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7/18/2019 bac_Sujets de Mathématiques, Term STG.pdf

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SUJET 1

SUJET NATIONAL, OPTION CGRH , EXERCICE 1, SEPTEMBRE 2011

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, parmi les trois réponses proposées, une seule est correcte. Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou une question sans

réponse n’apporte ni ne retire aucun point.1. On place 250 euros au taux annuel de 3 %. Le tableau suivant donne l’évolutiondu capital arrondi au dixième.

La formule entrée dans la cellule B3 et recopiée pour obtenir le contenu des cellulesde la plage B3 : B7 est :

= B2 ∗ (1 + $C $2/100). = B$2 ∗ (1 + C 2/100).

= $B$2 ∗ (1 + $C $2/100).

2. Au cours des trois dernières années, le prix d’un produit a successivement augmentéde 10 % la première année, puis de 6 % la deuxième année et de 5 % la dernièreannée. Le taux d’évolution global sur ces trois ans est :

7 %.

21 %.

22,43 %.

24



Sujet 1

3. Un prix a subi une baisse de 16 % un mois puis une nouvelle baisse de 4 % lemois suivant. Le taux de baisse mensuel moyen de ce prix sur ces deux mois, arrondià 0,1 %, est :

10 %. 21 %.

10,2 %.

4. On considère la suite géométrique (un) de terme initial u0 = 0,5 et de raison 2. Lequinzième terme de la suite (un) est :

u14 = 28,5 .

u14 = 8 192.

u15 = 16 384.

CORRIGÉ

Les conseils de l’enseignantPour réussir ce il faut se rappeler qu’augmenter de t % revient à multiplier par

(1 + t

100), diminuer de t % revient à multiplier par (1 − t

100). Dans le cas de

variations successives il faut multiplier ces facteurs.Pour connaître les termes d’une suite géométrique, on multiplie toujours par le mêmefacteur, la raison. Sur un tableur, il faut fixer les cellules contenant le premier termeet la raison avec le symbole dollar « $ » pour conserver le contenu lors de la copie.

Attention à ne pas faire de confusion : si le premier terme d’une suite a le rang 0 alorsle 15e terme a le rang 14.

1. Bonne réponse : = B2 ∗ (1 + $C $2/100).Il faut fixer avec un dollar la cellule C2 pour conserver la valeur de cette cellule encopiant la fomule vers le bas.

Ainsi, B4 = B3 ∗ (1 + $C $2/100), B5 = B4 ∗ (1 + $C $2/100).

25



Taux et pourcentages

2. Bonne réponse : 22, 43 %.

(1 + 10

100) × (1 +

6

100) × (1 +

5

100) = 1, 2243 = 1 +

22, 43

100 , soit une

augmentation globale de 22, 43 % sur trois ans.

3. Bonne réponse : 10, 2 %.

(1 − 16

100) × (1 − 4

100) = 0, 8064.

En deux mois, le prix a été multiplié par 0,8064. Le taux t de baisse moyen mensuelvérifie alors : (1 − t)2 = 0, 8064.

Donc 1 − t =

0, 8064 = 0, 897 99 . . ..

Alors t = 1 − 0, 89799 . . . = 0, 10200 . . ..

La baisse moyenne mensuelle est de 10, 2 % (au dixième près).4. Bonne réponse : u14 = 8192.

Le terme général d’une suite géométrique de raison q est de la forme un = u0 × q n,avec q = 1.

Donc u14 = 0, 5 × 214 = 8 192.

26



SUJET 2

SUJET NATIONAL, OPTION CGRH , EXERCICE 1, JUIN 2011



Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou une question sans

réponse n’apporte ni ne retire aucun point.1. (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 1000 et de raison q = , .Le troisième terme de la suite est égal à : 1004,4. 1210. 1331.

2. (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 = 5, 2 et de raison r = 2, 5.

A B1 n un

2 0 5,2

3 1

4 2

5 3

6 4

7 5

La formule à entrer en B3 et à recopier vers le bas pour obtenir les termes successifsde la suite (un) est : = B2 + 2, 5 ∗ A3. = B$2 + 2, 5. = B$2 + 2, 5 ∗ A3.

3. Le prix d’un produit subit une hausse annuelle de 20 %. En prenant pour base100 le prix du produit en 2006, l’indice, arrondi à l’unité, en 2011 sera égal à :

27




200.

249.

on ne peut pas savoir.

4. Un enseignant veut acheter 60 clés pour ses élèves. On lui propose deux pro-motions :

– promotion A : réduction de 30 % par rapport au prix a ffiché pour chaque clé ;

– promotion B : off re d’une clé supplémentaire gratuite pour tout achat d’un lot de2 clés.

Pour eff ectuer son achat au prix le plus bas, l’enseignant doit choisir :

la promotion A.

la promotion B. indiff éremment la promotion A ou B.

CORRIGÉ

Les conseils de l’enseignant

Le QCM porte sur les suites et les pourcentages. On n’oubliera pas que si le premierterme d’une suite est u0, le troisième terme est u2 et non u3. Augmenter de 30 %,

c’est multiplier par 1+ 30

100, soit 1,3. Diminuer de 20 %, c’est multiplier par 1− 20

100,

soit 0,8.

Pour comparer deux évolutions d’un même prix P, il suffit alors de comparer les coef-ficients multiplicateurs.

1. Bonne réponse : 1 210.

Le terme général d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q (q = 1)est de la forme un = u0 × q n.

Soit u2 = 1000 × 1, 12 = 1210.

28



Sujet 2

2. Bonne réponse : = B$2 + 2, 5 ∗ A3.

Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r est dela forme un = u0 + n × r.

u0 se lit en B2. Il faut bloquer la ligne 2 avec un dollar « $ » pour que cette cellule nesoit pas modifiée en copiant vers le bas.

Les valeurs de n se lisent dans la colonne A, n = 1 se lit en A3.

3. Bonne réponse : 249.

2011 − 2006 = 5.

100 × (1 + 20

100)5 = 248, 832, soit 249 en arrondissant à l’unité la plus proche.

4. Bonne réponse : la promotion B.

Soit P le prix sans promotion des 60 clés .

Prix avec la promotion A : PA = 100 × (1 − 30

100) = 0, 7 P.

Prix avec la promotion B : le cadeau représente 50 % du prix car 2 × 1, 5 = 2 ×(1 +

50

100) = 3.

Comme 40 × 1, 5 = 60, il faut acheter 40 clés pour en obtenir 60. Soit PB =40

60

P = 2

3

P.

2

3 < 0, 7, donc PB < PA.

La promotion B est donc plus intéressante que la promotion A.

29



SUJET 3

SUJET NATIONAL, OPTION MERCATIQUE, EXERCICE 1, SEPTEMBRE 2010

Partie A

En 2008, l’indice de volume de consommation en produits (technologies del’information et de la communication) en France était de 268,26 (indice base 100

en 2000).Source : Insee, comptes nationaux.

1. Quel a été le taux d’évolution de la consommation en produits de 2000 à 2008? 68,26 %. 168,26 %. 268,26 %.

2. Quel a été, à 0,01 % près, le taux d’évolution annuel moyen de la consommationen produits de 2000 à 2008 ? 1,13 %. 13,13 %. 21,03 %.

Partie B

Le personnel d’une entreprise est constitué de 160 personnes qui se répartissent de la

manière suivante :Femmes Hommes Total

Cadres 15 17 32

Employé(e)s 52 76 128

Total 67 93 160

Au cours de la fête de fin d’année, le comité d’entreprise off re un séjour à la montagneà une personne choisie au hasard parmi les 160 de cette entreprise.

3



Sujet 3

On définit les événements suivants :

– C : « la personne choisie fait partie des cadres » ;

– E : « la personne choisie fait partie des employé(e)s » ;

– F : « la personne choisie est une femme » ;

– H : « la personne choisie est un homme ».

1. Quelle est, à 0,001 près, la probabilité de l’événement C ∩ F ?

0,094.

0,224.

0,525.

2. Quelle est, à 0,001 près, la probabilité P H (E ), c’est-à-dire la probabilité, sachantque la personne choisie est un homme, qu’elle fasse partie des employé(e)s?

0,475.

0,594.

0,817.

CORRIGÉ


Dans la partie A du QCM, on doit distinguer la formule du taux de variation globalde la valeur V 0 à la valeur V 1 :

T = V 1 − V 0V 0

× 100,

de la formule du taux t de variation moyen annuel :

(1 + t)n = 1 + T , soit 1 + t = (1 + T )1

n .Dans la partie B, on doit distinguer la notation P (A ∩ B), probabilité que les évé-nements A e B se réalisent en même temps, de la notation P A(B), probabilité queB soit réalisé sachant que A l’est déjà.

3




Partie A

1. Bonne réponse : 168,26 %.268, 26

−100

100 × 100 = 168, 26 %.2. Bonne réponse : 13,13 %.

Le taux t d’évolution annuel moyen vérifie :

(1 + t)8 = 1 + 168, 26

100 = 2, 6826.

Soit 1 + t = 2, 68261

8 = 1, 131 278 . . . d’où t = 0, 131 278 . . .

Le taux d’évolution annuel moyen est donc de 13,13 % au centième près.

Partie B

1. Bonne réponse : 0,094.

C ∩ F : « la personne choisie est une femme cadre ».

P (C ∩ F ) = 15

160 = 0, 09375, soit P (C ∩ F ) ≈ 0, 094.


P H (E ) =

76

93 = 0, 81720 . . ., soit P H (E ) ≈ 0, 817.

32



SUJET 4

SUJET NATIONAL, OPTIONS MERCATIQUE, C FE ET GS I , EXERCICE 1, JUIN 2010

On s’intéresse au nombre de clients ayant accès à l’internet haut débit en France. Ona pris pour indice de référence 100 en décembre 2007.On dispose des renseignements suivants :

Nombre de clients ayant accès à l’internet

haut débit, en milliers

Indice

Déc. 2001 604 3,8

Déc. 2002 10,8

Déc. 2003 3 626 23,0

Déc. 2004 6 562 41,7

Déc. 2005 9 465 60,1

Déc. 2006 12 711 80,7

Déc. 2007 15 752 100,0

Déc. 2008 17 691 112,3

Sources : France Telecom et ARCEP.

Les pourcentages demandés seront arrondis à 1 %.

1. Déterminer, au millier près, le nombre de clients ayant accès à l’internet haut débiten France en décembre 2002 ; le taux d’évolution du nombre de clients ayant accès à l’internet haut débit de décembre 2007 à décembre 2008.

2. a) Calculer le taux d’évolution du nombre de clients ayant accès à l’internet hautdébit de décembre 2005 à décembre 2008.

b) Calculer le taux d’évolution annuel moyen du nombre de clients ayant accès à l’internet haut débit de décembre 2005 à décembre 2008.

c) On suppose qu’en 2009 l’évolution s’est poursuivie avec le taux annuel calculéau 2. b).Déterminer, au millier près, le nombre de clients ayant accès à l’internet haut débiten décembre 2009.

33




3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On s’interroge sur la pertinence de la supposition faite à la question 2. c). Pour cela,

on calcule les taux d’évolution annuels suivants :De décembre-04à décembre-05

De décembre-05à décembre-06

De décembre-06à décembre-07

Taux d’évolution dunombre de clients ayantaccès à l’internet hautdébit

+44 % +34 % +24 %

La supposition faite dans la question 2. c) vous paraît-elle pertinente ?

CORRIGÉ

Les conseils de l’enseignantDans cet exercice, on étudie l’évolution du nombre de clients ayant accès à l’internethaut débit.

On se rappellera comment calculer le taux d’évolution global T d’une valeur V 0 à

une valeur V 1 : T = V 1 − V 0

V 0× 100.

Le taux d’évolution moyen annuel t , sur les n années séparant V 0 de V 1, vérifie

alors l’équation (1 + t)n

= T , soit 1 + t = T 1

n

.

1. 15752 × 10, 8

100 = 1 701, 216.

En décembre 2002, 1 701 milliers de clients avaient accès à l’internet haut débit.112, 3 − 100

100 × 100 = 12, 3.

Entre décembre 2007 et décembre 2008, le nombre de clients à l’internet haut débita augmenté de 12,3 %. Soit 12 % à 1 % près.

34



Sujet 4

2. a) 17691 − 9465

9465 × 100 = 86, 909 . . .

Entre décembre 2005 et décembre 2008, le nombre de clients à l’internet haut débita augmenté de 86,91 %. Soit 87 % à 1 % près.

b) Le taux d’évolution annuel moyen t vérifie :

(1 + t)3 = 1 + 0, 8691 = 1, 8691.

Soit 1 + t = 1, 86911

3 , soit 1 + t = 1, 231 811 . . .

Donc t ≈ 0, 2318.

Le taux d’évolution annuel moyen a été de 23,18 % entre décembre 2005 et dé-cembre 2008. Soit 23 % à 1 % près.

c) 17 691×

1, 2318 = 21 791, 777 . . .

21 792 milliers de clients auraient accès à l’internet haut débit en décembre 2009.

3. Le taux d’évolution annuel baisse de 10 % tous les ans, entre décembre 2005 etdécembre 2008.

On peut alors penser que l’année suivante, en décembre 2009, le taux sera plus prochede 14 % que de 23 %.

La supposition de la question 2. c) ne semble donc pas pertinente.

35



SUJET 5

SUJET NATIONAL, OPTIONS MERCATIQUE, C FE ET GS I , EXERCICE 1, SEPTEMBRE 2009

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte. Relever sur la copie le numéro de la questionainsi que la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse juste rapporte 1 point ; une réponse fausse enlève 0,25 point et l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total des points est négatif la note attribuée

à l’exercice est ramenée à 0.Le tableau ci-dessous donne l’évolution de l’indice (base 100 en 1998) correspondantau nombre d’entrées au cinéma en France et en Italie de l’année 1998 à l’année 2007.

Année France Italie

1998 100 100

1999 90,0 87,3

2000 97,2 87,9

2001 109,9 95,62002 108,1 97,6

2003 101,7 93,2

2004 114,2 98,1

2005 102,9 89,1

2006 110,7 89,5

2007 104,0 97,0

Source : Centre national de la cinématographie.

1. Quel est l’écart type de la série des indices de la France ?

4

24,2

Environ 6,8

36



Sujet 5

2. Sur les trois diagrammes en boîte représentés ci-après, les extrémités des mous-taches correspondent au minimum et au maximum.

Parmi ces trois diagrammes, lequel ne représente pas l’une des deux séries d’indicesdu tableau? le diagramme n˚ 1

le diagramme n˚ 2

le diagramme n˚ 3

86 88 90 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118 120

diagramme n° 1

diagramme n° 2

diagramme n° 3

3. Sachant qu’en 2007, il y a eu 177,5 millions d’entrées au cinéma en France, quela été le nombre d’entrées au cinéma en France en l’an 2000 ?

97,2 millions

165,9 millions environ 189,9 millions environ

4. Sachant qu’en 1998, il y a eu 118,5 millions d’entrées au cinéma en Italie, quela été le nombre annuel moyen d’entrées au cinéma en Italie au cours de la période1998-2007?

94 millions environ

111 millions environ

127 millions environ

37




CORRIGÉ


Le QCM teste les connaissances sur les statistiques à une variable. La définition et lecalcul de l’écart type ont été vus en classe de Première. En Terminale seul l’a ffichagesur la calculatrice est exigible. Pour déterminer le diagramme en boîte qui ne convientpas, on procède par élimination en veillant à faire une bonne lecture de la graduation.

La règle de trois traduit la proportionnalité des indices et des nombres d’entrées. Ilfaut d’abord calculer la moyenne des indices pour connaître le nombre annuel moyend’entrées en Italie au cours de la période 1998-2007.

1. Bonne réponse : 6,8 environ.Sur la calculatrice, en mode STATISTIQUES, on rentre en Liste 1 les indices, puison sélectionne la fonction CALC-1VAR pour lire σ = 6, 819 . . .

Par le calcul, la variance est V =

x2i

n − x2, soit :

V = 1002

+ . . . + 104, 02

10 − 103, 872 .

D’où V = 46, 5121 . . .

σ =√

V , soit σ ≈ 6, 8.

2. Bonne réponse : le diagramme n˚1.L’indice maximum de la France étant de 114,2, son diagramme est le 3e.

L’indice minimum de l’Italie étant de 87,3, son diagramme est le 2e.

Par conséquent, le diagramme n˚ 1 ne représente aucune des deux séries.3. Bonne réponse : 165,9 millions environ.177, 5 × 97, 2

104, 0 = 165, 894 . . ., soit 165,9 millions d’entrées, au dixième de million

près.

38



Sujet 5

4. Bonne réponse : 111 millions environ.

On calcule d’abord l’indice moyen pour l’ensemble des 10 années :100 + 87, 3 + . . . + 97, 0

10

= 93, 53.

118, 5 × 93, 53

100 = 110, 83, soit 111 millions d’entrées, au million près.

39



SUJET 6

POLYNÉSIE, OPTION CGRH , EXERCICE 2, SEPTEMBRE 2009

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Depuis quelques années, les Français sont de plus en plus nombreux à préférer acheterune voiture à moteur Diesel plutôt qu’une voiture à essence.

Le tableau ci-dessous indique l’évolution de la part des voitures Diesel par rapportaux immatriculations françaises totales entre 1990 et 2005.

xi représente le rang de l’année et y i la part des voitures Diesel, exprimée en pour-centage.

Année Rang xi Pourcentage des voitures Diesel yi (arrondià l’unité)

1990 0 33

1996 6 40

1997 7 42

1998 8 401999 9 44

2000 10 49

2001 11 55

2002 12 63

2003 13 67

2004 14 69

2005 15 69

Données : Red Business Information.

Partie A

1. Calculer le taux d’augmentation global, entre les années 1990 et 2005, de la partdes voitures Diesel dans les immatriculations françaises totales.

2. En déduire le taux d’augmentation annuel moyen sur cette même période.

4



Sujet 6

Partie B

1. Sur une feuille de papier millimétré que l’on prendra en format paysage, représen-ter dans un repère orthogonal (O ; i, j) du plan, le nuage des points de coordonnées

(xi ; yi).On prendra comme unités graphiques 1 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pourdix unités en ordonnées.

2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage, puis placer G sur le gra-phique précédent.

3. a) Donner sans justification une équation de la droite de régression de y en x parla méthode des moindres carrés. Les résultats seront arrondis au dixième.

b) On notera D cette droite de régression. Tracer D dans le repère précédent.4. Dans cette question on utilise la droite D pour modéliser l’évolution du pourcen-tage des immatriculations des voitures Diesel pour les années à venir.

a) Déterminer graphiquement, ou par le calcul, une estimation du pourcentage desimmatriculations françaises correspondant aux voitures Diesel en 2010.

b) Calculer le pourcentage des immatriculations françaises correspondant aux voi-tures Diesel en 2020.

Comment interpréter ce résultat ?

CORRIGÉ


Après avoir calculé les coordonnées du centre du nuage de points d’une série statis-tique à deux variables, on détermine à l’aide de la calculatrice une équation de la droite de régression.

Avec cette équation, on fait une estimation pour le futur.La dernière question permet de constater que cette estimation peut être satisfaisanteà court terme et impossible à long terme.

4




Partie A

1. 69 − 33

33 × 100 ≈ 109, 09 %. Le taux d’augmentation global entre les années

1990 et 2005 est de 109,09 %.2. Le taux d’augmentation annuel moyen t est solution de l’équation :

33 × (1 + t)15 = 69, soit (1 + t)15 = 69

33 ou 1 + t =

69

33

1

15

.

Donc 1 + t ≈ 1, 0504 ou t ≈ 0, 0504.Soit un taux moyen annuel de 5,04 %.

Partie B

1. Voir la représentation graphique suivante.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200

10

20

30

40

50

60

70

80 82,6

90

G

D

Pourcentage

Rang

2. On détermine la moyenne des abscisses, puis des ordonnées des points du nuage,

soit G

Σxi11

; Σyi

11

.

Donc G a pour coordonnées :

xG = 0 + 6 + · · · + 1511

= 10511 ≈ 9, 5

yG = 33 + 40 + · · · + 69

11 =

571

11 ≈ 51, 9.

D’où G

105

11 ;

571

11

.

3. a) Sur la calculatrice, on note en Liste 1 les valeurs de xi et en Liste 2 les valeursde yi. En appliquant la fonction Linreg(ax+b), on obtient :

42



Sujet 6

a ≈ 2, 9 et b ≈ 24, 6.

D’où une équation de la droite de régression de y en x :

y = 2, 9x + 24, 6.

b) Tableau de valeurs de D :

x 0 15

2,9x + 24,6 24,6 68,1

Voir le tracé de la droite D sur la représentation graphique.

4. a) Estimation graphique :

Sur la droite D, on lit l’ordonnée du point d’abscisse 20. Soit 83 %.

Estimation par le calcul :On remplace x par 20 dans l’équation de D :

2, 9 × 20 + 24, 6 = 82, 6 %.

En 2010, on peut estimer que 82,6 % des voitures rouleront au gasoil.

b) 2020 − 1990 = 30, l’année 2020 a donc le rang 30.

En remplaçant x par 30 dans l’équation de la droite D on obtient :

2, 9 × 30 + 24, 6 = 111, 6 %.

Ce qui est impossible car une proportion ne peut dépasser 100 %.La droite D n’est donc pas un bon modèle d’ajustement pour le long terme.

43



SUJET 7

SUJET NATIONAL, OPTION MERCATIQUE, EXERCICE 3, JUIN 2012

Monsieur X possède depuis le 1er janvier 2010 une messagerie électronique profes-sionnelle, sur laquelle il conserve tous les messages reçus ou envoyés, en les classantpar année.

Il a constaté au 31 décembre 2010 que la taille du dossier contenant les messages del’année 2010 était de 4 mégaoctets (Mo).

Une étude a montré que la taille des messages électroniques professionnels augmentaiten moyenne de 5 % par an. On fait l’hypothèse que cette augmentation se maintientau moins jusqu’en 2016.On note un la taille, en mégaoctets, du dossier contenant les messages de l’année(2010 + n) selon le modèle décrit précédemment. On a donc u0 = 4.

On utilise une feuille de calcul d’un tableur pour observer l’évolution de la taille del’ensemble des dossiers de Monsieur X depuis 2010.

A B C D1 Année n un Taille de l’ensemble des dossiers (en Mo)

2 2010 0 4,00 4,00

3 2011 1 4,20 8,20

4 2012 2 4,41 12,61

5 2013 3

6 2014 4

7 2015 5

8 2016 6

1. Quelle est la nature de la suite (un) ? Préciser sa raison.

2. Exprimer un en fonction de n.

3. Selon ce modèle, calculer la taille, à 0,01 Mo près, du dossier de l’année 2016.

44



Sujet 7

4. a) Donner une formule qui, saisie dans la cellule C3 puis recopiée vers le bas,permet d’obtenir les valeurs de la colonne C.

b) Parmi les formules suivantes, indiquer toutes celles qui, saisies dans la cellule D3,

puis recopiées vers le bas, permettent d’obtenir les valeurs de la colonne D.=SOMME(C2 :C3)

=SOMME($C$2 :C3)

=D2+C3

=$D$2+C3

5. a) Calculer la taille, à 0,01 Mo près, de l’ensemble des dossiers au 31 dé-cembre 2016.

b) La capacité de stockage de la messagerie est limitée à 30 mégaoctets. Peut-onestimer que Monsieur X pourra conserver la totalité de ses messages ? Justifier.

On pourra utiliser le formulaire suivant :

– la somme des n + 1 premiers termes d’une suite arithmétique (un) est donnée par :

u0 + u1 + . . . un = (n + 1) × u0 + un2

;

– la somme des n + 1 premiers termes d’une suite géométrique (un) de raison b(b = 1) est donnée par : u0 + u1 + . . . un = u0 × 1 − bn+1

1 − b .

CORRIGÉ


L’exercice est un classique des suites géométriques. Il demande de savoir calculer unterme de rang n et la somme des n premiers termes. Pour ce dernier calcul la formuleest fournie, il suffit de se rappeler qu’une barre de fraction agit comme une parenthèsepour ne pas faire d’erreur d’a ffichage sur la calculatrice.

45



Suites

En parallèle, on tranpose les données sur un tableau Excel. Il s’agit alors de préciser lesformules permettant de compléter les cellules par copie vers le bas. On se rappellera que le symbole « $ » permet de fixer la colonne ou la ligne.

1. Pour passer d’un terme de la suite au suivant on multiplie toujours par le mêmefacteur 1 +

5

100, soit 1,05.

(un) est donc une suite géométrique de premier terme u0 = 4, 00 et de raisonq = 1, 05.

2. Le terme général d’une suite géométrique est de la forme un = u0 × q n (q = 1),donc un = 4 × 1, 05n.

3. u6 = 4

×1, 056 = 5, 360 . . .. En 2016, le dossier aurait une taille de 5,36 Mo,

au centième de Mo près.

4. a) En C3 on écrit = C2 ∗ 1, 05 puis on copie vers le bas.

b) Indiquons les formules s’a ffichant en D4 pour chacune des propositions :

– = SOMME(C3 : C4) ;

– = SOMME($C$2 : C4) ;

– = D3 + C4 ;

– = $D$2 + C4.Seules les seconde et troisième formules cumulent la taille du dossier de l’année et desannées précédentes.Les deux formules possibles sont donc = SOMME($C$2 : C3) et = D2 + C3.

5. a) On applique la formule indiquée au bas de la page :

u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 4 × 1 − 1, 057

1 − 1, 05 = 32, 568 . . .

Au 31 décembre 2016, l’ensemble des fichiers occuperait 32,57 Mo, au centième deMo près.

b) Monsieur X ne pourra pas conserver tous ses messages, car 32, 57 > 30. Commel’année 2016 ajoute 5,36 Mo, il devra éliminer un certain nombre de messages à la fin de l’année 2015.

46



SUJET 8


Le tableau ci-dessous retrace, sur une dizaine d’années, l’évolution de la consomma-tion moyenne de yaourts, en kilogrammes par personne et par an, en France.

Année 1998 2000 2002 2004 2006 2008

Consommation de yaourts en kg

par personne

19,4 19,9 21 21,6 21,8

Source : Insee.

Partie A. Traitement des donnéesTous les résultats demandés seront arrondis au dixième.

1. Retrouver la consommation de yaourts, en kg par personne, en 2002, sachantqu’elle a augmenté de 2,5 % entre 2000 et 2002.

2. Calculer le taux d’évolution entre 1998 et 2008.

3. En déduire le taux d’évolution annuel moyen entre 1998 et 2008.

Partie B. Étude d’un modèleOn décide de modéliser la consommation annuelle de yaourts, à partir de 1998, à l’aide d’une suite géométrique (un) de raison 1,012.Pour tout entier naturel n, un désigne la consommation théorique de yaourts l’an-née 1998 + n. Ainsi u0 vaut 19,4.

1. Que vaut u1 ?

2. Le tableau suivant est un extrait d’une feuille de calcul obtenue à l’aide d’un tableur.Le format d’a ffichage est un format numérique à une décimale.

47





Sujet 8

CORRIGÉ


La partie A demande de distinguer le taux d’évolution global sur 10 ans, d’une valeur

V 0 à une valeur V 1, soit tG = V 1 − V 0

V 0× 100 et le taux moyen annuel t, vérifiant

V 0

×(1 + tm)10 = V 1.

La partie B modélise cette évolution par une suite géométrique. Son terme général estde la forme un = u0 × q n, (q = 1).Ses termes peuvent être calculés sur une feuille de tableur. On n’oubliera pas alors defixer une cellule par des dollars, $, pour que son contenu ne soit pas modifié par copievers la droite ou vers le bas.

Partie A. Traitement des données

1. 19, 9 + 19, 9 × 2, 5

100

= 20, 3975.

En 2002, la consommation de yaourts était de 20,4 kg par personne au dixième dekilo près.

2. 21, 8 − 19, 4

19, 4 × 100 = 12, 3711 . . ..

Entre 1998 et 2008, la consommation de yaourts a augmenté de 12,4 % au dixièmeprès.

3. Le taux t d’évolution annuel moyen vérifie : 19, 4

×(1 + t)10 = 21, 8, soit

(1 + t)10 = 21, 8 ÷ 19, 4 = 1, 123 711 . . ..Donc 1 + t ≃ 1, 123 711

1

10 ≃ 1, 011 731 . . ..

Donc t ≃ 0, 0117.Entre 1998 et 2008, la consommation de yaourts a augmenté en moyenne de 1,2 %par an au dixième près.

49



Suites

Partie B. Étude d’un modèle

1. u1 = 19, 4 × 1, 012 = 19, 6328.Donc u1 = 19, 6, au dixième près.

2. a) En D3 on écrit : = D2 ∗ 1, 012.

Puis on copie vers le bas.

b) En D3 on lit la valeur de u1, soit 19,6.

3. a) Le terme général d’une suite géométrique est de la forme un = u0×q n (q = 1).Donc un = 19, 4 × 1, 012n.

b) En E2 on écrit : = $D$2

∗1, 012

∧C2.

Puis on copie vers le bas.

4. On utilise la table de la calculatrice.

n

un

21

24,923 ...

22

25,222 ...

1998 + 22 = 2020.

C’est donc à partir de l’année 2020 que la consommation dépassera 25 kg par per-sonne.

5



SUJET 9


Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Un parc aquatique en plein air a ouvert ses portes en juin 2003. Ce parc n’ouvre quependant la saison d’été, de juin à septembre.

Partie A

En 2003, ce parc a enregistré 190 000 entrées. Depuis, on a constaté une hausseannuelle moyenne de 3,5 % du nombre d’entrées.

Pour tout entier naturel n, on note un le nombre d’entrées de l’année 2003 + n. Ainsiu0 = 190 000.

1. Calculer u1.

2. Quelle est la nature de la suite (un) ?


4. En utilisant ce modèle, donner une estimation du nombre d’entrées en 2011 (ar-rondir le résultat à l’unité).

Partie B

Deux tarifs diff érents sont pratiqués, un tarif adulte et un tarif enfant. Dans cettepartie, on s’intéresse aux recettes générées par les entrées dans ce parc durant la saison2010. Les informations ci-dessous sont extraites d’une feuille de calcul.

5



Suites

Les plages de cellules Bl : B2 et F4 : F8 sont au monétaire à zéro décimale.

1. Donner une formule qui, entrée en cellule D8, permet par recopie vers la droited’obtenir le contenu des cellules D8 et E8.

2. Parmi les formules proposées ci-dessous, recopier sur la copie toutes celles qui,entrées en cellule F4, permettent par recopie vers le bas d’obtenir le contenu descellules de la plage F4 : F8.

=20*D4+15*E4

=A1*D4+A2*E4 =Bl *D4+B2*E4

=$B$l *D4+$B$2*E4

52



Sujet 9

CORRIGÉ


La partie A de l’exercice demande de connaître les suites géométriques, l’opération à eff ectuer pour passer d’un terme au suivant et l’écriture du terme général.La partie B concerne les feuilles de calcul ; il faut ajouter le symbole dollar « $ » devantchaque élément de la cellule pour la bloquer en copiant vers la droite ou vers le bas.

Partie A

1. u1 = 190 000 × (1 + 3, 5

100) = 196 650.

2. Pour passer d’un terme de la suite (un) au suivant, on multiplie toujours par le

même nombre 1 + 3, 5

100, soit 1,035. (un) est donc une suite géométrique de premier

terme u0 = 190 000 et de raison q = 1, 035.

3. Le terme général est de la forme un = u0 × q n.Donc un = 190 000 × 1, 035n .

4. 2011 − 2003 = 8,donc u8 = 190 000 × 1, 0358 = 250 193, 717.On peut donc estimer à 250 194 le nombre d’entrées en 2011.

Partie B

1. Les nombres indiqués dans les cellules D8 et E8 sont la somme des quatre nombresplacés au-dessus.On écrit donc « =SOMME(D4 :D7) » dans la cellule D8 et on copie vers la droite.

2. Pour obtenir la recette, il faut multiplier chaque nombre d’entrées par le coûtunitaire correspondant.Directement avec la formule : =20*D4+15*E4.Indirectement, on bloque les cellules des prix unitaires avec le symbole dollar « $ »,on obtient la formule : =$B$l *D4+$B$2*E4.

53





Sujet 10

3. Calculer le nombre de nouveaux logements sociaux qui seront construits dans la ville A durant la période 2009-2013.

Partie B1. Pour tout entier naturel n, on note an le nombre total de logements sociaux dansla ville A au cours de l’année 2009 + n. On a donc a0 = 3460.

a) Donner la nature la suite (an).

b) En 2019, le nombre de logements sociaux de la ville A aura-t-il doublé ? Justifier.

2. On considère la suite (bn) telle que, pour tout entier naturel n, bn = 2740 ×(1, 07)n . On a donc b0 = 2740.

Indiquer la nature de la suite (bn).3. Durant les dix années de 2010 à 2019, le nombre de logements sociaux de la ville Bdépassera-t-il celui de la ville A ? Justifier.

CORRIGÉ


Dans cet exercice, on doit comparer les évolutions de deux populations urbaines.Celle de la ville A suit une progression arithmétique, c’est-à-dire qu’on ajoute le mêmeeff ectif pour passer d’une année à la suivante. Celle de la ville B suit une progressiongéométrique, c’est-à-dire qu’on multiplie par le même facteur pour passer d’une annéeà l’autre.

Augmenter de t %, c’est multiplier par le facteur 1 + t

100.

Partie A

1. Ville A : 4 100 + 160 = 4 260, soit 4 260 logements sociaux.

Ville B : 3 592× (1 + 7

100) = 3 843, 44, soit 3 843 logements sociaux.

55



Suites

2. En C3 on écrit : « =C2+160 »,

et en D3 : « =D2*1,07 ».

3. 4 100

−3 460 = 640.

Durant la période 2009-2013, 640 logements sociaux seront construits dans la ville A.

Partie B

1. a) (an) est une suite arithmétique de raison 160 car pour passer d’un terme ausuivant on ajoute 160.Son premier terme est a0 = 3 460.

b) Le terme général de la suite (an) est an = 3 460 + 160

×n.

Donc a10 = 3 460 + 160× 10 = 5060.Comme 3 460 × 2 = 6 920, en 10 ans le nombre de logements sociaux de la ville A n’aura donc pas doublé.

2. (bn) est une suite géométrique de raison 1,07 car pour passer d’un terme au suivanton multiplie par 1,07.

Son premier terme est b0 = 2740.

3. Tableau comparatif :

n 8 9

Année 2017 2018

3 460 + 160n 4 740 4 900

2740 × (1, 07)n 4 707,8 5 037,4

À partir de 2018 le nombre de logements sociaux de la ville B dépassera celui de la ville A.

56



SUJET 11


Une petite ville des Pyrénées décide de relancer sa station de ski, en faisant certainsinvestissements et de la publicité. Le directeur fait des prévisions. À l’aide d’un tableur,il construit le tableau suivant, donnant pour chaque saison de ski :

– le prix du forfait « journée » ;

– le nombre de forfaits « journée » vendus ;

– la recette correspondante.

Pendant la saison 2006/2007, il a été vendu 18 540 forfaits « journée » au prix de 16euros l’unité.

Le directeur de la station décide d’augmenter le prix du forfait de 1,20 e par an, jusqu’à la saison 2012/ 2013. Il obtient alors la suite des prix unitaires, en euros, notée(un) en colonne C sur la feuille de calcul proposée ci-dessous. On a donc u1 = 16.

A B C D E

1 Saison Rang Prix duforfait« journée »en euros

Nombre deforfaitsvendus

Recette eneuros

2 2006/2007 1 16 18 540 296 640

3 2007/2008 2 17,2 19 003 326 851,6

4 2008/2009 3

5 2009/2010 4

6 2010/2011 57 2011/2012 6

8 2012/2013 7

9 Total

10

57



Suites

Partie A. Étude de la suite (un) des prix du forfait « journée »


2. Quelle est la formule à saisir en C3 et à recopier vers le bas pour compléter la colonne C ?

3. Si on complétait le tableau jusqu’à la saison 2012/2013, quel serait le nombreobtenu dans la cellule C8 ?

Partie B. Étude de la suite des nombres de forfaits « jour-née » vendus

1. Quel est, en pourcentage, le taux d’évolution du nombre de forfaits vendus entreles saisons 2006/2007 et 2007/2008? (on arrondira à 0,1 % près).

2. Le directeur de la station suppose que chaque saison le taux d’augmentation sera celui trouvé à la question précédente et obtient ainsi en colonne D la suite notée (vn)des nombres de forfaits vendus.

On a donc v1 = 18 540.

a) Quelle est la formule à saisir en D4 et à recopier vers le bas pour compléter la colonne D ?

b) Quel serait alors le nombre obtenu dans la cellule D8 ?

Partie C. Étude de la recette

1. Quelle est la formule à saisir en E2 et à recopier vers le bas dans la plage E3 : E8 ?

2. Quelle formule peut-on saisir en E9 afin de calculer la recette totale des 7 saisons ?

58



Sujet 11

CORRIGÉ


On utilise un tableur pour écrire les premiers termes d’une suite arithmétique et d’unesuite géométrique.

Le calcul de la somme des premiers termes n’est pas demandé, mais il faut indiquer la formule à appliquer pour la connaître.

Partie A. Étude de la suite (un) des prix du forfait « journée »

1. Pour passer d’un terme au suivant on ajoute toujours le même nombre 1,2.

(un) est donc une suite arithmétique de premier terme u0 = 16 et de raison r =1, 2.

2. En C3 on saisit : =C2+1,2.

3. En C8, pour le rang 7 correspondant à 6 augmentations, on lirait : 16+6×1, 2 =23, 2, soit 23,2 e.

Partie B. Étude de la suite des nombres de forfaits « jour-née » vendus

1. 19 003 − 18 540

18540 × 100 = 2, 497 . . . %.

Le nombre de forfaits vendus a augmenté de 2,5 %, au dixième près, entre les saisons

2006/2007 et 2007/2008.

2. a) 1 + 2, 5

100 = 1, 025. C’est la raison de la suite géométrique (vn).

En D4 on saisit alors : =D3*1,025.

b) En D8, on obtient après 6 augmentations le terme v7 :

v7 = 18 540 × 1, 0256 = 21 500, 715 . . .

On vendrait 21 501 forfaits, à l’unité près, durant la saison 2012/2013.

59



Suites

Partie C. Étude de la recette

1. La recette est le produit du prix d’un forfait « journée » par le nombre de forfaitsvendus.

En E2 on saisit donc la formule : =C2*D2.

2. En E9, on saisit : =SOMME(E2 :E8).

6



SUJET 12

SUJET NATIONAL, OPTIONS MERCATIQUE, C FE ET GS I , EXERCICE 4, SEPTEMBRE 2009

Les parties A et B sont indépendantes.

Pour limiter la hausse des températures moyennes de la planète, une diminution desémissions de gaz à eff et de serre s’avère nécessaire. Dans ce but, le gouvernementfrançais s’est donné comme objectif de diviser par quatre les émissions de gaz à eff et

de serre en France de 2006 à 2050.En 2006, les émissions de gaz à eff et de serre en France s’élevaient à 547 millions detonnes d’équivalent CO2 (dioxyde de carbone).

Source : CITEPA.

Partie A. Étude d’un premier modèle

Dans cette partie, on suppose que les émissions de gaz à eff et de serre en Francebaisseront chaque année de 9,3 millions de tonnes à partir de l’année 2006.

Soit n un entier naturel. On note un les émissions de gaz à eff et de serre en France aucours de l’année 2006 + n, en millions de tonnes d’équivalent CO2. Ainsi, u0 = 547.



3. Déterminer, selon ce modèle, à partir de quelle année les émissions de gaz à eff etde serre en France deviendront inférieures à cent millions de tonnes si la tendance sepoursuit au-delà de 2050.

Partie B. Étude d’un second modèle

1. Calculs préliminairesa) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer le taux d’évolution global des émissions de gaz à eff et de serre de 2006 à 2050 si l’objectif fixé par le gouvernement français est atteint.

6



Suites

b) Calculer le taux d’évolution annuel moyen correspondant à cet objectif, sur lesquarante-quatre années de la période 2006-2050. Arrondir le résultat à 0,1 % près.

2. Utilisation d’une suite

Dans cette question, on suppose que le taux d’évolution annuel sera constant et queles émissions de gaz à eff et de serre en France diminueront de 3,1 % par an à partirde l’année 2006.Soit n un entier naturel. On note vn les émissions de gaz à eff et de serre en France aucours de l’année 2006 + n, en millions de tonnes d’équivalent CO2.

Ainsi, v = 547.On admettra que, pour tout entier naturel n, vn = v0 × (0,969)n.Déterminer, selon ce modèle, à partir de quelle année les émissions de gaz à eff et de

serre deviendront inférieures à cent millions de tonnes.

CORRIGÉ


Dans cet exercice, il faut savoir distinguer une suite arithmétique d’une suite géomé-trique et pouvoir écrire les termes généraux correspondants.Dans le cas d’une suite arithmétique, pour connaître à partir de quel rang le termegénéral est inférieur à une valeur donnée, on est amené à résoudre une inéquationDans le cas d’une suite géométrique, comme on ne sait pas résoudre l’inéquationcorrespondante, il faut utiliser un tableau de valeurs.


1. Pour passer d’un terme au suivant on soustrait toujours le même nombre 9,3.La suite (un) est donc arithmétique de premier terme u0 = 547 et de raisonr = −9, 3.

2. Le terme général d’un suite arithmétique est de la forme un = u0 + nr.Donc un = 547

−9, 3n.

62



Sujet 12

3. On résout l’inéquation 547 − 9, 3n < 100. Soit 547 − 100 < 9, 3n

D’où n > 447

9, 3

soit n > 48, 06.En arrondissant à l’unité supérieure on obtient :

2006 + 49 = 2055.

Les émissions de gaz à eff et de serre deviendraient inférieures à cent millions de tonnesà partir de 2055.

Partie B. Étude d’un second modèle

1. a) 547÷

4 = 136, 75 millions de tonnes.

Si l’objectif fixé par le gouvernement français est atteint, en 2050 les émissions de gazà eff et de serre s’élèveront à 136,75 millions de tonnes.136, 75 − 547

547 × 100 = −75 %.

Au centième près, la baisse globale est de 75 % entre 2006 et 2050.

b) On appelle t le taux d’évolution annuel moyen et on résout l’équation :

547(1 − t)2050−2006 = 136, 75 ou 547(1 − t)44 = 136, 75.

Soit 1 − t =

136, 75547

1

44

ou 1 − t ≈ 0, 9690.

D’où t ≈ 1 − 0, 9690 ou t ≈ 0, 0310.Soit une baisse moyenne annuelle de 3,1 %, au dixième près.

2. On passe d’une année à la suivante en multipliant toujours par le même facteur1 − 3, 1

100

, soit 0,969.

(vn) est donc une suite géométrique de premier terme v0 = 547 et de raison

q = 0, 969.Son terme général est donc de la forme vn = v0 × q n soit vn = 547 × (0, 969)n .Par la calculatrice on obtient :

n 53 54

vn 103,07 99,88

63



Suites

Soit n = 2006 + 54 = 2060.

C’est donc à partir de 2060 que la production de gaz à eff et de serre deviendraitinférieure à 100 millions de tonnes.

64



SUJET 13

POLYNÉSIE, OPTION CGRH , EXERCICE 1, SEPTEMBRE 2009

Sophie et Jean Durand veulent acheter une maison.

Leurs économies ne suffisant pas, ils ont besoin d’emprunter 150 000 e.

Afin d’obtenir les meilleures conditions pour leur prêt, ils ont contacté plusieursbanques ; deux d’entre elles attirent particulièrement leur attention.

La banque AA leur propose de rembourser le prêt sur 20 ans, avec des rembourse-

ments mensuels fixes de 1 047 e.La banque BB leur propose également de rembourser le prêt sur 20 ans, mais aux conditions suivantes :

– la première année, chaque remboursement mensuel sera de 1 200 e ;

– les années suivantes, les remboursements mensuels seront à chaque fois en baissede 2 % par rapport aux remboursements mensuels de l’année précédente.

Partie A. Proposition de la banque BB

On note un le montant, en euros, d’un remboursement mensuel au cours de la n-ième année de remboursement. On a donc u1 = 1 200.

1. Calculer u2 puis u3.

2. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

Partie B. Utilisation d’un tableur

Afin de mieux visualiser les propositions des banques AA et BB, Sophie et Jean créentune feuille de calcul à l’aide d’un tableur.On en donne un extrait ci-après.

65



Suites

A B C

1 Année n deremboursement

Montant (en e) duremboursement mensuel lorsde la n-ième année, banque

AA

Montant (en e) duremboursement mensuel unlors de la. n-ième année,banque BB

2 1 1 047 1 200

3 2 1 047

4 3 1 047...

......

...

21 20 1 047

1. Quelle formule, destinée à être recopiée sur la plage C4 : C21 Sophie et Jeanpeuvent-ils écrire dans la cellule C3 ?

2. Calculer la valeur de la cellule C21. On arrondira le résultat à 0,01 près.

Partie C. Comparaison des deux propositions

1. Calculer le montant total des remboursements sur les 20 ans si Sophie et Jeans’engagent avec la banque AA.

2. Calculer le montant total des remboursements sur les 20 ans si Sophie et Jeans’engagent avec la banque BB.

Formulaire

La somme S des N premiers termes d’une suite géométrique (un) de raison b = 1est donnée par :

S = u1 + u2 + . . . + uN = u1 × 1 − bN

1 − b .

66



Sujet 13

CORRIGÉ


Le but de l’exercice est de reconnaître une suite géométrique. Sa raison est le coeffi-

cient multiplicateur correspondant à une perte régulière de t %, soit (1 − t

100). Il

faut savoir écrire la formule permettant son a ffichage sur une feuille de calcul.

La dernière partie, plus originale, demande de calculer la somme de ses n premierstermes à partir de la formule fournie dans l’énoncé. Lors de l’a ffichage sur la calcula-trice, on n’oubliera pas de remplacer la barre de fraction par des parenthèses afin derespecter les priorités.

Partie A. Proposition de la banque BB

1. u2 = 1200 × (1 − 2

100) = 1 176 e

u3 = 1176 × (1 − 2100) = 1 152, 48 e.

2. Pour passer d’un terme au suivant, on multiplie toujours par le même facteur

(1 − 2

100), soit 0,98.

La suite (un) est donc une suite géométrique de premier terme u1 = 1200 et deraison q = 0,98.

Partie B. Utilisation d’un tableur

1. En C3, on écrit : = C2*0,98.

2. En C21, on lit : 817,48 e.

En eff et, la ligne 21 correspond au montant d’un versement mensuel la 20e année,soit après 19 baisses.

Soit 1 200 × 0, 9819 = 817, 48 e, au centième d’euro près.

67



Suites

Partie C. Comparaison des deux propositions

1. Une année comporte 12 mois, soit pour 20 ans :

1047

×12

×20 = 251 280 e.

Le montant total des remboursements est de 251 280 e pour la banque AA.

2. Pour la banque BB, calculons d’abord le montant total des versements pour la première année :

1200 × 12 = 14400 e.On remarque que la suite (vn) des versements annuels, où vn = 12 × un, est aussiune suite géométrique, de premier terme v1 et de raison 0,98.

On applique ensuite la formule donnée dans l’énoncé pour connaître le montant totaldes versements sur 20 ans.

S = 14400 × 1 − 0, 9820

1 − 0, 98 = 239 322, 26 e, au centième d’euro près.

Le montant total des remboursements est de 239 322,26 e pour la banque BB.

Cette banque est donc préférable car moins chère.

68



SUJET 14


Disposant d’un capital de 10 000 euros, un investisseur étudie les off res de deux banques diff érentes. La banque B propose un placement à intérêts composés au taux annuel de 3,5 %. La banque C propose un placement à intérêts composés au taux annuel de 2 % du capital. Les intérêts obtenus sont augmentés d’une prime annuellede 170 euros intégrée au capital. Ainsi, les intérêts et la prime produisent des intérêts

pour l’année suivante.

Partie A. Construction d’une feuille de calcul

Afin de déterminer l’off re la plus intéressante, cet investisseur construit une feuille decalcul dont une copie partielle se trouve ci-dessous. Les cellules de la plage B2 : C12sont au format monétaire.

A B C

1 Rang de l’année Banque B Banque C2 0 10 000,00 e 10 000,00 e

3 1 10 350,00 e 10 370,00 e

4 2

5 3 11 132,35 e

6 4 11 524,99 e

7 5 11 925,49 e

8 6 12 334,00 e

9 7 12 750,68 e

10 8 13 175,70 e

11 9 13 609,21 e

12 10

1. Donner une formule qui, entrée en cellule B3, permet par recopie vers le basd’obtenir le contenu des cellules de la plage B3 : B12.

69



Suites

2. Donner une formule qui, entrée en cellule C3, permet par recopie vers le basd’obtenir le contenu des cellules de la plage C3 : C12.

Partie B. Étude des offres1. On étudie l’off re de la banque B. On note, pour n entier naturel, bn le capital eneuros de l’investisseur au début de l’année n. Ainsi, b0 = 10 000 et b1 = 10 350.

a) Indiquer si la suite (bn) est arithmétique ou géométrique. Préciser la raison decette suite.

b) Exprimer bn en fonction de n.

c) En déduire que, si le capital est placé dans la banque B, alors le capital disponible

au début de l’année 10 sera 14 105,99 e.

2. On étudie l’off re de la banque C. Pour n entier naturel, on note cn le capital, eneuros, de l’investisseur au début de l’année n. Ainsi c0 = 10 000 et c1 = 10 370.

a) Calculer c2.

b) On admet que, pour n entier naturel, on a :

cn+1 = 1, 02cn + 170.Donner le capital disponible au début de l’année 10.

3. L’investisseur décide de placer son capital jusqu’au début de l’année 10.Déterminer, parmi les deux banques B et C, celle qui propose l’off re la plus intéres-sante.

CORRIGÉ

Partie A. Construction d’une feuille de calcul

1. En B3, on écrit : =B2*1,035.

2. En C3, on écrit : =C2*1,02+170.

7



Sujet 14

Partie B. Étude des offres

1. a) La suite (bn) est géométrique car on passe d’un terme au suivant en multipliantpar le même facteur 1,035. C’est la raison de la suite.

b) Le terme général s’écrit :

bn = 10 000 × 1, 035n .

c) On applique la formule précédente pour n = 10 :

b10 = 10000 × 1, 03510

b10 = 14105, 99 e.

Au début de l’année 10, le capital disponible sera de 14 105,99 e.

2. a) c2 = c1 × 1, 02 + 170c2 = 10 370 × 1, 02 + 170

c2 = 10 747, 40 e.

b) c10 = c9 × 1, 02 + 170

c10 = 13609, 21 × 1, 02 + 170

c10 = 14051, 39 e.

Le capital disponible au début de l’année 10 sera de 14 051,39 euros.

3. Comme b10 > c10, l’off re de la banque B est préférable.

7



SUJET 15


Le cuisinier d’une colonie de vacances a confectionné des beignets pour le goûter :

– 30 % des beignets sont à l’ananas, les autres sont aux pommes ;

– 35 % des beignets à l’ananas sont aromatisés à la cannelle, ainsi que 45 % desbeignets aux pommes.

On choisit un beignet au hasard. On admet que chaque beignet a la même probabilitéd’être choisi.


– A : « le beignet choisi est à l’ananas » ;

– C : « le beignet choisi est aromatisé à la cannelle ».

On note A l’événement contraire de A et C l’événement contraire de C.On demande les valeurs exactes des probabilités, qui seront données sous forme déci-

male.1. Donner, à partir des informations de l’énoncé, la probabilité PA(C) de l’événe-ment C sachant que l’événement A est réalisé.

2. Reproduire et compléter sur la copie l’arbre de probabilités suivant.

72



Sujet 15

3. a) Définir par une phrase l’événement A ∩ C .

b) Calculer la probabilité de l’événement A ∩ C .

4. Montrer que la probabilité de l’événement C est égale à 0,42.

5. Les événements A et C sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

6. Calculer la probabilité que le beignet soit à l’ananas, sachant qu’il est aromatisé à la cannelle.

CORRIGÉ


Dans cet exercice on sera amené à utiliser les formules de probabilités conditionnelles,

p(A ∩ B) = p(A) × pA(B) et pA(B) = p(A ∩ B)

p(A) et la formule des probabilités

totales p(A) = p(B ∩ A) + p(B ∩ A).Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si pA(B) = p(B) et pB(A) = p(A).Plus directement, pour le justifier on peut montrer que p(A) × p(B) = p(A ∩ B).

1. pA(C) = 35

100 = 0, 35.

2.

73



Probabilités

3. a) A ∩ C : « le beignet choisi est à l’ananas et aromatisé à la cannelle ».

b) p(A ∩ C) = p(A) × pA(C), donc p(A ∩C) = 0, 3 × 0, 35 = 0, 105.

4. p(C) = p(A ∩ C) + p(A ∩ C), donc p(C) = 0, 105 + 0, 7 × 0, 45 = 0, 42.5. p(A) × p(C) = 0, 3 × 0, 42 = 0, 126.

Comme p(A)× p(C) = p(A ∩ C), les événements A et C sont dépendants.

6. pC(A) = p(A ∩ C)

p(C) , donc pC(A) =

0, 105

0, 42 = 0, 25.

74



SUJET 16


L’élection du président d’une association se fait au scrutin majoritaire à deux tours.Tout au long du scrutin, seuls les votes exprimés sont comptabilisés. Trois candidatsse présentent au premier tour. Le candidat A obtient 40 % des voix. Le candidat Bobtient 33 % des voix. Le candidat C obtient 27 % des voix. On procède alors à unsecond tour entre les candidats A et B. Tous les votants du premier tour votent ausecond tour.

Parmi les adhérents de l’association qui ont voté A au premier tour, 99 % votent A au second tour.Parmi les adhérents de l’association qui ont voté B au premier tour, 100 % votent Bau second tour.Parmi les adhérents de l’association qui ont voté C au premier tour, 20 % votent A au second tour.

Partie A

À l’issue du second tour, on interroge un adhérent de l’association choisi au hasard eton note :

– A 1 l’événement : « cet adhérent a voté A au premier tour » ;

– B1 l’événement : « cet adhérent a voté B au premier tour » ;

– C l’événement : « cet adhérent a voté C au premier tour » ;

– A l’événement : « cet adhérent a voté A au second tour » ;

– B l’événement : « cet adhérent a voté B au second tour ».

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités suivant.

75



Probabilités

Les questions 2., 3. et 4. constituent un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, parmi les quatre réponses proposées, une seule est correcte. Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

2. La probabilité de l’événement C ∩ A est :

0,2.

0,29.

0,054.

0,02.3. La probabilité de l’événement A est :

0,45.

0,4.

0,55.

0,6.

76



Sujet 16

4. Un adhérent de l’association choisi au hasard a voté A au second tour. La probabi-lité que cet adhérent ait voté C au premier tour est :

p(A ∩ C).

pA(C). pC (A).

p(A ∪ C).

Partie B

Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Un candidat est élu à l’issue du second tour de l’élection lorsqu’il obtient strictementplus de la moitié des voix.

1. Quel est le candidat élu à l’issue du second tour de l’élection ?

2. Si les adhérents qui ont voté A au premier tour avaient tous voté A au second tour, A aurait-il été élu ?

CORRIGÉ


L’exercice porte sur les probabilités conditionnelles. Il faudra appliquer la formule des

probabilités conditionnelles p(A∩B) = p(A)× pA(B) (on multiplie les probabilitésfigurant sur deux branches consécutives de l’arbre), et la formule des probabilitéstotales p(A) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B) (B est l’événement contraire de B).

Partie A

1. Sachant que la somme des probabilités des branches partant d’un même nœud estégale à 1, on obtient l’arbre des probabilités conditionnelles suivant :

77



Probabilités

0,4

0,33

0,27

0,99

0,01

0,2

0,8

0

1

A1

B1

C

A

B

A

B

A

B

2. Bonne réponse : 0,054.L’événement C∩A correspond à l’événement : « l’adhérent a voté C au premier touret A au second ».Donc p(C ∩ A) = p(C) × pC(A), soit p(C ∩A) = 0, 27 × 0, 2 = 0, 054.

3. Bonne réponse : 0,45.On applique la formule des probabilités totales p(A) = p(A1 ∩A) + p(C ∩A) + p(B ∩ A).Soit p(A) = 0, 4 × 0, 99 + 0, 054 = 0, 45.

4. Bonne réponse : pA(C).On cherche la probabilité que l’adhérent ait voté C au premier tour, sachant qu’il a voté A au second. Soit pA(C).

Partie B1. p(A) = 0, 45 signifie que 45 % des votes exprimés au second tour sont en faveurde A. 55 % sont donc en faveur de B.B est alors élu.

2. On a alors p(A) = 0, 4 × 1 + 0, 27 × 0, 2 = 0, 454.Les votes en faveur de A au second tour sont à présent de 45,4 %. B aurait malgrétout été élu.

78



SUJET 17


Dans une ville sont joués deux concerts, un du groupe de hip-hop noté H et l’autredu groupe de reggae noté R.

Les billets pour ces concerts sont vendus en totalité par une agence, dans trois billet-teries A, B et C.La billetterie A vend 40 % des billets.

La billetterie B vend 25 % des billets.Les autres billets viennent de la billetterie C.

Les trois quarts des billets vendus par la billetterie A sont pour le concert du groupe H.

La billetterie B a vendu autant de billets pour le concert de H que pour le concertde R.

60 % des billets vendus à la billetterie C sont pour le concert du groupe H.

On tire un numéro de billet au hasard dans le fichier de l’agence et on considère lesévénements suivants :

– A : « le billet a été acheté à la billetterie A » ;

– B : « le billet a été acheté à la billetterie B » ;

– C : « le billet a été acheté à la billetterie C » ;

– H : « le billet est pour le concert du groupe H » ;

– R : « le billet est pour le concert du groupe R ».

1. Déterminer P C (R), probabilité de R sachant C.

2. Reproduire et compléter l’arbre de probabilité suivant.

79



Probabilités

3. Montrer que la probabilité que le billet soit pour le concert du groupe R et qu’ilait été acheté à la billetterie C est égale à 0,14.

4. Déterminer P (R), probabilité de l’événement R.

5. On a choisi un billet du concert du groupe R. Quelle est la probabilité qu’il viennede la billetterie C ? Arrondir le résultat au centième.

CORRIGÉ


Cet exercice de probabilités comporte de nombreuses données. On pourra les présen-ter sur un tableau à double-entrée.On distinguera les notations p(A ∩ B), probabilité de l’intersection des événements

A et B, et pA(B), probabilité de la réalisation de B, sachant la réalisation de A.L’arbre des probabilités conditionnelles permet d’écrire p(A∩B) = p(A)× pA(B),

soit encore pA(B) = p(A ∩ B)

p(A) .

8



Sujet 17

1. On reporte les données sur un tableau à double entrée.

H TotalR

A

B

C

Total

35 x 0,6 = 21

63,5 36,5

14

12,5

10

100

35

25

4040 x = 303

4

= 12,525

2

pC(R) = 14

35 = 0, 4.

Autre méthode : la billeterie C ne propose que deux billets R ou H. Ainsi R et Hétant deux évènements distincts, on a P C(R) = 1 − P C(H) = 1 − 0, 6 = 0, 4.

2.

0,75

0,4

0,35

0,25

C

B

R

H

A

0,25

0,5

R

H

0,5

0,6

R

H

0,4

3. p(R ∩ C) = p(C) × pC(R), soit p(R ∩ C) = 0, 35 × 0, 4 = 0, 14.4. p(R) = p(R ∩ C) + p(R ∩ A) + p(R ∩ B), donc p(R) = 0, 14 + 0, 4 ×0, 25 + 0, 25 × 0, 5 = 0, 365.

5. pR(C) = p(C ∩ R)

p(R) , soit pR(C) =

0, 14

0, 365 = 0, 383 56 · · · , soit pR(C) =

0, 38 au centième près.

8



SUJET 18


Un magasin off re un choix de téléviseurs ayant des écrans de deux types : ouplasma. 30 % des écrans proposés sont de type plasma. 60 % des écrans plasma et50 % des écrans sont soldés. Un téléviseur est choisi au hasard dans le cataloguedu magasin. On admet que tous les téléviseurs ont la même probabilité d’être choisis.On note :

– P l’événement : « l’écran est de type plasma » ;– L l’événement : « l’écran est de type » ;

– S l’événement : « le téléviseur est soldé ».

1. S étant l’événement contraire de l’événement S, traduire par une phrase l’événe-ment S .

2. Compléter l’arbre de probabilités.

3. a) Traduire par une phrase l’événement P ∩ S.

b) Calculer p(P ∩ S) et p(L ∩ S).

82



Sujet 18

4. Montrer que la probabilité qu’un téléviseur choisi au hasard soit soldé est égaleà 0,53.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même

infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.On prélève au hasard un téléviseur parmi ceux qui sont soldés. Quelle est la probabi-lité pour que ce téléviseur ait un écran ? On arrondira le résultat au centième.

6. Les événements L et S sont-ils indépendants ? Justifier.

CORRIGÉ


Sachant que B est l’événement contraire de B et que A ∩ B est l’intersection desévénements A et B alors :

Intersection de A et B

Intersection de A et du complément de B

BA

Univers

p(A) = p(A ∩B) + p(A ∩ B)

83



Probabilités

On en déduit par exemple : pA(B) = p(A ∩ B)

p(A) .

1. S : « le téléviseur n’est pas soldé ».

2. On sait que la somme des probabilités d’un événement et de son contraire est égaleà 1. On en déduit l’arbre des probabilités conditionnelles.

84



Sujet 18

3. a) P ∩ S : « le téléviseur a un écran plasma et est soldé ».

b) En calculant la dernière colonne de l’arbre de la question 2., on obtient :

p(P

∩S ) = 0, 3

×0, 6 = 0, 18 et p(L

∩S ) = 0, 7

×0, 5 = 0, 35.

4. p(S ) = p(P ∩ S ) + p(L ∩ S ), soit p(S ) = 0, 18 + 0, 35 = 0, 53.

La probabilité qu’un téléviseur choisi au hasard soit soldé est égale à 0,53.

5. On utilise la formule des probabilités conditionnelles : pS (L) = p(L ∩ S )

p(S ) .

Donc pS (L) = 0, 35

0, 53 = 0, 66037 . . ., soit pS (L) = 0, 66 au centième près.

6. p(L) × p(S ) = 0, 7 × 0, 53 = 0, 371.Donc p(L ∩ S ) = p(L)× p(S ), les événements L et S sont donc dépendants.

85



SUJET 19


L’Assemblée nationale, élue en 2007, comporte 577 députés. Ils sont répartis en for-mations, constituées de divers groupes politiques : une formation de droite composéede 314 députés dont 46 femmes, une formation de gauche composée de 230 députésdont 64 femmes et une formation du centre composée de 33 députés dont une seulefemme.

Source : Assemblée nationale, données du 1er septembre 2010.

On interroge un député, homme ou femme, au hasard. On admet que chaque députéa la même probabilité d’être choisi. On considère les événements suivants :

– D : « le député appartient à la formation de droite » ;

– G : « le député appartient à la formation de gauche » ;

– C : « le député appartient à la formation du centre » ;

– H : « le député est un homme » ;– F : « le député est une femme ».

La probabilité d’un événement A est notée p(A). La probabilité d’un événement Asachant que B est réalisé est notée pB(A).

Dans cet exercice, on arrondira chaque résultat à 0,001.

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-après.

86



Sujet 19

2. Indiquer la valeur de p(D) puis celle de pD(H ).

3. a) Traduire par une phrase l’événement D ∩ F .

b) Calculer p(D ∩ F ).

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On interroge une femme députée au hasard, quelle est la probabilité qu’elle appar-tienne à la formation de droite ?

5. Les événements D et F sont-ils indépendants ? Justifier.

CORRIGÉ


L’exercice débute par un arbre des probabilités conditionnelles à compléter. On sesouviendra que la somme des probabilités des branches de même origine est égale à 1.Pour des branches consécutives, les probabilités se multiplient, soit

87





Sujet 19

b) p(D ∩ F ) = p(D) × pD(F ),

soit p(D ∩ F ) = 0, 544 × 0, 146 = 0, 079 424,

soit p(D ∩ F ) = 0, 079 au millième près.

4. pF (D) = p(D ∩ F )

p(F ) .

Comme p(F ) = 46 + 64 + 1

577 =

111

577 ou p(F ) = 0, 192 374 au millionnième

près, alors pF (D) = 0, 079 424

0, 192 374, soit pF (D) = 0, 413 au millième près.

5. p(D) × p(F ) = 0, 544 194 × 0, 192 374,soit p(D)

× p(F ) = 0, 105 au millième près.

Comme p(D ∩ F ) = p(D)× p(F ) alors les événements D et F sont dépendants.

89



SUJET 20


Durant le mois de mars 2011, 125 clients ont réservé un voyage dans une agence.Pour chacun de ces clients, un dossier a été constitué.

En consultant ces dossiers, on constate que :

– 50 clients ont choisi un voyage en France ;

– 48 % des clients ayant choisi un voyage en France ont souscrit une assurance an-nulation ;

– 56 % des clients ayant choisi un voyage à l’étranger ont souscrit une assuranceannulation.

On choisit un dossier de ces clients au hasard. On suppose que chaque dossier a la même probabilité d’être choisi.


– F : « le dossier est celui d’un client ayant choisi un voyage en France » ;

– E : « le dossier est celui d’un client ayant choisi un voyage à l’étranger » ;

– A : « le dossier est celui d’un client ayant souscrit une assurance annulation ».

Les probabilités demandées seront données sous forme décimale.

1. Montrer que la probabilité P (F ) de l’événement F est égale à 0,4.

2. Reproduire et compléter sur la copie l’arbre de probabilités représenté ci-après.

9



Sujet 20

3. Calculer la probabilité de l’événement F ∩ A.

4. Montrer que la probabilité de l’événement A est égale à 0,528.

5. Calculer la probabilité, sachant A, de l’événement F . On la notera P A(F ).

6. Les événements F et A sont-ils indépendants ? Justifier.

CORRIGÉ


L’exercice débute par un arbre de probabilités conditionnelles à compléter. On serappellera que P (A) + P (A) = 1, A étant l’événement contraire de A. Soit encoreP (A) = 1 − P (A).La formule des probabilités conditionnelles peut s’écrire :

P (A ∩ B) = P (A) × P A(B) ou P A(B) = P (A ∩ B)

P (A) .

P A(B) désigne la probabilité de la réalisation de B sachant la réalisation de A.Les événements A et B sont indépendants lorsque P A(B) = P (B) et

9





SUJET 21

POLYNÉSIE, OPTION CGRH , EXERCICE 2, JUIN 2010

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Aucune justification, n’est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point ; une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Pour les questions 1. et 2., on considère le tableau ci-dessous qui donne les résultatsau baccalauréat des 160 élèves des classes terminales d’un lycée suivant la série.

Terminale S Terminale ES Terminale STG Total

Admis 63 28 56 147

Refusés 7 4 2 13

Total 70 32 58 160

Les résultats de chaque élève sont reportés dans son dossier scolaire. Après la publica-tion des résultats, on choisit au hasard le dossier d’un élève de classe terminale de celycée. Tous les dossiers ont la même probabilité d’être choisis. On note :

– A l’événement : « le dossier choisi est celui d’un élève admis » ;

– S l’événement : « le dossier choisi est celui d’un élève de Terminale S » ;

– G l’événement : « le dossier choisi est celui d’un élève de Terminale STG ».

1. La valeur arrondie au centième de la probabilité de l’événement A ∩ S est : 0,39. 0,43. 0,9. 0,92.

2. La valeur arrondie au centième de la probabilité que le dossier choisi soit celui d’unélève admis sachant qu’il s’agit du dossier d’un élève de Terminale STG est : 0,35. 0,38. 0,97. 0,36.

93



Probabilités

Pour les questions 3. et 4., répondre à l’aide du graphique ci-dessous : C est la courbereprésentative d’une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 9]. La droite D est la tan-gente à la courbe C au point A(2 ; 3) et elle passe par le point de coordonnées (0 ; 2).

1O

1

2

3

4

5

6

7

y

2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

j

i

A

C

D

3. Le nombre dérivé de la fonction f en 2 est :

3. 2.

1,5. 0,5.

4. Le nombre de solutions de l’équation f (x) = 3 sur l’intervalle [0 ; 9] est :

0. 1.

2. 3.

5. Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x par f (x) = x3 − 5x + 4.La fonction dérivée f ′ de la fonction f est définie par : f ′(x) = 3x2 − 1. f ′(x) = 3x2 − 5.

f ′(x) = 3x − 5. f ′(x) = 2x

−5.

94



Sujet 21

CORRIGÉ


Dans ce QCM on distinguera les notations P (A∩S ) (probabilité que les événementsA et S soient réalisés en même temps) et P G(A) (probabilité que l’événement A soitréalisé, sachant que l’événement G l’est déjà).On se souviendra que la pente de la tangente en un point d’une courbe est égale au

nombre dérivé pour l’abscisse de ce point.Le nombre dérivé peut ainsi se lire sur le tracé de la tangente.On se rappellera que : (x3)′ = 3x2 et (ax + b)′ = a.

1. Bonne réponse : 0,39.La probabilité que les événements A et S soient réalisés en même temps est donnéepar :

P (A ∩ S ) = 63

160 = 0, 393 . . .

Soit P (A ∩ S ) = 0, 39 à 10−2 près.

2. Bonne réponse : 0,97.Comme il y a seulement 58 élèves en STG :

P G(A) = 56

58 = 0, 965 . . .

Soit P G(A) = 0, 97 à 10−2 près.


Le nombre dérivé a de la fonction f au point d’abscisse 2 est donné par la pente dela tangente D.Sur cette droite, pour aller du point A(2 ; 3) au point (4 ; 4) il faut se déplacer de2 unités vers la droite et d’une unité vers le haut.

Donc a = 1

2 = 0, 5.

4. Bonne réponse : 2.La droite horizontale d’équation y = 3 coupe la courbe

Cen deux points.

95



Probabilités

L’équation f (x) = 3 a donc deux solutions sur l’intervalle [0; 9], ensemble dedéfinition de la fonction f .

5. Bonne réponse : f ′(x) = 3x2

−5.

On a f (x) = x3 + (−5x + 4). Comme la dérivée d’une somme est la somme desdérivées alors :

f ′(x) = 3x2 + (−5) = 3x2 − 5.

96



SUJET 22

POLYNÉSIE, OPTIONS MERCATIQUE, C FE ET GS I , EXERCICE 2, JUIN 2010

Un sondage a été eff ectué auprès des clients du rayon multimédia d’un grand magasinsur l’utilisation de leur téléphone portable.Toutes les personnes interrogées possédaient un téléphone portable avec la fonctionprise de photos.Lors de l’analyse des réponses, on constate que :

– 45 % des personnes interrogées ont moins de 24 ans, les autres ont 25 ans ou plus ;– 80 % des moins de 24 ans ont déjà pris des photos avec leur téléphone portable ;

– 60% des 25 ans et plus n’ont jamais pris de photo avec leur téléphone portable.

À la sortie du rayon multimédia de ce grand magasin, on interroge au hasard un clienten possession d’un téléphone portable avec la fonction prise de photos.On considère les événements suivants :

– J : « la personne interrogée a moins de 24 ans » ;

– A : « la personne interrogée a 25 ans et plus » ;– F : « la personne interrogée a déjà pris des photos avec son téléphone portable » ;

– F : « la personne interrogée n’a jamais pris de photo avec son téléphone portable » .

1. Déterminer :

a) P (J ) la probabilité de l’événement J .

b) P (A) la probabilité de l’événement A.

c) P J (F ) la probabilité, sachant J , de l’événement F .

2. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de 24 ans et ait déjà pris des photos avec son téléphone portable.

3. Montrer que la probabilité de l’événement F est 0,58.

4. Sachant que la personne interrogée a déjà pris des photos avec son téléphone por-table, calculer la probabilité qu’elle ait moins de 24 ans et donner le résultat à 10−2

près.

97



Probabilités

CORRIGÉ


Dans cet exercice de probabilités, les eff ectifs sont donnés sous forme de pourcentages.On suppose alors que l’eff ectif total est 100.On peut s’aider d’un tableau à double entrée sur lequel on lira les eff ectifs permettantde calculer les probabilités demandées.

La dernière question utilise la formule des probabilités conditionnelles :« La probabilité de l’événement J , sachant que l’événement F est déjà réalisé se note

P F (J ) = P (J ∩ F )

p(F ) . »

1. a) P (J ) = 45

100 = 0, 45.

b) P (A) = 100 − 45

100

= 55

100

= 0, 55.

c) P J (F ) = 80

100 = 0, 80.

2. Tableau récapitulatif :

J A Total

F 45 × 0, 8 = 36 22 58

F 9 55 × 0, 6 = 33 42

Total 45 55 100

P (J ∩ F ) = 45 × 80

100 = 0, 36.

3. P (F ) = P (F ∩ J ) + P (F ∩ A), soit :

P (J ) = 0, 36 + 55 × (1 − 0, 6)

100 = 0, 58.

98



Sujet 22

4. On calcule la probabilité, sachant F , de l’événement J .

P F (J ) = P (J ∩ F )

p(F ) =

0, 36

0, 58 = 0, 620 689 . . .

Donc P F (J ) = 0, 62 à 10−

2 près.

99



SUJET 23


Sur un site Internet, on trouve les données suivantes qui concernent le Tour de France.

Année 2006 2007 2008

Nombre de participants 176 189 180

Nombre d’« épinglés » 45 38 26

Source : cyclisme-dopage.com.

Partie A. Traitement des données sur tableur

On reporte ces données dans une feuille de calcul, afin de les compléter :

A B C D E

1 Année 2006 2007 2008 Total

2 Nombre de participants 176 189 180 545

3 Nombre d’« épinglés » 45 38 26 109

4 Nombre de « non épinglés » 436

5 Taux d’« épinglés » 25,6 %

La plage de cellule B5 : E5 est au format pourcentage à une décimale.

1. Donner une formule qui, entrée en cellule B4, permet par recopie vers la droited’obtenir le contenu des cellules de la plage B4 : D4.

2. Donner une formule qui, entrée en cellule E2, a permis par recopie vers le basd’obtenir le contenu des cellules de la plage E2 : E4.

3. Donner une formule qui, entrée en cellule B5, permet par recopie vers la droited’obtenir le contenu des cellules de la plage B5 : E5.



Sujet 23

4. Calculer la valeur a ffichée dans la cellule C5.

Partie B. Probabilités

Pour chacune des années 2006, 2007 et 2008, on dispose pour chaque participantd’une fiche sur laquelle figurent l’année, le nom du participant, et la mention « épin-glé » ou bien « non-épinglé ». Ainsi un même participant peut figurer sur plusieursfiches s’il a participé au tour de France plusieurs fois parmi les années 2006, 2007 ou2008.

Toutes les fiches sont mélangées, et on en choisit une au hasard.


– D : « la fiche est une fiche du Tour de France de l’année 2008 » ;

– E : « la fiche porte la mention "épinglé" ».

Les probabilités demandées seront arrondies au centième.

1. a) Calculer la probabilité de l’événement D.

b) Calculer la probabilité de l’événement D ∩ E .

c) Calculer la probabilité, sachant D, de l’événement E .

2. Calculer la probabilité de l’événement E .3. Calculer la probabilité, sachant que la fiche choisie porte la mention « épinglé »,que ce soit une fiche de l’année 2008.

CORRIGÉ


Dans la première partie de l’exercice, on demande comment a fficher les formules surun tableur pour compléter un tableau à double entrée.

Dans la seconde partie, les valeurs du tableau servent à un calcul de probabilités.



Probabilités

L’événement D∩E correspond à la réalisation en même temps des événements D etE .

P D(E ) désigne la probabilité de l’événement E , sachant que l’événement D est déjà réalisé.

Partie A. Traitement des données sur tableur

1. En B4, on écrit : =B2−B3.

2. En E2, on écrit : =SOMME(B2 :D2).

3. En B5, on écrit : =B3/B2*100 en format standard et seulement =B3/B2 en formatpourcentage.

4. 38 × 100189

= 20, 105 . . .

En C5, on lit donc 20,1 %.

Partie B. Probabilités

1. a) P (D) = 180

545 = 0, 330 . . ., soit P (D) = 0, 33 au centième près.

b) Les événements D et E doivent être réalisés en même temps.

P (D ∩ E ) = 26545

= 0, 047 . . ., soit P (D ∩ E ) = 0, 05 au centième près.

c) P D(E ) = 26

180 = 0, 144 . . ., soit P D(E ) = 0, 14 au centième près.

2. P (E ) = 109

545 = 0, 2.

3. P E (D) = 26

109 = 0, 238 . . ., soit P E (D) = 0, 24 au centième près.

2



SUJET 24


Les dirigeants d’un club de sport désirent off rir à chacun des 250 licenciés un survê-tement. En outre, ils souhaitent renouveler 144 maillots de match. Ils se sont adressésà deux magasins d’équipements sportifs qui proposent les conditions suivantes :

– le magasin Sportco propose des lots à 990 e l’unité comprenant chacun 30 survê-tements et 15 maillots ;

– le magasin Tousport propose des lots à 895 e l’unité comprenant chacun 25 sur-vêtements et 18 maillots.

On note x le nombre de lots achetés chez Sportco et y le nombre de lots achetés chezTousport par le club. Les nombres x et y sont des nombres entiers.

1. a) Montrer que les nombres entiers x et y de lots achetés doivent vérifier 30x +25y 250 et 15x + 18y 144 afin que le club puisse équiper ses licenciés etrenouveler les maillots du match.

b) En déduire que les nombres entiers x et y doivent vérifier le système (S) :

(S)

x 0

y 0

y −6

5x + 10

y −5

6x + 8

2. Sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie, on a tracé les droite

Det

D′

d’équations respectives : y = − 65

x + 10 et y = − 56

x + 8.

Résoudre graphiquement le système (S) en hachurant les zones du plan qui neconviennent pas. Aucune justification n’est demandée.

3. a) Justifier que l’achat de 5 lots chez Sportco et de 4 lots chez Tousport permet desatisfaire les besoins du club.

3



Programmation linéaire

b) Montrer qu’il en est de même avec 6 lots chez Sportco et 3 lots chez Tousport.

4. Pour déterminer le couple (x ; y) qui donnera une dépense minimale, les di-rigeants utilisent la feuille de calcul donnée en annexe. Par exemple, la cellule G5

donne la dépense occasionnée par l’achat de 5 lots Sportco et 3 lots Tousport.Pour remplir la feuille de calcul, les dirigeants ont rentré une formule dans la cel-lule B2 et ont eff ectué un « copier-glisser » vers le bas et puis vers la droite.

a) L’une des trois formules suivantes a été rentrée dans la cellule B2. Indiquer laquelle.=B1*990+A2*895=B$1*990+$A2*895=$B$1*990+$A$2*895

b) Barrer, sur la feuille de calcul de l’annexe, toutes les cellules qui ne correspondentpas à des solutions du système (S).

c) Déterminer la dépense minimale et le couple (x ; y) correspondant.

Annexe

4



Sujet 24

CORRIGÉ


Les deux premières questions de cet exercice de programmation linéaire permettentde résoudre graphiquement un système d’inéquations du premier degré à deux incon-nues. Les points M(x ; y) tels que y ax + b sont placés sur la droite d’équationy = ax + b, ou en dessous. Pour y ax + b les points sont placés sur la droite ouau-dessus.

Les deux dernières questions utilisent la zone solution obtenue. Pour savoir si uncouple vérifie les contraintes on contrôle sur le dessin.

À l’aide de la feuille de calcul jointe on peut connaître le coût minimal.

5




1. a) Tableau des contraintes :

Sportco Tousport Minimum

Nombre de survêtements 30 25 250

Nombre de maillots 15 18 144

Prix 990 e 895 e

La première ligne équivaut à : 30x + 25y 250.La seconde ligne équivaut à : 15x + 18y 144.

b) La première inéquation équivaut à : 25y 250 − 30x,

soit y 250

25 −

30

25

x ou encore y

−

6

5

x + 10.

La seconde inéquation équivaut à : 18y 144 − 15x,

soit y 144

18 − 15

18x ou encore y −5

6x + 8.

Comme x et y sont deux entiers naturels on obtient le système (S).

2. L’ensemble des points M(x ; y) tels que x 0 correspond au demi-plan fermésitué à droite de l’axe des ordonnées.

y 0 correspond au demi-plan fermé situé au-dessus de l’axe des abscisses.

y −65

x + 10 correspond au demi-plan fermé situé au-dessus de la droite d’équa-

tion y = −6

5x + 10.

y −5

6x+8 correspond au demi-plan fermé situé au-dessus de la droite d’équation

y = −5

6x + 8.

Le système (S) est l’intersection de ces quatre demi-plans.

6



Sujet 24

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

11

S

(5 ; 4)

(6 ; 3)

D

D '

10

2 4 6 81 3 5 7 9 100

-1

x

y

3. a) L’achat de 5 lots chez Sportco et 4 lots chez Tousport satisfait les besoins duclub car le le point (5 ; 4) appartient à la zone solution.

b) L’achat de 6 lots chez Sportco et 3 lots chez Tousport satisfait également au besoindu club car le point (6 ; 3) appartient à la zone solution.

4. a) Il faut bloquer la ligne 1 et la colonne A. On écrit alors en B2 :« =B$1*990+$A2*895 ».

b) On utilise la représentation graphique. Pour les points d’abscisse 0, la plus petiteordonnée possible est 10. Pour les points d’abscisse s1, la plus petite ordonnée possibleest 9, etc.

7




c) Sur le tableau on lit une dépense minimale de 8 530 e.

On l’obtient en achetant 5 lots dans le magasin Sportco et 4 lots dans le magasinTousport.

8



SUJET 25

INDE, OPTIONS MERCATIQUE, C FE ET GS I , EXERCICE 3, AVRIL 2010

Partie A

Sur la figure ci-dessous, on a tracé, dans un repère, trois droites dont les équationssont : x + y = 7, x + 2y = 12 et 3x + 2y = 20.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x

y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

( D2)

( D3)

( D1)

1. Parmi les équations données ci-dessus, laquelle est une équation de la droite (D1) ?Laquelle est une équation de la droite (D2) ?

2. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection des droites (D1)et (D2).

3. Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas,l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient le systèmesuivant.

9




(S )

x 0

y 0

x + 2y 123x + 2y 20

x + y 7

Partie B

Un entrepreneur doit eff ectuer des travaux de peinture et d’électricité sur un chantier.

Les travaux de peinture nécessitent par jour et par peintre 50 e de matériel et 150 e

de main d’œuvre.Les travaux d’électricité nécessitent par jour et par électricien 100 e de matériel et100 e de main d’œuvre.

D’autre part, chaque ouvrier doit disposer d’une camionnette et l’entrepreneur enpossède 7.

L’entrepreneur dispose par jour d’un budget de 600 e pour le matériel et de 1 000 e

pour la main d’œuvre.

On note x le nombre de peintres embauchés par jour et y le nombre d’électriciens

embauchés par jour.

1. Montrer que les contraintes de cet entrepreneur se traduisent par le système d’in-équations (S ) de la partie A, où x et y sont des entiers naturels.

2. L’entrepreneur peut-il faire travailler 1 peintre et 6 électriciens le même jour ?

3. L’entrepreneur réalise par jour un bénéfice de 30 e sur le travail de chaque peintreet de 40 e sur celui de chaque électricien. On note B le bénéfice total que l’entrepre-

neur réalise par jour.a) Exprimer B en fonction de x et y.

b) Déterminer une équation de la droite (∆) correspondant à un bénéfice de 120 e

et tracer cette droite dans le repère précédent.

c) Déterminer graphiquement le nombre de peintres et d’électriciens que cet entre-preneur doit faire travailler chaque jour pour réaliser un bénéfice maximum. Calculerce bénéfice maximal.



Sujet 25

CORRIGÉ


Dans la partie A, on résout un système d’inéquations du premier degré à deux incon-nues. Les droites frontières des demi-plans sont tracées. Il faut attribuer à chacunel’une des équations données, en testant avec les coordonnées de deux de ses points.

Pour connaître les demi-plans solutions, on cherche pour chaque inéquation si l’ori-gine (0 ; 0) convient.La partie B est un problème de programmation linéaire. La réalisation des contraintesconduit à résoudre un système d’inéquations équivalent à celui de la partie A.

Pour connaître le bénéfice maximal satisfaisant aux contraintes, on trace la droite cor-respondant à un bénéfice particulier, puis la parallèle ayant la plus grande ordonnée à l’origine possible. Le meilleur couple solution se lit sur le dessin.

Partie A

1. La droite (D1) coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 10) et passe par le point (4 ;4). Comme 3 × 0 + 2 × 10 = 0 + 20 = 20 et 3 × 4 + 2 × 4 = 12 + 8 = 20, la droite (D1) a pour équation 3x + 2y = 20.

La droite (D2) coupe l’axe des abscisses au point (7 ; 0) et l’axe des ordonnées aupoint (0; 7). Comme 7 + 0 = 7 et 0 + 7 = 7, la droite (D2) a pour équationx + y = 7.

2. On résout le système 3x + 2y = 20

x + y = 7

Soit

3x + 2(7 − x) = 20

y = 7 − x

Alors

3x + 14 − 2x = 20

y = 7 − xou encore

x = 20 − 14 = 6

y = 7 − 6 = 1

Les droites (D1) et (D2) ont donc pour intersection le point (6 ; 1).




3. Comme 0 + 2 × 0 12, 3 × 0 + 2 × 0 20 et 0 + 0 7, les demi-planssolutions, limités par les droites (D1), (D2) et (D3), contiennent l’origine du repère.Les inégalités étant au sens large, les droites frontières conviennent.

La solution du système est donc le pentagone fermé limité par les droites (D1), (D

2),

(D3) et les deux axes.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x

y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

( D2)

( D3)

( D1)

(∆max)(∆)

Partie B

1. Tableau des contraintes :

Peintre Électricien Maximum

Matériel 50 e 100 e 600 e

Main d’œuvre 150 e 100 e 1 000 e

Camionnettes 1 1 7On en déduit le système d’inéquations correspondant aux contraintes :

x 0

y 0

50x + 100y 600

150x + 100y 1000

x + y 7

2



Sujet 25

En divisant par 50 les deux membres de la 3e et de la 4e inéquations, on retrouve lesystème de la partie A.

2. Comme le point (1 ; 6) n’appartient pas à la zone solution (S ), le peintre ne peut

pas faire travailler 1 peintre et 6 électriciens le même jour.3. a) B = 30x + 40y.

b) Pour un bénéfice de 120 e, on obtient 30x + 40y = 120.

Soit 40y = 120 − 30x ou y = 120

40 − 30

40x.

Donc (∆) a pour équation réduite y = 3 − 0, 75x.

Tableau de valeurs :

x 0 4

y 3 0

Voir le graphique précédent.

c) La famille de droites d’équation B = 30x + 40y, soit sous forme réduite y =B

40 − 0, 75x a le même coefficient directeur 0,75. Les droites sont donc parallèles à

la droite (∆).

Le bénéfice B est maximal lorsque la droite coupe la zone solution avec la plus grandeordonnée à l’origine

B

40 possible.

Cette droite passe par le point (2 ; 5), intersection des droites (D2) et (D3).

Vérification :

2 + 5 = 7

2 + 2 × 5 = 2 + 10 = 12

Il faut donc employer 2 peintres et 5 électriciens pour obtenir un bénéfice maximal.

30

×2 + 40

×5 = 60 + 200 = 260

Le bénéfice journalier maximal est de 260 e.

3





Sujet 26

2. Sur une feuille de papier millimétré, représenter dans un repère orthonormald’unité 1 cm, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l’ensemble despoints dont les coordonnées vérifient le système précédent.

3. a) Exprimer en fonction de x et y le nombre N de malades qui pourront êtretraités par les équipes de secours.

b) Tracer sur le graphique la droite (D) correspondant à 4 000 malades traités.

4. a) Expliquer comment déterminer x et y pour que N soit maximum.

b) Déterminer par lecture graphique les valeurs de x et y qui correspondent à cemaximum.

5. Conclure en donnant le nombre d’unités de chaque type qu’il faut mobiliser et lenombre maximal de malades qui peuvent être traités.

CORRIGÉ


Type A Type B Maximum

Masse de matériel en kg 1 000 500 8 000

Nombre de médecins 3 1 22

Nombre de malades traités 900 400

On en déduit le système d’inéquations des contraintes :

x 0

y 0

1000x + 500y 8000

3x + y 22

5




qui s’écrit aussi :

x 0

y 0y −1000

500 x +

8000

500

y −3x + 22

ou encore :

x 0

y 0

y −2x + 16

y −3x + 22

2. Tableaux de valeurs des droites frontières.(d) d’équation y = −3x + 22 :

x 0 7

−3x + 22 22 1

(d′) d’équation y = −2x + 16 :

x 0 8

−2x + 16 16 0

Les deux demi-plans solutions des deux dernières inéquations contiennent l’originedu repère car le couple (0 ; 0) est solution de ces inéquations.

6



Sujet 26

D’où le graphique :

0

0

4

8

12

16

20

2

6

10

14

18

22

1 2 3 4 5 6 7 8

Unités de type B

Unités de type A

(d )

(d' )

Zone

solution

N = 4 000

N max

La zone solution du système est donc la portion de plan limitée par les deux axes etles deux droites (d) et (d′). Elle contient les bords.

3. a) Le nombre de malades pouvant être traités est donné par la formule :

N = 900x + 400y.

b) On trace sur le graphique précédent la droite d’équation :

4000 = 900x + 400y soit y = −900

400x +

4 000

400 ,

ou encore y = −2, 25x + 10.Tableau de valeurs :

x 0 4

−2, 25x + 10 10 1

4. a) On trace la parallèle à la droite (D), correspondant à N = 4 000, qui coupe la zone solution en interceptant l’axe des ordonnées le plus haut possible.On constate graphiquement que N est maximum lorsque la parallèle passe par lepoint d’intersection des droites (d) et (d′).

7





SUJET 27

POLYNÉSIE, OPTIONS MERCATIQUE, C FE ET GS I , EXERCICE 1, SEPTEMBRE 2008

Cet exercice est un test vrai/ faux.

Pour chacune des quatre propositions, relever le numéro de la proposition et dire si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse juste rapporte 1,5 point ; une réponse fausse enlève 0,5 point ; l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée

à l’exercice est ramenée à 0.Un groupe d’élèves décide de faire des gâteaux et de les vendre pour récolter de l’argentpour un voyage scolaire.Ils pensent confectionner des gâteaux au yaourt et des gâteaux au chocolat, et lesvendre respectivement 6 e et 8 e pièce. Ils disposent en quantités nécessaires desyaourts, du chocolat, du beurre, de la levure et de l’huile, mais n’ont que 4,8 kg defarine, 5,4 kg de sucre et 150 œufs.

La préparation d’un gâteau au yaourt nécessite 240 g de farine, 240 g de sucre et

3 œufs.La préparation d’un gâteau au chocolat nécessite 80 g de farine, 150 g de sucre et6 œufs.

Les élèves notent x le nombre de gâteaux au yaourt fabriqués, et y le nombre degâteaux au chocolat fabriqués. Ils supposent que tous les gâteaux fabriqués serontvendus. Ils souhaitent gagner le plus d’argent possible.

Ils réalisent un graphique permettant de traiter ce problème. Ce graphique est donnéci-après.

9




O 1 5 15 2010

1

5

10

15

20

25A

D

C

B

y

x

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives (0; 25), (10; 20),120

7 ;

60

7

et (20 ; 0).

Les couples d’entiers (x ; y) respectant les contraintes sont les coordonnées des pointsà coordonnées entières situés à l’intérieur du pentagone OABCD ou sur ses côtés.

La droite d’équation 6x + 8y = 160 est tracée en pointillés. Elle correspond aux casoù la recette est de 160 e.

Proposition 1. La contrainte liée à la quantité de farine disponible peut se traduirepar : 3x + y 60.

Proposition 2. La droite (BC) est associée à la contrainte liée au nombre d’œufs.

Proposition 3. En fabriquant 19 gâteaux au yaourt et 4 gâteaux au chocolat, toutesles contraintes sont respectées.

2



Sujet 27

Proposition 4. En respectant toutes les contraintes, le maximum d’argent gagnélors de la vente sera de 220 e.

CORRIGÉ

On peut traduire les données par un tableau des contraintes.

Gâteau au yaourt

Gâteau auchocolat

Quantitémaximale

Farine 240 g 80 g 4 800 g

Sucre 240 g 150 g 5 400 g

Œufs 3 6 150

Prix de vente 6 e 8 e

Proposition 1. Vraie.240x + 80y 4800.

En divisant les deux membres par 80, on obtient l’inégalité équivalente :

3x + y 60.

Proposition 2. Fausse.Le nombre d’œufs doit vérifier : 3x + 6y 150.

La droite associée est la droite d d’équation 3x + 6y = 150.

Vérifions si les points B et C appartiennent à cette droite.En remplaçant x et y par les coordonnées de B(10 ; 20), on obtient : 3

×10+6

×20 =

150. Le point B appartient bien à la droite d.

En remplaçant x et y par les coordonnées de C

120

7 ;

60

7

, on obtient : 3× 120

7 +

6 × 60

7 =

720

7 ≈ 103.

2




Comme 103 = 150, le point C n’appartient pas à la droite d.

La droite (BC) n’est pas la droite frontière du demi-plan défini par l’inéquation.

Proposition 3. Fausse.

Le point (19 ; 4) n’appartient pas à la zone solution (voir graphique ci-dessous).

Proposition 4. Vraie.La droite de bénéfice maximal ∆ est la parallèle à la droite d’équation 6x + 8y = 60et qui coupe la zone solution le plus haut possible. Elle passe par le point B(10 ; 20).La recette est alors : 6 × 10 + 8 × 20 = 220.

O 1 5 15 2010

1

5

10

15

20

25A

D

C

B

y

x

d

∆

S

22



SUJET 28


M. François va ouvrir un marché « puces et brocante » sur son terrain. Il y a déli-mité 120 emplacements. L’installation des exposants commencera à 6 h, le dernierexposant devra avoir fini de s’installer à 8 h.

Il prévoit que chaque exposant arrivant :

– avec une voiture, paiera 10 euros de redevance et disposera de deux emplacements

pour installer son stand ;– avec un fourgon, paiera 16 euros de redevance et disposera de trois emplacements.

Il faut en moyenne 1 min à une voiture pour se garer et 4 min à un fourgon.

Pour des raisons de sécurité, chaque exposant ne peut commencer à se garer quelorsque le précédent a fini de se garer.M. François souhaite déterminer le nombre de voitures et le nombre de fourgonsnécessaires pour que sa recette soit maximale.

Partie AOn note x le nombre de voitures et y le nombre de fourgons.

1. Écrire un système d’inéquations correspondant aux contraintes du problème.

2. En utilisant une feuille de papier millimétré, déterminer graphiquement l’en-semble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le système (S) suivantavec comme unité graphique : 1 cm pour 5 unités sur les deux axes. On hachurera la partie du plan qui ne convient pas.

23




(S)

x 0

y 0

y −2

3 x + 40

y −1

4x + 30

3. Après avoir justifié le lien entre les questions 1. et 2., préciser si M. François peutaccueillir :

a) 50 voitures et 20 fourgons ?

b) 30 voitures et 15 fourgons ?

c) 24 voitures et 24 fourgons ?

Partie B

On note R la recette de la journée.

1. Exprimer R en fonction de x et y.

2. Montrer que la droite D d’équation y =

−

5

8

x + 10 correspond à une recette de

160 euros.

3. a) Représenter la droite D dans le repère précédent.

b) Trouver le couple d’entiers (x ; y) qui permet d’obtenir la recette maximale.

c) Calculer alors cette recette maximale et répondre au problème posé.

24



Sujet 28

CORRIGÉ

Partie A


Voiture Fourgon Maximum

Nombre d’emplacements 2 3 120

Temps pour se garer 1 min 4 min 2 h ou 120 minPrix 10 e 16 e

On traduit ces contraintes par le système d’inéquations :

x 0

y 0

2x + 3y 120

x + 4y 120

2. On trace d’abord les droites frontières des demi-plans :

D1 : y = −2

3x + 40

x 0 60

−

2

3x + 40 40 0

D2 : y = −14

x + 30

x 0 60

−

1

4x + 30 30 15

Comme les deux demi-plans formés par ces deux droites contiennent l’origine O(0 ;0), la zone solution S est le quadrilatère formé par ces deux droites et les deux axes(bords compris).

25





Sujet 28

Partie B

1. On a R = 10x + 16y.

2. L’équation y = −5

8 x + 10 équivaut à 8y

8 = −5x

8 + 80

8 .Soit 5x + 8y = 80 ou 10x + 16y = 160 (en multipliant par 2 les deux membresde l’équation).Donc la droite D correspond à une recette de 160 euros.

3. a) Voir la représentation graphique précédente.Tableau de valeurs :

x 0 16

−58 x + 10 10 0

b) Comme R = 10x + 16y alors 16y = R − 10x,

soit y = −10

16x +

R

16.

D’où y = −5

8x +

R

16.

On obtient une famille de droites parallèles à la droite D, car elles ont le même

coefficient directeur −5

8 .Parmi celles-ci on détermine graphiquement laquelle coupe la zone solution S en

ayant l’ordonnée à l’origine R

16 la plus grande. Elle a le point d’intersection avec l’axe

des ordonnées le plus haut.On observe qu’elle passe par le point d’intersection des droites D1 et D2.Les coordonnées de ce point d’intersection vérifient le système :

2x + 3y = 120

x + 4y = 120

En multipliant par 2 les deux membres de la seconde équation, on obtient le systèmeéquivalent :2x + 3y = 120

2x + 8y = 240

En soustrayant membre à membre, on a :

27




−5y = −120

x = 120 − 4y

Soit :

y = −120

−5 = 24

x = 120 − 4 × 24 = 24

Il faut donc 24 voitures et 24 fourgons pour une recette maximale.

c) On a :

Rmax = 10 × 24 + 16 × 24 = 624 e.La recette maximale est de 624 euros, pour 24 voitures et 24 fourgons.

28



SUJET 29




Une réponse juste rapporte 1 point ; une réponse fausse enlève 0,25 point et l’absence de

réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l’exercice est ramenée à 0.

Le tableau ci-dessous retrace, sur une douzaine d’années, l’évolution de la consommationmoyenne de pain, en kilogramme par personne et par an, en France.

Rang i 1 2 3 4 5 6 7

Année xi 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

Consommation de pain en

kg par personne y i

58,7 58,2 57,6 53,6 53,6 53,7 51,7

Source : Insee.

Le nuage de points est l’ensemble des points Mi de coordonnées (xi ; yi) pour ivariant de 1 à 7.

1. Le point moyen G a pour coordonnées :

(2002 ; 53,6).

(2002; 56). (2002 ; 55,3).

2. La droite (M3M5) a pour équation :

y = x + 2057,6.

y = −x + 2057,6.

y = −x + 2055.

29



Moindres carrés

3. La droite d’ajustement a ffine de y en x obtenue par la méthode des moindrescarrés, avec les coefficients arrondis au dixième, est :

y = −0, 6x + 1272.

y = 0, 6x + 1270, 8. y = −0, 6x + 1270, 8.

4. En 1970, la consommation moyenne de pain était de 80,6 kg par personne et paran.

Entre 1970 et 2008, la consommation (à 1 % près) : a diminué de 36 %.

a diminué de 56 %. a diminué de 29 %.

CORRIGÉ

Les conseils de l’enseignantDans ce QCM, on ajuste une série statistique à deux variables par une droite passantpar deux points du nuage ou par la droite des moindres carrés.

À cette occasion, on se rappellera que l’équation réduite d’une droite, non parallèleà l’axe des ordonnées, est de la forme y = ax + b, a et b étant deux nombres réels.Pour une droite passant par deux points donnés A et B, le coefficient directeur est

donné par a = yB − yAxB

−xA

. En remplaçant dans l’équation générale a par sa valeur, x

et y par les coordonnées de A (ou de B) on obtient l’ordonnée à l’origine b.La droite des moindres carrés se détermine à l’aide de la calculatrice.Par ailleurs, on se souviendra que le taux de variation t d’une valeur V 0 à une valeur

V 1 est donné par : t = V 1 − V 0

V 0× 100.

1. Bonne réponse : (2002 ; 55,3).

On calcule la moyenne des abscisses : xG = 1996 + . . . + 2008

7 = 2002.

3



Sujet 29

On calcule la moyenne des ordonnées : yG = 58, 7 + . . . + 51, 7

7 = 55, 3.

Soit G(2002 ; 55,3).

2. Bonne réponse : y = −x + 2 057, 6.Coefficient directeur : a =

yM5− yM3

xM5 − xM3

, soit a = 53, 6 − 57, 6

2004 − 2000 = −1.

L’ordonnée à l’origine b vérifie alors : 57, 6 = −2000 + b.

Soit b = 57, 6 + 2000 = 2057, 6.D’où l’équation de la droite (M3M5) : y = −x + 2 057, 6.

3. Bonne réponse : y = −0, 6x + 1 270, 8.

Sur la calculatrice, en mode STATISTIQUES, on rentre en Liste 1 les valeurs de xiet en liste 2 les valeurs de yi. La fonction LINREG(ax+b) permet d’a ffichera = −0, 6071 . . . et b = 1 270, 8.

En arrondissant au dixième près, on obtient y = −0, 6x + 1 270, 8.

4. Bonne réponse : la consommation a diminué de 36 %.51, 7 − 80, 6

80, 6 × 100 = −35, 856 . . ..

Entre 1970 et 2008, la consommation de pain a diminué à 36 %, à l’unité près.

3



SUJET 30


Les parties A et B sont indépendantes.

Le tableau ci-dessous représente le nombre de créations d’entreprises, en milliers, de2003 à 2010 dans le secteur immobilier.Tableau à recopier et à compléter

1

23456789

A Année Taux d’évolution (en %) x j y j

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

B

0 10,7

13,3 24,3

14,9

15,4

17,4

17,1

15,8

17,8

1

2

3

4

5

6

7

C D

Source : Insee, août 2011.

Dans la cellule D3, le nombre 24,3 est le taux annuel d’évolution de 2003 à 2004, en %,arrondi à 0,1 % près.

Partie A

1. À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite D qui réalise unajustement a ffine du nuage de points de coordonnées (x i ; y i), par la méthode desmoindres carrés.On arrondira les coefficients à 0,001 près.

2. Dans cette question, on prendra pour équation de la droite D : y = 0,84x + 12,35.En admettant que ce modèle reste valable jusqu’en 2015, à combien peut-on estimerle nombre de créations d’entreprises en 2015 ?

Partie B

1. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule D3 et recopier sur la plage D3 : D9pour calculer, en %, les taux annuels d’évolution du nombre de créations d’entreprisesentre 2003 et 2010 ?

32



Sujet 30

2. Recopier et compléter le tableau du début de l’énoncé.

On arrondira les résultats à 0,1 % près.

3. Comment interpréter le résultat obtenu dans la cellule D8 ?

4. Déterminer le taux global d’augmentation du nombre de créations d’entreprisesentre 2003 et 2010. On arrondira le résultat à 0,1 % près.

5. Montrer que le taux annuel moyen d’évolution du nombre de créations d’entre-prises entre 2003 et 2010, arrondi à 0,1 % près, est 7,5 %.

6. On considère que l’évolution du nombre d’entreprises créées à partir de 2003 estmodélisée par une suite géométrique (un) de premier terme u0 = 10,7 et de raison1,07.

un désigne le nombre d’entreprises créées, en milliers, l’année 2003 + n.a) Exprimer un en fonction de n.

b) En supposant que ce modèle reste valable jusqu’en 2015, déterminer le nombre decréations d’entreprises en 2015. On arrondira le résultat à la centaine près.

CORRIGÉ


L’exercice permet de comparer deux modèles d’évolution. Un modèle a ffine obtenupar la méthode des moindres carrés et un modèle exponentiel associé à une suite

géométrique. On se rappellera que l’équation réduite de la droite des moindres carréss’obtient à l’aide de la fonction Linreg(ax + b) de la calculatrice. Par ailleurs, si u0

est le premier terme de la suite géométrique et q sa raison, diff érente de 1, alors sonterme général est de la forme un = u0 × q n.

Partie A

1. Sur la calculatrice, en mode Statistiques, on place en Liste 1 les valeurs de xiet en Liste 2 les valeurs de yi. En appliquant la fonction Linreg(ax+b), on obtient

33



Moindres carrés

a = 0, 842 857 . . . et b = 12, 350.Soit au millième près a = 0, 843 et b = 12, 350.D’où l’équation : y = 0, 843x + 12, 350.

2. 2015 − 2003 = 12. Comme 0, 84 × 12 + 12, 35 = 22, 43, on peut estimerqu’il y aurait 22 430 créations d’entreprises en 2015.

Partie B

1. On applique en D3 la formule du taux d’évolution : = (C3 − C2)/C2 ∗ 100,puis on copie vers le bas.

2.

1

23456789

A

Année Taux d’évolution (en %) x j y j

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

B

0 10,7

13,3

14,9

15,4

17,4

17,1

15,8

17,8

24,3

12,0

3,4

13,0

-1,7

-7,6

12,7

1

2

3

4

5

6

7

C D

3. Le nombre de créations d’entreprises a baissé de 7,6 % entre 2008 et 2009.

4. 17, 8 − 10, 7

10, 7 × 100 = 66, 355 . . .. Le taux global d’évolution entre 2003 et

2010 est de 66,4 % au dixième près.

5. Le taux moyen annuel d’évolution t vérifie 10, 7 × (1 + t)7 = 17, 8 ;

soit (1 + t)7 = 17, 8

10, 7 =

178

107.

Donc 1 + t = (

178

107 )

1

7

= 1, 075 416 . . .,soit t = 0, 075 416 . . ..En moyenne, l’augmentation annuelle a été d’environ 7,5 %.

6. a) Le terme général d’une suite géométrique est de la forme un = u0×q n (q = 1).D’où un = 10, 7 × 1, 07n.

b) u12 = 10, 7 × 1, 0712 = 24, 098 45.En 2015, le nombre de créations d’entreprises serait de 24 100, à la centaine près.

34



SUJET 31



On s’intéresse à l’évolution de la fréquentation des campings 4 étoiles ou plus en France métropolitaine.

Partie A

Le tableau ci-dessous présente les données entre 2004 et 2010.

Année 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Rang de l’annéex i,

0 1 2 3 4 5 6

Fréquentationen milliers denuitées y i,

25 156 26 470 28 295 28 897 30 063 31 212 32 014

Insee : Direction générale de la compétitivité, de l’industrie et des services (DGC1S).

Le nuage de points de coordonnées (xi ; yi) pour i variant de 0 à 6 est représenté enannexe.

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement a ffinede y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients audixième).

2. On décide d’ajuster le nuage avec la droite (D) d’équation y = 1 150 x +25 500.

a) Tracer la droite (D) sur le graphique de l’annexe.

b) Déterminer graphiquement le nombre de nuitées prévu par ce modèle d’ajuste-ment en 2014. Faire apparaître les tracés utiles.

c) Retrouver par le calcul le résultat précédent.

35



Moindres carrés

Partie B

On construit le tableau ci-dessous des indices de la fréquentation des campings4 étoiles ou plus, en prenant pour indice de référence 100 en 2004.

Année 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Fréquentationen milliers denuitées

25 156 26 470 28 295 28 897 30 063 31 212 32 014

Indice 100 105,22 112,48 119,51 124,07

1. Calculer l’indice, arrondi au centième, correspondant à l’année 2007.2. a) Calculer le taux d’évolution global de la fréquentation entre 2004 et 2010. Ondonnera le résultat en pourcentage à 0,01 près.

b) Calculer le taux d’évolution annuel moyen de la fréquentation entre 2004 et 2010.On donnera le résultat en pourcentage à 0,01 près.

Annexe

36



Sujet 31

CORRIGÉ


Dans la première partie de l’exercice il faut déterminer l’équation réduite de la droitedes moindres carrés d’une série statistique chronologique. Cette équation s’obtient à l’aide de la fonction Linreg(ax+b) du menu Statistiques de la calculatrice. Pour faireune estimation à l’aide de la fonction a ffine correspondante, il suffit de remplacer la

variable par le rang de l’année.Dans la seconde partie il faut calculer le taux global d’évolution d’une valeur V 0 pour

l’année 0 à une valeur V n pour l’année n : tG = V 1 − V 0

V 0× 100. Le taux moyen

annuel tm vérifie alors V 0(1 + tm)n = V n.

L’indice d’évolution de l’année n par rapport à l’année 0 est obtenu par la formule

I = V nV 0

× 100.

Partie A1. Sur la calculatrice, en mode Statistiques, on note en Liste 1 les valeurs de xi et enListe 2 les valeurs de yi.

La fonction Linreg(ax+b) permet d’a fficher a = 1 136, 642 . . . et b = 25 462, 5.On en déduit l’équation réduite de la droite des moindres carrés, avec les coefficientsarrondis au dixième près : y = 1 136, 6x + 25 462, 5.

2. a) Tableau de valeurs pour tracer D :

x 0 5

1 150x + 25 500 25 500 31 250

37



Moindres carrés

b) Le point (10 ; 37 000) appartient à la droite d’ajustement. On peut donc estimer,par lecture graphique, qu’il y aurait 37 000 milliers de nuitées en camping en 2014.

c) 2014 − 2004 = 10 et 1 150 × 10 + 25 500 = 37 000.

On peut estimer, par le calcul, qu’il y aurait 37 000 milliers de nuitées en camping en 2014. C’est très exactement le résultat précédent.

Partie B

1. 28897

25156 × 100 = 114, 871 . . ..

L’indice de l’année 2007 est égal à 114,87 au centième près.

38



Sujet 31

2. a) 32 014 − 25 156

25156 × 100 = 27, 261 . . ..

Entre 2004 et 2010, l’augmentation est de 27,26 % au centième près.

b) Le taux d’évolution annuel moyen t vérifie 25 156 × (1 + t)6

= 32 014.Donc (1 + t)6 =

32 014

25 156, soit 1 + t = (

32014

25156)1

6 = 1, 040 997 . . .

Alors t = 0, 040 997 . . ..


39



SUJET 32



Partie A

Dans cette partie, on s’intéresse aux dépenses engendrées par la gestion des déchets

en France. Le tableau ci-dessous présente les données de 2001 à 2007.

Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Rang de l’annéexi

0 1 2 3 4 5 6

Dépense yi (enmillions d’euros)

9 432 9 926 10 233 10 462 11 411 12 304 12 833

Source : SOeS - Commission des comptes et de l’environnement, mai 2009.

Le nuage de points de coordonnées (xi ; yi), pour i variant de 0 à 6, est donné enannexe.

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer, par la méthode des moindres carrés, uneéquation de la droite d’ajustement de y en x (arrondir les coefficients au millième).

2. On décide d’ajuster le nuage avec la droite D d’équation :

y = 576, 3x + 9 214.

a) Tracer la droiteD

sur le graphique figurant en annexe.

b) En utilisant cet ajustement a ffine, estimer la dépense engendrée par la gestion desdéchets en 2011.

Partie B

Les déchets sont classés en plusieurs catégories, dont la catégorie des déchets ména-gers.

Une partie des déchets ménagers est recyclée.

4



Sujet 32

Dans une feuille de calcul reproduite ci-dessous, on a rassemblé les données concer-nant ces diff érents types de déchets pour les années 2001 à 2007.

La plage de cellules B4 : H4 est au format pourcentage à une décimale.

1. Dans cette question, on s’intéresse aux déchets ménagers produits entre 2001 et2007.

a) Calculer le taux d’évolution de la masse de déchets ménagers produits entre 2001et 2007 (arrondir à 0,1 %).

b) Calculer le taux d’évolution annuel moyen de la masse de déchets ménagers pro-duits entre 2001 et 2007 (arrondir à 0,1 %).

2. Dans cette question, on s’intéresse aux déchets ménagers recyclés entre 2001 et2007.

On appelle taux de recyclage la proportion de déchets ménagers recyclés parmi lesdéchets ménagers produits.

a) Donner une formule qui, entrée en cellule B4, permet, par recopie vers la droite,d’obtenir le contenu des cellules de la plage B4 : H4.

b) Calculer la valeur a ffichée dans la cellule H4.

c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On souhaite atteindre l’objectif de 30 % de recyclage en 2012. Peut-on penser quecet objectif soit réaliste ?

4



Moindres carrés

Annexe

42



Sujet 32

CORRIGÉ


La première partie de l’exercice est l’ajustement a ffine d’un nuage de points par la droite D des moindres carrés. C’est la droite pour laquelle la somme des carrés desdistances des points à cette droite est minimale.

S = M1H12 + . . . + MiHi

2 + . . . + MnHn2 est minimal pour

D.

On obtient son équation réduite y = ax + b à l’aide de la calculatrice.

La seconde partie nécessite la distinction entre taux d’évolution global sur n annéesentre deux valeurs V 0 et V 1 :

tG = V 1 − V 0

V 0× 100.

et le taux d’évolution annuel moyen qui vérifie la relation :

V 0(1 + tm)n = V 1.

43



Moindres carrés

Partie A

1. Sur la calculatrice on entre en Liste 1 les valeurs de xi et en Liste 2 les valeurs deyi.

La fonction Linreg(ax +b) permet d’a fficher a = 576, 321 428 . . . etb = 9 214, 0357 . . ..En arrondissant au millième on obtient a = 576, 321 et b = 9 214, 035.D’où l’équation réduite de la droite d’ajustement de y en x :y = 576, 321x + 9 214, 036.

2. a) Tableau de valeurs :

x 0 6

576,3x + 9 214 9 214 12 671,8

b) 2011 − 2001 = 10. Soit 576, 3 × 10 + 9 214 = 14 977.On peut estimer que la dépense pour la gestion des déchets s’élèvera à 14 977 mil-lions d’euros en 2011.Graphiquement, on vérifie que le point (10 ;14 977) appartient à la droite D.

Partie B

1. a) On applique la formule du taux de variation t = V 1 − V 0

V 0× 100, soit

34 629 − 30 161

30161 × 100 = 14, 8138 . . ..

44



Sujet 32

Entre 2001 et 2007, le taux global d’évolution est de 14,8 % au dixième près.

b) Le taux d’évolution annuel moyen t vérifie :

30 161(1 + t)6 = 34629.

Soit (1 + t)6 = 34 62930 161

= 1, 148 138 . . ..

D’où 1 + t ≈ 1, 148 1381

6 , soit 1 + t ≈ 1, 023 291 ou encore t ≈ 0, 023 291.

Le taux d’évolution annuel moyen est donc de 2,3 % au dixième près.

2. a) Il s’agit de calculer en B4 la proportion en pourcentage, soit :« = B3/B2 », la plage de cellules B4 : H4 étant au format poucentage.

b)

5964

34 629 × 100 = 17, 222 . . .En 2007, le taux de recyclage est de 17,2 %, au dixième près.

c) On calcule le taux d’évolution annuel moyen t de la proportion entre 2001 et2007 :

13, 7(1 + t)6 = 17, 2.

Soit (1 + t)6 = 17, 2

13, 7 = 1, 255 474 . . ., d’où 1 + t ≈ 1, 255 474

1

6 .

Donc 1 + t≈

1, 038 647, ou encore t≈

0, 038 647.


On suppose alors que ce taux perdure les années suivantes.Comme 2012 − 2007 = 5, alors 17, 2 × 1, 038 6475 ≈ 20, 79.

La proportion de déchets ménagers recyclés serait alors de 20,8 % en 2012, très loindes 30 % proposés.L’objectif est donc irréaliste.

45



SUJET 33


Le tableau ci-dessous donne le montant, en milliards d’euros, des crédits accordés aux ménages entre 2001 et 2006 :

Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Rang xi 1 2 3 4 5 6

Montant yi des crédits accordésaux ménages (en milliards d’euros)

508,9 541,8 580,5 639,5 712,9 792,7

Source : Banque de France.

Partie A

1. Calculer le taux d’évolution global du montant des crédits accordés aux ménagesentre 2001 et 2006. On arrondira le résultat à 0,1 %.

2. Quel a été le montant, en milliards d’euros, des crédits accordés aux ménagesen 2007 sachant que ce montant a augmenté de 10,7 % entre 2006 et 2007? Onarrondira le résultat au dixième.

Partie B

On a représenté en annexe le nuage de points de coordonnées (xi ; yi) dans un repèreorthogonal.

1. a) On appelle G le point moyen de ce nuage. Déterminer les coordonnées du pointG. On arrondira les coordonnées du point G au dixième.

b) Placer le point G sur le graphique donné en annexe.

2. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite qui réalise unajustement a ffine du nuage de points de coordonnées (xi ; yi) obtenu par la méthodedes moindres carrés. On arrondira les coefficients au dixième.

46



Sujet 33

Dans la suite de l’exercice, on prendra comme droite d’ajustement du nuage de pointsde coordonnées (xi ; yi) la droite D1 d’équation : y = 57x + 430.

3. Tracer la droite D1 dans le repère de l’annexe.

4. En supposant que l’ajustement a ffine réalisé par la droiteD1 reste valable durant lesannées suivantes, déterminer à partir de quelle année le montant des crédits accordésaux ménages dépassera 980 milliards d’euros.

Annexe

47



Moindres carrés

CORRIGÉ


Pour répondre aux questions de la partie A, il faut connaître la formule du taux de

variation d’une valeur V 0 à une valeur V 1, T = V 1 − V 0

V 0× 100 et savoir qu’aug-

menter de t %, c’est multiplier par 1 + t

100.

La partie B nécessite l’usage de la calculatrice pour déterminer une équation de la droite d’ajustement d’une série à deux variables par la méthode des moindres carrés.Dans le menu STATISTIQUES on entre les valeurs de la série en Liste 1 et Liste 2.La fonction Linreg(ax+b) permet d’obtenir l’équation cherchée.

On s’assurera que l’estimation obtenue par cette équation se retrouve bien sur le des-sin.

Partie A

1. 792, 7 − 508, 9

508, 9 × 100 = 55, 767 . . .

Entre 2001 et 2006, le taux d’évolution global est de 55,8 %.

2. 792, 7 × (1 + 10, 7

100 ) = 877, 518 . . .

877,5 milliards d’euros de crédits ont été accordés aux ménages en 2007.

Partie B1. a) xG =

1 + 2 + . . . + 6

6 = 3, 5

yG = 508, 9 + 541, 8 + . . . + 792, 7

6 = 629, 383 . . .

Soit G(3,5 ; 629,4).

b) Voir la représentation graphique de la question 3.

48



Sujet 33

2. Dans le menu STATISTIQUES de la calculatrice, on écrit en Liste 1 les valeurs dexi et en Liste 2 les valeurs de yi.

En appliquant la fonction Linreg(ax+b) on lit : a = 56, 894 . . . et b = 430, 253 . . .

D’où l’équation réduite de la droite des moindres carrés :y = 56, 9x + 430, 3.

3. Tableau de valeurs :

x 0 10

57x + 430 430 1 000

1070

2 4 5 71 3 3,5 9,66 118 9 100

430

470

510

550

590

630

670

710

750

790

830

870

910

950

990980

629,4

1030

D1

G

4. On résout l’inéquation 57x + 430 > 980.Soit 57x > 550 ou encore x > 9, 649 . . .

C’est donc à partir de 2010 que le montant des crédits des ménages dépasserait980 milliards d’euros.

49



SUJET 34


Dans cet exercice, on s’intéresse au nombre de personnes, enfants et adultes, vi-vant avec le / (virus de l’immunodéficience humaine/ syndrome immuno-déficitaire acquis) au Sénégal.


Le tableau ci-dessous présente les données de 1996 à 2006.

Année Rang de l’année xi Estimation du nombre de personnes vivantavec le au Sénégal (en milliers) y i

1996 0 9

1997 1 11

1998 2 13

1999 3 162000 4 20

2001 5 24

2002 6 29

2003 7 35

2004 8 41

2005 9 49

2006 10 57

Source : UNAIDS (Joint United Nations program on HI V/AIDS).

Le nuage de points de coordonnées (xi ; yi), pour i variant de 0 à 10, est donnéci-après.

5



Sujet 34

00

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nombre de personnes vivant avec le VIH

au Sénégal (en milliers)

Rang de l’année

1. À l’aide de la calculatrice déterminer, par la méthode des moindres carrés, uneéquation de la droite d’ajustement de y en x (arrondir les coefficients au millième).

2. On décide d’ajuster le nuage avec la droite D d’équation y = 4, 8x + 3, 9.

a) Tracer la droite D sur le graphique.

b) En utilisant cet ajustement a ffine, estimer le nombre de personnes vivant avec le au Sénégal en 2007.

Partie B. Étude d’un deuxième modèle

Le taux d’évolution annuel moyen du nombre de personnes vivant avec le auSénégal entre les années 1996 et 2006 est d’environ 20 %.On décide alors de modéliser la situation à l’aide d’une suite géométrique de rai-son 1,2.

5



Moindres carrés

Pour tout entier naturel n, un désigne une estimation du nombre de personnes, enmilliers, vivant avec le au Sénégal pendant l’année 1996 + n.

Ainsi (un) est la suite géométrique de premier terme u0 = 9 et de raison 1,2.


2. Déterminer, d’après ce modèle, le nombre prévisible de personnes atteintes en2007.

Partie C. Exploitation des modèles

Des experts ont estimé qu’en 2007 il y avait 67 000 personnes vivant avec le auSénégal.

1. Lequel des deux modèles étudiés dans les parties A et B donne la meilleure prévi-sion pour 2007 ?


En choisissant le modèle qui vous paraît le mieux adapté, déterminer l’année à partirde laquelle le nombre de personnes vivant avec le au Sénégal dépassera 100 mil-liers.

CORRIGÉ


On doit comparer les estimations fournies par la fonction a ffine associée à la droitedes moindres carrés et une suite géométrique.

L’équation de la droite des moindres carrés s’obtient par la calculatrice. Il faut ensuiteutiliser la formule du terme général d’une suite géométrique.

Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q (q = 1), le termegénéral est égal à un = u0

×q n.

52



Sujet 34


1. On entre en Liste 1 les valeurs de xi et en Liste 2 les valeurs de yi.En appliquant la fonction Linreg(ax+b), on obtient :a = 4, 754 545 . . . et b = 3, 863 636 . . .

La droite d’ajustement de y en x a donc pour équation :y = 4, 755x + 3, 864,en arrondissant les coefficients au millième près.

2. a) Tableau de valeurs :

x 0 10

4, 8x + 3, 9 3,9 51,9

b) L’année 2007 a le rang 11, d’où y = 4, 8 × 11 + 3, 9 = 56, 7.On peut estimer que 57 milliers de personnes vivront avec le au Sénégal en 2007.

00

10

20

30

40

50

57

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nombre de personnes vivant avec le VIH

au Sénégal (en milliers)

Rang de l’année

D

Partie B. Étude d’un deuxième modèle

1. un = u0 × q n, donc un = 9 × 1, 2n.

2. u11 = 9

×1, 211 = 68, 870 . . .

53



Moindres carrés

On peut estimer que 69 milliers de personnes seraient atteintes du au Sénégal en2007.

Partie C. Exploitation des modèles

1. 67 − 57 = 10 et 69 − 67 = 2.Le deuxième modèle donne donc un résultat plus conforme à la réalité.

2. On résout l’inéquation 9 × 1, 2n > 100,

soit ln 1, 2n > ln 100

9 ou encore n >

ln100 − ln 9

ln 1, 2 .

D’où x > 13, 207 . . ., soit 14 au minimum en arrondissant à l’unité supérieure.

1996 + 14 = 2010.

C’est donc à partir de l’année 2010 que le nombre de personnes infectées par le au Sénégal dépasserait 100 milliers.

54



SUJET 35


Dans cet exercice on s’intéresse à l’évolution du (salaire minimum interprofes-sionnel de croissance) sur 5 ans. On utilisera les informations fournies par :

– le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille automatisée de calcul, dans lequel la base100 des indices de salaires correspond à l’année 2005 (les indices sont arrondis à 10 −1 près et les valeurs successives du horaire brut sont arrondies au centime

d’euro près ) ;– le graphique ci-dessous composé d’un nuage de points et d’une droite qui en réalise

un ajustement a ffine.

A B C D E F

1 Année (xi) 2005 2006 2007 2008 2009

2 horaire brut en euros (yi) 8,03 8,27 8,44 8,71 8,82

3 Indice 100 103,0 105,1 108,5 109,8

2005 2006 2007 2008 20097,9

8,1

8,3

8,5

8,7

8,9

SMIC horaire brut en euros

Partie A. Taux d’évolution et indices

1. Quelle formule a-t-on introduite en C3, puis recopiée vers la droite, pour obtenirles indices de salaire de 2006 à 2009?

2. Déterminer le taux d’évolution global du , arrondi à 10−1 près, entre 2005 et2009.

3. Calculer le taux d’évolution moyen, arrondi à 10−1 près, entre 2005 et 2009.

55



Moindres carrés

Partie B. 1er modèle d’évolution : la droite de régression parla méthode des moindres carrés

1. Ci-avant, on a représenté le nuage de points correspondant à l’évolution des salaires

et sa droite de régression de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de cette droite. On arrondira lepremier coefficient à 10−3 près et le second à 10−2 près.

2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On admet que l’ajustement a ffine réalisé par la droite représentée dans le graphiqueprécédent reste valable jusqu’en 2010. Proposer alors une estimation du en2010.

Partie C. 2e modèle d’évolution : utilisation d’une suite

Soit (un) la suite géométrique définie par son premier terme u0 = 8,03 et sa raison1,024.

1. Exprimer un+1 en fonction de un.


3. a) Calculer u5. On arrondira le résultat à 10−2 près.

b) Comment peut-on interpréter u5 ?

CORRIGÉ


Dans cet exercice on doit comparer l’estimation donnée par la droite des moindrescarrés et celle fournie par une suite géométrique. On vérifiera que les résultats sont trèsproches. La raison de la suite géométrique est égale au taux moyen annuel d’évolutiont. On le trouve en résolvant l’équation (1 + t)n = T , où n est le nombre d’annéeset T le taux global. Alors 1 + t = T

1

n .

56



Sujet 35

Partie A. Taux d’évolution et indices

1. En C3, on écrit : =C2/$B2*100.

2. 109, 8

100 = 1, 098.Le horaire à augmenté de 9,8 % entre 2005 et 2009.

3. Le taux d’évolution moyen annuel t vérifie (1 + t)4 = 1, 098.

Soit 1 + t = 1, 0981

4 , d’où 1 + t = 1, 023 647 . . .,soit 1 + t ≈ 1, 024.

Le horaire a donc augmenté de 2,4 % par an en moyenne entre 2005 et 2009.

Partie B. 1er modèle d’évolution : la droite de régression parla méthode des moindres carrés

1. Sur la calculatrice, en mode STATISTIQUES, on entre en Liste 1 les valeurs de xiet en Liste 2 les valeurs de yi.

En utilisant la fonction Linreg(ax+b) on lit :

a = 0, 202 et b = −396, 96.D’où l’équation de la droite de régression de y en x :

y = 0, 202x − 396, 96.2. Pour x = 2010, on obtient :

y = 0, 202 × 2010 − 396, 96 = 9, 06.

On peut estimer qu’en 2010 le horaire serait de 9,06 e.

Partie C. 2e modèle d’évolution : utilisation d’une suite

1. La relation de récurrence d’une suite géométrique de raison q (q = 1) est de la

forme un+1 = un × q . Soit un+1 = un × 1, 024.2. Le terme général d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q (q = 1) est de la forme un = u0 × q n. Soit un = 8, 03 × 1, 024n.

3. a) u5 = 8, 03 × 1, 0245 = 9, 040 976 . . . soit u5 = 9, 04 à 10−2 près.

57



Moindres carrés

b) 2005 + 5 = 2010.

Si l’année 2005 a le rang 0, pour un horaire de 8,03 e, l’année 2010 a le rang 5avec un horaire de 9,04 e.

On admet alors que l’augmentation annuelle est constante en pourcentage et égale autaux moyen moyen annuel d’évolution de 2,4 %.

58



SUJET 36

NOUVELLE-CALÉDONIE, OPTIONS MERCATIQUE, C FE ET GS I , EXERCICE 1, NOVEMBRE 2009

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte. Relever sur votre copie le numéro de la questionainsi que la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse juste rapporte 0,5 point, une réponse fausse, ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

1. Parmi les trois graphiques de nuages de points suivants, indiquer celui pour lequelun ajustement a ffine semble judicieux.

0 5 100

100

200

300

400

500

Figure 1

59



Moindres carrés

0 2 000 4 000 6 000

0

500

1 000

1 500

2 000

2 500

3 000

Figure 2

0 1 2 3 4 5 60

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

30 000

Figure 3

2. Le point moyen du nuage ci-après est le point G de coordonnées :

G (12; 290).

G (5 ; 260). G (8 ; 290).

6



Sujet 36

200

220

240

260

280

300

320

0 2 4 6 8 10 12 14

3. Parmi les trois droites suivantes, quelle est celle qui réalise le meilleur ajustementa ffine du nuage ci-après ?

La droite d1.

La droite d2. La droite d3.

0 2 4 6 8 10 12 14

200

220

240

260

280

300

320

340

d 1

d 2

d 3

4. Un particulier décide de changer, d’ici deux ou trois ans, son véhicule acheté en2002.Souhaitant connaître le prix auquel il pourra le revendre, il consulte l’Argus afin deconnaître la cote de son véhicule et obtient le tableau suivant.

6



Moindres carrés

Année 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Rang xi de l’année 1 2 3 4 5 6

Cote yi en euros 16 000 13 500 11 200 9 000 7 400 5 900

On précise que la cote est la valeur de revente du véhicule en fonction de l’année choi-sie pour la revente ; par exemple, en 2005, la valeur de son véhicule était 11 200 e.

Pour estimer la cote de sa voiture en 2010, il procède à un ajustement a ffine par la méthode des moindres carrés à l’aide d’une calculatrice.

Après avoir arrondi les valeurs approchées à la centaine d’euros la plus proche, uneéquation de la droite de régression de y en x est :

y = − 2 100x + 17 600

y =−

2 000x + 17 600

y = − 2 100x + 17 000

5. L’estimation du prix de son véhicule en 2010, selon le modèle précédent, est alors :

l 600 e.

800 e.

200 e.

6. En moyenne, sur la période 2003-2008, ce véhicule perd par an à 100 e près :

1 000

e

. 2 000 e.

3 000 e.

CORRIGÉ


La première partie du QCM teste la capacité à interpréter la position des points d’unnuage d’une série statistique à deux variables. Le point moyen proposé a-t-il uneposition centrale ? De trois nuages, quel est celui qui présente la meilleure dispositionpour un ajustement a ffine ? Parmi trois droites tracées, laquelle fournit le meilleur

62



Sujet 36

ajustement ? La seconde partie est plus classique et demande de déterminer, à l’aidede la calculatrice, une équation de la droite de régression et de l’utiliser pour faire uneestimation.

1. Bonne réponse : figure 2.Sur cette figure les points semblent plus proches de l’alignement. La droite d’équationy = 0, 5x, passant par l’origine et le point (2 000 ; 1 000), pourrait être une droited’ajustement.

2. Bonne réponse : G(8 ; 290).Le point G(8 ; 290) est le point placé le plus au centre du nuage.

3. Bonne réponse : la droite d3.

La somme des distances des points à la droite d3 semble être la plus petite.4. Bonne réponse : y = −2000x + 17 600.

Sur la calculatrice en mode STATISTIQUES, on place en Liste 1 les valeurs de xi eten Liste 2 les valeurs de yi.

En appliquant la fonction Linreg(ax + b), on lit :

a = −2028, 57 . . .

b = 17 600.

Soit y =

−2000x + 17 600 en arrondissant à la centaine la plus proche.

5. Bonne réponse : 1 600 e.

2010 − 2002 = 8, donc l’année 2010 a le rang 8.

−2000 × 8 + 17 600 = 1 600, soit 1 600 e.

6. Bonne réponse : 2 000 e.

On calcule la moyenne des écarts d’une année sur l’autre.

(13 500 − 16 000) + · · · + (5900 − 7 400)

5 =

−10500

5= −2020.Soit 2 000 e à 100 e près.

63



SUJET 37


Une entreprise commercialise une boisson énergisante depuis 2002.Le tableau ci-dessous donne le nombre, exprimé en millions, de boissons vendueschaque année entre 2002 et 2011.

An-

née

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Rang xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y i* 2,9 3,5 4,9 6,5 6,9 7,2 8,3 8,7 8,9 9,3

*Nombre y i de boissons vendues (en millions).

Partie A. Modélisation par un ajustement affine

1. Représenter, sur une feuille de papier millimétré, le nuage de points (xi ; yi) dansun repère orthonormal. On prendra comme unités graphiques 1 cm sur chaque axe.

2. a) À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite D qui réalise unajustement a ffine du nuage de points de coordonnées (xi ; yi) obtenu par la méthodedes moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième.

b) Tracer la droite D dans le repère défini à la question 1.

c) En supposant que l’ajustement a ffine réalisé reste valable jusqu’en 2015, détermi-

ner le nombre de boissons qui seront vendues en 2013.

Partie B. Modélisation par une fonction

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 20] par :

f (x) = 15 − 285 × 1

3x + 20.

La courbe représentative de la fonction f est donnée ici.

64



Sujet 37

1. a) Recopier et compléter à l’aide de la calculatrice le tableau suivant (on arrondira les résultats au centième).

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f (x) 0,75 2,61

b) Quelle conjecture peut-on faire concernant le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20].

c) On rappelle que la dérivée de l’inverse d’une fonction u est donnée par la formule

suivante :

1

u

′

= −u′

u2 . Vérifier par le calcul que f ′(x) =

855

(3x + 20)2.

d) Utiliser la question précédente pour valider ou non la conjecture émise à la ques-tion 1. b).

2. On admettra dans la suite de l’exercice que la fonction f peut-être considéréecomme une modélisation valable des ventes de boissons énergisantes jusqu’en 2020,l’année 2002 étant prise comme année de rang 0.

a) À l’aide de la fonction f , faire une prévision des ventes pour l’année 2015.

b) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

À partir de quelle année la quantité de boissons vendues est-elle supérieure à 10,8 mil-lions?

65



Fonctions

CORRIGÉ


L’évolution des ventes d’une boisson énergisante est modélisée par la droite desmoindres carrés et par une fonction inverse.La partie A est consacrée à la détermination de la fonction a ffine des moindres carrés,à l’aide de la calculatrice. En remplaçant la variable par le rang de l’année on peut

estimer le montant des ventes.La partie B étudie la fonction inverse. Un tableau de valeurs ne permet pas d’a ffirmerquel est le sens de variation d’une fonction, puisque toutes les images de l’ensemblede définition ne sont pas connues. Il faut d’abord déterminer le signe de la dérivée.On se rappellera qu’une fonction a ffine u(x) = ax + b a pour dérivée u′(x) = a.

Partie A. Modélisation par un ajustement affine

1.

66



Sujet 37

2. a) Sur la calculatrice, en mode STATISTIQUES, on rentre en Liste 1 les valeursde xi et en liste 2 les valeurs de yi. La fonction LINREG(ax+b) permet d’a ffichera = 0, 7278 . . . et b = 2, 7066 . . .

En arrondissant au centième près on obtient y = 0, 73x + 2, 71.

b)

x

0,73 x + 2,71

0

2,71

10

10,01

c) L’année 2013 a le rang 12, soit 0, 73 × 12 + 2, 71 = 11, 47.

On peut estimer que 11,5 millions de boissons seront vendues en 2013.Sur la représentation graphique, on vérifie que le point (12 ; 11,47) appartient à la droite D.

Partie B. Modélisation par une fonction

1. a)

x f(x)

00,75

12,61

24,04

35,17

46,09

56,86

67,50

78,05

88,52

98,94

109,30

b) D’après le tableau, on constate que f (x) croît quand x croît. On peut alors penserque la fonction f est croissante sur l’intervalle [0 ; 10].En prolongeant sur l’intervalle [10 ; 20] on obtient :

x

f(x)

11

9,62

12

9,91

13

10,17

14

10,40

15

10,62

16

10,81

17

10,99

18

11,15

19

11,30

20

11,44

67





SUJET 38


Formulaire

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, de fonction dérivée u′, alors la fonction eu est dérivable sur l’intervalle I et (eu)′ = u′eu.Une étude de marché a été réalisée, auprès de vendeurs et d’acheteurs, pour connaître

l’off re et la demande d’un produit en fonction de son prix unitaire, en euros, noté x.On suppose que x est compris entre 1 et 7.L’off re est la quantité du produit, en milliers d’unités, que les vendeurs acceptent devendre au prix de x euros. On la note f (x).La demande est la quantité du produit, en milliers d’unités, que les acheteurs sontprêts à acheter au prix x. On la note g(x).On modélise l’off re par la formule f (x) = 1 0 e0,65x (en milliers d’unités), et la demande par g(x) = 600e −0,35x (en milliers d’unités).

On définit ainsi deux fonctions f et g sur l’intervalle [1 ; 7].

Courbe représentative de la fonction f .

69



Fonctions

Partie A. Étude de la fonction f

1. Lire graphiquement l’off re lorsque le prix unitaire est 2,5 euros.

2. Calculer le prix unitaire, arrondi au centième d’euros, qui génère une off re de200 000 unités.

Partie B. Étude de la fonction g

On note g′ la fonction dérivée de la fonction g sur l’intervalle [1 ; 7].

1. Calculer g′(x) pour x appartenant à l’intervalle [1 ; 7].

2. Étudier le signe de g ′ sur l’intervalle [1 ; 7] et dresser le tableau de variation de g

sur cet intervalle.3. Compléter le tableau de valeurs (arrondir à l’unité).

x 1 2 3 4 5 6 7

g(x)

4. Construire la représentation graphique de g sur la courbe de la fonction f .

Partie C. Étude des deux courbesOn appelle prix d’équilibre d’un produit, le prix pour lequel l’off re est égale à la demande.

1. Déterminer graphiquement le prix d’équilibre du produit.


Si le prix unitaire du produit est 2 euros, comment lit-on graphiquement la quantité

de demande non satisfaite ?

7



Sujet 38

CORRIGÉ


Pour une bonne gestion, l’off re doit être égale à la demande. Dans la partie A del’exercice on fournit la représentation graphique de l’off re. Des éléments de cetteoff re sont à lire sur cette représentation. On veillera à laisser les traits de constructionde la lecture sur le dessin.

La fonction demande est étudiée dans la partie B. Comme pour la fonction off re,c’est une fonction exponentielle. On se rappellera qu’une fonction exponentielle est

toujours positive, quel que soit le signe de l’exposant, et que ea

eb = ea−b.

Partie A. Étude de la fonction f

1. Le point de la courbe d’abscisse 2,5 a pour ordonnée 51. Donc pour un prix unitaire de 2,5 euros, l’off re est d’environ 51 000 unités.

On vérifie par le calcul : f (2, 5) = 10×e0,65×

2,5 = 50, 784 . . ., soit f (2, 5) = 51à l’unité près.

2. On doit résoudre l’équation 10 × e0,65x = 200, soit e0,65x = 20.

Comme les deux membres de l’équation sont strictement positifs alors ln e0,65x =

ln20, soit 0, 65x = ln 20 ou x = ln20

0, 65 = 4, 608 . . ..

Pour obtenir une off re de 200 000 unités, il faut un prix unitaire de 4,61 euros, aucentième d’euro près.

On vérifie que le point (4,6 ; 200) appartient à la courbe représentant f .

Partie B. Étude de la fonction g

1. On pose u(x) = −0, 35x. Alors u′(x) = −0, 35.Comme (eu)′ = u′eu alors g′(x) = 600 × (−0, 35)e−0,35x = −210e−0,35x.

2. Comme l’exponentielle est toujours positive, la dérivée est du signe du premierfacteur, donc strictement négative. On en déduit le tableau de variation de g.

7



Fonctions

x

Signe de g' ( x)

Sens de variationde g

1

-

423

7

52

3. Tableau de valeurs de g :

x

g(x)

1

423

2

298

3

210

4

148

5

104

6

73

7

52

4. Représentation graphique de g :

Partie C. Étude des deux courbes

1. Le prix d’équilibre est l’abscisse du point d’intersection des deux courbes.

On lit un prix d’équilibre d’environ 4,1 euros (voir la représentation graphique).

Par le calcul, on résout l’équation 10e0,65x = 600e−0,35x.Elle équivaut à, soit e0,65x+0,35x = 60 ou ex = 60.

72



Sujet 38

Comme les deux membres de l’égalité sont strictement positifs, l’équation équivaut à ln ex = ln60, soit x = ln 60.

Sur la calculatrice on obtient ln 60 = 4, 094 . . ., soit 4,1 euros au dixième d’europrès.

2. On mesure la longueur du segment ayant pour extrémités les images f (2) et g(2)(voir la représentation graphique).On lit qu’environ 260 000 unités correspondent à une demande non satisfaite.

Par le calcul : g(2) − f (2) = 600e−0,35×2 − 10e0,65×2 = 261, 258 . . ., soit261 000 unités au millier d’unités près.

73



SUJET 39


Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.

On note x le nombre de dizaines de pièces fabriquées au cours d’une journée.

Le coût de production, en euros, de x dizaines de pièces est noté f (x). La partie dela courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [4 ; 10] est donnée dans lerepère de l’annexe à rendre avec la copie.

Partie A. Lecture graphique

On laissera apparents, sur le graphique, les traits nécessaires à la lecture graphique.

1. À l’aide du graphique en annexe, déterminer le coût de production de 50 pièces.

2. Chaque pièce est vendue 0,3 e. On note R(x) la recette de l’entreprise lorsqu’elleproduit x dizaines de pièces. Expliquer pourquoi R(x) = 3x.

3. Représenter graphiquement la fonction R dans le repère de l’annexe, à rendre avecla copie.

4. Le bénéfice réalisé par l’entreprise, en fonction du nombre x de dizaines de piècesvendues, est la diff érence entre la recette et le coût de production. On note B(x) cebénéfice. À l’aide du graphique, déterminer à quel intervalle doit appartenir x pourque l’entreprise réalise un bénéfice positif.

Partie B. Étude du bénéfice

On suppose que la fonction f est définie par : f (x) = x2 −8x + 18 sur l’intervalle[4;10].

1. On rappelle que lorsque l’entreprise produit x dizaines de pièces, sa recette estR(x) = 3x.Vérifier que le bénéfice de l’entreprise est alors B(x) = −x2 + 11 x − 18.

2. a) B′ est la dérivée de la fonction B. Calculer B′(x) lorsque x appartient à l’intervalle [4; 10].

74



Sujet 39

b) Déterminer, en fonction de x, le signe de −2x + 11 sur l’intervalle [4 ; 10].

c) En déduire les variations de B sur l’intervalle [4 ; 10].

3. Déterminer alors le nombre de pièces que l’entreprise doit produire pour réaliserun bénéfice maximum.

Annexe

40

38

36

34

3230

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre de dizaines de pièces

Coût de production de x dizaines de pièces (en euros)

Lecture du graphique : si x = 6, l’entreprise produit 60 pièces pour un coût de 6 e.

CORRIGÉ


La première partie de l’exercice demande d’exploiter un graphique. À cette occasionon se rappellera qu’une entreprise réalise un bénéfice positif lorsque la recette est

75



Fonctions

supérieure au coût. Sur le dessin, la représentation graphique de la première doit êtreau-dessus de la représentation graphique du second.

La seconde partie étudie la fonction bénéfice correspondante, afin de déterminer parle calcul la production procurant le bénéfice maximal.Les formules de dérivation suivantes seront utilisées : (u+v)′ = u′+v′, (x2)′ = 2xet (ax + b)′ = a.

On n’oubliera pas que le sens de variation de la fonction dépend du signe de sa dérivée. Si la dérivée est négative la fonction est décroissante, si elle est positive la fonction est croissante.

Partie A. Lecture graphique

1. Le coût de production de 50 pièces est de 3 euros, car le point (5 ; 3) appartient à la courbe.

40

38

36

34

32

30

28

26

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

3

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre de dizaines de pièces

Coût de production de x dizaines de pièces (en euros)

Recette

Coût

76



Sujet 39

2. Recette = Prix d’une pièce × Nombre de pièces.

Donc R(x) = 0, 3 × (10 × x) = 3x.

3. Tableau de valeurs pour le tracé de R :

x 5 10

3x 15 30

4. L’entreprise réalise un bénéfice lorsqu’elle produit entre 40 et 90 pièces, car surl’intervalle [4 ; 9] la droite de la recette est au-dessus de la courbe du coût.

Partie B. Étude du bénéfice

1. B(x) = R(x)−f (x), soit B(x) = 3x−(x2−8x+18) = 3x−x2+8x−18 =−x2 + 11x − 18.

2. a) B ′(x) = −2x + 11 − 0 = −2x + 11.

b) On résoud l’inéquation −2x + 11 0, soit −2x −11 ou x −11

−2 .

La dérivée est donc négative pour x 5, 5 et positive pour x 5, 5.

x B’(x) + 0 –

5,54 10

c)

x 4 105,5

12,2510 - 8

Sens de variation

de B

3. D’après le tableau de variation, le bénéfice est maximal pour une production de55 pièces. Il est alors de 12,25 euros .

77



SUJET 40





réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total des points est négatif, alors la note attribuée à l’exercice est ramenée à 0.

1. Pour tout réel x, le nombre e2x+ln3 est égal à : 3e2x. 3 + e2x. 2x + 3.

2. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = 5x ln x.On note f ′ la fonction dérivée de f sur ]0 ; +

∞[. Pour tout x de ]0 ; +

∞[, on a :

f ′(x) = 5lnx. f ′(x) = 5(lnx + 1).

f ′(x) = 5

x.

Pour les questions suivantes, g est la fonction définie et dérivable sur [−3 ; 4], dontvoici la courbe représentative :

78



Sujet 40

3. Sur l’intervalle [−3 ; 4 ], l’équation g(x) = 2, 5 possède :

une solution.

deux solutions.

trois solutions.

4. On note g’ la fonction dérivée de g sur [−3 ; 4 ] Alors g′(x) 0 pour tout x del’intervalle :

[1; 3].

[−3; 0].

[−1; 2].

CORRIGÉ


Les deux premières questions du QCM portent sur les fonctions logarithmes et ex-ponentielles, les deux autres sur l’interprétation d’une représentation graphique.

Il faudra appliquer les formules : ea+b = ea × eb (a et b étant deux nombres réels);

eln x = x (x > 0) ; (uv)′ = u′v + uv′ et (ln x)′ = 1

x (x > 0).

Pour connaître le nombre de solutions de l’équation f (x) = a on compte le nombrede points d’intersection de la droite d’équation y = a avec la courbe d’équationy = f (x).

Le sens de variation d’une fonction dépend du signe de sa dérivée. Lorsque la dérivéeest positive sur un intervalle, la fonction est croissante sur cet intervalle. Si elle estnégative, la fonction est décroissante.

1. Bonne réponse : 3e2x.

e2x+ln 3 = e2x × eln 3 = e2x × 3 = 3e2x.

2. Bonne réponse : f ′(x) = 5(ln x + 1).

On applique la formule de la dérivée d’un produit (uv)′ = u′v + uv′.

79



Fonctions

En posant u(x) = 5x et v(x) = ln x on obtient u′(x) = 5 et v′(x) = 1

x.

D’où f ′(x) = 5 × ln x + 5x × 1

x = 5 ln x + 5 = 5(ln x + 1).

3. Bonne réponse : deux solutions.

La droite horizontale d’équation y = 2, 5 coupe la courbe en deux points. L’équationg(x) = 2, 5 possède donc deux solutions.

4. Bonne réponse : [−1 ; 2].En parcourant la courbe de gauche à droite sur l’intervalle [−1 ; 2], on descend del’image 3 à l’image −1,5. Sur cet intervalle la fonction g est donc décroissante et la dérivée négative, d’où g′(x) 0.

8



SUJET 41


Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte. Relever sur la copie le numéro de la questionainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.



réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total des points est négatif, alors la note attribuée à l’exercice est ramenée à 0.

Les quatre questions sont indépendantes.

1. Pour tout nombre réel a strictement positif, le nombre ln(7 × a) est égal à :

7 × ln(a).

ln(7) × ln(a).

ln(7) + ln(a).

2. DansR

, l’équation ex

− 5 = 0 admet pour solution : e5.

ln(5).

5e.

3. Dans cette question, f est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−1 ; 5].

Dans le tableau suivant figure le signe de sa fonction dérivée f ′ sur [−1 ; 5 ].

Parmi les trois courbes ci-dessous, la seule qui peut représenter la fonction f est :

8



Fonctions

a)

b)

c)

82



Sujet 41

4. Soit g la fonction définie sur ]2 ; +∞[ par g(x) = ln(3x − 6).

Soit g′ la fonction dérivée de g sur ]2 ; +∞[.

Pour tout x de ]2 ; +∞[ :

g′(x) = 13x − 6

.

g′(x) = 3

ln(3x − 6).

g′(x) = 3

3x − 6.

CORRIGÉ


Le QCM porte sur les fonctions logarithmes et exponentielles. On se rappellera que lelogarithme du produit de deux nombres réels strictement positifs est égal à la sommede leurs logarithmes. La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque dela fonction exponentielle de base e, soit ln(ex) = x.Par ailleurs, le sens de variation d’une fonction dépend du signe de sa dérivée. S’il estnégatif, la fonction est décroissante, s’il est positif, elle est croissante et s’il est nul, elleest constante.Dans le cas d’une fonction composée d’une fonction u par une fonction f , on a [f (u(x))]′ = f ′(u(x)) × u′(x).

1. Bonne réponse : ln(7) + ln(a).Pour a > 0 et b > 0 on a ln(a×b) = ln(a)+ln(b), soit ln(7×a) = ln(7)+ln(a).

2. Bonne réponse : ln(5).L’équation ex−5 = 0 équivaut à ex = 5, soit ln(ex) = ln(5) ou encore x = ln(5).

83



Fonctions

3. Bonne réponse : a).

D’après l’étude du signe de la dérivée, la fonction f est croissante sur l’intervalle[−1 ; 1], décroissante sur l’intervalle [1 ; 4] et à nouveau croissante sur l’intervalle[4 ; 5]. Seule la première courbe répond à ces critères.

4. Bonne réponse : g′(x) = 3

3x − 6.

Pour une fonction u strictement positive, on sait que :

(ln(u(x)))′ = u′(x)

u(x) .

On pose u(x) = 3x − 6, d’où u′(x) = 3 et g′(x) = 3

3x

−6

.

84



SUJET 42


Les parties A, B et C sont indépendantes.

Le tableau ci-dessous indique les eff ectifs de population en France et en Allemagne du1er janvier 2000 au 1er janvier 2009. Ces eff ectifs sont donnés en millions d’habitants,arrondis à 0,01.

Eff ectifs au 1er janvier 2000 2001 2002 2003 2004

France 58,86 59,27 59,69 60,10 60,51

Allemagne 82,16 82,26 82,44 82,54 82,53

Eff ectifs au 1er janvier 2005 2006 2007 2008 2009

France 60,96 61,40 61,80 62,13 62,47

Allemagne 82,50 82,44 82,31 82,22 82,00

Source : Institut national d’études démographiques, base de données des pays développés.

85



Fonctions

Partie A. Évolution de la démographie en France

A B C

1 Année Population (en millions d’habitants) Taux d’évolution (en pourcentage)2 2000 58,86

3 2001 59,27 0,70

4 2002 59,69

5 2003 60,10

6 2004 60,51

7 2005 60,96

8 2006 61,409 2007 61,80

10 2008 62,13

11 2009 62,47

1. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C3 et recopier sur la plage C4 : C11pour obtenir les taux annuels d’évolution de la population française ?

2. Calculer le taux global d’augmentation de la population française entre les années2000 et 2009. On arrondira le résultat à 0,01 %.

3. Calculer le taux d’augmentation annuel moyen de la population française sur cettemême période. On arrondira le résultat à 0,01 %.

86



Sujet 42

Partie B. Prévision de la démographie en France

Année Rang (xi) Population (yi)

2000 0 58,862001 1 59,27

2002 2 59,69

2003 3 60,10

2004 4 60,51

2005 5 60,96

2006 6 61,40

2007 7 61,80

2008 8 62,13

2009 9 62,47

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées (xi ; yi) est don-née dans l’annexe.

1. a) À l’aide de la calculatrice, donner une équation de la droite D qui réalise unajustement a ffine du nuage de points (xi ; yi) obtenu par la méthode des moindrescarrés.

On arrondira les coefficients à 0,01.

b) Construire la droite D sur le graphique donné dans l’annexe.

2. En utilisant la droiteD, déterminer graphiquement ou par le calcul une estimationde la population française en 2012.

87



Fonctions

Partie C. Prévision de la démographie en Allemagne

Année Rang (xi) Population (yi)

2000 0 82,162001 1 82,26

2002 2 82,44

2003 3 82,54

2004 4 82,50

2005 5 82,44

2006 6 82,44

2007 7 82,31

2008 8 82,22

2009 9 82,00

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées (xi ; yi) est don-née dans l’annexe.

1. Pourquoi n’envisage-t-on pas d’ajustement a ffine de ce nuage de points ?

2. Soit f la fonction définie sur [0 ; 13] par :

f (x) = −0, 02x2

+ 0, 16x + 82, 18.a) Calculer f ′(x). En déduire les variations de la fonction f .

b) Construire la courbe représentative de la fonction f dans le repère donné dansl’annexe

c) On suppose que la courbe représentative de la fonction f réalise un ajustementfiable de ce nuage de points. Déterminer une estimation de la population allemandeen 2012.

88



Sujet 42

Annexes

Prévision de la démographie en France

89



Fonctions

Démographie en Allemagne

CORRIGÉ

Les conseils de l’enseignantL’ajustement d’un nuage de points par une droite est impossible lorsque les pointssont trop éloignés de l’alignement. Dans cet exercice, l’évolution de la populationfrançaise peut être approchée par la droite des moindres carrés, obtenue à l’aide de la calculatrice. L’évolution de la population allemande par contre est assimilable à uneparabole. Dans les deux cas, pour estimer la population en 2012, il faut remplacer xpar 12 dans l’équation.

9



Sujet 42

Partie A

1. On traduit en C3 la formule du taux de variation :

t =

V 1

−V 0

V 0 × 100.Soit : « = (B3 − B2)/B2 ∗ 100 ».

2. Par cette même formule 62, 47 − 58, 86

58, 86 ×100 = 6, 13319 . . ., soit une hausse

de 6,13 %, au centième près.

Entre les années 2000 et 2009 la hausse globale a été de 6,13 %.

3. Le taux d’augmentation annuel moyen t vérifie :

58, 86(1 + t)9

= 62, 47.Soit (1 + t)9 =

62, 47

58, 86 ou (1 + t)9 ≈ 1, 061 332.

Donc 1 + t ≈ 1, 061 3321

9 ou 1 + t ≈ 1, 006 636.

Le taux d’augmentation annuel moyen est donc de 0,66 %, au centième près, entre2000 et 2009.

Partie B

1. a) Sur la calculatrice, on entre en Liste 1 les valeurs de xi et en Liste 2 les valeursde yi.En utilisant la fonction Linreg(ax +b) on obtient :

a = 0, 408 545 . . . et b = 58, 880 545 . . ..Soit a = 0, 41 et b = 58, 88 au centième près.

D’où l’équation réduite de la droite d’ajustement :

y = 0, 41x + 58, 88.

b) Tableau de valeurs :

x 1 10

0,41x + 58,88 59,29 62,98

9



Fonctions

2. L’année 2012 a le rang 12, soit 0, 41 × 12 + 58, 88 = 63, 8.On peut estimer la population française à 63,8 millions d’habitants en 2012.

Sur le dessin, on vérifie que le point (12 ; 63,8) appartient à la droite D.

Partie C

1. Un ajustement a ffine n’est pas envisageable car les points du nuage sont beaucouptrop loin de l’alignement.

2. a) f ′(x) = −0, 02 × 2x + 0, 16 + 0 = −0, 04x + 0, 16.

On résout alors l’inéquation −0, 04x + 0, 16 < 0.

Soit 0, 16 < 0, 04x d’où x > 0, 16

0, 04 ou encore x > 4.

La dérivée est donc strictement négative pour x > 4 et strictement positive pour

x < 4.Tableau de variations :

92



Sujet 42

b) Tableau de valeurs :

x 0 2 4 6 8 10 12

f (x) 82,18 82,42 82,5 82,42 82,18 81,78 81,22

c) f (12) = −0, 02 × 122 + 0, 16 × 12 + 82, 18 = 81, 22.

On peut estimer la population allemande à 81,22 millions d’habitants en 2012.

93



SUJET 43

NOUVELLE-CALÉDONIE, OPTION MERCATIQUE, EXERCICE 4, NOVEMBRE 2010

Une entreprise fabrique x tonnes d’un certain produit, avec 0 x 12.

Le bénéfice, exprimé en milliers d’euros, pour produire x tonnes est modélisé par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 12] par f (x) = 0, 5x2−13x−60+55ln(x+3).

Partie A. Étude d’une fonction1. f ′ désigne la dérivée de f . Calculer f ′(x).

Vérifier que f ′(x) = (x − 2)(x − 8)

x + 3 .

2. Étudier, à l’aide d’un tableau, le signe de f ′(x) dans l’intervalle [0 ; 12].

3. En déduire le tableau de variation de f dans l’intervalle [0 ; 12].

Partie B. Application économique À l’aide d’une feuille automatisée de calcul dont un extrait est donné en annexe, ona créé un tableau de valeurs de la fonction f .

1. Expliquer comment remplir toutes les cellules de la colonne A sans avoir à saisirtoutes les valeurs de la colonne.

2. Donner une formule à recopier vers le bas et à saisir dans la cellule B2 pour obtenirles valeurs de la colonne B.

3. En s’appuyant sur le tableau fourni en annexe et sur l’usage de la calculatrice, quepeut-on a ffirmer au sujet des productions pour lesquelles l’entreprise est déficitaire ?

94





Fonctions

CORRIGÉ


Une fonction logarithme composée x → ln(u(x)), u(x) > 0, modélise le bénéfice

d’une entreprise. L’étude du signe de la dérivée x → u′(x)

u(x) permet de dresser le

tableau de variations et connaître le bénéfice maximal.

Le tableau de valeurs de la fonction est présenté sous la forme d’une feuille de calcul.On y lit les valeurs pour lesquelles l’entreprise est déficitaire, c’est-à-dire les valeursayant une image strictement négative. L’a ffichage au centième près sur la calculatriceprécise l’intervalle solution.

Partie A

1. f ′(x) = 0, 5 × 2x − 13 − 0 + 55 × 1

x + 3 = x − 13 +

55

x + 3.

En réduisant au même dénominateur on obtient :f ′(x) =

(x − 13)(x + 3) + 55

x + 3 .

Soit f ′(x) = x2 + 3x − 13x − 39 + 55

x + 3 =

x2 − 10x + 16

x + 3 .

Par ailleurs (x − 2)(x − 8) = x2 − 8x − 2x + 16 = x2 − 10x + 16.

Donc f ′(x) = (x − 2)(x − 8)

x + 3 .

2. Tableau de signes de f ′

(x) :

96



Sujet 43

3. Tableau de variation de f :

Partie B

1. On écrit 0 dans la cellule A2, puis « =A2+0,5 » dans la cellule A3. On copie ensuitevers le bas jusqu’à la cellule A26.

2. En B2, on saisit : « =0,5*A2∧2-13*A2-60+55*ln(A2+3) ».

On copie ensuite vers le bas jusqu’à la cellule B26.3. L’entreprise est déficitaire lorsque le bénéfice f (x) est négatif.

Sur la table de la calculatrice on utilise un pas de 0,01 :

x 7,33 7,34 8,64 8,65

f (x) 0,002 −0,001 −0,000 6 0,003

L’entreprise est donc déficitaire pour une production, en tonnes, comprise dans l’in-tervalle ]7,33 ; 8,65[.

97



SUJET 44


Les ventes d’un journal quotidien sont réparties entre les ventes en magasins spéciali-sés et les ventes par abonnements.

Au cours des cinq dernières années, alors que les ventes en magasin ont progressérégulièrement, le nombre d’abonnés a suivi la courbe C donnée dans l’annexe.Le temps (en années) écoulé depuis le 1er janvier 2005 est représenté en abscisse. Par

exemple, x = 0 correspond au 1er

janvier 2005, x = 0, 5 au 1er

juillet 2005, x = 1au 1er janvier 2006, etc.Le nombre d’abonnés au quotidien (en milliers) est représenté en ordonnée.

1. Dans cette question, on donnera les réponses avec la précision que permet le gra-phique.

a) Quel était le nombre d’abonnés au 1er janvier 2010 ?

b) Quel a été le nombre maximal d’abonnés au journal ?

Préciser le mois et l’année au cours desquels ce maximum a été atteint.c) Sur quelle période le quotidien a-t-il au minimum triplé le nombre d’abonnés parrapport au 1er janvier 2005 ?

2. La courbe C est la courbe représentative de la fonction f définie sur [0; 5] parf (x) = 3e−0,1x

2+0,7x.

a) Calculer une valeur approchée de f (5) à 0,001 près.

Quel résultat de la question 1. peut-on vérifier à l’aide de cette valeur ?

b) On rappelle que, u étant une fonction dérivable sur IR, la fonction eu est dérivablesur IR et que (eu)′ = u′eu . On note f ′ la fonction dérivée de f sur [0 ; 5].

Montrer que f ′(x) = (0, 6x + 2, 1)e−0,1x2+0,7x.

c) En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0 ; 5].

d) Déterminer par calcul, à la dizaine près, le nombre maximal d’abonnés au journal.

98



Sujet 44

Annexe

CORRIGÉ


Une fonction exponentielle de la forme x → eu(x) est définie par sa représentationgraphique, puis par son écriture.

Les résultats lus sur le dessin seront ensuite retrouvés par le calcul.On veillera à ce que le tableau de variation soit conforme au dessin.

1. a) 2010 − 2005 = 5.

Le point (5 ; 8,2) appartient à la courbe, donc on peut estimer graphiquement à 8,2 milliers le nombre d’abonnés au 1er janvier 2010.

99



Fonctions

b) Le point de la coube ayant la plus grande ordonnée a pour coordonnées(3,5 ; 10,2).Le nombre maximum d’abonnés s’établit donc à environ 10,2 milliers.2005 + 3, 5 = 2008, 5.Ce maximum a donc été atteint le 1er juillet 2008.

c) On lit l’intervalle sur lequel l’ordonnée est supérieure ou égale à 9. Le nombre

d’abonnés a donc triplé entre le 1er

juillet 2007 et le 1er

juillet 2009, soit [2,5 ; 4,5].2. a) f (5) = 3 × e−0,1×25+0,7×5 = 8, 1548 . . .

Soit f (5) ≈ 8, 155.On retrouve le nombre d’abonnés au 1er janvier 2010 lu au 1. a) car 8, 155 ≈ 8, 2 à 0,1 près.

b) f ′(x) = 3 × (−0, 1 × 2x + 0, 7) × e−0,1x2+0,7x,

soit f ′(x) = (−0, 6x + 2, 1)e−0,1x2+0,7x.

c) Comme l’exponentielle est toujours strictement positive, la dérivée est du signe de−0, 6x + 2, 1.

On résout −0, 6x + 2, 1 0 qui équivaut à −0, 6x −2, 1, soit x −2, 1

−0, 6 ou

encore x 3, 5.La dérivée est donc négative pour x 3, 5 et positive pour x 3, 5.

La fonction f est donc croissante sur l’intervalle [0 ; 3,5] et décroissante sur l’inter-valle [3,5 ; 5].

2



Sujet 44

Tableau de variation :

d) f (3, 5) = 3 × e−0,1×(3,5)2+0,7×3,5 = 10, 2126 . . .

Le nombre maximal d’abonnés est donc de 10 210 au 1er juillet 2008, à la dizaineprès.

2



SUJET 45


Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

Un artisan fabrique des vases qu’il met en vente. On suppose que tous les vases fabri-qués sont vendus.

Partie A

L’artisan veut faire une étude sur la production d’un nombre de vases compris entre 0et 60. Il estime que le coût de production de x vases fabriqués est modélisé par la fonction C dont l’expression est C (x) = x2 − 10x + 500, où x appartient à l’intervalle [0 ; 60].Chaque vase est vendu 50 euros.Sur le graphique donné en >annexe, C est la courbe représentative de la fonction C et D2 est la droite d’équation : y = 50x.

1. Par lecture graphique, déterminer :

a) le coût de production de 40 vases fabriqués ;

b) la production, à une unité près, qui correspond à un coût total de 1 300 euros.

2. On note R(x) la recette, en euros, correspondant à la vente de x vases fabriqués.

a) Exprimer R(x) en fonction de x.

b) Déterminer graphiquement le nombre de vases que l’artisan doit fabriquer pourréaliser un bénéfice.

3. a) Montrer que le bénéfice, en euros, réalisé par la fabrication et la vente de xvases, est donné par la fonction B dont l’expression est B(x) = −x2 + 60x− 500,où x appartient à l’intervalle [0 ; 60].

b) Calculer B′(x).

c) Déterminer le signe de B ′(x) sur l’intervalle [0 ; 60].

d) Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l’intervalle [0 ; 60].

2 2



Sujet 45

e) En déduire le nombre de vases à fabriquer et à vendre pour réaliser un bénéficemaximal.

Partie B

L’artisan met en vente 200 vases ; parmi ceux-ci, 60 sont verts.Il constate que 20 % des vases verts ont un défaut alors que seuls 10 % des autres ontun défaut.

Un client choisit un vase au hasard. On appelle :

– V l’événement : « le client choisit un vase vert » ;

– D l’événement : « le client choisit un vase ayant un défaut ».

1. a) Quelle est la probabilité de l’événement : « le client choisit un vase qui n’est pasvert » ?

b) Calculer pV (D).

2. Dans cette question, on pourra s’aider d’un arbre de probabilités.

a) Traduire par une phrase l’événement : V ∩ D.

b) Calculer p(V ∩ D).

c) Calculer la probabilité de l’événement D.3. Sachant que le client a choisi un vase sans défaut, quelle est la probabilité que cevase soit vert ?

2 3



Fonctions

Annexe

1500

10 20 3025 405 15 35 6045 50 550

0

300

200

100

1600

1700

1800

1900

2000

3600

600

500

400

700

800

900

1000

1100

12001300

1400

2500

2600

2700

2800

2900

3000

3500

3300

3400

3100

3200

2100

2200

2300

2400

D2

C

2 4



Sujet 45

CORRIGÉ


La partie A étudie la rentabilité d’une production. L’entreprise est bénéficiaire lorsquela droite de la recette est au-dessus de la courbe du coût. Le bénéfice est maximallorsque l’écart entre les deux tracés est le plus grand. Pour déterminer le bénéficemaximal par le calcul, on écrit la fonction bénéfice, diff érence entre la recette et le

coût, et on dresse son tableau de variation à partir de l’étude du signe de la dérivée.La partie B demande de distinguer la notation p(A ∩ B), probabilité de réaliser à la fois les événements A et B , de la notation pA(B) probabilité que B soit réalisé,sachant que A l’est déjà.

On se rappellera des formules :

pA(B) = p(A ∩ B)

p(A) ,

p(A) = p(A ∩B) + p(A ∩ B), B étant l’événement contraire de l’événement B.

Partie A

1. a) La production de 40 vases coûte 1 700 e car le point (40 ; 1 700) appartient à la courbe C.

b) 34 vases correspondent à un coût de production de 1 300 e car le point(34 ; 1 300) appartient à la courbe C.

2 5



Fonctions

3000

10 20 3025 405 15 35

Bénéfice maximal

346045 50 550

0

600

400

200

3200

3400

3600

1200

1000

800

1400

1600

18001700

1300

2000

2200

2400

2600

2800

D 2

C

2. a) Recette = Prix d’un vase × Nombre de vases.

Donc R(x) = 50x.b) La droite de la recette D2 est au-dessus de la courbe du coût C sur l’intervalle à bornes entières [11 ; 49].L’entreprise est donc rentable pour une production comprise entre 11 et 49 vases.

3. a) Bénéfice = Recette − Coût.Donc B(x) = 50x − (x2 − 10x + 500) = 50x − x2 + 10x − 500.

Soit B(x) = −x2 + 60x − 500.

b) B′

(x) = −2x + 60 − 0, soit B′

(x) = −2x + 60.c) On résout l’inéquation −2x + 60 0.

Soit 60 2x ou encore x 30.La dérivée est donc positive pour 0 x 30 et négative pour 30 x 60.

2 6



Sujet 45

d) Tableau de variation de B :

e) D’après le tableau de variation, 30 vases permettent d’obtenir un bénéfice maximalde 400 e.

Partie B

1. a) L’événement « le client choisit un vase qui n’est pas vert » est l’événementcontraire de V .

Soit p(V ) = 1 − p(V ) = 1− 60

200 = 0, 7.

b) pV (D) est la probabilité que l’événement D soit réalisé, sachant que V l’est déjà.

pV (D) = 20

100 = 0, 2.

2. a) V ∩ D : « le client choisit un vase vert ayant un défaut ».

0,3

0,7

0,2

0,8

0,1

0,9

V

V

D

D

D

D

2 7



Fonctions

b) p(V ∩ D) = p(V ) × pV (D).

Donc p(V ∩ D) = 0, 3 × 0, 2 = 0, 06.

c) p(D) = p(V

∪D) + p(V

∩D).

Donc p(D) = 0, 06 + p(V ) × pV (D).

Soit p(D) = 0, 06 + 0, 7 × 0, 1 = 0, 13.

3. On applique la formule des probabilités conditionnelles : pD(V ) = p(V ∩ D)

p(D).

Donc pD(V ) = 0, 3 × 0, 8

1 − 0, 13 = 0, 275 . . .

Sachant que le client a choisi un vase sans défaut, la probabilité que le vase soit vert

est de 0,28 au centième près.

2 8



SUJET 46

NOUVELLE-CALÉDONIE, OPTIONS MERCATIQUE, C FE ET GS I , EXERCICE 4, NOVEMBRE 2007

Un entrepreneur achète à crédit le 01/01/2003 une machine coûtant 500 000 e. Ilrembourse son prêt en 10 annuités en versant le 1er janvier de chaque année (à partirdu 01/01/2004), la somme de 64 752,29 e qui se décompose en deux parties :

– les intérêts à 5 % sur le capital restant dû l’année précédente ;

– l’amortissement du prêt (le capital remboursé).

Voici le détail de ces premiers versements donné à l’aide d’un tableur.

1

2

3

4

5

A B C D E

Dates Annuité Intérêts Amortissement Capital restant dû

1/1/2003 500000,00

1/1/2004 64752,29 25000,00 39752,29 460247,71

1/1/2005 64752,29 23012,39 41739,90 418507,81

1/1/2006 64752,29 20925,39 43826,90 374680,91

Ainsi, les intérêts payés le 01/01/2004 représentent les 5 % du capital restant dûau 01/01/2003. La somme amortie en 2003 étant la diff érence entre le montant del’annuité et les intérês payés en 2003.

Toutes les sommes seront données avec deux décimales.

1. Vérifier que les sommes indiquées en C3 et D3 sont correctes. Faire de mêmeavec les sommes indiquées en C4 et D4. Compléter alors la ligne 6 de ce tableau,reproduite ci-après.


01/01/2007 64 752,29

2. Dans la cellule D3 a été entrée la formule : « =B3−C3 » qui, par « copier-glisser »a permis de compléter la colonne D.

a) Donner, de la même façon, la formule entrée en C3.

Que devient cette formule si on la recopie en C4 ?

2 9



Actualisation

b) Donner la formule entrée en E3 qui, par « copier-glisser » a permis de compléterla colonne E.

3. On définit des suites (in), (an) et (cn) pour n 1 par :


01/01/(2003 + n) 64 752,29 in an cn

Par exemple, i1 = 25 000 représente les intérêts au 01/01/2004.

Donner les valeurs de i2, i3, i4, a1, a2, a3, a4, c1, c2, c3 et c4.

4. Sachant qu’une de ces trois suites et une seule est géométrique, déterminer laquelleen précisant votre méthode. Quelle est la raison de cette suite ? (On arrondira lescalculs à 10−2 près.)

5. Déterminer, sans calcul et en justifiant, la somme a1 + a2 + . . . + a10.

6. À l’aide de la question 4, justifier l’égalité suivante :

a1 + a2 + ... + a10 = 795 045,80 × (1,0510 −1).

Comparer le résultat avec celui de la question 5. Commenter.

7. Par la méthode de votre choix, déterminer le montant total des intérêts payés parl’entrepreneur.

CORRIGÉ

1. On a a ffiché :

– en C3 : 500 000 × 0, 05 = 25 000, soit 25 000 e ;

– en D3 : 64 752, 29 − 25 000 = 39 752, 29, soit 39 752,29 e ;

– en C4 : 460 247, 71 × 0, 05 = 23012, 39, soit 23 012,39 e ;

– en D4 : 64 752, 29 − 23 012, 39 = 41 739, 90, soit 41 739,90 e.

Pour la ligne 6, on obtient :

– intérêts : 374 680, 91

×0, 05 = 18 734, 05, soit 18 734,05 e ;

2



Sujet 46

– amortissement : 64 752, 29 − 18 734, 05 = 46 018, 24, soit 46 018,24 e ;

– capital restant dû : 374 680, 91 − 46 018, 24 = 328 662, 67 soit 328 662,67 e.

Dates Annuité Intérêts Amortissement Capital restant dû01/01/2007 64 752,29 18 734,05 46 018,24 328 662,67

2. a) En C3, on a écrit : « =E2*0,05 ».En recopiant, on lit en C4 : « =E3*0,05 ».

b) En E3, on a écrit : « =E2−D3 ».

3. On a :

i2 = 23 012,39; i3 = 20 925,39; i4 = 18 734,05.De même :a1 = 39 752,29; a2 = 41 739,90; a3 = 43 826,90; a4 = 46 018,24.Et :c1 = 460 247,71 ; c2 = 418 507,81 ; c3 = 374 680,91 ; c4 = 328 662,67.

4. On a :a4a3

= 46 018, 24

43 826, 90 = 1, 05 ;

a3a2

= 43 826, 9041 739, 90

= 1, 05 ;

a2a1

= 41 739, 90

39 752, 29 = 1, 05.

Comme on multiplie toujours par le même facteur 1,05 pour passer d’un terme ausuivant, la suite (an) des amortissements est une suite géométrique de premier termea1 = 39 752,29 et de raison 1,05.

5. On sait que la somme des amortissements au cours des dix années de l’emprunt

doit être égale au capital emprunté.Donc a1 + a2 + a3 + . . . + a10 = 500 000 e.

6. La somme des dix premiers termes d’une suite géométrique est donnée par la formule :

a1 + a2 + a3 + . . . + a10 = a1

1 − q 10

1 − q (q étant la raison).

Donc a1 + a2 + a3 + . . . + a10 = 39752, 29 × 1 − 1, 0510

1

−1, 05

2



Actualisation

a1 + a2 + a3 + . . . + a10 = 39 752, 29

0, 05 × (1, 0510 − 1)

a1 + a2 + a3 + . . . + a10 = 795 045, 80 × (1, 0510 − 1).

En eff ectuant ce calcul, on obtient :a1 + a2 + a3 + . . . + a10 = 500 000 e.

On retrouve le capital emprunté.

7. On sait que :

somme des annuités = somme des intérêts + somme des amortissements.

Donc :somme des intérêts = somme des annuités − somme des amortissements.

Soit :somme des intérêts = 64 752,29 × 10 − 500 000 = 147 522,90.

La somme des intérêts est donc de 147 522,90 e.

2 2



SUJET 47


Sur un site Internet, on peut consulter le tableau suivant.Indicateur des taux fixes pour un prêt immobilier.

15 ans 20 ans 25 ans

Taux A 3,65 % 3,70 % 3,85 %

Taux B 3,85 % 3,90 % 4,05 %Taux C 4 % 4,05 % 4,20 %

On rappelle que le montant a, en euros, de chacune des n annuités dans le cas d’unemprunt à annuités constantes de E euros, avec un intérêt annuel de i est :

a = E × i

1 − (1 + i)−n.

Monsieur Durand et Monsieur Félix souhaitent emprunter 150 000 euros pour ache-ter un appartement.

1. a) Monsieur Durand choisit le taux A sur 15 ans, calculer le montant de l’annuité,le montant de la mensualité, le coût total du crédit.

b) Monsieur Félix choisit le taux B sur 20 ans, calculer le montant de l’annuité, lemontant de la mensualité, le coût total du crédit.

2. Monsieur Durand gagne 3 400 euros par mois et Monsieur Félix gagne 3 100 eurospar mois.La banque refuse le dossier si la mensualité dépasse 30 % du salaire mensuel.

a) Déterminer la ou les personnes pour qui le dossier sera refusé.

b) Pour la ou les personnes refusée(s), proposer une solution qui soit acceptée par la banque.

2 3



Actualisation

CORRIGÉ

1. a) a = 150 000 × 0, 0365

1 − 1, 0365−15,

soit a ≈ 13 163, 08.

L’annuité est de 13 163,08 euros. 13 163, 1

12 ≈ 1096, 92.

La mensualité est de 1 096,92 euros. 13 163, 1 × 15 ≈ 197 446.

Le coût total du crédit est de 197 446 euros.b) a = 150 000 × 0, 039

20,

Documents

bac_Sujets de Mathématiques, Term STG.pdf