Barsu2013 Lyon

Formation Sciences de la Matire Stage 2013cole Normale Suprieure de Lyon Sylvie BARSUUniversit Claude Bernard Lyon I M2 Physique

Modlisation exprimentale et analytiquede linteraction coulement/plantes

en gomtrie simplifie

Rsum

Durant ce stage, nous avons mis en place une exprience dans un canal centim-trique permettant de visualiser la fois le mouvement de tiges flexibles immergesdans un coulement et le champ de vitesses dans leau par PIV. Ces mesures ont tcompares des modles thoriques rsolus numriquement, en particulier concernantla dflexion des tiges. Ltude de stabilit du systme fournit une relation de dispersionque nous mettons en lien avec les frquences caractristiques observes exprimenta-lement.

Mots-cls : hydrodynamique environnementale ; interaction fluide-structure ;

LMFA UMR 5509Universit Claude Bernard Lyon IDomaine Scientifique de la DouaBtiment Omga, 43 Bd du 11 novembre 191869622 Villeurbanne Cedexhttp://lmfa.ec-lyon.fr/

Encadrante :Delphine Doppler+33 4 72 43 13 51

[email protected]

Remerciements

Je voudrais dabord remercier Delphine qui a propos et encadr ce sujet original. Jaibien aim ce stage, qui augure favorablement (jespre) de la thse que je commence enseptembre. Merci Nicolas Rivire et Michel Lance de stre intresss le temps de quelquesdiscussions la problmatique passionnante des roseaux dans les coulements !

Un grand merci galement Amandine Paquet qui ma bien aide amliorer la manipet rendre les mesures plus faciles, ainsi qu Stphane et Michel de latelier qui sont toujoursl en cas de souci technique !

Pour finir, merci mes co-bureau pour lambiance sympathique et les pauses au soleilet mes collgues de lENS en stage la Doua pour les piques-niques improviss le midi.

Table des matires

1 Introduction 31.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Prcdentes tudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Etude thorique 52.1 Les diffrents lments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Le systme coupl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Quels paramtres pour observer le monami ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Etude des grandes dformations dune tige dans un coulement . . . . . . . 9

3 Dispositif exprimental et techniques de mesure 103.1 Le canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Les tiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Mesure du mouvement des tiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Mesure de lcoulement par PIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Expriences et exploitation 144.1 Protocole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Exploitation sur deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Rsultats et discussion 185.1 Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Dflexions et coefficient de trane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Conclusion 21

1 INTRODUCTION 3

1 Introduction

1.1 Contexte

Ltude des obstacles flexibles dans les coulements peut se faire dans divers domaineset toutes les chelles (dun cil de bactrie une fort). De nombreuses applicationsconcrtes existent, comme par exemple :

la croissance de plantes avec forage mcanique ; le dplacement dinsectes et bactries grce aux poils/cils recouvrant leur surface ; la dispersion despces passives (polluants) dans des zones vgtalises ; la rcupration dnergie (transfert coulement lment flexible), ou la fabrication

de filtres.Le cadre global de cette tude est linteraction fluide-structure.

1.2 Prcdentes tudes

Le but est dtudier les changes dnergie entre un coulement et des obstacles, pou-vant amener une rsonance (mouvement global) quand les obstacles sont non-rigides.En effet, contrairement au cas o il ny aurait quun seul obstacle, on peut assister desmouvements corrls des obstacles excits par lcoulement. Ce rgime est appel monami,il est reprsent figure 1c.

(a) Erect/rigid (b) Swaying (c) Monami (d) Prone

Figure 1 Diffrents types dcoulement possibles au-dessus dun couvert vgtal (schmasextraits de [1]).

tudes exprimentales Un certain nombre dtudes ont port sur ce phnomne, dansdes conditions diffrentes. Parmi celles-ci, on peut citer :

Py et al. [2] ont tudi le vent dans les champs de bl, en faisant des mesures de vitesse in-situ par PIV (Particle Image Velocimetry - principe dtaill au paragraphe 3.4) lasurface dun champ. Ils observent un mouvement global dondulation (honami), lafrquence propre des tiges. Ce phnomne est caractris par une phase daccrochagedans laquelle ce sont les tiges qui gouvernent linstabilit, et non lcoulement. Ilsle modlisent par linteraction entre un oscillateur neutre (fluide) et un oscillateurinstable (plantes). Leurs rsultats compars leur modle sont prsents figure 2.

Nepf et al. [3] ont utilis un montage avec des obstacles flexibles dans un canal hydrauliquede grande taille. Dans cette tude, les obstacles sont trs dflchis et subissent degrands dplacements. Un mouvement global des tiges est galement observ dansleau (appel monami), mais la frquence du phnomne correspondant celle delinstabilit de Kelvin-Helmholtz de la couche de mlange non borne (note KHdans la suite du rapport). Les mesures tendent donc montrer que cest linstabilitdu fluide qui gouverne le phnomne. Toutefois, la vitesse de phase observe est 1,5fois suprieure la vitesse prdite pour les ondes.

4 tude de linteraction coulement/plantes

Okamoto et Nezu [1, 4] se sont intresss la visualisation par PIV de lcoulementau-dessus de tiges immerges dans un canal hdraulique de grande taille. Les ondula-tions la surface du couvert vgtal sont dues des structures tourbillonnaires quipassent et inclinent les tiges, ce qui encourage prendre en compte laspect turbulentde lcoulement. Ils font galement une description phnomnologique des diffrentsrgimes possibles (voir illustrations figure 1), allant du couvert rigide immobile la vgtation couche par le courant, en passant par des ondulations plus ou moinscohrentes.

(a) Longueur donde normalisepar la hauteur des plantes

(b) Frquence normalise par lafrquence propre des plantes

Figure 2 Proprits ondulatoires du premier mode observ exprimentalement pour deuxtypes de plantes ( , o ) et comparaison au modle coupl () ; Ur est la vitesse rduite ;rsultats extraits de [2].

Modles

C. Py et F. Gosselin [2, 5] ont mis en quation le systme coulement/tiges coupls par latrane et ralis une tude de stabilit linaire. Les lignes de courant sont clairementdiffrentes pour des tiges situes dans lair et dans leau. En effet, on retrouve unaccrochage dans lair, mais pas vraiment dans leau, dans la gamme de paramtresdes expriences de Nepf et al. [3].

1.3 Objectifs

Dans ce stage, lobjectif tait de comprendre mieux le mcanisme dinteraction en fai-sant des mesures sur une range unique de tiges flexibles immerges dans un coulement.Les prcdentes tudes ne tranchent pas quant lorigine de cette instabilit : est-elle gou-verne par le fluide ou les obstacles ? Quels sont les paramtres significatifs du problme ?Contrairement aux tudes prcdentes, nous nous sommes particulirement intresss aumouvement des tiges, dans lespoir dobserver la transition vers le rgime de monami.

2 ETUDE THORIQUE 5

2 Etude thorique

On tudie linteraction entre deux oscillateurs, lun solide et lautre fluide, coupls par laforce de trane. La dstabilisation de linterface se fait via linstabilit de KH dune couchede mlange, puisque la prsence des tiges ralentit lcoulement dans sa partie infrieure etcre un point dinfexion dans le profil de vitesses moyen. Je me fonde ici sur le modleprsent par Gosselin [5].

2.1 Les diffrents lments

2.1.1 Oscillateur solide : les tiges

y

x

X(x,y,t) e

h

s

Figure 3 Notations pourltude des oscillations des tiges.

Les tiges sont modlises par des poutres flexibles demasse volumique , de section S = we, de module dYoungE et de facteur de forme Iz = e3w/12 par rapport ladirection transverse. Dans tous les calculs, leur mouvementest dcompos de la manire suivante (voir notations surla figure 3) :

X (x, y, t) = (y)

forme

Q(x, t)ex

Pour simplifier les calculs, on prend le modle dunetige rigide lie au sol par un ressort de torsion, formant unsystme de pulsation propre 0. On a donc (y) = y/h.Les tiges tant suffisamment peu espaces, le rseau detiges est dcrit comme un milieu continu.

On fera par la suite lhypothse de petites amplitudesdu mouvement pour lanalyse de stabilit.

2.1.2 Oscillateur fluide : lcoulement

U1

U2

U

y

0

Figure 4 Profil de vitesses enligne brise pour lanalyse de sta-bilit de KH.

On tudie linstabilit de KH dans un coulement debase en lignes brises, reprsent figure 4, dont on va fairelanalyse de stabilit linaire temporelle classique (commedans [6]) :

U = U1 si < y (1)

U = Um + Uy

si < y < (2)

U = U2 si y < (3)

o Um = U1+U22 et U =U1U2

2 .On pose u et v les perturbations de lcoulement dans

les directions x et y, et la fonction de courant telle que :u = y et v = x. Cette fonction de courant obit lquation de Rayleigh.

(t + Ux) x2yU = 0 (4)On recherche la solution en modes normaux

(x, y, t) =1

2((y)ei(kxt) + c.c.)


qui sera de la forme i = Aieky + Bieky dans chacune des trois zones. Les constantessont dtermines grce aux conditions aux limites. Il y a continuit de la vitesse et de lapression aux interfaces, et pour les conditions en bas et en haut, cela dpend du systmetudi : il peut tre infini de chaque ct, ou born par deux parois solides, ou encore avecune paroi solide et une surface libre.

Pour un milieu infini, la perturbation doit tendre vers zro au loin. Pour une paroi solide, la condition est :

V n = 0, qui scrit vparoi = 0.

Pour une surface libre, les conditions sont : Psurf = 0 et vsurf = DHDt o H(x, t) estlaltitude de la surface libre. On fait lhypothse que les variations daltitude de lasurface libre rajoutent une pression hydrostatique laltitude Hb de la surface ; entronquant au premier ordre la position de la surface et en dveloppant en ondesprogressives, on obtient la condition : vsurf = HbkFr2 (1 +R /k) psurf o R =U/Um et Fr =

V 2/gHb.

Cela modifie la stabilit de lcoulement et la valeur du vecteur donde le plus amplifi(en cas dinstabilit). Par exemple, sur la figure 5, on voit que si on ajoute un fond et unesurface libre un coulement non born, le taux de croissance maximal sera plus petit etatteint pour un nombre donde k plus petit. Cela change donc la valeur de la clrit delonde associe. Il sera important dans la suite de ne pas oublier linfluence dune surfacelibre sur lcoulement.

0 0.5 1 1.5 20.5

1

1.5

k

c r/ U

m

(a) Clrit des ondes en fonction du nombredonde

0 0.5 1 1.5 20.40.30.20.1

00.10.20.30.4

k

i/

U

(b) Taux de croissance en fonction du nombredonde

Figure 5 Relations de dispersion obtenues numriquement pour une couche limite nonborne (deux branches noire et rouge) et pour une couche limite avec un fond rigide et unesurface libre (bleue et verte). Toutes les grandeurs sont adimensionnes.

2.1.3 Couplage : la trane

La force de trane exerce par lcoulement sur une tige est proportionnelle au carrde la diffrence de vitesses entre lcoulement et les tiges, que lon intgre sur la hauteurde la tige ; s est labscisse curviligne.

fx =

tige1

2CDw

Vx Xt (Vx Xt

)s

hds (5)

Dans le cas de petites oscillations de la tige, hypothse que nous ferons dans la suite,on assimile labscisse curviligne s la coordonne y.

On suppose que le rseau de tiges se comporte comme un milieu continu : lactionexerce par les tiges sur lcoulement est introduite dans les quations de Navier-Stokessous forme dun terme source (force volumique

f ).

2 ETUDE THORIQUE 7

2.2 Le systme coupl

Les diffrents lments sont mis en relation pour obtenir un systme dquations, donton fait lanalyse de stabilit linaire pour dterminer les frquences et les modes amplifis.

2.2.1 Systme dquations

Le systme est rgi par un ensemble de quatre quations : lquation de Navier-Stokesprojete sur x et y, la relation dincompressibilit (pour lcoulement), et lquation dunoscillateur forc de masse m, ventuellement corrige dun effet de masse ajoute - voirplus loin - (pour les tiges).

f est nulle en-dehors du couvert.

(Vt + (

V )V

)= P +f

V = 0m

2Qt2

+m0Q = h

012CDw

Vx Qt (Vx Qt )dyComme pour rsoudre KH, on dcompose lcoulement en un profil de base plus une

perturbation (u, v, p, q).On adimensionne ensuite le systme de la manire suivante :

M =m

hbl; C =

CDw

bl(1R) ; h = h

; R =

U1 U2U1 + U2

; UR =U

0

t = tU

; x =

x

; y =

y

; Q =

Q

; P =

P

U2;

toutes les vitesses sont adimensionnes par U (voir le profil de vitesses de base figure 6).

1-R

y

U

1+R

h

h+1

1+R+2R(y-h)

Figure 6 Profil de vitesses sansdimension pour lanalyse de stabi-lit.

est la taille caractristique de la couche de m-lange que lon obtient en ajustant le profil de vitessesde base par une ligne brise, par analogie avec ltudede linstabilit de KH avec couche de mlange faite plushaut. Lhypothse dirrotationnalit est applique pourcalculer le terme de pression.

Les solutions sont recherches sous forme dondesprogressives

(u, v, p, q) = (u, v, p, q)e(kxt) + c.c.

Le systme scrit donc de la manire suivante(toutes les grandeurs sont sans dimension) :

( + U bk) u+ vyU b = kp C (u+ q)( + U bk) v = ypku+ yv = 0(2 + U2R ) q = CMh h0 (u+ q)dyU b reprsente lcoulement de base en ligne brise.

La dernire quation nest prsente que dans la partieinfrieure (mouvement des tiges), et partout ailleurs le coefficient de trane C est nul.

Les solutions analytiques de ce problme sont prsentes dans lannexe.


2.2.2 Relation de dispersion

On crit ensuite le systme de 7 quations correspondant aux conditions aux limites(on appelle la matrice associe A), dont on annule le dterminant.

Les conditions aux limites sont les suivantes :

? en bas : v(0) = 0.

? au sommet des tiges : v(h) = v+(h) et p(h) = p+(h).

? au-dessus de la couche de mlange : v(h+ 1) = v+(h+ 1) et p(h+ 1) = p+(h+ 1)

? la surface libre : v(Hb) = HbkFr2(1 +R /k) p(Hb)

La rsolution se fait numriquement sous Matlab ; pour chaque valeur de UR, on gardeuniquement la valeur de dont la partie imaginaire est la plus positive (perturbation laplus amplifie) et le vecteur donde k correspondant.

2.3 Quels paramtres pour observer le monami ?

Loscillateur reprsentant les plantes tant neutre, pour observer le phnomne de mo-nami, il faut quune instabilit se dveloppe dans lcoulement. Une condition ncessairepour cela (dans le cas dune instabilit non-visqueuse) est que le profil de vitesses du fluideprsente un point dinflexion. Dans notre situation, il faut donc que le couvert vgtalralentisse suffisamment lcoulement dans sa partie infrieure pour crer une couche de ci-saillement. Voici une revue des nombres sans dimension qui contrlent le systme, daprsle modle ci-dessus.

2.3.1 Nature du rseau des tiges

La gomtrie du couvert (forme et espacement des tiges) et la masse volumique sontprsentes dans les quations via le paramtre M dfini au paragraphe 2.2.1. Il comparelinertie de la plante celle de lcoulement qui lenvironne.

Dans leau, il faut prendre en compte le phnomne de masse ajoute : un certainvolume deau est mis en mouvement, entran par la tige, qui a donc une masse apparenteplus grande que dans lair. Il existe des formules de la masse ajoute en fonction de lagomtrie du systme tudi, qui permettent destimer la frquence propre des tiges dansleau. Pour une tige comme celles tudies, il faut ainsi ajouter une masse par unit delongueur m+ = piw

2

4 (voir rfrence [7]). Ici m+ m donc M se rduit :

M =m+b`

=piw2

4b`

Pour que les deux systmes puissent interagir, il est naturel de penser que leurs inertiesdoivent tre proches : cela donne la condition M ' 1.

2.3.2 coulement

La vitesse rduite UR est le quotient de la priode de vibration libre 1/0 par le tempsdadvection de lcoulement le long dune tige /U . Daprs E. de Langre [8], pour quelcoulement soit susceptible dexciter les tiges oscillantes une frquence proche de leurfrquence propre, ces deux temps doivent tre comparables do le critre indicatif UR ' 1.

Il ne faut pas oublier que la frquence propre des tiges dpend de la gomtrie et dumatriau.

Le nombre de Froude (Fr = U/gHb) sert quantifier le confinement de lcoulement,

puisquil fait intervenir la hauteur deau Hb.

2 ETUDE THORIQUE 9

2.3.3 Couplage

Le couplage via la force de trane fait intervenir le terme C, qui est proportionnel aucoefficient de trane et fait intervenir lespacement et la gomtrie des tiges. Plus C estlev, plus le couplage sera fort, comme lexplique Py [2].

Une difficult est de dterminer lavance les diffrentes grandeurs , R et CD. Eneffet, la trane augmente quand lcoulement est plus rapide, mais les tiges flexibles ploientdautant plus que le dbit est important, ce qui diminue leur aire frontale et donc leur CD.On ne peut dterminer ces paramtres qua posteriori !

2.4 Etude des grandes dformations dune tige dans un coulement

Afin dobtenir une valuation du CD, jai cod les grands dplacements dune tige enminspirant des rfrences [9] et [10]. En appelant s labscisse curviligne le long de latige (voir notations figure 3), sous lhypothse de petites dformations, on a lquation dumoment M (o = s est la courbure de la tige) :

Ms = EI

s . Or, lquilibre dun

tronon de poutre de longueur ds donne dune part la relation entre la drive du momentM et leffort tranchant N : Ms = N(s), et dautre part la relation entre la rpartitionlinique de force f exerce par lcoulement suivant la normale locale et la variation deleffort tranchant :Ns = f . La force de trane est calcule sous lhypothse que le fluidetransfre la tige la quantit de mouvement quil porte dans la direction perpendiculaire celle-ci. En remplaant lexpression correspondante pour f et en drivant nouveaulexpression prcdente, on obtient :

3

s3= 1

EI

2wCD (U cos)2 (6)

Les conditions aux limites sont : encastr en s = 0 : (0) = 0. libre en s = h : s(h) = 0 et 2s(h) = 0.Lquation est rsolue sous Matlab par diffrences finies et on remonte lallure de la

tige en intgrant : {x(s) =

s0 sin(u)du

y(s) = s

0 cos(u)du

Lallure des tiges plies sous leffet de lcoulement est prsent figure 7.

0 5 10 15 20 250

10

20

30

40

50

60

70

X (mm)

Y(mm

)

Figure 7 Rsultat de la modlisation pour diffrentes valeurs du coefficient CDU2 (augmentede gauche droite).


3 Dispositif exprimental et techniques de mesure

Nous crons un couvert vgtal de caractristiques connues (dimensions, masse, moduledYoung...) dont on pourra mesurer le mouvement au cours du temps en mme temps quelon observera lcoulement qui lexcite. Nous mettons en place une range de tiges uniqueafin de pouvoir mesurer ces mouvements.

3.1 Le canal

Rservoir

Pompe

Vanne de sortie

Rglage du dbit

Limnimtre

Figure 8 Le canal utilis, avec sa pompe et ses rservoirs ; la grille lentre gauche sert viter la formation de gros tourbillons dus des irrgularits de dbit de la pompe.

Les expriences sont ralises dans un canal de longueur L = 2 m et de largeur b = 4 cmdessin figure 8. Il est aliment en eau par une pompe de dbit rglable, en circuit ferm.

Le canal est inclinable, il pivote autour dun axe situ lextrmit gauche et on contrlelangle grce une vis sans fin situ de lautre ct. Cela permet de garder une hauteurdeau constante sur toute la longueur mme quand le fond est recouvert de tiges (nousreviendrons sur ce problme). La hauteur deau est mesure avec un limnimtre prcis audixime de millimtre.

Pour mesurer le dbit moyen, je chronomtre le remplissage dun volume deau connudans un rcipient gradu en sortie du canal.

3.2 Les tiges

3.2.1 Matriau

Les tiges sont dcoupes dans des feuilles de PVC dpaisseur e = 0.10 mm. Je noteleur longueur h et leur largeur w.

Jen ai mesur les caractristiques mcaniques de la manire suivante.

Mesure de la masse volumique par pese. Je pse sur une balance (prcise aucentime de gramme) une pile de 10 transparents pralablement mesure. Je trouve ainsiune masse volumique = 1.413 g/cm3.

3 DISPOSITIF EXPRIMENTAL ET TECHNIQUES DE MESURE 11

Mesure du module dYoung par vibration. Je mesure la frquence doscillationslibres dune tige dans lair et je compare la formule de la frquence du premier modedoscillation dune poutre encastre/libre pour en dduire E.

i =R2ih2

EI

S, o R0 = 1.875 pour le mode fondamental.

Ici, les autres grandeurs sont connues : a t mesur, S = we et le moment quadratiquedune poutre rectangulaire vaut I = we3/12.

Pour cela, on filme les oscillations libres dans lair, on slectionne dans limage unealtitude dont on reproduit lvolution au cours du temps (reslice) ; puis on ajuste la courbeobtenue par une fonction du type y(t) = A exp(t/) cos(0t+ ).

La mesure est faite dans lair et dans leau pour une tige de dimensions w = 20 mmet h = 60 mm. Je mesure fair0 = 7.42 Hz, ce qui donne E = 3.85 GPa, ordre de grandeurraisonnable pour du PVC. Dans leau, lamortissement est plus grand et lamplitude faiblemais on russit voir suffisamment doscillations pour mesurer f eau0 = 0.83 Hz. Deuxexemples de mesure sont prsents figure 9.

0 1 2 3 460

40

20

0

20

40

60

Amplit

ude (

px)

Temps (s) 0 2 4 6 830

20

10

0

10

20

30

Temps (s)

Amplit

ude (

px)

Figure 9 Oscillations de la tige dans lair ( gauche) et dans leau ( droite) ; attention, leschelles de temps et les amplitudes sont diffrentes !

3.2.2 Fixation

Jai test plusieurs mthodes pour disposer les tiges au fond du canal, sachant que laverticalit, le centrage et lespacement des tiges doivent tre contrls au mieux.

La pte modeler : elle a lavantage dtre pratique et rapide mettre en place, maiscest difficile de grer la verticalit et lintervalle entre deux tiges de manire prcise.

La mousse de fleuriste : on dcoupe des plaques dpaisseur 1 cm, dans lesquelles desencoches sont ralises la fraiseuse tous les centimtres, avant denfoncer les tigesdedans. Ainsi lespacement est prcis. Cependant, la mousse a tendance se dliterquand elle sche et les tiges ne tiennent pas bien (la condition dencastrement en basest probablement non respecte).

Les LEGO : on coince les tiges entre deux briques de lego fixes sur une plaque. Celaa lavantage dtre dmontable, lintervalle est parfaitement matris au dixime demillimtre prs (taille des briques connue) et la verticalit bien meilleure. Cest lesystme adopt pour la majeure partie des expriences.

3.2.3 Dimensions

Daprs ltude dimensionnelle faite au paragraphe 2.3, la forme des tiges doit tre telleque M ' 1. Pour mes expriences, les tiges taient dcoupes dans des feuilles de PVC


et mesuraient w = 20 mm de largeur et h = 60 mm de hauteur, spares de ` = 8 mm(largeur dune brique de LEGO). Cela donne pour le paramtre M :

M =m+b`' 0.98

Jai fait galement un essai en remplaant chaque grosse tige par quatre petites alignes,chacune de largeur w/4 (ce qui assure la mme valeur deM), mais a na pas t concluant :les quatre tiges de la mme range noscillant pas en phase, il tait difficile dexploiter lesvidos pour analyser ensuite leur mouvement.

Il est apparu ncessaire de tapisser entirement le canal de tiges pour pouvoir conserverune hauteur deau constante sur toute sa longueur. En effet, lcoulement est fortementralenti dans les tiges et pour maintenir le dbit constant (condition dincompressibilit) lahauteur deau a tendance diminuer au-dessus des zones o il y a des tiges. Pour viterce problme, jai mis des tiges sur toute la longueur du canal. Quand le dbit est trslev, le ralentissement par les tiges est tellement important que jai d en plus incliner lecanal pour garder une hauteur deau constante, sinon leau saccumule en dbut de canalet svacue mal. On peut dire quon compense les frottements par la gravit, linclinaisongnrant un gradient de pression le long du canal.

3.3 Mesure du mouvement des tiges

Jutilise la mme configuration que pour la PIV (sans traceurs) pour filmer les tiges,puisque le fond noir et le plan laser permettent de les voir trs nettement. Pour lanalyse, jeslectionne une altitude (5 cm au-dessus du fond du canal) et je suis lvolution temporellede la range de pixels situe cette altitude, cela donne une image (fonction Reslice deImageJ) o je peux suivre les trajectoires des diffrentes tiges visibles sur les images, grce une fonction approprie sous Matlab.

(a) Exemple dimage

t

x

(b) Reslice

0 2 4 6 8 10 12 14 1610

20

30

40

50

60

70

80

90

Temps (s)

Positi

on (m

m)

(c) Suivi des trajectoires

Figure 10 Etapes du traitement des vidos : les pointills jaunes sur (a) indiquent laltituderapporte au cours du temps pour toutes les images du film, cela donne limage (b) dont onextrait les trajectoires (c).

3.4 Mesure de lcoulement par PIV

Pour observer lcoulement, nous avons mis en place un systme de PIV (Particle ImageVelocimetry). Le montage est abrit sous une tente en tissu noir pour viter les lumiresparasites. Une petite diode laser (continu de 40 mW) cre un plan de lumire vertical, etlcoulement est film latralement par une camra situe perpendiculairement au canalcomme sur la figure 11. Cela permet de voir la fois lcoulement (via des traceurs en

3 DISPOSITIF EXPRIMENTAL ET TECHNIQUES DE MESURE 13

Laservert

Camra

Figure 11 Dispositif de mesure de lcoulement par PIV ; des traceurs (non reprsents)sont prsents dans leau pour permettre la visualisation des champs de vitesse instantans.

polyamide de taille 50 m ou 80 m) et le mouvement des tiges (qui rflchissent la nappelaser).

Quelques mots sur le principe de la PIV : cette mthode repose sur lutilisation detraceurs de masse volumique proche de celle de leau et de taille telle quils sont advectspar lcoulement. Ainsi, en suivant leur mouvement, on a accs au champ de vitesses danstout le fluide, condition den mettre suffisamment. Ensuite, lanalyse se fait via le logicielPIVlab [11] en corrlant des couples dimages qui se suivent pour retrouver la trajectoiredes particules pendant dintervalle de temps dt. Il faut donc rgler la camra de manire voir les traceurs le plus nettement possible (dure douverture faible) tout en gardant unebonne luminosit. La frquence dacquisition est choisie assez grande pour ne pas perdreles traceurs entre deux images, en pratique jai fait tous les enregistrements 120 imagespar seconde parce que ctait le maximum de la camra que jutilisais, et que la frquenceen-dessous (60 images par seconde) tait clairement insuffisante.

Un exemple dimage analyse (en ralit un couple dimages qui se suivent) se trouvefigure 12.

(a) Exemple dimage (b) Champ de vitesse instantan

Figure 12 Image et rsultat du suivi PIV ; les vecteurs verts sont calculs par le logicielPIVlab et les oranges sont interpols aux endroits o il manque des valeurs.


4 Expriences et exploitation

4.1 Protocole

Les deux paramtres ajustables de lexprience sont le dbit Q et la hauteur deauHb. Jai fait mes mesures en faisant varier le dbit hauteur fixe Hb = 7.5 cm. Voici leprotocole que jai mis en place :

Rglage du dbit en sortie de la pompe Inclinaison du canal pour avoir la hauteur deau dsire au dbut du canal Ouverture ou fermeture de la vanne de sortie pour avoir la mme hauteur tout le

long Mesure du dbit : chronomtrage du remplissage dun certain volume dans un rci-

pient gradu (5 mesures chaque fois) Premier film : mouvement des tiges Deuxime film : pour la PIV (aprs ajout des traceurs) Photographie de la mire sans dplacer la camra.

4.2 Exploitation sur deux exemples

Je prsente les diffrentes tapes et traitements des donnes partir de deux exemples :un faible dbit Q13 = 0.05 L/s et un dbit plus important Q10 = 0.58 L/s, les deuxayant la mme hauteur deau Hb = 7.5 cm comme toutes les autres expriences.

Voici prsent figure 13 le rsultat du suivi des trajectoires pour les deux exemples.

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

50

60

70

Temps (s)

Positi

on (m

m)

(a) Faible dbit

0 2 4 6 8 10 12 14 160

10

20

30

40

50

60

70

Temps (s)

Positi

on (m

m)

(b) Fort dbit

Figure 13 Suivi temporel des trajectoires de huit tiges au cours du temps, pour des dbitsrespectivement de 0.05 L/s (a) et 0.58 L/s (b).

4.2.1 Analyse spatiale

Amplitude La premire information que nous pouvons tirer de ces graphes est lampli-tude moyenne du mouvement, que je dfinis comme tant lcart-type de la srie temporelledes positions des tiges. Je le calcule pour chaque tige, puis le moyenne sur les diffrentestiges pour avoir une valeur par dbit.

Ainsi, pour les deux exemples, nous avons les amplitudes suivantes (tableau 1).

4 EXPRIENCES ET EXPLOITATION 15

n tige 1 tige 2 tige 3 tige 4 tige 5 tige 6 tige 7 tige 8 moyenneQ10 1.84 1.93 1.85 1.81 1.86 1.87 1.88 1.78 1.85Q13 0.35 0.34 0.25 0.38 0.36 0.23 0.43 0.30 0.32

Table 1 Amplitudes des mouvements des tiges (en millimtres).

Dflexion moyenne Pour calculer la dflexion des tiges, je mesure sur les images lesabscisses des pieds des tiges x0i et je dfinis la dflexion instantane de la manire suivantepour la i-me tige ( laltitude 5 cm) :

di(t) = xi(t) x0i (7)

Les rsultats sont prsents sous forme de PDF (probability density function), ungraphe prsentant le nombre doccurences n dune certaine dflection en fonction de lavaleur de cette dflexion. Le nombre doccurences est norm par le nombre total de tigeset la dure du film (i. e. n = 1 pour tous les graphes). Ces PDF sont ajustes par desgaussiennes N(d) = A exp

((dd0)2

22

)qui permettent davoir la dflexion moyenne d0 et une

autre mesure de lamplitude du mouvement (figure 14).Lajustement est convenable pour les forts dbits, quand la tige explore beaucoup de

positions diffrentes. Cest moins convaincant aux petits dbits, parce que lamplitude estfaible donc la prcision en x des images ne suffit pas toujours, mme en dcoupant ledomaine en des x trs larges pour faire les PDF.

2 1 0 1 2 30

0.05

0.1

0.15

0.2

Abscisse (mm)

Nomb

re d o

ccurre

nces

(a) Faible dbit : lajustement donne A = 0.12,d0 = 0.3 mm et = 1.1 mm.

10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Abscisse (mm)

Nomb

re d o

ccurre

nces

(b) Fort dbit : lajustement donne A = 0.09,d0 = 18.5 mm et = 2.4 mm.

Figure 14 PDF des dflexions des tiges (o) et ajustement gaussien ().

4.2.2 Analyse frquentielle

Pour analyser les frquences prsentes dans les signaux, on peut commencer par regar-der les signaux temporels pour voir si une priodicit est visible. Pour les trs faibles dbits(figure 13a), les trajectoires sont quasi-sinusodales, il sera facile de mettre une frquencecaractristique en vidence. Cela se complique ds que lcoulement est plus rapide, il estdifficile didentifier lil une priodicit du signal (figure 13b), do lutilisation dautresoutils comme les corrlations ou les transformes de Fourier.


Transforme de Fourier Je calcule donc la transforme de Fourier des trajectoires detiges, en tant consciente que les signaux analyss ne sont pas trs longs donc il faut treprudent avec les basses frquences. Je reprsente la PSD (power spectral density), la normeau carr des coefficients de Fourier. Sur la figure 15, je dessine la TF de la trajectoire duneseule tige pour ne pas charger le graphe.

Pour Q13, le comportement est remarquable : on trouve un unique pic la frquence0.840.02 Hz, proche de la frquence propre des tiges dans leau f eau0 = 0.83 Hz mesureau paragraphe 3.2.1. En revanche, pour Q10, de nombreuses frquences sont visibles. Onretrouve f eau0 , plus ou moins visible selon les tiges, parmi dautres frquences dont certainessemblent tre des sries dharmoniques.

Dans la suite de lanalyse, je prendrai (critre arbitraire) comme frquence caractris-tique celle qui se retrouve avec une amplitude significative sur toutes les TF des tiges dunemme srie.

0 0.5 1 1.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Frequence (Hz)

PSD

f0eau

(a) Faible dbit

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3012345678

Frequence (Hz)

PSD

f0eau

(b) Fort dbit

Figure 15 Exemple de TF de la trajectoire dune tige ; on retrouve un pic la frquencepropre de la tige dans leau.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

10

20

30

40

50

60

70

Time (s)

Ampl

itude

(m

m)

Figure 16 Visualisation du passage dondes dansle couvert.

Corrlations En observant les trajec-toires, on voit parfois des structures quise reproduisent en dcal, en particu-lier les grandes oscillations qui semblentse transmettre sur un certain nombrede tiges daffile, comme des ondes quipassent. Jen indique deux exemples pardes pointills sur la figure 16. Cela per-met de mesurer une vitesse de propa-gation, que je vais dfinir partir descorrlations temporelles entre tiges voi-sines.

Pour cela jutilise la fonction xcorrde Matlab qui calcule la grandeurRxy(m) (m correspond ici au dcalagetemporel entre les vecteurs x et y quoncorrle) :

Rxy(m) =

{ Nm1n=0 xn+my

n si m 0

Rxy(m) si m < 0

4 EXPRIENCES ET EXPLOITATION 17

Je prends la tige n1 comme rfrence, et je mesure le temps correspondant au maxi-mum de corrlation entre la tige ni et la n1. Le graphe prsent figure 17a prsente lescorrlations, et figure 17b jai rapport les positions relatives des tiges en fonction destemps des maxima de corrlation. La pente de cette courbe est donc la vitesse des ondesqui passent, que je mesure par un ajustement linaire.

Je trouve ainsi une vitesse c = 23.3 cm/s pour Q10, en revanche aucune corrlationnest mesurable pour Q13 : les tiges semblent osciller indpendamment les unes des autres.Peut-tre est-ce un problme de phase, avec des ondes trop rapides ou trop lentes pour quela dtection du premier pic dautocorrlation ait du sens.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 12

0

2

4

6

8

10 x 104

Temps (s)

Corre

lation

avec

tige n

1

R11R12R13R14R15R16R17R18

(a) Corrlations temporelles des trajectoires desdiffrentes tiges

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.2510

0

10

20

30

40

50

60

Positi

on (m

m)

Temps max correlation (s)

(b) Positions du premier maximum de corrlationpour chacune des huit tiges (o) et ajustement af-fine ()

Figure 17 Etude des corrlations entre les trajectoires des tiges ; la tige n1 est prise commerfrence.

4.2.3 Champs de vitesse PIV

Lanalyse PIV des vidos donne accs au champ de vitesse instantan dans lcoulement.En faisant sa moyenne temporelle sur la dure de la mesure, puis sa moyenne selon x, onobtient le profil de vitesse moyen. Cette donne permet destimer les diffrents paramtresdu modle coulement de base en ligne brise, en particulier lpaisseur de la couche demlange , pour les implmenter dans les calculs numriques.

Un exemple de profil (pour un dbit de 0.57 L/s) est prsent figure 18a, on remarqueque la surface libre provoque un ralentissement en haut. Les vitesses ngatives prs dufond sexpliquent car on regarde les vitesses dans un plan centr sur les tiges, et il y aprobablement des recirculations sur les cts et derrire les tiges, comme expliqu sur ledessin figure 18b.

Pour connatre lpaisseur de la couche de mlange, jajuste le profil par une fonctiontangente hyperbolique U(y) = A tanh

(yy0

)+ B qui semble mieux convenir. Puis je

me ramne au profil en ligne brise (BL) en galant les deux expressions des frquencescaractristiques calcules, ainsi que le fait Gosselin dans [5].

fBL = fKH 0.8U2pi

=0.032U

= 25

2pi

Je trouve ainsi une paisseur = 1.85 cm pour cet exemple.


0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.21

2

3

4

5

6

7

8

Umean (m/s)

Altitu

de (c

m)

(a) Profil de vitesse moyen ; les croix bleuesreprsentent le niveau de leau et les pointsverts le haut du couvert dflchi (mesur surles images).

Tiges

Sens global de l'coulement

Plan PIV

(b) Recirculations possibles derrireles tiges (flches bleues).

Figure 18 Exploitation des PIV et interprtation du profil de vitesses.

5 Rsultats et discussion

5.1 Amplitude

La figure 19 prsentent les amplitudes doscillations des tiges en fonction du dbit delcoulement. Lerreur est estime partir lcart entre les diffrentes mesures sur les tigesfilmes (entre 8 et 11 tiges pour chaque mesure). La tige oscille de plus en plus largementquand le courant est plus fort, ce qui parat naturel. Cependant, nous navons pas de pointde comparaison thorique pour cette mesure, ltude en grande dformation ayant t faiteen statique (sans oscillations).

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,700,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

Dbit (L/s)

Ampl

itude

(mm

)

Figure 19 Amplitude du mouvement des tiges

5.2 Dflexions et coefficient de trane

Grce lobservation des densits de probabilit de prsence des tiges une abscissedonne, on dispose de donnes intressantes sur la dflexion qui vont pouvoir tre comparesaux simulations de grands mouvements faites dans le paragraphe 2.4. En effet, la donne

5 RSULTATS ET DISCUSSION 19

de la dflexion laltitude 5 cm nous donne une mesure du coefficient CDU22 dans la zoneplante de tiges.

Dans les simulations, je calcule la dflexion 5 cm que je trace en fonction du paramtreCDU2, et jajuste la courbe par une loi de puissance (figure 20a). Jen dduis la valeur de

ce paramtre pour chacune des expriences, que je trace en fonction de la vitesse moyennede lcoulement (figure 20b).

En supposant le coefficient CD constant, on a donc une relation de proportionnalitentre la vitesse de lcoulement dans le couvert et la vitesse moyenne globale :

CDU2 = 0.25U

0 2 4 6 8 100

5

10

15

20

25

CD1/2U2 (cm/s)

Defle

xion

Y=50

mm (m

m)

simulationajustement (loi puissance U1.7)

(a) Simulation de la dflexion et ajuste-ment en loi de puissance.

0 5 10 15 2000.5

11.5

22.5

33.5

44.5

5

Vitesse dbitante (cm/s)

C D1/2 U

2mes

ur (c

m/s)

mesuresajustement linaire y=0.25U

(b) Coefficient de trane.

Figure 20 Dflexion et mesure deCDU2.

5.3 Relation de dispersion

Je compare les donnes exprimentales la relation de dispersion calcule comme ex-pliqu dans la partie 2.2.2, avec les paramtres des expriences.

? est estim grce aux profils de vitesse PIV : = 1.8 cm.? Pour R, on a par dfinition U2 = (1R)U . Jutilise la relation trouve grce aux PDF

CDU2 = 0.25U , et en prenant une valeur mesure 1 pour le coefficient de tranedune tige seule (CD 2), on arrive R = 0.82.

? Les tiges ont t choisies de manire avoir M = 1.? Nombre de Froude : Fr = U/

gHb = 0UR/

gHb = 0.10UR.

? On a aussi h = hdeflechi/ = 3.1, Hb = Hb/ = 4.2.

Concernant les mesures, les transforme de Fourier prsentent de nombreuses frquences.Plusieurs cas sont possibles : on retrouve souvent une frquence proche de f0, la frquencepropre des tiges, plus ou moins prsente. Parfois dautres frquences apparaissent avec desharmoniques. Cela peut peut-tre sexpliquer grce au nombre de Strouhal, qui mesure lafrquence dmission des tourbillons derrire un obstacle, adimensionne par la taille delobstacle w et la vitesse de lcoulement U (voir rfrence [12]). On a :

St =fsw

U

1. Mesure effectue par des tudiants du dpartement de mcanique pour une tige seule dans le canal,voir aussi rfrence [14].


Pour une tige avec un coulement frontal, le Strouhal est tabul une valeur de 0.15, on endduit la valeur des frquences caractristiques de dtachement, dans la gamme de vitessesexplore exprimentalement : fs 0.1 1.4 Hz, ce qui peut correspondre la majorit despics de TF observs.

Puisque je navais pas de critre particulier pour choisir une frquence plutt quuneautre comme caractristique de lexprience, jai prfr utiliser lautocorrlation des si-gnaux correspondant aux trajectoires des tiges : le premier pic dautocorrlation donneune mesure de la priode spatiale reprsentative du signal (correspondant une tige), jendduis une frquence que je moyenne sur les diffrentes tiges filmes, do la barre derreursur le graphe qui reprsente la dispersion des mesures.

La figure 21 compare la relation de dispersion calcule (en bleu) aux points expri-mentaux. Concernant la simulation, il semblerait quon change de branche aux alentoursde UR = 0.3 0.4. En effet dans cette plage de paramtres le nombre donde maximalpasse de 1.8 0.2. Ltude plus complte de la relation de dispersion prs de ces valeursest ncessaire pour comprendre le comportement du modle. Je nai ralis quun seulpoint de mesure pour Ur < 0.3, pour lequel la frquence est bien marque et correspond la frquence propre des tiges dans leau f0. Les autres valeurs de frquence estimes parautocorrlation suivent la tendance croissante calcule.

0 0.5 1 1.5 2 2.50.5

0

0.5

1

1.5

2

UR

rUR

Figure 21 Relation de dispersion : comparaison de la simulation () avec les mesures defrquence par autocorrlation (o).

6 CONCLUSION 21

6 Conclusion

Dans cette tude du systme coupl coulement/tiges, nous avons mis en vidence auxfaibles dbits un pic bien marqu la frquence propre des tiges. Si U augmente, dautresfrquences apparaissent et linterprtation devient plus complexe. Cependant nous avonsmontr que lamplitude de la dflexion des tiges est proportionnelle la vitesse moyenne delcoulement. Nous navons pas observ le phnomne de monami, probablement parce queles tiges ntaient pas assez dflchies (cf. critre dans [4] : hd/h < 0.8). Il faudrait prendredes tiges plus souples, et rvaluer leurs dimensions pour sparer nettement la frquencepropre de celle de dtachement tourbillonnaire (Strouhal), afin dinterprter les frquencesplus facilement.

Dans la suite, nous comptons amliorer le montage de PIV pour pouvoir exploiter tousles profils de vitesse (camra plus rapide). Une autre possibilit sera de forcer le couvert,par des ondes de surface ou en bloc, pour dterminer sa rponse frquentielle. Quand onle fait la main, on russit exciter la fois les tiges et de grandes ondes de surface.Linteraction avec la surface libre mrite donc dtre mieux comprise, ainsi que linfluencede la hauteur deau.


Rfrences

[1] T.-A. Okamoto and I. Nezu, Flow resistance law in open-channel flows with rigid andflexible vegetation, in River Flow, pp. 261268, 2010.

[2] C. Py, E. de Langre, and B. Moulia, A frequency lock-in mechanism in the interactionbetween wind and crop canopies, Journal of Fluid Mechanics, vol. 568, no. 425-449,pp. 41, 2006.

[3] M. Ghisalberti and H. M. Nepf, Mixing layers and coherent structures in vegetatedaquatic flows, Journal of Geophysical Research, vol. 107, no. C2, p. 3011, 2002.

[4] T.-A. Okamoto and I. Nezu, Turbulence structure and monami phenomena inflexible vegetated open-channel flows, Journal of Hydraulic Research, vol. 47, no. 6,pp. 798810, 2009.

[5] F. Gosselin and E. de Langre, Destabilising effects of plant flexibility in air andaquatic vegetation canopy flows, European Journal of Mechanics-B/Fluids, vol. 28,no. 2, pp. 271282, 2009.

[6] F. Charru, Instabilits hydrodynamiques. SOFEDIS, 2012.

[7] C. Brennen, A review of added mass and fluid inertial forces, 1982.

[8] E. de Langre, Effects of wind on plants, Annu. Rev. Fluid Mech., vol. 40, pp. 141168,2008.

[9] T. Belndez Vzquez, C. Neipp Lpez, A. Belndez Vzquez, et al., Numerical and ex-perimental analysis of a cantilever beam : a laboratory project to introduce geometricnonlinearity in mechanics of materials, 2003.

[10] F. P. Gosselin and E. De Langre, Drag reduction by reconfiguration of a poroelasticsystem, Journal of Fluids and Structures, vol. 27, no. 7, pp. 11111123, 2011.

[11] W. Thielicke and E. Stamhuis, Pivlabtime-resolved digital particle image velocime-try tool for matlab, Published under the BSD license, programmed with MATLAB,vol. 7, no. 0.246, p. R14, 2010.

[12] R. D. Blevins, Flow-induced vibration, New York, Van Nostrand Reinhold Co., 1977.377 p., vol. 1, 1977.

[13] P. Drazin and W. Reid, Hydrodynamic stability. cambridge monographs on mechanicsand applied mathematics, 1981.

[14] R. Jouli, Mcanique des fluides applique. Ellipses, 1998.

Annexe

Solutions du systme dquations

Les grandeurs sont adimensionnes mais jenlve les barres pour plus de lisibilit.

Pour y < h :

v(y) = A1ey +A2e

y Ck((1R)k) qhp(y) =

k2( + (1R)k C) (A1ey A2ey) Cykh q

o 2 = (1R)k(1R)kC k2.

Pour h 6 y 6 h+ 1 :

v(y) = A3eky +A4e

ky

p(y) = (1 + 2R(y h 1/2) /k) (A3eky A4eky)+ 2Rk (A3eky +A4eky)Pour y > h+ 1 :

v(y) = A5eky +A6e

ky

p(y) = k (k(1 +R) )(A5e

ky A6eky)

IntroductionContextePrcdentes tudesObjectifs

Etude thoriqueLes diffrents lmentsLe systme couplQuels paramtres pour observer le monami ?Etude des grandes dformations d'une tige dans un coulement

Dispositif exprimental et techniques de mesureLe canalLes tigesMesure du mouvement des tigesMesure de l'coulement par PIV

Expriences et exploitationProtocoleExploitation sur deux exemples

Rsultats et discussionAmplitudeDflexions et coefficient de traneRelation de dispersion

Conclusion

Documents

Barsu2013 Lyon