la dure estime pour toutes les tches Ti du chemin

la variance estime pour toutes les tches Ti du chemin

l'cart-type estim : Eest = Vest1/2

On suppose usuellement que la dure des chemins obit la loi normale (de Gauss) de paramtres Dest et Eest. En utilisant une table deGauss on peut alors en dduire soit une dure une probabilit fixe, soit une probabilit d'achvement du projet dans un dlai donn.

exemple : Prenons le chemin critique de l'exemple prcdent (dure totale 27 jours). Supposons que les tches B, D, F, G correspondentaux paramtres communs suivants :

topt(Ti) = 0,7*di tpes(Ti) = 1,2*di tvra(Ti) = di

On en dduit tpro(TB) = 6,88 tpro(TD) = 11,8 tpro(TF) = 5,9 tpro(TG) = 1,96 e(TB) = 0,58 e(TD) = 1 e(TF) = 0,5 e(TG) = 0,16 Dest = 26,54 Vest = 1,61 Eest = 1,27

Calculons la probabilit pour que la dure du chemin soit infrieure la valeur 27. La variable de Gauss rduite est (27 - 26,54)/1,27 =0,36622.

Les tables pour t < 0,36622 donnent la valeur approximative 0,64. Il y a donc 64% de chances pour que la dure du chemin soit infrieure 27.

Si maintenant on choisit 25 au lieu de 27, on trouve une probabilit de 11%.

Inversement si on se fixe une probabilit de 80% que peut-on esprer comme meilleure valeur de la dure du chemin. Les tables donnent27,6. Si la probabilit est de 50%, on obtient alors videmment 26,54.

Tests

Testez-vous

http://projet.net/test_proj.htm

Exercice 1

La construction d'un entrept est dcoupe en dix tches dont les caractristiques sont donnes dans le tableau suivant :

tches nature prdcesseurs dure en jours

A acceptation des plans par lepropritaire 4

B prparation du terrain 2

C commande des matriaux A 1

D creusage des fondations A, B 1

E commande des portes et fentres A 2

F livraison des matriaux C 2

G coulage des fondations D, F 2

H livraison des portes et fentres E 10

I pose des murs, de la charpente et dutoit G 4

J mise en place des portes et fentres H, I 1

Tracer le diagramme Pert et en dduire le chemin critique.

Exercice 2

L'entreprise SDB-Plus fabrique et commercialise, auprs des particuliers, du mobilier de salle de bains. Les services de fabrication de laSDB-Plus ont tudi l'ordonnancement des tches partir de la commande d'un client dans un magasin jusqu' la livraison. Le tableausuivant rpertorie les tches et les contraintes d'enchanement.

tches dure enjours prdcesseurs successeurs

A 10 D, E, F

B 20 E

C 5 E, F

D 40 A J

E 10 A, B, C G

F 4 A, C G

G 12 E, F H, I

H 5 G J

I 15 G J

J 3 D, H, I

Dterminer le chemin critique.

Exercice 3

La construction d'un entrept peut se dcomposer en dix tches, relies entre elles par des conditions d'antriorit exprimes dans le

tableau ci-dessous :

L'entrepreneur charg de la construction doit planifier les travaux.

1) Il doit tracer le graphe Pert et dterminer le chemin critique

2) Les ressources humaines utiliser sont :

soit : un architecte affect la tche A, un terrassier1 affect aux tches B, D, G, un terrassier 2 affect aux tches B, D, G, unterrassier 3 affect aux tches D et G, un personnel service achat 1 affect aux tches C et H, un personnel service achat 2affect la tche E, un personnel service achat 3 affect la tche F, deux charpentiers 1 et 2 affects aux tches I et J.soit : un architecte affect la tche A, un terrassier affect aux tches B, D, G, un personnel service achat affect aux tches C,E, F, H, un charpentier affect aux tches I et J.

Les deux cas sont tudier.

Exercice 4

On envisage de raliser une plate-forme de formation distance comportant 3 composantes :

Composante 1 : La gestion des contenus en ligneComposante 2 : La gestion des inscritsComposante 3 : Les outils d'accompagnement pdagogique (forum, chat, FAQ)

Les trois composantes n'tant pas compltement indpendantes, une intgration, incluant des dveloppements complmentaires, est prvoirOn suppose que les diffrentes tches sont contraintes par leur charge et leurs dpendance comme indiqu dans le tableau ci-dessous :

tches Charge (en moisxhommes) Tches pralablesA : Analyse globale 4

B : Analyse dtaille 6 AC : Programmation composante 1 4 BD : Programmation composante 2 4 BE : Programmation composante 3 6 B

F : Intgration 3 C, D, EG : Exprimentation/valuation 8 FH : Travaux de mise au point 4 G

I : Recette 1 H

1) Tracer le diagramme PERT du projet. Dterminer le chemin critique2) On suppose que l'on affecte au projet deux analystes-programmeurs, Jo et Zette, plein temps. Proposer un diagramme de Gantt.

Solution de l'exercice 1

En utilisant MSP, on obtient (le chemin critique est en rouge):

Solution de l'exercice 2

En utilisant MSP, on obtient (le chemin critique est en rouge) :

Solution de l'exercice 3

Le diagramme de Pert est (chemin critique en rouge) :

L'affectation des ressources est :

Elle correspond au diagramme de Gantt suivant :

Dans le second cas, il y a moins de ressources :

Le diagramme de Gantt est donc modifi en consquence :

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