1

LA FATIGUE

Le dommage par fatigue concerne les composants soumis à des chargements variables et qui voient leurs caractéristiques matériaux changer au cours du temps, essentiellement à cause de la formation de fissures.

Ce dommage peut entraîner la rupture.

Ce qui est bien particulier à la fatigue (et en fait le danger), c’est que la rupture peut se produire pour des contraintes apparentes relativement faibles (<Rm, voir <Re !!!) lorsqu’elles sont répétées un grand nombre de fois.

Quelques événements marquants

Comet (années 50) : crash de 2 avions

• Fissures de fatigue aux trous de rivets du fuselageproches des hublots

2

Quelques événements marquants

Boeing 737 : Vol Aloha 243 (1988)

• Fissures de fatigue le long des lignes de rivets

Tous les objets peuvent être concernés

3

Les différentes phases d’une rupture de fatigue

• PHASE I : Amorçage (initiation) de la fissurePeu représenter 80 à 90% de la durée de vie.Germination et croissance de multiples micro-fissures, coalescence aboutissant à la formation d’une macrofissure. Toute discontinuité de surface favorise cette germination (piqûres de corrosion, entailles, congés de raccordement, usinages, inclusions de surface).

• PHASE II : Propagation de la fissure

• PHASE III : Rupture finale

Durée de vie : Nr = Na + Np

• Na : nombre de cycles requis pour amorcer une fissure (0,1 à 1 mm)• Np : nombre de cycles requis pour propager la fissure jusqu’à rupture

XaCrit

longueur de fissure

0,1 - 1 mm

Na Np

Nombre de Cycles

rupture

Nr

4

L’amorçage

Caractérisation de l'endurance

Essais :• éprouvettes• composants• structure complète

Chargements simples :• périodiques• amplitude et fréquence constantes

Endurance : capacité de résistance à la fatigue des matériaux et structures

traction flexion rotative

5

Les paramètres de chargement

min

max

Rσσ

=

contraintesalternées

contraintesrépétées

contraintesondulées

max min

2 2aσ σσσ

−Δ= =

max min

2mσ σ

σ+

=

Courbe de Wöhler (SN)

aσ

N

aσ

Définit souvent (mais pas toujours) pour 0mσ =

( )tσ

6

AB : Domaine oligocycliqueCorrespond aux contraintes les plus grandes (>Re) où le nombre de cycles à la rupture s'étend jusqu'à 104 ou 105 (pour les aciers doux). L’éprouvette atteint généralement un état d’accommodation plastique ou un rochet élastoplastique :

L’accommodation se produit lorsque la déformation plastique devient périodique, un cycle d'hystérésis élastoplastique se produit.

Le rochet se produit lorsque la déformation plastique croît sans cesse, ce qui va provoquer la ruine de la structure en un nombre de cycles relativement faible.

minσ minσ

maxσmaxσ

εε

AB : Domaine oligocyclique - accommodation

Il existe de nombreuses autres lois qui s’appliquent plus ou moins bien en fonction des matériaux ou du chargement (Jack A. Collins, Failure of Materials in Mechanical Design : analysis, prediction, prevention. Wiley-Interscience publication, New York ,1993).

Loi de Masson-Coffin : p

NC

γε

−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Δ

maxσ

minσ

aσ

aσ

pεΔ

7

BC : Domaine d'endurance limitéeDomaine où la rupture est atteinte après un nombre limité de cycles compris approximativement entre 105 à 107. La rupture n'est pas accompagnée d'une déformation plastique d'ensemble mesurable. La réponse de l‘éprouvette atteint dans ce cas un régime adapté élastique, il peut y avoir de la déformation plastique due aux premiers cycles, mais au bout d'un certain nombre de cycles, elle reste constante.

C'est le domaine dans lequel travaillent les structures qui pour diverses raisons, doivent avoir des masses et des volumes impérativement réduits (cas des structures aéronautiques). Il existe de très nombreuses relations reliant σaet N pour représenter le phénomène dans ce domaine où N croît quand σadécroît. Basquin (1910) propose :

adaptationélastique

( )ba A Nσ =

maxσ

minσ

ε

coefficient de résistance à la fatigue

exposant de résistance à la fatigue

Ab

CD : Domaine d'endurance illimitée

Dite également zone de sécurité. La courbe de Wöhler présente généralement (mais pas toujours) une limite asymptotique parallèle à l’axe des N. En deçà de cette valeur limite σD , il n’y a « jamais » rupture par fatigue quel que soit le nombre de cycles appliqué. σD est la limite de fatigue.

Dσ

« There is no infinite fatigue life in metallic materials » (Bathias, 1999)

8

Limite de fatigue

Pour certains matériaux, il est difficile d’évaluer la limite de fatigue σD, on introduit la notion de limite de fatigue conventionnelle σD(N) (ou limite d’endurance). Il s’agit de la plus grande amplitude de la contrainte pour laquelle on constate 50% de rupture après N cycles de la sollicitation. Selon le cas N varie entre 106 à 109 cycles (>supérieur à la durée de vie envisagée pour la pièce).

Les courbes de Wöhler et la notion de limite de fatigue sont établies pour un niveau de contrainte moyenne donnée.

Dσ

7(10 )Dσ

Ordre de grandeur typique de σD pour un acier : ( )1 avec un écart type de 2 50

me m

RR R≈ +

Courbe de Wöhler SN - Exemple

(M P a )aσ

Pour un alliage d’aluminium, des essais de fatigue ont donné les résultats suivants. On a utilisé deux éprouvettes pour chaque niveau de chargement.

a) Tracer la courbe SNb) Quelle est la limite de fatigue conventionnelle à 107 ?

9

Courbe de Wöhler SN - Exemple

Aspect probabiliste de la courbe de Wöhler

Étant donne les dispersions sur les résultats d’essai, il est nécessaire de construire les courbes d’équiprobabilité (PSN : Probabilistics, Stresses, Number of cycles)

Acier XC10D’après Francois-Pineau-Zaoui

10

Aspect probabiliste de la courbe de Wöhler

La courbe de Wöhler étant la courbe médiane à 50%. Il est couramment admis, et vérifié très souvent par l’expérience que :

• la distribution de la contrainte suit une loi normale pour un nombre de cycles donné sur l’étendue des deux domaines d’endurance limitée et illimitée

• la distribution du logarithme des nombres de cycles (log N) suit une loi normale pour un effort donné dans le domaine d’endurance limité

Les paramètres influant

Accidents de forme (discontinuité dans la géométrie) : Un accident de forme augmente localement le niveau de contrainte.

Qualité de l'usinage : Généralement, l'endommagement par fatigue apparaît en premier lieu à la surface des pièces. La prise en compte des deux aspects suivants est important en fatigue :

• l’état de surface

• les contraintes résiduelles : l'usinage peut introduire des contraintes résiduelles de traction en surface (équilibrées en profondeur par des contraintes résiduelles de compression) qui se superposent au chargement mécanique.

Effet d'échelle : A niveau de contrainte égale, deux pièces de même géométrie mais de dimensions différentes n'auront pas la même tenue en fatigue. Plus les dimensions d'une pièce croissent, plus sa résistance à la fatigue diminue.

Environnement : Un milieu agressif (températures élevées, milieux corrosifs...) aggrave le phénomène de fatigue. Il apparaît des phénomènes comme le fluage ou la corrosion. Leur action est proportionnelle au temps d'exposition.

11

Les paramètres influant

Taille des grains : Les structures à grains fins présentent une meilleure tenue en fatigue que les structures à gros grains.

Orientation du fibrage par rapport à la direction des efforts : L'orientation générale des grains (fibrage) confère au matériau une anisotropie plus ou moins marquée. Les caractéristiques statiques et la tenue en fatigue seront meilleures dans le sens long du fibrage que dans les autres sens (travers long et travers court).

Taux d'écrouissage : L'écrouissage résultant des opérations de formage a pour effet de consolider le matériau (augmentation de la limite d'élasticité), et par suite, améliore la tenue en fatigue.

Traitement thermique : Suivant que le traitement thermique provoque un adoucissement ou un durcissement du matériau, la tenue en fatigue sera diminuée ou augmentée. De plus, le traitement thermique peut modifier la taille des grains.

Les défauts métallurgiques : Lacunes, défauts interstitiels, précipités et inclusions peuvent être à l'origine de l'endommagement par fatigue.

Les paramètres d'ordre métallurgique

Les paramètres influantLa Nature du chargement

constant variable par bloc

• la forme du signal• le rapport R• la contrainte moyenne

Rq : La fréquence a en général peu d' influence(sauf fatigue-fluage, fatigue-corrosion ou échauffement)

• la présence de surcharges : la répétition périodique d'une surcharge peut retarderla propagation de fissures

• l'ordre d'apparition des cycles

variable(ou aléatoire)

12

Influence de la contrainte moyenne

Lorsque les essais de fatigue sont réalisés àcontrainte moyenne σm non nulle (et constante), la durée de vie est modifiée, en particulier quand cette contrainte moyenne est relativement grande par rapport à la contrainte alternée.

• une contrainte de traction diminue la durée de vie• une contrainte de compression l’augmente

La limite d’endurance σD est aussi modifiée par la superposition d’une contrainte moyenne non nulle.

0mσ =

0mσ >

Différents diagrammes permettent de représenter ce phénomène. Une présentation détaillée des diagrammes les plus utilisés peut être trouvée dans :

A. BRAND, J.F. FLAVENOT, R. GREGOIRE, C. TOURNIER (1992) : « Données technologiques sur la fatigue », CETIM, Paris

Diagramme de HaigSur ce diagramme, l'amplitude de contrainte σa est portée en fonction de la contrainte moyenne σm à laquelle a été réalisé l'essai de fatigue. Deux points particuliers sont à considérer :

L’ensemble des limites d’endurance observées pour diverses valeurs de la contrainte moyenne se placent alors sur la courbe AB ajustée en fonction des résultats d’essais.

• le point A qui représente la limite d’endurance σD(N) en sollicitation purement alternée

• le point B qui représente le comportement limite du matériau pour une contrainte alternée nulle.

aσ

mσB

A

N

13

Différentes représentations de la courbe AB

• GOODMAN :

• SODERBERG :

• GERBER :

1 ma D

mRσ

σ σ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

1 ma D

eRσ

σ σ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1 ma D

mRσ

σ σ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

aσ

mσ

Dσ

Goodman et Soderberg

Amplitude de contrainte

Contrainte statiquemoyenne

Goodman Soderberg

mσeR mR

Dσ

aσ

N

Plusieurs relations ont été proposées pour prédire l’effet de la contrainte moyenne sur la durée de vie du matériau à partir :

mR Résistance à la traction

Dσ

eR Limite élastique

Amplitude de contrainte à contrainte moyenne nulle (courbe S-N)correspondant à une durée de vie de N cycles

1 ma

mD R

σσ σ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠1 m

ae

D Rσ

σ σ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

14

Diagramme de GOODMAN

Les contraintes maximales σmax et les contraintes minimales σmin sont représentées en fonction de la contrainte moyenne σm.

Différents diagrammes permettent de représenter ce phénomène. Pour une présentation détaillée des diagrammes les plus utilisés :A. BRAND, J.F. FLAVENOT, R. GREGOIRE, C. TOURNIER (1992) : « Données technologiques sur la fatigue », CETIM, Paris

Autres Diagramme :

• RÖS (anglo-saxons)• MOORE-KOOMERS-JASPER (germaniques)

Utilisation des diagrammes

Exercice : Une pièce en alliage d’aluminium doit être soumise à une chargement cyclique variant de 50 à 350 MPa. Estimer la durée de vie de cette pièce connaissant Re = 435 MPa et Rm = 570 MPa

150 MPaaσ =200 MPamσ =

Il est nécessaire d'utiliser ces diagrammes dans le cas où la courbe de Wöhler dont on dispose n'est pas relative à la contrainte moyenne appliquée de manière à pouvoir se ramener au cas précédent. Ces diagrammes permettent de trouver l'amplitude de la contrainte purement alternée qui causera le dommage identique à un chargement cyclique à contrainte moyenne non nulle.

6231MPa N=1,5 10D cyclesσ = →Goodman :

Soderberg : 5278 MPa N=2,8 10D cyclesσ = →

15

Ce que montre l’expérience

- la droite de Söderberg et, dans une moindre mesure, la droite de Goodman sont trop pénalisantes pour σm>0 et trop optimistes pour σm>0

- la parabole de Gerber est assez juste pour σm>0 mais elle est pénalisante pour σm>0 puisqu’elle ne rend pas compte de l’augmentation de l’endurance σa dans ce domaine.

Pour ces différentes raisons et en accord avec l’expérience, la meilleure forme de diagramme est celle du diagramme de Goodman adapté à celui de Haig de la manière suivante :

- on porte une longueur égale à σD/2 sur l’axe des abscisses à gauche du point B jusqu’au point Bm ;- à partir de Bm, on porte une longueur verticale égale à σD/2 jusqu’au point D ;- on relie par une droite le pont D au point A . On définit ainsi σa adm, la frontière du domaine admissible de l’amplitude de la contrainte, d’équation :

Construction du diagramme de Haig connaissant σD , Re et Rm

16

Quelle variable d’endommagement ?

~10 microns ~100 microns ~500 microns ~1 mm

Plasticitélocalisée

? ? ?Nombre de

cycles

Fissures courtes

CoalescenceFissure longue

MICROSCOPIQUE MACROSCOPIQUE

Les paramètres les plus fréquemment rencontrés :• La surface effective (Lemaitre - Chaboche)• La déformation plastique cumulée (Papadopoulos)• L'énergie de déformation (Ellyin)• La fraction de vie (Palmgren-Miner)

EndommagementD

O 1

Règle de cumul du dommage de Palmgren-Miner

On cherche une loi qui relie directement l’endommagement D avec les paramètres du cyclage. La plus simple et la plus utilisée est la loi de Palmgren–Miner.

inD

N=

La règle de Palmgreen-Miner suppose que les endommagements se cumulent de façon additive. Dans le cas d’une évolution à plusieurs niveaux représentés par leur nombre de cycles à rupture (i=1,p) et leur nombre de cycles dans chaque niveau l’endommagement s’écrira :

1

pi

i i

nD

N=

= ∑

L’endommagement au nième cycle s’écrit :N est le nombre de cycles à rupture.

L’endommagement au pième bloc s’écrit :

Ni est le nombre de cycles à rupture correspond au niveau i

17

ExerciceUne pièce en alliage d’aluminium doit être soumise à un chargement cyclique :

1

16

1

200 MPa150 MPa

N 10

m

a

σσ

=

=

=

Quel est l’endommagement de la pièce ?(Goodman)

2

26

2

0 MPa200 MPa

N 10

m

a

σσ

=

=

=

σ

t

Calcul de l’endommagement

Wöhler Haig Palmgren-Miner+ +

=

D ?D

aσ

mσB

A

N

aσ

i

i i

nD

N= ∑

18

Méthodes de comptage des cyclesPermet de décomposer le chargement en cycles élémentaires dont l'amplitude et la valeur moyenne sont connues.

1. Comptage des pics (Peak count method)2. Comptage des pics avec élimination des petites variations (Level-rescticted

peak count method)3. Comptages des extrema entre deux passages par la valeur moyenne

(Mean-crossing peak count method)4. Comptage des domaines par paire(Range-pair count method)5. Méthode de franchissement de seuils (Level crossing count method)6. Méthode PVP (Peak Valley Pair)7. Méthode du Rainflow

Beaucoup de méthodes de comptage ont été mises au point. Elles conduisent toutes à des résultats différents et donc, pour certaines, à des erreurs dans le calcul de la durée de vie. Parmi les plus connues, nous pouvons citer (C. Lalanne, 1999) :

Méthode "rainflow" de comptage des cycles

Cette méthode de la « goutte d’eau » doit son nom à la présentation poétique de l’algorithme qui la décrit qu’en avait fait son inventeur japonais le professeur Endo (fondée sur l’analogie d’une goutte d’eau roulant sur les toits multiples d’une pagode, chassée par le vent et se mêlant aux filets d’eau).

mσmσaσaσ

nombre de cycles nipour chaque niveau

algorithmerainflow

WöhlerHaigh

Palmgren-Miner

ii

i i i

nD D

N= =∑ ∑

iD

19

Les critères de fatigue multiaxiauxLorsqu’on doit estimer la tenue en fatigue d’une pièce soumise en service à un chargement complexe et que l’on ne dispose comme élément de comparaison que de la seule limite d’endurance σD, la méthode consiste à définir une contrainte équivalente à l’état de contraintes multiaxiales.

La plupart des critères de fatigue multiaxiale utilisent, pour calculer cette contrainte équivalente, des approches dérivant des critères de plasticité de von Mises ou de Tresca. Une fois cette contrainte équivalente calculée, on la compare aux diagrammes d’endurance classiques : courbes de Wöhler, diagrammes de Haig, de Goodman-Smith.

Haig uniaxial Haig multiaxial

,a vMσ

Hσ

aσ

mσ1/B b=

Dσ Dσ

1/B b=

N N

Rappel : von Mises exemple de la traction-torsion

0 0 0 0 0 00 0 0 00 0

z

z zz

θ

θ

σ σ τσ σ τ σ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

état de contrainte :

20

Rappel : von Mises exemple de la traction-torsion

Critères de Tresca et von Misessurface seuil Tresca

,f( ) sup 0σ σ σ σ= − − =i j Y

i j

2 2 24σ τ σ+ = Y

2 2

f( ) 0

f( ) 3 0

σ σ σ

σ σ τ σ

= − =

= + − =

Y

Y

2 2 23σ τ σ+ = Y

surface seuil Mises

contraintes principales :

21

Les critères de fatigue multiaxiaux

Haig uniaxial Haig multiaxial

,a vMσ

Hσ

aσ

mσ1/B b=

Dσ Dσ

e

m

B R SoderbergB R Goodman= ⇒

= ⇒

1/B b=

( )1 3a HD bσ σ σ= −Le critère multiaxial s’écrit :

( )1a mD bσ σσ= −Le critère uniaxial s’écrit :

N N

Les critères de fatigue multiaxiauxPour des chargements proportionnels, l’amplitude de la contrainte équivalente de vonMises est souvent utilisée (surtout pour des matériaux isotropes métalliques).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

2 2 21 2 2 3 3 1

2 2 2 2 2 211 22 22 33 33 11 12 13 23

max min max min

121 62

1 32 2

a a a a a a a

a a a a a a a a a a

a ij ij ij ijs s s s

σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

σ

⎡ ⎤= − + − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − + − + + +⎣ ⎦

= − −

La prise en compte de la contrainte moyenne se fait par l’intermédiaire de la contrainte hydrostatique moyenne au cours d’un cycle (Sines) :

( )1 2 313H Moyσ σ σ σ= + +

valeur mini et maxi de chaque composante du déviateur des contraintes (au cours du cycle)

min maxetij ijs s

1 2 3, eta a aσ σ σ amplitudes des contraintes principales

22

σ

τ

0 0 00 00

σ ττ σ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Exemple : Traction-torsion

aτ

aσ

2 2

3 1a a

D D

σ τσ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sines

a Dτ σ

a Dσ σ

0,1Dbσ =

Les critères de fatigue multiaxiaux

Crossland propose de faire intervenir la contrainte hydrostatique maximale (au cours du cycle) :

max1 3)

1H

DD

abb

σσσ

σ−

=−

avec ( )max 1 2 313H Maxσ σ σ σ= + +

Critère de Sines et Crossland pour la traction-torsion alternée (Lemaitre et Chaboche)

a Dτ σ

a Dτ σ

a Dσ σa Dσ σ

0,1Dbσ =

0,3Dbσ =

23

Les critères de fatigue multiaxiaux

Autres approches : les critères de type plan critique

Ces critères sont basés sur le fait que le comportement en fatigue d'un matériau en un point donne de la structure est impose par le plan matériel le plus sollicitépassant par ce point.

La sévérité du cycle des contraintes sur un plan donné est alors exprimée par certaines combinaisons linéaires de grandeurs liées à la contrainte normale et à la contrainte de cisaillement agissant sur ce plan.

Quelques exemples classiques :

• Matake• Findley• Dang-Van