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Lycée Français de DOHA 2nde 1

Année 2019 – 2020 M. Evanno

Bases de la géométrie plane

A) Les droites remarquables du triangle.

Médianes et centre de gravité :

Les médianes d’un triangle sont concourantes en un point 𝐺 est appelé centre de gravité du triangle.

𝐺 est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant :

𝐴𝐺 =2

3𝐴𝐴’ ; 𝐵𝐺 =

2

3𝐵𝐵’ ; 𝐶𝐺 =

2

3𝐶𝐶’ où 𝐴’, 𝐵’ 𝑒𝑡 𝐶’ sont les milieux de [𝐵𝐶], [𝐴𝐶] et [𝐴𝐵]

Hauteurs et orthocentre :

Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point 𝐻 est appelé orthocentre du triangle.

Médiatrice et le cercle circonscrit :

Les médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point 𝑂 équidistant des sommets du triangle.

𝑂 est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Bissectrice et cercle inscrit :

Les bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point 𝐼 équidistant des côtés du triangle.

𝑂’ est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

A’ B’

C’

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B) Les quadrilatères.

1. Trapèze.

Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles.

Ces deux côtés parallèles sont appelés les « bases » du trapèze.

2. Parallélogramme.

Il existe six définitions équivalentes du parallélogramme.

Un parallélogramme est un quadrilatère dont :

1) les côtés opposés sont deux à deux parallèles.

2) les côtés opposés sont deux à deux de même longueur.

3) deux côtés sont parallèles et de même longueur.

4) les diagonales se coupent en leur milieu.

5) deux angles consécutifs quelconques sont supplémentaires.

6) les angles opposés sont égaux deux à deux.

3. Losange.

Il existe quatre définitions équivalentes du losange.

Un losange est un quadrilatère :

1) dont les quatre côtés sont de même longueur.

2) dont les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu.

Un losange est un parallélogramme :

3) dont deux côtés consécutifs sont de même longueur.

4) dont les diagonales sont perpendiculaires

4. Rectangle.

Il existe quatre définitions équivalentes du rectangle.

Un rectangle est un quadrilatère :

1) qui a trois angles droits.

2) dont les diagonales sont de même longueur et qui se coupent en leur

milieu.

Un rectangle est un parallélogramme :

3) qui a un angle droit.

4) dont les diagonales sont de même longueur.

5. Carré.

Il existe trois définitions équivalentes du carré.

Un carré est un quadrilatère :

1) qui est à la fois un losange et un rectangle.

2) qui a ses quatre côtés de même longueur et un angle droit.

3) dont les diagonales de même longueur, se coupent en leur milieu

perpendiculairement.

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C) Théorème de Pythagore et sa réciproque.

1. Le théorème de Pythagore.

Théorème :

Si 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐴, alors 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2.

2. Réciproque du théorème de Pythagore.

Théorème réciproque :

Si 𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que 𝐵𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 alors le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐴.

D) Théorème de Thalès et sa réciproque.

1. Théorème de Thalès.

Théorème :

Si 𝑂𝐴𝐵 et 𝑂𝑀𝑁 sont deux triangles tels que :

• le point 𝐵 est sur la droite (𝑂𝑁).

• le point 𝐴 est sur la droite (𝑂𝑀).

• les droites (𝐴𝐵) et (𝑀𝑁) sont parallèles.

Alors 𝑂𝐴

𝑂𝑀=

𝑂𝐵

𝑂𝑁=

𝐴𝐵

𝑁𝑀= 𝑘

• Si 0 < 𝑘 < 1 alors le triangle 𝑂𝐴𝐵 est une réduction du triangle 𝑂𝑀𝑁.

• Si 𝑘 > 1 alors le triangle 𝑂𝐴𝐵 est un agrandissement du triangle 𝑂𝑀𝑁.

2. Réciproque du théorème de Thalès.

Théorème :

Soit 𝑀 un point de (𝑂𝐴) et 𝑁 un point de (𝑂𝐵) tels que les points 𝑂, 𝐴, 𝑀 et 𝑂, 𝐵, 𝑁 sont alignés

dans le même ordre.

Si on a ∶ 𝑂𝐴

𝑂𝑀=

𝑂𝐵

𝑂𝑁

Alors les droites (𝐴𝐵) et (𝑀𝑁) sont parallèles.

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E) Angles et trigonométrie dans un triangle rectangle.

1. Egalité entre deux angles.

Propriétés :

On distingue 4 configurations où deux angles sont égaux (pour les configurations 𝑛°2, 3 et 4 les

droites sont parallèles) :

Configuration 𝑛°1 : Opposés par le sommet Configuration 𝑛°2 : Correspondants

Configuration 𝑛°3 : Alternes-internes Configuration 𝑛°4 : Alternes-externes

2. Trigonométrie dans un triangle rectangle.

Définition :

Dans un triangle 𝐴𝐵𝐶 rectangle en 𝐴, on définit les rapports

suivants (qui ne dépendent que de la mesure des angles) :

cos 𝐴𝐵�̂� =𝐶𝑜𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡

𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒=

𝐴𝐵

𝐵𝐶

sin 𝐴𝐵�̂� =𝐶𝑜𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é

𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒=

𝐴𝐶

𝐵𝐶

tan 𝐴𝐵�̂� =𝐶𝑜𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é

𝐶𝑜𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡=

𝐴𝐶

𝐴𝐵

Propriétés : Tableau des lignes trigonométriques remarquables

𝑥 en degrés 0 30 45 60 90

cos 𝑥 1 √3

2

√2

2

1

2 0

sin 𝑥 0 1

2

√2

2

√3

2 1

tan 𝑥 0 √3

3 1 √3

Propriétés :

Si 𝑥 est la mesure d’un angle aigu alors :

cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1 et tan 𝑥 =sin 𝑥

cos 𝑥

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Démonstration : Démonstration mentionnée dans le programme

On considère le triangle 𝐴𝐵𝐶 rectangle en 𝐴 dont l’angle 𝐴𝐵�̂� = 𝑥.

• Dans un triangle 𝐴𝐵𝐶 rectangle en 𝐴, on a :

cos 𝐴𝐵�̂� = cos 𝑥 =𝐴𝐵

𝐵𝐶

sin 𝐴𝐵�̂� = sin 𝑥 =𝐴𝐶

𝐵𝐶

D′où (cos 𝑥)2 + (sin 𝑥)2 = (𝐴𝐵

𝐵𝐶)

2

+ (𝐴𝐶

𝐵𝐶)

2

=𝐴𝐵2

𝐵𝐶2+

𝐴𝐶2

𝐵𝐶2=

𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2

𝐵𝐶2

• Dans un triangle 𝐴𝐵𝐶 rectangle en 𝐴,

D’après le théorème de Pythagore on a :

𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 = 𝐵𝐶2

D′où (cos 𝑥)2 + (sin 𝑥)2 =𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2

𝐵𝐶2=

𝐵𝐶2

𝐵𝐶2= 1

F) Projection orthogonale d’une point sur une droite.

Définition :

Le projeté orthogonal d'un point 𝐴 sur une droite (𝐷) est le point 𝐻, intersection de la droite (𝐷)

et de la perpendiculaire à (𝐷) passant par 𝐴.

Définition :

Le projeté orthogonal 𝐻 du point 𝐴 sur une droite (𝐷) est le point de la droite (𝐷) le plus proche

du point 𝐴.

Démonstration : Démonstration mentionnée dans le programme

Soit 𝐻 le projeté orthogonal du point 𝐴 sur une droite (𝐷) et 𝑀 un point de (𝐷) différent de 𝐻.

La définition d’un projeté orthogonal permet d’affirmer que le triangle 𝐴𝐻𝑀 rectangle en 𝐻

Dans un triangle 𝐴𝐻𝑀 rectangle en 𝐻,

D’après le théorème de Pythagore on a :

𝐴𝐻2 + 𝐻𝑀2 = 𝐴𝑀2

On en déduit que :

𝐴𝐻2 = 𝐴𝑀2 − 𝐻𝑀2

Or 𝐻 ≠ 𝑀 donc 𝑀𝐻 > 0 on peut donc affirmer que : 𝐻𝑀2 > 0

D’où :

𝐴𝐻2 = 𝐴𝑀2 − 𝐻𝑀2 < 𝐴𝑀2

Une longueur étant positive, on en déduit que :

𝐴𝐻 < 𝐴𝑀

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G) Cercle : angles et tangente.

Définition :

La tangente à un cercle est une droite qui coupe le cercle en un seul point.

La droite 𝑇 et le cercle ont le seul point commun donc la droite 𝑇 est tangente en 𝐴 au cercle.

Propriétés :

La tangente 𝑇 en 𝐴 au cercle de centre 𝑂 est perpendiculaire en 𝐴 au rayon [𝑂𝐴]. Si la droite 𝑇 est perpendiculaire en 𝐴 au rayon [𝑂𝐴] alors, elle est tangente en 𝐴 au cercle.

Théorème :

• Dans un cercle, l’angle au centre vaut deux fois l’angle inscrit : 𝐴𝑂�̂� = 2𝐴𝐶�̂�

• Dans un cercle, deux angles qui interceptent le même arc sont égaux : 𝐴𝐶�̂� = 𝐴𝐷�̂�

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Propriétés :

Si le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐶 alors il est inscrit dans le cercle de diamètre [𝐴𝐵].

Si le triangle 𝐴𝐵𝐶 est inscrit dans un cercle de diamètre [𝐴𝐵] alors il est rectangle en 𝐶.

Exercice n°1 :

1) Dans les figures suivantes, on a (𝑀𝑁)//(𝐴𝐵). Calculer alors la valeur de 𝑥.

Figure 𝑛°1 Figure 𝑛°2

2) Répondre aux questions suivantes en utilisant les données des figures ci-dessous :

Dans la figure ci-dessous, les droites (𝑀𝑁)

et (𝐴𝐵) sont-elles parallèles ?

Dans la figure ci-dessous, 𝐴𝐵𝐶𝐷 est-il un

trapèze ?

Exercice n°2 :

1) Dans les figures suivantes, les triangles sont rectangles en 𝐴. Calculer les dimensions

manquantes. On donnera une valeur exacte puis une valeur approchée au centième.


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2) Les triangles suivants sont rectangles en 𝐴. Quelles sont les mesures exactes des angles 𝐴𝐵�̂�

et 𝐴𝐶�̂�. On donnera ensuite une valeur approchée au dixième.


Exercice n°3 :

On considère un cercle C de centre 𝐴 et de rayon 5𝑐𝑚.

Soit [𝐸𝐹] un de ses diamètres, 𝑀 le point du segment [𝐴𝐸] tel que 𝐴𝑀 = 4𝑐𝑚 et 𝑃 un point du

cercle tel que 𝑀𝑃 = 3cm.

1) Démontrer que le triangle 𝐴𝑀𝑃 est rectangle en 𝑀.

2) On trace la tangente au cercle en 𝐹 ; cette droite coupe la droite (𝐴𝑃) en 𝑇.

a) Démontrer que les droites (𝐹𝑇) et (𝑀𝑃) sont parallèles.

b) Calculer la longueur 𝐴𝑇.

Exercice n°4 :

Les points 𝑀, 𝑂 et 𝑄 sont alignés ainsi que les points 𝑁, 𝑂 et 𝑃. Les segments [𝑂𝑀] et [𝑂𝑄] sont des diamètres des deux cercles tracés ; on donne : 𝑂𝑀 = 7,5𝑐𝑚 et 𝑂𝑄 = 4,5𝑐𝑚.

1) Prouver que le triangle 𝑀𝑁𝑂 est rectangle en 𝑁.

On admet pour la suite que le triangle 𝑂𝑃𝑄 est rectangle en 𝑃.

2) Justifier que les droites (𝑀𝑁) et (𝑃𝑄) sont parallèles.

3) Dans le cas où 𝑂𝑁 = 5𝑐𝑚, calculer la distance 𝑂𝑃.

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Exercice n°5 :

On considère un cercle C de centre 𝑂 et de diamètre [𝐵𝐶] tel que 𝐵𝐶 = 8𝑐𝑚.

On place sur ce cercle un point 𝐴 tel que 𝐵𝐴 = 4𝑐𝑚.

1) Faire une figure en vraie grandeur.

2) Démontrer que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐴.

3) Calculer la valeur exacte de 𝐴𝐶. Donner la valeur arrondie de 𝐴𝐶 au millimètre près,

4) Déterminer la mesure de l’angle 𝐴𝐵�̂�.

5) On construit le point 𝐸 symétrique du point 𝐵 par rapport à la droite (𝐴𝐶).

Quelle est la nature du triangle 𝐵𝐸𝐶 ? Justifier.

Exercice n°6 :

On considère un triangle 𝐸𝐹𝐺 tel que 𝐸𝐹 = 6𝑐𝑚, 𝐹𝐺 = 7,5𝑐𝑚 et 𝐺𝐸 = 4,5𝑐𝑚.

1) Construire le triangle 𝐸𝐹𝐺.

2) Montrer que le triangle 𝐸𝐹𝐺 est rectangle et préciser en quel point.

3) Construire le point 𝑀 milieu de [𝐸𝐹] et construire la droite parallèle à [𝐸𝐺] passant par 𝑀 ;

elle coupe [𝐹𝐺] en 𝑁.

4) Montrer que 𝐹 est l’image de 𝐺 par la symétrie de centre 𝑁.

Exercice n°7 :

Sur la figure ci-dessous, qui n’est pas en vraie grandeur, nous savons que :

• C est un cercle de centre 𝐸 dont le diamètre [𝐴𝐷] mesure 9𝑐𝑚.

• 𝐵 est un point du cercle 𝐶 tel que : 𝐴𝐸�̂� = 46°.

1) Montrer que le triangle 𝐴𝐵𝐷 est un triangle rectangle.

2) Justifier que : 𝐴𝐷�̂� = 23°.

3) Calculer la longueur 𝐴𝐵 et préciser sa valeur arrondie au centième de cm.

4) On trace la droite parallèle à la droite (𝐴𝐵) passant par 𝐸 ; elle coupe le segment [𝐵𝐷] en 𝐹.

Calculer la longueur 𝐸𝐹 et préciser sa valeur arrondie au dixième de cm.

Exercice n°8 :

On considère un parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 tel que 𝐴𝐷 = 𝐴𝐶.

1) Montrer que 𝐼, projeté orthogonal de 𝐴 sur (𝐷𝐶) est le milieu de [𝐷𝐶]. 2) On appelle 𝐽 le milieu de [𝐴𝐵]. Montrer que 𝐴𝐼𝐶𝐽 est un rectangle.

3) Montrer que les droites (𝐷𝐵), (𝐴𝐶) et (𝐼𝐽) sont concourantes en un point (qu'on appelle 𝑂).

Exercice n°9 :

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle rectangle en 𝐴 et 𝐻 le projeté orthogonal de 𝐴 sur (𝐵𝐶).

1) Démontrer que 𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝐵𝐻

𝐴𝐵. En déduire que 𝐴𝐵² = 𝐵𝐶 × 𝐵𝐻.

2) Démontrer que 𝐴𝐶

𝐵𝐶=

𝐶𝐻

𝐴𝐶. En déduire que 𝐴𝐶² = 𝐵𝐶 × 𝐶𝐻.

3) En utilisant les résultats précédents, montrer que l'on peut retrouver la relation de Pythagore.

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Exercice n°10 :

𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 et 𝐹 sont 6 points tels que 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐴𝐸𝐶𝐹 sont des parallélogrammes.

1) Placer le point 𝐹.

2) Démontrer que 𝐸𝐵𝐹𝐷 est un parallélogramme.

Exercice n°11 :

Dans la configuration ci-dessous, 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un trapèze.

On sait que (𝑀𝑁)//(𝐷𝐶), 𝑃 et 𝑁 sont les milieux respectifs de [𝐵𝐷] et [𝐵𝐶].

Montrer que :

𝑀𝑁 =1

2(𝐴𝐵 + 𝐷𝐶)

Exercice n°12 :

On considère la figure ci-dessous :

1) Pourquoi 𝐴𝐻 = 4 cos 20 ?

2) En déduire que 𝐻𝐶 = 4 cos 20 × tan 40.

3) Donner une mesure de 𝐻𝐶 arrondie au dixième.

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Exercice n°13 :

On considère la figure ci-dessous :

1) Calculer 𝐵𝐶.

2) En calculant de deux manières le cosinus de l’angle 𝐴𝐵�̂�, démontrer que : 𝐵𝐴2 = 𝐵𝐶 × 𝐵𝐻.

3) En déduite 𝐵𝐻 et 𝐻𝐶.

Exercice n°14 :

C est un cercle de centre 𝑂 et de diamètre [𝐴𝐵] tel que 𝐴𝐵 = 6cm.

𝑀 est un point du cercle tel que 𝐵𝑀 = 4,8cm.

1) Démontrer que 𝐴𝐵𝑀 est rectangle en 𝑀.

2) Calculer la valeur exacte 𝐴𝑀.

3) Montrer que la mesure arrondie au degré près de 𝐴𝐵�̂� est 37.

4) Donner, en la justifiant, la mesure arrondie au degré près de 𝐴𝑂�̂�.

5) Soit 𝐷 le point d’intersection de la tangente en 𝐴 au cercle C et de la droite (𝐵𝑀).

b) Quelle est la nature de 𝐴𝐵𝐷 ? (On justifiera sa réponse).

c) Calculer les valeurs approchées au mm de 𝐵𝐷 et 𝐴𝐷.

6) La perpendiculaire à (𝐴𝐷) passant par 𝐷 coupe (𝐴𝑀) en 𝐸.

Calculer 𝐸𝐷 et 𝐸𝑀.

7) Montrer que :

𝐸𝐷�̂� =1

2𝐴𝑂�̂�

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H) Approfondissement : ces exercices ne seront pas traités en classe.

Exercice n°1 : Aire d’un triangle.

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle dont tous les angles sont aigus.

On note 𝐻 le projeté orthogonal de 𝐴 sur [𝐵𝐶].

1) Justifier que 𝐴𝐻 = 𝐴𝐵 sin 𝐴𝐵�̂�.

2) En déduire que l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 vaut :

𝒜𝐴𝐵𝐶 =1

2× 𝐴𝐵 × 𝐵𝐶 × sin 𝐴𝐵�̂�

Exercice n°2 : Théorème d’Al-Kashi ou Pythagore généralisé

Soit 𝐴𝐵𝐶 triangle quelconque (dont tous les angles sont aigus) et 𝐻 le pied de la hauteur issue de

𝐴 dans 𝐴𝐵𝐶.

On note :

• 𝑥 la longueur 𝐵𝐻

• 𝑎 la longueur 𝐵𝐶

• 𝑏 la longueur 𝐴𝐶

• 𝑐 la longueur 𝐴𝐵.

On a donc 𝐻𝐶 = 𝑎 − 𝑥.

1) Montrer que : 𝐴𝐻2 = 𝑐2−𝑥2

2) En déduire que : 𝑏2 = 𝑐2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑥.

3) Justifier que : 𝑥 = 𝑐 × cos 𝐴𝐵�̂�.

4) En déduire la formule du théorème d’Al-Kashi :

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2 × 𝑎 × 𝑐 × cos 𝐴𝐵�̂�

Exercice n°3 : Hauteurs concourantes

Soit 𝐴𝐵𝐶 triangle quelconque et 𝐻 le point d’intersection des hauteurs issues de 𝐴 et 𝐶 dans 𝐴𝐵𝐶.

1) Faire une figure.

2) Construire les parallèles à (𝐴𝐵), (𝐵𝐶) et (𝐴𝐶) passant rescpectivement par 𝐶, 𝐴 et 𝐵.

On nomme 𝐸𝐹𝐺 le triangle obtenu par l’intersection de ces parallèles.

3) Démontrer que la droite (𝐵𝐻) est la troisième hauteur du triangle 𝐴𝐵𝐶 en montrant que ces

hauteurs sont des droites remarquables du triangle 𝐸𝐹𝐺.

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