BASES THEORIQUES DU TRAITEMENT DU SIGNAL ETUDE DES SIGNAUX DETERMINISTES ESINSA3

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BASES THEORIQUES

DU TRAITEMENT DU SIGNALETUDE DES SIGNAUX DETERMINISTES

ESINSA3

Thierry PITARQUE

Université de Nice - Sophia Antipolis

ESINSA

I3S

[email protected]

2Plan du cours

I Etude des signaux déterministes continus

1)Notion de signaux et systèmes

2)Energie et puissance

3)Représentation fréquentielle

4)Filtrage

II Etude des signaux déterministes discrets

1)L’échantillonnage

2)Signaux déterministes discrets

III Le TNS

3I Etude des signaux déterministes continus

3) Représentation fréquentielle

3.1 Développement en série de Fourier d’un signal périodique

3.2 Transformée de Fourier des signaux d’énergie finie

3.3 Transformée de Fourier des signaux d’énergie infinie

3.4 Transformée de Fourier d’un signal périodique

3.5 Lien avec la Transformée de Laplace




Définition :

- L’idée de base d’un développement en série de Fourier , est qu’un signal périodique (période T0)

peut être décomposé en une somme de signaux dits harmoniques, c’est à dire de signaux périodiques

dont la période est multiple de la période T0.

- C’est l’Harmonie en Musique ou l’Analyse Harmonique en Mathématiques.

- Dans ce cours on privilégiera la décomposition en exponentielles complexes.

- Soit s(t) un signal continu réel ou complexe de période T0, on peut le décomposer en une somme

infinie d’exponentielles complexes :

Les Sk appelés Coefficients de Fourier du signal s(t) sont complexes.

te TkjkSts 0

2)(

20

20

02)(

01T

Tk dttsT

S e tTkj




- La suite des coefficients complexes Sk constitue le spectre discret de raies du signal périodique

s(t).

- On peut aussi décomposer le signal périodique (T0) en une somme de sinus et cosinus :

A0 est la valeur moyenne du signal sur une période :

Attention les coefficients Ak et Bk peuvent être complexes :

)0

2sin(1

)0

2cos(1

0)( tTkkBt

TkkAAts

20

20

)(0

10

T

Tdtts

TA

20

20

)0

2cos()(0

2T

Tdtt

Tkts

TAk

20

20

)0

2sin()(0

2T

Tdtt

Tkts

TBk




Propriétés des séries de Fourier

- Les 2 décompositions Sk (module et phase) et (Ak, Bk) sont équivalentes.

- Il est possible passer de la décomposition en sinus et cosinus à la décomposition en exponentielles

complexes et réciproquement, grâce aux formules de passage :

Pour k>0

(démonstration)

- de même réciproquement :

Pour k>0 :

00 AS

00 SA

2jBkAk

S k2

jBkAkSk

SSA kkk )( SSjB kkk





- Le coefficient A0 ou S0 est appelé composante continue du signal s(t). C’est la valeur moyenne sur une période

T0.

- La fréquence F=1/T0 est appelée fréquence fondamentale du signal périodique s(t).

- Les coefficients A1 et B1 constituent l’amplitude du fondamental.

- les signaux complexes

constituent le fondamental de s(t).

- Les fréquences avec k >1, constituent les fréquences harmoniques du signal s(t).

- ATTENTION, le premier harmonique a une fréquence

- Les fréquences négatives n’ont pas de signification “physique” dans la décomposition en exponentielles

complexes

ee tT

jtT

jSS 0

120

1211

0TkFk

022T

F





- si s(t) est complexe, Ak et Bk sont complexes.

- si s(t) est réel, Ak et Bk sont réels car intégrales d’une fonction réelle et

les coefficients Sk sont à symétrie hermitienne :

- si s(t) est pair, Bk =0 , k>1 car Bk est l’intégrale d’une fonction impaire.

- si s(t) est impair, A0=0 et Ak =0 , k>1 car les Ak sont les intégrales d’une fonction impaire

- si s(t) est réel et pair, Sk est réel : d’où

- si s(t) est réel et impair, Sk est imaginaire pur : d’où

*SS kk

SS kk SS kk

0BkSAS k

kk

2*SS kk

0Ak*

2 SBS kk

k j





- La puissance moyenne d’un signal périodique peut s’exprimer aussi spectralement en fonction des

coefficients Sk (c’est l’égalité de Parseval) :

- Chaque terme représente la puissance moyenne apportée par chacun des harmoniques.

k

k

T

TSdtts

TP

220

20

2)(0

1

2Sk





- Le décalage en temps se traduit sur les coefficients de Fourier Sk par une multiplication complexe :

d’où

- Attention , chaque coefficient Sk est multiplié par une exponentielle complexe qui dépend de k.

- Rappel, si t0 > 0 le signal s(t) est retardé et si t0 < 0 le signal s(t) est avancé.

te TkjkSts 0

2)(

e Tktje T

ktjkStte TkjkStts 0

20

02)0(02)0(

ekS TktjkS 0

02




Ex. : Calcul du développement en séries de Fourier d’un signal

- Soit le signal réel périodique s(t) qui est une

porte de période T et d’amplitude A :

- Donner les coefficients Sk

- Donner les Ak et les Bk

- Que se passe-t-il si on avance le signal de /2 ?

te TkjkSts 2)(

)( 22

t





- On pose par définition que le sinus cardinal

- ATTENTION, la fonction sinc est paire et

T

T

Tk dtts

Tdtts

Tdtts

TS eee t

Tkjt

Tkjt

Tkj

0 0

2

2

222 )(1)(1)(1

)(sin)sin(

Tkc

TA

TkTk

TAS ee T

kjTkj

k

xxxc

)sin()(sin

1)0(sin c





- passage des Sk aux Ak, Bk :

Pour k>0 :

- Dans le cas A=1 et =T/2 :

A0=1/2, Ak=0, B1=2/, B2=0, B3= 2/3, B4=0, B5=2/5, …

)2(sin2)2sin(

))(sin)(sin(Tkc

TA

kTk

ATkc

TTkc

TAA ee T

kjTkj

k

00 SA )( SSjB kkk SSA kkk

TAA 0

kTk

ATkc

Tkc

TjAB ee T

kjTkj

k)(

2))(sin)(sin(sin2





- Que se passe-t-il si on avance le signal de /2 ?

- Le signal obtenu est réel et pair, les coefficients Sk sont réels, les coefficients Bk sont nuls,

A0=S0=A/2 et les Ak=2*Sk

ekS TktjkS 0

02 )(sin)(sin02

Tkc

TA

Tkc

TAY ee T

tkjTkj

k

)2

())2

(()0()( tststtsty





- Tracé des Sk, des Bk et du signal reconstruit :

A0=1/2, Ak=0, B1=2/, B2=0, B3= 2/3, B4=0, B5=2/5, …

k>0, Sk=-jBk /2, S1=-j/, S2=0, S3= -j/3, S4=0, S5=-j/5, …

k<0, Sk=jB-k /2, S-1=j/, S-2=0, S-3= j/3, S-4=0, S-5=j/5, …





- Tracé des Sk, des Bk et du signal reconstruit :





- Signal triangulaire périodique, tracé des Ak et du signal reconstruit :





- Signal sinusoidal redressé double alternance, tracé des Ak et du signal reconstruit :





- Signal sinusoidal redressé monoalternance, tracé des Ak, Bk et du signal reconstruit :





- Signal sinusoidal redressé monoalternance, augmentation du nombre de coefficients

- tracé des Ak, Bk et du signal reconstruit :

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