Baccalauréat blanc – Mathématiques – TSÉléments de correction

Février 2014

Exercice 1 (5 points) –L’espace est muni d’un repère orthonormé

(O;

#»i ,

#»j ,

#»

k).

Soit A le point de coordonnées (1 ; −2 ; −1) et B le le point de coordonnées (3 ; −5 ; −2).On note ∆ la droite passant par les points A et B.

1. Donner une représentation paramétrique de la droite ∆.# »AB(2 ; −3 ; −1).

x = 2t +1

y =−3t −2

z =−t −1

t ∈R

2.

Une droite D a la représentation paramétrique ci-dessous. Justifier que la droite D est égale à la droite∆.

x = 9−5t

y =−14+7,5t

z =−5+2,5t

t ∈R

Un vecteur directeur : #»u (−5 ; 7,5 ; 2,5). On a −2,5# »AB = #»u . Les deux droites sont parallèles.

On vérifie que le point A est un point de la droite D en résolvant le système d’inconnue t ∈R :1 = 9−5t

−2 =−14+7.5t

−1 =−5+2.5t

t = 1,6 est solution de ce système. A est donc un point de la droite D et ∆=D.

3.

Soit ∆′ la droite de représentation paramétrique suivante :x = 2− t

y = 1+2t

z = t

t ∈R

Les droites ∆ et ∆′ sont-elles coplanaires ?Un vecteur directeur de ∆′ : #»v (−1 ; 2 ; 1). Il est clair que les coordonnées de # »

AB(2 ; −3 ; −1) et de#»v (−1 ; 2 ; 1) ne sont pas proportionnelles, donc ∆ et ∆′ ne sont pas parallèles.

1

On cherche ensuite à savoir si le système d’inconnue (t ; s) ci-dessous a une solution.2− t = 2s +1

1+2t =−3s −2

t =−s −1

soit 2+ s +1 = 2s +1

1−2s −2 =−3s −2

t =−s −1

ou encore s = 2

s =−1

t =−s −1

Ce système n’ayant pas de solution, les deux droites ne sont pas sécantes.∆ et ∆′ n’étant ni sécantes, ni parallèles sont non coplanaires.

4. Existe-il une droite qui soit sécante aux deux droites ∆ et ∆′ ? Justifier clairement votre réponse.Le point A(1 ; −2 ; −1) est un point de ∆. Le point C (2 ; 1 ; 0) est un point de ∆′ (obtenu avec t = 0dans la représentation paramétrique de ∆′).La droite (AC) est une droite sécante aux deux droites ∆ et ∆′.

5. On considère les points C (−1 ; −4 ; 1), D(1 ; 3 ; −2), E (−2 ; 5 ; 0).

(a) Démontrer que les points C, D, E déterminent un plan, que l’on nommera P .# »CD(2 ; 7 ; −3), # »

CE (−1 ; 9 ; −1). Les coordonnées de ces deux vecteurs sont non proportionnelles :C, D, E définissent un plan.

(b) Donner une représentation paramétrique de ce plan P .Une représentation paramétrique de P :

x = 2t − s −2

y = 7t +9s +5

z =−3t − s

(s, t ) ∈R×R

(c) Vérifier que # »AB = 3

5# »CD− 4

5# »CE. Qu’en déduit on pour les vecteurs # »

AB, # »CD et # »

CE ?

La vérification est immédiate. Les trois vecteurs sont coplanaires.(d) Vérifier que le point F(−11 ; 16 ; 5) est un point de D∩P .

F est un point de D car

xF = 9−5t

yF =−14+7,5t

zF =−5+2,5t

avec t = 4.

F est un point de P car

xF = 2t − s −2

yF = 7t +9s +5

zF =−3t − s

avec (t ; s) = ( −2,8; 3,4).

2

(e) A l’aide des questions précédentes, donner la position relative de la droite ∆ et du plan P .# »AB dirige ∆ et le couple

(# »CD ,

# »CE

)dirige le plan P .

La droite # »AB est donc parallèle au plan P .

Par ailleurs, le point F est commun à ce plan P et à cette droite ∆ = D, donc la droite ∆ estcontenue dans le plan P .

Exercice 2 (5 points) – Cet exercice est un QCM. Aucune justification n’est attendue. Une question peutprésenter une ou plusieurs bonnes réponses. Pour chaque question, indiquez sur votre copie son numéro et leslettres des réponses correctes. Attention, la question rapporte 0 point si vous indiquez une mauvaise réponse(y compris si toutes les bonnes réponses sont également données).

Dans une bibliothèque, 40% des romans sont des romans policiers, 30% des romans sont des romans descience-fiction. Parmi les romans policiers, 65% ont un auteur français. Parmi les romans de science-fiction,20% ont un auteur français. Pour les romans des autres catégories, 70% ont un auteur français.Une lectrice, Agathe, choisit toujours son prochain roman au hasard.On note :

— L : « Le roman est un roman policier. »— S : « Le roman est un roman de science-fiction. »— A : « Le roman n’est ni un roman policier, ni un roman de science-fiction. »— F : « Le roman a un auteur français. »

1. La notation X désignant le complémentaire de l’événement X dans l’univers Ω des romans de labibliothèque, on a :

(a) A = L∪S

(b) A = L∩S

(c) A = L∪S

(d) A = L∩S

(e) Aucune des réponses précédentes n’est correcte.

2. L’événement L∩S a une probabilité P (L∩S) égale à :

(a) 0,7(b) 0(c) 0,12(d) P (L)∩P (S)

(e) P (L)×P (S)

(f) P (L)∪P (S)

(g) Les données de l’énoncé ne permettent pas de le savoir(h) Aucune des réponses précédentes n’est correcte

3. Agathe est en train de lire un policier. La probabilité que ce roman ait un auteur non français estégale à :(a) 0,26

3

(b) 0,14(c) 0,65(d) 0,35(e) Les données de l’énoncé ne permettent pas de le savoir(f) Aucune des réponses précédentes n’est correcte

4. La probabilité qu’Agathe tire un roman de science-fiction d’auteur français est égale à :

(a) PS(F)

(b) PF(S)

(c) 0,06(d) 0,5(e) 0,2(f) 0,6(g) P(S ∩F)

(h) Les données de l’énoncé ne permettent pas de le savoir(i) Aucune des réponses précédentes n’est correcte

5. La probabilité P(F) qu’Agathe tire au hasard un roman d’auteur français est égale à :

(a) PL(F)+PS(F)+PA(F)

(b) 0,091(c) 0,53(d) 1,55(e) P(L∩F)+P(S ∩F)+P(A∩F)

(f) Les données de l’énoncé ne permettent pas de le savoir(g) Aucune des réponses précédentes n’est correcte

6. Agathe lit un roman d’auteur français. La probabilité que ce roman soit un policier est égale à :

(a) PL(F)

(b) PF(L)

(c) P(L)×PL(F)

P(F)

(d) P(F)×PF(L)

P(F)

(e) P(F)×PF(L)

P(L)

(f) 1−PF(S)−PF(A)

(g) Aucune des réponses précédentes n’est correcte

Exercice 3 (4 points) –

4

1. Résoudre dans C l’équation z2 −2z +2 = 0. Donner l’écriture exponentielle des solutions de cette équa-tion.

Deux solutions : 1+ i =p

2ei π4 et 1− i =

p2e−i π

4 .

2.En déduire les solutions complexes de l’équation d’inconnue z :

(−i z +3i +3)2 −2(−i z +3i +3)+2 = 0

(−i z +3i +3)2 −2(−i z +3i +3)+2 = 0 ⇐⇒ (−i z +3i +3 = 1+ i ou − i z +3i +3 = 1+ i )

D’où les solutions 2−2i , 4−2i .

3. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct(O; #»u , #»v

). On considère les points A, B, C d’affixes

respectives a = 1+ i , b = a, c = 2b.

(a) Donner la forme algébrique de b et de c.b = 1− i , c = 2−2i .

(b) Représenter les points A, B, C sur un graphique (unité : 2 cm).Il suffit de placer les points A(1;1), B(1;−1), C(2;−2).

(c) Établir que le cercle circonscrit au triangle ABC a pour centre le point Ω d’affixe 3. Donner lerayon de ce cercle.|a −3| = |−2+ i | =p

5

|b −3| = |−2− i | =p5

|c −3| = |−1−2i | =p5

Ainsi AΩ= BΩ= CΩ=p5 : les points A, B, C sont situés sur le cercle de centre Ω et de rayon

p5.

(d) Donner la forme exponentielle du complexe c −3

a −3et en déduire la nature du triangle ΩAC.

c −3

a −3= −1−2i

−2+ i= (−1−2i )(−2− i )

5= i = ei π

2 .

Ainsi c −ω

a −ω= ei π

2 donc

—∣∣∣ c −ω

a −ω

∣∣∣= 1 ou encore CΩ= AΩ et le triangle est isocèle en Ω.

— Arg( c −ω

a −ω

)= á(

# »ΩA ;

# »ΩC

)= π

2. Le triangle est donc rectangle en Ω.

(e) Soit D tel que # »OD = 2

# »ΩC et F le point d’affixe f = i d (où d est l’affixe de D).

i. Représenter les points D et F sur la figure précédente.d = 2× (c −ω) = −2− 4i et f = i d = 4− 2i . On place sur le dessin les points D(−2 ; −4) etF(4 ; −2).

ii. Les droites (AB) et (CF) sont-elles perpendiculaires ?On a # »

AB(0 ; −2) et # »CF(2 ; 0), d’où # »

AB · # »CF = 0×2+ (−2)×0 = 0. Les droites (AB) et (CF) sont

perpendiculaires.

Exercice 4 (6 points) –

Partie A– Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x +2ex

1+ex.

5

(a)Vérifier que pour tout réel x, on a :

f ′(x) = (−x +3)ex +1

(1+ex )2

f = u

vavec u(x) = x +2ex et v(x) = 1+ex .

f ′(x) = u′(x)v(x)−u(x)v ′(x)

v2(x)

= (1+2ex )× (1+ex )− (x +2ex )×ex

(1+ex )2

=(1+ex +2ex +2e2x

)− (xex +2e2x

)(1+ex )2

= (−x +3)ex +1

(1+ex )2

(b) En déduire que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 3].Pour x ∈ [0 ; 3], on a −x +3⩾ 0, d’où (−x +3)ex ⩾ 0 et (−x +3)ex +1⩾ 1 > 0.On a donc f ′ > 0 sur [0 ; 3] et f strictement croissante sur cet intervalle.

(c) Résoudre l’équation d’inconnue x ∈R : f (x) = x.

f (x) = x ⇐⇒ x +2ex

1+ex = x

⇐⇒ x +2ex = x(1+ex)

car 1+ex = 0 pour tout réel x

⇐⇒ x +2ex = x + xex

⇐⇒ 2ex = xex

⇐⇒ 2 = x car ex = 0 pour tout réel x

L’équation f (x) = x a donc pour seule solution réelle le nombre 2.(d) Dresser le tableau de variation de f sur l’intervalle [0 ; 2].

..x

.

f ′(x)

.

f

.0

.2

.

+

.

1

.

1

.

2

.

2

Partie B–On considère la suite (un) définie par son premier terme u0 = 0 et la relation de récurrence :

pour tout entier naturel n, un+1 = f (un)

(a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a un ∈ [0 ; 2].

Cas de base. u0 = 0 donc u0 ∈ [0 ; 2].

6

Hérédité. Soit n ∈N tel que un ∈ [0 ; 2].On sait que pour x ∈ [0;2], on a f (x) ∈ [0;2] d’après la question Ad. Comme un ∈ [0 ; 2],on a f (un) ∈ [0 ; 2], c’est à dire un+1 ∈ [0 ; 2].

Conclusion. La suite (un) est bornée par 0 et 2.

(b) Démontrer par récurrence que la suite (un) est une suite croissante (à partir du rang 0).

Cas de base. u0 = 0 et u1 = 1 donc u0 < u1.Hérédité. Soit n ∈N tel que un < un+1.

Comme un et un+1 sont des nombres de l’intervalle [0;2] (d’après la question précédente)et que f est strictement croissante sur cet intervalle (d’après la question Ab), on endéduit que f (un) < f (un+1), c’est à dire un+1 < un+2.

Conclusion. La suite (un) est strictement croissante.

(c) Démontrer que la suite (un) est convergente. Démontrer que sa limite est égale à 2.La suite (un) est croissante (question Bb) et majorée (question Ba), elle est donc conver-gente.Par ailleurs un+1 = f (un) pour tout entier naturel n et f est continue sur R : la limite ℓ

vérifie ℓ= f (ℓ). On a donc ℓ= 2.

Partie C– (a) Démontrer le résultat de cours suivant : « Si une suite (vn) est croissante et converge versun réel ℓ alors, pour tout entier naturel n, on a vn ⩽ ℓ »

Voir le cours…

(b)

On considère l’algorithme suivant :Entrées a un réel, M un réel, g une fonctionTraitement w reçoit la valeur a

n reçoit la valeur 0Tant que w ⩽M

w reçoit la valeur g (w)n reçoit la valeur n +1

Fin du tant queSortie valeur de n

i. On exécute cet algorithme avec g = f , a = 0 et M = 1,5. Quelle sera la sortie ?Avant de rentrer dans la boucle tant que, les variables w et n sont initialisées commesuit :

Instructions w n

w reçoit la valeur a 0n reçoit la valeur 0 0 0

A ca stade, la condition w ⩽M est satisfaite, on exécute la boucle :Instructions w n

w reçoit la valeur g (w) g(0)=1n reçoit la valeur n +1 1 1

La condition w ⩽M est à nouveau satisfaite, on exécute la boucle :Instructions w n

w reçoit la valeur g (w) g (1) ≈ 1,73n reçoit la valeur n +1 ≈ 1,73 2

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La condition w ⩽ M n’est plus satisfaite. On passe donc à l’instruction suivante. Lavaleur retournée est donc n = 2.

ii. On exécute cet algorithme avec g = f , a = 0 et M = 1,99999. Sans aucun calcul, expliquerpourquoi on est certain que l’algorithme terminera et affichera un entier.

La suite est croissante et converge vers 2. La définition de la notion de limite nouspermet donc d’affirmer qu’il existe un entier N tel que pour tout entier n > N, on aun ∈ ]1,99999 ; 2[.w qui prend successivement les valeurs des termes de la suite (un) finira donc parvérifier w > M et l’algorithme terminera.

iii. On exécute cet algorithme avec g = f , a = 0 et M = 2. Que se passera-t-il ?Comme f est strictement croissante sur [0;2] et que f (2) = 2, on en déduit que f (x) < 2pour x ∈ [0;2[.On établit alors facilement (récurrence) que un < 2 pour tout entier naturel n.L’algorithme ne terminera donc pas dans ce cas.

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