Bon Cour d'Electromagnetique Suite

Chapitre 7

Propagation dans le vide et lesmilieux dielectriques

Sommaire

7.1 Concepts generaux sur les ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.2 Ondes electromagnetiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . 169

7.3 Reflexion d’une onde plane sur un plan conducteur . . . . . . . 173

7.4 Ondes electromagnetiques et milieux dielectriques . . . . . . . 178

7.5 Propagation guidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Notes de cours d’electromagnetisme classique,Licence 3 et Magistere de Physique Fondamentale, P. Puzo (2010 - 2011)

159

7.1 Concepts generaux sur les ondes

7.1.1 Generalites sur la propagation d’une onde

Lorsqu’un parametre physique f depend a la fois de l’espace et du temps de manierecouplee, on dit qu’il represente une onde qui se propage dans l’espace en fonction du temps.Les composantes des champs !E et !B sont des parametres qui, sous certaines conditions, secomportent comme des ondes.

On dira d’une onde vectorielle !A qu’elle est polarisee si une ou plusieurs de ses composantessont nulles :• lorsque la direction de !A est fixe, la polarisation de l’onde est dite rectiligne.• lorsque !A est colineaire a sa direction de propagation, la polarisation de l’onde est ditelongitudinale.

• lorsque !A est orthogonal a sa direction de propagation, la polarisation de l’onde est ditetransverse.

On dira d’une onde f(!r, t) qu’elle est plane si elle ne depend en coordonnees cartesiennesque d’une seule variable, par exemple x :

!y !z f(x, y, z, t) = f(x, t) (7.1)

On appellera alors plan d’onde un plan quelconque perpendiculaire a l’axe des x. Sur chacunde ces plans, la valeur de f reste evidemment constante.

x

z

y

O

2tt1

Figure 7.1 – Onde plane se propageant dans la direction Ox. Les plans d’onde se deplacent a lavitesse v entre deux instants t1 et t2 > t1.

Equation de d’Alembert

Les parametres physiques d’un grand nombre de phenomenes ondulatoires verifient l’equa-tion, dite equation de d’Alembert 1 :

!f " 1

v2"2f

"t2= ! f = 0 (7.2)

ou v est homogene a une vitesse mais n’est pas forcement la vitesse de la lumiere 2.

1. Certains auteurs ( [11] par exemple) appellent simplement cette equation equation d’onde.2. Attention, certains auteurs prennent la convention de signe inverse pour la definition du dalembertion

!.


160

Dans le cas d’une onde plane, l’equation de d’Alembert (7.2) devient :

"2f

"x2" 1

v2"2f

"t2= 0 (7.3)

Solution generale de l’equation de d’Alembert a une dimension

Pour determiner la forme generale des solutions de l’equation de d’Alembert a une dimension(7.3), on e"ectue le changement de variables :

X =x

v" t et Y =

x

v+ t (7.4)

On peut alors ecrire :

"f

"x=

"f

"X

"X

"x+

"f

"Y

"Y

"x=

1

v

!

"f

"X+

"f

"Y

"

et"2f

"x2=

"

"X

#

1

v

!

"f

"X+

"f

"Y

"$

"X

"x+

"

"Y

#

1

v

!

"f

"X+

"f

"Y

"$

"Y

"x

soit finalement :"2f

"x2=

1

v2

#

"2f

"X2+ 2

"2f

"X "Y+

"2f

"X2

$

(7.5)

De la meme facon, on a :

"f

"t=

"f

"X

"X

"t+

"f

"Y

"Y

"t= " "f

"X+

"f

"Y

et"2f

"t2=

"

"X

#

" "f

"X+

"f

"Y

$

"X

"t+

"

"Y

#

" "f

"X+

"f

"Y

$

"Y

"t

soit finalement :"2f

"t2=

"2f

"X2" 2

"2f

"X "Y+

"2f

"X2(7.6)

En combinant (7.5) and (7.6), l’equation de d’Alembert (7.3) se ramene a :

"2f

"X "Y= 0 (7.7)

En integrant par rapport a X, on montre donc qu’il existe une fonction H(Y ) (qui ne dependau plus que de Y et certainement pas de X) telle que :

"f

"Y= H(Y )

Une deuxieme integration par rapport a Y montre qu’il existe deux fonctions g(X) et h(Y )(ne dependant respectivement que de X et Y ) telles que f s’ecrive :

f(X, Y ) = g(X) + h(Y ) (7.8)


161

On peut facilement verifier que reciproquement, toute fonction de la forme (7.8) est solu-tion de (7.3). On peut donc ecrire de maniere tres generale les solutions de l’equation ded’Alembert a une dimension sous la forme 3 :

f(x, t) = g%x

v" t

&

+ h%x

v+ t

&

(7.9)

Les fonctions g et h ainsi definies sont des ondes planes puisque, a t donne, elles prennentune valeur constante dans tout les plans definis par x = cste.

Interpretation

On note G(x, t) = g(X/v " t) la fonction g a l’abscissse x et a l’instant t. On note t1 et t2deux instants consecutifs (t2 > t1). On peut ecrire :

G(x, t2) = g%x

v" t2

&

= g

!

x" v(t2 " t1)

v" t1

"

= G(x" v(t2 " t1), t1) (7.10)

La representation spatiale de la fonction g a l’instant t2 est donc la translatee de la quantitev (t2"t1) dans le sens des x positifs de la representation spatiale de g a l’instant t1 (figure 7.2).La courbe representant g(x, t) est simplement la translation dans le sens des x positifs a lavitesse v de la courbe representant g(x, 0). On appellera onde plane progressive une ondetelle que g qui se propage dans le sens des x positifs.

g(x, t)

2 1

x

v (t !t )

2g (x, t )1g (x, t )

Figure 7.2 – La representation spatiale de ga l’instant t2 est la translatee de v (t2"t1) de larepresentation spatiale de g a l’instant t1 < t2.

x

z

y

O2t

t 1

u

Figure 7.3 – Onde plane se propageant dansune direction quelconque donnee par !u. Lesplans d’onde se deplacent a la vitesse v entredeux instants t1 et t2 > t1.

De maniere equivalente, on montre que h se translate dans le sens des x negatifs a la vitesse" v. Une onde telle que h est appelee une onde plane regressive.

La solution generale de l’equation de d’Alembert se met donc sous la forme de la sommed’une onde plane progressive et d’une onde plane regressive.

3. De maniere equivalente, on trouve parfois que f(x, t) est de la forme :

f(x, t) = g(x" v t) + h(x+ v t)


162

Onde plane se deplacant dans une direction quelconque

Pour une onde plane se deplacant dans une direction quelconque selon un axe de vecteurunitaire !u, on peut ecrire (figure 7.3) :

f(x!, t) = g

!

x!

v" t

"

+ h

!

x!

v+ t

"

(7.11)

dans le repere Ox!y!z! tel que Ox! soit dans la direction de !u. Dans le repere Oxyz, on a :

f(!r, t) = g

!

!u . !r

v" t

"

+ h

!

!u . !r

v+ t

"

car x! = !u . !r (7.12)

7.1.2 Les divers types d’ondes

Ondes planes progressives harmoniques ou monochromatiques

On appelle onde plane progressive harmonique ou monochromatique (OPPH ou OPPM selonles auteurs) une onde plane se propageant selon !u telle que :

f(!r, t) = f0 cos

#

#

!

!u . !r

v" t

"

+ $

$

= f0 cos(!k . !r"#t+ $) (7.13)

ou l’on a defini le vecteur d’onde !k d’une telle onde par :

!k =#

v!u (7.14)

La norme de !k est le nombre d’onde, c’est a dire le nombre de periodes spatiales par unitede longueur (multiplie par 2%). La periode spatiale & d’une OPPH est donnee par :

& =2 %

k=

2 % v

#(7.15)

Elle represente la distance minimale dont il faut se deplacer a un instant donne pour recrouverla meme valeur de la fonction d’onde. De maniere equivalente, on definit la periode temporelleT d’une OPPH par :

T =2 %

#=

2 % v

k(7.16)

Elle represente le temps minimum pour qu’en un point donne, la valeur de la fonction d’ondese repete.

Les deux periodes spatiales et temporelles sont reliees par :

& = v T (7.17)

Ondes planes regressives harmoniques

De maniere equivalente, on appelle onde plane regressive harmonique une onde plane sedeplacant dans la direction " !u telle que :

f(!r, t) = f0 cos(!k . !r"# t+ $) avec !k = " #

v!u (7.18)


163

Ondes planes periodiques quelconques

On considere une onde plane progressive quelconque f(!r, t) de direction de propagation !u,periodique dans le temps de periode T = 2 %/#. On peut decomposer f en serie de Fouriersous la forme :

f(!r, t) = a0 +'

n

an cos(!kn .!r"n# t+ $n) avec !kn =n#

v!u (7.19)

De la meme facon, on decompose une onde plane regressive quelconque sous la forme :

f(!r, t) = a0 +'

n

an cos(!kn .!r"n# t+ $n) avec !kn = " n#

v!u (7.20)

Ondes planes quelconques

On admettra qu’une onde quelconque (pas necessairement periodique), peut se decomposerselon :

f(!u .!r"vt) =1#2 %

( "

#"

F (#) ei[!k .!r#" t+#(")] d# (7.21)

en notant !u le vecteur unitaire dans sa direction de propagation et k = #/v.

Ondes stationnaires

On considere la superposition d’une onde plane progressive harmonique et d’une onde planeregressive harmonique de meme amplitude f0 et de meme dephasage $, se deplacant toutesles deux selon Ox. D’apres (7.13) et (7.18), cette onde s’ecrit :

f(x, t) = f0 cos(k x"# t+$) + f0 cos("k x"# t+$) = 2 f0 cos(k x) cos(# t"$) (7.22)

L’espace et le temps sont maintenant decouples. Une telle onde ne se propage pas. Elleest dite stationnaire. La fonction cos(# t" $) module l’amplitude temporelle de la fonctioncos(k x).

t

f (x, t)

Noeud

Ventre

t = t 2 = t

t = t 1

1

Figure 7.4 – Pour une onde stationnaire, les nœuds restent fixes au cours du temps tandis queles ventres ont l’amplitude maximale.


164

Ondes spheriques

On dira d’une onde qu’elle est spherique si elle ne depend que de la distance r a un point donne(que l’on prend generalement comme origine). Si en plus elle suit l’equation de d’Alembert,on a alors d’apres (A.39) :

1

r

"2

"r2(rf) " 1

v2"2f

"t2= 0 soit encore

"2

"r2(rf) " 1

v

"2

"t2(rf) = 0 (7.23)

D’apres § 7.1.1, il existe donc des fonctions g et h telles que r f(x, t) = g)

xv " t

*

+ h)

xv + t

*

soit finalement :

f(x, t) =1

rg%x

v" t

&

+1

rh%x

v+ t

&

(7.24)

La fonction g est une onde divergente et la fonction h une onde convergente (figure 7.5).

O

rr1 r2O

g / r

rr2 r1O

h / r

O

Figure 7.5 – L’onde divergente decrite par la fonction g se deplace vers l’exterieur de la sphere ala vitesse v de r1 a r2 entre les instants t1 et t2 > t1 (en haut), au contraire de l’onde convergentedecrite par la fonction h (en bas).

7.1.3 Generalisation aux equations de propagation lineaires

Notation complexe

Tant que les equations que l’on cherche a resoudre sont lineaires (et c’est en particulier lecas pour les equations de Maxwell), on peut utiliser la notation complexe. On pourra ainsiassocier a toute grandeur sinusoıdale de la forme f = f0 cos(!k .!r"# t + $) la grandeurcomplexe f telle que :

f = Re(f) avec f = f0 exp+

i (!k .!r"# t+ $),

(7.25)


165

Le choix du signe dans l’exponentielle est purement conventionnel. Il su#t d’en choisir unet d’etre coherent ensuite 4 !

La notation complexe ne doit etre utilisee que dans l’etude de problemes lineaires.En particulier, on reviendra aux notations reelles en electromagnetisme avant toute etudeenergetique. Tres souvent, et ce polycopie ne fait pas exception a la regle, on notera egalementf la fonction complexe f . C’est un abus de langage, mais tellement courant que vous me lepardonnerez..

Decomposition en serie de Fourier

La justification la plus generale de la notion d’ondes planes progressives monochromatiquescomme base de decomposition de tout type d’onde est la possibilite de decomposer toutefonction du temps en termes de transformees de Fourier :

f%x

v" t

&

=1#2 %

( +"

#"

f"(#) exp+

i#%x

v" t

&,

d# (7.26)

Ainsi, en electomagnetisme, la linearite des equations de Maxwell permet de considerer touteonde plane progressive comme une somme d’ondes monochromatiques.

Toute equation de propagation lineaire admet donc des ondes planes comme solutions :

f(!r, t) = f0 exp+

i(!k .!r"# t),

avec !k = !k1 + i !k2 (7.27)

Le vecteur d’onde !k peut etre complexe (on supposera k1 et k2 reels). On peut montrer quececi se produit necessairement lorsque l’equation de propagation admet a la fois des deriveesd’ordre pair et impair. La coexistence des deux termes introduit dans ce cas une irreversibilitequi se traduit par une attenuation de l’onde, quel que soit son sens de propagation. Lesderivees d’ordre impair dans l’equation de propagation correspondent generalement a destermes dissipatifs 5.

Propagation d’une onde plane progressive harmonique avec attenuation

Lorsque le vecteur d’onde !k = !k1 +i !k2 est complexe, une OPPH se met sous la forme :

f(!r, t) = f0 exp+

i(!k .!r"# t),

= f0 exp%

" !k2 .!r&

exp+

i (!k1 .!r"# t),

(7.28)

4. On utilisera ici la representation complexe e! i! t, qui est generalement utilisee en optique electro-magnetique. Par contre, en electrocinetique, la convention habituelle est ei! t ! Les impedances complexes”classiques” i L" ou 1 / iC " sont determinees comme cela. Gare aux confusions !

5. On peut prendre pour exemple l’equation :

!f " 1

c2#2f

#t2" $

c2#f

#t= 0

En introduisant (7.27), on obtient :

" k2(") +"2

c2+ i

" $

c= 0

qui conduit bien a un vecteur d’onde !k complexe.


166

Une telle onde s’attenue dans la direction de !k2. Le milieu est dissipatif. Il y a absorption.

Dans le cas extreme ou le vecteur d’onde est imaginaire pur (k1 = 0), l’onde est evanescente :

f(!r, t) = f0 exp%

" !k2 .!r&

exp ("i# t) soit en reels f(!r, t) = f0 exp%

" !k2 .!r&

cos(# t)

(7.29)Une telle onde ne se propage pas car le couplage entre les composantes spatiales et temporellesa disparu.

Vitesse de phase - Relation de dispersion

On appellera vitesse de phase v# la vitesse a laquelle il faut se deplacer dans le sens depropagation donne par !u pour que la phase k1(#) !u .!r"# t reste constante :

v# =#

k1(#)(7.30)

Si k1 n’est pas lineaire en #, la vitesse de phase v# depend de #. Dans ce cas, les di"erentesharmoniques qui constituent le signal n’ont pas la meme vitesse de phase, ce qui amene unedistorsion de l’onde en fonction du temps. Le milieu est dit dispersif.

On appelle relation de dispersion la fonction k1(#) donnant la partie reelle du nombre d’ondek en fonction de la pulsation #. Elle impose generalement une relation entre la periodetemporelle d’une impulsion et sa periode spatiale.

Vitesse de groupe

Il est important de voir qu’une onde sinusoıdale ne transporte aucune information car sesproprietes sont les memes en tout point de l’espace. Pour qu’une onde soit porteuse d’infor-mation, il lui faut etre modulee en phase, en amplitude ou en frequence. On appelle vitessede groupe vg d’une onde la vitesse de propagation de l’information. Elle est a priori di"erentede la vitesse de phase.

On admettra a cet instant du cours que la vitesse de groupe est donnee par :

vg =d#

dk(7.31)

Cette vitesse correspond en fait a la vitesse de phase de la modulation.

On peut par exemple considerer la superposition de deux ondes planes progressives harmo-niques de meme amplitude mais de pulsations respectives #"!# et #+!# (avec !# $ #).On obtient :

f(x, t) = f0 cos [(k "!k) x" (# "!#) t] + f0 cos [(k +!k) x" (# +!#) t]

soit :f(x, t) = 2 f0 cos(!k x"!# t) cos(k x" # t) (7.32)

La representation de cette onde est donnee a un instant donne par la figure 7.6. Le termeen cos(!k x"!# t) module en amplitude le terme en cos(kx"#t). Il contient l’information


167

Figure 7.6 – La modulation de l’amplitude contient l’information transportee par l’onde.

transportee par l’onde, c’est a dire la facon dont elle est modulee. Sa vitesse de phase !#/!kest donc par definition la vitesse de groupe de l’onde :

vg =!#

!k(7.33)

Lorsque la vitesse de phase est independante de # (v# = #/k = v), alors la vitesse de groupede l’onde est egale a sa vitesse de phase :

vg =!#

!k=

#

k= v# (7.34)

Remarque : La theorie de la relativite impose que vg soit borne par la vitesse de la lunierec, mais n’impose aucune condition sur la vitesse de phase v#.

Interpretation de la vitesse de groupe

Les ondes decrites par (7.26) representent en general une situation fictive puisqu’elles repre-sentent une pulsation unique, s’etendant de t = "% a t = +%. Generalement, on ne peutpas realiser mieux qu’une onde quasi monochromatique, encore appelee paquet d’ondes, qu’onpeut representer comme la superposition d’ondes monochromatiques de pulsations voisines,donc de nombres d’onde voisins :

f(x, t) &( +"

#"

f0(k) e"i [k x" #(k) t] dk (7.35)

ou f0(k) ne prend des valeurs non nulles que dans un intervalle centre autour de k0 6. Ene"ectuant un developpement limite de #(k) au 1er ordre en q = k " k0, on obtient :

# '= #0 + (k " k0)d#

dk

-

-

-

-

k=k0

d!ou # '= v# k0 + vg (k " k0) (7.36)

L’equation (7.35) se reecrit a l’aide d’un changement de variable :

f(x, t) '=( +"

#"

f0(q) exp [" i ([k0 + q] x" [v# k0 + vg q]t)] dq (7.37)

6. On peut remarquer qu’a un facteur 1/#2% pres, (7.35) est en fait une decomposition en serie de

Fourier.


168

Cette fois, la fonction f0(q) ne prend de valeurs non nulles que dans un intervalle centre surzero. On peut donc reecrire cette equation sous la forme :

f(x, t) '= F (x" vg t) e"ik0 [x" v#t] (7.38)

en definissant le facteur de groupe F (x" vg t) par :

F (x" vg t) =

( +"

#"

f0(q) exp (" i q (x" vg t)) dq (7.39)

La relation (7.38) montre que l’on peut representer une onde quasi monochromatique parle produit d’une onde monochromatique de vecteur d’onde k0 se propageant a la vitesse dephase v#, mais modulee par un facteur de groupe se propageant a la vitesse de groupe vg.

Figure 7.7 – Facteur de groupe. Figure 7.8 – Paquet d’ondes.

Pour illustrer ceci, on peut considerer un facteur de groupe tel que celui represente sur lafigure 7.7. Alors la partie reelle du paquet d’ondes s’ecrit :

Re [f(x, t)] = cos (k0 [x" v# t]) F (x" vg t) (7.40)

si le facteur de groupe est reel et prend l’aspect de la figure 7.8. Le centre du paquet sedeplace a la vitesse de groupe et les plans de phase a la vitesse de phase.

7.2 Ondes electromagnetiques dans le vide

7.2.1 Equations de propagation des champs et des potentiels

En jauge de Lorentz (1.12), les equations de propagation des potentiels s’ecrivent :

! !A" 1

c2"2 !A

"t2= !0 et !$" 1

c2"2$

"t2= 0 (7.41)

et verifient donc une equation de d’Alembert.

On montre facilement que dans un milieu vide de charges et de courants, les champs suiventegalement une equation du meme type :

! !B " 1

c2"2 !B

"t2= !0 et ! !E " 1

c2"2 !E

"t2= !0 (7.42)


169

7.2.2 Ondes planes progressives electromagnetiques

On considere le cas d’une onde plane se propageant dans la direction Ox. On introduit leschamps transverses Et et Bt tels que :

!E = !Et + Ex !ux et !B = !Bt + Bx !ux (7.43)

Par ailleurs, on montre facilement que Ex et Bx ne dependent ni de la position, ni du temps.Cela signifie que les equations de Maxwell sont entierement determinees par les champstransverses. Le principe de superposition (§ 2.1.2) permet alors de poser :

Ex = !0 et !Bx = !0 (7.44)

et de considerer que le champ de l’onde plane est forcement transverse. En fait, seules lescomposantes transverses interviennent dans la propagation. Les composantes longitudinalessont simplement ”spectatrices”.

On montre facilement que dans le cas d’une onde plane se propageant dans la direction Ox,on a :

!B =1

c!ux ( !E (7.45)

ce qui signifie que le triedre ( !E, !B, !ux) est un triedre direct.

A l’aide des equations de Maxwell dans le vide, on montre que la relation reliant la pulsation# de l’onde plane et le nombre d’onde k s’ecrit :

k =#

c(7.46)

Cette relation est connue sous le nom de relation de dispersion dans le vide illimite.

7.2.3 Polarisation des ondes planes

La polarisation d’une onde est l’evolution de la direction de son champ electrique !E au coursdu temps (figure 7.9). Pour une onde se propageant dans le vide illimite selon Ox, l’expressionla plus generale du champ electrique est :

.

/

/

/

/

0

/

/

/

/

1

Ex = 0

Ey = E0y cos(k x" # t+ $y) avec k = #c

Ez = E0z cos(k x" # t+ $z)

(7.47)

ou les constantes 7 E0y et E0z d’une part, et $y et $z d’autre part sont a priori di"erentes.

Pour decrire l’evolution de la direction du champ !E au cours du temps, il existe a priorideux methodes : fixer la position et envisager l’evolution dans le temps ou fixer le temps etenvisager l’evolution spatiale selon Ox.

7. On supposera que les amplitudes E0y et E0z sont positives, mais cela ne change rien a la generalite dupropos.


170

z

x

yEz

E

EyO

Figure 7.9 – La polarisation d’une onde represente l’evolution de la direction de son champelectrique !E au cours du temps.

Les di!erents etats de polarisation dans un plan d’onde

En fixant la position et en regardant l’evolution du champ !E dans le temps, on peut montrerque (7.47) conduit a :

!

Ey

E0y

"2

+

!

Ez

E0z

"2

" 2

!

Ey

E0y

" !

Ez

E0z

"

cos($) = sin2($) (7.48)

ou $ = $z "$y. Si $ est un multiple de %, la polarisation est dite rectiligne. Si $ n’est pas unmultiple de %, l’extremite de !E decrit une ellipse. La polarisation est elliptique (figure 7.10).Enfin, si $ = %/2 ou 3 %/2, la polarisation est circulaire. Dans tous les cas, le sens deparcours de la courbe decrivant l’extremite de !E depend de la valeur du dephasage $ entreles composantes Ey et Ez.

z

y

z

y

z

y

z

y

z

y

z

y

z

y

Elliptique gaucheRectiligne! = 0 0 < ! < " / 2 ! = " / 2 " / 2 < ! < "

Rectiligne Elliptique droite3" / 2 < ! < 2"! = 3" / 2" < ! < 3" / 2! = "

z

y

Figure 7.10 – Les di"erents etats de polarisation en supposant que l’observateur recoit l’ondeselon la direction Ox.

Pour obtenir le sens de rotation sur l’ellipse, on peut remarquer que d’apres (7.47) :!

dEz

dt

"

t=0

= E0z # sin($) (7.49)

Comme Ez est maximum en t = 0, le sens de rotation depend du signe de $. Si 0 < $ < %,la polarisation est gauche, elle est droite si % < $ < 2 %.


171

Les di!erents etats de polarisation a t donne

En fixant le temps et en regardant l’evolution du champ !E dans l’espace, on obtient lesfigures 7.11 et 7.12 pour des polarisations respectivement rectilignes et circulaires.

z

x

y

E(x, t )0

Figure 7.11 – Representation a t donne d’une onde polarisee rectilignement se deplacant vers lesx > 0.

O

yz

x

0E (x, t )

Figure 7.12 – Representation a t donne d’une onde polarisee circulairement se deplacant vers lesx > 0.

7.2.4 Energie electromagnetique d’une onde plane

Pour une onde plane progressive electromagnetique, la densite volumique d’energie electro-magnetique u et le vecteur de Poynting !R (1.22) deviennent :

u = '0 E2 =

B2

µ0et !R =

E2

µ0 c!ux = c

B2

µ0!ux (7.50)

On retiendra que les deux composantes electriques ('0E2/2) et magnetiques (B2/2µ0) de usont egales et que !R est dans la direction de propagation de l’onde.

La puissance P portee par le vecteur de Poynting s’ecrit :

P =(WP

dt=

!

E2

µ0 c

"

S (7.51)

en notant S une surface perpendiculaire a la direction de propagation. L’energie (WP tra-versant S pendant l’intervalle dt est donc :

(WP = '0E2 S c dt = uS c dt (7.52)

On peut interpreter cette expression comme etant l’energie contenue dans un cylindre debase S et de hauteur c dt.


172

On appelle vitesse de l’energie la vitesse !vg a laquelle se propage la moyenne spatiale ettemporelle de l’energie electromagnetique portee par une onde. C’est la vitesse de groupedefinie par (7.31). La quantite moyenne d’energie qui traverse la surface elementaire d!S(figure 7.13) pendant l’intervalle de temps dt est :

<< !p >t>Espace . d!S dt = <t>Espace !vg dt . d !S (7.53)

Comme ceci est valable quelle que soit d!S, on en deduit :

!vg =<< !p >t>Espace

<t>Espace(7.54)

dS

v dtg

Figure 7.13 – La vitesse de l’energie est la vitesse a laquelle se propage la moyenne spatiale ettemporelle de l’onde.

7.3 Reflexion d’une onde plane sur un plan conducteur

On ne considerera que les incidences normales dans ce paragraphe.

7.3.1 Champ a la separation entre le vide et un conducteur

Cas d’un conducteur parfait

Dans un conducteur parfait, les charges reagissent a l’existence des champs electrique etmagnetique variables en generant instantanement des densites surfaciques de charges )libre

et de courant !Klibre qui, en superposant leurs e"ets a ceux du champ externe, donnent unchamp total nul a l’interieur, ce qui est necessaire pour un conducteur a l’equilibre. Lesrelations donnant )libre et !Klibre sont alors :

!E =)libre

'0!n et !B = µ0

!Klibre ( !n (7.55)

ou !n est une normale sortante du conducteur. La 1re relation generalise le theoreme deCoulomb de l’electrostatique. La figure 7.14 represente les champs au voisinage de la surfaced’un conducteur parfait.

Cas d’un conducteur reel

On peut montrer que les champs a l’interieur d’un conducteur reel s’attenuent exponentielle-ment sur une longueur caracteristique ( appelee epaisseur de peau. Les conditions aux limites


173

zO

BE

E//

B//

E

Vide

B

Conducteurparfait

z

BE

B//

E

Vide Conducteur

E//

B

réel

#exp(!z / )

O

Figure 7.14 – Champs a la surface d’un conducteur parfait (a gauche) et d’un conducteur reel(a droite).

donnees par (7.55) ne sont verifiees qu’en dehors d’une tres fine couche de transition a lasurface du conducteur.

Une etude complete de cette couche de transition montre que les champs !Ec et !Bc a l’interieurdu conducteur sont donnes par :

!Bc & !B// e" */( ei */( et !Ec & 1

µ0

2

µc #

2)(1" i) (!n( !B//) e

" */( ei */( (7.56)

ou !B// est la composante parallele du champ magnetique sur la surface exterieure du conduc-teur, * la profondeur dans le metal et ) la conductivite du metal. On retiendra que les champs!E et !B ne sont plus en phase a l’interieur du conducteur. La condition aux limites sur lacomposante tangentielle du champ electrique montre que juste a l’exterieur de la surface, ilexiste un champ electrique tangentiel donne par :

!E// & 1

µ0

2

µc #

2)(1" i) (!n( !B//) (7.57)

On pourrait montrer qu’il existe egalement une composante perpendiculaire a la surface duchamp magnetique, dont l’ordre de grandeur est donne par !E// /c. La figure 7.14 representeles champs au voisinage de la surface d’un conducteur reel.

7.3.2 Pertes dans un conducteur

Cas d’un conducteur parfait

Les champs !E et !B etant nuls, il n’y a pas de pertes d’energie dans le conducteur parfait.

Pertes dans un conducteur reel

Il existe un flux de puissance penetrant dans le conducteur. On pourrait montrer que lapuissance moyenne absorbee (par unite de surface) vaut :

dP

dS=

µc # (

4µ20

| !B// |2 (7.58)


174

Selon la loi d’Ohm, il existe au voisinage de la surface une densite volumique de courant !Jdonnee par :

!J = ) !Ec =1

µ0 ((1" i) (!n( !B//) e

" * (1" i)/( (7.59)

Cette densite volumique est confinee sur une epaisseur si petite (quelques () qu’on peut dansla pratique l’assimiler a une densite surfacique !Keff :

!Keff =

( "

0

!J d* = !n(!B//

µ0(7.60)

En comparant avec (7.55), on voit qu’un conducteur reel se comporte comme un conducteurparfait dont le courant surfacique equivalent !Keff se repartit sur une tres faible epaisseursur la surface du conducteur. La perte de puissance dans le conducteur se met alors sous laforme :

dP

dS=

1

2) (|Keff |2 (7.61)

On appelle souvent 1/) ( la resistance superficielle du conducteur. L’avantage de ce forma-lisme est qu’a l’aide des densites surfaciques calculees dans le cas des conducteurs parfaits,on pourra determiner (au minimum au 1er ordre) les pertes ohmiques dans les guides d’ondeset cavites reels.

7.3.3 Reflexion d’une onde plane progressive sur un plan parfai-tement conducteur

On considere une onde plane progressive se propageant dans la direction Ox et arrivanten x = 0 en incidence normale sur un plan conducteur (figure 7.15). Les composantes deschamps !Ei et !Bi de l’onde incidente sont :

!Ei =

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Ex, i = 0

Ey, i = E0 cos(# t+ k x)

Ez, i = 0

et !Bi =

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Bx, i = 0

By, i = 0

Bz, i = "B0 cos(# t+ k x)

(7.62)

avec toujours B0 = E0/c puisque l’onde se propage dans le vide illimite.

Comme les champs !Ei et !Bi ne verifient pas (7.55), on doit admettre l’existence de champs!Er et !Br tels que, a l’exterieur immediat du conducteur :

!Ei + !Er =)libre

'0et !Bi + !Br = µ0

!Klibre ( !ux (7.63)

On en deduit donc que :

!Er =

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Ex, r = 0

Ey, r = "E0 cos(# t" k x)

Ez, r = 0

et !Bi =

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Bx, r = 0

By, r = 0

Bz, r = "B0 cos(# t" k x)

(7.64)


175

Figure 7.15 – Reflexion d’une onde plane par un plan conducteur.

Cette onde reflechie se propage bien dans le sens des x positifs. La relation (7.63) permetalors d’ecrire :

!K =2B0

µ0cos(# t) !uy (7.65)

7.3.4 Onde stationnaire

Creation d’une onde stationnaire

Dans le demi-espace x > 0, il y a superposition des ondes incidentes et reflechies. On endeduit que les champs !E et !B totaux s’ecrivent :

!E = " 2E0 sin(k x) sin(# t) !uy et !B = " 2B0 cos(k x) cos(# t) !uz (7.66)

On voit dans (7.66) que la phase de !E ou de !B ne depend que du temps. Il n’y a paspropagation. L’onde est dite stationnaire. De maniere generale, on peut montrer qu’uneonde stationnaire est de la forme f(x) g(t) alors qu’une onde progressive est de la formef(x± v t).

Les amplitudes de !E et !B dependent de la position x. Les nœuds de !E verifient 8 sin(k x) = 0,soit :

x = n%

k= n

&

2(7.67)

ou n est entier. Ils coıncident avec les ventres de !B. De leur cote, les ventres de !E sont situesaux positions x telles que sin(k x) = ±1, soit :

x = n%

k+

%

2 k= n

&

2+

&

4(7.68)

Ils coıncident avec les nœuds de !B.

8. Par definition, les nœuds correspondent aux lieux d’amplitude nulle et les ventres aux lieux d’amplitudemaximale.


176

Aspect energetique

La densite volumique d’energie electromagnetique s’ecrit apres calculs :

1

2'0 E

2 +B2

2µ0= 2 '0 E

20

3

sin2(# t) sin2(k x) + cos2(# t) cos2(k x)4

En prenant la moyenne temporelle de cette equation, on obtient finalement :

u = '0 E20 =

B20

µ0(7.69)

Cette valeur est independante du point considere. On montre facilement que le vecteur dePoynting s’ecrit !R = E0 B0

µ0sin(2# t) sin(2 k x). Comme sa moyenne temporelle est nulle en

tout point, on en deduit que l’enerie de l’onde stationnaire ne se propage pas.

7.3.5 Reflexion d’une onde plane progressive sur une grille parfai-tement conductrice

On considere une grille constituee de fils metalliques paralleles (figure 7.16). Les electrons deconduction dans les fils ne peuvent etre mis en mouvement que par la composante du champ!E parrallele aux fils. Comme on le verra au § 8, l’onde reflechie est due au rayonnement emispar ces electrons qui se deplacent dans la grille. Si ces courants etaient repartis uniformementdans le volume des fils, on observerait a la fois une onde reflechie et une onde transmise. Enfait, a cause de l’e"et de peau, les courants sont plutot localises du cote de l’onde incidente.Si l’espacement entre les fils est petit devant la longueur d’onde, on observe que l’onde esttotalement reflechie et qu’il n’y a pas d’onde transmise (comme dans le cas d’un plan).

Figure 7.16 – Transmission et reflexion d’une onde plane progressive par une grille metallique.

Si on considere au contraire un champ !E orthogonal a la direction des fils de la grille, il nepourra pas mettre les electrons en mouvement : l’onde sera transmise integralement.

A la condition que l’espace entre les fils soit petit devant la longueur d’onde, une grillemetallique se comporte donc comme un polariseur rectiligne.


177

7.4 Ondes electromagnetiques et milieux dielectriques

7.4.1 Equations de Maxwell et vecteur de Poynting

Pour un milieu dielectrique lhi, les equations de Maxwell s’ecrivent :.

/

/

0

/

/

1

!) . !D = +libre (MG)

!)( !H = !J libre+" !D

"t(MA)

.

/

/

0

/

/

1

!)( !E = " " !B

"t(MF)

!) . !B = 0 (M$)

(7.70)

Comme dans le vide, on associe un transport d’energie a la propagation d’une onde dansle milieu. Il y a toutefois des di"erences dues au fait que la reponse du milieu a un champexcitateur va influer sur le champ e"ectivement percu par le milieu. On admettra que le fluxd’energie a travers une surface fermee, associe a la propagation du champ electromagnetiquedans le milieu, est egal au flux a travers cette surface du vecteur de Poynting donne par :

!R = !E( !H (7.71)

7.4.2 Ondes monochromatiques dans un milieu lhi

Si l’excitation est sinusoıdale, on peut ecrire les champs sous la forme :

!E = !E" exp(" i# t) !B = !B" exp(" i# t) !D = !D" exp(" i# t) (7.72)

On montre alors facilement que pour un milieu dielectrique lhi non magnetique sans chargeslibre, les equations (7.70) s’ecrivent :

.

0

1

!) . !E" = 0

!)( !B" +i# 'µ0!E" = !0

.

0

1

!)( !E" "i# !B" = !0

!) . !B" = 0(7.73)

Ces equations montrent que les ondes monochromatiques qui se propagent dans un milieulhi sont formellement semblables a celles qui se propagent dans le vide, puisqu’on a remplace'0 par '. Par exemple, en eliminant !E" ou !B", on obtient respectivement :

! !B" +#2 'µ0!B" = !0 et ! !E" +#2 'µ0

!E" = !0 (7.74)

On note deux di"erences fondamentales par rapport au cas du vide :

1. la susceptibilite ' depend de # (ce qui entraıne la dispersion)

2. la susceptibilite ' est generalement complexe (ce qui entraıne l’absorption)

7.4.3 OPPH dans un lhi

Dans le cas d’une onde plane progressive se propageant selon !ux, l’equation de dispersion del’onde dans le milieu dielectrique prend la forme :

k2 = #2 '(#)µ0 ou encore k2 =#2

c2'r(#) (7.75)


178

Il existe trois types de solutions selon les valeurs de 'r(#) qui peut-etre reel (positif ounegatif) ou complexe.

Cas ou 'r(#) est un nombre reel positif

Dans ce cas, k2 est positif. L’onde garde les caracteristiques de l’onde plane qui se pro-page dans le vide. Son amplitude reste constante au cours de la propagation : il n’y a pasd’attenuation. Si la vitesse de phase definie par :

v# =#

k=

1#'µ0

=c

5

'r(#)(7.76)

varie avec la frequence, le milieu est dit dispersif. La courbe #(k) n’est plus une droite passantpar l’origine (figure 7.17). La comparaison avec l’indice de refraction n = c/v# en optiqueincite a poser :

n(#) =5

'r(#) (7.77)

La longueur d’onde dans le dielectrique est & = &0/n ou &0 est la longueur d’onde de l’ondeelectromagnetique de meme frequence qui se propagerait dans le vide.

dispersif

O

Vide$

k

Milieu

Figure 7.17 – Variation de "(k) pour un milieu dispersif.

La relation entre !B et !E est :!B =

n

c(!ux( !E) (7.78)

On en deduit que le vecteur de Poynting moyenne sur une periode vaut :6

!R7

=1

2c n '0 E

20 !ux (7.79)

ou E0 est l’amplitude du champ electrique.

Cas ou 'r(#) est un nombre reel negatif

Si au contraire k2 est un reel negatif, k est de la forme :

k = ± i k!! avec k!! reel (7.80)

Les champs !E et !B varient comme :

!E = !E0 exp(± k!! x) exp(" i# t) et !B = !B0 exp(± k!! x) exp(" i# t) (7.81)

Les champs !E et !B vibrent partout en phase et leur amplitude varie d’un point a un autre.Ce n’est donc pas une propagation pour laquelle l’amplitude du signal reste constante. On aici une onde evanescente.


179

Cas ou 'r(#) est un nombre complexe

Dans ce cas, k2 est complexe et peut s’ecrire :

k = k! + i k!! (7.82)

En introduisant les parties reelles et imaginaires '!(#) et '!!(#) de '(#), on obtient :

k!2 " k!!2 = #2 µ0 '!(#) et 2 k! k!! = #2 µ0 '

!!(#) (7.83)

On a vu au § 3.5.1 que '!!(#) etait toujours positif et traduisant l’absorption dans le milieu.En prenant k! > 0 (propagation dans le sens des x positifs), on en deduit que k!! l’est aussi.Comme les champs s’ecrivent :

!E = !E0 exp("k!! x) exp (i (k! x" # t)) et !B = !B0 exp(" k!! x) exp (i (k! x" # t))(7.84)

on peut remarquer que :

1. l’amplitude decroıt exponentiellement, d’autant plus vite que k!! est eleve

2. la phase est modulee spatialement, comme l’onde progressive

Le milieu est dit absorbant. Les proprietes d’absorption sont generalement caracterisees parl’indice complexe du milieu defini par :

n(#)2 =c k(#)

#= [n!(#) + i n!!(#)]2 = 'r(#) (7.85)

soit :n!2 " n!!2 = '!r et 2n! n!! = '!!r (7.86)

On appelle n! l’indice de refraction et n!! l’indice d’extinction car l’amplitude de l’onde decroıtcomme exp("n!! # x/c). On definit une vitesse de phase par :

v# =#

k!=

c

n!(7.87)

qui dependra de la pulsation # si le milieu est dispersif.

On peut montrer que la moyenne sur une periode du vecteur de Poynting vaut :

6

!R7

='0 E2

0

2exp

%

" 2n!! #

cx&

c n! !ux (7.88)

Cette relation montre bien que le flux de l’onde decroıt exponentiellement avec le coe#cientd’extinction 2 k!! = 2n!!#/c.

Frequences de coupure et bandes passantes

Suivant la valeur de #, un meme milieu pourra correspondre a un des trois modes precedents.Un domaine de frequence pour lequel les ondes progressives est une bande passante et estdelimite par des frequences de coupure au dela desquelles l’onde devient evanescente.


180

7.4.4 Dispersion et absorption dans le domaine optique

En dehors de la bande d’absorption (ie pour |# " #0| * 1/, avec les notations du § 3.4.2),on peut reecrire polarisabilite -(#), atomique ou moleculaire, sous la forme :

-(#) & q2

'0 m

1

#20 " #2

(7.89)

Cas des milieux dilues

Dans le cas d’un milieu dilue comportant N oscillateurs par unite de volume, on a . = N -(3.43). On en deduit :

n2 " 1 =N q2

'0 m

1

#20 " #2

(7.90)

Un milieu dielectrique contenant generalement plusieurs regions d’absorption de pulsationcaracteristique #i, (7.90) se met plutot sous la forme :

n2 " 1 ='

i

Ci

#2i " #2

ou encore n2 = 1 +'

i

Di

&2i " &2

(7.91)

en fonction de la longueur dans le vide & = 2 % c/# (Ci et Di sont des constantes). Laderniere expression est connue en optique sous le nom de formule empirique de Sellmeier.On lui connaıt deux developpements particuliers :

1. pour un milieu dont les frequences de resonance sont dans l’UV, on a & * &i dans ledomaine visible. Un developpement limite conduit a la formule empirique de Cauchy :

n2 = A+B

&2+

C

&4(7.92)

2. pour un milieu dont les frequences de resonance sont dans l’IR, on a & $ &i dans ledomaine visible. Un developpement limite conduit a la formule empirique de Briot :

n2 = A! &2 + A+B

&2+

C

&4(7.93)

Ces expressions permettent generalement de modeliser les indices des gaz ou des liquides surtoute la largeur du spectre visible jusqu’a la quatrieme decimale !

Cas des milieux denses

Pour un milieu dense au contraire, on doit utiliser le champ local et non plus le champapplique. En supposant que l’expression de Lorentz du champ local (3.40) reste valable pourdes champs variables de longueur d’onde tres superieure aux dimensions des molecules, ondoit remplacer 'r " 1 =

8

i Ni -i par :

'r " 1

'r + 2=

'

i

Ni -i

3(7.94)


181

En remplacant ensuite 'r par n2, on obtient la formule de Lorenz-Lorentz :

n2 " 1

n2 + 2=

'

i

Ni -i

3(7.95)

Pour un fluide donne et a frequence donnee, la proportionalite entre (n2 " 1)/(n2 + 2) et ladensite N de molecules est bien verifiee. Un developpement limite de (7.95) conduit evidem-ment a (7.92) et (7.93) dans les domaines correspondants.

Au voisinage d’une bande d’absorption (n!!(#) += 0), l’indice de dispersion n!(#) varie tresrapidement, et possede en particulier une zone ou n!(#) decroıt avec # (zone dite de dispersionanormale). Le modele de Drude-Lorentz est en fait trop simple pour decrire convenablementces regions. Il faudrait prendre en compte la mecanique quantique.

7.4.5 Interface entre deux dielectriques

Conditions aux limites

On considere deux milieux lhi separes par une surface qu’on peut toujours confondre loca-lement avec son plan tangent (figure 7.18) tant que la longueur d’onde associee est grandedevant les defauts de planeite de la surface.

+a

xMilieu (1)

z

1 !> 2nMilieu (2)

!a

Figure 7.18 – La surface de separation entre deux dielectriques peut etre confondue avec sonplan tangent (voir texte).

On supposera comme au § 1.6.2 que les proprietes du milieu varient fortement au voisinagedu plan Oxy. En appelant f l’une quelconque des composantes des champs, ceci se traduitpar une forte variation de "g/"z, tandis que "g/"x, "g/"y et "g/"t ne vont pas varierde maniere notable. En procedant comme au § 1.6.2, on obtient les conditions aux limitessuivantes :

!ET2= !ET1

'r2 !EN2= 'r1 !EN1

!B2 = !B1 (7.96)

Onde plane monochromatique en incidence quelconque

On considere une onde plane monochromatique de vecteur d’onde !k1 se propageant dans unmilieu (1) suppose lhi non absorbant. L’experience montre qu’en arrivant sur une surfacede separation avec un milieu (2), egalement lhi, cette onde incidente donne naissance a une

onde reflechie et a une onde transmise ou refractee de vecteurs d’onde respectifs !k!

1 et !k2

(figure 7.19).

Sous la seule hypothese que les milieux (1) et (2) sont lhi, on montre facilement que :


182

Milieu (2)

k2

T

Milieu (1)

k 1 1i i’1 k’1

N

i 2

Figure 7.19 – Reflexion et refraction d’uneonde plane monochromatique a l’interfaceentre deux dielectriques en incidence quel-conque.

Milieu (1)

B2u

1

B’1E’1

E 2

Milieu (2)

!u

uB E

1

Figure 7.20 – Reflexion et refraction d’uneonde plane monochromatique a l’interfaceentre deux dielectriques en incidence normale.

1. la pulsation # des ondes est identique pour les ondes incidentes, transmises et reflechies

2. l’onde reflechie et l’onde transmise sont dans le plan d’incidence defini par !k1 et lanormale a la surface

3. les angles i1, i!1 et i2 definis par la figure 7.19 verifient :

sin(i!1) = sin(i1) et n1 sin(i1) = n2 sin(i2) (7.97)

ou n1 et n2 sont les indices des deux milieux.

Coe"cients de reflexion et de transmission en amplitude et en energie

Pour simplifier, on se situe dans ce § dans le cas d’une incidence normale uniquement. Onmontre facilement qu’avec les notations de la figure 7.20, les champs electriques verifient :

!E!

1 =n1 " n2

n1 + n2

!E1 et !E2 =2n1

n1 + n2

!E1 (7.98)

definissant ainsi les coe!cients de reflexion en amplitude r et de transmission en amplitudet par :

r =n1 " n2

n1 + n2et t =

2n1

n1 + n2(7.99)

A l’aide du vecteur de Poynting, on en deduit facilement des coe!cients de reflexion enenergie R et de transmission en energie T definis par :

R =

!

n1 " n2

n1 + n2

"2

et T =4n1 n2

(n1 + n2)2(7.100)


183

Exercice 7.1 : Coe!cients de reflexion et de transmission

Demontrer les expressions (7.99) et (7.100).

7.5 Propagation guidee

La propagation guidee consiste a transporter un signal electromagnetique dans un espacelimite par des parois. Dans la pratique, ces parois peuvent etre metalliques (pour les guidesissus des klystrons) ou isolantes (fibre optiques).

Pour des longueurs d’onde allant jusque vers 1 m, le seul moyen pratique de transporter unrayonnement electromagnetique fait intervenir des structures metalliques dont les dimensionssont comparables a celles des longueurs d’onde mises en jeu.

7.5.1 Generalites sur les guides d’onde

On considere des guides d’ondes dont toutes les surfaces sont parfaitement conductriceset dont la forme et la taille d’une subsection restent constantes dans la direction Oz. Onsupposera que le guide est rempli d’un milieu non dispersif caracterise par ses constantes 'et µ.

Equation d’onde - Champs transverses

En supposant une dependance harmonique en e" i# t, les equations de Maxwell s’ecrivent :

!) . !E = 0 !)( !E = i# !B !)( !B = " i 'µ# !E !) . !B = 0 (7.101)

En introduisant les composantes transverses du gradient et du laplacien selon :

!)t , !ux"

"x+ !uy

"

"yet !t , ! " "2

"z2=

"2

"x2+

"2

"y2(7.102)

on montre facilement que les champs !E et !B satisfont l’equation d’onde :

(!t + 'µ#2 " k2)

.

0

1

!E

!B

9

:

;

= !0 (7.103)

On peut decomposer chaque champ !E ou !B en une composante transverse et une composantelongitudinale :

.

0

1

!E = Ez !uz + !Et = Ez !uz + (!uz ( !E)( !uz

!B = Bz !uz + !Bt = Bz !uz + (!uz ( !B)( !uz

(7.104)


184

En supposant une propagation vers les z positifs et a condition qu’une au moins des deuxcomposantes Ez et Bz soit non nulle, on en deduit apres calculs 9, que les composantestransverses des champs !Et et !Bt verifient :

.

/

/

/

0

/

/

/

1

!Et =i

'µ#2 " k2

%

k !)t(Ez)" # !uz ( !)t(Bz)&

!Bt =i

'µ#2 " k2

%

k !)t(Bz) + 'µ# !uz ( !)t(Ez)&

(7.105)

Les composantes longitudinales Ez et Bz jouent le role de potentiels car leur connaissancesu#t a determiner les champs totaux de maniere univoque.

Ondes TEM

Avant de chercher a resoudre (7.105), on peut remarquer qu’il existe une solution degeneree,appelee onde transverse electromagnetique (ou onde TEM), qui est susceptible de se propagerdans le guide. Cette solution a toutes ses composantes perpendiculaires a la direction du guideet verifie :

!) . !ETEM = 0 et !)( !ETEM = !0 (7.106)

On en deduit que !( !ETEM) = 0. Le champ de l’onde TEM est la solution d’un problemeelectrostatique bien connu a deux dimensions. Dans notre cas, ceci a plusieurs consequences :• Le nombre d’onde axial est egal a sa valeur dans le vide illimite :

k = k0 = ##'µ (7.107)

Le nombre d’onde etant un reel positif, ce mode peut se propager sans restriction : il n’ya pas de frequence de coupure.

• Si les champs sont harmoniques, la champ magnetique !BTEM s’ecrit :

!BTEM = ±#'µ !uz ( !ETEM (7.108)

Le lien qui unit !ETEM et !BTEM est le meme que celui qui unit les ondes planes dans unmilieu infini.

• Le mode TEM ne peut exister a l’interieur d’un seul conducteur cylindrique creux deconductivite infinie. En e"et, la surface du cylindre etant une equipotentielle, le champelectrique dans le conducteur ne peut etre que nul. Il faut au minimum deux surfacescylindriques pour propager le mode TEM (exemple d’un cable coaxial ou d’une ligne detransmission bifilaire).

Conditions aux limites

On considere le repere local (!n, !u, !uz) sur la surface interne du guide (figure 7.21).

9. On peut montrer que pour tout vecteur !A(!r) que l’on decompose sous la forme !A = !At +Az !uz, on ales relations suivantes :

!) .%

!A(!r)&

= !)t(At) +#Az

#z!uz . (!)( !A) = !uz . (!)t ( !At) !uz ((!)( !A) = !)(At) " # !At

#z


185

n

u

Figure 7.21 – Les conditions aux limites sur la surface interne d’un guide creux imposent desproprietes particulieres aux composantes longitudinales des champs !E et !B (voir texte).

On montre facilement que les composantes longitudinales des champs verifient sur la paroidu guide :

Ez|S = 0 et"Bz

"n

-

-

-

-

S

= 0 (7.109)

ou "/"n|S represente la derivee normale en un point de la surface.

Solution de l’equation d’onde dans le cas general

L’equation d’onde (7.103), combinee aux conditions aux limites decrites au paragraphe pre-cedent, definit des problemes aux valeurs propres standards. Comme les condition aux limitessur Ez et Bz sont di"erentes, leurs valeurs propres sont en general di"erentes. Les solutionsgenerales a l’equation d’onde (7.103) se classent en deux categories :• Ondes transverses electriques ou ondes TE. Pour ces ondes, on a Ez , 0 en tout

point. La condition aux limites relevante est donc "Bz"n

-

-

-

S= 0.

• Ondes transverses magnetiques ou ondes TM. Pour ces ondes, on a Bz , 0 en toutpoint. La condition aux limites relevante est donc Ez|S = 0.

L’interIt de la decomposition de la solution generale en ondes TE, TM et TEM est queces trois ondes forment un ensemble complet de champs orthogonaux. On peut ainsi decrirea l’aide d’une combinaison lineaire de ces trois modes la propagation d’une perturbationelectromagnetique quelconque dans un guide (ou une cavite).

Notion d’impedance d’onde

On doit donc resoudre (7.105), en utilisant la relation liant les champs electrique et magne-tique transverses. On posera :

!Bt =µ0

Z!uz ( !Et ou Z =

.

/

/

/

/

0

/

/

/

/

1

µ#

k=

k0k

2

µ

'

k

' #=

k

k0

2

µ

'

avec k0 = ##'µ (7.110)

ou Z represente l’impedance d’onde 10.

10. La quantite Z ainsi definie est bien homogene a une resistance. Pour memoire, on peut se souvenir del’impedance du vide, definie par

5

µ0/&0, qui vaut 120% = 377 #.


186

Relation entre le nombre d’onde et la frequence de coupure

On note % la fonction scalaire egale a Ez pour le mode TM et a Bz pour le mode TE.L’equation d’onde s’ecrit :

)

!t + k2t

*

% = 0 avec k2t = 'µ#2 " k2 (7.111)

On peut montrer 11 que dans tous les cas k2t > 0. Il apparaıt donc un spectre de valeurs

propres kt$ et de solutions (& = 1, 2, 3, . . .) que l’on appelle modes du guide d’onde. Pourchaque valeur de &, le nombre d’onde k est determine (a # donnee) par :

k2$ = 'µ#2 " k2

t$ (7.112)

On definit une frequence de coupure #$ par :

#$ =kt$#'µ

(7.113)

Finalement, le nombre d’onde se met sous la forme :

k$ =#'µ

<

#2 " #2$ (7.114)

Si # > #$, l’onde se propage puisque le nombre d’onde est alors reel. Par contre, si # < #$,le nombre d’onde est imaginaire pur. L’onde est dite evanescente et ne se propage pas.

11. En posant k2t = &µ"2 " k2, on peut montrer que les composantes longitudinales Ez et Bz verifient :

!t(a) = " k2t a

De plus, on a :

!) .%

a !)t(a)&

=%

!)t + !)z

&

.%

a !)t(a)&

= !)t .%

a !)t(a)&

car !)t . !)z , 0

= !)t(a) . !)t(a) + a !)t

%

!)t(a)&

car !) . (u !A) = !A . !)(u) + u !) . !A

=%

!)t(a)&2

+ a%

!)t

&2(a) =

%

!)t(a)&2

+ a!t(a) =%

!)t(a)&2

" k2t a2

En utilisant ce resultat, le flux de a !)t(a) a travers une surface (S) du conducteur s’ecrit :((

(S)

%

a !)t(a)&

. !n dS =

(((

(V )

!) .%

a !)t(a)&

d' =

(((

(V )

%

!)t(a)&2

d' "(((

(V )k2t a

2 d'

Or :((

(S)

%

a !)t(a)&

. !n dS =

((

(S)a#a

#ndS = 0

car soit a = 0 (pour une onde TE), soit #a/#n = 0 (pour une onde TM). Finalement :

k2t =

(((

(V )

%

!)t(a)&2

d'

(((

(V )a2 d'

- 0


187

Figure 7.22 – Variation du nombre d’onde axial en fonction de la frequence. On note qu’a unefrequence " donnee, seul un nombre fini de modes peuvent se propager.

Cas du conducteur parfait

Le flux d’energie est donne par la moyenne temporelle du vecteur de Poynting !R dont onpourrait montrer qu’il s’ecrit :

!R =# k

2 k4t

.

/

/

/

/

0

/

/

/

/

1

µ

!

!uz | !)t(%)|2 " ik2t

k%$ !)t(%)

"

avec %(x, y) = Bz(x, y) Mode TE

'

!

!uz | !)t(%)|2 + ik2t

k% !)t(%

$)

"

avec %(x, y) = Ez(x, y) Mode TM

(7.115)Il faut garder a l’esprit que la fonction % doit etre multipliee a chaque fois par le terme depropagation exp(i k z).

Si la fonction % est complexe, il apparaıt une circulation transverse d’energie. C’est del’energie emmagasinee dont on ne s’occupera pas ici. On supposera donc que la fonction %est reelle.

Le flux de la puissance P s’obtient en integrant la composante axiale du vecteur de Poynting!R sur la surface (A) du guide. On obtient apres calculs :

P =

((

(A)

!R . !uz dS =1

2#'µ

#2

#2$

2

1" #2$

#2

.

0

1

µ

'

9

:

;

((

(A)

/ /$ dS (7.116)

L’energie U des champs par unite de longueur s’obtient a l’aide d’un calcul similaire :

U =1

2

#2

#2$

.

0

1

µ

'

9

:

;

((

(A)

/ /$ dS (7.117)

Le rapport entre le flux de puissance P et l’energie U a la dimension d’une vitesse. C’est lavitesse de l’energie ou vitesse de groupe de l’onde :

PU

= vg =k

#

1

'µ=

1#'µ

2

1" #2$

#2(7.118)

On aurait pu obtenir cette relation en derivant simplement (7.114) puisque vg = d#/dk.


188

Cas du conducteur reel

On considere desormais dans ce paragraphe des parois de conductivite ) finie. Dans ce cas, lenombre d’onde n’est plus soit reel, soit imaginaire pur. Du fait de la conductivite des parois,le nombre d’onde se met sous la forme :

k$ & k(0)$ + -$ + i 0$ (7.119)

ou k(0)$ est le nombre d’onde correspondant a une conductivite infinie. Le terme -$ represente

juste un decalage constant et n’aura pas trop d’influence. Par contre, le terme 0$ representel’attenuation due aux pertes ohmiques dans les parois. En supposant que la conductivite )est independante de la frequence, on pourrait montrer que 0$ s’ecrit finalement :

0$ &2

'

µ

1

) ($

C

2A

2

#

#$=

1" #2

#2$

!

*$ + 1$%#$

#

&2"

(7.120)

ou ($ est la profondeur de peau a la frequence de coupure et *$ et 1$ deux constantes sansdimension voisines de l’unite. Pour les modes TM, la constante 1$ s’annulle. Cette formulen’est plus valable lorsqu’on se rapproche de la frequence de coupure #$.

Figure 7.23 – Variation de la constante d’attenuation ($ en fonction de la frequence. Pour lesmodes TM, l’attenuation minimale se situe en "/"$ =

#3.

La courbe 7.23 represente les variations de 0$ en fonction de la frequence. Le minimumde l’attenuation survient tres au dessus de la frequence de coupure. Pour le mode TM, ceminimum se situe toujours en

#3#$. Pour le mode TE, on ne peut pas donner d’expression

generale simple, car *$ et 1$ dependent de la geometrie du guide. Vers les hautes frequences,l’attenuation croıt comme

##.

7.5.2 Cas particulier des guides d’ondes rectangulaires

Mode TE

On considere un mode TE dans un guide rectangulaire tel que celui de la figure 7.24.


189

y

x

b

a

%µ

Figure 7.24 – Guide rectangulaire rempli d’un materiau defini par & et µ.

Pour un mode TE, l’equation d’onde s’ecrit :!

"2

"x2+

"2

"y2+ k2

t

"

Bz = 0 (7.121)

Les conditions aux limites sont donnees par :

.

/

/

/

/

0

/

/

/

/

1

"Bz

"x

-

-

-

-

x=0

= 0 et"Bz

"x

-

-

-

-

x=a

= 0

"Bz

"y

-

-

-

-

y=0

= 0 et"Bz

"y

-

-

-

-

y=b

= 0

(7.122)

En utilisant ces conditions aux limites, la solution de l’equation d’onde (7.121) se met sousla forme :

Bz(x, y) = B0 cos%m % x

a

&

cos%m % y

b

&

(7.123)

dont les solutions non triviales sont donnees par m += 0 ou n += 0. On montre alors facilementque la frequence de coupure du guide vaut :

#mn =%

#'µ

2

m2

a2+

n2

b2(7.124)

Il existe une frequence de coupure #mn pour chaque couple de valeurs (m, n).

On considere a partir de maintenant que les dimensions du guide verifient a = 2 b. Lafigure 7.25 represente les divers modes qui peuvent se propager dans le guide.

Les lignes de champ du mode TE10 pour un guide rectangulaire sont representees sur lafigure 7.26. En supposant des parois parfaitement conductrices, les lignes de courant sur lesparois du guide ont schematiquement l’allure de la figure 7.27.

Mode TM11

Dans le cas du mode TM, on montrerait de meme que les lignes de champ sont commeindiquees sur la figure 7.28.


190

1,0$ / $2 3 4 5

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 n = 0

n = 10,1 1,1 2,1 3,1 4,1

n = 20,21,2

2,2 3,2

1

Figure 7.25 – Les modes TE les plus bas en considerant que les dimensions du guide verifienta = 2 b (figure 7.24).

Figure 7.26 – Lignes de champ du mode TE10 dans un guide rectangulaire (figure extraite de [6]).

7.5.3 Cas particulier des guides d’ondes a plaques paralleles

Un des avantages du guide d’ondes a plaques paralleles est que le mode TEM y est permis.

Par exemple, on obtient pour le mode TM :

TM

.

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

1

Et = " i# µ

k2t

sin%p % z

d

&

!uz ( !)t(%)

Bz = % sin%p % z

d

&

Bt =µ p %

d k2t

cos%p % z

d

&

!)t(%)

(7.125)

La frequence de coupure d’un tel mode se met sous la forme :

#2a =

%n %

b

&2" k2

0 (7.126)


191

Figure 7.27 – Courants de surface pour le mode TE10 dans un guide rectangulaire (figure extraitede [6]).

Figure 7.28 – Lignes de champ du mode TM11 dans un guide rectangulaire (figure extraite de [6]).

Selon les valeurs de n, on observe alors une propagation des modes ou une onde evanescente.

Figure 7.29 – Onde progressive dans un guide d’ondes a plaques paralleles (figure extraite de [6]).

7.5.4 Cavites resonantes

Une cavite est un guide d’onde ferme a ses extremites par des surfaces situees a z = 0 etz = d, que l’on supposera planes et perpendiculaires a l’axe du guide. Comme pour les guidesd’ondes, on supposera que la cavite est remplie d’un milieu non dispersif caracterise par lesconstantes ' et µ.


192

Figure 7.30 – Lignes de champ du mode TE1 pour un guide d’ondes a plaques paralleles (figureextraite de [6]).

Figure 7.31 – Lignes de champ du mode TM1 pour un guide d’ondes a plaques paralleles (figureextraite de [6]).

Cas general

Dans le cas general, les champs sont donnes par les equations suivantes pour un mode TE :

TE

.

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

1

Et = " i# µ

k2t

sin%p % z

d

&

!uz ( !)t(%)

Bz = % sin%p % z

d

&

Bt =µ p %

d k2t

cos%p % z

d

&

!)t(%)

avec % = Bz (7.127)


193

Pour un mode TM, on a :

TM

.

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

1

Ez = % cos%p % z

d

&

Et = " p %

d k2t

sin%p % z

d

&

!)t(%)

Bt =i µ ' #

k2t

cos%p % z

d

&

!uz ( !)t(%)

avec % = Ez (7.128)

On peut montrer qu’on a toujours :

k2t = 'µ#2 "

%p %

d

&2(7.129)

ce qui correspond a la frequence de resonance :

#2p =

1

'µ

!

k2t +

%p %

d

&2"

(7.130)

Cavite cylindrique

On ne considere desormais que le cas d’une cavite cylindrique d’axe Oz (figure 7.32).

x

y

d

Rz

Figure 7.32 – Cavite cylindrique d’axe Oz.

L’equation que les coordonnees %(!r, t) doivent verifier s’ecrit (en coordonnees cylindriques) :!

"2

"r2+

1

r

"

"r+

1

r2"2

"22

"

%(r, 2) = 0 (7.131)

En cherchant %(r, 2) sous la forme %(r, 2) = R(r)Q(2), on trouve que les fonctions R et Qdoivent verifier :

d2R

d*2+

1

*

dR

d*+

!

1" m2

*2

"

R = 0 et Q(2) = e± im 2 (7.132)

ou m est entier. L’equation di"erentielle satisfaire par R est l’equation de Bessel d’ordrem, dont on montre au § A.4 que pour m entier, elle admet deux solutions lineairementindependantes : les fonctions de Bessel Jm(x) et les fonctions de Neumann Nm(x). Cesfonctions sont tabulees et sont donc considerees comme connues (figures A.3 et A.4).


194

Cas d’un mode TM

Dans le cas du mode TM, l’equation d’onde transverse est :

Ez = E0 Jm%r xmn

R

&

e± im$ (7.133)

ou xmn est le nieme zero de la fonction Jm, c’est a dire la nieme racine 12 de l’equation Jm(x) = 0(figure A.3). Les frequences de resonance sont donnees par :

#mnp =1

#'µ

2

x2mn

R2+

p2 %2

d2(7.134)

Le mode le plus bas est le mode TM010 dont la frequence de coupure vaut :

#010 =1

#'µ

2, 405

R(7.135)

Cas d’un mode TE

Dans le cas d’un mode TE, l’equation de l’onde transverse est cette fois :

Bz = B0 Jm

!

r x!mn

R

"

e± im$ (7.136)

ou x!mn est la nieme racine de l’equation J !

m(x) = 0. (figure A.4). Les frequences de resonancesont donnees par :

#mnp =1

#'µ

2

x!2mn

R2+

p2 %2

d2(7.137)

Le mode le plus bas est le mode TE111 dont la frequence de coupure vaut :

#111 =1

#'µ

1, 841

R

2

1 + 2, 912R2

d2(7.138)

On en deduit que pour d > 2, 03R, la frequence de coupure #111 du mode TE111 est inferieurea la frequence de coupure #010 du mode TM010. Le mode TE111 est alors le mode fondamentalde la cavite.

Pertes d’energie dans une cavite

Les cavites resonantes possedent donc un spectre discret de frequences de resonances. Achaque frequence correspond une configuration particuliere des champs !E et !B.

On s’attend donc, en tentant d’exciter un mode particulier, a ce qu’aucun champ n’apparaissedans la cavite tant que la frequence n’est pas exactement la frequence de resonance #0.Dans la pratique, on observe une reponse etroite centree autour de la frequence d’oscillation

12. La theorie des fonctions de Bessel permet de montrer que ces fonctions possedent un nombre infini deracines (figures A.3 et A.4).


195

theorique #0. La largeur de cette bande est due a la dissipation dans les parois et dans ledielectrique.

On caracterise la qualite d’une cavite par la selectivite de sa reponse a une excitation exte-rieure. Le parametre Q de reference est donne par :

Q = #0Energie emmagasinee

Puissance dissipee(7.139)

La puissance stockee dans une cavite est representee sur la figure 7.33 en fonction de lafrequence #. On pourrait montrer que la largeur !# de la resonance se met sous la forme :

!# = " #0

2Q(7.140)

Figure 7.33 – Puissance stockee dans une cavite en fonction de la frequence ".

En notant U l’energie stockee dans la cavite, on en deduit que la conservation de l’energies’ecrit :

dU

dt+

#0

QU = 0 soit U(t) = U0 e

"#0 t/Q (7.141)

L’energie stockee dans une cavite decroıt avec le temps avec une constante de temps propor-tionnelle au facteur de qualite Q.

On peut montrer qu’a un facteur geometrique pres, Q est le rapport du volume occupepar le champ au volume du conducteur dans lequel penetrent les champs en raison de laconductivite finie des parois.


196

Chapitre 8

Systemes rayonnants

Sommaire

8.1 Champ electromagnetique du dipole oscillant . . . . . . . . . . 198

8.2 Rayonnement dipolaire de l’electron atomique . . . . . . . . . . 203

8.3 Rayonnement a grande distance d’une antenne . . . . . . . . . 205

Introduction

Ce chapitre traite le rayonnement de maniere classique. Les aspects relativistes seront vusau chapitre 9 (en particulier le rayonnement du a des charges en mouvement).


197

8.1 Champ electromagnetique du dipole oscillant

8.1.1 Dipole de Hertz

On considere un doublet de charges, separees par une distance a petite devant la distanced’observation (figure 2.7). On appelera dipole de Hertz ce doublet de charges si elles varientde maniere sinusoıdale au cours du temps :

q(t) = qm cos(# t) (8.1)

En utilisant un modele complexe, on posera :

q(t) = qm exp(" i# t) et p(t) = pm exp(" i# t) (8.2)

ou pm = a qm represente l’amplitude a l’instant t du moment dipolaire electrique.

Le dipole de Hertz constitue de charges oscillantes est equivalent, sur le plan du rayonnement,a un troncon de conducteur de longueur a parcouru par le courant I tel que (figure 8.1) :

I =dq

dt= Im exp(" i# t) avec a Im = " i# pm (8.3)

Figure 8.1 – Un dipole oscillant est equivalent, sur le plan du rayonnement, a un courant sinu-soıdal.

8.1.2 Calcul des potentiels

Les potentiels scalaire et vecteur du a un ensemble de charges ponctuelles en mouvement(potentiels de Lienard-Wiechert) sont :

$(M, t) =1

4 % '0

'

i

qiri " (!vi .!ri)/c

-

-

-

-

t#ri/c

et !A(M, t) =µ0

4 %

'

i

qi !viri " (!vi .!ri)/c

-

-

-

-

t#ri/c

(8.4)


198

la di#culte vient du fait que ces expressions doivent etre evaluees au temps retarde t" ri/c.

On note d la dimension caracteristique de l’extension spatiale de la distribution et T le tempscaracteristique de l’evolution temporelle (c’est-a-dire la periode pour un signal sinusoıdalde periode &). Pour l’etude des systemes rayonnants, en plus de l’approximation dipolaire(r * d), on utilisera l’approximation non relativiste :

d

c$ T ou d $ & (8.5)

Si la charge totale de la distribution est nulle, on montre que les expressions de !A(M, t) et$(M, t) sont (figure 8.2) :

!A(M, t) =µ0

4 %

p!

ret $(M, t) =

1

4 % '0cos(2)

#

p

r2+

p!

r c

$

t!=t#r/c

(8.6)

Figure 8.2 – Figure 8.3 – Champ de rayonnement du di-pole.

8.1.3 Calculs des champs

A l’aide de la definition des potentiels en fonction des champs, on montre immediatementque :

!B(!r, t) =µ0 sin(2)

4 %

#

p!

r2+

p!!

r c

$

t!=t#r/c

!u# (8.7)


199

De la meme maniere, on obtient par un calcul un peu plus penible :

!E(!r, t) =

.

/

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

/

1

Er =2 cos(2)

4 % '0

#

p

r3+

p!

r2 c

$

t!=t#r/c

E% =sin(2)

4 % '0

#

p

r3+

p!

r2 c+

p!!

r c2

$

t!=t#r/c

E# = 0

(8.8)

On notera que !B est dans la direction !u# et que !E est contenu dans le plan (!u%, !uz) (fi-gure 8.2).

D’apres (8.7) et (8.8), !B et !E s’expriment uniquement en fonction de termes proportionnelsa p/r3, p!/(r2 c) et p!!/(r c2).

Si l’on suppose une dependance sinusoıdale en p(t!) = p0 cos(# t!), on a p!(t!) = " p0 # sin(# t!)et p!!(t!) = " p0 #2 cos(# t!). Les amplitudes des trois termes en p/r3, p!/(r2 c) et p!!/(r c2)sont respectivement :

p0r3

p0 #

r2 c=

p0r2

2 %

&= 2 %

p0r3

% r

&

& p0 #2

r c2=

p0r

!

2 %

&

"2

= 4 %2 p0r3

% r

&

&2(8.9)

En utilisant ceci et l’expression (8.8) de !E, on defini naturellement trois zones selon lesvaleurs relatives de r et & :• la zone statique pour laquelle r $ &. Les termes en r/& et (r/&)2 y sont negligeables ou,de maniere equivalente, les termes en p! et p!! y sont negligeables

• la zone intermediaire pour laquelle r & &. Il est di#cile d’etablir des lois simplifiees danscette zone

• la zone de rayonnement pour laquelle r * & pour laquelle les termes en (r/&)2 (ou en p!!)sont preponderants

8.1.4 Champ de rayonnement

Pour des angles 2 di"erents de 0, les champs de rayonnement du dipole s’expriment finalementselon :

!E(!r, t) =µ0

4 %

p!! sin(2)

r!u% et !B(!r, t) =

µ0

4 %

p!! sin(2)

r c!u# (8.10)

et sont representes sur la figure 8.3. On remarque que la structure locale du champ derayonnement est celle d’une onde plane. En particulier, on a :

!B(!r, t) =!ur ( !E(r, t)

c(8.11)

En prenant un modele harmonique, on montre que l’amplitude Em du champ de rayonnementse met sous la forme :

Em =µ0

4 %

#2 p0 sin(2)

r=

µ0

4 %a Im

2 % c

&

sin(2)

r(8.12)


200

en fonction de l’amplitude Im du courant equivalent au dipole puisque l’amplitude verifiea Im = # p0 d’apres (8.3). Il reste finalement :

Em =

2

µ0

'0

Im a sin(2)

2& r(8.13)

ou l’on reconnait l’impedance du vide Rvide :

Rvide =

2

µ0

'0& 120 % & 377 & (8.14)

Diagramme de rayonnement

Par definition, le diagramme polaire ou diagramme de rayonnement du champ est le lieu despoints pour lequel |Em| = Cste. Il est donc de la forme r = Cste ( sin(2). On remarque(figure 8.4) que !E et !B sont nuls sur l’axe du dipole et maximum dans le plan equatorial(2 = %/2).

Figure 8.4 – Diagramme de rayonnement d’un dipole oscilant.

8.1.5 Puissance rayonnee a grande distance

Dans la zone de rayonnement, le vecteur de Poynting a pour expression :

!R =!E ( !B

µ0=

µ0

16 %2

p!!2

r2 csin2(2) !ur (8.15)

Dans le cas d’une oscillation harmonique, on montre facilement que :

6

!R7

=1

32 %2 '0 c3

!

p0 #2 sin(2)

r

"2

!ur (8.16)

La puissance rayonnee a grande distance se met alors sous la forme :

.P / = 0((

(S)

6

!R7

. d!S =p20 #

4

32 %2 '0 c3

( &

0

sin3(2) d2

( 2&

0

d$ (8.17)


201

Pour calculer (8.17), on utilise :( &

0

sin3(2) d2 =

( &

0

(1" cos2(2)) d()" cos(2) =

#

" cos(2)cos3(2)

3

$&

0

=4

3(8.18)

Finalement, (8.17) se met sous la forme classique :

.P / =1

4 % '0

p20 #4

3 c3=

1

4 % '0

2 < p!!2 >

3 c3(8.19)

Cas d’une charge unique

On applique ce resultat a une charge unique en mouvement sur une distance a pour la-quelle p = q a et p!! = q a!!. On considere donc un dipole oscillant, constitue d’une charge" q, fixe a l’origine des coordonnees et d’une charge +q animee d’un mouvement recti-ligne sinusoıdal d’equation z = z0 cos(# t). Le moment dipolaire electrique du dipole est!p = p !uz = p0 cos(# t) !uz avec p0 = q z0.

L’acceleration de la charge oscillante est a = "#2 z0 cos(# t) !uz. On en deduit la moyennequadratique a2 = #4 z20/2 = #4 p20/(2 q

2) et finalement la formule de Larmor :

P =2

3

1

4 % '0 c3q2 a2 (8.20)

Cette puissance est representee sur la figure 8.5.

Figure 8.5 – Puissance rayonnee par une particule chargee non relativiste acceleree dans la direc-tion Oz. Dans cette representation, la distance radiale est proportionnelle a la puissance rayonneedans la direction donnee par ) et *. Un quadrant a ete supprime sur la figure de droite pour mieuxvisualiser l’enveloppe du tore.

Resistance du rayonnement

Par definition, la resistance de rayonnement est la resistance Rr d’un conducteur ohmiquequi dissiperait la meme puissance par e"et Joule s’il etait parcouru par le courant Im, soit :

 =1

2Rr I

2m (8.21)


202

On montre facilement que :

Rr =2 %

3

2

µ0

'0

%a

&

&2(8.22)

Gain directionnel du rayonnement

On definit le gain directionnel du rayonnement G(2) par :

G(2) = 4 % r2< R >

(8.23)

Dans le cas du dipole de Hertz, on obtient (figure 8.6) :

G(2) =3

2sin2(2) (8.24)

Figure 8.6 – Gain directionnel du rayonnement pour le dipole de Hertz.

8.2 Rayonnement dipolaire de l’electron atomique

8.2.1 Generalites

8.2.2 Di!usion du rayonnement electromagnetique

On utilise un modele classique pour decrire l’interaction entre un atome et le champ electro-magnetique d’une onde incidente. Le modele de l’electron elastiquement lie permet de decrirele mouvement d’un electron autour de sa position d’equilibre en introduisant une force derappel !frapp et une force de frottement visqueux !fv telles que :

!frapp = "m#20 !r et !fv = "-

d!r

dt(8.25)

ou - est le coe!cient d’amortissement.

Le principe fondamental de la dynamique permet d’ecrire l’equation regissant le mouvementde l’electron selon :

m !r!! = " e !E(t)" - !r! "m#20 !r (8.26)


203

Apres calculs, on peut montrer que le dipole constitue par le mouvement de l’electron rayonnela puissance electromagnetique telle que :

 = )(#)'0 cE2

m

2avec )(#) =

8 % r2e3

#4

(#20 " #2)2 " #2/, 2

(8.27)

ou )(#) represente la section e!cace de di"usion du rayonnement, homogene a une surface.On peut distinguer trois domaines dans la section e#cace (figure 8.7).

Figure 8.7 – Variation de la section e$cace de di"usion du rayonnement +(") en fonction de lapulsation ".

Di!usion resonante

La di"usion est particulierement importante lorsque # & #0. En utilisant le fait qu’on a alors#20 " #2 & 2#0 (#" #0), on montre que la section e#cace de di"usion se met sous la forme :

)(#) =8 % r2e #

20 ,

2

3L(#) avec L(#) =

#2

1 + 4 , 2 (# " #0)2(8.28)

La fonction L(#) est une lorentzienne, dont la forme est caracteristique d’une resonance.Cette di"usion est parfois appelee la di"usion Rayleigh resonante.

Di!usion Rayleigh

On se place dans la region ou # $ #0. La section e#cace (8.27) devient

)(#) & 8 % r2e3

!

#

#0

"4

(8.29)

Di!usion Thomson

Dans le cas contraire ou # * #0, la section e#cace tend vers une valeur constante, la sectione!cace de Thomson :

)(#) & )T =8 % r2e3

= 0, 67 barn (8.30)


204

8.2.3 Polarisation du rayonnement par di!usion

8.3 Rayonnement a grande distance d’une antenne

Figure 8.8 – Principe d’une antenne.

Exercice 8.1 : Rayonnement du dipole magnetique oscillant

En jauge de Lorentz, les potentiels scalaire % et vecteur !A crees a grande distance par un dipolemagnetique variable m(t) place a l’origine des coordonnees sont respectivement :

%(!r, t) = 0 et !A(!r, t) =µ0

4%

>

!m(t" r/c)

r2+

!m(t" r/c)

r c

?

( !ur

On notera !m(t) = m0 exp(" i" t) !uz le moment magnetique dipolaire complexe (ou m0 est reel).

1. Exprimer le champ electromagnetique cree par ce dipole dans la zone de rayonnement (r * ,).Comparer au cas d’un dipole electrique oscillant de la forme !p = p0 exp(" i" t) !uz.

2. Quelle est la puissance moyenne < PM > rayonnee par le dipole magnetique oscillant ?

3. En utilisant le modele planetaire de l’atome d’hydrogene ou l’electron decrit une trajectoirecirculaire de vitesse v = c/137 et de rayon a = 53 pm, comparer les rayonnements dipolaireselectrique et magnetique d’un atome, a frequence identique.


205 Notes de cours d’electromagnetisme classique,Licence 3 et Magistere de Physique Fondamentale, P. Puzo (2010 - 2011)

206

Chapitre 9

Electromagnetisme et relativiterestreinte

Sommaire

9.1 Electromagnetisme et relativite restreinte . . . . . . . . . . . . 208

9.2 Formalisme quadridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9.3 Electrodynamique des particules rapides . . . . . . . . . . . . . 218

9.4 Formulation convariante de l’electromagnetisme . . . . . . . . . 223

9.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Introduction

On suppose que le cours de relativite restreinte a ete compris et assimile. On se contentera icide faire le lien avec l’electromagnetisme. Les quelques rappels faits ne servent qu’a preciserles notations.


207

9.1 Electromagnetisme et relativite restreinte

9.1.1 Formulaire d’electromagnetisme

On a presente jusqu’a present l’electromagnetisme dans le systeme MKSA. D’autres systemessont frequemment utilises, en particulier dans les ouvrages anglo-saxons. On presente dansce paragraphe un petit formulaire pour se retrouver entre les divers systemes de coordonnees.

Pour rationaliser les di"erents systemes, on introduit generalement un coe#cient 3 tel que :

'0 µ0 c2 = 32 (9.1)

Dans le systeme MKSA on a evidemment :

3 = 1 4% '0 =1

9 109µ0

4 %= 10# 7 (9.2)

alors que dans le systeme CGS on a :

3 = c 4 % '0 = 1µ0

4 %= 1 (9.3)

On peut alors ecrire la force de Lorentz sous la forme :

!F = q%

!E +v

3( !B

&

(9.4)

tandis que les equations de Maxwell deviennent :

.

/

0

/

1

!) . !E =+libre'0

(MG)

!) . !B = 0 (M$)

.

/

/

/

/

0

/

/

/

/

1

!)( !E = " 1

3

" !B

"t(MF)

!)( !B =µ0

3!Jlibre +

1

3 c2" !E

"t(MA)

(9.5)

Les relations entre les champs et les potentiels s’ecrivent :.

/

/

0

/

/

1

!E = " !)($)" 1

3

" !A

"t

!B = !)( !A

(9.6)

En jauge de Lorentz :

!) . !A+'0 µ0

3

"$

"t= 0 (9.7)

les equations de propagation des potentiels s’ecrivent :

.

/

/

0

/

/

1

!$ " '0 µ0

32"2$"t2

= " +'0

! !A " '0 µ0

32"2 !A"t2

= " µ0

3!J

(9.8)


208

dont la solution (potentiels retardes) est de la forme :

$(!r, t) =1

4 % '0

(((

+(t" r/c)

rdV et !A(!r, t) =

µ0

4 % 3

((( !J(t" r/c)

rdV (9.9)

On en deduit alors les expressions des lois de Coulomb :

!E =1

4 % '0

(((

+!r

r3dV =

q

4 % '0

!r

r3(9.10)

et de Biot et Savart :

!B =µ0

4 % 3

((( !J ( !r

r3dV =

µ0

4 % 3

(

I d!4( !r

r3(9.11)

9.1.2 Le probleme originel de l’electromagnetisme

On considere deux referentiels galileens (R) et (R!) et on note !u la vitesse d’entraınementde (R!) par rapport a (R) - cf figure 9.1. En admettant la loi de composition galileenne desvitesses, on montre que l’invariance de la force de Lorentz lors du passage de (R) a (R!)entraıne que :

!E!= !E + !u( !B et !B

!= !B (9.12)

Le cas particulier d’une particule au repos dans (R!) montre une incoherence dans le rai-

sonnement (puisque dans ce cas !B!= !0 alors qu’on devrait avoir !B += !0). L’invariance de

la force lors d’un changement de referentiel galileen etant a la base de la mecanique newto-nienne, on en deduit sur cet exemple illustre l’impossibilite d’etendre le principe de Galileea l’electromagnetisme, meme pour des vitesses non relativistes.

(R)z’

x’

y’

O’

y

O

z

xu

(R’)

Figure 9.1 – Dans toute la suite, on considerera un referentiel galileen (R!) en mouvementrectiligne uniforme par rapport a (R) a la vitesse !u //Ox.

9.1.3 Relativite des champs !E et !B

Lorsqu’on ecrit la loi de force de Lorentz !F = q ( !E+!v( !B), il est donc important de preciserdans quel referentiel on calcule !v. On considere un electron de charge " e se deplacant a lavitesse !u dans un fil parcouru par un courant I, parallelement a la direction du fil et a ladistance r de l’axe du fil (figure 9.2). On considerera le referentiel du laboratoire (R) danslequel le fil est au repos et le referentiel (R!) de l’electron.


209

r

I

Electron

Figure 9.2 –

Analyse dans (R)

On note ++ et +# les densites volumiques des charges dans le conducteur de section S. Lescharges negatives se deplacent a la vitesse !u, tandis que les charges positives sont immobiles.Le fil etant electriquement neutre, on en deduit que :

++ + +# = 0 et I = |+#| uS (9.13)

La force subie par l’electron est :

F = |e !u( !B | = e uµ0 I

2 % r=

e

2 % '0

|+#|Sr

u2

c2(9.14)

La force est d’origine magnetique et correspond au deplacement de l’electron dans le champ!B cree par le courant I dans le conducteur immobile. Elle tend a rapprocher l’electron del’axe du fil.

Analyse dans (R!)

Le fil et les charges positives se depacent desormais a la vitesse " !u par rapport a l’electronet creent donc un champ !B auquel l’electron est insensible car il est au repos. On utilisela relation qui lie les densites volumiques de charges exprimees dans leur referentiel propre(+stat) et dans un referentiel mobile (+mob) 1 :

+mob =+stat

5

1" u2/c2(9.15)

On retiendra que la densite volumique augmente lorsqu’on passe du referentiel propre a unreferentiel dans lequel les charges sont en mouvement.

Les charges positives de densite ++ au repos dans (R) se deplacent dans (R!) a la vitesse" !u et ont pour densite volumique :

+!+ =++

5

1" u2/c2(9.16)

1. Dans un referentiel ou les charges sont immobiles, une longueur L" de fil de section S" ou regne ladensite volumique -" contient la charge totale Q = -"L"S". Dans un autre referentiel ou les charges sont enmouvement rectiligne uniforme a la vitesse !v, ces memes charges sont contenues dans un cylindre de longueurL = L"

5

1" v2/c2 a cause de la contraction des longueurs dans la direction longitudinale. Comme la chargetotale est un invariant relativiste :

-" L" S" = -LS

d’ou (9.15) puisque S" = S.


210

Les charges negatives sont elles au repos dans (R!), d’ou :

+# =+!#

5

1" u2/c2(9.17)

Le fil est electriquement neutre dans (R) donc ++ = " +#. Par contre, dans (R!), on obtientapres calculs :

+! = +!+ + +!# = ++u2/c2

5

1" u2/c2(9.18)

Le fil apparaıt donc charge dans (R!) et induit une force sur l’electron :

F ! = |eE !| = e( +!S

2 % '0 r(9.19)

Cette force est d’origine electrique et tend a rapprocher l’electron de l’axe du fil.

Conclusion

La force qui s’exerce sur l’electron est purement magnetique dans (R) mais purement elec-trique dans (R!). On ne peut preciser le caractere electrique ou magnetique d’un champ quedans un referentiel donne. La determination de la force de Lorentz necessite de preciser lereferentiel dans lequel on exprime la vitesse !u.

De plus, on peut facilement montrer que :

F ! =F

5

1" u2/c2(9.20)

Cette relation montre bien qu’aux faibles vitesses, les intensites des forces sont egales dansles deux referentiels (mecanique newtonienne) mais ne le sont plus pour les vitesses elevees(mecanique relativiste).

9.2 Formalisme quadridimensionnel

9.2.1 Generalites

L’espace-temps est un espace vectoriel non euclidien a quatre dimensions introduit par Min-kowski en 1907. Un point dans cet espace est un evenement. On utilise ici une formulationmathematique particuliere des coordonnees spatio-temporelles. En formalisme covariant, onappelera coordonnees contravariantes les grandeurs x0, x1, x2 et x3 telles que :

x0 = c t x1 = x x2 = y x3 = z (9.21)

et coordonnees covariantes les grandeurs x0, x1, x2 et x3 telles que :

x0 = x0 = c t x1 = " x1 = " x x2 = " x2 = " y x3 = " x3 = " z(9.22)


211

Le carre s2 de l’intervalle relativiste s’ecrit alors :

s2 = c2 t2 " x2 " y2 " z2 = x0 x0 + x1 x

1 + x2 x2 + x3 x

3 (9.23)

soit en utilisant la convention d’Einstein et l’indice µ (dit indice muet) :

s2 ='

µ

xµ xµ = xµ x

µ = xµ xµ (9.24)

On peut introduire une matrice (gµ') dont les seuls elements non nuls sont diagonaux. On aalors :

xµ = gµ' x' et xµ = gµ' xµ (9.25)

avec

(gµ') = (gµ') =

@

A

A

B

1" 1

" 1" 1

C

D

D

E

(9.26)

L’elevation ou l’abaissement d’un indice spatial (µ = 1, 2, 3) provoque un changement designe mais ne change rien pour l’indice temporel (µ = 0).

Le quadrivecteur position

Par definition, un quadrivecteur sera un etre mathematique caracterise dans chaque referen-tiel galileen par quatre nombres reels qui dans un changement de referentiel se transformentselon la transformation de Lorentz. Par exemple, on note !R le quadrivecteur position ouquadrivecteur espace-temps :

!R = (c t, !r) (9.27)

Les coordonnees de ce quadrivecteur peuvent s’exprimer de deux manieres di"erentes :

!R =

.

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

1

x0 = c t

x1 = x

x2 = y

x3 = z

ou !R =

.

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

1

x0 = c t

x1 = " x

x2 = " y

x3 = " z

(9.28)

selon qu’on exprime !R en coordonnees contravariantes (indices en haut) ou en coordon-nees covariantes (indices en bas). La 1re coordonnee de ce quadrivecteur est sa composantetemporelle et les trois suivantes forment ses composantes spatiales.

En notation contravariante, la transformation de Lorentz pour passer de (R) a (R’) peut


212

s’ecrire :

F

G

G

G

G

G

G

G

G

H

x!0

x!1

x!2

x!3

I

J

J

J

J

J

J

J

J

K

= (')

F

G

G

G

G

G

G

G

G

H

x0

x1

x2

x3

I

J

J

J

J

J

J

J

J

K

avec (') =

@

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

B

5 " 0 5 0 0

" 0 5 5 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

C

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

E

(9.29)

a l’aide de la matrice de Lorentz ('). En utilisant les indices muets, la transformation deLorentz peut s’ecrire :

x!µ = 'µ' x

' ou x!µ = ''

µ x' (9.30)

Il est important de noter que dans le cas general, un vecteur a quatre dimensions de l’es-pace de Minkowski n’est pas un quadrivecteur. Pour etre appele quadrivecteur, un vecteura quatre dimensions doit en plus se transformer comme le quadrivecteur position dans unetransformation de Lorentz.

Proprietes des quadrivecteurs

En notant !A = (A0, A1, A2, A3) et !B = (B0, B1, B2, B3) deux quadrivecteurs, leur produitscalaire verifie par definition :

!A . !B = A0 B0 " A1 B1 " A2 B2 " A3 B3 = AµBµ = gµ' A

µB' (9.31)

tandis que, par definition egalement, la norme de !A s’ecrit :

!A . !A = A20 " A2

1 " A22 " A2

3 (9.32)

On classe les quadrivecteurs en trois categories selon la valeur de leur norme :

1. Si !A . !A > 0, le quadrivecteur est dit du genre temps puisqu’au moyen d’un change-ment de referentiel adequat, on peut faire en sorte que dans le nouveau referentiel, lequadrivecteur n’ait plus que la composante temporelle non nulle

2. Si !A . !A < 0, le quadrivecteur est dit du genre espace puisque dans ce cas c’est lacomposante temporelle qui est nulle

3. Si !A . !A = 0, le quadrivecteur est dit du genre lumiere

Pour caracteriser un quadrivecteur, on utilisera souvent la propriete importante suivante :

Lorsque le produit scalaire d’un vecteur a quatre dimensions et d’unquadrivecteur est un invariant de Lorentz, alors le vecteur a quatredimensions est un quadrivecteur

On en deduit par exemple que le produit d’un quadrivecteur par un invariant de Lorentz estun autre quadrivecteur.


213

Le quadrivecteur vitesse

En notant d, l’intervalle de temps propre mesure par une horloge entraınee par (R’), on peutintroduite le quadrivecteur vitesse !V defini par :

!V =d!R

d,= (5 c, 5 !v) =

.

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

1

x0 = 5 c

x1 = 5 vx

x2 = 5 vy

x3 = 5 vz

(9.33)

ou d!R = (c dt, d!r) est egalement un quadrivecteur. La norme du quadrivecteur vitesse vaut!V . !V = c2.

La transformation de Lorentz appliquee au quadrivecteur vitesse permet de retrouver la loide composition des vitesses (le calcul est penible donc ne cherchez pas a le refaire) :

.

/

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

/

1

!v!// =

2

1" u2

c2

1" !u .!v

c2

!v!% = !v%!v// " !u

1" !u .!v

c2

ou

.

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

1

a!x = ax

53%

1" u vxc2

&3

a!y =ay "

u

c2(vx ay " vy ax)

52%

1" u vxc2

&3

a!z =az "

u

c2(vx az " vz ax)

52%

1" u vxc2

&3

(9.34)

Le quadrivecteur acceleration

De la meme maniere, on introduit le quadrivecteur acceleration !A defini par :

!A =d!V

d,=

!

54

c!v .!a,

54

c2(!v .!a)!v

"

(9.35)

Comme pour le quadrivecteur vitesse, la transformation de Lorentz appliquee au quadrivec-teur acceleration permet de retrouver la loi de composition des acceleration (le calcul estTRES penible donc ne cherchez SURTOUT pas a le refaire) :

.

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

1

!a!// = 1

53

!

1" !u .!v

c2

"3 !a//

!a!% = 1

52

!

1" !u .!v

c2

"3

#

!a% " !u

c2( (!a( !v)

$

(9.36)


214

ou.

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

1

a!x = ax

53%

1" u vxc2

&3

a!y =ay "

u

c2(vx ay " vy ax)

52%

1" u vxc2

&3

a!z =az "

u

c2(vx az " vz ax)

52%

1" u vxc2

&3

(9.37)

Le quadrivecteur d’onde

Le dephasage entre deux ondes est un phenomene physique (a l’origine des interferences) quidoit etre independant du choix du referentiel galileen par rapport auquel on l’etudie. On estdonc amene a poser que la phase $ = !k .!r"# t est un scalaire invariant par changement dereferentiel galileen.

On peut ecrire que la phase $ est egale (au signe pres) au produit scalaire du quadrivecteurposition !R par un vecteur a quatre dimensions :

$ = "%#

c, !k

&

. !R = "%#

c, !k

&

. (c t, !r) (9.38)

Les proprietes des quadrivecteurs (§ 9.2.1) entraınent que la quantite!!$ definie par :

!!$ =%#

c, !k

&

(9.39)

est un quadrivecteur qu’on appelera quadrivecteur d’onde. En notations contravariantes,on peut ecrire sous la forme suivante sa transformation lors du passage de (R) a (R’) oureciproquement :

.

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

1

#!

c= 5u

%#

c" 0 kx

&

k!x = 5u

%

kx " 0#

c

&

k!y = ky

k!z = kz

ou reciproquement

.

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

1

#

c= 5u

!

#!

c+ 0 k!

x

"

kx = 5u

!

k!x + 0

#!

c

"

ky = k!y

kz = k!z

(9.40)


215

9.2.2 Dynamique relativiste

En relativite, on est amene a noter respectivement E , Ec et !p les energie totale, energiecinetique et quantite de mouvement relativistes telles que :

E = 5mc2 Ec = (5 " 1)mc2 !p = 5m!v (9.41)

Quadrivecteur energie-impulsion

La quantite de mouvement classique !p = m!v entraıne en mecanique relativiste l’introductiondu quadrivecteur energie-impulsion !P tel que :

!P =

!

Ec, !p

"

= m !V (9.42)

L’invariant relativiste associe a ce quadrivecteur s’ecrit p2 " E2/c2 = "mc2 soit :

E2 = p2 c2 +m2 c4 (9.43)

Quadrivecteur force

Le quadrivecteur force !F est par definition :

!F =

>

5!f .!v

c, 5 !f

?

= m !A (9.44)

La composante temporelle de ce quadrivecteur est associee a la puissance de la force quis’exerce sur la particule.

L’application de la transformation de Lorentz permet d’obtenir les lois de transformationdes forces lors d’un changement de referentiel galileen :

.

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

1

5!F .!v

c= 5u

>

5!!F ! .!v!

c+ 0u 5

! F !x

?

5 Fx = 5u

>

5! F !x + 0u 5

!!F ! .!v!

c

?

5 Fy = 5! F !y

5 Fz = 5! F !z

(9.45)

ou 5 et 5! representent les accelerations dans (R) et (R’), tandis que 5u = (1 " 02)# 1/2 et0 = u/c sont lies a la vitesse relative entre les deux referentiels (R) et (R’).

On peut synthetiser (9.45) en introduisant les composantes paralleles et orthogonales a ladirection Ox :

5 !F// = 5u 5!

>

!F !// + 0u

!F ! .!v!

c

?

et 5 !F% = 5! !F !% (9.46)


216

Principe fondamentale de la dynamique relativiste

Le principe fondamental de la dynamique de la mecanique classique (d!p/dt = !f) devient enrelativite :

d!P

d,= !F (9.47)

ou , = t/5 represente le temps propre.

La composante spatiale de (9.47) est simplement d!p/d, = 5 !f , c’est-a-dire :

d!p

dt= !f (9.48)

tandis que sa composante temporelle s’ecrit :

d(E/c)d,

= 5!f .!v

csoit

dEdt

= !f .!v (9.49)

Cas du photon

On est amene a etendre la notion de particule aux photons, alors que d’apres la relativite,il n’existe pas de referentiel galileen ou la lumiere pourrait etre au repos. Pour lever cettecontradiction apparente et pour conserver (9.41), on voit qu’on doit necessairement avoirm = 0.

L’invariant relativiste du quadrivecteur energie-impulsion s’ecrit alors E = p c.

9.2.3 Les quadrivecteurs lies a l’electromagnetisme

On admettra que la charge electrique est invariante par changement de referentiel galileen.

Il existe deux quadrivecteurs lies a l’electromagnetisme : le quadrivecteur potentiel !A (ouquadrivecteur electromagnetique) et le quadrivecteur densite de courant !J. La forme du qua-drivecteur !A doit etre postulee et ne se demontre pas :

!A =

!

$

c, !A

"

=

.

/

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

/

1

A0 =$

c

A1 = Ax

A2 = Ay

A3 = Az

(9.50)

Comme bien souvent en relativite, on admettra cette definition car ses consequences sontconformes a l’experience.

La forme du quadrivecteur densite de courant peut elle se montrer facilement : la conservationde la charge q dans une transformation de Lorentz entraıne la conservation de + dV soit :

dq dxi = + dV dxi = + dV dtdxi

dt(9.51)


217

Comme dq dxi est un quadrivecteur et que dV dt est un scalaire vrai, on en deduit que + dxi/dtest un quadrivecteur que l’on appelle le quadrivecteur densite de courant !J (ou quadrivecteursource du champ electromagnetique) :

!J = (+ c, + !v) =%

+ c, !J&

=

.

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

1

J0 = + c

J1 = Jx

J2 = Jy

J3 = Jz

(9.52)

Cette definition est bien coherente avec (9.15) car Jx = Jy = Jz = 0 dans le referentielpropre !

9.3 Electrodynamique des particules rapides

On considere dans ce paragraphe une particule de massem et de charge q soumise a l’influenced’un champ electromagnetique.

9.3.1 Relativite appliquee a des particules ultra-relativistes

Dans le cas d’un anneau de collisions ou d’un anneau de lumiere synchrotron, les particulessont ultra-relativistes et l’etude de leur mouvement necessite l’utilisation des principes dela relativite restreinte. Le referentiel en mouvement (R’) est celui de la particule. D’apres(9.41), l’energie E et l’impulsion p de la particule chargee verifient :

E = 5mc2 et p = 5m 0 c & 5mc (9.53)

ou le facteur de Lorentz 5 peut atteindre des valeurs tres elevees (figure 9.3).

E (MeV)1 10 210 310 410 510 610 710

Fact

eur d

e Lo

rent

z

1

10

210

310

410

510

610

710

ElectronsProtons

Figure 9.3 – Le facteur relativiste . = (1" v2/c2)# 1/2 pour des electrons et des protons.


218

9.3.2 Cas d’un champ electromagnetique

Le principe fondamental de la dynamique relativiste (9.47) s’ecrit ici :

d!p

dt= q

%

!E+!v( !B&

avec !p = 5m !v (9.54)

On choisit un referentiel tel que !B //Oz et que Oxz contienne la fitesse initiale !vi (figure 9.4).L’origine O est la position de la particule a t = 0.

i

z

O

x

y

B

v i

&

Figure 9.4 –

En projetant, on obtient :

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

px

py

pz

= q

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Ex

Ey

Ez

+

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

vx

vy

vz

(

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0

0

B

.

/

/

/

/

0

/

/

/

/

1

px = q Ex + q vy B

py = q Ey " q vxB

pz = q Ez

(9.55)

En se souvenant que !p = 5m !v et que E = 5mc2, on peut egalement ecrire :

!v =c2

E !p =c2

5

p2 c2 +m2 c4!p (9.56)

La presence du facteur de Lorentz dans (9.55) rend leur resolution non triviale. Par la suite,on se contentera d’etudier le cas des champs !E et !B constant.

9.3.3 Cas d’un champ electrique constant

On suppose dans ce paragraphe que seul un champ electrique constant agit sur la particulechargee. Le principe fondamental de la dynamique relativiste (9.47) s’ecrit alors :

d!p

dt= q !E (9.57)

On choisit un referentiel tel que l’origine O soit la position initiale de la particule, que lechamp !E coincide avec l’axe Ox et que le plan Oxy contienne la vitesse initiale vi faisant


219

l’angle -i avec !E (figure 9.5). En projetant (9.57), on obtient :

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

px

py

pz

= q

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

E

0

0

d!ou

.

/

/

/

/

0

/

/

/

/

1

px = q E t+ pi, x

py = pi, y

pz = pi, z

(9.58)

ou !pi represente la valeur initiale de l’impulsion !p de la particule a t = 0. En projetant (9.56)successivement sur les trois axes, on obtient :

.

/

/

/

/

/

/

/

/

0

/

/

/

/

/

/

/

/

1

vx = x =(q E t+ pi, x) c2

[m2 c4 + (q E t+ pi, x)2 c2 + p2i, y c2]1/2

vy = x =pi, y c2

[m2 c4 + (q E t+ pi, x)2 c2 + p2i, y c2]1/2

vz = z = 0

(9.59)

&

y

O x

E

v i

i

Figure 9.5 –

Cas ou la particule est initialement au repos

Lorsque la vitesse initiale est nulle, on a !pi = !0. La seule composante non nulle est selon Ox.Il reste d’apres (9.59) :

x =q E t c2

[m2 c4 + (q E t)2 c2]1/2=

aN t

(1 + a2N t2/c2)1/2ou aN =

q E

m(9.60)

en notant aN l’acceleration newtonienne. En integrant et en tenant compte des conditionsinitiales, on obtient :

x = c t(

L

!

1 +t2

t2(

"1/2

" 1

M

ou t( =c

aN(9.61)

en notant t( un temps caracteristique du mouvement. La figure 9.6 represente les variations dex(t) et v(t). Les courbes en pointilles correspondent aux expressions classiques x(t) = aN t2/2et v(t) = aN t.


220

N

x

Otc / a

NO tc / a

v / c

1

Figure 9.6 – Variation de la position (a gauche) et de la vitesse (a droite) en fonction du tempspour une particule chargee initialement au repos acceleree par un champ !E constant.

Ce resultat a ete montre de maniere tres simple par Bertozzi 2 en 1964, en utilisant le canona electrons d’un microscope electronique (figure 9.7). Les descriptions newtonienne et relati-viste du probleme amenent a des relations di"erentes entre la vitesse v des electrons et leurenergie cinetique :

vN = c

2

2Ec

mc2et vR = c

=

1"!

mc2

Ec +mc2

"2

(9.62)

Figure 9.7 – Schema (gauche) de l’experience de Bertozzi (1964) et vitesse des electrons danscette experience en fonction de leur energie (figure extraite de [12, page 23]).

En mesurant le temps t de passage des electrons en sortie du canon entre deux detecteurssepares de L, on constate que leur vitesse v = L/t sature rapidement et atteint pratique-ment la vitesse de la lumiere lorsque la tension acceleratrice atteint 10 kV. La mecaniquenewtonienne au contraire ne prevoit pas de saturation de la vitesse des electrons.

9.3.4 Cas d’un champ magnetique constant

On suppose desormais que seul un champ magnetique constant agit sur la particule chargee.Le principe fondamental de la dynamique relativiste (9.47) s’ecrit cette fois :

d!p

dt= q !v( !B (9.63)

2. W. Bertozzi, Speed and kinetic energy of relativistic electrons, Am. J. Phys. 32, 551-555 (1964).


221

L’energie de la particule ne varie pas car la force magnetique ne travaille pas. La vitesse,donc 5 ne varient pas. On a alors :

d!v

dt= #c

>

!v(!B

B

?

avec #c =q B

5m(9.64)

ou #c est appelee la pulsation cyclotron 3. La seule di"erence avec le cas de la mecaniqueclassique est la presence du facteur 5 dans l’expression de la pulsation cyclotron.

On choisit un systeme d’axe tel que l’origine O coıncide avec la position de la particulea t = 0, que le champ !B est oriente selon !uz et que Oxz contienne la vitesse initiale !vi(figure 9.8).

Figure 9.8 – Trajectoire (a gauche) et projection dans le plan orthogonal au champ !B (a droite)pour une particule chargee se deplacant dans un champ !B constant.

En projetant (9.64), on obtient :-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

x

y

z

= #c

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

x

y

z

(

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0

0

1

soit

.

/

/

/

/

0

/

/

/

/

1

x = #c y

y = "#c y

z = 0

(9.65)

On en deduit que z = Cste = vi cos(-i) et que z = vi cos(-i) t. On a donc suivant !uz unmouvement rectiligne uniforme, ce qui est logique car la force magnetique est nulle danscette direction.

En integrant l’equation en y et en l’injectant dans l’equation en x, on obtient, en fonctiondes conditions initiales :

x = "#2c x (9.66)

La coordonnee x est donc de la forme x = A cos(#c t + $) ou les constantes A et $ sontdeterminees par les conditions initiales. On obtient $ = %/2 et A = " vi/#c( sin(-i). On endeduit finalement que :

x =vi sin(-i)

#csin(#c t) et y = " vi sin(-i)

#c[1" cos(#c t)] (9.67)

3. Le fait que la pulsation "c soit une quantite algebrique signifie simplement que la particule chargeepeut tourner dans le sens direct ou dans le sens indirect.


222

En notant v// = vi cos(-i) et v% = vi sin(-i) les composantes paralleles et perpendiculaires

a !B de la vitesse initiale, on aura finalement :

x =v%#c

sin(#c t) et y = " v%#c

[1" cos(#c t)] et z = " v// t (9.68)

En eliminant le temps dans les equations parametriques x(t) et y(t), on obtient la trajectoirede la projection P du point A dans le plan perpendiculaire a !B. On a immediatement :

x2 + (y +R)2 = R2 avec R =v%#c

=5mvi sin(-i)

q B=

p%q B

(9.69)

Cette relation montre que la trajectoire de P est un cercle de rayon + = |R| dont le centre apour coordonnees 4 xC = 0 et yC = "R. Dans l’espace, la trajectoire de la particule est unehelice (figure 9.8) de rayon + = |R| et de pas h = 2 %/#c ( v//. Vu l’expression de v//, onpeut encore ecrire :

h = 2 %p//q B

(9.70)

ou p// est la composante parallele au champ de la quantite de mouvement de la particule.On reecrit souvent (9.69) sous la forme :

B + =p%q

(9.71)

en introduisant la rigidite magnetique B +. On retiendra qu’a vitesse donnee, le rayon decourbure varie en sens inverse du champ !B.

La vitesse angulaire $ associee a l’angle polaire $ = (Ox,"1OP ) est #c/2 et s’appelle la

pulsation de Larmor (figure 9.8).

9.4 Formulation convariante de l’electromagnetisme

On va montrer dans ce paragraphe comment l’electromagnetisme peut s’exprimer avec lememe formalisme que la mecanique lagrangienne pour laquelle on associe a chaque systemephysique l’integrale d’action d’un lagrangien qui reste minimale tout au cours de l’evolutiondu systeme. Dans ce paragraphe, on va determiner le lagrangien d’un particule libre dans unchamp electromagnetique, puis le lagrangien du champ electromagnetique.

9.4.1 Le tenseur electromagnetique

Lagrangien d’une particule libre

On peut montrer que l’action Alibre et la fonction de Lagrange Llibre d’une particule librerelativiste s’ecrivent respectivement :

Alibre = "m0 c

( b

a

ds = "m0 c2

( b

a

2

1" v2

c2dt et Llibre = "m0 c

2

2

1" v2

c2(9.72)

4. Le signe de R donne simplement le sens de parcours du cercle.


223

Lagrangien d’une particule chargee dans un champ electromagnetique

Le terme d’interaction Ainter entre la particule et le champ doit contenir des grandeursrelatives a la particule et des grandeurs relatives au champ. Une des grandeurs relative a laparticule les plus simples est la charge electrique.

Le principe de relativite stipule que l’integrale d’action doit avoir la meme formulation danstous les referentiels (puisque la loi du mouvement de la particule chargee dans le champ ala meme expression dans tous les referentiels galileens). Ceci revient a dire que l’integraled’action doit etre un invariant dans une transformation de Lorentz.

Un des invariants les plus simples qu’on puisse former et qui respecte ces criteres est leproduit scalaire des quadrivecteurs potentiel !A et vitesse !V. On postulera donc que l’actioncorrespondant au terme d’interaction electromagnetique a pour expression :

Ainter = " e

( b

a

!A . !V ds = " e

( b

a

Aµ dxµ (9.73)

On peut facilement montrer que le lagrangien d’interaction d’une particule chargee dans unchamp electromagnetique se met sous la forme :

Linter = e !A . !v"e$ (9.74)

L’action A d’une particule chargee dans un champ electromagnetique donne s’ecrit finale-ment :

A = Alibre +Ainter =

( b

a

("m0 c ds" eAµ dxµ) (9.75)

Tenseur electromagnetique

On considere une trajectoire reelle reliant les deux evenements a et b, de coordonnees xµ(a)et xµ(b) dans un referentiel quelconque. On dira que l’evenement a appartient a l’histoire dela particule si, a l’instant ta, la particule est en (xa, ya, za) avec :

x0(a) = c ta x1(a) = xa x2(a) = ya x3(a) = za (9.76)

On determine la trajectoire reelle entre les evenements a et b en ecrivant que l’action A =Alibre+Ainter est alors minimale, c’est a dire que pour tout ecart par rapport a la trajectoire,on aura (A = 0, soit :

(A =

( b

a

["m0 c ((ds)" e ( (Aµ dxµ)] = 0 (9.77)

On peut montrer que ceci peut s’ecrire :

(A =

( b

a

#

m0 cduµ

ds+ e

!

"Aµ

"x'" "A'

"xµ

"

u'

$

(xµ ds = 0 (9.78)

Comme (A doit etre nul pour toutes les deviations (x qui correspondent aux ecarts parrapport a la trajectoire reelle, on en deduit que le terme entre crochets doit etre nul. On


224

obtient alors les equations du mouvement sous la forme :

m0 cduµ

ds= " e

!

"Aµ

"x'" "A'

"xµ

"

u' (9.79)

Comme Aµ represente les composantes du quadrivecteur potentiel, la quantite Fµ' definiepar :

Fµ' ="Aµ

"x'" "A'

"xµ= "µA' " "'Aµ avec "i =

"

"xi(9.80)

represente les composantes d’un tenseur 5 antisymetrique note (Fµ') et appele le tenseurdu champ electromagnetique ou tenseur electromagnetique. Ses composantes s’obtiennent enfonction des composantes de !A. Apres calculs, on obtient :

(Fµ') =

@

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

B

0 Ex/c Ey/c Ez/c

"Ex/c 0 "Bz By

"Ey/c Bz 0 "Bx

"Ez/c "By Bx 0

C

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

E

(9.81)

Les coordonnees de !E et de !B ne sont pas les composantes de quadrivecteurs mais simplementdes composantes du tenseur electromagnetique. Il est donc logique qu’elles ”se melangent”lors d’une transformation de Lorentz. Les composantes spatiales de (Fµ') sont celles duchamp magnetique tandis que ces composantes temporelles sont celles du champ electrique.

La forme (9.81) est la representation covariante du tenseur electromagnetique. On peutcomme precedemment en donner une representation contravariante :

(F µ') =

@

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

B

0 "Ex/c "Ey/c "Ez/c

Ex/c 0 "Bz By

Ey/c Bz 0 "Bx

Ez/c "By Bx 0

C

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

E

(9.82)

5. On appellera tenseur du second ordre contravariant quadridimensionnel un etre mathematique T definipar 16 composantes Tµ" (ou µ et $ varient chacun de 0 a 3) qui dans un changement de coordonneesx"µ = &µ

" x" se transforment comme :

T "µ" = &µ# &"

$ T#$

Pour des questions de commodite, T est souvent presente sous forme d’un tableau de quatre lignes et quatrecolonnes.Un tenseur sera symetrique si ces composantes verifient Tµ" = T "µ et antisymetrique si elles verifientTµ" = "T "µ. Cette caracterisation est pertinente puisque tout tenseur peut etre decompose en la sommed’un tenseur symetrique et d’un tenseur antisymetrique. Ces caracteres de symetrie (ou d’antisymetrie) sontinvariant et se conservent dans les changements de referentiel.Les tenseurs antisymetriques jouent un role particulier en electromagnetisme. Sur leurs 16 composantes, lesquatre situees sur la diagonale principale sont nulles et les 12 autres sont egales deux a deux. Il su$t doncde six composantes independantes pour decrire un tenseur antisymetrique.


225

Il est evident que la physique derriere ces deux tenseurs est la meme !

9.4.2 Les equations de Maxwell

On montre brievement dans ce paragraphe comment on peut retrouver les equations deMaxwell a partir des proprietes du tenseur electromagnetique.

Equations caracteristiques du champ

D’apres la definition (9.80), on montre facilement que pour trois indices i, k, 4 :

"Fik

"x(+

"Fk(

"xi+

"F(i

"xk= 0 (9.83)

Le 1er membre de cette equation est un tenseur d’ordre 3, antisymetrique dans l’echange deces indices. Les seules composantes non nulles correspondent aux trois indices i, k, 4 di"erents(a prendre parmi 0, 1, 2, 3).

En prenant (i, k, 4) = (1, 2, 3) dans (9.83), on obtient :

"F12

"x3+

"F23

"x1+

"F31

"x2=

"("Bz)

"(" z)+

"("Bx)

"(" x)+

"("By)

"(" y)= 0 soit !) . !B = 0

(9.84)

En prenant ensuite (i, k, 4) = (0, 2, 3), (0, 1, 3) et (0, 1, 2), on obtient successivement lestrois projections sur Ox, Oy et Oz de l’equation de Maxwell-Faraday.

Equation de continuite

On peut utiliser le quadrivecteur !J pour reecrire la conservation de la charge sous la forme :

"jµ

"xµ= 0 (9.85)

L’action d’interaction Ainter donnee par (9.73) s’ecrit alors pour une distribution volumiquede charge + :

Ainter ='

" e

(

Aµ dxµ = "(

+Aµ dxµ dV (9.86)

Equations reliants les sources au champ

Pour aller plus loin, on a besoin de construire l’action Achamp pour le champ electromagne-tique en l’absence de charges 6. On choisit 7 de mettre cette action sous la forme :

Achamp =1

4 % µ0 c

((((

Fµ' Fµ' d4x (9.87)

6. L’action Achamp n’etait pas utile lorsque le champ etait impose. Mais comme on cherche ici des equa-tions sur le champ, on doit pouvoir faire varier l’action correspondante afin de la minimiser.

7. Les equations du champ doivent etre lineaire pour satisfaire au principe de superposition. L’actioncorrespondante sera donc quadratique en champ. La trace Fµ" Fµ" etant le seul scalaire invariant par trans-formation de Lorentz a pouvoir etre forme a l’aide du tenseur electromagnetique, il est ”logique” de prendrela forme (9.87) pour Achamp. Le facteur multiplicatif est introduit pour des raisons de dimension.


226

ce qui permet d’ecrire l’integrale d’action du systeme global (particules+champ) sous laforme :

A = Alibre +Ainter +Achamp (9.88)

On montre que :

µ0 Jµ =

"Fµ'

"x'(9.89)

En prenant µ = 0 dans (9.89), on obtient :

"(Ex/c)

"x+

"(Ey/c)

"y+

"(Ez/c)

"z= µ0 + c soit !) . !E =

+

'0(9.90)

En prenant ensuite les i = 1, 2 et 3, on obtient les trois projections sur Ox, Oy et Oz del’equation de Maxwell-Ampere.

9.4.3 Transformation des champs

On considere un referentiel (R’) en mouvement rectiligne uniforme a la vitesse !u par rapporta un referentiel (R). Pour obtenir les lois de transformation des champs, on utilise les loisde transformation des composantes de !A et de (F µ'). Plus precisement, on peut remarquerqu’une composante F µ' se transforme comme xµx' . Comme x2 et x3 ne sont pas modifieslors d’une transformation de Lorentz, on a :

F !23 = F 23 et F !32 = F 32 (9.91)

Les autres composantes du tenseur electromagnetique se transforment comme x0 et x1 :.

0

1

F !02 = 5 (F 02 " 0 F 12)

F !03 = 5 (F 03 " 0 F 13)et

.

0

1

F !12 = 5 (F 12 " 0 F 02)

F !13 = 5 (F 13 " 0 F 03)(9.92)

En remplacant les composantes du tenseur electromagnetique par leur expression en fonctiondes composantes de !E et !B, on obtient les lois de transformation des champs lors d’unchangement de referentiel galileen en fonction de 5 = (1" u2/c2)#1/2 :

.

/

/

/

/

0

/

/

/

/

1

E !x = Ex

E !y = 5 (Ey " uBz)

E !z = 5 (Ez + uBz)

et

.

/

/

/

/

0

/

/

/

/

1

B!x = Bx

B!y = 5 (By + uEz/c2)

B!z = 5 (Bz " uEy/c2)

(9.93)

On peut egalement exprimer (9.93) en fonctions des champs transverses et longitudinaux (lareference est comme toujours prise par rapport a la direction definie par !u) :

.

/

0

/

1

!E !// = !E//

!E !% = 5

%

!E% + !u( !B&

et

.

/

0

/

1

!B!// = !B//

!B!% = 5

%

!B% " !u( !E /c2&

(9.94)


227

Limite des faibles vitesses

A la limite des faibles vitesses, les expressions (9.94) donnent simplement :

!E ! = !E + !u( !B et !B! = !B" !u

c2( !E (9.95)

Dans le strict cadre de la cinematique galileenne, on retombe bien sur (9.12).

9.4.4 Invariants du champ electromagnetique

On peut montrer que les seuls invariants formes a partir de F µ' (ou encore les invariants duchamp electromagnetique) sont :

E2 " B2 c2 et !E . !B (9.96)

Exercice 9.1 : De la bonne utilisation des invariants du champ electromagnetique

On considere deux referentiels galileens (R) et (R’) en mouvement rectiligne uniforme l’un parrapport a l’autre. On suppose que E = 5 ( 106 V/m et B = 0, 01 T dans (R) et que !E et !B fontun angle de 30& entre eux.

1. Trouvez la valeur de B!c et l’angle entre !B!et !E

!dans (R’) si E! = 6( 106 V/m

2. Existe-t-il un referentiel ou le champ electromagnetique est purement electrique ou purementmagnetique ?

3. Existe-t-il un referentiel ou les champs !E!et !B

!sont paralleles ? Calculer les valeurs de E! et

B! dans ce referentiel

9.5 Applications

9.5.1 Puissance totale rayonnee par une particule relativiste

La puissance totale rayonnee P) t par une particule chargee en mouvement est donnee dansle cas non relativiste par la formule de Larmor (8.20) qui peut se mettre sous la forme :

P) t =q2 02

6 % '0 c(9.97)

On va utiliser une transformation de Lorentz pour passer du cas non relativiste au casrelativiste puisque l’expression classique ci-dessus est en particulier valable dans le referentiel


228

propre (R0) de la particule dont on supposera qu’il se deplace a la vitesse !v = !0 c = 0 c !ux

par rapport au referentiel (R) du laboratoire.

D’apres la formule de Larmor (9.97), il su#t donc d’exprimer !v = !0 c dans le referentiel dulaboratoire. La transformation des accelerations s’ecrit d’apres (9.37) :

(ax)0 =ax

53 (1" 0 v/c)3(ay)0 =

ay " 0 (v ay)/c

52 (1" 0 v/c)3(az)0 =

az " 0 (v az)/c

52 (1" 0 v/c)3

(9.98)puisque la vitesse de la particule dans le referentiel (R) est !v = v !ux (vy = vz = 0). Apressimplification, ceci devient :

(ax)0 = 53 ax (ay)0 = 52 ay (az)0 = 52 az (9.99)

D’ou :

020 =

1

c23

(ax)20 + (ay)

20 + (az)

20

4

= 56 0 2|| + 54 0 2

% (9.100)

La puissance rayonnee, calculee dans le referentiel du laboratoire, devient donc en reecrivant(9.97) :

P) t =2

3m0 c r0

+

56 0 2|| + 54 0 2

%

,

avec r0 =q2

4 % '0 m0 c2(9.101)

en appelant r0 le rayon classique 8. En fait, la variable physiquement interessante est la

quantite de mouvement !p plutot que l’acceleration !0 car le mouvement est regit par la forcede Lorentz donnee par d!p/dt. La geometrie vectorielle usuelle donne :

v|| =dv

dt= v et v% =

v2

+(9.102)

en appelant + le rayon de courbure principal (cf figure 9.9). De plus :

!p = p!v

v= p !e1 et !p = !p|| + !p% = p!e1 + p

d!e1dt

(9.103)

'

e 2

e 1

Figure 9.9 – !e2 est un vecteur unitaire perpendiculaire a !e1 oriente vers l’interieur de la trajectoireet - est le rayon de courbure principal de la trajectoire.

Or :

p = p || = m0d(5 v)

dt= m0 (v 5+5 v) soit apres calculs p = m0 5

3 v = m0 53 v||

(9.104)

8. Le rayon classique vaut re = 2, 818 10!15 m pour les electrons et rp = 1, 535 10!18 m pour les protons.C’est une quantite traditionnellement utilisee mais qui n’a pas grand sens physique.


229

et :

d!e1dt

=v

+!e2 (9.105)

On en deduit :

!p% = pv

+!e2 = m0 5

v2

+!e2 = m0 5 v% !e2 (9.106)

Avec ces expressions de !p|| et !p%, l’equation (9.101) devient finalement :

P) t =2

3

r0m0 c

3

p 2|| + 52 p 2

%

4

(9.107)

Pour une force appliquee donnee, la puissance rayonnee est 52 fois plus importante si cetteforce est appliquee perpendiculairement plutot que parallelement a la vitesse.

9.5.2 Etude d’une particule chargee en mouvement rectiligne uni-forme

On considere une particule chargee en mouvement rectiligne uniforme a la vitesse !v dans unreferentiel galileen (R). On ajuste les axes des referentiels (R) et (R’) pour que la particulesoit au repos dans (R’), situee en P et qu’a t = t! = 0, O et P coıncident (figure 9.10).

r’y

(R)

O

z

x

(R’)

P

z’

x’

q’

M

(

y’r

Figure 9.10 –

Calcul du champ

Dans (R’), la particule chargee cree en M(x!, y!, z!) les champs !E!et !B

!tels que :

!E!=

q

4 % '0 r!3

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

x!

y!

z!

et !B!= !0 avec r!2 = x!2 + y!2 + z!2 (9.108)


230

Dans (R), ces champs correspondent a !E et !B tels que :

!E =q

4 % '0 r!3

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

x!

5 y!

5 z!

et !B =q

4 % '0 r!3=

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0

" 5v

c2z!

5v

c2y!

avec 5 =

!

1" v2

c2

"# 1/2

(9.109)

Comme x! = 5 (x" v t), y! = y, z! = z, on en deduit r!2 = 52 (x" v t)2 + y2 + z2, ou letemps t est exprime dans le referentiel (R). En posant :

r2M = (x" v t)2 +

!

1" v2

c2

"

(y2 + z2) (9.110)

on peut ecrire r! = 5 rM , ou rM s’obtient a partir des coordonnees de M exprimees dans (R).On en deduit les expressions de !E en fonction des coordonnees dans (R) :

!E =q

4 % '0

!

1" v2

c2

" ""1PM

r3M(9.111)

On peut reecrire (9.111) en introduisant l’angle 2 (figure 9.10). On a alors :

y2 + z2 = PM2 sin2(2) soit r2M = PM2

!

1" v2

c2sin2(2)

"

(9.112)

Finalement :

!E(M) =q

4 % '0

1" v2

c2!

1" v2

c2sin2(2)

"3/2

""1PM

PM3(9.113)

Cette relation exprime le champ !E mesure au point M en fonction de la position de la chargeau meme instant et est donc l’analogue de la loi de Coulomb de l’electrostatique. Avant dedemarrer ce calcul, il etait a priori non intuitif que le champ mesure en M soit dans ladirection donnee par

""1PM .

On en deduit que pour une distance r donnee, l’intensite du champ est minimale dans ladirection du mouvement et maximale dans la direction orthogonale :

!E// =q

4 % '0 52 r2et !E% =

5 q

4 % '0 r2(9.114)

Ceci montre que lorsque v augmente, E// decroıt tandis que E% croıt (figure 9.11). Le champ!E n’a plus la symetrie spherique mais possede une symetrie cylindrique d’axe Ox.

On deduit facilement par un calcul identique que :

!B(M) =!v

c2( !E(M) (9.115)

Comme !E et !B varient a grande distance comme 1/r2, le flux du vecteur de Poynting atravers une surface de grand rayon tend vers zero quand ce rayon tend vers l’infini. Onretiendra qu’une particule en mouvement rectiligne uniforme ne rayonne pas d’energie !


231

Figure 9.11 – Lignes de champ d’une charge ponctuelle pour une particule au repos (a gauche) eten mouvement rectiligne uniforme (a droite) avec . = 3. Dans ce type de representation, la valeurdu champ !E est proportionnelle a la densite des lignes de champ (figure reprise de [14, page 586]).

Limite non relativiste

De 5 1 1, on deduit :

!E & q

4 % '0

1

r2!u et !B & µ0

4 %

q !v( !u

r2(9.116)

avec r2 = x2+ y2+ z2. On retrouve pour !E l’expression de la loi de Coulomb et pour !B cellede Biot et Savart (q !v remplacant I d!4). Attention toutefois a ne pas pousser l’analogie troploin : le champ !B est ici variable, alors que Biot et Savart n’est valable que pour les champspermanents.

Champ au voisinage de l’observateur pour une particule ultra-relativiste

Pour des vitesses ultrarelativistes (0 & 1), le champ !E n’est important que dans un domained’angles voisins de %/2, de largeur !2 & 1 " v2/c2. Un observateur situe en M ne verra laparticule que pendant un temps tres court. Le champ cree par une particule chargee ultrare-lativiste est equivalent au champ d’une onde plane electromagnetique. On cherche ici a faireune description temporelle du champ. Pour cela, on considere un observateur fixe en M dontles coordonnees dans (R) et (R’) sont :

x = 0 y = b z = 0 et x! = " v t! y! = b z! = 0 (9.117)

Dans (R’), le champ !E vaut :

E !x =

" q v t!

4 % '0 r!3E !

y =e b

4 % '0 r!3E !

z = 0 avec r!2 = v2 t!2 + b2 (9.118)

Comme la particule est au repos dans (R’), on a evidemment !B!= !0. En utilisant la trans-

formation de Lorentz successivement sur les coordonnees et sur les champs, on obtient fina-lement les composantes non nulles de !E et !B dans (R) :

Ex =q

4 % '0

" 5 v t

(b2 + 52 v2 t2)3/2Ey =

q

4 % '0

5 b

(b2 + 52 v2 t2)3/2Bz =

v

c2Ey (9.119)


232

La figure 9.12 represente les champs au point M observes en fonction du temps. Noter qu’at = 0, le champ Ey est 5 fois plus eleve que le champ au repos. La largeur temporelle del’impulsion vue en M est d’environ !t & b/5 v.

Figure 9.12 – Champ electriques transverse (a gauche) et longitudinal (a droite) au point M enfonction de v t pour des valeurs limite de (. Dans cette representation, E1, E2 et B3 correspondentrespectivement a Ex, Ey et Bz (figure reprise de [14, page 586]).

Le champ longitudinal Ex passe avec t par des valeurs positives puis negatives sur un tempsd’environ b/5 v. Un detecteur ayant une certaine inertie ne verra rien. A la limite ultrarela-tiviste, tout se passe comme si en M on voyait passer une onde plane pour laquelle Ex , 0.

Application a l’interaction entre deux particules chargees de meme vitesse

On considere deux particules chargees q1 et q2 animees a un instant t d’une meme vitesse !upar rapport a un referentiel (R). On suppose que les deux particules sont a la meme abscissex et sont separees par une distance r a l’instant t. On oriente (R) et (R’) de facon a ce queles charges soient contenues dans Ox’z’ (figure 9.13).

2

z’

x’

y’

O’

y

O

z

xu

(R’)(R) q

q

1

Figure 9.13 –

On considere un referentiel (R’) dans lequel les particules chargees sont au repos. Dans (R’),le champ est purement electrique et les forces s’ecrivent :

!F !1 = q1 !E

!

2 =q1 q24 % '0

!r

r3et !F !

2 = " !F !1 (9.120)


233

Ces forces sont repulsives et tendent a ecarter les deux particules. On a par exemple :

F !x = 0 F !

y = 0 F !z =

q1 q24 % '0 r2

(9.121)

ou !r relie q2 a q1. En utilisant les formules (9.45) de transformation des forces dans unetransformation de Lorentz, on obtient :

F !x = 5!

%

F !x +

u

c2

&

F !y = 0 F !

z =q1 q2

4 % '0 r2(9.122)

On en deduit :

Fx = 0 Fy = 0 Fz =F !z

5= F !

z

2

1" u2

c2(9.123)

On observe que dans (R), la force est egalement repulsive, mais d’intensite beaucoup plusfaible que dans (R’).

Notion de photon virtuel

Une transformation de Fourier sur le champ Ey donne par (9.119) permet d’ecrire, avec lesnotations de la figure 9.14 :

Ey" =q b

8 %2 '0 52

( +"

#"

exp (i# t)

(b2/52 + v2 t2)3/2dt =

q X

4 %2 '0 b vK1(X) avec X =

# b

5 v(9.124)

ou K1 est la fonction de Bessel de 2eme espece. D’apres § A.4, on peut determiner les com-portements limite suivants :

Ey" =

.

/

/

0

/

/

1

q

4 %2 '0 b v# $ 5 v

b

0 # * 5 v

b

(9.125)

puisque K1(X) 1 1/X quand X 1 0 K1(X) 1 exp("X) quand X 1 %.

v

B

b

zM

Ey

Particule

Figure 9.14 –

Comme on est dans un regime semblable a celui d’une onde plane, l’energie totale de l’ondes’ecrit :

U =

(((

'0 E2y dV (9.126)


234

Le theoreme de Parseval 9 permet d’ecrire :

U & q2

2 %2 '0 v

( "

0

>

( ) v/"

bmin

db

b

?

d# (9.127)

ou bmin est une valeur minimale de b arbitraire, puisqu’on ne peut pas faire tendre b vers 0.Finalement, la distribution en energie de l’onde plane equivalente est de la forme :

U(#) =q2

2 %2 '0 vln

!

5 v

# bmin

"

(9.128)

La distance bmin est de l’ordre de grandeur de la distance en dessous de laquelle la positionde la particule chargee ne peut plus etre resolue. Le principe d’incertitude dit par ailleursque bmin & !/!p, ou !p est la variation de la quantite de mouvement de l’electron au coursdu transfert.

9. Le theoreme de Parseval applique aux series de Fourier stipule que :

( +#

!#

|x(t)|2 dt =

( +#

!#

|X(")|2 d"

si x(t) et X(") sont transformees de Fourier l’une de l’autre. Applique a l’electromagnetisme, cela signifieque l’energie totale d’un signal (qu’on obtient en sommant la contribution des di"erentes harmoniques) peuts’obtenir aussi bien en utilisant la representation frequentielle que la representation temporelle.


235 Notes de cours d’electromagnetisme classique,Licence 3 et Magistere de Physique Fondamentale, P. Puzo (2010 - 2011)

236

Table des matieres

A Rappels mathematiques 1

A.1 Formes di"erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

A.2 Outils mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

A.3 Systemes de coordonnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

A.4 Resolution de l’equation de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

A.5 Quelques notions sur l’analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 Equations de Maxwell dans le vide - Electromagnetisme 15

1.1 Distributions de charges et de courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Equations de Maxwell dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Champ electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Quelques regimes particuliers de l’electromagnetisme . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Invariances et symetries du champ electromagnetique . . . . . . . . . . . . . 24

1.6 Conditions aux limites du champ electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Electrostatique 35

2.1 Electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Aspects energetiques lies a l’electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Conducteurs en electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4 Dipole electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5 Le probleme du ”zero” des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Milieux dielectriques 63

3.1 Sources microscopiques de la polarisation en regime statique . . . . . . . . . 64

3.2 Etude macroscopique de la polarisation en regime statique . . . . . . . . . . 68

3.3 Susceptibilite electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4 Polarisation en regime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5 Aspects energetiques des milieux dielectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


237

4 Magnetostatique 91

4.1 Action du champ magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2 Magnetostatique du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3 Dipoles magnetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5 Milieux magnetiques 117

5.1 Sources microscopiques de l’aimantation en regime statique . . . . . . . . . . 118

5.2 Etude macroscopique de l’aimantation en regime statique . . . . . . . . . . . 119

5.3 Aimantation en regime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.4 Les divers types de milieux magnetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.5 Aspects energetiques des milieux magnetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6 Induction electromagnetique 133

6.1 Force electromagnetique d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.2 Travail des forces de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.3 Theorie de l’induction electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.4 Coe#cients d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.5 Energie emmagasinee dans un systeme de circuits . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.6 Applications de l’induction electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

7 Propagation dans le vide et les milieux dielectriques 159

7.1 Concepts generaux sur les ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.2 Ondes electromagnetiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.3 Reflexion d’une onde plane sur un plan conducteur . . . . . . . . . . . . . . 173

7.4 Ondes electromagnetiques et milieux dielectriques . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.5 Propagation guidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8 Systemes rayonnants 197

8.1 Champ electromagnetique du dipole oscillant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8.2 Rayonnement dipolaire de l’electron atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

8.3 Rayonnement a grande distance d’une antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

9 Electromagnetisme et relativite restreinte 207

9.1 Electromagnetisme et relativite restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

9.2 Formalisme quadridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

9.3 Electrodynamique des particules rapides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

9.4 Formulation convariante de l’electromagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228


238

Documents

Bon Cour d'Electromagnetique Suite