Bouguechal Docteur-ingénieur Cours de transferts

Bouguechal Docteur-ingénieur Cours de transferts thermiques 2017-2018 1 / 38



Chapitre 1 : THEORIE DES AILETTES

I.1 INTRODUCTION GENERALE

I.2 AILETTES A SECTION CONSTANTE

I.3 EFFICACITE D’UNE AILETTE

I.1 INTRODUCTION GENERALE

Une ailette est un dispositif thermique permettant une meilleure évacuation de la

chaleur d’un système donné en augmentant la surface de contact avec un fluide extérieur

afin d’amplifier les échanges convectifs, et donc le transfert de chaleur.

La chaleur se propage par conduction à travers l'ailette qui se refroidit par convection

naturelle ou forcée par le fluide environnant. Figures 1 et 2.

Il existe différents types d’ailettes. Figures 3 et 4.

Tubes à ailettes annulaires en aluminium ou cuivre pour refroidissement par

liquide ou chauffage.


Figure 1. Evacuation de la chaleur par une surface plane.

Figure 2. Evacuation de la chaleur par une surface plane munie d’ailettes.

𝚽 = 𝒉 𝑺 ሺ𝑻𝑷 − 𝑻∞ሻ

𝑻𝑷

𝑻∞

𝒉

𝑺

𝒉

𝑻∞ 𝑺

𝑺

𝑺 𝑺

𝑻𝑷

𝚽 = 𝒉 𝑺 ሺ𝑻𝑷 − 𝑻∞ሻ


Figure 3. Ailettes à section constante

Figure 4. Ailettes à section variable


I.2 AILETTES A SECTION CONSTANTE

Le calcul sur les ailettes se fera avec les hypothèses suivantes :

➢ On considère le régime permanent établi.

➢ La conductivité thermique sera supposée constante

➢ Les échanges de chaleur par rayonnement seront négligés.

On considère que la température est uniforme dans une section de l’ailette pour un x

donné.

On effectue un bilan de flux de chaleur sur une tranche de l’ailette comprise entre x et

x + dx :

✓ Flux de chaleur arrivant en x par conduction : 𝚽ሺ𝒙ሻ = −𝝀𝑺 (𝒅𝑻

𝒅𝒙)𝒙

✓ Flux de chaleur sortant en x + dx par conduction : 𝚽ሺ𝒙 + 𝒅𝒙ሻ = −𝝀𝑺 (𝒅𝑻

𝒅𝒙)𝒙+𝒅𝒙

✓ Flux de chaleur échangé par convection sur la surface latérale du cylindre entre

x et x + dx :

𝚽𝑪ሺ𝒙ሻ = 𝒉 𝒑 𝒅𝒙 ሺ𝑻ሺ𝒙ሻ − 𝑻∞ሻ 𝑺é𝒄𝒉 = 𝒑 𝒅𝒙 𝒑 = 𝒑é𝒓𝒊𝒎è𝒕𝒓𝒆

➢ h coefficient de convection : 𝑊𝑚−2𝐾−1

➢ λ conductivité thermique du matériau de l’ailette : : 𝑊𝑚−1𝐾−1

➢ S section de l’ailette : 𝑚2

➢ p périmètre de l’ailette 𝑚


𝚽𝑪

𝚽𝑪

𝚽ሺ𝒙 + 𝒅𝒙ሻ

0 x x x + dx

2R 𝚽ሺ𝒙ሻ

h

h

Ailette cylindrique de rayon R

𝑻𝟎 L

l

e

𝚽𝑪

𝚽𝑪

x + dx 0

𝚽ሺ𝒙 + 𝒅𝒙ሻ

x x

𝚽ሺ𝒙ሻ

h

h

Ailette rectangulaire d’épaisseur e et de largeur l

𝑻𝟎 L


Le bilan du flux d’énergie s’écrit :

𝚽ሺ𝒙ሻ = 𝚽ሺ𝒙 + 𝒅𝒙ሻ + 𝚽𝑪ሺ𝒙ሻ

−𝝀𝑺 (𝒅𝑻

𝒅𝒙)𝒙= −𝝀𝑺 (

𝒅𝑻


+ 𝒉 𝒑 𝒅𝒙 ሺ𝑻ሺ𝒙ሻ − 𝑻∞ሻ

𝝀𝑺 (𝒅𝑻


− 𝝀𝑺 (𝒅𝑻𝒅𝒙

)𝒙

= 𝒉 𝒑 𝒅𝒙 ሺ𝑻ሺ𝒙ሻ−𝑻∞ሻ

𝝀𝑺

(𝒅𝑻𝒅𝒙)𝒙+𝒅𝒙

− (𝒅𝑻𝒅𝒙

)𝒙

𝒅𝒙= 𝒉 𝒑 ሺ𝑻ሺ𝒙ሻ−𝑻∞ሻ

On obtient l’équation suivante appelée équation de la barre :

(𝒅𝟐𝑻ሺ𝒙ሻ

𝒅𝒙𝟐) −

𝒉 𝒑

𝝀𝑺 ሺ𝑻ሺ𝒙ሻ − 𝑻∞ሻ = 𝟎

On pose :

𝒎𝟐 = 𝒉 𝒑

𝝀𝑺 et 𝜽ሺ𝒙ሻ = 𝑻ሺ𝒙ሻ − 𝑻∞

On obtient alors :

(𝒅𝟐𝜽

𝒅𝒙𝟐) −𝒎𝟐 𝜽 = 𝟎

Cette équation différentielle sans second membre du second ordre à coefficients

constants admet pour solution :

𝜽ሺ𝒙ሻ = 𝑨𝒆𝒎 𝒙 + 𝑩𝒆−𝒎 𝒙 ou 𝜽ሺ𝒙ሻ = 𝑨 𝒄𝒉ሺ𝒎 𝒙ሻ + 𝑩 𝒔𝒉ሺ𝒎 𝒙ሻ

A et B sont des constantes obtenues en utilisant les conditions aux limites à la base et à

l’extrémité de l’ailette.

Conditions aux limites :

✓ A la base :

en x = 0 𝑻ሺ𝒙 = 𝟎ሻ = 𝑻𝟎 𝜽ሺ𝟎ሻ = 𝑻ሺ𝟎ሻ − 𝑻∞ = 𝑻𝟎 − 𝑻∞ = 𝜽𝟎

✓ A l’extrémité de l’ailette :

en x = L plusieurs cas sont à considérer :

o La température est imposée à l’extrémité (condition de Dirichlet)

𝜽ሺ𝑳ሻ = 𝑻ሺ𝑳ሻ − 𝑻∞ = 𝑻𝑳 − 𝑻∞ = 𝜽𝑳

Dans le cas où la longueur de l’ailette est infiniment longue 𝑻𝑳 = 𝑻∞

𝜽ሺ𝑳ሻ = 𝟎


𝜽ሺ𝒙ሻ =𝑻ሺ𝒙ሻ−𝑻∞

𝑻𝟎−𝑻∞ = 𝒆−𝒎 𝒙 𝒎 = √

𝒉 𝒑

𝝀𝑺

Le flux thermique évacué par toute la surface pour une ailette infiniment longue est donné

par :

𝚽𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = ∫𝒉 𝒑 ሺ𝑻ሺ𝒙ሻ − 𝑻∞ሻ𝒅𝒙

𝑳

𝟎

= ∫𝒉 𝒑 ሺ𝑻𝟎 − 𝑻∞ሻ𝒆−𝒎 𝒙𝒅𝒙

𝑳

𝟎

= 𝝀𝑺𝒎ሺ𝑻𝟎 − 𝑻∞ሻ

Ce flux est égal au flux transmis par conduction en x = 0.

𝚽ሺ𝒙 = 𝟎ሻ = −𝝀𝑺 (𝒅𝑻

𝒅𝒙)𝒙=𝟎

Il est alors possible d’introduire une résistance thermique Rth de l’ailette infinie :

𝚽ሺ𝒙 = 𝟎ሻ =𝑻𝟎 − 𝑻∞𝑹𝒕𝒉

D’où :

𝑹𝒕𝒉 = 𝑻𝟎 − 𝑻∞

𝝀𝑺𝒎ሺ𝑻𝟎 − 𝑻∞ሻ=

𝟏

𝝀𝑺𝒎

o Le flux de chaleur transféré par convection à l’extrémité (condition de

Newmann).

✓ en x = 0 𝑻ሺ𝒙 = 𝟎ሻ = 𝑻𝟎 𝜽ሺ𝟎ሻ = 𝑻ሺ𝟎ሻ − 𝑻∞ = 𝑻𝟎 − 𝑻∞ = 𝜽𝟎

✓ A l’extrémité de l’ailette :

−𝝀𝑺 (𝒅𝑻

𝒅𝒙)𝒙=𝑳

= 𝒉 𝑺 ሺ𝑻ሺ𝑳ሻ − 𝑻∞ሻ

Conservation du flux de chaleur en x = L.

𝜽ሺ𝒙ሻ =𝑻ሺ𝒙ሻ − 𝑻∞𝑻𝟎 − 𝑻∞

= 𝑪𝒉(𝒎ሺ𝑳 − 𝒙ሻ) +

𝒉𝒎𝝀

𝑺𝒉 (𝒎ሺ𝑳 − 𝒙ሻ)

𝑪𝒉ሺ𝒎𝑳ሻ +𝒉𝒎𝝀

𝑺𝒉ሺ𝒎𝑳ሻ


I.3 EFFICACITE D’UNE AILETTE

On définit l’efficacité d’une ailette comme étant le rapport entre le flux de chaleur évacué par

l’ailette et le flux de chaleur qui serait évacué en l’absence d’ailette.

L’efficacité est pour une ailette à section constante :

𝜺 =𝚽𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍

𝚽𝟎= 𝝀𝑺𝒎ሺ𝑻𝟎 − 𝑻∞ሻ

𝒉𝑺𝟎𝜽𝟎

𝚽𝑪

𝚽𝑪

0 x

2R

h

h

Ailette cylindrique de rayon R

𝑻𝟎 L

0 x

2R

Absence d’ailette

𝑻𝟎

S0

S0

𝚽 = 𝒉 𝑺𝟎 ሺ𝑻𝟎 − 𝑻∞ሻ = 𝒉 𝑺𝟎 𝜽𝟎



Chapitre 2 : THEORIE DES ECHANGEURS DE CHALEUR

II.1 INTRODUCTION GENERALE

II.2 PRINCIPE DES ECHANGEURS

II.3 TYPES D’ECHANGEURS

II.4 CALCUL DES ECHANGEURS

II.4.1 ECHANGEURS CO-COURANT

II.4.2 ECHANGEURS CONTRE-COURANT

II.4.3 RESUME

II.5 METHODE DE DIMENSIONNENT

II.5.1 METHODE DTLM

II.5.2 METHODE DE NUT

II.1 INTRODUCTION GENERALE

Un échangeur de chaleur est un système qui permet de transférer un flux de chaleur d’un fluide

chaud à un fluide froid sans contact à travers une paroi solide.

Dans un échangeur de chaleur, on peut trouver les 3 modes de transfert thermique :

✓ La conduction : Elle se fait en général à travers un solide.

✓ La convection : il y a deux types de convection :

o Convection forcée

o Convection naturelle ou libre.

Elle se fait avec un fluide en mouvement.

✓ Le rayonnement : c’est un échange qui se fait par l’intermédiaire de rayonnement

électromagnétique.

Dans un échangeur de chaleur, le transfert de chaleur fait intervenir la convection au sein de

chaque fluide et la conduction à travers la paroi solide qui permet la séparation des deux fluides.

Le rayonnement est faible et sera donc négligé.


II.2 PRINCIPE DES ECHANGEURS

Un échangeur de chaleur est un appareil destiné à transmettre la chaleur d’un fluide à un autre.

C’est un quadripôle thermique.

Les notations utilisées sont les suivantes :

e : entrée du fluide. s : sortie du fluide.

C : Fluide chaud f : Fluide froid

: débit masse du fluide chaud. (kg/s)

: débit masse du fluide froid. (kg/s)

Débit thermique unitaire du fluide chaud. (W/K)

Débit thermique unitaire du fluide froid. (W/K)

Le débit thermique unitaire représente l’énergie transporté par unité de temps

(débit d’énergie ou puissance) par le fluide lorsque la température de celui-ci

varie de un degré.

II.3 TYPES D’ECHANGEURS

I. Tube et calandre

✓ Les échangeurs tubulaires :

Un échangeur tubulaire simple est constitué de deux tubes cylindriques coaxiaux. Un fluide

circule dans le tube intérieur, l’autre dans l’espace entre les deux tubes.

o Echangeurs double tube : On a alors un système de tubes concentriques.

La surface d'échange est la surface du tube intérieur en contact avec les deux fluides.

La chaleur est transférée du fluide chaud vers le fluide froid à travers la surface externe du

tube intérieur par convection ensuite par conduction et enfin par convection avec le fluide à

𝒎ሶ 𝒇 Tfe

𝒎ሶ 𝒄

∆TS ∆Te E

Tce

𝒎ሶ 𝒇

𝒎ሶ 𝒄

Tfs

Tcs

𝒎ሶ 𝒄

𝒎ሶ 𝒇

𝒒𝒕𝒄 = 𝒎ሶ 𝒄𝑪𝒑𝒄

𝒒𝒕𝒇 = 𝒎ሶ 𝒇𝑪𝒑𝒇


l’intérieur du petit tube. Il y a donc deux échanges par convection et donc deux surfaces

d’échange : la surface intérieur et extérieur du petit tube.

Principe d’un échangeur à co-courants

Tcs

Tce

Tfe Tfs

𝒎ሶ 𝒄 𝑪𝒑𝒄

𝒎ሶ 𝒇 𝑪𝒑𝒇


o Echangeurs à faisceaux tubulaires

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 1 2 3 4 5 6 7

Tem

pér

atu

re d

es f

luid

es l

e lo

ng d

e

l'éc

han

geu

r (°

C)

Surface d'échange S en m2 le long de l'axe x

Evolution de la température dans un

échangeur co-courant

r = 3,0

T∞ = 55,2°C

Anglais Français

Tube Outlet Sortie tube

Tube Inlet Entrée tube

Shell inlet Entrée calandre

Shell outlet Sortie calandre

Baffles Chicanes

Sortie

tubes

rtie

Entrée

tubes

Entrée

calandre

tubes

Sortie

calandre

Chicane


Échangeur de chaleur à faisceau tubulaire / pour bateau

II. Tubes coaxiaux

𝑻𝒄𝒔 𝑻𝒄𝒆

𝑻

𝑻𝒇𝒔

∆𝑻

𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ

Principe d’un échangeur à contre-courant

Tfs

Tce

Tcs

Tfe


Le flux de chaleur transféré du fluide chaud vers le fluide froid est égal au flux de chaleur

reçu par le fluide froid.

Cas du co-courant Cas du contre-courant

Dans le cas d’un contre-courant, Le flux de chaleur transféré du fluide chaud est égal à :

𝚽 = 𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄ሺ𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒄𝒔ሻ

Le fluide froid reçoit un flux égal à :

𝚽 = 𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇(𝑻𝒇𝒔 − 𝑻𝒇𝒆)

Les produits


𝑻

𝑻𝒇𝒔

∆𝑻 𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ

𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ

r3 r2 r1

0 x

Fluide froid

Fluide chaud

isolant

L


𝑻

𝑻𝒇𝒔

∆𝑻

𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ


𝒒𝒕𝒄 = 𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄 et 𝒒𝒕𝒇 = 𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇 sont appelés les débits thermiques unitaires.

Ils s’expriment donc en W/K.

𝚽 = 𝒒𝒕𝒄ሺ𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒄𝒔ሻ = 𝒒𝒕𝒇(𝑻𝒇𝒔 − 𝑻𝒇𝒆)

Or ce flux de chaleur est transmis à travers la paroi d’un cylindre de rayon intérieur r1 et de

rayon extérieur r2.

𝚽 = ∆𝑻

𝟏𝟐𝝅𝒉𝟏 𝒓𝟏 𝑳

+𝒍𝒏 (

𝒓𝟐𝒓𝟏)

𝟐𝝅𝝀 𝑳+

𝟏𝟐𝝅𝒉 𝟐𝒓𝟐 𝑳

Dans les échangeurs de chaleur, le flux de chaleur est rapporté à la surface de rayon r2 :

𝑺𝟐 = 𝟐𝝅𝒓𝟐𝑳

𝚽 = 𝒉 𝑺𝟐 ∆𝑻

Où h est le coefficient global d’échange de l’échangeur :

𝒉 = 𝟏

𝒓𝟐𝒉𝟏 𝒓𝟏

+ 𝒓𝟐 𝒍𝒏 (

𝒓𝟐𝒓𝟏)

𝝀 +

𝟏𝒉 𝟐


II.4 CALCUL DES ECHANGEURS

II.4.1 ECHANGEURS CO-COURANT

Echangeur co-courant

Dans les échangeurs co-courant appelés aussi à courants parallèles, les deux fluides circulent

dans le même sens.

Le flux de chaleur est transféré par le fluide chaud vers le fluide froid lors de son écoulement.

Déterminons le flux de chaleur échangé entre x et x + dx.

𝒅𝜱 = 𝒅𝜱𝒇 = 𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇𝒅𝑻𝒇 (1) flux de chaleur gagné par le fluide froid.

−𝒅𝜱 = 𝒅𝜱𝒄 = 𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄𝒅𝑻𝒄 (2) flux de chaleur perdu par le fluide chaud.

𝒅𝜱 = 𝒅𝜱𝒇 = − 𝒅𝜱𝒄 > 𝟎

𝒅𝜱 = 𝑲 𝒅𝒔 (𝑻𝒄 − 𝑻𝒇) (3)

𝒅𝑻𝒇 =𝒅𝜱𝒇

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇=

𝒅𝜱

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇 𝒅𝑻𝒄 =

𝒅𝜱𝒄

𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄= −

𝒅𝜱

𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄

L

Entrée Sortie

S(x) + dS S(x)

𝒎ሶ 𝒇

𝒎ሶ 𝒄 𝑻𝒄𝒔

𝑻𝒇𝒔

𝑻𝒇𝒆

𝑻𝒄𝒆

∆𝑻

𝑻𝒄

𝑻𝒇

0 x x + dx

𝑻𝒄 + 𝒅𝑻𝒄

𝑻𝒇 + 𝒅𝑻𝒇

x

𝒓𝟐

𝒓𝟏


𝒅𝑻𝒄 − 𝒅𝑻𝒇 = 𝒅(𝑻𝒄 − 𝑻𝒇) = − 𝒅𝜱(𝟏

𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄+

𝟏

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇)

𝒅(𝑻𝒄 − 𝑻𝒇) = − 𝑲 (𝑻𝒄 − 𝑻𝒇) (𝟏


𝟏

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇) 𝒅𝒔

𝒅(𝑻𝒄 − 𝑻𝒇)

𝑻𝒄 − 𝑻𝒇= − 𝑲 (

𝟏


𝟏

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇)𝒅𝒔

Si on suppose Cpc, Cpf et K constant, on peut alors écrire :

∫𝒅(𝑻𝒄 − 𝑻𝒇)

𝑻𝒄 − 𝑻𝒇

𝒙

𝒙=𝟎

= − 𝑲 (𝟏


𝟏

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇) ∫ 𝒅𝒔

𝒙

𝒙=𝟎

𝒍𝒏 [𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇 ሺ𝒙ሻ

𝑻𝒄ሺ𝒙 = 𝟎ሻ − 𝑻𝒇ሺ𝒙 = 𝟎ሻ] = −𝑲(

𝟏


𝟏

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇)𝑺ሺ𝒙ሻ

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇 ሺ𝒙ሻ

𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆= 𝒆

−𝑲(𝟏


𝟏𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇

)𝑺ሺ𝒙ሻ

Si S → ∞ TC – TF → 0.

Si x = L , S(L) = S

𝒍𝒏 [𝑻𝒄𝒔 − 𝑻𝒇𝒔

𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆] = −𝑲𝑺(

𝟏


𝟏


𝜱 = 𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇(𝑻𝒇𝒔 − 𝑻𝒇𝒆)

𝜱 = −𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄ሺ𝑻𝒄𝒔 − 𝑻𝒄𝒆ሻ


𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆] = −

𝑲𝑺

𝜱(ሺ𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒄𝒔ሻ + (𝑻𝒇𝒔 − 𝑻𝒇𝒆))



𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆] =

𝑲𝑺

𝜱((𝑻𝒄𝒔 − 𝑻𝒇𝒔) − (𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆))

𝜱 = 𝑲 𝑺 𝚫𝑻𝒔 −𝚫𝑻𝒆

𝒍𝒏 (𝚫𝑻𝒔𝚫𝑻𝒆

)= 𝑲 𝑺 𝚫𝑻𝒍𝒎

𝚫𝑻𝒍𝒎 : différence de température logarithmique moyenne (DTLM)

𝚫𝑻𝒍𝒎 =𝚫𝑻𝒔 − 𝚫𝑻𝒆


)

I. Exercice d’application :

a) Déterminer la valeur de la différence de température logarithmique moyenne

DTLM d’un échangeur co-courant.

𝑻𝒇𝒆 = 𝟐𝟎°𝑪 𝑻𝒄𝒆 = 𝟗𝟎°𝑪

𝑻𝒇𝒔 = 𝟑𝟎°𝑪 𝑻𝒄𝒔=40°C

b) Calculer le flux de chaleur échangé sachant que le coefficient de transfert de

l’échangeur K = 7000 W.m-2K-1 et sa surface d’échange S = 5 m2.

Réponse :

a)

Entrée Sortie

𝒎ሶ 𝒇

𝒎ሶ 𝒄 𝑻𝒄𝒔=40°C

𝑻𝒇𝒔 = 𝟑𝟎°𝑪

𝑻𝒇𝒆 = 𝟐𝟎°𝑪

𝑻𝒄𝒆 = 𝟗𝟎°𝑪

∆𝑻

𝑻𝒄

𝑻𝒇

0



x

𝒓𝟐

𝒓𝟏

L


𝚫𝑻𝒍𝒎 =ሺ𝟒𝟎 − 𝟑𝟎ሻ − ሺ𝟗𝟎 − 𝟐𝟎ሻ

𝒍𝒏 (𝟒𝟎 − 𝟑𝟎𝟗𝟎 − 𝟐𝟎)

= 𝟑𝟎, 𝟖°𝑪

b)

𝜱 = 𝑲 𝑺 𝚫𝑻𝒍𝒎 = 𝟕𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟓 ∗ 𝟑𝟎,𝟖 = 𝟏,𝟎𝟕𝟖 𝑴𝑾

Distribution de la température du fluide chaud le long de l’échangeur :

𝒅𝑻𝒄𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ

= − 𝑲 𝒅𝒔




−𝑲(𝟏



)𝑺ሺ𝒙ሻ

On multiplie membre à membre et on intègre entre x = 0 et x.

∫𝒅𝑻𝒄

𝑻𝒄𝒆−𝑻𝒇𝒆

𝒙

𝒙=𝟎= − ∫

𝑲

𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄𝒆−𝑲(

𝟏


𝟏


𝒅𝒔𝒙

𝒙=𝟎 →

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒄𝒆𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆

=𝑲


𝒆−𝑲(

𝟏𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄

+𝟏


− 𝟏

𝑲 (𝟏



)

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ =𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆

𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄 𝒆−𝑲(


+𝟏


−𝟏

(𝟏



)+𝑻𝒄𝒆

Si x → 0 S(x) → 0 et 𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ = 𝑻𝒄𝒆

Si L → ∞ 𝑻𝒄𝒔 = 𝑻𝒇𝒔 = 𝑻∞


𝑻∞ − 𝑻𝒄𝒆𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆

=𝟏


−𝟏

(𝟏



)

𝑻∞ = − 𝟏


𝟏

(𝟏



)(𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆) + 𝑻𝒄𝒆

𝑻∞ = − 𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇

(𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄 +𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇)(𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆) + 𝑻𝒄𝒆

𝑻∞ = − 𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇

𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄 +𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇(𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆) + 𝑻𝒄𝒆

𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄 +𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇


𝑻∞ =𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄𝑻𝒄𝒆 +𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇𝑻𝒇𝒆


Distribution de la température du fluide froid le long de l’échangeur :

𝒅𝑻𝒇

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ= − 𝑲

𝒅𝒔

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇



−𝑲(𝟏



)𝑺ሺ𝒙ሻ


∫𝒅𝑻𝒇

𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆

𝒙

𝒙=𝟎

= − ∫𝑲

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇𝒆−𝑲(


+𝟏


𝒅𝒔

𝒙

𝒙=𝟎

𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇𝒆

𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆=

𝑲


𝒆−𝑲(


+𝟏


− 𝟏

−𝑲(𝟏



)


𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ = −𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆


𝒆−𝑲(


+𝟏


−𝟏

(𝟏



)+𝑻𝒇𝒆

Si L → ∞ 𝑻𝒄𝒔 = 𝑻𝒇𝒔 = 𝑻∞

𝑻∞ =𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄𝑻𝒄𝒆 +𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇𝑻𝒇𝒆


On peut simplifier l’écriture de ces expressions en posant :

𝒓 =𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇= 𝒒𝒕𝒄 𝒒𝒕𝒇

𝒒𝒕𝒄= 𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄 𝒒𝒕𝒇= 𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 1 2 3 4 5 6 7

Tem

péra

ture

des

flu

ides

le

lon

g d

e

l'éc

han

geu

r (°

C)

Surface d'échange S en m2 le long de l'axe x

Evolution de la température dans un

échangeur co-courant

r = 3,0

T∞ = 55,2°C


II.4.1 ECHANGEURS CONTRE-COURANT

Echangeur co-courant

Dans un échangeur contre-courant les fluides circulent dans le sens contraire, l’entrée de l’un

des fluides par exemple le fluide chaud se trouve à l’opposé de l’autre fluide c’est-à-dire le

fluide froid.

Le flux de chaleur est transféré par le fluide chaud vers le fluide froid lors de son écoulement.

Déterminons le flux de chaleur échangé entre x et x + dx.

Attention : dTc est négatif le long de l’axe x.

dTf est négatif le long de l’axe x.

Le fluide froid circule dans le sens des x négatifs.

𝒅𝜱 = 𝒅𝜱𝒇 = −𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇𝒅𝑻𝒇 (1) flux de chaleur gagné par le fluide froid.

𝒅𝜱 = 𝒅𝜱𝒄 = −𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄𝒅𝑻𝒄 (2) flux de chaleur perdu par le fluide chaud.

𝒅𝜱 = 𝑲 𝒅𝒔 (𝑻𝒄 − 𝑻𝒇) (3)

𝜱 = −𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄ሺ𝑻𝒄𝒔 − 𝑻𝒄𝒆ሻ

𝜱 = −𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇ሺ𝑻𝒇𝒆 − 𝑻𝒇𝒔ሻ

L

Entrée

S(x) + dS S(x)

𝒎ሶ 𝒇

𝒎ሶ 𝒄 𝑻𝒄𝒔

𝑻𝒇𝒔 𝑻𝒇𝒆

𝑻𝒄𝒆

∆𝑻

𝑻𝒄

𝑻𝒇

0 x x + dx



x

𝒓𝟐

𝒓𝟏 Sortie

Entrée Sortie


𝒅𝑻𝒇 = −𝒅𝜱

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇 𝒅𝑻𝒄 = −

𝒅𝜱


𝒅(𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ)

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ= − 𝑲 (

𝟏

𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄−

𝟏

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇) 𝒅𝒔

∫𝒅(𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ)

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ

𝒙

𝒙=𝟎

= − 𝑲 (𝟏


𝟏


𝒙

𝒙=𝟎

𝒍𝒏 [𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇 ሺ𝒙ሻ

𝑻𝒄ሺ𝒙 = 𝟎ሻ − 𝑻𝒇ሺ𝒙 = 𝟎ሻ] = −𝑲(

𝟏


𝟏


𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ−𝑻𝒇 ሺ𝒙ሻ

𝑻𝒄𝒆−𝑻𝒇𝒔= 𝒆

−𝑲(𝟏

𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄 −

𝟏


(4)

On intègre les deux membres de l’équation entre x =0 à et x = L.

𝑻𝒄ሺ𝒙 = 𝑳ሻ = 𝑻𝒄𝒔 𝑻𝒇ሺ𝒙 = 𝑳ሻ = 𝑻𝒇𝒆 S(L)=S

𝑻𝒄ሺ𝒙 = 𝟎ሻ = 𝑻𝒄𝒆 𝑻𝒇ሺ𝒙 = 𝟎ሻ = 𝑻𝒇𝒔

∫𝒅(𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ)

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ

𝑳

𝒙=𝟎

= − 𝑲 (𝟏


𝟏


𝒙=𝑳

𝒙=𝟎

𝒍𝒏 [𝑻𝒄𝒔 − 𝑻𝒇𝒆

𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒔] = −𝑲𝑺(

𝟏


𝟏


= −𝑲𝑺

𝜱 [ሺ𝑻

𝒄𝒆− 𝑻𝒄𝒔ሻ − ሺ𝑻

𝒇𝒔− 𝑻𝒇𝒆ሻ]

𝜱 = 𝑲𝑺(𝑻𝒄𝒔 − 𝑻𝒇𝒆 ) − (𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒔)

𝒍𝒏 [𝑻𝒄𝒔 − 𝑻𝒇𝒆 𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒔

]


𝜱 = 𝑲 𝑺 𝚫𝑻𝒔 −𝚫𝑻𝒆


)= 𝑲 𝑺 𝚫𝑻𝒍𝒎

𝚫𝑻𝒔 = 𝑻𝒄𝒔 − 𝑻𝒇𝒆 𝚫𝑻𝒆 = 𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒔

𝚫𝑻𝒍𝒎 : différence de température logarithmique moyenne (DTLM)



)

𝚫𝑻𝒍𝒎 =ሺ𝟒𝟎 − 𝟐𝟎ሻ − ሺ𝟗𝟎 − 𝟑𝟎ሻ

𝒍𝒏 (𝟒𝟎 − 𝟐𝟎𝟗𝟎 − 𝟑𝟎)

= 𝟑𝟔, 𝟒°𝑪

A comparer avec les mêmes valeurs dans le cas d’un co-courant !

𝚫𝑻𝒍𝒎 =ሺ𝟒𝟎 − 𝟑𝟎ሻ − ሺ𝟗𝟎 − 𝟐𝟎ሻ

𝒍𝒏 (𝟒𝟎 − 𝟑𝟎𝟗𝟎 − 𝟐𝟎)

= 𝟑𝟎, 𝟖°𝑪

Le contre-courant est plus efficace.

L

Entrée

S(x) + dS S(x)

𝒎ሶ 𝒇

𝒎ሶ 𝒄

𝑻𝒄𝒔 = 𝟒𝟎°𝑪

𝑻𝒇𝒔 = 𝟑𝟎°𝑪 𝑻𝒇𝒆 = 𝟐𝟎°𝑪

𝑻𝒄𝒆 = 𝟗𝟎°𝑪

∆𝑻

𝑻𝒄

𝑻𝒇

0 x x + dx



x

𝒓𝟐

𝒓𝟏 Sortie

Entrée Sortie


Distribution de la température du fluide chaud le long de l’échangeur :

𝒅𝑻𝒄𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ

= − 𝑲 𝒅𝒔




−𝑲(𝟏



)𝑺ሺ𝒙ሻ

✓ Si (𝟏


𝟏

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇) = 𝟎 alors

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ−𝑻𝒇 ሺ𝒙ሻ

𝑻𝒄𝒆−𝑻𝒇𝒆= 𝟏

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇 ሺ𝒙ሻ = 𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆 = 𝒄𝒔𝒕𝒆

✓ Si (𝟏


𝟏

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇) ≠ 𝟎 alors,


∫𝒅𝑻𝒄

𝑻𝒄𝒆−𝑻𝒇𝒆

𝒙

𝒙=𝟎= − ∫

𝑲

𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄𝒆−𝑲(

𝟏


𝟏


𝒅𝒔𝒙

𝒙=𝟎 →

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒄𝒆𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆

=𝑲


𝒆−𝑲(


− 𝟏


− 𝟏

𝑲 (𝟏



)

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ =𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆

𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄 𝒆−𝑲(


− 𝟏


−𝟏

(𝟏



)+𝑻𝒄𝒆

Si x → 0 S(x) → 0 et 𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ = 𝑻𝒄𝒆


Distribution de la température du fluide froid le long de l’échangeur :

𝒅𝑻𝒇

𝑻𝒄ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ= − 𝑲

𝒅𝒔



𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒔= 𝒆

−𝑲(𝟏



)𝑺ሺ𝒙ሻ


∫𝒅𝑻𝒇

𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒔

𝒙

𝒙=𝟎

= − ∫𝑲

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇𝒆−𝑲(


− 𝟏


𝒅𝒔

𝒙

𝒙=𝟎

𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ − 𝑻𝒇𝒔

𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒔=

𝑲


𝒆−𝑲(


− 𝟏


− 𝟏

−𝑲(𝟏



)

𝑻𝒇ሺ𝒙ሻ = −𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒔


𝒆−𝑲(


− 𝟏


−𝟏

(𝟏



)+𝑻𝒇𝒔

On peut simplifier l’écriture de ces expressions en posant :

𝒓 =𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇= 𝒒𝒕𝒄 𝒒𝒕𝒇

𝒒𝒕𝒄 = 𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄 𝒒𝒕𝒇 = 𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇

L’échangeur contre-courant a des profils de température qui dépendent des valeurs des

débits thermique unitaire des deux fluides qt.


𝒅𝜱 = −𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇𝒅𝑻𝒇 = −𝒒𝒕𝒇 𝒅𝑻𝒇 (1) flux de chaleur gagné par le fluide froid.

𝒅𝜱 = −𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄𝒅𝑻𝒄 = − 𝒒𝒕𝒄 𝒅𝑻𝒄 (2) flux de chaleur perdu par le fluide chaud.

La plus forte variation de température sera subie par le fluide qui a le plus petit débit

thermique unitaire. On dit que ce fluide impose ou commande le transfert thermique.

Selon le cas, on obtient trois comportements différents.

1er cas : 𝒒𝒕𝒄 = 𝒒𝒕𝒇

Voir figure

2ème cas : 𝒒𝒕𝒄 > 𝒒𝒕𝒇

La plus forte variation de température est celle du fluide froid, car il a le plus petit débit

thermique. C’est ce fluide froid qui commande le transfert thermique.

Voir figure.

3ème cas : 𝒒𝒕𝒄 < 𝒒𝒕𝒇

La plus forte variation de température est celle du fluide chaud, car il a le plus petit

débit thermique ; c’est ce fluide chaud qui commande le transfert thermique.

Voir figure.



Le

flu

ide

fro

id

sub

it

un

e gra

nd

e

vari

ati

on

de

tem

pér

atu

re.

On

dit

qu

e le

flu

ide

froid

im

pose

ou

co

mm

an

de

le

tran

sfer

t.


Le

flu

ide

chau

d

sub

it

un

e gra

nd

e

vari

ati

on

de

tem

pér

atu

re.

On

dit

qu

e le

flu

ide

chau

d

imp

ose

ou

co

mm

an

de

le

tran

sfer

t.


II.4.2 RESUME

𝜱 = 𝑲 𝑺 𝚫𝑻𝒍𝒎



)

Sont valables en co-courant et contre-courant avec :

Co-courant Contre-courant

𝚫𝑻𝒔 = 𝑻𝒄𝒔 − 𝑻𝒇𝒔 𝚫𝑻𝒔 = 𝑻𝒄𝒔 − 𝑻𝒇𝒆

𝚫𝑻𝒆 = 𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆 𝚫𝑻𝒆 = 𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒔


II.5 ECHANGEURS INDUSTRIELS, METHODE DE DIMENSIONNEMENT

II.5.1 METHODE DTLM

𝐃𝐓𝐋𝐌 = 𝚫𝑻𝒍𝒎 =𝚫𝑻𝒔 − 𝚫𝑻𝒆


)

DTLM en français (Différence de Température Logarithmique Moyenne).

LMTD en anglais (Logarithmique Mean Temperature Difference).

L’expression du flux est corrigée par un facteur correctif sans dimension F dans le cas

d’échangeurs plus complexes. Ce facteur est déterminé en utilisant des abaques.

𝜱 = 𝑭.𝑲 𝑺 𝚫𝑻𝒍𝒎

Ce facteur F correctif dépend de la géométrie de l'échangeur mais aussi du profil de température.

Celui-ci est représenté par deux facteurs généralement nommés R et P (dans la littérature anglo-

saxonne). Dans la pratique, on recherchera des géométries telles que le facteur correctif soit

supérieur à 0,8.

Paramètres R et P pour correction :

{

𝑹 =𝑻𝒆 − 𝑻𝒔𝒕𝒔 − 𝒕𝒆

𝑷 =𝒕𝒔 − 𝒕𝒆𝑻𝒆 − 𝒕𝒆

avec:

Te, Ts: températures entrée/sortie côté calandre

te, ts : températures entrée/sortie côté tubes


Exercice :

On souhaite refroidir une huile de :

✓ masse volumique ρ = 0,8 kg/L

✓ capacité calorifique c = 0,5 kcal/kg. °C

de 70 à 50°C avec un débit volumique de 100 L/h.

On utilise de l’eau à 25°C de :

✓ masse volumique ρ = 1,0 kg/L

✓ capacité calorifique c = 1 kcal/kg. °C

et un débit volumique de 100 L/h dans un échangeur à tubes et calandre. L'huile sera côté

calandre et l'eau côté tubes.

a) Déterminer la température de l’eau à la sortie des tubes (rép : ts= 33°C)

b) Déterminer R et P (rép : R = 2,5 et P = 0,18)

c) Déterminer le coefficient de correction et la géométrie d'échangeur la mieux adapté

(coefficient > 0,8 pour la géométrie la plus simple).

(Rép : Un échangeur à une seule passe coté calandre et 2 passes coté tube a un

coefficient F supérieur à 0,9).


II.5.1 METHODE DU NOMBRE D’UNITE DE TRANSFERT (NUT)

Deux grandeurs thermiques importantes interviennent dans le calcul des échangeurs :

✓ Le flux thermique maximum que peut transférer un échangeur est obtenu dans le cas

d’un échangeur à contre-courant de longueur infinie.

✓ L’un des deux fluides subit une variation de température la plus élevée.

Si 𝒒𝒕𝒄 < 𝒒𝒕𝒇 le fluide chaud subit la plus grande variation de température entre l’entrée

et la sortie et donc commande le transfert.

Le flux maximum transféré est alors donné par :

𝜱𝒎𝒂𝒙 = 𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄ሺ𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒄𝒔ሻ = 𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄ሺ𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆ሻ

car si L → ∞ 𝑻𝒄𝒔 = 𝑻𝒇𝒆

Si 𝒒𝒕𝒄 > 𝒒𝒕𝒇 le fluide froid subit la plus grande variation de température entre l’entrée

et la sortie et donc commande le transfert.

Le flux maximum transféré est alors donné par :

𝜱𝒎𝒂𝒙 = 𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇ሺ𝑻𝒇𝒔 − 𝑻𝒇𝒆ሻ = 𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇ሺ𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆ሻ

car si L → ∞ 𝑻𝒇𝒔 = 𝑻𝒄𝒆

Dans les deux cas, on peut écrire :

𝜱𝒎𝒂𝒙 = 𝒒𝒕 𝒎𝒊𝒏ሺ𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒇𝒆ሻ

L’efficacité est définie par le rapport entre le flux effectivement transmis et le flux maximum.

𝑬 =𝚽

𝚽𝒎𝒂𝒙=

𝒎ሶ 𝒄𝒄𝒑𝒄ሺ𝑻𝒄𝒆 − 𝑻𝒄𝒔ሻ

𝒒𝒕 𝒎𝒊𝒏ሺ𝑻𝒄𝒆−𝑻𝒇𝒆ሻ=

𝒎ሶ 𝒇𝒄𝒑𝒇ሺ𝑻𝒇𝒔 − 𝑻𝒇𝒆ሻ

𝒒𝒕 𝒎𝒊𝒏ሺ𝑻𝒄𝒆−𝑻𝒇𝒆ሻ

Si 𝒒𝒕 𝒎𝒊𝒏 = 𝒒𝒕 𝒄 𝑬 =𝚽

𝚽𝒎𝒂𝒙=

ሺ𝑻𝒄𝒆−𝑻𝒄𝒔ሻ

ሺ𝑻𝒄𝒆−𝑻𝒇𝒆ሻ

Si 𝒒𝒕 𝒎𝒊𝒏 = 𝒒𝒕𝒇 𝑬 =𝚽

𝚽𝒎𝒂𝒙=

ሺ𝑻𝒇𝒔−𝑻𝒇𝒆ሻ

ሺ𝑻𝒄𝒆−𝑻𝒇𝒆ሻ

𝚽 = 𝑬 𝚽𝒎𝒂𝒙


Indices et symboles utilisées

f froid 𝑪𝒑𝒇 Capacité thermique du fluide

froid

c chaud 𝑪𝒑𝒄 Capacité thermique du fluide

chaud

e entrée S 2π r2 L

s sortie S(x) 2π r2 x

𝒎ሶ 𝒇

𝒒𝒕𝒇 = 𝒎ሶ 𝒇𝑪𝒑𝒇

Débit d’eau froide (kg/m3)

Débit thermique unitaire du

fluide froid ( W/°C)

K Coefficient d’échange

global

𝒎ሶ 𝒄

𝒒𝒕𝒄 = 𝒎ሶ 𝒄𝑪𝒑𝒄

Débit d’eau chaude (kg/m3)

Débit thermique unitaire du

fluide chaud( W/°C)

𝒓 = 𝒒𝒕𝒄𝒒𝒕𝒇

=𝒎ሶ 𝒄𝑪𝒑𝒄

𝒎ሶ 𝒇 𝑪𝒑𝒇

Rapport des débits

thermiques

Documents

Bouguechal Docteur-ingénieur Cours de transferts